20 Oscilatii Amortizate Si Fortate

7/22/2019 20 Oscilatii Amortizate Si Fortate

1/15

A. Rusu, S. Rusu 20. Oscilaii amortizate i forate

1

20. Oscilaii amortizate i forate

20.1. Oscilaii amortizate

Unele aciuni externe cum ar fi aciunile forelor de frecare i de rezisten conduc la micorareaenergiei sistemului oscilatoriu i, ca rezultat, la atenuarea oscilaiilor n timp. Acest proces senumete amortizare a oscilaiilor. Amortizarea oscilaiilor se mai produce i n urma excitrii nmediul nconjurtor de ctre sistemul oscilatoriu a undelor mecanice (vezi cap. 21). Oscilaiile electricese amortizeaz datorit pierderilor de energie: la nclzirea conductoarelor parcurse de curent; nprocesul de iradiere a undelor electromagnetice; datorate histerezisului dielectric i a celui magnetic .a.

La studiul sistemelor oscilatorii cu amortizare se pot evidenia doucazuri:1.Parametrii ce caracterizeazproprietile sistemului oscilatoriu cum ar fi, de exemplu, frecvena

ciclica oscilaiilor proprii 0 .a., nu variazpe parcursul procesului oscilatoriu. Astfel de sisteme se

numesc liniare, iar procesele oscilatorii ce decurg n ele, dupcum v-om vedea n cele ce urmeaz, sedescriu cu ajutorul unor ecuaii difereniale liniare. De exemplu, un circuit electric poate fi consideratca un sistem liniar, dac rezistena lui electricR , capacitatea electricCi inductana L nu depindde intensitatea curentului din circuit.

2. Parametrii ce caracterizeaz proprietile sistemului oscilatoriu variaz pe parcursul acestuia.Astfel de sisteme se numesc neliniare, iar procesele oscilatorii ce decurg n ele se descriu cu ajutorulunor ecuaii difereniale neliniare. De exemplu, un circuit electric se va considera neliniar, dacmcaruna din mrimile R , Csau L depinde de intensitatea curentului din circuit.

Sanalizm mai detaliat oscilaiile amortizate din sistemele liniare. V-om stabili mai nti ecuaiadifereniala oscilaiilor amortizate ce se pot declana n ele, considernd 2 exemple:

1.Oscilaiile amortizate ale pendulului elastic. Dacpendulul elastic reprezentat n figura 19.2efectueazoscilaii ntr-un mediu vscos, atunci de rnd cu fora de elasticitate elF kx asupra bilei

mai acioneazi fora de rezistena mediului rezF (fig. 20.1). Dupcum s-a stabilit n 2.4, pentru

viteze relative mici (anume aa sunt vitezele bileipendulului) fora de rezisten este proporional cu viteza

bilei, fiind orientat n sens opus vitezei: rez.F r v

(vezi

(2.25)), unde coeficientul de proporionalitate rse numetecoeficient de rezisten i depinde de dimensiunilecorpului, forma lui i de proprietile mediului n careacesta se mic. Conform legii a doua a lui Newton

el rez 0r k

ma F F mx kx rx x x xm m

,

sau

202 0x x x , (20.1)

unde, ca i n 19.1, 0 k m este frecvena ciclica oscilaiilor proprii ale pendulului elastic, iar

2r m se numete coeficient de amortizare. Se observc const 0 .

2. Oscilaiile amortizate n circuitul oscilant. Cercetnd oscilaiile sarcinii q de pe armturile

condensatorului (fig. 19.4) n 19.1 s-a obinut ecuaia diferenial(19.23)

Fig. 20.1


2/15


2

0R q

q qL LC

.

Notnd 0 1 LC i 2R L , obinem ecuaia

202 0q q q , (20.2)

care coincide dupformcu (20.1).Astfel, generaliznd, se poate afirma c ecuaia diferenial general a oscilaiilor libere

amortizatepentru orice mrime fiziccare realizeazo micare oscilatorie poate fi scrissub forma

202 0 . (20.3)

Din teoria ecuaiilor difereniale se cunoate csoluiile particulare ale ecuaiei (20.3) se cautsubforma

t

e

, (20.4)iar soluia generala ecuaiei difereniale (20.3) este o combinaie liniara soluiilor particulare:

1 21 2

t tC e C e

, (20.5)

unde 1C i 2C sunt nite constante ce se determin cunoscnd condiiile iniiale, iar 1 i 2 sunt

rdcinile ecuaiei caracteristice, care se obine prin substituirea relaiei (20.4) n (20.3):

2 202 0 . (20.5)

Aceste rdcini sunt:

2 2

1,2 0 . (20.7)n funcie de valorile coeficientului de amortizare n raport cu 0 pot avea loc urmtoarele cazuri

particulare:

1. Dac fora de rezistendin partea mediului este mare, astfel nct 0 , atunci rdcinile

ecuaiei caracteristice 1,2 sunt numere reale negative i elongaia mrimii fizice are aspectul

2 2 2 2

0 0 1 21 2 1 2

t t t tt tt C e e C e e C e C e

, (20.8)

unde constantele 1C i 2C se determin din condiiile iniiale, iar2 2

1 0 i

2 22 0 . Admitem csunt satisfcute urmtoarele condiii iniiale: 00 i 00 v .

Atunci se obin urmtoarele ecuaii pentru determinarea constantelor 1C i 2C :

0 2 01

0 1 2 2 1

0 1 1 2 2 0 1 02

1 2

,,

,.

CC C

C CC

v

v v

Se pot evidenia dousituaii:


3/15


3

a)Graficul elongaiei intersecteazaxa absciselor o singurdat. Momentul de timp, la careare loc trecerea sistemului prin poziia de echilibru poate fi determinat dupcum urmeaz:

2 2 2 2 2 20 0 01 2 2 2 2

1 2 1 2

1

0 0t t t t t t C

C e C e e C e C e

C

2 202 0 1 0 0 1 0

2 20 2 0 0 2 00

1ln

2

te t

v v

v v

. (20.9)

Dac 0 1 0

0 2 0

1

v

v

, atunci intersecia elongaiei cu axa absciselor (timpului) are loc doar o singurdat

la momentul de timp (20.9) (fig. 20.2,a). Acest caz corespunde situaiei cnd, de exemplu, pendulul,fiind abtut de la poziia de echilibru ncepe micarea spre aceastpoziie, trece peste ea, i ntorcndu-se se oprete.

b)Graficul elongaiei nu intersecteaz axa absciselor. Dac

0 1 0

0 2 0

0 1

v

v

, atunci graficul elongaiei nu intersecteaz axa

absciselor (fig. 20.2,b), ceea ce n cazul pendulului corespundesituaiei, cnd dup abatere micarea acestuia tinde spre poziia deechilibru, n care se oprete.

n ambele situaii n sistem nu se stabilete regimul oscilatoriu.

2. 0 . n acest caz ecuaia caracteristic are o singur

soluie i elongaia punctului material are forma

1 2tt C C t e

, (20.10)

unde pentru constantele 1C i 2C avem sistemul de ecuaii:

0 1 1 0

0 2 1 2 0 0

, ,

, .

C C

C C C

v v

Ca i n cazul precedent sistemul poate s treac prin poziia deechilibru doar o singur dat. Momentul de timp, la care graficulelongaiei intersecteaz axa absciselor se determin ca i n cazulprecedent:

011 2

2 0 0

0 CC C t t C

v

.

Dac 0 0 0 0 v , atunci 0t i intersecia are loc, elongaia variind ca nfigura 20.2,a. n cazcontrar sistemul pur i simplu revine n poziia de echilibru, elongaia variind ca nfigura 20.2,b.

Aadar, nici n cazul cnd 0 n sistem nu apar oscilaii.

3. Dac fora de rezistendin partea mediului este mic, astfel nct 0 , atunci rdcinile

ecuaiei caracteristice 1,2 sunt numere complexe:

Fig. 20.2


4/15


4

2 2 2 21,2 0 0i i , (20.11)

unde

2 20 (20.12)

este frecvena ciclica oscilaiilor amortizatecare este mai micdect cea a oscilaiilor proprii 0 .

n acest caz elongaia mrimii fizice are aspectul

1 2t i t t i t t C e e C e e .

Cu ajutorul formulelor lui Euler cos sinie i , expresia pentru elongaia t poate fireprezentatsub forma:

1 2 1 2 1 2cos sint i t i t t t e C e C e e C C t i C C t .

