Upload
ioana-madalina
View
71
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
nnn
Citation preview
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
1
Oscilații
Obiectivul acestui capitol este acela de a prezenta câteva principii ale transmiterii și prelucrării
informației.
Importanța oscilațiilor armonice rezidă în faptul că toate semnalele fizice se pot exprima ca
suma unor mărimi oscilatorii armonice. Eșantionarea și descompunerea în serie de termeni
armonici este utilizată în toate tipurile de analiză, prelucrare și sinteză numerică, iar
modulația este esențială în tehnologia comunicațiilor.
Cuprins
I. Mărimi oscilatorii
Definiție
Mărimi caracteristice
Cauzele oscilațiilor
Energia oscilatorului armonic
II. Spectrul oscilațiilor
Descompunerea în serie de componente armonice
Spectrul audibil și spectrul vizibil
III. Oscilații amortizate
IV. Compunerea oscilațiilor
Compunerea oscilațiilor cu aceeași pulsație
Oscilații modulate
Eșantionarea
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
2
I. Mărimi oscilatorii
Definiție
O variație periodică1 în timp a valorilor unei mărimi
fizice, de-o parte și de alta a unei valori fixe, se cheamă
oscilație.
Mărimea fizică oscilantă poate fi o coordonată spațială
(în acest caz este vorba de o mișcare oscilatorie în sens propriu, iar valoarea fixă se mai numește
poziție de echilibru), o tensiune electrică (tensiunea alternativă de la rețeaua publică de 220V),
iluminarea diurnă în succesiunea zi-noapte, o temperatură sezonieră iarnă-vară, un indicator
macroeconomic trimestrial (de ex. produs intern brut etc.).
Mărimi caracteristice
Intervalul temporal T după care mărimea fizică ce
oscilează își repetă valorile se numește perioada
oscilației:
)()( Ttxtx , [T]SI=secundă, simbol s.
Frecvența este numărul de oscilații pe secundă:
[ f ]SI=s1
sau Hertz (Hz).
Relația dintre frecvența și perioada oscilațiilor este:
1Tf .
Pulsația oscilației este legată, până la un factor multiplicativ 2 , de frecvență (sau viteza
unghiulară):
f 2ω , []SI=rad/s
Oscilații armonice
Mărimea periodică poate varia în timp în diverse feluri.
Dacă dependența de timp este de formă sinusoidală, atunci oscilația este armonică2.
Ecuația unei mișcări oscilatorii armonice, unidimensionale, pe direcția x, cu frecvența f este
xftxtx 00 2πsin)( , (OSC)
unde se pot evidenția alte mărimi caracteristice, anume amplitudinea și faza oscilației:
i/ valoarea pozitivă x0 este amplitudinea oscilației, [x]SI=m,
iar
ii/ (t)=2 f t +0x este faza oscilației, ((0)=0x se numește faza inițială); []SI=rad.
1 În aceasta prezentare ne limităm la oscilațiile periodice; pentru cele aperiodice, cvasi-periodice etc. se poate
consulta http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html 2 Funcțiile sinus și cosinus se mai numesc funcții armonice.
Fig.1
Fig.2 Oscilații periodice
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
3
Viteza de variație a mărimii oscilatorii armonice (OSC) este viteza de variație a coordonatei x,
deci este chiar viteza de mișcare a obiectului pe direcția x, care se obține prin derivarea la timp a
ecuației de mișcare (OSC):
t
xtvx
d
d)( xx ftxftv 00 2πcos2)( , [vx]SI=m/s. (VOSC)
Observație
Expresia xftxtx 00 2πcos)( este la fel de bună, fiind echivalentă cu xftxtx 00 2πsin)( , în
virtutea identităților
xft 02πcos
x
xft
0
02
2πsin xft 02πcos ,
unde legătura dintre fazele inițiale este 2
00
xx .
Exemple de reprezentări grafice de mărimi oscilatorii (mărimea oscilatorie este notată x, poate să
nu fie neapărat o elongație) sunt ilustrate în fig.3. Expresiile matematice ale oscilațiilor din fig.3
sunt:
0π2sin)( 0 ftxtx , respectiv )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx .
Interpretarea mărimii fizice pulsație.
Frecvența este legată, până la un factor
multiplicativ 2 , de pulsația oscilației
(sau viteza unghiulară):
f 2ω , []SI=rad/s
Noțiunea de viteză unghiulară își are
originea în analogia cu mișcarea
circulară (v. fig.4), unde o mișcare
circulară poate fi proiectată pe cele două
axe carteziene x și y în două mișcări
oscilatorii unidimensionale.
Fig.4
Oscilații armonice 0π2sin)( 0 ftxtx Oscilații nearmonice )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx
Fig.3
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
4
Teme
1. Care este perioada oscilațiilor ceasului primar al unui calculator care are frecvența de 3,6GHz?
2. Arătați că, în cazul oscilațiilor armonice, o perioadă temporală T corespunde unei diferențe de
fază 2. Cărui interval de timp îi corespunde o diferență de fază = ?
3. Expresia analitică a tensiunii electrice de la rețeaua casnică este 0314sin311)( ttu (V).
Identificați: i/ valoarea cea mai mare, respectiv cea mai mică a tensiunii electrice dintre cele
două borne ale unei prize, și ii/ de câte ori pe secundă se atinge fiecare din aceste valori
(maximă, respectiv minimă)?
Cauzele oscilațiilor
Mișcările oscilatorii iau naștere în câmpuri unde interacțiunile sunt proporționale cu deplasarea
față de un punct numit punct (centru) de echilibru, unde forțele câmpului sunt nule:
Felastic(t) ~ kel x(t) .
Se va exemplifica pe cazul mișcării oscilatorii armonice, care ia naștere în medii elastice, în urma
deplasării obiectului față de centrul de echilibru.
