Upload
dobao
View
327
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
U. Oscilații și unde
U.1. Oscilatorul armonicU.2. Ecuația oscilatorului armonicU.3. Paralela între oscilațiile mecanice și electromagneticeU,3, Energia oscilatoruluiU.5. Undele electromagneticeU.6. Spectrul undelor electromagneticeU.7. Ecuația undei planeU.8. Principiul lui HuygensU.9. Reflexia si refracția undelor. Indicele de refracțieU.10. Unde staționareU.11. Interferența undelorU.12. Difracția undelorU.13. Principiul Huygens-FresnelU.14. Difracția pe o fantă
U.1. Oscilatorul armoniceste definit prin mișcarea descrisă de proiecția pe diametru a rotației unui punct cu viteză uniformă.
De exemplu proiecția pa axa y a rotației unui punct pecercul de rază A cu viteza unghiulară constantă este: ωtAy(t) sin
unde am introdus:y : elongațiaA : amplitudinea
Tπω 2
: pulsația(viteza unghiulara)
T : perioada
Tν 1 : frecvența;
se masoarăîn herțiHz=s-1
y
=Aφ=ωt
φ=ωt : faza
A
Reamintim că vectorul r care se rotește cu oviteză unchiulară constantă de numește fazor
ωtωAtd
dydttd
dtdy(t) cos
)()(v
y(t)ωωtAωdty(t)d
dt(t)da 22
2
2
sinv
Viteza este derivată spațiului în raport cu timpulIntrucat derivarea funcției cos trebuie facută dupaargumentul ei φ=ωt , înmulțim și impărțim cu d(ωt):
Accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul.făcand aceeași operație ca mai sus obținem:
kyymωdtydmmaF 22
2
Intrucât derivata vitezei este derivată a doua a spațiului,rezultă ca pentru oscilatorul armonic forța este de tip elastic, adică este proporțională cu elongația:
Obținem în acest mod ecuația oscilatorului
armonic
022
2
y(t)ωdty(t)d
2mωk
U.2. Ecuația oscilatorului armonic
unde:
U.3. Paralela între oscilațiile mecanice și cele electromagnetice
Oscilații mecanice ale unei mase prinse de un resort elastic: In decursul oscilațiilor energia potențială a resortului când elongațiaeste maximă se transformă în energia cinetică a masei m cândtrece prin poziția de echilibru și invers
Oscilații electromagnetice ale unui circuit LC:In decursul oscilațiilor energia electrică a condensatorului se transformă în timpul mișcării sarcinilor de pe plăcile acestuia(deci apariția unui curentel ectric) în energia magnetică abobinei prin fenomenul de inducție electromagnetică și invers
oscilațiile mecanice și oscilațiile electromagnetice
m: masa oscilatorului L: impedanța bobinei
k: constanta elastică a arcului C1 : inversa capacității condensatorului
y: elongația arcului q: sarcina electricaă a condensatorului
kyF : forța elastică a arcului Cqu : tensiunea condensatorului
dtdy
v : viteza masei dtdqi : intensitatea electrică în bobină
dtdmmaF v
: forța de inerție dtdiLu : tensiunea indusă
Pulsația oscilatorului
mkω
LC1
Obținem deci urmatoarea paralela între
U.4. Energia oscilatorului
este suma energiei cinetice si a celei potențiale.Considerand k=mω2, obținem ca
energia totala se conserva:
222sin
2cos
22v
222222222
22
kAAmtAmtAm
kymEEE pc
Energia oscilatorului este proporțională cu patratul frecvenței oscilației, deoarece:
22
Tπω
In cazul circuitului LC, conform cu regulile de echiva-lenta cu resortul mecanic,energia totală se poate scriefie ca energie electrică acumulată în condensator, ori ca energie maximă a câmpului magnetic al bobinei:
2
222
22
m
m
LI
CUCqE
U.5. Undele electromagneticese obțin ca rezultat al urmatoarelor fenomene:
Inducția electromagnetică: variația câmpului magnetic produce câmp electric Inducția magnetoelectrică: variația câmpului electric produce câmp magnetic
Producerea reciprocă de campuri oscilante se propagă sub formă de
