Click here to load reader

Matematika za 2. razred gimnazije

  • View
    2.767

  • Download
    88

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka zadataka iz matematike za drugi razred gimnazija

Text of Matematika za 2. razred gimnazije

,tWIC{1 77 t,-- '\\Adem Huskici ;

"

'-' v ' -

,,--

tfIIii'-

r",1 ,

')

C/;

(,"

", ('(,' ',I

/(

MATEMATIKAza (irugi razred gimnazije i drugih srednjih skala!

,i

,gIt

I 1

\

! !

Vi

/1 I

I

r\

/

\J\

o!

L'II

Ji

I

IP "SVJETLOSl1", d.d.ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA

SARAJEVO, 2003.

Izdavac:

IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Sarajevo Sefik ZUPCEVIC Abduselam RUSTEMPMacj\nte Barrie Prof. Dr. Scfket ARSLANAGIC; Sarajevo

IPREDGOVORUdzbcnik je pisan prema Nasta\'IlOm planu i programu za drugi razred gimnazije i tehnickih skola. Njime su obuhvaccne sve oblasti prcdvidcne Nastavnim programom U obimu koji je odreden nastavnim planol11. Nije ispustena nijedna ob!ast, nijedna tema, a u cilju potpunijeg uvida u tematsku gradu u pojedinom icmama uvedena su neznatna prosirenja koja nisu eksplicitno navedena u Programu predmeta. Sire oblasti navedene u Programu, u udzbcniku su podijeUene na manje tematskc cjeIine koje se mogu obraditi na jednom iIi dva nastavna sata. Svaka takva cjelina je obradena tako da se mogu uociti cetiri odvojena dijela ito: 1. Teorijska obrada materije uz odgovarajuce ilustracijc i komentare, 2. Pailjivo odabrani i rijeseni prakticni primjcri (zadaci). 3. Na poseban nacln formulirana pitanja za ponavljanje i 4. Zadaci za vjezbu i utvrdivanje (sa ljesenjima, uputama iii rezultatima na kraju knjige). DijeJovi se prekIapaju i dopllnjuju s teznjom da ponavljanje i utvrdivanje dopuni i osvjezi u teoretskom dijelu datu materiju. Cesto se informacija koja nijc ekspIicitno data u teorijskom dijelu, prezentira nenametljivo kroz primjcr(e), iIi podesno f'ormulirano pitanje iii kroz zadat?-k za vjezbu. Svi navcdcni dijelovi posmatrani zajcdno zaokruzuju tcmu j obuh-vatajll je u potpunosti. Sve cksplicitno navedene definicije i teoreme su napisane na poseban nacin (podebljano, ukoseno i 81.). To je uradeno i sa terminima koji su vczani za istaknute pojmove prilikom prvog pojavljivartia. NajvaZnije forrnule, definicije, teoreme su pored navedenog stavljene i II posebne okvire kako bi i vizuelno privukle painju ucenika. U dijelovima tematskih cjclina koji su ovdje nazvani "'odabrani zadaci i praktiCni primjeri" u Udzbeniku jc navcdcno oko 240 detaljno uradcnih zadataka koji ilusiriraju pray i!a, teoreme, osobine pojedinih pojmova i s1.. U Udzbenikuje preko 120 gratickih iIustracija (crteza, skica, slika) kojima se zorno prcdocavaju pojcdini pojmovi i njihovi uzajamni odnosi. To se posebno odnosi na poglavlje u kome se obraduje homotetija i slicnost. Graficke ilustracije su ubacivane tamo gdje je njihova didrikticka vrijednost nezamjenljiva i u tome se nije pre1jcrivalo. Slike u knjizi su posebno oznaccnc. Njihova.oznaka ukazuje na poglavlje i redni brqj slike u -njemu. Potpisi ispod stika (clteia), skoro uvijck, daju posebnu poruku kojom sc dopunjuje tekst koji prcthodi cliezu (iii se naIazi iza njega).3

Direktor:Za izdava6a:Ured.nik: Recenzenti:

Nura HLJSKIC, Sarajevo Vesna PAVlC'::, TuzlaL~ictor:

Zulejha TERZICAutar

Korektm:

Tehnicki urednik: Naslovna strana:DTP;

Vanda BABOVIC Mira GOCHCAutor

Stampa:

C.P.A. Tojsici

Tiraz:

1.000 primjeraka

elP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Basne i Hercegovine, Sarajevo51(075.3) Huskic, Adem Matematika za 2. razred gimnazije 1 drugih srednjih skala! Adem Huski6. - Sarajevo: Svjetlost, 2003-. - 356 str. : graf. prikazi ; 24. em ISBN 9958'10-5.82-9 COBISS.BH-lD.12079878

ISBN 9958-10-582-9

Federalno Ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i -sport~,'-ti,tosnovu- odobrenja Vijeca za odabir udzbenika od 12.03 .200 1. godine, RjdenJem broj'UP..:1-01c38-9-2517 III Qdbbrilo je ovaj udzbenik za upotrebu. . Strogo je zabranjeno svako kopiranje,._ u~n'~zav[mj~e i p-reStampav~nje.ovog-prirucnika u cjelini ilipojedinih njegovih diJelova, bez odobrenJa"lzgilvaca. . .

.

"'ifiP

...

Na mjestima u Udzbeniku gdje su informacije, podaci, veze izmedu podataka i slieno, mogle da se predstave u tabelarnolll obliku, to je i uradeno tako da je 8 tabela sastavni dio Udzbenika. U dijelovima koji slijede iza svake tematske oblasti pod nazlvom "Zadaci za vjezbu (i utvrdivanje)", u Udzbeniku je navedeno preko 1300 zadataka s ciljem da se ucenicima omoguei utvrdivanje gradiva izradom zadataka i bez posebnih zbirki zadataka, a profesorima matematike omoguci izbor dodatnih zadataka za vjezbu u skoli, kao j odabir 7...adataka koje ueenici mogu j trebaju rjesavati,u dlju uvjezbavanja i provjeravanja stepena usvojenosti grad iva, samostalno kod kuee (domaea zadaea). Na kraju Udzbenika naveden je spisak literature koja je,uz visegodlsnje iskustvo autora, kOrlstena prilikom izrade mkopisa 1 koja se preporucuje profesorima matematike i predavaeima, za daUu analizu i pripreme za nastavu za pojedine-teme, kao i za izbor tema za izradu maturskih radova ucenika. Uz obradu iogaritama i trigonometrijskih funkcija uobicajeno je da se koriste posebne tablice ("logaritamske tab lice"). U udzbeniku je djelimicno ukazano kako se koriste te tab lice, ali je poseban naglasak dat na upotrebu malih dzepnih kalkulatora (cija je nabavka dostupna i llcenicima, a ne bi bila veHki izdatak l1i skolama) koji efikasno zamjenjuju navedene tab lice i sto je jos vainije, osavremenjuju i dizu na vist 111VO nastavni proces U odgovarajueim oblastima matematike. Namjena Udzbenika je prvenstveno da bude sredstvo za realizaciju programa matematike za dr1.1gi razred gimnazije i tehniekih skola koje imaju i5ti program matematike kao i u gimnaziji. Udzbcnik je namijenjen ucenicima navedenih skola, a za profesore matematike i predavace je okvir u kome i oko koga ee se kretatl realizirajuCl program matematike u drugOtTl razredu. Za realizaciju pojedillih oblasti, Udzbenik mogu koristiti profesori i napredniji ucenici drugih srednjih skola (preostale tehnicke skole, tehnicke i srodne skole, sirucna skola). Na kraju izrazavarn veliku zahvalnost recenzentima koji su savjesno preglcd2.li rukopis i svojim sugestijama i konkretnim prijedlozima znatno doprinijeli podizanJu kvaliteta rukopisa. Autor

1.

S T E PEN I (POTENCIJE) I

K 0 RIJ ENI

1.1. Stcpcni (potencije) s prirodnim izlozioccm (cksponcntom)Proizyodjedna\dh faktora 555, aaaa, xxxxx, bbbb, cc materno krace pisati ovako:

Uopste,za rna koji rcalan bmj a j rna koji prirodan braj n (11)1), po dcfi11iciji,je

aa ... a

'-----~j iJ !ilklom

Ozna10).