În cazul unui corp de masă m, atașat unui resort, care se
poate mișca orizontal, fără frecare, forța câmpului
elastic este direct proporțională cu alungirea resortului
și orientată în sens invers alungirii resortului:
)()( elelastic txktF ,
unde constanta de proporționalitate kel este constanta elastică a resortului. Pe de altă parte,
conform principiului fundamental al dinamicii newtoniene, această forță va modifica impulsul
obiectului:
t
ptF
d
delastic ,
de unde, succesiv
2
2
elasticelasticelasticelasticd
d
d
d
d
d
d
d
d
)d(
t
xmtF
t
x
tmtF
t
vmtF
t
mvtF
.
În consecință, forțele care guvernează mișcarea se pot exprima în funcție de funcția necunoscută
x(t), iar relația care se obține este ecuația diferențială a mișcării oscilatorii:
0d
del2
2
xkt
xm . (EDO)
Rezolvarea acesteia conduce la aflarea ecuației de mișcare3, unde trebuie determinată funcția
necunoscută x(t), dacă sunt date condițiile inițiale:
3 A se vedea Cap.„Ecuatiile de mișcare” din fascicula Mecanică.
Fig.5
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
5
Ax )0( și 0
0d
dv
t
x
t
.
Fără a demonstra cum se rezolvă ecuația diferențială precedentă, se poate verifica faptul că
xtxtx 00 sin)(
este soluție a ecuației diferențiale (EDO), unde pulsația depinde de constanta mediului elastic și
de masa obiectului care oscilează, conform relației m
kel .
Amplitudinea A și faza inițială x0 se determină din condițiile inițiale:
0)0()0(
vvAx
000
00
0cos0sin
vxAx
x
x
de unde, după câteva operații matematice, se obține
0
0
0
0
2
02
0
arctansautanv
A
v
A
vAx
xx
Exemplu
Fiecare arc elicoidal dintre cele patru care se găsesc la fiecare roată de la un automobil cu masa
m=800kg are constanta elastică kel=50kN/m2. Care este frecvența oscilațiilor verticale ale
automobilului?
Automobilul este susținut de cele patru arcuri care sunt echivalente cu un singur arc, de patru ori
mai „tare”, adică are constanta elastică 4kel=50kN/m2 (la fel de bine se poate considera că fiecare
arc susține un sfert din masa automobilului). Frecvența de oscilație este m
kf el4
2
1
800
1054
14,32
1 4
f f=2,52Hz, adică aproximativ două oscilații și jumătate pe secundă.
În realitate, aceste oscilații nu sunt simțite de pasageri, deoarece sunt puternic și rapid atenuate de
dispozitivele amortizoare ale automobilului.
Temă
Verificați faptul că expresia xtxtx 00 sin)( satisface ecuația diferențială (EDO).
În concluzie, orice mărime, notată generic cu u, care respectă o ecuație diferențială de forma
0)(d
d 2
2
2
tut
u (tip EDO), va avea o variație oscilatorie armonică: 00 sin)( tutu .
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
6
Ecuațiile diferențiale de tip (EDO) sunt caracteristice mediilor care au proprietatea că se opun
variației mărimii u după o lege liniară Fu ~ ku, unde Fu este mărimea fizică ce caracterizează
interacțiunea de revenire a mărimii u.
Energia oscilatorului armonic
Energia oscilatorului armonic izolat
Prin oscilator armonic izolat se înțelege ansamblul „obiect oscilator”-„câmp elastic” izolat de
alte interacțiuni. Un astfel de ansamblu poate fi cel mecanic, cu care suntem familiarizați, al unui
obiect pus în miscare de un resort elastic, sau poate fi un oscilator mai abstract, în interacțiune cu
mediul, unde interacțiunea poate fi modelată de o relație similară celei a unui „câmp elastic”.
Spre exemplu, în cazul oscilației tensiunii electrice de la rețeaua casnică de 220V, obiectele
oscilante sunt electroni, iar câmpul de tip elastic este câmpul electric, cu care electronii
interacționează prin forțe electrice.
În cele ce urmează, deși rezultatele sunt valabile pentru orice fel de oscilatori, referirea se va face
la oscilatorul mecanic.
Energia oscilatorului armonic este compusă din energie cinetică și energie potențială:
PC EEE . Energia potențială este energia de interacție în câmpul elastic și indică „potențialul”
ansamblului oscilator-câmp de a schimba lucru mecanic. Variația energiei potențiale este egală
cu lucrul forței câmpului, cu semn schimbat (se va considera că energia potențială este nulă în
poziția de echilibru):
x
xxFx
0
elasticP d)(0)(E , sau
x
xxkx
0
elP d)(E .
Punând în evidență timpul, rezultatul pentru energia potențială este:
2
elP )(2
1)( txkt E .
Pentru oscilatorul armonic izolat, făra forțe exterioare, este ușor de arătat că, înlocuind în
expresia energiei potențiale soluția armonică xtxtx 00 sin)( , se obține
xtxkt 022
0elP sin2
1)( E . (EP)
Dacă obiectul este adus, de o forță exterioară, până în
punctul x0, după care forța exterioară dispare, obiectul
începe să oscileze, energia cinetică fiind 2
C2
1)( mvv E ,
de asemenea dependentă de timp:
2C )(2
1)( tvmt E .
Înlocuind viteza v=dx/dt (VOSC) în expresia energiei cinetice, rezultă expresia
Fig.6
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
7
xtxkt 022
0elC cos2
1)( E . (EC)
Energia totală nu mai depinde de timp, fiind constantă
2
0el2
1xkE .
Se spune că energia se conservă, sistemul oscilant obiect-câmp având energia staționară. Soluția
armonică xftxtx 00 2sin)( caracterizează o stare energetică a sistemului obiect-câmp
elastic 2
0el2
1xkE , stare care se păstrează indefinit, atâta timp cât acesta este izolat.
