B M IO M IK K l'KOí 42.070

MÁT

A könyv bőséges példa­anyaggal ismerteti a

mátrixok, vektorok, lineáris operátorok, állandó és változó

együtthatójú lineáris differenciál­egyenlet-rendszerek gyakorlati és elméleti témaköreit.Az első két rész az új rendszerű felső- oktatási alapképzés tananyaga.A harmadik rész az állandó együttha­tójú lineáris differenciálegyenlet­rendszerek klasszikus megoldásánál lényegesen egyszerűbb - korábbon még teljes egészében nem publikált- Obádovics-módszert, a negyedik rész 0 differenciálegyenlet-rendszerek elméletének - új eredményeket tar­ta lm azó-tárgyalási lehetőségét ismerteti, melyet a mester ill., doktori képzéshez ajánlunk.

A szerző 1927-ben született

Baján. Hobbija a kertészkedés,

a horgászás és az írás. Jelenleg

Balatonszárszón él feleségével.

Tizenkét unokája van, három lánya

szintén matematikával foglalkozik.

Természettudományi, műszaki

doktor, a matematika tudományok

kandidátusa. 20 könyv, 30 egye­

temi jegyzet, 52 tudományos

publikáció szerzője. A magyar

számítástechnika-oktatás egyik

megteremtője.

OBADOVICS TANODA matematikaoktatás

alap-, közép- és felsőfokon telefon; 385-32-80

S S ^O M Ux; h NH WS b g

® §S c/l uS 'U K

Obádovics J. Gyula

MÁTRIXOK ÉS DIFFERENCIÁLEGYENLET­

RENDSZEREK

SCOLAR

O b á d o v i c s J , G y o l a

MÁTRIXOKÉs

DIFFERENCIÁLEGYENLET­RENDSZEREK

§S C 0 L A R

K i a d ó

Lektorálta

Farkas Miklósegyetemi tanár

a matematikai tudományok doktora

Dr. Szarka Zoltánegyetemi docens

© DR. OBÁDOVICS J. GYULA, 2005 © SCOLAR KIADÓ, 2005

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, illetve rövidített változatának kiadási jogát is.

ISBN 963- 9534-24-2

Kiadja a SCOLAR KIADÓ 1114 Budapest, Bartók Béla út 7.

Tel./fax: (06-1) 466-7648 E-mail: scolar@scolar.hu

Felelős kiadó és felelős szerkesztő: Érsek Nándor A borítót tervezte: Máthé Hanga

A Könyv ábráit rajzolta: Érsek-Obádovics Robin, Horváth Virág A szerzőt fotózta: Szécsi Ildikó

Készült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán Ügyvezető igazgató: Megyik András

ELŐSZÓ

A könyvet a műszaki egyetemek hallgatóinak, a természettudományi és gazdaságtudományi karokon a matematikát igénylő szakok hallgatóinak, valamint az e területeken tudományos képzésben résztvevőknek ajánljuk.

A könyv első részének három fejezete egyrészt arra szolgál, hogy az Olvasók a már korábban megszerzett ismeretek - halmazok, függvények, mátrixok, vektorok, metrikus és normált terek - témaköreit felfrissíthessék, és megalapozzák a második, harmadik és negyedik részben felhasználásra kerülő fogalmakat. A második rész a lineáris operátorok elméletének ele­meit, a harmadik rész az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet­rendszerek megoldásának egy új módszerét tartalmazza. A negyedik rész a differenciálegyenlet-rendszerekkel kapcsolatos kezdeti- és peremfeltételek vizsgálatával foglalkozik egy jól definiált függvénytérben, majd bizonyítja a minimalizáló polinomvektorsorozat konvergenciáját.

A műszaki- és természettudományok számos fejezetének problémái mátrix sajátértékeinek, sajátvektorainak, ill. operátorok sajátelemeinek, sa­játfüggvényeinek meghatározását, továbbá tetszőleges függvények saját- függvények szerinti sorának előállítását igénylik. Ezt szem előtt tartva, a második rész a lineáris operátorok elemeit olyan módon tárgyalja, hogy az felhasználható legyen a műszaki- és természettudomány különböző terüle­tein, különös tekintettel a matematikai fizika, kvantummechanika tárgykö­reire.

Az első és a második rész megírásához nagy segítséget jelentettek azon kollégák egyetemi és szemináriumi előadásai, melyeket az elmúlt 50 évben különböző tanszékek és intézetek keretei között tartottak, valamint ezek alapján készített vázlatok, feljegyzések, jegyzetek [KI 8 ], melyek felhasz­nálásához hozzájárultak. Előadásaikban a matematika stílusának pontos, de egyszerűbb, élvezhetőbb módját ismerhettem meg, melyet a könyv írásakor újra átéltem, és alkalmazni igyekeztem. Mindannyiuknak ezúton is köszö- netem fejezem ki.

A harmadik rész, valamint a negyedik rész fejezetei új eredményeket tartalmaznak, könyvben itt jelennek meg először. Célom az volt, hogy az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldására Lagrange- és Hermite-féle mátrixpolinomok felhasználása nélkül, pusztán az együtthatómátrixra alapozott mátrixműveletekkel találjak megoldást. A 2001-ben megjelent Lineáris algebra példákkal c. könyvemben az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer modálmátrixszal történő megoldására mutattam néhány példát. E könyv harmadik része részletesen

6___________ Előszó

elemzi ennek az új módszernek, a modálmátrixszal történő megoldásnak az alkalmazhatóságát, lineáris és nem lineáris tényezőket tartalmazó mi ni mái- egyenlet esetére is. Bevezeti az olyan közelítő mátrix fogalmát (nevezhet­nénk „mankómátrixnak”), amelynek már a rendjével megegyező számú sajátvektora van, és így alkalmazhatóvá teszi a modálmátrixszal történő közelítő megoldást akkor is, amikor a klasszikus differenciálegyenlet-rend- szerek elmélete az H ermite-íélt mátrixpolinomokkal való megoldást írja elő. Új a Jordan-féle normálalak egyértelmű előállítására, valamint a transzformáció mátrixának egyszerűbb meghatározására kidolgozott eljá­rás, ha ismertek a sajátértékek és a sajátvektorok. Példák szemléltetik, hogy a transzformáció mátrixával és az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjával miként adható meg a többszörös multiplicitású minimál- egyenlettel rendelkező együtthatómátrix esetében a differenciálegyenlet kezdeti feltételt kielégítő megoldása. A kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldás hibájának becslésére kidolgozott egyszerű formula mind a stabil mind a nemstabil rendszerre jól alkalmazható.

A negyedik részben tárgyalt differenciálegyenlet-rendszerek elmélete sajátérték- és peremértékproblémáinak a szokásostól egyszerűbb felépíté­

séhez definiáltunk egy W" -nek elnevezett függvényvektor teret, amely

pusztán valósfüggvénytani eszközökre szorítkozik. A bevezetett W" -tér,

valamint az e térben definiált ekvivalens normák az integrálegyenlet­rendszer és a Cauchy-pwhléma megoldásának egzisztencia és unicitás tételére a korábbiaknál egyszerűbb bizonyítást tett lehetővé. A differenciál­egyenlet-rendszerek kezdetiértékproblémáit -térbe tartozó együttható­

függvényekkel vizsgálva a klasszikus eredmények lényeges általánosításá­ra volt mód, s eredményként kaptuk, hogy az együtthatóktól függően a megoldás egy meghatározott függvény-öanac/i-térben nyerhető.

A negyedik rész 3. fejezete a peremértékproblémák közelítő megoldá­sával foglalkozik. Bevezeti a minimalizáló polinomvektor fogalmát és megmutatja a polinomvektor-sorozatnak a peremértékprobléma megoldá­sához való konvergenciáját. Az eredmények, a korábban e témakörben meg­jelent cikkekben közölt eredményektől eltérően, nemcsak Hilbert-térhen érvényesek, továbbá lényegesen jobb konvergenciát biztosítanak, és Ln tér­ben a kidolgozott algoritmus számítógépes megoldást is lehetővé tesz.

Köszönettel tartozom Farkas Miklós és Szarka Zoltán lektoroknak a kéz­irat hibáinak kiszűrésére tett javaslataikért. Értékes bíráló megjegyzéseiket maradéktalanul igyekeztem felhasználni.

Balatonszárszó, 2004. június 10. Dr. Ohádovícs J. Gyula

TARTALOMJEGYZEK

ELŐSZÓ........................................................................................... ..................... 5TARTALOMJEGYZÉK....................... .................................. ...... ....... ............7JELEK ÉS RÖVIDÍTÉSEK....................................... ............................. 11

I. RÉSZÖ SSZEFO GLALÓ AZ ANALÍZISÉS A LINEÁRIS ALGEBRA ELEM EIB Ő L 15

1. FEJEZET......................................................................................... ............... 15Halmazok, függvények, mátrixok és vektorok................................... ...........15

1.1 Halmazelmélet.... .................................................................................151.1.1 Műveletek halmazokkal.... ..................... .............................. 17

1.2 Függvények.... ................................................... ............... ........... 201.3 Mátrixok, vektorok................... ................................. ........ ............... 23

1.3.1 Műveletek mátrixokkal.................................. ........................ 261.3.2 Determinánsok............. ...................... ................................. . 321.3.3 A négyzetes mátrix inverze............ ....................................... 35

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa ................ .............................. 461.4 V ektortér.............................. ................. ..............................................51

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció................... .............................561.5 Lineáris egyenletrendszerek............... .......................... ............... . 63

1.5.1 Gauss-módszer............................................ ....................... . 661.5.2 A CT-felbontás....................... .................... ........................ . 691.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással............. 74

1.6 Leképezés.............................................................................................791.7 Sajátértékek, sajátvektorok.... ......................................... ..................861.8 Bilineáris és kvadratikus alak..................................... .............. ....... 88

1.9 M átrixfüggvénysorok.................................. ................... ............ 891.10 Mátrixok minimálpolinomja.................. ......................................... 91

1.11 Mátrixhatványsorok............ .................................................... . 931.12 Az Hermite~Lagrange-fé\e interpolációs polinom................ . 961.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja................................. . 101

2. FEJEZET............................ ..........................................................................105Metrikus és normált te rek ............................................ ....................... ........ . 105

2.1 Metrikus terek .............. ................ ............................................... . 1052.2 Lineáris terek..................................... .................................. ............. 111

2.2.1 A ltér.................................... ........................................ ............1142.2.2 Alterek direkt összege...... .............................. ...................... 116

2.3 Normált terek......................................................................................1172.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre.................................1192.5 Kompakt halmazok metrikus terekben..........................................1222.6 Függvények metrikus terekben....................................................... 1242.7 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon.......... 128

3. FEJEZET.......................................................................................................131Euklideszi te rek ................................................................................................131

3.1 Az euklideszi tér értelm ezése..........................................................1313.2 Példák euklideszi terekre..................................................................1333.3 Ortonormált rendszerek....................................................................1413.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás................................142

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszermegoldása...............................................................................146

3.5 Alterek ortogonális összege............................................................. 1533.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés..................................................155

II. RÉSZBEV EZETÉS A LIN EÁ RIS O PERÁ TO RO K ELM ÉL E T ÉB E 1591. FEJEZET.......................................................................................................159A lineáris operátor és inverze......................................................................... 159

1.1 Alapfogalmak és jelölések............................................................... 1591.2 Izomorf terek, izomorf leképezések.............................................. 1601.3 Lineáris operátorok............................................................................1641.4 Műveletek lineáris operátorokkal...................................................1661.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér.............................................. 169

2. FEJEZET.......................................................................................................174Lineáris teret önmagára leképező lineáris operátorok................................174

2.1 Az A ;X X lineáris operátor..................................................... 174

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben .................................... 1752.3 Lineáris operátor polinomja.............................................................1802.4 Inverz operátor.................................................................................. 1822.5. Lineáris operátorok sajátértékei..................................................... 1862.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei.................................... 189

3. FEJEZET.......................................................................................................192Lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi terekben........................192

3.1 Bevezetés.............................................................................................1923.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok............................................ 1933.3 Adjungált operátor.............................................................................1973.4 Unitér operátorok..............................................................................1993.5 Önadjungált operátorok....................................................................2043.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók).................................. 208

_____________ _____________ Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja................................... 2103.8 Új bázisra való áttérés...................................................................... 2163.9 Sajátértékek és sajátelemek............................................................. 2193.10 Diagonizálható operátorok............................................................ 222

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása......... 2273.11 Önadjungált operátorok diagonahzálásának alkalmazásai.......233

III. RÉSZÁLLANDÓ EG Y ÜTTHA TÓJÚ LINEÁRISD IFFEREN CIÁ LEG Y EN LET-REN D SZEREK 2451. FEJEZET.......................................................................................................245Állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszer megoldásamodál mátrixszal................................................................................................ 245

Bevezetés................................................................................................... 2451.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása.......2471.2 Differenciálegyenlet-rendszer megoldása modálmátrixszal......251

1.2.1.Az A mátrix minimálpolinomjának zémshelyei egyszeresek.............................................................................. 253

1.2.2 Megoldás Lagrange-íé\t alappohnomokkal......................2632. FEJEZET.......................................................................................................267Egy kísérletező módszer................................................................................. 267

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak..............2672.2 A közelítő megoldás hibabecslése..................................................2732.3 Megoldás Hermite-féit mátrixpolinommal................................... 289

3. FEJEZET.......................................................................................................298A Jordan-féle mátrix alkalmazása..................................................................298

3.1 Az exponenciális mátrixfüggvény..................................................2983.2 A mátrix Jordan-féle alakja............................................................. 2993.3 Az exponenciális mátrixfüggvény norm álalakja......................... 3023.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása.................................... 3063.5 A transzformációs mátrix kiszámítása........................................... 3153.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával................325

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok............................. 3443.7 Feladatok.............................................................................................353

Tartalomjegyzék 9

IV. RÉSZK IEG ÉSZÍTÉS A D IFFEREN CIÁ LEG Y EN LET­REN D SZEREK ELM ÉL E T ÉH E Z 357

Bevezetés....................................................................................................357

l. FEJEZET.......................................................................................................359A Cauchy-féle probléma általános vizsgálata..................................................359

1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók..................................................359

