ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES EN SECUNDARIA

7/26/2019 ASPECTOS METODOLGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NMEROS NATURALES, ENTEROS, RACION

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MatemticaSerie 2 para docentes de SecundariaDidctica de la MatemticaFascculo 1: ASPECTOS METODOLGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NMEROSNATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES ENSECUNDARIA.

Ministerio de EducacinVan de Velde 160, San Borja

Primera edicin, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ros Sur, Lima 01

Hecho el Depsito Legal en laBiblioteca Nacional del PerNro. 2007-00260

Coordinacin y supervisin general MED

Antonieta Cubas MejaSupervisin pedaggica MED

Luis Enrique Eyzaguirre EspinoVerificacin de estilo MED

Miguel Humberto Fuentes Huerta

AutoraEdiciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubn Hildebrando Glvez ParedesElaboracin pedaggica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacn NietoDaniel Jos Arroyo GuzmnColaboracin especial

Marisol Edith Zelarayan AdautoRevisin pedaggica

Hno. Marino La Torre MarioRevisin acadmica

Armando Zenteno RuizDiseo y diagramacin

Virginia Rosala Artadi Len

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Romn GonzlezFotografa

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramrez

MINISTERIO DE EDUCACIN

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PRESENTACINEn la actualidad, ser docente en Matemtica es un gran reto, pues es una tareacompleja que requiere multiplicidad de saberes. No es suficiente dominar loscontenidos temticos del rea, sino ser capaces de que los estudiantes desa-rrollen las capacidades del rea (razonamiento y demostracin, comunicacinmatemtica y resolucin de problemas), los valores y las actitudes que les

permitan una educacin integral para alcanzar su autorrealizacin. Esto exige

que los docentes se encuentren actualizados y familiarizados con las nuevastendencias curriculares y metodolgicas.

La sumilla del Fascculo 1:Aspectos metodolgicos en el aprendizaje de lossistemas de nmeros naturales, enteros, racionales y reales, en secundaria,indica: Comprender el desarrollo de los principios, estrategias y algoritmosque rigen los procesos de desarrollo de capacidades que permitan comprendery, adems, operar con los sistemas de nmeros naturales, enteros, racionalesy reales. Desarrollar, asimismo, ejercicios, problemas, juegos matemticos ysugerencias de construccin y utilizacin del material educativo respectivo.

As, nos sumergiremos en un proceso didctico de estudio, pues aprender es

un medio al servicio de un fin que es el estudio, que no es ensear lo que se haaprendido, sino responder a una cuestin que se ha planteado. En muchos casos,para responder a las cuestiones planteadas, se tendr que aprender a aprender,aprender a hacer, aprender a convivir y aprender a ser.

En la sociedad, ensear y aprender son slo medios para que cierto nmerode personas adquieran los conocimientos necesarios para realizar ciertasactividades. Sin embargo, no debemos olvidar que la Matemtica sirve, sobretodo, para resolver problemas, y no slo para que se aprenda y se ensee.

En este fascculo nos internaremos dentro de un proceso de estudio de los sistemasnumricos , , y , a travs de la teora de situaciones didcticas de

Brousseau y el aprendizaje de las mismas a travs de las seis etapas de Dienes,pues ste postula bsicamente el aprendizaje de la Matemtica mediante juegos.No se trata de jugar por jugar, sino jugar basndonos en una teora didcticapara conseguir el desarrollo del pensamiento a travs de la Matemtica, ascomo las capacidades inherentes a ella.

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NDICEPresentacin ....................................................... ........................................................ ......................... 1ndice ........................................................ ......................................................... .................................. 2Organizador visual de contenidos.................................................. ..................................................... 3Motivacin ......................................................... ........................................................ ......................... 4Logros de aprendizaje ................................................. ......................................................... ............... 4Recuperacin de saberes previos .................................................. ...................................................... 4

1. LATEORADELASSITUACIONESDIDCTICASDEGUYBROUSSEAUVS. LASSEISETAPASDEAPRENDIZAJESEGNZ. DIENES...................................................... ........................ 51.1 Estrategia didctica.............................................................................................................. 5

1.2 Propuestas didcticas segn Brousseau ...................................................... ......................... 61.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didcticas ........................................................ ................ 81.4 Aplicacin de las seis etapas de Zoltan Dienes en el aprendizaje del teorema de

Pitgoras ...................................................... ......................................................... ............... 9

2. SITUACIONESDIDCTICASENELAPRENDIZAJEDELSISTEMADELOSNMEROSNATURALES.............. 112.1 Situacin didctica: palitos y cuas..................................................................................... 11

Actividad 1 .................................................. ........................................................ ......................... 14

3. SITUACIONESDIDCTICASENELAPRENDIZAJEDELSISTEMADELOSNMEROSENTEROS.................. 153.1 Situacin didctica: descubriendo al nmero entero ..................................................... ..... 153.2 Situacin problemtica: ciudadanos buenos y malos ................................................... ...... 183.3 Situacin a-didctica: casinos para la adicin y sustraccin de

nmeros enteros .................................................... ......................................................... ..... 18Actividad 2 .................................................. ........................................................ ......................... 20

4. SITUACIONESDIDCTICASENELAPRENDIZAJEDELSISTEMADELOSNMEROSRACIONALES. ............ 21

4.1 Situacin didctica: Repartiendo una rodaja de jamonada ................................................. 214.2 Situacin a-didctica: domin de fracciones ....................................................... ............... 23

Actividad 3 .................................................. ........................................................ ......................... 25

5. SITUACIONESDIDCTICASENELAPRENDIZAJEDELSISTEMADELOSNMEROSREALES. .................... 26

5.1 Situacin didctica: un cuadrado de ms ................................................... ........................ 26

Actividad 4 .................................................. ........................................................ ......................... 28

6. EVALUACIN................................................. ......................................................... ........................ 29

7. METACOGNICIN.................................................... ........................................................ ............... 30

Bibliografa comentada................................................ ........................................................ ............... 31

Enlacesweb ........................................................ ......................................................... ........................ 32



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3

comprendeel

estudio

de

ASPECTOSMETODOLGICOSENELAPRENDIZA

JEDELOSSISTE

MAS

DENMEROSNATURALES,ENTEROS,RACIO

NALESYREALES

Marcoterico

Situaciones

didcticas

Aprendizaje

Sistem

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ituaciones

didcticas

Situaciones

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Situaciones

A-didcticas

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Fasesdidcticas

Nmeros

enteros

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racionales

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ofreciendo

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Zoltan

Dienes

Seisetapas

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Aplicaci

n

de

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Guy

Brousseau

pa

ra

docentes



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Serie 2/ DIDCTICA DE LAMATEMTICA

Antes de empezar con el desarrollo del presente fascculoes indispensable que recuerdes algunas precisiones. Leeatentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.

Qu es la didctica?

Qu tomas en cuenta para planificar una sesin deaprendizaje?

Cmo podemos presentar los sistemas numricos?

Describe algunas actividades para desarrollar capacidadesespecficas en los sistemas numricos: , , y .

Qu papel cumple el juego didctico en el estudio de laMatemtica?

RECUPERACINDESABERESPREVIOSLOGROSDEAPRENDIZAJE

Analiza la teora de situaciones didcticas yla aplica en el aula en situaciones concretas.

Interpreta datos implcitos, procesos, repre-sentaciones grficas relativas, analizando lossistemas numricos.

Aplica y utiliza las definiciones, los teore-mas, propiedades sobre sistemas numricos,en forma adecuada a cada situacin.

Interpreta enunciados matemticos presen-tados en un lenguaje formal o en un lenguajecomn a travs de la lectura, la decodifica-cin, la codificacin, la clasificacin, la dis-cusin y la representacin.

Procesa la informacin mediante la rela-cin, la transformacin y la aplicacin.

Motivacin

Parece que la expresin colegio invisible la emple por primeravez el ingls Robert Boyle (1627-1691), quien bautiz as al grupode cientficos con los que intercambiaba informacin acerca delas investigaciones llevadas a cabo por cada uno de ellos. Estegrupo informal fue el germen de la creacin, en 1662, de la RoyalSociety. La compaa, que ya no se limitaba a los eminentes yrespetables residentes de una capital se convirti en un colegioinvisible. Para ser escuchado en la Royal Society de Londres noera necesario asistir a sus reuniones. John Beale poda escribirdesde Herefordshire, en el oeste de Inglaterra, y describir el problema de las huertas NathanielFairfax, de Suffolk, inform sobre unas personas que coman personas y sapos La lista tambininclua a John Flamsteed, que escribi sobre astronoma desde Derbyshire y a Martin Listen queescribi desde Cork sobre biologa y, desde luego, haba frecuentes comunicaciones entre Boyle y

Newton.

(Boorstin, D.J.Los descubridores. Ed. Crtica. Barcelona, 1986. p.378).

La historia nos invita a interesarnos por los problemas en comn y establecer

contactos para formar equipos de investigadores educadores y establecer unacomunidad de estudio para comunicarnos constantemente aunque no tengamosque vernos, ello es posible hoy en da, gracias a las tecnologas avanzadas.

ASPECTOSMETODOLGICOS

NMEROS NATURALES, ENTEROS

en elAPRENDIZAJE de los

www.biografiasyvidas.com/.../

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www.usno.navy.mil/library/rare/boyle21.jpg

RACIONALES y REALES



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Fascculo 1 / ASPECTOSMETODOLGICOS EN EL

APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DENMEROS NATURALES, ENTEROS,

RACIONALES Y REALES

En esta seccin se describe una explicacin detallada de los juegos como

estrategias de aprendizaje en la Matemtica, relacionndolos a las seis etapasde aprendizaje segn Z. Dienes versus la teora de las situaciones didcticas,segn Brousseau.

