U. Oscilații și unde

U.1. Oscilatorul armonicU.2. Ecuația oscilatorului armonicU.3. Paralela între oscilațiile mecanice și electromagneticeU,3, Energia oscilatoruluiU.5. Undele electromagneticeU.6. Spectrul undelor electromagneticeU.7. Ecuația undei planeU.8. Principiul lui HuygensU.9. Reflexia si refracția undelor. Indicele de refracțieU.10. Unde staționareU.11. Interferența undelorU.12. Difracția undelorU.13. Principiul Huygens-FresnelU.14. Difracția pe o fantă

U.1. Oscilatorul armoniceste definit prin mișcarea descrisă de proiecția pe diametru a rotației unui punct cu viteză uniformă.

De exemplu proiecția pa axa y a rotației unui punct pecercul de rază A cu viteza unghiulară constantă este: ωtAy(t) sin

unde am introdus:y : elongațiaA : amplitudinea

T

πω

2 : pulsația

(viteza unghiulara)

T : perioada

Tν

1 : frecvența;

se masoarăîn herțiHz=s-1

y

=A

φ=ωtφ=ωt : faza

A

Reamintim că vectorul r care se rotește cu oviteză unchiulară constantă de numește fazor

ωtωAtd

dy

dt

td

dt

dy(t)cos

)(

)(v

y(t)ωωtAωdt

y(t)d

dt

(t)da 22

2

2

sinv

Viteza este derivată spațiului în raport cu timpulIntrucat derivarea funcției cos trebuie facută dupaargumentul ei φ=ωt , înmulțim și impărțim cu d(ωt):

Accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul.făcand aceeași operație ca mai sus obținem:

kyymωdt

ydmmaF 2

2

2

Intrucât derivata vitezei este derivată a doua a spațiului,rezultă ca pentru oscilatorul armonic forța este de tip elastic, adică este proporțională cu elongația:

Obținem în acest mod

ecuația oscilatorului armonic

022

2

y(t)ωdt

y(t)d

2mωk

U.2. Ecuația oscilatorului armonic

unde:

U.3. Paralela între oscilațiile mecanice și cele electromagnetice

Oscilații mecanice ale unei mase prinse de un resort elastic: In decursul oscilațiilor energia potențială a resortului când elongațiaeste maximă se transformă în energia cinetică a masei m cândtrece prin poziția de echilibru și invers

Oscilații electromagnetice ale unui circuit LC:In decursul oscilațiilor energia electrică a condensatorului se transformă în timpul mișcării sarcinilor de pe plăcile acestuia(deci apariția unui curentel ectric) în energia magnetică abobinei prin fenomenul de inducție electromagnetică și invers

oscilațiile mecanice și oscilațiile electromagnetice

m: masa oscilatorului L: impedanța bobinei

k: constanta elastică a arcului C

1 : inversa capacității condensatorului

y: elongația arcului q: sarcina electricaă a condensatorului

kyF : forța elastică a arcului C

qu : tensiunea condensatorului

dt

dyv : viteza masei

dt

dqi : intensitatea electrică în bobină

dt

dmmaFv

: forța de inerție dt

diLu : tensiunea indusă

Pulsația oscilatorului

m

kω

LC

1

Obținem deci urmatoarea paralela între

U.4. Energia oscilatorului

este suma energiei cinetice si a celei potențiale.Considerand k=mω2, obținem ca

energia totala se conserva:

222

sin

2

cos

22

v

222222222

22

kAAmtAmtAm

kymEEE pc

Energia oscilatorului este proporțională cu patratul frecvenței oscilației, deoarece:

22

T

πω

In cazul circuitului LC, conform cu regulile de echiva-lenta cu resortul mecanic,energia totală se poate scriefie ca energie electrică acumulată în condensator, ori ca energie maximă a câmpului magnetic al bobinei:

2

222

22

m

m

LI

CU

C

qE

U.5. Undele electromagneticese obțin ca rezultat al urmatoarelor fenomene:

Inducția electromagnetică: variația câmpului magnetic produce câmp electric Inducția magnetoelectrică: variația câmpului electric produce câmp magnetic