1.2 A W^^l\a,b] függvénytér..................................................... ............365

1.2.1 Normák a térben............................. ............................368p

1.2.2 Ekvivalens normák a térben.................. ............ ...... 370

1.2.3 A W p^\a ,b ) tér teljessége..................................................377

1.3 Cauchy-probléma.............................. ............... ............................... 3791.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre....................... 382

1.4 Az integrálegyenlet-rendszer megoldásánakegzisztenciája és unicitása..................................... ........................... 386

1.5 A Cauchy-probléma megoldásánakegzisztenciája és unicitása........... .................................................... 393

1.6 A Cauchy-féie probléma megoldása.............................................. 3961.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata.......................................4011.8 A megoldás függése a paramétertől.... ...........................................408

2. FEJEZET...................................................................................................... 41 1Peremérték- és sajátérték-problémák.................... .......................................411

2.1 Peremfeltételek....................... ........................................................... 4112.2 Peremérték-probléma.................... ......................... ....... ................ 4142.3 Sajátérték-probléma.......... .............. ............. ........................ ...........4172.4 A Green-féle függvénymátrix......................................................... 4202.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénymátrix.......... 4282.6 Az L operátor inverzének vizsgálata............................................. 433

3. FEJEZET..,.................................................................................................. 439Minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergencia vizsgálata................439

3.1 Általánosított polinomvektorok...................................................... 4393.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere................. 4413.3 Minimalizáló polinomvektor-sorozat................. ............ .............. 4443.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája.......... 446

IRODALOM JEGYZÉK.... ....... .............■.................................................... 453K önyvek.... ........ ............... ............................. ........................................ 453

Dolgozatok............................................................ ......................... . 458

NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ.... ............................................ ....................... 465

10 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

JELEK ÉS RÖVIDÍTÉSEK

<, < >, >

e, g 3 V N Z Q

RCz + , i

í =

( U U l

{ a ,h \ \a ,h

1 1n\

ín ]k\ Jn

/rr]n

n « ,

A, B, C

kisebb, mint; kisebb vagy egyenlő nagyobb, m int; nagyobb vagy egyenlő egyenlő; közelítő leg egyenlő , azonosan egyenlő nem egyenlő elem e, ill. nem elem e

létezik o ly a n ...; van legalább egy o ly an ... m in d en ...a term észetes szám ok halm aza az egész szám ok halm aza a racionális szám ok halm aza az irracionális szám ok halm aza a valós szám ok halm aza a kom plex szám ok halm aza a pozitív , ill. a negatív egész szám ok halm aza

a nem negatív, ill. a nem pozitív egész szám ok halm aza

im aginárius (képzetes) egység

zárójelek

fl-tól b-ig terjedő zárt in tervallum {a < b)

a-tól b-\g terjedő nyílt intervallum {a < b)

az a szám abszolút értéke

olv.: en faktoriá lis , (1 • 2 • 3 •... • (n - 1 ) •« )

b inom iális együttható , (ri alatt a /c) =k \ i n ~ k ) l

valamennyi összege, ( ci] + 02 + ... + a „ )

valam ennyi cij szorzata ( ű] ■ CI2 ■ . • a„ )

halm az je le : dő lt nagybetűk

12 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

A ez B az A a 5 részhalmazaA u B az A és 5 halmazok egyesítéseA r \ B cizA és B halmazok metszeteA \ B az A és B halmazok különbsége(A,*), (A,+,-) egy, ül. kétműveletes algebrai struktúraA x B az A és B hahuaz Descartes-szoxzaio.f g, ... függvények jelöléseD(f) vagy Df az/függvény értelmezési tartománya

/?(/) vagy Rf az /függvény értékkészlete

u, V, a vektor jele: félkövér kisbetűk A, B, C mátrix jele: félkövér nagybetűk (xi, X2 ) rendezett pár (számkettes), két komponensű vektor

x ,j) szám-n-es, n komponensű vektor

= u n komponensű oszlopvektor

[x[, a'2, . . . , x„] = u n komponensű sorvektor

a V egységvektora

az u és V vektor skaláris szorzata

a V vektor abszolút értéke, euklideszi normája

az u és V vektorok távolsága

az u és V vektor diadikus szorzata

T T . .U V, U • V , UV, U V , (u ,v)

I v|, ||v || = V(v, v) /?(u,v) = llu - v||

c/]] a \2 ^21 ^22

^ml ^rn2

a\n< 2n ill. [aíjimn mxn-QS mátrix

a mátrix általános eleme

diag(di],d22, ■■■,d ,i) diagonális mátrix E, E„ egységmátrix, n-edrendű egységmátrix A + B az A és B mátrix összege

Jelek és rövidítések 13

A B , AB az A és B mátrix szorzata A © B az A és B mátrix direkt összege

A^ A^ az A mátrix transzponálja

A ”* az A mátrix inverzeA az A mátrix konjugáltjaA, B, ... operátorok jelöléseA*, ill. A * az A mátrix, ill az A operátor adjungáltja--j'A = A , ill. A* = A az A mátrix, ill. az A operátor ekkor ön­

adj ungált (hermitikus) az A mátrix determinánsadet A, 1A^

IIAII az A mátrix normája

Sp Anxn í=!

négyzetes mátrix spurja (nyoma)

detM

' az A mátrix -adik sorainak -adik elemeiből

képzett minormátrix (/: = 1, 2,... , m) az ij indexű elemhez tartozó minormátrix

az ij indexű elemhez tartozó minor

r(A), ránk ( A ) , az A mátrix rangja

adj A az A mátrix adjungáltjaaz A és B hasonló, ekvivalens mátrixok az A transzformáció magtere, az Ax = 0 megoldásvek­torainak halmaza az A nullitása

f (x, y) :V x V —> T kétváltozós függvény

bilineáris alak

A ~ BA/(A)

N .

\ A y

x^A x^ (x )

V n iT )

v f +V.5

kvadratikus alak lineáris alak

T felett értelmezett n-dimenziós lineáris tér

két altér összege

14 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

V f n két altér metszete

VjI' © két aitér direkt összegedimV a V tér dimenziójap mátrix indexe.V mátrix szignaturájad e td ’E - A) = 0 az A karakterisztikus egyenlete

Á —■ űi } ~ ü ín ...-i E - A =

- a ,

az A karakterisztikus

mátrixap{Á), k(X) karakterisztikus poünomp{K) mátrixpolinom

m{Á) , //(/c) minirnálpolinora

di, (Á) karakterisztikus mátrix m-edik deterrainánsosztója

eiji(Á) karakterisztikus mátrix invariáns faktora

Ax

dxj t )át

Cn

dxjt)dt

= Rayleigh-féle hányados

x(t) függvény /-szerinti deriváltja

n-szer folytonosan differenciálható függvények halmaza

x(í) vektor í-szerinti deriváltja

F'(0 = UÍjiO] az F(/-) = ífijit)] mátrix deriváltja, fijif) e Ci{a,b)

az F (/)e C[a,b] függvénymátrix integrálja|F(x>ix =X=t,j

D{A)R{A)

A t

lf!j(x)dx

az A operátor értelmezési tartománya

az A operátor értékkészlete

e" ' exponenciális mátrixfüggvény{x„ |, (x„) végtelen sorozat jele

1. RÉSZ

ÖSSZEFOGLAXÓ AZ ANALÍZIS ÉS A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEIBŐL

1. FEJEZET

Halmazok, függvények, mátrixok és vektorok

1.1 Halmazelméleí

A halmazt nem definiáljuk, alapfogalomnak tekintjük [K38]. Más szavakkal körülírhatjuk, pl. bizonyos értelemben egyértelműen m eghatározható dolgok összessége: halmaz. Vizsgálataink során előfordulnak: számok halmaza, sík, ill. térbeli pontok halmaza, [a,b] intervallumon értelmezett folytonos függvények halmaza, konvergens valós számsorozatok halmaza stb. A halraazbeli dolgo­kat elemeknek nevezzük. Az elemek száma lehet véges, iiiegszám- lálhatóaii végtelen, és nem m egszám lálliatóan végtelen. Pl. a természetes számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, a valós számok halmaza, a sík pontjainak halmaza nem megszámlálhatóan végtelen. Pl. a tíznél kisebb pozitív páros számok halmaza: 2, 4, 6,8 véges számú elemből áll. A matematikában szokásos jelölése: {2,4,6,8}. Ha hivatkozni akarunk erre a halmazra, akkor az ábécé

A, B, C, X, Y, Z dőlt nagy betíii közül választunk egyet és

A:={2,4,6,8}

alakban jelöljük. Az A halmazt tehát a 2, 4, 6, 8 elemek alkotják. A halmaz általános elemeit az ábécé a, b, c, ..., .r, y, z kis betűivel je ­löljük. Valamely a' elemnek egy H halmazhoz tartozását

x e H

szimbólummal jelöljük, pl. 4 g A (azt mondjuk, hogy 4 eleme az A halmaznak, vagy 4 benne van A-ban, vagy A tartalmazza 4-et). Ha

az X nem eleme a H halmaznak, akkor aztjc í H

módon jelöljük. Az egyetlen elemet sem tartalmazó speciális hal­mazt üres halmaznak nevezzük, jelölése: 0 . Például üres halmaz a 71 -vei maradék nélkül osztható egész számok halmaza.

Az A és B halmazt egyenlőnek mondjuk, ha ugyanazon elemek tartoznak A-ba is, 5-be is, azaz, ha minden x g A-ra. x e B is igaz, és fordítva, minden w e 5 -re w e A is igaz. Ekkor a két halmazt az egyenlőségjelével kötjük össze:

A = B .Ha az A halmaznak mindegyik eleme a B halmaznak is eleme,

akkor az A halmazt a B halmaz részének, vagy részhalmazának mondjuk, és ezt

A q B

módon jelöljük. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy A részhalmaza B- nek, de A ^ B , akkor ennek szokásos jelölése:

A c z B .Minden halmaz részhalmaza önmagának. Az A halmazt és az

üres halmazt az A halmaz nem valódi részhalmazának mondjuk, az A többi részhalmazát A valódi részhalmazának nevezzük.

Például aJ5:={l,3,5,...,2n + 1,...}

halmaz, a páratlan egész számok megszámlálhatóan végtelen hal­maza, az N természetes számok valódi részhalmaza, azaz B czN . Hasonlóan, a pozitív páros számok, az 5-tel osztható pozitív szá­mok megszámlálhatóan végtelen halmaza is valódi részhalmaza N- nek, azaz

C := { 2 ,4 ,6 ,... ,2 n ,...} c N , D :={5,10,15,...,5n,...}c N .

AB , C, D halmazok minden eleme egy-egy állításnak, ill. tulaj­donságnak is eleget tesz, így ezek a halmazok e tulajdonságok fel- használásával is megadhatók:

B \ - { x & NI X páratlan}, C := { x e N | x osztható 2-vel},

D := { X G NI X osztható 5-tel}.

16 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.1.1 Műveletek halmazokkal 17

Általánosan, az A halmaz elemei közül a ^{x) tulajdonságúak halmazát

{x| x e A, ^(x)}, ill. {X: Xe A, í (x)}

módon jelöljük. Például

A = {x |x e R, |x| < 2}

jelenti a -2 és a 2 közé eső valós számok halmazát, azaz amelyek­re a -2 < X < 2 egyenlőtlenség teljesül.

Gyakran X-szel vagy 7-nal jelölt, ún. alaphalmaz részhalmaza­iról lesz szó. Az alaphalmazt térnek is nevezzük. Az olyan hal­mazt, amelynek elemei valamely X tér bizonyos részhalmazai, általában halmazosztálynak mondjuk. A halmazosztályok jelölésé­re aláhúzott dőlt nagybetűket használunk, pl. F, G, H betűket.

1.1.1 Műveletek halmazokkal

Az A, B, C, ... halmazok unióján (egyesítettjén, összegén) azt a halmazt értjük, amely az A, B, C, ... halmazok minden elemét (és csak ezeket) tartalmazza. Az unió jele: u . Pl. az 1.1 pontban defi­niált B, C, D halmazok uniója: 5 u C u Z ) = N . Az unió halmaz­ban (mint bármely halmazban) minden elem csak egyszer fordul elő. Például

{a,b,c} u {b,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.

Az A, B, C, ... halmazok metszetén (közös részén, szorzatán) azt a halmazt értjük, amely az A, B, C, ... halmazok közös elemeit (és csak ezeket) tartalmazza. A metszet művelet jele: n . Például

{a,b,c] n {b,c,d] = [b,c]. C n Z ) = { x e N :x 5-tel osztható, páros}

Diszjunktnak nevezünk két halmazt, ha nincs közös elemük, metszetük az üres halmaz: B n C = 0 .

Az unió és metszet müvelettulajdonságai:1. Mindkét művelet kommutatív:

A u B - B \ j A, A r \ B = B n A .

2. Mindkét művelet asszociatív:

( A u B ) u C = A u { B u C ) , ( A n B ) n C = A n ( B n C ) .

18 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

3. Mindkét művelet disztributív a másik műveletre:A u (5 n C) = (A u 5) n (A u C),A n (5 u C) = (A n 5) u (A n C).

4. Mindkét művelet ídem potens: A u A = A, A n A = A.5. Mindkét műveletre érvényes az elnyelést tulajdonság'.

A u (A n 5) = A, A n (A u 5) = A.Gyakran lesz szó nemcsak véges számú, hanem megszámlálha-

tóan végtelen sok halmaz egyesítéséről és metszetéről is.Erre a következő jelölésmódot használjuk.Legyen F = { a , egy tetszőleges indexhalmaz és te­

gyük fel, hogy mindegyik y e T indexhez hozzá van rendelve az X

tér valamely Hy részhalmaza, ekkor a halmazok egyesí­

tésének, ill. metszetének jelölésére az

y&r Y&r

szimbólumok szolgálnak.A és B halmaz A \ B alakban jelölt különbséghalmazán A azon

elemeit értjük, amelyek nem tartoznak 5-hez, azaz

A \ B : = { x \ x e Aés B ] .

Például {a, b, c, d } \ {b, d , e, f ] = {a, c \

A különbség műveletére vonatkozó összefüggések:

A \ B ^ B \ A - A \ B c z A ;

A \ 0 = A; 0 \ A = 0 ; A \A = 0 ; ( A \ B ) n ( B \ A ) = 0;

( A \ 5 ) u 5 = A u 5 ; ( A \ B ) n C = A n C \ B n C ;

ha B ez A, akkor ( A \ B ) u B = A;

ha A n B = 0 , akkor A \ B = Aés B \ A = B\ ha A ^ B , akkor (A \ fi) u (5 \ A) ^ 0 .

