1.1 Oscilat iimecanice1.1.1 OscilatorularmonicliniarCele mai simple oscialat ii, oscilat iile sinusoidale, au un rol fundamental deoarece oriceoscilat iepoatedescompusa ntr-osumadeoscilat iisinusoidale(teoremaFourier).Consideram un corp de masa m care se misca fara frecare n lungul axei x sub act iuneafort eielasticedinresort,F= kx,undekesteconstantaelasticaaresortului(v. g.).Aplic andlegeaadouaadinamiciicorpuluidemasam,sepoatescriemd2xdx2= kx (1.1)Notam20=km. (1.2)Noandd2xdt2 x,ecuat iasescrie x + 20x = 0. (1.3)Aceastaesteoecuat ieliniaraomogenadeordinul 2cucoecient i constant i. Cautamdouasolut iiliniarindependentedeformax = et. Rezultacatrebuiesae2= 20, = i0. Solut iageneralaaecuat ieiomogenepoatescrisasuboricaredinformele x = A1ei0t+ A2ei0t,x = C1 cos 0t + C2 sin 0t,x = Acos(0t + 0). (1.4)Vomfolosi forma(1.4) asolut iei. Constantele Asi 0sunt complet determinate decondit iile init iale, x(0) = x0; v(0) = v0. Constanta A este amplitudinea miscarii oscilatorii(departarea maxima fat a de pozit ia de echilibru), (t) = 0t +0reprezinta faza miscariioscilatorii lamomentul t, iar0reprezintafazainit ialaamiscarii oscilatorii. Miscareaesteperiodica,cuperioadaT=20= 2_mksaufrecvent a=1T=02.1Derivand,seobt ineexpresiavitezei,v= 0Asin(0t + 0)sauaccelerat iaa = 20Acos(0t + 0) = 20x.Energiaoscilatoruluiarmonic:Energiapotent ialaesteU(x) =kx22,astfelcaenergiatotalaesteE= T+ U=12m20A2sin2(0t + 0) +12m20A2cos2(0t + 0),E=12m20A2=12kA2.Energiatotalaseconserva siesteproport ionalacupatratulamplitudinii sifrecvent ei.1.1.2 Oscilat iiamortizatePresupunem ca miscarea corpuluidinsect iuneaanterioara se face si n prezent aunuimediuv ascos, astfel caasupracorpului act ioneazasi ofort adefrecareproprt ionalacuviteza,Fr= x.Constantapoartanumeledecoecientderezistent asi areunitateademasura nSI,< >SI=Nsm=Kgs.Ecuat iademiscaresescrie nacestcaz, x +m x + 20x = 0.Notam =2m; 20=km.se numeste coecient de amortizare (SI=s1). Cautamdouasolut ii liniarindependentedeformax(t) = exp t. satisfaceecuat iacaracteristica,2+ 2 + 20= 0,cusolut iile = _220.Suntposibile3cazuri:1. Miscareaperiodicaamortizata.In cazul frecarilor mici, pentru < 0, esteunnum arcomplex. Solut iageneralaaecuat ieidiferent ialesescriex(t) = C1e(+i202)t+ C2e(i202)t,2saux(t) = A0etcos(

t + 0). (1.5)Vomfolosi forma(1.5) asolut iei oscilat iilor libereamortizate. Pulsat iaoscilat iiloreste

=_202, mai micadecat ncazul absent ei frecarii. Perioadaestemai maredecat ncazulabsent eifrecarii,T

=2

.Amplitudineascadeexponent ial ntimp, A(t)=A0et. Logaritmul natural al rapor-tuluidintreelongat iilelaunintervaldetimpegalcuperioadaT

senumestedecrementlogaritmic,D = lnx(t)x(t + T

)= T

. (1.6)Desteadimensional.Oscilat iile amortizate se sting n timp. O masura a duratei oscilat iilor amortizate esteinversulcoecientuluideamortizare,numittimpderelaxare,=1=T

