1

1

Semnale

Un fenomen fizic, variabil în timp, care poartă cu

sine o informaţie este un exemplu de semnal.

Tipuri de semnale:

biologice, acustice, chimice, optice,…, electronice

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap1.pdf

2

a)

b)

Semnale biologice

Prelucrare :

Îndepărtare zgomot

2

3

Semnale acustice

4

Semnale bidimensionale

Prelucrare :

Îndepărtare zgomot

3

5 5

Imagini Synthetic Aperture Radar

Screenshot

illust

r

a

tion of the prototype interface for the Ocean Virtual Laboratory, with a background image

of sea surface temperature

(from the ODYSS

E

A

L4 product

)

with an overlay of

SAR scenes showing surface roughness.

By

use of transparency the underlying image can be seen a

t the same time showing how the

surface

roughness patterns

are affected by SST through its effect

on

air

-

sea interactions. The display shows (at the top) menu options for adding

other parameters, whils

t the bottom of the screen highlights the time information, including whether single days or

short

-

interval composites are shown

Screenshot illustration of the prototype interface for the Ocean Virtual Laboratory, with a background image

of sea surface temperature (from the ODYSSEA L4 product ) with an overlay of SAR scenes showing surface

roughness. By use of transparency the underlying image can be seen at the same time showing how the

surface roughness patterns are affected by SST through its effect on air - sea interactions. The display shows

(at the top) menu options for adding other parameters, whilst the bottom of the screen highlights the time

information, including whether single days or short - interval composites are shown.

6

Modelul matematic

Funcţia, având ca variabilă independentă timpul,

310 2 10 Vx t sin t

Exemplu de semnal în timp continuu.

4

7

Semnale în timp discret

Eşantionând x(t) cu pasul Te=0,05 ms

n=t/Te – timp normat (discret),

3 310 2 10 0 05 10

10 0 1 V

ex̂ t x nT sin , n

sin , n n Z

; ex n x nT n Z

8

0 =20

Perioada semnalului este multiplu al perioadei de esantionare

s

T

T

Prin esantionare (cu Ts), semnalul ramane periodic fiindca T0 este

multiplu de Ts

5

9

Câteva semnale mai importante

pentru un inginer

i) Semnalul sinusoidal

0

0 0 0 2 ,

x t Acos t

A, f , T

10

Semnalul sinusoidal este periodic

0

0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

00 0

si

2

1 2

x t T x t , t

x t nT x t , t n Z

Acos t T Acos t ; t

cos t T cos t , t

T

Tf

6

11

ii) Semnalul sinusoidal in timp

discret

0

0 0

00 0

e

0

0 0

=2 - frecventa in timp discret

2

e

e e

e

x n Acos T n

radT T s rad

s

fT

f

x n Acos n

cos n cos n

12

Frecvenţa în timp discret, 0x n cos n

In timp continuu, frecventa f0 variaza in gama (0, )

In timp discret, frecventa 0, variaza in gama (-, ) sau (0,2)

7

13

Periodicitatea dupa n a semnalului

sinusoidal in timp discret

Fie numarul natural N perioada dupa n a acestui

semnal.

0 0

0

0

0

cos cos ,

2

2Perioada semnalului: este un numar natural

Q

A n N A n n

N k

N k

14

Exemplu

Valoarea minima a lui k pentru care N este un intreg este k=1.

Rezulta N=20, perioada semnalului .

Semnalul nu este periodic dupa n.

Tema de curs: Reprezentati grafic acest semnal.

2x n Acos n

kkkN 201022

10 00

ncosAnx

10

8

15

“Confuzii” datorate esantionarii

eT

ttx 4cos3

eT

ttx 2cos2

0 12

0 =0,1,...ke

; x t Acos k t; kT

11 tx

0321 0 nxnTxnTxnTx eee

16 16

0 ; cos 2 1 ; 0,1,...ke

x t A k t kT

9

17

iii) Semnalul treapta unitara in timp

continuu

1 0

0 0

, tt

, t

Acesta este doar un model neputand fi generat in

practica.

