Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematicki razlomci
Citation preview
1. RAZLOMCI
1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik2. Uspoređivanje razlomaka3. Brojevni pravac4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka5. Množenje razlomaka6. Dijeljenje razlomaka
Potrebno predznanje Treba znati što je razlomak, kako se količnik dvaju prirodnih brojeva može napisati u obliku razlomka i/ili mješovitog broja, uspoređivati razlomke jednakih nazivnika, zbrajati i oduzimati razlomke jednakih nazivnika te proširivati i skraćivati razlomke.
Najava ciljaU ovoj nastavnoj cjelini naučit ćemo uspoređivati razlomke različitih nazivnika te smještati razlomke na brojevni pravac. Naučit ćemo osnovne računske radnje s razlomcima.
10
Primjer
Petra i Marko kupili su dvije jednake čokolade. Žele ih podijeliti sa svojim prijateljima, Sanjom, Ivanom i Martinom. Kako će to pravedno učiniti? Koji će dio čokolade dobiti svaki od njih? Prikaži grafički i zapiši matematičkim simbolima.
1.Svođenjerazlomakanazajedničkinazivnik
Podsjetimo se: brojeve 12 ,
13 ,
14 ,
15 nazivamo razlomcima. Dobivamo ih tako
da cjelinu (jedno cijelo) podijelimo na dva, tri, četiri, pet, ... jednakih dijelo-va. U svakom se razlomku pojavljuju dva broja razdvojena razlomačkomcrtom. Broj iznad razlomačke crte nazivamo brojnikom, a broj ispod crte nazivnikom razlomka.
brojniknazivnik razlomačka crta
Ako je brojnik razlomka manji od njegova nazivnika, taj je razlomak manji od broja 1. Takve razlomke nazivamo pravim razlomcima.
L1
Ako je brojnik razlomka jednak njegovu nazivniku, taj je razlomak jednak broju 1.
Ako je brojnik razlomka veći od njegova nazivnika, taj je razlomak veći od broja 1. Takve razlomke nazivamo nepravim razlomcima.
Svaki nepravi razlomak možemo napisati u obliku mješovitog broja.
Primjer 1. Napišimo u obliku mješovitog broja:
a) 135 , b)
194 , c)
356 .
Rješenje: a) 135 = 13 : 5 = 2 i ostatak 3;
135 = 2 35 ,
b) 194 = 19 : 4 = 4 i ostatak 3;
194 = 4 34 ,
c) 356 = 35 : 6 = 5 i ostatak 5;
356 = 5 56 .
11
Primjer 2. Napišimo u obliku nepravog razlomka:
a) 2 13 , b) 3 25 , c) 5 37 .
Rješenje: a) 2 13 = 2 . 3 + 13 = 7
3 ,
b) 3 25 = 3 . 5 + 25 =
175 , c) 5 37 = 5 . 7 + 3
7 = 387 .
1. Nacrtaj u bilježnicu četiri pravokutnika sa stranicama duljine 45 mm i širine 20 mm. Prvoga podijeli na dva jednaka dijela i oboji njegovu jednu polovinu, drugoga podijeli na tri jednaka dijela i oboji njegovu
jednu trećinu, trećega podijeli na četiri jednaka dijela i oboji njegovu jednu četvrtinu, a četvrtoga podijeli na šest jednakih dijelova i oboji njegovu jednu šestinu.
Možeš li neku podjelu napraviti na više načina?
2. Napiši u obliku razlomka: a) 2 : 5, b) 0 : 8, c) 5 : 2, d) 11 : 1.
3. Napiši u obliku količnika:
a) 52 , b)
78 , c)
184 , d)
237 .
4. Broj 1 napiši u obliku razlomka: a) s nazivnikom 4, b) s brojnikom 6, c) s nazivnikom 25.
5. Broj 5 napiši u obliku razlomka: a) s nazivnikom 2, b) s brojnikom 35, c) s nazivnikom 13.
6. Napiši u obliku mješovitog broja:
a) 229 , b)
143 , c)
172 , d)
198 .
7. Napiši u obliku nepravog razlomka:
a) 2 1011, b) 4 58 , c) 3 79 , d) 3 1
11.
Primjer
1. Što je razlomak?
2. Koju računsku radnju zamjenjuje razlomačka crta?
3. Koji razlomak nazivamo pravim razlomkom?
4. Koji razlomak nazivamo nepravim razlomkom?
5. Koliko četvrtina sadržava jedno cijelo? A koliko petina?
6. Koji je broj veći: 33 ili
77 ? Objasni.
Mjesec
12
Precrtaj u bilježnicu pa istom bojom oboji polja koja sadržavaju parove jednakih razlomaka.
1014
714
34
12
23
57
1216
1015
Svođenjerazlomakanazajedničkinazivnik
U petom ste razredu naučili proširivati i skraćivati razlomke. Podsjetimo se:
Proširiti razlomak znači pomnožiti i brojnik i nazivnik tog razlomka istim prirodnim brojem. Prošireni je razlomak jednak početnomu.
Skratiti razlomak znači podijeliti i brojnik i nazivnik razlomka njiho-vim zajedničkim djeliteljem. Razlomak je do kraja skraćen ako je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika jednak 1.
Razlomke jednakih nazivnika jednostavno je uspoređivati, zbrajati i odu-zimati. No, razlomci najčešće nemaju jednake nazivnike. Da bismo dva zadana razlomka nejednakih nazivnika sveli na zajednički nazivnik, najprije moramo odrediti (najmanji) zajednički višekratnik nazivnika tih razloma-ka. Nakon što odredimo zajednički nazivnik, razlomke moramo proširiti do razlomaka s tim nazivnikom.
PrimjeriPrimjer 3. Zadanim razlomcima odredimo najmanji zajednički nazivnik:
a) i34
25 , b) i5
623 , c)
512i7
8 .
Rješenje: a) V(4, 5) = 20, b) V(6, 3) = 6, c) V(8, 12) = 24.
Primjer 4. Napišimo razlomke 56 ,
712,
98 , 3
4 kao razlomke s nazivnikom 24.
Rješenje: a) Budući da je 24 : 6 = 4, prvi zadani razlomak proširuje-mo brojem 4.
Dakle, vrijedi: 56
5 . 46 . 4= 20
24= .
13
b) Budući da je 24 : 12 = 2, drugi razlomak proširujemo brojem 2.
Dakle, vrijedi: 7
127 . 2
12 . 2= 1424= .
c) Razlomak 98 proširujemo brojem 3,
98
9 . 38 . 3= 27
24= .
d) Razlomak 34 proširujemo brojem 6,
34 = 18
24.
Primjer 5. Svedimo na najmanji zajednički nazivnik razlomke:
a) i59
34 , b) i7
1545 , c) i 13
1076 , d) i8
151112.
Rješenje: a) V(9, 4) = 36; 59
5 . 49 . 4= 20
36= ; 34
3 . 94 . 9= 27
36= ;
b) V(15, 5) = 15; 7
15; 45
4 . 35 . 3= 12
15= ;
c) V(6, 10) = 30; 76
7 . 56 . 5= 35
30= ; 1310
13 . 310 . 3= 39
30= ;
d) V(15, 12) = 60; 8
158 . 4
15 . 4= 3260= ;
1112
11 . 512 . 5= 55
60= .
8. Razlomak 34 proširi brojem
a) 2, b) 3, c) 5, d) 11.
9. Do kraja skrati razlomke:
a) 1216, b)
2149, c)
3036, d)
5672.
10. Odredi najmanji zajednički nazivnik razlomaka:
a) i38
59 , b) i7
1025 , c) i7
649 , d) i7
128
15.
11. Svedi na najmanji zajednički nazivnik razlomke:
a) i310
25 , b) i5
1234 , c) i3
857 , d) i4
956 ,
e) i712
49 , f) i15
161112, g) i14
5136 , h) i7
155
12. L2, L3
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• zajednički nazivnik
1. Što znači proširiti razlomak?
2. Što znači skratiti razlomak?
3. Koji od razlomaka
813
, 1215
, 721
, 1339
i 4913
nisu do kraja skraćeni?
4. Matko tvrdi da može napisati broj 3 na barem pet načina. Možeš li i ti?
Kako?
5. Koliko minuta iznosi 15
sata? Zapiši 15
kao razlomak s nazivnikom 60.
14
• U prvom je satu Janko prešao
320
duljine planiranog puta, a u drugom
satu
720
duljine planiranog puta. U kojem je satu prešao dulji put?
• Na kros-utrci za dječake, najbolje su rezultate postigli Matija i Petar.
Matija je utrku završio za 34
sata, a Petar za 35
sata. Koji je od njih bio brži?
U petom ste razredu naučili kako se uspoređuju razlomci jednakih nazivni-ka, odnosno razlomci jednakih brojnika.
Među dvama razlomcima jednakih nazivnika veći je onaj koji ima veći brojnik:
2.Uspoređivanjerazlomaka
L4
28
38
58< < jer je 2 < 3 < 5
Među dvama razlomcima jednakih brojnika veći je onaj koji ima manji nazivnik:
28
26
23< < jer je 2 < 3 < 5
Primjer
Primjer 1. Marija i Petra igraju pikado. Marija je bacala 20 puta, pri čemu je 17 puta pogodila cilj. Petra je bacala 25 puta, a pogo-dila 21 put. Petra tvrdi da je ona uspješnija. Je li u pravu?
Rješenje: Marijin rezultat možemo izraziti razlomkom 1720, a Petrin
razlomkom 2125. Da bismo uspješno riješili postavljeni problem, potre-
bno je usporediti navedene razlomke. No, ti razlomci nemaju jednake nazivnike ni jednake brojnike. Njih je potrebno (proširivanjem) sve-sti na zajednički nazivnik, a zatim usporediti prema prije naučenim pravilima. Najmanji zajednički nazivnik tih razlomaka jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 20 i 25. Budući da je V(20, 25) = 100, oba razlomka proširujemo do razlomaka s nazivnikom 100:
1720
17 . 520 . 5= 85
100= i 2125
21 . 425 . 4= 84
100= .
Budući da je >85100
84100, zaključujemo da je >17
202125. Dakle, iako je
Petra pogodila metu više puta, Marija je bila uspješnija.
15
Primjer 2. Usporedimo razlomke po veličini.
a) i35
57 , b) i 13
1276 , c) i11
1278 .
Rješenje: a) Najprije odredimo zajednički nazivnik zadanih razlo-maka, tj. V(5, 7) = 35. Zadane razlomke svodimo na zajednički nazi-
vnik i dobivamo 35 = 21
35, 57 = 25
35. Konačno, uspoređujemo razlomke
jednakih nazivnika: <2135
2535, pa je <3
557 .
b) Postupamo kao u rješenju primjera a): V(6, 12) = 12, 76 = 14
12,
>1412
1312, pa je
76 > 13
12.
c) V(12, 8) = 24, 1112 = 22
24, 78 = 21
24, tj. 78>11
12 . Primjer 3. Poredajmo zadane razlomke po veličini počevši od najmanjega:
a) 23 ,
56 ,
12 ,
712 ; b)
34 ,
45 ,
710 ,
12 ;
Rješenje: a) Najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 6, 2 i 12 je 12. Svedemo li zadane razlomke na nazivnik 12, dobit ćemo redom:23 = 8
12, 56 = 10
12, 12 = 6
12, 7
12. Zato je <12
712 < <2
356 .
b) Najmanji zajednički višekratnik brojeva 4, 5, 10 i 2 je 20. Svedemo li zadane razlomke na nazivnik 20, dobit ćemo redom:34 = 15
20, 45 = 16
20, 7
10 = 1420,
12 = 10
20. Zato je <12
710 < <3
445 .
