Oscilatii Si Unde 2012-2013 Corectat Final

Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor

1

II Oscilatii si unde

Obiectivul acestui capitol este acela de a prezenta fenomenul de transmitere la distanta a

interactiunilor si a informatiei.

Toate semnalele fizice se pot exprima ca superpozitia unor semnale oscilatorii. Tehnica

descopmunerii in serie de termeni oscilatorii este utilizata in toate tipurile de analiza, prelucrare

si sinteza a semnalelor.

II.1 Oscilatii

II.1.1 Definitie

O variatie periodica1 in timp a valorilor unei marimi fizice, de-o parte si de alta a unei valori fixe,

se cheama oscilatie.

Marimea fizica oscilanta poate fi o coordonata

spatiala (in acest caz este vorba de o miscare

oscilatorie in sens propriu, iar valoarea fixa se

mai numeste pozitie de echilibru), o tensiune

electrica, o temperatura sezoniera, un indicator

macroeconomic - curs de schimb valutar, produs

intern brut - iluminarea diurna, etc.

II.1.2 Caracterizarea miscarii oscilatorii armonice

Marimea fizica ce oscileaza isi repeta valorile dupa

intervalul temporal T, numita perioada oscilatiei:

)()( Ttxtx .

Variatia periodica a marimii poate fi de diverse tipuri.

Daca dependenta de timp este de forma sinusoidala,

atunci oscilatia este armonica.

Reprezentari grafice de marimi oscilatorii (marimea oscilatorie este notata x):

1 In aceasta prezentare ne limitam la oscilatiile periodice; pentru cele aperiodice, cvasi-periodice etc. se poate consulta

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Fig.1

Fig.2 Oscilatii periodice

Oscilatii armonice Oscilatii nearmonice

Fig.3



2

Ecuatia unei oscilatii armonice unidimensionale, notata x, este:

xtxtx 00 ωsin)( ,

unde valoarea pozitiva x0 este amplitudinea oscilatiei, xtt 0ω)( este faza oscilatiei,

x0)0( se numeste faza initiala, iar ω este pulsatia, sau viteza unghiulara. Expresiile

matematice ale oscilatiilor din fig.3 sunt:

0π2sin)( 0 ftxtx , respectiv )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx .

Pulsatia este legata, pana la un factor multiplicativ 2 ,

de frecventa oscilatiei f, care reprezinta numarul de

oscilatii pe secunda:

f 2ω , []SI=rad/s

Tf

1 , [f]SI=s

1 sau Hertz (Hz).

Notiunea de viteza unghiulara pentru pulsatie isi are

originea in analogia cu miscarea circulara (v. figura

alaturata, unde o miscare circulara poate fi descompusa

in doua miscari oscilatorii unidimensionale).

Oscilatiile se pot caracteriza atat in timp, cat si in

frecventa.

II.1.2 Cauzele oscilatiilor

In general, oscilatiile iau nastere in campuri unde interactiunile sunt proportionale cu deplasarea

fata de un punct, numit punct (centru) de echilibru; marimea care oscileaza poate fi de orice tip,

depinzand de proprietatea campului pe care o reprezinta.

Se va exemplifica pe cazul miscarii oscilatorii

armonice, care ia nastere in medii elastice, in urma

deplasarii obiectului fata de pozitia de echilibru. In

cazul unui corp de masa m, atasat unui resort, care

se poate misca orizontal, fara frecare, forta

campului elastic este direct proportionala si

orientata in sens invers alungirii resortului:

)()( elelastic txktF ,

unde constanta de proportionalitate kel este constanta elastica a resortului. Pe de alta parte, conform

principiului fundamental al dinamicii newtoniene

2

2

elasticd

d

t

xmtF .

Fig.5

Fig.4


3

In consecinta, ecuatia diferentiala a oscilatorului este

0d

del2

2

xkt

xm .

Functia necunoscuta x(t) trebuie determinata. Fara a demonstra cum se rezolva ecuatia diferentiala

precedenta, se poate verifica faptul ca

xtxtx 00 sin)(

este solutie a ecuatiei diferentiale, daca se identifica m

kel . Amplitudinea 0x si faza initiala

x0 se determina din doua conditii suplimentare, denumite conditii initiale, anume

0)0( xx si 0

0d

dx

t

vt

x

.

II.1.3 Spectrul de frecvente

O oscilatie de forma

00,01π2sin1)( ttx (u.a.)

se numeste monocromatica, deoarece oscilatia armonica are in structura o singura frecventa,

anume f =0,01Hz; corespunzator, perioada oscilatiei este T=100s. Semnalul oscilatoriu x(t), pentru

domeniul temporal )4000,0(t s si spectrul sau Sx(ω) sunt ilustrate in figurile de mai jos. Desi,

deocamdata, nu este clar cum se obtine expresia Sx(ω) din x(t), se va admite ca cele doua

reprezentari caracterizeaza aceeasi oscilatie2:

Fig.6

Un semnal compus din superpozitia a doua semnale monocromatice, de frecvente f1=0,01Hz si

f2=0,02Hz are expresia

202,02sin1001,0π2sin1)( tttx .

Graficele x(t) si Sx(f) arata ca in fig.7:

2 Sx se obtine prin ceea ce se numeste transformarea Fourier a functiei x.


4

Fig.7

Spectrul audibil si spectrul vizibil

Spectrul audibil al oscilatiilor mecanice

Frecventele audibile ale oscilatiilor mecanice ale timpanului sunt in intervalul 16Hz–20kHz. Peste

20000Hz se numesc ultrasunete, iar sub 16Hz, infrasunete, si nu mai pot fi transformate in senzatii

auditive de receptorul uman. Anumite animale comunica prin infrasunete (casalotul, elefantul), in

timp ce senzorii acustici ai altor animale acopera domeniul ultasunetelor (liliacul, pisica, sarpele).

Ramura fizicii care se ocupa de producerea si receptia sunetelor in domeniul audio este acustica.

Spectrul vizibil al oscilatiilor electromagnetic

Oscilatiile electromagnetice ocupa un spectru extrem de larg, de la undele radio la radiatia gamma.

Spectrul oscilatiilor electromagnetice care sunt convertite in senzatii cromatice vizibile de

receptorul uman se afla insa intr-un interval extrem de ingust, intre 200-950THz. Ramura fizicii

care se ocupa de producerea si receptia sunetelor in domeniul vizibil este optica.

Sursa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Denumirile si prefixele multiplilor si submultiplilor zecimali

Multipli 101

Deca, da

102

Hecto, h

103

Kilo, k

106

Mega, M

109

Giga, G

1012

Terra, T

1015

Peta, P

1018

Exa, E

1021

Zetta, Z

1024

Yotta, Y

Sub-

multipli

101

deci, d

102

centi, c

103

mili, m

106

micro,

109

nano, n

1012

pico, p

1015

femto, f

1018

atto, a

1021

zepto, z

1024

yocto, y

1000 2000 3000 4000

2

1

0

1

2

Oscilatia compusa x(t)

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Spectrul oscilatiei compuse Sx(ω)



5

II.1.4 Energia oscilatorului.

Energia oscilatorului este compusa din energie cinetica si energie potentiala PC EEE . Energia

potentiala este energia de interactie in campul elastic si indica posibilitatea, sau „potentialul”

ansamblului oscilator-mediu de a schimba lucru mecanic. Cand obiectul se deplaseaza, de la

pozitia de echilibru pana intr-o pozitie oarecare x, de exemplu, sub actiunea unei forte exterioare F,

lucrul mecanic efectuat impotriva fortei elastice pentru a intinde resortul se regaseste in energia

potentiala

x

xxFx0

elasticP d)()(E , sau x

xxkx0

elP d)(E ,

sau, punand in evidenta timpul,

2

elP )(2

1)( txkt E .

Daca forta exterioara dispare, obiectul incepe sa oscileze, energia cinetica fiind 2

C2

1)( mvv E , sau

2

Cd

d

2

1)(

t

xmtE .

Pentru oscilatorul armonic, fara forte exterioare, este usor de aratat ca, inlocuind in expresia

energiei potentiale solutia x(t)

)(sin2

1)( 22

0elP txkt E

si in cea a energiei cinetice viteza dx/dt,

)(cos2

1)( 22

0elC txkt E

energia totala nu mai depinde de timp, adica este constanta

2

0el2

1xkE .

Se spune ca energia se conserva, sistemul oscilant obiect-camp fiind intr-o stare energetica

stationara.

Observatie. Solutia armonica xtxtx 00 sin)( , univoc determinata prin pozitia si viteza

(echivalent, impulsul) la momentul initial t=0, reprezinta o stare energetica a sistemului obiect-

camp elastic, stare care se pastreaza indefinit, atata timp cat acesta este izolat de alte interactiuni,

din afara campului.

Observatie. In general, daca marimea care oscileaza este u, atunci energia este proportionala cu

valoarea patratica a acesteia

E ~ u2.

Fig.8


6

Aplicatie. Toti senzorii si toate aparatele de masura functioneaza pe baza preluarii unei

fractiuni de la energia oscilatorului. Timpanul urechii preia o parte din energia de oscilatie a

moleculele gazelor care compun aerul, o fotodioda preia o parte a energiei oscilatiei campului

electric incident pe jonctiune etc. Detectoarele sunt caracterizate de un timp caracteristic, in

care marimea detectata este mediata pe durata timpului caracteristic , astfel ca indicatia este

proportionala cu valoarea medie a patratului marimii oscilatorii:

indicatie detector ~

0

2 d)(1

ttu .

