REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS NÚMEROS NATURALES · REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a

C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas

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REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha

del cero, y con las mismas separaciones, si tuamos de menor a mayor los números

naturales siguientes: 1, 2,

3...

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el Sistema de numeración decimal que fue introducido en Europa por los árabes, en el siglo XI, procedente de la India donde se desarrolló desde el siglo VI a.C.

Tiene dos propiedades:

a) Es decimal porque está formado por diez símbolos o cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

b) Es un sistema de numeración posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que tenga la cifra en ese número.

Unidad de millón

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena Decena Unidad

UMM CM DM UM C D U

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.

SUMA: La suma de números naturales es siempre otro número natural. Los términos de la suma se denominan sumandos y el resultado es la suma RESTA: La resta de números naturales no siempre es otro número natural.

Los términos de la resta se denominan minuendo – sustraendo = resta

Ejemplos: 38 –14 = 24 que también es otro número natural. pero 12 – 15 = –3 que no es un número natural.( es un número entero)

MULTIPLICACIÓN: La multiplicación o producto de dos números naturales es siempre un número natural.

Los números que intervienen se llaman factores y el resultado se llama producto

Una multiplicación se puede interpretar como una suma de sumandos iguales. Ejemplo: 6·4 quiere decir seis veces el cuatro. 6·4 = 4 + 4 + 4+ 4+ 4+ 4 = 24

DIVISIÓN: Al dividir dos números naturales no siempre resulta un número natural

Ejemplo 10 : 2 = 5 que es un número natural 4 : 5 = 0,80 que no es un número natural, sino es un número racional. Los términos de la división son

Dividendo divisor 50 3

resto cociente 5 15

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de todos los números naturales lo simbolizaremos con una N, y son los que sirven para contar y ordenar:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....... …….. ,64, 65, 66, …....... ., .... }


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O P E R A C I O N E S C O M B I N A D A S Para resolver operaciones combinadas hay que seguir un orden:

Operaciones combinadas SIN PARÉNTESIS:

1º) Realizar las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha

2º) Realizar las sumas y restas tal como aparecen de izquierda a derecha

Ejemplo 1 (sin paréntesis) : 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 1 0 : 2 · 3 =

Realizamos primero las multiplicaciones 6 − 5 + 12 − 8 + 15 =

Efectuamos las sumas y restas. = 20

1.- Resuelve : a) 2·3 + 7 = b) 3 + 8·2 = c) 20:4·2 – 6·3:9=

d) 5+10:5–12:3 –1= e) 7 + 3·2– 45:5 + 4 = f) 7· 4 + 35: 7 =

g) 4·5:2 + 9·1 = h) 15: 3·2 – 3·2= i) 10 –10:2 + 15:3 + 4·4=

j) 21:3·4 –2+ 9·4 +12·1 = k) 18 + 3:3·2 – 9·2 – 2 = l) 9·9 – 70 + 2·8 =

Operaciones combinadas CON PARÉNTESIS:

1º) Se eliminan los paréntesis, realizando las operaciones de dentro del mismo.

Ejemplo: 2· (12 − 5 ) + ( 4 +16) : 4 =

Primero las operaciones entre paréntesis 2 · 7 + 20 : 4 =

Realizamos las multiplicaciones y divisiones 14 + 5 =

Efectuamos las sumas y restas. = 19

2.- Resuelve:

a) 12: (3–1)= b) 15·2:(17 – 12)= c) (2·4 + 12)·(6 − 4) = d) 14 – 32:(9·3 – 19) = e) (4+8):3 –2 + (3+5)·3= f) 8 · (13–5 ·2 ) + 6 ·7 : (9–3 )=


3

g) 3·9 + (6+ 5 –3) – 12:4 = h) (3+6):3 + 24:(4+2)= i) 3·(50 – 8·5) + (4·5 –2·7) =

j) 5·(10:2·1) – (20–8):2 = k) 3+5 – 4: (6·3 – 4·4)= l) 23 – 10:5·(37– 4·7) =

Operaciones combinadas CON CORCHETES Y PARÉNTESIS:

Se resuelven primero los paréntesis y luego los corchetes Ejemplo : 4 · [3 + (8 − 2 · 3 ) ] +9 =

1º Operamos los productos y/o cocientes dentro de los paréntesis. 4· [3 + ( 8 − 6 ) ] + 9=

2º Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. 4 · [3 + 2 ] +9=

3º Operamos para quitar corchetes. 4 ·5 + 9 =

4º Efectuamos el resto de operaciones por orden. 20 + 9= 29

. 3.- Resuelve :

a) [30 − (8 − 10 : 2 )] b) 4 + 2·[3 + 2 – (4 – 1)] = c) 2·(15 – 2) – [11 – (7 – 3)] = d) [6 – 3·(5 –3)+ 7]·2+10 = e) 28 : [ 3 + 8 : ( 3 – 1 )] = f) 3+5 · [ (3+2 ·6 :3 )–2 ] = g) 14 – [8 + 2· (5 –2) – 5 – ( 4 – 6:2 )] = h) [15 − (8 −10 : 2 )] · [1 + (3 · 2 − 4 )] − 3 =


4

N Ú M E R OS E N T E R OS

Muchas veces nos resulta necesario utilizar números negativos, por ejemplo en saldos negativos

de cuentas, temperaturas bajo cero, etc.

Los números enteros negativos junto con los enteros positivos (que son los naturales) y el cero forman el

llamado conjunto de los números enteros que

se representa por la letra Z:

Z= { ..., –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .

Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números

negativos: − 1, −2, −3,...

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplos: |−5| = 5 |5| = 5

4.- Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros.: 4 , −9 , −34 , 70 , −1 .

Criterios para ordenar los números enteros:

1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. 4 > 0

3. De dos enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 |10| > |7|

4. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 > −10 |−7| < |−10|

5.- Ordena los siguientes números de menor a mayor usando el símbolo que significa “menor que”:

a) 5, −8, 4, −2, 3, 0, 7, −12 b) −13, 12, − 4, 7, −15, 0 c) −200, −1000 , −30 , −120 ,

6.- Ordena los siguientes números enteros de mayor a menor usando el símbolo correspondiente:

a) 56, − 89 , 54 , −88 , − 55 , − 56 , −90 , 55 , − 54 b) −120 , − 121, − 123 , − 109 , − 119,


5

7.- Escribe el signo < o > entre cada pareja de números a) – 7 . . . .– 2 ; b) – 12 . . . . 20 ; c) 1 . . . .– 3

d) – 8. . . – 11; e) – 1 . . . 4 ; f) 9. . . –9 ; g) 2. . . 6 ; h) i)

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA Y RESTA Cuando se suman o restan dos números enteros,

si los dos tienen el MISMO SIGNO, se suman sus valores absolutos y se pone el signo común

si los dos tienen DISTINTO SIGNO, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor.

8.- Realiza las siguientes operaciones:

a1) 1 + 3 = a2) 1 – 3 = a3) –1 + 3 =

b1) – 1 – 3 = b2) – 4 +3 = b3) – 7 – 2 =

c1) –2 – 1 = c2) – 1 + 4 = c3) –3 + 4 =

d1) 8 + 11 = d2) 20 – 12 = d3) 15 – 10 =

e1) – 3 – 8 = e2) – 7 + 8 = e3) –5 + 4 =

f1) –3 – 5 = f2) – 6 – 3 = f3) 12 + 4 =

g1) 10 – 20 = g2) 9 – 6 = g3) –10+12 =

h1) 16 – 20 = h2) 9 – 11 = h3) –30 + 15 =

i1) –14 + 10 = i2) – 18 + 24 = i3) – 40 + 50 =

j1) – 8+18= j2) 7– 17= j3) 7– 12 =

k1) 5 – 2 + 3= k2) – 3 – 2 +1 = k3) 4 – 4 + 3 =

l1) 1 + 8 – 9 = l2) – 5 + 7 – 4 = l3) – 4 – 6 – 5=

m1) 3 – 8 + 9= m2) 5 + 7 – 2 = m3) 11 – 4 – 8 =

n1) –10 – 20 + 50= n2) 10 – 20 +30 = n3) 10 – 40 + 80 =


6

Cuando un signo menos está delante de un paréntesis, al quitar éste, se cambia de signo a lo que está dentro.