1. Nacrtaj u bilježnicu tri jednaka kruga. Prvi krug podijeli na dva, drugi na četiri, a treći na osam jednakih dijelova. Oboji po jedan od dobivenih dijelova svakog kruga. Kako se zovu dobiveni dijelovi kruga?
Koristeći se nacrtanim slikama, usporedi sljedeće razlomke: a) i1
214 , b) i1
218 , c) i1
814 .
2. Usporedi po veličini: a) i7
856 , b) i5
1238 , c) i4
39
10.
1. Kako uspoređujemo razlomke jednakih nazivnika?
2. Kako uspoređujemo razlomke jednakih brojnika?
3. Kako uspoređujemo razlomke različitih brojnika i različitih nazivnika?
4. Je li broj 157
manji ili veći od 2?
L5 – L7
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• uspoređivanje razlomaka
Primjeri
16
Od ulice do škole vodi staza dugačka 5 metara. Na početku i na kraju staze uz jedan njezin rub treba zasaditi po jedan grm ruže, a ostale grmove ruža treba zasaditi u razmacima od pola metra. Uz drugi rub staze (i na njezinu početku i kraju) treba zasaditi maćuhice u razmacima od jedne četvrtine metra. Koliko treba nabaviti sadnica ruža, a koliko maćuhica?
3. Brojevni pravac
Poznato vam je kako prirodne brojeve prikazujemo na (brojevnom) pravcu. Označimo na pravcu dvije točke. Prvu točku nazovemo O i pridružimo joj broj 0, dok drugu točku (desno od točke O) nazovemo E i pridružimo joj broj 1. Točku O zovemo početnomtočkom (ishodištem), a točku E jedi-ničnomtočkom. Dužinu OE zovemo jediničnomdužinom.
Označivanjem jedinične dužine jednoznačno smo odredili položaj točaka kojima redom pridružujemo ostale prirodne brojeve. Položaj tih točaka nalazimo prenošenjem jedinične dužine desno od početne točke.
1. Prikaži na brojevnom pravcu točke pridružene prirodnim brojevima:a) 2, 3, 5, 8, 9 i 12, b) 23, 25, 28, 30, 31 i 34,c) 120, 130, 150, 180 i 200, d) 1 350, 1 450, 1 500, 1 650 i 1 800.
Pokatkad je potrebno na brojevnom pravcu prikazati i razlomke. Kako se to radi?
Primjeri
Primjer 1. Prikažimo na (brojevnom) pravcu raspored sadnica ruža, odnosno maćuhica iz uvodnog zadatka.
Rješenje: “Točkama” u kojima treba zasaditi sadnice pridružit ćemo brojeve kojima odgovaraju udaljeno-sti pojedine sadnice od sadnice koja se nalazi uz rub ceste mjerene u metrima:
O je početno slovo latinske riječi origo (začetak, postanak,
ishodište).
E je početno slovo latinske riječi
ekvidistancija (jednaka udaljenost).
17
Koji su brojevi pridruženi preostalim istaknutim točkama? Sjetimo li se da se ruže sade u razmacima od pola metra, nameće se zaključak: točki koja se nalazi između točaka pridruženih brojevima 0 i 1 bit će pridružen broj
12 . Budući da je 1 =
22 i 2 =
42 , točki koja
se nalazi između točaka pridruženih brojevima 1 i 2 bit će pridružen broj 3
2 . Točki koja se nalazi između točaka pridruženih brojevima 2 i 3 pridružit ćemo broj 5
2 , itd.
Budući da je 1 = 44 , 2 =
84 , 3 =
124 , 4 =
164 , 5 =
204 , dolazimo do slje-
deće slike:
Primjer 2. Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama?
2. Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama? a)
1. Što je brojevni pravac?
2. Što je ishodište, a što jedinična točka?
3. Što je jedinična dužina?
Rješenje: Budući da je jedinična dužina OE na slici podijeljena na 6 jednakih dijelova, zaključujemo da je prvoj diobenoj točki na dužini OE pridružen broj
16 , drugoj broj 2
6 , trećoj broj 36 , itd. Istaknutim su
točkama redom pridruženi brojevi 36 ,
56 ,
86 i
136 .
b)
18
Primjer
• Koji dio decimetra čini 5 centimetara?
Brojevni pravac
Primjer 4. Na brojevnom pravcu prikažimo točke koje su pridružene razlomcima: 1
2 , 23 ,
32 ,
76 ,
73 ,
176 .
Rješenje: Budući da zadani razlomci nemaju jednake nazivnike, prvo moramo odrediti najmanji zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 6. Budući da je V(2, 3, 6) = 6, sve razlomke moramo najprije proširiti do
razlomaka s nazivnikom 6: =12
36 , =2
346 , =3
296 ,
76 , = 14
673 , 17
6 .
• Označi 12
decimetra na “brojevnom pravcu ravnala”.
• Koji dio centimetra čini 4 milimetra? Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i označi taj razlomak na nacrtanom brojevnom pravcu.
Primjer 3. Na brojevnom pravcu prikažimo točke koje su pridružene razlomcima:
a) 12 ,
32 ,
42 ,
52 ,
72 , b)
13 ,
23 ,
43 ,
83 ,
103 .
Rješenje: a) Na pravcu odaberimo početnu točku O i jediničnu točku E.Jediničnu dužinu podijelimo na dva jednaka dijela. Prvoj istaknutoj točki desno od točke O pridružujemo broj
12 , a drugoj točki broj
22 ...
b) Jediničnu dužinu podijelimo na tri jednaka dijela. Prvoj istaknutoj točki desno od točke O pridružujemo broj
13 , a drugoj točki broj
23 ...
3. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima
14 ,
24 ,
34 ,
54 ,
74 .
Primjer
19
1. Objasni postupak prikazivanja razlomka 34
na brojevnom pravcu.
2. Objasni postupak prikazivanja razlomka 85
na brojevnom pravcu.
3. Između kojih se dvaju prirodnih brojeva nalazi razlomak:
a) 154
, b) 73
, c) 212
, d) 195
?
L8
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• brojevni pravac
Napišemo li zadane neprave razlomke u obliku mješovitog broja, olakšat ćemo si prikazivanje tih brojeva na brojevnom pravcu. Uočite da je u prošlom primjeru = 19
636 , = 17
616 , = 214
626 , = 217
656 , pa nam točke pri-
družene prirodnim brojevima omogućuju lakše snalaženje na brojevnom pravcu.
Kako ćemo na brojevnom pravcu odrediti točku pridruženu razlomku oblika a
b , pri čemu su a i b prirodni brojevi? Najprije ćemo jediničnu
dužinu OE podijeliti na b jednakih dijelova (b je nazivnik razlomka). Zatim ćemo dobiveni dio jedinične dužine prenositi a puta udesno, počevši od ishodišta O.
Primjerice, želimo li na brojevnom pravcu prikazati točku pridruženu
razlomku 97 , jediničnu ćemo dužinu podijeliti na 7 jednakih dijelova (b = 7),
a zatim ćemo dobiveni dio prenositi 9 puta (a = 9) desno od točke O.
4. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 12 ,
34 ,
32 ,
78 ,
114 .
5. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 12 ,
45 ,
75 ,
1910 ,
13 5 .
6. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 52 ,
83 ,
103 ,
114 ,
72 .
Odaberimo na pravcu početnu točku O i jediničnu točku E.Jediničnu dužinu podijelimo na šest jednakih dijelova. Prvoj ista-knutoj točki desno od točke O pridružujemo broj 1
6 , a drugoj točki broj 2
6 , ...
20
Primjer
Marija je pojela 18
svoje rođendanske torte, a zatim još 14
. Koji je dio torte
pojela Marija? Nacrtaj skicu i odgovori na pitanje.
4.Zbrajanjeioduzimanjerazlomaka
U petom ste razredu naučili zbrajati i oduzimati razlomke jednakih nazi-vnika. Podsjetimo se:
Zbroj razlomaka jednakih nazivnika je razlomak istoga nazivnika koje-mu je brojnik jednak zbroju brojnika zadanih pribrojnika.
L9
Puno češće u svakodnevnom životu treba odrediti zbroj dvaju (ili više) razlomaka koji nemaju jednake nazivnike.
Primjer 1. Vrpca je razrezana na dva dijela. Duljina prvog dijela je 35 m,
a drugog dijela 34 m. Kolika je bila početna duljina vrpce?
Rješenje: Ukupnu duljinu vrpce izračunat ćemo tako da zbrojimo duljine dobivenih dijelova, tj. izračunajući zbroj 3
5 m + 34 m. U rje-
šavanju će nam pomoći činjenica da je 35 m = 60 cm i 3
4 m = 75 cm.
Zato je 35 m + 3
4 m = 60 cm + 75 cm = 135 cm = 135100 =
2720 m.
Zadatak smo riješili koristeći se pretvaranjem mjernih jedinica, ali i dalje nemamo pravilo za zbrajanje razlomaka različitih nazivnika.
PrimjeriPrimjer 2. Baka je posadila krumpir na
34 površine svoga vrta, dok je
na 18 površine posijala salatu. Koliki je dio površine vrta
obradila baka?
Rješenje: Baka je obradila 34
18+ površine vrta.
Proširimo li razlomak 34 brojem 2, dobit ćemo
njemu jednak razlomak 68 .
Zato možemo računati: 34
18+ 6
818+ 7
8= = .
Primjer 3. Izračunajmo: 14
23+ .
Rješenje: Kao i kod uspoređivanja razlomaka različitih nazivnika, i kod njihova je zbrajanja potrebno zadane razlomke svesti na
21
(najmanji) zajednički nazivnik. To je u ovom primjeru broj 12 (jer je V(3, 4) = 12), pa razlomke znamo zbrojiti:
14
23+ = 3
12 + 812 = 3 + 8
12= 11
12 .
Ako razlomci nemaju jednake nazivnike, prvo ih proširivanjem svodimo na zajednički nazivnik, a nakon toga zbrajamo razlomke jednakih nazi-vnika (tako da brojnike zbrojimo, a nazivnik prepišemo).
1. Izračunaj:
a) 35
14+ , b) 5
634+ , c) 1 23
49+ , d) 1
2 + 38 .
PrimjerPrimjer 4. Izračunajmo:
a) 12
23+ 3
4+ , b) 1 12
23+ 3
4+ .
Rješenje: a) Budući da je V(2, 3, 4) = 12, sve razlomke moramo pro-širiti do razlomka s nazivnikom 12, pa ih onda zbrojiti.
