Naturales y Enteros

7/23/2019 Naturales y Enteros

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NATURALES Y ENTEROS

Capítulo

02

FISICA ¡Más... que Vencedores!

RODRIGO VALDEZ CCAHUANA1



ARITMETICA

RODRIGO VALDEZ CCAHUANA

CAPITULO. 1

SISTEMA DE N.

NATURALES (ℕ)

Surgieron en el proceso de aprendiaeque "u#o el $o%&re cuando descu&ri'la (or%a de con"ar. Son los n)%eros%ás si%ples de los que $ace%os uso*

es"án (or%ados por los n)%eros+ ,1*-* * /* 0*2

3a4 un de&a"e so&re si considerar al567 co%o n)%ero na"ural o no.8eneral%en"e se decide en cadacaso* dependiendo de si se lonecesi"a o no. Cuando se resuel#eincluir al 6.

A9IOMAS O POSTULA:OS :; P;A<O+ ;l 567 es un n)%ero na"ural.

Si 5n7 es un n)%ero na"ural*en"onces el sucesor de 5n7 "a%&i=nes un n)%ero na"ural.

;l 567 no es el sucesor de ning)nn)%ero na"ural.

Si $a4 dos n)%eros na"urales n 4% con el %is%o sucesor* en"oncesn 4 % son el %is%o n)%ero

na"ural.

Si el 6 per"enece a un conun"o* 4dado un n)%ero na"uralcualquiera* el sucesor de esen)%ero "a%&i=n per"enece a eseconun"o* en"onces "odos losn)%eros na"urales per"enecen aese conun"o.

se lla%a sis"e%a de los n)%eros

na"urales al conun"o+

> ? ,6* 1* -* * /* 0*@*.*B2

Pro#is"o de dos operaciones &inarias+Adici'nD a*&D E a&DMul"iplicaci'n+ a*&D E aF&D

Operaciones que es"án totalmentedefnidas o &ien deGnidas 4 que

cuen"an con una relai!n de ordenmenor (") # la relai!n dei$ualdad ?D;l sis"e%a de los n)%eros na"uraleses un conun"o ordenado* 4a que H a >J a1 >.

A D I C I % N &

Operaci'n direc"a.Sean a* &* c * n)%eros en"eros

;n"onces se "iene+a & c ? S

:onde+ aJ &J cJ J su%andos S su%a o "o"al.

Clausura o erraduraE H a* & > K a & >

Conmutati'aE H a 4 & > K a&?&a

Asoiati'aE Ha*& 4 c > K a&Dc ?a&cD

Modulati'a(ele%en"o <eu"ro o

iden"idad adi"i#aDE H a > ! 6 > 6a? a6

-

Nodrigo Valde Cca$uana



ANITM;TICA


?a

roiedad anelati'aE H a*& 4 c >* si ac ?&c Ka?&

roiedad de la monotonaE H aJ &J c > si a ? & K a c ?& c

C;PNU + la propiedad cancela"i#a sedeGne a par"ir de los n)%erosna"uralesOBS.



ARITMETICA


65+

48

113

659+ 5+8=13

489 13=1*9+4

1249 6+4+1=11

11=1.9+2

SUMAS N%TA*LES

1-/0.n?n(n+1)

2

-/@16.-n?nn1D

10Q. -nR1D? n2

12 2

2 32 4

2 n2 ?

( n ) (n+1 )(2n+1)6

=¿

13 2

3 33 4

3 n3 ?

( n(n+1)2 )

2

1F--FF/nDn1D?n (n+1 )(n+2)

3

a0 a

1 a2 a

3 . an ?

an+1−1

a−1

/

¿∑k =1

n

(k )

¿∑k =1

n

(2k

¿∑k =1

n

(2k −1)

∑k =1

n

(k 2)

¿∑k =1

n

(k 3)



ANITM;TICA


EJEMPLO:El valor de la expresión, es:

∑n=1

10

(2n2−n+4)

= 2 ((n ) ( n+1 ) (2n+1 )

6) -

n(n+1)2

+4xn

=2 ((10 ) (10+1 ) (2∗10+1 )

6) -

10 (10+1)2

+4x1

M U L T I + L I C A C I %

N &

;s la adici'n a&re#iada.

M + M +…+ M ⏟

mveces

? P

⇒ M,m - + M → Mul"iplicando

m→ Mul"iplicador

P → Produc"o

OBS.!" i#par$.!"i#par$ = " i#par

!" en%ero$.!"par$ = " par

!" i#par$.!........&$ = ........&

!" par$.!.......&$ = .........

!" en%ero$.!.....$ = ......

+R%+IEDADES&Clausura

E H a 4 & > K aF& >

Conmutati'aE H a 4 & > K aF& ?&Fa

Asoiati'aE H a* &* c > K aF&DFc?aF&FcD

Distriuti'a reseto a la adii!nE H a* &* c > K aF&cD?aF& aFc

Modulati'a ele%en"o neu"ro%ul"iplica"i#o o iden"idad%ul"iplica"i#aDE H a > ! 1 > 1Fa ?aF1 ?a

0



ARITMETICA


r r r

Elemento asorenteE H a > ! 6 > 6Fa? aF6?6

OJ'(O:

0- F

/ ´3696 21er produc"o

parcial ? F0-D -11- 21er produc"o parcial ?/F0-D ´24816 2 produc"o "o"al

OO+ la su%a de produc"osparciales no

nos da el produc"o "o"al.

0-Q F /Q

´4122 Q

--0Q ´36372 Q

;l produc"o 4 la su%a de produc"osparciales se realian en &ase Q

RELACI%N DE I/UALDAD&

DiotomaE H a* & > K a?& o a&

Re0e,i'aE H a > K a ?a

Transiti'a

EHa*&*c >* Si a?& 4 &?cK a?cSim1tria

E H a* & >* Si a?& K &?a

E si a ? & a F c ? & F c * c 6E a . & ? a F &

RELACI%N DE %RDEN

(MEN%R 2UE)

sean a* &* c > * n 6 an ? &

de"er%ina que el sis"e%a de losn)%eros na"urales sea ordenado.

a W & & X aa Y & a W & o a ? &

Triotoma&a X& Z aW& Z a? &

Transiti'a&si a W & [ & W c K aW &

Uni3ormidad o monotona&Si aW& K aFc W &Fc si cX6Si aW& K acW&c

OBS:Si M %iene ) *iras,

M - ábc10

2 4 M " 103

Si M %iene & *iras,

M - ábcde

104 4 M " 10

5

'MPO((E:Para una sucesi'n ari"%="ica de ra'n

cons"an"e rD a J & J c J d J . . . J u

4 nos piden $allar la su%a"oria+ esdecir+

S ? a & c d . . . u

Pri%ero se $alla el n)%ero de sus"=r%inos.

\ de "=r%inos?n?ultimo− primero

razon 1

Luego la su%a es+] de "=r%inos ?

(ultimo+ primero

2)n

@

^?0@?Q^56^-@?-6?Q7686^0-??Q^9:





ARITMETICA


#/l%ipli*a*ión s/s%ra**ión

;s"á pro#is"o de la relaci'n de orden%enor que WD 4 la relaci'n deigualdad ?D con sus respec"i#aspropiedades.

OBS:Es /n sis%e#a ordenado *on /naopera*ión par*ial#en%e de0nido!división$.

Es un conjunto no denso y nocontinuo.

ADICI%N

ereda %odas las propiedades de losna%/rales, al /e se le a3re3a la

propiedad del ele#en%o inversoadi%ivo.

Clausura o erraduraE H a 4 & K a &



ANITM;TICA


Conmutati'aE H a 4 & K a& ?&a

Asoiati'aE H a* & 4 c K a&Dc ?a

&cDModulati'aele%en"o <eu"ro o iden"idad adi"i#aD

E H a ! 6 6a?a6 ?a

+roiedad anelatiaE H a* & 4 c * si ac ?&c Ka?&

In'erso aditi'oEpara cada a * ! RaD aRaD ? 6E H a RaD a RaD ? 6

M U L T I + L I CA C I % N

ClausuraE H a 4 & K aF&

Conmutati'a

E H a 4 & K aF& ?&Fa

Asoiati'aE H a* &* c K aF&DFc?aF&FcD

Distriuti'a reseto a la adision# sustrai!n

E H a* &* c K aF&cD?aF& aFc

Modulati'a (elemento neutromultiliati'o o identidadmultiliati'a)

E H a ! 1 1Fa ?aF1 ?a

Elemento asorenteE H a ! 6 6Fa?aF6 ?6

SUSTRACCI%N

Operaci'n in#ersa de la adici'n

M ⏟minuendo

− S⏟sustraendo

= D⏟diferencia

OBS:

465-

247

218

4658+ 5+8-7=6

2478 6-1-4=1

2168 4-2 =2

;s"a operaci'n cu%ple con "odas laspropiedades de la adici'n los n)%eros

en"eros

'#por%an%e:M+S+=2M !s/#a%oria de %5r#inos$

Si a67 ab - ba = ´ xy =6

x+8=9

Si a6* ábc - ćba = ´ xyz =6

x+=8=9

Estas últimas propiedades nouncionan para números capicúas.

C%M+LEMENT%

ARITMETIC% (CA)

Can"idad que le (al"a a un n)%eropara ser igual a una unidad del ordenin%edia"o superior* con respec"o de su

ci(ra de %a4or orden.

; Si =ábc…x(n)⏟

k c ifras

<!$ =100…00(n )⏟

k ceros

-

<!$ = nk -

Para n)%eros de 1 ci(raC.A. (a) ? 16 b a

Q



ARITMETICA


;e%plo+ C.A.D ? 16 b ?

Para n)%eros de - ci(ras

C.A. ( ab) ?166 b ( ab);e%plo+ C.A.0D ? 166 b 0 ? @0

Para n)%eros de ci(rasC.A. . ( ábc ) ? 1666 b. ( ábc );e%plo+ C.A./D?1666b/?@0-

OBS:Si * , se */#ple:

<! ábc(n) $=

´(n−1−a)(n−1−b)(n−c)n

<! 64 5

⏟9

8⏟

10

$ =

´(9−6)(9−4)(9−5)(10−8)= )&42

O(: > , M ? +¿

Z ¿

<!<!$$ = ! O S'EMPE $

<!$ = M =6 <!M$ = ! O

S'EMPE $ Si <! ábcd $= a+7+*+d =6

a=9 8 7=9

DI<ISI%N

D. e,ata+ Cuando al agrupar lasunidades no so&ra ni (al"a unidades*es decir* se considera residuo ero

no eFis"e residuo.

*:? :i#idendo Z

d? di#isor%oduloD+¿Z ¿

q? cocien"e Z

D. ine,ata& Cuando al agrupar lasunidades so&ran o (al"an unidadespara (or%ar un grupo %ás.

Por de(ec"oCuando so&ra unidades.

Por eFceso

Cuando (al"an unidadespara (or%ar un grupo %ás.

O7serva*ión (an%o el dividendo 8 el divisor

en a#7as divisiones soni3/ales.

El *o*ien%e por ex*eso, es /na/nidad #@s /e el *o*ien%e

por dee*%o. Lo /e so7ra o al%a /nidades

s/#an exa*%a#en%e 3r/po.

;< 8;<;NAL+

PON :;;CTO PON ;9C;SO

OE:

: esid/o por dee*%o

: esid/o por ex*eso

PNOPI;:A:;S 6 W rWd r%`ni%oD ?1

r%áFi%oD ? d b1

Cuando la división es inexacta, y no se especifca el tipo, se asume

que es inexacta por deecto.

Por

de(ec"oso&raD

Por

eFceso(al"aD 0 0

16



ANITM;TICA


0

/6

-

?0^- ?0^

:? d F q rd :?dFq1DRre

ASU MARE+ Si %ul"iplica%os por unn)%ero al di#idendo 4 al di#isor.

/- :^- / 1@

/6 0 d^- 6 0 - /

El *o*ien%e no se al%era pero elresid/o /eda #/l%ipli*ado por 2.

ALTERACI?N DE UNA DI<ISI?NINE@ACTASea la di#isi'n

Sea 5n7 una can"idad en"era posi"i#aJsu%ando 5n7 a%&os %ie%&ros de laigualdad an"erior+

Si se au%en"a una can"idad aldi#idendo.

Analiando&

Si 5r n W d7 el cocien"e no se al"era.Si 5r n ≥ d7 el cocien"e au%en"a en"an"as unidades co%o 5r n7con"enga a 5d7.