D.Energiatotalaaoscilat iilorscade ntimp,E(t) = E0e2t= E0emt.2. Miscareaamortizataaperiodica.Incazul ncare > 0solut iileecuat ieicarac-teristicesuntreale. Corpultrececelmultodataprinpozit iadeechilibru(nfunct iedecondit iileinit ialesolut iaestedetipul1,2sau3dingura).3Solut iageneralaestex(t) = C1e(+220)t+ C2e(220)t= et(C1e220t+ C2e220t).Elongat iatindeasimptoticcatrezero, corpul trecandcel mult odataprinpozit iadeechilibru.3. Miscareaperiodicacritica.Incazul ncare = 0,ecuat iacaracteristicaareosingur asolut ie, = ). Oaltasolut ieparticularaestedeformax(t)=tet. Celedouasolut iisuntliniarindependente,astfelcasolut iagenerala nacestcazestex(t) = (C1 + C2t)et.Miscareaesteaperiodica,asemanatorcucazuriledelapunctul2.1.1.3 Oscilat iifort ate. Rezonant a.Cumorice semnal periodic se descompune insemnale sinusoidale, presupunemcafort aexterioaracareact ioneazaasuprasistemuluiestedetipulF(t) = F0 cos t.Considerandsi ofort adefrecareca ncazul anterior(oscilat ii amortizate), ecuat iademiscareacorpuluidemasamva,m x + x + kx = F0 cos t.Aceastaesteoecuat iediferent ialaliniaradeordin2, neomogena. Solut iageneralaaacestei ecuat ii este suma dintre solut ia generala a ecuat iei omogene si solut ia particularaaecuat ieineomogene,x(t) = xomogen(t) + xpart(t).Solut ia generala a ecuat iei omogene a fost studiatan sect iunea anterioara. Contribut ia eiscade exponent ial n timp (factorul et), astfel ca, dupa trecerea unui regim tranzitoriu,candmiscareasestabilizeaza, nregimul permanent, ramanedoarsolut iaparticularaaecuat iei.4Pentru usurint a calculelor vom cauta o solut ie pentru termenul liber complex (F0meit,solut ianalaindpartearealadinsolut iacomplexagasitaastfel,F0 cos t = ReF0meit).Decivomcautaosolut ieparticularapentruecuat ia x + x + 20x =F0meit.Cautasolut iadeformaxpart(t) = Beit, unde B este numar complex. Impunand condit ia ca aceasta sa satisfaca ecuat ia, rezultaB(202+ 2i)eit=F0meit.RezultaB=F0/m202+ 2i.Acestaesteunnumarcomplex,B= |B| ei,cumodulul|B| =F0/m_(202)2+ 422sifazadatadetg=2202.ReprezentareaB nfunct iedeestedata ngura.Inapropierea = 0amplitudineaareunmaxim,cuatatmaiascut itcucatfrecareaestemaimica. Acestfenomenpoartanumelederezonant atensiunilor.Curbaderezonant aestecuatat mai ascut itacucat fort eledefrecaresunt mai mici.Maximulamplitudiniiseobt inedincondit iademinimpentrunumitor,dd2[(202)2+ 422] = 0.Rezultafrecvent aderezonant aaamplitudinilor,rez=_2022. (1.7)5Vitezacomplexaestedatadev= x = ix,carearemodululv0=F0m_(202)2+ 422=F0/m4 +_1 _0_2_2.Maximulamplitudiniivitezei,rezonant avitezelor,serealizeazapentru = 0. (1.8)61.2 Undemecanice(undeelastice)1.2.1 UndaplanaPentruaceastaunda, toatepunctelecareoscileaza nacelasi lafel (nfaza)seaa ntr-unplanperpendicu-larpedirect iadepropagare. Suprafet eleformatedinpunctele care se misca n acelasi mod, numite suprafet edefaza, sunt planeperpendicularepedirect iadede-plasareaundei.Subact iunea undei elastice, particulele mediului os-cileaza n jurul pozit iei de echilibru. Vom notaelongat iaparticulelorcareoscileaza nplanul perpen-dicularpeOX npunctul x, lamomentul t, cu(x, t)(Vomconsideradeplasareadeterminatadeocantitatescalara, nalte cazuri perturbat iantr-unpunct estedeterminatadeomarimevectoriala,