12
23+ 3
4+ = 612 + 8
12+ 9
12 = 2312 = 1 11
12 .
b) Zadani mješoviti broj najprije napišemo u obliku nepravog razlomka, a zatim određujemo najmanji zajednički nazivnik zadanih razlomaka. Budući da je V(3, 9, 6) = 18, sve razlomke moramo proši-riti do razlomka s nazivnikom 18 i onda ih zbrojiti:
1 23
29+ 5
6+ = 53
29+ 5
6+ = 6 . 5 + 2 . 2 + 3 . 518 = 49
18 = 2 1318.
2. Izračunaj: a)
25
52+ + 2, b)
34
23+ + 21 1
2 , c) 12
23+ 2 + 31 3
4 .
3. Koji je broj za 562 veći od zbroja brojeva
231 i
123 ?
4. Ana je kupila 34 kg bresaka, 1
2 kg jagoda i 251 kg jabuka. Koliko iznosi
ukupna masa kupljenog voća?
5. Tiana je učila matematiku 122 h, a geografiju
34 h. Koliko je vremena
provela učeći?
1. Kako zbrajamo razlomke različitih nazivnika?
2. Koji je najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 16?
3. Zbroji:
512
+ 716
.
22
Primjer
Primjer
Lana je kupila 58
kg bombona. Svojoj sestri Tiani dala je 14
kg bombona.
Koliko joj je kilograma bombona ostalo?
Razlika dvaju razlomaka jednakih nazivnika razlomak je istoga nazi-vnika kojemu je brojnik jednak razlici brojnika umanjenika i brojnika umanjitelja. Pri tome umanjenik ne smije biti veći od umanjitelja.
Zbrajanjeioduzimanjerazlomaka
L10
Primjer 5. Od vrpce duljine 341 m odrezan je komad duljine
12 m. Koja
je duljina preostalog dijela vrpce?
Rješenje: Duljinu preostalog dijela vrpce izračunat ćemo tako da od
početne duljine oduzmemo duljinu odrezanog dijela, tj. tako da izra-
čunamo razliku 1 34 m –
12 m. U rješavanju će nam pomoći činjenica
da je 1 34 m = 175 cm i 1
2 m = 50 cm.
Zato je 1 34 m – 1
2 m = 175 cm – 50 cm = 125 cm = 125100 m =
54 m.
Zadatak smo riješili koristeći se pretvaranjem mjernih jedinica, ali i dalje nemamo pravilo za oduzimanje razlomaka različitih nazivnika.
Kod oduzimanja razlomaka različitih nazivnika primjenjujemo postupak kao i kod njihova zbrajanja: zadane razlomke najprije svodimo na (najma-nji) zajednički nazivnik. Kad su razlomci napisani tako da imaju jednake nazivnike, znamo izračunati njihovu razliku.
Budući da je V(4, 2) = 4, zadani primjer možemo računati na sljedeći način: 341 – 1
2 = 74 – 2
4= 7 – 2
4 = 54 .
Primjer 6. Izračunajmo: a)
54 – 2
3 , b) 351 – 7
10, c) 23 + 1 5
6 – 49 .
Rješenje: a) 54 – 2
3 = 1512 – 8
12 = 712,
b) – 710 = 7
10 = 16 – 710
351 –8
5 = 910,
c) 23
+ 1 56 – 4
9= 11
6+23 – 4
9= 12 + 33 – 8
18= 37
18= 2 1
18.
23
PrimjerPrimjer 7. U prvom je satu pješak prešao
123 km, u drugom satu
141
km manje nego u prvome. Koja je ukupna duljina prijeđe-nog puta u ta dva sata?
Rješenje: U drugom je satu pješak prešao 3 1
2 – 14 = 7
2 – 54
= 14 – 54
=1 94
= 2 14 kilometra.
Ukupna duljina prijeđenog puta jednaka je zbroju 12
+ 2 14
3 , tj. 12
+ 2 14
3 = 72 + 9
4 = 14 + 94
= 234
= 5 34 kilometara.
6. U prvom stupcu tablice desno napisani su zadatci, a u drugome stu-pcu njihova rješenja. Pronađi odgovarajuće parove!
7. Prodavač je na tržnicu donio 12 kg trešanja. Ana je kupila 123 kg, a
Petra 342 kg trešanja. Koliko je još trešanja ostalo za prodaju?
8. Precrtaj tablicu u bilježnicu. U prazna polja upiši odgovarajuće brojeve tako da zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i na dijagonali bude jednak 1.
16
1216
16
13
9. Prvog je dana Ante pročitao 5
24 ukupnog broja stranica knjige, drugog dana
18 ukupnog broja stranica knjige, a trećega dana 1
3 ukupnog broja stranica knjige. Koliki dio knjige ostaje za pročitati
četvrtog dana?
10. U prvom je satu biciklist prešao 25 12 km. U drugom je satu prešao
1 34 km više nego u prvom satu. U trećem je satu prešao 12 14 km manje
nego u prva dva sata zajedno. Koliko mu još preostaje do cilja, ako je
planirani put dugačak 100 km?
1. Kako oduzimamo razlomke različitih nazivnika?
2. Koji je najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 18?
3. Izračunaj: 1512
718
– .
a) 1 18 – 2
31924
b)5
12 + 38
1724
c) 3 16 – 2 7
85
24d) 1 5
6 + 1 38 – 2 1
21124
e) 2 16 – 1 3
4 + 18
724
f) 3 12 – 1 2
3 – 1 58
1324
Zbrajanje razlomaka
24
Primjer
Precrtaj tablicu u bilježnicu. U prazna polja upiši odgovarajuće brojeve tako da zbroj u svakom retku, stupcu i dijagonali bude
jednak 1 12
.
Zbrajanjeioduzimanjerazlomaka
Za zbrajanje razlomaka vrije-de ista svojstva koja ste upo-znali kod zbrajanja prirodnih brojeva. Naime, rezultat ne ovisi o redoslijedu pribrojni-ka (svojstvo komutativno-sti zbrajanja) ni o načinu grupiranja pribrojnika (svojstvo asocijativnosti zbrajanja).
Primjer 8. Izračunajmo na najjednostavniji način: a)
2 15 + 3 2
3 , b) 1 2
9 + 5 56 + 4 1
3 ,
c) 2 3
7 + 4 14 + 5 4
7 + 38 + 2 3
4 .
Rješenje: a) Budući da je svaki mješoviti broj zapravo skraćeni zapis zbroja prirodnog broja i pravog razlomka, mješovite brojeve može-mo zbrajati tako da zbrojimo njihove cijele dijelove te njihove razlo-mljene dijelove. Dobivene zbrojeve zbrojimo i napišimo u obliku mješovitoga broja:
2 15 + 3 2
3 = 2 + + 3 + = (2 + 3) + + = 5 + = 515
23
15
23
3 + 1015
1315 .
Dio tog postupka obično obavljamo “u glavi”, preskačući dio postupka.
b) Postupamo na sličan način kao pri rješavanju zadatka a):
1 29
56
13+ 5 + 4 = 10 + 4 + 15 + 6
18 = 10 + 2518 = 10 + 1 7
18 = 11 718 .
c) Uočimo da se u zadatku pojavljuju parovi razlomaka s međuso-bno jednakim nazivnicima. Zbog svojstava komutativnosti i asoci-jativnosti zbrajanja pribrojnike grupiramo tako da zbrajamo na što jednostavniji način:
2 37 + 4 1
4 + 5 47 + 3
8 + 2 34
= 2 + 5 + 4 + 2 + = 8 + 7 + = 15 37
34
47
14
38
38
38
Oduzimanje razlomaka pokatkad će nam zadavati malo više problema.
12
34
12
12
Ta svojstva koristimo kako bismo si olakšali računanje.
Oduzimanje razlomaka
25
PrimjerPrimjer 9. Izračunajmo: a) 3 7
8 – 1 14 , b)
5 14 – 2 2
5 , c) 3.7 – 2 14 .
Rješenje: a) Ako je razlomljeni dio umanjenika veći od razlomljenog dije-la umanjitelja, postupamo slično kao kod zbrajanja mješovitih brojeva:
3 78 – 1 = (3 – 1) + – = 2 + = 21
458
78
7 – 28
14 .
b) Ponovimo li isti postupak pri rješavanju zadatka b), dobit ćemo:
5 14 – 2 = (5 – 2) + – = 3 + = ?2
514
5 – 820
25
Upitnik na kraju rješenja tog zadatka navodi na pomisao da mora postojati još neki način za njegovo rješavanje, ali koji ne sadržava trenutno “nerješive probleme” kao što je, npr. 5 – 8 . Zadatak ćemo riješiti tako da mješovite brojeve napišemo u obliku razlomaka, a zatim izračunamo traženu razliku:
5 14 – 2 = – = = = 22
5105 – 48
20214
125
5320
1320.
c) Budući da je 3.7 = 3710, zadatak možemo napisati u obliku
3.7 14– 2 = – = = = 137
1094
74 – 4520
2920
920.
Isti zadatak možemo riješiti i tako da zadani razlomak (mješovi-ti zbroj) napišemo u obliku decimalnog broja (u ovom primjeru
2 14 = 9
4 = 225100 = 2.25), a zatim dobiveno oduzimamo:
3.7 – 2.25 = 1.45
11. Tiana je dobila paket mase 3724 kg. Kad ga je raspakirala, utvrdila
je da na ambalažu otpada 351 kg. Kolika je masa robe u paketu?
12. Od broja 32.5 oduzmi zbroj brojeva 897 i
345 .
13. Od zbroja brojeva 456 i
234 oduzmi njihovu razliku.
14. Jedna cijev napuni bazen za 6 sati, druga cijev za 5 sati, a treća za 8 sati. a) Koji dio bazena napuni svaka cijev za 1 sat? b) Koji će dio bazena napuniti sve tri cijevi za 1 sat?
1. Je li zbrajanje razlomaka komutativno? Objasni.
2. Je li zbrajanje razlomaka asocijativno? Objasni.
3. Je li oduzimanje razlomaka komutativno? Objasni.
4. Je li oduzimanje razlomaka asocijativno? Objasni.
5. Navedi nekoliko primjera iz stvarnog života u kojima se primjenjuje
oduzimanje razlomaka.
L11 – L14
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• zbrajanje razlomaka• zbroj razlomaka• oduzimanje razlomaka• razlika razlomaka
26
Primjer
Anita ima mjesečni džeparac 35 €, a Jasna 40 €. Anita je potrošila 47
svog
džeparca, a Jasna 58
svoje svote. Koliko je potrošila Anita, a koliko Jasna?
Koja je potrošila veću svotu?
5.Množenjerazlomaka
Poznato vam je da je množenje skraćeno zbrajane jednakih pribrojnika. Tako je, primjerice,
a) 25
25+ 2
525+ 2
5+ = 4 . = = 4 . 25
85 ,
b) 47
47+ 4
747+ 4
7+ = 5 . = = 5 . 47
207+ 4
7 ,
c) 16
16
76
16= 3 . 11
6+ + = 3 . = = = = 3 3 . 761 1 1 1 . 7
272
12 .
Dakle, razlomak množimo prirodnim brojem tako da brojnik razlomka pomno-žimo zadanim prirodnim brojem, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim.