En primer lugar, veamos qu significa estrategia didctica, y cmo se estructuraun juego segn Dienes, relacionando dicha estructuracin dentro de unasituacin a-didctica.

1.LaTEORAde las

SITUACIONESDIDCTICAS de

GUY BROUSSEAUvs.SEIS ETAPAS

deAPRENDIZAJEsegnZ. DIENES

1.1 Estrategia didctica

Estrategia:

Es un proceso regulable, el conjunto de lasreglas que aseguran una decisin ptima en cadamomento.

De esta definicin se puede afirmar que: laestrategia didctica es el conjunto de mtodos yprocedimientos acompaados de los medios y

materiales didcticos.

Luego, las estrategias didcticas ofrecen situacionesen las cuales el estudiante estimula, educa su

Estrategiadidctica

Medios ymaterialesMtodos

Procedimientos Tcnicas

Estrategia

Puede definirse como lamejor forma de alcanzar losobjetivos buscados al iniciode una situacin conflictiva.

El conflicto no implicanecesariamente una pelea,

sino la lucha por obtener unade dos o ms situaciones

hipotticas que no puedendarse simultneamente.

Algunos dicen queestrategia es todo lo que

se hace antes de ingresar alconflicto. Luego empieza la

tctica.

Establecer una estrategiaimplica conocer de antemano

las distintas formas enlas que se va a dirimir unconflicto y de qu forma

enfrentarlo conociendolas metas que se desean

alcanzar. La estrategia puedeverse como un plan que

debera permitir la mejordistribucin de los recursos ymedios disponibles a efectos

de poder obtener aquellosobjetivos deseados.

http://www.estrategia.com/

las



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Fase o momentode la secuencia

Cuestiones didcticas Acciones del docente

Accin

Las situaciones de enseanza tienen que sertales que representen un problema (en senti-do amplio) para el alumno.

El docente traspasa la responsabilidad de lasituacin al alumno.

Expone la situacin y las consignas, y se ase-gura que han sido bien comprendidas: si es ne-cesario parte de los conocimientos anteriores uorganizadores previos mediante actividadesespeciales para este fin.

libertad de eleccin y decisin; propicia situaciones en las que debe pensar,organizar, proyectar, imaginar y llegar a conclusiones; facilita el ambiente paraque los estudiantes se sientan a s mismos y se expresen libremente.

1.2 Propuestas didcticas segn Brousseau

Para Brousseau, la didctica de la Matemtica es la ciencia que tiene la misin

de explicar los fenmenos didcticos.

Desarrolla su teora sobre la base del sistema didctico formado por el profesor,el alumno y el saber actuando en el aula. (Microsistema).

Una situacin didctica es el conjunto de relaciones establecidas explcita oimplcitamente entre el alumno, un cierto medio -otros alumnos, eventualmenteinstrumentos u otros objetos- y un profesor con el fin de que estos alumnos seapropien de un saber constituido o en vas de construccin.

De esta descripcin se desprende inmediatamente que el universo de la situacindidctica es la sala de clases.

Entre lassituaciones didcticas, Brousseau distingue las situaciones o fases de:

accin, de formulacin, de validacin, institucionalizacin y evaluacin. A estassituaciones estn asociadas formas dialcticas que tienen funciones diferentes.

Dialctica de la accin: en esta etapa el alumno es confrontado a una situacinque le plantea un problema, para buscar una solucin, el alumno realiza accionesque pueden desembocar en la creacin de un saber hacer. l puede explicar mso menos o validar sus acciones, pero la situacin no se lo exige.

Dialctica de la formulacin: esta etapa est dedicada al necesario intercambiode informaciones y la creacin de un lenguaje para asegurar el intercambio. Elalumno podra justificar sus posiciones, pero la situacin de formulacin no selo exige.

Dialctica de la validacin: en esta etapa los intercambios no conciernensolamente a las informaciones sino a las declaraciones. Hay que probar lo quese afirma, no por acciones, sino dando razones apoyadas en los datos iniciales(hiptesis) o en relaciones pertinentes (teoremas o propiedades).

Veamos cmo estas situaciones se dan en los momentos principales de unasituacin didctica en el educando:

GUY BROUSSEAU

Naci en Francia en1933. Distingue entrelas situaciones: lasdidcticas (aprendizajede un conocimiento); lasa-didcticas (no tienenen vista un conocimientosino el desarrollo de

comportamientos, modos deactuar, de decir, de explicar,de argumentar, de expresar,de escribir, de escuchar) ylas no didcticas (tiene lugarfuera del aula).

http://math.unipa.it/~grim/

brous.jpg



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RACIONALES Y REALES



Accin

En la base de todo el proceso cognitivo estla percepcin. Por lo tanto, el proceso que de-

nominaremos de Resolucin de situacionesproblemticas debe comenzar analizando losfactores que definen al problema como tal y lafactibilidad del solucionario.

Se comienza a concebir la solucin. Aparecementalmente una representacin mediadoraentre el sujeto y la situacin. Imaginar la si-tuacin requiere de conocimientos implcitoso en acto.

Esta fase involucra tanto aspectos cognitivoscomo cuestiones de ndole prctica, ambosdirigidos a la solucin de problemas que es

preciso resolver en condiciones especficas ycon recursos limitados.

Adopta el rol de un coordinador descentradoque interviene solamente como facilitador de la

bsqueda, pero se abstiene de brindar informa-ciones que condicionen la accin de los alum-nos: aclara las consignas, alerta sobre obstculosinexistentes agregados por los alumnos, sealacontradicciones en los procedimientos, etc.

Promueve la aparicin de muchas ideas, puesesta fase es la ms creativa y la que debe poneren juego la imaginacin, la inventiva, la intui-cin, y el intercambio entre los miembros delgrupo, asegurndose que el grupo no siga ade-lante sin antes tomarse el tiempo para la discu-sin y los acuerdos.

Formulacin

Es la fase en que se materializan el planproyectivo que ordena los recursos y el pro-ducto que resuelve los problemas. Concretarla solucin exige al alumno que explicite losconocimientos en un lenguaje que los demspuedan entender. Para ello se utilizan mediosconvencionales de representacin que permi-ten la comunicacin tecnolgica.

Se pone nfasis en el manejo de lenguajes muyvariados, ya sea de tipo verbal, escrito, grfico,plstico, informtico y matemtico. Se buscala adquisicin de destrezas para la utilizacinde decodificacin de los lenguajes ms apro-piados, y se mejora progresivamente la clari-dad, el orden y la precisin de los mensajes.

Estimula a los alumnos, mantente siempre vigi-lante para evitar que pierdan el hilo del pro-ceso, y procura que se organicen de modo quepuedan disear y materializar la solucin (se-leccionar los materiales, las herramientas, di-vidir las tareas etc.). Si es necesario, indica laspautas para que los alumnos utilicen los mediosde representacin apropiados.

Sondea el estado del saber y los aspectosefectivos y actitudinales; detecta procedimien-tos inadecuados, prejuicios, obstculos, y difi-cultades, para trabajarlos con los alumnos, enese momento o ms adelante, segn convengaa su estrategia.

Validacin

Es una fase de balance y representacin deresultados, y de confrontacin de procedi-mientos.

La situacin debe permitir la autovalida-cin; es decir que la verificacin de los pro-

ductos o de los resultados pueden ser efec-tuados por el propio alumno - como parte delas situaciones mismas sin tener que recurriral dictamen del o la docente. Un caso tpicode estas situaciones es el momento de ensa-yos y pruebas a los que los alumnos sometensus producciones.

Se trata de someter las producciones al con-trol ajeno, un proceso de metacognicinque se completa en la fase siguiente.

El docente estimula y coordina las pruebas, losensayos, las exposiciones, los debates y las jus-tificaciones.

Absuelve las dudas y las contradicciones queaparezcan, seala procedimientos diferentes,

lenguajes inapropiados, y busca que el consensovalide los saberes utilizados. En este momentocrece el valor de las intervenciones del docente,que debe recurrir a las explicaciones tericas ymetodolgicas necesarias de acuerdo con las di-ficultades surgidas.

Esta es una buena oportunidad para tomar datosevaluativos y para introducir nuevas variantesde problematizacin.

Coordina y resume las conclusiones que son cla-ve para la sistematizacin de la prxima fase.



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Institucionalizacin

El saber se descontextualiza y se desperso-naliza para ganar el estatus cultural y socialde objeto tecnolgico autnomo, capaz de

funcionar como herramienta eficaz en otrassituaciones.

Aqu se debe explicar y redondear el len-guaje apropiado y avanzar en los niveles deabstraccin correspondientes. La sntesisconceptual, adems de producir un efecto decierre en la elaboracin del saber, contri-buye a resignificar el aprendizaje en el con-texto global del alumno.

Es un proceso de objetivacin, generali-zacin y abstraccin de los contenidos, encierta medida es inversa al de la primera fase

donde la situacin es una situacin particularque se busca que sea contextualizada y per-sonalizada por los alumnos.