C%NBUNT% DE

NUMER%S

1 allar /n nA#ero dis#in/idoen 2, sa7iendo /e el ex*eso de

5l so7re 4& es lo #is#o /e 2)4& ex*ede a 2 ))a$ & 7$ 9) *$ d$ &C e$ &4

Solui!n:<ono*e#os /e el #in/endoex*ede al s/s%raendo:Sea el nA#ero Dx

Piden: p%a.

La s/#a de %res nA#eros*onse*/%ivos es ). allar el

prod/*%o de ellosa$ 9 7$ C *$ 91&d$ 99 e$ 9)

Solui!n&

11

?

f

>



ARITMETICA


Sean los nA#eros *onse*/%ivos:n F n + 1 F n + 2La s/#a:n + n +1 + n + 2 = ))n = 2G H n = 9Piden: n!n+1$!n+2$

9!1$!11$ H p%a.

# Si al #in/endo le s/#a#os14 8 le res%a#os el */@dr/plode la s/#a del s/s%raendo #@s ladieren*ia se o7%endr@ *o#ores/l%ado el #in/endo. allar ladieren*ia ori3inal, si el

s/s%raendo es #@xi#o 8 la s/#ade s/s *iras es 1. aD @ &D cD16dD eD Q

Solui!n&Necordando+:el enunciado+

Co%o+

S?- J da"o+-?16D

p%a.

$ La s/#a de dos nA#eros es)41, s/ *o*ien%e es 1 8 elresid/o de la división es el #a8or

posi7le. e%er#ina el divisor.aD 1@ &D 1 cD -6dD 1 eD 1Q

Solui!n&

Luego sean los n)%eros+ a 4 &

I D

II DNee%plaando+ II D en I D

p%a.

% En /na división inexa*%a el*o*ien%e es G4, el resid/o por ex*eso ex*ede al resid/o por dee*%o en 1G, si el divisor es4)1.

allar el dividendo 8 dar *o#oresp/es%a la s/#a de s/s *iras.aD 10 &D 1@ cD -6

dD 1/ eD 1Solui!n&

:e II D

Piden+ p%a.

1-



ANITM;TICA


& Si:

allar:aD 16 &D 1- cD 1/dD 10 eD 1

Solui!n&Por propiedad+

Por da"o+

Igualando las eFpresiones

Piden+

p%a.

;ncon"rar las cua"ro )l"i%asci(ras del resul"ado de e(ec"uar lasiguien"e su%a+S ? @6su%adosDaD /606 &D /106 cD/-06dD /06 eD //06

Solui!n&Ordenando los su%andos. Paraencon"rar cua"ro )l"i%as ci(ras*su%a%os las cua"ro )l"i%ascolu%nas* respe"ando el ordencorrespondien"e.

∴ Las cua"ro )l"i%as ci(ras son+

Np"a.

(ec"uar+ S ?9+99+999+…⏟

n sumandos

aD10

n−9n−10

9

&D

10n−9n+10

9

cD 10

n−9n−9

9 dD

10n+1−9n−10

9

eD <.A.Solui!n&Por da"o* de&e%os e(ec"uar+

;scri&iendo los 5n7 su%andos en(or%a equi#alen"e+

Agrupando adecuada%en"e+

1

Unidades+P.@6 /-6

:ecenas+P.0Q /1

Cen"enas+P.0O /6@

Unidad de %illar+

P.0P QQ



ARITMETICA


Su%a%os 4 res"a%os la unidad+

;(ec"uando+

∴ La su%a es+

Np"a.

Q 3allar el #alor de+Sa&iendo que+

aD // &D /0 cD/@dD / eD /

Solui!n&;l segundo (ac"or de cada"=r%ino eFcede al pri%ero en /unidades. Luego escri&i%os laserie en (or%a equi#alen"e.

;(ec"uando+

Ordenando los "=r%inos+

;(ec"uando+

Pero+

∴ Np"a.

16 Sa&iendo que+

4

aD - &D @ cD /0dD 6 eD Q6

Solui!n&

:e+Ade%ás+

→

Ta%&i=n+

;l n)%ero es+Luego* #alores respec"i#os

To"al de n)%eros+∴ ;Fis"en n)%eros de la

(or%a ábc Np"a.

11 Si el CA de un nu%eralcapic)a de 0 ci(ras es o"rocapic)a de / ci(ras* de"er%inar lasu%a de ci(ras del n)%ero

original.aD - &D - cD 0

1/



ANITM;TICA


dD /- eD /

Solui!n&Por da"o+ CA ábcba D ?

´ xyyxPor regla prác"ica+

;n el pri%er orden+1D

;n el segundo orden+ -D

;n el "ercer orden+

D;n el cuar"o orden+/D

;n el quin"o orden+0D→

Np"a.

1- Cuán"os n)%eros de la

(or%a ába eFis"en "ales que

la su%a de las ci(ras de su CAsea 1QhaD 0 &D @ cD/dD eD -

Solui!n&3alla%os+

Por da"o+

∴ ;Fis"en n)%eros Np"a.

1 3allar la su%a de las ci(rasdel CA del n)%ero+

aD &D - cD@

dD / eD -1Solui!n&

:e+

∴ Np"a.

1/ 3allar+ * en &ase 16*

si se cu%ple+aD 1- &D 1 cD1/

dD 10 eD 1@Solui!n&Por regla prác"ica+

→

10

1 / / - / / .



ARITMETICA


∴ Np"a.

10 3allar el di#isor 4 el cocien"ede una di#isi'n* sa&iendo que eldi#idendo es 0-Q 0@0 4 losresiduos sucesi#os o&"enidos enla de"er%inaci'n del cocien"eson+ -/@J --- 4 0/-.aD Q/ J 0@1 &D Q- J0-cD Q/ J 0- dD Q- J0@1eD <.A.

Solui!n+Por da"o+

Se "iene+

→

∴ ;l cocien"e es+ Q/ 4 el di#isores+ 0@1

Np"a.

1@ ;n una di#isi'n ineFac"a* elcocien"e* el di#isor 4 el residuoson n)%eros consecu"i#os enese ordenD. ;l %`ni%o n)%eroque $a4 que aadir el di#idendo*para que el cocien"e au%en"e unidades es 00. 3allar la su%ade las ci(ras del di#idendo.

aD 1 &D 1 cD -1dD 1Q eD -

Solui!n&:e la di#isi'n ineFac"a+ : ? d . q rSi el cocien"e* el di#isor 4 elresiduo son consecu"i#os* se

cu%ple+ 4

La %enor can"idad que se lede&e su%ar al di#idendo paraque el cocien"e au%en"e unidades es+

Por da"o+

Luego+

;n"onces+

3alla%os eldi#idendo+

∴ Np"a.

1 ;n una di#isi'n en"eraineFac"a* la su%a de sus /"=r%inos es /006. Si se%ul"iplica el di#idendo 4 eldi#isor por /* la nue#a su%a desus "=r%inos es 1. 3allar eldi#idendo.aD Q@6 &D Q6 cD

Q/6dD 06 eD -6

Solui!n&Sea la di#isi'n+ : ? d . q r αDPor da"o+ : d q r ? /001D

Cuando se %ul"iplica eldi#idendo 4 di#isor por /* secu%ple+

1@

a&c

J < --- J -/@ J 0/->



ANITM;TICA


→ /: /d q /r ? 1 -D;nseguida+

q ?-Q

;n αD+

;n 1D+

por "an"eo+ -Q Q

→

∴ ;l di#idendo es+ Np"a.

1 Un o&rero gana diaria%en"eS. 0 %ás que o"ro. :espu=s de"ra&aar cada uno el %is%on)%ero de dàs* el pri%eroreci&e S. 1/ 4 el segundo S. Cuán"o gana por cada dà elo&rero peor pagadohaD S. 11 &D S. 1 cDS. 0dD S. 1- eD S.

Solui!n&Co%o un o&rero reci&e S. 1/ 4

el o"ro S. * el pri%ero $a&ráreci&ido+S.1/ R S. ? S.00 %ás queel segundo 4 co%o uno de ellosreci&e diaria%en"e S. 0 %ás queel o"ro* en"onces el n)%ero dedàs "ra&aados será+

Si "ra&aa 11 dàs* en"onces

cada uno reci&i' diaria%en"e+

;l pri%ero+

;l segundo+Luego el que gana %enos* seráel segundo con S. .

Np"a.

MT%D%S DI<ERS%S

MET%D% DEL R%M*%

Se u"ilia cuando en un pro&le%a sepresen"a a un n)%ero de ele%en"osdi#idido en dos grupos* cu4os #aloresuni"arios de sus ele%en"os seconocen ade%ás se proporciona un"o"al resul"an"e de su%ar "odos los

#alores.

;n el #=r"ice 5A7 se u&ica el n)%ero de

ele%en"os ac"uales en el pro&le%a. ;n el #=r"ice 5j7 su u&ica la su%a "o"al

d los #alores uni"arios de losele%en"os del pri%er* segundogrupo respec"i#a%en"e.

Se acos"u%&ra u&icar en la par"esuperior el %a4or #alor uni"ario

1



ARITMETICA


Pro&le%a 1;n un corral donde eFis"en coneos 4gallinas se cuen"an @6 ca&eas 4 106pa"as. :e"er%inar el n)%ero deconeos.aD 16 &D -6 cD 10

dD 6 eD n.a.Solui!n&

Np"a.

Pro&le%a -Un alu%no despu=s de ir a casar en"reconeos 4 palo%as regres' a su casacon Q/ pa"as 4 -Q ca&eas. Cuán"osconeos casohaD 1@ &D -6 cD 1dD 1 eD -1

Solui!n&

Np"a.

Pro&le%a Una su%a de --6 soles se co%poneen 0@ %onedas de 0 soles 4 - soles.

3állese el n)%ero de %onedas de 0soles.

aD 1 &D cD @

dD eD /6

Solui!n&

Np"a.

Pro&le%a /;làs pone 1- pro&le%as a 8ian Carlocon la condici'n de que por cadapro&le%a que resuel#a reci&irá 1 666soles 4 por cada pro&le%a que noresuel#a perderá @66 soles despu=sde "ra&aar con los 1- pro&le%asreci&irá -66 soles. Cuan"ospro&le%as no resol#i'h

aD / &D Q cD 1-dD 0 eD 16

Solui!n&

^ Pro&le%as no resuel"os

^ Pro&le%as resuel"os

Np"a.

MET%D% DEL RECTAN/UL%

1



ANITM;TICA


Se reconocen es"os "ipos depro&le%as porque "ienen sie%pre losenunciados o sus #arian"esD 5$a&à75(al"a7 5au%en"a7 5dis%inu4e7

Pro7le#a 1Si pa3o G soles a *ada /no de #ise#pleados #e al%an 4 soles,

pero si les pa3o & & soles #eso7ran & soles. I</@n%ose#pleados %en3oaD Q &D /6 cD 06dD @6 eD 6

Solui!n&

<)%ero de e%pleados

p%a.

Pro7le#a 2

Para *o#prar 1 %elevisores #e al%anD2n soles, pero si *o#pro 1 #eso7ran Dn soles. I</@n%os soles%en3oaD /n &D n cD 0ndD @n eD -n

Solui!n&

Precio uni"ario del "ele#isor

Para conocer cuán"o "engo

p%a.

MET%D% DEL CAN/REB%

;s"e %="odo de soluci'n es &as"an"eprác"ico 4 #elo consis"e en $allar unainc'gni"a conociendo las operacionesdirec"as 4 el resul"ado Gnal "ene%osque $allar las operaciones in#ersas 4en (or%a regresi#a $allare%os la

respues"a.

Pro7le#a 1 /n nA#ero se le #/l%ipli*a por 2, alres/l%ado se le s/#a 1, ense3/idadividi#os en%re & la s/#a 80nal#en%e se le res%a para o7%ener*o#o res/l%ado 2. allar el nA#eroori3inal.a$ & 7$ G *$ 9

d$ e$ C

Solui!n&; Sea la in*ó3ni%a Dx l/e3o:

; Opera*ión inversa

p%a.