Ako je moguće, prije množenja vršimo skraćivanje.
Primjer 1. Izračunajmo:
a) 13
. 7, b) 345 . , c)
568 . , d)
3714 . , e)
512
. 20.
Rješenje: a) 13
. 7 1 . 73
73= = , b)
345 . 5 . 3
4154= = ,
c) 568 . 8 . 5
6= = 20
3=4 . 53
, d)
3714 . 14 . 3
7= = = 62 . 3
1 ,
e) 5
12. 20 5 . 20
12= = 5 . 5
3253= .
Pri rješavanju zadataka u kojima je skraćivanje moguće, često zapisujemo skra-ćenim postupkom rješavanja. Primjerice, za posljednji primjer možemo pisati:
512
. 20 5 . 53
253= = .
PrimjerPrimjer 2. Odredimo koliko je:
a) 14 od 24 sata, b)
35 od 100 €, c)
58 od 200 m, d)
715 od 4500 kn.
Rješenje: a) 14 od 24 sata = 24 sata : 4 = 6 sati, ili
14
. 24 1 . 61= = 6 ,
b) 35 od 100 € = (100 € : 5) . 3 = 20 € . 3 = 60 €, ili
35
. 100 3 . 201= = 60,
c) 58 od 200 m = (200 m : 8) . 5 = 125 m, ili
58
. 200 5 . 251= = 125,
d)
715 od 4500 kn = (4500 kn : 15) . 7 = 2100 kn,
ili 7
15. 4500 7 . 300
1= = 2100.
ab
n . = n . ab
27
Primjer
Provjerimo na nekoliko primjera: vrijede li svojstva množenja prirodnih brojeva i za množenje razlomaka?
Primjer 4. Izračunajmo: a) 47
. 0, b) 8
130 . , c)
13200 . 8 .
Rješenje:
a) 47
. 0 = 4 . 07 = = 00
7 , b) 8
130 . = 0 . 815 = = 00
13 , c)
13200 . 8 = 0 .
Pomnožimo li neki razlomak brojem 0, vrijednost razlomka bit će jednaka nuli.
1. Napiši u obliku umnoška pa izračunaj:
a) 37
+ 37
+ 37 , b)
56
+ 56
+ 56
+ 56 , c)
14
+ 1 14
1 + 1 14
+ 1 14
+ 1 14
+ 1 14 .
2. Pomnoži: a) 1345 ∙ 3, b) 0.23 ∙ 3, c) 2 2
7 . 1, d) 2 . 1 49 ,
e) 4 2
9 . 12, f) 7 524 . 48, g) 1.45 · 1, h) 15 7
12 . 36.
3. Izračunaj koliko je: a) 6
10 od 20 km, b) 78 od 24 sata, c) 3
20 od 100 m,
d) 425 od 1000 g, e) 11
12 od 60 minuta, f) 5
6 od 30 dana.
4. Koliko je grama
a) 1625 kg, b) 33
50 kg, c) 53
125 kg, d) 157250 kg?
5. Koliko je sati
a) 12 dana, b) 1
4 dana, c) 23 dana, d) 1
6 dana?
1. Koliko minuta ima jedna trećina sata?
2. Koliko dekagrama ima petina kilograma?
3. Kako množimo razlomak prirodnim brojem?
4. Je li umnožak 10 . 38
veći ili manji od 10? A umnožak 43
. 10 ? Obrazloži!
PrimjerPrimjer 3. Izračunajmo: a)
35
. 1 b) 791 . , c)
3101 . 2 .
Rješenje:
a) 35
. 1 = 3 . 15 = 3
5 , b) 791 . 1 . 7
9 = 79
= , c) 3
101 . 2 = 2 310.
Pomnožimo li neki razlomak brojem 1, vrijednost razlomka ne će se promijeniti.
Razlomci i Zemljina
atmosfera
28
Primjeri
Susjeda Mira je posijala salatu na gredicu pravokutnog oblika. Duljina gredice je 3 m, a njezina širina 1.5 m. S površine jednog kvadratnog metra
ubrala je prosječno 5 13
kg salate. Koliko je salate ubrala s te gredice?
Množenjerazlomaka
L15
Prije nego odgovorimo na postavljeno pitanje, promotrimo sljedeće primjere.
Primjer 5. Koliko je 12 od 3
5 ?
Rješenje: Rezultat prikažimo grafički, kao dio kvadrata, na sljedeći način.Nacrtajmo kvadrat sa stranicom duljine 1 (npr. 1 dm).Par nasuprotnih stranica podijelimo na 5 jednakih dijelova pa obo-
jimo 35 tog kvadrata.
Drugi par nasuprotnih stranica podijelimo na 2 jednaka dijela pa
drugom bojom obojimo 12 tog kvadrata (vidi slike).
Dva puta obojeni dio kvadrata grafički je prikaz broja 12 od
35 , tj. 1
2 od 35 =
310.
Primjer 6. Izračunajmo površinu pravokutnika sa stranicama duga-
čkim 12 dm i
35 dm.
Rješenje: Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina njego-vih susjednih stranica. Dakle,p = a ∙ b
p = 12 dm . 3
5 dm,
a prema primjeru 4. vrijedi da je 12 . 3
5 je 3
10.
Znači da je tražena površina jednaka 3
10 dm2.
6. Prikaži grafički (kao u primjeru 5.) i izračunaj površinu pravokutnika
sa stranicama duljine 3
10 dm i 25 dm. Naslućuješ li pravilo za množenje
razlomaka?
7. U bilježnicu precrtaj tablicu pa je ispuni.
prvi faktor 45
37
511
35
49
78
710
512
89
415
drugi faktor 23
25
73
58
67
125
56
910
316
258
umnožak
Točnost rezultata provjeri pomoću džepnog računala.
29
Dakle, razlomak množimo razlomkom tako da pomnožimo brojnik brojnikom, a nazivnik nazivnikom.
ab
. cd = a . c
b . d
Za množenje razlomaka vrijede i ostala svojstva koja ste upoznali kod množenja prirodnih brojeva. Naime, umnožak ne ovisi o redoslijedu faktora (svojstvo komutativnostimnoženja) ni o nači-nu grupiranja faktora (svojstvo asoci-jativnostimnoženja). Ta svojstva kori-stimo kako bismo si olakšali računanje.
PrimjerPrimjer 7. Izračunajmo na najjednostavniji način
625
1549
3518
. . .
Rješenje: Primjenom svojstava komutativnosti i asocijativnosti množenja, nakon skraćivanja razlomaka, dobivamo:
625
1549
3518
. . = = = =6 . 15 . 3525 . 49 . 18
1 . 3 . 355 . 49 . 3
55 . 7
17 .
8. Izračunaj: a) 5
361210
. , b) 7
186
21. , c)
9
281451
. , d) 1344
2226
. .
9. Izračunaj: a) 3 29 . 3
8 , b) 1 67 . 14
24, c) 6 23 . 2 910, d) 4 58 . 3 12
15.
10. U ponedjeljak je prodavač automobila preuzeo 56 , a u četvrtak
18
naručene pošiljke automobila. Koji je najmanji broj automobila koji je mogao biti naručen? Koliko je automobila u tom slučaju preuzeto u po-nedjeljak, a koliko u četvrtak?
11. U nekoj prodavaonici 13 zaposlenika radi ponedjeljkom, srijedom i
petkom, dok 47 zaposlenih radi utorkom, četvrtkom i subotom. Ostali
zaposlenici rade od ponedjeljka do petka. Koji je najmanji mogući broj zaposlenika koji rade u toj prodavaonici?
12. Duljina vrta pravokutnog oblika je 48 m, a njegova širina iznosi 34 dulji-
ne. Koliko žice treba za ogradu oko vrta?
1. Koliko je to polovina od trećine Sanjinog džeparca?
2. Je li istinita izjava: “Potrošila sam 34
od 53
svoje ušteđevine?”
3. Prema kojem pravilu množimo razlomke?
4. Je li istinita tvrdnja: Umnožak pravog i nepravog razlomka uvijek je pravi
razlomak. Obrazloži odgovor.
Množenje ćemo si olakšati ako prije množenja do
kraja skratimo razlomke!
30
Lanin džeparac iznosi 150 kuna u mjesecu. Ako Lana u mjesecu potroši 2125
džeparca, koliko može staviti na štednju svakog mjeseca? Koliko će
uštedjeti tijekom godine dana? Na kraju godine je htjela kupiti knjigu čija je cijena uz prigodni popust jednaka 265.55 kn. Hoće li to moći učiniti? Ako hoće, koliko će joj ostati? Ako ne će, koliko će joj nedostajati?
Množenjerazlomaka
Naučili ste postupke za množenje razlomka prirodnim brojem, kao i za množenje razlomka razlomkom. Nemojte zaboraviti da je mudro u oba postupka skratiti razlomke prije množenja (ako je moguće).
14. Izračunaj:
a) 310
. 25, b) 89
. 1516, c) 1 59 . 6
7 , d) 1 14 . 1 115.
Ponekad se u brojevnim izrazima uz množenje pojavljuje zbrajanje i / ili oduzimanje. Ako u izrazu nema zagrada, prvo množimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo.
PrimjeriPrimjer 8. Izračunajmo:
a) 35
+ 15
. 109 , b)
+ .3
5109
15 , c)
52
– 76
. 34 + 1, d)
– .5
276
34 + 1.
Rješenje: a) 35
+ 15
. 109 + = =3
529= 27 + 10
453745,
b)
+ . =35
109
15
45
. =109
89 ,
c) 52
– 76
. 34 + 1 = – + 1 = =5
278
20 – 7 + 88
218 ,
d)
– .52
76
34 + 1 = 15 – 7
6. 3
4 + 1 = . + 1 = 1 + 1 = 286
34 .
Primjer 9. Izračunajmo vrijednosti sljedećih brojevnih izraza:
a)
+ .34
512
89 , b) 3
4 . 89 + 5
12 . 8
9 , c) –5
614
310
. , d) 310 . 5
6 – 310
. 14 .
Rješenje: a) + .3
45
1289
= 9 + 512
. . =89 = 14
1289
2827,
b)
+ .34
512
89
= 9 + 512
. . =89 = 14
1289
2827,
c) 34 . 8
9 + 512
. 89 + = =2
31027= 18 + 10
272827,
d) 3
10 . 56 – 3
10 . 1
4 = 14 – 3
40 = 10 – 340 = 7
40.
Brojevni izraz (zbroj / razliku)
množimo brojem tako da svaki član izraza
pomnožimo zadanim brojem pa
dobivene umnoške zbrojimo / oduzmemo.
31
Jedinica za težinu je njutn (1 N). 1 N odgovara masi od približno 10 kg.
15. Izračunaj:
a) 23
+ 34
. 89 , b) 2 –1
245
. 1516,
c) 4 . 3 . 4 +16
310 , d)
29
. 1 + 2 . 178
19
78 ,
e) 13
. 2 – 5 . 18
13
385 , f)
15
. 6 + 2 . 1 – 1 . 314
29
151 1
533 .