În general, pentru o mărime care oscilează armonic xftutu 00 2sin)( , energia totală este
proporțională cu pătratul amplitudinii oscilației
E ~ u02. (E)
În medie, energia oscilatorului armonic este repartizată în mod egal între energia cinetică și cea
potențială, medierea făcându-se pe o perioadă (T)=2 și fiind simbolizată prin parantezele
ascuțite „< >”:
2
0el
2
0
22
0elP4
1d)(sin
2
1xktxk
E ; 2
0el
2
0
22
0elC4
1d)(cos
2
1xktxk
E ,
adică
EEE2
1CP .
Evident, valoarea medie este, și ea, proporțională cu pătratul amplitudinii, dar factorul de
proporționalitate este altul.
Măsurarea mărimilor oscilatorii: valori efective
Toți senzorii și toate aparatele de măsură funcționează pe baza preluării unei fracțiuni din
energia oscilatorului. Timpanul urechii preia o parte din energia de oscilație a moleculelor
gazelor care compun aerul, o fotodiodă preia o parte a energiei oscilației câmpului electric
incident pe joncțiune etc. Urechea transformă în senzație auditivă vibrația de 100Hz, dar nu
detectează niciodată 100 de schimbări ale intensității sunetului într-o secundă, motivul fiind
acela că urechea percepe doar valoarea medie a energiei mărimii oscilatorii. La fel, nici
ochiul uman (și niciun aparat de măsură) nu percepe cele 51014
oscilații pe secundă ale
câmpului electromagnetic care ne impresionează retina sub forma senzatiei de „culoare
galbena”.
Detectoarele sunt caracterizate de un timp caracteristic, în care energia recepționată este
mediată pe durata timpului caracteristic c, astfel că indicația este proporțională cu valoarea
medie a pătratului mărimii oscilatorii, care se mai numește valoare efectivă:
Indicație detector ~
c
0
2
c
d)(1
ttu .
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
8
De obicei perioada oscilației este mult mai mică decât timpul caracteristic T<<c, astfel că
medierea pe o perioadă dă același rezultat ca medierea peste timpul caracteristic
Indicație detector ~
c
0
2
c
d)(1
ttu =
T
ttuT
0
2 d)(1
.
În concluzie, mărimile măsurate sunt valori pătratice medii (valori efective) ale mărimilor
oscilatorii. Acest lucru se poate înțelege mai bine în cazul mărimilor oscilatorii nearmonice,
unde, de obicei, amplitudinile de oscilație depind de timp.
Analogie econo-fizică
Pentru a prelua o fracțiune din energia oscilatorului și a efectua, astfel, măsuratoarea, aparatul de
măsura interacționează cu ansamblul oscilant, modificându-i starea. Aparatul de măsură trebuie
să fie astfel proiectat încât perturbația să fie minimă. Același lucru se întâmplă și în fenomenele
economice. Pentru a “măsura” valoarea unui bun, produs de o întreprindere, singura cale este
aceea de a-l tranzacționa pe piață, adică sistemul economic „întreprindere” trebuie să
interacționeze cu mediul economic înconjurător, prin intermediul pieței.
Orice altă evaluare a bunului, în afara valorii de piață, este arbitrară. Un produs care costă pe
producător 10 se poate găsi, pe piață, în situații dintre cele mai diverse. Spre exemplu, există
posibilitatea ca acesta să poată fi vândut cu 12 lei (cu un profit brut de 2 lei), dacă producătorul a
anticipat corect nevoile de piață. Dacă însă este un produs de sezon, iar sezonul a trecut, acesta
se poate vinde, dar sub prețul de cost (de ex. să se vândă la prețul de 5 lei); mai mult, dacă nu
mai există deloc cerere, produsul nu se mai vinde deloc. Așadar, valoarea reală a bunului este
valoarea de piață, dată de utilitatea acestuia la un moment dat.
Informația referitoare la prețul vânzării influențează compania producatoare. În cazul vânzării
sub prețul de cost, fie trebuie să ia măsuri de reducere a prețului de cost, fie chiar să scoată bunul
respectiv din fabricație.
Există numeroase deosebiri între modelul economic și cel fizic. Modelul fizic este un caz limită,
care ține cont numai de elementele cele mai relevante. În realitatea economică, există numeroși
alți factori care influențează piețele (geografici, comportamentali, politici etc.). Cu cât piața este
mai apropiată de piață ideală, cu concurența perfectă, cu atât modelul economic se apropie de
modelul fizic, iar valoarea la care se face tranzacția tinde să exprime cel mai bine utilitatea
bunului.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
9
II. Spectrul oscilațiilor
Oscilațiile se pot caracteriza atât în timp, cât și în frecvență. O oscilație armonică de forma
00 2sin)( ftutu are în structură o singură frecvență f. O oscilație nearmonică are în
structură mai multe frecvențe. În general, oscilațiile nu sunt armonice, dar pot fi exprimate ca
sume de termeni armonici.
Prin spectru se înțelege repartiția în frecvență a unei mărimi fizice, de obicei o mărime
energetică (putere, energie, intensitate etc.).
Exemplu
Energia semnalelor muzicale de la difuzoare este repartizată în intervale spectrale denumite uzual
„(frecvențe) joase”, „(frecvențe) medii” și „(frecvențe) înalte”, difuzoarele având dimensiuni
diferite: diametre mai mari pentru „bași”, și diametre mici pentru „acute”.
Descompunerea în serie de componente armonice
Importanța studiului oscilațiilor armonice rezidă în aceea că se poate demonstra ca orice oscilație
nearmonică se poate descompune în serie de componente armonice. Această descompunere stă la
baza prelucrarii semnalelor și a transmiterii informației la distanță (modulație, codare,
eșantionare, filtrare etc.).
