Upload
festim-bejtullahu
View
1.986
Download
46
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Permbledhje e te gjitha ligjeratave nga lenda e Statistikes
Citation preview
1
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 1
1-1
Çështë Statistika ?Qëllimet:
Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Kuptoni rolin dhe rëndësinë e statistikës.
Spjegoni se çka kuptoni me dukuri masive variabile, mostër, njësistatistikore dhe variabël.
Bëni dallimin në mes të variablave kualitative dhe variablavekuntitative
Bëni dallimin në mes të variablave diskrete dhe variablave tëvazhdueshme.
Kuptoni se çka është Statistika Deskriptive dhe StatistikaReprezentative.
Keni një paraftyrim rreth zhvillimit historik të statistikës.
Kuptoni rëndësinë e kompjuterëve dhe softverëve për aplikimin e metodave statistikore
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 2
Kuptimi dhe rëndësia e statistikës
H.G.Wells: ”Mënyra statistikore e të menduarit një ditë do të jetë e domosdoshme për qytetari efektive si aftësia për të lexuar “
Më 1998, David Moore, kryetar i Asociacionit të Statistikës Amerikane: ”Edhe pse statistika është shkencë matamatikore, ajo nuk është pjesë e matematikës, dhe as që duhet studentëve t’iu spjegohet në atë mënyrë”. Statistika ka metodën e vet induktive të të menduarit që dallon dukshëm nga metoda deduktive në matematikë.
2
Kuptimi dhe rëndësia e statistikës
2002- Statisticientët (50) më të njohur në botë:
“Statistika nuk është fushë e matematikës,
por vetëm shfrytëzues i madh i matematikës
si dhe i metodave të tjera të llogaritjes”
Gjithashtu kanë theksuar se statistika ka natyrë
multidiciplinare dhe se qëllimi i përbashkët i
profesionit të statisticientit është nxjerrja e
informatave nga të dhëna të llojllojshme.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 3
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 4
Kuptimi dhe rëndësia e statistikës
Statistika për biznes dhe ekonomi:
Statistika është shkencë e grumbullimit, organizimit, prezantimit , analizimit dhe interpretimit të dhënave numerike me qëllim të ndihmës për marrjen e vendimeve më efektive në kushtet e pasigurisë.
Për të kuptuar statistikën duhet analizuar Dukuria variabile
Dukuria variabile është ajo dukuri në të cilën ndikojnë shumë faktorë dhe për këtë arsye ajo në paraqitjen e saj merr vlera të ndryshme nga një rast në tjetrin.
1-2
3
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 5
Kuptimi dhe rëndësia e statistikës
Pse paraqiten variacionet?
Për arsye se në dukuri veprojnë , në përgjithësi, e veçanërisht në ekonomi dhe shoqëri, në të njejtën kohë shumë faktorë.
Pse duhet të hulumtohen variacionet?
Që të shikohet se çka është e rëndësishme në to e çka jo, sa janë devijimet(shmangiet) në raport me “normalen”
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 6
Definicioni i statistikës
Statistika është shkencë e
grumbullimit, organizimit, prezantimit ,
analizimit dhe interpretimit të dhënave
të dukurive masive variabile.
4
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 7
Pse duhet të mësohet statistika?
Arsyeja e parë: Gjithkund hasim në të dhëna numerike;
Arsyeja e dytë : Teknikat statistikore shfrytëzohen për të marrë vendime të cilat kanë ndikim në jetën tonë, gjegjësisht që ndikojnë në mirëqenjen tonë personale.
Arsyeja e tretë: Njohuritë për metodat statistikore ndihmojnë që të kuptojmë pse janë marrë vendimet dhe të kuptojmë më mirë se çfarë efekti kanë në jetën tonë, etj.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 8
Kush e shfrytëzon statistikën ?
Teknikat statistikore gjerësisht shfrytëzohen nga marketingu, kontabiliteti , kontrolli i kualitetit, konsumatorët, njerëzit profesional të sportit, administrata e spitaleve, arsimtarët, politikanët, fizicientët etj…..
Përdorimi i gjerë i kompjuterëve, a para se gjithash i softverëve të ndryshëm statistikor, i ka krijuar hapësirë shfrytëzuesve të statistikës që në mënyrë relativisht të thjeshtë të përdoret në shumë disiplina shkencore; mjekësi, psikologji, farmaci, veterinari, astronomi,biologi, sociologji, fizikë, gjeologji, inxhinjeri, ekonomi, biznis, etj.
1-3
5
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 9
Elementet e analizës statistikore
Popullimi / tërësia e përgjithshme ose
dukuria masive
Mostra
Njësia statistikore (individi)
Të dhënat statistikore (atributi ose
tipari statistikor), Variablat.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 10
Popullimi / tërësia e përgjithshme ose
dukuria masive
Dukuritë masive / kolektive ose
popullimi statistikor janë grumbull i
njerëzve, objekteve, sendeve, rasteve,
ngjarjeve etj, që janë me interes. Dukuria
masive është sasia e diferencuar në
mënyrë cilësore.
6
Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria
masive
Varëshisht nga qëllimi i hulumtimit, tërësia e përgjitshme
mund të përbëhet nga njerëzit, kafshët, ngjarjet, objektet,
sendet.
Kështu për shembull tërësinë statistikore mund ta
përbëjnë:
- të gjithë banorët e një qyteti,
- të gjithë studentët e një fakulteti,
- fondi i kafshëve në një shtet,
- të gjitha ndërmarrjet në një regjion, ose komunë ose
shtet,
- të gjithë kompjuterët në një universitet, etj.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 11
Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria
masive
Tërësinë statistikore mund ta përbëjnë edhe
ngjarjet si:
vizitat turistike,
importi dhe eksporti,
prodhimi dhe konsumi,
veprat kriminale,
fatkeqësitë e komunikacionit, etj.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 12
7
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 13
Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria
masive
Tërësia e përgjithshme duhet të definohet saktë
nga aspekti:
Përmbajtësor; (punëtorët)
Hapësinor; (ndërmarrjet e vogla në Kosovë)
Kohor. (01.06.2008)
Shembull. Popullimi statistikor: Punëtorët në
ndërmarrjet e vogla në Kosovë më 01.06.2008
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 14
Mostra/Zgjedhja
Mostra është porcion ose pjesë e
popullimit me interes, përmes së cilës
merret vendimi, bëhet vlerësimi ,
parashikimi ose përgjithësimi rreth
popullimit.
8
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 15
Populacioni dhe mostra
Populacioni/dukuria masive
Mostra
16
Pse mostra?
Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit.
Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim.
Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate.
Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë.
Natyra shkatërruese e disa provave/testeve.
9
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 17
Njësia statistikore (individi)
Njësia statistikore (individi) paraqet elementet
individuale prej të cilave përbëhet tërësia e
përgjithshme ose dukuria masive të cilat kanë
karakteristika variabile.
Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore
të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë.
Shembull: Regjistrimi i popullsisë – banori, për
standardin jetësor- familja, etj.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 18
Të dhënat statistikore, (atributi ose
tipari- VARIABLAT)
Të dhënat statistikore, (atributi ose
tipari (variablat) paraqesin çdo veti të
veçantë për secilin dhe të përbashkët për
të gjitha njësitë statistikore.
10
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 19
Tipet (llojet ) e Variablave
Variabla kualitative ose Atributive:
karakteristikat e variablave që studiohen
janë jo numerike dhe mund të jenë
nominale dhe rendore/shkallore.
SHEMBUJ: Gjinia, përkatësia fetare, tipi i
automobilit, vendi i lindjes, ngjyra e syve
etj.
1-7
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 20
Tipet (llojet ) e Variablave
Variabla kuantitavie (sasiore-numerike):variablat mund të raportohen në mënyrë numerike dhe mund të jenë në intervaledhe proporcionale.
SHEMBULL: bilanci në llogarinë e juaj bankare, mosha e punëtorëve të një firme, numri i fëmijëve në një familje, etj.
1-8
11
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 21
Variabla kuantitavie (sasiore-
numerike)
Variablat kuantitative mund të klasifikohen si
diskrete - të ndërprera dhe të vazhdueshme-
kontinuale .
Variablat diskrete - të ndërprera: mund të
marrin vetëm disa vlera të caktuara dhe
gjithmonë ka “ndërprerje” në mes të vlerave.
SHEMBULL: numri i dhomave të fjetjes në
shtëpi ( 1,2,3,.., etj), numri i anëtarëve të
familjes, etj.
1-9
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 22
Variabla kuantitavie (sasiore-
numerike)
Variablat e vazhdueshme - kontinuale:
mund të marrin çfarëdo vlere brenda një
rangu të caktuar.
SHEMBULL: Koha e kaluar me aeroplan
prej Prishtine në Gjenevë, gjatësia e
nxënësve të një klase, etj.
1-10
12
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 23
Përmbledhje e llojeve të variablave
Të dhënat/variablat
Kualitative/Atributive)
Diskrete/të ndërprera
Numerike/Kuantitative)
Të vazhdueshme/kontinuale
Shembuj:•gjinia, nacionalitetingjyra e flokëve,etj
Shembuj: •Numri i fëmijëve, Numri i të punësuarëve, Numri i kinemave Numri i veturave të shitura
Shembuj: •Mosha e studentëveKilometrat e kaluara në mes të dy distancaveGjatësia trupore enxënësve, etj
Të dhënat/variablat
Të dhënat statistikore mund të klasifikohen
edhe sipas nivelit të matjes së tyre.
Niveli nominal i të dhënave (të parënditshme)
Niveli ordinal i të dhënave (të renditëshme)
Niveli interval i të dhënave
Niveli proporcional i të dhënave
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 24
13
Shembull për të dhënat nominale/ të parenditshëm
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 25
Variablat kualitative Kategoritë/Modalitetet
Pronarë i automobilit Po Jo
Gjendja martesore I/e martuar; I/e pamartuar; I/e ve; I/e
ndarë
Gjinia Mashkull; Femër
Veprimtaritë ekonomike Industria dhe xehtaria; bujqësia;
tregtia; pylltaria, ndërtimtaria;
komunikacioni dhe lidhjet; etj
Format ligjore të
shoqërive tregtare
Biznes individual, Partneritet,
Korporatë, etj
Shembuj pët të dhënat ordinale/ të renditshme
Variablat kualitative Kategoritë/Modalitetet
Kënaqja me produktin Shumë i pakënaqur; pak i pakënaqur;
neutral, Pak i kënaqur; shumë i kënaqur
(Shkallët e Likertit)
Thirrjet akademike të
profesorëve
Profesor i rregullt; Profesor i asocuar;
Profesor asistent; Assistent; Asistent i ri.
Suksei i studentëve 10; 9; 8; 7; 6; 5.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 26
14
Shembuj të shkallës intervale dhe proporcionale të
dhënave
Variablat kuantitative Niveli i matjeve
Temperatura (në shkallë
Celsius ose Fafrenheit)
Intervale
Gjatësia (në metra dhe cm) proporcionale
Pesha (në litër ose kg) Proporcionale
Pagat (në euro apo valutë
tjerër)
Proporcionale
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 27
Shembull. Vrojtimi i punëtorëve të firmës “X”
Emri dhe
mbiemri
Gjinia Mosha Pozita Pervoja
e punes
Paga vjetore
(000)
Albulena Z. F 30 Menaxhere 12 20
Afrim T. M 25 Shefe e shitjes 13 15
Vjollca M F 22.3 Financa 10 10
Aferdita I. F 45 Marketing 2 8
Agon T. M 32.5 Shites 5 6
Genc M. M 23.8 Shites 8 6
Adelina B. F 27 Shites 6 6
Bardha M. F 19 Shites 14 6
Yll T M 27 Shofer 12 5
Valton K. M 28.6 Shofer 3 5
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 28
15
Shembull, vazhdim
Popullimi/tërësia e përgjithshme: Të gjithë
punëtorët e firmës “X”.
Mostra/Zgjedhja : Disa elemente të
popullimit,p.sh. Albulena, Ylli, Vjollca, Genci.
Njësitë statistikore: Albulena, Afrimi, Vjollca, …
Valtoni.
Variabla cilësor: Gjinia, Pozita në firmë/
Variabla numerikë: Mosha, Përvoja e punës,
Paga vjetore.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 29
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 30
Burimet e të dhënave statistikore
Primare
Mbledhja e të dhënave
Sekondare
Të dhëna të grumbulluara
Vrojtimi
Eksperimentimi
Studimi
Të printuara ose
elektronike
16
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 31
Burimet e të dhënave statistikore
Burime primare janë ato të cilat krijohen përmes vrojtimit dhe përmbledhjes së të dhënave për qëllime të hulumtimit të fenomeneve me interes.
Burime Sekonadare janë të dhënat që sigurohen nga burime sekondare siç janë entet e statistikave, ose institucione të autorizuara për mbledhjen e të dhënave primare (banka qendrore, shërbimi i doganave, shërbimet e ndryshme komunale, raportet për afarizmin e firmave etj).
Burimet sekondare gjinden në vjetar të ndryshëm statistikorë në nivel ndërkomëtar, rajonal dhe kombëtar, në artikujt e publikuar, në revista, gazeta, etj.
1-12
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 32
Burimet ndërkombëtare
Organizata e Kombeve të Bashkuara-“Statistical yearbook” (Vjetari statistikor ), Demgraphic yearbook (Vjetari demografik), Yearbook of national accounts statistic ( Vjetari statistikor i llogarive kombëtare) etj.
Organizata Ndërkombëtare e Punës (ILO)- Yearbook of Labour Statistic ( Vjetari statistior i punës).
Organizata Ndërkombëtare e Shëndetësisë - “World Health Statistic annual” (Vjetari Statistikor i shëndetit botëror).
Organizata Ndërkombëtare e Ushqimit (FAO)-“”Production yearbook”(Vjetari i prodhimit), etj.
17
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 33
Burime rajonale
Instituti i Statistikës së Unionit Evropian (EUROSTAT) publikon një gamë të gjerë periodikësh, zakonisht vjetor ose mujor, të cilët përmbajnë statistikat e fenomeneve të ndryshme të jetës ekonomike dhe sociale të vendeve që bëjnë pjesë në Bashkimin Evropian.
Enti i Statistikës i BE, Eurostat-i, i jep rekomandimet lidhur me definicionet, klasifikimet dhe standardet. Për shtetet anëtare të BE disa nga këto rekomandime janë të obligueshme. Natyrisht, standardet ndërkombëtare kanë për qëllim mundësimin e krahasueshmërisë ndërmjet shteteve dhe në kohë.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 34
Burime nacionale
Në Kosovë, Enti i Statistikave të
Kosovës (ESK) bënë publikimin e një
numri të caktuar të statistikave zyrtare
përmes publikimeve të ndryshme si:
Publikimet e bujqësisë dhe të ambientit,
Publikimet ekonomike,
Publikimet e popullsisë,
Publikimet e përgjithshme etj.
18
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 35
Enti i Statistikave të Kosovës (ESK)
Në kuadër statistikave të përgjithshme, Enti i statistikës rregullisht publikon Buletinët mujor mbi statistikat e përgjithshme të cilët përcjellin trendët dhe ecuritë e çështjeve të ndryshme në Kosovë si: Statistikat vitale (lindjet, vdekjet, kurorëzimet, shkurorëzimet, etj)
Tregu i punës;
Kushtet sociale;
Statistikat ekonomike të përgjithshme;
Prodhimi i energjisë dhe rrymës elektrike;
Transporti dhe komunikimi;
Tregtia e jashtme;
Çmimet, gjegjësisht indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK) i cili mat nivelin e kostos së jetesës së banorëve të Kosovës.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 36
Statistikat zyrtare
Statistikat zyrtare formojnë një pjesë të rëndësishme të infrastrukturës informative të shoqërisë. Statistikat zyrtare duhet të sigurojnë informacione globale lidhur me situatën dhe trendët zhvillimore.
Statistikat e mira zyrtare duhet të japin një pasqyrë gjithëpërfshirëse të shoqërisë, andaj duhet t’i mbulojnë të gjithë sektorët, aspektet dhe konditat.
Statistikat duhet të distribuohen në një formë që mundëson qasje të lehtë dhe formë të kuptueshme në mënyrë që t’i shfrytëzojnë të gjithë të interesuarit në shoqëri.
Në bashkësinë ndërkombëtare, Kombet e Bashkuara i kanë përpiluar rekomandimet përkitazi me statistikat zyrtare dhe statistikat përkatëse të lëmenjve të ndryshëm.
19
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 37
Pak histori për statistikën
Zhvillimin e statistikës në vija të trasha mund ta ndajmë në tri etapa:
Mbledhja e të dhënave për gjendjen e popullsisë, ushtarëve, detyruesve tatimor, para se gjithash për udhëheqjen e politikave të taksave.
Zhvillimi i teorisë së probabilitetit, statistikës i ka dhënë një mekanizëm të domosdoshëm i cili mundëson që në bazë të mostrës të bihen vendime të rëndësishme për tërësinë e përgjithshme.
Revolucioni në zhvillimin dhe disponueshmëria me kompjutor në dhjetë vitet e fundit i ka ofruar statistikës mundësi të jashtëzakonshme që ajo të jetë a aplikueshme në të gjitha fushat shkencore dhe të shfrytëzojë metodat e reja të cilat nuk do të mund të aplikoheshin pa mbështetjen e kompjuterëve.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 38
Rritja dhe zhvillimi i statistikës moderne
Nevojat e qeverive për të mbledhur
të dhëna për qytetarët e tyre
Zhvilli i teorisë së
probabilitetit
Zbulimi i kopmpjuterit
20
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 39
Pak histori për statistikën
Sot konsiderohet se fjala “Statistikë”rrjedh nga shprehja e re latine statisticum collegium (ligjërata për punët e shtetit).
Fjala “statistikë” rrjedh prej latinishtes mesjetare “status”, që tregon rendin politik, në këtë kuptim statistika është shkenca që përshkruan faktet më të rëndësishme të shtetit.
Pak histori për statistikën
Njeriu që për herë të parë e përdori emrin “Statistikë” në formë të shkruar është Gottfried Achenvall më 1784, i cili konsideron se detyra e statistikës është sistematizimi i të dhënave për popullsinë me qëllim të udhëheqjes së
politikës shtetërore.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 40
Gottfried Achenwall (1723-1762)
21
Pak histori për statistikën
Në Gjermani zhvillohet
shkolla e posaçme
“Statistika Universitare”
nga prof. Herman Konring
(Hermann Counring, 1606 -
1681), Shkolla deskriptive
ose përshkrimi i shtetit.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 41
Fillimet e statistikës si shkencë mund të gjinden në Gjermani dhe Angli në shekullin XVII dhe gjysmën e parë të shekullit XVIII, kur paraqiten dy koncepte të statistikës.
Pak histori për statistikën
Në anën tjetër , në Angli është
zhvilluar një koncept tjetër i
statistikës “Aritmetika Politike” e
cila është përgëzuar nga John
Graunt (1620-1674), kurse më pas
është përkufizuar si “art i të
arsyetuarit përmes shifrave mbi
çështjet që kanë lidhje me
qeverisjen”. Përshkrimi dhe
analiza. Është vënë theksi në
nevojën për përpunim matematik të
dhënave dhe përpjekjet për të
zbuluar ligjshmëritë e sjelljeve të
dukurive
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 42
John Graunt (1620-1674)
22
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 43
Tipet (Llojet ) e Statistikës
Edhe sot ndihet ndikimi i ndryshimeve të këtyre dy
qasjeve dhe statistika e aplikuar ndahet në dy
grupe kryesore:
Statistika deskriptive (Përshkruese)
Statistika representative
(Inferenciale) (Mostra)
Statistika
StatistiaDeskriptive
StatistikaInferenciale
Përfshin Mbledhjen Organizimin Përmbledhjen Prezantimin etë dhënave
Përfshin Bërjen e vlerësimeve Testimin e hipotezave Përcaktimin e raporteve Bërjen e parashikimeve
Zbërthimi i analizës statistikore
23
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 45
Tipet (Llojet ) e Statistikës
Statistika deskriptive: Metodat e organizimit, përmbledhjes dhe prezentimit të dhënave në mënyrë informative.
SHEMBULL 1: Regjistrimi i popullsisë dhe krahasimi i të dhënave nëpër periudha të ndryshme kohore.
SHEMBULL 2: Të ardhurat personale të punëtorëve të një firme konkrete, mosha e të punësuarve të kësaj firme, përvoja e punës ose elemente të tjera rreth punëtorëve të kësaj firme.
1-4
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 46
Tipet (Llojet ) e Statistikës
Statistika reprezentative (mostra): Vendimi ,
vlerësimi , parashikimi ose përgjithësimi rreth
populacionit bazuar në mostër.
Populacioni / dukuria masive është mbledhja e
të gjithë individëve të mundshëm, objekteve dhe
njësive të tjera me interes ose sasia e
diferencuar në mënyrë cilësore.
Mostra është porcion ose pjesë e populacionit
me interes.
1-5
24
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 47
Tipet (Llojet ) e Statistikës(shembuj të statistikës reprezentative)
SHEMBULL 1: TV – në mënyrë konstante
monitorojnë popullaritetin e programeve të tyre
duke bërë hulumtimin me një pjesë të shikuesve ose
duke i angazhuar organizatat e specializuara për
këtë qëllim.
SHEMBULL 2: Departamenti i kontabilitetit të një
firme të madhe do të zgjedhë një mostër prej disa
faturave për të vërtetuar saktësinë e të gjithë
faturave të firmës.
SHEMBULL 3: Testuesit e verës do të provojnë
disa gllënjka të verës për të marrë vendim në lidhje
me shitjen e tyre.
1-6
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 48
Disa veprime më të rëndësishme statistikore, zbulime dhe të dhëna
për evolucionin e statistikës
VITI ZBULIMI OSE NGJARJA AUTORI
3800 p.e.r. Regjistrimi në Babiloni me qëllim të tatimit
2323 p.e.r. Regjistrimi i fondit të kafshëve në Egjipt ( para kësaj date për cdo dy vjet, a pas kësaj date për cdo vjet)
1055 p.e.r. Regjistrimi i popullsisë në Izrael Mbreti David
550 p.e.r. Regjistrimi i parë i popullsisë në Romë, Roma ka 83.000 banorë Servilje Tulje
28 p.e.r. Regjistrimi i popullsisë zbulon se në mbretërinë e Romës ka 4.063.000 banorë.
2 Regjistrimi i popullsisë më i vjetër rezultatet e të cilit janë ruajtur.Kina në bazë të këtij regjistrimi ka pasur 47.5 milionë banorë
Dinastia e Hunëve në Kinë
1086 Aksioni më i rëndësishëm statistikor në mesjetë - Regjistrimi i popullsisë në Angli, rezultatet janë botuar në Librin e gjyqit të tmerrshëm.
Williami i Parë Pushtues
1654 Vënia e themeleve të Teorisë së Probabilitetit Blaise Pascal & Pierre de Fermat
1662 Studimi i parë demografik i publikuar i bazuar në tabelat e vdekjes John Graunt
1676 Del nga shtypi “Aritmetika politike” William Petty
25
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 49
1710 Përdorimi i parë i një lloj testi statistikor John Arbuthnott
1713 Shtypet punimi më i rëndësishëm për teorinë e probabilitetit në shek. e XVIII: Ars Conjectanti (Ligji i numrave të mëdhenj) Golden Theorem
Jacob Bernoulli
1733 Zbulimi i Shpërndarjes Normale Abraham De Moivre
1749 Për herë të parë përmendet termi “STATISTIKË” në një punim
Gottfried Achenvall
1763 Bazat e statistikës së Bayes-it, e bazuar në konceptet subjektive të probabilitetit
Tomas Bayes
1801 Popullsia e botërore arrin në 1 miliard banorë
1805 Zbulimi i metodës së katrorëve më të vegjël A.M.Legendre
1809 Gausi përsëri zbulon shpërndarjen normale dhe zgjeron metodën e katrorëve më të vegjël
Carl F.Gauss
1812 Publikimi i parë i punimit nga teoria e gjasave Pierre S.Laplace
1853 Në Berlin organizohet Konferenca e Parë Ndërkombëtare e Statistikës
Adolphe Quetelet
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 50
1885 Për here të pare futet ideja e regresionit Francis Galton
1896 Formulohet koeficienti korrelacionit të thjeshtë linear Karl Pearson
1900 Formulohet testi χ2 Karl Pearson
1904 Formulohet Koeficienti i Korrelacionit të Spearman-it Charles Spearman
1908 Zbulimi i vlerësimit të mesatares aritmetike në rastin kur devijimi standard i populacionit nuk dihet.
William Gosset (“Student”)
1918 Formulohet koncepti i analizës së variancës. Ronald Fisher
1925 Popullsia në botë arrin në 2 miliardë banorë
1925 Botohet libri “Metodat statistikore për hulumtim”, padyshim libri më me ndikim i statistikës në shekullin e XX
Ronald Fisher
1933 Formulohet intervali i besimit, gabimi i llojit të II-të, fortësia e testit, regjionet kritike.
Jerzy Neyman & Egon Pearson
1933 Është vendosur koncepti aksiomatik i probabilitetit Andrei Kolmogorov
1945 Është formuluar testi më i njohur joparameter: testi i shumës së rangimit të Wilcoxon rangut me shenjë
Frank Wilcoxon
1959 Popullsia e botërore arrin në 3 miliardë banorë
1966 Përdorimi i parë i metodave statistikore resampling (metoda e mostrave të përsëritura)
Julian Simon
26
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 51
1972 Është formuluar koncepti i analizës hulumtuese të të dhënave John Tukey
1972 Janë formuluar modelet lineare të përgjithshme J.A.Nelder & R.W>M Wedderburn
1974 Popullsia në botë arrin në 4 miliardë banorë
1979 Formulohet bootstrap metoda Bradley Efron
1986 Popullsia në botë arrin në 5 miliardë
2000 Popullsia në botë arrin në 6 miliardë.
2002 Me shfrytëzimin e FDR metodës është vërtetuar teoria e Big Beng-ut
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 52
Përdorimi i kompjuterëve në statistikë
Softwear-ët që më së shumti përdoren për
zgjidhjen e shumë problemeve statistikore janë:
Excel ,
SPSS ( Statistical Package for Social Science),
SAS (Staistical Anlysis System),
Minitab,
Statgraphics,
Statistica, etj.