Introducnd constantele 0A i 0 n locul constantelor 1C i 2C : 1 2 0 0sinC C A i

1 2 0 0cosi C C A , obinem

0 0 0 0 0 0sin cos cos sin sint tt e A t A t A e t

. (20.13)

Constantele 0A i 0 din expresia (20.13) pentru elongaia oscilatorului liniar armonic amortizat

reprezintamplitudinea i, respectiv, faza iniiala oscilaiilor amortizate i se determindin condiiile

iniiale. Dupcum s-a menionat frecvena ciclica oscilaiilor amortizate 2 20 este mai mic

dect cea a oscilaiilor proprii ale oscilatorului 0 . Aceasta nseamn c perioada oscilaiilor

amortizate(perioada convenional)

2 20

2 2T

(20.14)

este mai mare dect perioada oscilaiilor proprii

0 02T ale acestuia: 0T T . Expresia (20.13)

capt o interpretare simpl, dac se consider camplitudinea oscilaiilor este o funcie de timp:

0t

A t A e . (20.15)

Astfel, expresia pentru elongaia oscilatoruluiamortizat devine

0sint A t t , (20.16)

ceea ce demonstreazcoscilaiile amortizate sunt modulate n amplitudine(fig. 20.3), iar elongaialor (20.16) tinde spre zero cnd t .

Descreterea amplitudinii oscilaiilor amortizate se caracterizeazcu ajutorul mrimii fizice numitdecrement logaritmic al amortizrii.

Mrimea adimensionalegalcu logaritmul natural al raportului dintre douamplitudinisuccesive, corespunztoare momentelor de timp ce se deosebesc cu o perioad se numete

decrement logaritmic.

Fig. 20.3


5/15


5

0

0

ln ln lnt

T

t T

A t A ee T

A t T A e

. (20.17)

Frecvena ciclici perioada Ta oscilaiilor amortizate se exprimprin decrementul logaritmic alamortizrii :

222 2 00 2 2

21

4T

220 0

2 2 21

4 1 2

. (20.18)

Analogic se exprimi perioada oscilaiilor amortizate Tprin decrementul logaritmic :

20

02 2

0

2 21 2

1 2 1 2

T T

T T

. (20.19)

Gradul de atenuare al oscilaiilor unui oscilator se caracterizeazadesea cu ajutorul unui parametruadimensional numit factor de calitate.

Mrimea adimensionalQegalcu produsul dintre 2i raportul energiei E(t) nmagazinaten sistemul oscilator la momentul de timp t i energia disipat de acesta n decursul uneiperioade E(t) E(t+ T) se numete factor de calitate.

2 E t

QE t E t T

. (20.20)

Deoarece energia oscilatorului este proporional cu ptratul amplitudinii oscilaiilor, adic

2E t A , obinem:

2 2 20

2 2 2 222 2 20 0

2 2 2 2

1 1

t

Tt Tt

A t A eQ

A t A t T e eA e A e

. (20.20,a)

Dac 1 , atunci 2 1 2e i pentru factorul de calitate se obine urmtoarea formulaproximativ

Q

. (20.20,b)

Dupcum se observdin (20.18) i (20.19), dac 1 , atunci 0 i 0T T . De aceea

0

0 2Q

T

. (20.21)

innd seama c 0 k m (vezi (19.15)) i 2r m , pentru factorul de calitate al unui oscilatorarmonic amortizat, obinem

0 2 1

2 2

m kQ km

r m r

. (20.21,a)


6/15


6

ntruct n cazul unui circuit oscilant 0 1 LC i 2R L , pentru factorul de calitate al acestuia

se obine

0 2 1

2 2

L LQ R CR LC

. (20.21,b)

n final remarcm c pentru obinerea ecuaiei difereniale a oscilaiilor amortizate (20.3) amanalizat mai nti oscilaiile mecanice apoi cele electromagnetice i am stabilit asemnarea ecuaiilordifereniale (20.1) i (20.2) ce descriu aceste oscilaii. Similitudinile dintre cele doutipuri de oscilaiinu se termin aici. Putem observa c fiecrei mrimi ce caracterizeaz oscilaiile mecanice icorespunde o mrime ce caracterizeazoscilaiile electromagnetice. Aceste mrimi sunt prezentate ntabelul 20.1:

Tabelul 20.1

Oscilaii mecanice Oscilaii electromagnetice

Mrimea mecanic Simbol Mrimea electromagnetic Simbol

Abaterea punctului material dela poziia de echilibru

x t Sarcina condensatorului,intensitatea curentului

q t , I t

Masa oscilatorului m Inductana bobinei LCoeficientul de rezisten r Rezistena electric R

Constanta de elasticitate kMrimea inverscapacitiielectrice a condensatorului

1

C

Coeficientul de amortizare2

r

m Coeficientul de amortizare

2

R

L

Frecvena ciclica oscilaiilor

proprii0

k

m

Frecvena ciclica oscilaiilor

proprii

0

1

LC

Factorul de calitate1

Q kmr

Factorul de calitate1 L

QR C

Analogia dintre oscilaiile amortizate ale pendulului elastic i oscilaiile electromagnetice amortizate dincircuitul oscilant ne permite s scriem, de exemplu, expresia pentru intensitatea instantanee a curentuluielectric din circuit:

20 0sinR

tLI I e t

, (20.22)

unde

2

2

1

4

R

LC L (20.23)

este frecvena ciclica oscilaiilor amortizate din circuitul oscilant, iar este faza iniiala acestora.

20.2. Oscilaii mecanice forate

Orice sistem mecanic oscilatoriu cum ar fi, de exemplu,pendulul elastic (fig. 20.4) pe parcursul timpului pierde dinenergia sa mecanicdatorit aciunii forei de rezisten. Din

aceast cauz, dup cum am vzut n 20.1, oscilaiile Fig. 20.4


7/15


7

sistemului se amortizeaz i cu timpul dispar. Pentru a ntreine oscilaiile pendulului trebuie scompensm energia pierdutprin aplicarea unor fore externe. Forele periodice externe care ntreinoscilaiile mecanice se numesc fore perturbatoare. Oscilaiile efectuate de sistemul mecanic subaciunea forelor perturbatoare se numesc oscilaii forate. Pentru aplicaiile practice un interes

deosebit l prezint forele perturbatoare periodice. Fora perturbatoare periodic poate fireprezentatsub forma:

0 sinpF t F t , (20.24)

unde 0F este valoare de amplitudine a forei perturbatoare, iar este frecvena ciclica acesteia. n

conformitate cu legea a doua a lui Newton scrisn proiecii pe axa Ox (fig. 20.4)

0el rez 0 sin sinp

Fr kmx F F F mx kx rx F t x x x t

m m m ,

sau

2 002 sin

Fx x x t

m . (20.25)

Aceasta este ecuaia difereniala oscilaiilor mecanice forate.Din experien se cunoate c oscilaiile unor astfel de sisteme trec mai nti printr-un regim

tranzitoriude scurtdurat, dupcare se stabilete regimul permanentunde se manifestoscilaiilentreinute.

Din teoria ecuaiilor difereniale se cunoate csoluia generala ecuaiei (20.25) este egalcu sumasoluiei generale a ecuaiei omogene 1x t (adica ecuaiei (20.25) frpartea dreapt) i a unei soluii

particularea ecuaiei neomogene 2x t (adiccu partea dreapt).Astfel soluia ecuaiei (20.25) poate

fi scrissub forma: 1 2x t x t x t , (20.26)

unde

1 0 0sintx t A e t

, (20.27)

ntruct ecuaia omogencoincide cu ecuaia oscilaiilor amortizate (20.1). Expresia (20.27) reprezintsoluia general a ecuaiei omogene i descrie regimul tranzitoriu menionat mai sus. Deoareceamplitudinea oscilaiilor 0

tA A e

tinde la zero cu trecerea timpului, soluia (20.27) dispare,

rmnnd numai soluia particular 2x t a ecuaiei neomogene:

2x t x t

Aceastsoluie trebuie sposede forma prii drepte a ecuaiei (20.25):

sinx t A t , (20.28)

Soluia particular(20.28) descrie regimul permanent al oscilaiilor forate. Ea aratcoscilatorul nacest regim efectueazoscilaii armonice cu frecvena ciclic a forei perturbatoare, oscilaiile avndamplitudine constant. Aceastconcluzie este confirmati n experiment. Constantele de integrare A i , care reprezintamplitudinea i, respectiv, faza iniiala oscilaiilor forate, se afldin condiia, c