(x, t)).In continuare vom considera unde plane care se propaga fara atenuare pe direct ia axeix, cu viteza v. Fie (0, t) elongat ia particulelor care oscileaza n origine.Intr-un punct cucoordonatax,lamomentultperturbat iavaaceeeasicaceadinorigine,dar ntarziatacutimpulnecesarundeipentruaajungedinorigine nx:(x, t) = (0, t xv) = f(t xv) = F(x vt)Aceasta este forma generala a unei unde plane care se propaga n sensul pozitiv al axei x(undaplanaprogresiva),cuvitezav. Formageneralaauneiundeplanecaresepropagansensnegativalaxeix(undaregresiva)esteg(t + x/v)Pentruoundaplanacaresepropagapeodirect ieoarecare, cuversorul direct iei depropagare n,formaundeiva(x, t) = f(t n rv).Princalculdirectsepoatearatacaoasemeneaundasatisfaceecuat iaundelor2x2+2y2+2z2=1v22t2.1.2.2 UndamonocromaticaplanaInundamonocromaticaoscilat iilepunctelormediuluisuntarmonice(t) = Acos(t + )Dacaundamonocromaticaeste sioundaplana,dependent adetimpune sidependent adecoordonate, deoarece,deexemplu, pentruoundacaresepropagapedirect iaaxei x,tintra ncombinat iat x/v. Oundamonocromaticaplanacaresepropaga nsensulpozitivalaxeixva(t) = Acos (t xv) (1.9)7estepulsat iaundei,= /2estefrecvent aundei,T= 2/esteperioada.Elongat ia are si o periodicitate spat iala, punctele x+ si oscileaza la fel, (x+, t) =(x, t). senumestelungimedeunda.Lungimeadeundaestedistant aparcursadeunda ntr-operioada. = v T=2v(1.10)Sedenestevectorul deunda k, vectorulorientatdupadirect iadepropagareaundeisiavandmodululk = /c = 2/:

k =2n =vn, (1.11)cu nversoruldirect ieidepropagareaundei.Ecuat iaundeimonocromaticeplanecaresepropaga ndirect iaversorului nva(r, t) = Acos(t

k r) (1.12)Marimea = t

k rpoartanumeledefazaundei n r,lamomentult. Vitezacucaresepropagafazacoincidecuvitezadedeplasareaundei.Reprezentareaprinnumerecomplexe:(1.12)poatescrisa sicapartearealaaunuinumarcomplex(r, t) = Re_Aei(t

kr)_.Uneori numai scriemexplicitparteareala, atunci candoperat iilenuamestecaparteareala cu cea imaginara se lucreaza cu numerele complexe si se subant elege ca partea realaseextrage nnal. Astfelundaplanavareprezentataprin(r, t) = Aei(t