9.- Calcula:

a1) 12 – (+ 6) = a2) 9 + (–11) =

b1) – 8 – (+10) = b2) –25 – (+17) =

c1) – 6 + (–9) = c2) – 5 – (–10) =

d1) 56 – (+ 4) = d2) 34 – (– 10) =

e1) 5 – (– 4) = e2) – 100 + (– 40) =

f1) – 6 – (–9) = f2) 5 + (–10) =

g1) –13 + (– 7) = g2) –3 – (– 17) =

10.- Calcula:

a) – (– 2 + 6) + ( 9 – 4 ) = b) 3 – 4 + 6 – (–2 +1– 5 ) – 7 =

c) – 5 – 4 – (3 + 2) + 1 – (7– 9) = d) – 4 – 3 – [ ( 6 + 5 – 1) + 2 – 7] + 8 =

e) – 22 + [12 – (8 – 14 ) ] + 2 = f) 7 + [– 4– (– 2 – 3) + 5 ] – 1=

g) 15 – [ 4 – (– 6 + 2 ) + 3 ] – 1 = h) 15 – [5+ 7– (– 6–2)] –2 =


7

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

La MULTIPLICACIÓN de dos números enteros sigue las siguientes reglas:

si son del mismo signo, el resultado queda positivo,

si son de distinto signo, el resultado es negativo. Ver el esquema

11.- Calcula:

a1) (+ 2) · (+5) = a2) (– 2) ·(–5) = a3) (–2) · (+ 5) =

b1) (+2) ·(– 5) = b2) (+ 3) · (–4) = b3) (–4) · (+5) =

c1) (+7) · (+4) = c2) (– 6) ·(–5) = c3) (–3) · (– 4) =

d1) (–5) ·(– 3) = d2) (+ 4) · (–5) = d3) (–11) · 2 =

e1) (– 6) · (+ 3) = e2) (– 7) · (+3 )= e3) (+ 3) · (–7) =

f1) (–5) ·(– 8) = f2) (+7) · (+ 8) = f3) (– 8) · (– 9) =

g1) (–6) ·(– 8) = g2) (+7) · (– 6) = g3) (– 6) · (+ 9) =

La DIVISIÓN de dos números enteros tiene las mismas reglas que la

multiplicación:

si son del mismo signo, el resultado es positivo,

si son de distinto signo, el resultado es negativo. Ver el esquema

12.- Calcula:

a1) (+ 6) : (+2) = a2) (+8) : (– 4) = a3) (–16) : 4 =

b1) (–10) : (+2 ) = b2) (+ 3) : (–3) = b3) (+18) : (–2) =

c1) (–16) : (–4) = c2) (– 24) : (+ 4) = c3) (–40) : (+8) =

d1) (+8 ): (+4) = d2) (+18) : (+3) = d3) (–16) : (+4) =

e1) (–20) : 5 = e2) (+ 30 : (–3) = e3) (+18) : (–9) =

f1) (–36) : (–4) = f2) (– 24) : (–8) = f3) (–72) : (+8) =

+ : + = +

: = +

+ : =

: + =

+ · + = +

· = +

+ · =

· + =


8

OPERACIONES COMBINADAS: tienen las mismas reglas que para los números naturales

13.- Calcula:

a) 4 – 8:2 = b) – 3 + 5 ·2 =

c) 28 : 4 ·2 – 2 · 3 = d) 7 + 5·3 – 2 =

e) 10 – 4 9 :7 – 1 · 4 = f) 6 · 4 – 8 ·2 : 4 =

g) 3 9 :3 – 4 · 2 = h) 1 2 :2 · 3 – 4 0 :2 =

i) 2 1 : 3 · 2 + 5 : 5 – 4 · 9 : 1 2 = j ) 7 · 4 : 2 – 4 5 :9 · 7 =

14.- Resuelve:

a) (5 + 4)·2 – 5 ·3 = b) 10 – 2·(8 – 16 : 4) = c ) 14 : ( 2 – 4 ) +7 – ( – 4 ) = d) 2 5 : (7 – 1 4 :7) – 2 · ( 6 – 3 ·2)=

e) ( 64 :8 + 3 ·4) : ( 2 + 2 · 4) = f) ( 54 : 6 – 3 ·2) : 3 =

g) 10 – 2 · (18 – 2 · 5 – 6 : 2 – 8 ) = h) ( 30 :5 – 3 ·8) : 3 –1 0=


9

M ÚLTIPLOS Y D IV ISORES

De cualquier número natural o entero existen múltiplos y divisores

Haremos un repaso de éstos, de las reglas de divisibilidad, de los números primos y compuestos y

de la descomposición en factores primos.

Todo ello para saber calcular el Mínimo Común Múltiplo de varios números para resolver ecuaciones con denominadores

MÚLTIPLOS de un número

Decimos que un número es múltiplo de otro si lo contiene un número entero de veces.

Ejemplo 15 es múltiplo de 5 ya que 15 es tres veces 5

Obtención de múltiplos :

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por todos los números naturales salvo el 0.

Ejemplo: Multiplos de 3 3·1 = 3 3·2 = 6 Mult.(3)={3,6,9,12,.......} 3·3 = 9 3·4 = 12

En el ejemplo anterior el 15 se obtiene al multiplicar 5·3

15.- a) Obtener los diez primeros múltiplos de 4. . . . . . . . . . .

b) ¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 6? 33, 54, 9, 68, 6, 42, 53, 65, 36, 3.

DIVISORES de un número Los divisores de un número natural son aquellos números que se pueden dividir entre él siendo el resto 0.

Ejemplo: “el número 7 es divisor de 364”; ya que al dividir 364 entre 7 el

resto es 0, es decir la división es exacta También se dice que 364 es divisible por 7 Para saber si un número es divisor de otro solo tienes que hacer la división y comprobar si el resto es cero.

Ejemplo: El número 9 no es divisor de 74, o el número 74 no es divisible por 9, ya que el resto de la división no es 0.

Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo.

Ejemplo: Si 15 es múltiplo de 5, entonces 5 es divisor de 15. Cada número tiene una cantidad finita de divisores.

Observa que “un número tiene infinitos múltiplos pero solo unos cuantos divisores- ”.

16.- a) Escribe los divisores de 10 . . . . . . . . . . . . y los múltiplos de 10 . . . . . . . . . . etc.

b) Escribe los divisores de 12 . . . . . . . . . . . . y los múltiplos de 12 . . . . . . . . . . etc.


10

17.- a) Escribe los divisores de 36. . . . . . . . . . b) ¿Cuáles de los siguientes números son divisores de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. c) Un número tiene infinitos múltiplos y solo unos cuantos divisores ¿verdadero o falso? d) Escribe los múltiplos de 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . etc. y los divisores de 8 . . . . . . .

Obtención de divisores: Para calcular los divisores de un número, vamos dividiendo dicho

número entre otros más pequeños o iguales que él. En los casos en que la división resulte exacta,

tanto el cociente como el divisor serán divisores de dicho número.

Ejemplo Divisores de 24: Divisores de 24 son todos los números por los que el 24 es divisible

24: 24 =1 24:12 =2 24: 6 = 4 24: 4 = 6 24: 3 = 8 24: 2 =12 24: 1= 24

Div (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8 12, 24}

R E G L A S D E D I V I S I B I L I D A D :

Son unas reglas que nos permiten averiguar si un número es divisible por otro (el divisor) sin necesidad de efectuar la división. Vamos a ver algunas de estas reglas:

Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.

Ejemplo: 534 y el 430

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplo: el 681 es divisible entre 3 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 1 = 15 y el 15 es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.

Ejemplo: el 675 y el 980

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras del lugar par y la suma de las cifras del lugar impar da 0 o un múltiplo de 11 ( 0, 11, 22 , 33, etc). (La resta se hace en el sentido que sea posible).

Ejemplo: 96.855 es divisible entre 11 ya que si sumamos las cifras de lugar impar 5+8+9=22 y las de lugar par 5+ 6=11 y luego restamos 22–11=11, que es múltiplo de 11.

18.- Aplica los criterios de divisibilidad para averiguar cuáles de los siguientes números:

189 , 2.304, 512 , 172, 3.454 , 72 , 45 , 403 , 24.519 , 29 , 300 , 121 , 35 , 700 .

a) son divisibles por 2 . . . . . . . . . . . . . . . . b) son divisibles por 3 . . . . . . . . . . . . . . . .

c) son divisibles por 5 . . . . . . . . . . . . . . . . d) son divisibles por 11. . . . . . . . e) son primos

19.- Subraya entre estos números los que son divisibles por 3 (sin hacer la división):

111, 246, 2.205, 5.581, 1.234 , 8.621 , 727, 600 , 1.257 , 550 , 237 , 94 .

NÚMEROS PRIMOS Un número primo es aquel que sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

20.- Escribe los números primos menores que 25.


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NÚMEROS COMPUESTOS Un número compuesto es él que posee más de dos divisores. Es decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

Ejemplo: 12, 72, 144.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Descomponer un número en factores primos es expresarlo como una multiplicación en la que todos los factores son números primos. Si algún factor se repite se expresa en forma de potencia.

En la práctica, para descomponer un número compuesto en factores primos, lo dividimos por el menor número primo por el que sea divisible y repetimos este proceso con los cocientes obtenidos hasta llegar a un cociente igual a 1.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes . Ejemplos: 90 2 45 3 15 3 5 5 1

21.- Descompón en factores primos los siguientes números:

a) 30 b) 72 c) 168 d) 198

72 = 168 = 198 =

22.- Descompón en factores primos:

a) 32 b) 180 c) 225 d) 468 e)165

32= . . . . 180 = . . . . 225 = . . . . 468 = . . . . 165 = . . . .

90 = 2 · 32· 5

2.520 = 2

3 · 3

2 · 5

· 7

30= . . . .


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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes. Se representa como: m.c.m.

Ejemplo: Calcular el m.c.m. de 6 y 9. Para ello calculamos los múltiplos 6= {6, 12, 18, 24, 30, 36..... }

9= {9, 18, 27, 36, 45,.......}

Los múltiplos comunes son el 18 y el 36, pero elegiremos el menor, luego el m.c.m. (6,9) = 18

Cálculo del Mínimo Común Múltiplo

Ejemplos: Calcular el m.c.m. de 18 y 20.

Hacemos la descomposición factorial: 18 2 20 2 9 3 10 2 3 3 5 5 1 1

18 = 2·32 20 = 22·5 El m.c.m.(18, 20) = 22·32·5 = 180

23.- Calcula el mínimo común múltiplo de:

a) 9 y 12 b) 4 y 20 c) 6 y 10

d) 12 y 16 e) 12 y 36 f) 6 , 9, 24 g) 4 , 12 , 15 h) 4, 8 y 28 i) 60 y 72

En la práctica, para obtener el m.c.m.

1º se descompone en factores primos cada número

2º Se escogen los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente

y se multiplican entre sí.


