Pripreme v Razred Matematika

PRIPREME VISI RAZREDI MATEMATIKA25. јануар 201416:43 Припреме наставника

Разред: V

Назив предмета: математика (редовна настава)

Датум: 1

Наставна тема: Угао

Наставна јединица: Појам угла

Тип часа: Час стицања нових знања

Облик рада: Фронтални

Наставна средства: Табла, фломастери, шестар, лењир

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: добро савлада појам угла и правилно га обележава схвати угао као неограничен објекат разликује конвексне и неконвексне углове

Могући ток часа Коментар

1. Уводни део часа

Овај део часа искористити да се ученици подсете када су се први пут срели са појмом угла. То је било када су упознавали троугао и рекли да он има три странице и три угла, или када су рекли да квадрат има четири странице и четири угла.

Уводни део часа не треба да траје дуже од 4–5 минута

Нацртати троугао АВС и уочити један његов угао, на пример код темена А. Ако замислимо да дуж АВ продужимо као полуправу преко темена В и аналогно томе дуж АС преко темена С, јасно је да се уочени угао неће променити. Закључак је да угао не зависи од странице ВС.Рећи ћемо да Полуправе АВ и АС са почетком у заједничкој тачки А чине Угаону линију.

Циљ овог разматрања је да ученици уоче да угао не зависи од дужине представљене угаоне линије.

2. Главни део часа

Свака угаона линија дели раван којој припада на два дела. Тачке које припадају истом делу се увек могу међусобно

Циљовог корака је уочавање и дефинисање области угла.

повезати линијом која неће сећи угаону линију, па се каже да су те тачке са исте стране угаоне линије.Тачке које не припадају истом делу равни се не могу повезати линијом која неће сећи угаону линију, па се каже да су те тачке са разних страна угаоне линије.Све тачке са исте стране угаоне линије чине једну област.

Свака угаона одређује две области у равни којој припада.Угаона линија и једна од области коју та линија одређује у равни назива се угао.

Циљ овог корака је дефинисање појма угао.

Полуправе које образују угаону линију се називају краци угла, а њихова заједничка тачка теме угла. Уочена област ( само једна од две ) је област угла.Одговарајућу област увек морамо некако обележити, на пример обојити или осенчити.

Циљ овог корака је дефинисање делова угла.

Ако краци угла не припадају истој правој, примећујемо да је једна област конвексна, а друга неконвексна, док је сама угаона линија неконвексна.Ако краци угла припадају истиј правој, примећујемо да су и обе области и сама угаона линија конвексни скупови тачака. Такав угао називамо опружен.Ако се краци угла поклапају, једна област је празан скуп, а друга цела раван, па су и угаона линија и области конвесни скупови. Угао чија је област празан скуп ћемо звати нулти, а онај чија је област цела раван пун угао.Да би се прецизирало на коју од две области мислимо, најчешће ћемо је обележити кружним луком са центром у темену угла.

Истичемо да област угла може бити и конвексан и неконвексан скуп, па је зато неопходно нагласити на коју се област мисли.

Угао са теменом А, чијим крацима припадају тачке В и С можемо обележити са А или ВАС или САВ или (АВ, АС) или само грчким словима α, β, ...( тад се не користи симбол ).

Важно је да ученици добро савладају правилно обележавање углова.

3. Завршни део часа

За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Појам угла“ и ураде примере 1 и 2 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ оваквог домаћег задатка је обезбеђивање самосталног рада ученика.

Припреме наставника

Разред: V


Датум: 2


Наставна јединица: Централни угао. Преношење углова. Упоређивање углова

Тип часа: Час увежбавања стечених знања знања

Облик рада: Диференцирани


Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: закључи да величина угла не зависи од дужине његових

кракова усвоји појам централног угла користи метод преношења углова



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак. Ученици који су успешно решили задатке презентују их на табли онима којима су ти задаци представљали проблем .

Уводни део часа не треба да траје дуже од 6 минута


Корисно је овај део часа почети примерима на основу којих је очигледно упоређивање два различита угла.Поново скренути пажњу да величина угла неће зависити од „дужине“ његових кракова.

Нацртати три угла уочљиво различитих величина, два конвексна и један неконвексан.

У наставку користити папирне моделе једнаких углова уочљиво различитих „дужина“ кракова.Папирни модели су корисни и за упоређивање углова методом преклапања једног пара кракова и области. Мањи је онај угао чији други крак припадаобласти другог угла. Уколико би се и други пар кракова поклопио, углови би били једнаки.

Циљ овог корака је савладати метод упоређивања углова преклапањем њихових области.

Како нисмо увек у ситуацију да угао сведемо на папирни модел, објаснићемо други метод упоређивања углова. Зато морамо увести централне углове.

Нека су у истој равни дати кружница k(О, r) и угао pOq. Обележити пресечне тачке кракова и кружнице са P и Q. Угао POQ се назива централни угао.На овај начин се сваком углу може придружити неограничено кружница, односно одговарајућих кружних лукова.Раније смо научили да сваком кружном луку одговара једна тетива, па ће и централном углу одговарати једна тетива тј. дуж. Иста дуж ће одговарати и конвексном и неконвексном углу, па се мора нагласити на који мислимо.Како сваком углу одговара по једна тетива, упоређивање углова се може свести на упоређивање одговарајућих тетива. То је могуће једино ако се углови пренесу у централне углове кружница једнаких полупречника.

Циљ овог корака је дефинисање централног угла и објашњавање методе упоређивања углова путем упоређивања њихових тетива у истој односно кружницама истих полупречника.

За конвексне централне углове исте кружнице или кружница једнаких полупречника важи да:-Два угла су једнака ако су им једнаки одговарајући лукови односно тетиве.- Већем од углова одговара већи лук односно тетива.- Мањем од углова одговара мањи лук односно тетива.

Ово су правила која користимо при упоређивању два централна угла у истој кружници или кружницама једнаких полупречника.

Сада је моменат када треба објаснити како се неки угао може „пренети“.Нацртајмо један конвексан угао pOq и полуправу Sx. Треба конструисати угао једнак датом, тако да му један крак буде полуправа Sx.Опишимо кружнице k1(О,r) и k2(S,r) произвољног полупречника. Углу pOq одговара тетива PQ и лук одређен њом шестаром пренесемо од тачке X (пресек Sx и k2(S,r)) наk2(S,r). Постоје две тачке U1 и U2 такве да је PQ=XU1

и PQ=XU2, па су и угао XSU1 и угао XSU2 једнаки углу pOq.

Најчешће није потребно преносити угао са обе стране полуправе Sx.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Централни угао. Преношење углова. Упоређивање углова“ и у домаћим свескама ураде примере: 1, 2 и 4 из те лекције.



Разред: V


Датум: 3


Наставна јединица: Централни угао. Преношење углова. Упоређивање углова

Тип часа: Час увежбавања стечених знања

Облик рада: Диференциран


Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: закључи да величина угла не зависи од дужине његових

кракова усвоји појам централног угла користи метод преношења углова




Овом делу часа се мора посветити 15 минута.

Затим исписати на табли следећа тврђења и прокоментарисати са ученицима која од њих су тачна:1. Нулти угао је мањи од било ког конвексног угла.2. Сваки конвексан угао је мањи од било ког неконвексног угла.3. Свака два опружена угла су једнака.4. Пун угао је већи од било ког

Сва тврђења морају бити написана у свеске јер се кроз преписивање доста тога меморише.За свако погрешно тврђење навести пример који га побија.

неконвексног.5. Сваки неконвексан угао је већи од опруженог угла.6. Једном централном углу одговара тачно једна тетива.7. У истој кружници једнаким тетивама одговарају једнаки централни углови.


Након продискутованих тврђења час се може наставити кроз израду следећих примера:1. Нацртај конвексан угао pOq и праву t тако да њихов пресек буде:а) празан скупб) тачка Ов) дуж АВ.2. Нацртај два конвексна угла чији је пресек:а) полуправаб) дужв) троугаог) четвороугао.3.Нацртај један произвољан конвексан и један опружен угао. Утврди преношењем који је од њих већи.4. Нацртај један опружен и један произвољан неконвексан угао. Утврди преношењем који је од њих већи.5. Нацртај један правоугли троугао. Преношењем сва три угла на исту кружницу утврди који је највећи.6. Нацртај два конвексна угла α и β. Пренеси их у положај да им се један пар кракова поклапа, а да њихове области немају заједничких тачака.7. Нацртај произвољан неконвексан угао. Може ли он бити унутрашњи угао:а) неког троуглаб) квадрата?

Циљ овог дела часа је да ученици увежбају преношење углова ради њиховог упоређивања, као и разликовање опруженог, неконвексног и пуног угла.


За домаћи задатак задати да се препишу у домаће свеске тврђења са почетка часа која су била тачна, као и

Циљ овог подухвата је да се ученици осамостаљују у коришћењу методе преношења

да се самостално ураде из Збирке задаци 3 и 4 са стране 27.

углова.


Разред: V


Датум: 4


Наставна јединица: Врсте углова


Облик рада: Индивидуална - фронтална настава


Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: зна да надовезује углове разликује суседнe, упореднe и унакрсне углове усвоји појмове: оштар, прав и туп угао



Уколико су ученици успешно савладали садржаје који су реализовани на претходном часу, ову лекцију могу самостално обрадити на

Дозволити да ученици самостално проучавају лекцију из Уџбеника 20 минута.

часу коришћењем Уџбеника.

Након тога захтевати репродукцију основних појмова:- надовезани углови- суседни углови- упоредни углови- прав угао.

Циљ овог задатка је утврђивање следећих појмова: празан скуп тачака, тачка, дуж, полуправа.


У овом делу часа је пожељно да наставник на табли илуструје одговарајуће цртеже уз још један осврт на основне појмове и њихове дефиниције.Ако је преношење углова добро усвојено, лако ћемо савладати и методу надовезивања углова.Два угла су надовезана ако припадају истој равни и имају само један заједнички крак и теме, а њихове области немају заједничких тачакаМожемо надовезивати и више од два угла.

Циљ овог дела часа је усвајање методе надовезивања углова.Нацртати по два примера суседних и два примера углова који то нису.

Два надовезана угла се зову и суседни.Овај корак је дефинисање појма суседни углови.

Суседни углови чија два крака образују праву називају се упоредни углови.Упоредни углови заједно чине опружен угао.

Овде се дефинишу упоредни углови.Обавезан је цртеж упоредних углова.

Од два упоредна угла увек један има већу област од другог, сем уколико им области нису једнаке.Ако су упоредни углови једнаки, кажемо да су прави.Дакле, прав угао је онај који је једнак свом уоредном углу.Кажемо да су праве одређене крацима правог угла међусобно нормалне.

Овај корак подразумева дефинисање правог угла, али обавезно захтева и цртеж.

Уколико кракoве pOq продужимо преко темена О, то јест конвексном pOq са обе стране доцртамо упоредне углове, добићемо два пара углова: пар pOq и p1Oq1 и пар p1Oq и

Задатак овог дела је да дефинишемо унакрсне углове и закључимо да су они једнаки.

pOq1 које називамо унакрсни.Парови унакрсних углова су једнаки јер допуњавају исти конвексан угао до опруженог.

Ради лакшег споразумевања увешћемо још два назива за неке углове:- Угао мањи од правог, а већи од нултог ћемо звати оштар.- Угао већи од правог, а мањи од опруженог ћемо звати туп.Нацртати по један пример оштрог, правог, тупог и неконвексног угла , па захтевати од ученика да избаце уљеза.

Циљ овог корака је да дефинишемо оштре и тупе углове, као и да закључимо да су и оштри и прави и тупи углови конвексни, а већи од опруженог неконвексни.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Врсте углова“ и ураде примере: 1, 2, 3 и 4 из те теме.

Циљ овог домаћег задатка је да ученици самостално овладају врстама углова.


Разред: V


Датум: 5


Наставна јединица: Врсте углова




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: зна да надовезује углове разликује суседнe, упореднe и унакрсне углове усвоји појмове: оштар, прав и туп угао



У уводном делу часа поделити ученицима наставне листиће са дефиницијама обрађиваним претходног часа којима недостаје по једна реч. Захтевати да их допуне за 5 минута. Наставни листић може изгледати овако:

Уводни део часа не треба да траје дуже од 10 минута.На овај начин се стиче увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима.Након попуњавања ученик треба наставни листић да размени са паром из клупе. Наставник чита тачне одговоре, а ученици једни другима прегледају. Евидентирати број тачних одговора сваког ученика.

1.Два угла су ____________ ако припадају истој равни и имају само један заједнички крак и теме, а њихове области немају заједничких тачака.2. Два надовезана угла се зову и ___________ .3. Суседни углови чија два крака образују __________ називају се и упоредни.4. Угао који је једнак свом упоредном назива се ___________.5. Парови унакрсних углова су _________ .6. Угао већи од нултог, а мањи од правог назива се _______________ .7. Угао већи од правог, а мањи од _________ назива се туп.8. Краци _________ угла су узајамно нормални.

1. надовезана2. суседни3. праву4. прав5. једнаки6. оштар7. опруженог8. правог


Даље се час реализује кроз израду

следећих примера:1.Нацртај произвољан оштар угао α, а затим један његов суседни угао β и упоредни γ.2. Нацртај произвољан туп угао α, па нацртај њему упоредне углове β и γ. Упореди углове β и γ.3. Ако се оштар угао надовеже на себи једнак, да ли ће се добити туп? Нацртај по цртеж за сваки од три случаја.4. Нацртај један опружен угао, а затим две полуправе са почетком у његовом темену које ће га поделити на три надовезана угла, тако да:а) сва три буду оштраб) два буду оштра, а трећи правв) два буду оштра, а трећи туп.5. а) Ако је угао оштар, његов упоредан је _____________ .б) Ако је угао прав, његов упоредан је _____________ .в) Ако је угао туп, његов упоредан је _____________ .6. За које углове не постоји упоредан?7. Који је угао већи од свог упоредног?А мањи?


У завршном делу часа задати домаћи задатак да се препишу допуњене дефиниције са наставног листића, као и да се из Збирке ураде задаци 7, 8 и 10

Циљ овог домаћег задатка је утврђивање врста углова.


Разред: V


Датум: 6


Наставна јединица: Сабирање углова. Комплементни и суплементни углови




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: конструктивно сабира углове усвоји појмове комплементни и суплементни углови



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак. Ученици који су успешно решили задатке презентују их на табли онима којима су ти задаци представљали проблем .Подсетити ученике на надовезане углове.И у овој наставној јединици ћемо поступак сабирања углова лакше објаснити уколико будемо имали моделе од папира.

Уводном делу часа посветити 10 минута.


Нацртајмо два надовезана угла xOy и yOz. Настали угао xОz је збир углова xOy и yOz.Величина угла xОz ће зависити од величине углова xOy и yOz, али не и од редоследа њиховог надовезивања.

Обавезан цртеж.

Пример 1: Захтевати да ученици нацртају по један оштар и прав угао и конструишу њихов збир прво надовезујући прав на оштар, а други пут надовезујући оштар на прав, како би утврдили да збир не зависи од редоследа надовезивања.

Обавезна употреба прибора за геометрију.

Као што је збир два једнака природна броја:а + а = 2аи збир два једнака угла је:xOy + xOy = 2xOy.

Пример 2: Захтевати да ученици нацртају прав угао α, а затим да конструишу угао 2α.

И овако се може утврдити да је збир два права угла једнак

опруженом углу.

Пример 3: Слично се конструише и 3α. Сада ће се као збир добити неконвексан угао.

Обавезна конструкција.

С обзиром на извесну посебност правог и опруженог угла, и два угла чији је збир прав, односно опружен имају посебне називе.Ако је збир два угла једнак правом углу, кажемо да су они узајамно комплементни.Ако је збир два угла једнак опруженом углу, кажемо да су они узајамно суплементни.

Овај корак је дефинисање појмова комплементни и суплементни углови.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Сабирање углова. Комплементни и суплементни углови“ и ураде примере 1, 2 и 3 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика на усвајању нових појмова.


Разред: V


Датум: 7


Наставна јединица: Одузимање углова




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: конструктивно одузима углове усвоји појмове комплементни и суплементни углови разликује унутрашње од спољашњих углова многоугла



Како је конструктивно одузимаењ углова наставак приче о конструктивном сабирању углова, на почетку часа се може захтевати да ученици самостално у свескама нацртају по један оштар и туп угао, а затим их конструктивно саберу.

За самосталну израду задатка дати 5-6 минута у току којих наставник обилази ученике и разгледањем свезака остварује увид у оствареност садржаја обрађених на претходном часу.

Након завршеног примера, наставник може помоћу папирних модела углова објаснити метод конструктивног одузимања углова.Сада се може прећи на конструкцију.


Често је потребно одрдити и разлику два угла.Поступак изводимо из следеће две једнакости:xOy + yOz = xOz и yOz = xOz - xOy,Односно чињенице да је сабирак једнак разлици збира и другог сабирка.Битно је уочити да се при одузимању углови не надовезују, већ се доводе у такав положај да имају заједничко теме и заједнички крак, а да им се области налазе са исте стране заједничког крака.

Добро је да ученици схвате аналогију између сабирања и одузимања углова и природних бројева.

Ученицима ће једноставније изгледати следећеобјашњење:

Напоменути да се у математици смер кретања контра од казаљке на сату назива

- углови се конструктивно сабирају тако што се надовезују у смеру контра од смера казаљке на сату- углови се конструктивно одузимају тако што се надовезују у смеру казаљке на сату.

позитивним смером, а смер кретања казаљке на сату негативним.

Пример 1: Нацртати један туп и један оштар угао, па затим конструисати њихову разлику.

Обавезна конструкција на табли уз коришћење комплетног прибора за геометрију.

Пример 2: Нацртај оштар угао α, прав β и туп угао γ, па конструиши угао α + γ – β.

Обавезан цртеж на табли.

Пример 3: Нацртај произвољан троугао па конструктивно сабери сва три његова унутрашња, а затим и сва три спољашња угла.

Истаћи да ће се у првом случају добити опружен, а у другом пун угао, али не изводити никакве закључке о збиру унутрашњих односно спољашњих углова ма ког троугла.

Пример 4: Нацртај квадрат странице 4 cm па конструктивно сабери сва четири његова унутрашња, а затим и сва четири спољашња угла.

Истаћи да ће се у оба случаја добити пун угао, али не изводити никакве закључке о збиру унутрашњих односно спољашњих углова ма ког четвороугла.

Добро је искористити примере 3 и 4 како би се ученицима објаснила разлика између спољашњих и унутрашњих углова многоугла.Такође је ово згодан моменат да се укаже да су унутрашњи и одговарајући спољашњи угао упоредни.

Овај корак је повезивање нових појмова са упореднимуглом који је обрађен неколико часова раније.


За домаћи задатак задати да се самостално ураде из Збирке задаци 6, 8 и 9 са стране 30.



Разред: V


Датум: 8


Наставна јединица: Meрeње углова



Наставна средства: Табла, фломастери, угломер, лењир

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: правилно користи угломер усвоји јединице мере за мерење углова и зна да их

упореди успешно обавља основне операције са угловима




Уводни део часа не треба да траје дуже од 5 минута.


Често је потребно да сви нацртамо једнаке углове.Рекли смо да за углове, као и за природне бројеве, важи: α + α = 2α или α + α + α = 3α, па је збир n углова α једнак nα.Аналогно томе, ако је β = 2α онда је α половина угла β. Ако је β = 3α онда је α трећина угла β. И, коначно, ако је β = nα онда је α n-ти део угла β.

За јединицу мере за мерење углова усвојен је угао који је 180 – ти део опруженог угла. Сабирањем 180 таквих углова добио би се опружен угао.

Дефинисање мерне јединице степен (угаони степен).

Дакле, тај усвојени део се назива степен ( угаони степен ), а означава се са 10.

Сад можемо рећи да опружен угао има 1800, прав 900, а пун 3600.

Истаћи ученицима да се ово мора запамтити.

Постоји справа за мерење углова која се зове угломер и користи се веома једноставно.Захтевати да ученици нацртају произвољан туп угао, па га измере угломером.Захтевати да ученици употребом угломера нацртају угао од 430.

Објаснити на табли употребу угломера, а ако је неопходно објаснити неким ученицима и у њиховим свескама.

За конструктивне задатке довољна јединица за мерење углова је степен. Међутим, за решавање практичних проблема где је неопходна прецизност, уводе се и мање јединице: минут (угаони минут) и секунд (угаони секунд).Минут је шездесети део степена и означава се са 1'. Дакле, 60' = 10.Секунд је шездесети део минута и означава се са 1''. Дакле, 60'' = 1'.

Констатовати да се и у првом и у другом случају добио пун угао, али не изводити никакв закључак о збиру унутрашњих и спољашњих углова четвороугла.

У задацима ћемо једнаке углове означавати истим грчким словом.Ако је угао α мањи од угла β писаћемо: α < β.Пример 1: Израчунај збир и разлику угловаα = 780 и β = 590.Пример 2: Израчунај збир и разлику угловаα = 1130 26' 54'' и β = 580 19' 36''.Пример 3: Израчунај збир и разлику угловаα = 1130 26' 24'' и β = 580 39' 36''.Пример 4: Ако је α = 270, израчунај 2α и 3α.

Напоменути ученицима да је код примера 2 и 3 једноставније углове „потписивати“ један испод другог, што је и уобичајено за сабирање и одузимање вишеименованих бројева.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Мерење углова“ и ураде примере 1, 2, 3, 4, 5 и 6 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика.


Разред: V


Датум: 9


Наставна јединица: Мерење углова


Облик рада: Диференцирана настава

Наставна средства: Табла, фломастери, угломер, лењир





Захтевати да ученици наброје мере за мерење углова, да их упоређују, да претварају једне у друге. То се може реализовати кроз следеће примере:1.Шта је веће:а) 10 или 68'б) 2' или 115''в) 30 или 1100''?

Овај део часа не треба да траје дуже од 5 минута.