8/15


8

soluia (20.28) satisface ecuaia (20.25). Aflnd prin derivare expresiile pentru x i x , apoi nlocuindu-le n (20.25), obinem ecuaia

2 2 00sin 2 cos sin sinF

A t A t A t t

m

,

sau

2 2 00sin 2 sin sin sin2F

A t A t A t tm

. (20.29)

Din ecuaia (20.29) rezult c superpoziia a trei oscilaii coliniare de aceeai frecvenciclic (trei termeni din partea stnga ecuaiei) reprezinto oscilaie armonicde aceeai frecvencicliccuamplitudinea 0F m . Prima oscilaie are amplitudinea

2A i este

defazat cu radiani nainte f de (20.28), a doua areamplitudinea 2 A i este defazat cu 2 nainte f de

(20.28), iar a treia are amplitudinea 20A i este n fazcu (20.28).

Oscilaia armonic din partea dreapt a ecuaiei (20.29) areamplitudinea 0F m i este defazat cu radiani nainte f de

(20.28). Diagrama vectorial a compunerii acestor oscilaii estereprezentat n figura 20.5. Din aceast diagram, utilizndteorema lui Pitagora, deducem expresia pentru amplitudineaoscilaiilor forate:

222 2 2 2 2 20 0

02 22 2 2 20

44

F FA A A

mm

. (20.30)

Din aceeai diagramrezultcfaza iniiala oscilaiilor rezultante, adica oscilaiilor din regimulpermanent este determinatde expresia

2 2 2 22 2 0 002 2 2

tg arctgA

A

. (20.31)

Formulele (20.30) i (20.31) reprezintamplitudinea i, respectiv, faza iniiala oscilaiilor forate(20.28). Din aceste relaii se observ c pentru o valoare dat a frecvenei ciclice a foreiperturbatoare amplitudinea oscilaiilor forate este constant i nu depinde de condiiile iniiale. Deasemenea, se mai observ c elongaia oscilaiilor forate rmne n urm cu fa de fora

perturbatoare pF . Se confirmi faptul experimental cfrecvena oscilaiilor forate coincide cu cea aforei perturbatoare, adicsistemul oscilatoriu preia frecvena acesteia, care diferde frecvena ciclicaoscilaiilor proprii 0 .

Experimental s-a stabilit camplitudinea oscilaiilor forate depinde de frecvena forei perturbatoare.Acest fapt se confirmi de formula (20.30), din care se vede caceastdependena este deosebit deputernicn apropierea valorii 0 cnd expresia de sub radical este mic, deci, amplitudinea este

mare.

Fenomenul creterii pronunate a amplitudinii oscilaiilor forate i atingerea valorii eimaxime la apropierea frecvenei forei perturbatoare de frecvena oscilaiilor proprii ale

sistemului se numete rezonan.

Fig. 20.5


9/15


9

Pentru determinarea frecvenei forei perturbatoare r , la care amplitudinea oscilaiilor forate este

maxim, dar i a valorii maxime a amplitudinii acestor oscilaii, v-om cere ca expresia de sub semnulradicalului din (20.30) s fie minim, adic v-om cere ca derivata acestei expresii s se anuleze laaceastvaloare:

r

22 2 2 20 4 0

d

d

2 2 2 2 2 2 2r 0 04 8 0 2r r r . (20.32)

unde este frecvena ciclica oscilaiilor amortizate, iarr

se numetefrecvende rezonan. Din

(20.32) se observ c n lipsa forelor de rezisten, cnd 0 frecvena de rezonan coincide cufrecvena oscilaiilor proprii ale sistemului oscilatoriu. Amplitudinea maxim sau amplitudinea derezonanse poate calcula nlocuind n (20.30) expresia pentru frecvena de rezonan(20. 32):

0 0

max 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 04 2 4 2

r

r r

F FA A

m m

0 0 0

4 2 2 4 2 22 2 20 00

4 4 8 24

F F F

m mm

. (20.33)

n cazul cnd 0 , adic n cazul cnd foraperturbatoare este constant n timp, sistemul oscilatoriurealizeazo deplasare constant 0 0A A de la poziia de

echilibru numiti deplasare static:

0 0

0 222 2 2 2 00

04

F FA

mm

. (20.34)

Dac , atunci 0A . n figura 20.6 estereprezentato familie de curbe de rezonanpentru diferitevalori ale coeficientului de amortizare . Din figur seobserv c n lipsa rezistenei mediului cnd 0 ,amplitudinea tinde asimptotic la infinit. Se mai observc

creterea coeficientului de amortizare conduce lamicorarea amplitudinii i a frecvenei de rezonan.