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Clasificación de los números que hemos estudiado hasta ahora:

Los números naturales se representan por N y son N= { 1,2,3,4,5 , . . . . }

Los números enteros se representan por Z y son: Z= { ., -4, -3, -2, -1 , 0, +1, +2,+ 3, +4, +5 ,. . }

(Los números enteros contienen a los naturales)

Los números racionales son los que estudiaremos a continuación

L O S N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

Hay muchas ocasiones en la vida diaria en las que se utilizan los números fraccionarios, así cuando

decimos: “Medio litro de agua” (2

1), “Tres cuartos de kilo de carne” (

4

3), “Un cuarto de hora” (

4

1)

Los números racionales se representan por Q y son los números que se pueden expresar en

forma de una fracción y que pueden ser enteros o decimales

Por ejemplo: 42

8 es entero ; 75,0

4

3 es decimal

Por tanto los números racionales contienen a los enteros

Una fracción es una forma de expresar un cociente. Si realizamos la división entre numerador y denominador obtendremos un número entero o decimal

1.- Dados los siguientes números racionales indica (hallando su valor) cuáles son enteros y cuáles decimales

a) 2

7 . . . . . . . . b)

6

3 . . . . . . . . . c)

3

12 . . . . . . . . d)

5

25 . . . . . . .

e) 5

32 . . . . . . . f)

1

40

. . . . . . . g)

10

4 . . . . . . . h)

8

5 . . . . . . .

En el Tema siguiente estudiaremos los números decimales y además aprenderemos a

expresarlos en forma de fracción


14

LAS FRACCIONES

Una fracción es una expresión del tipo b

a en la que a y b son números naturales llamados

a numerador b denominador

Lectura de fracciones

Numerador: se lee el número que figura en él.

Denominador: Si es 2 se lee medios 3 tercios , 4 cuartos, 5 quintos,

6 sextos , 7 séptimos, 8 octavos , 9 novenos , 10 décimos,

Si es mayor que 10 se lee el número añadiendo la terminación “avos”. ( onceavos, doceavos treceavos,etc.)

2.- Escribe la fracción correspondiente:

Tres octavos Siete medios Cuatro novenos Cinco tercios

Nueve octavos Un quinto Ocho cuartos Un décimo

Siete onceavos Seis doceavos Ocho medios Dos sextos

3.- Lee las siguientes fracciones

2

5

7

3

3

15

8

5

13

11

SIGNIFICADO DE UNA FRACCIÓN Una fracción es el resultado de dividir la unidad en partes iguales y tomar varias de esas partes.

En la fracción b

a

b el denominador: indica el número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo.

a numerador: indica el número de partes que se toman

Representación gráfica y Representación en la recta numérica

Ejemplo: Se han comido los 4

3 de un queque (las tres cuartas partes).

Significado si dividimos el queque en cuatro partes, se han comido tres

Representación gráfica

Además de la representación gráfica se puede representar la fracción en la recta numérica

Representación en la recta numérica fíjate en los ejemplos que hay a continuación

NUMERADOR:

Las partes que se toman.

DENOMINADOR:

Las partes en que se divide el todo o la unidad.

Tres cuartas partes o 3/4

b

a


15

Ejemplos:

4.- Escribe el significado e indica la representación gráfica en los siguientes casos

a) Un depósito contiene 3

1 de gasolina.

Significado Si dividimos el depósito en . . . . partes iguales, la gasolina llena . . . . de las partes


Representación en la recta

b) He recorrido los 5

3 del trayecto

Significado Si dividimos el trayecto en . . . . . .



c) Se han comido 4

5 de pizzas

Significado



5.- Completa el significado de cada fracción y represéntala

2

1 Dividimos la unidad en . . . partes iguales y tomamos . . .

3


5


0 1

0 1

0 1


16

Tipos de fracciones Una fracción puede ser:

• Menor que uno si el numerador es menor que el denominador: Fracción PROPIA • Igual a uno si el numerador es igual que el denominador. Fracción UNIDAD • Mayor que uno si el numerador es mayor que el denominador. Fracción IMPROPIA

FRACCIONES EQUIVALENTES Fracciones equivalentes son las fracciones que representan la misma cantidad.

Y podemos escribir 12

3

4

1

Si dos fracciones son equivalentes, los productos de los términos en cruz son iguales.

Dos fracciones b

a y

d

cson equivalentes si se cumple

8.- Escribe los términos que faltan para que las siguientes parejas de fracciones sean equivalentes.

a) 4

3 =

...

21 ; b)

5

.... =

45

27 ; c)

...

9

4

3 ; d)

18

10 =

9

... ; e)

...

14 =

5

7

f) 10

13 =

100

... ; g)

...

3

24

18 ; h)

...

64

3

8 i)

45

24

15

... j)

4

7

...

49

9- Averigua qué parejas de fracciones son equivalentes;

a) 3

2 y

15

10 b)

6

7 y

4

5 c)

12

8 y

23

16 d)

9

15 y

3

5

e) 6

4 y

12

8 f)

4

15 y

2

7 g)

45

63y

5

7 h)

8

6 y

49

36

Obtención de fracciones equivalentes

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

Para obtener una fracción equivalente a otra dada nos basta con multiplicar o dividir el numerador

y el denominador por el mismo número.

Ejemplo: 4

1y

12

3son fracciones equivalentes

12

3

4

1

a · d = b · c


17

Por ejemplo, las tres fracciones 12

4

3

1

6

2 son equivalentes como puedes observar con su

representación y se pueden obtener unas de otras multiplicando o dividiendo numerador y denominador

por el mismo número

: 4 x 2

12

4

3

1 6

2

: 4 x 2

10 .- Escribe 2 fracciones equivalente a cada una de las siguientes:

a) 6

10 b)

9

12 c)

7

1 d)

3

4 e)

8

10

11.- Escribe una fracción equivalente con los términos menores y otra con los términos mayores

a) 8

12 b)

20

10 c)

6

9 d)

15

9 e)

8

6

12.- Completa los numeradores o denominadores de las fracciones equivalentes siguientes:

a) ...

...

3630...

4

...

3

6

2

3

1 b)

5

2

...

...

45...

8

10

...

...

6

...

10

OPERACIONES CON FRACCIONES :

SUMA y RESTA

Suma y Resta de fracciones con el MISMO DENOMINADOR. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador: Ejemplo: 1º) Se coloca el mismo denominador. 2º) Se suman o se restan los numeradores.

3º) Se simplifica si se puede

5

7

5

2

5

5

72 =

5

9


18

16.- Realiza las siguientes sumas y restas. Simplifica el resultado, es decir escríbelo como fracción irreducible.

a) 5

2 +

5

13= b)

4

2 +

4

1= c)

8

3 +

8

2 –

8

1=

d) 6

7 –

6

5 = e)

15

60 –

15

35 = f)

21

13 –

21

7 =

17.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de fracción irreducible.

a) 20

23 –

20

8

20

7 = b)

15

17

15

15 –

15

4

15

7 =

c)

5

4

5

7

5

13

5

15= d)

4

9

4

2

4

5

4

7

4

23=

Suma y Resta de fracciones con DISTINTO DENOMINADOR.

Pasos a seguir: Ejemplo:

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores

- Cada denominador hay que descomponerlo en factores primos

- Se eligen los factores comunes elevados al mayor exponente y los no comunes

20:10=2 20:4=5

a) 3 b)3/4 c) 1/2

d) 1/3 e) 5/3 f) 2/7

a) 2/5 b) 7/5

c) 1 d) 5/2

4

6

10

3

10 2 4 2 5 5 2 2 1 1

10= 2·5 4=22 m.c.m.(4,10)= 22·5= 20

20

6·53·2

20

1º) Hay que reducir las fracciones a denominador común

que es el mínimo común múltiplo

2º) Se divide el denominador común, (m.c.m) por cada denominador del enunciado y lo que da se multiplica por el numerador correspondiente.


19

10

3 +

4

6 =

20

10

3 +

4

6 =

20

6

4

6 =

20

306 =

20

36 = (Después de simplificar ) =

5

9

10

3+

18.- Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 6

1

4

10 b)

12

4

8

6

c) 9

6

3

7 d)

5

2

6

5

e) 10

4

6

2 f)

7

2

5

3

3º) Se suman o se restan los numeradores de las fracciones obtenidas

y se deja el denominador común.

4º) Se simplifica si se puede

20

306 =

20

36

:

x

:

5

9

20

36=

10

18=

=

=

x


20

g) 6

1

3

7 h)

9

8

4

5

i) 9

4

6

3

8

2 j)

5

1

15

3

20

7

k) 10

3

8

62 l)

8

3

5

2

2

1

19.- Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible

a) 4

3+

2

1+

8

5= b)

9

7–

3

1+

6

5=

c) 6

7–

3

2 + 2 = d)

5

4–

10

3+

8

6=

e) 5

3+

20

13+

10

7= f)

15

13+ 5

30

24 =

a )8/3 ; b) 5/12

c) 3 ; d) 13/30

e) 11/15 ; f) 31/35

g) 13/6 ; h) 13/36

i) 11/36 ; j) 7/20 ;

k) 31/20 ; l) 21/40


21

g) 12

13–

18

17= h)

12

6+

9

8+

6

5=

i) 9

6–

9

1–

3

2= j)

10

4+

5

1

10

8=

MULTIPLICACIÓN de f racciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo:

- numerador es el producto de los numeradores.

- denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo 1: 5

3 ·

7

2 =

75

23

=

35

6

Ejemplo 2: 10

3 ·7 =

10

73 =

10

21

Al multiplicar hay que tener en cuenta las reglas de los signos:

- si se multiplican dos fracciones del mismo signo, el resultado queda positivo,

- si son de distinto signo, el resultado es negativo. Ver el esquema

20.- Realiza las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 2 · 5

3 = b)

2

7· 4 = c) 3 ·

6

5 =

d) 7

4·

4

7 = e) 9 ·

12

5 = f)

4

3·

3

2 · 6 =

g) 10

3

4

5 h)

5

3

7

2 i)

3

2

6

5

a) 15/8 b) 23/18

c) 5/2 d) 5/4

e) 39/20 f) -10/3

g) 5/36 h) 20/9

i) -1/9 j) -1/5

Para multiplicar una fracción por un número entero:

Se multiplica el numerador por el número entero. Se pone el mismo denominador

db

ca

d

c

b

a

·

··

+ · + = +

· = +

+ · – =

· + =


22

j)

4

1

3

2

k) 4·

2

1·

5

3

l)

7

4.

6

1

m)

3

2

5

3

4

1 n)

10

5

3

5

2 ñ)

3

2

7

4

Fracción inversa Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.

8

5 y

5

8 son fracciones inversas porque

8

5·

5

8 =

40

40 = 1

21.- Escribe las fracciones inversas de:

a) 5

2 b)

4

3 c)

9

7 d)

13

1 e) 6

DIVISIÓN de f racc iones

Para hallar el cociente de dos fracciones hay dos métodos:

Multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

o

Multiplicar en cruz, es decir multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda,

siendo el producto el nuevo numerador.

Luego multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo

denominador. Después si podemos se simplifica.

5

3 :

7

4 =

5

3·

4

7 =

20

21

Al dividir hay que tener en cuenta las reglas de los signos:

22.- Calcula los siguientes cocientes y expresa los resultados en forma de fracción irreducible.

a) 6

5:

3

2 = b)

21

10 :

3

2 = c) 10 :

3

4 =

d) 10

9 :

5

3 = e)

4

1 :

3

1 = f)

35

6 :

5

3 =

a) 6/5 b) 14

c) 5/2 d) 1

e) 15/4 f) 3

g)3/8 h) 6/35

i) 5/9 j) -1/6

k)-6/5 l) 2/21

m) 1/10 n) -12/5

ñ) -8/21

5

3 :

7

4 =

5

3·

4

7 =

20

21

cb

da

d

c

b

a

·

·:

+ : + = +

: = +

+ : =

: + =


23

g) 12

8:

5

4 h)

5

2:

6

4 i) 3:

3

2

j) 2:6

5 k) 10:

3

5 l)

4

3:

5

2

m)

5

3:

7

2= n)

4

1:

3

1 = ñ)

4

5:

2

5

o)

5

3:

3

2 p)

2

5:

3

1 q)

3

4:5

r) 9

3:5 s) 5:

7

1

=

OPERACIONES COMBINADAS con fracciones.

Se siguen los mismos pasos que para los Números Naturales o Enteros:

1º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones.

(si son seguidas se sigue el orden en el que están)

2º Se realizan las sumas y las restas

3º Se simplifica si se puede

23.- Resuelve, paso a paso, estas operaciones y simplifica el resultado.

a) 3

8

5

1

3

1 .b)

8

2

3

1:

6

3

c) 5

25:

2

3

2

1 = d)

7

5

2

12:

7

15

2

3·

4

7:

2

1 =

a) 5/4 b) 5/7 c)15/2

d) 3/2 e)3/4 f) 2/7

g)6/5 h) 5/3 i) 2/9

j) 5/12 k) 1/6 l) 8/15

m) -21/10 n) - ¾ ñ) 2

o)10/9 p) -2/15 q) -15/4

r) 15 s) 1/35

5

3

2

5

4

3

10

15

4

3

20

3015

20

45=

4

9

Cálculo mcm (4,10)

4=22

10=2·5

mcm(4,10)= 22·5= 20


24

e) 6

1

3

4

2

1

5

2 f)

2

1:

5

2

6

1:

3

2 =

g) 3

2

2

1

6

1

8

5 h)

2

1:

5

2

3

4

2

3

i) 6

5

2

1

9

4 j)

2

3

5

1

2

5:

3

1

k) 15

7+

10

9

2

3:

4

5 =

CON PARÉNTESIS 1º Las operaciones que están entre paréntesis.

2º Las multiplicaciones y las divisiones.

3º Se realizan las sumas y las restas

4º Se simplifica si se puede 24

22 12

11

24.- Resuelve, paso a paso, estas operaciones y si es posible simplifica el resultado.

a)

4

3+

6

5·

3

1 = b)

4

3+

12

7–

8

5:

3

2 =

a) 13/15 b) 5/4

c) 11/20 d) -1

e) 9/10 f) 16/5

g) 29/24 h) 13/30

i) 19/18 j) – 1/6

k) 1/6

Ejemplo:

2

1+

3

2 ·

8

1+

4

2

2

1+

3

2 ·

8

41 =

2

1+

8

5

3

2

24

10

2

1

24

1012

24

22

Cálculo mcm (4,8)

4=22

8=23

mcm(4,8)= 23·=8

Cálculo mcm (2,24)

2=2

24=23·3

mcm(2,24)= 23·3=24


25

c)

3

4

9

11:

3

4 = d)

5

7+

10

9–

2

3 :

3

5 =

e) 2

3·

15

8

5

3 = f)

3

1

6

5

4

3

g) 3

4:

4

5–

6

2 = h)

3

5

4

2

3

72:

5

1

i) 5

3:

10

3

2

1

3

2:

5

4

Otra forma de expresar operaciones entre fracciones es mediante la raya de fracción que indica división

Ejemplo:

3

1

6

5:

4

1

2

3= es lo mismo que escribir

3

1

6

54

1

2

3

Resolución: Se multiplican entre sí los extremos formando el numerador; Y se multiplican entre sí los medios formando el denominador

3

1

6

54

1

2

3

6

254

16

6

34

7

= 6

21

12

42

3·4

6·7 =

2

7

simplificación 25.- Resuelve paso a paso y expresa el resultado como fracción irreducible.

a)

2

13

3

1

4

3

b)

6

5

3

73

4

2

1

a) 19/36 b) 17/16

c) -1/12 d) 12/25

e) 1/10 f) 3/8

g) 16/11 h) 6/25

i) 1/2


26

c)

2

1·

3

54

3

2

1

d)

2

1

8

33

2

e)

14

3·

5

43

2

f)

4

12

3

1

4

31

g)

4

3·22:

3

15

41

5

2

= h)

4:3

2

3

1

3

4

2

11

PROBLEMAS CON FRACCIONES

- La Fracción como parte de la unidad Consideraremos dos tipos de problemas: - La Fracción como operador

La fracción como PARTE de la UNIDAD

Una fracción puede expresar un valor con respecto a un total que llamamos unidad.

En este caso el denominador representa el número de partes iguales en que dividimos la unidad,

y el numerador el número de partes que se toman.

Ejemplo: Nos comemos las 4

3 partes de un queque.

▪ Significa que si dividimos el queque en cuatro partes, nos vamos a comer tres ▪ Se representa así:

▪ El queque completo equivale a 4

4 que es la unidad

▪ Lo que no hemos comido representa el resto es decir 4

4

4

3=

4

1

a) 1/6 b) 4/9

c) -3/10 d) -16/3

e) 5/12 f) -1/3

g) 3/25 h) -10


27

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

261.- Un depósito contiene 3

2 de gasolina. Representación

a) ¿Qué fracción equivale a todo el depósito? . . . . . .

b) ¿Qué fracción del depósito está vacía? (Escribe la operación) . . . . .

262 .- He recorrido los 5

3 del trayecto. Representación

a) ¿Qué fracción equivale a todo el trayecto? . . . . .

b) ¿Qué fracción del trayecto aún no ha sido recorrida? (Escribe la operación) . . . .

263.- Escribe debajo de cada figura la fracción que se pregunta.

- Fracción zona oscura . . . . . . . . . . . . . . . .

- Fracción que equivale a todo . . . . . . . . . . . . . . . .

- Fracción que equivale al resto (zona clara) . . . . . . . . . . . . . . . .

264.- Un niño bebió de un sorbo6

1 de agua de una botella y en otro sorbo

5

1

a) ¿Cuánto bebió entre los dos sorbos?

b)¿Cuánto queda en la botella? { a)11/30 ; b)19/30 }

265.- A Juan le dieron 3

1 de pastel y a Montse

9

2. ¿Cuánto comieron entre los dos? { 5/9 }

266.- Marta ha comprado 8

5 de una empanada y Luis

8

2

a) ¿Qué fracción de empanada ha comprado Marta más que Luis?

b) ¿Qué fracción de empanada han comprado entre los dos? {a) 3/8 ; b) 7/8 }

267.- Ayer llené el depósito de gasolina y a continuación hice dos viajes: en el primero gasté 9

2 de

la capacidad del tanque y en el segundo viaje 6

1.

a) ¿Qué fracción total del tanque gasté en los dos viajes?

b) ¿Qué fracción me queda? { a) 7/18 ; b) 11/18 }


28

268.- Andrés se comió 5

1de los bombones de una caja y Carmen

2

1 de la misma.

a) ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?

b) ¿Qué parte queda sin comer en la caja? { a)7/10 ; b) 3/10 }

269.- Un ciclista ha recorrido 10

3 de un trayecto por la mañana y por la tarde

4

1.

¿Qué parte del trayecto le falta por recorrer? { 9/20}

2610.- La suma de dos fracciones es 18

15. Si una de ellas es

6

1 ¿Cuál es la otra? { 2/3}

2611.- ¿Cuánto le falta a 4

3 para valer

3

5? { 11/12}

2612.- Los ingresos de una comunidad de vecinos se gastan de la siguiente manera: 6

1 en electricidad,

5

2 en mantenimiento del edificio,

10

1 en la recogida de basuras y el resto se emplea en limpieza.

¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? { 1/3}

La fracción COMO OPERADOR

El uso de las fracciones en la vida real suele ser el tomar de un número la parte que la fracción nos indica.

Entonces la fracción se dice que funciona como operador, ya que opera sobre una cantidad y la transforma

y se puede leer como "la fracción del número".

Ejemplo 1: Tengo 15 € y me gasto las 5

2 partes ¿Cuánto dinero gasto?

Aquí el todo son los 15 € , los cuales tengo que dividir entre 5 partes y tomar 2 de esas partes. 15 : 5 = 3 3 · 2 = 6 €

Hallar los 155

2de es la operación €6

5

30

5

15·215·

5

2

Cuando una fracción va seguida de la preposición “de” y de una cantidad o de otra fracción, esa preposición “de” indica la multiplicación.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.


29

27.- Calcula:

a) 5

4 de 50 = . . . . . . b)

3

2 de 18 = . . . . . . c)

7

2 de 35= . . . . . .

d) 12

7 de 60 = e)

3

1 de

5

3= . . . . . f) La mitad de la mitad

g) 2

1 de

5

3= h) La mitad de

4

1= i)

3

2 de

8

6=

{ a) 40 ; b) 12 ; c) 10 ; d) 35 ; e) 1/5 ; f) 1/4 ; g) 3/10 ; h) 1/8 ; i) 1/2 }

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

Ejemplo 2: He comprado unos patines por 85 € , de los cuales pagué al contado los 5

4

a) ¿Cuántos euros entregué al contado?

b) ¿Cuánto me queda por pagar?

281.- En una merienda se sirvieron 63 bocadillos y se comieron los cinco novenos..

a) ¿Cuántos bocadillos se comieron?

b) ¿Cuántos sobraron? { a) 35 ; b) 28 }

282.- Si en una compra nos gastamos 5

3 de 150 €.

a) ¿Cuánto nos gastamos?

b) ¿Cuánto nos sobró? { a) 90 € ; 60 € }

283.- Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 15

7del total, el segundo

12

5

del total y el tercero el resto.

a) ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

b) ¿Qué fracción corresponde a lo que se lleva el tercer hermano? { a) 56 , 50 y 14 € ; b) 7/60 }

Solución a) €685

340

5

85·485·

5

4

Solución b) Lo podemos resolver de dos formas:

Iª) Hallando la diferencia entre el coste total y lo que pagué 85 – 68 = 17 €

IIª) Sabiendo que lo que me queda por pagar es 5

1 , hallo

5

1 de 85 €17

5

8585·

5

1


30

284.- Se han construido los 8

5de la Variante del Norte. Sabiendo que la variante tiene una longitud

total de 16 km, calcula los kilómetros que quedan por construir. { 6 km }

285.- De un trozo de alambre de 60 metros, se han cortado los 4

3. ¿Cuánto mide el trozo sobrante? { 15 m }

286.- En un grupo de personas mayores hay 32 personas y tres octavos de ellos saben bailar isas y folías.

¿Cuántas personas no saben bailar isas y folías?. { 20 personas }

287.- Al tostarse el café pierde un quinto de su peso. Un comerciante tiene 80 kg. de café verde.

¿Cuánto café le queda después de tostarlo? { 64 kg }

FRACCIÓN DE OTRA FRACCIÓN

Ejemplo: Laura gasta 5

2 de su sueldo en pagar el alquiler y

7

4 de lo que queda en el supermercado.

El resto lo ahorra. ¿Qué fracción corresponde a lo que ahorra?

Solución: Laura gasta en alquiler 5

2; Después de pagar el alquiler le quedan:

5

5

5

2=

5

3

Gasto en el supermercado: los7

4 de

5

3 son:

7

4·

5

3=

35

12

Gastos totales : 35

1214

35

12

5

2 =

35

26 (fracción del sueldo que gasta)

Quedan: 35

26

35

35 =

35

9 fracción del sueldo que ahorra

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

291.- Jacinto se come los 5

2 de una tarta y Pepita

2

1 del resto.

a) ¿Qué fracción se ha comido Pepita?

b) ¿Qué fracción de tarta queda para que se la coman otros? { a) 3/10 b) 3/10 }


31

292.- María va de compras con 180 €. Se gasta 5

2 de esa cantidad en ropa y

4

1 de lo que le queda en

comida.

a) ¿Cuánto dinero gasta en ropa y en comida

b) ¿Qué fracción corresponde al dinero que le queda y cuánto es? { a) 72 € en ropa; 27 € en comida ; b) 9/20 ; 81€ }

293.- Berta realiza un viaje de 480 Km por etapas. El primer día recorre 8

3 del camino, el segundo día

5

2

de lo que recorrió el primer día .

a) ¿Qué fracción le corresponde al camino que le queda por recorrer?

b)¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?

{ a) 19/40; b) 228 km }

La fracción como razón Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.

Así por ejemplo, cuando decimos que la proporción entre chicas y chicos en el Instituto es de 2 a 3,

estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son

chicos y 2 son chicas. La fracción de chicas es 5

2

38.- Hallar la fracción que se pide en cada apartado:

a) Si un curso está compuesto por 22 hombres y 16 mujeres. Halla la fracción que representa el número de hombres del curso. . . . . . .

b) ¿Qué fracción de un siglo son 40 años? . . . . .

c) ¿Qué fracción de día representa el trabajo de un obrero durante 8 horas diarias? . . . . .

d) En un curso de 45 alumnos, 25 practican baloncesto. ¿Qué fracción representa a los que no practican ese deporte? . . . . .

e) Un matrimonio decide pasar su luna de miel en Maspalomas durante 4 días. ¿Cuál es la fracción de semana que duró su luna de miel? . . . . . .

f) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde? . . . . .

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.


32

Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos

no son más que la relación que se establece entre un número y 100.

39.- Escribe en forma de fracción:

a) 50% b) 25% c) 20 %

d) 15 % e) 5 % f) 9 %

g) 22 % h) 18 % i) 40 %

CONSEJOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS:

• Lee atentamente el enunciado del problema. Si lo haces más de una vez mejor.

• Fíjate qué es lo que te pide que calcules.

• Mira los datos con los que cuentas.

• Haz un esquema o dibujo del problema.

• Decide las operaciones que debes realizar hasta llegar al resultado.

• Resuélvelo con orden.

• Pon las unidades en el resultado, es decir de qué cosa se trata.( €, litros, metros, etc. )

• Observa el resultado, mira si es un resultado lógico o no. (Puede ser que en algo te hayas confundido).

Números decimales son aquellos números cuyas cifras estén separadas por una coma.

Las cifras a la izquierda de la coma corresponden a la parte entera del número, mientras que las cifras

a la derecha de la coma son la parte decimal.

Los números decimales son necesarios para expresar cantidades cuyo

valor es mayor que un número entero dado, pero menor que el número

entero siguiente.

Por eso aparecen en múltiples ocasiones en la vida diaria, como por ejemplo al manejar moneda

fraccionaria o al efectuar cualquier medida.

Ejemplo 2,25 € 2 euros y 25 céntimos 2 < 2,25 < 3

Ejemplo:

372,25

parte entera parte decimal


33

Nombre y valor de las cifras decimales Al igual que en la parte entera, en la parte decimal el valor de cada cifra depende de la posición que

ocupa respecto a la unidad.

Si tomamos el número 125,255942 vemos que está compuesto de:

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

1 2 5 , 2 5 5 9 4 2 unidad

de millar

UM

Centena

C

Decena

D

Unidad

U

,

décima

d

centésima

c

milésima

m

diezmilésima

dm

cienmilésima

cm

millonésima

mm

ACTIVIDADES

1.- Descomponer los números siguientes (en centenas, decenas, unidades,.décimas, centésimas, ...) utilizando las abreviaturas.(UM, C, D , U , d , c , m , dm , cm , mm) ( leer solo los números distintos de 0) a) 5,27 5 U 2d 7 c b) 0,4 c) 5,08 d) 0,007 e) 0,05178 f) 7,8359

g) 539,0004 h) 20,5037 i) 0,49053 j) 1269,87 k) 2014,938 l) 0,057

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

En general, podemos comparar dos posiciones cualesquiera, no importa si pertenecen a la

parte entera o decimal. Si pasamos de una posición a otra menor, tendremos que multiplicar por 10 tantas

veces como sea preciso.

1 unidad = 10 décimas 1 unidad = 100 centésimas 1 unidad= 1000 milésimas etc.

A la inversa, para pasar de una posición a otra mayor tendremos que dividir sucesivamente entre 10.

Por ejemplo: 1 décima son 0,1 unidades; 3 centésimas son 0,03 unidades; 50 centésimas son 0,5 unidades

2.- a) Observa la tabla y contesta

D U , d c m dm cm mm

A) 1

B) 4 0

C) 2 0 0

D) 3

c1)

c2)

c3)

c4)

b) Escribe los números correspondientes a cada uno de los apartados anteriores

A) . . . . B) . . . C) . . . . D) . . . .

A) ¿Cuántas milésimas hacen una décima? B) Cuántas centésimas hay en 40 milésimas? C) ¿Cuántas centésimas hay en 200 diezmilésimas ? . . . . . .

¿Y cuántas milésimas? . . . . . . .

D) ¿Cuántas millonésimas hay en 3 milésimas?


34

c) Coloca en la tabla e indica cómo se escriben los número que están formados por

c1) 2036 milésimas . . . . c2) 4 diezmilésimas . . . . c3) 80 décimas . . . . c4) 4570 milésimas . . . .

