ESPAD III * TC 1NUMEROS NATURALES Y NMEROS ENTEROS

Tipos de nmerosNATURALES (N) ENTEROS ( Z)NEGATIVOS RACIONALES ( Q ) FRACCIONARIOS REALES ( R )

IRRACIONALES

IMAGINARIOS

COMPLEJOS ( C )

Funcin y utilidad de los nmeros.Los nmeros permiten:

CONTAR Nmeros cardinalesORDENAR Nmeros ordinalesIDENTIFICAR

Y adems....

EXPRESAR MEDIDASMedirCALCULAR Aritmtica

LOS NMEROS NATURALESOrigen de los nmeros naturalesLos nmeros naturales surgen por la necesidad de contar.Tal y como se conocen hoy en da, los nmeros naturales son: 0, 1, 2, 3, 4... Se representan con la letra N.

El sistema de numeracin decimalEs un sistema que sirve para expresar cualquier nmero. En l se utilizan diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9A estas cifras se les llama cifras arbigas, porque fueron introducidas por los rabes. Cada cifra fue elegida segn el nmero de ngulos que tena su grafo original:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

NMEROS ENTEROSUn nmero entero a es menor que otro b, si para pasar del nmero a al nmero b hay que aadirle una o ms unidades.Se escribe a < b

Ejemplo 1

2 < 5Al 2 hay que aadirle 3 unidades para llegar al 5.

Ejemplo 2

- 2 < 3Al - 2 hay que aadirle 5 unidades para llegar al 3.

Un nmero entero a es mayor que otro b, si para pasar del nmero a al nmero b hay que quitarle una o ms unidades.Se escribe a > b

Ejemplo 1

5 > 2 Al 5 hay que quitarle 3 unidades para llegar al 2.

Ejemplo 2

2 > - 3Al 2 hay que quitarle 5 unidades para llegar al - 3.

Ejemplo 3

- 2 > - 5Al - 2 hay que quitarle 3 unidades para llegar al - 5.

USO DE NMEROS ENTEROSUSOS

Hay situaciones que se pueden expresar matemticamente utilizando slo los nmeros naturales.Ejemplos: Edad de una persona, nmero de hijos de una familia, nmero de viviendas en un barrio, etc.

Pero hay otras situaciones en que aparecen cantidades que necesitan un sentido, y que se representan con los nmeros positivos y negativos.Ejemplos:Ganar o perder dinero, tener o deber.Temperatura por encima o por debajo de 0C.Tiempo despus de Cristo o antes de Cristo.Alturas de una vivienda o stanos.El conjunto de nmeros positivos (N, naturales) y nmeros negativos son los nmeros enteros (Z).

LOS NMEROS NEGATIVOSSe expresan con un delanteEjemplo: 5

Los + estn por encima de cero, y los por debajo de cero.Ejemplo: 5 < 0 ; + 7 > 0

El cero no es ni + ni Ejemplo: 0 ; + 0 Mal ; 0 Mal

Cuando se opera con debern ir entre parntesisEjemplo: 5 + ( 3)

Cuando el n es + no se pone signo.Ejemplo: 5 = 5 ; + 9 = 9 ; + 13 = 13

Sumas y diferencias SIN PARNTESISSea la expresin: A = 2 + (-3) + 4 + (-5) + (-6) + 7 + 8 Los parntesis que hay en ella no son tales. Es una manera de indicar que son nmeros enteros negativos.No se pueden poner dos signos seguidos: 2 + - 3

Resolvemos:

Se escriben todos los nmeros aplicando la regla de los signos:

A = 2 3 + 4 5 6 + 7 + 8

Y finalmente se opera de izquierda a derecha; o se suman por un lado todos los positivos y por otro lado todos los negativos, restndose ambas sumas:

A = (2 + 4 + 7 + 8 ) ( 5 + 6) = 21 11 = 10

Otro ejemplo:

Sea la expresin: B = 3 - (-2) + 7 - (-5) + (- 4) + 1 + 8 Resolvemos:

Se escriben todos los nmeros aplicando la regla de los signos:

B = 3 + 2 + 7 + 5 4 + 1 + 8

B = (3 + 2 + 7 + 5 + 1 + 8 ) ( 4) = 26 4 = 22

Sumas y diferencias CON PARNTESISSea la expresin:

A = 2 + ( 3 4 ) + 1 ( - 5 + 6 7 ) Resolvemos:

Se realizan las operaciones que hay dentro de los parntesis:

A = 2 + ( 1) + 1 ( 6)

Y finalmente se opera ya sin parntesis:

A = 2 - 1 + 1 + 6 = 9 1 = 8

Otro ejemplo: Sea la expresin:

B = - 5 + ( 3 + 4 ) + 2 ( - 7 + 6 8 ) Resolvemos:

Se realizan las operaciones que hay dentro de los parntesis:

A = - 5 + (1) + 2 ( 9)

Y finalmente se opera ya sin parntesis:

A = - 5 + 1 + 2 + 9 = 12 5 = 7

MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSPara hallar el producto de dos nmeros enteros:

1.-Se multiplican sus valores absolutos.2.-El resultado es un nmero positivo si los dos nmeros tienen el mismo signo.3.-El resultado es un nmero negativo si los dos nmeros tienen el signo diferente. Regla de los signos de la multiplicacin:

(+) x (+) = (+)(+) x (-) = (-)(-) x (+) = (-)(-) x (-) = (+)

Ejemplos:4 x (-9) = - 36;(-3) x (- 7) = 21

DIVISIN DE NMEROS ENTEROSEn una divisin exacta se cumple siempre:Dividendo = divisor x cociente

Dividir dos nmeros entre s es encontrar un tercer nmero cuyo producto por el divisor nos de el dividendo. Regla de los signos de la multiplicacin:

(+) : (+) = (+)(+) : (-) = (-)(-) : (+) = (-)(-) : (-) = (+)

Ejemplos:36 : (-9) = - 4;(-21) : (- 3) = 7

DIVISIN EXACTA:D =d.c

Si un nmero (D=dividendo) se divide entre otro (d=divisor), se obtiene el cociente (c ).Si el resto es 0 entonces la divisin es exacta.

DIVISIN ENTERA:D=d.c+r

Si hay resto distinto de 0, entonces la divisin es entera.

EJEMPLO DE DIVISIN EXACTA:

Dividendo = divisor x cociente

12 : 6 = 2D =d.c 12 = 6.2

Pues D=12, d=6 y c=2

EJEMPLO DE DIVISIN ENTERA:

Dividendo = divisor x cociente + resto

13 : 5 = 2 y de resto 3D=d.c+r 13 = 5.2 + 3

SACAR FACTOR COMN

Si tenemos 12 + 15 , a veces nos interesa sacar factor comn.12 = 3.415 = 3.5

El 12 y el 15 tienen un factor comn, que es el 3.

Lo extraemos: 12 + 15 = 3.4 + 3.5 = 3.(4+5)

Vemos si es verdad:

12 + 15 = 3.(4+5) , 27 = 3.9 , 27 = 27

La operacin de sacar factor comn es la inversa de aplicar la propiedad distributiva.

JERARQUA EN LAS OPERACIONESCuando hay mezcla de sumas, productos, parntesis, etc

Primero se realizan los PARNTESIS, si les hay.Si hay parntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera.

Segundo las POTENCIAS y RACES, si las hay.

Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.

Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay

Si hay una igualdad en el orden o jerarqua en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

Ejemplo 1

5 + 4 7 2 + 6 =

Todas son sumas o restas, presentan el mismo orden jeraquico.

Operamos de izquierda a derecha:= 5 + 4 7 2 + 6 == 9 7 2 + 6 == 2 2 + 6 == 0 + 6 == 6

Ejemplo 2

8 : 4 . 7 : 2 : 7 =

Todas son productos o divisiones, presentan el mismo orden jerrquico.

Operamos de izquierda a derecha:

= 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = = 2. 7 : 2 : 7 = = 14 : 2 : 7 = = 7 : 7 = = 1

Ejemplo 3

5 + 4.3 7.9 + 40:5 =Hay sumas, restas, productos y divisiones.Primero efectuamos los productos y divisiones de izquierda a derecha:= 5 + 4.3 7.9 + 40:5 == 5 + 12 7.9 + 40:5 == 5 + 12 63 + 40:5 == 5 + 12 63 + 8 =Y despus las sumas y restas de izquierda a derecha:= 5 + 12 63 + 8 == 17 63 + 8 == 46 + 8 == - 38

Ejemplo 4:

5 + 4.(3 7).9 + 40:5 =

Vemos que hay un parntesis. Ser lo primero que efectuemos:= 5 + 4.(-4).9 + 40:5 =

Luego productos y divisiones, de izquierda a derecha:= 5 + (-16).9 + 40:5 == 5 + (-144) + 40:5 == 5 + (-144) + 8 =

Y despus las sumas y restas de izquierda a derecha:= 5 - 144 + 8 == 139 + 8 == - 131

Ejemplo 5:

5 + 4.[3 7.(9 2)] : 4. 5 + 2 =

Vemos que hay un parntesis anidado.5 + 4.[3 7.(9 2)] : 4. 5 + 2 =

Queda:5 + 4.[3 7.7] : 4. 5 + 2 =

En el parntesis que queda hay restas y productos.

Queda:5 + 4.[3 49] : 4. 5 + 2 =5 + 4.[ 46] : 4. 5 + 2 =

Vemos que hay sumas, productos y divisiones.

5 + 4.[ 46] : 4. 5 + 2 =Vemos que hay sumas, productos y divisiones.

Productos y divisiones de izquierdas a derecha, quedando:5 + [ 184] : 4. 5 + 2 =5 + [ 46] . 5 + 2 =

Finalmente las sumas y restas de de izquierdas a derecha, quedando:

5 + [ 230] + 2 =- 225 + 2 =- 223