Orice mărime oscilatorie (periodică) )()( Ttutu se poate exprima ca sumă de oscilații
armonice4, de frecvențe multiple de frecvența fixată prin perioada oscilației fmin=1/T:
n
nnn tfuutu }2sin{)( 000 , unde minfnfn , n=1,.... (DSF)
Componenta u00 se numește componenta continuă (cu frecvența zero), iar
nnnn tfutu 2sin)( 0 se numesc armonicele de ordin n, unde un0 este amplitudinea, iar
fn=n/T este frecvența armonicei de ordin n. Amplitudinile sunt univoc determinate, adică pentru
o oscilație periodică, nearmonică, descompunerea este unică. Deoarece și frecvențele sunt fixate,
rezultă că unei oscilații u(t) îi corespunde o singură serie (DSF).
Calculul coeficienților seriei. Fiind dată mărimea oscilatorie (periodică) )()( Ttutu ,
coeficienții din dezvoltarea în serie se calculează cu relația 22
0 nnn bau , unde
ttftua n
T
n d2sin)(
0
, ttftub n
T
n d2cos)(
0
.
Totalitatea coeficienților armonicelor unei oscilații (în general, unei mărimi periodice) formează
spectrul de amplitudini al oscilației S(f): {u00, u10, u20, …}.
4 Descompunerea se numește seria Fourier a funcției periodice u.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
10
Spectrul energetic
Deoarece oscilația nearmonică este o sumă de componente armonice, iar energia fiecărei
componente armonice este proporțională cu pătratul amplitudinii sale (a se vedea ec. (E)),
înseamnă că energia oscilației (nearmonice) este dată de suma energiilor componentelor
armonice, adică, până la o constantă multiplivativă, de suma pătratelor coeficienților
n
n
n
n u20~EE .
Totalitatea pătratelor valorilor coeficienților armonicelor unei oscilații (în general, unei mărimi
periodice) formează spectrul de energie al oscilației
En(f): }...,,...,,,,{
/ armonicei energia
2
0
/2 armonicei energia
2
20
/1 armonicei energia
2
10
0 armoniceienergia
2
00
Tnf
n
TfTff
uuuu
.
În practică, numărul de coeficienți din serie se limitează la primii N care conțin, de exemplu,
95% din energie
95,00
20
N
n
nu E .
Spectrul de energie al oscilației este
En(f): },...,,,,{
/ armonicei energia
2
0
/2 armonicei energia
2
20
/1 armonicei energia
2
10
0 armoniceienergia
2
00
TNf
N
TfTff
uuuu
.
ceea ce corespunde la o serie trunchiată la primii N termeni
N
n
nnn tfutu0
0 }2sin{)( .
Calculul coeficienților seriei. Fiind dată mărimea oscilatorie (periodică) )()( Ttxtx ,
coeficienții din dezvoltarea în serie se calculează cu relația 220 nnn bau , unde
ttftua n
T
n d2sin)(
0
, ttftub n
T
n d2cos)(
0
, n=1,...N.
Exemple
1. Oscilația 00,01π2sin1)( ttu (u.a.) este are o singură frecvență în spectru f=0,01Hz;
corespunzător, perioada oscilației este T=100s. Semnalul oscilatoriu u(t), pentru domeniul
temporal )4000,0(t s, și spectrul sau energetic E(f), sunt ilustrate în fig 7. Dezvoltarea (DSF)
are un singur termen.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
11
Fig.7
2. Oscilația compusă din suma a două oscilații monocromatice, de frecvențe f1=0,01Hz și
f2=0,02Hz, cu expresia
202,02sin3001,0π2sin3)( tttu ,
are reprezentările grafice u(t) și E(f) din fig.8. Seria (DSF) conține doi termeni.
Fig.8
3. În Fig.9 este ilustrată oscilația x(t) în forma de „dinți de fierastrău” cu perioada T=0,2s.
Frevența cea mai mică este fmin=1/T=5Hz. Dezvoltarea DSF are, teoretic, un număr nelimitat de
armonice; totuși, doar amplitudinile primelor șase sunt semnificative, conținănd circa 95% din
energia oscilației. Din acest motiv, celelalte se neglijează.
Fig.9
Trunchierea făcută conduce la o reconstrucție aproximativă a oscilației originale. Dacă dorim
reconstruim semnalul xrec din cele șase armonice păstrate (fig.9bis), se observă că x și xrec nu
sunt identice, dar, în aplicațiile practice, această aproximare poate fi satisfăcătoare.
Cu cât se păstrează mai multe armonice pentru reconstrucție, cu atât semnalul reconstruit
reproduce mai fidel semnalul original xrecx.
Oscilația compusă x(t)
Spectrul oscilației compuse Sx(f)
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
12
Intervalul spectral dintre frecvența cea mai mică și cea mai mare se numește banda semnalului
(fig.9bis).
Temă. Pentru a înțelege mai bine aceste lucruri, vizitați pagina http://www.falstad.com/fourier/.
Observație
În prelucrările numerice, calculatoarele folosesc tehnica dezvoltării în serie. Pentru mărimile
neperiodice, se procedează analog, considerând în locul perioadei T de la semnalul periodic
lungimea temporală a unei ferestre de analiză. Acestă durată fixează perioada cea mai mare
(echivalent, frecvența cea mai mică, nenulă) din spectrul semnalului.
Spectrul audibil și spectrul vizibil
Spectrul audibil al oscilațiilor
sonore
Frecvențele audibile ale oscilațiilor
mecanice ale timpanului uman sunt
în intervalul 16Hz–20kHz. Peste
20000Hz se numesc ultrasunete, iar
sub 16Hz, infrasunete; nici primele,
nici ultimele nu mai pot fi
transformate în senzații auditive de
receptorul uman. Anumite animale
comunică prin infrasunete (cașalotul,
elefantul), în timp ce senzorii
acustici ai altor animale acoperă
domeniul ultasunetelor (liliacul,
pisica, șarpele).
Ramura fizicii care se ocupă de producerea și recepția sunetelor în domeniul audio este acustica.
