24
OSCILAŢII 9 Partea I-a OSCILAŢII ŞI UNDE 1. OSCILAŢII 1.1 Introducere In general, orice fenomen în cursul căruia se transformă periodic sau pseudoperiodic, reversibil sau parţial reversibil, energia, dintr-o formă în alta poartă numele de oscilaţie. Evident, există o mare diversitate de tipuri de oscilaţii care pot fi clasificate în funcţie de natura energiilor sau a mărimilor fizice periodice care caracterizează fenomenele. Astfel, oscilaţiile pot fi:mecanice (vibraţii), electrice, electromagnetice, electromecanice, termice, nucleare etc. Oscilaţiile efectuate de un sistem izolat, care a intrat în oscilaţie, la un moment dat, sub acţiunea unei cauze externe care după aceea nu mai acţionează asupra sistemului, se numesc oscilaţii libere sau oscilaţii proprii ale sistemului respectiv. Frecvenţa unei oscilaţii libere se numeşte frecvenţa proprie a sistemului. Dacă sistemul nu este izolat ci pierde energie în timpul oscilaţiilor atunci oscilaţiile sale se numesc amortizate (amplitudinea acestora scade în timp). Amortizarea poate fi împiedicată prin transmitere de energie din exterior către sistemul care oscilează. In acest caz oscilaţiile sistemului se numesc oscilaţii întreţinute. Dacă frecvenţa acţiunii externe care menţine oscilaţia este egală cu frecvenţa proprie a sistemului atunci oscilaţiile vor căpăta amplitudinea maximă;acesta constituie fenomenul de rezonanţă.

75932620 Oscilatii Si Unde

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

9

Partea I-a

OSCILAŢII ŞI UNDE

1. OSCILAŢII

1.1 Introducere

In general, orice fenomen în cursul căruia se transformă periodic sau

pseudoperiodic, reversibil sau parţial reversibil, energia, dintr-o formă în alta

poartă numele de oscilaţie. Evident, există o mare diversitate de tipuri de

oscilaţii care pot fi clasificate în funcţie de natura energiilor sau a mărimilor

fizice periodice care caracterizează fenomenele. Astfel, oscilaţiile pot

fi:mecanice (vibraţii), electrice, electromagnetice, electromecanice, termice,

nucleare etc.

Oscilaţiile efectuate de un sistem izolat, care a intrat în oscilaţie, la un

moment dat, sub acţiunea unei cauze externe care după aceea nu mai

acţionează asupra sistemului, se numesc oscilaţii libere sau oscilaţii proprii ale

sistemului respectiv. Frecvenţa unei oscilaţii libere se numeşte frecvenţa

proprie a sistemului.

Dacă sistemul nu este izolat ci pierde energie în timpul oscilaţiilor atunci

oscilaţiile sale se numesc amortizate (amplitudinea acestora scade în timp).

Amortizarea poate fi împiedicată prin transmitere de energie din exterior

către sistemul care oscilează. In acest caz oscilaţiile sistemului se numesc

oscilaţii întreţinute. Dacă frecvenţa acţiunii externe care menţine oscilaţia este

egală cu frecvenţa proprie a sistemului atunci oscilaţiile vor căpăta

amplitudinea maximă;acesta constituie fenomenul de rezonanţă.

Page 2: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

10

1.2 Oscilaţii mecanice

1.2.1 Oscilaţii liniare libere

Oscilaţiile liniare libere constau în deplasarea periodică a unui sistem în

jurul unei poziţii de echilibru în prezenţa unui câmp de forţe elastice. Un câmp

de forţe elastice poate fi considerat ca un câmp central caracterizat prin aceea

că, în orice punct, forţa aplicată în acel punct este orientată spre centrul forţelor

iar modulul ei este proporţional cu distanţa de la centrul forţelor (poziţia de

echilibru-O) la punctul de aplicaţie (figura 1.1).

F kx= − (1.1) Constanta de proporţionalitate k poartă (Figura 1.1) numele de constantă

elastică.

Sistemele mecanice care

execută mişcări oscilatorii libere

au în poziţia de echilibru

( )x o= energia potenţială zero iar

energia cinetică maximă. în

timpul oscilaţiilor energia cinetică se transformă în energie potenţială şi invers.

Ecuaţia mişcării unui punct material, cu masa m, asupra căruia acţionează

forţa elastică 1.1 este

ma kx= − sau 0mx kx+ = (1.2) Notând

20

km

ω= (1.3)

ecuaţia mişcării devine

2 0ox xω+ = (1.4)

Soluţia generală a acestei ecuaţii este

0 01 2

i t i tx C e C eω ω−= + (1.5)

Sau

0sin( )x A tω ϕ= + (1.6)

În legea de mişcare (1.6) mărimea A poartă numele de amplitudine a

mişcării, 0ω se numeşte pulsaţie iar 0tω ϕ+ , fază a mişcării.

x

mF0

Figura 1.1

Page 3: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

11

Se observă că elongaţia x a mişcării se repetă, după un interval de timp T,

numit perioadă a mişcării şi care are expresia

0

2 2 mTk

π πω

= = (1.7)

Apelând la expresia 1.6 se poate calcula viteza şi acceleraţia mişcării

2 20 0 0cos( )dxv x A t A x

dtω ω ϕ ω= = = + = − (1.8)

2 20 0 0sin( )dva x A t x

dtω ω ϕ ω= = = − + = − (1.9)

Energia totală a punctului material este suma dintre energia cinetică ( )cE şi

energia potenţială ( )pE

2 22 2 2 20

02 2 2 2 2x

c pm Amv mv kx kAE E E F dx ω

= + = + = + = =∫ (1.10)

Mărimile x, v şi a, a căror expresii sunt, respectiv, 1.5, 1.8 şi 1.9, sunt

reprezentate grafic în figura 1.2.