Rescata la semntica y los medios de represen-tacin apropiados. ste es un aspecto decisivodel rol del docente como mediador de cdigos

de comunicacin.Esta alfabetizacin o transmisin cultural espropia de la escuela como institucin, y relativaa los cdigos que caracterizan a nuestra socie-dad tecnolgica.Explica, sintetiza, resume y rescata los conoci-mientos puestos en juego para resolver la situa-cin planteada. Habr contenidos viejos y nue-vos (pero que puedan consolidarse o ampliar-se) y ste ser el momento en el que el docentedestaca su funcionalidad.Mediante esta reflexin (metacognicin) com-partida con sus alumnos sobre lo que hicimos,extrae de la experiencia realizada en el aula loscontenidos que quiere ensear.Rescata el valor de las nociones y los mtodosutilizados. Seala su alcance, su generalidad ysu importancia.

Evaluacin

Tanto la evaluacin de los aprendizajes querealiza el docente, como la auto evaluacindel alumno y la co-evaluacin entre pares,deben ser tambin instancias de aprendizaje:de este modo, en el aula, aprendizaje y eva-luacin debieran marchar juntos en un pro-

ceso recursivo.Para que el cierre de la secuencia no signifi-que un corte que le deje aislada, o descol-gada de la planificacin anual, se plantea elescenario de una nueva secuencia articuladacon los temas aqu tratados.

El seguimiento del docente desde la aparicinde los primeros borradores y bocetos hasta elproducto final, pasando por las dems fases, esuna de las formas de evaluar la situacin y eldesempeo de los alumnos.

Puede presentar algunos trabajos adicionales

con el propsito de obtener ms datos evaluati-vos y permitir la transferencia y la nivelacin.

Anticipa una nueva secuencia articulada con lostemas y/o contenidos tratados en esta.

La situacin didctica es un aspecto ms general que engloba a una situacina-didctica, luego una situacin a-didctica es un aspecto particular.

As, las fases de: accin, formulacin, validacin, institucionalizacin y eva-luacin estn presentes en las seis etapas de Dienes; veamos.

1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didcticas

Para que el alumno aprenda, segn Dienes, debe haber modificado sucomportamiento respecto a su medio. As, seala tres procesos de aprendizaje:

1. Proceso de abstraccin.2. Proceso de generalizacin.3. Proceso de comunicacin.

Es en el primero donde distingue las seis etapas de aprendizaje en matemtica,all se debe tener en cuenta la organizacin de la enseanza para el aprendizajesignificativo, es decir, que parta del medio del aprendiz para que as puedaconstruir sus conocimientos.



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RACIONALES Y REALES

Sin embargo, le compete al docente disear situaciones didcticas o a -didcticaspara lograr el aprendizaje significativo.

En este caso, las seis etapas de aprendizaje en la Matemtica segn Zoltan Dienesquedan enmarcadas dentro de una situacin a-didctica, pues partiendo de un

medio natural, como es el juego, se pretende llegar a la abstraccin de cuestionesmatemticas, mediados en primera instancia por la sensacin, percepcin eintuicin, para luego, con la lgica del pensamiento llegar a abstraer los objetosmatemticos y, es ms, interrelacionar dichos objetos para poder seguir en esteproceso de abstraccin.

Este proceso tan delicado, mediado por el docente, es el que se consigna en lassiguientes etapas, a saber:

Etapas Proceso de abstraccin

I Adaptacin : juego libre

II Estructuracin: restricciones, reglas de juego

III Abstraccin: conexiones de naturalezaabstracta, juego de isomorfismo.

IV Representacin: grfica o esquemtica

V Descripcin de las representaciones: el lenguaje

VI Formalizacin: Mtodo.

Accin

Formulacin

Validacin

Institucionalizacin

PRIMERA ETAPA: DEL JUEGO LIBRE.

Se produce la adaptacin mediante el juego libre.

SEGUNDA ETAPA: DE LAS REGLAS DE JUEGO.

Se dan las reglas de juego (restricciones) que conllevarn a lo que se pretende

lograr.TERCERA ETAPA: DE LA ABSTRACCIN.

Los nios obtienen la estructura comn de los juegos y se deshacen de losaspectos carentes de inters.

CUARTA ETAPA: DE LA REPRESENTACIN.

Se representa la estructura comn de una manera grfica o esquemtica.

QUINTA ETAPA: DE LA DESCRIPCIN DE LAS REPRESENTACIONES(EL LENGUAJE).

Se estudian las propiedades de la representacin, es decir, las propiedades de laestructura abstracta. Para ello es necesario inventar un lenguaje.

SEXTA ETAPA: DE LA FORMALIZACIN.Limitamos la descripcin a un nmero finito de palabras, porque no se puedendescribir todas las propiedades, pero se inventa un procedimiento para deducirlas dems.

1.4 Aplicacin de las seis etapas de Zoltan Dienes en elaprendizaje del teorema de Pitgoras

Primera etapa: del juego libre.

Se les presenta a los estudiantes el material (rompecabezas pitagrico) y se lespide que jueguen con l.

E

v

a

l

u

a

c

i

n

La Matemtica es unaciencia que no se aprende

pasivamente, no basta con

observar al docente en el aulay en sus diferentes espacios,

sino por el contrario, esnecesario comprometerse con

la actividad matemtica enel aula y fuera de ella, estoes cultivando tres aspectos

fundamentales como:UTILIDAD, DISFRUTE

Y CONFIANZA; luegoes fundamental que los o

las estudiantes, se vuelvanconcientes de la utilidadde la Matemtica en su

vida diaria y en la forma decultivar la mente, disfrutando

de sus aportes y sobre todotenindole la respectiva

confianza, debido a que esuna creacin importante del

hombre.

1+1=3



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Serie 2/ DIDCTICA DE LAMATEMTICA Segunda etapa: de las reglas de juego.

Ahora se les pide que primero armen las dos figuras pequeas y luego con las

mismas piezas armen la figura grande.

Tercera etapa: de la abstraccin.

Se les pregunta a los estudiantes:

1. Qu figuras geomtricas observas?

2. Qu observas con respecto al armado de las dos primeras figuras y el

armado de la segunda figura?

3. Cul es la relacin que existe entre el armado de las figuras y la figura

ubicada en el centro?

4. Qu relacin guardan las figurasA yBcon la figura C?

5. Comprueba tomando las medidas de cada uno de los lados de las figuras y

luego determina las reas. Relaciona los resultados.

6. Qu figura se form entre los tres cuadrados?

7. Qu tipo de tringulo es?

8. Cmo se llaman los lados que forman el ngulo recto?

Cmo se llama el lado opuesto al ngulo recto?

9. Ser cierto que si sumamos los cuadrados de los catetos ser igual alcuadrado de la hipotenusa? Comprubalo considerando sus medidas.

10. Qu relacin encuentras entre el cuadrado de la hipotenusa y el rea del

cuadrado C?

Cuarta etapa: de la representacin.

Se les pide a los estudiantes que representen grficamente o esquemticamente

este hecho.

Quinta etapa:de la descripcin de las representaciones (el lenguaje).

Se les pide a los estudiantes que describan tal representacin en lenguaje usual

o materno.

Sexta etapa: de la formalizacin.

Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en lenguaje

formal, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simblico.

Se les pregunta a los estudiantes: cmo podemos llamar a lo deducido? (Teorema

de Pitgoras). Cmo llamaremos a todo este procedimiento hecho para llegar

a deducir lo que queramos? (Comprobacin). Ahora s, el estudiante est en

condiciones de hacer una demostracin formal del teorema de Pitgoras, el

mismo que puede realizarse con cualquiera de las muchas formas de hacerla.

Esta aplicacin esquemtica as descrita, y otras ms que puedes plantear, se

llevarn al aula bajo el esquema de una sesin de aprendizaje.

2 31 4 5

1 2

54 3

C

B A

PITGORAS

Naci en el ao 572 a. C.en la isla de Samos, filsofoy matemtico griego,cuyas doctrinas influyeronmucho en Platn. Fueinstruido en las enseanzasde los primeros filsofos

jonios Tales de Mileto,Anaximandro y Anaxmenes.Se dice que Pitgoras habasido condenado a exiliarsede Samos por su aversina la tirana de Polcrates.Muri en Metapontoalrededor de 497 a. C.

http://cantemar.com/

Pitagoras.jpg



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RACIONALES Y REALES

2. SITUACIONESDIDCTICASen elAPRENDIZAJE

SISTEMAdel de losNMEROS NATURALES

En los primeros grados de Educacin Secundaria, es fundamental iniciar las

enseanzas con el uso de nmeros naturales, pero destacndolo como un sistemanumrico. Para tal efecto, es inprescindible priorizar el conocimiento y dominiode las propiedades de los nmeros, y sus relaciones entre los mismos. Paraello se necesita introducir intuitivamente este sistema, para luego formalizarloy considerar sus aplicaciones instrumentales y formativas, en funcin de lascapacidades matemticas especficas que han de desarrollarse en el estudiante.

El profesor fomentar la comunicacin de ideas entre los estudiantes queanalizarn los patrones numricos utilizando el material, para as, ir ms all.

Se plantea una situacin didctica puesta en aula para un tema especfico.

2.1 Situacin didctica: palitos y cuas

1. TEMA: SUCESIONES y SERIES.

2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO : Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIN DIDCTICA.

Destreza: interpreta (razonamiento y demostracin).

Infiere y deduce estrategias, propiedades y conceptos al determinar unasucesin en situaciones de su vida diaria.

Es perseverante al inducir las simbolizaciones de sucesin en situacionesde su vida diaria (perseverancia).