Producerea reciprocă de campuri oscilante se propagă sub formă de

unde electromagnetice polarizate în plane perpendiculare

cTλ definește lungimea de undă,ca distanța între două maxime susccesive

James Maxwell a dedus teoretic in 1865 faptul că:undele electrice sunt in faza si polarizate perpendicular

pe cele magnetice, propagandu-se în vid cu viteza constantă:

00

1

c 3. 108 m/s

James Clark MaxwellFizician si matematician scotian (1831-1879)

Heinrich Rudolf HertzFizician german (1857-1894)

Undele electromagnetice au fost detectate de Heinrich Hertz in 1886

U.6. Spectrul undelor electromagneticeraze γ : fizica nucleară

raze X : fizica atomică și molecularăraze ultraviolet, vizibile și infraroșii:

opticamicrounde: electronica

unde radio: radio electronica

U.7. Ecuația undei plane

Oscilația unui punct se propagă într-un mediu sub formă de unde.Presupunem ca în origine x=0 mediul oscilează dupa o lege armonică:

ωtA,t)y( sin0

Considerăm că oscilația se propagă într-oDirecție dată sub formă de undă plană cu viteza c

c

xt 1Punctul x începe să oscileze dupa timpul:

Prin urmare valoarea amplitudinii y(x,t) va fiegală cu cea din origine y(0,t’) la momentul:

c

xtt'

x

y(0,t-x/c) y(x,t)

0

Obținem astfel urmatoarea relație,care se numește ecuația undei plane

]c

xt[ωA)

c

x,ty(y(x,t) )(sin0

unde am introdus urmatoarele mărimi:

T

πω

2 : pulsația

λ

π

Tc

π

c

ωk

22 : numarul de undă (analogul spațial al pulsației)

cTλ : lungimea de undăse masoară în metri (m)

)]λ

x

T

tπ([Akx)t(Ay(x,t) 2sinsin

Aceasta descrie cum oscilează în timp un punct aflatla distanța x și se mai poate scrie sub formele urmatoare:

U.8. Principiul lui Huygens

Orice punct al mediului, pâna la care a ajuns frontul de undă, poate fi considerat ca o noua sursă de oscilație,

astfel încât propagarea sâ se continue mai departe în toate direcțiile

Principiul lui Huygens nu este unul fundamental ci mai degrabăo metodă simplă de calcul pentru diverse fenomene ondulatorii

Christiaan Huygens (1629-1695)

Fizician olandez

Explicația fenomenului de refracțiedin cartea sa

Exemple de aplicare pentru principiului lui Huygens

Refracția este schimbareaDirecției de propagarea undelor la trecereaîn alt mediu

Difracția este schimbareaDirecției de propagarea undelor la trecereaprintr-o fantă

U.9. Reflexia și refracția undelor

Reflexia este schimbarea direcției de propagare a undelor în același mediu la contactul cu alt mediu

Legea reflexiei

Unghiul de incidentă este egal cu unghiul de reflexie

'11

‘

Refracția este schimbarea direcției de propagare a undelor la trecerea în alt mediu

Din comparareatriunghiurilor A’A”B” si A’B”A’”cu latura comună A’B’”Obținem relațiile:

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

v

v

tv

tv

r

r

sin

sin

unde am introdus vitezelede propagare v1, v2 șiindicii de refracție n1, n2

pentru fiecare mediu.

Obținem legea refracției(Legea lui Snellius)

2211 sinnsinn

n1

n2

ϑ2

ϑ1

U.10. Interferența undelor

este compunerea a doua unde coerenteCoerenta: doua oscilații sunt coerente daca defazajul

între ele ramane constant în timpFranjele de interferenta (maxime si minime)

provin de la compunerea undelor ce trec prin doua fante lineare

F1 și F2 de lărgimi comparabile cu lungimea de undăSistemul din figură se numește dispozitivul lui Young

F2

F1

r2

r1

Δr

)sin()sin()sin()( 2211 tAkrtAkrtAty

Compunerea oscilațiilor într-un punct Pcare se află la distanța

r1 de prima fantă F1 și r2 fața de a doua fantă F2

P

F2

F1

Cele doua oscilații se compun astfel:

In vederea determinării amplitudinii și fazei undei rezultanteutilizăm tehnica de adunare a fazorilor corespunzatori.