Din expresiile menţionate şi din figura 1.2 se observă că elongaţia x şi

acceleraţia a sunt în opoziţie de fază iar viteza v este defazată înaintea

elongaţiei cu 2π .

Mişcarea oscilatorie studiată mai sus reprezintă un caz ideal. într-o astfel de

mişcare s-a ţinut seama doar de forţa elastică (forţă conservativă) dar au fost

Figura 1.2

v x

, ,x v a

t

a

A

2o Aω

o Aω

o A−ω

2o A−ω A−

T

Page 4: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

12

neglijate forţele neconservative exterioare cum ar fi forţele de frecare. în lipsa

acestora energia totală are aceeaşi valoare tot timpul. Astfel de oscilaţii care au

loc fără pierderi de energie poartă numele de oscilaţii nedisipative.

1.2.2 Oscilaţii amortizate

În realitate oscilatorul pierde energie (prin frecare, radiaţie) în timpul

oscilaţiilor şi din acest motiv amplitudinea acestora scade în timp până devine

egală cu zero. Acest tip de oscilaţii, disipative de energie, poartă numele de

oscilaţii (vibraţii) amortizate.

Pentru viteze de oscilaţie relativ mici forţele de rezistenţă ale mediului sunt

proporţionale, în fiecare moment, cu viteza oscilatorului şi sunt îndreptate în

sens opus vitezei

reyF v xρ ρ= − = − (1.11)

În expresia de mai sus ρ este un coeficient de rezistenţă a mediului care

depinde de forma şi volumul oscilatorului cât şi de natura (vâscozitatea)

mediului în care are loc oscilaţia.

Ecuaţia mişcării în acest caz, devine

ma x kxρ= − − sau 0mx x kxρ+ + = (1.12) Utilizând notaţiile

20

km

ω= şi 2mρ δ= (1.13)

Ecuaţia mişcării 1.12, devine

202 0x x xδ ω+ + = (1.14)

Căutând soluţia ecuaţiei diferenţiale 1.14 sub forma ntx e= , se obţine

2 20( 2 ) 0nte n nδ ω+ + =

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 2 202 0n nδ ω+ + = sunt

2 21,2 0n δ δ ω= − ± − (1.15)

În acest fel, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale 1.14 este

2 2 2

2 0 01 2 ( ) ( )1 2 1 2

t tn t n tx C e C e C e C eδ δ ω δ δ ω− + − − − −= + = + (1.16)

Page 5: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

13

În funcţie de cum este valoarea rezistenţei mediului (mai slabă sau mai

puternică) faţă de valoarea forţei elastice, rădăcinile 1.15 pot fi complexe sau

reale. Se disting, în acest fel, mai multe cazuri.

Cazul 1, corespunzător frecărilor relativ mici 20( )δ ω .

În acest caz rădăcinile 1.15 sunt complex conjugate

2 21,2 0n iδ δ ω δ ω= − ± − = − ± (1.17)

Iar soluţia generală 1.16 devine

1 2 0( ) sin( )t i t i t tx e C e C e A e tδ ω ω δ ω ϕ− − −= + = + (1.18)

Analizând 1.18 se observă că în acest caz avem de a face cu o mişcare

oscilatorie având perioada

2 20

2 2T π πω ω δ

= =−

(1.19)

Adică mai mare decât perioada 00

2T πω

= a oscilaţiilor libere.

De asemenea, amplitudinea acestei mişcări

0tA A e δ−=

scade exponenţial în timp;scăderea este cu atât mai pronunţată cu cât factorul

de amortizare δ este mai mare.

Graficul mişcării oscilatorii amortizate este reprezentat în figura 1.3

Amortizarea oscilaţiilor poate fi caracterizată cu ajutorul mărimii, numită

( )x t

oA

oA−

toA e−δ

t

Figura 1.3

Page 6: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

14

decrement logaritmic al amplitudinii, care reprezintă logaritmul natural al

raportului a două amplitudini care se succed la un interval de o perioadă adică a

două amplitudini succesive, de aceeaşi parte a poziţiei de echilibru

0( )

1 0

ln ln lnt

Tnt T

n

A A e e TA A e

δδ δ

− ++

Δ = = = =

Cazul 2, corespunzător frecărilor relativ mari 0( )δ ω≥

În acest caz, deoarece rădăcinile 1.15 sunt negative, rezultă că x tinde

exponenţial către zero;este cazul unei mişcări aperiodice.

