of 12 /12
MÁTRIXOK INVERZE GAUSS ELIMINÁCIÓVAL

MÁTRIXOK INVERZEusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/MATRUX_INVERZ.pdf · 2017. 10. 17. · INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI AT 1 A 1 T AC BC A B. CA CB A B 4. Ha C invertálható (nem szinguláris),

  • Author
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of MÁTRIXOK INVERZEusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/MATRUX_INVERZ.pdf · 2017. 10. 17. · INVERZ...

  • MÁTRIXOK INVERZEGAUSS ELIMINÁCIÓVAL

  • MÁTRIXOK INVERZE

    • Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van-e inverz?

    • Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a -gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre:

    • A = A=E

    • Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű:

    • = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*

    -1A -1A

    -1A-1A

    -1A -1A

  • INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI

    TT AA 11

    . BABCAC

    BACBCA

    4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni:

    BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C-1-gyel.

    1.

    2.

    3.

  • ELNEVEZÉSEK

    Elnevezések:

    A négyzetes mátrix

    SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK,

    inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak,

    ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK

    inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.

    0000

    0000

    0000

    0000

    O

    1000

    0100

    0010

    0001

    E

  • 31

    41A EAX

    10

    01

    31

    41

    2221

    1211

    xx

    xx

    10

    01

    33

    44

    22122111

    22122111

    xxxx

    xxxx

    HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?

  • 10

    01

    33

    44

    22122111

    22122111

    xxxx

    xxxx

    110

    301

    031

    141)1(

    110

    401

    131

    041)2(

    1 ,3 2111 xx

    1 ,4 2212 xx

    )( 11

    43

    2221

    1211 1-1 AAEAXAX

    xx

    xx

    (2) 13

    04

    (1) 03

    14

    2212

    2212

    2111

    2111

    xx

    xx

    xx

    xx

    Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak.Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

  • HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?

    531

    532

    211

    A

    Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval:

    333231

    232221

    131211

    1

    xxx

    xxx

    xxx

    A

    3

    333231

    232221

    131211

    1

    100

    010

    001

    531

    532

    211

    E

    xxx

    xxx

    xxx

    AA

  • 153

    0532

    02

    053

    1532

    02

    053

    0532

    12

    100

    010

    001

    531

    532

    211

    332313

    332313

    332313

    322212

    322212

    322212

    312111

    312111

    312111

    3

    333231

    232221

    131211

    1

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    xxx

    E

    xxx

    xxx

    xxx

    AA

    Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak:

    Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

    1

    0

    0

    ,

    0

    1

    0

    ,

    0

    0

    1

  • Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval

    Folytatás az előző oldalról:

    Például a 3. sor első elemének nullázása:

    Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk:

    0

    0

    1

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    1

    2

    1

    0

    1

    0

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    1

    2

    1

    1

    0

    0

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    1

    2

    1

    ,

    ,

    1

    0

    1

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    0

    1

    0

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    1

    0

    0

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    ,

    ,

  • 1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    1

    2

    1

    )1()3()3(

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    A3E

    .

    1

    0

    1

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    0

    1

    0

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

    1

    0

    0

    3

    5

    2

    2

    3

    1

    0

    2

    1

  • 1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    1

    2

    1

    )1(*2)2()2(

    )1()3()3(

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    2

    1

    3

    1

    2

    2

    1

    1

    0

    0

    1

    )2(*1)2(

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    2

    1

    3

    1

    2

    2

    1

    1

    0

    0

    1

    )2(*2)3()3()2()1()1(

    1

    0

    0

    2

    1

    1

    3

    2

    3

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    )3()2()2()3()1()1(

    1

    1

    1

    2

    3

    1

    3

    5

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    .

    Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan

    1eliminációJordan -Gauss || AEEA

  • Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és:

    111)( ABAB

    111)(

    :ezért ,egyértelmű inverz az Mivel

    ABAB

    IBBIBBBIBBAABABAB

    IAAAAIAIAABBAABAB

    1111111

    1111111

    )()()())((

    )()()())((

    Következmény:

    111

    2

    1

    3

    11

    321

    AAAAAAAA nn