35 Tema 2 Ecuaiile difereniale ale micrii. Fore conservative.
Oscilatorul liniar armonic, amortizat i ntreinut. Compunerea
oscilaiilor paralele i perpendiculare 2.1 Ecuaiile difereniale ale
micrii Dac asupra unui punct material de masm acioneaz o forF,
aceasta va imprima punctului material, conform legii a 2-a a
dinamicii, acceleraia: Fam=(2.1) Sepoatedemonstractiindrazavectoare
( )r tiimpulsul ( )ptlaun moment oarecare de timpt , dat fiind
foraF care n general este o funcie de ( )r t, ( )r t it , se pot
determina raza vectoare ( )r t dt + i impulsul ( )pt dt + punctului
material la momentult dt +imediat ulterior. Introducem notaiile (
)r t R = i ( )drpt P mv m mRdt= = = = .(2.2) Raza vectoare i
impulsul punctului material la momentult dt +vor fi:
( ) ( ) ( )Pr t dt r t r t dt R Rdt R dtm+ = + = + = + (2.3) ( )
( ) ( )pt dt pt pt dt P Fdt + = + = + (2.4)
Procedeulpoteficontinuatdinaproapenaproape,iarafirmaiademonstrat
estecunoscutsubnumeledeprincipiuldeterminismuluiclasic,sauprincipiul
determinismului de tip Laplace.
Sdeducemecuaiiledemicarealeunuipunctmaterial,plecnddela definiiile
acceleraiei i vitezei: 22; ; .dv dr dra v v r a rdt dt dt= = = = =
= (2.5) Pentru simplificare vom considera o micare rectilinie. Vom
alege un sistem de referincuaxaOx
pedireciaforeiF,iastfelputemfolosinumaimrimi scalare. Considerm
originea timpului n momentul nceperii micrii( )00 t = .00v tvdva dv
a dt dv a dtdt= = = } } Dacconst. =const. - ,oF a v v at = =i
obinem ecuaia vitezei: 36 0v v at = +(2.6) Ecuaia coordonatei se
obine din definiia vitezei : ( )020 0 00 02x t txdx atv dx v dt dx
v dt x x v at dt v tdt= = = = + = +} } }, 20 02atx x v t= + +
.(2.7) Eliminnd timpul ntre ecuaiile (2.6) i (2.7) obinem ecuaia
lui Galilei: ( )2 20 02 v v ax x = + . (2.8) Prin nlocuirea
acceleraieiadin legea a doua a dinamicii se obine ( )2 20 02Fv v x
xm= + , de unde rezult: ( )2 2002 2mv mvF x x = =L ,(2.9) undeL
reprezintlucrulmecanicefectuatdeforaF ntimpuldeplasrii corpului de
la 0xlax . Aceast ultim relaie scris sub forma: cE = A L(2.10)
constituie teorema energiei cinetice. 2.2 Punctul material n cmp de
fore elastice Foraelasticesteunadintrecelemaintlnitenpracticinviaa
cotidian,avndoimportandeosebitnmultedomeniialefiziciiitehnicii.
Fora elastic are dou proprieti importante: a) modulul forei elFeste
proporional cu distanaxfa de poziia de echilibru; b) fora este
ndreptat permanent spre poziia de echilibru: elF kx = (2.11)
undekeste constanta elastic a resortului (arcului).
Foraelasticnefiindconstant,lucrulefectuatdeforaelasticcare acioneaz
asupra unui punct material de masm deplasndu-l ntre dou poziii date
de elongaiile (distanele fa de poziia de echilibru) 0xix , se
determin astfel: 0 0 02 2 202 2 2xx xelx x xkx kx kxF dr kx dx| |=
= = = |\ .} }L (2.12) 37 nlocuind expresia (2.12) n teorema
energiei cinetice obinem 2 2 2 20 02 2 2 2elmv mv kx kx= = + L , i
obinem legea conservrii energiei mecanice n cazul aciunii forei
elastice: 2 2 2 20 0const.2 2 2 2mv kx mv kx+ = + = (2.13)
Oaplicaiesimplalegiiconservriienergieisubaciuneaforelor
elasticeesteimprimareauneiviteze 0v,pedireciaaxeiOx ,unuiresortde
constantelastick ,nedeformatnstareainiial ( )00 x = (fig.1).Punctul
material de masm legat de resortse va deplasa fr frecare din starea
iniialn punctul de coordonatx A =( A este amplitudinea micrii,
unde0 v = . Din legea conservrii energiei obinem: 22002 2kA mv mA
vk= = . (2.14) S artm c un punct material efectueaz sub aciunea
unei fore elastice o micare oscilatorie armonic, a crei ecuaie este
dat de una din expresiile ( )0sin x A t = e +sau( )0cos x A t = e +
,(2.15) undeA este amplitudinea micrii, 0kme = pulsaia proprie a
oscilatorului, iar 0faza iniial a micrii. Vom scrie expresia
energiei mecanice a sistemului: 222 2c pm dx kxE E Edt| |= + = + |\
., de unde rezult: 2 22 22dx kx E kxEdt m m| | = = |\ .. (2.16)