Захтевати да ученици нацртају произвољан троугао, а затим угломером измере сва три унутрашња угла и упореде их. Након тога нека измере сва три спољашња угла и упореде их.Кад су измерили унутрашње углове нека их

Овде је добро истаћи да што је унутрашњи угао мањи, његов одговарајући спољашњи угао је већи.

саберу. Затим нека саберу и спољашње углове.


Диференцирани приступ вежбању има идеју да основни захтев (под а) буде доминантан и обавезан за све ученике, док су остали делови приступачни за оне ученике који брже савладавају градиво.

Задаци се ученицима презентују коришћењем наставних листића, како би неурађени задаци могли послужити за домаћи задатак. Нагласити да се задаци раде по реду јер је негде додатни захтев нерешив без основног.

Овако би наставни листић могао да изгледа:1. Коришћењем угломера нацртај угао:а) чија је мера 360

б) чији је комплементни угао 290

в) чији је суплементни угао 1020

г) који је једнак свом комплементном углуд) који је једнак свом упоредном углу.2. Степеном изрази меру следећих углова:а) прав угао има ________0

б) опружен угао има _______0

в) пун угао има ________0

г) туп уга има више од ____0, а мање од _____0

д) сваки неконвексан угао има више од _____0

ђ) угао 6 пута мањи од пуног има ______0

е) уаго двоструко већи од нултог има_____0

ж) угао који износи четвртину опруженог угла има _____0.3. Дат је угао α = 460. Одреди меру угла β којиа) је комплементан са αб) је суплементан са αв) је упоредан са αг) је унакрсан са αд) је за 110 већи од αђ) је за 270 мањи од αе) је двоструко мањи од αж) је три пута већи од αз) је за 140 већи од двоструке вредности α.4. Одреди комплементан угао β и суплементан угао γ за огао α ако је његова мера:а) 370

б) 370 37'в) 370 37'37''.5. Колико минута, а колико секунди има угао α ако је његова мера:а) 90

б) 90 9'в) 90 9' 9'' ?

6. Следеће углове дате једноименим бројем претвори у вишеимене:а) 139'б) 2010''в) 238' 56''.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде са листића све преостале примере. Наравно да се од просечних ученика не очекује да ураде све захтеве, већ од сваког примера по онолико захтева колико процене да знају.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика и самопроцену стеченог знања..


Разред: V


Датум: 10


Наставна јединица: Мерење углова


Облик рада: Индивидуализирана настава

Наставна средства: Табла, фломастери, угломер, лењир, видеобим








1. Одреди комплемент и суплемент угла α чија је мера:а) 10

б) 1'в) 1''.2. Одреди комплемент и суплемент угла α чија је мера:а) 2010'б) 6030''.3. Одреди збир и разлику углова α и β ако је3α = 100 и β +220 22' 22'' = 330 22'11''.4. Одреди угао α који је од свог комплемента:а) већи за 15'б) мањи за 30 2' 1''в) мањи за половину правог угла.5. Одреди угао α који је од свог:а) комплемента већи 4 путаб) суплемента мањи 14 пута.

6. Одреди угао α који је за 20 већи од половине свог комплемента.7. Одреди угао α чија би половина увећана за 30 била једнака његовом суплементу.8. Одреди угао α који је за 40 мањи од половине свог комплемента.9. Одреди угао α који је 5 пута мањи од збираα + β + γ, где је угао β његов комплемент, а угао γ суплемент.10. Један од четири угла које одређују две праве које се секу је за 300 већи од другог. Нацртај, користећи угломер, те две праве.11. Један од четири угла које одређују две праве које се секу је 4 пута мањи од другог. Нацртај, користећи угломер, те две праве.

Задаци се ученицима презентују коришћењем видеобима. Задаци су сортирани према тежини захтева, па их треба радити по реду, тако да ће сваки ученик прилагодити брзину израде свом знању. То је добро јер мање успешни ученици неће успоравати успешније.


За домаћи задатак задати сваком ученику следећа два задатка од оног до ког је у току часа стигао. Уколико је неко успешно решио све задатке, за награду неће имати домаћи задатак.

Циљ оваквог домаћег задатка је да се ученик издигне на мало виши ниво.


Разред: V


Датум: 11


Наставна јединица: Паралелне праве и њихова трансверзала и углови које оне одређују



Наставна средства: Табла, фломастери, шестар, лењири

Исходи наставног рада:

По завршетку овог часа ученик треба да: усвоји појам трансверзала паралелних правих схвати појам трансверзалних углова уочава парове једнаких као и парове суплементних углова међу

трансверзалним угловима



Час започети израдом следећа два примера:1.Нацртати две праве које се секу и обележити један од тако добијена четири угла. Одредити меру преостала три угла, ако је мера обележеног 570.2. Нацртати три праве које се секу у трима тачкама и које одређују шест парова унакрсних углова. Нека је код сваке тачке познат по један угао, на пример: 440, 1100 и 660. Одредити меру преосталих девет углова.



Надовезати причу на цртеж из примера 2:Ако су две од тих правих паралелне, постоје две пресечне тачке, па је одређено четири пара унакрсних углова.Права која је непаралелна назива се трансверзала паралелних правих.

Овде дефинишемо појам трансверзала.

Нека су паралелне праве а и b пресечене трансверзлом t и нека су А и В пресечне тачке правих а и t, односно b и t.Углови са теменом А су: α1, α2, α3 и α4, а са теменом В су: β1, β2, β3 и β4. Са слике се види да су следећи углови једнаки као унакрсни:α1 = α3, α2 = α4, β1 = β3, β2 = β4.

Такође се са слике види да су следећи углови упоредни:α1 + α2 = α2 + α3 = α3 + α4 = α4 + α1 = 1800

β1 + β2 = β2 + β3 = β3 + β4 = β4 + β1 = 1800.

Овде се остварује повезаност ове теме са темом где су обрађени унакрсни и упоредни углови.

Ако сад замислимо да тачка А клизи по правој t до тачке В и помера праву а са собом, кад се тачка А поклопи са тачком В и права а ће се поклопити са правом b. Онда ће се поклопити и одговарајући углови, па је:α1 = β1, α2 = β2, α3 = β3, α4 = β4.Из једнакости са унакрсним угловима се може закључити и:α1 = β3, α2 = β4, α3 = β1, α4 = β2

као и :α1 + β2 = α2 + β1 = α3 + β4 = α4 + β3 = 1800.

Овде је циљ утврдити парове једнаких и парове суплементних углова међу трансверзалним угловима.

Дакле, ако су праве а и b паралелне, важе једнакости:α1 = α3 = β1 = β3 и α2 = α4 = β2 = β4,

и било који од углова: α1, α3, β1, β3 је суплементан са било којим од углова: α2, α4, β2, β4.

Уколико остане времена може се урадити следећи пример:Нацртати праве а и b пресечене трансверзалом t и од насталих осам углова једном оштром дати меру 650, а од ученика захтевати да израчунају преосталих седам.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, Циљ овако конципираног

ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Паралелне праве и њихова трансверзала и углови које оне одређују“ и ураде примере 1, 2, и 3 који су дати у оквиру тог текста.

домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика.


Разред: V


Датум: 12


Наставна јединица: Паралелне праве и њихова трансверзала и углови које оне одређују





По завршетку овог часа ученик треба да: усвоји појам трансверзала паралелних правих схвати појам трансверзалних углова уочава парове једнаких као и парове суплементних углова међу

трансверзалним угловима



Анализирати домаћи задатак и проверити колико је ученика успело да реши Пример 3, односно да конструише праву паралелну датој.Затим демонстрирати на табли ту конструкцију:Нацртати дату праву р и тачку Q ван ње.Кроз тачку Q нацртати произвољну праву t која сече р у тачки Р. Један од насталих углова са теменом у тачки Р пренети на одговарјуће место са теменом у тачки Q, а да му један крак буде права t.

Уводном делу часа посветити 15 минута. Конструкција није тешка, али је потребно детаљно образложити сваки потез.


Да би се увежбала метода конструкције паралелне праве, задати ученицима следећи пример:Пример 1: Дате су три неколинеарне тачке: А, В и С. Конструиши праву с која садржи С и паралелна је правој а (А, В) .

Наставник увидом у свеске ученика осварује увид у степен усвојености обрађене методе.

Пример 2: Нацртати два пара паралелних правих који се међусобно секу. Дати меру једном од оштрих углова 230, па захтевати да се одреди мера преосталих пенаест углова насталих њиховим пресеком.

Обавезна скица „мреже“ паралелних правих.

Пример 3: Ако су дате паралелне праве а и b пресечене правом t, одреди свих осам углова са слике, ако је:а) један од њих за 180 већи од другогб) један од њих 8 пута мањи од другогв) збир два угла 1350

г) разлика два угла 110

д) збир свих тупих 4440

ђ) један од њих једнак трећини опруженоге) један од њих комплементан углу од 330

ж) један од њих суплементан углу од 1230.

Дефинисање појмова тангента и сечица.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати из Збирке задатке 1, 2 и 3 са стране 32.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика.


Разред: V


Датум: 13


Наставна јединица: Углови са паралелним крацима



Наставна средства: Табла, фломастери, шестар, лењир, угломер


По завршетку овог часа ученик треба да: на „мрежи“ паралелних правих уочава једнаке и суплементне

углове одређује мере парова једнаких или суплементних углова са

паралелним крацима



Ако је у равни дат произвољан оштар угао и тачка S у његовој области, угао са датим теменом S који би са њим требало да има паралелне краке није једнозначно одређен. Постоје четири различита случаја.

Нацртати сва четири случаја коришћењем прибора за геометрију на табли. ( слика 79 са стр. 80 у Уџбенику )

Тражени угао може бити или оштар или туп. Захтевати од ученика да угломером одреде величину и датог и добијена четири угла. Запажа се да су два добијена оштра угла једнака са полазним, док су преостала два тупа са њим суплементна.

Заједно са цртањем четири случаја, овом делу часа посветити 15 минута.


Треба да покушамо да докажемо ово што смо мерењем утврдили. Доказати значи уверити се да је за било који случај тачно неко тврђење чију смо тачност проверили у неком посебном случају.

За било који од четири наведена случаја, доказ ће тећи у истом смеру.Продужићемо кракове и задатог и добијеног угла преко темена, тако да се формира „мрежа“ паралелних правих. Сада је једноставно уочити парове трансверзалних углова који су једнаки односно суплементни.

Доказ неће зависити од положаја тачке S у равни задатог угла.Зато ћемо од ученика захтевати да нацртају произвољан туп угао и тачку S ван његове области, а затим да одреде све углове са теменом у S који ће са задатим углом имати паралелне краке.

Нацртати сва четири случаја коришћењем прибора за геометрију на табли. ( слика 84 са стр. 81 у Уџбенику )

Поново захтевати од ученика да угломером одреде величину и датог и добијена четири угла.Запажа се да су два добијена тупа угла једнака са полазним, док су преостала два оштра са њим суплементна.

Дакле, можемо закључити следеће:За два конвексна угла са паралелним крацима важи:- Ако су оба угла оштра или оба тупа, тада су они једнаки.- Ако је један угао оштар, а други туп, тада су они суплементни.

Даљи ток час усмерити на решавање следећег примера:Пример 1: Одреди меру два угла са паралелним крацима, ако је њихов збир једнак:а) троструком правом углуб) трећини правог углав) четвртини правог угла.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: „Углови са паралелним крацима“ и ураде задатке 1, 2 и 3 који следе за том лекцијом.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма углова са паралелним крацима.

припреме наставника

Разред: V


Датум: 14


Наставна јединица: Углови са паралелним крацима



Наставна средства: Табла, фломастери, фломастери у боји, шестар, лењир, угломер


По завршетку овог часа ученик треба да: на „мрежи“ паралелних правих уочава једнаке и суплементне

углове одређује мере парова једнаких или суплементних углова са

паралелним крацима



Анализирати домаћи задатак. Уколико није било нејасних делова можемо тражити да неко од ученика понови закључке о угловима са паралелним крацима, па прећи на израду примера.




1. Нацртај употребом угломера два угла са паралелним крацима тако да је:

а) њихов збир 1280

б) њихова разлика 500

2. Да ли су унакрсни углови углови са паралелним крацима?3. Нацртај два једнака конвексна угла са паралелним крацима, тако да њихов пресек буде:а) четвороугаоб) угаов) дужг) празан скупд) полуправађ) тачка..4. Ако је угао α неконвексан и износи 2000, одреди меру угла који са њим има паралелне краке.( Напоменути ученицима да постоје 4 различита случаја.)5. Да ли се угао α – 160 =320 и угаоβ + 190 = 1510 могу довести у положај у коме ће им краци бити паралелни?6. Да ли се угао α : 3 =320 и угао 4β = 3360 могу довести у положај у коме ће им краци бити паралелни?7. Нацртати на табли паралелограм ABCD чији је угао α = 670, па захтевати да се одреде преостала три унутрашња угла.8. Нацртати на табли паралелограм ABCD чији је спољашњи угао α1 = 1230, па захтевати да се одреде сва четири утрашња угла.


За домаћи задатак урадити преостале задатке са наставног листића.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма углова са паралелним крацима.


Разред: V


Датум: 15


Наставна јединица: Угао

Тип часа: Час систематизације градива ове наставне теме



Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада свим појмовима и операцијама обрађеним у овој

теми



Тражити од ученика усмене одговоре на следећа „блиц“ питања:1. Колико један степен има минута?2. Колико прав угао има степени?3. Колико пун угао има степени?4. Како зовемо праву која сече две паралелне праве?5. „Лењир“ за мерење углова назива се ____?6. Ком углу је једнака половина опруженог угла?7. Ком углу је једнака половина пуног угла?



1. Угломером нацртај углове = 35, = 78 и = 43. Конструиши угао:

а) + - б) 2 - + .2. Одреди мере, а затим и нацртај два упоредна угла од којих је један пет пута већи од другог.3. Дат је угао = 45 35’ 55’’. Одреди меру угла који је:а) комплементан углу б) суплементан углу в) унакрсан углу г) за 4 15’ 30’’ већи од угла д) три пута већи од угла .4. Одреди меру упоредног угла углу α ако је: 4α – 20 = 730.5. Одреди збир углова комплементних са α и β ако је: α - 130 14'15'' = 230 22''21'' и β + 160 16'16'' = 500.6. Одреди углове α и β ако је: α + β = 2000 и α - β = 220 22' 22''.7. Одреди меру угла који је једнак трећини збира половине правог и осмине опруженог угла.8. Одреди меру угла који је двоструко већи од разлике трећине пуног и петине опруженог угла.


За домаћи задатак задати из Збирке задатке 5, 6, 7 и 8 са стране 33.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да се још једном осврну на углове са паралелним крацима.


Разред: V


Датум:

Наставна тема: Дељивост бројева

Наставна јединица:

Дељење у скупу N0 (једнакост

)



Наставна средства:

Табла, фломастери


По завршетку овог часа ученик треба да: уме да, применом писменог дељења два природна броја, утврди да

ли је први дељив дељив другим или не уме да изведе једнакост на конкретном примеру



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на поступак дељења и дељења са остатком који су реализовани у претходним разредима.


Један од могућих почетака часа је постављање следећих задатака:

1. (Пример 1) Број 385 поделити са 5.

2. (Пример 2) Број 361 поделити са 7.

Циљ ових задатака је да се ученици подсете поступка писменог дељења и чињенице да се два природна броја не могу увек делити без остатка.

Следеће питање је: Како називамо број 33 у првом, а како бројеве 51 и 4 у другом примеру?

Циљ овог питања је да се ученици сете појмова количник и остатак.

Наредно питање је: Да ли је број 385 дељив са 5? Да ли је број 361 дељив са 7?

Циљ ових питања је да ученици примете да је 385 дељив са 5, а да 361 није дељив са 7 због добијеног остатка при дељењу .

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа бавити дељењем у скупу N0 (и на табли написати назив наставне јединице).


Следеће питање је (Пример 3): У примеру 1 видели смо да је 385 : 5 = 77. Да ли су тачне и следеће једнакости 385 : 77 = 5, 5 ∙ 77 = 385, 77 ∙ 5 = 385?

Циљ овог питања је да ученицима илуструје већ познату везу између операција множења и дељења, која ће бити неопходна за обраду ове наставне теме.

Код претходног примера треба нагласити да једнакост 385 : 77 = 5 значи да је број 385 дељив и са 77, који је добијен као количник при дељењу 385 са 5.

Пример 4: Проверити да ли број 385 дељив са 11, 7, 35.

Циљ овог примера је да ученици наслуте везу између једнакости 385 = 5 ∙ 77 и дељивости броја 385 са 11, 7 и 35. После решавања примера треба нагласити да, због 77 = 7 ∙ 11, важи 385 = 5 ∙ 7 ∙ 11 и довести последњу једнакост у везу са примером 4. Може се од ученика захтевати да пронађу још један делитељ броја 385 (55).

Пример 5: Наћи бар 5 различитих бројева којима је дељив број 60.Пример 6: Са колико различитих бројева је дељив број 18?

Циљ ових примера је да се истакне проблем налажења свих делилаца природног броја, који ће бити решен на наредним часовима.

Следећи корак: После примера дељивости треба прећи на примере дељења са остатком, како би дошли до једнакости

.

Пример 7: Одредити остатак при дељењу 4316 са 23.Пример 8: Може ли остатак при дељењу са 23 бити 25?

Ове примере треба искористити да се ученицима укаже на чињеницу да остатак који се добија мора бити мањи од 23.

Пример 9: Која од следећих једнакости је тачна?а) 4316 : 23 = 187 б) 4316 : 23 = 187 + 15в) 4316 = 23 ∙ 187 г) 4316 = 23 ∙ 187 + 15

Циљ овог примера је да се отклоне недоумице које ученицима може да створи појава остатка.

Следи покушај да ученици на конкретним примерима уоче једнакост

После примера 9. треба затражити од ученика да резултате добијене у примерима 1. и 2. запишу у облику једнакости г).

Овде треба истаћи чињеницу да се дељење са остатком природног броја a природним бројем b увек може изразити преко једнакости

.

Пример 10: Одредити количник и остатак при дељењу и написати одговарајућу једнакост којом се изражава дељење са остатком:а) 451 са 12 b) 235 са 11


У завршном делу часа се помоћу наставних листића врши петоминутно проверавање, са следећим садржајима:1. Да ли је број 1764 дељив са 12?2. Наћи 3 различита броја којима је дељив број 30.3. Одредити количник и остатак при дељењу 297 са 9 и написати одговарајућу једнакост којом се изражава дељење са остатком.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима и коришћеним процедурама.Напомена: Петоминутно проверавање се реализује уколико то време дозволи. Уколико не преостане времена може се реализовати на почетку следећег часа.

За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да:

1. Проуче из уџбеника текст: '' Дељење у скупу N0

(једнакост )'';2. Ураде из уџбеника задатке: 2,

3, 5 и 7.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању садржаја реализованих у току часа.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Појам дељивости; чиниоци и садржаоци природног броја



Наставна средства: Табла, фломастери

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: Зна шта је садржалац, а шта делилац природног броја Уме да пронађе бар три делиоца сложеног природног броја



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.


Један од могућих почетака часа је пример 1:Пронаћи што је могуће више различитих делилаца броја 42.

Циљ овог примера је да доведе до постављања проблема налажења свих делилаца природног броја.У решењу примера треба навести делиоце 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42 и исписати одговарајуће једнакости ( 42 = 1 ∙ 42, 42 : 1 = 42, 42 = 2 ∙ 21, 42 : 2 = 21...).На крају нагласити да се дати бројеви називају и чиниоцима броја 42, а број 42 њиховим садржаоцем.

Следеће питање је: Да ли су ово сви делиоци (чиниоци) броја 42? Како можемо наћи све делиоце неког природног броја и колико их има?

Нагласити ученицима да ћемо се овим проблемом бавити на овом и наредним часовима.

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа бавити чиниоцима и садржаоцима природног броја (и на табли написати назив наставне јединице).


Корак који следи је покушај да ученици самостално дефинишу дељивост природних бројева.Треба инсистирати да се дефиниције појма дељивости, али и појмова делилац (чинилац) и садржалац, запишу у свеске.

Може се очекивати да ће прва идеја ученика за дефиницију дељивости бити дељење без остатка тј. дељење са остатком 0, али их преко једнакости записаних у примеру 1. треба навести на једнакост

Пример 2: Који од наведених бројева су садржаоци броја 7?а) 14 б) 19 в) 5 г) 56

Циљ овог питања је да ученици самостално дођу до закључка бројеви 14 и 56 јесу, а 19 и 5 нису садржаоци броја 7 (и зашто нису).

Овде треба нагласити чињеницу да садржалац датог природног броја не може бити мањи од тог броја.Такође треба нагласити да је број 0 дељив сваким природним бројем 0 : n = 0.

Пример 3: Који од наведених бројева су делиоци броја 80?а) 16 б) 1 в) 7 г) 100 д) 80

Циљ овог примера је да ученици самостално дођу до закључка да бројеви 16, 1 и 80 јесу, а 7 и 100 нису делиоци

броја 80 (и зашто).

После примера 3. треба нагласити:1. да делилац природног броја не може бити

већи од тог броја2. једнакост , тј. чињеницу да су делиоци сваког

природног броја: број 1 и он сам.

Пример 4: Бројеви 45 и 18 су дељиви са 9. Проверити да ли су њихов збир и њихова разлика такође бројеви дељиви са 9.

Циљ овог примера је да се покаже да су и бројеви 45 + 18 и 45 – 18 дељиви са 9.

Треба нагласити да ово својство важи у општем случају, али не треба инсистирати да се то уопштење записује до следеће наставне јединице.

Сада се може поставити питање: Да ли важи и обрнуто?

Пример 5: Број 12 се може записати као збир бројева7 и 5. Број 24 је дељив са 12, али не и са 5 и 7.

Циљ овог примера је да одговори на питање које се намеће после примера 4.