5. MTODOS, PROCEDIMIENTOS y TCNICAS QUE SE SUGIEREN.

SABAS QU?

Los nmeros naturalestienen su origen en una

necesidad tan antigua comolas primeras civilizaciones:

la necesidad de contar.El hombre primitivo

identificaba objetos concaractersticas iguales y

poda distinguir entre unoy muchos; pero no le era

posible captar la cantidada simple vista. Por ello,

empez a representar lascantidades haciendo marcasen huesos, trozos de madera

o piedra. Por cada objetoobservado, colocaba una

marca que fuera familiar, asconcibi la idea del nmero.

Para contar tambin utilizsu propio cuerpo: los dedosde la mano, los de los pies,

los brazos, las piernas,el torso y la cabeza, las

falanges y las articulaciones.

http://www.itc.edu.

co/carreras_itc/

Sistema%20Numerico/index.

html

Interesante



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Serie 2/ DIDCTICA DE LAMATEMTICA Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogacin didctica, lluvia

de ideas, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES.

Palitos, cuas, ficha de trabajo estructurada, papelgrafos, plumones decolores y cinta adhesiva

FICHA DE TRABAJO: PALITOS Y CUAS

Reglas de accin:

Cada equipo se agrupa con 4 integrantes. Organzate dentro de tu grupo.Intenta primero resolver el problema de manera individual. Intercambiaen el grupo tus puntos de vista. Por unanimidad, escojan la estrategia quemejor crean conveniente y justifquenla.

Cierto da, el nio Juan y la nia Ana deciden reunir varios palitos y

cuas para construir torres de diferentes pisos. Tal como vemos acontinuacin.

1 Piso 2 Piso 3 Piso

1. COMPLETAR LOS CASILLEROS EN BLANCO

Nmero de palitos por torre.

Nmero de cuas por torre.

1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 Piso 5 Piso 6 Piso 7 Piso 8 Piso

1 3 6

1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 Piso 5 Piso 6 Piso 7 Piso 8 Piso

2 6 12

2. RESPONDE:

a. Cuntos palitos emplearn para su torre de 13 pisos? Justifica turespuesta.

b. Cuntas cuas ms tiene la torre de 15 pisos en comparacin a la torrede 7? Justifica.

c. Qu diferencias encuentras entre la torre de 12 pisos y la de 6? Enumeray explica todas las diferencias posibles.

7. APLICACIN:

7.1 ACCIN:

Se les presenta las hojas de trabajo y las hojas en blanco, donde, en primerlugar, ellos se enfrentan individualmente al problema.

En Matemtica, qu pasa conlas ideas propias y las de losdems?

Como podrs apreciar, esfundamental escuchar a laspersonas, cualquiera fuera supersonalidad, para que puedaexistir mejor comunicacin,razonamiento objetivo ycon ello poder abordar losdiversos ejercicios y resolverlos problemas en la mismaMatemtica y en nuestroentorno social.

Personalidades las ideaspropias

las ideas delos dems

Agresivo seaplican

seignoran

Firme seescuchan

seescuchan

Dcil seignoran

seaplican



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RACIONALES Y REALES

Los estudiantes escriben en la ficha de trabajo presentada, tratando de darrespuestas a las interrogantes all mencionadas.

Al plantearles el problema sobre series mediante un material, el educandoutilizar sus conocimientos previos, especficamente el saber conceptual,

e intentar encontrar solucin para el problema, razonando y aplicandoprocedimientos lgicamente vlidos.

Manipular el material y realizar acciones para solucionar el problema: Los estudiantes pueden dibujar torres de todos los pisos. Cuadros ms grandes a partir del cuadro presentado. Despejar las cifras de los casilleros para determinar una relacin entre

los nmeros, dibujando, etc.

7.2 FORMULACIN:

Se intercambian las informaciones obtenidas y se crea un lenguaje formal,adecuado, simple y coherente para explicar los procedimientos que serealizaron a los dems de una manera entendible, el intercambio de

conocimientos y aprendizajes obtenidos durante la etapa de accin. Los estudiantes cotejan sus resultados y estrategias empleadas para as

escoger la ms acertada y llenar en la hoja grupal.

7.3 VALIDACIN:

Para validar los intercambios de informacin procesada se requiere de unasituacin terica-prctica de los contenidos matemticos utilizados.

Probar lo que se afirma significa fundamentar el contenido matemtico de lasucesin basndose en las etapas de accin y formulacin.

7.4 INSTITUCIONALIZACIN:

Una vez validadas las estrategias de solucin, se formaliza el concepto desucesin y serie, de una manera entendible y auxilindose del trabajo hechoen todo el proceso anterior.

El docente debe investigar acerca del saber cientfico (en un texto de nivelsuperior), al que se denomina un saber descontextualizado para no distor-sionar los conceptos matemticos que se transmitirn a los estudiantes (sa-ber del aprendizaje), por tal motivo debe ser el ms adecuado, sin salirse delmarco del saber cientfico.

As, el saber descontextualizado se contextualiza para su aprendizaje me-diante las actividades planteadas, luego, en la institucionalizacin se tratade llegar a lo sumo a la descontextualizacin y para ser ms entendible, se

plantea el aspecto prctico, contextualizando nuevamente, observando lautilidad que tiene el nuevo saber aprendido, y es as como se va avanzandoen la construccin de los conocimientos matemticos; es decir, buscando lasnuevas zonas de desarrollo prximo.

7.5 EVALUACIN:

Despus de haber formalizado, y haber trabajado ejercicios y problemas, severifica el aprendizaje de los estudiantes.

ANLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIN DIDCTICA.

Es el anlisis que se hace antes de llevar a cabo la situacin didctica;es decir, aqu el docente hace la solucin previa de la ficha de trabajo

Los nmeros naturales

SABAS QU?

Hacia el ao 3300 a.C.,apareci la representacin

escrita de los nmeros,paralelamente al nacimiento

de la escritura, en Sumer(Mesopotamia). En las

primeras tablillas de arcillaque han revelado la escritura,

aparecen signos especficosdestinados a representar los

nmeros. En cada culturase emple una forma

particular de representar losnmeros. Por ejemplo, los

babilonios usaban tablillascon varias marcas en forma

de cua y los egipciosusaban jeroglficos, que an

aparecen en las paredes ycolumnas de los templos.

Las cifras que hoy utilizamostienen su origen en lasculturas hind y rabe.

http://www.itc.edu.

co/carreras_itc/

Sistema%20Numerico/

index.html

Interesante

http://aula.almundo.es/aula/

laminas/numeros.pdf



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Serie 2/ DIDCTICA DE LA

MATEMTICA

Unmatemate...

propuesta a los estudiantes, para sacar el mximo provecho posible a lasituacin durante el trabajo en el aula.

ANLISIS A-POSTERIORI DE LA SITUACIN DIDCTICA.

Es el anlisis que se hace despus de aplicar la situacin didctica; porejemplo:

Quizs algn grupo encontr una manera ms sencilla de determinarel nmero de cuas, dndose cuenta que la cantidad de cuas de cadatorre era igual a la mitad de palitos de dicha torre, un detalle que quizno se haba previsto.

Quizs algn grupo no pudo encontrar la relacin correcta, porqueno se le agreg a los nmeros de este cuadro el nmero 10, para quelograsen tener un mejor panorama.

Qu le dice el 1 al 10?

Para ser como yo, debes

ser sincero

Actividad 1

en grupo...investigacon tus colegas

Discute con tus colegas sobre la solucin de lossiguientes problemas y luego arma, a partir de ello,una situacin problemtica en clase. Cmo loharas?

1. Fase de accin: Situacin problemtica: En la expresin: * representa un dgito primo

mayor que 1.

* * * x * * * * * * + * * * * * * * * *

Expresa esta situacin en nmeros naturales, deacuerdo con las condiciones planteadas.

Luego de haberse familiarizado con la situacinse formulan las posibles soluciones y solucindefinitiva a la situacin.

2. Fase de formulacin:

Se socializa la solucin a la situacin formulada,as: 7 7 5 x 3 3 2 3 2 5 2 3 2 5 2 5 5 7 5

3. Fase de validacin: Se confrontan soluciones diversas a la solucin

planteada, as como a los procedimientosutilizados. Esto es: los estudiantes someten a

prueba sus producciones realizadas.

4. Fase de la institucionalizacin: Aqu, se establecen las generalizaciones a to-

das las soluciones particulares y se sealan ydesarrollan formalmente los contenidos ma-temticos necesarios; en este caso: adicin ymultiplicacin en , as como nmeros pri-mos.

5. Fase de evaluacin Se pone en prctica la autoevaluacin y la co-

laboracin, y se deja establecido el tratamientode otros contenidos matemticos como sustrac-cin y divisin en .

Para presentar tu propuesta didctica, considera

un contenido matemtico que ofrezca mayordificultad en su compresin, formula las fases deacuerdo con el aporte didctico de Guy Brousseauy trabjalo con tus estudiantesen el aula de clases,finalmente expn esta experiencia a tus colegas.

Z_Serie2 Fasc1 Doc.indd 14Z_Serie2-Fasc1-Doc.indd 14 6/13/07 1:53:32 AM6/13/07 1:53:32 AM


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RACIONALES Y REALES

Los docentes deben animar a los estudiantes a que deduzcan y justifiquen susconclusiones, asimismo, los estudiantes deben entender ntegramente el conceptode conjunto numrico, comprender los nmeros, las formas de representarlos ylas relaciones entre ellos.