Lectura de números decimales

Por ejemplo para el número 256, 859

1º Leemos la parte entera: 256 unidades. Añadimos la conjunción “y ”

2º Leemos la parte decimal dándole el nombre de la posición de la última cifra decimal 859 milésimas

Los ceros que aparecen al final de la parte decimal de un número pueden suprimirse, tanto a la hora de

escribirlo, como a la hora de nombrarlo:

3,4 = 3,40 = 3,400 porque 4 décimas = 40 centésimas = 400 milésimas

El número Se lee El número Se lee

0,3 3 décimas 0,005 5 milésimas

74,58 74 unidades y 58 centésimas 0,0032 32 diezmilésimas

3.- Escribe con cifras:

a) 3 unidades y 4 décimas . . . . . . b) 6 unidades y 8 centésimas . . . . . c) 8 décimas . . . . . d) 12 unidades y 25 centésimas. . . . . e) 1 unidad y 31 milésimas . . . . . f) 2 centésimas . . . . g) 5 unidades y 14 milésimas . . . . . h) 75 milésimas . . . . . . i) 3 milésimas . . . . . j) 47 centésimas . . . . . k) 39 milésimas . . . . . l) 183 diezmilésimas . .

m) 432 diezmilésimas n) 4593 cienmilésimas ñ) 5 unidades y 5 milésimas o) 58 millonésimas

Redondear o Aproximar A veces, cuando operamos con números decimales, nos encontramos con un resultado con muchas

cifras decimales. Es posible que no necesitemos tantas cifras decimales, o que incluso no tengan sentido.

Así por ejemplo no tiene sentido que un artículo cualquiera de una tienda tenga un precio de 25,569 €,

ya que no existen monedas de valor inferior al céntimo de euro.

En estos casos debemos realizar una aproximación o redondeo, que limite el número de cifras decimales.

El procedimiento para redondear un número hasta una determinada cifra decimal es el siguiente:

Si la primera cifra que queremos suprimir es menor que 5, dejamos igual la última cifra que se

conserva.

Por ejemplo: Redondear hasta las décimas el número 25,128 → se obtiene el número 25,1

25,1 2 8 (al ser la primera cifra a eliminar 2 < 5 , las décimas no cambian) y el resultado es 25,1

Si la primera cifra que suprimimos es mayor o igual que 5, se aumenta 1 a la última cifra que se

conserva.


35

Por ejemplo: Redondear hasta las centésimas el número 4,568 → se obtiene el número 4,57

4,5 6 8 (al ser la primera cifra a eliminar 8 > 5 , las centésimas aumentan en 1) y el resultado 4,57

13.- Aproxima a las décimas

a) 6,27 . . . . b) 3,65 . . . . c) 0,139 . . . . d) 4,746 . . . .

e) 2,651 . . . . f) 9,235 . . . . g) 5,423 . . . . h) 1,092 . . . .

14.- Redondea a las centésimas

a) 6,423 . . . . b) 6,072 . . . . c) 5,165 . . . . d) 4,786 . . . .

e) 2,651 . . . . f) 9,2556 . . . . g) 25,035 . . . . h) 5,8745 . . . .

15.- Redondea hasta obtener números enteros (aproxima a las unidades)

a) 923,17 . . . . b) 16,5 . . . . c) 71,08 . . . . d) 0,54 . . . . e) 3,4 . . . . 16.- Aproxima los siguientes números según se indica en la tabla:

a las unidades a las décimas a las centésimas a las milésimas

2,491 . . . . . . . . . . . .

0,946 . . . . . . . . . . . .

1,792 . . . . . . . . . . . .

8,1325 . . . . . . . . . . . . . . . .

3,5436 . . . . . . . . . . . . . . . .

5,3752 . . . . . . . . . . . . . . . .

7,0627 . . . . . . . . . . . . . . . .

21,6284 . . . . . . . . . . . . . . . .

5,8451 . . . . . . . . . . . . . . . .

Fracciones y decimales Una fracción es un cociente entre números enteros.

Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador podemos obtener

Un número entero. Ejemplo: 23

6

Un número decimal

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

Número DECIMAL EXACTO tiene un número finito de cifras decimales.

Al hacer la división el resto se hace 0

Ejemplo: 75,04

3

mixto

puroperiódicodecimal

exactodecimal


36

Número DECIMAL PERIÓDICO tiene infinitas cifras decimales repetidas

El resto no llega a hacerse 0 nunca, dando lugar a un número con cifras decimales

que se repiten periódicamente, denominado número decimal periódico,

Ejemplo: 3

4= 3,1..3333,1

Al grupo de decimales que se repiten se le denomina PERIODO

y lo indicaremos mediante un arco que lo abarca: 3,1

Un número decimal periódico, a su vez puede ser:

PERIÓDICO PURO , si el periodo empieza justo detrás de la coma.

Ejemplo: 33

40=1'21212121....... =

PERIÓDICO MIXTO , si antes del periodo tiene otras cifras decimales.

Ejemplo: 6

19= 3,1666…. = 61,3

Las cifras decimales antes del periodo forman el anteperiodo

17.- Clasifica los siguientes números en la tabla: 2,7 4 5,3

4,63 34,39

12

924,7

3,645 36,0

127 3,89 24,82 387 3,0

entero decimal exacto decimal periódico puro decimal periódico mixto

18.- Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones.

Señala si es decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, según corresponda.

a) 25

6= b)

3

1= c)

25

3= d)

9

1= e)

3

163=

f) 15

2= g)

11

4= h)

15

31= i)

8

1 j)

5

7


37

FRACCIÓN GENERATRIZ

Todo número decimal exacto o periódico se puede escribir como una fracción, a la que se denomina

fracción generatriz

Por ejemplo, consideremos la fracción 4

17

Al hacer la división entre numerador y denominador se obtiene 4,25

4'25 es la expresión decimal de 4

17 y de cualquier fracción equivalente a ella.

A su vez, 4

17(o cualquier fracción equivalente a ella) se llama fracción generatriz de 4'25.

CÁLCULO de fracciones generatrices

de Números DECIMALES EXACTOS

La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene:

por numerador al número, escrito sin coma decimal,

por denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.

Ejemplo 1) 3,1 = 10

31 ; Ejemplo 2) 0,24 =

100

24 andosimpplifiv

=25

6 ;

20.- Halla la fracción generatriz sin simplificar de los siguientes números decimales

a) 3,76 = . . . . b) 40,2=. . . . c) 23,8675= . . . . . . d) 0,04 = . . . . e) 120,5= . .. . f) 0,563 = . . . g) 0,0033 = . . . . h) 498,1 = . . . . i) 0,25= . . . . j) 1,25729= . . . k) 0,0045= . . . . l) 0,176 = . . . .

de Numeros DECIMALES PERIÓDICOS PUROS La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene:

por numerador al número, escrito sin el signo de la coma y del periodo,

menos el número formado por las cifras anteriores a la coma (parte entera)

por denominador tiene tantos 9 como cifras decimales hay en el periodo.

17 4

10 20 0

4,25

a) 376 /100 b )402 /10 c) 238675 /10000 d) 4/100 e) 1205 /10 f) 563 /1000

g) 33 /10.000 h) 4981 /10 i) 25/100 j) 125.729 /100.000 k) 45 /10000 l) 176 /10000

La fracción generatriz es la que permite

obtener un número decimal. 4

17

4,25

Nº decimal Fracción generatriz


38

Ejemplo 1: Hallar la fracción generatriz del número decimal periódico

Ejemplo 2: 180,1

=999

1080

999

11081

simplificando 180,1

=

37

40

111

120

333

360

999

1080

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

21.- Halla la fracción generatriz sin simplificar de:

a) 31,1

= . . . . . b) 9671,0

= . . . .

c) 1,2234

= . . . . d) 12,3

= . . . .

e) 9,1

= . . . . f) 62,0

= . . .

g) 1,0

= . . . h) 3,1

=. . .

i) 26,19

= . j) 730,0

= . . .

k) 6,5

= . . . . l) 3,2

= . . .

de decimales PERIÓDICOS MIXTOS

La fracción generatriz de un decimal periódico mixto es una fracción que tiene:

por numerador al propio número sin el signo de la coma y del periodo,

menos el número formado por las cifras anteriores al periodo quitándole la coma.

por denominador tiene tantos 9 como cifras decimales hay en el periodo, seguidos de

tantos 0 como cifras decimales hay entre la coma y el periodo (cifras del anteperiodo).

a) 112/99 b) 1769/9999 c) 20107/9 d) 318 /99 e) 18/9 f) 26 /99 g) 1 /9 h) 12/9 i) 1943 /99 j) 37 /999 k) 51 /9 l) 21 /9

99

4431

99

427

NUMERADOR: Número sin la coma – parte entera del número

DENOMINADOR: Tantos 9 como cifras decimales tiene el periodo


39

Ejemplo 1: Hallar la fracción generatriz del número decimal periódico mixto 360,1

360,1

=990

101063=

990

1053

Ejemplo 2: 61,3

=90

31316=

90

285 Simplificando

90

285=

6

19

Ejemplo 3 : 54237,0

=99000

23723745=

99000

23508 Simplificando

99000

23508

2750

653

22.- Halla la fracción generatriz sin simplificar de:

a) 31,1

= . . . . . . . b) 9617,0

= . . . . . .

c) 1432,2

= . . . . . . d) 42,0

= . . .

e) 365,3

= . . . f) 2385,13

= . . .

g) 703,0

= . . h) 325,1

= . . .

a) 102 /90 b) 1752 /9900 c) 22319 /9990 d) 22 /90

e) 3528 / 990 f) 137147 /9900 g) 34 /900 h) 1128 /900

NUMERADOR: Número sin la coma – Parte del número anterior al periodo

DENOMINADOR: Tantos 9 como cifras decimales tiene el periodo seguido de

tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo (la parte decimal no periódica)


40

L O S N Ú M E R O S

Positivos o naturales: N

Enteros:

Z Negativos

Números Racionales:

Q Exactos

Decimales puros Periodicos mixtos

Números Racionales: Q

Números Reales:

R Números irracionales: I

NÚMEROS IRRACIONALES

Son números con infinitas cifras decimales sin ninguna secuencia repetitiva.