27
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 53
Përdorimi i Excel-it
Në mënynë rënëse Tools klikojmë me anë të miut në opsionin Data Analysis.
Në kornizën e gjetur Analysis Tools selektojmë metodën që dëshirojmë të shfrytëzojmë.
Nëse opsioni Data Analysis nuk paraqitet në mënynë rënëse Tools, atëherë klikoni në të njëjtën meny në Add-Ins dialog box.
Në kornizën e gjetur selektoni opsionet Analysis ToolPak dhe Analysis ToolPak –VBA dhe klikoni Ok.
Kthehuni përsëri në Tools dhe do të gjeni Data analysis.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 54
Konceptet kyçe
Dukuritë variabile
Statistikë
Popullimi/tërësia e përgjithshme
Mostra
Njësia statistikore, individi
Të dhënat statistikore:diskrete dhe kontinuale/të vazhdueshme
Modalitetet
Statistika deskriptive
Statistika representative
28
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 55
Detyrë
Shpjego dallimin në mes të të dhënave
kualitative dhe kuantitative dhe jep tre
shembuj për secilën.
Shpjego dallimin në mes të dhënave
diskrete dhe të vazhdueshme dhe jep tre
shembuj për secilën.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 56
Detyrë
Përcakto se cilat nga variablat vijuese është kualitative e cila kuantitative. Nëse janë kuantitative përcaktoni se fenomeni me interes a është diskret apo kontinual:
- Numri i telefonave në familje,
- Lloji i telefonit,
- Ngjyra e telefonit,
- Pagesa mujore (në euro dhe cent) për thirrje telefonike,
- Numri i thirrjeve lokale të bëra gjatë muajit,
- Zgjatja (në minuta) e thirrjeve lokale gjatë muajit,
- Fakultetet e Universitetit të Prishtinës.
29
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 57
Ushtrime
Ushtrim 1. “Jam shumë i stresuar” është
një shprehje që shumë e shpeshtë në mes
të studentëve. Çka ju streson juve. Cili është populacioni me interes?
Identifikoni më së paku tri arsye për të marrë
mostrën.
Identifikoni dy variabla ose karakteristika të
anëtarëve të këtij populacioni që ju dëshironi të
studioni.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 58
Ushtrime
Ushtrim 2. Dekani i fakultetit dëshiron të shoh se çfarë lloj aktiviteti dhe pune bëjnë studentët e diplomuar të fakultetit pas 5 vjet diplomimi.
Cili është populacioni me interes?
Identifikoni arsyet për të marrë mostrën për hulumtim.
Identifikoni dy variabla/karakteristika të anëtarëve të populacionit që ju dëshironi të studioni
30
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 59
Ushtrime
Ushtrim 3. Kryetari i një shteti dëshiron të
shoh se sa është i popullarizuar pas dy
vjetëve të mandatit të tij. Një mostër e
votuesve të rritur janë pyetur se a do ta
rizgjedhnin prapë atë në atë post. A janë të dhënat kualitative apo kuantitative
Nëse të dhënat janë kualitative a janë ato
nominale apo rendore/shkallore. Nëse janë
numerike a janë ato diskrete apo kontinuale.
Bazat e Statistikës 2010
Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 60
Ushtrime
Ushtrim 4. Më poshtë janë të listuar disa pyetje nga anketa rreth virusit “Trojan horse”. Për çdo lloj të pyetjes identifikoni se çfarë lloj të dhënash duhet të grumbullohen.
A është infektuar kompjuteri juaj me virusin “Trojan horse” Po, kompjuteri im është infektuar me këtë virus.
Jo , kompjuteri im nuk është infektuar me këtë virus.
Nuk jam i sigurt se kompjuteri im është infektuar.
A dini dikë tjetër që kompjuteri i është infektuar me virusin “Trojan Horse” Po
Jo
Sa shpesh ju me kujdes ekzaminoni subjektin e-mailit të juaj para se të hapni atachmentët. Gjithmonë
Shpesh
Sipas rastit
Rrallë ose kurrë
1
1
1-1
Fazat e studimit statistikorQëllimet:
Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Dini se cilat janë fazat e studimit statistikor
Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e vrojtimit statistikor
Bëni dallimin në mes të vrojtimit të përgjithshëm dhe vrojtimit të
pjesshëm
Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e grupimit statistikor.
Kuptoni seritë statistikore , llojet e tyre dhe të formoni seritë e
distribucinit të frekuencave për të dhënat kualitative dhe kuantiative
Paraqitni grafikisht seritë e distribucionit të frekuencave
2
Fazat e studimit statistikor
Vrojtimi statistikor ( mbledhja dhe
grumbullimi i të dhënave);
Grupimi dhe klasifikimi i të dhënave
(formimi i serive statistikore, përdorimi i
tabelave, grafeve, etj.);
Analiza statistikore
Publikimi dhe interpretimi i të dhënave
2
3
Vrojtimi statistikor (Mbledhja e të
dhënave)
Vrojtimi statistikor paraqet fazën e parë kërkimore të studimit gjatë së cilës bëhet grumbullimi i të dhënave për dukuritë masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme
Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë.
Shembull: regjistrimi i popullsisë – banori, për standardin jetësor- familja, etj.
4
Vrojtimi/grumbullimi i të dhënave
Plani i mbledhjes së të dhënave përfshinë:
Definimi i qëllimit të vrojtimit/mbledhjes së të dhënave;
Përcaktimi i tërësisë statistikore/dukurisë masive dhe
njësisë statistikore;
Zgjedhja e karakteristikës/variablës dhe definimi i
modaliteteve;
Përcaktimi i pyetësorëve për mbledhjen e të dhënave;
Përcaktimi i mënyrës dhe metodave të mbledhjes së të
dhënave, etj.
3
5
Burimet e vrojtimit/mbledhjes së të dhënave
VROJTIMI I
DREJTPËRDREJTËVROJTIMI PËRMES
DEKLARIMITVROJTIMI PËRMES
DOKUMENTEVE
Marrja e informatave
drejtpërdrejtë nga
persona fizikë
dhe juridikë
Informata të tërthorta
, nga profesionistët
që e njohin mirë
problematikën.
Dokumenta zyrtarë:
Libri amë, kontabiliteti,
Listëpagesa e
punëtorëve, etj
SIPAS BURIMIT TË
SIGURIMIT TË DHËNAVE
6
Mënyrat e vrojtimit
Mënyra ekspeditive
Mënyra përmes thirrjes zyrtare
Mënyra përmes korrespondetëve
Mënyra e vetëregjistrimit
4
7
Llojet e vrojtimeve statistikore
VROJTIMI SIPAS KOHËS VROJTIMI SIPAS VËLLIMIT
Vrojtimi i
vazhdueshëm
Vrojtimi
jo i vazhdueshëm
Vrojtimi i
pjesshëm
Vrojtimi i
përgjithshëm
LLOJET E VROJTIMEVE (Qëllimi, natyra e dukurisë dhe rrethanat e saj)
8
Vrojtimi sipas vëllimit
VROJTIMI I PËRGJITHSHËM bëhet përmes: Regjistrimit dhe Evidencës gjegjësisht raporteve statistikore.
Karakteristikat e regjistrimit:
Gjithëpërfshirës (vrojtimi i të gjitha elementeve të dukurisë)
I njëkohshëm (periudha më e shkurtë jep rezultate më të mira)
Koha e regjistrimit – Momenti Kritik- kur gjendja e dukurisë është “normale”.
Përsëritja e regjistrimit (mundëson krahasimin e rezultateve)
Rregullimi normativ i regjistrimit (rregullat ligjore me të cilat rregullohen të drejtat dhe obligimet e pjesëmarrësve në regjistrim)
- P.sh.Regjistrimi i popullsisë, amvisnive, ekonomive shtëpiake, etj. (çdo dhjetë vjet)
5
9
Vrojtimi sipas vëllimit
Vrojtimi përmes evidencës ose raporteve statistikore.
Bëhet te dukuritë që tregojnë variabilitet më të madh gjatë kohës apo hapësirës.
P.sh.
- gjendja e të punësuarëve,
- prodhimtaria e realizuar,
- lëvizja natyrore e popullsisë e të ngjashme.
( Regjistrimi dhe raportet statistikore japin të dhëna më të sigurta dhe më të plota)
10
VROJTIMI I PJESSHËM/ JO I PLOTË /REPREZENTATIV
Vrojtimi i pjesshëm paraqet metodën përmes së cilës në bazë të vështrimit të një pjese të njësivestatistikore të dukurisë bihen konkluzione/përfundime për karakteristikat dhe sjelljen e tërësisë së përgjithshme.
Mostra është një pamje e zvogëluar, por besnike e popullimit.
Ajo përmbush dy kritere të rëndësishme:
Zvogëlimi i kohës dhe punës së nevojshme për mbledhjen dhe përpunimin e të dhënave;
Lejon një reduktim të ndjeshëm të kostove të mbledhjes dhe përpunimit të të dhënave.
6
11
Pse vrojtimi i pjesshëm?
Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit.
Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim.
Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate.
Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë.
Natyra shkatërruese e disa provave/testeve.
12
Llojet e mostrave/vrojtimit të pjesshëm
Llojet e mostrave
Mostra të rastësishme
/probabile
Mostra jo të rastësishme
/jo probabile/e arsyetuar
Mostër e stratifikuar/shtresëzuar
Mostër e grumbulluar / klaster
Mostër e rastit sistematike
Mostër e rastësisshme e thjeshtë
Mostër me kuota
Mostër subjektive
Mostër e përshtatshme
7
13
Gabimet gjatë vrojtimit
GABIMET E REPREZANTIMIT
(PËRFAQËSIMIT)GABIMET E REGJISTRIMIT
Gabimet e rastit
Gabimet sistematike/
e qëllimta
Gabime gjatë vrojtimit
të pjesshëm
GABIMET E VROJTIMIT
14
Kontrolli i të dhënave
Pas përfundimit të mbledhjes së të dhënave duhet
të bëhet kontrollimi i tyre në mënyrë cilësore dhe
sasiore.
Zakonisht bëhen dy lloje të kontrollimeve:
Kontrolli logjik i të dhënave;
Kontrolli aritmetik (llogaritës) i të dhënave
8
15
PËRMBLEDHJA DHE GRUPIMI I TË
DHËNAVE STATISTIKORE
Grupimi i të dhënave paraqet ndarjen e dukurisë
masive të hulumtuar sipas tipareve të përbashkëta,
në grupe homogjene.
Grupimi paraqet fazën e dytë të studimit statistikor
gjatë së cilës materiali rregullohet, gjegjësisht
grupohet sipas karakteristikave të caktuara që
hulumtuesit i interesojnë.
Gjatë kësaj faze është karakteristikë formimi i serive
statistikore, tabelave statistikore dhe paraqitja
grafike e të dhënave të rregulluara.
16
Llojet e grupimeve
Sipas qëllimit Sipas llojit të tiparit Sipas vëllimit
Tipologjike
Variacionit
Analitike
Cilësore
Numerike
Kohore-Kronologjike
Hapësinore
I thjeshtë
I përbërë
Rigrupimi
LLOJET E GRUPIMEVE:
9
17
Seritë statistikore
Radhitja e të dhënave në formë të vargut
quhet seri statistkore. Ato formohen prej më së
paku dy madhësive, modaliteteve.
Seritë statistikore mund të jenë:
Të thjeshta
Të përbëra
Hapësinore/Territoriale
Kohore
Shpërndarjes/distribucionit/ të frekuencave
18
Seritë e shpërndarjes/ distribucionit të
frekuencave
Seritë e shpërndarjes/distribucionit të frekuencave mund të jenë:
Atributive/Cilësore
Variacionit (numerike)
Seritë e distribucionit të frekuencave janë mjet shumë i shfrytëzueshëm për organizimin dhe grupimin e masës së të dhënave në një formë të shfrytëzueshme.
2-4
10
19
Seritë e distribucionit të frekuencave Distribucioni i frekuencave paraqet grupimin e të dhënave
në kategori, të treguara me numrin e vrojtimeve në çdokategori.
Distribucioni i frekuencave jep numrin se sa herë çdo vlerëparaqitet në çdo klasë/modalitet/kategori
Karakteristika (X)
Modalitetet e karakteristikës/variablës
Frekuencat/ Denduritë (f)
x1 f1x2 f2x3 f3x4 f4xn fnΣ ΣF
1-20
Distribucionet e frekuencave
• Çka është distribucioni i frekuencave?
Distribucioni i frekuencave është organizimi
i të dhënave të pagrupuara në formë
tabelore duke shfrytëzuar modalitetet dhe
frekuencat/denduritë.
• Çka janë frekuencat?
Frekuencat/denduritë ose numërimi i
frekuencave tregojnë se sa herë një vlerë
paraqitet në grumbullin e të dhënave.
11
21
Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative/atributive/jonumerike
Të dhënat
kualitative
Distribucionit të frekuencave
Tabela përmbledhëse
Paraqitja
grafike
Diagrami tortë
Diagrami i
ParetosBar
diagramet
22
Paraqitja tabelare dhe grafike e të dhënave
kualitative
Të dhënat kualitative
Distribucioni i frekuencave
Tabela përmbledhëse
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
Stocks
Bonds
Savings
C D
Paraqitja grafike
Diagrami tortë
Diagrami i ParetosBar diagramet
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
Stocks Bonds Savings C D
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
x (f)
x1 f1
x2 f2
x3 f3
x4 f4
Σ ΣF
12
1-23
Distribucioni i frekuencave për të
dhënat kualitative-- Shembull
• Shembull: Gjaku sipas grupit i 25 dhuruesveështë dhënë më poshtë. Gruponi të dhënatpërmes distribucionit të frekuencave
AB B A O BO B O A O B O B B BA O AB AB O A B AB O A
1-24
Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative--
Shembull -vazhdim
KaraGrupi i
gjakut
Nr. i dhuruesve
(Frekuencat F)
A 5
B 8
O 8
AB 4
Gjithsej 25
Karakteristika kualitative/e parenditshme/nominale
Modalitetet e karakteristikës
Frekuencat/Denduritë
Vrojtimet /matjet
13
25
Shembull: Distribucioni i frekuencave për stafin
akademik të Fakultetit Ekonomik të UP.
Stafi akademik sipas thirjes akademike
Thirrja akademike Nr. i stafit
(F)
Profesor të rregullt 17
Profesor të asocuar 5
Profesor asistent 11
Ligjërues 7
Asistent mësimor 19
Gjithsej 59Modalitetet e karakteristikës
Karakteristika kualitative
Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008
Frekuencat relative
26
Frekuencat relative paraqesin raportin në
mes të frekuencave individuale absolute
dhe totalit të frekuencave.
; ,
;
i i
ir r
i
i
ff f frekuenca relative
f
f frekuencaapsolute f tatali i frekuencave
14
Frekuencat në përqindje
27
% %100,ifF F frekuenca ne perqindjef
Frekuencat në përqindje paraqesin
raportin në mes të frekuencave individuale
absolute dhe totalit të frekuencave
shumëzuar me 100.
28
Distribucioni i frekuencave relative dhe në përqindje
Tab. Stafi akademik sipas thirrjes akademike të FA të UP, korrik, 2008
Thirrja akademike Nr. i stafit(Frekuenca absolute)
Frekuenca relative
Frekuenca në përqindje %
Profesor të rregullt 17 17/59=0.29 0.29 x 100=29%
Profesor të asocuar 5 5/59=0.08 0.08 x 100= 8%
Profesor asistent 11 11/59=0.19 0.19x100=19%
Ligjërues 7 7/59=0.12 0.12x100=12%
Asistent mësimor 19 19/59=0.32 0.32x100=32%
Gjithsej 59 1.00 100
Burimi: Fakulteti Ekonomik, UP, Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, Korrik 2008
15
29
Paraqitja grafike e të dhënave kualitative
(Diagrami Tortë)
Personeli akademik sipas thirrjes akademike
29%
8%
19%
32%
12%
Profesor te rregullt
Profesor te asocuar
Profesor asistent
Asistent mësimor
Ligjërues
Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008
30
Paraqitja grafike e të dhënave kualitative
(Bar diagramet)
Personeli akademik sipas thirrjes akademike
0 5 10 15 20
Profesor te rregullt
Profesor te asocuar
Profesor asistent
Asistent mësimor
Ligjërues
Th
irrj
a a
ka
de
mik
e
Nr. i personelit
Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008
16
31
Paraqitja grafike e të dhënave kualitative
(Bar diagramet)
Personeli akademik sipas thirrjes akademike
0
5
10
15
20
Profesor te
rregullt
Profesor te
asocuar
Profesor
asistent
Asistent
mësimor
Ligjërues
Thirrja akademike
Nr.
i p
ers
on
eli
t
Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008
32
Distribucioni i frekuencave/Organizimi i të
dhënave numerike
Të dhënat
numerike
Rregullimi sipas radhësDistribucioni i frekuencave
Distribucionet kumulative
Histogrami Polygoni
OgivaTabela
41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21
21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41
17
33
Organizimi i të dhënave numerike në tabela dhe grafe
Poligoni i frekuencave
0
1
2
3
4
5
6
7
5 15 25 36 45 55 More
0
1
2
3
4
5
6
7
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0
Të dhënat numerike
Regullimi sipas radhës
Histogramet Ogiva
Tabelat
41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21
21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41
Distribucioni i frekuencave
Distribucionet kumulative
PolygoniOgive
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0
x (f)
x1 f1
x2 f2
x3 f3
x4 f4
Σ ΣF
34
Organizimi i të dhënave numerike/diskrete-të ndërprera
Të dhënat në formë të
papërpunuar (ashtu si janë
mbledhur) p.sh. suksesi i
nxënësve në matematikë):
4,5, 4, 3, 4, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 1, 4,
5, 4, 3, 2, 5, 3, 5
Të dhënat e rregulluara sipas
radhës, nga vlera më e vogël
te vlera më e madhe:
1,1,1,2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4, 5, 5, 5, 5, 5,
Suksesi
(X)
Nr. i nxënësve
(f)
1 III 3
2 IIII 4
3 IIII 4
4 IIII 4
5 IIII 5
Gjithsej 20
18
35
Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/ të dhënat
numerike diskrete/të ndërprea dhe kontinuale/të vazhdueshme
1. Formimi i një vargu/rreshti i të dhënave nga vlera minimale
deri te ajo maksimale apo anasjelltas.
2. Përcaktimi i gjerësisë së intervalit dhe numri i klasëve,
gjegjësisht grupeve. Nëse është vendosur numri i klasëve,
atëherë gjerësia e intervalit të sygjeruar mund të llogaritet
me formulat vijuese:
Vlera më e lartë - vlera më e ulëti=
numri i klasëve
min
1 3,32(log )
Vleramaksimale vlera imalei
i te gjitha frekuencave (Rregulla e Struges)
36
Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/
të dhënat numerike diskrete dhe kontinuale
3. Vendosja e grupeve/klasave
4. Vendosja e të dhënave në klasë për të
krijuar distribucionin e frekuencave
19
37
Kriteret për ndërtimin e distribucionit të frekuencave
a) Zakonisht seritë nuk duhet të kenë më pak
se 5 klasë/grupe, por gjithashtu nuk duhet
të kenë më shumë se 15 klasë/modalitete.
b) Duhet bërë përpjekeje për t’iu larguar
klasëve të hapura, gjegjësisht gjithmonë
duhet krijuar klasë të mbyllura aty ku është
e mundur.
c) Gjerësitë e intervaleve duhet të jenë të
barabarta.
38
Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në
distribucionin e frekuencave
Rreshtimi i të dhënave sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53,
58.
Gjetja e rangut: Xmax-Xmin= 58 - 12 = 46
Zgjedhja e numrit të klasëve: 5 (zakonisht në mes të 5 dhe 15)
Llogaritja e gjerësisë së intervalit (gjerësia): 10 (46/5 mandej
rrumbullakëso)
Përcaktimi i limiteve të klasëve (limitet): 10, 20, 30, 40, 50, 60.
Logaritja e mesit të intervalit: 15, 25, 35, 45, 55.
Numrimi i vrojtimeve dhe vendosja nëpër grupe klasë/kategori.
20
Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në
distribucionin e frekuencave
39
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Grupet/KlasëtFrek. absolute
10 por më pak se 20 3
20 por më pak se 30 6
30 por më pak se 40 5
40 por më pak se 50 4
50 por më pak se 60 2
Gjithsej 20
20- Limiti i fundit të grup-intervalit të parë.
10- Limiti i fillimit të grup-intervalit të parë.
Mesi i intervalit
Mesi intervalit është pika e mesit në mes
të dy kufijëve të çdo klase dhe është
reprezentative për të dhënat brenda
klasës.
Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes
të dy niveleve të një intervali.
40
21
41
Distribucioni i frekuencave, Distribucioni i frekuencave
relative dhe Distribucioni i frekuencave në përqindje
GrupetFrek. absolute
Mesi i
intervalit (X)
Frek.
relative
Frek. në
përqindje
10 por më pak se 20 3 10+20/2=15 3/20= 0.15 0.15x100 =15%
20 por më pak se 30 6 20+30/2=25 6/20=0.30 0.30x100=30%
30 por më pak se 40 5 30+40/2=35 5/20=0.25 0.25x100=25%
40 por më pak se 50 4 40+50/2=45 4/20=0.20 0.20x100=20%
50 por më pak se 60 2 50+60/2=55 2/20=0.1 0.1x100=10%
Gjithsej 20 1.00 100
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
42
Paraqitja grafike e të dhënave numerike:
Histogrami i frekuencave
Histogrami
0
3
6
5
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
5 15 25 36 45 55 More
Fre
kuen
cat
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Nuk ka zbrastësi
në mes te
katërkëndëshave
Mesi i intervalitKufijtë e klasëve
e më shumë
22
Histogrami i frekuencave
Histogrami: Grafiku në të cilin klasët
shënohen në abshisë (boshtin horizontal)
kurse frekuencat e klasëve shënohen në
boshtin vertikal(ordinatë) të sistemit
koordinativ.
Frekuencat e klasëve janë të prezantuara
me gjatësinë e katërkëndëshave të cilët
janë të mbështetur në njëri tjetrin.
43
Histogrami i frekuencave
Histogrami prezanton tri lloje të informatave :
Mund të vërehet se përafërsisht ku janë
të koncentruara të dhënat.
Mund të kuptojmë shkallën e
shpërndarjes ose variacionet në të dhëna.
Mund të vërejmë formën e distribucionit.
23
Histograme që tregojnë qendra të ndryshme
0
10
20
30
40
50
60
70
0<2 2<4 4<6 6<8 8<10 10<12 12<14 14<16 16<18
0
10
20
30
40
50
60
70
0<2 2<4 4<6 6<8 8<10 10<12 12<14 14<16 16<18
Histograme – Qendra e njejtë, Shpërndarje të
ndryshme
0
10
20
30
40
50
60
70
0<2
2<4
4<6
6<8
8<10
10<12
12<14
14<16
16<18
0
10
20
30
40
50
60
70
0<2 2<4 4<6 6<8 8<10 10<12 12<14 14<16 16<18
24
47
Paraqitja grafike: Poligoni i frekuencave
Poligoni i frekuencave
0
1
2
3
4
5
6
7
5 15 25 36 45 55 More
Mesi i intervalit
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Poligoni i frekuencave
Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija
që paraqet lidhjen e pikave të formuara në
mes të frekuencave dhe klasëve, gjegjësisht
mesit të intervalit dhe frekuencave.
Poligoni i frekuencave ofron informatat e
njëjta sikurse histogrami i frekuencave.
48
25
Distribucioni i frekuencave kumulative
Frekuencat kumulative përfshijnë vlerat korresponduese
të variablës brenda çdo limiti, plus të gjitha vlerat më të
ulëta ose më të larta. Në fakt ekzistojnë dy metoda për
llogaritjen e frekuencave kumulative:
- Frekuencat kumulative “nën” ose progresive
- Frekuencat kumulative “mbi” ose degresive.
Përdorimi i metodës së parë është shumë i gjerë.
Frekuencat kumulative të fundit sipas metodës “nën’ dhe
të fillimit sipas metodës “mbi” janë të barabarta me
totalin e frekuencave. Kjo njëherit shërben si kontrollim i
rezultatit.
49
50
Distribucioni i frekuencave kumulative
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Grupet
Frekuencatabsolute
Frekuencatkumulative(“nën”)
Frekuencatkumulative(“mbi”)
Frekuencatkumulative
në %
10 por më pak se 20 3 3 20 15
20 por më pak se 30 6 3+6=9 20-3=17 45
30 por më pak se 40 5 9+5=14 17-6=11 70
40 por më pak se 50 4 14+4=18 11-5=6 90
50 por më pak se 60 2 18+2=20 6-4=2 100
Gjithsej 20
26
51
Paraqitja grafke: Ogiva (Poligoni kumulativ në %)
Ogiva
0
20
40
60
80
100
10 20 30 40 50 60
Limitet e klasëve (Jo mesi i intervalit)
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Distribucioni kumulativ i frekuencave
Distribucioni kumulativ i frekuencave (ogiva)
shfrytëzohet për të përcaktuar se sa ose
çfarë pjese e të dhënave është nën apo mbi
vlerën e caktuar.
52
27
53
SHEMBULL
Të dhënat në vijim paqaqesin kohën e
kaluar në minuta prej shtëpisë në punë, për
një grup prej 30 punëtorësh.
28 25 41 37 41 19 32 20 26 24 16 23 23
29 36 31 26 21 32 25 31 43 35 44 38 33
28 27 32 18
Rregolloni të dhënat në distribucionin e
frekuencave
2-5
54
Hapi i parë, rreshtimi nga vlera më e vogël deri te vlera me e madhe
16 18 19 20 21 23 23 24 25 25
26 26 27 28 28 29 31 31 32 32
32 33 35 36 37 38 41 43 43 44.
Hapi i dytë. Përcaktimi i klasëve dhe gjerësisë së
intervalit
Vlera më e lartë - vlera më e ulët 44 16Gjeresia e intervalit= 5,33 5
numri i klasëve 6
28
55
SHEMBULL vazhdim
2-6
Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:
16 18 19 20 21 23 23 24 25 25 26 26 27 28 28 29 31 31 32 32 32
33 35 36 37 38 41 43 43 44.