Пример 6: Наћи све делиоце броја 5.Пример 7: Наћи све делиоце броја 28.Пример 8: Колико двоцифрених садржалаца има број 21?Пример 9: Наћи најмањи троцифрен садржалац броја 7.

Циљ ових примера је да се кроз примере утврде појмови делиоца и садржаоца.


У завршном делу часа се помоћу наставних листића врши петоминутно проверавање, са следећим садржајима:

1. Наћи све троцифрене садржаоце броја 90.2. Колико једноцифрених чинилаца има број

20?



3. Проуче из уџбеника текст: '' Појам дељивости; чиниоци и садржаоци природног броја '';

4. Ураде из уџбеника задатке: 1, 2, 5. и 6.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма једначине, решења једначине и поступка решавања једначина


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Дељење у скупу N0 (једнакост

); Чиниоци и садржаоци природног броја

Тип часа: Час увежбавања

Облик рада: Фронтални, индивидуални



По завршетку овог часа ученик треба да: Успешно решава најједноставније задатке везане за дељење

природних бројева




Уводни део часа не треба да траје дуже од 7-8 минута


Увежбавање садржаја везаних за дељење природних бројева врши се кроз примере које ученици индивидуално решавају, при чему се ученицима који раде брже може понудити додатни задатак.

Уколико има могућности, наставник може презентовати задатке путем графоскопа или видеобима.Не препоручује се да се сви задаци презентују одједном, већ редоследом: а) 1. – 3. б) 4. и 5. в) задатак 6.-8.

Следећи корак је увежбавање садржаја везаних за дељење без остатка.

Један од могућих избора задатака је:1. Показати да је број 2888 дељив са 19, па

затим написати преостале три тачне једнакости којима се илуструје веза множења и дељења природних бројева.

2. Одредити бар 5 различитих делилаца

Задаци 1. – 3. илуструју дељење без остатка. Слични примери су већ урађени на часу, па се може захтевати од ученика да их индивидуално решавају.Мора се имати у виду да ученици задатке решавају различитим темпом, па се додатни

броја 72.3. Одредити све делиоце броја 10.

задатак може понудити ученицима који раније реше претходне задатке.

4. Наћи све садржаоце броја 36 који су мањи од 200.

5. Да ли је број 253 садржалац броја 3?

Следећи корак је увежбавање садржаја везаних за дељење са остатком.

6. Одредити количник и остатак при дељењу 6810 са 21 и написати одговарајућу једнакост којом се изражава дељење са остатком.

7. Написати све бројеве друге десетице који се могу добити као остаци при дељењу са 17.

8. Перици је рођендан и понео је бомбоне како би послужио другаре из одељења. Ако Перица има 122 бомбоне и 29 другара, помозите му и одговорите: По колико највише бомбона може да даје другарима? Колико ће на крају остати Перици?

Задаци 6. и 7. илуструју дељење са остатком. Слични примери су већ урађени на часу, па се може захтевати од ученика да их индивидуално решавају.Седми задатак илуструје примену дељења са остатком.

Решења задатака треба да се испишу на табли, при чему треба водити рачуна да се решења и објашњења повере просечним ученицима који се јављају.За то време наставник може прегледати решења додатног задатка оним ученицима који су га решавали и онима који га нису решили дати смернице како би га урадили код куће.

Оваквим начином рада постиже се да сви ученици буду запослени, а да ученици који спорије раде имају времена да реше задатке неопходне разумевање ове и прелазак на следећу наставну јединицу.

Додатни задаци могу бити:1. Збир два броја је 825. Када се већи

подели мањим добија се количник 8 и остатак 15. Који су то бројеви?

2. Колико има троцифрених природних бројева чија је прва цифра дељива са 4, друга са 5, а трећа са 6?

Додатни задаци се дају ученицима који са лакоћом решавају задатке који се раде на часу. Ти ученици се на редовној настави често досађују и треба им понудити садржаје којима ће попунити слободно време које имају на часу. Ови примери ће им вероватно бити занимљиви.


У завршном делу часа наставник може кратко продискутовати са ученицима о тежини урађених задатака.

Ово може да укаже на евентуалне недостатке које треба отклонити пре преласка на следећу наставну јединицу.

За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из збирке задатке: 4, 7, 8 и 9.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појмова дељивост, делилац, количник и остатак и поступка дељења са остатком.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Основна својства дељивости





По завршетку овог часа ученик треба да: успешно примени наведена својства дељивости на збир, разлику и

производа природних бројева





Ученике треба мотивисати да се подсете појмова делилац и садржалац.

У следећем кораку се може истаћи да ћемо се на часу бавити особинама дељивости бројева и на табли написати назив наставне јединице.


Питање: Да ли постоји природан број који је делилац сваког природног броја?

Циљ овог питања је да се ученици сете да је сваки природан број дељив

бројем 1.

После овог питања на табли треба исписати одговарајуће једнакости које следе из n : 1 = n.

Циљ је да ученици примете једнакост n = n · 1 тј. чињеницу да је сваки природан број дељив самим собом.

Када су ученици приметили да је сваки природан број дељив самим собом, треба инсистирати да то и запишу у свеске као својство 1.

Пример 2: Бројеви 72 и 18 су дељиви са 9. Провери да ли су њихов збир и њихова разлика дељиви са 9.

Циљ овог примера је да ученици примете да су и бројеви 72 + 18 и 72 – 18 дељиви са 9.

У следећем кораку се ученицима може наговестити да ова особина важи увек. То се може урадити коришћењем примера 3:Пример 3: Нека су a и b, а>b природни бројеви дељиви бројем 5. Доказати да су тада и бројеви a + b и a – b дељиви са 5.

Уколико сматра да је потребно, наставник може и овај пример илустровати конкретним бројевима.

У следећем кораку треба мотивисати ученике да формулишу уопштење претходног примера и инсистирати да се та формулација запише у свеске (као својство 2).

Питање: Да ли важи и обрнуто: ако је a + b (или a – b) дељив неким природним бројем n, да ли можемо рећи да су и бројеви a и b дељиви са n?

Ученици 5. разреда неће разумети да је претходно својство импликација и треба их одмах уверити да обрнуто не важи. То се постиже навођењем контрапримера (нпр. збир и разлика бројева 11 и 5 су дељиви са 2...)

После овога се може прећи на треће својство (ако је природан број а дељив бројем p · q, онда је а дељив бројем р и бројем q).Треба кренути од конкретног примера, рецимо: број 105 је дељив са 15, 15 = 3 · 5. Из овога треба извести једнакости 105 = 3 · (5 · 7) и 105 = 5 · (3 · 7), које показује да је 105 дељив и са 3 и са 5).

Доказ овог својства је једноставан и треба га извести на часу.Опет треба поставити питање: да ли важи обрнуто и контрапримером уверити ученике да не важи (нпр. број 12 је дељив са 3 и са 6, али не и са 3 · 6 = 18).

Остатак часа треба посветити једноставним примерима који илуструју примену наведених особина дељивости.

1. Које од наведених реченица су тачне:a. број 210 + 35 је дељив са 7b. број 142 + 143 је дељив са 2c. број 200 – 155 је дељив са 10d. број 96 – 32 је дељив са 8e. број 22 + 56 + 88 је дељив са 11f. број 81 + 45 – 32 је дељив са 9

Циљ ових примера је да ученицима приближе особине дељивости које су претходно обрађене на часу.Због уштеде времена пожељно је ове примере припремити на наставним листићима, који ће ученицима бити подељени после предавања.

2. Које од наведених реченица су тачне:a. број 56 · 81 је дељив са 9b. број 35 · 12 је дељив са 7c. број 5 · 11 је дељив са 13d. број 56 · 81 је дељив са 8

3. Ако је природан број а дељив са 5, а природан број b дељив са 7, тада је њихов производ a · b дељив са 35. Доказати.

4. Доказати да је збир свака два непарна броја паран број.



1. Проуче из уџбеника текст: ''Основна својства дељивости'';

2. Ураде из уџбеника задатке: 1, 2, 3 и 4.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању основних особина дељивости које су обрађене у току часа.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Основна својства дељивости




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да:



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали


проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.


Један од могућих избора задатака је:1. Које од наведених реченица су тачне:

a. број 34 · 15 + 33 · 54 је дељив са 3b. број 18 + 41 + 196 је дељив са 2

2. Написати једнакости из којих се види зашто је сваки од датих бројева дељив са 4:

a. 92 + 16 + 160b. 16 · 41c. 48 · 23 + 89 · 28 – 4

3. Наћи пример два природна броја a и b који нису дељиви са 8, а за које важи да су бројеви a + b и a – b дељиви са 8.

4. Допунити празна места бројевима пете десетице, тако да се добију тачне реченице:

a. Број 64 + је дељив са 8.b. Број 11 · + 73· 90 је дељив бројем 15.c. Број 99 · 54 + 221 · је дељив бројем 11.

5. Уместо * упиши најмањи број треће десетице, тако да се добију тачне реченице:

a. Број 64 + је дељив са 4.b. Број 99 · · 48 је дељив бројем 4.c. Број 99 · 54 + 221 · је дељив бројем 6.

6. Доказати да је производ два узастопна природна броја дељив са 2.

7. Доказати да је производ два парна природна броја дељив са 4.

8. Ако је природан број а дељив са 6, а природан број b дељив са 15, тада је њихов производ a · b дељив са 10. Доказати.

a.



Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Даља својства дељивости; једнакост

поново












Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Даља својства дељивости; једнакост

поново


Облик рада:










Разред: V


Датум:



Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5 и 4




Табла, фломастер


По завршетку овог часа ученик треба да: Уме без дељења да одговори на питање да ли је неки број дељив

декадним јединицама и бројевима 2, 5 и 4



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак.


У овом делу часа ученике треба подсетити на декадни бројевни систем и декадне јединице. Ово се може урадити коришћењем примера

2579 = 2 ∙ 1000 + 5 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 9 ∙ 1

Разумевање овог примера је предуслов за извођење правила за дељивост декадним јединицам и бројевима 2, 5 и 4

Питање: Можемо ли без дељења утврдити да ли је неки број дељив са 2, 5 или 10?

Циљ овог питања је да мотивише ученике на размишљање о проблемима дељивости који ће бити решавани у току часа.

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа бавити тражењем одговора на постављено питање (и на табли написати назив наставне јединице).


Ученике треба конкретним примерима мотивисати да заједно са наставником дођу до одговарајућих правила дељивости, а затим инсистирати да се та правила запишу у свеске.

После примера треба прећи на доказ тј. извођење одређеног правила за број

.

Питање: Када је неки природан број дељив са 10, 100, 1000...

Пример 1: Бројеве 53, 254, 50, 490, 1300 и 7000 разложити на декадне јединице.

Када се напишу одговарајући изрази за пример 1, треба их трансформисати у облик погодан за коментарисање дељивости са 10:254 = 2 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 4 ∙ 1 = 10 ∙ (2 ∙ 10 + 5) + 4Када се утврди правило дељивости са 10, треба прећи на остале декадне јединице, коришћењем истог примера.

Када се правила дељивости декадним јединицама формулишу и запишу у свеске може се прећи на пример 2, а затим, на исти начин наставити за дељивост бројевима 2, 5 и 4.

Пример 2: Којим декадним јединицама су дељиви бројеви 380, 2900, 2650, 40, 18000, 15600?

Питање: Како без дељења можемо утврдити да ли је неки природан број дељив са 2?

Ученици ће и сами извести закључак о дељивости са 2, али га треба поткрепити

Пример 3: Заокружити бројеве дељиве са 2: 125, 54, 7, 888, 6.

разлагањем датих бројева на декадне јединице.

Овде се може извести уопштење, а затим правило треба записати у свеске.

Питање: Како без дељења можемо утврдити да ли је неки природан број дељив са 5?Пример 3: Заокружити бројеве дељиве са 5: 235, 74, 80, 61.

Овде треба поновити све што је урађено код дељивости бројем 2, затим прећи на пример 4.

Пример 4: Дат је скуп

. Из скупа А издвојити подскуп В бројева дељивих са 2 и подскуп С бројева дељивих са 5.

Овде се ученицима може поставити питање: Шта је

?

Питање: Како без дељења можемо утврдити да ли је неки природан број дељив са 4?Пример 5: Заокружити бројеве дељиве са 4: 120, 54, 76, 17.

Правило и доказ извести на горе описани начин. После формулисања и записивања правила у свеске, може се прећи на остале примере.

Пример 6: Написати најмањи и највећи троцифрен број дељив са 4.Пример 7: Уместо * уписати цифре тако да број буде дељив са 4. Наћи сва решења.а) *6 б) 14* в) 23*8 г) 167*

Циљ ових примера је употреба показаних правила дељивости, али и повезивање са особинама дељивости које су научене на претходним часовима.


У завршном делу часа се помоћу наставних листића врши петоминутно проверавање, са следећим садржајима:1. Којим декадним јединицама су дељиви бројеви 80, 500, 3000, 840, 1200?2. Написати све бројеве треће десетице дељиве са 4.3. Уместо * уписати цифре тако да број 1235* буде дељив са 5. Наћи сва решења.



1. Проуче из уџбеника текст: '' Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5 и 4'';




Разред: V


Датум:



Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5 и 4




Табла, фломастер (компјутер, видеобим и платно)


По завршетку овог часа ученик треба да: Успешно примењује особине дељивости бројева и правила дељења

са 2, 4, 5 и декадним јединицама






Увежбавање садржаја везаних за дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5 и 4 вршимо такозваном ''степенастом'' индивидуализацијом, тј. радом у коме сваки ученик решава својим индивидуалним темпом задатке који су поређани од лакшег ка тежем , од једноставнијег ка сложенијем.

Задаци се ученицима презентирају путем графоскопа или видеобима. Уколико то није могуће, ученицима се могу поделити папирићи са откуцаним задацима, а онда им презентовати задатке и објаснити планирани ток часа.

Избор задатака може изгледати овако:

1. Из скупа издвојити подскуп В бројева дељивих са 4.

2. Написати најмањи и највећи троцифрен број који је:

a. Дељив са 10b. Дељив са 10, али није дељив са 100c. Дељив са 100d. Дељив са 5, али није дељив са 2

3. Уместо * уписати цифре тако да број буде

Првих пет задатка су бирани као једноставнији примери примене правила дељивости која су научена на претходном часу и основних особина дељивости.

Шести задатак има два дела. Први је дат да се види како ученици владају дељивошћу са 2, 4, 5 и 10, али и као увод у други део задатка. Други део је дат да ученици покушају да уоче да је сваки други природан број дељив са 2, сваки трећи са 3... и да то примене на скупу

дељив са 10:а) 123 + 4* б) 89* + 90 в) 753 – 52*

4. Утврдити, без израчунавања, који од датих бројева су дељиви са 5:а) 21 ∙ 46 ∙ 89 б) 33 ∙ 17 ∙ 20 в) 87 ∙ 55 + 92 ∙ 225г) 96 ∙ 35 + 47 ∙ 19

5. Које цифре се могу ставити уместо * да би број 123* био дељив са:

a. 2b. 4c. 5

6. Колико бројева друге десетице је дељиво са:a. 2 b. 4 c. 5 d. 10Колико има таквих троцифрених бројева?

7. Користећи цифре 3, 4 и 5 написати све троцифрене бројеве, којима су све цифре различите, а који су дељиви са: а. 2; b. 5.

8. Одредити скуп свих троцифрених бројева чије цифре припрадају скупу {0, 2, 3} и могу се понављати, а који су дељиви са: а. 4; b. 5.

9. Доказати да је збир два непарна броја паран број.

троцифрених бројева. При презентацији задатака, овде се може застати са питањем: Колико има троцифрених бројева?

Задаци 7. и 8. су једноставни комбинаторни задаци у којима ученици примењују правила дељивости са 2, 4 и 5. Коришћени су скупови који садрже три цифре, како се ученици не би губили у великом броју потенцијалних решења. Приликом презентације задатака, наставник ова два задатка може поткрепити примером скупа троцифрених бројева чије су цифре различите и припадају скупу {1,2,3}.

Девети задатак је дат да се види да ли су ученици разумели доказе изведене на претходним часовима (часовима обраде) и да ли су способни да и сами изведу сличан доказ.

Наставник таблу подели на 9 делова, од којих је сваки резервисан за решење једног задатка. Ученици решавају дате задатке сопственим темпом, а на табли се исписују решења неким осмишљеним редоследом. Наставник води рачуна да решења и објашњења задатака 1-5 повери просечним ученицима редоследом којим се јављају, а задатке од 6 – 9 ученицима који су задатак решили, опет редоследом пријављивања тачног решења.

Оваквим начином рада постиже се већи радни ефекат и максимална упосленост сваког ученика, јер ће сваки ученик увек имати задат следећи задатака (све до исцрпљивања листе од 8 датих задатака).

Пет минута пре краја часа рад на задацима се прекида и уколико сви задаци нису решени ученици добијају да свако од њих за домаћи задатак реши наредна три задатка у датом степенастом низу.

Домаћи задатак се задаје на овај начин, тј. опет индивидуализирано, јер је нелогично да се било ко од ученика враћа на почетну степеницу.

Уколико се деси да неки од ученика ураде све задатке пре предвиђеног времена (не може се очекивати да то буде велики број), треба им дати додатне задаке, нпр. да изведу правило дељивости са 8.


У завршном делу часа наставник од сваког ученика тражи да на добијени папирић (најбоље самолепљиви) искрено напише до ког задатка је својим самосталним решавањем дошао.

Овим поступком се врши мала интерна евалуација која може бити анонимна, али која може бити и јавна, јер ће у том случају наставник имати пун увид у ситуацију и корективним мерама (допунска настава) отклонити уочене недостатке не само код слабијих, него и код просечних и бољих ученика.

Уколико су сви задаци успешно решени, домаћи задатак се опет задаје индивидуализирано, а задаци се узимају из Збирке задатака. На пример, ученици који нису стигли до 5. задатка решавају задатке: 7, 11, 18 и 19. Ученици који су одмакли од 5. задатка решавају задатке: 20, 21 и 22.

Циљ домаћег овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању правила дељивости декадним јединицам и бројевима 2, 5 и 4, као и основним особинама дељивости бројева.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Дељивост бројевима 3 и 9



Наставна средства: Табла, фломастер


По завршетку овог часа ученик треба да: Уме без дељења да одговори на питање да ли је неки број

дељив бројевима 3 и 9





У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо у току часа одговорити на питање: Може ли се без дељења утврдити да ли је неки природан број дељив са 3, односно 9? (и на табли

написати назив наставне јединице).


Пример 1: Да ли су бројеви 123 и 152 дељиви са 3?Питање: Можемо ли без дељења са 3 одговорити на претходно питање?

Циљ ових питања је да мотивишу ученике на размишљање о проблемима дељивости који ће бити решавани у току часа.

Питање: Колики је збир цифара броја 123? А броја 152?

Циљ овог питања је да наговести правило дељивости са 3. Наставник треба да наведе ученике да примете да је збир цифара броја 123 дељив са 3, а да збир цифара броја 152 то није.

Следећи корак је извођење једнакости које ће потврдити везу између дељивости са 3 и збира цифара, на примеру бројева 123 и 152.

123 = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 3 ∙ 1...123 = 3 ∙ ( 1 ∙ 33 + 2 ∙ 3) + 1 + 2 + 3152 = 3 ∙ ( 1 ∙ 33 + 5 ∙ 3) + 1 + 5 + 2

Овде се ученицима може дати још једна потврда на примеру неког четвороцифреног броја нпр. захтевати од ученика да поделе 1572 са 3, а затим да израчунају збир цифара истог броја.

Циљ овог примера је да се ученици увере да уочена веза између дељивости броја и његовог збира цифара са 3 постоји и у овом случају.

Следећи корак је „доказ“, тј. потврда уочене везе за број

.

Ово је сасвим довољно да ученике увери у важење уоченог правила и примерено њиховом нивоу знања.

Сада се може формулисати правило дељивости са 3. Треба захтевати од ученика да ово правило запишу у свеске.

Део часа који следи треба посветити правилу дељивости са 9. Ово се може урадити на потпуно исти начин као што је урађено за дељивост бројем 3.Овде се може користити пример са бројевима 254, 873 и 156.

Број 156 узет је јер је дељив са 3, али није са 9.

Када се формулише и запише правило дељивости са 9 може се прећи на следеће примере:

1. Из скупа Ѕ = {789, 445, 786, 637, 324, 1296, 46} издвојити подскупове: А бројева дељивих са 3, В бројева дељивих са 9 и С бројева дељивих са 2. Шта представља скуп А∩С?

Циљ овог примера је, поред увежбавања дељивости са 3 и 9, уочавање везе

и правила дељивости са 6 (које се такође може записати).

2. Уместо * уписати цифре тако да број буде дељив Циљ ових примера је увежбавање примене правила дељивости

са 3. Наћи сва решења.15*46, 6737*, 5*856, *23.

3. Одредити све природне бројеве n дељиве са 9 који задовољавају неједнакост ?

4. Наћи најмањи троцифрен број дељив са:a. 3b. 9c. 9 и 4d. 3 и 5

бројевима 3 и 9.



1. Уместо * уписати цифре тако да број буде дељив са 9. Наћи сва решења.12*, 73*, 49*6, 99*55

2. Из скупа Ѕ = {221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230} издвојити подскуп В бројева дељивих са 3.



3. Проуче из уџбеника текст: '' Дељивост бројевима 3 и 9'';




Разред: V

Назив предмета:

математика (редовна настава)

Датум:



Дељивост бројевима 3 и 9




Табла, фломастер


По завршетку овог часа ученик треба да: Решава једноставније задатке везане за дељивост са 3 и 9 Решава задатке везане за дељивост бројева применом правила

дељивости са 3 и 9 заједно са претходно наученим особинама дељивости бројева






Увежбавање садржаја везаних за дељивост бројевима 3 и 9 вршимо такозваном ''степенастом'' индивидуализацијом, тј. радом у коме сваки ученик решава својим индивидуалним темпом задатке који су поређани од лакшег ка тежем , од једноставнијег ка сложенијем.