Pentru calculul poziției maximelor și minimelor de interferențătrebuie sa compunem doua oscilații de faze inițiale diferite

)cos(2 212122

21

2 AAAAA y1

x

y2

φ φ1

A1

A2A

Aplicând regula generală de adunarea vectorilor rezultă urmatoarearelație pentru amplitudine

Suma proiectiilor y1 si y2 ale fazorilor A1 și A2 este egală cu proiecția y a fazorului sumat A, conform cu figura de mai jos

)sin(

)sin(

222

111

tAy

tAy

22

11

kr

kr

unde:

y1

x

y2

φ φ1

A1

A2A

φ2

Condiția de maxim: defazajul este număr par de semiunde iaramplitudinile se adună

Condiția de minim: defazajul este număr impar de semiunde iaramplitudinile se scad

21

21

2121

21

22

2)(2

)(

1)(cos

AAA

nrr

nrr

rrk

rrk

21

21

2121

21

2)12(

)12()(2

)(

1)(cos

AAA

nrr

nrr

rrk

rrk

Franjele de interferență pe un ecranse formează conform cu

Condițiile de maxim și minim

U.11. Undele staționaresunt un caz particular de interferență a doua unde de amplitudini egale care se propaga în sensuri

contrare, adică unda directă și cea reflectată

Unda reflectată pierde o semiundă (λ/2) la reflexia de perete

x1 x

x2=x1+2x

Condiția de maxim: defazajul este număr impar de sferturi de undă

Condiția de minim: defazajul este număr par de sferturi de undă

412

λ)n(x

42

nx

Unda incidentă parcurge x1 și se compune cu cea reflectată care parcurge distanta x2

după cum se poate vedea din figura de pe pagina urmatoare

Se formează un sistem de maxime (ventre) și minime (noduri) staționareSunt posibile armonice de ordinul n=0,1,2,3,...

U.12. Difracția undeloreste un caz particular de interferență a undelor

care provin de la punctele unei fante de dimensiune

comparabilă cu lungimea de undă.

Figura de difracție pe o fantă infinit lungă,poartă numele de difracție de tip Fraunhofer

U.13. Principiul Huygens-Fresneleste principiul Huygens completat cu principiul

Interferenței undelor provenite de la toate sursele punctuale.Acest principiu nu este unul fundamental, dar este o metodăpentru construcția figurii de difracție formată din maximele și

minimele care apar pe un ecran

Joseph von Fraunhofer (1787-1826)Fizician german

Augustin Jean Fresnel (1788-1827)Fizician francez

In punctul central A oscilațiile care vin de la fantă se compun având acceeași fază.Acesta este maximul central de interferență având amplitudinea maximă.

In punctul intermediar B diferenta de drum de la punctele din marginile fantei este

iar în ecuația de undăλ

πδ2

f

xdddδ sin

B

A

f

ϑ

δ

d

C

x

)sin( tAy defazajul este:

U. 14. Difracția pe o fantăConsiderăm difracția pe o fantă dreptunghiulară infinită

Undele difractate trec printr-o lentilă convergentă iar figura de difracție se formează în planul focal ABC

In punctul C (fig. C) amplitudinea rezultantă de la toate punctele fantei se anulează (minim de interferență) și faza este în cazul general multiplu par de π

nλd

fxnλδnπ

λ

πδ 2

2

deci diferența de drum este un număr întreg de lungimi de undă.In punctul urmator de maxim, constând din compunerea oscilațiilor

date de traiectoria C+B, faza este în cazul general multiplu impar de π

212

21212

2 λ)n(

d

fx

λ)n(δ)πn(

λ

πδ

deci diferența de drum este un număr impar de semilungimi de undă.

B

φ=0

φ=2π

A

φ=π

C

In punctul intermediar B (fig. B) amplitudinile se compun conform principiului Huygens-Fresnel de la fiecare element al fantei, defazajul total fiind: φ=π.

Intensitatea undelor funcție de unghi |A(ϑ)|2

difractate pe o fantă lineara

Figura de difractieprintr-o fanta patrata

Figura de difracțieprintr-o fantă circulară