Pro7le#a 2Kn re*ipien%e de a3/a es%@ lleno, ala7rirse el *ao *ada ora desa3/a la#i%ad de s/ *on%enido #@s ) li%ros.allar la *apa*idad del re*ipien%e si al*a7o de ) oras se desa3/a.a$ 42 li%ros 7$ 2C li%ros*$ )C& li%ros d$ )& li%rose$ ) li%ros

Solui!n&

1Q



ARITMETICA


En *ada ora, el re*ipien%e pierde la#i%ad ! ÷ 2$ de s/ *on%enido #@s )li%ros !-)$. pli*are#os el #5%odo del*an3reNo, par%iendo de la %er*era oradonde /edó DO li%ros 8 a par%ir dea a3a#os las opera*iones inversas

as%a lle3ar *on la pri#era ora.En la %er*era ora:!)$ → + ) = )

! ÷ 2$ → ) x 2 = En la se3/nda ora:!)$ → + ) = 9

! ÷ 2$ → 9 x 2 = 1CEn la pri#era ora: !)$ → 1C + ) = 21

! ÷

2$→

21 x 2 = 42

RE/LA DE LA C%NBUNTA

Ta%&i=n se deno%ina co%o el %="odode las equi#alencias* se resuel#eaplicando las relaciones que eFis"enen"re di(eren"es especies* en"re =s"os+

Con los da"os ponga%os una seriede equi#alencia.

Se de&e procurar que el pri%erele%en"o 4 el )l"i%o de&en sersie%pre de la %is%a especie.

Las can"idades de&en colocarse en(or%a al"ernada.

Se %ul"iplica %ie%&ro a %ie%&rolas igualdades.

Pro7le#a 1<on %res desar#adores se o7%iene /nali*a%e, *on %res ali*a%es /n #ar%illo.I</@n%os #ar%illos se o7%endr@n *on11G desar#adoresa$ 1) 7$ 12 *$ Gd$ C e$ 1

Solui!n& pli*ando la *onN/n%a, se %endr@:

Dx #ar%illos Q 6 11Gdesar#adores

) desar#adores Q 6 1 ali*a%e) ali*a%es Q 6 1 #ar%illoM/l%ipli*ando #ie#7ro a #ie#7ro:

!x$ !)$ !)$ = 11G!1$ !1$9x = 11G

p%a.

S%LUCI%NARI% CE+RU

UNSAAC

:. ;n el sis"e%a de los n)%erosen"eros* indicar la #erdad VD 4(alsedad D de las siguien"esproposiciones+

ID a * b a a baD ? 6

IID a W 6 & X 6 a & X 6

IIID a W & a c W & c * c W 6

IVD La sus"racci'n cu%ple con la

propiedad de clausura.

AD VV jD VV CD VV:D VV ;D VV

SOL. 61ID a * b a a RaD ? 6

V;N:A:;NOD

;Fis"encia del ele%en"o opues"o

Adi"i#o en

IID a W 6 & X 6 a . & X 6

ALSOD

ENe#plo+ sencillo 4 prác"ico+Asu%iendo #alores %`ni%os en J

-6



ANITM;TICA


Cu%plirá para cualquier #alor que

cu%pla+

Si+ a W & X 6 a . & X 6

a? 1 &?1 b1D1DX 6

b1X 6 co%o #eras es

(alsoD

IIID a W & a.c W &.c * c W 6

ALSO D

ENe#plo pr@*%i*o+ Asu%iendo

#alores %`ni%os en .

a W & a .c W & . c * c W 6 *

$aciendo c ? 1

1 W - 1 1D W - 1D

1 W - *o#o veras

es alsoD

IVD La sus"racci'n cu%ple con la

propiedad de clausura.

V;N:A:;NOD

VV p%a.

6. :e las siguien"esproposiciones+ID Los reales que no son racionales

son los n)%eros irracionales.IID Si al represen"ar un n)%ero en su

no"aci'n deci%al "iene unacan"idad inGni"a de ci(ras en supar"e deci%al 4 sin periodo alguno*en"onces es un n)%ero racional.

IIID I ∪ k ? NJ I ∩ k ? φ donde I* k* N 4φ signiGcan los conun"os de losn)%eros irracionales* racionales*reales 4 el conun"o #acò*respec"i#a%en"e.

IVD a-

X & ⇔ a X ∧ a W bCuán"as proposiciones son (alsash

AD S'lo II jD I 4 II CD S'loIV:D II 4 IV ;D II* III* IV

SOL. 6-ID Los reales que no son racionales

son los n)%eros irracionales.V;N:A:;NOD

IID Si al represen"ar un n)%ero en suno"aci'n deci%al "iene unacan"idad inGni"a de ci(ras en supar"e deci%al 4 sin periodo alguno*en"onces es un n)%ero racional.

ALSOD

IIID I ∪ k ? N J I ∩ k ? φ donde I* k* N

4 φ signiGcan los conun"os de losn)%eros irracionales* racionales*reales 4 el conun"o #acò*respec"i#a%en"e.

V;N:A:;NOD

IVD a- X & ⇔ a X ∧ a W bALSOD

La conunci'n 5∧7 D lo $ace (alsaJde&e ser la dis4unci'n 5 7oDJ 5o7es la ra` posi"i#a 5o7 es la ra`nega"i#a pero no la in"ersecci'n.

∴ II 4 IV

p%a.

;. :ados los n)%eros en"erosposi"i#os a 4 &* para la relaci'n a X&* eFis"e un )nico en"ero posi"i#o c* "alque+ID a c ? &IID a b & ? cIIID & b a ? cSon proposiciones #erdaderas+

AD S'lo I jD I 4 II CD I 4 III

:D S'lo II ;D S'lo III

-1



ARITMETICA


SOL. 6Co%o a X & 4 c X 6

I) a c ? & → c ? & b a X 6 → &X a

ALSOD Propiedad de Trico"o%àDJ si la

condici'n dice a X & +¿Z ¿ * 5a7

no puede ser igual a 5&7 4 a)nadicionado con 5c7. ;n la propiedadde "rico"o%à se cu%pleeFac"a%en"e uno de los siguien"escasos+

a W & J a ? & ' a X &IID a b & ? c → a b & X 6 → a X &

V;N:A:;NOD

Co%o C +¿

Z ¿ J C X 6* en e(ec"o

pues al res"ar el %a4or 5a7 %enosun %enor 7 & 7 en"eros posi"i#os da

un C +¿

Z ¿ J cu%ple la condici'n.

IIID & b a ? C → & b a X 6 → &X a

ALSOD

Co%o C +¿

Z ¿ J C X 6* en e(ec"o

pues al res"ar el %enor 5&7 %enosel %a4or 5 a 7 en"eros posi"i#os da

un C −¿

Z ¿ J no cu%ple la

condici'n

∴ S'lo II

p%a.

9. :e las proposiciones+

ID a >* 6 > a 6 ? 6 a ?

a J ad%i"e la eFis"encia del

ele%en"o del ele%en"o iden"idad o

neu"ro adi"i#o.

IID Se cu%ple eFac"a%en"e solo uno

de los siguien"es casos+ F W 4J F ?4 ' F X 4J 4 lo deGne la propiedad

de "rico"o%à.IIID Todo racional sie%pre es una(racci'n racional.IVD La operaci'n de la sus"racci'n es"á

"o"al%en"e deGnida en el sis"e%ade los n)%eros en"eros.

Cuán"as proposiciones son#erdaderash

AD I 4 II jD II 4 III CD III 4IV:D S'lo II ;D I* II 4 IV

SOL. 6/

ID a >* 6 > a 6 ? 6 a ?

aJ ad%i"e la eFis"encia del

ele%en"o del ele%en"o iden"idad o

neu"ro adi"i#o.

V;N:A:;NOD

IID Se cu%ple eFac"a%en"e solo unode los siguien"es casos+ F W 4J F ?4 ' F X 4 lo deGne la propiedad de"rico"o%à. V;N:A:;NOD

IIID Todo racional sie%pre es una(racci'n racional.

ALSOD Todo racional <o sie%pre es una(racci'n racional. Porque $a4;n"eros racionales. Lo que si secu%ple es que "odo ;n"ero racional4 "oda (racci'n racional sie%pre esun racional.

IVD La operaci'n de la sus"racci'n es"á"o"al%en"e deGnida en el sis"e%ade los n)%eros en"eros.

V;N:A:;NOD ∴ I* II 4 IV p%a.

. Para "odo a* & 4 c ∈ * de lassiguien"es proposiciones+ID a W & ⇒ a ⋅ c W & ⋅ cIID a W & ∧ c W 6 ⇒ a ⋅ c X & ⋅ cIIID a ⋅ c W & ⋅ c ⇒ a W &IVD a ⋅ c W & ⋅ c ∧ c X 6 ⇒ a W &

Son sie%pre #erdaderas+

--



ANITM;TICA


AD S'lo I jD I 4 II CD I 4 III:D II 4 IV ;D S'lo III

SOL. 60ID a W & ⇒ a ⋅ c W & ⋅ c ALSOD

Co%o a* & 4 c ∈* no cu%ple si+C ? 6

Vea%os+ Nee%plaando #alores%`ni%os en Soluci'n prác"ica 4sencilla si no "e acuerdas laspropiedadesD

a W & ⇒ a ⋅ c W & ⋅ c- W ⇒ - ⋅ 6 W ⋅ 6

6 W 6

Co%o podrás o&ser#ar es"o esa&surdoDIID a W & ∧ c W 6 ⇒ a ⋅ c X & ⋅ c

V;N:A:;NOD;n (or%a si%ilar al eercicio

an"erior+Co%o C W 6J $aciendo C ? b1a W & ∧ c W 6 ⇒ a ⋅ c X & ⋅ c

Nee%plaando Valores %`ni%os

en.^ Cu%plirá con cualquier #alor en co%o pide 4 sa"is(aga la condici'ndel enunciado. Si sa"is(ace con los#alores %`ni%os sa"is(ace "a%&i=ncon o"ros #alores soluci'n prác"ica4 sencilla si no "e acuerdas laspropiedadesD

Rea#os:a W & ∧ c W 6 ⇒ a ⋅ c X & ⋅ c

b W b - ∧ c W 6 ⇒ b ⋅ b1D X b-⋅b1D

X -Co%o podrás o&ser#ar si cu%ple la

condici'nDIIID a ⋅ c W & ⋅ c ⇒ a W &ALSOD

Co%o a * & 4 c ∈* no cu%ple si+C ? 6

;n (or%a si%ilar al eercicioan"erior+

a ⋅ c W & ⋅ c ⇒ a W &

- 6D W 6D ⇒ 6 W 6Co%o podrás o&ser#ar es"o es

a&surdoDIVD a ⋅ c W & ⋅ c ∧ c X 6 ⇒ a W &

V;N:A:;NOD

;n (or%a si%ilar al eercicioan"erior+

Co%o C X 6 J $aciendo C ? 1Nee%plaando Valores %`ni%os en

.a ⋅ c W & ⋅ c ∧ c X 6 ⇒ a W &

- 1D W 1D ∧ c X 6 ⇒ - W - W

Co%o podrás o&ser#ar si cu%ple lacondici'nD

∴ II 4 IV p%a.

5. :e las siguien"esproposiciones+ID ;l n)%ero cero es un n)%ero

irracional.IID La su%a cu%ple con la propiedadde clausura en I<.

IIID La sus"racci'n no cu%ple lapropiedad de la cerradura* es"ádeGnida parcial%en"e en I<.

Cuán"as proposiciones son#erdaderash

AD Solo I jD Solo II CD II 4 III

:D S'lo III ;D TodasSOL. 6@ID ;l n)%ero cero es un n)%eroirracional. DIID La su%a cu%ple con la propiedadde clausura. VDIIID La sus"racci'n no cu%ple la

propiedad de la cerradura* es"ádeGnida parcial%en"e en I<.VD

∴II 4 III p%a.

-



ARITMETICA


. :e las siguien"esproposiciones+ID ;l ele%en"o neu"ro en la

%ul"iplicaci'n es la unidad.IID ;l ele%en"o neu"ro para la adici'n

es )nico.IIID La di#isi'n no cu%ple la propiedadde la cerradura en .

Indique la al"erna"i#asD (alsasD.AD Solo I jD Solo II CD II 4 III:D I 4 II ;D <inguna

SOL. 6ID ;l ele%en"o neu"ro en la

%ul"iplicaci'n es la unidad.VDIID ;l ele%en"o neu"ro para la adici'nes )nico. VDIIIDLa di#isi'n no cu%ple la propiedadde la cerradura en . VD

∴ <inguna es (alsa. Np"a.