Задаци се ученицима презентирају путем графоскопа или видеобима. Уколико то није могуће, ученицима се могу поделити папирићи са откуцаним задацима, а онда им презентовати задатке и објаснити планирани ток часа.

Могући избор задатака је: Задаци су наведени по категоријама тежине: од нивоа препознавања градива до нивоа креативности.

1. Написати све бројеве шесте десетице који су дељиви са: а) 3 b) 9

2. Из скупа Ѕ = {159, 354, 223, 671, 963} издвојити подскуп В бројева дељивих са 3.

Прва четири задатка имају за циљ да се види да ли су ученици савладали правила дељивости са 3 и 9.

3. Да ли је број 987654321 дељив са 3? А са 9?4. У датим примерима замени * неком цифром тако да

добијени број буде дељив са 9: 1*8, 25*, *92, 1*23.

5. Утврдити, без израчунавања, који од датих бројева су дељиви са 3:

a. 1850 + 456b. 66 ∙ 23 ∙ 466c. 87 ∙ 492 + 84 ∙ 456

6. Написати најмањи и највећи четвороцифрен број дељив са: а) 9 b) 4 и 9

Циљ задатака 5.-8. је да се види у којој мери ученици разумеју дељивост бројева са 3 и 9 и повезују научено са претходним градивом из области дељивости.

7. Наћи најмањи троцифрен број који је дељив са 15.8. Одредити све троцифрене бројеве дељиве са 9 чије

цифре припадају скупу {2, 3, 4, 6, 7} и могу се понављати.

Задаци 7. и 8. су примери примене дељивости бројевима 3 и 9.

9. Уместо звездице у броју 3145* написати одговарајаћу цифру тако да добијени број при дељењу са 3 и 5 даје једнаке остатке. Одредити сва могућа решења.

10.Одредити најмањи и највећи шестоцифрени број са различитим цифрама који су дељиви са 9.

Задаци 9. и 10. намењени су ученицима који су у потпуности савладали претходно градиво из области дељивости и могу да решавају нестандардне задатке.

Наставник таблу подели на 10 делова, од којих је сваки резервисан за решење једног задатка. Ученици решавају дате задатке сопственим темпом, а на табли се исписују решења неким осмишљеним редоследом, на пример: 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8, 5, 9. Наставник води рачуна да решења и објашњења задатака 1-6 повери просечним ученицима редоследом којим се јављају, а задатке од 7 – 9 ученицима који су задатак решили, опет редоследом пријављивања тачног решења.

Оваквим начином рада постиже се већи радни ефекат и максимална упосленост сваког ученика, јер ће сваки ученик увек имати задат следећи задатака (све до исцрпљивања листе од 10 датих задатака).






Уколико су сви задаци успешно решени, домаћи задатак се опет задаје индивидуализирано, а задаци се узимају из Збирке задатака. На пример, ученици који нису стигли до 5. задатка решавају задатке: 6, 7, 13 и 14. Ученици који су одмакли од 5. задатка решавају задатке: 11, 17, 23 и 24.

Циљ домаћег овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању правила дељивости бројевима 3 и 9, као и основним особинама дељивости бројева.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Систематизација (првих 6 лекција)


Облик рада: Групни рад



По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставне проблеме из области дељивости

бројева


Уводни део часа



Увежбавање садржаја везаних за дељивост природних бројева врши се кроз групни рад ученика.

Праве се две групе задатака, лакша и тежа. Наставник ће теже задатке наменити групама које су састављене од бољих ученика. Ове групе садрже по 4-5 ученика. Поделу врши наставник, тако да групе буду што уједначеније.

Од преосталих ученика формирају се групе којима ће бити намењени лакши задаци (опет треба водити рачуна о уједначености група).

Наставник може припремити листиће са задацима тако да сваки ученик добије свој примерак (како би преостале задатке могао урадити код куће).

Како се не би десило да задатке решава само по један ученик у групи, треба нагласити да ће демонстраторе решења бирати наставник.

Овакав начин рада је занимљив ученицима. Сви ученици су активни. Мотивисани су да ураде што већи број задатака, како би њихова група била што успешнија.

Наставник се може одлучити и за три степена тежине, уколико сматра да дати примери нису одговарајућег степена тежине (претешки, сувише лаки) за већи број ученика у одељењу.


Прва група: Друга група:

1. Одредити количник и остатак при дељењу 2011 са 123. Написати одговарајућу једнакост којом се изражава дељење са остатком.

2. Заокружити слово испред израза чија је вредност број дељив са 9:

a. 405 + 763

b. 13 · 63 – 72 · 3

c. 5229 – 17 · 93

d. 444 · 108 – 117 · 25

3. Заокружити слово испред израза чија је вредност број дељив са 4:

a. 576 + 248 – 132

b. 256 + 300 + 126

c. 2010 · 2011 · 2012

d. 84 · 125 + 92 · 220

4. Написати све троцифрене бројеве дељиве са 4 којима су све цифре различите и припадају скупу {0, 2, 3, 5, 6}.

5. Наћи најмањи и највећи троцифрен број чија је цифра десетица 5, а који је дељив са 3.

6. Уместо * написати цифру тако да број 352*6 буде дељив са 3. Наћи сва решења.

1. Заокружи бројеве којима је дељив производ 123456 · (789 + 123): а) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 15

2. Написати све троцифрене природне бројеве, дељиве са 4, чије цифре припадају скупу {0, 1, 3, 6, 8} и могу се понављати.

3. Уместо * написати цифру тако да број 342*6 буде дељив са 12. Наћи сва решења.

4. Израчунати збир свих природних бројева који при дељењу са 6 дају количник једнак остатку.

5. Колико има четвороцифрених бројева који почињу цифром 4, завршавају се цифром 2 и дељиви су са 9?

6. Наћи најмањи природан број који је дељив са 15, а чији је збир цифара једнак 15.

Наставник може поделити таблу на два једнака дела, за сваку од група задатака по један. Свака група ученика решава своје задатке.Демонстраторе решења треба бирати из групе која се прва јавила са решењем задатка.

Пет минута пред крај часа рад на задацима се прекида. Наставник може похвалити групу која се истакла у току часа и наградити оценом њене чланове.


У завршном делу часа наставник од сваког ученика тражи да на добијеном листићу вреднује час.Листић може садржати следеће ставке:

колико је час био занимљив? Колико ти је данашњи час користио да боље разумеш

Ово омогућава наставнику повратну информацију која може бити од користи приликом планирања наредних часова.

дељивост бројева?

За домаћи задатак ученицима задати да ураде задатке које њихова група није решила у току часа.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Прости и сложени бројеви





По завршетку овог часа ученик треба да: Зна шта су прости, а шта сложени бројеви Уме да одговори на питање да ли је дати природан број (не већи

од 100) прост или сложен Уме да примени алгоритам Ератостеновог сита





Ученике треба мотивисати да се подсете појма делиоца броја и чињенице да је сваки природан број дељив бројем 1 и самим собом.

Питање 1: Колико делилаца има број 0? Циљ овог питања је да се ученици подсете да су сви природни бројеви делиоци 0.

Питање 2: Колико делилаца има сваки од бројева прве десетице?

Циљ овог питања је да ученици примете да, осим броја 1, сви бројеви прве десетице имају бар 2 делиоца (инсистирати на одговору: зашто?)

После уводних питања, ученицима се може истаћи да ћемо се на овом часу бавити управо природним бројевима који имају тачно два делиоца и на табли написати назив наставне јединице.


Сада се могу дати дефиниције простих и сложених бројева (и инсистирати да се те дефиниције напишу у свескама).

Овде треба навести скуп простих и скуп сложених бројева прве десетице као илустрацију датих дефиниција.

Питање 3: Да ли је број 1 прост или сложен?

Циљ овог питања је да одмах отклони главну недоумицу ученика по питању простих и сложених бројева.

Пример 1: Заокружити просте бројеве: 15, 19, 22, 7, 136, 9, 17.

Циљ овог примера је усвајање појмова прост број и сложен број.

Пример 2: Одредити све просте бројеве међу првих 50 природних бројева.

После овог примера треба кратко прокоментарисати однос броја простих и сложених бројева у овом скупу.

Циљ овог примера је да се ученицима покаже алгоритам Ератостеновог сита. Не би било лоше да за овај пример ученици имају припремљен списак бројева од 1 до 50 (који наставник може унапред одштампати на папирићима које ће поделити ученицима или на претходном часу захтевати од ученика да то ураде код куће).

Пример 3: Наћи све парне просте бројеве.Пример 4: Да ли су сви непарни бројеви прости?Пример 5: Да ли је број 97 прост или сложен?Пример 6: Наћи све просте делиоце броја 12. Наћи све сложене делиоце броја 12.

Примери 3 и 4 имају за циљ наглашавање битних чињеница које ученици могу да примете после примера 3, а које би требало да усвоје пре преласка на следећу тему из ове области.Циљ примера 5 је да се ученицима покаже докле треба ићи са тражењем делилаца броја пре закључка да је он прост. Ово ученици не могу да разумеју без појма корена, и треба им нагласити да ће објашњење моћи да добију у седмом разреду, али је свакако неопходно нагласити да је за бројеве мање од 100 довољно тражити делиоце међу бројевима прве десетице.Пример 6 је практично увод у проблеме које ће ученици решавати на следећим часовима.

Уколико остане времена може се прећи

на решене примере из уџбеника.



1. Најмањи прост природан број је:Најмањи сложен природан број је:

2. Написати најмањи прост број треће десетице.

3. Написати све сложене бројеве четврте десетице.



5. Проуче из уџбеника текст: '' Прости и сложени бројеви'';




Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Прости и сложени бројеви





По завршетку овог часа ученик треба да: Разликује просте од сложених бројева Пронађе просте делиоце природног броја (мањег од 100) Напише природан број (мањи од 100) у облику производа

простих чинилаца





Ученике треба мотивисати на кратко подсећање на појмове: прост број, сложен број.


Прости и сложени бројеви су врло важна, али и осетљива тема. Ученици могу имати недоумице које треба отклонити пре преласка на растављање природних бројева на чиниоце. Зато је за увежбавање ове наставне јединице добро користити класичан приступ: задатак – решење, где наставник презентује задатке један по један, а после исписивања решења на табли (од стране ученика који се јављају), кратко прокоментарише решење задатка пре преласка на следећи.

Чињеница је да се овим приступом не обезбеђује максимална упосленост сваког ученика, али се овог пута мора ставити акценат на добро разумевање градива од стране што већег броја ученика.

Један од могућих избора задатака је:1. Написати све просте и све сложене бројеве

осме десетице.2. Из скупа А = {11, 41, 51, 31, 91, 61} издвојити

подскуп Р простих бројева.3. Наћи све просте бројеве који задовољавају

неједнакост 100 < х < 120.

4. Може ли збир два различита непарна броја бити прост број?

5. Наћи најмањи природан број чији су делиоци:a. 3, 5, 11b. 2, 7, 13

6. Наћи све просте делиоце броја:a. 24b. 30g. Написати бројеве 12 и 50 у облику производа

простих бројева.

Прва четири задатка се ослањају на дефиницију простих и сложених бројева и дати су да се види у којој мери су ученици савладали ове појмове.Уколико наставник примети проблеме приликом решавања овох задатака, требало би корективним мерама да исправи пропусте пре преласка на следећу наставну јединицу.Следећа три задатка су на нивоу примене стеченог знања о простим и сложеним бројевима. Решења ових задатака морају бити пажљиво објашњена. Решавање на табли се може препустити бољим ученицима који се буду јављали, али ће додатна објашњења наставника вероватно бити потребна. Ученицима треба нагласити значај ових задатака и наговестити да ће се тим проблемима бавити на наредним часовима.

Уколико остане времена може се прећи на задатке:

8. Може ли у некој десетици бити више простих

него сложених бројева? Зашто?

9. Доказати да је збир три узастопна природна броја сложен број.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да:Ураде из збирке задатке: 3, 4, 6 и 7.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Делиоци природних бројева




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: Уме да растави природан број на просте чиниоце Уме да нађе скуп свих делилаца природног броја





Пример 1: Наћи све делиоце броја 12. Написати број 12 у облику производа простих бројева.

Ово је пример који ће наставнику послужити као увод у проблеме који ће бити обрађени у току часа.

Питање: Можемо ли за било који природан број одредити скуп свих делилаца? Како произвољан природан број написати у облику призвода простих бројева?

Ова питања треба да истакну тему часа.


Овде треба најпре истаћи да ћемо добијени скуп свих делилаца броја 12 означавати са D12 а да се поступак представљања броја у облику производа простих бројева назива растављање на просте факторе (чиниоце).

Пример 2: Написати у облику производа простих бројева број 84.

Ученике треба укључити у решавање проблема: тражити да пронађу један прост делилац броја 84. Када се 84 запише у облику производа, треба захтевати од ученика да пронађу један прост делилац другог чиниоца...

Сада када је број 84 записан у облику производа простих чинилаца, може се прећи на цртање схеме и објашњење алгоритма растављања броја на чиниоце (опет на примеру броја 84).

Пример 3: Раставити на просте чиниоце бројеве 30 и 378.

Циљ овог примера је да илуструје претходно објашњени поступак растављања броја на чиниоце.

Пример 4:Наћи скуп свих делилаца броја 30.

Пример 5: Наћи скуп свих делилаца броја 84.

Пример 6: Наћи скуп свих делилаца броја 378.

Ови примери омогућавају да се налажење свих делилаца броја изложи поступно ( у првом случају нема вишеструких чинилаца, у другом се појављује 22, а у трећем 33).

До краја часа треба наставити са примерима у којима се захтева растављање датог природног број на чиниоце и налажење скупа свих делилаца.Примере опет треба бирати од лакшег ка тежем (могу се узети бројеви 1155, 1287, 1656, 2144… ).



1. Раставити на просте чиниоце број 96.2. Наћи скуп свих делилаца броја 96.



7. Проуче из уџбеника текст: Делиоци природних бројева'';




Разред: V


Датум:



Делиоци природних бројева






По завршетку овог часа ученик треба да: успешно примењује растављање природног броја на просте

чиниоце у решавању једноставнијих проблема






На почетку часа наставник ученицима подели унапред припремљене листиће са задацима.Ученици самостално решавају добијене задатке у свескама.

Оваквим начином рада постиже се већи радни ефекат и максимална упосленост сваког ученика, јер ће сваки ученик увек имати задат следећи задатак (све до

исцрпљивања листе задатака).

Један од могућих избора задатака је:1. Раставити на просте чиниоце бројеве: 456 и

338688.2. Раставити на просте чиниоце број:

a. 8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12b. 27 ∙ 43 ∙ 134 ∙ 250

3. Одредити скупове свих делилаца за бројеве: 231 и 120.

4. Написати бар 3 троцифрена број чији је производ цифара:

a. 42b. 72

5. Написати све троцифрене бројеве чији су прости чиниоци 2, 3, 5 и 7.

6. Постоји ли природан број чији је производ цифара 1224?

7. Наћи најмањи троцифрен број чији скуп делилаца има тачно 4 елемента.

8. Производ два двоцифрена броја је 2010. Одредити те бројеве.

9. Производ два узастопна природна броја је: а) 156; b) 2070. Одредити те бројеве.

Решавање задатака на табли треба препустити ученицима који се јављају, али треба водити рачуна да се задаци 1-4 повере слабијим и просечним ученицима.






Уколико су сви задаци успешно решени, домаћи задатак се опет задаје индивидуализирано, а задаци се узимају из

Циљ домаћег овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању поступка и примене растављања

Збирке задатака. На пример, ученици који нису стигли до 5. задатка решавају задатке: 2, 3 и 5. Ученици који су одмакли од 5. задатка решавају задатке: 6 и 8.

броја на чиниоце.


Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Заједнички делилац и највећи заједнички делилац




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: Уме да напише скуп заједничких делилаца за два природна

броја Уме да нађе највећи заједнички делилац датих природних

бројева





Пример 1: Наћи скупове свих делилаца за бројеве 12 и 30.

Питање: Шта представља скуп D12 ∩ D30?

Циљ овог примера је да омогући увод у причу о заједничким делиоцима и NZD.

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа бавити заједничким делиоцима бројева и, посебно, тражењем највећег природног броја који је делилац

датих бројева (и на табли написати назив наставне јединице).


Имајући у виду да је ова наставна јединица обимна и захтевна, може се поделити тако да се за следећи час оставе узајамно прости бројеви.

После уводног примера може се прећи на дефинисање скупа заједничких делилаца и највећег заједничког делиоца. Треба инсистирати да ученици запишу дефиниције у свеске.

Ученицима треба нагласити да нас првенствено занима највећи заједнички делилац, а да ће се са проблемом налажења свих заједничких делилаца ретко сретати.

Пример 2: Наћи скуп заједничких делилаца бројева 168 и 180. Одредити њихов највећи заједнички делилац.

Циљ овог примера је да ученици увиде да је одређивање највећег заједничког делиоца налажењем скупова свих делилаца датих бројева, па онда скупа њихових заједничких делилаца, често сложен поступак.

У следећем кораку треба истаћи једнакости

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 и 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 и показати ученицима де се NZD добија као 2 ∙ 2 ∙ 3.

Ово омогућава ученицима да „виде“ да је за налажење NZD два броја довољно раставити их на просте чиниоце, без тражења скупова свих делилаца.

Пример 3: Наћи NZD (24, 36). Ученике треба мотивисати да сами пронађу решење растављањем бројева 24 и 36 на чиниоце.

Пример 4: Наћи NZD (12, 25). Циљ овог примера је да ученици примете да бројеви 12 и 25 немају заједничких простих чинилаца и покушају да одговоре на питање: Шта је онда највећи заједнички делилац?

Пример 5: Наћи NZD ( 9, 45). Циљ овог примера је да ученици примете да је NZD (9, 45) = 9 јер је број 45 дељив са 9.После овог примера, ученицима треба показати да ово важи у општем случају (за бројеве a и b, b=a∙k).

Следећи корак је поједностављивање поступка налажења највећег заједничког делиоца два броја.

Ово је најбоље урадити са бројевима коришћеним у претходним примерима.

Пример 6: Наћи највећи заједнички делилац бројева 96, 144 и 168.

Циљ овог примера је да се ученицима представи поступак налажења највећег заједничког делиоца више природних бројева.

Уколико остане времена треба прећи на увежбавање редоследом решених примера који су дати у уџбенику.



1. Наћи NZD (2, 9).2. Наћи NZD (81, 117).3. Наћи NZD (15, 30)



1. Проуче из уџбеника текст: „Заједнички делилац и највећи заједнички делилац '' до дела где се спомињу узајамно прости бројеви;

2. Ураде из уџбеника задатке: 1 и 3.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Заједнички делилац и највећи заједнички делилац - наставак

Тип часа: Час стицања нових знања / Час увежбавања



Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: Зна шта су узајамно прости природни бројеви Зна да су свака два узастопна природна броја узајамно

проста





Пример 1: Наћи NZD (5, 12). Циљ овог примера је да се ученици подсете да је NZD (5, 12) = 1.

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа и даље бавити највећим заједничким делиоцем бројева, али ћемо ставити акценат на бројеве чији је NZD једнак 1 (и на табли написати назив наставне јединице).


Сада се може рећи шта су узајамно прости бројеви (инсистирати да ученици то и запишу у свеске) и прећи на карактеристичне примере.

Пример 2: Наћи NZD (7, 13). Циљ овог примера је да ученици примете да су два проста броја узајамно прости.

Пример 3: Наћи NZD (13, 20) и NZD (13, 39). Циљ овог примера је да ученици примете да су 13 и 20 узајамно прости бројеви, а да је NZD (13, 39) = 13 (зашто?)

После овог примера може се прећи на разматрање вредности NZD (p, n), где је p прост број, а n природан број такав да:

1. n није дељив са p

2. n јесте дељив са p

Пример 4: Наћи NZD (8, 9) и NZD (14, 15). Циљ овог примера је да ученици примете да су дати узастопни природни бројеви међусобно прости.

Питање: Да ли су свака два узастопна природна броја узајамно проста?

Овде ученицима не треба понудити само одговор, већ и доказ тврђења да су свака два узастопна природна броја узајамно проста.

Остатак часа треба посватити увежбавању садржаја са овог и претходног часа.

За увежбавање се могу користити задаци:1. Да ли су дати бројеви узајамно прости?

a. 16 и 27b. 7 и 66c. 11 и 121d. 43 и 67

2. Одредити највећи заједнички делилац за бројеве: 35 и 98, 320 и 512, 1176 и 1260

3. Наћи NZD (90, 108, 120)4. Наћи скуп свих заједничких делилаца бројева 42 и 90.



3. Проуче из уџбеника текст: „Заједнички делилац и највећи заједнички делилац '' до дела где се спомињу узајамно прости бројеви;

4. Ураде из Збирке задатака задатке: 1, 2, 3 и 4.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Заједнички делилац и највећи заједнички делилац



Наставна средства: Табла, фломастери и компјутер, видеобим и платно


По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставније проблеме коришћењем највећег

заједничког делиоца



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати Уводни део часа не треба да

домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.

траје дуже од 7-8 минута

Увежбавање садржаја везаних за заједничке делиоце и највећи заједнички делилац вршимо такозваном ''степенастом'' индивидуализацијом, тј. радом у коме сваки ученик решава својим индивидуалним темпом задатке који су поређани од лакшег ка тежем, од једноставнијег ка сложенијем.

Задаци се ученицима презентирају путем графоскопа или видеобима (уколико за то има услова).


1. Одредити NZD (126, 420, 525).

2. Колико заједничких делилаца имају бројеви 15 и 21?

3. Навести три примера природних бројева који нису прости али јесу узајамно прости.

4. Одредити, без растављања бројева на просте чиниоце:

a. NZD (2010, 2011),b. NZD (3, 1000),c. NZD (12, 48).