1.2.3 Oscilaţii întreţinute

Oscilaţiile pot fi menţinute adică amortizarea poate fi împiedicată dacă

oscilatorul primeşte energie din exterior. Considerând că aportul de energie din

exterior se face cu o forţă periodică

1sinext oF F tω= (1.21)

Ecuaţia de mişcare în prezenţa forţei elastice ( )kx− , a forţei de rezistenţă a

mediului ( )xρ− şi a forţei exterioare 0 1( sin )F tω este

0 1sinmx x kx F tρ ω= − − +

Sau 2 00 12 sinFx x x t

mδ ω ω+ + = (1.22)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale neomogene 1.22 se obţine prin însumarea

soluţiei ecuaţiei omogene, care are forma

2 21 0 0 0sin( )tx A e tδ ω δ ϕ−= − + (1.23)

Şi o soluţie particulară de forma membrului drept

2 1sin( )x A tω ϕ= + (1.24)

Datorită amortizării, soluţia 1x poate fi neglijată după un interval de

timp suficient de mare;de aceea, oscilaţiile sistemului vor fi descrise, după

acest interval de timp, numai de soluţia particulară

2 1sin( )x x A tω ϕ= = + (1.25)

Mişcarea descrisă de această soluţie se numeşte în regim staţionar;într-un

asemenea regim, oscilaţiile sistemului se efectuează cu o frecvenţă egală cu cea

a forţei de întreţinere şi nu cu frecvenţa proprie. Pentru a găsi constantele A şi

ϕ se introduce 1.25 în 1.22

Page 7: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

15

1 1cos( )x A tω ω ϕ= + ; 21 1sin( )x A tω ω ϕ= − + (1.26)

2 2 01 1 1 1 0 1 1sin( ) 2 cos( ) sin( ) sinFA t A t A t t

mω ω ϕ δω ω ϕ ω ω ϕ ω− + + + + + = (1.27)

sau

2 2 00 1 1 1 1 1( ) sin( ) 2 cos( ) sinFA t A t t

mω ω ω ϕ δω ω ϕ ω− + + + = (1.28)

Dezvoltând 1sin( )tω ϕ+ şi 1cos( )tω ϕ+ şi identificând coeficienţii lui

1sin tω şi 1cos tω din cei doi membri ai relaţiei astfel obţinute, rezultă

2 2 00 1 1( ) cos 2 sin FA A

mω ω ϕ δω ϕ− − = (1.29.a)

2 21 1( )sin 2 cos 0oA Aω ω ϕ δω ϕ− + = (1.29.b)

Din sistemul 1.29 se deduc A şi ϕ

02 2 2 2 2

1 1( ) 4o

FAm ω ω δ ω

=− +

(1.30)

12 21 0

2tg δωϕω ω

=−

(1.31)

Dependenţa amplitudinii A de pulsaţia 1ω a forţei exterioare este

reprezentată în figura 1.4;se observă că, coeficientul δ are rolul unui

parametru.

Mişcarea este deci întreţinută de către forţa exterioară şi după încetarea

regimului tranzitoriu, în care există şi oscilaţii proprii ale sistemului, acesta

1δ A

2 1δ δ>

Figura 1.4

Page 8: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

16

intră în regim staţionar, frecvenţa mişcării fiind egală cu frecvenţa de vibraţie a

forţei exterioare. Maximul amplitudinii, pentru cazul când variază frecvenţa, se

poate afla derivând expresia amplitudinii, 1. 30, în funcţie de pulsaţie şi

egalând-o cu zero

2 2 2 200 1 1 1

32 2 2 2 21 20 1 1

2( )( 2 ) 82 0

( ) 4

FdA md

ω ω ω δ ω

ω ω ω δ ω

⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦= =

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

. (1.34)

De unde 2 2 2 21 0 1 1( ) 2 0ω ω ω δ ω− − + = . (1.35)

Deoarece 1 0ω = nu este un caz de extrem pentru A, rezultă că frecvenţa

rω pentru care amplitudinea oscilaţiilor este maximă (numit fenomen de

rezonanţă) este

2 20 2rω ω δ= − . (1.36)

Valoarea maximă a amplitudinii se obţine înlocuind 1.36 în 1.30

0max 2 2

02FA

mδ ω δ=

−. (1.37)

Din această expresie rezultă că maximul amplitudinii este cu atât mai mare

cu cât coeficientul de amortizare δ este mai mic, tinzând la infinit când δ

tinde la zero. Cu cât coeficientul δ este mai mic cu atât pulsaţia de rezonanţă

rω este mai apropiată de pulsaţia proprie 0ω .

1.3 Compunerea oscilaţiilor

Mişcările oscilatorii studiate în paragraful 1.2 reprezentau situaţiile în care

asupra punctului material acţiona doar o singură forţă elastică. Un punct

material poate fi însă supus simultan acţiunii mai multor forţe elastice şi dacă

considerăm că fiecare din ele este cauza unei oscilaţii

Atunci putem spune că acel punct material este supus acţiunii simultane a

mai multor oscilaţii. Interesează mişcarea care rezultă din compunerea acestor

oscilaţii. Vor fi studiate câteva cazuri particulare.