Spre exemplu, timpii de raspuns ai senzorilor umani sunt de ordinul a 0,1-0,2s.

Aplicatie. Pentru a prelua o fractiune din energia oscilatorului si a efectua, astfel, masuratoarea,

aparatul de masura interactioneaza cu ansamblul oscilant, perturbandu-l si modificandu-i starea.

Aparatul trebuie sa fie astfel proiectat incat perturbatia sa fie minima. Acelasi lucru se intampla si

in fenomenele economice. Pentru a masura valoarea unui bun, produs de o intreprindere, singura

cale este aceea de a-l tranzactiona pe piata, adica sistemul economic „intreprindere” trebuie sa

interactioneze cu mediul economic inconjurator, prin intermediul pietei. Orice alta evaluare a

bunului, in afara valorii de piata, este arbitrara. Spre exemplu, exista posibilitatea ca un bun, al

carui pret de cost este de 10 lei, fie sa se vanda la pretul de 5 lei, fie sa nu se vanda, daca nu exista

deloc cerere pentru acesta. Valoarea reala a bunului este valoarea de piata. Informatia referitoare la

pretul vanzarii perturba compania producatoare, in sensul ca fie trebuie sa ia masuri de reducere a

pretului de cost, fie chiar sa scoata bunul respectiv din fabricatie.

Exista numeroase deosebiri intre modelul economic si cel fizic. Modelul fizic este un caz limita,

care tine cont numai de elementele cele mai relevante. In realitatea economica, exista numerosi alti

factori care influenteaza pietele (geografici, comportamentali, politici etc.). Cu cat piata este mai

apropiata de piata ideala, cu concurenta perfecta, absolut libera, cu atat modelul economic se

apropie de modelul fizic, iar valoarea la care se face tranzactia tinde sa exprime cel mai bine

utilitatea bunului.

Oscilatii amortizate

Comportarea in timp a oscilatiilor amortizate

Transferul de energie de la sistemul oscilant in exterior are drept consecinta reducerea aplitudinii

de oscilatie, oscilatia devenind amortizata. In procesul de modificare a starii energetice oscilatorul

cedeaza in exterior lucru mecanic (sau caldura) sub actiunea unei forte exterioare. De multe ori

acest lucru este util, lucrul mecanic colectat fiind folosit pentru scopuri economice. Forta exterioara

poate fi forta rezistenta pe care o opune un dispozitiv mecanic (piston, turbina), forta electrica care

pun in miscare electronii dintr-un metal al unui senzor electronic etc.

In cazul in care forta exterioara este proportionala cu viteza de oscilatie, si antiparalela cu aceasta

Fext=v, ecuatia diferentiala se scrie sub forma:

0

d

d

d

del

exterioara forta

2

2

xkt

x

t

xm ,


7

sau, punand m

kel0 si

2

m rezulta:

0d

d2

d

d 2

02

2

xt

x

t

x.

Ecuatia de miscare a oscilatorului3 amortizat (solutia ecuatiei

diferentiale de mai sus) este

x

t textx 0

in timp scade eaamplitudin

0 sin)(

,

unde 22

0 .

Marimea β este factorul de amortizare, si are dimensiune de frecventa. Amplitudinea nu mai este

constanta, ci scade exponential in timp (v. Fig.9).

Observatii.

i/ Dupa un timp egal cu β1

(u.a.) amplitudinea oscilatiei scade de e2,7 ori. Acesta poate fi

considerata durata in timp oscilatiei amortizate. Dupa acest interval, se presupune ca energia

sistemului este neglijabila.

ii/ Energia, proportionala cu valoarea patratica, scade e2,7 ori dupa un timp (2β)1

, adica de doua

ori mai repede.

Aplicatie. Oscilatorul primar al unui calculator actual are frecventa de ordinul a 3GHz. Din acesta

se alimenteaza toate circuitele de prelucrare a informatiei: unitatea aritmetica, adresele de acces,

memoria s.a.m.d. Atenuarea, pana la disparitie, a oscilatiior, din cauza cedarii continue a energiei,

este evitata prin aport continuu de energie electrica in oscilator. Acestea oscilatii se numesc

intretinute.

Comportarea in frecventa a oscilatiei amortizate

Spre deosebire de oscilatia armonica neamortizata, care

are o singura frecventa in spectru, cea amortizata are o

banda de frecvente. Largimea de banda este 2β, simetrica,

in jurul valorii centrale f =/(2).

A se remarca faptul ca aceasta frecventa centrala nu este

identica cu cea a aceluiasi oscilator, daca ar fi

neamortizat:

2

0

02

1

fff

3 Deoarece obiectul capitolului este studiul oscilatiilor, se va lua in consideratie doar aceasta solutie, care este

caracteristica oscilatiilor slab amortizate.

Fig.9 Oscilatie amortizata

Fig.10 Spectrul oscilatiei amortizate


8

Cu cat amortizarea este mai slaba (β mai mic), cu atat frecventa centrala f se apropie de f0.

Observatie. Exista o relatie simpla intre durata oscilatiei si banda de frecvente B=2β:

B=1 (constant).

Aceasta relatie va fi reluata si interpretata la Cap. privitor la esantionare.

Exemplu. Un soc poate genera oscilatii care se amortizeaza in timp. In figurile de mai jos este

ilustrat cursul de schimb al monedei sud coreene (WON) in raport cu dolarul american (USD), la

inceputul crizei financiare care a lovit Asia de sud-est in anul 1997. A doua figura este prelucrata,

componentelor cu variatie rapida (echivalent, cu frecventa ridicata) fiind inlaturate.

Abscisa timpului este in zile. Se observa ca, dupa soc (devalorizare brusca), oscilatiile au durat

aproximativ 700 de zile, adica circa doi ani.

II.1.5 Compunerea oscilatiilor.

Din punct de vedere fizic, problema compunerii se pune atunci

cand cele doua marimi au aceeasi dimensiune, adica sunt de

acelasi tip, avand aceeasi unitate de masura. In continuare sunt

prezentate cateva cazuri simple de compunere.

a/ Cazul cand oscilatiile au aceeasi pulsatie, iar directiile de

oscilatie sunt perpendiculare intre ele; fie acestea x si y.

Rezultatul compunerii este o traiectorie eliptica (fig.10).

Cazuri particulare:

Oscilatiile au aceeasi faza initiala (sunt in faza)

0sin)( 0 txtx , 0sin)( 0 tyty .

Elipsa este degenerata la un segment de dreapta, de panta

y0/x0.

Oscilatiile sunt in antifaza

0sin)( 0 txtx , tyty sin)( 0 .

Fig.12

Fig.11

Fig.10


9

Elipsa este degenerata la un segment de dreapta, de panta y0/x0.

Oscilatiile sunt in cuadratura

0sin)( 0 txtx ,

2sin)( 0 tyty .

Elipsa este orientata fie orizontal, fie vertical. Pentru y0=x0,

elipsa devine cerc.

De cele mai multe ori este mai usor de inteles reciproca, adica

o miscare in plan, dupa o traiectorie eliptica, se proiecteaza pe doua directii reciproc

perpendiculare sub forma de miscari oscilatorii rectilinii, dupa fiecare axa. Acest lucru este valabil

si pentru miscarea periodica in spatiul fizic.

Aplicatie: Miscarea de revolutie a Pamantului in jurul Soarelui se poate descompune in trei miscari

oscilatorii. Metoda este de interes in astrofizica, deoarece, daca se cunosc trei proiectii ale miscarii

unui corp ceresc, pe trei directii oarecare - nu neaparat perpendiculare -, atunci se poate recompune

miscarea in spatiu a acestuia.

b/ Cazul cand oscilatiile au aceeasi directie.

b1/ Oscilatiile care se compun au aceeasi pulsatie:

01011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx .

Rezultatul compunerii )()()( 21 txtxtx este o oscilatie cu aceasi pulsatie (frecventa) cu a

componentelor, de forma:

00 sin)( txtx , unde

02020101

020201010

01020201

2

02

2

01

2

0

coscos

sinsintan :faza

)cos(2 :eaamplitudin

xx

xx

xxxxx

Amplitudinea oscilatiei rezultante depinde de

defazajul initial 0102 .

Cazuri particulare:

Oscilatii in faza: 00102 .

In acest caz, amplitudinea rezultanta este maxima:

02010 xxx .

Oscilatii in antifaza: 0102 .

Oscilatii in antifaza; cu rosu este rezultanta

Oscilatii in cuadratura; cu rosu este rezultanta

Fig.14

Fig.13

Oscilatii in faza; cu rosu este rezultanta


10

In acest caz, amplitudinea rezultanta este minima: 02010 xxx .

Oscilatii in cuadratura: 2

0102

.

Amplitudinea rezultanta este: 2

02

2

010 xxx , intre valoarea minima si cea maxima.

Aplicatie: masuratori interferometrice. Interferometria este metoda de a transforma diferenta de

faza, care, de obicei, nu este sesizata de aparatele de masura – inclusiv urechea si ochiul uman – in

diferenta de amplitudine, care poate fi masurata. Pe acest principiu functioneaza interferometrele,

precum si sistemele audio stereo si quadro, imagistica 3D, sau prelucrarea de imagini holografice.