Прва два задатка су на нивоу репродукције и такви примери су већ урађени на претходним часовима. Циљ ових задатака је да се види да ли су ученици савладали налажење NZD и скупа заједничких делилаца.Трећи задатак је дат да се види да ли су ученици разумели шта су узајамно прости бројеви.Четврти задатак је дат да се види да ли су ученици разумели особине највећег заједничког делиоца које су доказане на претходним часовима.

5. Сваки од дечака у парку има исти број плавих и исти број зелених кликера. Колико највише има дечака, ако у парку има 24 плава и 32 зелена кликера?

6. Корпе за воће треба напунити су тако да се у свакој корпи налази исти број јабука, исти број крушака и исти број шљива. Ако имамо 36 јабука, 48 крушака и 72 шљиве, колико највише корпи можемо напунити? Колико ће у свакој корпи бити јабука, колико крушака, а колико шљива?

7. Доказати да је највећи заједнички делилац било која два узастопна парна броја једнак 2.

8. Производ два броја је 8400, а њихов највећи заједнички делилац је 20. Који су то бројеви?

Пети и шести задатак представљају примере примене највећег заједничког делиоца.Седми и осми задатак су задаци нивоа креативноси и намењени су ученицима који су без тешкоћа решили претходне задатке. (Ученици који се први јаве са решењима ових задатака могу се наградити оценом.)

Наставник таблу подели на осам делова, од којих је сваки резервисан за решење једног задатка. Ученици решавају дате задатке сопственим темпом, а на табли се исписују решења неким осмишљеним редоследом. При том наставник води рачуна да решења и објашњења задатака 1-4 повери

Оваквим начином рада постиже се већи радни ефекат и максимална упосленост сваког ученика, јер ће сваки ученик увек имати задат

просечним ученицима редоследом којим се јављају, а задатке од 5 – 8 ученицима који су задатак решили, опет редоследом пријављивања тачног решења.

следећи задатака (све до исцрпљивања листе од 8 датих задатака).

Може се сматрати да је циљ часа испуњен ако су урађени задаци 1-6. Последња два задатка нису намењена редовној настави (и то треба нагласити ученицима приликом презентације задатака)


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатака задатке: 5, 6 и 7.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац





По завршетку овог часа ученик треба да: Уме да напише скуп заједничких садржалаца за два природна

броја Уме да нађе најмањи заједнички садржалац датих природних

бројева



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења


тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.

У следећем кораку ученике треба мотивисати да се сете шта је садржалац природног броја.

Циљ овог примера је да се ученици подсете шта је садржалац природног броја.

У следећем кораку се може истаћи циљ часа, тј. објаснити ученицима да ћемо се у току часа бавити заједничким садржаоцима бројева и, посебно, тражењем најмањег природног броја који је садржалац датих бројева (и на табли написати назив наставне јединице).


Пример 1: Одредити скупове свих садржалаца за бројеве 6 и 15.

Питање: Шта је S6 ∩ S15 ?

После уводног примера може се прећи на дефинисање скупа заједничких садржалаца и најмањег заједничког садржаоца. Треба инсистирати да ученици запишу дефиниције у свеске.

Ученицима треба нагласити да нас првенствено занима најмањи заједнички садржалац.

Ученицима треба показати два поступка налажења најмањег заједничког садржаоца два природна броја:

1. множење већег од њих природним бројевима редом, почев од 1, све док не добијемо неки од њихових заједничких садржалаца (који је уједно и NZS)

2. растављањем на просте чиниоце

Пример 2: Наћи скуп заједничких садржалаца бројева 9 и 12. Одредити њихов најмањи заједнички садржалац.

Наставник помоћу овог примера демонстрира ученицима наведене поступке налажења NZS(9, 12).

Питање: Када је

Пример 3: Наћи NZS(105, 15).

Питање: Када је

Пример 4: Наћи NZS(72, 108).

Пример 5: Наћи NZS(12, 15, 20).

Циљ примера 3 и 4 је понављање описаних поступака за налажење NZS, како би их ученици усвојили до краја часа.Циљ примера 5 је демонстрирање поступка налажења NZS за три природна броја.

Пример 6: Наћи NZS(8,9). Ученицима треба скренути пажњу на неке специјалне

Пример 7: Наћи NZS(10,30).

Пример 8: Наћи NZS(7, 21) и NZS(7, 15).

случајеве: када су бројеви узајамно прости, када је један од њих дељив другим, када је неки од бројева прост.

Следећи корак је истицање везе између NZD и NZS, тј једнакости

.

Ово треба илустровати са два конкретна примера (могу се изабрати неки од урађених примера) , без навођења доказа.

Уколико остане времена, може се прећи на решене примере из уџбеника.



1. Наћи скуп свих садржалаца броја 21.2. Наћи NZS (12, 20).3. Наћи NZS (2010, 2011).



5. Проуче из уџбеника текст: „Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац '';




Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац



Наставна средства: Табла, фломастер, компјутер, видеобим и платно


По завршетку овог часа ученик треба да: успешно одређује најмањи заједнички садржалац датих

природних бројева успешно решава једноставније проблеме применом најмањег

заједничког садржаоца






За увежбавање садржаја везаних за заједничке садржаоце и најмањи заједнички садржалац може се користити онај облик рада за који је наставник проценио да даје најбоље резултате током часова увежбавања у оквиру ове наставне теме.

Један од могућих избора задатака за увежбавање садржаја везаних за заједничке садржаоце и најмањи заједнички садржалац је:

3. Нађи: NZS(54, 144); NZS(32, 56, 108); NZS(20, 30, 50, 70).

4. Нађи прва три елемента скупа заједничких делитеља бројева 4 и 5, а затим нађи њихов најмањи заједнички садржалац.

5. Нађи: NZS(56, 67); NZS(9, 10809); NZS (100, 101).

6. Колико најмање деце треба да учествује у игри да би могли да се деле у екипе по 3, 5 и 7 играча?

7. Перица је покушао да сложи књиге на полицу тако што ће стављати по 3 књиге једну на другу, али му је остала 1 књига. Исто се десило и када је покушао да ређа по 4 и по 5 књига. Колико најмање књига имаПерица?

8. Одредити природан број a, ако је NZS(а, 36) =180, а NZD(a,36) = 12.

Прва два задатка дата су да се види да ли су ученици савладали налажење најмањег заједничког садржаоца датих природних бројева.У трећем задатку су дати примери специјалних случајева, код којих растављање на чиниоце није потребно.Четврти и пети задатак су примери примене најмањег заједничког садржаоца природних бројева.Шести и седми задатак су примери коришћења везе између NZD(a,b) и NZS(a,b) и бројева a и b.

9. Одредити све природне бројеве а за које важи: NZS(20, а) = 120.

10. Одредити најмањи природан број који при дељењу са 7 даје остатак 2, при дељењу са 9 даје остатак 4, а при дељењу са 12 даје остатак 7.

Осми задатак је сличан петом, али захтева додатни степен креативности ученика.


У завршном делу часа наставник може кратко продискутовати са ученицима о тежини урађених задатака.

Ово може да укаже на евентуалне недостатке које треба отклонити применом корективних мера (допунска настава).

За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатака следеће задатке: 3, 5, 6 и 9.



Разред: V


Датум:


Наставна јединица: Систематизација теме





По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставне проблеме из области дељивости

бројева


Уводни део часа

У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи Уводни део часа не треба да траје дуже

задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.

од 7-8 минута




Разред: V


Датум: 1

Наставна тема: Разломци

Наставна јединица: Својства операција сабирања, одузимања, множења и дељења децимално записаних разломака





По завршетку овог часа ученик треба да: успешно примењује особине у даљем раду, да би себи олакшо

рачунање успешно се користи различитим записима елемената скупа



У уводном делу часа треба подсетити ученике на чињеницу да записи облика

и децимални записи


( коначни или бесконачни периодични) представљају различите записе (начине означавања) елемената скупа

, кроз задатке:1) Написати децималне записе разломака:

,

.2) Написати у облику

разломак

Подсетити ученике на закон комутације и асоцијације за сабирање и множење, а нарочито на закон дистрибуције разломака

. Овај посао обавити кроз задатке3) Израчунати

.4) Израчунати

.

Сврха овог задатка је да се наговести циљ часа тј. да се те особине разломака

преносе и на особине децимално записаних разломака.


5) Израчунати Циљ задатка је примена закона комутације множења децималних разломака.

6) Израчунати збир 0,17 ∙ 2,643 + 1,83 ∙ 2,643.

У овом задатку објаснити ученицима да множење написаних производа и налажање њиховог збира захтева доста операција и да ће нас стајати доста труда.Стога им показујемо, да ако би искористили својство дистрибутивности множења у односу на сабирање, све се значајно поједностављује.

7) Израчунати применом закона комутације и асоцијације.

а)

б)

8) Израчунати на што једноставнији начин: а)

б)

в)

г)

Ученицима је поставка задатка написана на табли, ученици самостално решавају задатак у свесци, потом задатке радимо на табли (деца која су урадила тачно у школској свесци)


Док ученици раде последњи пример из претходног задатка наставник на табли записује домаћи задатак .Решити из збирке 1,2,3.

Циљ оваквог домаћег задатка је обезбедити самосталан рад на примени особина операција у скупу

Разред: V


Датум: 2


Наставна јединица: Упоређивање разломака; децимални запис

Тип часа: Час стицања знања

Облик рада: Фронтална настава


Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно упоређује разломке облика као и децималне

разломке успешно примењује у пракси



У уводном делу часа ученике подсетити како се упоређују разломци облика

довођењем на исте имениоце или бројиоце.

Овај посао обавити кроз задатак:

1) Упореди

и


.

2) Упореди

и

.

3) Упореди

и

.

4) Упореди

и

.


5) Упоредити разломке

и

6) Упореди

и

.

Задатак урадити довођењем разломака на исте имениоце тј. упоређивањем бројилаца

7) Упореди

и

Циљ задатка је уочити правило упоређивања децималних разломака без превођења у облик

, упоређивањем цифара на истим местима децималног разломка.

8) Упореди: а)

и

б)

и

в)

и

Ученици самостално раде задатак у школској свесци, потом ученици који су урадили, демонстрирају на табли.

9) Поређати по величини од најмањег до највећег:


10) Марко је читајући на полеђини паковања сока записао у свесци количину витамина: витамин

, витамин

, витамин

, витамин

mg . Помози Марку да одреди ког витамина има највише, а ког најмање у соку?

Ученици самостално раде задатак у школској свесци, потом ученик који је први урадио задатак, демонстрира на табли.

Домаћи задатак : збирка 3,4,5 ,7 Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика .

Разред: V


Датум: 3


Наставна јединица: Упоређивање разломака; децимални запис


Облик рада: Фронтална настава


Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно упоређује разломке облика као и децималне

разломке успешно примењује у пракси



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем.


Затим треба подсетити ученике на правило упоређивања децималних разломака без превођења у облик

, упоређивањем цифара на истим местима децималног разломка.

1) Упореди бројеве:а)

и

б)

и

Пример под а) ради настаник уз укратко понављање правила упоређивања док пример под б) раде ученици


Увежбавање садржаја упоређивања бројева у децималном запису вршимо избором следећих задатака.

2) Упореди бројеве:а)

и

б)

и

в)

и

Ученици самостално раде задатак у школској свесци, потом ученици који су урадили тачно, демонстрирају на табли.

.3) Из скупа бројева

одредити највећи и најмањи број.4) Поређај по величини од највећег до најмањег следеће бројеве:

.5) Бака је дала Маји 300 динара и послала је у продавницу да купи брашно , уље, шећер и за остатак себи. Ако је цена брашна 65,73 динара, уља 112, 5 динара и шећера 72, 45 динара а себи је купила бомбоне, шта је најскупље ако се Маја вратила без кусура?6) Метеролошка станица је вршила мерења током целе недеље и резултат мерења је следећи:Пон Уто Сре Чет Пет суб Нед

23,7ºC 23,9ºC 24,6ºC 27,3ºC 22,7ºC 28,1ºC 29,5ºC

Ког дана је измерена највећа а ког најмања температура?


У завршном делу часа се резимира урађено и даје домаћи задатак.

Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из збирке задатке: 2, 6, 8, 9

Разред: V


Датум: 4


Наставна јединица: Бројевни изрази




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставније бројевне изразе самостално саставља бројевне изразе



У уводном делу часа ученике треба подсетити да су раније савладали бројевне изразе и изразе са променљивим у скуну

. Овај посао обавити кроз задатке:


1) Израчунати

2)Израчунати вредност израза

ако је

.


3) Израчунати вредност израза: а)

б)

.

Циљ задатка је да у датим примерима ученици посебно треба да обрате пажњу на редослед рачунских операција, као и да се заградама наглашава којим редоследом треба вршити операције.

4) Израчунати вредност израза: а)

б)

в)

г)

Циљ задатка је да ученици стекну довољну увежбаност у извођењу основних рачунских операција са разломцима.

5) Збир бројева 2,4 и

помножи њиховом разликом.

6) Разлику бројева 2 и

подели са збиром бројева

и

.

Сврха петог и шестог задатка је да ученици сами саставе бројевни израз а затим и израчунају његову вредност.Нагласити важност коришћења заграда па чак и показати како би било без заграда и шта би била грешка.

7) Ако је Циљ задатка је да ученици схвате појам бројевног израза са променљивом, и да се заменом бројева уместо променљивих добија

и

израчунати вредност израза

.

бројевни израз без променљивих, који има своју вредност.


Пет минута пре краја часа рад на задацима се завршава, уз претпоставку да су сви задаци решени. У завршном делу часа се резимира урађено и даје домаћи задатак.

Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из збирке задатке: 4,5,9 и 13.

Разред: V


Датум: 5


Наставна јединица: Бројевни изрази (1. део)


Облик рада: Фронтални, индивидуална

Наставна средства: Табла, фломастери, графоскоп или видео бим


По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставније бројевне изразе самостално саставља бројевне изразе увиђа математички садржај у текстуалним задацима и изражава га

математичким језиком



У уводном делу часа прегледати и анализирати домаћи задатак тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.



Задаци се ученицима презентирају на табли или платну, путем графоскопа или видео бима или коришћењем наставних листића што је можда и продуктивније, јер сви задаци остају код ученика и могуће их је искористити за домаћи задатак.

1. Израчунати вредност израза

.2. Израчунати вредност изараза

.3. Од производа бројева

и

одузми количник бројева

и

4. Израчунати разлику

опруженог угла и

правог угла.5. Ако је

и

израчунати вредност израза

.6. Израчунати вредности изараза па их упореди

, па их упореди.

Сврха задатака је што боља оспособљеност ученика при израчунавањима бројевних израза.Задатке раде сви на месту по принципу „ко ће пре“. Решење на табли излаже ученик који је најбрже решио задатак или добровољац.


У завршном делу часа се ученицима задаје домаћи задатак који се састоји од неколико задатака сличних онима који су рађени на часу.

Домаћи задатак из збирке 16, 20, 22

Разред: V


Датум: 6


Наставна јединица: Бројевни изрази (2.део)



Наставна средства: Табла, фломастери и компјутер, видеобим и платно


По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставније бројевне изразе самостално саставља бројевне изразе увиђа математички садржај у текстуалним задацима и изражава га

математчким језиком






Увежбавање садржаја везаних за решавање бројевних израза вршимо такозваном ''степенастом'' индивидуализацијом, тј. радом у коме сваки ученик решава својим индивидуалним темпом задатке који су поређани од лакшег ка тежем , од једноставнијег ка сложенијем.

Задаци се ученицима презентирају путем графоскопа или видео бима.

Један од могућих ''степенастих'' избора задатака је:

1. Израчунати .


Прва четири задатка су елементарни (примери множење и дељење разломака облика





7. Ако је израчунати .

8. од подели збиром бројева и .

9. У књижари је било 1200 књига. Продавац је прве недеље продао укупног броја књига, а следеће недеље преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари?

10. Бака је Ану послала у продавницу да купи

млека,

векне хлеба у 1

кромпира. Дала јој је 350 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје

динара, векна хлеба 35 динара, килограм кромпира

динара, да ли ће Ана моћи да купи своју омиљену чоколаду од

динара?

и децималних разломака) и илуструју ниво препознавања садржаја.

Пети и шести задатак (примери бројевних израза) су проблеми нивоа репродукције.

Седми и осми задатак су проблеми нивоа разумевања.ци нивоа примене.

Девети и десети задатак су задаци нивоа примене.

Наставник таблу подели на десет делова, од којих је сваки резервисан за решење једног задатка. Ученици решавају дате задатке сопственим темпом, а на табли се исписују решења неким осмишљеним редоследом. При том наставник води рачуна да решења и објашњења задатака 1-5 повери просечним ученицима редоследом којим се јављају, а задатке од 6 – 11 ученицима који су задатак решили, опет редоследом пријављивања тачног решења.

Оваквим начином рада постиже се већи радни ефекат и максимална упосленост сваког ученика, јер ће сваки ученик увек имати задат следећи задатак (све до исцрпљивања листе од 10 датих задатака).






Уколико су сви задаци успешно решени, домаћи задатак се опет задаје индивидуализирано, а задаци се узимају из Збирке задатака. На пример, ученици који нису стигли до 5. задатка решавају задатке:2, 4,5 и 6. Ученици који су одмакли од 5. задатка решавају задатке које следе: 18, 22, 27,28 ...

Циљ домаћег овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма бројевног израза.

Разред: V


Датум: 7


Наставна јединица: Придрживање тачака бројевне полуправе разломцима



Наставна средства: Табла, фломастери, прибор за цртање

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно придружује тачке бројевне полуправе разломцима успешно упоређује разломке на бројевној полуправој



У уводном делу часа ученике треба подсетити на појам бројевне полуправе и придруживање тачака бројевне полуправе природним бројевима.Бројеве скупа

можемо придружити тачкама једне полуправе са почетном тачком

. Tачки

придружимо 0, изаберемо тачку

и придружимо јој број 1, затим природан број

придружимо тачки

тако да буде

.


1) На датој бројевној полуправој представи природне бројеве:

.

Бројевну праву и јединичну дуж на табли црта наставник а ученици одређују тачке


За одређивање јединичних дужи, када придружујемо тачкама бројевне полуправе разломке, користићемо квадратану мрежу у свескама, тако да наставник може у једном делу табле нацртати део квадратне мреже, ради лакшег објашњавања.

2) На бројевној правој одредити тачку коју можемо доделити броју

. (слика 1)Ако је тачка

придружена разломку

, кажемо да је

координата тачке

За јединичну дуж узети четири „квадратића“ и наговестити ученицима да „дужину“ јединичне дужи у квадратићима одређује именилац разломка.За јединичну дуж узети број квадратића који добијамo одређивањем

.

и пишемо

.3) На истој бројевној полуправој придружити тачке разломцима

и

. (слика 2)

4) Доделити разломцима

и

тачке једне бројевне полуправе а затим упоредити разломке.5) На бројевној полуправој прикажи бројеве

,

,

,

.Затим попуни празна места речима лево или десно:а) тачка

је ____________ од тачке

б) тачка

је ____________ од тачке

.

У овом задаку ученицима треба објаснити упоређивање бројева помоћу бројевне полуправе. Посебно треба нагласити да се већи број налази „десно“ на бројевној полуправој.

Ученицима треба поставити следеће питање: Тачку којој прудружујемо збир означити

можемо ли, знајући тачке које смо придружили разломцима, одредити тачку коју треба придружити њиховом збиру?6) На бројевној полуправој одредити тачке

и

а затим придружи тачку бројевне полуправе њиховом збиру. (слика 3)

са

и објаснити како надовезивањем дужи долазимо до ње.


У завршном делу часа се резимира урађено и док наставник задаје домаћи задатак ученици раде следећи задатак:7) Дата је бројевна полуправа. Наћи на њој тачке

и

.

Наставник на табли записује домаћи задатак:Решити из уџбеника задатке: 2, 3 и 4.

Разред: V


Датум: 8


Наставна јединица: Придрживање тачака бројевне полуправе разломцима



Наставна средства: Табла, фломастери, прибор за цртање, графоскоп или видео бим

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно придружује тачке бројевне полуправе разломцима успешно упоређује разломке на бројевној полуправој



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима код куће представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.



Основна идеја за увежбавање стечених знања је да се изврши диференцирани приступ увежбавању, коришћењем додатних захтева, тако да основни захтев буде доминантан и обавезан за све ученике, а остали захтеви исказани у деловима задатка који су необавезни, али доступни за слободно решавање свим ученицима.

Задаци се ученицима презентирају на зиду или платну, путем графоскопа (или видео бима). Задаци се могу презентирати и коришћењем наставних листића, што је можда и продуктивније, јер сви задаци остају код ученика и могуће их је искористити за домаћи задатак.Ученицима се мора нагласити да задатке раде по реду, јер додатне захтеве није могуће ни решити без основног задатка.

1. На датој бројевној полуправој представи разломке:

. (слика 4)

У овом задатку још једном ученике подсетити да „дужину“ јединичне дужи у квадратићима одређује именилац разломка.

2.а) Нацртати бројевну полуправу и на њој означи тачке

. б)Затим дате бројеве поређај по величини од најмањег до највећег ( поредак прочитај са бројевне полуправе).

Минимални захтев је представљање бројева на бројевној полуправој, а додатни захтев је да се бројеви упореде читајући са бројевне полуправе.

3. а) Назначеним тачкама на датој бројевној полуправој придружи одговарајуће разломке б) Затим бројеве напиши у растућем поретку (поредак прочитај са бројевне полуправе). (слика 5)

Минимални захтев је „читање“ координата са бројевне полуправе, а додатни захтев је да се бројеви упореде читајући са бројевне полуправе.

4. а) На датој бројевној полуправој представи разломке

. б) Потом попуни назначена места речима: ...је лево од ..., ... је десно од ..., ... поклапа се са ..., тако да се добију реченице: 1) тачка

_______________ тачке

2) тачка

_______________ тачке

3) тачка

Минимални захтев је представљање бројева на бројевној полуправој, а додатни захтев је да се допуне реченице на основу слике.