kr).Desi sunt foarte simple, undele monocromatice au o important a deosebita deoarece o undaoarecarepoatedescompusa nundeplanemonocromatice(descompunereFourier).1.2.3 Interferent aDacaexistamai multesursedeoscilat ii, unpunctal mediului semiscaduparezul-tantaobt inutaprincompunereaacestoroscilat ii. Elongat iarezultantasecompunevec-torial dinsumaelongat iilorproduseseparatdeecareoscilat ie(principiul suprapuneriiindependente).Fenomenul suprapunerii undelor, cuntarirea sauslabirea reciproca a oscilat iilor,reprezintainterferent aundelor.Pentruproducereainterferent ei trebuie casursele sae coerente: saaibaaceeasifrecvent a sidiferent alordefazasaeconstanta ntimp.8FieS1si S2douasursecaredauoscilat iinfaza,pe aceeasi direct ie.Inpunctul Poscilat iarezul-tantarezultantaprinpropagareaundelorplanedelacele douasurse vasumaoscilat iilor date deecareunda,= 1 + 2.= A1 cos (t kr1) + A2 cos (t kr2) = Acos (t ) .Dezvoltandcos sisin siidenticandcoecient iicost sisin t,seobt ineAcos = A1 cos kr1 + A2 cos kr2Asin = A1 sin kr1 + A2 sin kr2.Amplitudineaoscilat iilorrezultantevaA2= A21 + A22 + 2A1A2 cos k(r2r1).Marimeaamplitudiniirezultantedepindedediferent adefazadintreoscilat iileajunse nP, =k(r2 r1)saudediferent adedrumr=r2 r1acelordouaunde. Dacadiferent adedrumesteunmultiplu ntregdelungimi deunda, r=n, cunnumarntreg),amplitudineaestemaxima,A = A1 + A2,iar dacadiferent ade drumeste unmultipluimpar de jumatate de lungime de unda(r = (2n + 1)2,nunnumar ntreg)amplitudineaesteminimaegalacuA = |A1A2|91.2.4 Variat iadensitat ii si presiunii nundasonoraplanalon-gitudinalaConsideramundesonorelongitudinalecaresepropaga ntr-ungaz(aat ntr-untubdesect iune S). Unda consta din comprimari saurareeri ale gazului n lungul direct iei depropagareaundei. Microscopicacestlucruestedatoratdeplasarii(oscilat iei)particule-lor mediului n lungul direct iei de propagare.Fie (x, t) funct ia care da deplasarea fat a depozit ia de echilibru, la momentul t, a partic-uleicarearepozit iadeechilibrux.Saconsideramoport iunedeuidcarelaechilibruseaadelapozit iaxlax + dx, demasadm = 0Sdx. Lamomentult,departareafat adepozit iadeechilibruazonelordegranit a va (x, t), respectiv (x+dx, t) = (x) +xdx, asa cum se vede n gura. Masaport iuniisepastreaza,darseschimbadensitatea,dm = 0Sdx = S(1 +x)dx.Rezulta = 0= xsau=0= x.Dar, pentru o unda plana (x, t) = f(t xc), astfel ca viteza la momentul t a particulelormediuluicareseaau npozit iadeechilibru nxvav=t=dduut=ddu,undeu = t x/c(cestevitezaundei),iarx=dduux= 1cddu= vc.Rezulta0=vc. (1.13)Variat ia relativa a densitat ii unui uid ntr-o unda plana progresiva este egala cu raportuldintrevitezaparticuleisivitezaundei.10Vitezaundelor nuideConsideram tot o port iune de uid ntre x six + dx,desect iuneS.Fort acareseexercitape suprafat a S este F= pS. La trecerea un-dei elementul demasadmsemisc aaccele-rat,fort acaredeterminaaceastaaccelerat ieindcearezultatadinvariat iadepresiune,pecareoputemlegadevariat iadedensi-tateauidului, careafostgasitaanterior.Latrecereaundeimiscareaesterapida, ast-fel ca nu are loc transfer de caldura de la unelementdevolum,laaltul nvecinat.Variat iapresiuniiareloc ntr-unprocesadiabatic,astfelcap =_p_ad.Peecareplanx = constpresiuneavariazacup(x, t),astfelcaelementuldemasadmsemiscasubact iuneafort eidF= [p(x) p(x + dx)] S=_p_ad[(x) (x + dx)] S=_p_adSdx02x2.DinlegeaaII-a,dF= dm2t2,astfelca0Sdx2t2=_p_adSdx02x2,deci2t2=_p_ad2x2.Comparandcuecuat iaundelorrezultacavitezaundeisonoreestec =__p_ad. (1.14)T inandcontdelegatura ntrevariat iadepresiune sivariat iadedensitate,sepoatescriep = c2 (1.15)Variat iadepresiune nundasonoraestedec2orivariat