. :e"er%ine la #erdad o(alsedad de las siguien"esproposiciones+

ID ∀ a ∈ m* se "ienea2

a ? a

IID ∀ a* &* c ∈ m* si a×& ? a×c* en"onces

&? c

IIID ∀ a ∈ m* eFis"e un )nico & ∈ m

:onde+ a × & ? a

AD V jD CD VV:D V ;D VVV

SOL. 6

Todas son (alsas* considere para cadacasoa ? 6ID 66 es inde"er%inado

D

IID 6 × ? 6 × / no se cu%ple+ ? /

D

IIID 6 × ? 6 pero "a%&i=n 6 × 0 ? 6

D

Np"a.

G. Cuán"as de las eFpresionessiguien"es son (alsash

ID Todo n)%ero na"ural es racional

IID ;l n)%ero 11 no es un n)%ero

racional

IIID 10 es un n)%ero racional

IVD <o eFis"e una (racci'n con

deno%inador cero.

VD ;n"re - n)%eros racionaleseFis"e o"ro n)%ero racional.

AD 1 jD - CD :D / ;D 0

SOL. 6QLa )nica (alsa es+ ;l n)%ero 11 no es

un n)%ero racional.

p%a.

:H. :e las siguien"esproposiciones+ID La operaci'n de la adici'n es"á

"o"al%en"e deGnida en el sis"e%a

de los n)%eros en"eros.

IID ;n"re los n)%eros a 4 a1*

eFis"e o"ro n)%ero en"ero.IIID ;n el sis"e%a de los n)%eros

en"eros* la operaci'n de la di#isi'n

cu%ple con la propiedad de la

clausura.

IVD ;n el sis"e%a de los n)%eros

en"eros* el ele%en"o neu"ro adi"i#o

es )nico.

Son #erdaderos+

-/



ANITM;TICA


AD I* II 4 III jD I 4 IV CD II 4

III

:D I 4 III ;D II 4 IV

SOL. 16:e las siguien"es proposiciones+

ID La operaci'n de la adici'n es"á

"o"al%en"e deGnida en el sis"e%a

de los n)%eros en"eros.

V;N:A:;NO

IID ;n"re los n)%eros a 4 a1*

eFis"e o"ro n)%ero en"ero.

ALSO+ <o eFis"en en"eros.

IIID ;n el sis"e%a de los n)%erosen"eros* la operaci'n de la di#isi'n

cu%ple con la propiedad de la

clausura.

ALSO+ <o la cu%ple* en Prop. :e

Cerradura o Clausura.

F* 4* + F4 J F . 4

IVD ;n el sis"e%a de los n)%erosen"eros* el ele%en"o neu"ro adi"i#o

es )nico.

V;N:A:;NO+ Si * es )nico 4 es el

5Cero7+ a6 ? a

Son #erdaderos+ I 4 IV

p%a.

::. :e las siguien"esproposiciones+ID Los n)%eros Neales son 5:ensos7

pero no son con"inuos.

IID Los n)%eros Nacionales son

5:ensos7 4 con"inuos.

IIID ;n el sis"e%a de los n)%eros

<a"urales eFis"en 5opues"os

adi"i#os7 e 5in#ersos

Mul"iplica"i#os.

Los respec"i#os #alores de #erdad son+

AD jD VV CD V:D VV ;D V

SOL. 11ID ALSO+ Los n)%eros Neales son

5:ensos7 4 con"inuos.

IID ALSO+ Los n)%eros Nacionales son

5:ensos7 pero no son con"inuos.

IIID ALSO+ ;n el sis"e%a de los

n)%eros <a"urales no eFis"en

5opues"os adi"i#os ni in#ersosMul"iplica"i#os7.

p%a.

:6. :e las siguien"esproposiciones* las #erdaderas son+

I. H a f R,62* eFis"e a−1 f "al

que a . a−1=1

II. H a f* si a W & en"onces a.c. X&.c* c X6III. H a* & f* se cu%ple+ a ? & a X

& a W &IV.H a* &* c f+ si a W & en"onces a c W & cAD I 4 III jD I 4 II CD II 4

IV

:D II 4 III ;D I 4 IV

SOL. 1-I. V;N:A:;NOII. ALSOIII.ALSOIV.V;N:A:;NO

p%a.

-0



ARITMETICA


:;. Si+ J $allarel #alor de 5a&7 en el in"er#alo + F

AD - jD / CD Q

:D 11 ;D @

SOL. 1

b Si+ J $allar el

#alor de 5a&7 en el in"er#alo + F

b ¡Vea%os! :el enunciado+

• Co%o

b ;n"onces+

^ :e ID+ ^ :e IID+

J

-F W 11

W -F

-F W /

W -F

F W / F

X -

b Ordenando+ -W F W /

b Iden"iGcando en+ F E F

b ;n"onces+ J 4

p%a.

O%ra sol/*ión

Ta%&i=n lo puedes eFpresar en (or%a

agrupada e in#er"ir Al in#er"ir (à"elos deno%inadores ca%&ian de

posici'n por el sen"ido de la

inecuaci'nD

Vea%os+

W -F W 11

/ W -F W

- W F W /

Iden"iGcando en+ F E F

;n"onces+ J 4

p%a.

:9. La eFpresi'n - b F es

equi#alen"e al in"er#alo+

AD jD CD

:D ;D

SOL. 1/b ¡Vea%os! :el enunciado+

- b F

b ;n"onces+

b1 W - b F

b- b 1 W b F b -

b W b F 1

b Mul"iplicando por b1D+ b b1D W b1Db F 1b1D

-@



ANITM;TICA


b ;l signo bD+ ca%&ia los sen"idos de

la inecuaci'n.

X F b 1

b Ordenando+ b 1 F W

b :onde+ p%a.

:. Si+ -W n -W 0.3allar el in"er#alo que con"iene a+ n- b-.

AD jD CD

:D ;D

SOL. 10b ¡Vea%os! :el enunciado+

- W n - W 0

b- - W n W 0b-

6 W n W

b ;le#ando al cuadrado+

6 W W Q

b :ando la (or%a+ 6 b- W b - W Q

b-

b- W b - W

b :onde+ n- b-

p%a.

:5. Si 5F7 #arà en el in"er#alo

* en qu= in"er#alo #aria laeFpresi'n+ F- b/F -h

AD jD CD

:D ;D

SOL. 1@

b :el enunciado+

b or%a pedida+ F- b /F -

b Pero+ F- b /F - es la (or%a

inco%ple"a de+

b ;n"onces aco%odando la (or%a

pedida al in"er#alo.

b Si 5F7 #aria en el in"er#alo

b :onde+

b-1W F b - b-

b1W F b -

b ;le#ando al cuadrado+

F b -D

b :ando la (or%a pedida+ F- b /F -

F b -D

In"er#alos

cerradosD

b ;n"onces s`+ 5F7 #arà en el

in"er#alo * la eFpresi'n+ F- b

/F - #aria en el in"er#alo+

p%a.

:. Nelacionar correc"a%en"e lassiguien"es proposiciones+

I. la operaci'n de la sus"racci'n es"á"o"al%en"e deGnida en el sis"e%a de

-



ARITMETICA


los >.II. en el sis"e%a de los n)%erosen"eros el ele%en"o neu"ro adi"i#o es)nico.III. el conun"o de los n)%erosna"urales respec"o a la relaci'n de

orden WD es denso.IV. el co%ple%en"o ari"%="ico delco%ple%en"o ari"%="ico de unn)%ero en"ero posi"i#o resul"a el%is%o n)%ero.

aD VV &D VV cDVVV dD V eD VV

SOL. 1

I. (alsoD es"á parcial%en"e deGnidaII. #erdaderoD es )nico 4 es el cero6DIII. (alsoD en conun"o de los > no esdenso.IV. (alsoDee%plo CACAQ-6DD?-6

p%a.:

:. Nelacionar correc"a%en"e lassiguien"es proposiciones+

ID en"re los n)%eros a 4 a1 sie%preeFis"e o"ro n)%ero en"ero.IID en el sis"e%a de los n)%erosna"urales* el n)%ero 1 es el ele%en"oneu"ro %ul"iplica"i#oIIID en el sis"e%a de los n)%erosen"eros el n)%ero 1 es el ele%en"oa&sor&en"e.IVD en la di#isi'n en"era ineFac"a porde(ec"o el residuo es %enor que el

di#isor.

aD VVVV &D VV cDVV dD VV eD V

SOL. 1ID (alsoD el conun"o de los n)%erosen"eros no es denso.IID #erdaderoDIIID (alsoD el ele%en"o a&sor&en"e es

el cero 6D.IVD #erdaderoD el residuo sie%pre es

%enor que el di#isor. Np"a. :

:G. Para las siguien"es proposicionesen el sis"e%a de los n)%eros *escri&ir VD si es #erdadera o D si es

(alsa.ID H a* &* c + ac W &c K a W &

IID Si a W & K &Ra +¿Z ¿ * H a*&

IIID H a* &* c + a.c W &.c K a W &IVD H a* &* c + a ? & a.c W &.cLa secuencia correc"a es+

aD VVVV &D VV cDVV dD VV eD VV

SOL. 1Q'( ))**

Np"a. ;

6H. ;n el sis"e%a de los n)%erosen"eros* la propiedad indicada%edian"e el enunciado+a&DaR&D?aR&Da&DJ H a* & * sedeno%ina+

aD Trico"o%à &D dis"ri&u"i#acD "ransi"i#a dDcon%u"a"i#a eD asocia"i#a

SOL. -6;s la propiedad con%u"a"i#a.

Np"a. :

6:. e(ec"uar+ -/@ Q6

aD -66 &D -@06 cD-66 dD -Q6 eD --

SOL. -1no"a%os que es la su%a"oria de los5n7 pri%eros en"eros posi"i#os.n?/0

K ∑n=1

45

(2n) ? nn1D?/0/01D?

-66Np"a. C

-



ANITM;TICA


66. e(ec"uar+ /1//0 . . . Q

aD 1-/ &D 1/Q cD1-0 dD 166 eD 16Q

SOL. --Aplica%os uita # on 4 se con#ier"een la su%a"oria de los 5n7 pri%erosi%pares:8;88J8;8;G8/1/ QK(:8;88J8;8;G)

n1?QR1D- ? /n-?Q1D-?-6

K 472 R 202 ? 16QNp"a. ;

6;. e(ec"uar+1F-F/F0 . . . --F-/* 4 darco%o respues"a la su%a de sus#alores a&solu"os de sus ci(ras.

aD 0 &D Q cD@

dD eD

SOL. -K Le da%os una (or%a adecuada11-D ---D -D . . . -----D

12 1^- 2

2 -^- 32

^- 222 --^-

agrupando con#enien"e%en"e+

12 2

2 32 22

2

-^1 - . . .--D

22(22+1)(2∗22+1)6

2∗22(22+1)

2Q006@? /61

la su%a de #alores a&solu"os es iguala la su%a de ci(ras del nu%eral./61 ?

Np"a. ;

69. ;(ec"uar+Q1-1-/ . . . 1* 4 darco%o respues"a la su%a de los #aloresa&solu"os de sus ci(ras+

aD 1- &D 1 cD1/dD 10 eD 1

SOL. -/

Q 1- 1 -/ .. . 1 1 0 - -- -

OjS+"n?An-jnc

A?

r

2 ?

2

2 ? 1 j ? &oRA? 1R1?6 c ?ao?