Dup cum se observ din (20.31), faza iniial aoscilaiilor forate, cu care acestea rmn n urm fa deoscilaiile forei perturbatoare, de asemenea, depinde defrecvena ciclica forei perturbatoare, dar i de coeficientulde amortizare . n particular, dac 0 , atunci i

0 . Dac 0 , atunci 2 , iar dac ,

atunci . nfigura 20.7este reprezentato familie decurbe ale acestei dependene pentru diferite valori ale

coeficientului de amortizare .

Fig. 20.6

Fig. 20.7


10/15


10

Viteza oscilatorului liniar supus oscilaiilor forate

sin cos sin 2d

x A t A t A tdt

vv ,

sau

sinA t v

v , (20.35)

unde

0 0

2 22 2 2 2 2 2 2 20 04 4

F FA A

m m

v

(20.36)

este amplitudinea vitezei oscilatorului, iar 2 este defazajul dintre vitezi fora perturbatoare:

2 2

0

1tg ctg tg 2

. (20.37)

Din (20.36) se observcamplitudinea vitezei devine maximpentru 0 , avnd valoarea

00max 2F

A Am

v v

(20.38)

n acest caz defazajul 0 . Aceasta nseamn c dac 0 , atunci viteza oscilatorului i fora

perturbatoare se afln faz.Dupcum am menionat i mai devreme, pentru valori fixe ale frecvenei forei perturbatoare i

ale coeficientului de amortizare , amplitudinea oscilaiilor forate este constant. Aceasta nseamn

cenergia consumatde sistemul oscilatoriu pentru a ntreine oscilaiile trebuie sfie compensatntotalitate de fora perturbatoare. Dar aceasta, la rndul su, nseamn c puterea medie absorbit desistemul oscilatoriu n decursul unei perioade a oscilaiilor trebuie s fie egal cu puterea mediedisipat de acest sistem n decursul acestei perioade. S demonstrm aceast afirmaie. Conformdefiniiei puterea instantanee absorbit de sistemul oscilatoriu este egal cu viteza cu care foraperturbatoare efectueazlucru mecanic:

absF t dxdL

P t F t x t F t t dt dt

v ,

unde elongaia sinx t A t , iar viteza cost x A t v . Deci, puterea instantanee

absorbit 0 sin cosabsP t F A t t . (20.39)

Puterea medie absorbitn decursul unei perioade Ta oscilaiilor forei perturbatoare

00 0

1sin cos

T T

abs abs

F AP P t t t dt

T T

00

sin cos cos sin sinT

F At t t dt

T


11/15


11

00 0

cos sinsin sin 1 cos 2

2

T TF A

td t t dt T

0 0sin sin2 2

F A F AT

T

. (20.40)

ns, conform (20.31)

2 22 2 22 2 2 20

0

sin 2 tg 2tg sin

1 sin 1 tg 4

. (20.41)

Substituind (20.41) n (20.40) i innd seama de (20.30), pentru puterea medie absorbit de ctresistemul oscilatoriu n decursul unei perioade, obinem

2 2abs

P mA . (20.42)

Puterea instantanee disipatde ctre sistem n urma aciunii n interiorul lui a forei de rezistenesteegalcu viteza efecturii lucrului mecanic de ctre aceastfora:

2 2 2 2 22 2 cosrezdisF dxdL

P t r x mx mA t dt dt

. (20.43)

Puterea medie disipatntr-o perioada oscilaiilor sistemului

2 2

2 2 2

0 0

1 2cos

T T

dis dis

mAP t P t dt t dt mA

T T

, (20.44)

ceea ce coincide cu (20.42), dupcum i trebuie sfie.