Por ejemplo: 5'1234567891011121314............... 2'01001000100001....................

Se denominan NÚMEROS IRRACIONALES a los que no se pueden expresar en forma de fracción

Algunos números irracionales nos son bastante familiares:

el número π, π = 3'141592654............

las raíces no exactas. = 1'414213562............. = 2'236067977.............

y otros números "famosos" como el número áureo

Problemas con números decimales

25.- Beatriz va a comprar al supermercado y adquiere dos botellas de leche que cuestan 1,24 € cada una.

Además compra dos litros de aceite que valen 3,27 € el litro.

a) ¿Cuánto dinero se ha gastado?

b) Si llevaba 20 €, ¿con cuánto dinero vuelve a su casa? {a) 9,02 € ; b) 10,98 € }

26.- Daniel ha comprado un CD que le ha costado 12,45 euros y un libro de 14,65 euros. Si paga con

un billete de 50 euros, ¿cuánto le tienen que devolver? {22,90 €}

27.- Un kilo de pescado fresco cuesta 5,73 euros ¿Cuánto costará 3,25 Kg de pescado? {18,62 €}

28.- Un paquete de café cuesta 1,51 euros. Si disponemos de 31,71 euros. ¿Cuántos paquetes

podremos comprar? { 21 paquetes}

Los números Reales (simbolizados por la letra R) comprenden a los Racionales y a los Irracionales (que se simbolizan con la

letra I


41

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales .

23 es una potencia 23 = 2 ·2 ·2 = 8

Toda potencia está formada por una base y un exponente.

Base: es el factor que se repite.

Exponente: es el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma

Lectura de potencias:

Las potencias de exponente 2 se indican como “la base elevada al cuadrado”

Ejemplo: 32 se lee: “tres elevado al cuadrado” o “3 al cuadrado”

Las potencias de exponente 3 se indican como “la base elevada al cubo”

Ejemplo: 43 se lee: “cuatro elevado al cubo” o “4 al cubo”

Cuando el exponente es 4, 5, 6… se lee: “… elevado a la cuarta, a la quinta, a la sexta…”

A partir de 11, se dice elevado a 11, a 12, etc.

¡Importante! Toda potencia cuyo exponente es 0 vale 1 Por ejemplo 30 =1

1.- Completa la siguiente tabla

Potencia base exponente Se lee Operación a realizar Resultado

32 . . . . 3 al cuadrado

. . . 7 2 . . . . . . . . . . . . .

104 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 2 3 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 2 a la sexta

. . . 1 7 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 · 5 · 5

. . . 2 5 . . . . . . . . . . . . .

(–5)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . –7 3 . . . . . . . . . . . . .

2.- Escribe en forma de potencia: 10 · 10 = . . . . 5 · 5 · 5 = 3 · 3 · 3· 3 = 1·1·1·1 =

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 10 ·10· 10 ·10 ·10 = (–2)·(–2) =


42

(– 4)·(– 4)·(– 4) = (–10)·(–10)·(–10)·(–10)= 4· 4· 4· 4 = (–95)·(– 95)·(– 95)=

3.- Halla el resultado de las siguientes potencias.

32 = . . . 22 = . . . 13 = . . . 42 = . . . 52 =. . . 62 = . . .

72 = . . . 82 = . . . 92 = . . . 102 =. . . 112 = . . . 122 =. . .

50 = . . . 23 = . . . 24 = . . . 33 = . . . 71 = . . . 25 = . . .

8001 =. . . 103 = . . . (– 3)2 = (–3)3 =. . . (–10)2= . . . (–10)3=

.

(–2)3 = . . . (–10)4 = (–9)2 = . . . (–13)0 =. . . 231= . . . 26= . . .

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- Signo de una potencia

En la tabla siguiente aparecen los distintos casos, dependiendo del signo de la base y del exponente:

4.- Expresa si las siguientes potencias pon positivas (> 0) o negativas (< 0)

417 (–3)8 1024 513 (–10)8 (–10)81 (– 5)8 (–7)5 128 (–1)72 (–1)71 1 71

OPERACIONES CON POTENCIAS

PRODUCTO de Potencias DE LA MISMA BASE

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los

exponentes

Ejemplo 32 ·33 = 3

2 +3 = 3

5

Demostración Si desarrollamos ambas potencias como producto tenemos 32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 ·3 = 35 Se obtiene una potencia de la misma base y exponente la suma de los exponentes

5.- Calcula los productos siguientes, dejando el resultado en forma de una única potencia.

83 · 87 = . . . 75 · 74 =. . . 39 · 3 = . . . 511· 59 = . . .

Base Exponente Potencia Ejemplos base positiva

Par o Impar Positiva 32 = 9 es (+3)2= +9

base negativa exponente PAR Positiva (–3)2 = (–3)·(–3) = 9

base negativa exponente IMPAR Negativa (–3)3 = (–3)·(–3)·(–3)= –27

an · am = an + m


43

6 · 64 = . . . 65 · 6-3 =. . . 43· 4 = . . . (–3)0·(–3)6 = . . .

(– 2)4·(– 2)6 =. . . (–1)9· (–1)5 = . . . (–7)-9· (–7)5 = . . . 8–5 · 84 = . . .

24 · 2–9 = . . . . 108 ·10–3 = . . . . 12–3 · 12–7 = . . . 14 · 1–12 = . . . .

COCIENTE de Potencias DE LA MISMA BASE

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.

Ejemplo: 27 : 24 = 27–4 = 23

Demostración Dicho cociente queda de la forma: 347

4

7

222222222

2222222

2

2

El exponente que tiene el cociente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

6.- Calcula los cocientes siguientes.

37 : 36 = . . . 1010 : 106 = . . . 97 : 92 = . . . 45 : 45 = . . .

127 : 125 = . . . 914 : 99 = . . . 89 : 83 = . . . (–5)5 : (–5)4 = . . .

(–3)7 : (–3) = . . . 22 : 25= . . . 93·910 = . . . 7– 4 : 76 = . . .

62 : 6– 3= . . . 64 : 6 – 6 = . . . 10– 6 : 10–2 = . . . 13 – 5 : 13 – 6 = . . .

(–20)4 : (–20)10 = . . . (–8) – 5: (–8) – 7 = . . . 194·19–10 = . . . (–12)4 : (–12)4 = . . .

100– 6: 100– 10 = . . . 120 : 12– 6 = . . . (–1) : (–1) – 7 = . . . (–50) 9: (–50) – 7 = . . .

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

POTENCIA de una POTENCIA

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los

exponentes.

Demostración Con el Ejemplo : (23) 4 o sea 23 elevado a la cuarta.

(23) 4= (2)3·(2)3·(2)3·(2)3 = (2)3+3+3+3 = (2)3 · 4= (2)12

El resultado tiene la misma base y su exponente es el producto de los dos exponentes que había.

an : am = an – m

(an)m = (a)n· m


44

7.- Expresa en forma de una sola potencia:

(107)2 = . . . (43)6 =. . . ( 35)2 = . . . ( 97)1 = . . .

( 52)7 = . . . [(–4)6]6 = . . . [(– 1)5]7= . . . [(–15)2]12 = . . .

( 9– 4)7 = . . . ( 2– 5) –4 = . . . [(– 8)5]–7= . ( 137)–8 = . . .

POTENCIAS DE FRACCIONES

Si la base de una potencia es una fracción se elevan numerador y denominador al exponente

Ejemplo:

8.- Halla el valor de las potencias, expresando el resultado en forma de fracción:

2

3

2

=

3

10

1

=

2

10

6

=

0

8

3

=

2

3

5

=

1

8

3

=

2

7

3

=

3

3

2

=

2

5

4

=

2

4

1

=

POTENCIAS de EXPONENTE NEGATIVO

Toda potencia de exponente negativo es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente cambiado de signo.

Ejemplo: 9

1

3

13

2

2 Para demostrarlo nos vamos a basar en la propiedad siguiente:

“Si multiplicamos y dividimos por el mismo número no variamos nunca el resultado.

Entonces 3–2 lo multiplicamos y dividimos por 32 y luego resolvemos:

9

1

3

1

3

3

3

3

3

333

22

0

2

22

2

222

9.- Escribir en forma de potencia positiva:

5–2 = . . . 4–2 =. . . 10–3 = . . . 2–4 =. . . 3–1 = . . .


45

3–2= 1–5= 5–2= 2–2 = (–4)–2=

(–10)–2= 6–2 = 25

1

= 32

1

= 13

1

=

27

1

= (–3)–6= 2–10= 58

1

= 43

1

=

3

5

4

6

2

9

10

11

4

3

3

5

2

2

3

3

2

1

2

3

10

3

10

1

POTENCIAS DE BASE 10 Pueden tener el exponente positivo o negativo:

Una potencia de BASE 10 con EXPONENTE POSITIVO es igual a

la unidad seguida de tantos 0 como indica el exponente

Ejemplos: 102 = 100 104 = 10.000 10 12 = 1.000.000.000.000 (un billón)

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 10.- Escribir los números: 102 = . . . . . 103 = . . . . . 108 =. . . . .

106 = . . . . . 107 = . . . . . 104 = . . . . .

105 =. . . . . 101 = . . . . . 100 = . . . . .