unde electromagnetice polarizate în plane perpendiculare
cTλ definește lungimea de undă,ca distanța între două maxime susccesive
James Maxwell a dedus teoretic in 1865 faptul că:undele electrice sunt in faza si polarizate perpendicular
pe cele magnetice, propagandu-se în vid cu viteza constantă:
00
1
c 3. 108 m/s
James Clark MaxwellFizician si matematician scotian (1831-1879)
Heinrich Rudolf HertzFizician german (1857-1894)
Undele electromagnetice au fost detectate de Heinrich Hertz in 1886
U.6. Spectrul undelor electromagneticeraze γ : fizica nucleară
raze X : fizica atomică și molecularăraze ultraviolet, vizibile și infraroșii:
opticamicrounde: electronica
unde radio: radio electronica
U.7. Ecuația undei plane
Oscilația unui punct se propagă într-un mediu sub formă de unde.Presupunem ca în origine x=0 mediul oscilează dupa o lege armonică:
ωtA,t)y( sin0
Considerăm că oscilația se propagă într-oDirecție dată sub formă de undă plană cu viteza c
cxt 1Punctul x începe să oscileze dupa timpul:
Prin urmare valoarea amplitudinii y(x,t) va fiegală cu cea din origine y(0,t’) la momentul:
cxtt'
x
y(0,t-x/c) y(x,t)
0
Obținem astfel urmatoarea relație,care se numește ecuația undei plane
]cxt[ωA)
cx,ty(y(x,t) )(sin0
unde am introdus urmatoarele mărimi:
Tπω 2
: pulsația
λπ
Tcπ
cωk 22
: numarul de undă (analogul spațial al pulsației)
cTλ : lungimea de undăse masoară în metri (m)
)]λx
Ttπ([Akx)t(Ay(x,t) 2sinsin
Aceasta descrie cum oscilează în timp un punct aflatla distanța x și se mai poate scrie sub formele urmatoare:
U.8. Principiul lui Huygens Orice punct al mediului, pâna la care a ajuns frontul de undă,
poate fi considerat ca o noua sursă de oscilație, astfel încât propagarea sâ se continue mai departe în toate direcțiile
Principiul lui Huygens nu este unul fundamental ci mai degrabăo metodă simplă de calcul pentru diverse fenomene ondulatorii
Christiaan Huygens (1629-1695)
Fizician olandezExplicația fenomenului de refracție
din cartea sa
Exemple de aplicare pentru principiului lui Huygens
Refracția este schimbareaDirecției de propagarea undelor la trecereaîn alt mediu
Difracția este schimbareaDirecției de propagarea undelor la trecereaprintr-o fantă
U.9. Reflexia și refracția undelor
Reflexia este schimbarea direcției de propagare a undelor în același mediu la contactul cu alt mediu
Legea reflexiei
Unghiul de incidentă este egal cu unghiul de reflexie
'11
‘
Refracția este schimbarea direcției de propagare a undelor la trecerea în alt mediu
Din comparareatriunghiurilor A’A”B” si A’B”A’”cu latura comună A’B’”Obținem relațiile:
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
nn
vv
tvtv
rr
sinsin
unde am introdus vitezelede propagare v1, v2 șiindicii de refracție n1, n2
pentru fiecare mediu.
Obținem legea refracției(Legea lui Snellius)
2211 sinnsinn
n1
n2
ϑ2
ϑ1
U.10. Interferența undelor
este compunerea a doua unde coerenteCoerenta: doua oscilații sunt coerente daca defazajul
între ele ramane constant în timpFranjele de interferenta (maxime si minime)
provin de la compunerea undelor ce trec prin doua fante lineare
F1 și F2 de lărgimi comparabile cu lungimea de undăSistemul din figură se numește dispozitivul lui Young
F2
F1
r2
r1
Δr
)sin()sin()sin()( 2211 tAkrtAkrtAty
Compunerea oscilațiilor într-un punct Pcare se află la distanța
r1 de prima fantă F1 și r2 fața de a doua fantă F2
P
F2
F1
Cele doua oscilații se compun astfel:
In vederea determinării amplitudinii și fazei undei rezultanteutilizăm tehnica de adunare a fazorilor corespunzatori.