iadedensitateauidului.Pentruoundaplana, = 0v/c,astfelcap = 0cv. (1.16)Variat iadepresiune nuidprodusadeundaplanaesteproport ionalacuvitezaundei sivitezaparticulelormediului.111.2.5 Densitateadeenergieaundei. IntensitateaundeiIntr-unelement de volumde dimensiuni foarte mici (astfel ncat marimile s a nuvariezesemnicativ ninteriorul acestui volum), oscilat iileparticulelormediului deter-minaprezent auneianumitecantitat ideenergiemecanica.Energiacineticapeunitateadevolum(nedeformat), densitateadeenergiecineticawc,estewc=120v2.Energiapotent ialapeunitateadevolum(nedeformat)Pentruaocalculafolosimmodelul Newtonpentruadescriecomportamentulgazului(F.S.Crawford-Cursul FizicaBerkeley-vol III). Gazul nchis ntr-unvassecomportacaunresortcomprimat. Dacaaeruleste nchis ntr-uncilindrulung,avandlauncapatunperetex, iarlacelalaltcapatunpistonmobil faramasa(caresemiscafarafrecare),gazulsecomportacaunresort(v. corespondent acelordouasisteme ngura).Pentruresortul delungimenedeformataL1, fort aexterioaraF, aplicatapistonu-lui,vaducelacomprimarearesortuluilalungimeaL,astfelcaF= k(L1L)(fort a este variata foarte lent de la 0 la Fastfel ca aceasta comprimare sa se faca laviteza(aproape)zero). kesteconstantaelasticaaresortului.Ovariat ieaacesteifort evaducelaovariat iealungimiiresortuluiF= kL.Energiapotent ialaaresortuluicomprimatcuLesteWp=kL22=(F)22k. (1.17)Revenim la gaz. Fie A suprafat a pistonului. Daca presiunea gazului este p, fort a cu caretrebuies aact ionampistonuldinexterioresteF= p A.Laovariat ieafort eiexternearelocovariat ieapresiuniigazului,respectivovariat ieavolumuluiF= Ap = A_ pV_0V=_ pV_0A2L,unde schimbarea presiunii cu volumul este luata pentru tipul de proces care are loc n gaz.(Newton a presupus ca la trecerea undei procesul n gaz este izoterm, procesul corect esteceladiabatic). Vomluaaceastatransformare,transformareaadiabatica. Comparandcuresortuldescrisanterior,rezultak = A2_ pV_ad(1.18)12Dar,pentruomasaconstantam = V= const,dV= V00d,astfelcak = A2_ pV_ad= A2_p_ad0V0.Energiapotent iala nmagazinata ngazul ncarepresiuneaavariatcup(comparandcu(1.17))vaWp=A2(p)22k=A2(p)22A2_pV_ad0V0.Energiapotent ialapeunitateadevolumnedeformatvawp=(p)22_pV_ad0=(p)22c20. (1.19)Pentruoundaplana,p = 0cv,astfelcawp=0v22= wc, (1.20)densitateadeenergiecineticaesteegalacudensitateadeenergiepotent iala, deci densi-tateadeenergiemecanica(datoratapropagariiundei nmediu)estew = 0v2=10c2 (p)2. (1.21)Pentru unda monocromatica plana, v= Asin(t kx), astfel ca densitatea energeticamediata ntimpva w =1TT_0(t)dt = 0A22 1TT_0sin2(t kx)dt =120A22. (1.22)Densitatea de energie a undei, mediata n timp, este proprt ionala cu patratul amplitudiniideoscilat ieaparticulelormediuluisicupatratul frecvent eiundei.Fluxul deenergiepeosuprafat areprezintaenergiacaretrece nunitateadetimpprinaceasuprafat a.Fie un element de suprafat a dS, strabatut de o undacarevinepedirect iaceformeazacunormalalasuprafat aunghiul. EnergiadWcarestrabatesuprafat apedurata, ntre momentele t si t+, este energia care se aa la mo-mentul t n volumul cilindrului cu baza dSsi generatoareac(v. gura alaturata), astfel ca aceasta energie este egalacuvolumulcilindrului nmult itcudensitateadeenergie,dW= c cos dS w.Fluxulprinsuprafat adSvad = wc cos dS.13Intensitateaundei reprezinta uxul mediu pe unitatea de suprafat a perpendicularapedirect iadedeplasareaundei.I= wc = 0cv2=10cp2. (1.23)Vitezaefectivasedenestecaindvef=v2, iarpresiuneasonoraps=_p2. Deci,intensitateauneiundesonorepoatescrisa sicaI= 0cv2ef=p2s0c. (1.24)PentruundamonocromaticaplanaI=120cA22. (1.25)1.2.6 ElementedeacusticaziologicaNivelulsonorUrechea nu sesizeaza liniar intensitatea