LINEÁRIS ALGEBRA

• Bércesné Novák Ágnes

• Honlap:

http://users.itk.ppke.hu/~b_novak

• Követelményrendszer:

• Gauss elimináció

• Vektoralgebra:

• http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/Vektorfolcop.pdf

Lineáris egyenletrendszerek

GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)

a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1

a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2

a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3

…

am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm

x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 5

6x1+ 7x2+ 8x3+ 9x4 = 10

11x1+12x2+ 13x3+14x4 =15

16x1+17x2+ 18x3+19x4= 20

Definíció:

A lineáris egyenletrendszer (nevének megfelelően)

lineáris egyenletekből áll.

Lineáris az egyenlet, ha a benne szereplő

ismeretlenek legfeljebb első hatványon szerepelnek.

A lineáris egyenletrendszer

általános alakja n≠m: Példa:

Hol fordulnak elő egyenletrendszerek?

- Csillagászat: Gauss és a Ceres kisbolygó (asterodia)

- Kémiai számítások

- Fizikai számítások

- Közgazdaságtani számítások

- Biológiai számítások

- Mindenhol , pl.:

CSILLAGÁSZATLineáris egyenletrendszerek és a Ceres aszteroida

Guiseppi Piazzi

Felfedezte a Ceres-t

1801, Jan. 1

22 éjjel, 40 megfigyelés

Febr. 11., ELTŰNT!

„Napárnyék”

22 éjjel, 40 megfigyelés

(idő, szög1, szög2)

Szeptemberben publikálta

• Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

• Elimináció – Ceres! 1801 jan. 1.

• Komplex számok

• bizonyította be először az ALGEBRA ALAPTÉTELÉT.

Ha p(x) n-edfokú polinom, n > 0, melynek együtthatói komplexszámok, akkor a polinomnak a komplex számok körébenmultiplicitással számolva n gyöke van.

Példa:

← Carl Friedrich Gauss (24),

Megoldotta a 17 egyenletből

és 3 ismeretlenből

álló rendszert

GAUSS eliminációval

Sir Isaac Newton →

„Az ilyesfajta számítások

a legnehezebbek

az astronómiában”

← Gauss vázlata

a Ceres pályájáról.

Ceres képe a

Hubble

távcsővel→

KÖZÉPISKOLALineáris, kétismeretlenes egyenletrendszerek

1 közös pont

Egy megoldás:

X=0, y=-2

Az egyenletek konzisztensek

Nincs közös pont,az egyenesek párhuzamosak

Nincs megoldás

Inkonzisztens, ellentmondó egyenletek

Minden pont közös Végtelen sok megoldás

Összefüggő (és konzisztens) egyenletek

A fenti tapasztalat általában is igaz:

Minden lineáris egyenletrendszernek

(1) vagy pontosan egy megoldása van,

(2) vagy végtelen sok megoldása van

(3) vagy nincs megoldása

Síkok helyzete a térben

Bizonyítható,hogy az egyenesekhez hasonlóan a síkok egyenlete is a térben lineáris.

3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer 3 sík helyzetét írja le.

Írja az ábrák alá a megfelelő állítás számát!

Minden lineáris egyenletrendszernek

(1) vagy pontosan egy megoldása van,

(2) vagy végtelen sok megoldása van

(3) vagy nincs megoldása

(3)(2)(1)

2

53932

z

zyzyx

2z

15)2(3

yy

1y 2z

19)2(3)1(2

xx

2 ,1 ,1 zyx

Példa: LÉPCSŐS ALAK ÉS MEGOLDÁSA

De ha nem lépcsős?!

Akkor azzá tehető, hiszen:

- Szabad egyenleteket felcserélni

- Nem nulla számmal szorozni

- Egyik egyenlet számszorosát a másikhoz hozzáadni

Fentieket elemi sorműveleteknek nevezzük.