Ha A d H, akkor a H \ A halmazt A-nak H-ia vonatkozó ki­egészítő vagy komplementer halmazának nevezzük, jelölése:

Af j , vagy ha nem érthető félre, akkor A .

I . I . l Műveletek halmazokkal 19

Az értelmezés szerint;

A ^ := { x : x e H és x í Aj.

H a A d H , B c : H , akkor

A = A; A u A ^ H - A n A = 0 ;

A \ B = A n B : A u ( B n F ) = A; A n ( B u B ) = A.

de M organ-azonosságok: A u B = A n 5 ; A n B = A ( j B , ill.

u n u ^ ryer yer j/gT ' yeV

H atvány halmaz: egy H halm az összes részhalm azainak ha lm a­zát H hatványhalm azának nevezzük, je lö lése: P(H). H a H elem e­

inek száma n, akkor a P(H) elem einek a szám a 2' \

Példáu l az A ~ {a ,b ,c} hatványhalm aza:

P(Á) = (0, {a}, {b}, {ej, {a, b}, {b, c], {a, c}, {a, b, c}}.

Az elem ek szám a: 2^ = 8 .A z A halm az ekvivalens a B halm azzal, ha van o lyan függvény,

amely az A-t kölcsönösen egyértelm űen leképezi a B halm azra, je lö lése : A ~ B.

Például a term észetes szám ok N halm aza ekvivalens a

f í := { 2 ,4 ,6 ,.. . ,2 n ,.. .}

pozitív páros szám ok halm azával: B ~ N .Az A és B halm az direk t vagy Descartes-féle szorzata az ösz-

szes olyan (x, y) rendezett elem párból álló halm az, am elyeknél

x e A és y e B, je lö lés: Ax B, tehát

A x B : = {(x,y) x E A, y e b ].

Például {a,b}x {u, v, w} = {(a,u), (a, v), (a, w), (b, u), (b, v), (b, w)}. A direk t szorzat nem kom m utatív:

A x B ^ BxA.

H a fi = A, akkor használható az A x A - A ^ je lö lés is.

Értelmezhető több halmaz Descartes-s,zovzdX2i is, így

X] X ^2 X ... X = {(Xi, X2,..., x„) I Xi G X }.

20 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.2 Függvények

Ismertnek tételezzük fel egy X halmazon értelmezett és egy Y hal­mazbeli értékeket felvevő függvény fogalmát [K17], [K93]. A függvény, a leképezés vagy az operátor szavakat a továbbiakban azonos értelműnek tekintjük.

Egy/függvény értelmezési tartományát D { f ) -fel vagy D j -fel,

értékkészletét R { f ) -fel vagy Rf -feljelöljük. Az

jelölés azt jelenti, h ogy /egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya X-ben, értékkészlete 7-ban fekszik, vagyis

D{f) d X, R(f) d Y.

Ha D ( f ) = X , akkor az X-en értelmezett függvényről beszé­

lünk. Különbséget teszünk az / és f { x ) jelölés között: / magát a

függvényt jelenti, míg f ( x ) az x e D ( f ) elemhez rendelt 7-beli függvényérték, amelyet az x elem képének vagy x képelemének (képpontnak) nevezünk.

Legyen f : X - ^ Y egy tetszőleges függvény és legyen A az Z egy tetszőleges részhalmaza (nem tételezzük fel, hogy az A halmaz a D ( / ) -nek is részhalmaza). Jelölje /(A ) az A n D(f) halmaz­ban lévő elemek képpontjainak halmazát, vagyis

f ( A ) - - { f ( x ) \ j e A n D ( f ) l

Ezt az /(A ) c Y halmazt az A halmaz képének nevezzük ( a z /

leképezésre vonatkozólag). Előfordulhat, hogy f ( A ) = 0 , például, amikor A n D ( f ) - 0 .

Legyen most B az Y egy tetszőleges részhalmaza, és jelentse

mindazon D ( f ) -beli elemek halmazát, amelyeknek képe a B halmazban fekszik, vagyis

7.2 Függvények 21

f '(B) = { x |x e D ( /) , f ( x ) e B } .

Ezt az / (B) c X halmazt a B halmaz ősképének, vagy inverz

képének nevezzük. Most is előfordul, hogy / ~ \ b ) - 0 pl., ami­

kor B n R(f) = 0 .A halmazok képével és ősképével kapcsolatos azonosságok: Legyen / : X -> Y egy tetszőleges leképezés, A c Z egy tet­

szőleges halmaz, ha

/(A ) = B, akkor A n D(f) c: r \ B ) . (3)

Speciáhsan, ha f : X - ^ Y olyan leképezés, amelyre D (f) = X , akkor ha

/(A ) = 5, úgy A d / \B). (4)

Tetszőleges f : X ~^Y leképezés és bármely B czY halmaz esetén ha

A = / Vj5), akkor /(A ) c B. Legyen / : X Y tetszőleges leképezés,

A ^ d X , B ^ a Y i r e T )

tetszőleges halmazok, akkor

/ ( U ^ ) = U

f ( f ] A ) Cl f) f(Ay) , yiET r

r \ u By)= [j r \ B y ) ,

(5)

y e r

r \ n 5r) = n r \ B y i

(6)

(7)

(8)

(9)

Valamely f : X Y leképezést kölcsönösen egyértelmű vagy invertálható leképezésnek nevezünk, ha a leképezés különböző D( f ) -beli pontokhoz különböző képpontokat rendel, vagyis ha

X] és X2 G D(f) , xj ^ X2, akkor /(X|) ^ f (x 2).

L egyen/kölcsönösen egyértelmű függvény. Jelölje / azt a

függvényí, amely minden egyes y g R{f ) ponthoz azt a D{ f ) -

beli X elemet rendeli, amelyre f {x) = y.Az ilyen módon értelmezett

r ' : Y ~ > X

függvényt az / : X -~^Y függvény in¥erz függYéiiyéiiek nevez­zük. Ekkor

« / - ' ) = « ( / ) és R ( r ' ) = D{f).

továbbá minden x e D(J') esetén

r \ f ( x ) ) = x,

és minden y e R( f ) esetén

f ( . r ' ( y ) ) = y.

Ha az / : X olyan invertálható leképezés, amelyre

D{f ) = X és R( f ) = Y,

azaz az / függvény kölcsönösen egyértelmű módon leképezi az X halmazt az Y halmazra, akkor tetszőleges A c X részha!m.azra

22 !. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

f ( A ) Y = f ( A ) ^ , ( 1 0 )

Legyenek X, F , Z és ¥ tetszőleges halmazok, és legyenek

g : X - ~ ^ Y é s f : Z - ^ V

tetszőleges leképezések, ahol R{g) n D{f ) # 0 , akkor a

h(x) = f (g{x) )egyenlőséggel értelmezett h : X F függvényt a z / é s g függvé­nyek kom pozíciójának (összetett vagy közvetett függvénynek) nevezzük és / ° g ^vel jelöljük, azaz

h = f o g .

Az f o g definícióját röviden is megadhatjuk;

( / ° i")(4 f ig(x)) , D ( f o g)::={xE D(g)\g(x)G D (/)}

L3 Mátrixok, vektorok 23

1.3 M átrixok, vektorok

Legyen m, n e N. Az m sorba és n oszlopba rendezett valós vagy komplex számok, a továbbiakban elemek, téglalap alakú szögletes zárójelbe foglalt táblázatát m x n típosú m átrixnak nevezzük [K59], [K30], [K72]. Ha nem szükséges megkülönböztetni, hogy az elemek valós vagy komplex számtest elemei, akkor a számtestet R~ rel, ha csak valós elemek jöhetnek számításba, akkor a számtestet R-rel, ha pedig hangsúlyozni akarjuk, hogy az elemek komplex számtestből valók, akkor a számtestet C-vel jelöljük.

Mátrixra általában félkövér álló nagybetűvel, elemeire pedig két indexes dőlt kisbetűvel hivatkozunk, például

A =

üli ű]2 ... a|,j< 21 «22 ••• ^2n

^ml ^ni2 ' • • ^mn

(1)

de rövidebb jelöléséreA = [ű y ] ,i lk (1*)

alakot is használjuk, ahol az ciij a mátrix általános elemét jelöli, az

első index (i) a sor, a második index (/) az oszlop sorszáma. Az

az A /-edik sorának j~edik oszlopában álló elem. Az R test feletti

mátrixok mx n~e s halmazát i?'"^” -nel jelöljük. Ha R valós hal­maz, akkor valós mátrixról, ha R komplex halmaz, akkor komplex mátrixról beszélünk.

Az egy oszlopból álló m x 1 típusú mátrixot oszlop m átrixnak, vagy oszlopvekíornak, az egy sorból álló í x n típusú mátrixot pedig sorm átrixnak vagy sorvektoriiak nevezzük. A vektorokat általában félkövér álló kisbetűvel, elemeit pedig egyindexes dőlt kisbetűvel jelöljük:

Vl, V2 ,

24 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A vektorok elemeit komponenseknek mondjuk.Ha az (1) mátrix minden eleme 0, azaz

űy = 0, í = 1, 2,... , m; j = 1, 2,... , n,

akkor az A mátrixot nullamátrixnak (zérusmátrixnak) nevezzük, jelölése: A = 0.

0 0"0 0 0 egy 3x3 típusú nullamátrix.0 0 0

Az A = [öy ],„xn és a B = ]pxí? mátrixokat egyenlőknek mon­

dunk, ha típusuk megegyező, azaz p - m, q = n, és ha A minden íj indexű eleme egyenlő a B ugyanazon ij indexű elemével, azaz ülj - bjj . A mátrixok ugyanazon ij indexű elemeit megfelelő ele­

meknek nevezzük. Az A és B mátrixok egyenlőségét

A = Bjelöli.

Azt az A -vei jelölt mátrixot, melyet az A mátrixból úgy ka­punk, hogy oszlopait és sorait felcseréljük transzponált mátrix­nak nevezzük. így például az m x n típusú A = [öy],„xn mátrix

transzponált mátrixa n x m típusú:

a " = i

Például, ha A =1 2'

3 4 5 6

, akkor transzponált]a: A = 1 3 5‘2 4 6

Egy y vektor alapértelmezésünk szerint mindig oszlopvektor, azaz m x l típusú, ezért a megfelelő sorvektort transzponáltként ér­telmezzük és így az Ix m típusú:

Ha a mátrix oszlopainak száma egyenlő sorainak számával, azaz m = n , akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixról beszélünk.

Az n x n -es mátrixot röviden «-edrendű mátrixnak nevezzük.

1.3 Mátrixok, vektorok 25

Az elemek az n-edrendű A mátrix fődia-gonálisát (főátlóját) alkotják. Ha egy kvadratikus mátrix fődiago- nálisán kívül valamennyi elem nulla, akkor azt diagonális (átlós) mátrixnak mondjuk.

Ha a diagonális mátrix főátlójában lévő elemek mindegyike 1, akkor azt egységmátrixnak nevezzük, rendszerint E-vel jelöljük s ha szükséges, alsó indexszel megadjuk típusát is.

Például”1 0 0“

E = 0 1 0 _0 0 1_

egy harmadrendű egységmátrix, E3 .A diagonális mátrixot latin betűkkel írt dőlt betűs diag vagy fél­

kövér diag szórövidítéssel és utána zárójelben a diagonális elemek vesszővel elválasztott felsorolásával is jelöljük.

Például az A n-edrendű diagonális mátrix jelölése:ayi 0 ........... 0

Ű22 00 ÍÍ33

0 0

Ha a diagonális mátrix mindegyik eleme egyenlő egymás­sal, akkor ezt a mátrixot skalármátrixnak mondjuk.

Az egységmátrix jelölésére a ] alakot is használjuk, ahol

[0, ha i ^ j

az ún. Kronecker-féle szimbólum. Például az n-edrendű egységmát­rixjelölése:

Azt az n-edrendű mátrixot, amelynek fődiagonáhsa alatti min­den eleme 0, felső háromszögmátrixnak, azt pedig amelynek fődiagonálisa feletti minden eleme 0, alsó háromszögmátrixnak nevezzük.

Például

26 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A =

egy felső háromszögmátrix,

üli ű|2 ... ai,i0 ü 22 y Ö2;i

0 0 0

0 0 0 ^2\ ^22 ••• ®

... k.^nl ^r,2 •••

pedig egy alsó iiároraszögmátrix. Egy felső háromszögmátrixból az elemek fődiagonálisra vaió tükrözésével alsó háromszögmátrixot kapunk és fordítva.

Ha egy háromszögmátrix fődiagoiiálisában minden elem 1-gyel egyenlő, akkor a típustól függően egység alsó- vagy felsőhárom- szöginátrlxról beszélünk.

1.3.1 M áveieíek m átrixokkal

Az azonos m x n típusii A és B mátrix m X n típusú C összegmáí- rixának és kiiíöiibségináírixáíiak elemeit a két mátrix megfelelő elemeinek összege, ill. különbsége állítja elő, azaz

C = A ± B = [ű ,.± & y .U „ .

Az összeadás kommutatív és asszociatív:A + B = B + A; A + (B + C) = (A + B) + C,

továbbá a mátrixösszeg transzponált]a a transzponált mátrixok összegével egyenlő, azaz

(A + f i f - A^^+B^.

Az összeadás euileleme a 0-val jelölt (megfelelő méretű) nulla­mátrix:

A + 0 = 0 + A = A.Az A mátrix tetszőleges k e R számmal vak) szorzásának

formulája:kA = Ak = [k-aij],

azaz a mátrix minden elemét megszorozzuk a k számmal.

i.3.1 Műveletek mátrixokkal 27

Például, ha

A = “1 2“ , akkor 5 • A = 10”' , és A + 5A = “6 12"_3 4 J 5 20^ J 8 24^

3.

4.5.

Legyenek k és r valós vagy komplex számok. Az A és B

( A , B g azonos típusú mátrixokra érvényesek a következőtulajdonságok:

1. (7c + r) A = kA + rA:

2. /c(A + B) = /vA + /cB; k(rA') = (kr)A;1 • A = A;0 - A = 0 .