Page 9: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

17

1.3.2 Compunerea oscilaţiilor de aceeaşi direcţie şi perioadă

Fie două oscilaţii de aceeaşi direcţie (x) şi aceeaşi perioadă 2T πω

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

1 1 1

2 2 2

sin( )sin

x A tx A t

ω ϕω ϕ

= +

= + (1.38)

În urma compunerii acestora, rezultă o oscilaţie de forma

( )sinx A tω ϕ= + (1.39)

unde 1 2x x x= + (1.40)

Înlocuind în 1.40 expresiile lor din 1.38 şi 1.39, în urma identificărilor, se

găseşte

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin sincos cos cos

A A AA A A

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= += +

(1.41)

Rezolvând sistemul 1.41, se găseşte

( )2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A ϕ ϕ= + + − (1.42)

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

A AtgA A

ϕ ϕϕϕ ϕ+

=+

(1.43)

Amplitudinea mişcării rezultante 1.42 depinde de valoarea diferenţei de

fază ( ) ( )2 1 2 1t tϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ϕΔ = + − + = −

Dacă 0ϕΔ = (oscilaţii în fază), atunci

1 2A A A= + (1.44)

Dacă ϕ πΔ = (oscilaţii în opoziţie de fază), atunci

2 1A A A= − (1.45)

Dacă 2πϕΔ = (oscilaţii în cuadratură), atunci

2 21 2A A A= + (1.46)

1.3.3 Compunerea oscilaţiilor perpendiculare

Fie un punct material supus simultan la două oscilaţii perpendiculare (pe

direcţiile x şi y);considerăm că cele două oscilaţii au aceeaşi pulsaţie.

( )( )

1

2

sin

sin

x A t

y B t

ω ϕ

ω ϕ

= +

= + (1.47)

Page 10: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

18

Eliminând timpul, din 1.47 se va găsi ecuaţia generală a traiectoriei

punctului material care este ecuaţia generală a unei elipse înscrise într-un

dreptunghi cu laturile 2A şi 2B

( ) ( )2 2

22 1 2 12 2 2 cos sinx y x y

A B A Bϕ ϕ ϕ ϕ+ − − = − (1.48)

Dacă ( )2 1 1 ,n cuϕ ϕ ϕ πΔ = − = − n=0, 1, 2, … atunci 1.48 devine

By xA

= ± (1.49)

adică punctual material se mişcă pe o dreaptă.

Dacă

( )2 1 , 0,1,2,...2

n nπϕΔ = + = atunci 1.48 devine

2 2

2 2 1x yA B

+ = (1.50)

Adică punctual material se mişcă pe o traiectorie eliptică centrată la axele

ox şi oy care sunt şi direcţiile de oscilaţie a celor două oscilaţii care se compun.

În cazul în care A=B=R expresia 1.50 devine

2 2 2x y R+ = (1.51) Adică mişcarea are loc pe un cerc cu raza R.

În figura 1.5 sunt reprezentate unele din situaţiile prezentate mai sus.

Valoarea vitezei în fiecare punct al traiectoriei şi sensul în care este

parcursă traiectoria se determină după relaţiile

2 2 2 2x yv v v x y= + = + cu ( )1cosx A tω ω ϕ= + şi ( )2cosy B tω ω ϕ= +

Observaţie. Dacă cele două oscilaţii perpendiculare au pulsaţii diferite

atunci traiectoriile mişcărilor rezultante sunt curbe complicate numite figuri

Figura 1.5

y

x B

A

y

xB

A

y

x B

A

a) 0ϕΔ = b) 0 / 2ϕ π< Δ < b) / 2ϕ πΔ =

Page 11: 75932620 Oscilatii Si Unde

OSCILAŢII

19

Lissajous. Forma acestora depinde de valoarea diferenţei de fază şi de raportul

perioadelor lor de oscilaţie.

1.3.4 Compunerea oscilaţiilor cu aceeaşi direcţie şi pulsaţii diferite (fenomenul de bătăi).

Considerăm două oscilaţii paralele cu pulsaţii diferite

1 1

2 2

sinsin

x A tx A t

ωω

==

(1.52)

Unde 1 2,ω ω ω ω ω ω= −Δ = + Δ şi ω ωΔ

Compunând cele două oscilaţii, se obţine

( ) ( )1 2 sin sin 2 cos sinx x x A t A t A t tω ω ω ω ω ω= + = −Δ + + Δ = Δ ⋅ (1.53)

Din expresia 1.53 se observă că mişcarea rezultantă are amplitudinea

2 cosrezA A tω= Δ (1.54)

Modulată periodic cu perioada

2A

T πω

(1.55)

Observaţie. Dacă cele două oscilaţii care se compun au amplitudini egale

(cazul prezentat mai sus) atunci amplitudinea rezultantă variază între zero şi

2A iar dacă amplitudinile sunt diferite atunci amplitudinea rezultantă variază

între 1 2A A+ şi 1 2A A− .

t

Figura 1.6

2A

2A−

T

2AT

x

Page 12: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

20

Tot din expresia 1.53 se observă că perioada mişcării rezultante este

2 2AT Tπ π

ω ω= ∠ =

Δ (1.56)

Rezultatele prezentate mai sus sunt reprezentate grafic în figura 1.6

2. PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

2.1 Introducere

Oscilaţiile unui punct material dintr-un mediu se transmit din aproape în

aproape datorită forţelor de interacţiune dintre particulele mediului. De fapt,

propagarea oscilaţiilor într-un mediu reprezintă transportul energiei oscilaţiilor

prin acel mediu. Dacă în cursul propagării energia oscilaţiilor se transformă în

alte forme de energie (de exemplu în energie termică) atunci se spune că acel

mediu este absorbant.