A continuacin, se presenta la formacin del concepto de nmero entero a travsde una situacin didctica.

3. SITUACIONESDIDCTICASen elAPRENDIZAJE

SISTEMAdel de losNMEROS ENTEROS

3.1 Situacin didctica: descubriendo al nmero entero

1. TEMA: EL NMERO ENTERO.


3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.


Destreza: Codifica. Conceptualiza los nmeros enteros a partir de situaciones de su vida

diaria. Participa activamente en el trabajo en equipo. (Solidaridad y cooper-acin).

5. MTODOS, PROCEDIMIENTOS y TCNICAS QUE SE SUGIEREN.

Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogacin didctica, lluviade ideas, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES:

Ficha de trabajo estructurada. Papeles, hojas bond, plumones.

Los nmeros enteros

SABAS QU?

Hacia los siglos VI y VII,los hindes fueron los

pioneros en el uso de lascantidades negativas comomedio para representar las

deudas.

Sin embargo, la aceptacin

de nmero negativo enoccidente fue un proceso deuna lentitud sorprendente,

pues, por varios siglos,los nmeros negativos no

eran considerados comocantidades verdaderas,

dada la imposibilidad derepresentarlos en el mundo

fsico.

Con mucha dificultad, losnmeros negativos fueron

finalmente considerados en

la resolucin de ecuaciones,segn se refleja en los

escritos del matemticoitaliano Jernimo Cardano:

olvidad las torturasmentales que esto os

producir e introducid estascantidades en la ecuacin.

En el siglo XIX, an existaentre los matemticos

de occidente, una grandesconfianza en el

manejo de las cantidadesmatemticas, hasta que enel mismo siglo Weisrestrasshizo la construccin formal

de los nmeros enterosa partir de los nmeros

naturales.

http://www.itc.edu.

co/carreras_itc/

Sistema%20Numerico/index.

html

Interesante



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FICHA DE TRABAJO

Juan le ha prestado a Mara ocho soles. Pasada una semana, Mara le hadevuelto a Juan solamente cuatro soles. Representa este hecho simblicamente

en la tabla siguiente y coloca el numeral:

A Juan le pagan cuatro soles

Mara debe cuatro soles a Juan

A Juan le pagan tres soles

Mara debe tres soles a Juan

A Juan le pagan dos soles

Mara debe dos soles a Juan

A Juan le pagan un sol

Mara debe un sol a Juan

A Juan le pagan ocho solesMara no debe a Juan

1. Si Juan le hubiera prestado a Mara 6 soles y ella hubiese pagado 3 soles,cmo puedes representar este hecho simblicamente?

2. Pero, si Juan le hubiera prestado a Mara 4 soles y pagado slo 2 soles,cmo sera esta representacin en smbolos?

3. Si Juan le hubiera prestado a Mara 2 soles y luego, pagado slo un sol,cmo representas simblicamente este hecho?

4. Cmo representaras simblicamente, ahora, el hecho de que Marahaya pagado toda su cuenta, si Juan le prest ocho soles?

7. APLICACIN: (SITUACION DIDCTICA).

7.1 ACCIN:

Los estudiantes trabajan en la ficha de trabajo presentada tratando de darrespuestas a las interrogantes all planteadas.

7.2 FORMULACIN:

Los estudiantes sacan sus conclusiones y representan en una recta numrica

todas las simbolizaciones hechas en su material.7.3 VALIDACIN:

Cuando decimos, cmo puede justificar la existencia de nmeros negativos,su posible respuesta ser: por las deudas.

Con la gua del docente: ellos afirmarn que hay la misma distancia del ceroa cierto nmero negativo y del cero a dicho numeral, pero positivo.


La institucionalizacin se har respecto a los siguientes trminos matemticos:Nmeros enteros, representacin en la recta numrica, valor absoluto de unnmero entero. Nociones de comparacin de nmeros enteros.

matemticascuriosidades

Para que un todo, dividido en

dos partes desiguales parezca

hermoso desde el punto de vista

de la forma, debe presentar entrela parte menor y la mayor, la

misma relacin que entre sta y

el todo. Esta notable divisin se

llama divisin urea o divisin

media y extrema razn.

La proporcin es la siguiente.

segmento total parte mayor

parte mayor= parte menor

Esta divisin es ms o menos:

= 1,618.

En las lneas principalesdel rostro femenino

matemticamente hermoso

resulta constante aquella

relacin.

809

500



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RACIONALES Y REALES

ANLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIN DIDCTICA.

Luego de que los estudiantes salen a exponer las conclusiones del grupo, seles pide que representen en una sola recta numrica todas las simbolizacionesque hayan hecho en cada uno de los cuadros.

Se aprovecha esta situacin de la grfica para poder dar la idea del valorabsoluto para cada cuadro en la grfica y la preservacin de distancias delmismo con respecto al cero, aadimos tambin que el cero es neutro y, porlo tanto, no lleva signo.

7.5 EVALUACIN:

Se puede aplicar, por ejemplo, una ficha de trabajo como evaluacin, muysimilar a la anterior, pero de manera individual; veamos:

TEMPERATURAS

APELLIDOS Y NOMBRES:

GRADO Y SECCIN:Los estudiantes del primer ao de secundaria decidieron salir de excursin alos distintos lugares del Per, para esto fueron a averiguar las temperaturasde los sitios a visitar.

Los sitios son: Lima, Junn, Pasco, Cuzcoy Loreto.

Para esto, la meteorloga les dijo:

En Lima la temperatura es de diecisietegrados centgrados (C).

En Junn la temperatura es de ocho gradoscentgrados (C).

En Pasco la temperatura es de ocho gradoscentgrados (C) bajo cero.

En Cuzco la temperatura es de dos gradoscentgrados (C) bajo cero.

En Loreto la temperatura es de veinticincogrados centgrados (C).

1.- Cmo representaras el numeral de la temperatura de Junn que es deocho grados centgrados y la temperatura de Pasco que es de ocho gradoscentgrados bajo cero?

2. Son iguales el nmero de las temperaturas de Junn y Pasco.

S o No? Por qu?

3. En los casilleros blancos, completa el numeral de las temperaturas de loslugares indicados.

Cuzco Lima Loreto

4.- En una recta numrica, escribe los numerales de las distintas temperaturasde los departamentos indicados.

Pasco Junn

Representacin del nmero de la temperatura

O C E A N O

P A C I F I C O

LAGO

TITICACA

TUMBES

PIURA

LAMBAYEQUE

CAJA

MARCA

AMAZONAS

LORETO

SANMARTIN

LA LIBERTAD

ANCASHHUANUCO

CERROD

EPASCO

UCAYALI

JUNIN

LIMA

HUANCAVELICA

ICA AYACUCHO

CUZCO

MADRE DE DIOS

APURIMAC

AREQUIPA

PUNO

MOQUEGUA

TACNA

0



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18


MATEMTICA 3.2 Situacin problemtica: ciudadanos buenos y malos

Una situacin problemtica es una situacin didctica, donde partiendo deun problema se trata de explicar de una manera ms comprensible, conceptosmatemticos, acercndolos a los casos reales.

A continuacin se presenta una situacin problemtica para explicar las reglasde los signos en los nmeros enteros: Para el desarrollo del mismo tiene untiempo de treinta minutos.

En la isla de San Lorenzo hay ciudadanos buenos a los que se les asigna elsigno +, y ciudadanos malos a los que se les asigna el signo . Se acuerda que:salir de la isla equivale al signo , y entrar a la isla equivale al signo +.

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultadopara la isla es positivo: (+) (+) = (+).

Si un ciudadano malo (-) sale de la isla de San Lorenzo, el resultado para laisla es positivo: (-)(-) = (+).

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de la isla de San Lorenzo, el resultadopara la isla es negativo: (+) (-) = (-).

Si un ciudadano malo (-) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultado parala isla es negativo: (+) (-) = (-).

Sin embargo, tambin se cita otra manera de abordar la explicacin de lasreglas de los signos en los nmeros enteros, veamos:

El amigo de mi amigo es mi amigo: (+)(+) = (+)

El amigo de mi enemigo es mi enemigo: (+)(-) = (-)

El enemigo de mi amigo es mi enemigo: (-)(+) = (-)

El enemigo de mi enemigo es mi amigo: (-)(-) = (+)

3.3 Situacin a-didctica: casinos para la adicin ysustraccin de nmeros enteros

Cuando un estudiante manipula ciertos conceptos todava no claros para l,puede resultar ciertamente complejo y desalentador dicho intento voluntario.Entonces es necesario esclarecer de manera prctica y sencilla la teora medianteun juego.

Adems, cuando el docente presenta un juego didctico en el aula, tambin lees posible trabajar muy arduamente el aspecto actitudinal que el estudiante demanera natural muestra en el proceso.

Esquematizar, ahora, la aplicacin de las seis etapas de aprendizaje enMatemtica de Dienes, en el aprendizaje de la adicin y sustraccin de nmerosenteros; se har a travs de una situacin a-didctica: CASINOS PARA LAADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS.

1. TEMA: ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS.




Destreza: aplica (razonamiento y demostracin).

Aplica los procedimientos adecuados para determinar la suma y resta denmeros enteros.

Casinos para la adicin y sustraccin

de nmeros enteros.

Unmatemate...

Este nmero resulta de una

operacin muy peculiar:

25x 92= 2 592



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RACIONALES Y REALES


Acta de manera disciplinada.