K 1? 1n- 6 K n ? 1

su%a"oria ? a1 C 1n

&1 C 2n

r

C 3n

K Q^ C 113

C 213

- C 313

Q^ 13

(13−1 )∗1 ^

13

(13−2 )∗2 -^

13

(13

−3

) ∗3

-Q

a6

&o



ARITMETICA


Q^1^ 13∗12

2 -^

13∗12∗113∗2

Q^1^1^@-^1^-^11?Q-

Np"a. C

6. la su%a de los "=r%inos de unasus"racci'n es 1666* el sus"raendo esla quin"a par"e del %inuendo. 3allar elco%ple%en"o ari"%="ico de ladi(erencia+

aD /66 &D @66 cD066

dD 106 eD /06

SOL. -0^ MS: ? 1666 por propiedadMS:?-MD-M?1666 K M?066

^ S? M

5 K S?

500

5 S?166

K :? MRS ?066R166?/66

Lo que nos pide CA:D?@66 Np"a. j

65. la su%a de los "res "=r%inos deuna res"a es 1-66 4 el sus"raendo esla cuar"a par"e del %inuendo. 3allar elco%ple%en"o ari"%="ico de ladi(erencia.

aD /06 &D 066 cD006 dD @06 eD 06SOL. -@^ MS: ? 1-66 por propiedadMS:?-MD-M?1-66 K M?@66

^ S? M

4 K S?

600

4 S?106

Lo que nos pide CA:D?1666R106?06Np"a. ;

6. la su%a de los "res "=r%inos deuna res"a es @ #eces el sus"raendo. Sila di(erencia en /. 3allar el%inuendo.

aD @ &D /- cD /

dD 01 eD 0

SOL. -^ MS: ? @S por propiedadMS:?-MD

-M?@S K S ? M

3

^ :? MRS

/ ? M R M

3

K M ? 01

Np"a. :

6. 3allar la su%a del %inuendo 4 ladi(erencia de una sus"racci'n* cu4asu%a de "=r%inos es 66 4 el%inuendo es el 'c"uplo delsus"raendo.

aD 66 &D 06 cD

@06 dD 06 eD /06

SOL. -K M ? /66 /66?S K S? 06:? /66R06? 06<os pide+ M: ? /6606 ? 06

Np"a. :

6G. 3allar aR&* si CA ábab DR CA

ab D?-@66aD &D /cD@dD - eD1

SOL. -Q

CA ábab DR CA ab D?-@66

16666 R ábab b 166 R abD?-@66

16666R 166^ ab ab DR166

6



ANITM;TICA


ab ?-@66

66 ? 166^ abK ab ? aR&D?R?/

Np"a. j

;H. Calcule el %a4or nu%eral de /ci(ras signiGca"i#as di(eren"es "al quela di(erencia* de la su%a de los #aloresa&solu"os de sus ci(ras 4 la su%a delos #alores a&solu"os de su CA es 10.

aD Q0-1 &D Q1 cDQ-dD 0- eD Q@

SOL. 6

<%aF ? ábcd J a & c d

CA ábcd D?

´(9−a)(9−b)(9−c)(10−d )a&cd bQRaDQR&DQRcD16RdDD?10-a&cdDR ? 10

a&cd ?-@K <%aF ? ábcd ? Q-

Np"a. C

;:. el produc"o de dos n)%eros es-0@. Si al %ul"iplicando se le agrega1 unidades resul"a un produc"o de/6. 3allar la su%a de los n)%eros.

aD 116 &D 110 cD

1-6dD 1- eD 16

SOL. 1MF%?-0@ ..1DM1DF%? /6MF% 1F% ? /6 . -D

ree%plaando 1D en -D-0@ 1F% ?/6

K % ? @ 4 M ? /- M%D? 116

Np"a. A

;6. ;l produc"o de un n)%ero de dosci(ras por el %is%o pero con sus ci(rasen orden in#erso es 0/. 3allar la

su%a de los #alores a&solu"os de susci(ras.

aD &D 16 cD10dD0 eD 11

SOL. -

ab F ba ? 0/

áb F

´ba ? /1 F 1/adecuandoD

K ab ?/1 a&D?0

Np"a. :

;;. un alu%no "iene que %ul"iplicarun n)%ero por 6J pero se ol#ida deponer un cero a la derec$a del%ul"iplicador por lo que se o&"iene unresul"ado que diGere del #erdadero en

001. 3allar dic$o n)%ero.

aD @Q &D 1Q1 cD -1dD -1Q eD 0/

SOL. < F 6? P produc"o realD

!

10 ? <F lo que resul"a al

ol#idarse del ceroD

K P R !

10 ? 6< R< ?001

-< ? 001 <?-1

Np"a. C

;9. Al di#idir A en"re j* se o&"u#o elres"o por eFceso 4 de(ec"orespec"i#a%en"e 10 4 1-* "a%&i=n seencon"r' un cocien"e por de(ec"o de

1



ARITMETICA


6. Con"es"ar la su%a de ci(ras de A.

aD 16 &D 1- cD10dD 1 eD 1/

SOL. /:a"os+ reFc?10 4 rde( ?1-q ? 6K d ? rde( reFc

d? -sa&e%os que+ : ? d^q rK A ? j ^q rK A ?-^61- ? --La su%a de ci(ras+ 1-

Np"a. j

0. la di(erencia de dos n)%eros es-* su cocien"e es 1 4 su residuo es%ás grande posi&le. 3allar la su%a delos n)%eros.

aD 1 &D QQ cD Q6 dD Q/ eD Q6

SOL. 0

A b j ?-^q?1 4 r%áFi%oD? jR1K A ?j ^ 1 j b 1A ?1j b 1 .^^

ree%plaando ^^ en ^1j b 1 b j ?-K j ? /Qen Â b /Q ? - K A ? 1

la su%a de los n)%eros+ 1/Q ?Q6Np"a. ;

;5. la su%a del di#idendo 4 el di#isoren una di#isi'n es /1 #eces el residuopor de(ec"o 4 la di(erencia de ellos es-0 #eces dic$o residuo. 3allar elcocien"e por eFceso.aD - &D 0

cD/dD eD Q

SOL. @: d ? /1r ..^: b d ? -0r ..^^su%ando ^ 4 ^^ "ene%os: ? r

ree%plaando en ^d ? rpor el algori"%o de la di#isi'n "ene%os: ?d ^ q rr ? r ^ q r se cancelan las 5r7DK q ?/

Np"a. C

;. 3allar 5ac7* si+ábc− ćba= ´ pk 2

aD 0 &D@cD 16dD 10 eD 1-

SOL. por propiedad ? Q 4 p ? desco%poniendo+166a 16& c b 166c 16& aD?Q-

QQa b QQc ? Q-a b c ? los )nicos #alores de a 4 c son+ a ? Q 4 c ? 1K a c ? 16

Np"a. C

;. Un n)%ero de / ci(ras es "al que alres"arle su co%ple%en"o ari"%="icoresul"a 0-0@. 3allar la su%a de los

#alores a&solu"os de sus ci(ras.

aD -6 &D -- cD1/dD - eD -0

SOL.

+ ábcdábcd b CA ábcd D ?0-0@

ábcd b 16666R ábcd D ?0-0@

-



ANITM;TICA


K-^ ábcd ? 10-0@

ábcd ? @-

la su%a de ci(ras#alores a&solu"osD+

- Np"a. :

;G. La su%a de los co%ple%en"osari"%="icos de los "res "=r%inos deuna res"a es 100-. 3allar la su%a delos #alores a&solu"os de las ci(ras del%inuendo* si "odos los "=r%inos sonde "res ci(ras.

aD 11 &D 1- cD 1dD 1/ eD 10

SOL. QSean M* S 4 : los "=r%inos de lasus"racci'nK CAMD CASD CA:D?100-sa&iendo que "odos los "=r%inos"ienen ci(ras1666 R M 1666 RS 1666 R : ?100-

666 b MS:D? 100-666 b -M ? 100-KM ? -/la su%a de ci(ras ? 1

Np"a. C

9H. si+ ábc− ćba= ´mn(m+1) *

3allar 5aRc7

aD - &D cD/ dD0 eD@

SOL. /6por propiedad < ? Q 4 %%1 ?Q K % ?/desco%poniendo+166a 16& c b 166c 16& aD?/Q0QQa b QQc ? /Q0a b c ? 0

Np"a. :

9:. :e"er%inar la su%a de "odos losn)%eros na"urales de "res ci(ras queco%iencen 4 "er%inen en ci(ra .

aD 0Q6 &D /Q6 cD@QQ6dD /6 eD /Q6

SOL. /1

< ? ´3b35&7 "o%a #alores desde 6 $as"a QK61-/0Q666166-666

6Q66^16 16 -6 6 Q6D66 16^1-QD

6616^ 9(9+1)

2 ? /6

Np"a. :

96. Si se cu%ple que+

CA ábc DCA ácb D ? an *

$alle a&cRnD

aD 0- &D cD/dD 1 eD Q6

SOL. /-Por si%ple inspecci'n a ?Q4a que si (uese cualquier o"ra ci(ra lasu%a de sus co%ple%en"os "endrà ci(rasD

K CA ´9bc DCA ´9cb D ? 9n1666R ´9bc 1666 R ´9cb ?

9n-666RQ6616&cDRQ6616c&D ?Q6n-666R166R11&11cD? Q6n166 ? 11c&D n los )nicos

#alores son+ Q 1



ARITMETICA


K a&cRn ?Q Q R1 ? 1Np"a. <inguna de las Al"ern.

9;. Se "iene un n)%ero de / ci(rassigniGca"i#as* cu4a su%a de ci(ras es-1. Cuál es la su%a de las ci(ras de

su co%ple%en"o ari"%="icoh

aD 1 &D 1/ cD 10dD 1@ eD 1

SOL. /

< ? ábcd

a & c d ? -1K CA<D ?

´(9−a)(9−b)(9−c)(10−d )La su%a de ci(ras del co%ple%en"oes+QRaQR&QRc16Rd b a&cdD b -1 ? 1@

Np"a. :

99. Con "res ci(ras que su%an 1Q* se

(or%a un nu%ero de ci(ras de "al%anera que su co%ple%en"oari"%="ico sea o"ro n)%ero de "resci(ras* pero consecu"i#as 4 crecien"es.3allar dic$o n)%ero.

aD 0 &D @@ cD @@ dD 0 eD /

SOL. //

a & c ?1Q< ? ábc

CA ábc D ? ´ x ( x+1)( x+2) .

^´(9−a)(9−b)(10−c) ?

´ x ( x+1)( x+2)su%ando las ci(ras de a%&os%ie%&ros

- b a&cD ? F - b 1Q ? F

K F ? -ree%plaando en ^

CA ábc D ? ´ x ( x+1)( x+2)1666 R ábc ? -/

ábc ? @@

Np"a. j

9. 3allar un n)%ero de / ci(ras* cu4asu%a de ci(ras sea igual a suco%ple%en"o ari"%="ico. :ic$on)%ero es"á en"re+

aD QQ66 4 QQ-6 &D QQ-6 4QQ/6cD QQ/6 4 QQ@6 dD QQ@6 4

QQ6 eD QQ6 4 16666

SOL. /0

< ? ábcd

a&cd ? CA ábcd D

a&cd ?´(9−a)(9−b)(9−c)(10−d )

la su%a de las / ci(ras co%o %áFi%opuede ser ;5 por lo que las -pri%eras ci(ras del - %ie%&ro soniguales a cero. QRa?6 4 Q b & ? 6K a? Q 4 &? Qade%ás el %áFi%o #alor de QRcD?

c? @%inD

< ? ábcd ? ´99cd

se puede aGr%ar que < es"a en"re

QQ6 4 16666descar"ando al"erna"i#as

Np"a. ;

95. Al resol#er la siguien"e eFpresi'n+A? 1F -F FQ . . . [email protected] su%a de las ci(ras de A es+

aD 16 &D 1- cD1/

dD 1@ eD -6

/



ANITM;TICA


SOL. /@le da%os la (or%a adecuada+11@D --@D @D 66@D1-1^@ -- -^@- ^@

6-

6^@

A8NUPA<:O1- -- - 6- 1^@-^@^@6^@

30 (30+1)(2∗30+1)6

@1-6D

Q/00 @

30 (30+1)2 D

Q/00 -Q6 ? 1--/0la su%a de ci(ras es+ 1/

Np"a. C

9. 3allar la su%a+S ? 1--0--Q-. . . /1-

aD 1--1 &D -- cD 06@66dD 1-/1 eD 1-/1

SOL. /K no"a%os que es una serie de ra'ncons"an"e -6* calcula%os el n)%erode "=r%inos

n ?412−12

20 1 ? -1

S ? (412+12

2 )∗21 ?

S ? //0-Np"a. <o $a4 al"ern.

9. Siábcd ? 1F--FF/ . . .

-6F-1* el #alor de a&cdD es+

aD 16 &D 11 cD

1dD -6 eD -0

SOL. /aplica%os la ('r%ula para n?-6+

1F--FF/nDn1D ?n ( n+1 )(n+2)

3

ábcd ?20 (20+1 )(20+2)

3

ábcd ? 66

nos pide a&cdD ? 66 ?11

Np"a. j

9G. Al e(ec"uar la su%a+S ? 1F F0 0F . . . 0F*se o&"u#o un resul"ado* cu4as ci(rassu%an+

aD - &D -Q cD6dD 1 eD -

SOL. /Q1C1-DC-D0C0-DO0CO0-D

1-1^--^-0-0^-O0-O0^-

agrupando con#enien"e%en"e1- - 0- O0- -C10

O0D 1--0--.