Fig.9bis
Sursa: https://www.google.co.in/#q=audio+graphic+equalizer
Egalizor audio; pe orizontală, pe mijloc, sunt notate
frecvențele centrale ale intervalelor spectrale; în partea
de sus este indicată curba de amplificare în frecvență
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
13
Spectrul vizibil al oscilațiilor electromagnetice
Oscilațiile electromagnetice ocupă un spectru extrem de larg, de la undele radio la radiația
gamma. Spectrul oscilațiilor electromagnetice care sunt convertite în senzații cromatice de
receptorul uman – așa numitul domeniu vizibil – se află însă într-un interval extrem de îngust,
între 200 și 950THz. Ramura fizicii care se ocupă de producerea și recepția în domeniul vizibil
este optica.
Sursa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Denumirile și prefixele multiplilor și submultiplilor zecimali
Multipli 101
Deca, da
102
Hecto, h
103
Kilo, k
106
Mega, M
109
Giga, G
1012
Terra, T
1015
Peta, P
1018
Exa, E
1021
Zetta, Z
1024
Yotta, Y
Sub-
multipli
101
deci, d
102
centi, c
103
mili, m
106
micro,
109
nano, n
1012
pico, p
1015
femto, f
1018
atto, a
1021
zepto, z
1024
yocto, y
Observație
Stocarea și prelucrarea imaginilor color (televiziune, computere) nu se face sub formă optică, ci
sunt utilizate tehnologii electronice de codare. Imaginile sunt convertite în semnale electrice a
căror bandă este de aproximativ 6,5MHz. Pentru a putea transmite la distanță informațiile de
sunet (bandă 20kHz) și imagine (bandă 6,5MHz) este necesar un proces suplimentar de
modulație, prin care aceste informații-mesaj sunt “încărcate” pe oscilații purtătoare cu
frecvențele de 106-10
8Hz, care se pot propaga în spațiu sub formă de unde.
Există și tehnologiile optice de stocare a imaginilor, care folosesc principiul holografiei.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
14
III. Oscilații amortizate
Comportarea în timp a oscilațiilor amortizate
Oscilatoarele sunt construite pentru a ceda în exterior lucru mecanic, pentru scopuri economice
(inițiere sau sincronizare procese, mașini ciclice etc.), acționând împotriva unei forțe exterioare.
Forța exterioară poate fi forța rezistentă pe care o opune
un dispozitiv mecanic (piston, turbină), forța electrică care
pune în mișcare electronii dintr-un metal etc. O parte a
lucrului mecanic se transformă, inevitabil, în căldură, din
cauza forțelor de frecare, care pot fi minimizate, dar nu
anulate complet. Transferul de energie de la sistemul
oscilant către exterior are drept consecință reducerea în
timp a amplitudinii de oscilație, oscilația devenind
amortizată, amplitudinea scăzând în timp cu un factor de
amortizare , []SI=s–1:
0
in timp scade
0 2sin)( tfeutu t
După un timp τ=β1
(u.a.) amplitudinea oscilației scade de e2,7 ori. Acesta poate fi considerată
durata în care se amortizează complet oscilația. După acest interval, se presupune că energia
oscilatorului este neglijabilă, deoarece scade de e27,3 ori. Echivalent, energia va scădea de
e2,7 ori după un timp (2β)1
, adică de două ori mai repede decât amplitudinea.
Aplicație
Oscilatorul primar al unui calculator actual are frecvența de
ordinul a 3GHz. Din acesta se alimentează toate circuitele de
prelucrare a informației: unitatea aritmetică, adresele de
acces, memoria s.a.m.d. Atenuarea, până la dispariție, a
oscilațiior, din cauza cedării continue a energiei, este evitată
prin aport adecvat, continuu, de energie electrică spre
câmpul oscilatorului. Aceste oscilații se numesc întreținute.
Ecuația de mișcare a oscilatorului amortizat. Dacă forța exterioară este proporțională cu viteza de
oscilație, orientată în sens contrar acesteia, Fext=v, atunci ecuația fortelor conduce la o ecuație
diferențială de forma:
0
d
d
d
del
exterioara forta
2
2
xkt
x
t
xm ,
Punând m
kelc și
2
m, rezultă
0d
d2
d
d 2c2
2
xt
x
t
x.
Fig.11 Oscilații întreținute
Fig.10 Oscilații amortizate
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
15
Mărimea β este factorul de amortizare, și are dimensiune de s1
. Amplitudinea nu mai este
constantă, ci scade exponențial în timp (v. Fig.10). La adresa http://www.lon-
capa.org/~mmp/applist/damped/d.htm există un exemplu interactiv de oscilație amortizată.
Ecuația de mișcare a oscilatorului5 amortizat (soluția ecuației diferențiale de mai sus) este
x
t textx 0
in timp scade eaamplitudin
0 sin)(
,
unde 22
c . Frecvența f=/2 nu este identică cu cea a aceluiași oscilator, dacă ar fi
neamortizat (notată fc=c/2=1/T):
2
cc
21
fff
Cu cât amortizarea este mai slabă (β mai mic), cu atât frecvența de oscilație f se apropie de fc.
Spectrul oscilației amortizate
Spre deosebire de oscilația armonică neamortizată,
care are o singură frecvență în spectru, cea
amortizată are o bandă de frecvențe, oscilația ne mai
fiind armonică.
Lărgimea de bandă este 2β, simetrică, în jurul valorii
fc=c/2=1/T.
Exemplu
În cazul oscilațiilor slab amortizate, neperiodice, se consideră ca durată efectivă a semnalului
intervalul τ>>Tc. Fie sunetul grav emis de un contrabas pe frecvența fc=20Hz, care se aude timp
de 0,5s (τ=0,5s). Ne propunem să determinăm, semi-cantitativ, spectrul acestui sunet.
Descompunerea în serie (DSF) este de forma cunoscută
n
nnn tfuutu }2sin{)( 000 ,
unde minfnfn , fmin=1/τ =2Hz.