Minden A mátrixnak létezik -A -val jelölt ellentettje:^A E E él)A = h ű y ] ,

amelyre A + (-A) = (-A) + A = 0.Az fí-edrendű A mátrixszim m etrikus, ha megegyezik transzponáltjával, azaz, ha

A = a \ ekkor , és

ferdén szim m etrlkes, ha megegyezik transzponáltjának (-1)- szeresével, azaz ha

iA = -A , .ekkor = -ci j i , és a,-,- = 0 .

Például az A =1 2 3'2 4 53 5 6

• Tmátrix szimmetrikus, A = A , míg a B =

ferdén szimmetrikus, ui.

0 - 1 2 ’ 1 0 - 3

- 2 3 0mátrix

T= ( - 1)

~ 0 1 -2^ 0 -4 2“-1 0 3 = 1 0

2 -„.3 0 - 2 3 0, vagyis B = (-1)

2<5 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Két mátrix AB szorzata akkor képezhető, ha a bal oldali A mátrixnak annyi oszlopa van, mint ahány sora van B-nek. Az ilyen mátrixokról azt mondjuk, hogy kompatibilisek vagy komformá- bilisak a szorzás szempontjából.

Ha A = [ö,,],„xn , B = n ’ akkor szorzatuk az az m x p tí­

pusú C = [cik\nxp mátrix, melynek elemeit

= \Cik \i-xp ’ = =C = AB = l.aiibjkU '=1 mxp

formula szerint képezzük, azaz a szorzat mátrixban az /-edik sor k- adik eleme az A mátrix z-edik sorvektorának és a B mátrix k-adik oszlopvektorának skaláris szorzatával egyenlő.

Például, ha

ö li < 12 A = Ü21 022 ’ B =

_«31 < 32_

^ 1 h l h 3 p 2 i h l ^23_

X = [Xj. X2^

oszlopvektor, akkor a 3 x 2 típusú A és a 2 x 3 típusú B mátrix AB mátrixszorzata 3x3 típusú mátrix:

űl 1 + Uy 2 >21 «1 A l + a\ i h l \ h 3 + ^12^23 0-2]f\ 1 ^22^1 ^21^2 ^22^22 21^13 ^22^3

_a3 ] ^ l l + 032^21 <31^2 + ^3 2 ^ 2 <31^3 + ' 32^23_

az A mátrix és a 2x1 típusú x oszlop vektor szorzata 3x1 típusú oszlopvektor:

AB =

«ll ÖI2 ’ "4“ “0 1 1 X1 + 0 1 2 2 "Ax = « 2 1 Ö2 2 = 0 2 1 - ^ 1 + ^21^2

_«31 fl32_ _' 2 _ _«31 1 + «32-«2_A mátrixok szorzását áttekinthetőbb formában

! B IA I AB i "- - + -------- 1- -

I It I

elrendezés szerint végezhetjük [K103] (Falk-mód&zemek is nevezik):

1.3.1 Műveletek mátrixokkal 29

ti t 2 Í3

B - bi2 ^321 ^22 * 23

A =Si öli ai2 S]ti Sit2 Sit3§2 ÍÍ21 ^22 S2tl S2Í2 S2Í3 = ABS3 <32 S3t] S3t2 S3t3

ahol S],S2,S3 az A mátrix sorvektorait, t^,t2, t 3 a B mátrix oszlop­

vektorait, az s,-t skaláris szorzat pedig az AB szorzatmátrix eleme­it jelöli.

h i ^P i i .

Például S3t2 = [<332, 033] - < 32 2 + < 33 22 •

A mátrixszorzás tényezői - kivételes esettől eltekintve - nem cse­rélhetők fel, a mátrixszorzás nem kommutatív művelet:

AB ^ BA .

Például, ha A =

akkor az A, B mátrixok AB sorrendben kompatibilisek, szorzatuk képezhető:

~1 2", B = '5 -1 -3 “, c = “5 6"

_3 4_ 6 7 8 _ 1 8_

5 -1 -3 (B)6 7 8

(A) 1 2 17 13 13 (AB)3 4 39 25 23

de B, A sorrendben nem kompatibilisek, a BA nem képezhető. Az A, C mindkét sorrendben kompatibilis mátrixok és így az AC és a CA szorzat is képezhető, de AC CA :

5 6 (C) 1 2 (A)7 8 3 4

(A) 1 2 19 22 (AC) ’ (C) 5 6 23 34 (CA)3 4 43 50 7 8 31 46

A C - "18 22" ”23 34”_43 50_ 31 46_

= CA .

30 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Példáui, ha A n-edreridü mátrix, E pedig n-edrendű egységmát­rix, akkor az A és E mátrixtényezők felcserélhetök:

AE = EA = A.Az E egységmátrix a mátrixszorzás egységeleme, ha E mérete

megfelelő.Mint látni fogjuk a mátrixhatványsorok téma ismertetésénél, a

mátrixszorzat tényezői felcserélhetök, ha azok egy n-edrendü mát­rix hatványai.

Ha egy mátrixszorzat bal oldali tényezője oszlopmátrix (osz­lopvektor), a jobb oldali pedig sormátrix (sorvektor), akkor diadi- kes szorzásról beszélünk.

Például, ha a = [űi aj 03]" , bj b ^ , akkor a diadikusTszorzatuk (a 3x1 , a b 1x3 típusú) 3x3 típusú mátrix:

[b\ h b ] =aih a h

a o b = CI2 ajbi ajbia^bj

Egy mátrix és a megfelelő típusú nullamátrix szorzata nulla­mátrixot ad:

AO = 0.

A mátrixszorzás tulajdonságai (A, B, C ebben a sorrendben kompatibilis mátrixok, k, r tetszőleges számok):

1. A(BC) = (AB)C; (asszociatív)

2. (A + B)C = AC + BC; A(B + C) = AB -f- AC; (disztributív)

3. /c(AB) = (M )B = A (® ).A mátrixok sorrendjét az L, 2., 3. egyenlőség két oldalán meg

kell tartani.A szorzatmátrix transzponálja a mátrixok transzponáltjának

fordított sorrendben történő szorzatával egyenlő:

(AB)^ = b ’ A^;

Továbbá fennállnak a következő egyenlőségek:

A " Í = a ;

(kA + r B f = kA^ + rB^ .

I.3. I Műveletek mátrixokkal 31

Például, ha A =2"

3 4 5 6

•2 5 0’ 3 1 4 , akkor

1 3 5‘2 4 6

- 2 3 '5 10 4

l - ( - 2 ) + 2-3Í 1-5 + 2-l í 1-0 + 2 - 4 ' -4 7 8 “és AB = 3-(-2) + 4-3Í3-5 + 4 - l i 3 . 0 + 4-4 = 6 19 16

5-(-2) + 6-3Í5-5 + 6- l Í5-0 + 6-4 8 31 24

(AB)^ =4 6 8 "

, tehát B^A^ =~4 6

7 19 31 7 19 318 16 24 8 16 24

- (A B )^

Az A = [ay]eC' mátrix komplex elemeinek konjugáltjait

képezve az A komplex konjugáltját kapjuk, jelölése:

A — í ijJmxn •Az A mátrix komplex konjugáltjának transzponáltját az A

mátrix Hermite-féle-konjugált mátrixának, a továbbiakban hermiti- kus-konjugált mátrixának nevezzük, jelölése:

A — A — [cijilyixm-

Tulajdonságai (A, B összeadásra, szorzásra kompatibilis mátrixok):

1. (A*)* = A;2. (A + B)* = A*+B*;

3. (AB)* = B * A * .Azt a kvadratikus A mátrixot, amelynek adjungáltja egyenlő az

A mátrixszal, azaz A* = A, önadjungált mátrixnak nevezzük. Ekkor az n-edrendű A mátrix elemeire

«// = öy- (i, j = 1,2,..., n)

egyenlőség áll fenn, így a fődiagonális elemei valós számok.

3 i - s rPéldául az A =1 + 5/ 7 mátrix önadjungált, mivel

32 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

3 \ + 5 f t T 3 1 -5 T1 - 5 Í 7 _

es A = _l + 5i 7- A* = A.

mátrix akkor és csak T

A valós számokból felépített A e R

akkor önadjungált mátrix, ha szimmetrikus, azaz A' = A.Egy kvadratikus mátrix transzponáltjával képzett szorzata,

TA A , mindig szimmetrikus.

Például, ha A = “1 2", akkor A^ = ’l 3“_3 4_ 2 4_

A ^A =■] 2‘ 3 4

40 14" 14 20

, es

szimmetrikus mátrix.

1.3.2 Determinánsok

Az

A =«11 «12 ••• \n Cl2i Ö22 ... a2n

ttni ö„2 ... Clnn_n-edrendű (kvadratikus) mátrix n-edrendű determinánsán a

det A =a,, a ,2 in

Ü22 ■■■ í«2n

Cl, Ctn-l • . •

számot értjük, ahol az összegezést az 1, 2, ..., n számok valamennyi permutációjára kiterjesztjük [K7]. P a sorindexek, S az oszlopinde­xek permutációjában szereplő inverziók számát jelöli. A determi­náns főátlóját az űj j, 022, elemek, mellékátlóját pedig a

űl„, Ö2 o-nl elemek alkotják.A másodrendű mátrix determinánsának kifejtését a föátló­

ban lévő elemek szorzatának és a mellékátlóban lévő elemek szor­zatának különbsége adja.

a ii a i2 másodrendű mátrix determinánsa;

].3.2 Determinánsok 33

det A = a,, a, 2

^2\ ^ 22— űiíCln'-) UioClo

Például ha

A = "2 -3 2 -3, akkor det A = 44 5_ 5 = 2 - 5 - ( - 3 - 4 ) = 22.

A determináns bármelyik sora vagy oszlopa szerint is kifejthe­tő. Jelöljük -val azt az eggyel alacsonyabb rendű determinánst, amely azon n -1 -edrendű mátrix determinánsa, melyet A-ból annak i-edik sora és yt-adik oszlopa elhagyásával nyerünk. Ez az ciif. elemhez tartozó aldetermináns. A (-1)'"^^ tényezővel szorzott aldeterminánsokat előjelhelyes aldeterminánsoknak mondjuk, és % -val jelöljük, azaz

A determinánst kifejtjük, ha egy sor vagy oszlop elemeit rendre megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjelhelyes aldeterminánsokkal és az így kapott szorzatokat összeadjuk.

Az A determináns z-edik sora szerinti kifejtése: det A = üiiAfi + ai2Ai2 + ... + .

A kifejtés bármelyik sor vagy oszlop szerint elvégezhető.ail a]2 a|3

Például az A = ű2 1 ^ 2 2 ‘ 23_Ö3i Ű32 Ö33_

sának első sora szerinti kifejtése:

harmadrendű mátrix determinán-

1+1 <22 ^23 ^32 «33

J + 2 ^21 ^23 "31 «33

-I- ű] 3 • (-1) 1+3

+ Ö12 - ( - l )

= ö] i(ö22Ö33 " 23 32) ~^21 ^22 ^3\ ^32

-(312(021033 ~ < 23 31) +< 13( 21* 32 “ < 22 3l) ’ harmadik oszlopa szerinti kifejtése:

det A= a| 3 • (-1) ^2\ ^22 Ü3i a^2

+Ü23 • ( - 1)'ö li ai2Ö31 Ű32

+033-(-1/ ö li «12

< 21 «22

- ö13(ö2]«32 ~ < 22 3l) “ ^ 2 3 ^ 1*32 “ ^12^31) + < 33(< í\ 22 ~ ^\2^2])-

34 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A példa oszlop szerinti kifejtésében az első tag a sor szerinti ki­fejtés harmadik tagjával egyenlő. A második és harmadik tagból üli és -<3i2 tényező kiemelésével a sor szerinti kifejtés első, ill. második tagja áll elő. A kétféle kifejtés tehát egyenlő.

Azonos rendű kvadratikus mátrixok determinánsaira érvényes a determinánsok szorzástétele:

det(AB) = det(BA) = det A • detB.

Az A = [ö,y]„x77 rnátrix

- transzponáljának determinánsa a mátrix determinánsával egyenlő, azaz

det A^ = det A,- konjugáltjának determinánsa determinánsának konjugáltjá-

val egyenlő, azazdet A = det A

- Á:-szorosának determinánsa det A -val egyenlő, azaz

det(kA) = k ’ detA,Ha az A mátrix- valamely sorának vagy oszlopának minden eleme 0, akkor

det A = 0 ,- valamely sorának vagy oszlopának minden elemét k szám­

mal szorozzuk, akkor determinánsa is A:-val szorzódik,- két sorát, ill. két oszlopát felcseréljük, akkor determinánsa

( - 1) -szeresére változik,- egy sorának, ill. oszlopának elemeit hozzáadjuk egy másik

sor, ill. oszlop elemeihez determinánsa nem változik,- két sorvektora, ill. két oszlopvektora egyenlő vagy arányos,

akkor a determinánsa 0 (az előzőekből következik).A mátrix determinánsára felsorolt tulajdonságokat felhasználva

a determinánsokkal kapcsolatos műveletek egyszerűbbé tehetők.

determi­

nánsának első sorát 2-vel szorozzuk és kivonjuk a második sorából,

’2 2 4 “ 2 2 4Például ha az A = 4 3 5 mátrix det A = 4 3 5

6 7 14 6 7 14

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 35

majd első sorát 3-mal szorozzuk és kivonjuk a harmadik sorából, az első sor változatlan hagyásával, és kifejtjük az első oszlop szerint, akkor

2 2 4 2 2 4-1 - 3

1 2det A = 4 3 5 0 -1 - 3 = 2 - = 2 - ( - 2 - ( - 3 ) ) = 2

6 7 14 0 1 2

(Az első oszlop szerinti kifejtés a két 0 eleme miatt előnyös).Megjegyzés. A mátrix és determináns, mint a fentiekben láttuk,

különböző matematikai fogalmak. A mátrix az g R elemek ren­

dezett táblázata, a determináns pedig egyetlen R-heli elemet jelent. Mondható, hogy a determináns értéke egy szám.

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze

Az A (n-edrendű) kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezzük,

ha van olyan A~' -gyei jelölt (szintén n-edrendű, kvadratikus) mát­rix, amelyre

-1A 'A = AA~ =E, (1)

ahol E az A-val megegyező rendű egységmátrix. Ekkor az A ” mátrixot az A mátrix (kétoldali) inverzének hívjuk.