Koha e kaluar
në minuta
Frekuencat
Denduritë (f)
Numri i
punëtorëve (f)
15 por më pak se 20 III 3
20 por më pak se 25 IIII 5
25 por më pak se 30 IIII III 8
30 por më pak se 35 IIII I 6
35 por më pak se 40 IIII 4
40 por më pak se 45 IIII 4
ΣF 30
56
Sugjerime për konstruktimin e distribucionit
të frekuencave
Gjerësitë e intervaleve në mes të klasëve
duhet të jenë të barabartë .
Shfrytëzoni intervalin e sugjerur për të
konstruktuar histogramin e frekuencave.
Shënim: ky është intervali i sugjeruar ; nëse
intervali i llogaritur është 97, më mirë do të ishte
që të shfrytëzohet 100.
Llogaritni numrin e vlerave për çdo klasë
2-7
29
57
Mesi i intervalit Mesi intervalit është pika e mesit në mes të dy kufijëve të çdo
klase dhe është reprezentative për të dhënat brenda klasës.
Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes të dy niveleve të një
intervali:
Koha e kaluar
në minuta
Mesii i intervalit
(X)
Numri i
punëtorëve
(f)
15- 20 15+20/2 =17,5 3
20 - 25 20+25/2=22,5 5
25 - 30 25+30/2=27,5 8
30 - 35 30+35/2=32,5 6
35 - 40 35 + 40/=37,5 4
40-45 40+45/2=42,5 4
Σ 30
58
Distribucioni relativ i frekuencave Frekuencat realtive fitohen duke ndarë frekuencat e çdo klase
me frekuencat totale.
2-9
Koha e
kaluar
në minuta
Nrumri i
punëtorëve (f)
Frekuencat absolute
Frekuencat
relative
15- 20 3 3/30=0,10
20 - 25 5 5/30 =0,17
25 - 30 8 8/30 =0,27
30 - 35 6 6/30 =0,2
35 - 40 4 4/30=0,13
40 - 45 4 4/30 =0,13
Σ 30 1,00
30
59
Distribucioni i frekuencave në përqindje
Frekuencat në përqindje llogariten duke
shumëzuar frekuencat realtive me 100.
Koha e
kaluar
në minuta
Frekuencat
relative
Frekuencat në
përqindje
(%)
15- 20 3/30=0,10 0,10 x 100 =10%
20 - 25 5/30 =0,17 0,17 x 100 =17%
25 - 30 8/30 =0,27 0,27 x 100 =27%
30 - 35 6/30 =0,2 0,20 x 100 =20%
35 - 40 4/30=0,13 0,13 x 100 =13%
40 - 45 4/30 =0,13 0,13 x 100 =13%
Σ 1,00 100
60
Distribucioni kumulativ i frekuencave
Kumulativi progresiv (rritës) dhe degresiv (zbritës)
Koha e kaluar
në minuta
Numri i
punëtorëve
(f)
Frekuencat
kumulative progresive
Frekuencat
kumulative
degresive
15- 20 3 3 30
20 - 25 5 3+5=8 30-3= 27
25 - 30 8 3+5+8=16 27-5= 22
30 - 35 6 3+5+8+6 =22 22-8=14
35 - 40 4 3+5+8+6+4 =26 14-6= 8
40 - 45 4 3+5+8+6+4+4 =30 8-4= 4
Σ 30
31
61
Histogrami i distribucionit të frekuencave
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5
Koha e kaluar në minuta
Fre
ku
en
cat
2-14
62
Konceptet kyçe
Vrojtimi statistikor
Vrojtimi i përgjithshëm
Vrojtimi i pjesshëm
Mostra të rastësishme
Mostra jo të
rastësishme
Grupimi statistikor
Seritë statistikore
Frekuencat
Distribucioni i
frekuencave
Frekuenca absolute
Frekuenca relative
Frekuenca në përqindje
Frekuenca kumulative
progresive dhe degresive
Histogrami i frekuencave
Poligoni i frekuencave
Diagrami tortë
Bar diagrami
32
63
UshtrimeDetyrë 1. Menaxheri i një firme lokale është i interesuar që të dijë se një konsumator
sa herë hyn në shitoren e tij brenda dy javëve. Përgjigjet e 50 konsumatorëve kanë qenë si vijon.
Të dhënat e papërpunuara për frekuentim në shitore brenda dy javëve
5 3 3 1 4 4 5 6 4 2
6 6 6 7 1 1 14 1 2 4
4 4 5 6 3 5 3 4 5 6
8 4 7 6 5 9 11 3 12 4
7 6 5 15 1 10 8 9 2 12
Formoni distribucionin e frekuencave duke përcaktuar zeron (0) si limit i fillimit
të klasës së parë dhe gjerësinë e intervalit 3 .
Përshkruani distribucionin. Ku tentojnë të grumbullohen të dhënat.
Gjeni mesin e intervalit dhe konstruktoni frekuencat relative, në përqindje dhe
ato kumulative progresive dhe degresive.
Prezantoni distribucionin e frekuncave grafikisht përmes histogramit të
frekuencave, poligonit të frekuencave dhe ogivës.
64
Ushtrime
Detyrë 2. Një mostër e rastit përfshinë 50
nënkryetarë ekzekutivë të disa firmave të
mëdha ku të ardhurat vjetore të tyre janë
analizuar. Të ardhurat janë ranguar nga
52.000$ deri në 137.000$. Cakto kufijtë e
klasëve për distribucionin e frekuencave:
Nëse dëshirojmë të kemi 5 klasë
Nëse dëshirojmë të kemi 6 klasë
Nëse dëshirojmë të kemi 7 klasë
33
65
Ushtrime
Detyrë 3. Importet vjetore për një grup të zgjedhur rastësisht të furnitorëve
elektronik janë të prezantuara në distribucionin e mëposhtëm.
Importet
(në milion $)
Numri i
furnizuesve
2 deri në 5 6
5 deri në 8 13
8 deri në11 20
11 deri në 14 10
14 deri në 17 1
a) Prezantoni importet në formë të
histogramit dhe të poligonit të
frekuencave
b) Përmblidhni disa fakte të rëndësishme për
distribucionin ( si vlerat më të ulëta , vlerat
më të larta, koncentrimi më i madh, etj.)
c) Gjeni frekuencat relative, në përqindje dhe
kumulative progresive dhe kumulative
degresive.
d) Prezantoni grafikisht distribucionin
kumulativ progresiv dhe degresiv
66
Ushtrime
Detyrë 4. Distribucioni i frekuencave i mëposhtëm prezanton numrin e
ditëve të munguara në punë për shkak të sëmundjeve në një kompani.
Numri i ditëve
të munguara
Nr. i punëtorëve
/frekuencat
0 deri në 3 5
3 deri në 6 12
6 deri në 9 23
9 deri 12 8
12 deri 15 2
Gjithsej: 50
a)Sa punëtorë kanë munguar më pak se tri
ditë në vjet. Sa më pak se 6 ditë në ditë?
Sa më pak se 12 ditë.
Konvertoni distribucionin e frekuencave në
distribucion kumulativ progresiv.
b) Ndërtoni distribucionin kumuluativ
degresiv të frekuencave dhe paraqitni
grafikisht.
c)Sa është madhësia e mostrës.
d) Sa është mesi i intervalit të klasës së
parë.
e) Konstruktoni histogramin e frekuencave
34
67
Ushtrime
Detyrë 5. Supozojmë se klasët janë të dhëna
kësisoji:Këto klasë përmbajnë në vete tri
praktika që duhet të eliminohen. Cilat janë
ato.
40-60
60-90
90-150
150 e më lartë.
68
Ushtrime Detyrë 6. Për të konstruktuar poligonin e frekuencave na duhet
mesi i intervalit dhe frekuencat. Po Jo.
Detyrë 7. Në përgjithësi ne mund të konstruktojmë distribucionin e frekuencave me më së paku 20 klasë Po Jo.
Detyrë 8. Numri i vrojtimeve për çdo klasë quhet distribucion i frekuncave. Po Jo.
Detyrë 9. Poligoni i frekuencave dhe distribucioni i frekuencave relative janë të ngjashëm për arsye se bazohen në distribucionin e frekuencave. Po Jo.
Detyrë 10. Distribucioni i frekuencave relative fitohet duke ndarë frekuencat e çdo klase me numrin total të vrojtimeve. Po Jo.
1
1
1-1
Paraqitjet grafikeQëllimet:
Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Dini rolin dhe rëndësinë e paraqitjeve grafike
Dini disa nga llojet e paraqitjeve grafike
Konstruktoni diagramet vijore dhe diagramin polar.
Konstruktoni diagramet sipërfaqësore përmes shtyllave, të
katrorit dhe rrethit.
Kuptoni disa nga parimet e konstruktimit të paraqitjeve të
ndryshme grafike
2
Qëllimi i paraqitjes grafikeGrafikët rrefejnë një tregim…..
Shumë njerëz tregojnë pak interesim ose nuk kanë kohë që të analizojnë shifrat dhe faktet e ndryshme të dhëna në gazetat ditore. Mirëpo nëse këto të dhëna janë të prezantuara grafikisht, ato bëhen më të lehta për tu kuptuar dhe mbesin për një kohë më të gjatë në kujtesë.
Prezantimi grafik i të dhënave e bëjnë leximin e tyre më interesant, më të shpejtë dhe më lehtë të kuptueshme.
E metë e prezantimit grafik të të dhënave është mungesa e detaleve dhe saktësia më e vogël.
2
3
Qëllimi i paraqitjes grafike
Paraqitja grafike përbën një nga mjetet më efikase si për përshkrimin në formë vizualetë rezultateve të vrojtimit të shumta të një apo disa karakteristikave të një popullimi statistikor, ashtu edhe për zbulimin e raporteve dhe ndërlidhjeve midis këtyre karakteristikave ose midis ndryshimeve në kohë dhe hapësirë të fenomeneve.
Paraqitja grafike lehtëson kuptimin shumë më shpejtë sesa paraqitja e një morie të madhe shifrash, duke i kryer një shërbim të madh shkencës dhe përbënë një mjet ndihmës shumë të vlefshëm për studimet statistikore.
Në ekonomi, një figurë e vërtetë është më e vlefshme se njëmijëfjalë……
4
Format e paraqitjes grafike
FORMAT E PARAQITJES GRAFIKE
Ideogramet/piktogramet
KartogrametDiagramet
-Pikësore (stigmograme)-Vijore-Sipërfaqësore-Hapësinore
-Kartodiagrame-Harta statistikore
Grafikë me figuranatyrale
3
5
Diagramet
Stigmograme (diagrame pikësore)
Diagrame vijore (përmes vijave)
Diagrame sipërfaqësore (histograme)
Stereograme (hapësinore)
6
Diagrami vijor
Bazohet në pasqyrimin grafik përmes vijave të drejta , të shtrembra dhe të thyera.
Në konstruktimin e tyre , kryesisht, shfrytëzohen sistemet koordinative:
-sistemi i koordinatave këndrejta dhe- sistemi polar
Përmes diagrameve vijore mund të pasqyrojmë me sukses grafikisht një ose të krahasojmë dy e më tepër seri kohore, por nëse vlerat e tyre nuk dallohen shumë dhe nëse janë të shprehura në njësi të njeta të matjes.
4
7
Diagrami vijor
Diagramet vijore janë të përshtashme për tëprezantuar ecuritë e biznesit sepse përmestyre mund të shihen ndryshimet gjatë tërëkohës. Variabla, si numri i njësive të shituraprezantohet në boshtin vertikal (ordinatë)derisa koha prezantohet në boshtinhorizontal(abshisë)
Përmes diagramit vijor me sukses mund tëkrahasojmë ecuritë e eksportit, importit, të ofertës , kërkesës, natalitetit dhemortalitetit e kështu me radhë.
8
Shembull 1. Diagrami vijor
Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) nënjë shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë sinë tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmesdijagramit vijor.
Vitet Shitjet në 000 copë
2000 280
2001 300
2002 570
2003 900
2004 1200
5
9
Prezantimi i të dhënave përmes dijagramitvijor
Telefona te shitur
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
2000 2001 2002 2003 2004
Vitet
Nr. i t
ele
fon
ave
te
sh
itu
r
10
Diagrami polar
Diagrami polar shfrytëzohet për pasqyrimin e dukurive të karkaterit sezonal, përkatësisht për hulumtimin e variacioneve sezonale dhe pasqyrohet në diagramin polar.
Variacione sezonale kanë këto dukuri: numri dhe bujtjet e turistëve, qarkullimi hotelier, konstruktimi ndërtimor, konsumi i energjisë elektrike, kërkesa për mallra sezonale etj.
Diagrami polar na mundëson që në mënyrë mjaft figurative të vërejmë varaiacionet e dukurisë së vështruar përmes muajve dhe të shikojmë ndikimin e sezonës në to.
6
11
Paraqitja përmes diagramit polarShembull 2 Kurorëzimet në Kosovë në vitin 2004 sipas
muajve janë si në tabelën vijuese
Burimi:ESK: Analiza e statistikaveVitale të Kosovës për periudhën
më të re, shukrt, 2008
12
Diagrami polar
Sa më tepër që vija i afrohet mesit të rrethit (polit), do të thotë se sezoni ndikon ashtu që dukuria zvogëlohet.
Sa më tepër që vija largohet nga mesi i rrethit – sezoni ndikon në rritjen e dukurisë.
7
13
Diagramet sipërfaqësore (histograme)
Diagramet sipërfaqësore janë grafikë të cilët përmes sipërfaqeve të figurave gjeometrike pasqyrojnë të dhënat statistikore. Më të përdorshmit janë:
Shtyllat (bar diagramet)
Katrori
Rrethi
14
Diagramet me shtylla (Bar diagramet )
Diagramet me shtylla (bar diagramet ), përdoren shumë në prezantimin e tëdhënave. Ata mund të jenë:
Shtylla të thjeshta,
Shtylla të dyfishta dhe tëshumëfishta
Shtyllat simetrike
Shtylla të ndara ose strukturale
2-17
8
15
Shtyllat e thjeshta
Shtyllat e thjeshta shfrytëzohen për paraqitjen e madhësisë ose të nivelit të dukurisë sipas modaliteteve apo vlerave të një veçorie ose sipas veçorisë kohore ose hapësinore.
Me shtylla të thjeshta mund të prezantohen gati të gjitha llojet e serive.
16
Shembull 3 Shtyllat e thjeshta
Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) në një shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë si në tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmes shtyllave të thjeshta
Vitet Shitjet në 000 copë
2000 280
2001 300
2002 570
2003 900
2004 1200
9
17
Shembull 3- vazhdim Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta
0
200
400
600
800
1000
1200S
hit
jet
(në 0
00 c
op
ë)
2000 2001 2002 2003 2004
Vitet
Shitja e telefonave celular
18
Shembull 4. Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta
Levizja e numrit të popullsisë së Kosovës për periudhën 123 vjeçare
Burimi: ESK: Analiza e Statstikave Vitale të Kosovës për periudhën më të re, Shkurt 2008.
10
19
Shembull 4. vazhdim Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta
20
Shtylla të dyfishta dhe të shumëfishta
Shtyllat e dyfishta dhe të shumëfishta shfrytëzohen kur duam të krahasojmë madhësinë, përkatësisht nivelin e dy e më shumë dukurive sipas të njetës veçori, ndërsa të dhënat janë të shprehura në njësi të njëjta të matjes.
11
21
Shembull 5. Shtyllat e dyfishta
22
Shembull 5. Shtyllat e dyfishta
Popullsia ne Kosove sipas gjinise, 2002-2005)
940
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
2002 2003 2004 2005
Viti
Nr.
i populls
ise
(ne
mije
)
Gra Burra
12
23
Shembull 5. Shtyllat e shumëfishta
0
500
1000
1500
2000
2500
2002 2003 2004 2005
Nr.
i p
op
ulls
ise (ne m
ije)
Viti
Popullsia totale e Kosoves sipas gjinise (2002 -2005)
Gra Burra Gjithsej popullsia
24
Sygjerimet për konstruktimin e Diagrameve me shtylla
Për përgjigjet kategorike që janë kualitative, shtyllat duhet të konstruktohen horizontalisht kurse për përgjigje numerike shtyllat duhet të konstruktohen vertikalisht.
Hapësira në mes të shtyllave duhet të jetë sa gjysma e gjerësisë së shtyllës ose sa gjerësia e shtyllës.
Shkallët dhe porositë janë mjet i rëndësishëm për leximin e grafëve dhe duhet të përfshihen.
Boshtet duhet të definohen qartë.
Titulli i grafit vendoset mbi grafik.
Burime te të dhënave dhe spjegime të tjera duhet të prezantohen.
13
25
Shtyllat simetrike
Shtyllat simetrike janë formë specifike e shtyllave të dyfishta (ose binarëve) të cilat janë të shtrira horizontalisht dhe për ballë njëri tjetrit.
Më së shpeshti zbatohen në statistikën demografike me qëllim të pasqyrimit të të strukturës së popullsisë sipas gjinisë dhe moshës.
Duke pasqyruar të dhënat e popullsisë sipas moshës dhe gjinisë formojmëPIRAMIDËN E POPULLSISË
26
Shtyllat simetrike
Shtyllat simetrike shfrytëzohen edhe për pasqyrimin dhe krahasimin e madhësisë dhe strukturës së dukurive të cilat janë të kundërta njëra me tjetrën, por reciprokisht të lidhura dhe të kushtëzuara. Si p.sh.
Të hyrat dhe të dalat
Eksporti dhe importi
Të lindurit dhe të vdekurit
Të shpërngulurit dhe të kthyerit në një regjion të caktuar
Kurorëzimet dhe shkurorëzimet
14
27
Piramida e popullsisë
Piramida e popullsisë ,e quajtur gjithashtu piramida moshë-gjini e popullsisë ose diagrami i strukturës së moshës, është ilustrim grafik që prezanton shpërnadarjen e moshave të ndrysheme të popullsisë sipas gjinisë (zakonisht për një shtet ose regjion).
Ajo përbëhet nga dy bar diagrame të mbështetura shpinë për shpinë ashtu që popullsia shënohet në boshtin X (abshisë) kurse gjinia në boshtin Y,(ordinatë), njëra tregon gjininë femerore e tjetra gjininë mashkullore, zakonisht në grupe moshore prej 5 vjet.
Meshkujt prezantohen në anën e majtë kurse femratnë anën e djathtë dhe ata mund të prezantohen në përqindje ose me numrin absolut të popullsisë.
28
Piramida e popullsisë/ilustrim
Mosha
15
29
Piramida e popullsisë së Kosovës(ESK: Anketa Demografike dhe Socio-ekonomike 1999),
30
Përdorimi i piramidës së popullsisë
Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet për të gjetur numrin e popullsisë që është ekonomikisht e varur nga pjesa tjetër e popullsisë.
Vartësit ekonomik ( popullsia e paaftë për punë) janë ata që janë më të rinj se 15 vjet dhe ata mbi 65 vjet.
Natyrisht në disa vende më pak të zhvilluara fëmijët fillojnë të punojnë edhe para moshës 15 vjeçare, kurse në disa vende të tjera është e zakonshme që puna të filloj gjatë moshës 18-21 vjet, kurse njerëzit mund të punojnë edhe pas moshës 65 vjeçare ose të pensionohen më herët.Për këtë definimi është një lloj vlerësimi.
Në shumë vende,qeveritë planifikojnë zhvillimin ekonomik në atë mënyrë që popullsia e aftë për punë duhet të mbështesë popullsisnë e paaftë për punë.
Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet edhe për vështrimin e rritjes natyrore të popullsisë, lindjet dhe normën e vdekjes së popullsisë.
16
31
Diagramet përmes sipërfaqes së
katrorit dhe rrethit
Katrorët , gjegjësisht sipërfaqja e katrorit shfrytëzohen për pasqyrim grafik të dhënave me qëllim të krahasimit të madhësive të tyre të cilat mund të jenë proporcionale me madhësinë të cilat i përfaqësojnë.
2S a siperfaqjaekatrorit
a S brinjaekatrorit
32
Shembull 6
Rastet e sëmundjeve malinje, 2005
Nr. i të sëmurëve
Niveli primar 3885
Niveli seknodar 462
Niveli terciar 1148
Gjithsej 5495
Sëmundjet nga kanceri në Kosovë në vitin 2005 sipas niveleve janë si në tabelën vijuese. Prezantoni grafikisht të dhënat përmes sipërfaqes së katrorit.
Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005
17
33
Shembull 6 - vazhdim
Niveli primar =3885;S= 3885
Niveli sekondar = 462; S= 462
Niveli terciar=1148 S=1148
2
3885 62,32 :10 6,232 6
S a
a S cm
2
462 21,49 :10 2,149 2
S a
a S cm
2
1148 38,38 :10 3,8 4
S a
a S cm
34
Shembull 6 - vazhdim
Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë.
Niveli primar
S= 3885 pacientë
S= 462 pacientëS= 1148 pacientë
Niveli terciarNiveli sekondar
a=62,32 (6 cm) a= 21,49 (2m) a=38,38 (4cm)
Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005
18
35
Diagramet sipërfaqësore të rrethit
Diagramet sipërfaqësore të rrethit, përdoren për nevoja të krahasimit të dhënave statistikore si dhe për paraqitjen e strukturës së dukurisë.
2 3,14S r
Sr r rrezjae rrethit
Të dhënat e shembullit të gjashtë të shfrytëzohen për paraqitjen e sëmundjeve nga kanceri sipas niveleve.
36
Shembull 7
Niveli primar =3885;S= 3885
Niveli sekondar = 462; S= 462
Niveli terciar=1148 S=1148
2
38851237,3 35,17 :10 3,517
3,14
S r
Sr cm
2
462147,13 12,3:10 1,123
3,14
S r
Sr cm
2
1148365,6 19,12 :10 1,912
3,14
S r
Sr cm
19
37
Shembull 7 - vazhdim
Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë.
Niveli primar
Niveli terciarNiveli sekondar
r=35,17 (3,5 cm) r= 12,13 (1,2cm) r=19,12 (1,9cm)
Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005
r=3,5cm
r=1,2cm
r=1,9cm
38
Rrethi struktural/diagrami tortë
•Diagrami struktural ëshët një grafik i ndarë në sektore, i cili ilustron frekuencat në përqindje.
•Në daigramin tortë madhësia e çdo sektori është proporcionale me sasitë që prezanton.
•Bashkërisht të gjithë sektorët krijojnë rrethin e plotë.
20
39
Rrethi struktural/diagrami tortë
Hapat për ndërtimin e diagramit torte ose rrethit struktural:
Komponentet e veçanta të variablave konvertohen në përqindje për të ndërtuar diagramin tortë.
Këto përqindje konvertohen në shkallë korresponduese të rrethit.
Vizatohet rrethi me kompas me madhësi adekuate.
Maten pikat në rreth që prezantojnë madhësinë e çdo sektori me ndihmën e këndmatësit.
Aranzhohen sektorët sipas madhësisë.
Përdoren ngjyra të ndryshme për të dalluar pjesët e veçanta.
40
Rrethi struktural/diagrami tortë
Diagrami tortë veçanërisht është i përshtatshëm për prezantimin e distribucionit relativ dhe në përqindje të frekuencave. Rrethi është i ndarë në mënyrë proporcionale me frekuencat relative dhe pjesët e rrethit e përgjigjen grupeve të ndryshme.
SHEMBULL 5: Përgjigjet e 200 lojtarëve në lidhje me llojin e patikave që preferojnë janë si në tabelën
vijuese:
2-20
21
41
Shembull 8- vazhdim
Lloji i patikave
Nr. i lojtarëve
Struktura %
Shkallët e rrethit
Nike 92 46% 46x3,6=165,6o
Adidas 49 24,5% 24,5 x 3,6=88,2o
Reebok 37 18,5% 18,5 x 3,6=66,6o
Ascis 13 6,5% 6,5 x 3,6=23,4o
Të tjera 9 4,5% 4,5 x3,6=16,2o
Gjithsej 200 100 360o
Bazuar në të dhënat në vijim , prezantoni ato përmes diagramit tortë.
42
Diagrami tortë për preferencat e lojtarëve
Adidas
24%
Reebok
18%
Asics
6%
Nike
46%
Të tjera
4%
Nike
Adidas
Reebok
Asics
Të tjera
2-22
22
43
Rrethi struktural/diagrami tortë
Derisa diagrami tortë ndoshta është grafiku statistikor më i përhapur në botën e biznesit dhe të mas mediave, ai rrallë shfrytëzohet për publikime shkencore dhe teknike.
Eshtë një prej grafikëve më të kritikuar, dhe shumë statisticientë rekomandojnë që të eliminohet krejt nga përdorimi , duke theksuar veçanërisht se është vështirë të krahasohen pjesë të ndryshme të një grafiku të dhënë, ose të krahasohen të dhënat nga diagrame të ndryshme strukturale.
44
Forma të tjera të paraqitjes grafike
Kartogrami- i cili mund të paraqitet si kartodiagram dhe si hartë.
Ideogrami /Piktogramet –paraqiten përmes simboleve dhe figurave natyrale
Shtrirja territoriale e dukurisë më së miri mund të pasqyrohet përmes kartodiagramit.
23
45
Paraqitja grafike përmes hartave
46
Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve
Çdo grafik duhet të përmbajë në vetvete të gjithë treguesit e nevojshëm për interpretimin e saktë të tij, pavarësisht nga teksti, pra:
-titullin e qartë të objektit që paraqitet;
-periudhës së cilës i referohen të dhënat;
-hapësirën territoriale;
-burimin si dhe
-shkallët e matjeve që janë zbatuar.
Numrat dhe fjalët që përmban grafiku,duhet tëlexohen pa e rrotulluar fletën.
24
47
Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve
- vazhdim
Duhet zgjedhur drejt metoda e paraqitjes,në mënyrë që ajo të jetë më e përshtatshmja për një tip tabele të caktuar, kur mund të përdoren korrektësisht disa metoda, përparësi duhet dhënë metodës më të thjeshtë;
Në boshtet duhet treguar saktësisht gjithmonë përmbajtja e variablave dhe njësia e matjes;
Prerjet e shkallëve duhet treguar nëpërmjet ndërprerjes së boshteve, etj.