18

iv) Semnalul treapta unitara discreta

1 0

0 0e

, nn nT

, n

10

19

v) Semnalul impuls unitar in timp

continuu. Impulsul Dirac

0

0

1

0

0 0k

k

k

kk

f t dt

, tlim f t

, t

0

0 0

1

, tt

, t

t dt

20 20

Proprietatea de filtrare

0 0

0

0

0

0

0 0 1 0

k k

k k

k k

t f t f t

lim t f t lim f t

t t t

t t dt t dt

t dt

0t t dt

Proprietatea de filtrare a impulsului Dirac

11

21

Legatura intre impulsul unitar si treapta

unitara

0

0 0

0

k

k k

k

k

'k k

'k k

'

k

lim g t t

g t f t

lim g t lim f t t

lim g t t

' t t

22

1 0

0 0

t

t

, td

, t

d t

12

23

vi) Impulsul unitar in timp discret

n

k

kn

1 0

0 0

, nn

, n

Tema de curs. Demonstrati urmatoarele relatii:

nnn 1

24 24

Alte proprietati ale impulsului

unitar in timp discret

0x n n x n

2 2 1 1 0

1 1 1 1 1 1

k

k

x k n k ... x n x n x n

x n ... x n n n x n n n x n n n ...

x n x k n k

13

25 25

26 26

vii) Semnalul rampa in timp continuu

0

0

0 0

0

0 0

tt d t, t

r t d

, t

t , tr t t t

, t

14

27 27

viii) Semnalul rampa in timp discret

11

0

1 1

0 1

0

0 0

nn

kk

n, nr n k

, n

n, nr n n n

, n

28 28

ix) Semnalul exponential

0

0

0 ; 0 ; ; 1

0 ; ; 0 ; 1

at at

t t

at at

t t

a lim e lim e e

a lim e lim e e

~ 2.7182, , at ex t e a

15

29 29

Exponentiala cauzala

0

; 00 0

atat e , t

x t e t a, t

30 30

x) Semnalul exponential discret ; , ns s s

nbnT bT bT

x n e e e a x n a a

Tema: desenati

semnalul pentru a<-1

a>1 0<a<1

-1<a<0

16

31 31

Semnalul exponential discret cauzal

0

0 0

nn a , n

x n a n, n

32 32

xi) Oscilatie cu anvelopa complexa in

timp continuu

0sinatx t e t 0

0 0

2sin 1; ; k k k

katt t k x t e

0

0 0

sin 1; ; l l llat

t t k x t e

17

33 33

Cauzalitate

00

0

0 0

atat e sin t, t

x t e sin t t, t

34

xii) Oscilatie cu anvelopa complexa in

timp discret

0nx n a cos n

Exercitiu

Trasati graficul

semnalului pentru cazul

a>1.

18

35

Semnale complexe. Fazori

;

; 2 2

;

j j

j j j j

j j

e cos j sin e cos j sin

e e e ecos sin

j

cos Re e sin Im e

36

Legatura dintre semnalul sinusoidal

real si exponentiala complexa

19

37

Pentru φ=0, varful fazorului descrie o elice

infasurata pe un cilindru de raza A.

38 38

Frecventa negativa

20

39 39

Transformări simple ale semnalelor

i) Multiplicarea cu o constantă

Permite amplificarea sau atenuarea semnalului

40 40

ii) Deplasarea în timp 0 0

0

deplasare spre dreapta daca 0

stanga daca 0

x t t t

t

0 0

0

deplasare spre dreapta daca 0

spre stanga daca 0

x n n n

n

0 reprezinta versiunea deplasata a lui x t t x t

21

41

iii) Reflectarea semnalului x t x t x n x n

iv) Scalarea timpului pentru semnale

analogice

22

v) Scalarea timpului pentru semnale

definite în timp discret

restin ,0

cu divizibil este daca, knk

nx

nx k

44

vi) Combinarea

transformarilor simple

2 2 2x t x t

23

45

Componenta para si componenta impara

a unui semnal real

; ; 2 2

;

; ; 2 2

e o e o

e e o o

e o e o

x t x t x t x tx t x t x t x t x t

x t x t x t x t

x n x n x n x nx n x n x n x n x n

46

Energia si puterea semnalelor

2

2

Energia unui semnal complex

In timp discret:

Semnalele in timp continuu de energie finita - functii cu patratul modulului integrabil

(square integrable functions), din clas

n

W x t dt

W x n

2

2 2

2

2

a de functii

Semnalele discrete de energie finita - functii cu patratul modulului sumabil

(square summable functions), din clasa de functii

[ ]n

L

x t dt x t L

l

x n

2x n l

24

47

1 – Exponentiala cauzala

descrescatoare

22

0 0

1 1

2 2 2

t

tt

x t e t

e eW e dt

48

2 – Oscilatia cauzala cu anvelopa

exponentiala

0

2 2 2 2 200 0

0 0 0 0

20

2 20 0

sin

1 cos 2 1 1sin cos 2

2 2 2

1 1

4 4 1 4 1

t

t t t t

x t e t t

tW e tdt e dt e dt e tdt

W

Pentru oscilatii “rapide” (0 mare), se aproximeaza

adica jumatate din energia semnalului fara oscilatii

(exemplul anterior)

1

4W

25

49

3- Semnalul exponential in timp

discret cauzal

2

20

2

, 1

1

1

11 ... ... , 1

1

n

n

n

n

x n a n a

W aa

a a a aa

50

4- Semnalul sinusoidal

0sinx t A t

0T

Semnalul periodic

are energia calculata pe o perioada

0 0

0

2 22 2

0 0 0

0 0

sin 1 cos 22 2

T T

T

A AW A tdt t dt T

26

51

5 – Semnalul treapta unitara

2

0 0

1 lim 1 lim 1N

N Nn n

W N

x n n

52

Puterea Puterea medie a semnalului P : se raporteaza energia

W la durata semnalului in care se dezvolta acea

energie.

Pentru semnale de durata infinita:

2

2

1

2

1

2 1

N

N n N

P lim x t dt

P lim x nN

27

53 53

Energia si puterea medie pentru semnale de durata

finita

2

1

2

1

2

2

2 1 2 1

1

t

t

t

t

W x t dt

WP x t dt

t t t t

Semnale in timp

continuu, cu suport [t1,t2]

Semnale in timp discret, cu

suport {N1, N1+1,…,N2}

2

1

2

1

2

2

2 1 2 1

1

1 1

N

n N

N

n N

W x n

WP x n

N N N N

54 54

Puterea medie se calculeaza pe o perioada:

0

2

0

2

1

1

T

n N

P x t dtT

P x nN

Semnale periodice

28

55 55

Puterea medie a semnalului

sinusoidal

Puterea depinde de amplitudinea sinusoidei 2

2 2 00

2 2 2 2 20 0

0 0

1 21

2 2 2

2 22

4 4 2 2 4 2 2

cos tAP lim A sin tdt lim dt

sin t sinA A A A Alim lim

2 2

00

1

2 2

A AP T

T

Folosind rezultatul anterior se obtine acelasi rezultat:

56 56

Notiuni despre distributii

functie

distributie

operator

29

57 57

Exemple de distributie: Impulsul Dirac

0 0

: 0

:

t t

t t t t

(t) asociaza oricarei functii test (t), valoarea ei din origine, (0)

(t-t0) asociaza oricarei functii test (t), valoarea ei din t0, (t0)

f – distributie. Functia test φ si un numar (care este

produsul scalar dintre f si φ) sunt asociate

ft t f t dt

: ,f t f t t t f t dt

58 58

Derivata unei distributii:

Impulsul Dirac

f ' t , t ' t f t dt f t , ' t

0' t , t t , ' t '

0'

t '

' t t asociaza oricarei functii test

minus valoarea derivatei sale in origine

30

59 59

Derivata unei distributii: treapta

unitara

0

00

0

0

t

t

t

t t dt

t t , t t dt t

t

t t

Concluzii:

i) Functiile sunt utile pentru modelarea semnalelor,

ii) Distributiile sunt utile pentru modelarea unor semnale si procese

precum esantionarea,

iii) Operatorii sunt utili pentru modelarea sistemelor de prelucrare a

semnalelor.