Egy n-edrendű A mátrixot nemszingulárisnak (nemelfajuló- nak) vagy regulárisnak mondunk, ha a determinánsa zérustól kü­lönböző, azaz ha det A ^ 0, és szingulárisnak (elfajulónak), ha

det A = 0.

Minden reguláris mátrixnak van inverze, melyet

A-l _ adj A det A (2)

formula szerint kiszámíthatunk, ahol az adjA -val jelölt adjungált mátrix:

A ll A 2 An^21 ^ 2 2 ••• ^2nadjA —

_Aii A i2

36 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 37

melynek ij ii, y = 1,2,..., n) eleme az A mátrix aji eleméhez tarto­

zó Aji előjeles aldetermináns.

Például, ha’3 2 r

A = ^ 3 í 3 4 I

akkor detA = 2?í:0, tehát A reguláris, van inverze. Oszloponként képezzük az elemekhez tartozó Aji -vei jelölt előjeles aldetermi-

nánsokat:

A i -3 1 2 1 2 14 1 - - 1; A2j - - 4 1

= - ( - 2) = 2; A3 i =3 1 = - 1;

A i - -

Az adjungált mátrixba az oszloponként kiszámított aldeterminán- sok értékeit soronként írjuk be:

■ -1 2 - í adj A = -1 0 1 , és így

7 - 6 1

.-1 _ adj A _ detA

-1 2 -1 -1 0 1 7 - 6 1

_ i i _ i 2 2

_ i 0 12 27 - 3 i2 2

Ellenőrzésül számítsuk ki A és A ^, valamint A és A szorzatát:

AA"^ ="3 2 f

.1O

■-1 2 -1 '1 0 0“4 3 1 -1 0 1 = 0 1 03 4 1 z 7 - 6 1 0 0 1

'-1 2 - í '3 2 r '1 0 0‘-1 0 1 4 3 1 = 0 1 0

7 - 6 1 3 4 1 0 0 1a " ‘a = í

Ha A és B n-edrendű reguláris mátrixok, akkor

1. (AB)~^ =

2. detA ^’ = (detA )“ ^ = - 3 - L ;det A

3. { A - Y = ( A ^ ) - \-1Például (az előző példa A mátrixának minden sorából kieme­

lünk ^ -e t) :

4 1 3 1 - -1; ^22 -

31 3 1

- 0; A32 - -3 14 1 = 1; 4 3 -

4 3 3 4

_7*det A * = det

1212

1

0

r212

A23 = - 3 2 3 4 = - 6; A33 = 3 2

4 3= 1.

72 - 3 1

2

I l i 2 2 ‘ 2

detA ” = 1

- 1 2 -1 -1 0 1

7 - 6 1

12 'detA

Összefüggések (A és B n-edrendü mátrixok):1. A ■ (adjA) = (det A) • E = {adjA) ■ A;

2. det(űí//A) = (detA )"” ;

3. adj{AW) = a4/B ■ adjA\

4. Ha A szinguláris, akkor A • {adjh) = (adjA) • A = 0.

Ha egy Q valós kvadratikus mátrixra fennáll a

Q“ = Q ^

egyenlőség, akkor a Q-t ortogonális mátrixnak nevezzük.Az ortogonális mátrix transzponáltja tehát a mátrix inverzével

egyenlő.— 1 TAz ortogonális mátrix inverze is ortogonális és így Q = (Q ) .

Az ortogonális mátrix determinánsa +1 vagy - 1 , detQ = 1.

38 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Például, ha A =12

V3

V3‘

L 2

, akkor det A = 4- + 4 = 1.4 4

adjk. =1 V3 r 1 V3] r 1 V312 2 2 2 PJ - 2 2

V3 1 ’ ^ 1 S 1 V3 1L 2 2J . 2 2J L 2 2J

és így látható, hogy A ’ = A ^, tehát A ortogonális mátrix.

A kvadratikus U mátrixot, melyre fennáll az

U” ‘ = U* (=

egyenlőség, unitér mátrixnak nevezzük. Az unitér mátrix deter­minánsának abszolút értéke 1, azaz |detU| = 1. Az unitér mátrix in­verze is unitér és így

T-l

Például az A =

detU “

V2 V2 • 2 2

= 1.

unitér mátrix, mivel

A *A = A ^ A =r V2

2r V2 V2 . 1

2 22V2 V2 , V2

_ 2 ^ 2 J _ 2 2 _

'1 0

0 1

Az n-edrendű kvadratikus mátrix föátlójában álló elemek ősz- szegét a mátrix spurjának, nyomának vagy trace-ének nevezzük, és SpA -val vagy TrA-val jelöljük, azaz

Sp A = Tr A = X , ( A = [a^]„xn )•A:=l

Ha A és B azonos rendű kvadratikus mátrixok, akkor

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 39

1. Sp(AB) = Sp(BA);

2. Sp(^A -t- rB) = kSp A -i- rSpB ; (k, r valós vagy komplex szá­mok),

3. SpA^ =SpA ; Sp(AA*) = Sp(A A ^)=j=\ i=\

Például, ha A = '1 2 3 4

,B = -1 r5 6

, akkor

AB = ■ 9 13' 17 27 és BA = ■ 2 2'

23 34

Sp(AB) = 9 + 27 = 36 , Sp(BA) = 2 + 34 = 36 , azaz

Sp(AB) = Sp(BA).

Egy A = [ciijlfnxn mátrixból annak k számií sora (1 < ^ < m -1)

és l számú oszlopa (l < / < n - 1) törlésével előállított részmátri­xot, amely m - k sorból és n - l oszlopból áll, az A mátrix minor- mátrixának {részmátrixának) nevezzük. A kvadratikus minormát- rix determinánsát minornak mondjuk.

Például, ha A =1 2 3' 4 5 6 7 8 9

sával kapott B = 2 3‘ 8 9

, akkor a 2 . sor és az 1. oszlop elhagyá-

mátrix az A-nak, az 021 = 4 eleméhez tar­

tozó minormátrixa, és mivel ez kvadratikus, így a minor;

detB = 1 8 -2 4 = - 6.

A mátrix rangja. Az A = [űylmxn típusú mátrix rangja

r = r(A), ha a kiválasztható r-edrendűnél magasabb rendű kvadra­tikus minormátrixokhoz tartozó minorok mindegyike zérus, de az r- edrendűek között van legalább egy zérustól különböző. A nulla­mátrix rangja r - r(0) = 0. A vektortér című részben további rangdefiníciót is adunk.

40 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Például, ha A ='1 2 2 4 2 4 4 2 0 0 0 1

, akkor a 3 x 4 -típusú A mátrix

rangjának megállapításához képezzük rendre a harmadrendíi mát­rixok minorjait:

= 0 .

Mivel a harmadrendíi mátrixok minorjai mind 0-val egyenlők, az A mátrix rangja 3-nál kisebb.

Képezzük a másodrendű mátrixok minorjait:

1 2 2 1 2 4 1 2 2 4

2 2 4 2 2 4 4

2 4 4 = 0, 2 4 2 = 1- = 0, 4 4 2 = 1-0 0 0 0 0 l 0 0 1

1 2 2 4 = 4 - 4 = 0, 1 2

2 4 = 0, 1 42 4 = 4 - S = - 4 ^ 0 ,

tehát van 0-tól különböző másodrendű minor, így az A mátrix rang­ja r(A) = 2 .

Az m x n -es A mátrix rangjára érvényes a következő egyenlőt­lenség és egyenlőség:

Tr(A) < min(m,n), r(A) = r(A ).

Ha az A és B mátrixok kompatibilisek, akkor

r(AB) < r(A) és r(AB) < r(B ),

azaz a szorzatmátrix rangja nem nagyobb a tényezők rangjánál.Ha az A mátrixból a B mátrix úgy keletkezik, hogy- az A mátrix valamely sorát vagy oszlopát megszorozzuk egy

nullától különböző számmal,- az A mátrix két sorát vagy oszlopát felcseréljük,- az A mátrix valamely sorához vagy oszlopához hozzáadjuk

a tőlük különböző sor vagy oszlop számszorosát,akkor az így előállított B mátrix rangja az A rangjával egyenlő, azaz

r(A) = r(B ).A felsorolt átalakításokat a mátrix elemi sor-, ill. oszlop­

transzformációinak nevezzük.

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 41

Ha az A mátrixból elemi transzformációk sorozatával előállítha­tó a B mátrix, akkor azt mondjuk, hogy az A és B mátrix ekviva­lens egymással: A ~ B . Az ekvivalens mátrixok rendje és rang­ja azonos.

Például, ha~2 3 5 '

A = 3 2 6

_4 6 10_

akkor az 1. oszlopvektorának 2-szeresét kivonva a 3. oszlopvekto- "2 3

mátrixot, a B mátrix 1. sorvektorának 2-rából a B = 3 2 04 6 2

szeresét kivonva a 4. sorvektorából a C =2 3 l3 2 0 0 0 0

mátrixot kapjuk.

melyből látható, hogy det C = 0 , tehát A rangja, r(A) < 3 . Mivel A, B, C ekvivalens mátrixok és a C mátrixnak van zérustól külön­böző másodrendű minora.

det 2 3'3 2 = 4 - 9 = - 5 ^ 0 , ezért r(A) = 2 .

Ha az A mátrix minormátrixát az ii,Í2 , . . . , ip -edik sorainak

j l , j j , - . . , jq -adik elemei alkotják, akkor annak szokásos jelölése:

a: ; hJi % h ■ Cl i i ‘iJqA^'i >í 2. ••’Áy _ a: i IJ] % h • a: iiJq

a; i '■pj\ ■• • /‘-pJq

Természetesen az A mátrix maradék soraiból és oszlopaiból képzett részmátrix szintén A minormátrixa.

Egy A mátrix eleméhez tartozó M y -vei jelölt minormát­

rixát megkapjuk, ha elhagyjuk az /-edik sor és a j-edik oszlop összes elemét:

42 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 43

fl,l a i2

Ö21 0-22

‘hnl ^m2

Az «-edrendű A mátrix

^i+l,n

flll Ű12ú!]l a i2 Ö13

M | = l a i i | , M 2 = , M3 = «2l < 22 <230.21 ^22 ^31 32 ^33

űil a]2 ... InÖ21 ^22 ■ CÍ2n - det A

ű„l a„2 •••■ ann

minorjait főminoroknak vagy sarokminoroknak nevezzük. Az Mq -val jelölt minort definíció szerint 1-nek vesszük.

Az n-edrendű szimmetrikus A 0 mátrixot pozitív defínitnekTnevezzük, ha bármely n elemű x 0 vektorral képzett x Ax szor­

zata pozitív, azaz bármely x^ = [x], ^2,... , vektor esetén

x ^A x > 0 .

A pozitív definit mátrix mindegyik sarokminorja pozitív, azaz

M,- >0, (í = 1,2,..., n ) .

Például az‘ 1 - 1 0 "

A = -1 2 -1 0 - 1 2_

szimmetrikus mátrix pozitív definit, ui. ha

X = [X[, X2, X3 ] 5 0 ,akkor

a\n ’ T1 - 1 0 " Xi

«2 « X Ax - [xi,x2,x^] - 1 2 - 1 ^ 2

0 - 1 2 3 -

= (xj — x2)x^ + i~x^ + 2.X2 -X'^)x2 + {-X2 +

= (X] - Xof' + (X2 ~ + X' > 0 ,

melyből látható, hogy az egyenlőtlenség Vx , X2, X3 -ra teljesül. A sarokminorok:

1 -1 - 1 2

= 1>0, M3 = detA = l > 0 ,M | = 1, M 2 -

rendre pozitívak.TMinden reguláris A mátrixszal képzett B = A A mátrix szim­

metrikus és pozitív definit.Például legyen

A =’l 0 3'

Takkor A =2 2‘ '9 16 25"

2 3 4 0 3 5 és A ^A = 16 34 472 5 7 3 4 7 _25 47 74_

Az A A mátrix pozitív definit, ui.:

9 16Ml = 9 > 0, M 2 = det16 34

= 5 0 > 0 ,d e tA 'A = 1 6 9 > 0 .

A mátrix sorpárhuzamos és oszloppárhuzamos egyenesekkel való felosztását particionálásnak, a particionálással előállított részmátrixokat blokkoknak nevezzük. Például

A =

íüll fl|2 I j

- 1 L 3 2 _ { f 23

iPnű ^m2 I hn3 •

A mátrix oszloponkénti particionálásával előálló blokkok az oszlopmátrixok (oszlopvektorok), soronkénti particionálásával előálló blokkok a sormátrixok (sorvektorok). Egy mátrix többféle

módon is particionálható. Az elmondottak értelemszerűen a sorvek­torok (sormátrixok), ill. az oszlopvektorok (oszlopmátrixok) parti- cionálására is érvényesek.

44_____________ /■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Példa

Az A =

3 -6 3 0 1 0 1 5 4 1 2 9 - 4 5 3 7 1 1 8 - 2

4x5 típusú mátrixot szaggatott

vonalakkal négy blokkra bontjuk: A =

3 0 5 4

3 -610 _ _ l l ________2 9 Í - 4 5 3 7 l! 1 8 - 2

Ha bevezetjük a blokkokra az

An = 3 - 6 0 1 A ]2 -

3 0 í 5 4 1 ^ 2 1 -

'2 9 1 1 ^ 2 2 -

-41

5 3 8 - 2

jelölést, akkor az adott mátrixot az alábbi tömör formába írhatjuk:

A,i,^ 2 1

b ) Az X =

“r T2 2

3 oszlopvektor 34 45 5

42‘‘22J

particionálásával

(2)

T ‘3'

2, X2 = 4

_5_részvektorokkal

r 2

x = 345

alakban írható fel.

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze 45

A (2) alakú mátrixot, vagyis az olyan mátrixot, amelynek ele­mei is mátrixok, hipermátrixnak, a (3) alakú vektor elemű vektort pedig hipervektornak is nevezzük.

Ha az A és B mátrix minden íj indexű blokkjai azonos méretűek (a megfelelő blokkok azonos típusúak), azaz

;• ^\n- [ A j B -

'B ii . ■■

_A,^i . A•• ^mn_ J^ml ■•• ^mn.

akkor A ± B = [A ^,±B,

Tehát azonos típusú blokkokból álló A és B mátrix összege, ill. különbsége kiszámítható a blokkokkal végzett műveletekkel.