48
Konceptet kyçe
Diagramet
Diagramet vijore
Diagrami polar
Diagrametsipërfaqësore
Shtyllat e thjeshta, të shumëfishta
Shtyllat simetrike
Piramida e popullsisë
Katrori
Rrethi
Diagrami struktural
Kartodiagramet
Ideogramet
1
1
1-1
Analiza e të dhënave statistikoreMadhësitë mesatare
QëllimetNë fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :
Llogaritni mesataren aritmetike të thjeshtë dhe të
ponderuar, dhe mesataren gjeometrike.
Shpjegoni karakteristikat, përdorimin , përparësitë
dhe të metat e çdo njërës mesatare.
Kuptoni madhësitë mesatare të pozicionit (moda
dhe mediana) dhe ti llogaritni ato.
Përcaktoni pozitën e mesatares aritmetike,
medianës dhe modës te distribucionet simetrike dhe
asimetrike.
2
Analiza statistikore
Analiza statistikore paraqet fazën e tretë të studimit statistikor.
Varësisht nga qëllimi dhe objekti i studimit, gjatë analizës statistikore bëhet përpunimi i të dhënave dhe formohen tregues të ndryshëm statistikor përmes të cilëve nxirrren konkluzione cilësore për fenomenet e hulumtuara.
Analiza statistikore ka rëndësi të veçantë se përmes saj mund të bëjmë krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore për dy e më shumë dukuri, në kohë dhe hapësirë.
2
3
Disa nga llojet e analizave statistikore
Llojet e analizave
Statistikore
Analiza
statike
Analiza
dinamike
Analiza
reprezentative
Analiza regresive
statistikore
4
Disa nga treguesit e analizës statike
Treguesit e
analizës statike
Madhësitë
mesatare
Treguesit e
variaconitTreguesit e formës
së shpërndarjes
Mesataret
algjebrike
Mesataret e
pozicionit
Mesatarja aritmetike
Mesatarja harmonike
Mesatarja gjeometrike
Moda
Mediana
Treguesit absolut Treguesit relativ
Gjerësia e intervalit
Devijimi mesatar
absolut
Varianca
Devijimi standard
Koeficienti I
variacionit
Devijimi
I standardizuar
Treguesit e
Asimetrise
Treguesit e
Kurtozisit
Koeficienti i
Asimterisë
Koeficienti
i Kurtozisit
3
5
Madhësitë mesatare
Madhësitë mesatare, gjegjësisht vlerat mesatare ,
janë vlera reprezentative të cilat zëvendësojnë të
gjitha vlerat e veçorisë së dukurisë së dhënë.
Vlerat mesatare llogariten vetëm nga seritë
numerike të njësive statistikore.
Sa më homogjene që të jenë të dhënat statistikore
më reprezentative do të jetë vlera mesatare dhe
devijimet nga ajo do të jenë më të vogla.
Mesataret shprehin nivelin tipik të ndryshimeve të
modaliteteve të grupeve homogjene me tipare
sasiore.
6
Llojet e madhësive mesatare
Madhësitë
mesatare
Mesatare
Algjebrike
Mesatare të
pozicionit
Mesatarja
aritmetike
Mesatarja
harmonike
Mesatarja
gjeometrike Moda Mediana
•E thjeshte
•E ponderuar •E thjeshte
•E ponderur
•E thjeshte
•E ponderuar
•E thjeshte
•E ponderur
4
7
Mesataret algjebrike / Mesatarja aritmetike
Mesatarja aritmetike është madhësia
mesatare e përdorur më së shumti dhe
prezanton nivelin tipik të zhvillimit të dukurisë.
Ajo mund të jetë:
- mesatare aritmetike e populimit dhe
- mesatare aritmetike e mostrës
8
Mesataja aritmetike e thjeshtë
Mesatarja e populacionit
1
. " "
n
i
i
Shuma e te gjitha vlerave ne populacionMesatarja e populacionit
Numri i te gjitha vlerave ne populacion
XX
osemetjeshteN N
ku
paraqet shenjen per mesatarene populacionit Shkronje grekeqelexohet mi
N numri i njesiv
" " .
ene populacion
X prezanton cdo vlere te vecante
sigma shkronje greke qe tregon operacionin e mbledhjes
X eshte shuma e te gjitha vlerave te X
5
9
Mesataja aritmetike e thjeshtë
Mesatarja e mostrës
Ajo llogaritet për seritë e thjeshta statistikore kur numri i dendurive është i njejtë ose është i barabartë me 1 me formulën vijuese:
1
n
i
i
XX
X ose me thjeshte XN N
3-2
shuma e të gjitha vleravenemosterMesatarja aritmetike e mostrës=
numrii tegjitha vlerave nemoster
10
Mesatarja (Mesatarja aritmetike)
Mesatarja është mesatare aritmetike e të
dhënave numerike
Mesatarja e populimit
Mesatarja e mostrës
n = Madhësia e mostrës
N = Madhësia e populimit
n
xxx
n
x
x n
n
i
i
211
N
xxx
N
xN
N
i
i
211
6
11
Mesatarja aritmetike - e thjeshtë
(iks bar)-prezanton simbolin për
mesataren aritmetike të mostrës
n- është numri total i vrojtimeve-
elementeve
X - prezanton vlerat individuale.
- prezanton shumën e përgjithshme të
vlerave.
1 2 3 1...
n
i
n i
XX X X X
Xn n
X
Mesatarja aritmetike
Matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore
Mesatarja = Shuma e vlerave e ndarë për numrin e
vlerave
Ndikohet nga vlerat ekstreme
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 4
35
15
5
54321
4
5
20
5
104321
7
13
Shembull 1
Nga vlerat vijuese: 3, 8, and 4 llogaritni:
a) mesataren aritmetike të thjeshtë dhe
b) vërtetoni vetinë se:
1
( ) 0
n
i
i
X X
3-3
14
Shembull 1, vazhdim
a)
b)
1 2 3 ... nX X X XX
n
1
( ) 3 5 8 5 4 5 2 3 1 0n
i
i
X X
3 8 4 155
3 3X
8
15
Mesatarja aritmetike e ponderur/ për të
dhënat e grupuara
Mesatarja aritmetike e ponderuar është rast iveçantë i mesatares aritmetike dhe llogaritet nërastet kur ka disa vrojtime në të njejtën modalitet, gjegjësisht kur të dhënat grupohen në distribucionine frekuencave.
Mesatarja aritmetike e ponderuar llogaritet në rastetku përveç vlerave të X janë edhe të dhënat përdenduritë, gjegjësisht kur frekuencat nuk janë tëbarabarta , ashtu që njëri modalitet “peshon” me shumë e tjetri më pak.
Mesatarja aritmetike e ponderuar quhet edhemesatare aritmetike e “peshuar”
16
Mesatarja aritmetike e ponderur/për të dhënat e grupuara
Formula për llogaritjen e mesatares aritmetike të ponderuar është:
Simbolet:
1
1
n
i ii
n
ii
f X
X
f
(iks bar)-prezanton simbolin për mesataren
aritmetike të mostrës
f- frekuencat në çdo klasë/për cdo modalitet
fx - është prodhimi i frekuencave f me vlerat e x
X - prezanton vlerat individuale të çdo modaliteti
fx - prezanton shumën e përgjithshme të këtyre
produkteve.
X
9
17
Mesatarja aritmetike e ponderuar
Llogaritet me formulën:
1 1 1 2 2 3 3
1 2 3
1
....,
....
n
i i
i n n
n
ni
i
f Xf x f x f x f x
X osef f f f
f
fxX
f
18
Shembull 2.
Një spital punëson 200 infermiere. Prej tyre
50 janë ndihmëse të motrave, 50 të tjera
janë në punë praktike dhe 100 të tjera janë
motra të përhershme. Të parat marrin 8€ në
ditë, të dytat 10 € kurse të tretat 14 € në
ditë.
a) Sa është paga mesatare ditore?
b) Vërtetoni vetinë se:
1
( ) 0n
i
i
f X X
10
19
Shembull 2- vazhdim
Tab.nr.1. Pagat e infermiereve
Pagat ($)
(X)
Nr. i
infermiereve
(f)
(X)x(f) (X-11,5)
8 50 400 -3.5 -175
10 50 500 -1.5 -75
14 100 1400 2.5 250
Σ 200 2300 0
X X f X X
1
1
230011,5$
200
n
i i
i
n
i
i
X f
X
f
20
Shembull 2- vazhdim
1
1
230011,5$
200
n
i i
i
n
i
i
X f
X
f
11,5$X
11
21
Mesatarja aritmetike te seritë me intervale
Shembull 3
Distribucioni i mëposhtëm prezanton numrin e
ditëve të munguara për shkak të sëmundjes së
punëtorëve të një firme.
Brenda vitit, mesatarisht sa ditë kanë munguar
punëtorët e kësaj firme?Tab.nr.2. Ditët e munguara nga puna
Numri i ditëve të
munguara0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Σ
Nr. i të punësuarve 5 12 23 8 2 50
22
Shembull 3-vazhdim Tab.nr.2-vazhdim
Numri i ditëve të
munguara
(Grupet)
Nr. i të
punësuarëve
(f)
Mesi i intervalit
(X)
(X) . (f)
0-3 5 1,5 7.5
3-6 12 4,5 54
6-9 23 7,5 172,5
9-12 8 10,5 84
12-15 2 13,5 27
Σ 50 345
12
23
Shembull 3-vazhdim
1
1
3456,9 7
50
7
n
i i
i
n
i
i
X f
X
f
X
24
Disa veti të mesatares aritmetike
Mesatarja aritmetike është vlerë mesatare më e madhe se vlera minimale dhe më e vogël se vlera maksimale e të dhënave, gjegjësisht:
Çdo grumbull i të dhënave numerike ka mesatare.
Të gjitha vlerat përfshihen në llogaritjen e mesatares aritmetike.
Një grumbull i të dhënave ka vetëm një mesatare.
max minX X X
13
25
Disa veti të mesatares aritmetike
Nëse të gjitha vlerat e X-it janë të barabarta ,
gjegjësisht x1= x2 = x3 = x4….= xn atëherë
mesatarja aritmetike ëstë e barabartë me vlerën
e X-it.
Nëse f1= f2 = f3 = f4….= fn , atëherë mesatarja
aritmetike e ponderuar është e barabartë me
mesataren aritmetike të thjeshtë.
Zakonisht mesatarja aritmetike është e ndikuar
nga vlera maksimale dhe minimale.
26
Disa veti të mesatares aritmetike
Mesatarja aritmetike është e vetmja mesatare në
të cilën shuma e devijimeve nga çdo vlerë është
gjithmonë e barabartë me zero:
Te seritë thjeshta:
Te seritë e ponderuara :
1
( ) 0n
i
i
X X
1
( ) 0n
i
i
f X X
14
27
Disa veti të mesatares aritmetike Shuma e devijimeve të ngritura në katror të gjitha
vlerave nga vlera mesatare e tyre është minimale
, gjegjësisht më e vogël se shuma e devijimeve të
ngritura në katror të vlerave individuale nga
cilado vlerë tjetër e marrë.
Te seritë thjeshta:
Te seritë e ponderuara : 2
1
( ) minn
i
i
f X X
2
1
( ) minn
i
i
X X
28
Mesatarja gjeometrike
Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e mesatares së përqindjeve, normave, indekseve ose normën e rritjes.
Ka aplikim të gjerë në biznes dhe ekonomi sepse ata janë të interesuar në gjetjen ndryshimit të shitjeve në përqindje, në paga, të kategorive të ndryshme ekonomike si Bruto Produkti Kombëtar, etj.
15
Mesatarja gjeometrike
Mesatarja gjeometrike mund të jetë:
- e thjeshtë (për të dhënat e pagrupuara)
- e ponderuar (për të dhënat e grupuara)
29
30
Mesatarja e thjeshtë gjeometrike
Mesatarja gjeometrike (G) e një grumbulli n të dhënave
është rrënja n e prodhimit të n numrave.
Formula për mesataren e thjeshtë gjeometrike është:
Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e përqindjeve
mesatare, indekseve mesatare dhe numrave të tjerë relativ.
3-4
1 2 3
1
( )( )( )...( ),
i
nn
n
n
i
G X X X X ose
G x
16
31
Shembull 6. Gjeni mesataren gjeometrike për
numrat: 2, 4, 6, 5
1 2 3)( )( )....(nnG X X X X
4 42 4 6 5 240G x x x
4 240 / logG
1 1
log log240 2,38 0,544 4
G x
log 0,54/ log
3,89
G anti
G
32
Mesatarja gjeometrike e ponderuar
Llogaritet sipas formulës:
31 2
1 2 3)( )( )....( / lognff f f f
nG X X X X
1 1 2 2 3 3
1log log log log .... logn nG f x f x f x f x
f
17
Mesatarja gjeometrike
1 2 3( )nnG x x x x
n
i
ixLogN
AntiLogG
1
1
1
1 n
i i
i
G AntiLog f Log xf
31 2)( )( )....( nff f f fG X X X X
Te dhenat e pagrupuaraTe dhenat e grupuara
33
34
Mesatarja gjeometrike e ponderuar Shembull 7. Për të dhënat në vijim llogaritni mesataren
gjeometrike: x 2 4 5 3 Σ
f 5 2 6 4 17
31 2)( )( )....( nff f f fG X X X X
5 2 6 417 2 )(4 )(5 )(3 / logG
1
log 5log2 2log4 6log5 4log317
G
18
35
Shembull 7-vazhdim
1
log 5log2 2log4 6log5 4log317
G
1
log 5 0,30 2 0,60 6 0,699 4 0,4817
G x x x x
1
log 1,5 1,2 4,194 1.9217
G
1
log 8,81417
G
8,814
log 0,5185 / log17
G anti 3,2996 3,3G
3,3G
36
Mesatarja geometrike – Norma mesatare e
zhvillimit
Shembull 8. Firma “Dardania” gjatë periudhës 2001-2005 ka
realizuar prodhimtari si në tabelën vijuese (prodhimi i shprehur në
tonelata)
Vitet Prodhimi/ton
2001 500
2002 700
2003 600
2004 500
2005 800
Sa është norma mesatare e shtimit për një vit?
19
37
Shembull 8-vazhdim
Së pari gjemë koeficientët zingjir k1, k2….
1
7001,4
500k
2
6000,85......
700k
Vitet Prodhimi/ton Koeficientët
zingjir (k)
2001 500 -
2002 700 1,4
2003 600 0,85
2004 500 0,833
2005 800 1,6
1 2 3)( )( )....(nnG k k k k
4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G
38
Shembull 8-vazhdim
4 1,6 / logG
1
log log1,64
G
0,20412
log 0,051034
G
log 0,05103/ logG anti
1,125 100 112,5G x
112,5 100 12,5%Nmzh
12,5%Nmzh
4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G
20
39
Shembull 8-vazhdim Normën mesatare të shtimit mund ta gjejmë edhe përmes formulës
vijuese:
1
1
5 1
4
800
500
1,6 / log
nn
NNzh
N
Nzh
Nzh
4 1,6 / log
0,204120,05103 / log
4
1,125 100 112,5
112,5 100 12,5
12,5
Nzh
logNzh anti
Nzh x
Nzh
Nzh
40
Mesataret e pozicionit
Mesataret e pozicionit për dallim nga
mesataret algjebrike gjinden në bazë të
pozitës që e marrin në serinë statistikore.
Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat
ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe
maksimale.
Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë:
- Mediana
- Moda
21
41
Madhësi të tjera të pozicionit
Kuartilet - i ndajnë të dhënat e serisë në
katër pjesë të barabarta
Decilet- i ndajnë të dhënat në 10 pjesë të
barabarta
Percentilet- i ndajnë të dhënat në 100
pjesë të barabarta
42
Mediana/Mesorja
Mediana: Vlera e mesit e vlerave të caktuara
pasi ato të jenë renditura prej vlerës më të
ulët deri te vlera më e lartë ose prej vlerës
më të lartë deri te vlera më e ulët.
Numri i vlerave është i njejtë mbi dhe nën
vlerën e medianës
Shënim: Nëse vlerë e mesit paraqiten dy
vlera , atëherë mediana është mesatare
aritmetike e thjeshtë e atyre dy vlerave.
3-2
22
Chap 3-43
Mediana
Në një varg të numrave të renditur sipas
madhesisë, mediana është numri i mesit (50%
mbi dhe 50% nën)
Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 3
Gjetja e medianës
Pozita e medianes:
Nëse numrii të dhënave ështe tek, mediana është numri i mesit
Nëse numri i te dhënave eshtë qift, mediana është mesatare e dy
numrave të mesit.
Keni kujdes : nuk është vlera e medianës , por
vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet mediana) në
të dhënat e rregulluara.
1
2
nPozitaemedianes pozita netedhenat e rregulluara
2
1n
44
23
45
MedianaShembull 1.
Llogaritni medianën për këto të dhëna:Mosha e pesë studentëve është: 21, 25, 19, 20, dhe 22 vjet.
Rregullimi i të dhënave sipas madhësisë është:
19, 20, 21, 22, 25.
Pra, mediana është 21.
Shembull 2.
Pesha e katër studentëve (në kg) është : 76, 73, 80, dhe
75.
Regullimi i të dhënave sipas madhësisë është:
73, 75, 76, 80. Pra mediana është 75,5. 75 7675,5
2Me
46
Mediana për të dhënat e grupuara
Mediana për të dhënat e grupuara në distribucionin e
frekuencave llogaritet si vijon:
Së pari, gjejmë frekuencat kumulative;
Së dyti, gjejmë rangun e medianës :
Shembull 3. Për të dhënat në vijim gjeni medianën :
2me
F
R
Mosha 18 20 25 40 50 60
Nr. i punëtorëve (f) 10 15 20 30 15 5 95
24
47
Mediana për të dhënat e grupuara
Mosha Nr. i
punëtor
ëve (f)
Frekuencat
kumulative
18 10 10
20 15 25
25 20 45
40 (Me) 30 75 ( Rme 47,5)
50 15 90
60 5 95
Σ 95
9547,5
2 2me
F
R
40Me
48
Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me
intervale
Mediana per seritë e ponderuara llogaritet me formulën:
Simbolet e formulës prezantojnë :
Me – simboli për medianën
X1 – limiti i fillimit të intervalit medial
X2 – limiti i fundit të intervalit medial
w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial
w2- frekunca kumulative e intervalit medial
2 11 1
2 1
.2
X X fMe X w
w w
25
49
Mediana për të dhënat e grupuara / seritë
me intervale
Mediana te seritë me intervale mund të llogaritet
edhe përmes kësaj formule:
11
/ 2
me
f wMe X d
f
Simbolet e formulës prezantojnë :
Me – simboli për medianën
X1 – limiti i fillimit të intervalit medial
w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial
fme- frekunca absolute e intervalit medial
d - gjerësia e intervalit medial
50
Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me
intervaleShembull 4 Për të dhënat në vijim gjeni medianën (Me)
Grupet Frekuencat Frekuencat
kumulative
0-5 2 2
5-10 7 9 (W1)
(X1)10-15
(x2)
12 Rme=15 21 (W2)
15-20 6 27
20-25 3 30
Σ 30
3015
2 2me
fR
15 10 5
10 . 15 9 10 6 10 2,5 12,521 9 12
Me x
2 11 1
2 1
.2
X X fMe X w
w w
12,5Me
26
51
Mediana te seritë me intervale
11
/ 2
15 910 5 12,5
12
me
f wMe X d
f
Me
52
Vetitë e medianës/mesorës
Ekziston vetëm një medianë për një grumbull të të dhënave .
Nuk ndikohet nga vlerat maksimale dhe minimale dhe për këtë është e përshtatshme dhe e besueshme për të treguar tendecën qendrore kur kemi kësi lloj raste.
{3, 4, 5, 6, 7} Mediana = 5
{3, 4, 5, 6, 700} Mediana = 5
Mund të llogaritet edhe në rastet kur kemi intervale të hapura me kusht që mediana të mos qëllojë në atë interval.
3-12
27
Chap 3-53
Moda Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht
vlera e karakteristikës që e ka frekuencën më të madhe.
Te seritë e thjeshta nuk ka modë.
Shembull 2. : Sa është moda për secilën seri të numrave të dhënë:
a) 5 20 125 150 450 (nuk ka modë)
b) 5 20 20 150 450 (20)
c) 5 5 80 80 180 (5 dhe 80)-bimodale
Seritë me më shumë se dy moda quhen seri multimodale
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Moda = 9
0 1 2 3 4 5 6
Ska Modë
54
Moda për të dhënat e grupuara.
Shembull 6. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është
moda
Mosha
X
Nr. i
punëtorëve
(f)
18 10
20 15
25 20
40 M0 30 (f max)
50 15
60 5
Σ 95
40oM
28
55
Moda për të dhënat e grupuara/ Seritë me intervale
Simbolet e formulës prezantojnë:
Mo- simboli për modën
X1 – limiti i fillimit të intervalit modal
f2– frekuenca e intervalit modal
f1 – frekuenca absolute mbi intervalin modal
f3 – frekuenca absolute nën intervalin modal
d- gjerësia e intervalit
2 11
2 1 2 3( ) ( )o
f fM X d
f f f f
56
Moda për të dhënat e grupuara/
Seritë me intervale
Shembull 7 . Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është
moda.
Grupet Frekuencat
0 - 5 2
5 - 10 f 1 7
10 - 15 f 2 12
15 - 20 f 3 6
20 - 25 3
Σ 30
2 11
2 1 2 3( ) ( )o
f fM X d
f f f f
12 7 510 5 10 5
(12 7) (12 6) 5 6oM
2510 10 2,27 12,27
11oM
29
57
Karakteristikat e modës
Përdorim më i vogël
E vetmja metodë për matjen e
tendecës qendrore të të dhënave
kualitative nominale.
Mund të ketë distribucione me më
shumë moda
Mund të ketë distribucione pa modë.
58
Zgjedhja e mesatares nga të dhënat në
distribucionin e frekuencave
Në distribucionin normal, gjegjësisht simetrik të frekuencave ku të dy pjesët e poligonit të frekuencave janë plotësisht të njejta , të tri mesataret :aritmetike, moda dhe mediana janë të barabarta.
Te distribucionet jo simetrike raportet në mes të këtyre tri mesatareve ndryshojnë.
Në distribucionin asimetrik pozitiv në të djathtë mesatarja aritmetike është më e madhe në krahasim me medianën dhe modën, sepse mesatarja aritmetike është e ndikuar më shumë se moda dhe mediana nga disa vlera shumë të larta.
Në distribucionin asimetrik negativ në të majtë, mesatarja aritmetike është më e vogël se mesataret tjera , gjegjësisht mediana dhe moda sepse ajo është e ndikuar më shumë nga disa vlera shumë të vogla.
Nëse distribucioni është shumë asimetrik atëherë mesatarja aritmetike nuk është përfaqësuese e mirë e distribucionit.
30
59
Distribucioni simetrik/normal
“Asimetri zero”
Moda = Mediana = Mes.aritmetike
Moda
Mediana
Mes.aritmetike
60
Distribucioni me asimetri në të djathtë
“Asimetri pozitive”
Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e djathtë të
Modës.
Moda<Mediana<Mes.aritmetike
Moda
Mediana
Mes.aritmetike
31
61
Distribucioni me asimetri në të majtë
“Asimetri negative”
Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e majtë të
Modës.
Mes.aritmetike<Mediana<Moda
Moda
Mediana
Mes.aritmetike
62
Shembull:
Rezultatet e testit nga provimi i statistikes. Gjeni mesataren aritmetike,
modën , medianën dhe paraqitni grafikisht të dhenat permes poligonit të
frekuecave, cfarë shpërndarje ka seria.
Vrojtimi Frekuenca
65 1
70 2
75 3
80 4
85 3
90 2
95 1
32
Llogaritja e mesatares aritmetike, modes dhe medianes
X F X*F Fkumulat
ive (nen)
65 1 65 1
70 2 140 3
75 3 225 6
80 4 320 10
85 3 255 13
90 2 180 15
95 1 95 16
16 1280
63
1
1
128080 80
16
80
80
n
i i
i
n
i
i
X f
X X
f
Me
Mo
Mo Me X shperndarja simetrike
Poligoni i frekuencave
Shperndarja eshte plotesisht simetrike
64
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
60 65 70 75 80 85 90 95 100
Fre
ku
en
cat
Te dhenat X
Poligoni i frekuencave
Mo =Me =X
33
65
Shembull
Mes.art.: ($3,000,000/5)
= $600,000
Mediana: vlera e mesit e të
dhënave të rregulluara = $300,000
Moda: Vlera më e shpeshtë
= $100,000
Çmimet e shtëpive:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000
Shuma 3,000,000
66
Madhësi të tjera të pozicionit të dhënave
Madhësi të tjera
të pozicionit
Percentilet Kuartilet
Kuartili i 1rë = ¼ e të dhënave
Kuartili i 2të = ½ e të dhënave
= medianën
Kuartili i 3të = ¾ e të dhënave
E ndajnë serinë në 100
pjesë të barabarta
34
67
Kuartilet
Kuartilet i ndajnë të dhënat në katër grupe
25% 25% 25% 25%
Të dhënat : 11 12 13 16 16 17 18 21 22
Shembull: Gjeni kuartilin e parë
(n = 9)
Q1 = (n+1)/4 = (9+1)/4=2,5 (9+1)/4 = 2.5 pozita
Kështu që shfrtëzon vlerat në mes të 11 dhe 13 (12+13)/2=12.5
ashtu që Q1 = 12.5
Q1 Q2 Q3
68
Kuartili i parë dhe i tretë për të dhënat e grupuara
Shembull 8. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është
Kuartili i parë dhe Kuartili i tretë.
1
11 1
/ 4
q
f wQ X d
f
1
307,5
4 4q
fR
Grupet Frekue
ncat
Frekuenc
at
kumulativ
e
0-5 2 2
5-10 7 9
10-15 12 21
15-20 6 27
20-25 3 30
Σ 30
1
7,5 2 5,5 27,55 5 5 5 5 5 3,9 8,93
7 7 7Q
1 8,93Q
35
69
Quartili i tretë
3
13 1
3 / 4
q
f wQ X d
f
3
3 3 3022,5
4 4q
fR
3
22,5 2115 5
6Q
3
1,5 7,515 5 15 15 1,25 16,25
6 6Q
70
Konceptet kyçe
Mesataret algjebrike
Mesatarja aritmetike
Mesatarja gjeometrike
Norma mesatare e
zhvillimit
Mesataret e pozicionit
Moda
Mediana
Kuartilet
Decilet
Percentilet
Distribucioni simetrik
Asimetri negative
Asimetri pozitive
1
Dini rëndësinë e treguesve të dispersionit dhe pse përdoren ata.