20.3. Oscilaii electrice forate

Oscilaiile electromagnetice ale curentului din circuitul oscilant(20.22) se amortizeaz datorit pierderilor de energie la nclzireaconductoarelor de conexiune i a bobinei, care n mod obinuit posedrezisten electric. Pentru a ntreine oscilaiile electromagnetice ncircuitul oscilant trebuie sconectm n acest circuit o sursde curentcu t.e.m. variabil t1 (t.e.m. perturbatoare) (fig. 20.8). nconformitate cu Legea lui Ohm (14.24) scris pentru poriuneaneomogende circuit 1RL2 avem

1 2 1 2

ai t dII IR L t

R dt

1 11 , (20.45)

unde, ca i n 19.1, 1 2 q C este diferena de potenial dintre armturile condensatorului, q

este sarcina unei armturi a condensatorului, iar I dq dt . Aici se considero sursidealde curent,pentru care rezistena interioareste neglijabiln comparaie cu rezistena circuitului R . Acum ecuaia(20.45) poate fi scrissub forma

2

202

1 12

d q dq q R qL R t q q t q q q t

dt dt C L LC L L 1 1 1 , (20.46)

Fig. 20.8


12/15


12

unde 2R L este coeficientul de amortizare a oscilaiilor libere din circuit, iar 0 1 LC estefrecvena ciclica oscilaiilor proprii, adica oscilaiilor ce se produc n lipsa rezistenei electrice R acircuitului. Dac t.e.m. perturbatoare p t1 variaz dup legea armonic 0 sinp t t 1 1 , atunci

ecuaia difereniala oscilaiilor electrice forate (20.46) devine

20 0

12 sinq q q t

L 1 , (20.47)

adiccoincide formal cu (20.25), n care trebuie de substituit x q , 0 0F 1 i m L . De aceea i

soluia ecuaiei (20.47) trebuie scoincidcu (20.28):

0 sinq t q t , (20.48)

unde amplitudinea oscilaiilor sarcinii de pe armturile condensatorului 0q i faza iniial a acestor

oscilaii se calculeazdupformule analogice cu (20.30) i (20.31):

0 0 0

0 2 2 22 2 2 22 2 2 2 20

1 14q

LL R L L R

LC C

1 1 1 (20.49)

i

2 20

2tg

1R

LC

(20.50)

Graficele dependenelor amplitudinii 0q i a fazei iniiale de frecvena ciclica t.e.m.perturbatoare

sunt analogice celor reprezentate nfigura 20.6i, respectiv, nfigura20.7. n particular, pentru 0 ,adic pentru o t.e.m. staionar, faza iniial 0 0 , iar 0 00q C 1 , care reprezint sarcina

condensatorului la o diferende potenial 01 constantla armturile lui. Dac , atunci 0 0q ,

iar .Intensitatea curentului n circuit

0 0 0cos sin sin2dq

I q t I t I tdt

(20.51)

unde 0 0I q este amplitudinea intensitii curentului, iar 2 este faza iniial a acesteia,

adicdefazajul dintre intensitatea curentului i t.e.m.perturbatoare:

00 2

2

,1

11

tg tg 2 ctg .tg

I

L RC

LC

R

1

(20.52)


13/15


13

Amplitudinea intensitii curentului 0I atinge valoarea maxim(adicare loc fenomenul de rezonan)

atunci, cnd expresia de sub radical din (20.52) este minim:

2

202

1 1 1 10 2 0 .

rr

r

dL R L Ld C C C LC

Valoarea maxim a amplitudinii intensitii curentului, adicamplitudinea la rezonan 0 0rI R 1 , iar 0 0 0I . nfigura 20.9 este reprezentat o familie de curbe de rezonan aintensitii curentului pentru diferite valori ale rezistenei electricea circuitului. Se observ c valoarea maxim a amplitudiniiintensitii curentului este cu att mai miccu ct este mai marerezistena electricR a circuitului. Defazajul dintre intensitateacurentului i t.e.m. perturbatoare la rezonan este 0r .

Pentru 0 , 0 . Aceasta nseamn c n acest caz

intensitatea curentului avanseaz fat de t.e.m. Aceast avansareeste cu att mai mare cu ct este mai micfrecvena . Cea maimare avansare se obine pentru 0 cnd 2 . Pentru

0 , 0 . Deci, n acest caz intensitatea curentului ntrzie

fa de t.e.m. Cea mai mare ntrziere se obine pentru cnd 2 (fig. 20.10).