Ha az Aj.p, B^ , blokkok a mátrixszorzás szempontjából rend­

re konformábilisak, akkor az AB szorzatmátrix kiszámítható a blokkokkal végzett mátrixszorzásokkal:

AB =IP

Minden r(A) > 0 rangú A mátrix elemi transzformációkkal az

[E , 010

0 0

ún. normálalakok valamelyikére redukálható [K72], ahol az E^blokk az r-edrendű egységmátrix, a 0 blokk pedig nullamátrix, ill. nullavektor.

Az A mátrix rangja a normálalakjában lévő E^ egységmátrix rangjával egyenlő.

Például, ha egy 4 x 5 -ös A mátrix normálalakja:

“1 0 0 |0 0"'Xj” (3) 0 1 o lo 01 E3 0‘^2_ 0 0 110 0 0 0

_0 0 0“|0 0_

akkor r(A) = 3.

46 1. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

Például, ha A =

formációkkal A-

2 4 6 8 " 1 3 3 4 4 8 12 16

, akkor elemi sor- és oszloptransz-

(4)'2 0 0 0"(2) “2 0 0 0"(3) '2 0 0 0"1 1 0 0 ~ 0 1 0 0 ~ 0 1 0 04 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0

1 O'iO 0'o_l!o_P 0 oTo 0

(5)E 2 0‘ 0 0

(6)

normálalakot kapjuk, mely szerint az A mátrix rangja: r(A) = 2 .Az alkalmazott transzformációk elsőként az A mátrixra, majd az

egymás után előálló mátrixokra vonatkoznak:- Az 1. oszlopvektor 2-szeresét, 3-szorosát, 4-szeresét rendre

kivontuk a 2., 3., 4. oszlopvektorból. —> (2)

- A 2. oszlopvektort kivontuk az első oszlop vektorból. -> (3)

- Az 1. sorvektor 2-szeresét kivontuk a 3. sorvektorból. (4)

- Az 1. sorvektort osztottuk 2-vel. —> (5)

- Felírtuk az A mátrix normálalakját. —> (6)

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa

Mivel a kvadratikus mátrix a szorzás szempontjából önmagával konformábilis és a mátrixszorzás asszociatív, így a kvadratikus mátrixok pozitív egészkitevős hatványát is értelmezhetjük az alábbiak szerint:

V = A

A^ = A -A

A^ = A ^ -A

A " = A " -^ -A

ahol n tetszőleges pozitív egész szám. A mátrix 0 kitevőjű hatvá­nyát egységmátrixként értelmezzük, azaz

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa . 47

A ° = E .

Az A” tehát egyértelmíien meghatározott, mint az A mátrix n- tényezős szorzata.

A mátrixok pozitív egészkitevős szorzatára is kiterjeszthetők az algebrai kifejezések hatványozására érvényes alábbi szabályok:

A'".A"=A'"+" és (a '”)”= A '”''

Az A'" és A ” mátrixhatványok szorzata egymással felcserél­

hető, azaz A "^ A" = A" • A'^ = .Ha A reguláris, akkor

A “ ' = (A ” )' (r > 0 egész szám ).Az

A^ = Aösszefüggést kielégítő kvadratikus mátrixot idem potens vagy pro- jektor mátrixnak nevezzük.

'2 - 2 fPéldául az A =

A^ =

1 - 1 1 0 0 1

mátrix idempotens, mert

= A .'2 -2 r "2 -2 1] ■2 -2 r1 - 11 1 ~ 1 1 = 1 - 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1

Az A kvadratikus mátrixot nilpotens mátrixnak nevezzük, ha valamely pozitív egész kitevőjű hatványa a 0 mátrixszal egyenlő.

Az

A ^ = 0 , A ^~^ ^ 0

összefüggést kielégítő kvadratikus mátrixokat p indexű nilpotens mátrixoknak mondjuk. Azt a nilpotens mátrixot, amelynek indexe megegyezik a mátrix rendszámával nemderogatórius nilpotens mátrixnak mondjuk, ha pedig kisebb az indexe a rendszámánál, akkor derogatórius nilpotens mátrixnak nevezzük.

Például az A =0 5 2 0 0 2 0 0 0

mátrix 3 indexű nilpotens mátrix, mert

I. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

0 0 10" '0 0 0‘0 0 0 és AAA = AA^ = A^ = 0 0 00 0 0 0 0 0

AA = A =

Mivel az A mátrix rendszáma is és indexe is 3, ezért nemdero- gatórius nilpotens mátrix.

1 -1 rmátrix 2 indexű nilpotens mátrix, ui.- 3 3 - 3

- 4 4 - 4

' 1 - 1 í - 3 3 - 3 - 4 4 - 4

1 - 1 f- 3 3 - 3_ 4 4 _ 4

0 0 0'

0 0 0 0 0 0

= 0 .

Mivel a B mátrix rendszáma 3, indexe 2, így a B derogatórius nilpotens mátrix.

A kvadratikus A mátrixot periodikusnak nevezzük, ha

A^+^ = Aahol a k pozitív egész szám. Azt a legkisebb k pozitív egész számot, amelyre (1) teljesül, az A mátrix periódusának mondjuk. A A: = 1 speciális esetben A idempotens.

-1 3 - 2 \mátrix periódusa 2, mivelPéldául az A = 2 - 2

6 - 9

-_5 9 _4“ -1 3 - 2 ‘ -5 9 -4 ” ■-1 3 -2 “- 6 10 - 4 ,A^ = 2 - 2 0 - 6 10 - 4 = 2 - 2 0- 6 9 - 3 6 - 9 3 - 6 9 - 3 6 - 9 3

A^ =

vagyis A^ = A " = A , tehát k - 2 .A kvadratikus mátrixok hatványának értelmezéséből követke­

zik, hogy kvadratikus mátrixok polinomja is definiálható.A cq, ci, . . . , c (c,j ^ O) tetszőleges számokkal képzett

/? ^ (A ) — C ^A + C ^_jA ^ + . . . + C-yA. + C qE

kifejezést, ahol az A mátrix és az E = A^ egységmátrix azonos n-ed- rendíi kvadratikus mátrix, n-edfokú mátrixpolinomnak nevezzük.

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa

Legyenek A és B azonos rendíí felcserélhető mátrixok, azaz

A B = B A ,akkoi az elemi algebrából ismert binomiális tétel alkalmazható

(A + B)" kifejtésére V n e N számra, azaz

(A + B)"=. r A "B %vOy vly

ahol

A "-^B +v2 y n

A °B '" ,

n \

k l ( n - k ) l '

Az elemi algebrában megismert hatványozási műveletek általá­ban formálisan nem alkalmazhatóak mátrixokra. így például

A ^ -B ^ ^ (A -B )^ (kG Z +).

Például, ha A ="-1 2“

, B ="1 6'

(1) _ 3 -4_ _5 7_

akkor

azaz

(A B )2 -55 - 8' 17 - 3 6 , A^B^ - -183 -454'

415 1018

Az A [ülj] m átrix [| A || normáján azt a nemnegatív számot

értjük, amely kielégíti a következő feltételeket:

1. II0 II = 0, és fordítva, ha ||A || = 0, akkor A = 0;

2 . II A:A II = I /: IIIA ||, ahol a k tetszőleges komplex szám;

3. IIA + BII < IIAII + IIB ||, ahol az A és B mátrixok az összeadás szempontjából konformábilisak;

4. II AB II < IA ||||B ||, ahol az A és B mátrixok a szorzás szem­pontjából konformábilisak.

Gyakrabban használt mátrix- és vektornormák

IIA III = rnax Y, ay ; | x ||j = max| |;' J i

X =

50 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Mindhárom norma kielégíti az 1-4. feltételt [K2] .

Például számítsuk ki az A =1 2 3 4 2 1 3 5 3

valós mátrix || A UII

normáját.

Az A mátrix elemeinek négyzetösszege:

1 + 4 + 9 + ... + 25 + 9 = 78 , és

A ^A =14 11 22 11 21 25 22 25 43

1

,így Sp(A^A) = n ,

vagyis ||A ||jjj= X H = (Sp A* A)2 = VT8 = 8,831760866 .hJ

Mátrixnormákra vonatkozó, gyakrabban használt egyenlőtlen­ségek:

V

ÍA -B 1 < 1 |A || + 1 B |

|1 A ||- ||B |||< ||A -B ||.

Az A = [ülj] mátrix abszolút értékét az

absA = [| öy |]

egyenlőséggel értelmezzük.

L 4 Vektortér 51

Azonos típusú mátrixokra bevezethetjük a kisebb-nagyobb fo­galmat is. Legyen A = > B = [%]„xm akkor

A < B , ha Vfly < bij .

1.4 Vektortér

Jelölje R a valós vagy komplex számok halmazát. Az

X = (xj,x2,...,x„) Xi& R (/= l,2 ,...,n )

rendezett szám n-eseket n dimenziós vektoroknak tekintjük, azszámokat az x vektor komponenseinek mondjuk. A

vektorokat általában félkövér latin kisbetíikkel, az R elemeit (ska- lárokat) dőlt latin kisbetűkkel jelöljük [K27], [K72], [K83], [K71].

■«1

^2

Xn,

oszlopvektor, ill. x - [x , xj, ..., x„]

sorvektor alakot és elnevezést használjuk, és mint oszlopmátri­xokra, ill. sormátrixokra értelmezzük az összeadást és a számmal való szorzást: ha

X =

■1 + 31-^2 , y = y_2 , akkor x + y = x2 + y i

J n _ Xn + yn_

es kx = xk =

kxikx2

kx„

ahol a k tetszőleges valós vagy komplex szám. Tehát két vektor összegének komponenseit a két vektor megfelelő komponenseinek összege adja, és egy számmal szorzott vektor komponenseit a vek­tor számmal szorzott komponensei szolgáltatják.

Az n dimenziós vektorok i?” halmazát az R számtest felett értelmezett lineáris vektortérnek vagy lineáris térnek nevezzük.

ha a halmazban értelmezett összeadás és számmal való szorzás

Vx, y,ZG i?” -re kielégíti a következő axiómákat:

1. x + y = y + XGÍ?"

2 . (x + y) + z = x + (y+ z)g jR"

3. x + ( - 1 ) x = 0 g

4. x + 0 = x , Og i?"

5. /:(x + y) = /:x + /:y G ( V / r G i?),

6. (y + /)x = /tx + /xG i?", ( y k J e R ) ,

7. (kl)x^k(lx)G R^,

8. Ix = XG i?", ahol 1 azi? test egységeleme.

Általában, a fenti axiómákat kielégítő tetszőleges elemek hal­mazát is lineáris térnek nevezzük.

Például lineáris tér az m x n típusú mátrixok halmaza aszokásos mátrixösszeadás és számmal való szorzás műveletével. Vektorteret alkotnak az origóra illeszkedő sík vektorai az R valós test felett a szokásos vektorösszeadás és a valós számmal való szorzás mííveletére nézve.

Legyen V az lineáris tér nem üres részhalmaza. A V hal­

mazt tér lineáris alterének nevezzük, ha az 1- 8. míiveletekre zárt.

Az értelmezésből következik, hogy i?” altere önmagának, és az

egyetlen 0 vektort tartalmazó V = {0} tér is altere R^ -nek. Ezeket

i?” triviális (vagy nemvalódi) altereinek mondjuk. Ha V valódi

részhalmaza R -nek, akkor V-t i?” valódi alterének nevezzük.3

Például az R geometriai térben valódi (nemtriviális) alteret alkotnak az origóra illeszkedő egyenesek és síkok, ha az origóból kiinduló vektorok végpontjukkal adottak.

Annak eldöntésére, hogy egy nem üres V e i ? ” halmaz altér-e, elegendő megvizsgálni a míiveletek V-beli zártságát.

Az X és y vektorok koordinátáinak szorzatösszegét az x és y

52 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.4 Vektortér 53

vektorok skaláris szorzatának (skalárszorzatának) nevezzük, és jelölésére

(x,y) = Z ^ ijf í- i

(1)

formulát használjuk, ahol y,- szám az y, komplex konjugáltja. A skalárszorzatot a két vektor közé írt ponttal is jelöljük;

X y

Például, ha X = [x|,^2, . . . , x^], y = [j|, g R ” , akkor

(x,y) = x -y = XYyl -X2y2 +■ ■ + Xnyn■

A. skaláris szorzás tulajdonságai:

1. (x, x) > 0, ha X 0, és (x, x) = 0, ha x = 0;

(2)

2. (x,y) = (y,x);

3. (kx,y) - k(x,y), (x,ky) = k(x,y), ahol k tetszőleges komp­lex szám;

4. (x + y ,z) = (x,z) + (y,z), (z,x + y) = (z,x) + (z,y).

Az X vektor normájának vagy hosszának (abszolút értéké­nek) az

|x|| = V(x,x) (3)

számot nevezzük.

Ha az y = Toszlopvektor transzponáltjára y = y * jelölést

vezetjük be, akkor az (1) skaláris szorzat alakja:

(x,y) = y * x . (1*)

Az (1*) formulából felírhatjuk a Cauchy-Schwarz-féle egyenlőt­lenséget

|(x,y)|<||y*||||x|| = ||x ||||y ||. (4)

54 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Az 1-4. tulajdonságú skaláris szorzattal rendelkező n dimenziós

vektorteret komplex euklideszi vagy unitér térnek nevezzük (1. a 3.1 pontot).

Ha az n dimenziós vektorok koordinátái valós számok, és a

számmal való szorzás valós számmal történik, akkor R” valós n dimenziós vektortérről beszélünk, melyben a skaláris szorzás tulajdonságai speciálisan a következők:

1. (x, x) > 0, ha X 0 és (x, x) = 0, ha x = 0;

2 . (x,y) = (y,x);

3. (kx,y) = k(x,y), valós szám;

4. (x + y,z) = (x, z) + (y, z).

Az X vektor normája vagy hossza: || x | = ^(x, x) = ,

melyet euklideszi normának, a vektorteret pedig n dimenziós

euklideszi térnek nevezzük, szokásos jelölése: E” vagy V” .

Az (5)

vektort az xj,x2, . . . ,x „ e vektorok lineáris kombinációjának,

a ki e R (i = 1,2,..., n) számokat a lineáris kombináció együttható­inak nevezzük. Ha az együtthatók mindegyike 0, akkor triviális, ha van 0-tól különböző együttható is, akkor nemtriviális lineáris kombinációról beszélünk.