GAUSS ELIMINÁCIÓ:

Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra

hozzuk

a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1

a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2

a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3

…

am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm

α11x1+ α 12x2+ α13x3+… α 1nxn =1

α 22x2+ α23x3+… α 2nxn =2

α33x3+… α 3nxn =3

…

α mnxn=m

GAUSS ELIMINÁCIÓ:

Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra

hozzuk

GAUSS ELIMINÁCIÓ:

Az i. lépésben az aii segítségével nullázzuk az ALATTA levő aji

(i<j) együtthatókat.

(3)(2)(1)

17552

43932

zyx

yxzyx

Példa:

MO::

(4)

17552

53932

(2)(2)(1)

zyx

zyzyx

(5)

1

53932

(3)(3)2)((1)

zy

zyzyx

(6)

42

53932

(5)(5)(4)

z

zyzyx

2

53932

)6((6) 21

z

zyzyx

2 ,1 ,1 zyx

Ezt meg már láttuk, hogy

visszahelyettesítéssel

hogyan lehet megoldani.

A MEGOLDÁS (1 db):

Gauss:1. lépés

Gauss: 2. lépés

Gauss: 2. lépés

(3)(2)(1)

132

222

13

321

321

321

xxx

xxx

xxxPélda:

MO:

)5()4(

245

045

13

(3)(3))1((1)

(2)(2)2)((1)

32

32

321

xx

xx

xxx

20

045

13

)5()5()1()4(

32

321

xx

xxx

? 0= -2 ? → inkonzisztens rendszer !

Példa:

MO:

(3)(2)(1)

13

0

13

)2()1(

21

32

31

xx

xx

xx

(3)(2)(1)

13

13

0

21

31

32

xx

xx

xx

(4)

033

0

13

(3)(3)(1)

32

32

31

xx

xx

xx

0

13

32

31

xx

xx

,32 xx 31 31 xx

Végtelen sok megoldás:

,

,

,13

3

2

1

tx

Rttx

tx

KÖZGAZDASÁGTANI ALKALMAZÁS

Vaszilij Leontief –NOBEL DÍJ 1973 közgazdaságtan

USA gazdasági rendszere-250 000 adat

500 egyenlet 500 ismeretlen (redukálta 42-42-re):

MARK II számítógép, lyukkártyás, 56 óra alatt oldotta meg

Maga program is több hónapi munka volt!

Példa (végtelen sok megoldásra): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy

1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz ( 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3

egységnyi nyersanyagot használnak fel.

2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5

egységnyi nyersanyag szükséges.

3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és

0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel.

Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő

forrással rendelkezzék?

Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő

forrással rendelkezzék?

Tételezzük fel, hogy a model ZÁRT: nincsen egyéb forrás és rendszerből nem távozik el termék.

3

2

1

321

321

321

2.06.03.0

5.01.04.0

3.03.03.0

p

p

p

ppp

ppp

ppp

Példa (végtelen sok megoldás): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy

1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3

egységnyi nyersanyagot használnak fel.

2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5

egységnyi nyersanyag szükséges.

3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és

0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel.

tp

tp

tp

3

2

1

92.0

82.0

Ismeretlenek elhagyása, mátrixos alak

4=3z+4y+5x

2=5z+6y+7x

2=z+2y+3x

1

2

2

210

210

123

3/2

3/8

2

3/43/20

3/83/40

123

4

2

2

345

567

123.)1(

3

5.)3(.),1(

3

7.)2(

3

1

2

000

210

123

Ismeretlenek elhagyása, mátrixos alak

3

25

5

3615

725

021

3=3z+6y+15x

25=7z+2y5x

5=2y+x

Adott az alábbi mátrixos alak:

Írja fel az egyenleteket a mátrixos alakból!

MO.:

Példa (házi feladat): Adott az alábbi egyenletrendszer, írja fel a mátrixos alakot, és

keresse meg a megoldást Gauss eliminációval!

x-2y+3z=1

2x+y+z=-3

-x+2y-2z=0