Aplicatie: 3D. Imaginea stereoscopica este compusa din doua imagini separate, preluate de fiecare

ochi. Din cauza pozitiei spatiale a ochilor, imaginile provenite de la acelasi punct-obiect nu sunt

identice, ci defazate; acest mic defazaj este receptionat de fiecare ochi sub forma de imagini cu

intensitate diferita, intre maximul si minimul de interferenta. Pe baza experientei acumulate in

timp, cortexul cerebral prelucreaza informatia de intensitate si o transforma in senzatie de

spatialitate, reusind sa evalueze distanta pana la punctul-obiect. In general, aprecierea distantei este

cu atat mai buna cu cat distanta dintre receptori este mai mare. Evaluarea depinde foarte mult de

experienta anterioara; spre exemplu, un copil mic apreciaza prost distantele. Pe de alta parte, un

adult poate aprecia satisfacator distantele, chiar cu un ochi inchis. In cazul sunetelor, auditia cu o

singura ureche nu da rezultate satisfacatoare.

Observatie: coerenta. Pana acum s-a presupus ca defazajul nu depinde de timp. Se spune ca

oscilatiile sunt coerente. Daca, insa, defazajul variaza in timp, atunci amplitudinea oscilatiei

rezultante, ca si faza ei, vor varia, si ele, in timp:

)()( 0102 tt x0(t).

In sens larg, conditia de coerenta se refera nu atat la invarianta in timp a defazaului, lucru imposibil

de realizat practic, ci la lentoarea cu care variaza acesta, in comparatie cu timpul caracteristic al

aparatului cu care se masoara oscilanta rezultanta. Daca variatiile sunt prea rapide, atunci figura de

interferenta nu poate fi inregistrata.

b2/ Oscilatiile care se compun au pulsatii putin diferite:

011011 sin)( txtx ; 022022 sin)( txtx ,

unde diferenta 12 este mica in comparatie cu oricare dintre frecventele (pulsatiile)

celor doua oscilatii 21, .

Oscilatia rezultanta este de forma

)(sin)()( 010 tttxtx ,

unde

02020101

020201010

01020201

2

02

2

01

2

0

)(coscos

)(sinsin)(tan:Faza

)(cos2)(:eaAmplitudin

txx

txxt

txxxxtx


11

Spre deosebire de cazul b1/, cand diferenta de faza era fixa in timp, iar amplitudinea oscilatiei

rezultante era constanta, acum diferenta de faza depinde de timp, iar amplitudinea oscilatiei

rezultante trece prin maxime si minime, generate de diferenta de frecventa f. Rezultatul

compunerii este o oscilatie a carei amplitudine nu mai este constanta, ci lent variabila in timp:

spunem ca oscilatia este modulata in amplitudine, adica 0x este functie de timp )(0 tx !

Din moment ce, oricum, diferenta de faza ()t+0102 se modifica in timp, efectul diferentei

initiale de faza 0102 nu mai influenteaza decat felul in care incepe oscilatia compusa, fara a

influenta spectrul de frecvente.

Exemple. Pentru a ilustra compunerea oscilatiilor cu frecvente putin diferite, fie cazurile

particulare de mai jos, unde f1=0,41Hz, f2=0,45Hz, deci f=0,04Hz.

Oscilatii in faza, 041,02sin1)(1 ttx ; 045,02sin1)(2 ttx

1000 2000 3000 40001.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia 041,02sin1)(1 ttx si spectrul acesteia

1000 2000 3000 40001.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia 045,02sin1)(2 ttx si spectrul acesteia

1000 2000 3000 4000

2

1

0

1

2

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia rezultanta x1+x2 si spectrul acesteia

Oscilatii in cuadratura 041,02sin1)(1 ttx ;

245,02sin1)(2 ttx

1000 2000 3000 4000

2

1

0

1

2

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia rezultanta si spectrul acesteia


12

Se constata ca fazele initiale nu influenteaza decat felul in care incepe oscilatia compusa; nu exista

influenta asupra spectrului.

Exemplu. Prin inregistrarea in timp a oscilatiei compusa din oscilatia 041,02sin1)(1 ttx cu

oscilatia

245,02sin1)(2 ttx , se constata ca, intr-un interval de 1000s, amplitudinea

rezultanta trece printr-un un minim si un maxim.

Oscilatia rezultanta depinde, de fapt, de diferenta de faza totala dintre oscilatii, adica, notand:

)(sin)( 1011 txtx ; )(sin)( 2022 txtx ,

Rezultatul va fi )(sin)()( 0 ttxtx , unde

)(cos)(cos

)(sin)(sin)(tan

)()(cos2)(

202101

202101

120201

2

02

2

01

2

0

txtx

txtxt

ttxxxxtx

Explicitand expresiile particulare ale fazelor )(t , se regasesc cazurile b1/ si b2/ discutate

anterior.

Aplicatii. Interferometria cu efect Doppler, utilizata la cartografierea obiectelor si fluidelor in

miscare (ecografe, radare, telescoape etc.), este o compunere de oscilatii cu frecvente usor

diferite. Efectul Doppler consta in modificarea uneia dintre frecventele oscilatiilor, proportional

cu viteza de deplasare a obiectului investigat. Rezultatul compunerii este o oscilatie rezultanta,

a carei amplitudine trece, in timp, prin valori maxime si valori minime. Numarul de maxime

detectat intr-un anumit interval de timp este proportional cu viteza obiectului.

b3/ Cu pulsatii semnificativ diferite 010011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx m , unde

m0 . Calitativ, acest rezultat este similar cu cel precedent, in sensul ca se obtine, de

asemenea, o oscilatie modulata. Oscilatiile modulate se folosesc in telecomunicatii. Oscilatia de

frecventa mare este putatoarea, iar cea de frecventa joasa contine mesajul.

Observatie. Oscilatiile modulate sunt cele care prin care se transmit informatiile. Oscilatiile

armonice simple nu pot realiza acest lucru. Oscilatiile modulate se numeste semnale.

Exemple. Mai jos este ilustrat cazul 002,02sin1)(1 ttx ; 088,02sin1)(2 ttx ,

f1=0,02Hz, f2=0,88Hz, f1<< f2.

1000 2000 3000 40001.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia 002,02sin1)(1 ttx si spectrul acesteia.


13

1000 2000 3000 40001.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30

Oscilatia 088,02sin1)(2 ttx si spectrul acesteia.

1000 2000 3000 40001.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

Oscilatia rezultanta si spectrul acesteia.

Aplicatii: multiplexarea in comunicatii si transmisia informatiei. Practic, acesta este procesul de

modulatie a semnalelor, utilizat in transmiterea la distanta a informatiei (unde radio, televiziune,

transmisii optice etc.). Semnalul modulator, de frecventa joasa, este cel care poarta informatia, iar

semnalul de frecventa inalta este purtatoarea. Dupa cum se observa, in ultima figura, purtatoarea

„trage” langa ea frecventa de valoare mica. Prin urmare, mai multe astfel de purtatoare,

functionand pe frecvente diferite, pot transmite, fiecare, informatii independente unele de celelalte,

pe acelasi cale fizica, cum ar fi o fibra optica. Acesta este principiul multiplexarii pe canale de

transmisie, fiecare canal avand propria banda, in jurul purtatoarei. Exista mai multe variante de

modulatie, nu doar cea indicata aici. In oricare dintre ele, atunci cand se precizeaza frecventa (ex.

Radio FM 101,5MHz), aceasta este frecventa purtatoarei. Separarea informatiei de pe fiecare canal,

la receptie, se face prin filtrare.

II.1.6 Esantionarea

Semnalele reale nu sunt periodice, prin urmare nu se pot scrie sub forma unei singure functii

armonice, si nici printr-o singura frecventa. Semnalele modulate, care sunt utilizate la transmisia

informatiei, sunt aperiodice, si au o banda de frecvente, intre o frecventa minima si una maxima.

Tema. Pentru a intelege acest lucru, in cazul semnalelor periodice, vizitati pagina

http://www.falstad.com/fourier/

Orice semnal continuu poate fi reconstituit daca se cunosc doar parti ale sale. Se pune problema ce

parti din semnal trebuie alese, pentru ca reconstituirea sa fie posibila. Raspunsul este oferit de

teorema esantionarii.

Prin esantionare se intelege procesul de selectare a acelor portiuni de semnal care sunt suficiente

pentru reconstituire. Prin urmare, este suficient ca, in loc sa se transmita tot semnalul, sa se

transmita doar esantioanele sale.

http://www.falstad.com/fourier/


14

Teorema esantionarii (Shannon-Nyquist)

Teorema Shannon-Nyquist indica modul cum trebuie esantionat un semnal a carui energie este

cuprinsa (de ex. in proportie de 95%) in intervalul f( fmin, fmax), interval cunoscut si sub denumirea

de banda semnalului (spre exemplu, banda audio este (16, 20000Hz)).

Intervalul (pasul) de esantionare tesant trebuie sa fie mai mic, sau cel mult egal cu jumatate din

perioada componentei cu frecventa cea mai inalta din spectrul semnalului:

max

esant2

1

ft

Interpretare fizica: la limita impusa de conditia Shannon-

Nyquist, frecventa de esantionare este suficient de mare

incat sa prinda valorile relevante ale componentelor din

semnal cu variatia temporala cea mai rapida (cu frecventa

cea mai mare fmax), adica sa prinda atat valoarea maxima

cat si cea minima a semnalului.

Frecventele mai inalte dacat fmax din spectrul semnalului

(reprezentand, in exemplul nostru 5% din energia sa) nu

pot fi puse in evidenta. De aceea, semnalul reconstituie foarte bine, dar nu identic, pe cel original.