Llogaritni dhe interpretoni treguesit absolut të variacionit, gjegjësisht gjerësinë e variacionit, devijimin mesatar apsolut, variancën dhe devijimin standard për seritë e thjeshta dhe seritë e ponderuara.
Spjegoni karaktristikat, përdorimin, përparësitë dhe të metat për çdo tregues apsolut të variacionit
Të dini të interpretoni devijimin standard dhe të kuptoni Rregullën Empirike/normale
Llogaritni dhe të kuptoni koeficientin e variacionit dhe interkuartilit.
Treguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit
Qëllimet:Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të :
2
Termat e treguesve te variacionit
Variacion
Dispersion
Shmangie
Devijim
Shpërndarje
Ndryshueshmëri
Luhatshmëri
3
Pse duhet të studiohet dispersioni?
Vlerat mesatare prezantojnë populacionin statistikorë në tërësi. Dy apo më shumë populacione mund të kenë madhësi të njëjtë mesatare, mirëpo dallohen sipas shpërndarjes rreth qendrës së shpërndarjes. P.sh.
I: 100; 100; 100; 100; 100. 500, 100: 100; 108; 107; 105; 80. 500, 100: 2; 5; 4; 486; 3. 500, 100
X XII X XIII X X
Σ = =
Σ = =
Σ = =
4
Pse duhet të studiohet dispersioni/shmangia?
Në serinë e parë , çdo e dhënë është e përfaqësuar në mënyrë perfekte me mesataren aritmetike. Këtu nuk kemi dispersion/shpërndarje.
Në serinë e dytë , vetëm një e dhënë është e përfaqësuar përmes mesatares së vet në mënyrë perfekte, kurse të dhënat e tjera devijojnë nga mesatarja aritmetike.
Në serinë e tretë të dhënat individuale devijojnë shumë nga mesatarja aritmetike dhe vlera mesatare në këtë rast nuk prezanton mirë dukurinë.
5
Pse duhet të studiohet dispersioni?
1) Për të vërtetuar rëndësinë prezantimit të tërësisë statistikore përmes një vlere mesatare. Kur dispersioni është i vogël, vlera mesatare prezanton në mënyrë të besueshme çdo vlerë. Kur dispersioni është i madh vlera mesatare nuk është e besueshme dhe e dobishme.
2) Për të krahasuar dy apo më shumë seri statistikore në kuptimin e shpërndarjes së të dhënave.
3) Të lehtësoj shfrytëzimin e treguesve të tjerë statistikorë.
6
Treguesit e dispersionit/variacionit
Treguesit e dispersionitshpërndarjes
RelativAbsolut
1. Gjerësia e variacionit,2. Devijimi mesatar apsolut3. Devijimi standard4. Varianca
1. Koeficienti i variacionit,2. Koeficienti i interkuartilit,
etj
7
Treguesit absolut të variacionit për
seritë e thjeshta
Gjerësia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin
Devijimi mesatar absolut:
Varianca:
Devijimi standard:
Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria
X Xshma
nΣ −
=2
2 ( )X Xn
σ Σ −=
2( )X Xn
σ Σ −=
8
Treguesit absolut/
Gjerësia e variacionit
Për seritë e thjeshta gjerësia e
variacionit është ndryshimi në mes të
vlerës më të lartë dhe vlerës më të ulët të
të dhënave të hulumtuara.
Gjerëaia e variacionit
Gjv = Xmax-Xmin
9
Shembull 1:
Rrogat në orë (të shprehura në €) për të
punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë si
vijon:
“A”: 2, 10, 6, 8, 9
“B”: 5, 9, 7, 6, 8
“A”: Gjv = Xmax-Xmin = 10 - 2= 8 €
“B”: Gjv = Xmax-Xmin = 9 - 5= 4 €
Sa është gjerësia e variacionit
në të dy kompanitë?
10
Gjerësia e variacionit
Përparësitë :
1. Është i thjeshtë për ta kuptuar.
2. Është i lehtë për ta llogaritur.
3. Përdoret për kontrollin e kualitetit statistikor të proceseve, për parashikimin e kohës, etj.
Të metat:
1. Ndikohet shumë nga vlerat ekstreme.
2. Është i bazuar në dy vrojtime ekstreme.
3. Nuk mund të llogaritet për klasët e hapura te seritë me intervale.
4. Përdoret shumë rrallë.
11
Devijimi mesatar absolut/shmangia
mesatare absolute:
Devijimi mesatar absolut është Mesatare
aritmetike e vlerave absolute të devjimeve
nga mesatarja aritmetike.
X – vlerat individuale;
- mesatajra aritmetike;
n- numri i elementeve të serisë.
X Xshma
nΣ −
=
4-3
X
Shenjat për vlerë
absolute
12
Devijimi mesatar absolut (shma)
Shembull 2 : Rrogat në orë (të shprehura në €)
për të punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë
si vijon:
“A”: 2, 10, 6, 8, 9;
“B”: 5, 9, 7, 6, 8;
Sa është devijimi mesatar absolut në të dy kompanitë?
4-4
13
Shembull 2, vazhdim
Rrogat/A/€ Rrogat/B/€
X X-X X-X X X-X X-X
2 -5 5 5 -2 2
10 3 3 9 2 2
6 -1 1 7 0 0
8 1 1 6 -1 1
9 2 2 8 1 1
35 0 12 35 0 6
1
" "
35 7€5
12 2.4€2
n
ii
Kompania A
XX
nX X
shman
== = =
Σ −= = =
∑1
" "
35 7€5
6 1.2€5
n
ii
Kompania B
XX
nX X
shman
== = =
Σ −= = =
∑
14
Devijimi mesatar absolut (shma)Përparësitë dhe të metat
Përparësitë: Merr në konsiderim të gjitha vlerat në llogaritje;
Është i lehtë për tu kuptuar dhe lexuar – është vlera mesatare e devijimeve të vlerave individuale nga mesatarja e tyre aritmetike.
Të metat: Përdorë vlerat absolute me të cilat është vështirë të
punohet.
Pak përdoret në krahasim me treguesit e tjerë të variacionit e sidomos në krahasim me devijimin standard.
15
Varianca dhe Devijimi standard
Varianca dhe devijimi standard, të dyja
bazohen në devijimet nga mesatarja
aritmetike.
Varianca- mesatarja aritmetike e
devijimeve nga mesatarja të ngritura në
katror
Devijimi standard është rrënja katrore e
variancës
16
Varianca
Varianca për të dhënat e thjeshta është mesatarja aritmetike e devijimeve nga mesatarja të ngritura në katror.
2
2 1
2
( )
var lim
n
ii
X X
Nsimboli per iancen e popu it
X vlerat evrotimeveindividualeX mesatarja aritmetikee mostresN numri total i vrojtimeve
σ
σ
=
−=
−−
−−
∑
4-5
17
Devijimi standard
Devijimi standard është rrënja katrore e
variancës, gjegjësisht:
2
2
( )
tan( )
X Xn
devijimi s dardX X shuma e devijimeve nga X te ngritura ne katror
n numri i elementeve
σ
σ
Σ −=
−
Σ − −−
4-7
18
Varianca dhe devijimi standard
/shembull vazhdim
Rrogat
X
Rrogat
X
2 -5 25 5 -2 4
10 3 9 9 2 4
6 -1 1 7 0 0
8 1 1 6 -1 1
35 0 40 35 0 10
22 ( ) 40 8 €
5X X
nσ Σ −
= = =2
2 ( ) 10 2 €5
X Xn
σ Σ −= = =
2( ) 40 8 2.8 €5
X Xn
σ Σ −= = = =
2( ) 10 2 1,41 €5
X Xn
σ Σ −= = = =
( )X X− 2( )X X−
Varianca
Dev.standard
( )X X− 2( )X X−
19
Varianca Përparësitë dhe të metat
Përparësitë Në llogaritje përfshihen të gjitha të dhënat
Shprehet në njësi të njëjta si të dhënat por
të ngitura në katrorë.
E metë Është shumë vështirë të interpretohet.
20
Devijimi standard…
►Mat shumë mirë variabilitetin e të
dhënave.
► Ka lidhje të ngusht me mesataren
aritmetike.
► Është shumë i rëndësishëm për
zhvillimin e teorisë statistikore.
► Gjindet lehtë përmes softverëve!
21
Treguesit absolut të variacionit për
të dhënat e grupuara
Llogariten për seritë e ponderuara dhe
shprehen në njësi të njetja të matjes
sikurse dukuria. Ata janë:
a) Gjerësia e variacionit (Gjv):
b) Devijimi/shmangia/ mesatar absolut
(shma) ose d
c) Varianca
d) Devijimi standard
4-8
( )σ( )2σ
22
Treguesit absolut të variacionit për
të dhënat e grupuara
Gjerësia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin
Devijimi mesatar absolut:
Varianca:
Devijimi standard:
Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria
f X Xshma
fΣ −
=
22 ( )f X X
fσ Σ −
=Σ
2( )f X Xf
σ Σ −=
Σ
23
Shembull:
Për të dhënat vijuese të llogariten treguesit
absolut të variacionit.
x 3 5 8 10 12 Σ
f 2 8 5 3 2 20
24
Treguesit absolut të variacionit për
të dhënat e grupuara
x f
3 2 6 4 8 16 32
5 8 40 2 16 4 32
8 5 40 1 5 1 5
10 3 30 3 9 9 27
12 2 24 5 10 25 50
20 140 48 146
X X− f X X−
4-9
X f⋅ 2( )X X− 2( )f X X⋅ −
25
Treguesit e variacionit /të dhënat e
grupuara
a) Gjerësia e variacionit:
GJv=XMax- Xmin
Gjv=12-3=9
b) Devijimi mesatar apsolut (shma)
4-10
48 2, 420
f X XShma
fΣ −
= = =Σ
140 720
X = =
26
Treguesit absolut të variacionit /të
dhënat e grupuara
c) Varianca
d) Devijimi standard
4-11
2
2 1( )
146 7,320
n
ii
f X X
fσ =
−= = =
Σ
∑
2( ) 7,3 2,70f X Xf
σ Σ −= = =
Σ
27
Interpretimi dhe përdorimi i devijimit
standard
Devijimi standard është treguesi absolut i variacionit që përdoret më së shumti.
Sa më i vogël që është devijimi standard kjo nënkupton që vlerat individuale të variablës janë të vendosura, gjegjësisht janë të koncentruara më afër mesatares aritmetike.
Sa më i madh që është devijimi standard vlerat individuale të variablës janë të vendosura më larg gjegjësisht janë të shpërndara më larg mesatares aritmetike.
28
Interpretimi dhe përdorimi i devijimit
standard
Rregulla empirike/normale: Për çdo distribucion
normal/simetrik/ në formë kambane/,
Përafërsisht 68% e vrojtimeve gjendet në mes
mesatares aritmetike dhe
Përafërsisht 95% e vrojtimeve gjendet në mes të
mesatares aritmetike dhe
Përafërsisht 99.7% gjendet në mes të mesatares
aritmetike dhe
1σ±µ
3σ±µ
µ
4-15
2σ±
29
µ
σ
µ−3σ µ−2σ µ−1σ µ µ+1σ µ+2σ µ+ 3σ
Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .µ σ
68.26%
95.44%
99.74%
30
Rregulla empirike
Ose rregulla
68%; 95%; 99.7%
31
µ σ
Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .µ σ
−3σ −2σ −1σ +1σ +2σ + 3σ
68.26%
95.44%
99.74%
X XXXX XX
Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .X σ
32
Shembull
Një mostër që prezanton shumën e shpenzimeve mujore për ushqime nga një qytetar i moshuar që jeton vetëm i ofrohet shpërndarjes normale në formë kambane. Mesatarja e mostrës është 150$ kurse devijimi standard është 20$.
1. Rreth 68% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera?
2. Rreth 95% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera?
3. Gati të gjitha shpenzimet mujore janë në mes të cilave vlera?
33
Zgjidhje
1. 130$ 170$1 150$ 1(20$)
2. 110$ 190$2 150$ 2(20$)
3. 90$ 210$3 150$ 3(20$)
68%
95%
99,7%
Rreth jane ne mes te dheX
Rreth jane ne mes te dheX
Rreth jane ne mes te dheX
σ
σ
σ
± = ±
± = ±
± = ±
34
Treguesit relativ të
variacionit/Dispersioni relativ
Treguesit relativ të variacionit përdoren në rastet kur dëshirojmë të bëjmë krahasimin e shpërndarjes së dy apo më shumë dukurive në rastet kur:
1. Të dhënat janë në njësi të ndryshme të matjes;
2. Të dhënat janë në njësi të njejta por në kuptim ato dallohen shumë ( si të ardhurat e menaxherëve dhe të ardhurat e punëtorëve të pakualifikuar)
4-12
35
Treguesit relativ të
variacionit/Dispersioni relativ
Treguesit relativtë variacionit
Koeficienti ivariacionit
Variabla e standaridizuar/Devijimi inormalizuar
Koeficienti iinterkuartilit
36
Koeficienti i variacionit
Koeficienti i variacionit është raporti në mes
të devijimit standard dhe mesatares aritmetike i
shprehur në përqindje:
Autor i këtij treguesi është Karl Pearson(1857-
1936)
4-13
100KVXσ
= ⋅
37
Koeficienti i variacionit
Shembull:
Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen
A është 1000 copë, me devijim standard 80 copë.
Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen
B është 600 copë,ndërsa devijimi standard 72 copë.
Në cilën ndërmarrje kemi shpërndarje më të madhe
të produktitvitetit të punës.
4-14
38
Koeficienti i variacionit
Shembull-vazhdim
: 1000 ë 80 ëB: 600 ë 72 ëA X cop cop
X cop copσ
σ= =
= =
A80Kv 0,08 100 8%
1000Xσ
= = = ⋅ =
B72Kv 0,12 100 12%600X
σ= = = ⋅ =
39
Koeficienti i variacionit
Shembull Në një shkollë 350 nxënës kanë
gjatësinë mesatare 129 cm, me devijim
standard 5,9 cm. Ky grup i nxënësve ka
peshën mesatare 27 kg, me devijim standard
3,2 kg.
Ku është variabiliteti më i madh , te gjatësia
apo te pesha e këtij grupi të nxënësve.
40
Koeficienti i variacionit
: 129 , 5,9: 27 , 3, 2
Gjatesia X cm cmPesha X kg kg
σσ
= =
= =
5,9( ) (100) 100 4,5%129
3,2( ) (100) 100 11,8%27
KV cmX
KV kgX
σ
σ
= = ⋅ =
= = ⋅ =
41
Koeficienti i variacionit
Shembull 3 Në dy ndërmarrje prodhimi mujor gjatë
një tremujori ka qenë si vijon:
Ku është variacioni më i madh , te ndërmarrja A
apo ndërmarrja B
Prodhimi në tonelata sipas muajve
Muajt Ndërmarrja A Ndërmarrja B
I 6 60
II 7 70
III 8 80
21 210Σ
42
Koeficienti i variacionit
211: 7 0,81232102 : 70 8,12
3
Ndermarrja X ton
Ndermarrja X ton
σ
σ
= = =
= = =
0,812 100 11,6%7
8,12 100 11,6%70
Kv
Kv
= ⋅ =
= ⋅ =
Shembull -vazhdim
Variabla e standardizuar/normalizuar/Devijimi i
standardizuar/ z-scores
Devijimi i standardizuar prezanton masën e
devijimeve të ndonjë të dhëne të vecantë nga
mesatrja aritmetike e shprehur në njësi të devijimit
standard. Llogaritet në këtë mënyrë:
Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës së selektuar, e
shënuar me X dhe mesatares së populacionit, e ndarë me
devijimin standard të populacionit.
Distribucioni normal me mesatare 0 dhe devijim
standard 1 quhet distribucion standard normal .43
X X XZ ose tµσ σ− −
= =
SHEMBULL
Të ardhurat mujore të posa diplomuarve
në një korporatë të madhe kanë
shpërndarje normale me mesatare
aritmetike prej µ= $2000 dhe devijim
standard prej σ= $200. Sa është vlera e Z për një të ardhur prej x= $2200?
Për një të ardhur prej X=$1700?
2200 2000 1200
XZ µσ− −
= = =
SHEMBULL 1 vazhdim
Për X=$1700,
Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$
është 1σ mbi mesataren aritmetike prej
$2000, derisa Vlera Z=-1,5 tregon se
vlera prej $1700 është 1.5 σ nën
mesataren aritmetike që është $2000.
1700 2000 1,5200
XZ µσ− −
= = = −
SHEMBULL 3.
o Përdorimi ditor i ujit për person në
komunën X ka shpërndarje normale me
mesatare 20 galon dhe me devijim
standard 5 galon.
a) Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në
komunën X gjendet në mes të cilave
vlera?
Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve ditor të
ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe 25 galon.
).5(1201 ±=± σµ
20 , 5X galon galonσ= =
SHEMBULL 3
b) Sa përqind e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.
Vlera e Z: Z=0. Kështu,P(X<20)=P(Z<0)=0.5, gjegjësisht 50% e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.
20 20 05
XZ µσ− −
= = =
SHEMBULL 3, vazhdim
c) Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24 galon?
Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0 dhe me X=24, Z=0.8. Kështu, P(20<X<24)=P(0<Z<0.8)=28.81%(Këtë përqindje e gjejmë në tabelën e shpërndarjes
normale në fund të librit, fq. 360)
48
20 , 5 , 24X galon galon Xσ= = =
24 20 0,85
X XZσ− −
= = =
- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f(
x
r a l i t r b u i o n : µ = 0 ,
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(0<Z<.8)
=0.2881
SHEMBULL 3
0<X<0.8
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu
SHEMBULL 3 vazhdim
d) Sa përqind e popullsisë përdorë në mes
të 18 dhe 26 galon?
Vlera e Z e lidhur me X=18 është:
Vlera e Z e lidhur X=26 është
P(18<X<26)
=P(0.4<Z<1.2)=0.1554+0.3849=0.5403 x 100=54.03% (fq. 360 e
librit)
18 20 0.45
X XZσ− −
= = = −
26 20 1.25
X XZσ− −
= = =
SHEMBULL 4
Bakshishi që një kamerier në një restaurant ekskluziv merr në një ndërrim ka shpërndarje normale me mesatare 80$ dhe devijim standard $10. Zana ndjen se ka ofruar shërbime jo të mira (të dobëta) nëse bakshishi total për një ndërrim është më i vogël se 65 $. Sa është probabiliteti se ajo ka ofruar shërbime të dobëta?
Le të jetë X sasia e bakshishit. Vlera e Z e lidhur me X=65 është Z= (65-80)/10= -1.5. Kështu, P(X<65)=P(Z<-1.5)=0.5-0.4332=0.0668.
52
Koeficienti i interkuartilit
Koeficienti i nterkuartilit llogaritet me formulën:
3 1
3 1
3
1
int
Q QKqQ Q
Kq koeficienti i erkuartilitQ kuartili i treteQ Kuartili i pare
−=
+−−−
1
11 1
/ 4
q
f wQ X df
Σ −= + ⋅
3
13 1
3 / 4
q
f wQ X df
Σ −= + ⋅
53
Koeficienti i interkuartilit
Shembull: Nga të dhënat në vijim, gjeni
koeficientin e interkuartilit
Grupet 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22
Frekuencat 1 4 10 3 2 20
3 1
3 1
14 10 4 0,1614 10 24
Q QKqQ Q
− −= = = =
+ +3
1
1410
==
Koeficienti i interkuartilit ( Kq) merr vlerat prej 0 deri në 1.
54
Koeficienti i interkuartilit
Përparësitë dhe të metat
Përparësitë :
1. Llogaritet dhe kuptohet lehtë;
2. Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme;
3. Mund të llogaritet në seritë me intervale të mbyllura dhe të hapura.
Të metat:
1. Nuk bazohet në të gjitha vlerat por vetëm në dy vlera pozicionale Q1 dhe Q3.
3. Ndikohet nga fluktuacionet e mostrës.
55
Konceptet kyçe
Treguesit e variacionit
Gjerësia e variacionit
Devijimi mesatar
absolut
Devijimi standard
Varianca
Rregulla empirike
Koeficienti i
variacionit
Variabla e
standardizuar/normal
izuar
Koeficienti i
interkuartilit
56
Shembuj të tjerë
Shembull. Në 10 teste studenti A dhe B kanë fituar këta poena:
Përcaktoni se cili student është më i arsimuar dhe cili i ka rezultatet më stabile(homogjene)
4-15
A: 25 50 45 30 70 42 36 48 34 60
B: 10 70 50 20 95 55 42 60 48 80
57
Shembuj të tjerë Shembull. Nga distribucioni i mëposhtëm i frekuencave
llogaritni dhe gjeni :
a) Sa është gjerësia e intervalit
b) Sa është devijimi standard
c) Sa është varianca
d) Gjeni koeficientin e variacionit dhe koeficientin e dispersionit
e) Koeficientin e interkuartilit
Gjeni koeficientin e asimetrise dhe paraqitni grafikisht te dhenat. Distribucioni a eshte simetrik apo asimetrik.
4-17
Grupet 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Frekuencat 7 12 21 18 12 70
1
1-1
Numrat indeksor dhe tregues të tjerë ekonomik
Qëllimet
Në fund të orës së mësimit ju duhet të jeni në gjendje që të:
Përshkruani se çka kuptoni me indekse.
Kuptoni dallimet në mes të indekseve të thjeshta/individuale dhe
indekseve të ponderuar/agregat/gruporë.
Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Laspeyres-it.
Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Paasche-ut
dhe Edgworth-it
Konstruktoni dhe interpretoni Indeksin e Vlerës.
Shpjegoni se si konstruktohet Indeksi i Çmimeve të konsumit/Indeksi i
kostos së jetesës (CPI) dhe për çka përdoret.
Llogaritni dhe interpretoni disa tregues të tjerë ekonomik (treguesit e
strukturës dhe treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit)
2
Numrat indeksor
Numri indeksor është një numër që mat ndryshimet relative në: çmime, sasi, vlerë ose në ndonjë njësi tjetër që është me interes prej një periudhe në një periudhë tjetër.
Çdo indeks ka një bazë që është pikë fillestare për të gjitha krahasimet dhe shumica e indekseve e kanë bazën 100.
Shembull: Në vitin 2007/08 në Fakultetin Ekonomik janë pranuar 1200 studentë , kurse në vitin akademik 2008/2009, janë regjistruar 1600 studentë. Sa është indeksi i pranimit të studentëve në vitin 2009, krahasuar me vitin 2008.
3
Numrat indeksor
Shembull, vazhdim
Zgjidhje :2009 1600
100 100 133,332008 1200
. 100 133,33 100 33,33%
2009 33,3%
2008.
Studentet e regjistruarInd
Studentet e regjistruar
Ind
Nevitin jane regjistruar
me shume studente se ne vitin
4
Numrat indeksor
Në bazë të disa vlerësimeve të Entit të Statistikës së Kosovës të
vitit 2002,Komuna e Prishtinës ka rreth 500.000 banorë , kurse
komuna e Pejës ka rreth 181.130 banorë.
Sa është indeksi i popullsisë së Prishtinës në krahasim me
Popullsinë e komunës së Pejës. Komento rezultatin.
Zgjidhje
Pr 500.000100 100 276
181.130
100 276 100 176%
Pr sin
176%.
Popullsia e ishtinesInd
Popullsia ePejes
Ind
Popullsia e ishtines krahasuar me popull e Pejes
eshteme e madhe per
Shembull
5
Pse bëhet shndërrimi i të dhënave
në indekse?
Indekset lehtësojnë krahasimin e serive të ndryshme,
gjegjësisht të dukurive të ndryshme.
Një indeks është një mënyrë e përshtatshme për të shprehur
ndryshimet e një grupi të përgjithshëm të njësive heterogjene.
Për shembull, Indeksi i çmimeve të konsumit përfshin rreth 400 njësi dhe
vetëm me shndërrimin e çmimeve të këtyre njësive të llojllojshme që paraqesin
produkte dhe shërbime të ndryshme në një numër indeksor, qeveritë dhe të
tjerët të interesuar për inflacionin dhe çmimin e konsumit mund të informohen
drejt.
Ndryshimi në përqindje shpesh është më i lehtë për tu kuptuar
se sa numrat aktual, veçanërisht kur numrat janë të mëdhenj.
6
Llojet e numrave indeksor
LLojet e indekseve
Indekset e ponderuar/Agregat/gruporë
Indekset e thjeshtë/individual
1. Indeksi çmimeve
2. Indeksi i sasisë
3. Indeksi i vlerës
1.Indeksi çmimeve
2.Indeksi i sasisë
3. Indeksi i vlerës
4. Indeksi për qëllime të veçanta
7
Indekset individuale/të thjeshtë
Indeksi i thjeshtë është një numër indeksor që përdoret për të matur ndryshimet relative/në përqindje vetëm në një variabël. Ai është normë e dy vlerave të një variable e shprehur në përqindje.
Një indeks mund të klasifikohet si indeks i çmimeve, indeks i sasisë, indeks i vlerës,
Indeksi i çmimeve mat ndryshimet në çmime në mes të periudhës selektuese si bazë dhe periudhës tjetër si raportuese.
Indeksi i sasisë mat ndryshimet në sasinë e konsumuar ose prodhuar nga periudha bazë në një periudhë tjetër.
8
Llojet e numrave indeksor
Indeksi i vlerës mat ndryshimet në vlerë
të një apo më shumë njësive nga periudha
bazë në një periudhë tjetër. Vlerat për
periudhën bazë dhe për periudhën
raportuese gjinden duke shumëzuar
sasinë me çmimin ( PxQ)
9
Ndërtimi i numrave indeksor
/të thjeshtë
Indeksi i thjeshtë i çmimeve, Ip:
Le të jetë çmimi i periudhës bazë p0 dhe
çmimi i periudhës raportuese p1, atëherë
indeksi i çmimeve do të shprehet përmes
formulës:1
0
100p
pI
p
0 ç
1 ç
mimii periudhesbaze
mimii periudhes raportuese
p
p
Indeksi i çmimeve mund të jetë indeks bazë dhe indeks zinxhir
Indeksi bazë dhe indeksi zinxhir/vargor
Indeksi bazë paraqet raportin në mes të nivelit
të dhënë të serisë kohore ndaj nivelit apo
madhësisë së asaj serie të zgjedhur si bazë.