Oscilaţiile se propagă sub formă de unde. în general se poate considera că o

undă reprezintă o perturbaţie (mecanică, electromagnetică) care se propagă în

spaţiu, din aproape în aproape, prin intermediul unui câmp (câmp de forţe

elastice, de presiune, câmp electromagnetic).

Dacă v reprezintă viteza de propagare a unei unde (numită viteză de fază)

după o anumită direcţie atunci distanţa parcursă de undă în timpul unei

perioade T de oscilaţie se numeşte lungime de undă ( )λ

vvTλυ

= = (2.1)

unde υ poartă numele de frecvenţă.

Un tip de unde (perturbaţii) importante din punct de vedere fizic este cel al

undelor periodice, la care funcţia de undă (mărimea perturbată) ( ),x tψ are

proprietatea

( ) ( ), , , 1, 2,..x t x t nt nψ ψ= + = (2.2)

Aceasta înseamnă că într-un punct dat (x=ct.), funcţia ψ ia aceeaşi valoare

când t variază cu cantităţile T, 2T, 3T, …Echivalent, aceasta înseamnă că la un

Page 13: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

21

anumit moment t funcţia ψ ia aceeaşi valoare când x creşte sau descreşte cu

cantităţile , 2 2 ,..vT vTλ λ= =

( ) ( ) ( ), , ,x t x nvT t x t nTψ ψ ψ= ± = ± (2.3)

Din 2.2 şi 2.3 rezultă că funcţia de undă are forma ( )x vtψ ±

Notând ,u x vt= ± derivatele pentru funcţia ψ sunt

2 2 2 2

22 2 2 2, v

x u t uψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

Rezultă

2 2

2 2 2

1 0x v tψ ψ∂ ∂

− =∂ ∂

(2.4)

Dacă unda se propagă într-un mediu omogen, izotrop şi neabsorbant atunci

funcţia de undă are forma ( ) ( ), , , ,x y z t r tψ ψ= iar ecuaţia 2.4 devine

2

2 2

1 0v t

ψψ ∂Δ − =

∂ (2.5)

Ecuaţiile 2.4 şi 2.5 poartă numele de ecuaţia diferenţială a undelor.

Soluţia generală a ecuaţiei 2.4 este

( ) ( ) ( )1 2,x t f x vt f x vtψ = − + + (2.6)

sau

( ), x xx t f t tv v

ψ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.7)

Cei doi termeni corespund superpoziţiei a două unde Primul termen

corespunde undei progresive, adică undei care se propagă în sensul axei 0x iar

cel de al doilea termen corespunde undei regresive care se propagă în sens

opus.

Dacă unda se propagă într-un singur sens atunci, evident, se foloseşte un

singur termen al funcţiei. Dacă însă unda se reflectă, atunci se utilizează ambii

termeni.

Locul geometric al punctelor care au la un moment dat aceeaşi fază, adică

x vt ct− = sau x vt ct+ = poartă numele de suprafaţă de undă.

Se observă că viteza cu care se deplasează aceste suprafeţe este

Page 14: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

22

dxvdt

= ±

şi din acest motiv se numeşte viteză de fază.

În funcţie de forma suprafeţelor de undă, undele pot fi clasificate în unde

plane, sferice, elipsoidale etc.

2.2 Unda plană transversală

Vom considera un mediu omogen şi

izotrop în care propagarea undelor are

loc fără atenuare. Dacă toţi oscilatorii

situaţi într-un plan perpendicular pe

direcţia de propagare a undei oscilează în

fază atunci unda este plană.

Fie un oscilator (sursă de oscilaţii) S

(figura 2.1) care oscilează după legea

( ) ( ), , sin sin 2sty x t x t A t AT

ψ ω π= = = (2.8)

Oscilaţiile care au loc pe direcţia y şi se propagă pe o direcţie

perpendiculară x, poartă numele de oscilaţii transversale.

Considerând doar unda progresivă (care se propagă de la S spre P), funcţia

de undă în punctul P va fi (vezi şi 2.7)

( ) ( )

( )

, sin

sin sin 2 sin

pxx t f t A t tv

x t xA t A A t kxv T

⎛ ⎞ ′= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ψ ω

ω π ωλ

(2.8)

În expresia 2.8, mărimea

2kv

π ωλ

= = (2.9)

Poartă numele de număr de undă şi este egal cu numărul de lungimi de

undă λ care sunt cuprinse în 2π unităţi de lungime.

În general se defineşte vectorul de undă,

2k kn nπλ

= = (2.10)

unde n este versorul direcţiei de propagare a undei.

Px S

nA

A−x

Figura 2.1

Page 15: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

23

Astfel, ecuaţia undei plane monocromatice care se propagă pe direcţia k

are forma

( ) ( ), sinr t A t krψ ω= − (2.11)

Ecuaţia

t kr constω − = Sau

( )x y zt k x k y k z constω − + + = (2.12)

Reprezintă ecuaţia unui plan la un moment dat t (suprafaţă de undă) iar

vectorul k este perpendicular pe acest plan.