Aplicatie: prelucrarea semnalelor in calculatoare. In imensa majoritate a cazurilor, semnalele se

proceseaza digital, motivele principale fiind doua: i/ reducerea costurilor de transmisie, prin

utilizarea, simultan, a aceleiasi cai fizice, de catre mai multi operatori, si ii/ protectia la

perturabatii.

Exemplu. Fie cursul de schimb Euro-USD din fig.16a. Pasul de esantionare este tesant=1zi, prin

urmare componenta cu cea mai mare frecventa care poate fi pusa in evidenta este fmax=0,5zi1

, care

corespunde perioadei de 2 zile. Variatiile mai rapide de 2 zile nu pot fi puse in evidenta cu acest

pas de esantionare4. Spectrul de frecvente al acestui semnal (fig.16b) indica ciclicitatile cu cele mai

mari ponderi in evolutia temporala a cursului. Se observa ca ponderile cele mai mari sunt pe

frecventele cele mai joase – echivalent, ciclurile cu perioadele cele mai mari.

Fig.16 Cursul de schimb Euro-USD in perioada 1998-2008 si spectrul sau de frecvente.

4 Indicii bursieri sunt esantionati cu un pas mai des, de obicei de ordinul minutelor.

Fig.15 Interpretarea fizica a conditiei

Nyquist pentru componenta cu perioada

cea mai mica


15

Semnalul temporal are N=3300 esantioane luate la un interval tesant=1zi, asadar are durata

Ttot=3300zile. Similar cu relatia Shannon-Nyquist, care fixeaza relatia dintre pasul de esantionare

in timp si frecventa maxima, exista o relatie analoaga, care fixeaza reprezentarea esantioanelor pe

graficul din domeniul frecventa, in functie de durata totala a inregistrarii temporale (v. fig.16):

tot

1

Tfesant .

In consecinta, numarul de esantioane in domeniul frecventa este n=1650, jumatate din cel al

esantioanelor temporale. Aceaste relatii sunt utilizate in toate programele de calculator5.

Aplicatie. Indicatorii macroeconomici, precum produsul intern brut, sunt afectati de sezonalitati.

Pentru a fi comparabili, de la trimestru la trimestru, sezonalitatile trebuie detectate si eliminate prin

tehnici de filtrare.

Tema. Bursa de la Bucuresti afiseaza valorile preturilor tranzactiilor la fiecare jumatate de ora.

Care este perioada ciclicitatilor care se pot evidentia in seria de valori a acestora?

5 MatLab, Mathematica


16

II.2 Unde

Motorul unui avion poate fi sesizat de urechea umana sub forma unui zgomot caracteristic, desi

acesta a fost produs in alta parte, la distanta de kilometri. De asemenea, lumina diurna este sesizata

de ochiul uman pe Pământ, desi sursa acesteia este Soarele. În ambele situatii vorbim despre unde

sau fenomene ondulatorii. În primul caz, vorbim de unde elastice, iar în cel de-al doilea, de unde

electromagnetice.

În termeni de câmp, câmpul de forțe, produs de o sursă, se extinde spațial, cu o anumită viteză,

până la receptor. Din punctul de vedere al acestuia din urmă, câmpul variază de la zero la o valoare

oarecare, suficientă ca să poată produce interactiuni detectabile, care pot fi procesate și afișate. În

mod analog se poate vorbi de o modificare (perturbație) a mărimii care caracterizează câmpul, nu

neapărat de la zero, ci de la o valoare oarecare, la alta.

Exemplu. Mărimea care caracterizează câmpul (gravitațional) al Pământului este intensitatea

câmpului (gravitațional), definită ca forța care se exercită asupra unității de masă a corpului de

probă:

GFm

1 ,

sau

2

P

r

M .

Analog se definește intensitatea câmpului electromagnetic, anume forța care se exercită asupra

unității de sarcină pozitivă a corpului de probă.

II.2.1 Definitie

Unda este fenomenul prin care oscilatiile se transmit, sau se propaga prin spațiu. Oscilatiile sunt

generate de o sursa, de la care se raspandesc in spatiul din jur, din aproape in aproape, si pot fi puse

in evidenta prin interactii specifice, cum sunt cele cu un aparat de masura. Fenomenul permite

transmiterea la distanta a interactiunilor.

Observatii:

i/ Propagarea se face cu viteza finita, viteza propagare fiind notata cu c.

ii/ Unda se propaga, ocupand, in timp, volume spatiale. Acest volum

spatial, care contine sisteme oscilante aflate in stari energetice

stationare, constituie campul undei.

iii/ Orice unda presupune transport de energie. Energia se gaseste in

oscilatorii din campul undei, si provine din cea injectată in mediu, în

locul unde se află sursa de camp.

Interactiunile din camp se pot masura folosind instrumente adecvate,

sau se pot utiliza pentru aplicatii, de exemplu pentru a recupera

Campul unei unde plane

Campul unei unde sferice


17

informatii transmise de sursa, cu ajutorul unui receptor. In oricare dintre cazuri, sistemele

oscilante din camp trebuie cuplate la sisteme

externe, unde descarca energia, cu consecinta

amortizarii oscilatorilor campului. Intretinerea

oscilatiilor este posibila, daca, la randul lor,

acestia iau energie de la sisteme oscilante vecine,

alimentate, din aproape in aproape, de la sursa. In

aceasta situatie, energia de la sursa se transmite

preferential catre receptor, in detrimentul

celorlalti oscilatori din camp, unde nu exista

consum energetic.

Exprimari uzuale, desi nu riguroase, sunt „sursa genereaza variatii de camp”, sau „sursa genereaza

unde”.

Cele mai cunoscute unde sunt undele sonore si undele electromagnetice.

Exemplu. Cea mai mare viteza cunoscuta in Univers este viteza de propagare a undelor

electromagnetice in vid

8103 c m/s.

II.2.2 Expresia undei armonice

Ca si in cazul oscilatiilor armonice, in cele ce urmeaza ne limitam la unde descrise de functii

armonice. Cea mai simpla expresie a unei unde armonice este cea generata de o oscilatie armonica.

Fie oscilația armonică

00 ωsin),( txztx .

O unda ce provine de la oscilatia de mai sus, si se

propaga de-a lungul axei z, este de forma6

00 ωsin),( kztxztx ,

unde mărimea k va fi explicată ulterior. In punctul P,

aflat la distanta zP, unda ajunge dupa timpul tP=zP/c.

Oscilatia din punctul P este descrisa de expresia:

0ωsin1),( PP tkzztu , t>tP.

Pentru o marime oscilatorie oarecare u (elongatie, presiune, densitate masica, inductie magnetica,

potential electric etc.), expresia undei este

00 ωsin),( kztuztu .

Expresia undei descrie oscilațiile aflate la coordonata z față de sursă (luata ca origine a

referentialului).

6 In alte carti se foloseste expresia 00 ωsin),( tkzxztx

Fig.17


18

In fig.18 este ilustrata o coarda lunga, excitata la capatul z=0. In particular, oscilatia sursei S (z=0,

0x=0, u0=1cm), are expresia

ttu ωsin1)0,( cm,

echivalent cu

ttu ωsin1)0,( cm.

Oscilatia punctului P, aflat la distanta zP, este (Fig.18

c,d,e)

PP ωsin1),( kztztu cm,

sau

)(ωsin1),( PP kztztu cm.

In ultima expresie, marimea )( PP0 kz joaca

rolul fazei initiale pentru oscilatia in punctul P.

Daca oscilatia sursei inceteaza dupa un timp , atunci

graficele celor doua oscilatii u(t,0) si u(t,zP) arata ca in

fig.19.

Fig.19 Oscilatia la sursa si oscilatia in P

Oscilatia punctului P este intarziata fata de cea a sursei

cu un timp zP/c, cat i-a trebuit campului undei sa se

extinda – echivalent, cat i-a trebuit undei sa se propage

– pana in P. De exemplu, daca zP=34m, atunci, tinand

cont ca viteza undelor sonore, in aer, este de

aproximativ c=340m/s, distanta va fi parcursa in

timpul zP/c =0,1s. Asadar, punctul P incepe sa oscileze

dupa 0,1s.

Privind in spatiu, daca oscilatia sursei inceteaza dupa timpul , atunci prin coarda se propaga un

tren de unda de durata finita si de lungime L=c, de asemenea, finita (fig.20).

a.

b.

c.

d.

e.

Fig.18


19

Fig.20 Propagarea unui tren de unda prin spatiu.

Exemplu. Durata de viata a unei stele a fost de 4 miliarde de ani. Lungimea trenului de unda emis

in spatiu este

ora

s3600

zi

ore24

an

zile25,365ani104

s

m103 98 L , de unde L=3,7910

25m.

Deoarece acest numar este extrem de mare, pentru distantele astronomice se utilizeaza anul-lumina

ca unitate de masura. Deci, lungimea spatiala a trenului de unda este de 4 miliarde ani-lumina.

Tema. Dupa cat timp este detectabila pe Pamant o explozie solara?

II.2.3 Marimi ondulatorii caracteristice

Marimile caracteristice oscilatiei armonice, precum faza, pulsatia, frecventa si perioada temporala,

raman valabile si in cazul undelor. In plus, in cazul undelor apar si marimi periodice spatiale.

Faza undei

Spre deosebire de oscilatii, unde faza depindea exclusiv de timp, acum depinde si de pozitia in

spatiu:

0ω),( kztzt .