Calculul coeficienților6 indică spectrul din figura
alăturată, adică cea mai mare valoare o are
componenta u10 de la frecvența f10=20Hz. Acest
lucru nu este surprinzător, deoarece este frecvența
oscilației armonice, cu frecvența f1=fc=1/T=20Hz,
5 Deoarece obiectul capitolului este studiul oscilațiilor, se va lua în consideratie doar această soluție, care este
caracteristică oscilațiilor slab amortizate. 6 Acest calcul nu este arătat aici, dar se poate folosi programul Mathematica sau MatLab.
Spectrul oscilației amortizate
Spectrul oscilației amortizate
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
16
dacă nu ar fi fost amortizată. Componentele alăturate, decalate cu β=2Hz sunt cele mai
semnificative, celelalte fiind practic nule, și de aceea se neglijează. În concluzie, seria conține trei
armonice nenule n=9, n=10 și n=11. În realitate, frecvențele de oscilație nu sunt constante, ci
fluctuează în intervalul (9/τ, 11/τ), sau (fc–β, fc+β).
Exemplu din econo-fizică
Un șoc poate genera oscilații care se amortizează în timp. În figurile de mai jos este ilustrat
cursul de schimb al monedei sud coreene (WON) în raport cu dolarul american (USD), la
începutul crizei financiare care a lovit Asia de sud-est în anul 1997. A doua figură este
prelucrată, componentele cu variație rapidă (echivalent, cu frecvență ridicată) fiind înlăturate prin
filtrare digitală.
Abscisa timpului este în zile. Se observă că, după șoc (devalorizare bruscă), oscilațiile au durat
aproximativ 700 de zile, adică circa doi ani.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
17
IV. Compunerea oscilațiilor
Din punct de vedere fizic, problema compunerii se pune atunci când cele două mărimi au aceeași
dimensiune, adică sunt de acelasi tip, având aceeași unitate de măsură. În continuare sunt
prezentate câteva cazuri simple de compunere a oscilațiilor.
Compunerea oscilațiilor cu aceeași pulsație
Oscilații pe direcții perpendiculare
Fie direcțiile de oscilație x și y. Rezultatul compunerii este o
traiectorie eliptică.
Cazuri particulare:
Oscilațiile au aceeasi fază inițială (sunt în fază)
0sin)( 0 txtx , 0sin)( 0 tyty .
Elipsa este degenerată la un segment de dreaptă, de pantă y0/x0.
Oscilațiile sunt în antifază
0sin)( 0 txtx , tyty sin)( 0 .
Elipsa este degenerată la un segment de dreaptă, de pantă y0/x0.
Oscilațiile sunt în cuadratură
0sin)( 0 txtx ,
2sin)( 0 tyty .
Elipsa este orientată fie orizontal, fie vertical. Pentru y0=x0, elipsa
devine cerc.
De cele mai multe ori este mai ușor de înțeles reciproca, adică o
mișcare în plan, după o traiectorie eliptică, se proiectează pe două
direcții reciproc perpendiculare, sub formă de mișcări oscilatorii rectilinii, după fiecare axă.
Acest lucru este valabil și pentru miscarea periodică în spațiul fizic (a se vedea și fig.4).
Aplicație. Mișcarea de revoluție a Pământului în jurul Soarelui se poate descompune în trei
mișcări oscilatorii. Metoda este de interes în astrofizică, deoarece, dacă se cunosc trei proiecții
ale mișcării unui corp ceresc, pe trei direcții oarecare - nu neapărat perpendiculare -, atunci se
poate recompune mișcarea în spațiu a acestuia.
Oscilații pe aceeași direcție
Fie oscilațiile care se compun:
01011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx .
Fig.12
Fig.11
Fig.13
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
18
Rezultatul compunerii )()()( 21 txtxtx este o oscilație cu aceași pulsație (frecvență) cu a
componentelor, de forma:
00 sin)( txtx ,
unde
02020101
020201010
01020201202
201
20
coscos
sinsintan :faza
)cos(2 :eaamplitudin
xx
xx
xxxxx
Amplitudinea oscilației rezultante depinde de defazajul inițial 0102 .
Cazuri particulare:
Oscilații în fază: 00102 .
În acest caz, amplitudinea rezultantă este
maximă: 02010 xxx .
Oscilații în antifază: 0102 .
În acest caz, amplitudinea rezultantă este
minimă: 02010 xxx .
Oscilații în cuadratură: 2
0102
.
Amplitudinea rezultantă este: 2
02
2
010 xxx ,
între valoarea minimă și cea maximă.
Observație: coerența.
Pană acum s-a presupus că defazajul nu depinde de timp. Se spune că oscilațiile sunt coerente.
Dacă, însă, defazajul ar varia în timp, atunci amplitudinea oscilației rezultante, ca și faza ei
“inițială”, ar varia, de asemenea, în timp:
)()( 0102 tt x0(t).
În sens larg, condiția de coerență se referă nu atât la invarianța în timp a defazajului, lucru
imposibil de realizat practic, ci la lentoarea cu care variază acesta, în comparație cu timpul
caracteristic al aparatului cu care se măsoară oscilația rezultantă. Dacă variațiile sunt prea rapide,
atunci figura de interferență nu poate fi inregistrată.
Oscilații în fază; cu roșu este rezultanta
Oscilații în antifază; cu roșu este rezultanta
Oscilații în cuadratură; cu roșu este rezultanta
Fig.14
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
19
Aplicații
1. Măsurători interferometrice. Interferometria este metoda de a transforma diferența de fază,
care, de obicei, nu este sesizată de aparatele de măsura – nici de urechea sau ochiul uman – în
diferență de amplitudine, care poate fi măsurata. Pe acest principiu functioneaza
interferometrele, precum și sistemele audio stereo și quadro, imagistica 3D, sau prelucrarea de
imagini holografice.