1012 = 1010 = 1011 =

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

Una potencia de BASE 10 con EXPONENTE NEGATIVO es igual a

a la unidad precedida de tantos ceros como indica el exponente

Ejemplos: 10–2 = 210

1=

100

1= 0,01 10–4 =

410

1=

000.10

1= 0,0001

De esta forma las décimas, centésimas, milésimas, etc. pueden expresarse como potencias de base 10 con exponente negativo.


46

11.- Escribe en forma de número las siguientes potencias de 10:

10–3 = 10–1 = 10–5 =

10–2= 10–6 = 10–4 =

10–7= 10–9= 10–8=

10–12 = 10–10= 10–11=

12.- Escribe en forma de potencia de base 10 los siguientes números:

a) 0,1 = b) 0,001 = c) 0,00001= d) 0,01= e) 0,000001= f) 0,0001 = g) 0,0000000001= h) 0,000000001=

N O T A C I Ó N C I E N T Í F I C A

La notación científica se compone siempre de un solo número entero y el resto pueden ser uno o varios

decimales, seguido de una potencia de base 10 elevada al correspondiente exponente.

Se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños.

Para expresar números muy grandes en notación científica.

Por ejemplo 30.000. Corremos la coma hacia la izquierda hasta que llegue a la derecha de la primera

cifra, o sea el 3 y luego multiplicamos por 10 elevado a un exponente positivo cuyo valor coincide con el

número de lugares que hemos corrido la coma, en este caso 4. 30.000= 3·104 Ejemplos: 450 = 4,5 x 102 5.900.000=5,9·106 125.000= 1,25·105 3.000 = 3·103

13.- Escribe los siguientes números en notación científica:

4.000= 3.000.000= 20.000=

5.850.000= 680= 180.000=

70.500 = 238.000.000= 3.400=

37.000= 1.275.000= 800 =

1.280 = 250.000 12.000.000.000=

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- Para expresar números muy pequeños en notación científica. Por ejemplo 0,00987

Corremos la coma hacia la derecha los tres espacios que la separan de la primera cifra , es decir el 9,

con lo que obtendremos el siguiente número decimal: 9,87 y luego multiplicamos por 10 elevado a un

exponente negativo cuyo valor absoluto coincide con número de lugares que hemos corrido la coma, o

sea –3

Por tanto, la notación científica quedará de la siguiente forma: 9,87 x 10–3


47

Ejemplos: 0,5= 5·10–1 0,016= 1,6·10–2 0,0007= 7·10–4

14.- Escribe los siguientes números en notación científica:

0,005 = 0,9 = 0,000125 =

0,082 = 0,0483 = 0,000987 =

0,0007 = 0,0004508 = 0,085 =

0,03 = 0,000002 = 0,00001 =

0,01 = 0,00045 = 0,0000356 = 0,07 =

0,004 = 0,067 = 0,0035 = 0,00023 =

0,057= 0,014 = 0,000009= 0,17 =

15.- Expresa en notación decimal los siguientes números que están en notación científica

4·103 = 3,6·104 = 1,893·106= 5,23·102 = 9·107 = 4,53·105 = 5,7·104 = 2,8·105 =

9,52·106 = 7·10–4 4·10–3 = 5·10–1 =

9,3·10–4 = 2,8·10–1 1,3·10–3 = 3,15·10–5 = 2,7·10–6 = 4,915·10–2 = 1,273·10–2 = 7,89·10 –3 =

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

OPERACIONES COMBINADAS con Potencias

Cuándo vamos a realizar diferentes operaciones dentro de una misma expresión, hay que llevar un orden

correcto, ya que los resultados cambian en función del orden en que se realicen las operaciones.

La norma establece el siguiente criterio o jerarquía de las operaciones con números enteros:

1º) Paréntesis

2º) Potencias (y Raíces)

3º) Multiplicaciones y divisiones ( en el orden en que aparecen)

4º) Sumas y restas

Ejemplo 1: 15 – 23 + 4·32= Ejemplo 2 : (3 + 5)2 =

15 – 8 + 4·9= 82 = 64

15 – 8 + 36= 43

16.- Escribir el resultado de las siguientes operaciones:

1 3 · 23 = 2·32 – 12= 1+ 42 – 6·3 =


48

2 5 – 3·22 – 32 = 5 – 32 · 5 +20 ·2 = 3·22 – 2·32 =

3 2·52 – 62 = (– 2)4 : 22= 4·(5–2)2 =

4 (7 – 4)2 +5·22= (5 + 4 – 1)2 + 2 = (24 : 6)2 +3=

RAÍZ CUADRADA EXACTA.

1. Completa.

a) 25 = 5, porque 52 = e) 144 = 12, porque 122 =

b) 49 = 7, porque 72 = f) 225 = 15, porque 152 =

c) 100 = 10, porque 102 = g) 900 = 30, porque 302 =

d) 121 = 11, porque 112 = h) 625 = 25, porque 252 =

2. Completa.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

a2 1 4 9

2a 1 2

3. Halla Las siguientes raíces cuadradas:

a) 225 = __________ f) 16 = __________ k) 256 = __________

b) 400 = __________ g) 121= __________ l) 441 = __________

c) 196 = __________ h) 900 = __________ ll) 144 = __________

d) 100 = __________ i) 4 = __________ m) 64 = __________

e) 289 = __________ j) 169 = __________ n) 49 = __________

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero.

Índice 36 = 6, porque 62 = 36

Radical

Radicando Raíz

Los números que tienen raíz cuadrada exacta se denominan cuadrados perfectos.

Por ejemplo: 25, 49, 144

25 = 5 49 = 7 144 = 12


49

OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS.

5. Escribe como raíz cuadrada.

a) 416 = 416 c)

32

4

= ________ e) 3416 = ________

b) 59 = ________ d) 2

3

100

= ________ f) 5225 = ________

6. Halla el valor de estas raíces

a) 316 = 316 = 43 = ________ e)

325 = _____ = ____ = _____

b) 4100 = _____ = ____ = _____ f)

464 = _____ = ____ = _____

c) 59 = _____ = ____ = _____ g)

84 = _____ = ____ = _____

d) 481 = _____ = ____ = _____ h)

349 = _____ = ____ = _____

LA RADICACIÓN.

11. Expresa en forma de potencia.

a) 3 27 = 3 ; 33 = 27 e) 3 8 =

b) 81 = 9 ; (+9)3 = f) 4 16 =

(-9)3 =

c) 625 = g) 3 27 =

d) 3 1000 = h) 5 243 =

El producto de dos o más raíces cuadradas es igual a

la raíz cuadrada del producto de los radicandos.

36 x 25 = 2536x = 900 = 30

La potencia de una raíz cuadrada es igual a la raíz

cuadrada de la potencia del radicando.

325 = 325 = 53 = 125

3 8 = 2 porque 23 = 8 La radicación es la operación inversa de la potenciación.

Índice 3 8 = 2

Radicando Raíz

La raíz de índice par de un número positivo tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa.

25 = 5 (-5)2 = 25

(+5) = 25


50

12. Expresa en forma de raíz.

a) 23 = 8 3 8 e) (-10)4 =

b) (-5)3 = -125 f) 103 =

c) (-7)2 = 49 g) 106 =

d) 63 = h) (-10)2 =

13. Tacha las igualdades que no sean ciertas:

a) 3 27 = -3 d) 16 = -4 g) 25 = -5

b) 9 = 3 e) 4 16 = 2 h) 3 125 = -5

c) 3 1000 = -10 f) 3 216 = 2 i) 6 000.000.1 = 10

14. Calcula mentalmente la raíz cuadrada positiva de:

a) 1 d) 49 g) 100

b) 4 e) 25 h) 121

c) 16 f) 81 i) 64

15. ¿Entre qué dos números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de estos números?. Fíjate en el

ejemplo:

a) 13 3 < 13 < 4 e) 14 < 14 <

b) 8 < 8 < f) 18 < 18 <

c) 10 < 10 < g) 30 < 30 <

d) 21 < 21 < h) 42 < 42 <

16. Calcula mentalmente la raíz cúbica de:

a) 3 8 d) 3 1000 g) 3 64

b) 3 8 e) 3 125 h) 3 216

c) 3 27 f) 3 027,0 i) 3 001,0

22. Calcula los siguientes productos de raíces:

a) 2 x 32 = d) 27 x 3 =

b) 50 x 2 = e) 3 18 x

3 12 =

c) 3 25 x

3 40 = f) 3 32 x

3 2 =

23. Introduce en la raíz los factores:

a) 3 2 = 232 x = 29x = 18 e) 2 2 =

b) 5 3 = f) 5 6 =

c) 4 5 = g) 10 5 =

d) 2 5 = h) 33 10 =


51

24. Saca fuera de la raíz los factores posibles:

a) 12 = 322 x = 22 x 3 = 2 3 e) 20 =

b) 200 = f) 63 =

c) 75 = g) 45 =

d) 3 40 = h) 80 =

25. Calcula los siguientes cocientes:

a) 50 : 2 = d) 3 81 :

3 3 =

b) 90 : 2 = e) 3 40 :

3 5 =

c) 300 : 3 = f) 3 54 :

3 2 =

POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.

33. Calcula:

a) 3

1

27 = 3 27 = 3 33 = 3

b) 3

2

8 = 3 28 =

23 32 = 2

2 =

c) 2

1

25 = 25 =

d) 2

3

16 =

e) 3

2

125 =

f) 2

1

49 =

g) 2

3

100 =

h) 4

3

625 =

i) 6

5

64 =

34. Expresa en forma de potencia las siguientes raíces:

a) 3 25 = 3

2

5 e) 1000 =

b) 310 = f) 3 518 =

c) 4 33 = g)

5 310 =

d) 5 24 = h)

4 28 =

3

2

8 = 2 28

Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical

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