Spre exemplu, in cazul oscilatiilor sursei S si a punctului P, fazele sunt

tt ω)0,( ,

respectiv

PP ω),( kztzt .

Diferenta de faza a oscilatiilor din cele doua puncte este constanta in timp:

PP )0,(),(),( kztztzt .

In cazul undelor, diferenta de faza dintre doua oscilatii din campul undei, intre care exista distanta

z, in campul undei, depinde atat de diferenta de timp, cat si de diferenta de drum:

zktzt ω),( .


20

Suprafete echifazice

Suprafata echifazica este locul geometric al oscilatiilor ale caror faze sunt identice, la orice

moment t

constzyxt ),,,( .

In Fig.21 este ilustrata o unda care se propaga dupa directia z, a carei marime oscilanta este

elongatia pe directia x, adica

00 ωsin),( kztxztx .

In cazul unidimensional, suprafata echifazica este

reprezentat de un singur punct (Fig. 20a) deoarece

constkzt )(ω 0 z=const.

In spatiu, (Fig.20 b-d), suprafetele echifazice ale unei

astfel de unde sunt suprafete plane, deoarece conditia

z=const este ecuatia unei suprafete plane,

perpendiculare pe axa Oz in punctul z=const.

Undele ocupa intotdeauna volume spatiale (campul

undei). Prin urmare, expresia pe care am utilizat-o

pana acum, anume xkztuztu 00 ωsin),( ,

caracterizeaza o unda plana. Radiatia emisa de lasere

este bine aproximata de modelul undei plane.

Un alt tip de unda des intalnita este unda sferica, unde

suprafata echifazica este sferica - cazul undelor emise

de Soare, cu simetrie radiala.

Lungimea de unda si numarul de unda

Lungimea de unda este distanta dintre doua suprafete

echifazice consecutive, adica intre care diferenta de

faza, la orice moment, este 2:

2)(2),(),( 2121 zzkztzt .

Conform definitiei, distanta 21 zz este tocmai lungimea de unda, notata cu (fig.21d). Asadar

2k ,

de unde

2k .

Marimea k se mai numeste numar de unde (cate „unde” sunt cuprinse in intervalul de faza 2), sau

numar de unda.

a.

b.

c.

d.

Fig.21


21

Viteza de propagare a undei armonice

Viteza de propagare este spatiul parcurs in unitatea de timp t

zc

d

d (a nu se confunda cu viteza de

oscilatie t

xvx

d

d ). Un procedeu convenabil de a exprima viteza de propagare este constatand ca,

intre doua suprafete echifazice consecutive (intre care diferenta de faza este 2), unda a parcurs

distanta , cu viteza c:

2)(ω 0kzt 2ωω 011022 kztkzt de unde k

c

, sau T

c

.

Viteza de propagare este perpendiculara pe suprafata echifazica. In figura 22 este ilustrat cazul unei

unde sferice in apa, care, la interfata cu aerul (suprafata apei) se reveleaza sub forma de cercuri, u

putand fi oricare dintre marimile elongatie, presiune, sau densitate a apei.

Fig.22

Alte expresii ale undei armonice

00 ωsin),( kztuztu ;

00 sin),(

c

ztuztu ;

00 2sin),(

z

T

tuztu .

Exemplu. Sensibilitatea analizatorului acustic uman este maxima la aproximativ 3,5kHz, iar cea a

analizatorului vizual, la 540THz. Unda sonora se propaga in aer cu viteza csonor=340m/s, iar cea

optica cu viteza coptic=3108m/s. Lungimile de unda corespunzatoare sunt:

7,9s3500

s

m340

1sonorsonor

sonor f

ccm; analog 555

s104,5

s

m103

114

8

optic

nm.

Tema. Pentru alte exercitii de calcul, vezi adresa http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html.

Grupuri de unde. In situatiile reale, undele nu sunt monocromatice, ci sunt constituite din

grupuri (pachete) de unde de frecvente diferite (spre exemplu, datorata modulatiei). Viteza de

propagare a acestora prin mediu nu este aceeasi. Astfel de medii se numesc medii dispersive,



22

iar efectul este acela ca oscilatia de la emisie se distorsioneaza pana la receptor (un astfel de

efect este cunoscut sub denumirea de largire a pachetului – „broadening pulse”). Din acest

motiv, pe canalele de comunicatii se utilizeaza amplificatoare corectoare, care restabilesc

informatia pe care o poarta unda. Pentru grupurile de unde se defineste viteza de grup, care este

viteza cu care unda transmite energia, deci informatia.

Marimi energetice

Energia undei

Prin energia undei se intelege toata energia existenta in volumul ocupat de campul undei. De obicei

nu intereseaza energia din tot campul undei, ci energia transmisa de la sursa la receptor. De aceea,

marimile mai interesante sunt puterea si, in special intensitatea undei.

Puterea undei

Fie o unda sferica, emisa de o sursa

punctiforma (bec luminos, clopot,

telefon mobil etc.). Unda se numeste

sferica, deoarece suprafetele echifazice

sunt sferice; acestea se indeparteaza,

radial, cu viteza c, astfel ca energia

emisa in unitatea de timp, de catre

sursa, se va regasi pe suprafata sferica

la un moment intarziat in timp cu r/c,

unde r este raza suprafetei echifazice.

Prin urmare, puterea undei, calculata

pe oricare suprafata sferica, este

aceeasi cu puterea sursei

Psursa=Punda [W].

De obicei, receptorul, aflat la distanta, este atins doar de o mica parte a suprafetelor echifazice, iar

puterea transmisa acestuia este, de asemenea, mica. De aceea, o marime mai utila este intensitatea

undei.

Intensitatea undei

Intensitatea undei este puterea transmisa pe unitatea de suprafata, orientata normal pe directia de

propagare:

StI

E

sau S

PI , [I]SI=W/m

2.

Exemplu. Fie o sursa (ex. un bec economic) cu puterea de 20W, adica in fiecare secunda emite 20J

energie sub forma de unde electromagnetice. Unda este sferica, suprafetele de faza constanta

departandu-se radial, cu viteza c. Pe masura ce suprafetele se departeaza, campul ocupa volume

Dupa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Fig.23



23

spatiale din ce in ce mai intinse, iar puterea se repartizeaza pe suprafete sferice, de asemenea, din

ce in ce mai mari.

S

PI

2

1

4 r

PI

21

1

4

20

I I =1,6W/m

2.

In cazul undei sferice, intensitatea undei scade cu patratul distantei.

La distante mari, unda sferica poate fi aproximata cu o unda plana.

Exemplu. Intensitatea (energetica) a luminii solare incidente la suprafata Pamantului, la latitudinea

tropicelor, este aproximativ I=1kW/m2=0,1W/cm

2. Daca in campul undei se pune o celula solara,

de arie SDET=1cm2, puterea incidenta pe acesta este PDET=0,1W. Daca, in plus, randamentul

conversiei in energie electrica este de 0,2, atunci se vor putea obtine de la celula cel mult 0,02W

putere electrica. Puteri electrice mai mari nu s-ar putea obtine decat prin marirea suprafetei celulei,

sau prin imbunatatirea randamentului, deoarece intensitatea undei provenite de la Soare nu poate fi

marita.

Tema. Ati putea, imagina, totusi, vreo metoda pentru a mari intensitatea radiatiei incidente pe

celula solara?

Aplicatii ale undelor: telecomunicatii.


24

Informatia. Informatia se masoara in biti. Alfabetul calculatoarelor este format din doua

simboluri: 0 si 1. Cu acestea se formeaza cuvinte, adica pachete ordonate de simboluri.

Totalitatea cuvintelor formeaza vocabularul. In vocabular, simbolurile au frecvente diferite de

aparitie. In plus, in cursul transmisiei, simbolurile sunt perturbate de zgomote, zerourile putand

fi transformate in unu, si reciproc, iar cuvintele se pot altera. In consecinta, la receptie,

probabilitatile de aparitie a simbolurilor sunt diferite, functie de vocabular si de caracteristicile

zgomotului. Simbolul receptionat este incert, trebuind luata decizia daca acesta este 0 sau 1. Se

defineste bitul de informatie b sub forma

P2logb ,

unde P este probabilitatea de aparitie a simbolului.

Bitul este masura incertitudinii. Daca simbolul considerat apare cu certitudine (probabilitate

unu P =1), atunci informatia obtinuta la receptionarea simbolului este nula b=0. Cu cat este mai

mica probabilitatea simbolului, cu atat mai mare este informatia transportata.

Codarea reduce posibilitatea de a lua decizii eronate.

Senzatii: nivel sonor, nivel de iluminare

Sezatiile auditive si vizuale produse de undele sonore, respectiv luminoase, sunt proportionale, dar

nu direct proportionale cu intensitatea (energetica) a undei. Mai exact, pentru o frecventa fixata,

acestea sunt proportionale cu logaritmul intensitatii.

Senzatiile depind si de frecventa. Spre exemplu, sensibilitatea analizatorului acustico-vestibular

uman este maxima la aproximativ 3,5kHz, iar cea a analizatorului vizual la 540THz

(corespunde lungimii de unda =555nm). O unda sonora cu intensitatea de 1µW/cm2 la 1kHz

„se aude mai tare” decat aceeasi intensitate la 15kHz; analog, o radiatie luminoasa cu

intensitatea de 1W/m2, cu lungimea de unda de 555nm (verde), este perceputa ca fiind mai

intensa decat o radiatie luminoasa cu aceeasi intensitate, dar la lungimea de unda de 405nm

(indigo).