16. Težina na Mjesecu jednaka je 16 težine na Zemlji. Ako je težina osobe na
Zemlji 450 N (masa oko 45 kg), kolika će biti njezina težina na Mjesecu?
17. Duljina dana na Jupiteru je otprilike jednaka 38 duljine zemaljskog dana.
Koliko sati traje dan na Jupiteru?
18. Ako košarkaška lopta odskoči 23 visine s koje je bačena, na koju će visinu
odskočiti lopta bačena s 2.4 m?
19. U priči Petar Pan djeca provode 18 dana u Nigdjezemskoj. Koliko je to
sati?
20. Školska godina traje 35 tjedana. Na kraju kojeg tjedna će proći 35 školske
godine?
21. Ivo, Marko i Franjo skupljaju plastične boce. Ivo je skupio 250 boca, Marko
45 tog broja, a Franjo 1
23 puta više nego Marko i Ivo zajedno.
a) Koliko je boca skupio Marko, a koliko Franjo? b) Koliko su boca skupili zajedno? c) Ako za svaku od skupljenih boca dobivaju
12 kune, koliko su zaradili?
22. Trgovina Slatkač prodaje šećer. Na skladištu ima 1 500 kg šećera. Prvi dan je prodala
14 te količine, drugi dan
15 količine prodane
prvoga dana, a treći dan 16 količine više nego prvi i drugi dan zajedno.
Četvrti dan je prodala ostatak.a) Koliko je šećera prodano po danima?
b) Ako se 1 kg šećera prodaje po 5 14 kune, koliko novca je trgovina
Slatkač zaradila pojedinog dana, a koliko ukupno?
1. Kako množimo brojeve napisane u mješovitom zapisu?
2. Kojim brojem možemo pomnožiti 34
tako da umnožak bude jednak 34
?
3. Pri množenju 4 ∙ 3 umnožak je veći od faktora. Je li to uvijek tako?
Objasni.
L16 – L17
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• množenje razlomaka• umnožak razlomaka
32
6.Dijeljenjerazlomaka
Par brojeva koji međusobno pomnoženi daju umnožak jednak 1 nazivaju se
međusobno recipročnibrojevi. Primjerice, budući da je 27
. 72 = 1 i
72
. 27 = 1,
onda je broj 27 recipročan broju
72 , i obratno, broj 7
2 recipročan je broju 27 .
Iz sljedećeg niza brojeva izdvoji one parove kojih je umnožak jednak 1.
PrimjerPrimjer 1. Odredimo brojeve koji su recipročni brojevima:
a) 67 , b)
113, c) 8, d) 1.7, e) 2 56 .
Rješenje: a) Broju 67 recipročan je broj
76 jer je
67
. 76 = 1.
b) Broju 1
13 recipročan je broj 13 jer je 1
13. 13 = 1 .
c) Broju 8 recipročan je broj 18 jer je 8 .
18 = 1.
d) Budući da je 17101.7 = , njemu recipročan broj jednak je 10
17 .
e) Budući da je 2 56 = 176 , njemu recipročan broj je
617.
Rješavajući postavljene zadatke nije teško zaključiti:
Za svaki broj različit od nule postoji njemu recipročan broj. Broj 1 recipročan je samome sebi. Recipročni broj prirodnog broja a je razlomak oblika
1a .
Uoči: Brojeve napisane u decimalnom zapisu ili u mješovitom zapisu prvo trebamo napisati u obliku razlomka, a tek onda im određivati recipročni broj.
PrimjeriPrimjer 2. Odredimo zbroj recipročnih vrijednosti brojeva
35 i
910.
Rješenje: Najprije odredimo recipročne vrijednosti zadanih razlomaka.
Svakom od sljedećih brojeva odredi odgovarajući broj koji pomnožen sa zadanim daje umnožak jednak 1.
lat. reciprocare= uzajamno,obostrano,izmjenično
33
Recipročna vrijednost broja 35 je broj
53 , a recipročna vrijednost
broja 9
10 jednaka je 109 .
Izračunajmo zbroj dobivenih recipročnih vrijednosti.53
+ 109 = =15 + 10
9259 .
Primjer 3. Odredimo recipročnu vrijednost zbroja brojeva 35 i
910.
Rješenje: Prvo izračunajmo zbroj zadanih brojeva:35
+ 910 = =6 + 9
101510 , a onda odredimo recipročnu vrijednost dobivenog
rezultata. Dakle, recipročna vrijednost zbroja zadanih brojeva je 1015, tj. 2
3 .
1. Odredi recipročne vrijednosti brojeva:
a) 3, b) 16 , c)
35 , d) 1 37 , e) 2.15.
2. Precrtaj u bilježnicu pa dopuni tablicu:
Broj 45 1 45 33 1
Recipročan broj 78 0.8 12
3. Izračunaj recipročnu vrijednost zbroja brojeva 58 i
712.
4. Izračunaj zbroj recipročnih vrijednosti brojeva 58 i
712.
5. Recipročna vrijednost zbroja dvaju brojeva je 1219. Koliki je drugi broj
ako je prvi jednak 34 ?
6. Zbroj recipročnih vrijednosti dvaju brojeva je 2815. Ako je jedan od
brojeva jednak 3 34 , koliki je drugi broj?
7. Vrt ima oblik pravokutnika, duljine 23 12 m i širine 16
25 m.
a) Kolika je površina vrta? b) Ako vrtlar na sat prekopa 12 m2 vrta, koliko će mu trebati vremena da
prekopa čitav vrt?
1. Što je recipročni broj?
2. Koji broj je recipročan brojevima 78
, 9, 15
, 0.99 ?
3. Koji je broj recipročan broju 0? Obrazloži odgovor!
4. Postoji li broj koji je recipročan samome sebi?
34
Majka je ispekla pitu od jabuka kvadratnog oblika. Duljina stranice pite je 40 cm. Majka želi pravedno podijeliti pitu među svojih 8 ukućana. Kako će majka izrezati pitu? Može li to učiniti na samo jedan način ili postoji više načina? Nacrtaj u bilježnicu odgovarajuću sliku (slike). Koliki dio pite dobiva svaki od ukućana?
Dijeljenjerazlomaka
Poznato je da je umnožak dvaju prirodnih brojeva uvijek prirodni broj, kao i da količnik dvaju prirodnih brojeva može, ali ne mora, biti prirodni broj:
12 : 4 = 3, 27 : 9 = 3, 144 : 6 = 24, ali 1 : 5 = 15 , 2 : 3 =
23 , 8 : 3 =
83 , ...
No, pokatkad treba dijeliti razlomke. Kako se to radi?
PrimjerPrimjer 4. Dvojica prijatelja krenula su biciklima prema jezeru. U
prvom su satu prešli 15 duljine puta. Preostali put namjera-
vaju prijeći u dva sata. Ako u svakom od dva preostala sata
žele prijeći jednake dijelove puta, koliki će dio puta prijeći u
svakom satu?
Rješenje: Nakon prvog sata do jezera im je preostalo još 1 – 15 =
45
duljine puta. U svakom od preostala 2 sata namjeravaju prijeći jedna-ke duljine puta, tj.
12 od 4
5 , ili 45 : 2 ukupne duljine puta.
Podijelimo 45 na 2 jednaka dijela, na dva različita načina, kao na slici:
Zaključujemo da je 45 : 2 =
4 : 25 =
25 , tj.
45 : 2 =
45 . 2 =
25
.
(Ne zaboravite da je 12 od
45 =
12
. 45 = 2
5 , dakle 12 od 4
5 = 45 : 2.)
Ako je brojnik zadanog razlomka djeljiv zadanim prirodnim brojem, razlomak možemo podijeliti prirodnim brojem na dva načina:
1. brojnik razlomka podijelimo tim prirodnim brojem, dok nazivnik ostaje nepromijenjen
ili 2. nazivnik razlomka pomnožimo tim prirodnim brojem, dok brojnik
ostaje nepromijenjen.
35
Primjer
PrimjerPrimjer 5. Nakon Ivine rođendanske proslave preostala je
13 torte. Iva,
njezin brat Mario i njihovi roditelji žele podijeliti ostatak
torte, ali tako da svako od njih dobije jednaki dio torte. Koji dio torte će dobiti svaki od njih?
Rješenje: Svaki od njih dobiva 13 : 4 torte.
Koliki je to dio cijele torte?
Trećina torte podijeljena je na četiri jednaka dijela, što znači da je cijela torta podijeljena na 3 ∙ 4 = 12 jednakih dijelova, tj. da je svaki od tih dijelova jednak
112 cijele torte. Zaključujemo da je 1
3 : 4 = 1
12.
Ako brojnik zadanog razlomka nije djeljiv zadanim prirodnim brojem, razlomak dijelimo prirodnim brojem tako da nazivnik razlomka pomno-žimo tim prirodnim brojem, dok brojnik ostaje nepromijenjen.
Primjer 6. Izračunajmo zadane količnike.
a) 25 : 7, b) 12
35 : 4, c) 1522 : 3, d) 1 37 : 5, e) 3 35 : 12.
Rješenje: a) 25 : 7 =
25 . 7 =
235 , b) 12
35 : 4 = 12 : 4
35 = 3
35 ,
c) 1522 : 3 =
15 : 322 =
522 , d) 1 37 : 5 = 10
7 : 5 = 10 : 5
7 = 27 ,
e) 3 35 : 12 = 185 : 12 =
185 . 12 =
310 .
8. Izračunaj: a) 3
4 : 2 b) 98 : 3, c) 1 79 : 12, d) 3 34 : 45, e) 2 25 : 9.
9. Koji je broj 3 puta manji od broja 7281?
10. Planinar je za 4 sata prešao 16 45 km. Koliko je kilometara prosječno prolazio po satu?
11. Dasku dugu 42 18 m treba podijeliti na 6 jednakih dijelova. Kolika je
duljina svakog dijela?
12. Masa paketa od 600 listova papira je 3 34 kg. a) Kolika je masa jednog lista papira? b) Kolika je masa 12 listova papira? c) Kolika će biti masa 1 000 listova papira?
1. Koji je broj recipročan broju 5, a koji broju 8?
2. Kako razlomak dijelimo prirodnim brojem?
36
Primjeri
U vreći se nalazi 4 kg šećera u prahu. Treba ga podijeliti u vrećice mase 15
kg. Koliko vrećica treba pripremiti za pakiranje?
Dijeljenjerazlomaka
L18
Primjer 7. Majka je napravila 24 litre soka od višanja koji želi spremiti u boce. Koliko boca treba pripremiti ako u svaku bocu stane
a) 12 litre, b)
14 litre, c)
34 litre?
Rješenje: a) Neka je s x označen broj boca koje će biti napunjene sokom. Tada
vrijedi izraz 12 ∙ x = 24. Nepoznati faktor pronalazimo tako da umnožak
podijelimo poznatim faktorom, tj. x = 24 : 12 . No, koliko je 24 :
12 ?
Razmislimo: 1 litrom soka majka može napuniti 2 boce za sok od 12 litre.
To znači da za spremanje 24 litre soka treba 24 ∙ 2 = 48 boca od 12 litre.