2.3 Ecuaţia coardei vibrante

Considerăm o coardă AB fixată la capete de-a lungul axei 0x ( Fie M un punct de pe coarda AB şi fie PQ un element de coardă cu

lungimea dx din jurul punctului M. în timpul vibraţiei coardei, la un moment t,

elementul de coardă PQ va ocupa poziţia P Q′ ′ fiind tensionat de forţele T şi

( )T T T′ ′≈ . Rezultanta acestor forţe pe axa oy tinde să readucă elementul P Q′ ′

în poziţia PQ. Valoarea acestei forţe este

sin sinydT T Tθ θ′ ′= − (2.13)

unde .dxxθθ θ ∂′ = +∂

Unghiurile fiind mici dytgdx

θ θ = şi 2

2

yx xθ∂ ∂=

∂ ∂ (2.14)

x

a)

y

'P

'M

'Q

( )P x

M

( d )Q x x+

A

B

'P

'Q

( d )Q x x+

( )P x

y

y

dyy xx∂

+∂

'T

T

( , )x tθ

b)

Figura 2.2

Page 16: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

24

În acest fel 2.13 devine

2

2yydT T dx

x∂

=∂

(2.15)

Dacă m este masa corzii şi l lungimea acesteia, masa unităţii de lungime

este ml

μ = şi din legea a doua a mecanicii se obţine

2

2yydT dx

tμ ∂

= ⋅∂

(2.16)

Egalând 2.15 cu 2.16 se găseşte

2 2

2 2 0y yx T t

μ∂ ∂− =

∂ ∂ (2.17)

Se observă că ecuaţia diferenţială 2.17 are aceeaşi structură cu ecuaţia

diferenţială a undelor 2.4 în care

trTv vμ

= = (2.18)

Este viteza undelor transversale din coardă.

2.4 Propagarea undelor longitudinale

Undele longitudinale se propagă atât în medii solide cât şi în fluide (lichide

şi gaze);undele transversale se propagă numai în medii solide. La undele

transversale oscilaţiile particulelor mediului se fac perpendicular pe direcţia de

propagare a undei în timp ce la undele longitudinale particulele mediului

elastic oscilează pe direcţia propagării undei, astfel încât în mediu există în

orice moment o succesiune de deformaţii de comprimare şi destindere.

Pentru a obţine ecuaţia de propagare a undelor longitudinale într-un mediu

solid elastic cu densitatea ρ şi modulul de elasticitate E vom considera o

epruvetă sub forma unei bare de secţiune S (figura 2.3). Fie o perturbaţie F

produsă în planul AB al barei, pe direcţia barei, şi care se propagă de-a lungul

acesteia (axa 0x). în timpul propagării undei de-a lungul barei,

Planul de abscisă x devine x+X iar planul de abscisă x+dx devine

.x dxx dx X ++ + Lungimea porţiunii dx a elementului de bară cu volumul

dV=Sdx trece la valoarea

Page 17: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

25

( ) ( )x dxXx dx X x X dx dxx+

∂+ + − + +

∂ (2.19)

Legea lui Hooke în acest caz se scrie astfel

1X Fx E S

∂=

∂ (2.20)

şi 2

2

XdF ES dxx

∂=

∂ (2.21)

Pe de altă parte legea a doua a dinamicii în acest caz se scrie astfel

2

2

XdF dm a dV dxx

ρ ∂= ⋅ =

∂ (2.22)

Egalând expresiile pentru dF din 2.21 şi 2.22, se găseşte

2 2

2 2 0X Xx E x

ρ∂ ∂− =

∂ ∂ (2.23)

Comparând 2.23 cu 2.4 se găseşte viteza de propagare a undelor

longitudinale ( )lv într-un mediu elastic cu densitatea ρ şi modulul de

elasticitate E

lEvρ

= (2.24)

2.5 Propagarea undelor în lichide

Propagarea undelor în lichide poate fi studiată prin analogie cu propagarea

undelor longitudinale în bare unde în locul barei se va considera un cilindru

plin cu un lichid. O perturbaţie produsă la un capăt al cilindrului se va propaga

S

Figura 2.3

A

B

F

x d xX

d dx X+

d dV S x= d 'V

x

Page 18: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

26

sub forma unei unde progresive de-a lungul cilindrului constând în variaţii ale

densităţii lichidului. Deoarece lichidele au conductivitate termică mică iar în

cazul oscilaţiilor sonore frecvenţa este mare (perioada mică), căldura nu are

timp să se disipe în mediu şi în acest fel propagarea sunetelor este adiabatică.

Pentru lichide legea lui Hooke are forma

1dV Vdpχ

= − (2.25)

unde dp este presiunea exterioară care acţionând asupra volumului V produce

variaţia dV a acestuia; χ joacă rolul lui E şi poartă numele de modul de

compresibilitate.

Urmând acum acelaşi raţionament ca şi în cazul prezentat în paragraful 2.4,

se găseşte pentru viteza de propagare a undelor în lichide, expresia

lichidepv χ

ρ ρΔ

= =Δ

(2.26)

unde 0p p pΔ = − şi 0ρ ρ ρΔ = −

Mărimile 0p şi 0ρ reprezintă presiunea şi densitatea fluidului în absenţa

undei iar p şi ρ în prezenţa acesteia.

2.6 Propagarea undelor în gaze

Deoarece gazele ca şi lichidele fac parte din categoria fluidelor rezultă că în

gaze se propagă doar undele longitudinale.