Nivelul sonor

Intervalul de frecvente la care este sensibila urechea umana este situat intre aproximativ 16Hz si

20000Hz, iar undele din acest domeniu se numesc unde sonore. Undele acustice cu frecvente mai

mici de 16Hz se numesc infrasunete, iar cele cu frecvente mai mari de 20000Hz se numesc

ultrasunete.

Nivelul sonor se defineste la frecventa de 1kHz, fata de o intensitate de referinta Iref=10-2

W/m2,

care caracterizeaza vorbirea curenta, cu voce normala

ref

S log10I

IN (dB).

Pragul de audibilitate inferior este Imin=10-12

W/m2 sau NS min= 100dB, in timp ce senzatiile de

durere apar pentru Imax=1W/m2, sau NS max= 20dB.


25

Exemple.

i/ Nivelul sonor al unui avion la decolare este de 80dB. Nivelul sonor a doua astfel de avioane,

care decoleaza simultan, este 2log10log10log10ref

S

ref

S

I

IN

I

IIN , de unde NS=86dB.

Nivelul sonor al mai multor surse nu se aduna algebric.

ii/ Un ansamblu rama-geam termopan atenueaza intensitatea zgomotului de 40 de ori in banda 50-

5000Hz. Nivelul sonor scade cu 2

2S

ref

1

ref

2S

40log10loglog10

I

IN

I

I

I

IN

, de unde

NS=16dB.

Nivelul de iluminare

Tema. http://www.luminotehnica.ro/index.php?option=com_content&view=article&id=51:marimi-luminot

II.2.4 Proprietatile undelor

Monocromaticitatea

Expresia 000 ωsin),( kztuztu descrie o unda monocromatica, deoarece, teoretic, contine o

singura frecventa, anume 0ω . Astfel de radiatie nu exista in realitate, deoarece ar presupune ca

sursa sa emita un timp infinit lung. Daca timpul de emisie este finit, de durata tot, asa cum este

orice semnal real, atunci vorbim de un tren de unde de lungime ctot cu frecvente ocupand un

interval continuu in jurul valorii 00 2ω f , anume in intervalul )1

,1

(tot

0

tot

0

ff . Cu cat este mai

scurta durata in timp, cu atat este mai larg spectrul in frecventa.

Undele si oscilatiile reale sunt caracterizate de o banda de frecvente, data de durata finita, in

timp, a oscilatiei sursei.

Aproximarea undei reale cu una monocromatica este cu atat mai buna cu cat durata semnalului este

mai mare decat perioada oscilatiei (undei) 0tot T .

Exemple

1/

ztuztu

340

01,0201,02sin),( 0 , 500 t s. Desi frecventa centrala este, formal, de

0f =0,01Hz, se observa ca este extrem de prost precizata, deoarece in cele 50s nu a putut fi emisa

decat o jumatate din perioada de 100s; in consecinta, spectrul este larg (0, 0,002)Hz, consecinta a

faptului ca semnalul emis este scurt.

http://www.luminotehnica.ro/index.php?option=com_content&view=article&id=51:marimi-luminot


26

2/

ztuztu

340

01,0201,02sin),( 0 , 5000 t s. Frecventa centrala este suficient de bine

precizata 0f =0,01Hz, iar spectrul este cuprins in intervalul (0,018, 0,012)Hz.

3/

ztuztu

340

01,0201,02sin),( 0 , 40000 t s. In acest caz, frecventa centrala este bine

precizata 0f =0,01Hz, iar spectrul este ingust, cuprins in intervalul (0,00975, 0,01025)Hz.

4/ Unda monocromatica, caz ideal

ztuztu

340

01,0201,02sin),( 0 , ),0[ t


27

Polarizarea

Unde transversale si unde longitudinale

O unda este longitudinala daca directia de oscilatie a marimii oscilante este paralela cu directia de

propagare. Undele sonore din aer sunt unde longitudinale.Daca dispuneti de un resort elastic,

fixati-i un capat la marginea mesei, intindeti-l usor apoi efectuati câteva miscari de-a lungul axei

sale. Ceea observati este o unda longitudinala.

O unda este transversala daca directia de oscilatie a marimii

oscilante este normala la directia de propagare. Undele

electromagnetice sunt unde transversale.

In mediile elastice lichide si solide se pot forma, in general,

atat unde longitudinale, cat si transversale. Undele de tsunami

sau cele seismice pot fi de ambele tipuri.

Exista unde care nu pot fi caracterizate nici ca transversale,

nici ca longitudinale.

Polarizarea are sens pentru undele transversale. O unda este polarizata daca directia de oscilatie

respecta anumite reguli. Exista cateva cazuri remarcabile de stari de polarizare (se presupune

propagare in lungul axei z).

a/ Unda liniar polarizata. In acest caz directia marimii oscilante ramane paralela cu o directie fixa.

Deoarece unda oscileaza in permanenta in

planul determinat de directia fixa si directia de

propagare, unda se mai numeste plan polarizata.

b/ Unda circular polarizata. Varful vectorului

marimii oscilante descrie un cerc.

c/ Unda eliptc polarizata. Varful vectorului

marimii oscilante descrie o elipsa.

In toate cazurile anterioare este aplicabila teoria

de la compunerea oscilatiilor. In consecinta,

orice unda polarizata poate fi descompusa in

doua unde liniar polarizate dupa directiile x si y,

avand relatiile de faza cunoscute.

d/ Unda nepolarizata. Unda din figura alaturata

este nepolarizata, directia de oscilatie a

trenurilor componente variind aleatoriu. Este

cazul luminii emise de sursele clasice (becuri cu

incandescenta, tuburi fluorescente etc.) unde

Fig.25 Exemplu ce sugereaza o unda nepolarizata si

necoerenta

Fig.24 Tipuri de unde polarizate


28

fiecare tren este generat de dezexcitarea cate unui atom individual (de wolfram, respectiv de

mercur), a carui emisie nu este corelata cu a celorlalti.

Coerenta

Exemplul din figura anterioara, cu unda nepolarizata, este si un exemplu de unda necoerenta.

Notiunea de coerenta este legata de

continuitatea functiei de faza. Pentru un

fascicul total coerent, trenul de unda trebuie sa

fie, teoretic, neintrerupt si infinit lung (unda

monocromatica), ceea ce este imposibil.

Pentru un laser comercial, lungimea medie a

trenurilor – lungimea de coerenta lcoerenta –

poate ajunge la sute de metri, fiind legata de

timpul de coerenta tcoerenta, prin relatia

lcoerenta = ctcoerenta..

II.2.5 Fenomene ondulatorii

Reflexia si refractia

Undele incidente pe o suprafata de discontinuitate dintre doua

medii sufera, simultan, reflexie, adica intoarcere in mediul din

care a venit (mediul 1), si transmisie, prin patrunderea in

mediul al doilea. Modificarea vitezei de propagare conduce la

refractia undei in mediul 2, adica la modificarea directiei de

propagare fata de directia initiala.

Suprafata de discontinuitate este locul unde proprietatile

mediului se modifica brusc, discontinuu, cu influenta directa

asupra vitezei de propagare a undei.

Indici de refractie

In general, viteza de propagare a oricarei unde depinde de mediul prin care se propaga. In cazul

undei electromagnetice, viteza ei de propagare intr-un mediu oarecare scade fata de valoarea ei in

vid. Indicele de refractie optic este raportul dintre viteza undei electromagnetice in vid si viteza din

mediul respectiv:

mediu

vidref

c

cn .

Raportul vitezelor de propagare prin cele doua medii este indicele de refractie relativ:

2mediu

1mediu

1mediu ref

2mediu ref21

c

c

n

nn .

Fig.26 Exemplu ce sugereaza o unda polarizata,

partial coerenta

http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence_(physics)

Fig.27

http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence_(physics)


29

Observatie. Definitia indicelui de refractie relativ este valabila pentru orice tip de unda.

Aplicatii: viteze de propagare ale undelor elastice si electromagnetice.

Unde elastice Unde electromagnetice

Material Viteza undei*)

(m/s) Material Indice de refractie optic*)

Cauciuc 60 Vid 1 (conventie)

Aer, 40C 355 Aer, 40C 1,00029

Aer, 20C 343 Aer, 20C 1,00030

Plumb 1210 Apa distilata 1,33

Aur 3240 Alcool etilic 1,36

Sticla 4540 Sticla (siliciu amorf) 1,46

Cupru 4600 Gheata 1,309

Aluminiu 6320 Diamant 2,42 *)

Valori orientative, valorile mai pot varia in functie de impuritati, temperatura, frecventa.

Exemplu. Daca unda cu frecventa f=540THz trece din vid in sticla de siliciu, viteza de propagare

scade de la c=3108m/s la valoarea csticla=310

8/1,46=2,0510

8m/s; corespunzator, lungimea de unda

scade de la vid=555nm la valoarea sticla=380nm, dar frecventa nu se modifica!

Prin conventie, atunci cand se specifica valoarea unei lungimi de unda electromagnetica, se

subintelege ca este valoarea acesteia in vid! Din acest motiv, in cataloage, marimile de material se

exprima in functie de (in vid).

Legile reflexiei

i/ Radiatia incidenta, cea reflectata si normala la suprafata de discontinuitate sunt coplanare.

ii/ Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenta ri .