-nR1D--n (2n−1 ) (2n+1 )

3

10Q. -nR1D? n2

n1?/ 4 n- ? /a$ora aplica%os las (or%ulas

43 (2∗43−1 ) (2∗43+1 )

3

-^/-

160QQ0 @QO ? 16Q@Q

0



ARITMETICA


la su%a de ci(ras+ -ONp"a. A

: Un n)%ero se "iene que%ul"iplicar por @6 pero se ol#ida decolocar el cero* o&"eniendo unresul"ado que se di(erencia del#erdadero en -1@. 3allar dic$on)%ero

aD 16 &D 0 cD /dD eD @

6 La su%a de dos n)%eros es /los cocien"es de es"os n)%eros conun "ercero son / 4 @J "eniendo co%oresiduo 1 4 respec"i#a%en"e.3allar la di(erencia posi"i#a de es"osn)%eros.

aD 1@ &D 1 cD 1dD 1Q eD -6

; La su%a de los "=r%inos de unadi#isi'n es Q0* el cocien"e 4 elresiduo son -1 4 10respec"i#a%en"e. 3allar el di#idendo

aD @ &D @ cD -1dD -Q eD -@ 9 ;n una di#isi'n ineFac"a* elcocien"e es /-* el residuo porde(ec"o es 1-/ 4 el residuo poreFceso es -61. 3allar la su%a deci(ras del di#idendo.

aD 10 &D 1@ cD 1dD 1 eD 1Q

Si+ CA ab¿ ? ´(

a

2)(4b) .

3allar+

aD /Q &D @/ cD 1dD 166 eD 1-1

5 ;l residuo por eFceso de unadi#isi'n es Q* si el residuo porde(ec"o es la "ercera par"e delresiduo %áFi%o. 3allar el residuopor de(ec"o.

aD @Q &D Q@ cD Q@dD @Q eD 1-6

;n una di#isi'n se cu%ple que elresiduo por eFceso es igual alcocien"e por de(ec"o 4 el residuo porde(ec"o es igual al cocien"e poreFceso. Si el di#isor es -1. calcularel di#idendo.

aD -- 0 &D -- /0 cD -- 00dD -- -0 eD -- @0

Al di#idir dos n)%eros en"re 10se o&"iene 1 4 Q co%o residuos.Cuál es el residuo de la di#isi'nen"re 10 de la su%a de losn)%erosh

aD / &D -- cD dD - eD 1

G ;n una di#isi'n ineFac"a alresiduo le (al"a 0 unidades para ser%áFi%o 4 le so&ra -Q unidades paraser %`ni%o. Cuál es el #alor deldi#idendo si el cocien"e es -h

aD 1 /Q0 &D 1 061 cD 1 0-/dD 1 0/ eD 1 01

@



ANITM;TICA


:H ;n una di#isi'n al residuo poreFceso le (al"a 1- unidades para serigual al residuo por de(ec"o* a es"ele (al"a -1 unidades para ser igual aldi#isor 4 a es"e le (al"a 10 unidades

para ser igual al

cocien"e. Cuán"o le (al"a alcocien"e para ser igual aldi#idendoh

aD @Q6 &D 66 cD 16dD 0Q eD Q

:: 3allar el cocien"e que se o&"iene

al di#idir el C.A de un n)%ero de la(or%a en"re * si se sa&e queel residuo o&"enido es %áFi%a.

aD &D @ cD dD 0 eD 1-

:6 Cuál es el nu%eral de "resci(ras que res"ando de suco%ple%en"o ari"%="ico se o&"iene/@h

aD -/0 &D -Q cD -0dD 1-/ eD 1Q

:; La su%a de "res n)%erosconsecu"i#os es 6 %ás que el do&ledel n)%ero que es %a4or que el%enor* pero %enor que el %a4oren"onces el %a4or de ellos es+

aD -Q &D 6 cD 1dD - eD /0

:9 ;ncon"rar el %a4or n)%ero de ci(ras "al que la su%a de las ci(rasde su C.A. sea 1-. :ar co%orespues"a la ci(ra cen"ral.

aD &D @ cD dD - eD Q

: Si+ 3allar 5&7 si+

aD &D / cD 0dD @ eD

:5 3allar+ ábc− ´bca

Si+aD Q@ &D Q cD Q1dD -Q@ eD /Q@

: Si el nu%eral * cu%ple que

4 ade%ás se sa&eque la ci(ra de las decenas es iguala la su%a de las o"ras dos ci(ras.

3allar+

aD --6 &D 106 cD -66dD 1/@ eD 16

: Cuál es el nu%eral cu4as ci(ras su%an -/ 4 que al in#er"ir elorden de sus ci(ras dis%inu4en enF4FD

aD Q &D Q cD QQdD Q eD Q

:G A un n)%ero en"ero al agregarle

un cero a la derec$a au%en"a enQQ1 unidades. Cuál es el n)%ero4 dar co%o respues"a la su%a desus ci(rash

aD 1 &D - cD -/dD -Q eD @

6H Si

3allar+ %np



ARITMETICA


aD 16 &D 1 cD -/dD -6 eD n.a.

Cla'es

:. 6. ;. 9 . 5. . . G.

e d

:H.

::.

:6.

:;

:9.

:.

:5.

:.

:.

a d d a d a

:G.

6H.

d

+R%*LEMAS TI+%

ADMISI%N:. ;n las siguien"es proposiciones*indicar #erdadero VD o (also Dseg)n corresponda+I. > II. III. f IV. t V. f

aD &D VVVVV cD VVdD VV eD VVV

6. Seg)n ;L sis"e%a de los n)%erosreales #eriGcar si es #erdadero o(also+aD ;n"re dos n)%eros realesdi(eren"es eFis"en inGni"os n)%erosreales&D ;l sis"e%a de los n)%ero reales es:;<SOcD ;l n)%ero 6 ceroD le per"enece a

los irracionales

aD VV &D VVV cD dD V eD V

;. :e las siguien"es proposiciones+I. Los reales que no son racionales

son los n)%eros irracionales

II. Si al represen"ar un n)%ero en suno"aci'n deci%al "iene una can"idadinGni"a de ci(ras en su par"e deci%al4 sin periodo alguno* en"onces es unn)%ero racional.

III. I ∪ k ? N J I ∩ k ? φ donde I* k* N4 φ signiGcan los conun"os de los

n)%eros irracionales* racionales*reales 4 el conun"o #acò*respec"i#a%en"e.

IV. a- X & ⇔ a X √ b ∧ a W b √ b

Cuán"as proposiciones son (alsash

aD S'lo II &D I 4 II cDS'lo IVdD II 4 IV eD II* III* IV

9. :e las siguien"es proposiciones+I. ;l n)%ero cero es un n)%eroirracional.II. La operaci'n de adici'n cu%plecon la propiedad de clausura en I<.III. La sus"racci'n no cu%ple lapropiedad de la cerradura* es"ádeGnida parcial%en"e en I<.Cuán"as proposiciones son#erdaderash

aD Solo I &D Solo II cD II 4 IIIdD S'lo III eD Todas

. :ados los n)%eros en"erosposi"i#os a 4 &* para la relaci'n a X&* eFis"e un )nico en"ero posi"i#o c*"al que+I. a c ? &



ANITM;TICA


II. a b & ? cIII. & b a ? cSon proposiciones #erdaderas+

aD S'lo I &D I 4 II cD I 4

IIIdD S'lo II eD S'lo III

5. :e las proposiciones+I. R F F R FD?6J ad%i"e laeFis"encia del ele%en"o iden"idadadi"i#o.II. Se cu%ple eFac"a%en"e solo unode los siguien"es casos+ FW4 J F?4 'FX4 J 4 lo deGne la propiedad de

"rico"o%àIII. Todo racional sie%pre es una(racci'n racional.IV. La operaci'n de la sus"racci'nes"a "o"al%en"e deGnida en elsis"e%a de los n)%eros en"eros.Cuán"as proposiciones son#erdaderash

aD I 4 II &D II 4 III cD IIJ

III 4 IVdD S'lo II eD I* II 4 IV

. Para "odo a* & 4 c ∈ m* de lassiguien"es proposiciones+

I. a W & ⇒ a ⋅ c W & ⋅ cII. a W & ∧ c W 6 ⇒ a ⋅ c X & ⋅ cIII. a ⋅ c W & ⋅ c ⇒ a W &

IV. a ⋅ c W & ⋅ c ∧ c X 6 ⇒ a W &Son sie%pre #erdaderas+

aD S'lo I &D I 4 II cD I4 IIIdD II 4 IV eD S'lo III

. :ada las siguien"es proposiciones+I. Todo n)%ero (raccionario es unn)%ero racional 4 rec`proca%en"e.II. ;l cocien"e de dos n)%erosirracionales es un n)%ero irracional.

III. Toda operaci'n realiada con unpar de n)%eros racionales generao"ro n)%ero racional.Los respec"i#os #alores de #erdadson+

aD &D VV cD VdD VV eD V

G. Indicar #erdadero VD o (also D delas siguien"es proposiciones en elsis"e%a m.I. Si a W & en"onces acW&c* ∀cX6II. Si n W % en"onces % b n ∈ mIII. Si a W & en"onces & b a ∈ m

IV. b a.& W 6 a W 6 ∧ & X 6

aD VV &D VVV cD VdD VV eD VV

:H. Cuál o cuáles de las siguien"esproposiciones son #erdaderash

I. Si * en"onceseFis"e un n)%ero 4 "al que

nW4W%II. Para "odo n)%ero racional 5q7*eFis"e un n)%ero racional 5p7di(eren"e de cero* "al que p.q ?1III. Si a b & ? c donde a* &* c *en"onces a X &

aD II 4 III &D solo II cDsolo IIIdD Solo I eD <inguno

::. ;n el sis"e%a de los n)%erosna"urales Cuál es el #alor nu%=ricode la proposici'n 0 RDh

aD / &D cD b-dD - eD <o es"á deGnido

:6. ;n los n)%eros na"urales cuales

de las siguien"es proposiciones soncorrec"as.

Q



ARITMETICA


I. La su%a es una operaci'n quecu%ple con la propiedad declausura.II. La sus"racci'n cu%ple con lapropiedad de clausura.III. ;l %'dulo de la %ul"iplicaci'n es

el cero.IV. Todo n)%ero "iene in#ersoadi"i#o.

aD I &D IJ II cD IJ IIIdD IJ IV eD IIJ IV

1. :e las siguien"es proposiciones+I. ;n"re los n)%eros na"urales 5n7 45n17 eFis"e o"ro n)%ero na"ural.

II. en la (a%ilia de los n)%erosna"urales la operaci'n de di#isi'nes"á "o"al%en"e deGnida.III. La operaci'n de la sus"racci'nes"á "o"al%en"e deGnida en elsis"e%a de los n)%eros en"eros.IV. H a ! RaD aRaD ? RaDa ? 6Son #erdaderas+

aD I 4 II &D II 4 III cD II4 IVdD III 4 IV eD S'lo II

1/. ;n el sis"e%a de los n)%erosna"uralesCuál de las proposiciones es (alsah

I. La operaci'n de la %ul"iplicaci'n

cu%ple con la propiedad de laclausura.II. ;l ele%en"o neu"ro para laadici'n es )nico.III. La sus"racci'n cu%ple con lapropiedad de la clausura.IV. ;l ele%en"o neu"ro en la%ul"iplicaci'n es la unidad.V. La di#isi'n no cu%ple lapropiedad de la cerradura.

aD I &D II

cD IIIdD IV eD I 4 II

10. Indicar cuan"as de las siguien"esproposiciones son (alsas en elsis"e%a de los n)%eros en"eros.

I. ;l ele%en"o neu"ro %ul"iplica"i#oes )nico.II. La operaci'n de la di#isi'n es"á"o"al%en"e deGnida.III. La su%a de cualquier n)%eroen"ero 4 su opues"o adi"i#o esdi(eren"e de cero.VI. La operaci'n de la %ul"iplicaci'ncu%ple con la propiedad de lacerradura.

aD 1 &D - cD 6dD eD /

1@. 3allar la su%a de "odos losn)%eros de dos ci(ras di(eren"es quese puedan (or%ar con las ci(ras %* n*r. Si se sa&e que %nr ?Q

aD 1-- &D 1Q cD

10/dD Q eD 1

1. 3allar la su%a de "res n)%erosna"urales* sa&iendo que la su%a delos dos pri%eros es Q-* del pri%ero 4del "ercero es -61 4 del segundo 4"ercero es 1.