Dacă frecvenţa oscilaţiilor care se propagă este mică (perioada este mare)

atunci în timpul unei perioade de comprimare şi rarefiere între regiunea în care

se propagă unda şi mediul înconjurător are loc schimb de energie. Aceasta face

ca regiunea în care se propagă unda să rămână la temperatură

constantă;spunem că avem de a face cu un proces izoterm de propagare a

oscilaţiilor.

Dacă frecvenţa este mare (perioada mică) atunci în timpul unei perioade nu

poate avea loc un schimb energetic astfel încât propagarea este adiabatică.

Propagarea izotermă respectă legea pV const= şi astfel

10,p dV V dp dV V dpp

⋅ + ⋅ = = − ⋅ (2.29)

Page 19: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

27

Comparând 2.27 cu 2.25 şi făcând raţionamentul din paragraful 2.5 se

găseşte pentru viteza de propagare izotermă în gaze, expresia

izotpvρ

= (2.28)

Propagarea adiabatică se face respectând legea acestei transformări

p V constγ⋅ = (2.29)

unde p

v

CC

γ = este exponentul adiabatic.

Din 2.29 se obţine

1dV V dppγ

= − ⋅

şi pentru viteza propagării adiabatice expresia

adp RTv γ γρ μ

= = (2.31)

S-a considerat că acel gaz este ideal şi respectă ecuaţia gazelor perfecte

,p RTμ ρ= unde μ este masa molară a gazului, T este temperatura absolută a

gazului iar R este constanta gazelor perfecte.

2.7 Dispersia undelor. Viteza de grup

Până în prezent au fost studiate fenomenele legate de propagarea undelor

considerând că acestea au forma 2.11 adică sunt unde monocromatice

caracterizate de frecvenţa 2ωυπ

= . în practică se întâlnesc situaţii în care avem

de a face cu propagarea unor unde compuse dintr-un număr foarte mare de

unde sinusoidale cu frecvenţe foarte apropiate între ele. Dacă o undă

monocromatică se propagă cu viteza v, numită viteză de fază şi care depinde de

frecvenţa acesteia, atunci grupul (pachetul) de unde se va deplasa cu o viteză

gv , numită viteză de grup. Altfel spus, viteza de grup, care diferă de viteza

undelor componente, reprezintă viteza cu care se deplasează maximul

amplitudinii rezultante şi deci al densităţii de energie a undei.

Dacă considerăm cazul simplu a două unde monocromatice cu frecvenţele

Page 20: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

28

11 2

ωυπ

= şi 22 2

ωυπ

= şi numerele de undă 11

2k πλ

= şi 22

2 ,k πλ

= atunci maximul

amplitudinii rezultante la momentul 0t se va găsi în punctul de abscisă 0x unde

undele sunt în fază

( ) ( )1 0 1 0 2 0 2 0 2 1 2 1 0, 0t k x t k x t k k xω ω ϕ ω ω− = − Δ = − − − = (2.32)

Fie 0t dt+ şi 0 ,x dx+ momentele, respectiv abscisele pentru care fazele din

nou coincid, adică avem un maxim de amplitudine

( )( ) ( )( )2 1 0 2 1 0 0t dt k k x dxω ω− + − − + = (2.33)

Ţinând seama de 2.32, expresia 2.33 devine

( ) ( )2 1 2 1 0dt k k dxω ω− − − = (2.34)

Astfel viteza maximului de amplitudine, adică viteza de grup, este

2 1

2 1g

dxvdt k k k

ω ω ω− Δ= = =

− Δ (2.35)

În general viteza de grup are expresia

( ) 2g

vdd vkd dvv vdk dk d dω λλ λ

λ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = − = − (2.36)

Fenomenul prin care undele cu frecvenţe diferite se propagă cu viteze

diferite poartă numele de dispersie a undelor.

2.8 Gama undelor mecanice

Undele mecanice existente în natură ocupă o anumită gamă de frecvenţe.

Clasificarea acestora este dată în tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Denumirea domeniului

Infrasunete (Infraacustica)

Sunete (Acustica)

Ultrasunete (Ultraacustica)

Hipersunete (Hiperacustic)

Gama de Frecvenţe (Hz) <16 16-20000 20000-20 108 >20 108

Undele mecanice care impresionează urechea umană, adică produc o

senzaţie auditivă, poartă numele de sunete. Pentru ca o undă mecanică să

producă senzaţie auditivă, sunt necesare, de fapt, mai multe condiţii:

i să aibă o durată mai mare de 0, 05 secunde,

Page 21: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

29

i să aibă o frecvenţă cuprinsă între 16-20000Hz,

i să aibă o valoare minimă, numită prag de audibilitate (de exemplu pentru

o frecvenţă de 310 Hz acesta este de 12210 )W

m− .

Trebuie de precizat că urechea umană nu reacţionează proporţional cu

mărimea excitaţiei. Dacă intensitatea excitaţiei (I) creşte în progresie

geometrică, intensitatea senzaţiei (S) creşte în progresie aritmetică (legea

Weber-Fechner).