sunetului,ci ntr-o scara logaritmica, n plus,intensitateasenzat ieiauditivedepinzand sidefrecvent asunetului.LegeaWeber-Fechner: Variat iaintensitat ii senzat iei auditive este proport ionalaculogaritmul raportuluiintensitat ilorrespectivealeexcitat ieiS2S1 S= k lg I2I1. (1.26)Aceastaarataimportant apracticaaurmatoareimarimi:Nivelul de intensitate sonora(exprimatnbeli(B)) este logaritmul raportuluidintreintensitateasunetului siintensitateaI0aunuisunetdereferint a,L(B) = lgII0(1.27)Aceastmoddepercept ie nscaralogaritmicaesteoadaptarelauninterval largdeintensitat i (interval dependent de frecvent a). Pragul auditiv inferior este limita inferioaraaintensitat ii unui sunet cepoateperceput deureche. La1kHz-3kHzestedeI0=1012W/m2. Praguldedurerereprezintaintensitateasunetuluilacareurechea ncepesasimtasenzat iadedurere. Eleste njurde100W/m2.Inpracticasefolosesteunsubmultiplu,decibelul(dB),L(dB) = 10 lgII0= 20 lgpsps0. (1.28)Aplicat ieInmodobisnuitseiaintensitateastandardI0= 102W/m2. Injurde440Hz,praguldeaudibilitateeste1010I0, iarpragul dedurereestelaintensitat i de100I0 1000I0.Luampragul dedurere1000I0. Rezistent aacusticaaaerului, denitacaR=0c, este428N s/m3.14a) Sa se ae amplitudinea oscilat iilor pentru pragul de audibilitate si pragul de durere;b)Sasecalculezepresiuneasonorapentruacestecazuri;c)Sasecalculezenivelul sonor ntreacestepraguri.a)A =_2IR2;0, 25A,0, 1mm.b)ps=RaI;2 105N/m2,65N/m2.c)N= 10 lgI1I2= 130dB.1.2.7 Dispersiaundelor. Pachetdeunda. VitezadegrupFenomenul dedispersieapareatunci candvitezadepropagareaundelormonocro-matice (viteza de faza) depinde de frecvent a undei (sau de lungimea de unda), c = c()).Ounda monocromatica este innitan spat iusitimp. Ea nupoarta informat ie. Semnalele suntnsasuprapunerideundemonocromatice. Ungrup(pachet)deundereprezintaunansambludeundemonocromatice cufrecvent e apropiatentre elesivectori de unda apropiat i ntre ei. Amplitudinea pa-chetului (a semnalului) se propaga n spat iu. Maxi-mulamplitudinii(deci sialdensitat iideenergie)sepropagacuovitezanumitavitezadegrup,vg.Maidepartevomconsidera undemonocromatice plane care sepropagape direct iax.Vomadoptareprezentarea ncomplexaundeimonocromaticeplane(v. sect iuneaundemonocromatice plane), (x, t) = Aei(tkx). k este vectorul de unda, k = /c = 2/ sau= c k. Relat ia= (k)poartanumelederelat iededispersie.Fieungrupdeundemonocromaticecuvectoruldeundak ntr-uninterval ngust njurulunuivectordeundak0,(k0k, k0 + k):(x, t) =k0+k_k0kA(k)ei(tkx)dk. (1.29)Fie= k k0. Atunci 0 +ddkk0,iarA(k) A(k0). Pachetuldeundedevine(x, t) = A(k0)ei(0tk0x)k_kei(ddk|k0tx)d= 2A(k0)sin( ddkk0t x)k( ddkk0t x)ei(0tk0x).Notand = ( ddkk0t x)k,sepoatescrie(x, t) = 2A(k0)ksin (x, t)(x, t)ei(0tk0x).Aceasta unda poate interpretata ca o unda monocromatica cu vector de unda k0, dar cuo amplitudine care depinde de x si t. Amplitudinea este determinata de factorul sin/,careestereprezentat ngura1.1. Maximulcorespundela = 0,adica15Figura1.1: Funct iasin/areunmaximascut it njurullui = 0.ddkk0t x = 0.Acestmaximalamplitudiniisepropagapeaxaxcuvitezavg=xt=ddkk0. (1.30)Aceastaestevitezadegrup1Dacamediul estenedispersiv(cnudepindedek), vg=c, vitezadegrupesteegalacuvitezadefazaacomponentelorpachetuluideunde.Atuncicandsecunoastedependent ac = c()orelat ieutilaesteformulaRayleigh:vg=ddk=d(ck)dk= c + kdcdk= c dcd.In cazul n care dc/d > 0 (dispersie normala), viteza de grup este mai mica decat vitezadefaza.1.2.8 EfectulDopplerEfectul constanschimbareafrecvent ei sunetuluinregistreat deobservator atuncicandsursasau/siobservatorulseaa nmiscare.1. Sursa nmiscare,observatorx.1Incazulpropagarii nspat iultridimensionaldupavectoruldeunda