Legile refractiei

i/ Radiatia incidenta, cea transmisa si normala la suprafata de discontinuitate sunt coplanare.

ii/ Unghiul de refractie si unghiul de incidenta indeplinesc relatia:

2

1

sin

sin

c

c

t

i

, echivalent cu 21

sin

sinn

t

i

.

Undele sonore sufera exact aceleasi fenomene, desi nu la fel de usor detectabile. In plus, refractia

in cazul sunetelor, se petrece, de cele mai multe ori, in lipsa suprafetelor de discontinuitate, cand

proprietatile mediului, si, in consecita, viteza undei, se modifica in mod continuu.

Exemplu. Spre exemplu, viteza sunetului in aer depinde de temperatura TK a acestuia, fiind

proportionala cu KΤ . Pe de alta parte, temperatura aerului atmosferic variaza cu inaltimea.


30

a. Temperatura scade cu inaltimea

b. Temperatura creste cu inaltimea

Fig.28 Refractia sunetului

In vecinatatea suprafetei terestre, aerul se incalzeste de jos in sus, astfel ca, in zilele senine,

temperatura scade cu inaltimea in timpul zilei, si creste cu inaltimea in timpul noptii. Din acest

motiv, pot aparea fenomene paradoxale.

Exemple.

i/ Ziua, in timpul averselor, exista posibilitatea

ca tunetul sa se auda foarte slab sau deloc, desi

fulgerul se produce relativ aproape (2-4km). In

acest caz, energia trece pe deasupra receptorului

- receptorul se afla in „umbra” sunetului -, si,

paradoxal, se poate auzi mult mai tare de cineva

situat mai departe de locul descarcarii.

ii/ Seara, pot fi auzite zgomote de la surse aflate

la cativa kilometri (tipice sunt cele de trenuri in

miscare, sau de la stadioane) care, in mod

normal, nu s-ar auzi.

iii/ Un alt exemplu, cunoscut, de refractie a

undelor luminoase in medii cu indice de

refractie continuu variabil, este mirajul optic.

Transmisia si absorbtia

Intensitatea incidenta I0 este patial reflectata, partial

absorbita de material

RIIr 0 , zeRII 10 ,

unde si R sunt, respectiv, coeficientul de atenuare si

reflectivitatea materialului. Atenuarea radiatiei transmise

se datoreaza absorbtiei, energia absorbita transformandu-

se, de regula, in caldura.

Adancimea de patrundere a undei in material se

defineste ca distanta la care intensitatea undei scade de

„e” ori, unde e2,718 este numarul lui Euler; in

consecinta, =1/.

Dispersia

Dispersia are loc la trecerea undelor prin anumite materiale, si consta in dependenta vitezei de

propagare de frecventa

c=c(f).

Fig.29 Reflexia, transmisia si atenuarea

datorata absorbtiei


31

Daca viteza c nu depinde de frecventa, atunci materialul este liniar, iar dispersia nu are loc.

Denumirea de material liniar este consecinta liniaritatii relatiei dintre pulsatie (frecventa) si

numarul de unda ck . Singurul mediu complet

nedispersiv este vidul, unde toate undele

electromagnetice au aceeasi viteza de propagare, anume

aproape 300 000km/s sau 3108m/s.

In cazul unui mediu dispersiv, relatia este neliniara

kc )( . Toate mediile reale sunt dispersive intr-o

masura mai mare sau mai mica; de cele mai multe ori

insa, efectul este prea mic pentru a fi observabil.

Exemplu: curcubeul. Cele mai cunoscute fenomene

dispersive sunt cele suferite de lumina alba care trece

printr-o prisma, sau atunci cand se propaga printr-o

atmosfera incarcata de vapori de apa (curcubeul). Vitezele de propagare, ca si indicii de refractie,

depind de lungimea de unda, existand relatia de ordine

(orientativ):

)()()(1 albastrurefgalbenrefrosuref nnn .

Consecinta este ca lumina alba se descompune in cateva

culori componente. Din acest motiv, albul nu este

considerat culoare.

Diamantul (carbon cu structura cristalina, tetraedrica)

are una dintre cele mai mari variatii a indicelui de

refractie, de la 2,4175 (rosu) la 2,4178 (violet).

Tema. Fotometria si televiziunea in culori.

Se bazeaza pe senzatia cromatica a receptorului vizual

uman (ochiul). Dependenta de frecventa a senzatiei cromatice este indicata in tabelul urmator.

400 450 500 550 600 650 700 (nm)

Culorile din spectrul vizibil

Culoare Intervalul de lungimi de unda Interval spectral

ROSU ~ 700–635 nm ~ 430–480 THz

ORANJ ~ 635–590 nm ~ 480–510 THz

GALBEN ~ 590–560 nm ~ 510–540 THz

VERDE ~ 560–490 nm ~ 540–610 THz

ALBASTRU ~ 490–450 nm ~ 610–670 THz

VIOLET ~ 450–400 nm ~ 670–750 THz

Fig.30 Dispersia luminii prntr-o prisma de

sticla

Fig.31 Dispersia in atmosfera: curcubeul

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Dispersive_Prism_Illustration_by_Spigget.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Dispersive_Prism_Illustration_by_Spigget.jpg


32

Fig.33

Imprastierea undelor

Imprastierea undelor este fenomenul prin care energia acestora este difuzata lateral fata de de

directia de propagare. Spre exemplu, in fig.29, radiatiile incidente, respectiv, emergente din prisma,

nu ar fi vizibile din lateral, daca nu ar exista procesul de imprastiere. Consecinta naturala a

pierderii de energie in directie laterala este atenuarea acesteia in lungul directiei de propagare.

Fenomenul are loc atat in cazul sunetului, care este imprastiat de obiectele pe care le intalneste, cat

si in cazul undelor electromagnetice.

Exemple.

i/ Efectul de „cer albastru”. Se explica prin aceea ca

aerul, compus, in principal, din molecule de azot si

oxigen, imprastie selectiv lumina, fiind preferate

frecventele mari (lungimile de unda mici). Cantitativ,

fenomenul se explica prin imprastierea Rayleigh.

ii/ Culoarea galbena a Soarelui in timpul zilei. Se

explica prin saracirea undei progresive in componenta

albastra, care este imprastiata preferential in atmosfera.

iii/ Efectul de „Soare rosu” la rasaritul, sau la apusul acestuia: motivul principal este imprastierea -

pana la disparitie - a componentei albastre din unda progresiva, si imprastierea semnificativa a

celorlalte componente, din cauza ca drumul parcurs in aer este mai lung in perioada rasaritului /

asfintitului decat in restul zilei.

iv/ Uneori, in cazul sistemelor acustice, in fata difuzorului de „inalte” se pune un gratar care

imprastie suplimentar frecventele inalte, pentru a uniformiza spatial sunetul si a avea o auditie

optima.

Interferenta

Interferenta este fenomenul de suprapunere a undelor cu

aceeasi pulsatie si cu aceeasi directie de oscilatie, intr-o

anumita zona din spatiu. Rezultatul interferentei este

obtinerea unor maxime si minime de interferenta.

Teoria interferentei revine la compunerea oscilatiilor, pe

directii paralele, cu aceeasi pulsatie, discutata deja la

capitolul „Oscilatii”.

Masuratori interferometrice. Fie doua unde ideale, cu diferenta de faza (t); in punctul de

interferenta, detectorul va masura valoarea m

DETDET

2

202101

2

21 )(sin)(sin,,~

ttuttutzutzum mm

Fig.32 Imprastierea luminii solare

(Adaptat dupa

http://www.scritube.com/stiinta/fizica/ )

http://www.scritube.com/stiinta/fizica/Reflexia-luminii-in-natura52379.php


33

DET

2

)()(cos)(cos2~ 21

0201

2

02

2

01

t

tttuuuum

zerottuuuumm

m

t

t

DET

d)(cos1

2~DET

0201

2

02

2

01

Daca diferenta de faza nu depinde de timp – adica undele sunt perfect coerente –, atunci

figura de interferenta este perfect stabila:

cos2~ 0201

2

02

2

01 uuuum ,

Sau, in functie de intensitati, tinand cont ca intensitatea, ca marime energetica, este

proportionala cu patratul amplitudinilor:

cos2~2121 IIIIm .

Daca, in plus, I1= I 2= I, atunci:

2cos4~ 2 Im .

In cazul particular (t)=0 se obtin maxime cu intensitatea 4I, iar daca (t)= se obtin minime,

de inensitate zero.

In practica, intotdeauna exista o dependenta de timp (t), mai lenta sau mai rapida, ceea ce

conduce la o variatie a semnalului m intre o valoare maxima mMAX si una minima mMIN; acestea

pot fi distinse de detector daca variatia intre cele doua extreme este lenta in comparatie cu

timpul sau caracteristic de raspuns.

Masuratorile interferometrice se pot face daca figura de interferenta este stabila un timp mai

lung decat timpul caracteristic de raspuns al detectorului.

Daca detectorul este ochiul uman, caracterizat de un timp de raspuns de circa o zecime de

secunda, atunci figura de interferenta trebuie sa fie stabila un timp semnificativ mai lung decat

0,1s, pentru a putea fi „perceputa” ca atare. In caz contrar, receptorul vizual nu poate „numara”

maximele si minimele, deoarece le

percepe ca o lumina de intensitate

constanta.

Aplicatii: masuratori si traductoare

interferometrice. Aceste masuratori sunt

tipice tehnologiilor actuale; precizia lor

este de /100, adica de circa 50nm. Spre

exemplu, inregistrarea si citirea informatiei

pe suport optic, pozitionarea si controlul in

prelucrarea robotizata au devenit

tehnologii comerciale, pe scara larga.