10
0
100ii
NI
N
N 1- niveli raportues
N 0- niveli bazë
Indeksi bazë
Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me :
N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6 ,… dhe nëse nga seria
kohore si bazë për krahasim marrim nivelin e
parë, N1, atëherë indekset bazë llogariten si
vijon:
11
1
3 5 62 42 3 4 5 6
1 1 1 1 1
1
100
100; 100; 100; 100; 100;
100;ii
I
N N NN NI I I I I
N N N N N
Ndhe I
N
Indeksi bazë
12
3 51 2 41 2 3 4 5
3 3 4 3 3
3
100; 100; 100; 100; 100;
100;ii
N NN N NI I I I I
N N N N N
Ndhe I
N
Nëse si bazë për krahasim marrim nivelin e tretë N3
të të dhënës atëherë do të kemi :
Indekset zinxhirorë/vargorë
Indekset zinxhirorë/vargorë tregojnë ndryshimet
relative/në përqindje të dukurisë në periudhën
vijuese në raport me periudhën paraprake, dhe
llogariten sipas formulës:
13
1
100ii
i
NI
N
Ni - niveli raportues, vijues
Ni-1 - niveli bazë (periudha paraprake)
Indekset zinxhirorë/vargorë
14
1
3 5 62 42 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1
det
100; 100; 100; 100; 100;
100;ii
i
I nuk mund te gjin sepsenuk i kemi tedhenat enivelit paraprak
N N NN NI I I I I
N N N N N
Ndhe I
N
Indekset zinxhiroe/vargorë paraqesin raportin e secilës
madhësi raportuese të serisë ndaj madhësisë paraprake si
bazë.
Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me :
N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6,…. Ni, lndekset zinxhir llogariten si
vijon:
15
Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë
Shembull 1
Tabela vijuese prezanton çmimin e një artikulli në periudha të ndryshme kohore.
Llogaritni :
a) Indekset e thjeshtë të çmimeve, për bazë të merret viti 2004
b) 2005=100
c) Indekset zinxhirore të çmimeve
d) interpretoni rezultatet
e) Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve.
Vitet 2004 2005 2006 2007 2008
Çmimet 15 20 21 30 25
Konstruktimi i indekseve bazë
16
Vitet Çmimi
($)
2004=100
2004 15 (N1 ) 100
2005 20 (N2 ) (20/15)*100=133.33
2006 21 (N3 ) (21/15)*100=140
2007 30 (N4 ) (30/15)*100=200
2008 25 (N5 ) (25/15)*100=166.66
322005 2 2006 3
1 1
542007 4 2008 5
1 1
20 21100 100 133,33 100 100 140
15 15
30 25100 100 200; 100 100 166.66.
15 15
NNI I
N N
NNI I
N N
Interpretimi i indekseve bazë
Baza e indekseve =100
Indeksi mbi 100 – dukuria ka rritje
Indeksi nën 100 – dukuria ka rënje
Indeksi =100 – dukuria është në nivel të njejtë.
P.sh.
Në këtë rast themi se çmimi në vitin 2005
krahasuar me vitin 2004 është rritur për
33,33%. 17
2005 2 133,33 100 33,33%I
18
Shembull 1- vazhdim
Indekset bazë
Vitet Çmimi
($)
Indeksi bazë
( 2005=100)
2004 15 (15/20)*100 =75
2005 20 (20/20)*100=100
2006 21 (21/20)*100=105
2007 30 (30/20)*100=150
2008 25 (25/20)*100=125
1'04
0
15100 100 0,75 100 75
20p
pI
p
1'06
0
21100 100 105
20p
pI
p
1'07
0
30100 100 150
20p
pI
p
1'08
0
25100 100 125
20p
pI
p
Kostruktimi i indekseve zinxhirorë
Vitet Çmimi
($)
Indekset zinxhirë
2004 15 Nuk mund të llogaritet -
2005 20 (20/15)*100 =133,33
2006 21 (21/20)*100 =105
2007 30 (30/21)*100 =142,85
2008 25 (25/30)*100= 83,33
19
1'05
0
20100 100 133,33
15p
pI
p
1'06
0
21100 100 105
20p
pI
p
1'07
0
30100 100 142,86
21p
pI
p
1'08
0
25100 100 83,0
30p
pI
p
Interpretimi i rezultateve/indekseve
20
1'06
0
21100 100 105
20p
pI
p
105-100 = 5%, d.t.th çmimi ka shënur rritje për 5% në vitin 2006 në krahasim
me vitin 2005.
1'08
0
25100 100 83,0
30p
pI
p
83-100 = 17%, d.t.th çmimi ka shënur rënje për 17% në vitin 2008 në
krahasim me vitin 2007.
P.sh. Marrim indeksin zinxhiror për vitin 2006 dhe për vitin 2008.
21
Indeksi i thjeshtë i sasisë Iq
Indeksi i thjeshtë i sasisë, Iq:
Le të jetë sasia e periudhës bazë q0 dhe sasia
e periudhës raportuease q1, atëherë indeksi i
thjeshte i sasisë do të shprehet përmes
formulës:
1
0
100q
qI
q
0 sasia e periudhës baze
1-sasia e periudhës raportuese
q
q
22
Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë të
sasisë
Shembull 2
Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një artikulli në periudha të ndryshme kohore.
Llogaritni :
a) Indekset e thjeshtë të sasisë, për bazë të merret viti 2001.
b) Indekset zinxhirore të sasisë
c) interpretoni rezultatet
d) Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve.
Vitet 2000 2001 2002 2003 2004
Çmimet 5 4 5 6 10
23
Shembull 2-vazhdim
Vitet Sasia
(000kg)
Indeksi bazë
( 2001=100)
Indekset
zinxhir
2000 5 125 -
2001 4 100 80,0
2002 5 125 125
2003 6 150 120
2004 10 250 166,66
00
5100 125
4qI
02
5100 125
4qI
03
6100 150
4qI
04
10100 250
4qI
24
Shembull 2- vazhdim
Indekset zinxhirore të sasisë
01
4100 80
5qI
02
5100 125
4qI
03
6100 120
5qI
04
10100 166,66
6qI
Shndërrimi/Transformimi i indekseve bazë
në indekse zinxhirore dhe anasjelltas
Për nevoja praktike mund të bëhet transformimi,
gjegjësisht shndërrimi i:
indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe
anasjelltas,
krijimi i indekseve bazë nga indekset
zinxhirore.
Marrim shembullin në vijim:
25
26
Transformimi i indekseve bazë në
indekse zinxhirore dhe anasjelltas
Vitet Sasia
(000kg)
Indeksi bazë
( 2000=100)
Indekset bazë
(2002=100)
Indekset
zinxhir
2000 5 100 83,33 -
2001 4 80.0 66,66 80,0
2002 6 120 100 150
2003 8 160 133,33 133,33
2004 10 200 166,66 125,0
2005 9 180 150 90
Shembull 3Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një artikulli në periudha të ndryshme kohore dhe indekset e llogaritura bazë dhe zinxhirore të sasisë.
Bëni transformimin e indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas.
27
Transformimi i indekseve bazë në indekse
zinxhirore
'00
'01
'02
'03
'04
'05
2000 100
80100 80
100
120100 150
80
160100 133,33
120
200100 125
160
180100 90
200
v
v
v
v
v
v
Viti
I
I
I
I
I
I
'00
'01
'02
'03
'04
'05
Viti 2002=100
66,66100 80
83,33
100100 150
66,66
133,33100 133,33
100
166,66100 125
133,33
150100 90
166,66
v
v
v
v
v
v
I
I
I
I
I
I
28
Transformimi i indekseve zinxhirore në
indekse bazë
'00
'01
1
'02
3 1
'03
4 1
'04
5 1
'05
2000 100
100
80
(80 150) :100 120
(80 150 133,33) :100 160
(80 150 133,33 125) :100 200
(80 150 133,33 125 90) :100 180
b
b
b n
b
b
b
Viti
I
I
I
I
I
I
Transformimi i indekseve zinxhirore në
indekse bazë
29
3
'00
2
'01
'02
'03
'04
2
'05
2002 100
100 : (150*80) 83.33
100 :150 66.66
100
133.33
(133 125) :100 166.65
(133 125 90) :100 150
b
b
b
b
b
b
Viti
I
I
I
I
I
I
30
Indekset agregate të ponderuar
Me indekse agregate të ponderuar, çdo njësi
ponderohet në bazë të rëndësisë së tij, dhe
zakonisht është sasia e shfrytëzuar e
mallrave ose shërbimeve.
Ata mund të jenë:
1.Indeksi çmimeve
2.Indeksi i sasisë
3. Indeksi i vlerës
4. Indeksi për qëllime të veçanta.
31
Ndërtimi i indekseve agregate/të
ponderuar
Indekset agregate të ponderuar të çmimeve dhe të
sasisë marrin në konsiderim edhe çmimin edhe sasinë
e njësive dhe llogariten për një grumbull të njësive.
Ekzistojnë tri metoda bazë për konstruktimin e tyre:
Metoda e Laspeyres-it (Étienne Laspeyres, 1864)
Metoda e Paasche-ut (Herman Paasche, 1874)
Metoda e Edgworth-it
Metoda e Fisherit ( Irving Fisher)
32
Indeksi për qëllime të veçanta
Indeksi për qëllime të veçanta kombinon dhe
ponderon (peshon) një seri të grupeve heterogjene
për të arritur te ndonjë indeks i përgjithshëm për të
treguar ndryshimet në aktivitet e biznesit në raport
me dy periudha.
Në bazë të këtyre indekseve llogariten edhe:
Indeksi i Çmimit të Konsumit (CPI),
Indeksi i Çmimit të prodhuesve (Indeksi i
çmimeve me shumicë) (1890)
Indeksi i Produktivitetit të Punës,
Dow Jones Mesatarja e industrisë (DJIA), etj.
33
Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar
/ Indeksi i çmimeve dhe sasise
Metoda e Laspeyres-it : Kjo metodë përdorë sasitë dhe
çmimet e periudhës bazë si ponderë dhe llogaritet me
anën e formulave vijuese:
p0 – çmimi i periudhës bazë
p1 - çmimi i periudhës raportuese
qo- sasia e periudhës bazë
qo- sasia e periudhës raportuese
1 0
0 0
100L p
Indeksi i çmimeve
p qI
p q
1 0
0
100L p
o
Indeksi i sasise
q pI
q p
34
Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar /
Indeksi i çmimeve dhe sasise
Metoda e Paasche-ut. Kjo metodë përdorë sasitë
dhe çmimet e periudhës raportuese si ponderë dhe
llogaritet me anën e formulave vijuese:
p0 – çmimi i periudhës bazë
p1 - çmimi i periudhës raportuese
qo - sasia e periudhës bazë
q1 - sasia e periudhës raportuese
1 1
0 1
100P p
Indeksi i çmimeve
p qI
p q
1 1
0 1
100P p
Indeksi i Sasise
q pI
q p
35
Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe
Paasche-ut
Indeksi i LASPEYRE-sit:
Kërkon që sasitë të caktohen vetëm nga periudha bazë.
Emëruesi është i fiksuar, kështu që indeksi mund të llogaritet sa herë që janë të njohura sasitë dhe çmimet e periudhës raportuese.
Indeksi i Laspeyres-it mund të krahasohet direkt për disa periudha kohore për faktin se emëruesi është fiks.
Ponderimi te Indeksi i Laspayeres-it mund të vjetërohet.
Kjo supozon që për çfarëdo ndryshimi të çmimit, sasitë e blera do të mbesin të njëjta, gjegjësisht, sa do që çmimet ngriten, e njëjta sasi e mallit do të blihet.
36
Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe
Paasche-ut
INDEKSI I PAASCHE-ut
Kërkon që sasitë të përcaktohen për çdo periudhë, dhe kjo ka treguar se është shumë e shtrenjtë.
Emëruesi duhet të rillogaritet për çdo periudhë. Indeksi nuk mund të llogaritet deri në fund të periudhës deri sa të dihen sasitë dhe çmimet e periudhës vijuese.
Krahasimet mund të bëhen drejtpërdrejt në mes të vitit vijues dhe periudhës bazë për arsye se emëruesi duhet të rillogaritet për çdo vit.
Indeksi i Paasche-ut freskohet për çdo vit.
Efekti i ponderimit vijues nënkupton që rëndësi më e madhe i kushtohet mallrave që relativisht janë më të lira tani se sa kanë qenë në periudhën bazë.
37
Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar /
Indeksi i çmimeve
Metoda e Edgworth-it. Kjo metodë si
ponderë merr sasitë e periudhës bazë dhe
periudhës raportuese dhe llogaritet sipas
formulës:
1 1 0
0 1 0
( )100
( )E p
p q qI
p q q
p0 – çmimi i periudhës bazë;
p1 - çmimi i periudhës raportuese;
qo - sasia e periudhës bazë;
q1 - sasia e periudhës raportuese.
38
Indekset ideale të çmimeve
Indeksi ideal i Fisherit (i publikuar me 1922)
Indeksi sipas mesatares aritmetike
F L PI I I
2
L PM
I II
L
P
I indeksi i Laspayers it
I indeksi i Paasche ut
39
Indeksi i vlerës
Indeksi i vlerës : reflekton ndryshimet në
çmim dhe në sasi në periudhën raportuese
në krahasim me periudhën bazë.
1 1
0 0
100v
p qI
p q
40
Shembull
Çmimet dhe sasitë e shitura në një butik për lloje të ndryshme të mallrave në maj të vitit 2008 dhe maj të vitit 2009 janë si vijon:
a) Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe të sasisë;
b) Llogaritni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë sipas të gjitha metodave.
c) Llogaritni indeksin e vlerës.
d) Interpretoni rezultatet.
Mallrat e shitura 2008 2009
Çmimi Sasia Çmimi Sasia
(1)Veshje 20 100 25 80
(2) Këpucë 40 50 50 60
(3) Qanta 30 100 40 70
41
Shembull-vazhdim
A) Indekset individuale të çmimeve:
12
0
50100 100 125
40p
pI
p
11
0
25100 100 125
20p
pI
p
13
0
40100 100 133,33
30p
pI
p
42
Shembull-vazhdim
Indeksi i Laspayres-it
Mallrat e
shitura
2008 2009
p1q0 p0q0Çmimi
p0
Sasia
q0
Çmimi
p1
Sasia
q1
(1)Veshje 20 100 25 80 2 500 2 000
(2) Këpucë 40 50 50 60 2 500 2 000
(3) Qanta 30 100 40 70 4 000 3 000
Gjithsej: 9 000 7 000
1 0
0 0
9000100 100 128,57
7000L p
p qI
p q
43
Shembull-vazhdim
Indeksi i Paasche-ut
Mallrat e
shitura
2008 2009
p1q1 p0q1Çmimi
p0
Sasia
q0
Çmimi
p1
Sasia
q1
(1)Veshje 20 100 25 80 2 000 1 600
(2) Këpucë 40 50 50 60 3 000 2 400
(3) Qanta 30 100 40 70 2 800 2 100
Gjithsej: 7 800 6 100
1 1
0 1
7800100 100 127,87
6100P p
p qI
p q
44
Shembull-vazhdim
Indeksi i Edgworth-it
Mallrat e
shitura
2005 2006
q0+q1 p1(q0+q1) po(q0+q1)
Ç
p0
S
q0
Ç
p1
S
q1
(1)Veshje 20 100 25 80 180 4 500 3 600
(2) Këpucë 40 50 50 60 110 5 500 4 400
(3) Qanta 30 100 40 70 170 6 800 5 100
Gjithsej: 16 800 13 100
1 1 0
0 1 0
( ) 16800100 100 128,24
( ) 13100E p
p q qI
p q q
45
Shembull-vazhdim
Indeksi i Fisherit
Indeksi sipas mesatares aritmetike
128,6 127,87 16444,082 128,23F L PI I I
127,87 128,6128,22
2 2
L PM
I II
46
Shembull-vazhdim
Indeksi i vlerës
1 1
0 0
7800100 100 111.42
7000v
p qI
p q
Mallrat e
shitura
200 2009
p0q0 p1q1Ç
p0
S
q0
Ç
p1
S
q1
(1)Veshje 20 100 25 80 2 000 2 000
(2) Këpucë 40 50 50 60 2 000 3 000
(3) Qanta 30 100 40 70 3 000 2 800
Gjithsej: 7 000 7 800
47
Indeksi i Çmimeve të Konsumit (CPI-Consumer
Price Index)
IÇK/ (CPI) mat ndryshimet në çmim të një “shporte fikse të mallrave dhe shërbimeve ” prej një periudhe në një periudhe tjetër.
Indeksi (SHBA) përfshin rreth 400 njësi, dhe rreth 250 agjentë që grumbullojnë të dhënat për çmime për çdo muaj. Çmimet mblidhen nga 21.000 firma tregtare dhe nga 60.000 familje në 91 qendra urbane përgjatë tërë vendit (SHBA).
Çmimet e bukës, birrës, rrymës, shkurtimi i flokëve, norma e interesit të hipotekës, taksat, janë vetëm disa prej njësive që përfshihen në shportën e mallrave dhe shërbimeve që blehen.
48
Indeksi i Çmimeve të Konsumit
CPI daton nga viti 1913 dhe është publikuar
rregullisht që nga viti 1921.(SHBA)
Periudha bazë ka ndryshuar disa herë për
shkak të ndryshimit të shprehive të mallrave
të konsumuara të cilat kanë ndryshuar në
mënyrë drastike gjatë kohëve të fundit.
(SHBA)
49
Indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK)
Përdorimi i IÇK :
Iu mundëson konsumatorëve që të përcaktojnë
efektet e rritjes së çmimeve në fuqinë e tyre
blerëse.
Është matës për të rishikuar pagat, pensionet,
pagesat për ushqim, etj.
Është një tregues ekonomik për normën e
inflacionit në shumë shtete.
Përmes tij llogariten të ardhurat reale:
Të ardhurat reale = të ardhurat në para / IÇK x100
50
INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT
(IÇK)/Kosovë
Enti i Statistikës së Kosovës (ESK) Indeksin e
çmimeve të konsumit (IÇK) ka filluar ta publikoj
në shtator të vitit 2002.
Çmimet e konsumit kanë filluar të mblidhen në
muajin maj të vitit 2002 i cili konsiderohet muaji
bazë. Çmimet mblidhen prej datës 10 deri 20 të
muajit në 10 qendra të Kosovës.
ESK nga shtatori 2002 ka publikuar në baza
mujore dhe dhe në baza vjetore Indeksin e Çmimit
të Konsumit.
51
INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT
(IÇK)/Kosovë
Nga janari i vitit 2006, IÇK kalkulohet me
peshat, të dhënat mbi konsumin e
realizuar për periudhën qershor 2002 –
dhjetor 2004.
Grumbullimi i të dhënave tani bëhet nga
dhjetë komuna (vendbanime urbane dhe
rurale), për 210 artikuj të klasifikuar sipas
COICOP-it .
52
INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT
(IÇK)/Kosovë
COICOP Classification of Individual
Consumption According to Purpose
(United Nations statistical methodology)
COICOP Klasifikimi i konsumit individual
në bazë të qëllimeve. Metodologjia
Statistikore e Kombeve të Bashkuara në
bazë të qëllimeve
53
COICOP COICOP
01-12 - Shpenzimet e konsumit individual për familje.
01 – Ushqimi dhe pijet joalkholike.
02 – Pijet alkoholike, cigaret dhe narkotikët.
03 – Veshmbathja
04 – Banimi, uji, energjia elektrike, gasi dhe lëndë të tjera djegëse.
05 – Mobiljet, pajisjet shtëpikake dhe mirëmbajtja e vazhdueshme e shtëpisë.
06 – Shëndeti
07 - Transporti
08 - Komunikimi
09 – Kultura dhe rekreacioni
10 - Arsimimi
11 – Restorane dhe hotelet
12 –Mallra dhe shërbime të ndryshme.
13 – Shpenzimet e konsumit individual për instiucione jo-përfituese që shërbejnë për familje.
14 - Shpenzimet e konsumit individual nga qeveria në përgjithësi.
Treguesit e tjerë ekonomik
Treguesit e strukturës
Treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit
a) Niveli
b) Shtimi Absolut
c) Ritmi i zhvillimit
d) Norma mesatare e zhvillimit
54
Treguesit e strukturës
Treguesit e strukturës prezantojnë strukturën e
dukurisë së hulumtuar në një moment të
caktuar. Gjinden përmes formulës:
55
100P
ST
P Pjesa
T Tërësia
56
Shembuj të tjerë
Shembull. Në vitin 1990 shitjet e kompanisë
Johnson and Johnson Co të shprehura në
million ishin 1 461 $, në vitin 1995 shitjet ishin
rritur në 2 403 milionë $ kurse në vitin 1996
shitjet ishin 2 887 milionë $. Duke shfrytëzuar
vitin 1990 si bazë gjeni indeksin e thjeshtë
për ndryshimet në shitje të kësaj kompanie
për vitin 1995 dhe 1996 duke u bazuar në
shitjet e vitit 1990.
57
Shembuj të tjerë
Shembull. Shitjet vjetore për disa korporata multinacionale të zgjedhura janë:
Shprehni shitjet vjetore te GM ne indekse duke shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë. Interpretoni rezultatin.
Shpreh shitjet vjetore te Daimler-Chrysler në indekse duke shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë.Interpreto rezultatin.
KOMPANIA GM EXXON FORD IBM DAIMLER-
CHRYSLER
Shitjet në million $ 101 781 76 416 71 643 54 217 26 257
58
Shembuj të tjerë
Shembull. Prodhimtaria e firmës “Agroni Co” – e shprehur në tonë- gjatë peridhuës kohore 1999 –2003 ka qenë si vijon:
Llogaritni indekset bazë – viti 1999 si bazë
Llogaritni indekset bazë – viti 2002 si bazë
Llogaritni indekset zinxhir
Paraqitni grafikisht indekset
Interpretoni rezultatet
VITET 1999 2000 2001 2002 2003
Prodhimi-në 000
tonë
10 15 12 16 11
59
Shembuj të tjerë
Shembull. Firma “Drita” gjatë muajit janar të vitit 2008 dhe 2009 ka realizuar këtë prodhimtari:
Përcaktoni indeksin e vlerës
Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe sasisë
Përcaktoni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë
Komentoni rezultatet
PRODUKTET E SHITURA 2008 2009
Çmimi Sasia Çmimi Sasia
Kukulla me veshje kombëtare 20 100 30 120
Veshje kombëtare 15 200 20 300
Qilima të vegjël 30 300 30 400
Lodra për fëmijë 10 500 8 400
1
Metodat e analizës
dinamike
Seritë kohore
2
Metodat e analizës dinamike/Analiza e serive kohore
Qëllimet:Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Dini disa nga metodat e analizës dinamike
Kuptoni faktorët /komponentët e serive kohore si trendi, variacionet
ciklike, variacionet sezonale dhe variacionet e parregullta
Vlerësoni parametrat e trendit linear, parabollik dhe eksponencial.
Përdorni metodat e zbutjes variacioneve të serive kohore me qëllim
të vështrimit të tendencës kryesore të zhvillimit të dukurisë
Llogaritni indekset sezonale , të vlerësoni ndikimimin e komponentës
së sezonës dhe të eliminoni ndikimet sezonale në seritë statistikore
kohore.
3
Seritë kohore/kronologjike
Analiza e serive kohore është një fushë e veçantë e statistikës e cila është zhvilluar me një hov të madh pas viteve të 1970-ta.
Seritë kohore paraqesin nivelin e të dhënave numerike për dukuritë e ndryshme të cilat janë të rregulluara me renditje kronologjike në periudha të rregullta kohore.
Seritë kohore përmbajnë të dhëna numerike të siguruara në intervale të rregullta kohore.
Intervalet kohore mund të jenë vjetore, kuartale, javore, ditore dhe në orë.
Shembull:Vitet 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Shitjet 75,3 74.2 78,5 79,7 80,2 81.5
4
Komponentët e serive kohore
Analiza e serive kohore në funksion të kohës niset nga
supozimi se në ndryshimin e dukurive të vrojtuara
gjatë kohës kanë ndikim katër komponenta/faktorë:
Trendi- tendenca zhvillimore e dukurisë në afat të
gjatë
Variacionet ciklike, - lëkundjet në afat më të gjatë
se një vjet,
Variacionet sezonale- lëkundjet në afat të shkurtë
brenda një viti.
Variacionet e parregullta/reziduale- si variacione
të rastësishme.
5
Komponentët/faktorët e serive kohore
Seritë kohore
Variacionet
ciklike
Variacionet e
rastësishme
Trendi
Variacionet
sezonale
6
Komponenta e trendit
Rritja ose zvogëlimi në afat të gjatë kohës (lëvizjet e përgjithshme lartë ose poshtë)
Të dhënat merren për periudha të gjata kohore,
Shitjet
Koha
7
Trendi linear në rënie
Komponenta e trendit
Trendi mund të jetë në rritje ose në rënie
Trendi mund të jetë linear ose jolinear
Shitjet
KohaTrendi jolinear në rritje
Shitjet
Koha
(vazhdim)
8
Komponenta sezonale
Lëkundjet në rënie ose në rritje.
Paraqitje e rregullt.
Vështrohen brenda një viti.
Shitjet
Koha (Mujore ose në kuartal)
Vera
DimriPranvera Vjeshta
9
Komponenta ciklike
Lëkundje në afat të gjatë;
Ndodhin rregullisht por dallojnë në gjatësi;
Zakonisht maten prej maje në maje.
Shitjet
1 Cikël
Viti
10
Komponenta e rastësishme
Fluktuacione të paparashikueshme, të
rastësishme “reziduale”
Për shkak të variacioneve të rastësishme:
Natyra
Aksidentet ose ngjarjet e jashtëzakonshme.
11
Kopmonentet e serive kohore
Nuk është e domosdoshme që çdo seri
kohore ti ketë të katër komponentët, mirëpo
të gjitha përmbajnë komponentin e
rastësishme.
Një seri statistikore mund të mos ketë
asnjërën nga komponentët, njërën, të dy ose
tri.
Seria që prezanton të dhënat vjeçare nuk
mund të përmbajë komponentët sezonale.