2. Imagistica 3D. Imaginea stereoscopica este compusa din două imagini separate, preluate de
fiecare ochi. Din cauza poziției spațiale a ochilor, imaginile provenite de la același obiect nu sunt
identice, ci puțin defazate; acest mic defazaj este receptionat de fiecare ochi sub formă de
imagini cu intensitate diferită, între maximul și minimul de interferență. Pe baza experientei
acumulate în timp, cortexul cerebral prelucrează informația de intensitate și o interpretează sub
forma de senzație de spațialitate, reușind să evalueze distanța până la obiect. În general,
aprecierea distanței este cu atât mai bună cu cât distanța dintre ochi este mai mare. Evaluarea
depinde foarte mult de experiența anterioară; spre exemplu, un copil mic apreciază prost
distanțele. Pe de altă parte, un adult poate aprecia satisfăcător distanțele, chiar cu un ochi închis.
În cazul sunetelor, audiția cu o singură ureche nu dă rezultate satisfacătoare, pierzând informația
referitoare la distanță.
Oscilații modulate
Oscilațiile modulate sunt rezultatul compunerii oscilațiilor pe aceeași direcție, cu pulsații
semnificativ diferite.
Spre deosebire de cazurile anterioare, în care compunerea era aditivă, modulația este o
compunere multiplicativă.
Oscilațiile modulate sunt cele care prin care se transmit informațiile. Oscilațiile armonice simple
nu pot realiza acest lucru. Convenim să denumim oscilațiile modulate semnale. Oscilația de
frecvență mare este purtătoarea, iar cea de frecvența joasă conține mesajul. Rezultatul
compunerii este o oscilație modulată.
Modulația este procedeul utilizat în transmiterea la distanță a informației (radio, televiziune,
transmisii optice prin cablu etc.). Modulația este obligatorie, deoarece doar oscilațiile de
frecvență mare se propagă prin spațiu, sub formă de unde. Prin urmare, este necesar ca mesajele
de frecvență joasă (până la 20kHz semnalul audio, până la 6,5MHz semnalul imagine) să fie
“urcate” în frecvență, iar acest lucru se realizează prin modulație.
Exemplu
Mai jos este ilustrat cazul
05,02sin1)(m ttx ; fm=0,5Hz,
0182sin1)(p ttx , fp=18Hz, fm<< fp.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
20
Oscilația „mesaj” 05,02sin1)(m ttx și spectrul acesteia.
Oscilația „purtătoare” 0182sin1)(p ttx și spectrul acesteia.
Semnalul modulat transmis 05,182cos5,0)( transmissemnal ttx și spectrul acestuia.
În realitate, spectrul mesajului este cuprins într-o bandă de frecvențe, prin urmare și semnalul
transmis are o bandă (f0–fm, f0+fm).
Aplicație: transmisia informației la distanță
Fie mesajul
0pm0mmesaj sin)( txtx
și purtătoarea
s000purtatoare sin)( txtx , m0 ,
prin a căror multiplicare se obține oscilația modulată
0p00mmm0semnal sinsin)( ttxtx .
Semnalul de mai sus conține două frecvențe, anume suma f0+fm și diferența f0–fm , deoarece
expresia semnalulului se poate rescrie, folosind identitățile trigonometrice:
)()(cos)()(cos2
1)( 0m0pm00m0pm0m0semnal ttxtx .
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
21
Ambii termeni conțin mesajul, așadar este suficient să se transmită la distanță doar una dintre
dintre oscilațiile modulate, prin intermediul unei unde, de exemplu
)()(cos2
1)( 0m0pm0m0 transmissemnal txtx .
Pentru recuperarea mesajului, la recepție are loc demodulația, care constă într-o nouă
multiplicare, urmată de filtrare.
i/ Multiplicare la recepție cu semnalul generat local t0sin
local
generat semnal
0
treceptiona semnal
0m0pm0m0receptie sin)()(cos2
1)( ttxtx
filtrareprin inlatura se
m0m0
mesaj irereconstitu
0m0pmm0receptie )2(sin4
1)(sin
4
1)( txtxtx .
ii/ Înlăturarea componentei de frecvență 20 prin filtrare
mesaj irereconstitu
0m0pmm0receptie )(sin4
1)( txtx .
Se observă că, până la un factor de amplificare și o fază inițială
(fără importanță practică) mesajul este reconstituit
)(sin4
1)( 0m0pmm0receptie txtx ~
0pm0mmesaj sin)( txtx .
Multiplexarea în frecvență: canale de transmisie
Mai multe astfel de purtătoare, funcționând pe frecvențe diferite, pot transmite, fiecare,
informații independente unele de celelalte, pe aceeași cale fizică, cum ar fi o fibră optică. Acesta
este principiul multiplexării pe canale de transmisie, fiecare canal având propria bandă, în jurul
purtătoarei. Există mai multe variante de modulație, nu doar cea indicată aici. În oricare dintre
ele, atunci când se precizează frecvența (ex. Radio FM 101,5MHz), aceasta este frecvența
purtătoarei.
Aplicație
Principiul multiplexării în frecvență este ilustrat în figura de mai jos, unde purtătoare de
frecvențe diferite sunt modulate cu mesaje diferite și transmise pe aceeasi cale fizică. La recepție,
fiecare purtătoare este extrasă prin filtrarea canalului aferent.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
22
Principiul multiplexarii in frecventa
Eșantionarea
Semnalele “mesaj” se transmit, la distanță, cu ajutorul undelor7, printr-un proces de modulație,
urmat de filtrare. După cum am văzut, multiplexarea permite transmiterea mai multor mesaje pe
aceeași cale fizică. Totuși, necesitatea socială crescândă a transmiterii și prelucrării rapide a
informației (ex. internet de mare viteză) impune raționalizarea transmisiilor, dată fiind
capacitatea finită a căilor de comunicație. Transmiterea continuă a semnalului mesaj ocupă
integral timpul de transmisie.
Se pune problema, cât din mesaj, și cum trebuie alese aceste porțiuni de semnal, pentru ca la
utilizator să fie posibilă reconstituirea mesajului.
Răspunsul este oferit de teorema eșantionării.
Orice semnal poate fi reconstituit dacă se cunosc doar părți ale sale.