Pentru calculul poziției maximelor și minimelor de interferențătrebuie sa compunem doua oscilații de faze inițiale diferite
)cos(2 212122
21
2 AAAAA y1
x
y2
φ φ1
A1
A2A
Aplicând regula generală de adunarea vectorilor rezultă urmatoarearelație pentru amplitudine
Suma proiectiilor y1 si y2 ale fazorilor A1 și A2 este egală cu proiecția y a fazorului sumat A, conform cu figura de mai jos
)sin()sin(
222
111
tAytAy
22
11
krkr
unde:
y1
x
y2
φ φ1
A1
A2A
φ2
Condiția de maxim: defazajul este număr par de semiunde iaramplitudinile se adună
Condiția de minim: defazajul este număr impar de semiunde iaramplitudinile se scad
21
21
2121
21
22
2)(2)(
1)(cos
AAA
nrr
nrrrrk
rrk
21
21
2121
21
2)12(
)12()(2)(
1)(cos
AAA
nrr
nrrrrk
rrk
Franjele de interferență pe un ecranse formează conform cu
Condițiile de maxim și minim
U.11. Undele staționaresunt un caz particular de interferență a doua unde de amplitudini egale care se propaga în sensuri
contrare, adică unda directă și cea reflectată
Unda reflectată pierde o semiundă (λ/2) la reflexia de perete
x1 x
x2=x1+2x
Condiția de maxim: defazajul este număr impar de sferturi de undă
Condiția de minim: defazajul este număr par de sferturi de undă
412 λ)n(x
42 nx
Unda incidentă parcurge x1 și se compune cu cea reflectată care parcurge distanta x2
după cum se poate vedea din figura de pe pagina urmatoare
Se formează un sistem de maxime (ventre) și minime (noduri) staționareSunt posibile armonice de ordinul n=0,1,2,3,...
U.12. Difracția undeloreste un caz particular de interferență a undelor
care provin de la punctele unei fante de dimensiune
comparabilă cu lungimea de undă.
Figura de difracție pe o fantă infinit lungă,poartă numele de difracție de tip Fraunhofer
U.13. Principiul Huygens-Fresneleste principiul Huygens completat cu principiul
Interferenței undelor provenite de la toate sursele punctuale.Acest principiu nu este unul fundamental, dar este o metodăpentru construcția figurii de difracție formată din maximele și
minimele care apar pe un ecran
Joseph von Fraunhofer (1787-1826)Fizician german
Augustin Jean Fresnel (1788-1827)Fizician francez
In punctul central A oscilațiile care vin de la fantă se compun având acceeași fază.Acesta este maximul central de interferență având amplitudinea maximă.
In punctul intermediar B diferenta de drum de la punctele din marginile fantei este
iar în ecuația de undăλπδ2
fxdddδ sin
B
A
f
ϑ
δ
d
C
x
)sin( tAy defazajul este:
U. 14. Difracția pe o fantăConsiderăm difracția pe o fantă dreptunghiulară infinită
Undele difractate trec printr-o lentilă convergentă iar figura de difracție se formează în planul focal ABC
In punctul C (fig. C) amplitudinea rezultantă de la toate punctele fantei se anulează (minim de interferență) și faza este în cazul general multiplu par de π
nλdfxnλδnπ
λπδ
22
deci diferența de drum este un număr întreg de lungimi de undă.In punctul urmator de maxim, constând din compunerea oscilațiilor
date de traiectoria C+B, faza este în cazul general multiplu impar de π
212
212122 λ)n(
dfxλ)n(δ)πn(
λπδ
deci diferența de drum este un număr impar de semilungimi de undă.
B
φ=0
φ=2π
A
φ=π
C
In punctul intermediar B (fig. B) amplitudinile se compun conform principiului Huygens-Fresnel de la fiecare element al fantei, defazajul total fiind: φ=π.
Intensitatea undelor funcție de unghi |A(ϑ)|2
difractate pe o fantă lineara
Figura de difractieprintr-o fanta patrata
Figura de difracțieprintr-o fantă circulară