0vyxm kO Figura 1. Legea conservrii energiei pentru oscilatorul
elastic de constantki masm 00 x = x A =0 v =38
Impunndcondiiileiniiale {00x Atv== =,dincondiia0dxvdt= = rezult
220E kAm= , de unde 22kAE = . nlocuind n expresia (2.16) obinem: (
)2 2dx kA xdt m= (2.17) Integrnd relaia de mai sus, obinem: 2
2arcsindx k x kdt C t Cm A mA x= + = +} }(2.18) Din condiia iniialx
A =la0 t = ,( )arcsin12C Ct= = , de unde: arcsin sin cos2 2x k k kt
x A t A tA m m m| |t t= + = + = |\ .(2.19) Cu notaia 0km = e ,
ecuaia oscilatorului armonic n cazul general devine: ( )0 0cos( )
xt A t = e + .(2.20) 2.3 Punctul material n cmp de fore centrale
(conservative) O for invers proporional cu ptratul distanei dintre
dou corpuri i cu direcia pe linia ce unete centrele celor dou
corpuri, este o for de tip central. 2rFr ro= (2.21) S-a considerat
originea sistemului de coordonate n centrul unuia dintre corpuri,
cecreeazcmpulprinintermediulcruiainteracioneazcucelde-aldoilea
corp, a crui poziie este dat de raza vectoarer. Particulariznd peo
se poate obineexpresiaforeigravitaionale(1 2mm o = I
),sauaforeielectrostatice 1 204rq q | |o = |tc c\ .. S artm c, n
cazul mai general al unei fore a crei formula este: nrFr ro=
,(2.22) unden
esteunnumrntregnenul,energiamecanicasistemuluicelordou corpurise
conserv.39 Sepoateartaclegeaconservriienergieiseaplicincazulunui
sistem format din mai multe corpuri aflate n cmp de fore centrale.
Determinm mai nti expresia lucrului mecanic al forei (2.22): 2 2 21
1 12 2121 1 12 2r r rn n nr r rr dr dr drr r r+ + +o o o= = =} } }
L , undeamfolositfaptulc 22d = d( ) 22drr r r dr r r dr r dr r dr =
+ = = . Efectum schimbarea de variabil 12 12nnr x r x++= => =i
integrm definit:( )222211111 1112 21 112 2 1 1212 2 1 1 112xxn nrx
nn nnxrxxdx x x rr rnn n nx+ + +o o o o o( = = = = = + +}L (2.23)
Se constat urmtoarele cazuri particulare: Cazul1:1 n = ik o = 2 2 2
22 1 1 2122 2 2 2elpkr kr kr krL E| | = + = = A |\ .,unde 22elpkrE
=este energia potenial elastic. Conform teoremei energiei cinetice:
2 22 1122 2cmv mvE = A = L , de unde se obine 2 2 2 21 1 2 22 2 2
2mv kr mv kr+ = + ,(2.24) adic legea conservrii energiei n cmp de
fore elastice.Cazul 2: 1 2mm o = I ,2 n = , 1 11 212 2 1 1 22 11
11mmr r mmr r | |I ( = = I = | \ .L 1 2gravpEr ro o= = A , unde(
)gravpE r Cro= +este energia potenial gravitaional. Din teorema
energiei cinetice obinem 12gravc pE E = A = A L , de unde rezult: 2
2 2 22 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 21 2 1 22 2 2 2mv mv mm mm mv mm mv mmr
r r rI I I I = + = ,(2.25) care constituie legea conservrii
energiei n cmp de fore gravitaionale. 40
ValoareaconstanteiCdinformuladedefiniieaenergieipoteniale
gravitaionale se determin din condiia de zero pentru pgravE , adic
n funcie de alegerea punctului n care energia potenial are valoarea
zero. 1 2( )gravp rmmE r C Cr ro I= = + = + L(2.26) Din (2.26)
rezult interpretarea fizic a energiei poteniale gravitaionale:
lucrul
mecanicefectuatdeforagravitaionalpentruadeplasaunuldintreceledou
corpuridinpoziiancaredistanadintrecorpuriester ,pnlainfinit.Pentru
sistemul Pmnt-corp se poate alege0pgravE =cndr , de unde0. C = Dac
alegem0pgravE =cnd pr R =(corpul pe suprafaa Pmntului), atuncipCRo=
igravppMm MmEr R r Ro o I I= = + ,(2.27) unde am folosit notaia 1m
M =pentru masa Pmntului i 2m m =pentru masa corpului aflat n cmpul
gravitaional al Pmntului. Se observ c, indiferent de
alegereaconfiguraieidezero,ideciaconstanteiC,expresiadifereneintre
energia potenial pentru dou poziii oarecare rmne aceeai. Exemplul
1. Sdeducemexpresialui gravpE A ncazuldeplasriicorpuluidemasm ntre
dou poziii aflate n apropierea suprafeei Pmntului.2 12 1 1 21
1gravp p pMm MmE E E Mmr r r r| | I IA = = + = I |\ . (2.28) ns din
1 1 pr R h = +i 2 2 pr R h = + rezult:( )( )( )( )( )( )2 12 11 2 1
2gravp p pp p p pMmh hMmE R h R hR h R h R h R hI IA = + =+ + + +
(2.29) n aproximaia considerat 1(ph R