______________ тачком

4) тачка G

______________ тачке

.

5. Допуни реченице тако да буде тачне : а) Сви децимални разломци чији је цео део једнак 6 придружују се тачкама бројевне полуправе које припадају дужи чијим су крајњим тачкама придружени бројеви _____ и ______ . б) Тачка

бројевне полуправе којој је придружен разломак

налази се ______ од тачке А којој је придружен децималан разломак

. ( Упиши реч ЛЕВО или ДЕСНО). в) Ако је на бројевној полуправој тачка Р придружена правом, а тачка N неправом разломку , онда је Р ________ N . г) Ако је на бројевној полуправој тачка Р придружена правом разломку, а тачка Е броју 1, онда је Р ________Е.


Пет минута пре краја часа рад на задацима се завршава, уз претопставку да су сви основни задаци решени. У завршном делу часа се резимира урађено и задаје домаћи задатак.

За домаћи задатак, тј. утврђивање стечених знања и увежбавање реализованих садржаја, ученицима се даје диференциран домаћи задатак:1. Просечни ученици имају за домаћи да ураде из Збирке задатака проблеме: 2,4,5,6.2. Остали ученици имају два дела домаћег задатка:Први да доврше све нерешене додатне задатке и други, да реше задатке 2,3,4,5,6,7,8. из Збирке задатака.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на разумевању и квалитетном усвајању наставних садржаја везаних за израчунавање површине троугла.

Разред: V


Датум: 9


Наставна јединица: Једначине




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решавај једноставније једначине успешно примењује једначине на решавање текстуалних

задатака



У уводном делу часа ученике треба подсетити да су у нижим разредима решавали једначине у скупу природних бројева, тако да је појам једначина њима већ познат.


Затим подсетити ученике како се рачунају непознати сабирак, умањеник, умањилац, чинилац, дељеник и делилац.


1. Решити једначину

.2. Решити једначину

.3. Решити једначину

.

Циљ прва четири задатка је решавање једначина тј. проналежење вредности

тако да бројевна једнакост буде тачна.Са ученицима још једном поновити како се рачунају непознати сабирак, умањеник, умањилац, чинилац, дељеник и делилац.

4. Решити једначину

.

5. Решити једначине а)

б)

в)

г)

.

Циљ овог задатка је увежбавање решавања једначина на сложенијим примерима.

6. У земљу је закопано

стуба, а над земљом је

и

. Колика је дужина стуба?

7. Марко је замислио један број па га је увећао

пута. Затим је од тако добијеног производа одузео

и добио

. Који број је замислио Марко?

Циљ шестог и седмог задатка је да ученици увиђају математички садржај у текстуалним задацима и изражавају га математичким језиком.


Док ученици завршавају последњи задатак наставник записује на табли домаћи задатак : из збирке 5,7,10,11,12,15

Разред: V


Датум: 10


Наставна јединица: Неједначине

Тип часа: Час стицања нових знања, увежбавања стечених знања

Облик рада: Фронтални , групни



успешно решава једноставније неједначине



У уводном делу часа поновити са ученицима укратко поступак решавања једначина.Потом напоменути да слично као код једначина, за неједначине важе иста правила као и у случају неједначина у скупу природних бројева.


Како је ова наставна јединица ученицима на неки начин позната, у уводном делу нема неке велике потребе за примерима који наговештавају сврху часа.


1) Нађи све вредности променљиве

за које јенеједнакост

Решење приказати на бројевној полуправој.Обратити посебну пажњу да

, јер у супротномвредност израза

тачна.

не би припадала скупу

.

2) Реши неједначину:

.

Напоменути како се израчунава непознати чинилац.


.

Да би разлика на левој страни неједнакости постојала мора бити

.Када се умањеник не мења разлика се повећава ако се умањилац смањује.Дакле, ако је непознат умањилац у неједначини смисао (знак) неједнакости се мења.


.

Када се дељеник не мења количник се смањује ако се делилац повећава.Значи, ако је непознат делилац у неједначини смисао (знак) неједнакости се мења.

5) Реши неједначинe:а)

б)

в)

г)

.

Сврха задатка је увежбавање решавања неједначина на неким сложенијим примерима.Напомена – У свим примерима скуп решења представити на бројевној полуправој.

6) Збир бројева

и

подељен је непознатим бројем и добијен је број који није већи од

. Одреди скуп бројева у коме се налази непознати

Примена неједначина у текстуалним задацима.Ученици задатак раде у школским свескама, када се јави први ученик који је тачно урадио задатак, изводимо га да демонстрира и другим ученицима.

број.


Док ученици раде последњи задатак , наставник записује домаћи задатак : збирка 21,23,26,29.

Разред: V


Датум: 11


Наставна јединица: Једначине и неједначине





По завршетку овог часа ученик треба да: успешно решава једноставније једначине и неједначине успешно примењује једначине и неједначине на решавање

текстуалних задатака



У уводном делу часа прегледати и анализирати домаћи задатак тј. Урадити све задатке који су ученицима представљали проблем, при чему су демонстратори решења тих задатака ученици који су успешно решили домаћи задатак.



Предлог задатака на листићима је следећи:1. Решити једначине: а)

б)

в)

.2. Представи решење неједначине на бројевној полуправој: а)

б)

Задаци се ученицима презентују коришћењем наставних листића. Ученици задатке решавају у свесци а на табли демонстрирају по принципу „ко пре уради у свесци“.

Циљ прва два задатка је увежбавање самосталног решавања задатака.

Сврха трећег, четвртог и петог задатка је примена једначина и неједначина у текстуалним задацима.

в)

.3. Ако неки број увећамо за његове

, добијамо број мањи од производа бројева 0,2 и 0,5. Које вредности може имати тај број?4. Путник је бициклом за три часа прешао растојање од места А до места Б и то првог часа

целог пута, другог часа

пута који је прешао првог часа, а трећег часа преосталих

. Колико је растојање од А до Б?5. Драгана, Сања и Мира су имале заједно 290 динара. Ако Сања потроши

своје суме, Мира

своје суме, а Драгана

своје суме, остаће им једнаке суме новца. Колико је новца имала свака од њих?

Напомена- четврти и пети задатак су задаци намењени „бољим “ ученицима.


Пет минута пред крај часа рад на задацима се завршава, уз претпоставку да су сви задаци решени.У завршном делу часа се резимира урађено и даје домаћи задатак.

Наставник унапред већ припремљене задатке на папирићима дели ученицима које треба да ураде за домаћи задатак.

Домаћи задатак 1) Решити једначину:

.

2) Решити неједначину Type equation here. 3) Путник је за три часа прешао растојање од А до места Б и то: првог часа

целог пута, другог часа

остатка, а трећег часа преосталих

. Колико је растојање од места А до места Б? 4) Два друга имају 60 кликера. Ако је

броја кликера првог износи колико

броја кликера другог, колико је имао свако од њих кликера?

Разред: V


Датум: 12


Наставна јединица: Заокругљивање бројева




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: успешно заокругљује бројеве према сопственим потребама



У уводном делу часа испричати причу, Због чега имамо потребу заокругљивања бројева?Приликом израчунавања најчешће се користе децимално записани разломци. При томе се настоји да ти записи не буду „дугачки“ , јер то компликује рачунање, па уместо тачних бројева користимо приближне вредности. Иако употреба електронских рачунара олакшава израчунавања, потреба за таквим поступцима и даље постоји.


Примери: Марко је рачунао своју просечну оцену из математике на крају

школске године. Израчунао је. Да ли је то оцена или ? Цене у продавници су записане са две децимале, често имамо

потребу да заокружимо на цео број или на једну децималу Већина џепних калкулатора ради са бројевима који у свом запису

имају највише осам цифараСтога бројеве које имају више цифара него што нам је потребно замењујемо бројем чији запис има одговарајући број цифара и то тако да се новодобијени број што мање разликује од почетног. Тај посао се назива заокругљивање.


1. Броју

израчунати приближну вредност.Ученицима објаснити да постоји више могућности за одрђивање приближне вредности (заокружити на цео број, на две децимале, на пет децимала)

Приметити са ученицима да се заокругљивањем броја увек прави грешка и да је циљ да она буде што мања.

Да бисмо постигли што мању грешку заокругљивње бројева се врши Правила ученицима диктирати док они

сагласно следећим правилима:1. Ако је цифра на првом месту које се одбацује мања од 5, све цифре на сачуваним децималним местима остају непромењене.2. Ако је цифра на првом месту које се одбацује већа од 5, цифра на последњем сачуваном месту се повећава за 1.3. Ако је цифра на првом децималном месту које се одбацује једнака 5 и после ње има цифара различитих од 0, цифра на последњем сачуваном месту се повећава за 1.4. Ако је цифра на првом децималном месту које се одбацује једнака 5 и њоме се децимални запис завршава, онда се цифра на последњем сачуваном месту: а) повећава за 1 ако је непарна б) не мења ако је парна.Ако је број B добијен заокругљивањем броја A пишемо

и читамо „ А је приближно једнако B“

записују у школској свесци.

2. Заокругли на две децимале следеће бројеве:

3. Заокругли на три децимале следеће бројеве

Сврха другог и трећег задатка је увежбавање правила заокругљивања.


У завршном делу часа се помоћу наставних листића врши се петоминутно проверавање, са следећим садржајима (друга група има сличан садржај):

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. ниво усвојености наставне јединице.Напомена: Петоминутно проверавање се реализује уколико то време дозволи. Уколико не преостане времена може се реализовати на почетку следећег часа.

Док ученици раде петоминутно проверавање наставник на табли записује домаћи задатак:

Проучи из уџбеника текст: ''Заокругљивање бројева'' Реши из збирке задатке: 1, 2, 3, 4. и 5.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика .

Разред: V


Датум: 13


Наставна јединица: Аритметичка средина





По завршетку овог часа ученик треба да: упознају појам просечне вредности који се због начина

израчунавања назива и аритметичка средина на основу практичних примера разумеју суштину аритметичке

средине



У уводном делу часа ученике треба подсетити на сабирање и дељење разломака у облику

и у децималном запису. Овај посао обавити кроз


задатке:1) Израчунати (

2) Израчунати ( 1

Затим треба поставити задатак:3) На писменом задатку из математике Олга је добила оцену 3 а на усменом оцену 4. Колика је њена средња оцена из математике?

Сврха овог задатка је да се наговести циљ часа, израчунавање просечне вредности тј. аритметичке средине бројева.


Број

односно

је аритметичка средина (просечна вредност )бројева

и

.

4) Одреди аритметичку средину за бројеве:а)

и

б)

и

Сврха овог задатка је увежбавање израчунавања аритметичке средине

Затим демонстрирамо решење 4. задатка на бројевној полуправи.СЛИКАA(

) B (

)

Циљ приказивања аритметичке средине бројева на бројевној полуправи је показати да је она средиште дужи AB.

5) У току једног дана температуре су мерене три пута: ујутро 12,7ºC , у подне 18ºC и увече 15,2ºC. Израчунати просечну температуру тог дана.

Циљ овог задатка је да се ученицима покаже да се може рачунати просечна вредност и више од два броја

Аритметичку средину n бројева добијамо када њихов збир поделимо са n.

6) Аритметичка средина два броја, при чему је један 9,2 износи

. Који је други број?

У овом задатку , када имамо просечну вредност а тражимо почетни број, ученици би требало сами да увиде да до решења долазимо уз помоћ једначине.


У завршном делу часа помоћу наставних листића врши се петоминутно проверавање, са следећим садржајима:1. Одреди аритметичку средину за бројеве:

и 0,6.2. Аритметичка средина два броја, при чему је један

износи

. Који је други број?

Циљ овог подухвата је да се направи увид уоствареност предвиђених исхода тј. ниво усвојености израчунавања аритметичке срединеНапомена: Петоминутно проверавање се реализује уколико то време дозволи.

Док ученици раде петоминутно проверавање наставник на табли записује домаћи задатак:

Реши из уџбеника задатке: 1, 2 и 3. Израчунај просечну висину чланова своје

породице

Разред: V


Датум: 14


Наставна јединица: Аритметичка средина


Облик рада: Комбинација фронтално индивидуалног рада



По завршетку овог часа ученик треба да: упознају појам просечне вредности који се због начина

израчунаавања назива и аритметичка средина на основу практичних примера разумеју суштину аритметичке

средине



У уводном делу часа обавезно прегледати и Уводни део часа не треба да траје

анализирати домаћи задатак, тј. урадити све задатке који су ученицима представљали проблем.

дуже од7–8 минута

Затим ученике треба подсетити како израчунавамо просечну вредност тј. аритметичку срдину два или више броја. Овај посао обавити кроз задатак1) Одреди аритметичку средину за бројеве:а) 2,4 и 3,12б)

,

и


Увежбавање садржаја израчунавање аритметичке средине вршимо избором следећих задатака.

Задаци су подељени ученицима на папирићеученици самостално раде задатке а наставник бира ко ће да демонстрира решење на талбли.

2) Израчунај просек својих оцена из математике од почетка године.3) Бициклиста је првог сата прешао 13,1km , другог15,3km а трећег 12,4km. Којом се просечном брзином кретао?4) Молер је првог дана окречио

зграде, другог дана

а трећег

. Колико је у просеку кречио сваког дана и колико му је требало времена да окречи целу зграду?5) Драгутин Топић је на светском првенству у скоку у вис у три скока успешно прескочио висине

,

и

. Израчунати просечну висину скока нашег најуспешнијег скакача у вис.(Заокругљује се на две децимале.)

Циљ овако одабраних задатака је да ученици увиде потребу израчунавања просечне вредности у примерима из

свакодневног живота.

Седми задатак је резервни који радимо у колико нам то време дозволи.

6) Један успешан научник је у току писања важног научног рада спавао просечно по 5сати. Првог дана спавао је 4 сата, другог и четвртог по 5 сати апетог дана 8 сати. Коико сати је спавао трећег дана?Користећи податке из другог задатка које наставник записује на табли ученици добијају задатак:7) Израчунати просечну оцену из математике целог одељења (Заокругљује се на две децимале.)


Пет минута пре краја часа рад на задацима се завршава, уз претпоставку да су сви задаци решени. У завршном делу часа се резимира урађено и задаје домаћи задатак.

Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из збирке задатке: 1, 2 и 3

Разред: V



Датум: 15

Наставна тема:

Разломци


Размера и њене примене


Облик рада: Фронтални , групни


Табла, фломастери, карта Р. Србије, метар


По завршетку овог часа ученик треба да: успешно кориси размеру у пракси: при цртању и читању разних планова,

карата, графикона; при одређивању растојања (коришћењем мапа или слично); при решавању проблема поделе у датој размери и при повећавању и смањивању слика (геометријских и других)

правилно формира и разуме појам размере (преко упоређивања истоимених величина)



У уводном делу часа примерима из живота ученицима приближити појам размере.Примерима:

резултат фудбалске утакмице 2 : 3 размера на географској карти 1 : 100 000 раствори, нпр. сока

показујемо ученицима да су се они и до сада сусретали са појмом размере.


Затим треба ученике подсетити на однос мернихјединица за дужину, написати им на табли неке од њих: 1km = 1000m 1m = 10dm = 100cm

Сврха овог задатка је припремити ученике за главни део часа где ће самостално мерити и израчунавати растојања са географске карте.

1km = 100 000cma затим то применити на задатак1) Пупунити празна места:а) 23km = _______mб) 17000m = ________ kmв) 235m = ________cm


Главни део часа ћемо почети са објашњењем размерена географској карти.Размера 1 : 1 000 000 представља однос дужина накарти и у природи 1cm на карти представља дужинуод

у природи (ваздушном линијом)

За овој сео часа обезбедити карту Р. Србије и мерни инструменат (грађевински метар)

Затим ћемо ученике поделити у три групе водећи рачуна о саставу сваке групе и поделити задатак:2) Ако је размера на географској карти 1 : 100 000израчунати растојање (ваздушном линијом) измеђуследећих градова:1. група: Ваљево – Нови Сад2. група: Београд - Суботица3. група: Пирот - Чачак

Наставник у оваквом раду има времена дапогледа у свеску скоро свако ученика и да се лично увери у степен његовог ангажовања, да одабира кога ће ангажовати за мерења са карте.Циљ овог задатка је оспособити ученике закоришћење размере у пракси.

3) Одреди

тако да је тачна једнакост

4) Одредити

, тако да размере:а)

и

б)

и

буду једнаке.

Циљ овог задатка је да ученици схвате једнакост две размере.

5) Дата је дуж

. Поделити дуж у размери5 : 3.СЛИКА 1

Поделити дуж

у датој размери значи наћи тачку C између тачака

и

такву да је однос дужина дужи

и

једнак 5 : 3.Сврха овог задатка је повезивање размере сагеометријом.

6) Лимунада се припрема тако да размера воде и лимуновог сока буде 5 :1 . Колико сока са колико воде треба помешати да бисмо добили

лимунаде?


У завршном делу часа се резимира урађено и даједомаћи задатак.

Обрада ове наставне јединице подређена је практичном циљу, уз повезивање с већ упознатим садржајима математике и садржајима у другим областима (географија, техничко образовање, ликовна култура и др.)

Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из уџбеника задатке: 2 и 3.


Разред: V


Датум: 16


Наставна јединица: Размера и њене примене


Облик рада: Фронтални , рад у паровима

Наставна средства: Табла, фломастери,

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: правилно формира и разуме појам размере (преко

упоређивањаистоимених величина)





Затим треба ученике још једном подсетити на појам размере , њено записивање и израчунавање непознатог члана размере. То урадити следећим задатком:1) Одреди

тако да су тачне једнакости.а)

б)

Сврха задатка је поновити шта је рађено на претходном часу.


За главни део часа ученике ћемо поделити у парове, Оваквим начином рада обезбеђујемо

по клупама и поделити задатке сваком пару на папирићима.

да ученици који су боље савладали ову наставну јединицу „помогну “ осталим ученицима.

2) Висина дрвета и дужина његове сенке су у размери 7 : 3. Колико је висина дрвета ако је дужина сенке

?3) Нацртај дуж

и подели је:а) тачком M у размери 1 : 5б) тачком S у размери 5: 3.4) Ако је растојање два места на карти 3cm одреди то растојање у природи ако је карта рађена у размери 1 : 100 000.5) Растојање два места је

. Колико је то растојање на карти рађеној у размери 1 : 500 000?6) На плану града урађеном у размери 1 : 2000 права улица је приказана као дуж дужине

а фудбалско игралиште као правоугаоник дужине

и ширине

Колика је дужина улице и површина игралишта?

За демонстрацију решења задатака на табли наставник бира ученика који је „слабији“ у пару.



Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из збирке задатке: 2, 6, 8 и 11


Разред: V


Датум: 17



Мешовити бројеви






По завршетку овог часа ученик треба да: схвате појам мешовитог броја, умеју да га записују на разне начине

и врше прелаз са једног начина на други стекну довољну увежбаност у извођењу основних рачунским

операцијамаса мешовитим бројевима



У уводном делу часа ученике треба подсетити на сабирање и одузимање разломака у облику

, и упоређивање разломака. Овај посао обавити кроз задатке :1) Израчунати а)

б)

2) Упореди разломке:

и


Затим треба поставити задатак:3) Мајка је на пијаци купила два и по килограма кромпира по цени од 46 динара за килограм. Колико је динара потрошила?

Сврха овог задатка је да се наговести циљ часа,


Неправи разломак

написаћемо у облику мешовитог броја на следећи начин:

4) Неправе разломке

Ученицима објаснити да мешовити бројевинису никаква нова класа бројева, него само нови начин записивања неправих разаломака.Циљ четвртог и петог задатка је довољна увежбаност превођењња једног облика у други.

написати у облику мешовитог броја.5) Мешовите бројеве

напиши у облику неправих разломака.

6) Упореди разломке:а)

б)

в)

.Разломци, записани у облику мешовитих бројева, се упоређују непосредно на следећи начин:1. Ако су им цели делови једнаки, већи је онај чији је разломљени део већи.2. Ако им цели делови нису једнаки већи је онај чији је цео део већи.

Ученицима објаснити да разломке, записане у облику мешовитих бројева, можемо упоређивати „превођењем“ у неправе разломке или непосредно.

7) Израчунати:а)

б)

в)

Рачунске операције са разломцима, записаним у облику мешовитих бројева, можемо радити „превођењем“ у неправе разломке или непосредно.Демонстрирати оба начина и пустити ученике да самостално одреде њима „лакши“ начин.

8) Реши једначине:а)

б)

9) Одреди скуп решења неједначине:

.



Наставник на табли записује домаћи задатак:Решити из збирке задатке: 3, 4 , 5, 6 и 7

Разред: V


Датум: 18



Мешовити бројеви


Облик рада: Комбинација фронталног и инвидуалног рада




По завршетку овог часа ученик треба да: схвате појам мешовитог броја, умеју да га записују на разне начине

и врше прелаз са једног начина на други стекну довољну увежбаност у извођењу основних рачунским

операцијамаса мешовитим бројевима





Затим ученике подсетити на појам мешовитог броја, и „превођење“ у неправе разломке и обрнутосједећим задацима:1) Неправе разломке

написати у облику мешовитог броја.2) Мешовите бројеве

напиши у облику неправих разломака


Увежбавање садржаја рачунских операција са мешовитим бројевима вршимо такозваном “степенастом ” ндивидуализацијом тј. радом у коме сваки ученик решава својим индивидуалним темпом задатке који су поређани од лакшег ка тежем. Један од могућих “степенастих ” избора задатака је:

Задаци су подељени ученицима на папирићима и исписани на наставном листу.

2) Израчунати:а)

б)

Задаци се презентирају на табли тако што наставник провери да ли је пријављени ученик решио задатак, а онда га изводи на таблу да демонстрира своје

в)

г)

3) Обим троугла је

. Једна страница је

, а друга

. Колика је трећа страница?4) Реши једначину:

.5) Одреди скуп решења неједначине:

.6) Лубеница и диња заједно су тешке

а лубеница и бундева

. Одреди њихове масе ако све заједно имају масу за

мање од

.