Prin eșantionare se înțelege procesul de selectare a acelor porțiuni din semnal care sunt
suficiente pentru reconstituire.
Teorema eșantionării (Shannon-Nyquist)
Teorema Shannon-Nyquist indică modul cum trebuie eșantionat un semnal a cărui energie este
cuprinsă (de ex. în proporție de 95%) în intervalul f(fmin, fmax), interval cunoscut și sub
denumirea de banda semnalului (spre exemplu, banda audio este (16, 20000Hz)).
Intervalul (pasul) de eșantionare tesant trebuie să fie mai mic, sau cel mult egal cu jumătate din
perioada componentei cu frecvența cea mai înaltă din spectrul semnalului:
max
esant2
1
ft .
7 Undele vor fi prezentate in fascicula urmatoare Unde.
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
23
Interpretare fizică: la limita impusă de condiția Shannon-Nyquist, frecvența de eșantionare este
suficient de mare încât să prindă valorile relevante ale componentelor din semnal cu variația
temporală cea mai rapidă (cu frecvența cea mai mare fmax), adică să prindă atât valoarea maximă,
cât și pe cea minimă a semnalului.
Frecvențele mai înalte dacât fmax din spectrul semnalului
(reprezentând, în exemplul nostru, restul de 5% din
energia sa) nu pot fi puse în evidență. De aceea,
semnalul reconstituie foarte bine, dar nu identic, pe cel
original.
Exemplu
Care este frecvența de eșantionare pentru semnalul
audio?
Ținând cont că frecvența limită maximă audibilă este
20000Hz, înseamnă că o eșantionare cu frecvența dublă, de 40kHz asigură recuperarea totală a
mesajului audio.
Observație
1. Condiția Shannon-Nyquist impune limita superioară a frecvenței din spectru.
2. Eșantionarea se aplică semnalelor mesaj, astfel că, de obicei, frecvența inferioară este fie nulă,
fie fixată din alte considerente, fără nicio constrângere suplimentară asupra procesului de
eșantionare. Spre exemplu, la un mesaj vocal nu are sens să fie păstrate frecvențele mai mici de
16Hz, deoarece nu pot fi auzite; totuși, frecvența de eșantionare din exemplul precedent rămâne
feșant=40kHz.
Aplicație: digitizarea semnalelor pentru prelucrarea numerică.
În imensa majoritate a cazurilor, în calculatoare semnalele se procesează digital, motivele
principale fiind două: i/ reducerea costurilor de transmisie, prin utilizarea, simultan, a aceleiași
căi fizice, de către mai mulți operatori, și ii/ protecția la perturbații. Digitizarea se face conform
teoremei esantionarii.
Aplicație: multiplexarea în timp.
Eșantionarea permite transmiterea mai multor mesaje prin intercalarea (întrețeserea)
eșantioanelor care provin de la mesaje diferite. Acest proces de intercalare se numeste
multiplexare in timp. Rezultatul este ca toate mesajele sunt comprimate intr-unul singur, care
contine informatia tuturor mesajelor constitutive. La receptie se foloseste procedeul invers,
demultiplexarea coerenta, prin care mesajele componente sunt separate, pe rand din semnalul
multiplexat. Principiul multiplexarii este ilustrat in figura de mai jos.
Fig.15 Interpretarea fizică a condiției
Nyquist pentru componenta cu perioada
cea mai mică
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
24
Fig.16 Multiplexarea mesajelor în timp
Aplicație: multiplexarea în timp și în frecvență
Dacă mai multe semnale multiplexate în timp (multiplex 1,… multiplex i) se modulează, cu
purtătoare de frecvente diferite (f1,…fpi), se obține, suplimentar, și o multiplexare în frecvență.
Aceste semnale se transmit la distanta prin unde electromagnetice repartizate pe domenii
spectrale (radio, tv, microunde, domeniu optic etc.).
Fig.17 Multiplexarea mesajelor în timp, urmată de multiplexarea în frecvență
Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor
2015-2016
25
Aplicatie econo-fizică
Fie cursul de schimb Euro-USD din fig.18. Pasul de eșantionare este tesant=1zi, prin urmare
componenta cu cea mai mare frecvență care poate fi pusă în evidenta este fmax=0,5zi1
, care
corespunde perioadei de 2 zile. Variațiile mai rapide de 2 zile nu pot fi puse în evidența, cu acest
pas de eșantionare8. Spectrul de frecvențe al acestui semnal (fig.18b) indică ciclicitățile cu cele
mai mari ponderi în evolutia temporala a cursului. Se observă că ponderile cele mai mari sunt pe
frecvențele cele mai joase – echivalent, pe ciclurile cu perioadele cele mai mari.
Fig.18 Cursul de schimb Euro-USD în perioada 1998-2008 și spectrul său de frecvențe.
Semnalul temporal are N=3300 eșantioane, luate la interval tesant=1zi, așadar are durata
Ttot=3300zile. Similar cu relația Shannon-Nyquist, care fixează relația dintre pasul de eșantionare
în timp și frecvența maximă, există o relație analoagă, care fixează reprezentarea eșantioanelor pe
graficul din domeniul frecvență, în funcție de durata totală a înregistrării temporale (v. fig.18):
totesant
1
Tf .
În consecință, numărul de eșantioane în domeniul frecvență este n=1650, jumătate din cel al
eșantioanelor temporale. Aceaste tehnici sunt utilizate în toate programele de calculator9.
Aplicație. Indicatorii macroeconomici, precum produsul intern brut, sunt afectați de sezonalități.
Pentru a fi comparabili, de la trimestru la trimestru, sezonalitățile trebuie detectate și eliminate
prin filtrare.
Temă. Bursa de la București afișează valorile prețurilor tranzacțiilor la fiecare jumătate de oră.
Care este perioada ciclicităților care se pot evidenția în seria de valori a acestora?
8 Indicii bursieri sunt esantionati cu un pas mai des, de obicei de ordinul minutelor.
9 MatLab, Mathematica