k, vg=dd

k , adicavgx=kx,vgy =ky,vgz =kz.16Considerammomentul 0, momentul lacare sursaemite nceputuluneiperioade(sursa nA).Lamo-mentul ncareseemitesfarsitul unei perioade, T,sursa se aa n B, AB= vsT. Semnalul care pleacadinAparcurgedistant ar1panalaobservatorulO,astfelca nceputulperioadeipentruobservatorulOestelamomentul t1=r1/c, iarmomentul lacaresosestesfarsitulperioadeiestelat2= T+ r2/c.Perioada nregistratadeobservatorulOvaT

= (T+ r2/c) r1/c.In aproximat ia observatorului la distant a mare de sursa (aproximat ia campului ndepartat)se poate scrie (reprezinta unghiul facut de viteza undei cu direct ia de miscare a sursei)= r1r2 = vsT cos ,astfelcaT

= T(1 vsccos ) (1.31)saupentrupulsat ie(saufrecvent a= /2)

= 11 vsccos (1.32)Incazul ncaresursaseapropiedeobservatorfrecvent acreste,iarcandse ndeparteazafrecvent ascade.2. Observator nmiscare,sursaxaDacalamomentul 0dinSpleaca nceputul uneiperioade, acest semnal ajunge la observator la mo-mentul r1/c. Sfarsitul perioadei pleacadinOlamomentul Tsi ajungelaobservatorlaT+ r2/c.RezultaT

= T+ r2/c r1/c.Ladistant a mare fat a de sursa este buna aproximat ia = r2r1= voT

cos o, unde oesteunghiuldintrevitezaobservatorului sivitezaundei. RezultaT

= T+vocosocT

.DeciT

=T1 voccos o(1.33)17sau

= (1 voccoso). (1.34)Unalt moddearat ionaesteurmatorul.Insistemulncaresursaestenrepauspresupunemcasursaemiteundemonocromaticeplane. Fazaacestor undeva=t

k r. Trecem nsistemuldecoordonatelegatdeobservatorulcaresedeplaseazacuvitezavofat adeprimul sistemdereferint a. Transformareapentrucoordonatele nceledoua sisteme de referint a va r = r

+vot, astfel ca faza devine (

k vo)t

kr

. PentruOundaestetotoundaplana nsistemul ncareeleste nrepaus,astfelca

=

k vo= (1 voccoso).3. Sursamobila,observatormobilCombinand rezultatele celor doua cazuri se obt ine frecvent anregistrata de observator

= 1 voc coso1 vsc coss, (1.35)undeoaresemnicat iament ionata, iarsesteunghiulfacutdevitezaundeicuvitezasursei.18