aD -1 &D -0 cD/6dD -6 eD --

1. 3allar la su%a del in#erso%ul"iplica"i#o de 01 con el in#ersoadi"i#o de 0

aD -- &D 0 cD /

dD - eD --

/6



ANITM;TICA


1Q. La su%a de "odos los n)%eros dedos ci(ras que se puedan (or%ar conlas ci(ras 0J 4 1 es+

aD 1/Q &D 1- cD -Q

dD 1Q eD 1Q

-6. ;n una sus"racci'n* la su%a desus "=r%inos de @/. Cuál es el%inuendoh

aD -/ &D cD -

dD -- eD -

-1. La su%a de los "=r%inos de unasus"racci'n es 66* ade%ás elsus"raendo es la quin"a par"e del%inuendo. 3allar la di(erencia.

aD -6 &D 6 cD @66dD -/6 eD /66

--. 3allar la su%a de las ci(ras delco%ple%en"o ari"%="ico de -60@6.

aD -@ &D -QcD -

dD - eD 6

-. :el co%ple%en"o ari"%="ico de-66-066066 de"er%ine lase%ires"a de la %a4or 4 %enor ci(ra.

aD &D /

cD -dD 6 eD 1

-/. 3allar+. ab− cd D

Si+ CA ábcd D ab+ cdaD // &D /0 cD/@dD / eD /

-0. La su%a de los "=r%inos de una

sus"racci'n "o%ados de dos en dosson /J 00J 4 -0/. 3allar el%a4or de los "res "=r%inos.

aD / &D 00 cD

-0/dD -/@ eD /-Q0

-@. Si el C.A. á(a+1)(a+2) D es

igual a / #eces el C.A. ´(2a ) a D

$allar la su%a de las ci(ras del C.A. ´(a−1 )a (a+1) D.

aD 10 &D 1@ cD 1dD 1 eD 1Q

-. ;l produc"o de dos (ac"ores esigual a la unidad* si uno de los(ac"ores es 1nJ en"onces el o"ro(ac"or es+

aD -n &D 6 cD ndD 1 eD bn

-. ;n una %ul"iplicaci'n si seagrega 16 unidades al %ul"iplicador*el produc"o inicial au%en"a en 66.Cuál es el #alor del %ul"iplicandoh

aD -6 &D /6 cD @6dD 6 eD 10

-Q. Si * $allar.

aD 0 &D @ cD dD eD Q

6. 3allar+ a&cdD* si al%ul"iplicar

ábcd por Q* resul"a un n)%ero

que "er%ina en ´bcd 3 .

/1



ARITMETICA


aD -- &D 0 cD1d D- eD -1

1. 3allar la su%a de las ci(ras del

resul"ado de su%ar las ci(ras de 5;7*sa&iendo que+

aD 1/ &D 10 cD1@dD 1 eD n.a.

+R%*LEMAS TI+%

ADMISI%N 6

:. :adas las siguien"esproposiciones para a 4 &* en"erosposi"i#os+ID a X & & W aIID a Y & a W & Z & Y aIID a v & a Y & [ & ?aIVD F W-J X K- Y F W Z -W F Y

Las proposiciones (alsas* son+

aD I 4 II &D II* III 4IV cD solo IdD solo III eD solo II

6. ;n las siguien"es proposicionesescri&ir VD si es #erdadero o D si es(also.I. "odos los n)%eros na"urales "ienen

in#erso adi"i#o.II. en el sis"e%a de los n)%erosna"urales la adici'n cu%ple con lapropiedad cancela"i#a.III. ac?&c K&c? ac* H a*&*c>J es la propiedad con%u"a"i#a.La secuencia correc"a es+

aD &D VcD V dD VV eD VV

;. ;n las siguien"es proporciones

so&re conun"os nu%=ricos* donde represen"a al conun"o de losn)%eros (raccionarios+ID > IID w t ? IIID f w t ?

IVD

w f w ? Al de"er%inar el #alor de #erdad VDo (alsedad D de las siguien"esproposiciones* l secuencia correc"aes+

aD VV &D VV

cD VV dD VV eD VV

9. Si se cu%ple queC" ( ab)

3 ?

ab

2 * donde CA es el

co%ple%en"o ari"%="ico* el #alor dea -&D es+

aD/ &D-cD dD0 eD@

. Sa&iendo queC" ( ábc)

ábc ?

3

2* donde CA es el co%ple%en"o

ari"%="ico de un n)%ero* el #alor de

a&cD* es+

aD &DcD 16 dD@ eD/

5. La su%a de las ci(ras de unn)%ero de 0 ci(ras es -1. 3allar lasu%a de las ci(ras de suco%ple%en"o ari"%="ico.

aD -0 &D 1@cD 1 dD 1 eD 6

/-



ANITM;TICA


. Si la su%a de los 5n7 pri%erosn)%eros na"urales pares es [email protected]ál será la su%a de los 5n7pri%eros n)%eros na"urales

i%paresh

aD 1@ &D 1/cD 10- dD 1@1 eD 1//

. Al su%ar a un n)%ero de ci(rascon el que resul"a al in#er"ir el ordende sus ci(ras* se o&"u#o 1-Q1J pero sien #e de $a&erse su%ado se

$u&iera res"ado* el resul"ado $u&iese"er%inado en * el n)%ero %a4or*es+

aD Q- &D Q@cD Q dD Q0 eD Q/

Q. Si a un n)%ero de dos ci(ras se lein#ier"e el orden de sus ci(ras* seo&"iene un segundo n)%ero que

eFcede en Q unidades al cuádruplodel pri%ero. La di(erencia de es"as -ci(ras* es+

aD/ &D0cD dD eDQ

16. La su%a de los produc"os

parciales de ábc por 1 es 16-*

en"onces el #alor de a&cD es+

aD &D 1cD 10 dD -- eD 16

::. La su%a de los "=r%inos de una%ul"iplicaci'n es 066* si secuadruplica al %ul"iplicando* la su%ade los nue#os "=r%inos de la%ul"iplicaci'n es 1/66* en"onces el#alor del %ul"iplicador es+

aD -06 &D -66

cD 66 dD 106 eD 166

:6. ;n una di#isi'n ineFac"a porde(ec"o*la su%a de sus cua"ro "=r%inos es

/00. Si se %ul"iplica el di#idendo 4 eldi#isor por /* la nue#a su%a de sus"=r%inos es 1. ;l cocien"e de ladi#isi'n* es+

aD -6 &D -0cD 0 dD -Q eD /6

:;. ;n un res"auran"e $a4 ábcen"re #arones* %ueres 4 nios. Si

´bca son #arones* ab son

%ueres 4 & nios* con a6* &6*c6* en"onces el n)%ero depersonas en el res"auran"e es+

aD @0 &D /@cD @0dD 0/ eD -/

1/. cuan"o le (al"a a para ser iguala <:* si+<? 1-@6

? -/@6:? 10aD 1//1 &D 1011cD 1@11dD 111 eD 111

:. Al e(ec"uar+

; ? -Q10* seo&"iene+

aD /6 &D 1@-cD 1Q- dD 1Q6 eD 1/6

:5. Si+ ábc R ćba ?

´mn3 * en"onces uno de los

#alores de ca es+

aD -Q &D Q-

/



ARITMETICA


cD 1 dD Q@ eD /1

:. Si al %ul"iplicando se ledis%inu4e en -* el produc"odis%inu4e en -@ 4 si al %ul"iplicadorse le au%en"a en @* el produc"o

au%en"a en Q@J en"onces elproduc"o original es+

aD -1 &D 1Q@cD -6dD -- eD-@/

1. ;l #alor de la eFpresi'n

∑n=1

20

(2n2−n+4) * es+

aD0@16 &D/601cD@0-6 dD10@6eD@06

1Q. <a4da 4 A&el leen una o&ra deVargas LlosaJ <a4da lee 16 páginasdiarias 4 A&el lee 1 página el 1 dà*- el - dà* el dia 4 as`

sucesi#a%en"e. despu=s de cuan"osdàs coincidirán si e%piean al%is%o "ie%pohaD 10 &D 1- cD 1dD 1Q eD -6

-6. :ado que+

J de"er%inar+

aD 16 &D 16Q cD 16@dD 161 eD 16-

+R%*LEMAS

+R%+UEST%S I

:. Nelacionar correc"a%en"e las

siguien"es proposiciones+

I. ;l ele%en"o neu"ro para lasus"racci'n en los es el cero.II. ;l orden de los (ac"ores no al"erael produc"o* #iene a ser la propiedadcon%u"a"i#a de la adici'n.III. ;l %'dulo de la %ul"iplicaci'n

en"re cualquier n)%ero eFcep"o elceroD es el reciproco de dic$o n)%ero.I<. ;l co%ple%en"o ari"%="ico delco%ple%en"o ari"%="ico de unn)%ero resul"a el %is%o n)%ero.

aD VV &D VV cD VVVdD V eD VV

6. Nelacionar correc"a%en"e las

siguien"es proposiciones+

I. ;l in#erso adi"i#o de un n)%eroes el %is%o n)%ero %ul"iplicado por5b 17.II. ;l uno es el ele%en"oa&sor&en"e de la %ul"iplicaci'n.III. ;l residuo de una di#isi'n algunas#eces es %enor que el di#isor.I<. ;n la di#isi'n ineFac"a el residuo

por de(ec"o %ás el residuo por eFcesoel igual al di#isor.

aD VVVV &D VV cDVVdD VVV eD V

;. 3allar la siguien"e su%a+

aD 15203

(7) &D11387(7)

cD 15103(7) dD

15420(7) eD 151523(7)

9. 3allar la siguien"e su%a+

aD 1014669

&D

1542039

//



ANITM;TICA


cD 2054669

dD

1214569

eD 1114569

. 3allar 5 7* con"es"ar la su%a desus ci(ras+

aD 16 &D 1- cD 1/dD 1@ eD 1

5. 3allar la su%a de las ci(ras delresul"ado de su%ar+

aD -61 &D -60 cD -6dD -6 eD -10

. Nesol#er +

aD &D COD06..-

cD dD COD/60--

eD

. 3allar la su%a+ 0J J 11J . J @6-.aD @666 &D @0/16 cD 0/-66dD 0@66 eD @0/66

G. Nesol#er+ .

aD &D C1-D@O161

cD dD

eD

:H. La su%a de los "=r%inos de unasus"racci'n es 1666* el sus"raendo esla quin"a par"e del %inuendo. 3allar elco%ple%en"o ari"%="ico de ladi(erencia.

aD /66 &D @66 cD 066dD 106 eD /06

::. 3allar la su%a del %inuendo 4 ladi(erencia de una sus"racci'n* cu4asu%a de "=r%inos es 66 4 el%inuendo es el 'c"uplo delsus"raendo.

aD 66 &D 06cD @06dD 06 eD /06

:6. 3allar 5ac7* si+

aD 0 &D @cD 16

dD 10 eD 1-

:;. 3allar el co%ple%en"o ari"%="icodel %a4or n)%ero de cua"ro ci(rasdi(eren"es que eFis"e en &ase oc"al*con"es"ar la su%a de sus ci(ras.

aD @ &D cD

dD 16 eD Q

:9. 3allar 5a&c7* si+CA ábc6

D? -

aD Q &D 16 cD

/0



ARITMETICA


1-dD 11 eD 1/

:. Un n)%ero de cua"ro ci(ras es"al que al res"arle su co%ple%en"oari"%="ico resul"a 0-0@. 3allar la

su%a de sus ci(ras.

aD -6 &D -- cD 1/dD - eD -0

:5. 3allar CACACAQ6DDD

aD Q/ &D QcD

dD 10 eD 1-

:. ;l produc"o de dos n)%eros es-0@. Si al %ul"iplicando se le agrega1 unidades resul"a un produc"o de/6. 3allar la su%a de los n)%eros.

aD 116 &D 110 cD 1-6dD 1- eD 16

:. ;n una %ul"iplicaci'n* si al

%ul"iplicando se le agrega 0 4 al%ul"iplicador se le qui"a 0* en"onces elproduc"o au%en"a en @66. Cual es ladi(erencia del %ul"iplicando 4 del%ul"iplicador.

aD 166 &D 010 cD -0dD @/0 eD 1-0

:G. 3allar * si +

aD 16 &D 11 cD1-dD 10 eD 1@

6H. 3allar la su%a de las ci(ras del

produc"o+ .