Dakle, 24 : 12 = 24 ∙ 2 = 48.
b) Razmišljamo li tako, zaključujemo: 1 litrom soka majka može
napuniti 4 boce soka od 14 litre pa za spremanje ukupne količine od
24 litre treba 24 ∙ 4 = 96 boca od 14 litre. Dakle, 24 :
14 = 24 ∙ 4 = 96.
c) Nakon rješavanja zadatka b), zadatak c) bit će jednostavan: ako
majka treba 96 boca od 14 litre, trebat će tri puta manje tri puta većih
boca tj. 96 : 3 = 32 boce.
To znači da je 24 : 34 = (24 ∙ 4) : 3 = 96 : 3 = 32.
Uočite da vrijedi 24 : 34 = 24
1 : 34 = 24
1 ∙ 43 = 24 ∙ 4
3 = 32. Dakle, dije-
ljenje broja 24 razlomkom 34 sveli smo na množenje broja 24 brojem
43 , koji je recipročan broju
34 . Isto tako postupamo i kada razlomak
dijelimo razlomkom.
Primjer 8. Izračunajmo količnike:
a) 38 : 2
5 , b) 1415 : 7
4 , c) 1 15 : 2
3 , d) 2 25 : 1
14 .
Rješenje: Količnik dvaju razlomaka odredit ćemo tako da djeljenik pomnožimo recipročnom vrijednošću djelitelja:
a) 38 : 2
5 = 38 . 5
2 = 1516 , b)
1415 : 7
4 = 1415
. 47 = 8
15 .
37
Prije dijeljenja mješovite brojeve treba napisati u obliku nepravih razlomaka, a konačni rezultat (ako je veći od 1) obično prikazujemo u obliku mješovitoga broja.
c) 1 15 : 2
3 = 65 : 2
3 = 65 . 3
2 = 95 = 1 45 ,
d) 2 25 : 1
14 = 12
5 : 54 = 12
5 . 45 = 48
25 = 1 2325 .
13. Izračunaj:
a) 13 : 1
2 , b) 0.3 : 14 , c)
25 : 1
4 , d) 1 : 23 .
14. Izračunaj:
a) 1 15 : 23 , b) 2 23 : 4
9 , c) 1 27 : 1 12 , d) 4 15 : 2 23 .
15. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
x 12
415
154
58
85
45
. x
45 :
x
16. Vrećica bombona Gric sadržava 25 kg bombona. Koliko se vrećica množe
napuniti s 245 15 kg bombona?
17. Izračunaj:
a)
+1 12
13
12– : , b)
2 . 1 – :3
7821,
c)
+ 258
12: , d)
16 . 1
8 +13
34– : 1
4 .
18. Neka je x = 13 i y =
12 . Odredi racionalni broj jednak:
a) njihovu zbroju, b) njihovoj razlici,
c) njihovu umnošku, d) njihovu količniku,
e) razlici umnoška i količnika, f) šestini njihove razlike, g) količniku razlike i zbroja, h) recipročnoj vrijednosti njihova količnika.
1. Kako dijelimo razlomke?
2. Što treba napraviti prije dijeljenja mješovitih brojeva?
L19 – L22
KLJUČNIPOJMOVI
• razlomak• recipročni razlomak• dijeljenje razlomaka• količnik razlomaka
38
1. Nacrtaj krug polumjera 3 cm. Podijeli ga na osam jednakih dijelova. Ispiši sve tako dobivene razlomke.
2. Nacrtaj krug polumjera 25 mm. Podijeli ga na dvanaest jednakih dijelova. Ispiši sve tako dobivene razlomke.
3. Broj 3 napiši u obliku razlomka a) s nazivnikom 3, b) s brojnikom 12, c) s nazivnikom 24, d) s brojnikom 24.
4. Broj 8 napiši u obliku razlomka a) s nazivnikom 2, b) s brojnikom 24, c) s nazivnikom 16, d) s brojnikom 16.
5. Budući da je 1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 100 cm i 1 km = 1000 m, prepiši u bilježnicu i razlomcima dopuni jednakosti:
a) 1 mm = ___ cm, b) 1 cm = ___ dm, c) 1 cm = ___ m, d) 3 mm = ___ cm, e) 69 cm = ___ dm, f) 17 cm = ___ m.
6. Prepiši u bilježnicu i dopuni jednakosti:
a) 15 cm = ___ mm, b)
310 dm = ___ cm, c)
7
20 m = ___ cm,
d) 9
25 km = ___ m, e) 94 m = ___ cm, f)
32
dm = ___ mm.
7. Odgovori na pitanja. a) Koliko šestina ima jedna trećina? b) Koliko desetina ima jedna polovina? c) Koliko dvadesetpetina ima jedna petina? d) Koliko tridesetšestina ima jedna devetina?
8. Koliko četrdesetpetina ima
a) 59 , b) 9
5 ?
9. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Objasni odgovor.
a) =54
200120, b) =18
3556
105, c) = 919
106209 , d) = 25
81225729 .
10. Možeš li razlomak 1524 skratiti brojem 3? Objasni odgovor.
11. Možeš li razlomak 2236 skratiti brojem 4? Objasni odgovor.
12. Do kraja skrati razlomke:
a) 2430, b)
2854, c)
6381, d)
7290.
13. Zamijeni prirodnim brojem tako da tvrdnje budu istinite:
a)
=2412 , b) =24
13 , c) =24
14 , d) =24
14 .
Zadatci
39
14. Zamijeni prirodnim brojem tako da tvrdnje budu istinite:
a) =7249 , b) =72
38 , c) =72
1136, d) =72
56 .
15. Zamijeni prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite:
a) = 1634 , b)
=100
34 , c)
=18 34 , d)
=36 34 .
16. Zamijeni prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite:
a) =4
1164 , b)
=72 1219, c)
=3278 , d)
=25105125.
17. Zamijeni i prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite:
a) = =12
23
24, b) = =355
8 112,
c) = =40
15100
42, d) = =15
120 4860.
18. Do kraja skrati razlomke:
a) 3549, b)
5696, c)
64120, d)
144256.
19. Do kraja skrati razlomke:
a) 225550, b)
212471, c)
564711, d)
230506.
20. Do kraja skrati razlomke:
a) 3545, b)
3296, c)
96100, d)
164656.
21. Svedi razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
a) i23
57 , b) i3
458 , c) i5
635 , d) i7
1234 ,
e) i 910
89 , f) i7
181112, g) i9
207
30, h)
i 518
76 .
22. Budući da je 1 dan = 24 sata, odgovori koliko je sati
a) 23 dana, b)
56 dana, c)
78 dana, d)
512 dana?
23. Budući da je 1 sat = 60 minuta, odgovori koliko je minuta
a) 23 sata, b)
45 sata, c)
56 sata, d)
712 sata?
24. Budući da je 1 kuna = 100 lipa, odgovori koliko je lipa
a) 34 kune, b)
45 kune, c)
1825 kune, d)
1120 kune?
25. Budući da je 1 kg = 1 000 g, odgovori koliko je grama
a) 12 kg, b)
34 kg, c)
45 kg, d)
710 kg?
26. Koliki je dio dana a) 3 sata, b) 6 sati, c) 18 sati, d) 20 sati?
40
27. Koliki je dio sata a) 15 minuta, b) 20 minuta, c) 35 minuta, d) 48 minuta?
28. Koliki je dio kilometra a) 125 m, b) 250 m, c) 450 m, d) 600 m?
29. Tihi ocean prekriva 38 Zemljine površine dok Indijski ocean prekriva
18 ukupne
površine. Koji je ocean veći?
30. Gravitacijska sila različita je na različitim planetama Sunčeva sustava. Na Merkuru
bi težio 7
25 zemaljske težine, na Marsu 1950, a na Veneri 17
20. Na kojoj bi planeti bi tvoja
težina bila najmanja, a na kojoj najveća?
31. Ivan je 38 svojeg džeparca zaradio čuvajući sestru, a
16 pomažući pri kućanskim poslovima.
Je li Ivan zaradio više čuvajući sestru ili pomažući pri kućanskim poslovima?
32. Marija je riješila 5 od 9 zadataka iz matematike, a njezin brat 8 od 13 zadataka. Tko je od njih riješio veći dio svoje domaće zadaće?
33. Tin i Dolores gledaju atletiku - utrku na 100 metara za muškarce. Njihov najdraži
atletičar najbrži je na prvih 75 metara. Tin zaključuje da je najbrže pretrčao tri četvrtine
staze, dok Dolores tvrdi da je pretrčao 75
100 staze. Tko je od njih u pravu? Objasni.
34. Lana, Tiana, Ivo i Marko su bili na rođendanu. Svi su se dobro pogostili. Pogledaj na slici što su sve pojeli, pa to izrazi razlomkom.
Zadatci
35. U voćnjaku je zasađeno 150 voćaka. Ako na stabla trešnje otpada 15 zasađenih voćaka,
na marelice 12 , a ostatak su kruške i šljiva, koliko je kojih voćaka posađeno?
36. Svedi na najmanji zajednički nazivnik pa usporedi po veličini:
a) i23
34 , b) i5
678 , c) i5
1213 , d) i7
151330,
e) i 613
12 , f) i3
152
10, g) i1318
56 , h) i9
161120.
37. Usporedi razlomke:
a) i12
13 , b) i1
314 , c) i3
418 , d) i 7
2458 .
41
38. Usporedi razlomke:
a) i715
918, b) i9
146
49, c) i1124
172, d) i5
361493.
39. Poredaj po veličini počevši od najmanjega: 79 ,
29 , 2, 3
9 , 59 , 1, 1 49 ,
119 .
40. Poredaj po veličini počevši od najmanjega: 67 ,
619 , 1, 6
3 , 65 , 3, 6
13 , 6
11 .
41. Neka građevinska kompanija gradila je dva stambena naselja. U prvom je sagradila 30 kuća od kojih je 17 bilo dvokatnica, a u drugom naselju 45 kuća od kojih je 16 bilo dvokatnica. Koje je naselje imalo veći udio dvokatnica?
42. Obitelj Trbavić od mjesečnog prihoda troši 18 za stan,
112 za grijanje, 2
5 za hranu i 1
10 na ostalo. Na što obitelj Trbavić najviše troši?
43. Brat ima 49 , a sestra
516 očevih godina. Tko je stariji?
44. Ivo, Marko i Franjo trče školskim dvorištem. Nakon 20 minuta Ivo
je pretrčao 59 , Marko
710 a Franjo
1745 dvorišta. Tko je pretrčao najviše?
45. Lana, Tiana i Petra imaju jednake ušteđevine. Lana je potrošila 49 svoje ušteđevine,
Tiana 38 a Petra
2536 ušteđevine. Koja je od njih potrošila najviše a koja najmanje?
46. Istraživanja su pokazala da 35 svih mačaka ima bijelu točkicu ispod vrata, da
1720 svih
mačaka nije crno. Isto tako utvrđeno je da 3 mačke od njih 4 ne vole pse, te da polovina svih mačaka za ručak više voli ribu nego miša. Promatrajmo 100 mačaka.
a) Koliko mačaka ne voli pse? b) Koliko mačaka nije crno? c) Koliko mačaka obožava ribu za ručak? d) Vole li ribice sve mačke koje nisu crne?