Cu ajutorul relaiilor (20.48) i (20.51) pot fi determinate cderile de tensiune Ru pe rezistorul R ,

Cu pe condensatorul Ci Lu pe inductana L :

0

0 02 1

sin sin ,

sin sin sin ,2 2

cos sin sin .2 2

R R

C C

L L

u IR I R t U t

q Iqu t t U t

C C C

dIu L I L t I L t U t

dt

(20.53)

Din aceste relaii rezultcoscilaiile tensiunii Ru la rezistorul R sunt n fazcu oscilaiile curentului

din circuit, oscilaiile tensiunii Cu la condensatorul Cntrzie fade oscilaiile curentului cu 2 , iar

oscilaiile tensiunii Lu la inductana L avanseaz fa decurentul din circuit cu 2 . Dup cum se observ din

(20.53), amplitudinile cderilor de tensiuneR

u ,C

u iL

u

sunt:

0 0

00

0 0

,

,

,

R

C C

L L

U I R RI

IU X I

C

U I L X I

, (20.54)

Fig. 20.9

Fig. 20.10


14/15


14

unde 1CX C i LX L au semnificaia unor rezistene i au fost numite rezisten electric

capacitiv sau reactan capacitiv i, respectiv, rezisten electric inductiv sau reactaninductiv, iar R este numitrezistenelectricactiv. Totodatmrimile

22 2 2

1 ,

1,

C LX X X LC

Z R X R LC

(20.55)

se numesc rezisten reactiv sau reactan i, respectiv, rezisten total sau impedan acircuitului electric. Cu ajutorul acestor noiuni relaiile (20.52) captaspectul:

00 ,

tg .

IZ

X

R

1

(20.56)

La rezonan, cnd 1r LC , reactanele capacitiv i inductiv devin egale

C LX X L C , astfel nct reactana se anuleaz 0X , iar impedana Zatinge valoarea minim

minZ R . Cderile de tensiune pe elementele circuitului devin:

00 , .R C L

LU U U

R C

11

Puterile instantanee absorbit de circuitul electric i disipat de acesta pot fi determinate prinanalogie cu (20.39):

0 0 sin cosabsP t I t t 1 (20.39,a)

i cu (20.43):

2 20 cosdisP t RI t . (20.43,a)

Ca i n cazul oscilaiilor mecanice puterile medii absorbiti disipatn decursul unei perioade aoscilaiilor forate ale curentului din circuit sunt egale ntre ele i pot fi obinute din (20.42) i (20.44)prin urmtoarele substituii formale n aceste expresii m L , 0A q , 0 0F 1 , innd seama c

2R L , iar 0 0q I . Astfel, innd seama i de (20.52), se obine2 2

2 2 2 2 0 00 2

2

.2 2 1

2abs dis

RI RRP P mA Lq

LL R

C

1 (20.57)

Pentru puterile absorbiti disipatse observ, de asemenea, fenomenul de rezonan, acestea atingndvaloarea maximatunci cnd numitorul expresiei (20.57) atinge valoarea minim:

2

202

1 1 1 10 2 0 .r

dL R L L

d C C C LC


15/15


15

Valoarea maxima acestor puteri care se atinge la rezonan, dupcum rezultdin (20.57), este

20

max 2P

R

1. (20.58)

Curba de rezonanse caracterizeazcu frecvena de rezonani cu valorile maxime ale puterilorabsorbiti disipat. Totodat, ea mai poate fi caracterizeazi cu lrgimea (semilrgimea) curbei derezonan(fig.20.11).

diferena dintre frecvenele ciclice 2 i 1 ale t.e.m. perturbatoare pentru care putereaabsorbit sau cea disipat de sistem constituie jumtate din puterea maxim se numetelrgime (semilrgime) a curbei de rezonan:

2 1 .

Frecvenele ciclice 2 i 1 se determin, deci, din condiia

22 22 20 0

22

1 1 1 12

2 2 21

RL R R L R

R C CL R

C

1 1.

Aceastecuaie are urmtoarele dousoluii:

2 21 0

2 22 0

,

,

(20.59)

unde 2R L , iar 0 1 LC . Astfel lrgimea liniei derezonan

2 R

L , (20.60)

iar lrgimea ei relativ

0 0

2 R

L C

. (20.61)

Din comparaia relaiilor (20.61) i (20.21,b) rezultcfactorul de calitate al circuitului electric poate fi

determinat i cu mrimea inversa lrgimii relative a curbei de rezonan:

0 0

2Q

. (20.62)

Fig. 20.11

Documents

20 Oscilatii Amortizate Si Fortate