Fig.34 Principiul interferometriei


34

Interferenta in medii marginite: unde stationare in cavitati rezonante

Este cazul tuturor instrumentelor muzicale si a incintelor pentru sonorizari acustice, al

oscilatoarelor de microunde si radiofrecventa, sau al laserelor. Zgomotul produs intr-un anumit loc

(de regula, dar nu exclusiv, la unul din capete) se propaga in tub, coarda etc., se reflecta la capat, si

interfera cu unda initiala, formand ceea ce se numesc undele stationare, la care partea spatiala si

cea temporala a undei se decupleaza7, conform expresiei

)ωsin()cos(2),( 0 tz tkzuztu ,

rezultand maxime si minime de-a lungul cavitatii, in pozitiile

1)cos( zkz maxime; 0)cos( zkz minime.

Pozitiile fiind fixe in spatiu, undele se numesc stationare.

Din spectrul de frecvente extrem de bogat al zgomotului, cavitatea are proprietatea ca pastreaza

doar anumite frecvente, in functie de dimensiunile sale geometrice. Spectrul continuu al

zgomotului se reduce la o multime discreta, numerabila, de frecvente, care sunt compatibile cu

dimensiunile cavitatii: acestea sunt modurile proprii ale cavitatii, iar cavitatea este o cavitate

rezonanta.

Pentru a fixa ideile, prezentam doua situatii remarcabile, intr-o cavitate unidimensionala de

lungime l (ex. o coarda vibranta, sau un tub sonor), dar acestea nu sunt singurele posibilitati.

i/ Conditia de cavitate inchisa la ambele capete (echivalent, coarda fixata la ambele capete):

frecventele proprii sunt date de conditiile

0)0cos( zk ; 0)cos( zlk ,

de unde

l

cqf q

2 , q=1, 2,....

Corespunzător, lungimile de undă sunt

date de expresia (vezi figura alaturata)

q

lq

2 , q=1, 2,....

Modul fundamental are frecventa cea

mai mica (pozitiva), și lungimea de

undă cea mai mare, adica pentru q=1.

Celelate moduri sunt armonicele

superioare.

ii/ Conditia de cavitate deschisa la un

7 Demonstratia a fost facuta in liceu.

Fig.35


35

capat si inchisa la celalalt (echivalent, coarda fixata la unul din capete – fie acesta la z=0 –, si

excitata la celelalt z=l):

0)0cos( zk ; 1)cos( zlk ,

de unde

l

cqf q

22

1

, q=0, 1, 2,....

Analog, modul fundamental are frecventa pozitiva cea mai mica, aici q=0. Armonicele se obtin

pentru q=1, 2, .....

Temă: Desenați configurația modurilor proprii pentru cazul ii/.

Exemplu: unde sonore in creta. Modelul este cel al tubului deschis la ambele capete, unul dintre ele

fiind excitat prin frecarea cretei de tabla. Lungimea cretei este l=10cm, iar viteza undei elastice în

cretă este de 1800m/s. Fundamentala, cu energia cea mai mare, are frecvența f1=9000Hz, în

domeniul audio. Armonica întâia este la 18,0kHz; din cauză că este la limita domeniului audibil,

iar energia repartizată este de aproximativ o zecime din energia fundamentalei, sunetul scos este un

scârțâit strident, supărător, datorat, practic, în întregime, fundamentalei. Dacă rupem creta de la

mijloc, fundamentala își dubleaza frecvența, la 18kHz, și nu se mai aude.

Tema. Pentru alte exercitii de calcul cu tuburi sonore vezi adresa http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbase/hframe.html.

Difractia

Difractia este un fenomen complex, de

suprapunere a mai multor unde. In mod

simplificat, prin difractie intelegem fenomenul

prin care un orice fascicul, la interceptarea unui

obiect cu dimensiunea liniara D, capata o

divergenta dif data de:

D

difsin .

In figura alaturata este aratata o unda plana, care,

initial, are divergenta zero, iar dupa trecerea prin

fanta, are divergenta nenula.

O consecinta nedorita a difractiei este efectul „de

manjire” a contururilor obiectelor interceptate de

fascicul, prin introducerea unei incertitudini in

directia de propagare a oricărui fascicul.

Toate fasciculele sunt afectate de difractie

Conturul orificiului devine neclar

Fig.36




36

Cantitativ, incertitudinea se exprima prin unghiul de divergenta datorat difractiei, care limiteaza

claritatea obiectelor.

Limita de difractie

Orice fascicul sufera difractie, care fixeaza limita inferioara pentru mărimea detaliilor care pot fi

puse in evidenta la o valoare de ordinul de marime al lungimii de unda utilizate.

Pata de difractie, data de un obiect cu dimensiunea D, are

marimea M:

diftan LDM ,

sau, pentru unghiuri mici,

DLDM

.

i/ Daca obiectul este mare in raport cu lungimea de unda

D>>, atunci difractia este neglijabila, si urma reproduce

obiectul cu fidelitate suficientă

DM .

ii/ Daca, dimpotriva, obiectul este comparabil cu lungimea de unda, atunci dif /2 si devine

semnificativ al doilea termen

DLM .

In acest caz, pata de difractie este mai mare si „ascunde” obiectul, facand imposibila punerea sa in

evidenta.

Aplicatii: rezolutia spatiala a aparatelor. Multe dispozitive (radare, lidare, telescoape, sonare)

utilizate la cartografiere si masuratori au rezolutia limitata de lungimea de unda a radiatiei utilizate.

Rezolutia microscoapelor optice este limitata de lungimea de unda a radiatiei folosite la dimensiuni

micrometrice, deoarece lungimea de unda maxima in spectrul vizibil este ~0,7m.

Analog, precizia de localizare a sonarelor este limitata de lungimea de unda a undei acustice.

In figura 36 este ilustrat efectul difractiei (cu culoare rosie) in cazul unui fascicul laser (unda

plana) care trece printr-o fereastră de ieșire de diametru D, apoi printr-o lentila convergenta, cu

distanta focala flentila; dupa planul focal al

lentilei, peste divergenta datorata lentilei

(cu efect de marire a diametrului

fascicului), se suprapune efectul difractiei,

de manjire si estompare a contururilor

acestuia:

D

dif .

Focalizarea este limitata de difractie pana la o valoare d, care se poate calcula din geometria

sistemului optic. Astfel de lasere sunt folosite la inscrierea/citirea informatiei pe suport optic,

Fig.37

Fig.38


37

ghidarea capetelor discurilor optice, trasarea mastilor in fotorezist etc. Pentru a cobori limita de

difractie, lungimea de unda de lucru a trecut de la infrarosu spre ultraviolet, pe masura ce

tehnologia diodelor laser a avansat.

II.2.6 Efectul Doppler

Pentru o sursa in repaus, care emite unde cu pulsatia , frecventa receptionata de un detector, aflat

in miscare cu viteza v fata de sursa, va fi diferita, variatia relativa a pulsatiei (frecventei) fiind

proportionala cu viteza:

c

v

ω

Δω;

c

v

f

f

Δ.

Efectul Doppler constă în fenomenul de deplasare a frecvenței undei recepționate față de frecvența

undei emise cu o valoare f care depinde de viteza relativă8 a receptorului față de sursă.

Frecventa receptionata este mai mare daca receptorul se apropie de sursa, respectiv mai mică, daca

receptorul se departeaza de sursa. Daca detectorul este fixat in acelasi loc cu sursa, atunci acesta va

primi doua unde: una provenind direct de la sursa, cu frecventa nemodificata, si una reflectata de la

obiectul in miscare, cu frecventa deplasata. Suprapunerea celor doua unde se reduce la

compunerea, la detector, a doua oscilatii cu frecvente putin diferite (v. Cap. „Compunerea

oscilatiilor”).

Aplicatie: Interferometrie cu efect Doppler:

radare, ecografie, cartografiere acustica sau

optica.

Interferometria optica este o tehnica prin care

se pot detecta diferente de faza de ordinul

miliradianilor9, cauzate de modificari ale

drumului optic si/sau de deplasari Doppler ale

frecventei.

Intr-un interferometru ca cel din figura,

deplasarea probei este masurata cu ajutorul

numarului de franje (posibil fractionar)

deplasate la detector:

Nx2

1.

8 Pentru scopurile acestui curs s-a adoptat această definiție.

9 http://en.wikipedia.org/wiki/Mach%E2%80%93Zehnder_interferometer

Fig.39 Interferometru cu efect Doppler

http://en.wikipedia.org/wiki/Mach%E2%80%93Zehnder_interferometer


38

Viteza de deplasare a probei se determina in mod analog, tinand cont ca t

xvx

. Rezulta ca, intr-

un timp fixat, daca numarul de franje deplasate la detector este N, atunci aceasta este proportional

cu viteza de deplasare longitudinala a probei:

tvN x2

.

Domeniul de viteze masurabil cu un radar care functioneaza la frecventa f=1GHz este limitat de

stabilitatea in frecventa a oscilatorului sursa: pentru o stabilitate de Δf=100Hz, vitezele vor fi

determinate cu eroare relativa de 10-7

, adica 30m/s. Daca se foloseste o dioda laser in infrarosu

=1µm (f=300THz), stabilizata Δf=1MHz, atunci eroarea asupra vitezei devine 1m/s.

Documents

Oscilatii Si Unde 2012-2013 Corectat Final