решење.


Пет минута пре краја часа рад на задацима се завршава, уз претпоставку да су сви задаци решени. У завршном делу часа се резимира урађено и задаје домаћи задатак.

Наставник на табли записује домаћи задатак: Решити из збирке задатке: 8, 9, 10, 11 и 12

Разред: V


Датум: 19


Наставна јединица: Разломци




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада свим појмовима и операцијама обрађеним у овој

теми






Разред: V



Датум: 1

Наставна тема: Основни геометријски објекти


Тачка и линија




Табла, фломастери, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава тачке и линије правилно записује да ли тачка припада или не припада некој линији закључи да свака линија садржи безброј тачака, као и да се између

било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на геометријске објекте који су уведени у претходним разредима ( дуж, права, квадрат, правоугаоник,...).


Један од могућих почетака часа је питање:„Када посматрамо аутомобил који се удаљава, видимо га све мањег, а да ли се он заиста смањио?“.

Циљ овог питања је да ученици уоче да тачка не поседује ни ширину н идужину нити икакав облик.

Користећи реч тачка ми изражавамо само њено постојање. Да бисмо означили тачку, у геометрији, користимо врх оловке у свесци, односно врх фломастера ( креде ) на табли. Траг оловке изгледа као кружић, а поред њега записујемо име тачке. Тачке се обележавају великим штампаним словима латинице.

Циљ овог дела часа је да ученици стекну правилне навике означавања и обележавања основног геометријског објекта.

Ако желимо да повежемо две тачке канапом имамо неограничено могућности. Само једна могућност је да канап буде затегнут. Тад кажемо да је линија која спаја те две тачке права. Осталих могућности, када је канап незатегнут, је неограничено. Тад кажемо да је линија која спаја те две тачке крива. У оба случаја се ради о отвореним линијама. Њих обележавамо малим писаним словима латинице.

Циљ овог корака је разликовање правих и кривих линија.

У следећем кораку захтевати да ученици самостално у својим свескама нацртају: линију која означава контуре њихове собе, затим контуре фудбалског игралишта и атлетске стазе око њега, па да уоче разлику између тих линија и облика канапа у претходном кораку. Именовати да се овде ради о затвореним линијама. Њих, такође, обележавамо малимписаним словима латинице.

Циљ овог корака је разликовање отворених и затворених линија.


Захтевати да ученици самостално у свескама илуструју следећи пример:Тачкама V и Š треба да означе градове Ваљево и Шабац, отвореном линијом пут који их спаја, тачком К место Коцељеву која се налази на том путу, и тачком B Београд ван тог пута.Истаћи припадност тачака отвореној линији.

Циљ корака који следи је покушај да ученици уоче положај тачке у односу на отворену линију и да знају то да обележе употребом ознака и .

Захтевати и да наредну ситуацију ученици самостално илуструју:Затвореном кривом линијом к представити језеро, а словома А Ану која се купа у њему, М Мишу који се спрема да ускочи и Т Тому који се сунча на обали.Истаћи припадност тачака затвореној линији.

Циљ овог корака је истоветан претходном.

Закључити да тачка може да припада или да не припада линији.Ако тачка припада линији она је њен најситнији део па се зато и каже да се линија састоји од тачака.

Циљ овог корака је истицање да је свака линија састављена од тачака.

Ако су тачке А и B на линији l, између њих произвољно можемо изабрати тачку C1 која такође припада л. Затим, између А и C1 можемо произвољно изабрати тачку C2 која такође припада л, и наставити овакав одабир тачака у недоглед. Како број овако изабраних тачака неограничено расте и неће постојати последњи корак, закључити да линија АB има безброј тачака.

Циљ овог примера је да се закључи да свака линија садржи безброј тачака, као и да се између било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.


У завршном делу часа се врши петоминутно проверавање са следећим садржајем:1. Представи тачкама данашњи распоред часова.2. Нацртај две отворене линије које се секу у 4 тачке.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима. Напомена: ово проверавање се реализује уколико то време дозволи, а ако не дати ове задатке за домаћи рад.


Разред: V



Датум: 2



Тачка и линија






По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава тачке и линије правилно записује да ли тачка припада или не припада некој линији закључи да свака линија садржи безброј тачака, као и да се између

било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.






Диференцирани приступ вежбању има идеју да основни захтев ( под а) буде доминантан и обавезан за све ученике, док су остали делови приступачни за оне ученике који брже савладавају градиво.


Даљи ток часа се реализује кроз примере:1.а) Напиши ћирилицом велико штампано слово А. Колико правих линија уочаваш? б) Напиши ћирилицом велико штампано слово В. Колико правих, а колико кривих линија уочаваш?2. а) Нацртај градове А и М и 4 пута који их спајају од којих је један прав. б) Додај цртежу и град К ког са М спајају 2 крива пута. в) На колико се различитих начина стиже из А у К ако се мора проћи кроз М? г) На колико се различитих начина може стићи из А у К ако се мора проћи кроз М, а једини прав пут је затворен због радова на путу?3. а) Нацртај отворену криву линију к и тачке А, О и Е које јој припадају. б) Нацртај затворену криву линију l која к сече у тачкама А и О. в) Нацртај праву линију p која к сече у Е, а са l нема заједничких тачака.4. Може ли пресек две криве отворене линије бити ( илуструј примером ) : а) тачка б) 2 тачке

На левом делу табле се могу излагати основни задаци и то раде просечни ученици, а након њих, на десном делу изложити додатне захтеве и то раде они ученици који су то успешно савладали у својим свескама. Решења основних захтева обавезно продискутовати.

в) 10 тачака г) празан скуп д) права линија ђ) отворена линија е) затворена линија ж) прва крива линија?


Израда задатака се завршава 5 минута пре краја часа, уз претпоставку да су сви основни захтеви реализовани. Нереализовано остаје за домаћи задатак Ако је све планирано и реализовано за домаћи задати из Збирке са старне 15 задатке 2, 3 и 4.



Разред: V


Датум: 3


Наставна јединица: Права, полуправа, дуж



Наставна средства: Табла, фломастери, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава: праве, полуправе и дужи правилно записује да ли тачка припада или не припада некој

правој, полуправој, дужи уочава колинеарност пребројава: дужи, праве и полуправе




Довољно је да уводни део часа траје 5 минута.


Започети час питањем:„Да ли се слободном руком може нацртати права линија или ће она увек бити мало крива?“Инсистирати да се за цртање праве линије увек користи лењир.

Циљ овог дела часа је утемељити навику употребе прибора за геометрију.

Ако се на лењиром нацртаној правој линији не означе крајеви, то значи да се она може произвољно продужавати на обе стране. Таква линија се назива права. Цртамо увек само њен део и обележавамо га малим писаним словом латинице.

Сврха овог корака је правилно обележавање и означавање праве, као и разликовање исте од дужи.

Као што смо закључили да нека тачка може да припада или не припада линији, тако истакнемо да нека тачка или припада или не припада некој правој. Као и то да: две тачке увек припадају тачно једној правој.

Циљ овог корака је покушај да ученици уоче положај тачке у односу на праву и да знају то да обележе употребом ознака и .

Ако замислимо праву линију са почетком у тачки А коју можемо произвољно продужавати на ону страну где није та тачка, добићемо линију која са назива полуправа, а обележава Аp. Уколико тачка А припада правој p , она на њој одређује две полуправе. Обележаваћемо их Аp1 и Аp2.

Циљ овог корака је усвајање појма и начина обележавања полуправе.

Даљи ток часа реализовати кроз пример:Дата је права p и тачке А и B које јој припадају. Колико полуправих оне одређују?

Циљ израде овог примера је да ученик научи да исправно уочава и пребројава полуправе.

Искористити претходни пример да се истакне да две разне тачке неке праве увек ограничавају један њен део. А затим именовати да: део праве између двеју тачака укључујући и те две тачке називамо дуж. Те две тачке називамо крајњим тачкама дужи. Оне дају назив те дужи.Редослед читања крајњих тачака је небитан, па је, стога, свеједно рећи дуж АB или дуж BA.

Циљ овог корака је усвајање појма и начина обележавања дужи.

Даљи ток часа реализовати кроз пример:Дата је права p и тачке А, B и C које јој припадају. Колико је полуправих, а колико дужи њима одређено? Именуј све полуправе и све дужи.

Циљ израде овог примера је да ученик убежба да исправно уочава и именује полуправе као и да научи да пребројава и именује дужи.

Следећи корак наставити питањем:“Колико се кроз дату тачку А може нацртати различитих правих линија?“А затим и следећим:“Колико се кроз две различите тачке А и B може нацртати различитих правих линија?“

Циљ овог корака је да ученик закључи да две различите тачке одређују тачно једну праву.


У завршном делу часа задати ученицима да самостално у свескама одреде у ком све положају могу стајати 4 различите тачке(пример 7 из уџбеника), захтевати да се уочи кад три и више тачака припадају истој правој, али не инсистирати на појму килинеаран и тражити да се преброје одређене праве, полуправе и дужи у сваком од примера понаособ.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима и коришћеним процедурама.


Разред: V


Датум: 4


Наставна јединица: Права, полуправа, дуж





По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава: праве, полуправе и дужи правилно записује да ли тачка припада или не припада некој

правој, полуправој, дужи

уочава колинеарност пребројава: дужи, праве и полуправе



У уводном делу часа укратко поновити садржаје који су реализовани на претходним часовима.


Један од могућих почетака часа је питање:„Шта све може бити пресек две полуправе?“Захтевати да се открију сви пресеци, а могу их представљати на табли ученици, један по један, оним редоследом којим су их откривали.

Циљ овог задатка је утврђивање следећих појмова: празан скуп тачака, тачка, дуж, полуправа.


Даљи ток часа наставити примерима:1.Дата је права p, тачке А и B на њој и тачка C ван ње. Одредити:а) број дужи одређен датим тачкама.б) број полуправих одређен датим тачкамав) шта је заједничко за праву p и полуправу Ap1 ( истаћи да ћемо то убудуће називати пресеком )г) шта је пресек полуправих Аp1 и Bp1

д) шта је пресек полуправих Аp1 и Bp2

ђ) шта је пресек полуправих Аp2 и Bp1

е) шта је пресек дужи АC са Bp1, а шта са Bp2.

Поред пребројавања и одређивања пресека одређених скупова тачака, циљ овог корака је и да се ученицима стави до знања да ако нека дуж припада правој не можемо користити симболе као за припадност тачака ( и ), већ морамо користити симболе за подскупове( и ).

2.Нацртај и означи 5 тачака тако да оне одређују:а) једну правуб) четири правев) шест правихг) десет правих.Именуј све праве у сваком од захтева и утврди могу ли се те тачке поставити у положај да одреде више од 10 правих

Циљ овог примера је увежбавање пребројавања али у тежем смеру. Овде је потребна и креативност

3. Нацртај дужи АB и CDтако да важи AB CD. Одреди пресек дужи AB и CD.

Овде се утврђује усвојеност појма и обележавања припадности.

4. Може ли пресек две полуправе које не припадају истој правој бити:а) празан скупб) тачкав) дуж

Сваки потврдан одговор илустровати адекватним цртежом.

г) полуправад) права?5. Дате су три неколинеарне тачке А, В и С. Нацртај:а) праву р тако да А, Врб) праву а тако да Са и а׀׀рв) праву с тако да је Ас и с нормална на р.г) У ком су положају праве а и с?

6. Ако су дате две дужи АB дужине 4cmи CD дужине 3cm, колику дужину може имати њихова пресечна дуж?

Уколико је овакав пример претежак, заменити питање питањима типа: „Може ли њихова пресечна дуж бити дугачка 1cm? А 2cm? А 3cm? А 4cm?“


У завршном делу часа наставник појединачно испитује ученике до ког су примера самостално стигли. Уколико није сигуран да ће добити меродавну информацију, анкету овог типа наставник може спровести анонимно тако што ће сваки ученик дати одговор на листићу. Затим задати за домаћи рад задатке 6, 7 и 8 из Збирке са страна 16 и 17.

Циљ овог домаћег задатка је да ученици самостално овладају пресецима скупова тачака.


Разред: V


Датум: 5


Наставна јединица: Раван




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмом равни правилно представља и именује равни уочава припадност тачке равни разматра положај две праве у равни



У уводном делу часа покушати преко примера из природе ( равна површина језера кад нема ветра, нераван пут који је пун рупа ) повезати појам равни са стварним светом.Као модел равни користити: таблу, зид, лист свеске,...



Раван замишљамо као много (безброј) правих које се све секу у истој тачки А (деца треба да их нацртају у свесци) које се простиру у свим правцима неограничено. Или је можемо замислити каоправоугаоник који ће се неограничено увећавати. Овде закључити како се равни не може утврдити ни дужина ни ширина, јер раван нема граница.

Задатак је да се правилно формирање појам равни у свести ученика.

Раван ћемо увек представљати цртањем једног њеног дела, у виду правоугаоника или паралелограма, али ћемо замишљати да се он неограничено простире. За означавање равни ћемо користити слова грчог алафабета.

Циљ овог дела је да ученици стекну навику правилног обележавања и означавања равни.

Како се ученици први пут сусрећу са словима грчког алфабета (које ће ускоро користити и за означавање углова) треба им прецизно показати како се она записују, с обзиром да се далеко разликују од наших слова.

α – алфа β – бетаγ – гама δ –делтаπ – пи ρ – ро.

Подсетимо се да две разне тачке одређују тачно једну праву, па поставити питање: „Колико оне равни одређују?“Закључити да таквих равни има безброј.

Циљ овог примера је да се покаже како раван није једнозначно одређена са две своје тачке.

Ако замислимо столицу округлог седла са две ногаре, сви ће се сложити да не делује стабилно. Али, уколико бисмо јој додали трећу ногару она се не би клатила. Дакле, три разне тачке које нису на истој правој одређују тачно једну раван. То записујемо нпр. α(А, B, C) а читамо: раван алфа је одређена тачкама A, B и C.

Циљ овог корака је утврдити одређеност праве.

Ако је тачка А у равни α, кажемо да јој она припада, а ако је тачка М ван равни α, кажемо да јој не припада. На исти начин се каже и за праву: ако је права р у равни π, кажемо да јој припада. За боље ученике истаћи и ово: ако две разне тачке које припдају правој р припадају и равни β, тада и права р припада равни β.

Сваки од ових примера илустровати посебним цртежом.Циљ овог корака је утврђивање припадности тачке односно праве некој равни.

Нацртајмо тачку А и две различите праве које је садрже. Рећи ћемо да се те две праве секу у тачки А.


Захтевати да ученици сами покушају да нацртају две праве које немају заједничких тачака, водећи рачуна да се обе простиру неограничено.Ако две праве немају заједничких тачака кажемо да су паралелне, а то скраћено записујемо симболом ׀׀


Захтевати да ученици нацртају две различите тачке А и С и све праве којима обе од њих припадају.Како су све тачке тим правама заједничке, рећи ћемо да се оне поклапају, а то скраћено записујемо симболом =.Сматраћемо да су праве које се поклапају паралелне.



У завршном делу часа поновити шта је раван, у ком положају тачка може бити у односу на њу и у ком положају права може бити у односу на њу. Захтевати да ученици понове у ком положају могу бити две праве у истој равни.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима.


Разред: V


Датум: 6


Наставна јединица: Раван




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмом равни правилно представља и именује равни уочава припадност тачке равни разматра положај две праве у равни



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о свим до сада поменутим геометријским појмовима.


На табли исписати све задатке одједном, али нагласити да се морају радити по реду јер неке додатне захтеве није могуће рашити бз основних.

Задаци могу бити одштампани у виду наставних листића који остају код ученика, како би неурађени задаци могли остати за домаћи.


1. Нацртај праву р и на њој три тачке А, B и C, тим редоследом, а затим:а) тачку ЕВСб) тачку КАС ( Којим полуправама она може припадати? )в) тачке Т и М са разних страна праве р, тако да заједно са А припадају истој правојг) пребројати колико дужи одређују тачке А, В, Е и Сд) пребројати колико правих одређују све дате тачке ( не заборавити и праву р )2. Нацртај три разне праве тако да се секу у :а) 0 тачакаб) 1 тачкив) 2 тачкег) 3 тачке3. Нацртај праву р и тачку А ван ње. Колико постоји правих које садрже тачку А и:а) секу праву рб) паралелне су правој рв) поклапају се са правом р?4. На колико области је раван подељена:а) једном својом правомб) двема својим правама које се секув) двема својим паралелним правамаг) једном својом полуправом?5. Нацртај положај 3 праве које припадају

Истаћи појам колинеарност, али инсистирати да га запамте само бољи ученици.Циљ ових примераје да се и најслабији ученици укључе у рад. При оваквој изради задатака наставник има времена да погледа у свеску сваког ученика и оцени степен његовог ангажовања.

истој равни када је деле на највећи могући број области.6. Шта је тачно:а) Ако су праве а и с паралелне, права р која сече праву а мора сећи и праву с.б) Ако су праве а и с паралелне, права р којаје паралелна са правом а паралелна је и са правом с.в) Постоји тачно једна права у равни која је паралелна са неком правом те равни.г) Две полуправе које немају заједничких тачака деле раван у којој леже на 4 области.д) Постоји више различитих правих које су нормалне на исту праву.ђ) Две праве које се секу имају тачно 2 заједничке тачке.


У завршном делу часа се може задати домаћи задатак – преостали задаци са наставног листића. Уколико су све задаци савладани задати из Збирке са стране 18 задатке 1, 4 и 6.

Циљ овог подухвата је да се ученик још једном врати на до сад објашњене геометријске појмове.


Разред: V


Датум: 7


Наставна јединица: Изломљене линије. Области





влада појмовима изломљене и многоугаоне линије да разликује та два појма уочава области на које многоугаона линија дели раван



У уводном делу часа подсетити ученике да две разне тачке у равни могу бити спојене са безброј линија. Једина права од њих се назива дуж и обележава се својим крајњим тачкама.



У равни можемо изабрати неколико тачака, на пример: А1, А2, А3, А4 и А5. Оне могу бити спојене на разне начине, али ако их спојимо дужима и то: А1 са А2, па А2 са А3, па А3 са А4 и А4 са А5, добићемо изломљену линију коју обележавамо са А1А2А3А4А5. Taчke А1, А2, А3, А4 и А5 су темена, дужи А1А2, А2А3, А3А4 и А4А5 старнице, а тачке А1 и А5 крајње тачке ове изломљене линије. Треба водити рачуна да две узастопне странице не могу бити на истој правој.

Овај корак је формирање појма изломљене линије.

Ако су крајње тачке изломљене линије различите, кажемо да је та линија отворена. Ако се крајње тачке изломљене линије поклапају, кажемо да је та линија затворена.

Циљ овог дела је разликовање отворених изломљених линија од затворених.

Ако странице изломљене линије немају других заједничких тачака сем заједничког темена, за изломљену линију кажемо да је проста.Проста затворена изломљена линија се назива и многоугаона линија.

Овај корак је формирање појма многоугаоне линије.

Многоугаона линија дели раван којој припада на два дела. Те делове зовемо области.Једна од њих је ограничена и за њу кажемо да је унутрашња. Друга није ограничена и кажемо да је спољашња.

Циљ овог корака је уочавање унутрашње и спољашње области и разликовање њихове ограничености.

Ако је у равни дата многоугаона линија, за било коју тачку те равни важи да је или на самој многоугаоној линији или у унутрашњој или у спољашњој области.

Илуструј цртежом сва три положаја тачке према многоугаоној линији.

Даљи ток часа наставити кроз примере:1.Написати великим штампаним словима

Искористити прилику да се уведе појам тачке самопресецања.

ћирилице све самогласнике. Који су од њих представљени простом изломљеном линијом?2. Представи изломљеним линијама свих 10 цифара. Које си цифре успео да представиш простим изломљеним линијама?3. Колико најмање страница може имати многоугаона линија? А темена?4. Нацртај квадрат и једну његову дијагоналу. Колико је пута изломљена линија саму себе пресекла?


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из уџбеника текст: “Изломљене линије. Области“ и ураде примере 1, 2 и 3 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика на усвајању нових појмова. Ово се може радити након обраде тог садржаја али само онда када су нови појмови једноставни и лако схватљиви.


Разред: V


Датум: 8


Наставна јединица: Изломљене линије. Области




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима изломљене и многоугаоне линије да разликује та два појма уочава области на које многоугаона линија дели раван



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о геометријским објектима уведеним претходног часа инсистирајући на истицању разлике између изломљене и многоугаоне линије.



Час утврђивања можемо реализовати кроз израду примера.У недостатку наставних листића или видеобима и платна наставник може исписати све задатке на табли, а онда препустити ученицима да их израђују темпом који им одговара.

Овако предвиђен час за задатак има да не запосатави слабије и осредње ученике. Они неће успоравати оне боље јер су сви задаци пласирани истовремено.

1.Нацртај једну затворену иломљену линију састављену од пет дужи тако да:а) нема тачака самопресецањаб) има тачно једну тачку самопресецања која је уједно и крајња тачка за две њене дужив) има две тачке самопресецања од којих ниједна није крајња тачка неке дужиг) има пет тачака самопресецања.

Тачке самопресецања истаћи другом бојом.

2. Нацртај: круг, срце, троугао и звезду петокраку.а) Да ли су ове затворене линије просте?

б) Петокраку нацртати на два начина: састављену од 5 надовезаних дужи са 5 тачака самопресецања и састављену од 10 дужи без тачака самопресецања. Која је од ових линија многоугаона?в) Које су од свих ових пет линија многоугаоне? Овај задатак за циљ има разликовање

многоугаоних и изломљених линија и истицање простих линија.