(*)

11

c:' ,r

I

"JO = 0, "J! = 1, v-;; = a . . ..." I I 2: 0 DalJc, vnJcdl -va- = QI =kao i

{a, a

--a,a

("JA~r =(~AB

r

Posmatramo Ii gornju jednakost sa desna u lijevo uOClcemo pravilo mnozcnja korijena jednakih izlozilaca:

U opcem siucaju vrijedi:

.

[ra~"0=>

Proizvod korijcna jcpnalri"tt 'izlozilaca je korijen istng iziozioca c-jj~ je potlwrjena velicina jednaka proizvodu potkor.ienih velicina: faktora.

I jIj

!Prilikom racunanja sa korijenima rezultate operacija cemo uvljek ostavljati u takvom obtiku koji se ne !11ogu dalje skraclvati.

Kada treba pomnoziti korijene koji nemajujcdnake eksponente, tada se prosirivanjem korijena oni dovode na zajednicki eksponent i onda mnoze. Kako se to radi pokazimo na primjerima:

,

jII

Primjer 1: Pomnoziti korijenea)

1

.fi. J8

b)

vg.'j3

3/: f3 c) -va'va

12

113

Rjesenje:

a)

b)c)

J2Js ~ 128 ~ JiG ~4 V9 .Vi = Z!9-~'3 = 2./27 = 3~r;;H =V-:Z2.~Q =~laZa9 =V;;~ ==0 -va

=> ()!5Otuda zakljucujcmo da je korijen kolicnika jednak kolicniku korijena brojnika i nazivnika tog razlo111ka. i obrnuto, kolicnik dva korijena jednakih eksponenata je korijcn istog eksponcnta eija je potkorjena vc!icina jednaka kolicniku potkOljenih ve!icina datih korijena.

.

Posmalrajmo slijedeCi postupak racunanja sa korijenima:

a) ,,12='v'43 =,j4-.j3 =2,;3b),,) .....

=r.-~~

c:

'[;7 =~rxr,

X

='Jx(, ~r;=x2 ~r;

'~lal!)Jb2".j --"!~b:'i )b-"~b2U ....;a'b-a b 2 'Vc,>b ul};b_ \I _va a -va

Primjcr 2: a)c)

J" ~~155 ~ \/i I53~

r-:-::

r~

5- , -.13

sr;;- 31g :?4~( 24~!5 24rs=:5 24("-=7 5 3 ...,/a:....;a- ="';a~: -.,jl.,a) = va:a = -vau.~ = lia

U svakom od navedenih primjera korijen nije potpuno izracunat ali se moze reci da je izraCLlnat njegov dio. U rezu!tatLl svakog navedcnog primjera izracunati dio nalazi se ispred novog korijena lao faktor. Novi korijcn .Ie jednostavnij i od polaznog. Na ovaj nacin se vrsi pojednostav!jivanje izraza, a ova transforll1acija korijena se cesto koristi kao priprcma za neku drugu (na primjer, skracivanje izraza). Navedenu transforma;.;iju nrtzivamo djelimicno (pal'cijalno) korjenovanje.Obrnuta transfOrm[lcija ad navedenc jeste ta kada se faktor ispred korijena unosi pod korijcn. Kako se to radi uocilllo analizirajuc':i slijedece primjere:a)

1.4.2.4.

Slepenovallje i korjenovanje korijena

Korijen se moze i stepenovati. Korijcll se stepenujc tako sto sc stepenujc samo potkorjena veliCina. Dakle, vrijedi

b)

5.J3 = .JS2.J3 = ,,)5' 3 = ...}75 2V5 = V2ivs = ~ = V40Dokaz

r-(ifi). 1:-~-~ A ___J m-lL_~____[(:j;.),,]m__ n! --0

c) 2a" Va~~' = t/(2a 3 )4~2 x = ~116(~7~':i; = ;/1-6-a-;-;l2-ac;,~x = V16a l4 x .

k~r,;)"'l'

("r;-) n \a

~am}

=>~>

[('1;;)"']" ~(:j;)"("r::)n! -va"'. _ fir;;; 'Va

104.2.3. Korijcn kolicnika. Dijeljenje korijenaZa aritmcticki korijen vri