5. MTODOS, PROCEDIMIENTOS Y TCNICAS QUE SE SUGIEREN.

Inductivo-deductivo, activos colectivizados, rally, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES: Mazos de 54 cartas de casinos y hojas de trabajo.

7. APLICACIN: (SITUACIN A-DIDCTICA).

Primera etapa:

Se presenta el material a los alumnos, en grupos de cuatro integrantes, y seles pide que jueguen con l (barajarn las cartas).

Segunda etapa:

Ahora se les pide que:

Se repartan las cartas, cuatro cartas para cada jugador.

Se coloquen dos cartas en la mesa. Se designe el orden de las jugadas.

El jugador, mediante las operaciones de adicin y sustraccin llevar lascartas si tiene la suma o diferencia de la operacin realizada.

Estas operaciones se anotarn en una hoja de prctica.

Gana el jugador que haya llevado y registrado ms operaciones que losdems, previa verificacin.

CAMPEONATO: EL PUNTO DE ORO DEL CERO.

Los jugadores sern cuatro y jugarn por parejas.

Si un jugador levanta todas las cartas que hay sobre la mesa marcar un

PUNTO DE ORO.

Si un jugador levanta cartas cuyo resultado sea cero marcar un PUNTODE ORO.

Luego se seguir la ronda, jugando la persona ubicada a la derecha de laanterior, y as sucesivamente.

Cuando se acabe el mazo se contar los puntos de oro que se hayanconseguido.

Luego repartir las cartas otro jugador, llevndose a cabo la segundamano; despus la tercera y por ltimo la cuarta mano. Al cabo de ellaganar la pareja que haya conseguido mayor cantidad de puntos y haya

hecho correctamente las operaciones de cada jugada en su cuaderno detrabajo.

Por ltimo, se asignar el primer y segundo puesto del campeonato, paralo cual, se har una tabla de posiciones donde se anotar la ronda deganadores y perdedores.

Tercera etapa:

En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente seles pregunta: qu es la adicin? Qu es la suma? Qu es la sustraccin?Qu es la resta?

Multiplicaciones por mltiplos

de 9:

12345679 9 = 111111111

12345679 18 = 222222222

12345679 27 = 333333333

12345679 36 = 444444444

12345679 45 = 555555555

12345679 54 = 666666666

12345679 63 = 777777777

12345679 72 = 888888888

12345679 81 = 999999999



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20


Unmatemate...

Cuarta etapa:

Se les pide a los estudiantes que representen grficamente el hecho de quesignos iguales se suman y, signos diferentes se restan y se coloca el signodel nmero que posee mayor valor absoluto.

Quinta etapa:

Se les pide a los estudiantes que describan tal representacin en lenguajeusual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Sexta etapa:

Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito enlenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simblico.

Se les pregunta a los estudiantes: Cmo podemos llamar a lo deducido?

Actividad 2


Qu le dijo el 1 al 0?

Oye, amigo, ponte a rebajar.

Y el 0 responde: No, porquedespus me pongo negativo.

Les preguntamos a nuestrosestudiantes si ellos realmentecreen que la escritura, lalectura y los conocimientosde la Matemtica, sonimportantes para su vidapresente y futura; al respectopodemos decirles que porla nueva poca que nos hatocado vivir, es fundamental

que se dominen estas tresreas y no slo en un idioma,sino en ms de dos.

Discute con tus colegas sobre la solucin de los siguientes problemas yluego arma, a partir de ello, una situacin problemtica en clase.Cmolo haras?

1. CUNTOS CAMELLOS?

Dos beduinos se encuentran en el desierto, se saludan y entablan lasiguiente conversacin: Si me regalas un camello tendr el doble que t.

El otro le contesta: Reglame t uno a m y as tendremos los dos el mismo nmero de

camellos. Cuntos camellos tiene cada beduino?

2. Un torneo de ping-pong

La cuestin inicial.

Un colegio organiza un torneo de pingpong en forma de liga. Lacomisin organizadora debe decidir cuntos das durar el torneo,los horarios de los partidos, el nmero de mesas que necesitarn,el tipo de premios, etc. Dado que se dispone de un presupuestolimitado, hay que hacer un estudio previo de lo que costar laorganizacin del evento.

Las decisiones que hay que tomar dependen evidentemente delnmero de partidos que se jugarn en la liga, en la que todos

los jugadores juegan contra todos los dems. Los organizadoresdudan entre poner o no un lmite al nmero de inscripciones, pormiedo a que una avalancha de jugadores haga totalmente inviablela realizacin del torneo. Para ello, necesitan prever cul ser elnmero total de partidos que se jugarn a partir del nmero dejugadores inscritos.

Problema.

Si en una liga de ping-pong juegan njugadores, cul es el nmerototal de partidos que se realizarn?

Considere el aporte didctico de Dienes y adapta tu presentacin a las seisetapas.



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RACIONALES Y REALES

Es importante que el estudiante tenga experiencia, primero con fracciones sencillasrelacionadas con situaciones de la vida diaria y con problemas tiles, empezandocon las fracciones comunes expresadas en el lenguaje que traen a la clase. Porejemplo: mitad. A este respecto, es muy importante que los estudiantes se dencuenta de cundo las cosas estn divididas en partes iguales. Debern ser capacesde identificar tres partes entre cuatro partes iguales, o tres cuartos de un papeldoblado que han sido sombreados, y entender que cuartos significa cuatropartes iguales de un todo. Esto ayudar a crear una base para un aprendizaje msprofundo de la notacin de fraccin.

4.1 Situacin didctica: repartiendo una rodaja de jamonada

Despus de haber trabajado los nmeros enteros, vemos que stos no alcanzanpara comprender, expresar y trabajar sobre otros problemas que se presentan enla realidad.

Para comenzar la bsqueda de la solucin a situaciones imposibles de resolversolamente con nmeros enteros, se propone una situacin didctica sencilla: derepartir una rodaja de jamonada. Veamos:

1. TEMA: FRACCIN.




Destreza: reproduce (razonamiento y demostracin).

Conceptualiza los nmeros fraccionarios a partir situaciones de su vidadiaria.

Dice la verdad (honestidad).



4. SITUACIONESDIDCTICASen el

APRENDIZAJESISTEMA

del

de los

NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales

SABAS QU?

La nocin general de nmeroracional como relacin entredos enteros fue utilizada por

los pitagricos en el sigloVI a.C. Aos antes, los

babilonios y los egipcioshaban utilizado algunas

fracciones, las que tenancomo numerador 1, por

ejemplo:

y algunas en particular como:

http://www.itc.edu.

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Interesante



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MATEMTICA 6. MEDIOS Y MATERIALES:

Para llevar a cabo esta situacin didctica de fraccin, concepto y equiva-

lencia; cada grupo contar con un material necesario de figuras en papel de

calcar:

5 tiras rectangulares de 12cm por 2cm.

3 crculos de 3cm de dimetro.

1 cuadrado de 5cm por 5cm.

Adems: transportador, regla, una rodaja de jamonada de forma circular de

aproximadamente 1cm de espesor.

FICHA DE TRABAJO

Lean atentamente y sigan las instrucciones cuidadosamente:

1. Repartan una rodaja de jamonada entre los integrantes de cada grupo y

el profesor, de modo que a todos los chicos del grupo les corresponda lamisma cantidad y al profesor el doble de lo que le toc a cada miembro

del equipo (slo por esta ocasin). Trabajen con la mayor precisin

posible para que no haya quejas.

2. Hagan un esquema de la solucin que le dieron.

3. Qu parte del entero le corresponde a un chico del grupo?

4. Qu parte del entero le corresponde a todos los chicos de un grupo?

5. Qu parte del entero le corresponde al profesor?

6. Sugieran la definicin de fraccin.

Pero existen muchas fracciones: analicen algunas de ellas.

7. Pinten: los de un rectngulo; los del cuadrado, los de los crculos.

8. Peguen las figuras.

9. Observando lo pintado deduzcan las condiciones que tiene que cumplir

una fraccin para ser:

a. Igual que la unidad.

b. Mayor que la unidad.

c. Menor que la unidad.

10. Dividan las tiras rectangulares. Una de ellas en medios, otra en cuartos,

otra en sextos y otra en octavos. Pguenlas en este rectngulo (en forma

de librito).

11. Rayen: en la tira dividida en medios: la cantidad de cuartos que

representen la misma parte del entero que , en la tira dividida en cuartos:

la misma porcin en las otras tiras.

12. Todas estas fracciones son equivalentes? Por qu?

13. Sugieran la definicin de fracciones equivalentes.

Escriban 10 fracciones equivalentes de . Habrn ms?

Escriban 10 fracciones equivalentes de . Habrn ms?

SABAS QU?Fueron los hindes quienes

se encargaron de las reglaspara ejecutar las operaciones

entre nmeros fraccionarios.Unas reglas generales fueron

las planteadas por Aryabhata,y luego Bramagupta,

en los siglos VI y VIIrespectivamente. Ms adelante

fueron los mismos hindesquienes se encargaron de

sistematizar y ampliar estasreglas.

Durante el siglo XV el

matemtico persa Al-kashiplante la escritura decimalde los nmeros fraccionarios

y al mismo tiempo establecilas reglas de clculo con

los nmeros decimales. Enel occidente cristiano, a las

fracciones decimales se lesconoca como fracciones de

los turcos.