22 1

1

lg IS S SI

Δ = − = (2.37)

De asemenea trebuie spus că urechea umană are sensibilitatea maximă în

domeniul de frecvenţe cuprins între 3 310 3 10 .Hz− ⋅

Vibraţiile cuprinse între 0-16Hz, numite infrasunete, nu sunt sesizate de

urechea umană dar sunt percepute de anumite animale, păsări şi peşti. De

asemenea oscilaţiile cu frecvenţa mai mare de 20kHz (ultrasunetele) sunt

percepute de lilieci, delfini, câini, ţânţari, rozătoare. Ultrasunetele, care pot fi

produse prin efectul piezoelectric sau prin fenomenul de magnetostricţiune,

cunosc o gamă largă de aplicaţii: sonolocaţia, ecografia, defectoscopia

nedistructivă, sudarea şi lipirea cu ultrasunete, detensionarea cu ultrasunete,

prelucrarea şi curăţirea cu ultrasunete, amestecarea lichidelor nemiscibile,

obţinerea de aerosoli etc.

2.9 Intensitatea sunetului şi presiunea sonoră

Fie o undă sonoră care transportă energia totală dW printr-o suprafaţă S

(normală la viteza undei v) în intervalul de timp dt. în acest interval de timp

unda sonoră se propagă pe distanţa dl. Energia totală este suma dintre energia

cinetică a particulelor care oscilează şi energia potenţială elastică de deformare.

Fluxul Φ de energie reprezintă cantitatea de energie (dW) care trece prin

suprafaţa S în unitatea de timp

1 dW S dl vS dt S dt

ϖ ϖ⋅ ⋅Φ = = = ⋅

⋅ (2.38)

Page 22: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

30

unde ϖ este densitatea de energie.

Valoarea medie în timp a fluxului de energie poartă numele de intensitate a undei (sunetului) I vϖ= (2.39)

O altă mărime care caracterizează unda sonoră în fiecare punct al ei este

presiunea sonoră SP dată de diferenţa dintre presiunea p, într-un punct, în

prezenţa undei şi presiunea 0p în acelaşi punct în absenţa undei

0SP p p= − (2.40)

În cazul undelor sonore, perturbaţia care se propagă este o perturbaţie a presiunii iar legea lui Hooke este(vezi şi 2.20)

( )SF XP x E ES x x

ψ∂ ∂= = =

∂ ∂ (2.41)

Ţinând seama de 2.8, pentru 2.41 se găseşte

( ) 2 cos 2St xP x EAT

π πλ λ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.42)

Deoarece lEvρ

= şi ,vTλ = se găseşte

( ) 2 cos 2

2 sin 22

St xP x vA

T Tt xvA

T T

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

π ρ πλ

π πρ πλ

(2.43)

Presiunea sonoră maximă este

( )max2

SP vATπ ρ= (2.44)

Din 2.43 se observă că presiunea sonoră este defazată cu 2π în urma

funcţiei de undă ψ .

2.10 Fenomene comune undelor

Cu ajutorul undelor se pot obţine următoarele fenomene: reflexia, refracţia,

dispersia, interferenţa, difracţia, atenuarea şi polarizarea (doar pentru undele

transversale). Studiul acestor fenomene se va face doar pentru undele

electromagnetice.

Page 23: 75932620 Oscilatii Si Unde

PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE

31

S

( )Sν

Sv Rv R

2.11 Efectul Doppler acustic

Efectul Doppler constă în variaţia frecvenţei recepţionate de un receptor

dacă sursa şi receptorul sunt în mişcare relativă.

În acest caz se disting trei situaţii:

i sursa S este mobilă şi observatorul O este fix,

i sursa S este imobilă şi observatorul O este mobil,

i sursa S şi observatorul O sunt mobile.

Se va analiza prima situaţie în care sursa S se apropie de observatorul O fix

cu viteza sv (figura 2.4). Fie o vibraţie care porneşte de la sursa S la momentul

t. Ea va ajunge în punctual O la momentul SO

tv

+ , unde v este viteza de

propagare a vibraţiei. După o perioadă T, adică la momentul t+T, pleacă de la

sursa S a doua vibraţie;sursa S a parcurs între timp spaţiul sSS v T′ = ⋅ . A doua

vibraţie ajunge la observatorul (receptorul) O după timpul

sSO SS SO v Tt T t T

v v′− −

+ + = + + (2.45)

Diferenţa, în timp, între cele două vibraţii recepţionate de observatorul O

este

s sv T v vt T T Tv v

−′Δ = = − = (2.46)

Figura 2.4

Deoarece 1v Tλ λυ−= = , unde λ este lungimea de undă iar υ este

frecvenţa vibraţiilor, se obţine

s

vv v

υ υ′ =−

(2.47)

Page 24: 75932620 Oscilatii Si Unde

FIZICĂ

32

Din expresia 2.47 se observă că la apropierea sursei de vibraţie S de un

observator fix O, frecvenţa vibraţiilor recepţionate υ′ este mai mare decât

frecvenţa vibraţiilor emise .υ

Dacă sursa S se îndepărtează de observatorul O, atunci

,s

s

v v vT Tv v v

υ υ+′ ′= =+

(2.48)

Făcând un raţionament analog şi pentru celelalte situaţii, se poate completa

tabelul 2.2

Tabelul 2.2 S mobil (cu viteza sv )

O fix S fix

O mobil (cu viteza ov ) S mobil(cu viteza sv ) O mobil (cu viteza ov )

sv vT Tv

′ =∓

s

vv v

υ υ′ =∓

0

vT Tv v

′ =±

ov vv

υ υ ±′ =

s

o

v vT Tv v

′ =±∓

o

s

v vv v

υ υ ±′ =±