47. Maja od kuće do škole i nazad mora prijeći put od 1 km i 250 m. Ako je prešla 750 m, koliki je dio puta prešla?
48. Tri prijatelja idu pješice na izlet. Nakon 45 minuta hoda prvi je prešao 13 , drugi
49 a treći 2
5 puta do izletišta. Koji od njih je najbliže izletištu?
49. U jednoj su školi poslije sportskih natjecanja podijeljene pohvale. U 6.a je od 28 učenika pohvaljeno 8, u 6.b je od 27 učenika pohvaljeno 7, a u 6.c je od 32 učenika pohvaljeno 9.
a) Za svaki razred izrazi razlomkom udio pohvaljenih u ukup-nom broju učenika?
b) U kojem je razredu bio najveći udio pohvaljenih, a u kojem najveći udio nepohvaljenih?
42
50. Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama? a)
Zadatci
b)
c)
51. Tiana je listajući Kupusov list, novine svoga tate, naišla na zgodan podatak o broju auto-mobila na 1 000 stanovnika.
a) Koja zemlja ima najviše automobila na 1 000 stanovnika?
b) Koja zemlja ima najmanje automobila na 1 000 stanovnika?
c) Poredaj zemlje po broju automobila (počni od najmanjeg broja).
a) Koja zemlja ima najviše mobitela na 1 000 stanovnika? b) Koja zemlja ima najmanje mobitela na 1 000 stanovnika? c) Poredaj zemlje po broju mobitela (počni od najvećeg broja).
53. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Objasni odgovor.
a) 9
16 je manje od 12 ;
b) ako su brojnik i nazivnik razlomka jednaki, razlomak je jednak 1;
52. Listajući iste novine Lana je došla do podataka o broju mobitela na 1 000 stanovnika.
43
c) ako je nazivnik razlomka dva puta manji od brojnika, razlomak je jednak 12 ;
d) ako se nazivniku razlomka doda 1, tada se vrijednost razlomka poveća.
54. Precrtaj brojevni pravac u bilježnicu. Znak ? zamijeni odgovarajućim prirodnim brojem: a)
55. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 15 ,
35 ,
45 ,
65 ,
95 .
56. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 16 ,
26 ,
46 ,
86 ,
11 6 .
57. Kako ćeš najlakše na brojevnom pravcu prikazati točku pridruženu razlomku 173 ?
58. a) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi 14 ,
24 ,
34 i
54 .
b) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi 12 ,
23 i
34 .
c) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi 45 ,
12 ,
14 i
25 .
59. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
x 0 15 2.5 3
456
y 12 0.25 2
345
38
x + y
60. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
x 0 3 15 1.5 5 3
4 1 56
y 21 12 1.25 1 2
3 3 45 1 3
8x + y
61. Lanina je majka na tržnici kupila 23 kg trešanja i
34 kg ribizla.
Kolika je ukupna masa kupljenog voća?
b)
44
62. Petra ima 13 45 godina. Njezina sestra je 3
13 godine starija. Koliko godina ima Petrina
sestra?
63. Koji broj je za 937 veći od broja 12 5
6 ?
64. Broj 6 prikaži kao zbroj dvaju razlomaka: a) tako da su oba razlomka jednaka,
b) tako da je jedan razlomak za 114 veći od drugoga.
65. Dovrši magični kvadrat ako je magični zbroj 334 .
Zadatci
66. Dopuni magične kvadrate: a) b)
67. Dopuni magični kvadrat:
68. Zbroj brojeva 3 45 i 2 57 uvećaj za zbroj brojeva 8
9 i 1 23 .
69. Koliki je zbroj triju brojeva ako je prvi među njima 234 , a svaki sljedeći je za 1
23 veći
od broja koji mu je prethodio?
70. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
a 6 34 10 2
5 5 34 5 2
9 2 115
b 2 45 3 4
7 1 13 2 1
616
a – b
45
71. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
x 0.5 4 34
56
y 2 49 1.5
x + y 3 16 5 2
45 6 3 37 2 5
12
72. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
a 3 712 7 3
4 3 512
b 2 16 2 1
12 6 518 1 3
8a – b 4 11
3616 1 5
8
73. Izračunaj:
a) 23
45+ 4
7– , b) 2 38 + 4 5
12 – 6 69 ,
c) 3 7
15 + 2 45 – 4 1625 , d) 2
1336 + 3
748 – 5
2572 .
74. Izračunaj:
a) 12 67
45– 3 4
35+ 2 , b) 6 – 1 712 + 4
524,
c) 3 18 + 4 5
12 – 6 16 , d) 6 – 4 58 + 2 7
24.
75. Izračunaj na najjednostavniji način:
a) 2 1357+ 2
3+ , b) 15
34+ 9
5+ ,
c) 2 13
311+ 4
6+ , d) 3 9
1012
+ 25– .
76. U trgovini tkaninama Platnic redom su odrezani komadi platna duljine 534 m, 4
23 m,
3 12 m i 6
45 m. Ako je ostalo
506 dm platna, kolika je bila ukupna duljina platna prije
rezanja?
77. Gospodin Zemljić prodaje gradilišta. Površina prvog gradilišta bila je 200 25 m2.
Drugo je gradilište za 40 825 m2 veće od prvoga. Treće je gradilište 65 2
10 m2 manje od
drugoga. Četvrto je gradilište za 30 850 m2 veće od prvog i drugog gradilišta zajedno.
a) Kolika je površina svakog gradilišta?
b) Ako je ukupna površina bila 1095 12 m2, je li gospodinu Zemljiću ostalo još gradilišta
za prodaju? Koliko?
46
78. U neki bazen utječe voda kroz dvije cijevi. Kroz prvu cijev utječe 145 57
l, a kroz drugu 165 38 l vode na sat. U bazenu se nalazi 45 13
56 litara
vode. Koliko će vode biti u bazenu nakon 1 sata ako: a) je otvorena samo prva cijev, b) je otvorena samo druga cijev, c) su otvorene obje cijevi.
79. Koliko je
a) 23 od 24, b) 4
5 od 25, c) 34 od 20, d) 5
6 od 36?
80. Koliko je
a) 14 od 28, b) 3
8 od 32, c) 57 od 98, d) 6
11 od 1211?
81. Koliko je lipa
a) 12 kune, b) 1
10 kune, c) 125 kune, d) 15
25 kune?
82. Koliko je centimetara
a) 14 m, b) 2
3 m, c) 310 m, d) 13
20 m?
83. Koliko je grama
a) 12 kg, b) 1
4 kg, c) 38 kg, d) 8
25 kg?
84. Koliko je sati
a) 18 dana, b) 5
8 dana, c) 112 dana, d) 9
24 dana?
85. Koliko je minuta
a) 12 sata, b) 2
3 sata, c) 14 sata, d) 3
4 sata?
86. Koliko je minuta
a) 15 sata, b) 5
6 sata, c) 115 sata, d) 13
30 sata?
87. Koliko je sekundi
a) 12 minute, b) 1
4 minute, c) 34 minute, d) 1
6 minute?
88. Koliko je stupnjeva
a) 12 , b) 2
3 , c) 34 , d) 1
6 pravog kuta?
89. Koliko je stupnjeva
a) 13 , b) 3
4 , c) 29 , d)
7
18 ispruženog kuta?
Zadatci
47
90. Koliko je stupnjeva
a) 16 , b) 5
9 , c) 1118
, d) 2536
punog kuta?
91. Zbroj razlomaka 34 i 8
9 pomnoži brojem 12.
92. Razliku razlomaka 78 i 1
9 pomnoži brojem 24.
93. Automobil prosječno troši 7 45 l benzina na 100 km.
a) Koliko će benzina potrošiti na putu od 350 km?
b) Koliki put može prijeći s 335 l benzina?
94. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži.
a) 2436
3012
. , b) 2210
2566
. , c) 0
193876
. , d) 128162
8164
. .
95. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži.
a) 8
701540
. , b) 50
1057
45. , c)
92114
1846
. , d) 125540
81225
. .
96. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži.
a) 7
242042
. 1215
. , b) 8
153548
. 1218
. , c) 68
1215560
. 3334
. , d) 14352
2496
. 3288
. .
97. Izračunaj:
a) 2 45
25+ 1
2. , b) 1
13
13– 3
4. , c)
34
34
23
. 1 + . 2 16 , d) 1
45
56
. 56– 3
4. .
98. Od zbroja razlomaka 13 i 1
4 oduzmi njihov umnožak.
99. Od 1 kg brašna dobije se 1 15 kg kruha.
Koliko će se kruha dobiti od 200 14 kg brašna?
100. Broj nogu grupe od 7 ljudi jednak je 1
10 nogu stonoge. Koliko nogu ima stonoga?
101. Mačka prosječno živi 15 godina. Koliko prosječno živi pas, ako doživi 45 mačjih godina?
102. Gospođa Krimić voli čitati kriminalističke romane. Pročitala je 6 romana Agathe Christie. a) Koliko je romana napisala A. Christie, ako je gospođa Krimić pročitala
113 ukupnog
broja? b) Prijateljica gospođe Krimić, gospođa Ljubić voli čitati ljubavne romane.
Ona je pročitala 3 13 puta više knjiga nego njezina prijateljica. Koliko?
48
103. Brzomljac sudjeluje u natjecanju Njami hot dog?
Za jedan hot dog treba mu 22
15 sekunde.
Brzomljac je pobijedio.
Koliko mu je vremena bilo potrebno da pojede 45 hot dogova?
104. Ako mjesec ima 4 tjedna, koji dio čine 3 tjedna u 3 mjeseca?
105. Lana i Tiana imaju 13 ukupnog broja očiju škorpiona. Koliko očiju ima škorpion?
106. Ako neko tijelo u sekundi prijeđe 534 m, koliko će prijeći u 20 sekundi?
107. Kada je biciklist prešao 25 km, prešao je 35 čitavog puta.
a) Koliko je dugača čitavi put? b) Koliko još kilometara treba prijeći?
108. Ivo, Lana i Tiana uživaju u picama. Ivo je pojeo 1 14 pice, Tiana je pojela jednako
koliko i Ivo. Njih je dvoje zajedno pojelo pola više nego Lana. a) Koliko je pice pojela Tiana, a koliko Lana? b) Koliko su pojeli zajedno?
109. U trgovini je kupljeno 10 jednakih malih bilježnica i jedna velika bilježnica po cijeni
10 34 kune. Ako je ukupno plaćeno 26 38 kuna, kolika je cijena malih bilježnica?
110. Lanina majka peče kolač. Prema originalnom receptu u
kolač treba staviti 3 14 šalice čokolade u prahu.
a) Lanina je majka u smjesu stavila 1 35 šalice čokolade u
prahu. Koliko još mora staviti? b) Ako je Lanina majka udvostručila sve sastojke kolača,
koliko šalica čokolade u prahu mora staviti u kolač?