12
Kopmonentet/Përbërësit e serive kohoreFaktorët që ndikojnë në ndryshimin e dukurisë gajtë periudhës kohore.
Komponenta
Përbërësit
Definicioni Arsyet e paraqitjes Koha e zgjatjes
Trendi
(T)
Tendenca zhvillimore e ndonjë
dukurie ( rritja ose rënia) në
periudhën e vështruar
Ndryshimi i teknologjisë,
popullsisë, pasurisë,
vlerave
Më shumë kohë (muaj,
vjet, etj)
Variacionet
sezonale
(S)
Përafërsisht fluktuacione
periodike të rregullta të cilat
paraqiten gjatë muajit të caktuar
ose periudhës kuartale prej viti në
vit.
Kushtet kohore, zakonet
shoqërore, zakone
fetare, pushimet
shkollore.
Gjatë muajve të caktuar
ose kuartalëve (mujore
ose kuartale)
Variacionet
ciklike
(C)
Përsëritja e lëvizjes nëpër katër
faza: nga maja (prosperiteti) kah
zvogëlimi (recesioni) nga poshtë
(depresioni) kah ekspanzioni).
Ndërveprimi i shumë
kombinimeve të
faktorëve që ndikojnë në
ekonomi.
Zakonisht më shumë
vjet, me intenzitet të
ndryshueshëm për një
cikël komplet.
Variacionet
reziduale/të
rastsësishme
( R )
Të rastësishme, dhe të tjera
flukuacione që gjinden në seri
përveç T C, S .
Variacionet e
rastësishme, si dhe
variacionet për shkak të
ngjarjeve të papritura si
grevat, vërshimet.
Zgjasin shkurt pa
përsëritje
13
Variacionet e serive kohore
Trendi
Variacionet e
parregullta
Variacionet sezonale
90
89
88
Ciklet
14
Seritë kohore dhe parashikimi
Qëllimi kryesor i analizës së serive kohore
është prognozimi / parashikimi i vlerave të
dukurisë në të ardhmen.
Supozimi themelor gjatë prognozimit në
analizën e serive kohore është :
Faktorët që kanë ndikuar në nivelin e
dukurisë në të kaluarën dhe në të
tashmen do të veprojnë në të njëjtën
mënyrë edhe në të ardhmen dhe nuk do të
ketë ndikim të faktorëve të tjerë.
15
Seritë kohore vjetoreTrendi
Trendi është tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së vështruar.
Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar.
Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë
16
Trendi Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar
matematikor dhe mund të jetë linear, parabollik dhe eksponencial.
Jo sezonal Sezonim Shtesë Sesonim multiplikativ
Nivel
konstant
Trendi
linear
Trendi
eksponencial
Trendi
jolinear/
Parabolës
17
Trendi
Në hulumtimin e tendencës së zhvillimit të
dukurisë duhet:
Faza e parë: duhet të shikohet se a ekziston
trendi, përmes paraqitjes grafike në diagramin e
serisë kohore. Shumë subjektive.
Faza e dytë: Zgjedhet funksioni adekuat që i
përgjigjet më së miri të dhënave: linear, jolinear
përmes:
a) paraqitjes grafike;
b) metodës së dallimeve/diferencave;
c) metodës së zbutjes së variacioneve.
18
Trendi
Metoda e dallimeve (diferencave) bazohet në llogaritjen e dallimeve në mes të vlerave individuale të të dhënave. Në bazë të saj zgjedhim metodën e trendit.
Trendi linear i përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë.
Yc= a + bx
Trendi i parabollës zgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:
Yc = a+bx+cx2
Trendi eksponencial sipas kësaj metode zgjedhet atëherë kur dallimet e vlerave logaritmike të serisë kohore janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:
Yc =a * bx
19
Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të
diferencave/dallimeve.
Modeli i Trendit Linear përdoret nëse
diferencat e para janë pak a shumë konstante.
Modeli i Trendit të Parabolës përdoret nësediferencat e dyta janë pak a shumë konstante.
2 1 3 2 1n nY Y Y Y Y Y
3 2 2 1 1 1 2n n n nY Y Y Y Y Y Y Y
20
Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të
diferencave/dallimeve.
3 2 12 1
1 2 1
100% 100% 100%n n
n
Y Y Y YY Y
Y Y Y
Modeli i Trendit Eksponencial përdoret
nëse diferencat në përqindje janë pak a
shumë konstante.
(vazhdim)
21
Trendi linearEkuacioni i trendit në afat të gjatë (linear) vlerësohet përmes metodës së katrorëve më të vegjël për kohën X dhe është:
Yc– është vlera e projektuar e variablës Y për vlerën e selektuar të
kohës X
a – është vlera e vlerësuar e Y kur X=0
b- është pjerrësia e vijës së trendit, ose ndryshimi mesatar në Yc
për çdo ndryshim në një njësi të X (pozitive ose negative).
X – çdo vlerë e kohës që është selektuar.
cY a bx
18-5
22
Ekuacioni i trendit linear
2
Y na b X
XY a X b X
cY a bx
2
Ya
n
XYb
X
Kur përdoret
metoda e lehtësimeve\
ΣX=0
2 2
( )( )
( )
n XY Y Xb
n X X
Y Xa b
n n
Kur përdoret
metoda e e kodimit prej
vitit të parë
ΣX≠0
23
Gabimi standard i trendit
Me rastin e vlerësimit të zgjedhjes së
funksionit adekuat të trendit i cili më së miri i
përgjigjet të dhënave, shpesh shfrytëzohet
gabimi standard i trendit:
2
1
( )
c
n
i c
iY
Y Y
n
Yi – të dhënat origjinale
Yc – të dhënat e vlerësuara të Y
n – numri i viteve
24
Shembull 1
Përcaktoni ekuacionin e trendit duke shfrytëzuar metodën e katrorëve më të vegjël. Vlerësoni shitjet e firmës për vitin 2014 (Ekstrapolimi i vlerave të trendit)
18-7
Vitet 2005 2006 2007 2008 2009
Shitjet (0000 $) 7 10 9 11 13
Paraqitja grafike e te dhenave origjinale
25
0
2
4
6
8
10
12
14
2005 2006 2007 2008 2009
Sh
itje
t (0
000$)
Vitet
Shitjet ne 0000$ (2005=2009)
26
Shembull 1- vazhdim
Vitet Shitjet
(00000)
(Y)
X
(Kodimi i
viteve)
XY Yc
2005 7 -2 -14 4 7,4
2006 10 -1 -10 1 8,7
2007 9 0 0 0 10
2008 11 1 11 1 11,3
2009 13 2 26 4 12,6
Gjithsej: 50 ∑X=0 13 10 50,0
2X
27
Shembull 1-vazhdim
2
Y na b X
XY a X b X
50 5 50 5 10
1313 0 10 1,3 1,3
10
a b o a a
a b b b
10 1,3cy x
Yc a bx
28
Ekuacioni i trendit përmes formulave kur përdoret
metoda e lehtësimeve
2
5010 10
5
131,3 1,3
10
Ya a
n
XYb b
X
10 1,3cy x
29
Shembull 1 vazhdim /Interpolimi dhe
ekstrapolimi i vlerave të trendit
10 1,3cy x
2005
2006
2007
2008
2009
10 1,3 10 1,3 ( 2) 7,4
10 1,3 10 1,3 ( 1) 8,7
10 1,3 10 1,3 (0) 10
10 1,3 10 1,3 (1) 11,3
10 1,3 10 1,3 (2) 12,6
c
c
c
c
c
y x
y x
y x
y x
y x
2014 10 1,3 10 1,3 (7) 10 9,1 19,1cy x
Interpolimi i Vlerave
të trendit
Ekstrapolimi i vlerave të trendit
Paraqitja grafike e të dhenave origjinale dhe e vijës së trendit
30
0
2
4
6
8
10
12
14
2005 2006 2007 2008 2009
Sh
itje
t (0
000$)
Vitet
Te dhenat origjinale dhe vija e trendit
Vija e
trendit
Te dhenat
origjinale
31
Interpolimi dhe Ekstrapolimi i trendit
Interpolimi i trendit është llogaritja e
vlerave të trendit brenda intervaleve kohore
të përfshira në serinë kohore
Ekstrapolimi i trendit është zgjatja e vijës
së trendit jashtë intervaleve kohore të
përfshira në serinë kohore, qoftë në të
ardhmen qoftë në të kaluarën.
Ekstrapolimi përdoret për të parashikuar
zhvillimin e dukurisë në të ardhmen
32
Ekstrapolimi i trenditPër të qenë relativisht i suksesshëm ekstrapolimi i trendit
duhet të plotësohen disa kushte:
Faktorët që kanë ndikuar në lëvizjen e dukurisë në periudhën e
vështruar duhet që edhe më tutje të veprojnë përafërsisht me
intensitet të njëjtë, në drejtim të njëjtë dhe pa ndikim të
theksuar të faktorëve të tjerë.
Për ekstrapolim të suksesshëm është e nevojshme që të kemi
seri kohore relativisht të gjata.
Nëse është fjala për projeksione të dukurive ekonomike,
prognoza që bëhet në kohën e afarizmit stabil është më e
saktë dhe më e besueshme në krahasim me ato që bëhen nga
koha me ndryshime të shpeshta dhe të papritura të ambientit
afarist.
33
Ekstrapolimi i trendit
Nëse seria ka variabilitet të theksuar ciklik, ose kthesa të mëdha në zhvillimin e saj, nuk është e preferuar që të bëhet prognozimi.
Prognozimi i më shumë agregateve ekonomikë (themi e tërë dega) është më i besueshëm se sa prognozimi i variablave ekonomike vetëm të një firme.
Me të gjitha kufizimet e përmendura, vlera e prognozuar e trendit mund të kuptohet si “pamje mesatare e së ardhmes”, si projeksion mekanik, sepse vlerat të cilat gjinden pikërisht në vijën e trendit tregojnë vlerësimet mesatare të serisë së dhënë.
34
Gabimi standard i trendit linear
Vitet Shitjet
(00000)
(Yi)
X Yc Yi-Yc (Yi-Yc)2
2005 7 -2 7,4 -0,4 0,16
2006 10 -1 8,7 1,3 1,69
2007 9 0 10 -1 1
2008 11 1 11,3 -0,3 0,09
2009 13 2 12,6 0,4 0,16
Gjithsej: 50 0 50,0 0 3.1
2
1
( )
3,10,7874
5
c
n
i c
iY
Y Y
n
35
Trendi i parabollës
Modeli i parabollës ose “Polinomi i shkallës së dytë” ëshë modeli më i thjeshtë nga modelet jo lineare .
Duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, funksioni trendit të parabollës është:
a- Vlera e vlerësuar e yc- kur x=o
b- efekti i vlerësuar linear në Yc
c- efekti i vlerësuar jolinear në Yc
Yc=a+bx+cx2
36
Modeli i parabolës
Yc
k
c < 0
(a)
Yc
k
c< 0
(b)
37
Modeli i parabolës
Yc
k
c > 0
(c)
Yc
k
c > 0
(d)
38
Trendi i parabollës
Ekuacioni i trendit të parabollës është:
Yc=a+bx+cx2
Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave a, b dhe c sipas
metodës së katrorëve më të vegjël janë:
2
2 3
2 2 3 4
y na b x c x
xy a x b x c x
x Y a x b x c x
39
Trendi i parabollës
Formulat për gjetjen e parametrave a, b dhe c kur
përdoret metoda e lehtësimeve, gjegjësisht kur ∑X=0
janë:4 2 2
4 2 2
2
2 2
4 2 2
y x x yxa
n x x x
xyb
x
n yx x yc
n x x x
40
Shembull 2
Për të dhënat në vijim përcaktoni ekuacionin
e trendit të parabolës përmes metodës së
katrorëve më të vegjël.
Vitet 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Gjithsej:
Y 2 3 5 6 9 13 17 55
41
Shembull 2-vazhdim
Vitet (Y) X XY X2 X3 X4 X2y Yc
2002 2 -3 -6 9 -27 81 18 2,305
2003 3 -2 -6 4 -8 16 12 2,98
2004 5 -1 -5 1 -1 1 5 4,385
2005 6 0 0 0 0 0 0 6,5
2006 9 1 9 1 1 1 9 9,305
2007 13 2 26 4 8 16 52 12,8
2008 17 3 51 9 27 81 153 16,905
Gjithsej: 55 0 69 28 0 196 249 55,18
42
Shembull 2-vazhdim
2
2 3
2 2 3 4
y na b x c x
xy a x b x c x
x Y a x b x c x
55 7 0 28
69 0 28 0
249 28 0 196
a b c
b c
a b c
55 7 28
6969 28 2,46
28
249 28 196
a c
b b
a c
55 7 28
249 28 196 / : ( 4)
55 7 28
62,25 7 49
7,25 21 ( 1)
7,257,25 21 0,345
21
a c
a c
a c
a c
c
c c
43
Shembull 2-vazhdim
55 7 28
55 7 28 0,345
55 7 9,66
55 9,66 7
45,34 7
45,346,477 6,5
7
a c
a
a
a
a
a
6,5
2,46
0,345
a
b
c
26,5 2,46 0,345cy x x
44
Shembull 2-vazhdim
Llogaritja e parametrave a, b dhe c përmes formulave kur përdoret
metoda e lehtësimeve:
4 2 2
4 2 2
2
2 2
4 2 2
55 196 28 2496,47 6,5
7 196 28 28
692,46
28
7 249 28 550,345
7 196 28 28
y x x yxa
n x x x
xyb
x
n yx x yc
n x x x
45
Shembull 2-vazhdim
Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trnedit .
26,5 2,46 0,345cy x x
2002
2008
6,5 2,46 ( 3) 0,345 (9) 2,305
............................
.............................
6,5 2,46 (3) 0,345 (9) 16,905
c
c
y
y
20136,5 2,46 (8) 0,345 (64) 48,26cy
Interpolimi i Vlerave
të trendit
Ekstrapolimi i vlerave të
trendit
Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe e trendit te parabolles
46
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Te d
hen
at
Vitet
Te dhenat origjinale dhe trendii parabolles
Vija e
trendit
Te dhenat
origjinale
47
Trendi logaritmik-eksponencial
Kur të dhënat numerike të serive kohore kanë një rritje me një shkallë rritëse si diferencë nga viti në vit që është konstante, ne mund të përdorim një ekuacion të trendit eksponencial si në vijim:
m – Yc e vlerësuar kur X=0
n - norma e vlerësuar vjetore mesatare (në përqindje)
X- periudha kohore
x
cy m n
48
Trendi logaritmik-eksponencial
Nëse logaritmojmë të dy anët e ekuacionit fitojmë ekuacionin
logaritmik
Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave m dhe n janë:
log log logcY m x n
18-9
2
log log log
log log log
y n m x n
x y x m x n
49
Shembull 3
Shitjet për periudhën pesëvjeçare të firmës
që merret me shitjen e softverëve janë rritur
si në tabelën vijuese .
a)Përcaktoni ekuacionin logaritmik
b) Mesatarisht sa përqind janë rritur shitjet
për çdo vit gjatë periudhës.
c) Vlerësoni shitjet për periudhën 2014.
Vitet Shitjet
(0000$)
2005 1.1
2006 1.5
2007 2.0
2008 2.4
2009 3.1
Gjithsej 10.1
50
Shembull 3 vazhdim
Vitet Shitjet
(0000$)
x logy xlogy x2 logyc yc
2005 1.1 -2 0,0414 -0,083 4 0,088 1,2246
2006 1.5 -1 0,176 - 0,176 1 0,183 1,524
2007 2.0 0 0,301 0 0 0,278 1,8967
2008 2.4 1 0,380 0,380 1 0,373 2,3605
2009 3.1 2 0,491 0,983 4 0,468 2,9376
Gjithsej 10.1 0 1,39 0,951 10 9,9434
log 0,278 0,095cy x
51
Shembull 3 vazhdim
1,39 7 log 0 log
0,951 0 log 10log
1,391,39 7 log log 0,278
5
0,9510,951 10log log 0,095
10
m n
m n
m m
n n
log 0,278 0,095cy x
52
Shembull 3 vazhdim
log 0,278 0,095cy x
log 0,278 / log; 1,8967 1,9
log 0,095 / log; 1,2445 1,24
m anti m m
n anti n n
n=1,24 - 1 = 0,24 X 100 = 24% ose 1,24 x100=124-100=24%
Kjo do të thotë se norma mesatare vjetore e shtimit të prodhimit është 24%.
1,9 1,24x
cy
53
Shembull 3 vazhdim/Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trendit
log 0,278 0,095cy x
2005
2009
log 0,278 0,095 ( 2) 0,088 / log 1,2246
..........................................................
....................................................
log 0,278 0,095 (2) 0,468 / log 2,9
c
c
y anti
y anti
376
2014 log 0,278 0,095 (7) 0,943/ log 8,770cy anti
Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe vijes se trendit eksponencial
54
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2005 2006 2007 2008 2009
Sh
itje
t (0
000$)
Shitjet dhe vija e trendit eksponencial
Vija e
trendit
Te dhenat
origjinale
55
Mesatarja rrëshqitëse
Përdoret për zbutjen e variacioneve ciklike,
sezonale, etj.
Seri e mesatareve aritmetike gjatë tërë
kohës.
Rezultatet varen nga zgjedhja e periudhës
për llogaritjen e mesatareve.
Për seritë kohore vjetore numri i viteve për
mesatare aritmetike duhet të jetë numër tek.
56
Mesatret rrëshqitëse
Mesatarja rrëshqitëse me tri të dhëna
Mesatarja e parë:
Mesatarja e dytë:
1 2 31(3)
3
X X XM
2 3 42 (3)
3
X X XM
(vazhdim)
........................
57
Mesatarja rrëshqitëse-Shembull
Vitet Njësitë Mest.rrq.
2000 2 -
2001 5 3
2002 2 3
2003 2 3.67
2004 7 5
2005 6 -
Zgjimi është ndërtues i shtëpive me një rekord prej 24 shtëpive familjare të ndërtuara gjatë periudhës gjashtë vjeçare. Pajis Zgjimin me grafikun me mesatare rrëshqitëse me tri vjet.
58
Mesatare rrëshqitëse-shembull
Viti Njësitë Mesatare
rrëshq.
2000 2 -
2001 5 3
2002 2 3
2003 2 3.67
2004 7 5
2005 6 -' „01 „02 „03 „04 „05
8
6
4
2
0
Njësitë
Gj = 3
59
Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore
Variacionet sezonale, Për afërsisht fluktuacione
periodike të rregullta të cilat paraqiten gjatë
muajit të caktuar ose periudhës kuartale prej viti
në vit.
Arsyet e paraqitjes: Kushtet kohore/klimatike,
zakonet shoqërore, zakone fetare, pushimet
shkollore.
Koha e paraqitjes: Gjatë muajve të caktuar ose
kuartalëve (mujore ose kuartale)
60
Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore
Indekset stinore llogarisin lëkundjet stinore
sipas muajve apo kuartalëve për dukurinë e
hulumtuar.
Indekset stinore janë tregues relativ të cilët
tregojnë ndikimin mesatar të sezonës në
muajin e caktuar apo në kuartalin e caktuar
përgjatë disa viteve.
Indekset stinore Shembull
Tremujorët/
Kuartalet
Prodhimi (T) sipas viteve dhe kuartalëve
2006 2007 2008
I 50 56 59
II 23 30 40
III 54 57 63
IV 102 120 150
Gjithsej 229 263 312
61
Shembull: Konsumi i patates (tonë) në një komunë sipas tremujorëve gjatë tri
viteve ka qenë si vijon:
62
Indekset stinoreShembull-vazhdim
Tremujo
rët
Vitet Gjithsej
Prdhimi
Mesatarja
tremujoreIndekset
stinore2006 2007 2008
I 50 56 59 165 55 82,08
II 23 30 40 93 31 46,26
III 54 57 63 174 58 86,56
IV 102 120 150 372 124 185,07
Gjithsej 229 263 312 804 268 399.97≈
4001
n
i
i
X
X
63
Indekset stinoreShembull-vazhdim
Së pari llogarisim nivelin mesatar tremujor të
tre vjetëve:
1
1
1
50 56 59 16555
3 3
23 30 40 9331
3 3
.................................................
n
i
i
i
n
i
i
I i
n
i
i
II i
X
Xn
X
Xn
X
Xn
64
Indekset stinore Shembull-vazhdim
Së dyti llogarisim mesataren e përgjithshme
tremujore për tri vjet:
55 31 58 124 26867
4 4
80467
12
p
p
X tona ose
X tone
Indekset stinore Shembull-vazhdim
65
100;is
P
i
P
XI
X
X niveli mesatar i cdokuartali
X niveli mesatar i pergjitshem
Së treti , llogarisim indekset stinore:
66
Indekset stinoreShembull-vazhdim
55100 82,08
67
31100 46,26
67
58100 86,56
67
124100 185,07
67
I s
II s
III s
IV s
I
I
I
I
Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve
Meqenëse indekset sezonale varirojnë rreth
100, nëse analizojmë të dhënat për kuartal,
shuma e tyre duhet të jetë 400, derisa shuma
e indekseve sezonale për një vit është e
barabartë me 1200.
Nëse indeksi sezonal është më i madh se
100, atëherë themi se sezona ka pasur
ndikim pozitiv në zhvillimin e dukurisë.
Nëse indeksi stinor është më i vogël se 100,
atëherë sezona ka pasur ndikim negativ në
zhvillimin e dukurisë
67
Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve
Nëse në dukuri nuk ka faktorë sezonal, atëherë
të gjithë indekset do të ishin rreth 100,
gjegjësisht 100%.
Sa mëimadh që është variacioni në raport me
100, atëherë ndikimi i sezonës është më i madh.
Në shembullin tonë, të gjitha indekset dallojnë
nga 100, kështu që mund të themi se ka ndikim
sezona në konsumin e patates. Ndikimi më i
madh shihet gjatëk uartalit të katërt ku indeksi
sezonal tejkalon 100 për 85.07%
68
KONCEPTET KYÇE
Seri kohore
Trendi
Variacione ciklike
Variacione sezonale
Variacione te
rastësishme
Trendi linear
Trendi i parabollës
Trendi eksponencial
Gabimi standard i
trendit
Interpolimi i vlerave
të trendit
Ekstrapolimi i vlerave
të trendit
Mesataja rrëshqitëse
Indekset stinore
69
1-1
Analiza e Regresionit dhe Korrelacionit
Qëllimet: Në fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :
Kuptoni rolin dhe rëndësinë e analizës së regresionit dhe
korrelacionit si dhe dallimet në mes të tyre
Kuptoni dhe interpretoni termet variabël e varur dhe variabël e pavarur.
Dini kuptimin e koeficienteve të regresionit linear a dhe b
Shfrytëzoni analizën e regresionit për të parashikuar/vlerësuar
variablën e varur të bazuar në variablën e pavarur.
Kalkuloni dhe interpretoni koeficientin e korrelacionit, koeficientin e determinacinit dhe aleancës.
Analiza e regresionit
• Analiza e regresionit: studimi i lidhjeve gjegjësisht raporteve apo marrëdhënieve në mes të dy apo më shumë variablave.
• Analiza e regresionit: një prej mjeteve më të shfrytëzuar për analizën e biznesit dhe fenomeneve të tjera shoqërore dhe ekonomike.
• Analiza e regresionit : E lehtë për tu përdorur dhe e aplikueshme në shumë situata.
Analiza e regresionit
• Regresion i thjeshtë : një variabël e shpjegueshme dhe mund të jetë regresion linear dhe jolinear.
• Regresioni multivariabël: përfshin disa variabla të shpjegueshme.
Analiza e regresionit linear
• Analiza e regresionit është teknikë që përdoret për të zhvilluar ekuacionin për vijën e drejtë për të bërë parashikime.
• Ekuacioni i regresionit është ekuacion që definon raportet në mes të dy variablave dhe shfrytëzohet për të vlerësuar variablën e varur (Y) të bazuar në variablën e pavarur(X).
• Variabla e varur (Y) është variabla e projektuar ose e vlerësuar.
• Variabla e pavarur (X) është variabla që siguron bazën për vlerësim.
1-2
Analiza e regresionit
• Analiza e regresionit përdoret për të :
Parashikuar vlerën e variablës së varurtë bazuar në më së paku në një variabël të pavarur.
Shpjeguar efektet e ndryshimit të variablës së pavarur në variablën e varur.
Variabla e varur: variabla që ne dëshirojmë të parashikojmë ose ta shpjegojmë-sqarojmë.
Variabla e pavarur: variabla e përdorur për të shpjeguar variablën e varur.
Modeli i thjeshtë i regresionit linear
Vetëm një variablël e pavarur , X.
Raportet në mes të X dhe Y përshkruhen përmes funksionit linear .
Ndryshimet në Y supozohet që ndodhin për shkak të ndryshimeve në X
Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
Raporte/lidhje lineare Raporte/lidhje jolineare
Skater diagrami-diagrami shpërndarës
Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
Raporte/lidhje të forta Raporte/lidhje të dobëta
(vazhdim)
Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y
Y
X
Y
X
Nuk ka kurrfarë raporte/lidhje në mes të X dhe Y (vazhdim)
iY a bx εc
Komponenta lineare
Modeli i thjeshtë i regresionit linear
Ndërprerjen
e boshtit Y
Koeficienti
i pjerrësisë
Shenja për
gabimin e
rastësishëmVariabla e
varur
Variabla e
pavarur
Komponenta e
gabimit të rastësishëm
(vazhdim)
Gabimi i
rastësishëm për
vlerën e Xi
Y
X
Vlera e vrojtuar
e Y për Xi
Vlera e
parashikuar e
Y për Xi
iY a bx εc
Xi
Pjerrësia = b
Prerja = a
εi
Modeli i thjeshtë i regresionit linear
Metoda e katrorëve më të vegjël
• Parametrat a dhe b sigurohen përmes
gjetjes së vlerave a dhe b që
minimizojnë shumën e devijimeve të
ngritura në katror në mes të Yi dhe Yc:
2
i
2
i
(Y ) min, ,
(Y (a bX) min
cY gjegjesisht
Analiza e regresionit
Ekuacioni i regresionit:
Yc= a + bx, ku:
• Yc është vlera mesatare e projektuar e Yc
për ndonjë vlerë të X.
• a- vlera e vlerësuar e y kur x=0
• b – është pjerrësia e vijës, ose ndryshimi mesatar në Yc për çdo njësi të ndryshuar të X.
• Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a & b:
1-3
Analiza e regresionit/ metoda e katrorëve më të vegjël
2
Y na b X
XY a X b X
bn XY X Y
n X X
aY
nb
X
n
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
1-4
Shembull 1.
• Firma “Mobileria” është biznes familjar i cili për kohë të gjatë ju ka shitur firmave tregtare me pakicë produktet e veta . Ata vazhdimisht reklamojnë mallin e tyre përmes radios dhe televizionit duke theksuar çmimet e ulëta dhe kushtet e mira të kreditimit. Pronari i firmës dëshiron të rishikojë raportet në mes të shitjes dhe shumës së shpenzuar për reklamim. Më poshtë janë dhënë informatat për shitjet dhe shpenzimet e reklamimit për katër muajt e
fundit.Muajt Shp. e
reklamës (në milionë dollarë)
Të Hyrat nga
shitja ( në milionë dollarë )
Shtator 2 7
Tetor 1 3
Nëntor 3 8
Dhjetor 4 10
Shembull 1-vazhdim
• a) Pronari dëshiron të planifikojë shitjet në bazë të shpenzimeve të reklamës. Cila është variabël e varurdhe cila është variabël e pavarur .
• b) Vizatoni skater diagramin(diagramin shpërnadarës);
• c) Përcaktoni ekuacionin e regresionit.
• d) Interpretoni vlerat e a-së dhe b-së .
• e) Vlerësoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.
Shembull 1-vazhdim
• a) Shpenzimet e reklamës=X- variabël e pavarur
Të hyrat nga shitja =Y- variabël e varur
Skater diagrami – diagrami shpërndarës
Të hyrat nga shitja dhe shpenzimet e reklamës
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5Shpenzimet e reklamës (X)
Të h
yra
t n
ga s
hit
ja (
Y)
Shembull 1-vazhdim/ ekuacioni i regresionit
Muajt X Yi Y X X2 Yc
Shtator 2 7 14 4 5,9
Tetor 1 3 3 1 3,7
Nëntor 3 8 24 9 8,1
Dhjetor 4 10 40 16 10,3
Gjithsej: 10 28 81 30 28
2
Y na b X
XY a X b X
28 4 10 / ( 3)
81 10 30
84 12 30
81 10 30
3 2 / ( 1)
33 2 1,5
2
1,5
a b
a b
a b
a b
a
a a
a
Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit
28 4 10
28 4 1,5 10
28 6 10
28 6 10
22 10
2, 2
a b
b
b
b
b
b
1,5 2,2cy x
2 2
2
28 102,2 1,5
4 4
( )
( )
4 81 10 282,2
4 30 10
y xa b
n n
n x y x yb
n x x
b
1,5 2,2cy x
Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit
d) a=1,5 kur x=0
• b- ndryshimi mesatar në Yc për ndryshim të një vlerë të X-it.
• b=2,2 – kjo do të thotë se një rritje prej 1 milion dollar për reklamë do të rezultojë në rritje të të hyrave për 2,2 milionë dollarë
e) Yc=1,5+2,2(3,5)=9,2
Interpretimi i koeficientit/parametrit a
• a është vlera mesatare e vlerësuar e Yc kur
vlera e x është zero.
· Këtu në shembullin tonë do të thotë se nëse
firma nuk harxhon për reklamë, gjegjësisht
shpenzimet e reklamës janë zero, atëherë
të hyrat nga shitja janë 1,5 , gjegjësisht 1
500 000$ (1,5 * 1 000 000 $)
Te hyrat nga shitja 1,5 2.2 (shpenzime te reklames)
Y 1,5 2.2c x
Interpretimi i koeficientit të pjerrësisë, b
• b - mat ndryshimet e vlerësuara në vlerën
mesatare të Yc si rezultat i ndryshimit të një
njësie të X.
Këtu në shembullin tonë b = 2,2 tregon se vlera
mesatare e të hyrave nga shitja do të rritet për
2 200 000$, (2.2 *1 000 000=2 200 000$),
në mesatare, për çdo 1 milion dollarë shtesë për
reklamë.
Te hyrat nga shitja 1,5 2.2 (shpenzime te reklames)
Y 1,5 2.2c x
1.5 2.2
Te hyrat nga shitja 1.5 2.2 (shpenzime te reklames)
1.5 2.2(3.5)
9.2
Yc a bx
Yc x
•Vlerësoni /parashikoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.
Vlera e parashikuar e te hyrave nga shitja me 3,5 milion dollarë
shtesë është 8 100 000$. (9.2*1 000 000=9 200 000$).
Parashikimi përmes analizës së regresionit
Gabimi standard i vlerësimit
• Gabimi standard i vlerësimit mat shpërndarjen , ose dispersionin e vlerave të vrojtuara përreth vijës së regresionit.
• Formulat për llogaritjen e gabimit standard janë:
2
( )
2
var var
var var
( ) ( )
2
yx
yx
i c
i
c
y y
n
y te dhenat origjinalete iables se ur
y te dhenat e vleresuara te iables se ur
ose
Y a Y b X Y
n
Llogaritja e gabimit standard të vlerësimit
Muajt X Shitjet
aktuale
Yi
Shitjet e
vlerësuara
Yc
(Yi –Yc) (Yi-Yc)2 Yi
2
Shtator 2 7 5,9 1.1 1.21 49
Tetor 1 3 3,7 -0.7 0.49 9
Nëntor 3 8 8,1 -0.1 0.01 64
Dhjetor 4 10 10,3 -0.3 0.09 100
Gjithsej: 10 28 28 0 1.8 222
Llogaritja e Gabimit standard të vlerësimit
2( ) 1.8 1.80.9 0.95
2 4 2 2
i c
yx
y y
n
2 ( ) ( ) 222 1.5(28) 2.2(81) 1.80.95
2 4 2 2yx
Y a Y b X Y
n
Regresioni i parabollës
• Funksioni i regresionit të parabollës
• Yc=a+bx+cx2
• Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a , b dhe c:
2
2 3
2 2 3 4
y na b x c x
xy a x b x c x
x Y a x b x c x
Shembull 3.
• Nga të dhënat vijuese gjeni funksionin e parabollës së regresionit:
x 1 2 3 4 5 6 7 ∑28
y 2 3 4 5 5 4 3 ∑26
Shembull 3- vazhdim
X Y XY X2 X3 X4 X2y Yc
1 2 2 1 1 1 2
2 3 6 4 8 16 12
3 4 12 9 27 81 36
4 5 20 16 64 256 80
5 5 25 25 125 625 125
6 4 24 36 216 1296 144
7 3 21 49 343 2401 147
28 26 110 140 784 4676 546
Shembull 3- vazhdim• Yc=a+bx+cx2
110 28 140 784 /( 5)
546 140 784 4676
550 140 700 3920
546 140 784 4676
4 84 756
Marrimdy ekuacionet e fundit
a b c
a b c
a b c
a b c
b c ekuacioni II
2
2 3
2 2 3 4
26 7 28 140 /( 4)
110 28 140 784
546 140 784 4676
104 28 112 560
110 28 140 784
6 28 224
y na b x c x
xy a x b x c x
x Y a x b x c x
a b c
a b c
a b c
a b
a b c
b c ekuacioni I
6 28 224 /( 3)
4 84 756
18 84 672
4 84 756
22 82
220, 27
82
0,27
b c I
b c II
b c
b c
c
c
c
Shembull 3- vazhdim
6 28 224
6 28 224 ( 0,27)
6 28 60,48
2,4
b c
b
b
b
26 7 28 140
26 7 28 2,4 140( 0,27)
26 7 67,2 37,8
0,48
a b c
a
a
a
0, 48
2, 4
0, 27
a
b
c
2
20,48 2,4 0,27
cY a bx cx
Y x x
Analiza e korrelacionit
• Analiza e korrelacionit: grup i teknikave statistikore që përdoren për të matur fortësinë e raporteve (korrelacionit) në mes të dy variablave.
Analiza e korrelacionit
TREGUESIT E
ANALIZES
SE
KORRELACIONIT
KOEFICIENTI I
KORRELACIONIT
(r)
KOEFICIENTI I
DETERMINACIONIT
(r2)
KOEFICIENTI I
ALEANCES/
KONTIGJENCES
(ra)
Koeficienti i korrelacionit, r
Koefiecienti i korrelacionit (r)është tregues i raporteve në mes të dy variablave.
Ai merr vlerat prej: -1.00 deri në 1.00.
Vlerat -1.00 ose 1.00 tregojnë korrelacionin perfekt dhe të fortë ose lidhjen funksionale në mes të dy variablave.
Vlerat afër 0.0 tregojnë korrelacion të dobët.
Vlerat negative tregojnë një raport inverz kurse vlerat pozitive tregojnë një raport direkt.
Korrelacion perfekt negativ
r = -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
X
Y
Korrelacion perfekt pozitiv
r = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
X
Y
Korrelacioni zero
r=0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
X
Y
Korrelacion pozitiv shumë i fortë
Vlera e “r” shumë afër 1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
X
Y
Koeficienti i Korrelaconit/ r
Korrelacion
perfekt
pozitiv
0
Nuk ka
korrelacion
+1-1
Korrelacion
perfekt
negativ
-0.5 0.5
Korrelacion negativ Korrelacion pozitiv
Korrelacion i
fortë negativ
Korrelacion i
dobët negativ
Korrelacion
mesatar
negativ
Korrelacion i
fortë pozitiv
Korrelacion
mesatar
pozitiv
Korrelacion i
dobët pozitiv
Formula për r
r
n XY X Y
n X X n Y Y
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
i i
i i
ose
X X Y Yr
X X Y Y
Koeficienti i determinacionit/ r2
• Koeficienti i determinacionit, r2 –proporcioni i variacioneve totale në variablën e varur Y që mund të shpjegohen përmes variacioneve në variablën e varur X.
• Koeficienti i determinacionit është katrori i koeficientit të korrelacionit dhe merr vlerat prej 0 deri në 1.
Koeficienti i determinacionit/ r2
Koeficienti i determinacionit si raport i pjesës së pashpjegueshme të variabilitetit dhe variabilitetit të tërësishëm
Koeficienti i determinacionit si katror i koeficientit të korrelacionit
r2 merr vlerat prej 0 deri te 1
22
2
( )
( )
c
i
Y Yr
Y Y
2 2( )r r
Koeficienti i aleancës (kontigjencës)
Koeficienti i aleancës:
ra merr vlerat prej 0 deri te 1.
2
2
2
2
( )
( )
( )1
( )
i ca
c
ca
i
Y Yr ose
Y Y
Y Yr
Y Y
Shembull 2.
Duke ju referuar shembullit 1:
• a) Përcaktoni koeficientin e korrelacionit
• b) Interpretoni koeficientin e korrelacionit;
• c) Përcaktoni koeficientin e determinacionit dhe interpretoni rezultatin
• d) Gjeni koeficientin e aleancës
Shembull 2- vazhdim
M X Y Y X Y2 X2 Yc
Sh. 2 7 14 49 4 5,9 -0,5 0,25 0 0 0
T 1 3 3 9 1 3,6 -1,5 2,25 -4 16 6
N 3 8 24 64 9 8,1 0,5 0,25 1 1 0,5
Dh 4 10 40 100 16 10,3 1,5 2,25 3 9 4,5
Gj 10 28 81 222 30 27,9 5 0 26 11
( )iX X ( )iY Y
2 2
( ) ( )
( ) ( )
i i
i i
X X Y Yr
X X Y Y
2( )iX X 2( )iY Y ( ) ( )i iX X Y Y
11 110,9649
5 26 130
0,9649
r
r
22 2 2
22
( ) ( )( )
( ) ( )
4 81 10 280,9648
4(30) (10) 4 222 28
0,9648
n XY X Yr
n X X n Y Y
r
r
Shembull 2 vazhdim
Koeficienti i korrelacionit: r=0,964, do të thotë se ekziston një lidhje shumë e fortë pozitive në mes të hyrave nga shitja dhe shpenzimeve të reklamës.
Koeficienti i determinacionit r2=(0,964)2=0,93, nga këtu kemi se 93% e variacioneve në shitje shpjegohen me variacionet në shpenzimet e reklamës.
Koeficienti i aleancës : Ka = 1- r2=1-0,93 =0,07, nga këtu rrjedh se 7% janë faktorë të tjerë të pashpjegueshëm që ndikojnë në të hyrat
nga shitja.
Testimi i signifikances/rëndësisë/ për koeficientin e korrelacionit
• Testimi bëhet përmes t testit për koeficientin e korrelacionit:
2
2( 2)
1
r nt me n shkalle te lirise
r
Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit
Testimi i hipotezës se nuk ekziston korrelacion në mes të
variablave në populacion.
• Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe alternative
H0: R=0 (Korrelacioni në populacion është zero)
H1: R ≠ 0 (Korrelcaioni në populacion nuk është zero).
• Hapi i dytë: Niveli i signifikancës 0.05: , Vlera
kritike për n-2 shkallë lirie është 4.303 (Merret te shpërndarja studenti se mostra është e vogël , n=4)
• Hapi 3. Llogaritja e testit t për koeficientin e korrelacionit
2 2
2 0,964 4 25.04
1 1 0,964
r nt
r
Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit
• Hapi 4. Formulimi i rregullës së vendosjes:
• H0 refuzohet nëse t> 4.303 ose nëse t< - 4.303, sh.l=2, =.05
• Hapi 5. Marrja e vendimit
• 5.04> 4.303 , refuzohet hipoteza zero, se koeficienti i korrelacionit në poulacion është i barabartë me zero, ndërsa pranohet hipoteza alternative se koeficienti i korrelacionit të populacionit është i ndryshëm nga zero.
KONCEPTET KYÇE
ANALIZA E REGRESIONIT ANALIZA KORRELACIONIT
REGRESIONI LINEAR KORRELACIONI POZITIV
REGRESIONI JOLINEAR KORRELACIONI NEGATIV
VARIABËL E VARUR KOEFICIENTI I KORRELACIONIT
VARIABËL E PAVARUR FAKTORËT E SPJEGUESHËM
SKATER DIAGRAMI FAKTORËT E PASPJEGUESHËM
METODA E KATRORËVE MË TË VEGJËL
KOEFICIENTI I ALEANCËS/KONTIGJENCËS
GABIMI STANDARD I VLERËSIMIT
KOEFICIENTI I DETERMINACIONIT-PËRCAKTIMIT
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
1-1
Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit
QëllimetPas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:
Definoni probabilitetin.
Kuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja.
Përshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të probabilitetit dhe të
bëni dallimet në mes të tyre.
Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve.
Definoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i
përbashkët.
Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së rasteve të volitshme
(permutacionet, variacionet, kombinacionet)
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Probabiliteti
• Probabiliteti është një matës
numerik për gjasat se një ngjarje
do të ndodhë.
• Probabiliteti i një ngjarje duhet të
jetë në mes të 0 dhe 1.
• Shuma e probabiliteteve të të gjitha
ngjarjeve reciprokisht përjashtuese/të
papajtueshme/ duhet të jetë i barabartë
me 1.
E sigurt
E pamundur
0.5
1
0
0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A
1P(C)P(B)P(A) Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht
përjashtuese dhe te domosdoshme
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Definicionet
Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe1.
Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) idisa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien derite paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disavrojtime të mundshme.
Rezultati: Rezultati i pjesshëm i njëeksperimenti.
Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumërezultateve të një eksperimenti.
5-3
Bazat e Statistikës .
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme
Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha
ngjarjeve të mundshme
p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):
P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës
Eksperimenti Rezultati Hapësira e mostrës
Gjuajtja e monedhës Stema (S) , numri (N) S= { Stema, Numri}
Gjuajtja e zarit 1,2,3,4,5,6 S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}
Gjuajta e monedhës dyherë
NN, NS, SN, SS S = {NN, NS, SN, SS}
Loja në lotari Fitim, Humbje S ={ Fitim, Humbje}
Dhënja e provimit Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}
Zgjedhja e studentëve Mashkull, Femer S= {Mashkull, Femer}
Bazat e Statistikës .
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Ngjarjet• Ngjarje e thjeshtë
· Një rezultat nga të gjitha rezultatet e
mundshme me një karakteristikë.
· P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit.
• Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A)
· Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes
A
· P.sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e
rombit.
• Ngjarje e përbashkët
· Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje
që paraqiten njëkohësisht.
· P.sh., Një As që është gjithashtu i kuq. Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit
• Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt:
1. a priori probabiliteti klasik
2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative
3. Probabiliteti subjektiv
numri i rezultateve te favorshmeprobabiliteti
n numri rezultateve te mundshme
m
total i
Numri ngjarjeve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti =
Numri total i vrojtimeve
m
n
Bazat e Statistikës
Një vlerësim apo opinion individual rreth
probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes.
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Qasjet e probabilitetit
• Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta.
• Sipas pikëpamjes klasike ,Numri i rezultateve tefavorshme
Probabiliteti i nje ngjarje = Numrii pergjithshem i rezultateve te mundshme
mP
n
5-4
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 1
• Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy monedhave metalike nëtë njejtën kohë.
• Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS}
• Marrim në konsiderim ngjarjen për njëN.
• Probabiliteti për me ra numri =2/4 = 1/2.
5-5
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme
• Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të njejtën kohë.
• Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të papajtueshme.
5-6
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Ngjarjet e domosdoshme
• Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment.
• Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25).
5-7
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik
• Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën:
Numri i rezultateve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti i nje ngjarje=
Numri total i vrojtimeve
5-8
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Probabiliteti empirik/koncepti i frekuencave relative
Supozojme se dëshirojmë të llogaisim probabilitetet e këtyre ngarjeve:
- Probabilitetin se automobili i ardhshëm i prodhuar nga fabrika do të jetë me “defekt”.
- Probabilitetin se një familje e zgjedhur rastësisht ka shtëpi te veten.
- Probabilitetin se një grua e zgjedhur rastësisht nuk e punë duhanin.
- Probabilitetin se një tetëdhjetëvjeçar do të jetoj më së paku edhe një vjet, etj.
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull
• Dhjetë nga 500 automobila të zgjedhur rastësisht të prodhuar në një fabrikë kanë qenë me defekt. Sa është probabiliteti që automobili i ardhshëm i prodhuar nga kjo fabrikë të jetë me defekt.
• n=500 P(A) = 10/500=0.02
• m=10
Bazat e Statistikës
Shpërndarja e frekuencave dhe frekuencave relative në mostrën prej 500 automobilave
Automobili Frekuenca Frekuencarelative
I rregullt 490 490/500=0.98
Me defekt 10 10/500=0.02
Gjithsej 500 1.00
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 2
• Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer 186 studentë me A nga1200 studentë sa ajo i ka mësuar. Sa është probabiliteti që studenti nëdepartamentin e saj në këtë semestërdo të marrë A?
• Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti përnjë A është
• P(A)= 186/1200=0.155
5-9
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Probabiliteti subjektiv
• Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të vecanta.
• Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon:
- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve.
- Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj
5-10
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Disa rregulla të probabilitetit
Rregullat e
probabilitetit
Rregullat
aditive
(të mbledhjes)
Rregullat e
multiplikatorit
(e shumëzimit)
Rregulla e
veçantë
aditive
Rregulla e
plotësuese
komplementare
Rregulla e
përgjithshme
aditive
Rregulla e
veçantë e
multiplikatorit
Rregulla e
përgjithshme
e multiplikatorit
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregullat bazë të probabilitetit
• Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera.
• Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. P(A ose B) = P(A) + P(B)
• Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) = P(A) + P(B) + P(C)
5-11
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull 3
• Aeroporti X së voni ka marrë informata për fluturimet nga Prishtina në Gjenevë
Arritja Frekuenca
Herët 100
Vonë 75
Në kohë 800
Anuluar 25
Gjithsej 1000
5-12
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull 3 vazhdim
• Nëse A është ngjarja se fluturimi arrin herët, atëherë probabiliteti P(A) = 100/1000 = 0.1
• Nëse B është ngjarja se fluturimi do të arrijë vonë , atëherë P(B) = 75/1000 = 0.075
• Probabiliteti se aeroplani do të vijë herët ose do të arrijë vonë është;
P(A ose B) = P(A) + P(B) = 0.1 + 0.075 =0.175
5-13
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla plotësuese/komplementare
• Rregulla plotësuese/komplementare/përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga 1.
• Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose P(A) = 1 - P(~A).
5-14
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim
• Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron rregullën komplementare që do të duket si në vijim:
A ~A
5-15
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 4
• I rikthehemi SHEMBULLIT 3.
• Nëse C është ngjarja se fluturimi do të arrijë në kohë, atëherë, P(C) = 800/1000 = 0.8.
• Nëse D është ngjarja se flutruimi është shtyrë, atëherë,P(D) = 25/1000 = 0.025.
• Shfrytëzoni rregullën komplementare për të treguar se probabiliteti i një fluturimi të hershëm (A) ose të vonshëm (B) është 0.175.
5-16
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 4 vazhdim
• P(A ose B) = 1 - P(C ose D) = 1 -ë0.8 +.025] =0.175
C
0.8
D
0.025
~(C ose D) = (A ose B)
0.175
5-17
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla aditive e përgjithshme
• Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprkisht përjashtuese , atëherë ,
P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese:
• P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)
5-18
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla aditive e përgjithshme
• Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:
A dhe B
A
B
5-19
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 5
• Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë stereo , 180 kanë thënë se kanë TV, dhe 100 kanë thënë se i kanë të dyja:
Stereo
320
Bashkë
100
TV
180
5-20
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 5 vazhdim
• Nëse studenti zgjedhet rastësisht , sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm stereo, vetëm TV dhe të dyja stereo dhe TV?
• P(St) = 320/500 = 0.64.
• P(Tv) = 180/500 = 0.36.
• P(St dhe Tv) = 100/500 =0.20.
5-21
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 5 vazhdim
• Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu stereo ose TV në shtëpinë e tij?
• P(St ose TV) = P(St) + P(Tv) - P(S dhe T) = 0.64 +0.36 - 0.20 =0.80.
5-22
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull
• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim.
• P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50 =0.8.
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Probabiliteti i përbashkët
• Probabiliteti i përbashkët është probabiliteti që mat gjasat se dy ose më shumë ngjarje do të ndodhin njëkohësisht. Një shembull do të jetë ngjarja që studenti i ka të dyja, stereon dhe TV në shtëpinë e tij.
5-23
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla e veçantë e multiplikatorit
• Rregulla e veçantë e multiplikatoritkërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë të pavarura.
• Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës.
• Rregulla e veçantë e multiplikatoritështë:
5-24
Bazat e Statistikës
( ) ( ) ( )P Adhe B P A P B
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 6
• Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7.
• Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të riten vitin e ardhshëm?
• P(A dhe B) = (0.5)(0.7) = 0.35.
5-25
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Probabiliteti i kushtëzuar
• Probabiliteti i kushtëzuar është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të veçantë duke ditur që një ngjarje tjetër ka ndodhur.
• Vërejtje: Probabiliteti i ngjarjes A duke ditur që do të ndodhë ngjarja B shënohet me P(A|B).
5-27
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit
• Rregulla e përgjithshme e multiplikatoritpërdoret për të gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B, probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.
5-28
Bazat e Statistikës
( ) ( ) ( / )P Adhe B P A P B A
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull
• Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit ta ndërronit?
• Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të përvojës së tyre në atë kompani
sipas tabelës vijuese:
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Përvoja ->
Me pak se një
vit
1-5vite
6-10 vite
Më shumë se 10vite
Totali
Do të qëndrojnë
10 30 5 75 120
Nuk do të qëndrojnë
25 15 10 30 80
Totali 35 45 15 105 200
Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
• Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë kompani dhe që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
• P(A) - do të qëndroj në kompani
• P(B) ka përvojë pune më se 10 vjet
• P(B|A) – qëndron në kompani dhe ka përvoj më se 10 vite
P(A dhe B)= P(A) x P(B|A)
= 120/200 x 75/120
= 9000/24000
= 0.375
Zgjidhja
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Shembull
Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë.
a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra?
b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj.
c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Spjego.
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Zgjidhje
• a) 0.002
• b) 0.14
4 3 2 10.002
12 11 10 9
8 7 6 5 16800.1414
12 11 10 9 11880
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Disa parime të llogaritjes
• Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme:
• Rregulla 1.
• Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja.
• Shembull 10:
Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë:
• Përgjigje:
• 3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme
5-37
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregullat e llogaritjes
• Rregulla 2· Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente
sipas rregullit është:
· Shembull:
– Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj?
Përgjigje:
5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme.
n! = (n)(n – 1)…(1)
(vazhdim)
Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -TopxhiuBazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregullat e llogaritjes
• Rregulla 3.
• Permutacionet: çdo regullim i X elementeve izgjedhur nga n elementet e mundshme.
· Shembull:
– Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të porositetdreka?
Përgjigje:
Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e
rëndësishme te permutacionet.
(vazhdim)
X)!(n
n!Pxn
n x
n! 5! 120P 60
(n X)! (5 3)! 2
Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -TopxhiuBazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Rregullat e llogaritjes
• Rregulla 4• Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes
së x elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar renditjen
· Shembull:
– Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.
– Përgjigje:
(vazhdim
X)!(nX!
n!Cxn
10(6)(2)
120
3)!(53!
5!
X)!(nX!
n!Cxn
Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -TopxhiuBazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
SHEMBULL 11
• Trajneri X duhet të zgjedhë pesë lojtarë në mes të 12 sa i ka në ekip për të formuar formacionin fillestar. Sa grupe të ndryshme janë të mundshme?
12C5 = (12!)/ë5!(12-5)!] =792
• Supozojmë se Trajneri X duhet ti rangoj ata kësisoj:
12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.
5-40
Bazat e Statistikës
Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Konceptet kyçe
Probabiliteti
Eksperimenti
Rezultati
Ngjarja
Hapësira e mostrës
Probabiliteti apriori
Probabiliteti aposteriori
Probabiliteti subjektiv
Ngjarje e thjeshtë
Ngjarje komplementare
Ngjarjet e papajtueshme
Ngjarjet e domosdoshme
Ngjarjet e kushtëzuara
Regulla aditive e thjeshte
Rregulla aditive e përgjithshme
Rregulla komplementare
Rregulla e multiplikatorit
Rregulla e përgjithshmee multiplikatorit
Permuatacionet
Kombinacionet
VariacionetBazat e Statistikës