3. Tачке А, В и С су на једној, а К и М на другој од две паралелне праве а и р. Наброј и именуј све дужи и све троугаоне линије које одређују тих 5 тачака.

Циљ је увежбати пребројавање многоугаоних линија.

4. Шта све може бити пресек једне праве и једне троугаоне линије?5. Шта све може бити пресек две троугаоне линије?

Ови задаци одузимају мало више времена, али треба бити упоран у проналажењу свих решења.

6. Нацртај две паралелне праве, а затим многоугаону линију чије су по две странице на овим правим. Колико најмање страница мора имати таква многоугаона линија?

Задатак је захтеван, па се очекује да га демонстрира наствник. ( одговор: 10 )


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да одреде:

1. Шта све може бити пресек једне троугаоне и једне четвороугаоне линије?

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика.


Разред: V


Датум: 9


Наставна јединица: Фигура. Многоугао




Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима фигура у равни и многоугао да разликује та два појма схвати појам конвексности на основу довољног броја

примера



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појам и врсте линија и многоугаоне линије.


Један од могући почетака часа је да се на табли нацрта неколико простих отворених линија, неколико изломљених са и без тачака самопресецања, неколико затворених које јесу и које нису могоугаоне. Треба их нацртати измешано, а од ученика захтевати прецизан опис.

Циљ овог питања је да се ученици подсете врста линија и да се најдуже задрже на многоугаоним код којих треба истаћи темена и странице.


Корак који следи је дефинисање појма фигуре у геометрији, а затим и појма многоугла:Фигуру у геометрији чини затворена линија у равни и унутрашња област одређена том линијом.Фигура одређена многоугаоном линијом зове се многоугао.

Овај корак је формирање појма фигуре и многоугла у геометрији.Нацртати на табли по један пример фигуре и многоугла са све шрафирањем унутрашње области.

Дужи које чине многоугаону линију зваћемо странице многоугла. Заједничке тачке страница зваћемо темена многоугла.

Циљ овог корака је дефинисање страница и темена многоугла.

Број темена и страница многоугла је једнак. Тај број одређује назив многоугла, па се може говорити о: троуглу, четвороуглу, петоуглу, шестоуглу,...Када број страница није битан, рећи ћемо само многоугао.

Циљ овог корака је одређивање врсте многоугла.

Корак који следи треба да буде разликовање Циљ овог примера је да се на основу

конвексних и неконвексних фигура.Захтевати да ученици самостално у свескама нацртају по: троугао, квадрат, срце и пишкоту, а затим да покушају да одреде по две тачке из унутрашње области сваке од фигура, такве да када их спојимо, дуж која их спаја не буде целом дужином у унутрашњој области.

цртежа, без познавања појма и дефинисања конвексности, одреди разлика међу унутрашњим областима које јесу и нису конвексне.

Овде треба да уследи дефиниција конвексности:За фигуру кажемо да је конвексна ако за сваке две тачке које припадају тој фигури и све тачке њима одређене дужи припадају тој фигури.Фигура је неконвексна ако постоје две тачке које припадају тој фигури и постоји тачка њима одређене дужи која не припада тој фигури.

Инсистирати да дефиниције конвексне и неконвексне фигуре знају да репродукују само успешнији ученици, док је за просечне ученике довољно да посматрањем многоугла закључе какав је.

Следећи корак наставити захтевом да ученици нацртају троугао који није конвексан.

Закључити да не постоји неконвексан троугао.

Покушати да ученици самостално нацртају фигуру која није конвексна, а затим и четвороугао који није конвексан

Већина ће успешно одговорити на захтев цртања неконвексне фигуре. Треба искористити прилику да се завири у сваку свеску док они трагају за решењем.Најчешће само неколицина успе да нацрта неконвексан четвороугао, па треба искористити најбржег међу њима да пример демонстрира осталима на табли.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Фигура. Многоугао“ и ураде примере 1, 2, 3, 4 и 5 који су дати у оквиру тог текста.



Разред: V


Датум: 10


Наставна јединица: Фигура. Многоугао



Наставна средства: Табла, фломастери, фломастери у боји, лењир

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима фигура у равни и многоугао да разликује та два појма схвати појам конвексности на основу довољног броја

примера



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појам фигуре и многоугла. Можемо захтевати да ученици нацртају полукруг и петоугао, да шрафирају унутрашње области, именују странице и темена петоугла и објасне разлику између те две фигуре.


Следећи корак је да наставник нацрта два шестоугла, један неконвексан и један конвексан, а од ученика захтева да доцртавањем први претворе у конвексан, а други у неконвексан многоугао.

Циљ овог питања је да ученици уоче разлику између конвексних и неконвексних фигура.


Час наставити кроз израду следећих примера:1. Шта све може бити пресек праве р и троугаоне линије, а шта пресек те исте праве и троугла? Пресеке линија означити црвеним, а пресеке линије и троугла жутим фломастером.

Користити исти цртеж за приказ пресека праве са троугаоном линијом и са троуглом.

2.Одредити шта све може бити пресек две четвороугаоне линије, а шта пресек два четвороугла. Пресеке линија означити црвеним, а пресеке четвороуглова жутим фломастером.

Наредни корак је истицање разлике између многоугаоне линије и многоугла.

3. Дате су три колинеарне тачке А, В и С. Могу ли оне бити темена многоугла?

4. Нацртај три паралелне праве р1, р2 и р3, а затим:а) конвексан шестоугао тако да су му по два темена на

Циљ овог примера је разликовање конвексних и неконвексних

свакој од датих правихб) неконвексан шестоугао тако да су му по два темена на свакој од датих правих.

многоуглова.

5. Шта је тачно:а) Сваки квадрат је конвексан скуп тачака.б) Троугаона линија је конвексан скуп тачака.в) Унија конвексних фигура мора бити конвексна фигура.г) Пресек неконвексаних фигура може бити конвексна фигура.д) Пресек конвексних фигура је конвексна фигура.

Сваки захтев илустровати адекватним примером или контрапримером.

6. Нацртај:а) два правоугаоника тако да њихов пресек буде квадратб) два квадрата тако да њихова унија буде квадратв) два квадрата атко да њихова унија буде седмоугао.

Овај задатак захтева степен креативности.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатке: 4, 5, 6, 7 и 11.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма многоугла и његових особина.


Разред: V


Датум: 11


Наставна јединица: Кружница. Круг





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима круг и кружна линија правилно користи шестар при цртању круга ( инсистирати да се

увек прво обележи центар )



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на:- мерење дужи- шта је растојање две тачке- како се упоређују растојања.



Корак који следи је покушај да ученици самостално одреде за тачку О на датој правој р тачке са те праве које су од тачке О на растојању 2сm.

Очекује се да већина ученика уочи постојање два решења.

Затим захтевати да за дату тачку О у равни одредимо све тачке те равни које су од тачке О на растојању 2сm. Колико има таквих тачака? Има их безброј. Све те тачке можемо замислити као елементе једне затворене линије.

Циљ овог питања је да ученици самостално дођу до интуитивног закључка шта је кружница и колико тачака је чини.

Дефинисати кружну линију:Проста затворена линија у равни чије су све тачке на једнаком растојању од једне дате тачке те равни, назива се кружна линија или кружница.Ако је О та тачка од које су све остале на једнаком растојању, кажемо да је О центар кружнице, а то растојање обележавамо r и називамо дужина полупречника.

Неопходно је прецизно дефинисати кружницу и истаћи да је она одређена својим центром и дужином полупречника.

За цртање кружнице неопходан је шестар. Потребно је да имамо одређен центар и дужину полупречника, тј. Тачку и дуж.Дакле, кружница је одређена ако су:- дате две тачке, од којих је једна центар, а дуж коју оне одређују је полупречник- дати центар и дуж којој је полупречник једнак- дати центар и дужина полупречника.

Циљ овог корака је утврђивање одређености кружне линије.

Као и свака затворена проста линија, кружница дели раван на две области: унутрашњу и спољашњу.Кружница и одговарајућа унутрашња област равни одређују фигру која се назива круг.

Циљ овог корака је дефинисање појма круг.

Центар и полупречник кружнице су уједно и центар и полупречник њом одређеног круга. Кружницу обележавамо са k( О, r ), a круг са К( О, r ).

Захтевати прецизност у обележавању круга.

За неку тачку кажемо да припада кругу ако припада или његовој кружници или његовој унутрашњој области. Односно, тачка припада кругу ако је њено растојање од центра круга мање или једнако полупречнику. Тачка не припада кругу ако је њено растојање од центра круга веће од полупречника.

Циљ овог дела часа је одређивање припадности тачке кругу.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Кружница. Круг“ и ураде примере 1, 2, 3 и 4 који су дати у оквиру тог текста.



Разред: V


Датум: 12


Наставна јединица: Кружница. Круг





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима круг и кружна линија правилно користи шестар при цртању круга ( инсистирати да се

увек прво обележи центар ) усвоји појам централног растојања



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појмове проучене претходног часа.



Главни део часа треба да послужи изради следећих примера:1. Нацртај кружницу k(О, 3сm) и тачку А тако да је ОА=2cm. Одреди тачку В са кружнице која је најближа тачки А, као и тачку С са кружнице која је најудаљенија од тачке А. Одреди дужине дужи АВ и АС.

Ово је основни пример за увежбавање цртања круга помоћу познатих елемената.

2. Нацртај два круга различитих полупречника К1(О, 3cm) и K2(В, 2cm) тако да њихов пресек буде:а) празан скупб) тачкав) круг.

Циљ овог задатка је да ученици самостално дођу до закључка на које растојање поставити центре датих кругова како би се испунили тражени захтеви.

Централно растојање два круга је дужина дужи између њихових центара. Обележавамо га са d (О1, О2).

На овом месту је згодно дефинисати централно растојање.

3.Нацртај кружницу и троугаону линију које имају тачно две заједничке тачке.4. Нацртај четвороугаону линију и кружницу у положају када имају највише могуће заједничких тачака. Преброј заједничке тачке.

Циљ овог примера је да се покаже да постоје једначине које имају два решења, али и да непозната не мора увек бити слово х, већ може бити и у, а, к ...

5. Нацртај К1(О1, 3cm) и К2(О2, 2cm) ако је О1О2 =6cm. Циљ овог примера је да се покаже да

Одреди тачке А, В, С и D са тих кружница тако да дуж АВ буде најдужа могућа, а дуж СD најкраћа могућа. Колике су дужине дужи АВ и СD?

постоје једначине које имају бесконачно много решења, јер сваки рационалан број дату једначину претвара у тачну једнакост.

6. Нацртај К1(О1, 3cm) и К2(О2, 2cm) ако је О1О2 = 45mm. Одреди:а) К1 К2

б) k1 k2

в) К1 k2

г) k1 К2.

Циљ овог примера је да се направи разлика између круга и кружне линије.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатке: 6 и 7 са стране 22. Ово је домаћи предвиђен за ученике који су успешно савладали свих 6 примера, а они који то нису треба да ураде само преостале задатке из школског рада.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма круг и кружница.


Разред: V


Датум: 13


Наставна јединица: Кружница и права





По завршетку овог часа ученик треба да: разликује међусобне положаје праве и кружнице интуитивно поима прав угао који се црта коришћењем троугаоног

лењира зна да одреди растојање тачке од праве, односно централно

растојање праве од кружнице



Често смо у ситуацији да треба да одредимо растојање тачке од праве, на пример растојање школе од улице или куће од реке. Подразумева се да нас интересује најкраће растојање.Најкраће растојање тачке М од праве р се одређује тако што нацртамо нормалу из тачке М на праву р и одредимо њихов пресек тачку Р. Тражено растојање је управо растојање тачака М и Р, то јест дужина дужи МР.

Уводном делу часа посветити 7–8 минута. Инсистирати да се нормала нацрта помоћу шестара јер је то елементарна конструкција.


Када се права и кружница налазе у истој равни може настати један од три положаја:

1. права а је ван кружнице2. права t додирује кружницу3. права s сече кружницу.

Нацртати једну кружницу и три одговарајуће праве.

Ако одредимо растојање центра кружнице О од правих a, t и s, и обележимо их редом са ОА, ОТ и ОS, па их упоредимо са полупречником круга, видећемо да је дуж ОА дужа од полупречника, ОТ једнака, а ОS краћа од полупречника.

Растојање праве од центра круга називамо централно растојање праве.

Дакле, када је централно растојање праве веће од полупречника круга, права и кружница немају

Дефинисање појмова тангента и

заједничких тачака.Када је централно растојање праве једнако полупречнику круга, права и кружница имају заједничку тачно једну тачку. Такву праву називамо тангента или дирка кружнице, а заједничку тачку додирна тачка.Када је централно растојање праве мање од полупречника круга, права и кружница имају две заједничке тачке. Такву праву називамо сечица.

сечица.

Даље наставити час израдом следећег примера:1. Нека права t додирује кружницу k( О, 3cm) у тачки Т. Нацртај одговарајућу слику, па троугаоним лењиром одреди угао између t и ОТ. Шта закључујеш?

Циљ овог примера је да се дефинише додирни полупречник и утврди да ће угао између тангенте и додирног полупречника увек бити прав.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: „ Кружница и права“ и ураде пример 2 у оквиру те лекције

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању односа праве и кружнице.


Разред: V


Датум: 14


Наставна јединица: Кружница и права





По завршетку овог часа ученик треба да: разликује међусобне положаје праве и кружнице интуитивно поима прав угао који се црта коришћењем троугаоног

лењира зна да одреди растојање тачке од праве, односно централно

растојање праве од кружнице



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о кругу, кружници и односу кружнице и праве.



Овај час се посвећује изради примера из Збирке. Ученицима не диктирати текстове задатака, већ рећи да сви отворе страну 22 и почну редом са израдом задатака под насловом „Кружница и права“. Пример 1 попуњавати директно у Збирци. Дозволити употребу Уџбеника и школске свеске ради подсећања на неке дефиниције.

Први пример се може анализирати усмено, а остале примере наставник демонстрира на табли јер су ученици неспретни при коришћењу шестара за таблу. Задатак демонстрирати на табли један по један онда када смо увидом у ђачке свеске евидентирали да их је урадило више од половине ученика.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Уџбеника задатке: 1, 2 и 3 са стране 51.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању односа праве и кружнице.


Разред: V


Датум: 15


Наставна јединица: Кружни лук. Тетива



Наставна средства: Табла, фломастери, фломастери у боји, шестар, лењир

Исходи наставног рада: По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима тетива и кружни лук



У уводном делу часа подсетити ученике на разлику између кружнице и круга.


Затим поставити питање:Да ли свака тачка која припада кружници припада и кругу? А да ли важи обрнуто?

Пустити да се расправа захукта јер ће ученици најпре доћи до тачног закључка покушајима да нађу разлоге за оправдање свог става.


Нацртати кружницу k(О, 35mm) и тачке А и В које јој припадају. Обојити различитим фломастерима два дела кружнице одређена овим тачкама. Сваки од ових делова, укључујући тачке А и В, зове се кружни лук. Кружни лук обележавамо симболом изнад његових крајњих тачака .Дакле, кружни лук је део кружнице између две њене тачке, укључујући и те две тачке.

Овај корак треба да послужи дефинисању појма кружни лук.

Ако тачке А и В одређују једнаке кружне лукове, те лукове ћемо звати полукружнице.

Представити полукружнице цртежом и обојити их различитим фломастерима.

Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати два кружна лука који имају исти запис. Када је један од њих видно мањи, уколико ништа не нагласимо мислићемо баш на њега. У осталим случајевима ћемо изабрати још једну тачку кружнице која припада кружном луку на који мислимо.

Овај корак показује како да разликујемо два кружна лука одређена истим крајњим тачкама.

Тачке А и В кружнице k(О, 35mm) одређују и дуж АВ. Та дуж се зове тетива кружнице или одговарајућег круга.Тетива је дуж чије крајње тачке припадају кружници.

Дефинисање појма тетива круга.

Нацртајмо сада кружницу k(О, 35mm) и њену тачку А. Захтевајмо од ученика да нацртају тетиву одређену тачком А којој припада центар О.Поставити питање:Да ли постоји тетива дужа од ове?Наравно да не постоји.Најдужа тетива се зове пречник кружнице (круга) и он увек пролази кроз центар.

Дефинисање појма пречник круга.

Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати два кружна лука и тачно једну тетиву.

Наставити час израдом следећег примера:1. Нацртати кружницу k(О, 4cm) а затим њену сечицу р. Одредити шта је пресек р и круга и то означити жутом бојом, а затим шта је пресек р и кружнице и то означити црвеном бојом. Колико кружних лукова одређују пресечне тачке р и кружнице? Мањи означити плавом, а већи зеленом бојом.

Овај пример треба да послужи повезивању појмова са претходних часова и садржаја реализованих на данашњем часу.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: „Кружни лук, тетива“ и у оквиру њега ураде пример 1.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма једначине, решења једначине и поступка решавања једначина


Разред: V



Датум: 16



Кружни лук. Тетива




Табла, фломастери, шестар, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима тетива и кружни лук зна да упореди кружне лукове зна да упореди тетиве зна да се упоређивање може вршити само ако су кружни лукови и

тетиве одређени истом кружном линијом или кружним линијама једнаких полупречника



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појмове: круг, кружница, центар круга, кружни лук, тетива, полупречник, пречник, сечица, тангента тако што ћемо ученицима поделити наставне листиће са дефиницијама у којима недостаје по једна реч коју они дописују.


Један од могућих изгледа тог наставног листића би био:1. Проста затворена линија у равни чије су све тачке на ____________ растојању од једне дате тачке те равни, назива се кружна линија или кружница.2. Кружница и одговарајућа__________ област равни одређују фигру која се назива круг.3. Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати_____ кружна лука и ________ тетиву.4. Најдужа тетива се зове _________ кружнице (круга)5. Права која додирује круг назива се ________.

1. једнаком2. унутрашња3. два, (тачно) једну4. пречник5. тангента6. мање (краће)

6. Права чије је центарлно растојање ______ од полупречника круга назива се сечица.


Даљи ток часа попунити израдом примера:1.Нацртати кружницу k(О, 45mm) и њену тачку А. Нацртај тетиву која садржи тачку А и чија је дужина једнака полупречнику круга. Колико решења има задатак?2. Нацртати кружницу k(О, 4cm) и тачку А тако да је ОА=3cm. Како се назива права која садржи тачке О и А? Колико она има заједничких тачака са кружницом? Како називамо пресек те праве и круга?3. Нацртати кружницу k(О, 45mm) и њене тачке А,В и С тако да је В између А и С и да је АВ = 3cm, a VC = 2cm. Упореди краће кружне лукове АВ и ВС.4. Може ли се у кругу полупречника 52mm нацртати тетива дужине 11cm? Образложи.5. Нацртај кружницу са центром у тачки О чија је најдужа тетива 9cm. Затим нацртај једну њену тангенту t и њој паралелну сечицу s која садржи О.6. Нацртај два круга једнаких полупречника који немају заједничких тачака. Нацртај једну од њихових заједничких сечица. Упореди краће од лукова које је сечица направила на њима.7. Без цртања кругова К1(О1, 3cm) и К2(О2,43mm) одреди њихово централно растојање ако се они додирују:а) спољаб) изнутра.

Након израде примера 3 истаћи:У једном кругу ( или круговима једнакох полупречника ) већем кружном луку одговара дужа тетива, а мањем кружном луку краћа.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да у домаће свеске препишу допуњене дефиниције са наставног листића, а речи које су допуна истакну црвеном бојом.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да се још једном осврну на све појмове обрађене овом темом пред час систематизације.


Разред: VI



Датум: 17

Наставна тема:

Основни геометријски објекти


Основни геометријски објекти






По завршетку овог часа ученик треба да: влада свим појмовима дефинисаним у овој наставној теми, правилно их

означава, одређује њихове међусобне односе, истиче њихове карактеристичне особине



Овом часу не претходи неки дужи увод. Поделити ученицима наставне листиће са задацима које треба самостално да ураде. Пет минута пре истека часа исписати укратко решења задатака. Детаљна објашњења нису неопхпдна јер се систематизује градиво које је већ увежбавано.Док ученици раде задатке, наставник шета од клупе до клупе, надгледајући колико су ученици самостални и даје кратка упутства сваком понаособ тамо где примети да је дошло до застоја.


Ово је један од могућих садржаја наставног листића:1.Дате су тачке А, В и С на правој р и тачке К, L и М на правој l. Колико је њима одређено:а) дужиб) правихв) троугловаг) четвороуглова?2. Колико је правих одређено са четири тачке од којих су

Сваки задатак захтева или цртеж или скицу.Очекује се да сваки ученик који је савладао основне геометријске појмове може да уради у сваком од првих 5 задатака бар по део, ако не и цео задатак.Једино је задатак 6 намењен

тачно три колинеарне?3. Нацртати круг К(О, 4cm) и његове 4 сечице s1, s2, s3 и s4, тако да хга оне деле на:а) најмањиб) највећимогући број делова.4. а) Најкраће растојање тачке М од датог круга К износи 35mm, а централно растојање тачке М је 6cm. Одреди полупречник круга, као и растојање тачке М од најудаљеније тачке круга. б) Растојање тачке Р од најближе тачке круга је 4cm, a oд најудаљеније 2dm. Колики је полупречник круга?5. Нацртај дуж АВ = 8cm и круг К чији је то пречник. Затим нацртај тангенте а и b кроз тачке А и В. Да ли ће се а и b икад пресећи? Како их онда зовемо?6. Централно растојање кругова К1 и К2 је 15cm. Полупречник другог је 4 пута већи од полупречника првог. Одреди њихове полупречнике ако се они додирују изнутра, нацртај их, па одреди:a) К1 К2

б) k1 k2

в) К1 k2

г) k1 K2.

најуспешнијима.


За домаћи задатак захтевати да се уради задатак са истим текстом као задатак број 6, али изменити да се кругови додирују споља. Овакав задатак је мање захтеван.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика и дефинитивно утврђивање геометријских појмова.

Documents

Pripreme v Razred Matematika