111. Trgovina Žito prodaje brašno. Na skladištu ima 1 800 kg brašna. Prvi je dan prodala 15 te količine, drugi dan 1
6 količine prodane prvoga dana, a treći dan 14 količine više
nego prvi i drugi dan zajedno. Četvrti je dan prodala ostatak. a) Koliko je brašna prodano po danima?
b) Ako se 1 kg brašna prodaje po 2 14 kune, koliko je novaca trgovina Žito zaradila
pojedinog dana, a koliko ukupno?
112. Površina obradivog zemljišta iznosi 305 016 km2. Od toga je 13 površine šuma, 3
8 površine su polja suncokreta, a ostatak su vinogradi.
a) Kolika je površina šume? b) Kolika je površina polja suncokreta? c) Kolika je površina vinograda?
Zadatci
49
113. U skladištu Betonko je 125 65100 t cementa. Svaki se dan troši 4 14
25 t. Koliko će tona cementa biti u skladištu:
a) nakon 7 dana, b) nakon 15 dana?
114. Zimski spavači u jesen traže mjesta na kojima će biti zaštićeni od velike hladnoće. Traže šuplja stabla, rupe u zemlji i sl., pa ih oblažu sijenom, lišćem, dlakom i drugim sličnim materijalima. U tako opremljenim skloništima životinje sklupčanih tijela i zatvorenih očiju provode zimu u stanju tzv. “ukočenosti”. Pri tome se njihova temperatura smanjuje, otkucaji srca su usporeni, a osjetljivost na vanjske podražaje vrlo je mala.
a) Poznato je da velika spavalica puh spava 6 mjeseci. Koliko dugo spava jež, ako spava 12 vremena puha?
b) Sviscu se temperatura za vrijeme spavanja spusti na 7 °C.
Kolika je bila njegova temperatura prije spavanja ako je tada 5 47 puta veća od temperature za vrijeme spavanja?
c) Broj otkucaja srca svisca prije spavanja je 100. Koliki je
broj otkucaja srca svisca za vrijeme spavanja, ako je jednak 125 broja otkucaja prije spavanja?
115. a) Ako je 1 l = 1 000 ml, izračunaj koliko bi
mililitara bilo 12 l,
14 l?
b) Koliki je dio litre 25 ml, 100 ml, 250 ml? c) Ako se u vrču nalazi litra tekućine, njezina je visina jednaka 120 mm. Kolika bi bila visi
na 34 l,
45 l,
56 l,
78 l te tekućine?
116. Koktel Hladno ljeto sadržava 14 soka od višnje,
58 min-
eralne vode i 18 soka crvenog grejpa. Budući da je gužva,
barmen želi odmah izmiješati koktel i rashladiti ga. Koliko soka od višnje, mineralne vode i soka crvenog grejpa treba pomiješati da bi dobio
a) 4 l , b) 12 l koktela Hladno ljeto?
117. Koji je broj 8 puta manji od broja 4039?
118. Ana je za 5 sati prešla put dugačak 25 35 km. Koliko je prosječno prelazila u svakome satu?
119. Opseg kvadrata jednak je 64 78 dm. Kolika je njegova površina?
50
120. Kojim brojem treba pomnožiti 345 da se dobije 72 12
25 ?
121. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni:
a 12
23
16
14
35
b 13
45
18
23
49
(a + b) : a . b
122. Zamijeni odgovarajućim razlomkom:
a) : 3 = 45 , b) :
1121 = 11 , c) : 4 = 6
23 , d) : 4
45 = 3.
123. Zamijeni odgovarajućim razlomkom:
a) 78 . = 1 , b) 4
5 . = 1 34 , c) 1
34 . = 3
4 , d) 3 34 . = 2 78 . 2 4
14.
124. Ako se od 1 kg brašna dobije 115 kg kruha. Koliko je brašna potrebno da se dobije
100 34 kg kruha?
125. Tvornica bombona Slatki gric proizvela je u jednom danu 425 12 kg bombona.
Bomboni se pakiraju u vrećice od 25 dkg. Koliko se dnevno vrećica bombona pakira u tvornici Slatki gric?
126. Za koliko je umnožak razlomaka 4 35 i 3 56 veći od
a) njihova zbroja, b) njihove razlike?
127. Od kojeg broja je
a) 12 jednaka 8, b)
13 jednaka 25, c)
17 jednaka 11, d)
19 jednaka 12.
128. Od kojeg broja je
a) 23 jednako 5, b)
34 jednako 10, c)
27 jednako 15, d)
5
12 jednako 15.
129. Izračunaj:
a) 13 : 2, b) 14
35 : 7, c) 17 : 14, d) 6
27 : 16.
130. Izračunaj:
a) 23 : 5
6 , b) 335 : 12
49, c) 1 27 : 3
14, d) 2 23 : 9
32.
131. Izračunaj:
a) 34 : 1
12 , b) 5
8 : 2 14 , c) 1
23 : 1
16 , d) 3
15 : 1
13 .
Zadatci
51
132. Izračunaj:
a) 25
45+ 1
3: , b) 1 13
25– : 6, c) 8
934
. 56+ 4
3: , d) 58
115
. 1 58– 3
4: .
133. Iz nekog izvora svaki sat istječe 320 67 l vode. Koliko vode istječe
a) u jednoj minuti, b) u jednoj sekundi?
134. Voćar ima 175 12 kg marelica koje želi ravnomjerno složiti u 9 jednakih sanduka.
Koliko kilograma marelica može staviti u svaki sanduk?
135. Gospođa Pekmezac voli voće. U svom je vrtu nabrala 4 12 kg
borovnica, 5 34 kg trešanja, 1 45 kg malina i 2 57 kg ribizla.
a) Koliko je voća ukupno nabrala gospođa Pekmezac? b) Odlučila je voće spremiti u hladnjak, u vrećice od 75 dag. Koliko
vrećica mora pripremiti?
136. Vrt ima oblik pravokutnika, duljine 35 34 m i širine 20 12 m.
a) Kolika je površina vrta? b) Ako vrtlar prekopa 12 m2 vrta na sat, koliko će mu trebati vremena da prekopa čitav
vrt?
137. Određenu udaljenost vozeći se skuterom prevalimo za 34 sata. Ako je skuter 9 12 puta
brži od čamca na vesla, koliko bi nam vremena trebalo da prevalimo istu duljinu puta veslajući?
138. U restoranu Kod junca otkrili su nam recept specijaliteta kuće:
Juneći-rugave
14 kg junetine
18 kg svinjetine
13 kg krumpira
12 kg crvenog luka
18 kg peršina
18 kg celera
325 kg kopra
125 kg brašna
14 l temeljca
34 l vrhnja za kuhanje
soli, papra po ukusu
Ako je to recept za 4 osobe, koliko kojih sastojaka moramo uzeti za pripremanje obroka za a) 6 osoba, b) 2 osobe?
52
139. Maškuconi su najdraži Tianini kolačići. Prema sljedećem receptu možemo dobiti 30 kolačića. Koliko je pojedinog sastojka potrebno za
a) 1 kolačić, b) 60 kolačića, ako recept glasi:
Maškuconi
20 14 dag maslaca
20 14 dag šećera
20 14 dag mljevenih badema
1 cijelo jaje
naribana korica 14 limuna
125 dag muškatnog oraščića
Zadatci
2 12 dcl ruma
125 dag cimeta
125 dag vanili šećera
20 14 dag brašna
10 14 dag mrvica (prezla)
1 žumance
140. Lana i Tiana idu u trgovinu sa svojim ocem. Prešli su 100 m. Otac je napravio 92 koraka, Lana 175 a Tiana 160 koraka.
a) Koliko su dugi koraci oca, Tiane i Lane?
b) Ako su prešli 14 puta do trgovine, koliki još put moraju prijeći?
c) Koliko koraka na tom putu mora načiniti svatko od njih?
141. Francuski fizičar René – Antoine Ferchault de Réaumur (1683. – 1757.) mjerio je temperaturu u stupnjevima Réaumura kao razliku između točke ledišta i vrenja vode. Njegova skala ima 80 °R, pri čemu je 0 °R = 0 °C, ali 80 °R = 100 °C.
a) Koje temperature u stupnjevima Réaumura odgovaraju 1 °C, 10 °C, 32 °C, 48 °C i 75 °C?
b) Izračunaj koliko stupnjeva Celzijusa sadrži 1 °R, 8 °R, 32 °R, 48 °R i 64 °R?
142. U prvome satu Blanka je prešla 4 14 km, a u drugom 1 35 km više nego u prvom satu, a u trećem satu dva puta manje nego u prva dva sata zajedno.
a) Koliko je prešla u drugom satu? b) Koliko je prešla u trećem satu? c) Koliko je ukupno prešla u ta tri sata?
143. Prvi je stol dugačak 1 45 m, a drugi je 14 m kraći od prvoga. Širina obaju stolova je 70 cm.
a) Kolika je duljina drugog stola? b) Stave li se stolovi jedan do drugoga, kolika je njihova ukupna duljina? c) Koliko najviše osoba može sjesti oko spojenih stolova ako se za jednu osobu predviđa
najmanje 65 cm širine stola?
53
144. Slavica je ubrala 4 15 kg jabuka, Marta 34 kg više od Slavice, Petra dvostruko više od
Marte, a Iva dva puta manje nego Slavica i Marta zajedno. a) Koliko je jabuka ubrala Marta, koliko Petra, a koliko Iva? b) Koliko su jabuka ubrale sve četiri djevojčice zajedno?
145. Na slici je prikazano zemljište obitelji Livadić. a) Koliko metara žice treba kupiti za ogradu
oko njihova zemljišta? b) Slobodni dio dvorišta žele zasijati travom.
Koliku će površinu zasijati?
146. Matija je kupio je sunčane naočale, novčanik i čokoladu. Na sunčane naočale je potrošio 13 novca koji je ponio sa sobom, na novčanik 1
2 ostatka, a na čokoladu preostalih 8 kn.
Koliko je novca ponio sa sobom? Koliko je platio naočale,a koliko novčanik?
147. U skladištu je bilo 124 12 tona ugljena. Prvoga dana odvezena je 13 ukupne količine.
Drugoga dana prodano je za 7 14 tona više nego prvoga dana. Trećega dana prodano je
46.5 tona manje nego u prva dva dana zajedno. a) Koliko je tona ugljena prodano drugog dana? b) Koliko je tona ugljena prodano trećeg dana? c) Koliko je tona ugljena odvezeno sa skladišta? d) Koliko je tona ostalo na skladištu nakon ta tri dana?
148. Grafikon na slici prikazuje broj kućnih ljubimaca učenika jedne škole:
a) Koliko ukupno kućnih ljubimaca imaju učenici te škole?
b) 716 ukupnog broja ptica su kanarinci.
Koliko učenika ima kanarinaca?
c) 16 mačaka su sijamske. Koliko sijam-
skih mačaka imaju ti učenici?
d) 25 pasa su njemački ovčari. Koliko je
pasa drugih pasmina?
e) 34 ribica su crvene boje. Koliko ribica
nije crvene boje?
f) 12 ostalih ljubimaca su kornjače. Koliko učenika ima kornjaču?
g) Učenici viših razreda imaju ukupnog broja mačaka i 710 ukupnog broja pasa.
Koliko mačaka i pasa ukupno imaju učenici viših razreda?