Az X],X2,.. . ,X ^ e vektorokat i?” tér generátorrendszeré­nek nevezzük, ha lineáris kombinációjukkal a tér minden vektora előállítható. A vektortér vektorait a kiválasztott generátorrendszer vektorainak különböző lineáris kombináció is előállíthatják.

Az Xj, X2, ..., x^ G i?” vektorok összes lineáris kombinációinak

halmazát az X],X2,.. . ,X ^ e R! vektorok által generált altérnek nevezzük. Jelöljük ezt G-vel. G tehát a következő halmaz:

Gy={qxi + C2X2 + ... + c„xJci ,C2, . . . , c ^ e R } .

1.4 Vektortér 55

Például az R geometriai tér két nem kollineáris vektora, mint generátorrendszer által kifeszített sík a két vektor által generált

altér. így, általánosan azt mondhatjuk, hogy az xj,x2, . . . ,x ^ g i?” vektorokat tartalmazó altér a legszűkebb, mely megegyezik az Xj, X2, ..., x,„ vektorokat tartalmazó összes altér metszetével.

Az X|,X2,...,X„G i?” vektorokat lineárisan összefüggőknekmondjuk, ha valamely nemtriviális lineáris kombinációjuk null vek­tort állít elő, azaz

n n2] kiXi - 0 , melyből következik, hogy ^ | | ^ 0 . í=i i=l

Például az X| =[1,2,3], és X2 = [-2, - 4, - 6] vektorok lineárisan

összefüggők, mert 2X] 4- X2 = 0 .

Ellenkező esetben az x j,x2,...,x „ vektorokat lineárisan füg­getleneknek nevezzük, azaz ha a vektoroknak csak a triviális kom­binációja állítja elő a 0 vektort, vagyis

Y . k i X i = 0 é s X I 1 = 0. i=! /=!

Egy generátorrendszer vagy általánosan egy vektorrendszer rangjának nevezzük a szóban forgó vektorok között található hneárisan független vektorok számát.

Például az X| = [1,2,3], X2 = [-1,3,1], X3 = [2, - 6 , - 2 ] vektor­

rendszernek Xj és X2 vektora lineárisan független, mert nincs olyan

ki^O és k2 ^ 0 , hogy

ky[l, 2,3] + k2Í - l 3,1] = [ki - k2,2ki 3 ) ^ 2 ,+ ^2! = « ,

legyen ui. ak \ - k 2 - Q

2ki + 3k2 = Q>3 2 + k2 = 0

homogén lineáris egyenletrendszer ismeretlenjeinek száma és együtthatómátrixának rangja egyenlő (2 = 2 ), ezért egyértelmű megoldása van, s ez a triviális megoldás: ki = k2 = 0 . Az X3 az

%2 vektor -2 - szereseként előállítható; X3 = -2 • X2 . A rendszer

x ié sx 3 vektora szintén lineárisan független. így az X[,X2,X3 vek­torok között csak két lineárisan független vektor van. A vektorrend­szer rangja 2.

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció

56 l. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

Az /?" tér n számú lineárisan független e j,e 2 , . . . ,e„ vektora bá­

zist alkot, ha Vx e vektor egyértelműen előállítható e vektorok lineáris kombinációjaként, azaz

n

i=iahol az Xi számokat az x vektor adott bázisbeli koordinátáinak nevezzük. A generátorrendszer értelmezése alapján mondhatjuk,

hogy az térben bármely lineárisan független n számú vektorból álló generátorrendszer bázist alkot, melynek elemei a bázisvekto­rok. A bázisvektorok számát a tér dimenziójának nevezzük és

dim/?” -nel jelöljük.Az e | , 6 2 , . . . , e„ bázis ortogonális, ha vektorai páronként orto­

gonálisak, azaz (e j,e ^ ) - Q, i^ j esetén, és ha (ej,ej) =1 is telje­

sül, akkor ortonormált.

Az tér e i ,e 2 , . . . ,e„ kanonikus bázisa ortonormált:

ei = [l, 0, .... 0]^,

e2 = [0, 1, .... 0]^, (1)

le„ = [0, 0, .... 1]^,szokásos jelölése: E.

A kanonikus bázisban adott bármely x g i?” vektor egyértel­műen előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

X = xjC] + ^262 + . . . + Jt^e^ ,

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció 57

ahol Xj, ^2,..., az X vektor kanonikus bázisban adott koordiná­tái. Az X vektort általában oszlop vektornak tekintjük és

X =

•1• 2

alakban, vagy a kevesebb helyet igénylő

x = h , ^2’ XnValakban jelöljük.

Az előző megfogalmazás értelmében, ha az tér egy B bázi­sának vektorai; b i,b 2,...,b ,^ , és x^ egy B bázisban adott vektor,

akkor az x^ vektor egyértelműen előállítható az így adott bázis­vektorok lineáris kombinációjaként, azaz

Xg = ijb| ^2^2 + ... + X ^n ’

ahol az x,- (i = l ,2,,..,n ) számok az Xg vektor b j,b 2,... ,b „ bázisra

vonatkozó koordinátái. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet az tér egyik bázisáról áttérni egy másik bázisára.

Azt az eljárást, amellyel előállítjuk egy vektor egyik bázisbeli koordinátáinak ismeretében a másik bázisra vonatkozó koordinátáit bázistranszformációnak nevezzük.

Tegyük fel, hogy az E és B bázis vektorai közötti kapcsolatot

(2)

fejezi ki, ahol a cu együtthatókból alkotott C mátrix /:-adik oszlo­

pa a b^ bázisvektor koordinátáit tartalmazza az E bázisra vonatko­zóan. Az X vektor a két bázisra vonatkozó koordinátákkal

x = [ej, 6 2 , . . . , e j

alakban megadható.

- [b|, b2 , ..., b j (3)

58 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.4.1 Bázis és bázisíranszformáció 59

Mivel [b |,b2,. . . ,b ,J felírható

[bj, b 2 , b j= [e i , 0 2 , e j

q i Ci2 ••• \n '21 ^22 ■■■ ^2n (4)

alakban, így (4) -et a (3)-ba helyettesítve, az

x = [e], 62, e,

egyenletet kapjuk. Ebben az x vektor már ugyanabban az E bázis­

ban van kifejezve, s mivel az i?” tér bármely vektora a bázis vek­torainak lineáris kombinációjaként egyértelműen megadható, ezért a koordináták közötti összefüggést az

Cl] C]2 .. ~ x {

• 2 = [ei, 62, . . . , e j <’21 ^22 ;■•• ^2n h

Xn_ _^nl ^n2 •'■ ■ Cnn. A _

egyenlőség adja.Az Xg vektor kanonikus bázisra vonatkozó koordinátáit, tehát az

x = Bx5 (5)

formulával számíthatjuk ki, ahol a B mátrix oszlopait a B bázis bázisvektorai alkotják.

Mivel detB 0 , ezért létezik inverze, így a kanonikus E bázis­ban adott X vektor B bázisra vonatkozó koordinátás alakját meg­kapjuk, ha megszorozzuk a B bázis bázisvektorai által adott B mát­rix inverzével:

x^ = B x

Például legyen az R tér egy bázisa:

b i= [l,l,0 ] ,b 2 = [l,0 ,l],b3= [1,1,1],

és ebben a bázisban adott vektor: x^ = [9,6,7].

(6)

1 1 r 1 0 1 0 1 1

1 1 r ■9' '221 0 1 6 160 1 1 _7_ 13

■ 1 0 - f ~2 - f1 -1 0 1 = 1

-1 1 1 3 2

Cii C|2 . ■■ \n bázisra vonatkozóan

- 2 = < 21 ' ‘22 ; ^2n a = Xjbj + X2b 2 +..

3 . S n \ Cn2 ■•• ^nn_ A _ Cseréljük ki a b^ bázisvektort a

A bázisvektorok alkotta B mátrix: B =

Az E bázisban x = Bx^ =

A kanonikus bázisban adott x = [2,1,3] vektor B bázisban:

x^ = B ^x-

A bázistranszformáció legegyszerűbb esete az, amikor az adott bázisnak csak egy vektorát cseréljük ki. Ezt elemi bázistransz­formációnak nevezzük.

Például legyen az n-dimenziós vektortér egy vektora az adott B

(7)

b = Íib, +Í2b2 + --- + 4bfc+--- + ^ A ( 4 ^ 0 ) (8)vektorral, azaz írjuk fel a (7) vektort az új

bj, b 2 , ..., b^_i, b, b^+i,..., b„ (9)

bázisban, és vizsgáljuk meg, hogyan változnak meg (7) koordinátái az új bázisban.

A (8)-ból fejezzük ki a b^ vektort:

b j = 4 - b - A b i - í b 2 - . . . - i b „ ,•'■/t % Xt "

helyettesítsük a (7)-be b helyére, akkor rendezés után az

» = ( ^ 1 - -*i)b|+ (X2 %)b2 +...+ +...+ (x„- f - x„)b„ ( 1 0 )■k H

eredményt kapjuk.

60 /. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

Az ^ = d jelölés bevezetésével az a vektor az új

bázisra vonatkozó koordinátáival;

a = [(xi - dxi), (X2 - dx2), . •., (x„ - ű f^)].

Az x elemet generáló elemnek vagy pivotelemnek, az elemibázistranszformációt pedig plvotálásnak mondjuk. A pivotálást célszerű táblázatba rendezve végezni, különösen akkor, ha több vektor új koordinátáit kell meghatározni.

aPéldául az R tér 61,62,63 kanonikus bázisában adottak az

a i = [ 2 , 3 , 1 ] , a 2 = [ 3 , 4 , 2 ] , a 3 = [ 2 , 3 , 3 ] , a 4 = [ 1 , 1 , 5 ]

vektorok. Cseréljük ki az 62 vektort az 83 vektorra és számítsuk ki

mindegyik vektor 6 | , 3 3 , 63 új bázisra vonatkozó koordinátáit.

Megoldás. A vektorrendszer bázistáblázata:

Bázis ai ^2 as a4 ei ®2 63

ei 2 3 2 1 1 0 0

62 3 4 [3] 1 0 1 0

63 1 2 3 5 0 0 1

A generáló elem (pivotelem) a szögletes zárójelbe tett 3. A pi- votálás elvégzése után a következő táblázatot kapjuk:

Bázis ai »2 ^3 a4 ei 62 63

0 1 0 1 1 2 03 3 3

^3 1 4 1 1 0 1 03 3 3

63 -2 -2 0 4 0 -1 1

A táblázat elemeit a kezdőtáblázat elemeiből, (lO)-nek megfele­lően, a következő műveletek elvégzésével nyertük;

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció 61

1. A második sort (pivotsort) osztottuk a pivotelemmel, vagyis 3-mal.

22. Az első sorból kivontuk a pivotsor -szorosát.

3. A harmadik sorból kivontuk a pivotsor ^ = 1 -szeresét.

Az új bázis bázis vektorai: 6j = [1,0,0]^, a3 = [2,3,3]^ , 63 = [0,0,1]^

(ü 3 az eredeti táblázatból a pivotelem oszlopa).A többi vektor koordinátás alakja az új bázisban;

a ,= [0 .1 ,-2 ] , a2 = [ i | , - 2 ] , a 4 = [ i , i 4], e2 = [ - | l , -1],

A új bázis B transzformációs mátrixát az e , 33, 63 oszlopvekto­rok alkotják:

B =1 2 0'

0 3 0 0 3 1

-1, melynek inverze: B =

1 - f o

0 ^ 0 0 -1 1

A (6) formulát használva is azonos eredményt kapunk, azaz

2 “1 0

’2“ 0“B '^ a i = 0

13

0 3 = 1 = a^ stb.

0 -1 1 _ 1_ _ - 2_

Megjegyzés1. A bázistáblázat alkalmas egy vektortérben adott vektorrend­

szer rangjának a meghatározására is. Ui. ahány vektor kicserél­hető a vektorrendszerből a kanonikus bázis vektoraival, az a szám a vektorrendszer lineárisan független vektorainak számával, azaz a yektorrendszer rangjával egyenlő.

2. A bázistáblázattal a mátrix rangja is meghatározható, mivel a mátrix rangja megegyezik a lineárisan független oszlopvektorok, ül. sorvektorok számával.

3, A bázistáblázat elemi sortranszformációk alkalmazásával a lineáris egyenletrendszerek megoldásához, valamint a nemszingu­láris mátrixok inverzének kiszámítására is használható, mivel ez a Gaw^í-eliminációs eljárás táblázatos változata.

62 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ha

az i?” tér lineárisan független vektorai, valamint tet­szőleges számok, akkor az

rn

/=i

módon előállítható vektorok összessége az X|,X2,...,x ,„ vektorok által kifeszített lineáris teret állítja elő (generálja).

Ha valamely V vektorhalmaz az i?" lineáris altere, és V maxi­mális számú lineárisan független vektora Xi,X2, . . . ,x „ j , akkor e vektorok a V tér bázisát alkotják, és V minden vektora a bázisvek­torokkal egyértelműen előállítható. Ekkor a V altér dimenziója

dim V —m (0 < m < n).

Például a valós, rögzített koordinátarendszerű tér minden

origóra illeszkedő síkja és egyenese altér. A sík az tér kétdi­menziós, az egyenes pedig egydimenziós altere. Ui. az origóra illeszkedő sík bármely három pontjához tartozó helyvektor kompla- náris, és így lineárisan összefüggő, az origóra illeszkedő egyenes bármely két pontjához tartozó helyvektor pedig kollineáris, szintén összefüggő. Az origóra nem illeszkedő többi sík és egyenes nem altér, nincs 0 vektora.

Ha az A mátrix oszlopmátrixait az tér vektoraiként fogjuk fel, akkor a mátrix r(A) rangja a kiválasztható lineárisan függet­len oszlopvektorok maximális számával egyenlő, mely megegyezik az általuk kifeszített altér dimenziójával.

A, számtest feletti szám n-nes elemekből álló vektortér fogalma­it, műveleteit és a műveletek tulajdonságait olyan halmazokra is értelmezzük, amelyek elemei tetszőleges elvont objektumok.

1.5 Lineáris egyenletrendszerek 63

1.5 Lineáris egyenletrendszerek

Az n ismeretlenes n egyenletből álló lineáris egyenletrendszer álta­lános alakja,

ül iXi +Ü12X2 + ... + a nXn = ^021- 1 + 22- 2 •

V l + ^n2^2 + •

+ a2nXn = q2

+ V n = qn.