Posteriormente a las

fracciones equivalentes quepueden ser simplificadas

se les denomin nmerosracionales, mientras que la

fraccin siempre ser untrmino que no tiene factores

comunes entre el numeradory el denominador, es decir, es

irreducible.

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RACIONALES Y REALES

Unmatemate...

Expliquen un mtodo para encontrar fracciones equivalentes a unafraccin dada.

Y si la fraccin fuera , cul es el equivalente de ella, tal que el

numerador y denominador sean los nmeros naturales ms pequeosposibles?

14. Anotar las conclusiones en asamblea.

7. APLICACIN: (SITUACION DIDCTICA).

7.1 ACCIN:

Se les presenta la ficha de trabajo.

7.2 FORMULACIN:

Los estudiantes intercambian informacin para ir respondiendopaulatinamente a las preguntas.

7.3 VALIDACIN:

Todos los grupos mostrarn la solucin dada al problema, evidenciando lanecesidad de nmeros fraccionarios, en primer lugar; luego justificarn sudefinicin de fracciones equivalentes.


El docente institucionalizar la necesidad de extender a . El conceptode fraccin. Fracciones equivalentes.

7.5 EVALUACIN:

Se llevar a cabo mediante los tems planteados en la ficha de trabajo.

4.2 Situacin a-didctica: domin de fracciones

Debemos recordar que las situaciones a-didcticas son casos particulares deuna situacin didctica.

La siguiente situacin es un juego de un domin de fracciones equivalentes conconversiones de fracciones decimales o fracciones comunes y el clculo de lageneratriz de una fraccin decimal exacta y decimal peridica pura.

1. TEMA: FRACCIONES.



4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIN DIDCTICA. Destreza: interpreta (comunicacin matemtica).

Codifica la informacin recibida de fracciones (transfiere la informacindel lenguaje cotidiano al lenguaje matemtico).

Decodifica la informacin de fracciones Identifica fracciones (transformael lenguaje simblico al lenguaje cotidiano).

Acta de manera disciplinada.

5. MTODOS, TCNICAS QUE SE SUGIEREN.

Inductivo-deductivo, activos colectivizados, activos individualizados, rallyinterrogacin didctica, lluvia de ideas, entre otros.

Qu es un nio complejo?

Un nio con la madre real y

el padre imaginario.



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7. APLICACIN (SITUACION A-DIDCTICA):

Este domin es muy parecido al domin normal, la nica diferencia es queen lugar de nmeros enteros tiene fracciones. As, la ficha ms alta, en lugarde ser la mula de 6, es la mula de 1.

Primera etapa:

Se les presenta a los estudiantes, en grupos de 4 integrantes, el material y seles pide que jueguen con l.

Segunda etapa:

Se colocan las fichas boca abajo y se revuelven. Esto se llama hacer lasopa.

Cada jugador toma 7 fichas al azar. El jugador con la mula de 1 es el que inicia el juego.

El jugador que est a la derecha tirar una ficha con un 1.

El siguiente jugador a la derecha puede escoger, para tirar, uno de losdos extremos de la hilera.

Siempre tendr que tirar una ficha que coincida con el nmero de algunode los extremos.

Cada jugador tirar una sola ficha en su turno y si no tiene ninguna quepueda acomodar tendr que pasar.

Gana el primer jugador que se coloque todas sus fichas.

Si esto no sucede porque ya ningn jugador puede acomodar fichas, sedice que el juego est cerrado.

En un juego cerrado, cada jugador deber sumar todos los nmeros desus fichas.

Ganar el que menos puntos tenga.

Tercera etapa:

En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente seles pregunta: qu es una fraccin? Cundo una fraccin es equivalente?Cmo encontramos la generatriz de una fraccin? Cmo podemos pasaruna fraccin a un nmero decimal?

16

424

13

2880 3, 3,5

32

53

441 6,

25

318

1 6,22

64

77

106

0 3,26

32

410

1 6,

212

410

2012

820

96

159

32

615

39

55

412

72

1025

144

216

33

88

424 0 3,

0 3,

32

72

53

410

318

1,5 1 0,4

1,5

1 1,5 3,5

212

1,5

El siguiente cuadrado de 16

casillas es llamado diablico.

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

15 10 3 6

La constante 34 de este

cuadrado mgico no solamente

se obtiene sumando los

nmeros de una misma

columna, o de una misma fila, o

de una diagonal, sino tambin,

sumando de otras maneras

cuatro nmeros del cuadro; porejemplo:

4 + 5+ 11 + 14 = 34

4+ 9 + 6 + 15 = 34

1 + 11 + 16 + 6 = 34 y as,

de 86 modos diferentes.


28 cartillas de fichas del domin fraccionario

Hojas de trabajo



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RACIONALES Y REALES

Unmatemate...

Cuarta etapa:

Se les pide a los estudiantes que representen grficamente el hecho de:

Obtener fracciones equivalentes.

Obtener la fraccin generatriz.

Quinta etapa:

Se les pide a los estudiantes que describan tal representacin en lenguajeusual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Sexta etapa:

Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito enlenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simblico.

Se les pregunta a los estudiantes: cmo podemos llamar a lo deducido?

Qu le dijo el nmero 1 al

1/2?

Que era un cobarde, porque

siempre andaba a medias.

Actividad 3


Discute con tus colegas sobre la solucin de los siguientes problemas y luego arma, a partir de ello, unasituacin problemtica en clase. Cmo lo haras?

1. El testamento de un granjero

Un granjero posea 14 vacas. Su mujer estaba embarazada y el granjero dej escrito en su testamentoque si tena un hijo varn, recibira 2/3 de la herencia y 1/3 la madre; si tena una nia, recibira 1/3 dela herencia y 2/3 la madre. Falleci el granjero y nacieron gemelos: nio y nia. Cmo se repartieronde forma equitativa las 14 vacas entre los tres?

2. La liebre y la tortuga se inscriben para correr una carrera desde Chaclacayo a Chosica. Pobre tortuga! ,

la velocidad de la liebre es 10 veces mayor. Por eso los organizadores, para equilibrar un poco las cosas,imponen a la liebre la siguiente condicin: el primer da debe correr slo la mitad del camino: el segundoda, la mitad de lo que le faltaba; el tercer da la mitad del resto, y as sucesivamente. Quin llegar antesa la meta? Por qu?

3. Estrella mgica:

Distribuye los nmeros del 1 al 16 de tal manera que la suma de los cuatro nmeros que se hallan en cadalado siempre sea 34.

Para socializar la solucin de las situaciones presentadas, considere las seis etapas de Zoltan Dienes y parala solucin de la situacin 3, combine con nmeros, dgitos y nmeros compuestos adecuadamente.



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Cuando planteamos una situacin didctica, o situacin problemtica, debemossacar el mximo provecho posible de la situacin durante el acto educativo.

Se plantea ahora, una situacin problemtica para descubrir el nmero de oro onmero irracional.

5.1 Situacin didctica: un cuadrado de ms

1. TEMA: NMERO IRRACIONAL.


3. GRADO DE ESTUDIO: Segundo de Secundaria.


Destreza: procesa (resolucin de problemas).

Relaciona las variables pertinentes.

Expresa las variables, de acuerdo con el enunciado.

Resuelve las ecuaciones aplicando los procedimientos adecuados paraencontrar el nmero de oro.

Es perseverante al encontrar el nmero de oro.




Ficha de trabajo estructurada.

Cartulina y regla.

en el

del

de los

5. SITUACIONESDIDCTICAS

APRENDIZAJESISTEMA

NMEROS REALES

Los nmeros irracionales

SABAS QU?

Al parecer fueron los griegoshacia el siglo V a.C., losdescubridores de la existenciade nmeros no racionales.Este descubrimiento hizotambalear uno de losprincipios de los pitagricos,que consista en considerarque la esencia de todas lascosas, tanto en la geometracomo en los asuntos tericosy prcticos del hombre,era explicable en trminosde arithmos, es decir, de

propiedades de los nmerosenteros y de sus razones.Puesto que la existencia detales nmeros era evidente,los griegos no tuvieron msremedio que aceptarlos conel nombre de irracionales.De esta manera, el campo delos nmeros se extendi parasuperar la incapacidad de losracionales para representartodas las medidas demagnitudes.

Interesante



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RACIONALES Y REALESUN CUADRADO DE MS

Reglas de accin:

Forma grupos de cuatro estudiantes. Organzate dentro de tu grupo.

Intenta, primero, resolver de manera individual manipulando elmaterial.

Intercambia tus puntos de vista en el grupo.

Por unanimidad, escojan la estrategia que mejor crean convenientey justifquenla.

Trace el cuadrado en la cartulina, segn la figura mostrada, teniendoen cuenta sus medidas, y obtn las piezas que se sealan.

En las siguientes dos figuras, considere las medidas del cuadrado y

el rectngulo: RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

A. De la descomposicin del cuadrado se obtiene el rectngulo?

B. Por qu el rea del cuadrado y el rea del rectngulo no soniguales?

C. Si usted repite la situacin, pero considera el cuadrado con lasmedidas 8 y 5 (en lugar de 5 y 3). Qu puede decir respecto alas mismas respuestas anteriores?

D. Existirn dos nmeros reales, tales que al transformar el

cuadrado (descompuesto en forma similar: en dos trapecios ydos tringulos) en el rectngulo, tengan igual rea? Justifiquesu respuesta.