aD /0 &D @ cD-

dD / eD Q/

6:. Al di#idirse dos n)%eros seo&"iene 0 de cocien"e 4 -6 de residuo.3allar el %enor* si la su%a de dic$os

n)%eros es @-6.

aD 1-0 &D 106 cD16dD 166 eD -06

66. Si la di(erencia de dos n)%eroses @1* al ser di#ididos se o&"iene 16de cocien"e 4 un residuo %`ni%o.3allar la su%a de dic$os n)%eros.

aD /66 &D -06 cD@06dD //1 eD @/1

6;. Calcule el %enor n)%ero de "resci(ras que al ser di#idido en"re 1- seo&"iene un residuo %áFi%o. Con"es"arla su%a de las ci(ras de dic$o n)%ero.

aD &D 1cD 10dD 1- eD 1@

69. ;n na#idad cier"o n)%ero dea%igos $icieron una colec"a en la cualapor"aron cada uno J 11J 10J.. solesrespec"i#a%en"e* logrando reunir-6066 soles. Cuan"os a%igos (ueronlos que apor"aron.

aD 1-0 &D 11/ cD166dD 10 eD -60

6. 3allar la su%a de las ci(ras delresul"ado de+

aD 1/0 &D 11@ cD10/1

dD -/01 eD 10/

/@



ANITM;TICA


65. 3allar la su%a de "odos losn)%eros

que resul"en de per%u"ar c`clica%en"elas

ci(ras -J /J 0J

aD -66Q &D -666Q cD -066dD -066Q eD 666Q

6. Si la su%a+

Ter%ina en la ci(ra /. calcular la

su%a de las cua"ro )l"i%as ci(ras delresul"ado.

aD -0 &D 10 cD-dD / eD 1Q

6. 3allar 5a&7* si+

aD 1/ &D 10 cD1@dD 1 eD -6

6G. Si + *

ade%ás+ J 3allar

aD @/ &D 1 cD

1-1dD 1// eD /Q

;H. Si el co%ple%en"o ari"%="ico deun nu%eral capic)a de 0 ci(ras es o"ronu%eral capic)a de cua"ro ci(ras*de"er%inar la su%a de las ci(ras delnu%eral de cinco ci(ras.

aD - &D - cD

0dD /- eD /

;:. La su%a de los co%ple%en"osari"%="icos de los "res "=r%inos deuna res"a es 100-. 3allar la su%a delas ci(ras del %inuendo* si "odos los

"=r%inos son de "res ci(ras.

aD 11 &D 1- cD1dD 1/ eD 10

;6. ;l produc"o de un n)%ero de dosci(ras por el %is%o pero con sus ci(rasen orden in#erso es 0/. 3allar la

su%a de sus ci(ras.

aD &D 16cD 10

dD 0 eD 11

;;. Calcular * si+

aD 0/1 &D -/ cD -QQdD 01/ eD 00

;9. Un alu%no "iene que %ul"iplicarun n)%ero por 6J pero se ol#ida deponer el cero a la derec$a del%ul"iplicador por lo que se o&"iene unresul"ado que diGere del #erdadero en001. 3allar dic$o n)%ero.

aD @Q &D 1Q1 cD-1dD -1Q eD 0/

;. 3allar un n)%ero de / ci(ras*sa&iendo que al ser %ul"iplicado por/ se o&"iene co%o su%a de susproduc"os parciales un n)%ero que"er%ina en 00/.

aD -6 &D -- cD -/dD -0 eD -

/



ARITMETICA


;5. 3allar el produc"o "o"al de lasiguien"e %ul"iplicaci'n sa&iendo quela di(erencia de sus produc"osparciales es /0.

aD 16 &D 1/0 cD160dD /@@ eD 1@-

;. ;n una di#isi'n ineFac"a+ seau%en"a 10 unidades al di#idendo 4 0al di#isorJ el cocien"e 4 el residuo no#aràn. Seale lo (also respec"o alcocien"e.

aD ;s i%par. &D ;s n)%eropri%o.cD ;s di#isi&le por . dD <o es 0.eD ;s %a4or que 0.

;. Al di#idir ábc en"re bc se

o&"u#o 11 de cocien"e 4 6 de residuo.

Luego ábc es"á en"re+

aD 66 4 06 &D 06 4Q66cD Q66 4 Q06 dD Q06 4Q6eD Q6 4 QQQ

;G. ;n una di#isi'n ineFac"a la su%adel residuo por de(ec"o %ás el residuo

por eFceso es -/* si el cocien"e es el"riple del residuo por de(ec"o. Cuan"os#alores puede "o%ar el di#idendoh

aD 0 &D @ cD dD eD Q

9H. ;n una di#isi'n ineFac"a alresiduo le (al"an 1 unidades para ser%áFi%o* si el cocien"e es /* $allar el

di#idendo si =s"e es el %enor n)%eroposi&le de / ci(ras. :ar co%o

respues"a la su%a de sus ci(ras.

aD Q &D 16cD 11

dD 1- eD 1

9:. Si al di#idir ábc por ca seo&"u#o de cocien"e 4 /@ de residuoJ4 al di#idirlo por ac se o&"u#o Q de

cocien"e 4 @ de residuo. ;l #alor de laci(ra 5&7 es+

aD 1 &D -cD dD / eD 0

96. 3allar un n)%ero de / ci(ras "alque di#idido por su CA se o&"iene decocien"e 4 - de residuo. :ar co%orespues"a la su%a de sus ci(ras.

aD 1 &D -- cD-/dD -0 eD -

9;. 3allar 5a&c7. Al operar el

produc"o de por -/* cu%ple queel produc"o de sus produc"os parciales

es 9003 .

aD Q &D 1-cD 16

dD 10 eD

99. Si se au%en"a unidades a cadauno de los (ac"ores de una%ul"iplicaci'n cu4o %ul"iplicando es@/* el produc"o au%en"a en 66. Lasu%a de ci(ras del %ul"iplicador es+

aD 1 &D 1 cD1/dD 11 eD 16

9. Al di#idir A en"re j* se o&"u#o elres"o por eFceso 4 de(ec"orespec"i#a%en"e 10 4 1-* Ta%&i=n se

encon"r' un cocien"e por de(ec"o de6. Con"es"ar la su%a de las ci(ras de

/



ANITM;TICA


A.

aD 16 &D 1- cD10dD 1 eD 1/

95. La su%a del di#idendo 4 el di#isoren una di#isi'n es /1 #eces el residuopor de(ec"o 4 la di(erencia de ellos es-0 #eces dic$o residuo. 3allar elcocien"e por eFceso.

aD - &D 0 cD /dD eD Q

9. ;n la di#isi'n en"era de /0 en"re06. Si se %ul"iplica el di#idendo porun en"ero posi"i#o n. Cuál es lacondici'n para que el cocien"e sea -nh

aD n? &D nW cDn≤dD nX eD .:.

9. Cuan"os n)%eros %enores que

66 se pueden di#idir en"re *deando un residuo 16 4 un cocien"e el"riple del residuo.

aD - &D 6 cD1@dD 1 eD 16

+R%*LEMAS

+R%+UEST%S 6

:. 3allar el #alor de a &D si secu%ple+

aD 11 &D 16 cD1-

dD 1 eD 1/

6. Si + * $allara^c &D

aD 16 &D 11 cD

10dD Q eD 1-

;.Si ábcde+ édcba= ´8∗6∗¿ donde

cada ^ es una ci(raJ ade%ás secu%ple + a X & X c X dX e 4

a2+d

2 ? b2 c

3

e2

3allar a^&D.

aD 0- &D 0 cD1dD / eD /6

9. La su%a de los "res "=r%inos deuna res"a es 1-66 4 el sus"raendoes la cuar"a par"e del %inuendo.3allar el co%ple%en"o ari"%="icode la di(erencia.

aD /06 &D 066 cD006dD @06 eD 06

. La su%a de los "res "=r%inos deuna res"a es @ #eces elsus"raendo. Si la di(erencia es /.3allar el %inuendo.

aD @ &D /- cD/dD 01 eD 0

5. Si *

3allar 5aRc7.

aD - &D cD /

dD 0 eD @

/Q



ARITMETICA


. a un n)%ero de "res ci(ras se lesu%a o"ro de "res ci(ras quee%piea en @ 4 el resul"ado es el%is%o n)%ero original pero consus ci(ras dispues"os en ordenin#erso. 3allar la ci(ra de las

decenas del n)%ero original* si lasu%a de sus ci(ras es 1Q.

aD &D 0 cD dD @ eD /

. 3allar 5a & c7* si+

aD 0 &D cD1@dD 1/ eD 1-

G. 3allar un n)%ero de / ci(ras "alque al res"arle el qu`n"uplo de suco%ple%en"o ari"%="ico seo&"enga 1-/@ de resul"ado. :arco%o respues"a la su%a de susci(ras.

aD 10 &D 1@ cD1dD 1 eD -6

:H.La di(erencia en"re losco%ple%en"os ari"%="icos de unn)%ero de "res ci(ras 4 o"ro de deci(ras es /Q. Si la su%a dedic$os n)%eros es 00. indicar eln)%ero %a4or.

aD 0 &D /6 cD0-dD /Q eD /-

::.La di(erencia en"re dos n)%erosde "res ci(ras cada uno es -Q1. Cuál será la di(erencia de losn)%eros que

resul"en de in#er"ir el orden de susci(ras de los n)%eros an"eriores h*

se sa&e que los n)%eros originales"ienen ci(ras signiGca"i#as.

aD &D 16 cD QdD Q@ eD 16

:6.La di(erencia de dos n)%eros es-* su cocien"e es 1 4 su residuoel %ás grande posi&le. 3allar lasu%a de los n)%eros.

aD 1 &D QQ cDQ/dD Q6 eD Q6

:;.Au%en"ando a cada uno de los -

(ac"ores de una %ul"iplicaci'n* elproduc"o au%en"a en @/. 3allarel produc"o original si la di(erenciade los (ac"ores es 0.

aD /Q- &D 01- cD/0dD 066 eD /Q6

:9.Al %ul"iplicar un n)%ero de "res

ci(ras por su co%ple%en"oari"%="ico nos da co%o resul"adoel qu`n"uplo del n)%ero original.3allar =s"e n)%ero 4 dar co%orespues"a la su%a de sus ci(ras.

aD -6 &D - cD-/dD - eD -1

:.3allar 5a&cd7 si+ábcde7∗5= ´7abcde

aD 1 &D 1 cD1QdD -6 eD -1

:5.La di(erencia de dos n)%eros es16 4 su cocien"e es 1- deandoun residuo

que es lo %a4or posi&le. 3allar el

06



ANITM;TICA%a4or de dic$os n)%eros.

aD 116 &D 11@ cD1-dD 16 eD 10

:.Se "ienen "res n)%erosconsecu"i#os* si el cocien"e delproduc"o de es"o "res n)%erosen"re su su%a es 1@. cual es elin"er%edioh

aD @ &D cD

dD Q eD 16

:.Cuan"os n)%eros %enores que/66 pueden ser di#idendo de unadi#isi'n cu4o cocien"e es 1- 4 sures"o es 1/.

aD - &D 1 cD 1dD -6 eD 1/

:G.;n una di#isi'n+ en"re < se

o&"u#o co%o cocien"e 4 un

res"o que es el "riple de .Calcular el %a4or #alor deldi#idendo.

aD QQ &D -- cDQ@Q@dD 11 eD //

6H.3allar J si+

aD 1- &D 1 cD 1/dD 1@ eD 1

6:.3allar un n)%ero de / ci(ras que al

aD -/ &D -1 cD1QdD 10 eD 1

66.Sa&iendo que+

J $allar+aD 1 &D 1/ cD 1QdD -1 eD -0

6;.3allar si+

aD 16- &D cD Q6dD @ eD 1Q

69.Sa&iendo que+

J $allar+aD 16 &D 0 cD -6dD -0 eD Q

6.;n una di#isi'n en"era* el res"o porde(ec"o es el do&le del res"o poreFceso 4 es"e es el do&le delcocien"e. Si la di(erencia de losresiduos es @/J $allar el di#idendo.

aD @1- &D @- cD @1

dD @-- eD @-

65.Al realiar una di#isi'n "an"o porde(ec"o co%o por eFceso seo&"u#o que el produc"o de loscocien"es es 1-. 3alle el di#isor*si el residuo por de(ec"o es%áFi%o 4 el di#idendo es /@6.

aD Q- &D 01- cD /66

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Naturales y Enteros