7. APLICACIN: (SITUACIN DIDCTICA).

Ahora te toca a ti esbozar la situacin didctica estableciendo lasactividades para cada una de las fases. No olvides que dichas fasesson: ACCIN, FORMULACIN, VALIDACIN, INSTITUCIO-NALIZACIN y no debemos obviar a la EVALUACIN.

5 3

55

53

8

3

8 5

3

35

Como la constante en este fascculo es profundizar experiencias parareforzar la resolucin de problemas, recomendamos la lectura de GuyBrousseau *, autor que aborda aspectos de la experiencia didctica.

Los nmeros reales

SABAS QU?

Dos siglos despus dela determinacin de los

nmeros irracionales, elmatemtico y poeta Omar

Khayyam estableci unateora general de nmero y

aadi algunos elementos alos nmeros racionales, comoson los irracionales, para que

pudieran ser medidas todas lasmagnitudes. Slo a finales del

siglo XIX pudo formalizarsela idea de continuidad y se dio

una definicin satisfactoriadel conjunto de los nmeros

reales, con los trabajos deCantor, Dedekind, Weierstrass,

Heine y Meray, entre otros.

Interesante

* Fundamentos y mtodos en Didctica de las Matemticas, trad. de su tesis de graduacin, Facultadde Matemtica Universidad de Cordova, 1986.



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28

Serie 2/ DIDCTICA DE LAMATEMTICAActividad 4

Discute con tus colegas sobre la solucin del siguiente problema y luego arma a partir de ello una situacinproblemtica en clase. Cmo lo haras?

Hay dos crculos que delimitan una corona y, en el crculo pequeo, hay una foto en forma de cuadradoinscrito. Si el lado del cuadrado divide el radio del crculo mayor por la mitad y la diferencia entre losradios de los dos crculos es de 45cm:

Determina el tamao real de la foto.

Determina el radio rdel crculo exterior.

1. Fase de accin: situacin problemtica del futuro

Un hombre cobr el cheque de su pensin. El cajero automtico se equivoc y le entreg tantos soles

como centavos figuraban en el cheque y tantos centavos como soles le corresponda. De la sumarecibida, el hombre di cinco centavos a un medigo y cont entonces el dinero: tena en sus manos eldoble del importe del cheque. Cul era la cantidad que apareca en el cheque? Familiarzate con lasituacin problemtica y encuentra la solucin adecuada.

2. Fase de formulacin:

Se socializa la solucin obtenida para la situacin, esto es:

x.y representa nmero de soles representa en nmero de centavos

figuraba en el cheque. Luego

3. Fase de validacin

Los estudiantes ponen a prueba sus diversas soluciones, discutindolas y haciendo que se adopte lamejor solucin.

4. Fase de institucionalizacin

Se establece generalizaciones para estos casos particulares y se refuerza los contenidos de: NmerosDecimales, relaciones de Orden en .

5. Fase de evaluacin

Se pone en prctica la autoevaluacin y coevaluacin, y se inicia el estudio de la solucin de ecuacionesen .

Ahora, selecciona un problema matemtico que haya ofrecido mayor dificultad en su comprensindel sistema de nmeros reales, y resulvelo siguiendo el modelo de situaciones didcticas de GuyBrousseau.


entonces; se tiene:



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29

Responde las siguientes preguntas:1. Cundo una situacin es: didctica, a-didctica, no didctica?2. Cules son las fases de la teora de las situaciones didcticas?3. Describe las acciones del docente en las diferentes fases de las situaciones didcticas.4. En qu proceso de aprendizaje, segn Dienes, sita sus etapas de aprendizaje en Matemtica? Por

qu?5. Cuntas y cules son las etapas de aprendizaje en matemtica, segn Dienes? Descrbelas.6. Qu debe tener en cuenta el docente en la fase de institucionalizacin?7. Por qu es importante establecer el anlisis a-priori de una situacin didctica?8. Por qu es importante realizar el anlisis a-posteriori de una situacin didctica?9. Comenta sobre la importancia de establecer las reglas de accin.10. Elabora una situacin a-didctica para los nmeros naturales.11. Elabora una situacin didctica para los nmeros enteros.

12. Elabora una situacin problemtica para los nmeros racionales.13. Elabora una situacin a-didctica para los nmeros reales.

Opine crticamente sobre la situacin desarrollada.1 Fase de accin: Situacin problemtica Un libro tiene 100 pginas, para numerar todas las pginas, cuntos dgitos 2 se escriben? Familiarizarse con la situacin y establecer la solucin correcta.

2 Fase de formulacinSe comunica la solucin a la situacin planteada; esto es :

Secuencias Nmeros 1 10 2

11 20 12; 20 21 30 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29 31 40 32 41 50 42 51 60 52 61 70 62 71 80 72 81 90 82 91 100 92 Total 20

3 Fase de validacinLos estudiantes someten a prueba sus producciones estableciendo debates al respecto y buscando la

mejor solucin.

4 Fase de institucionalizacinAqu establecemos generalizaciones para la situacin particular resuelta, iniciando o reforzandoformalmente contenidos matemticos. En este caso: nmeros pares, mltiplos y submltiplos de esenmero, entre otros.

5 Fase de evaluacin Se practica la autoevaluacin y coevaluacin como reforzadores de la heteroevaluacin, y se considera

establecido el tratamiento de otros contenidos matemticos como divisibilidad por 3.

6.EVALUACIN



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Responde en una hoja aparte:

1. De qu manera te organizaste para leer el fascculo y desarrollar las actividades

propuestas?

2. Te fue fcil comprender el enunciado de las actividades? Por qu?

3. Si no te fue fcil, qu hiciste para comprenderlo?

4. Qu pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. Cules de estos pasos te presentaron mayor dificultad?

6. Cmo lograste superar estas dificultades?

7. Al resolver la evaluacin, qu tems te presentaron mayor dificultad?

8. Qu pasos has seguido para superar estas dificultades?

9. En qu acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en estefascculo?

10. Qu nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este

fascculo?

7.METACOGNICINMetacognicin es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,

sirve para darnos cuenta cmo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Deciente

Por qu?

11. Crees que las actividades de investigacin fueron realmente un trabajo de equipo?

Explica.

12. Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?

Qu sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R



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31



RACIONALES Y REALES

1. Chevallard, Y.; Bosh, M.; Gascn, J. Estudiar Matemticas: el eslabn perdido entreenseanza y aprendizaje.Barcelona. ICE HORSORI, 1997.

Desarrolla una profunda reflexin sobre el estudio de la Matemtica, la contextualizacinde los problemas y las situaciones didcticas, y sobre aspectos prcticos.

2. Chirinos M., Daniel. Didctica de la Matemtica. Lima. La Cantuta, 2000.

Entre otros aspectos, trata la didctica de la Matemtica como ciencia y esboza la teora de

situaciones didcticas.

3. Chirinos M., Daniel. Diseo y Elaboracin de Materiales Educativos. Lima. La Cantuta,2004.

Trata sobre aspectos generales de los medios y materiales, as como su aplicacin en elaula, a la luz de la teora de las situaciones didcticas.

4. Colectivo de Autores. Didctica General y Optimizacin del proceso de enseanzaaprendizaje. La Habana. Instituto Pedaggico Latinoamericano y Caribeo (IPLAC),2001.

Presenta los principios didcticos y aspectos profundamente reflexivos sobre una didctica

desarrolladora.

5. Labinowicz, E. Introduccin a Piaget: Pensamiento-aprendizaje-enseanza. Mxico.Fondo Educativo Interamericano, 1986.

Sustenta la teora gentica de manera experimental y muy sencilla de comprender.

6. Lima, Elon. Mi Profesor de Matemtica y otras historias. Lima.IMCA-UNI, 1998.

Est dedicado a la enseanza y divulgacin de la Matemtica por medio de una literaturade alta calidad cientfica.

7. National Council of Teachers of Mathematics; Sociedad Andaluza de Educacin MatemticaTHALES. Principios y Estndares para la Educacin Matemtica. Sevilla.ProyectoSur Industrias Grficas, 2003.

Es una gua para todos los que toman decisiones que afectan a la educacin matemtica.Sus recomendaciones estn basadas en la idea de que todos los estudiantes deberanaprender de manera comprensiva conceptos y procesos matemticos importantes. Estedocumento ofrece argumentos sobre la importancia de tal comprensin, y describe formasde lograrla.

BIBLIOGRAFAcomentada



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32


1. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci

Pgina webque contiene aspectos sobre la sucesin de Fibonacci.

2. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/Didactica_Numeros_Naturales.pdf

De Carlos Luque Arias y Lyda Mora Johana Torres. Es una didctica sobre la notacin denmeros naturales, contiene antecedentes histricos y actividades de aula.

3. http://www.elhuevodechocolate.com/acertijo6.htm;

Pgina webque contiene aspectos recreativos como acertijos y chistes en Matemtica.

4. http://www.oya-es.net/reportajes/

Contiene biografas de matemticos notables, as como situaciones didcticas e histricasde contenidos matemticos diversos.

5. http://www.ejournal.unam.mx/ciencias/

Contiene diversos artculos de la comunidad cientfica de Mxico y del mundo. Tiene aportes

de contenidos matemticos y sus respectivas sugerencias didcticas.

6. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html

En esta pgina se puede encontrar un completo panorama de los nmeros naturales desde sudefinicin hasta sus aplicaciones.

7. http://www.escolar.com/matem/13nument.htm

Pgina web dedicada a la

Documents

ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES EN SECUNDARIA