(*)

ahol az együtthatók és a qi konstansok az R számtest elemei,

azaz Vöy, qi & R . A (*) egyenletrendszer megoldásának nevezzük

azt a c'i G R ( i -1 , 2 , . . . , n) számsorozatot, amely a megfelelő

0’ = 1,2,..., n) ismeretlenek helyére rendre beírva mindegyik egyenletéből egyenlőséget állít elő [K74], [K25],[K30], [K72],

A (*) egyenletrendszer mátrix alakja:

ü li a i2

^21 ( 22a\nÖ2«

J^n\ ^n2 • • • ^nn_

9l- 2 P

ill. röviden jelölve;(1)Ax = q,

ahol A e i? " ''" ,x e i?”,q e i?" .Ha , akkor az egyenletrendszert inhomogén, ha q = 0 ,

akkor azAx = 0 (2)

egyenletrendszert homogén egyenletrendszernek nevezzük.Ha az A mátrix oszlopai után n + l -edik oszlopmátrixnak a q

oszlopvektort beírjuk, akkor az egyenletrendszer ún. bővített B = [A q] mátrixát kapjuk. Az egyenletrendszernek akkor és csakakkor létezik megoldása, ha az egyenletrendszer A mátrixának rangja megegyezik a bővített mátrixának rangjával, azaz

r(A ) - r ( B ) .

64 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ez azt is jelenti, hogy az A és B = [A q] mátrixok oszlopvektorai­ból képzett mátrixrendszer rangja egyenlő, vagyis a két mátrix line­árisan független oszlop vektorainak száma egyenlő.

Ha az n x n -es A mátrix reguláris, azaz ha det A 0 , akkor

r(A ) = r(B) = n ,

és az n ismeretlenes n egyenletből álló egyenletrendszernek egyet­len megoldása létezik. A megoldást megkapjuk, ha az A mátrix inverzével megszorozzuk balról az (1) rendszert:

x = A~’q (A“ ^A = E ).

Ha (l)-ben detA = 0 , akkor az (1) egyenletrendszer vagy nem oldható meg, vagy a megoldások száma egynél több.

Az Ax = 0 n ismeretlenes n egyenletből álló homogén lineáris egyenletrendszerre mindig teljesül az r(A) = r[A O] egyenlőség, ezért mindig van megoldása, éspedig x = 0. Ezt triviális megol­dásnak nevezzük. Ha r(A) = n , akkor csak triviális megoldás van.

Triviálistól különböző megoldás létezésének szükséges és elégséges feltétele: detA = 0 ( r (A )< n ) . Ha r(A) < n , akkor végtelen sok megoldás van. Ekkor a (2) homogén egyenletrend­szernek k = n - r ( A ) lineárisan független X|,X2,...,x ^ megoldása van s ezek lineáris kombinációi szintén megoldások.

Megjegyzés. Ha a homogén lineáris egyenletrendszer egyenle­teinek száma kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor mindig van triviálistól különböző megoldása.

Az Ax = 0 egyenletrendszer mellett az A*y = 0

homogén egyenletrendszernek is k számú y[ ,y2 --- yk lineárisan független megoldása van. Ha az

(y/>q) = 0 (i = l ,2, . . . ,k)

ortogonalitási feltétel teljesül, akkor az ( 1) inhomogén lineáris egyenletrendszernek /c-szorosan végtelen megoldását az

x = Xp + J^qXii=l

(3)

1.5 Lineáris egyenletrendszerek 65

formula adja, ahol Xp az ( 1) rendszer valamely partikuláris megol­

dása, Cj e R (z = 1,2,..., k) pedig tetszőleges számok.Például oldjuk meg az

'1 2 3“ '62 3 4 x = 73 4 5 8

lineáris egyenletrendszert. Mivel det A = 0 , az együtthatómátrix és a bővített mátrix rangja: r(A) = [A q] = 2 , az ismeretlenek száma és

a rang különbsége: k = n - r = 3 - 2 = 1 , így egyszeresen végtelen megoldása van az egyenletrendszernek:

x^ = [ -4 + t ,5 -2 t , t ] t e R .

Az Ax = 0 megoldása: x^ = [í^,-2íi,íj], az A^y = 0 megoldása:

y l = \th~2ti,t]\. (Valósban az A* helyett A^ szerepel.)J ^Az y/, és a q skaláris szorzata:

“6

{ h - 2 ty , tú — 6/] “ 1 + 8í = 0 ,

tetszőleges \ -re, tehát az y \ vektorok és a q ortogonálisak. Az egyenletrendszer megoldása felírható (3) alakban. Legyen az egyenletrendszer egy partikuláris megoldása í = 0 választással:Xp = [-4,5,0], akkor

- - 4- hX = x^, + q x / , = 5 + C] - 2t,

0 _ h_= [-4 + q?|, 5 - 2q/-], q íjf

A C]?! = t jelöléssel a (3) alakban felírt megoldás, az egyenlet-Trendszer x megoldásával egyenlő.

Például oldjuk meg azXi 4- 3x2 ~ 19

4x2 3x3 = 1 8 X| -I- 3^2 + 3x3 — 16^

66 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

egyenletrendszert az A inverzmátrix előállításával.

Az egyenletrendszer Ax = q mátrix alakja:

'1 3 4" “19“1 4 3 ^2 = 181 3 3 _-«3. 16

Az A mátrix determinánsa: det A = - 1 , tehát van inverze. Az

adj A -' 3 3 - 1

0 -1 1 -1 0 1

, Így A =

' 3 3 - 1 0 -1 1

-1 0 1-1

- 3 --3 10 1 -11 0 -1

- 3 - 3 7“ '19“^2 = 0 1 -1 18 =

_ 3_ 1 0 -1 16

r 2

A megoldás tehát: X] = 1, ^ 2 = 2, X3 = 3.Az inverzmátrixszal képzett megoldás műveletszámánál keve­

sebb művelettel is előállítható az egyenletrendszer megoldása. Az ilyen eljárások közül ismertetünk néhányat.

1.5.1 Gauss-módszer

Az

+ ö] 2- 2 + • • • + ^In^n ~ 1 ^21^1 + 022- 2 + • • • + = ^2 (1)

nl l ^n2^2 nn n n.egyenletrendszert az ismeretlenek fokozatos kiküszöbölésével úgy alakítjuk át, hogy vele ekvivalens felső háromszögmátrixú

Xi+bi2X2 +bi^X2 +. . . + binXn=CiX2 + h3X3 + --- + hnXn = C2

(2)

J.5.1 Gauss-módszer 67

egyenletrendszerhez jussunk. A (2) előállítása után a megoldást visszahelyettesítéses eljárással kapjuk:

Xn = CnX y ,--- I C,rj_1 —^n~l ^n-\ ^n-\,n^n (3)

Xi - C| - i>12 2 - 3^3 - • ■ • - KXn Az eljárást az (1) egyenletrendszerhez tartozó [A q] bővített

mátrixán célszerű alkalmazni. A bővített mátrixból elemi sor transzformációkkal [T c] mátrixot hozunk létre, ahol T a (2) alakúegyenletrendszer egység felső háromszögmátrixa. A megoldást a (3)-nak megfelelő

(4)nXi = q -

k = M

algoritmussal számítjuk.Például a

+ 6x2 + 4^3 = 26 2xi + 4x2 + 6x3 = 28 >

4xi + 8^2 + 16x3 = 68

egyenletrendszer bővített mátrixa:

‘2 6 4 26”[A q]= 2 4 6 28

[4 8 16 68_

és det A = -16 7 0 , tehát van egyértelmű megoldás. A Gauss- módszer alkalmazásakor egy-egy ekvivalens mátrix létrehozásához célszerű több elemi sortranszformációt alkalmazni:

"2 6 4 26' (l)* '1 3 2 13' (2)= “13 2 13“(3)* ‘13 2 13“(4)*

2 4 6 28 ~ 0 - 2 2 2 ~ 0 1 - 1 - 1 ~ 0 1 - 1 - 1 (5)4 8 16 68 0 - 4 8 16 0 0 4 12 0 0 1 3

Az átalakításhoz alkalmazott lépések:1. az (1)* első sorát 2-vel osztjuk, majd ennek 2-szeresét kivon­

juk a 2. sorából és 4-szeresét kivonjuk a 3. sorából -> (2)*,

68 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

2. a (2)* 2. sorát osztjuk (-2) -vei, majd ennek 4-szeresét hoz­záadjuk a 3. sorához (3)*,

3. a (3)* 4. sorát osztjuk 4-gyel (4)*.A (4)* mátrix az

'1 3 2" '1 3 '0 1 ■-1 ■«2 -10 0 1 _ 3_ 3

egyenletrendszer bővített mátrixa. Az egyenletrendszer megoldása visszahelyettesítéssel a (4) algoritmus szerint:

;c3 = 3, jc2 = - 1 - ( - 1 - 3 ) = 2, x i= 1 3 - (3 - 2 + 2-3) = 1.

Megjegyzés. A (4)*ra tovább alkalmazva az elemi sortransz­formációkat az együtthatók mátrixa egységmátrixá alakítható. Ui.: ha megszorozzuk a 2. sort -3-mal és hozzáadjuk az első sorhoz, majd a 3. sor -5-szörösét hozzáadjuk az 1. sorhoz, 1-szeresét a 2. sorhoz, akkor a következő alakra jutunk:

(6)*1 3 2 13~(4)* ’ l 0 5 16^(5)* "1 0 0 r0 1 --1 -1 ~ 0 1 --1 -1 ~ 0 1 0 20 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3

A (6)* alak első 3 oszlopa az együtthatómátrix egységmátrixa, míg az utolsó oszlopa az egyenletrendszer megoldásvektora.

Ha egy nemszinguláris A mátrixot egy azonos rendű egység- mátrixszal bővítjük és a bővített mátrixra alkalmazott sortranszfor­mációkkal A-ból egységmátrixot hozunk létre, akkor az egységmát­rixból az A inverze áll elő.

Példa. Oldjuk meg az Ax = b mátrixalakban adott

a)

egyenletrendszert.Az a) háromismeretlenes 3 egyenletből álló egyenletrendszer

determinánsa: det A = 0 , rangja: r(A ) = 2 , bővített mátrixa:

"1 2 3' "6 '1 2 3 4" ■7“2 3 4 ■2 = 1 és b) 2 3 4 5 x\ = 83 4 5 _ 3_ 8 3 4 5 6 x\ 9

1.5.2 A CT-felbontás 69

[Ab] =1 2 3 6‘2 3 4 73 4 5 8

, rangja: r([A b]) = 2 .

Az egyenletrendszernek van megoldása, tetszőleges értéket felvevő paraméterrel.

Gaw55-módszer alkalmazásával

n - r = 3 - 2 = l

[A b ]~ ...1 2 3 6' 0 1 2 5 0 0 0 0

, és így x = p e K paraméter választással:

x ^ - p, X 2 = 5 - 2 p , X[ = 6 - 2 ( 5 - 2 p ) - 3 p = - 4 + p .

A b) 4- ismeretlenes 3 egyenletből álló egyenletrendszer. Ha A rangja és a bővített mátrix

n 2 3 4 7'[A b]= 2 3 4 5 8

_3 4 5 6 9_

rangja egyenlő, akkor van megoldása:

r(A) = 2 , r([Ab]) = 2 ,tehát van éspedig 4 - 2 = 2 paraméteres végtelen sok megoldása.

A Gauss-módszQT alkalmazásával

[Ab]'1 2 3 4 7‘ 0 1 2 3 6 0 0 0 0 0

, és X3 = p G R, JC4 = g G R

X2 = 6 - 2p - 3q, xi = l - 2 { 6 - 2 p - 3 q ) - 3 p - 4 q = - 5 + p + 2q .

1.5.2 A CT-felbontás

A lineáris egyenletrendszer megoldását mátrixának szorzattá alakításával tanulmányozták A. L. Cholesky (1916), Th. Banachie- wicz (1938), P. D. Crout (1941), P. S. Dwyer 1941), A. M. Turing (1948), A. Zurmühl (1949), és különböző elnevezéssel hivatkoztak az általuk leírt módszerre [K69], [K70].

Tegyük fel, hogy az Ax = q egyenletrendszer mátrixa reguláris,

azaz det A 0. Tekintsük az

70 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.5.2 A CT-felbontás 71

A x - q = C(Tx - k) = 0 (5)

egyenletet, ahol C egy alsó háromszögmátrix, T pedig egy egység felső háromszögmátrix:

"Cll 0 0 " 1 í]2 •• hic = <21 ^22 ;■ 0 és T = 0 1 •• hn

Cn\ C«2 _0 0 . .. 1

Az (5) egyenletbőlA = CT és q = Ck .

A C és T alsó és egység felső háromszögmátrix elemeit az

A =

«12 «13 <21 «22 «23 «2n

^nl ^nl •••

egyenletből a

q i 0 0 ... 0C21 C22 0 ... 0

Sn\ ^ríl ^n3 •••

1 ti2 h3 ■■■ In0 1 t23 ... t2n

0 0 0 ... 1

tii = lűll

Cii = aij-T.Ciktkj^ ^ < j ^ i k=l

m

a ~ ILciktkj (6c)

m

k=\ y

(/, j = l,2 ,...,n)

formulákkal kiszámíthatjuk.

Az A e mátrix CT-felbontásán, tehát a mátrix

A = CT

szorzattá történő felbontását értjük, ahol C g alsó három­

szögmátrix, T e R”^” pedig egység felső háromszögmátrix.

Igazolható, hogy egy A e R ”^” reguláris mátrixnak akkor és csak akkor létezik CT-felbontása, ha az A mindegyik sarokminor- mátrixa reguláris. E feltételnek például eleget tesznek a szimmetri­kus pozitív definit mátrixok, mivel ezeknek mindegyik sarokminor- mátrixa pozitív.

Ha az A mátrixnak létezik CT-felbontása, akkor ca 0 , és az A determinánsa a C fődiagonálisában lévő elemek szorzatával egyen­lő, azaz

detA = detC = •i=i

(7)

Az (5) lineáris egyenletrendszert bővített mátrixként felírva [A q] = [C][Tk]

alakot kapjuk. Az algoritmus kényelmesebben alkalmazható, ha be­vezetjük a

1

q = <2,n+l és k = 2,«+l

(6a) _^n,n+l_ Jn,n+l_

jelölést. Ekkor a (6a), (6b), (6c) formulák változatlanok maradnak, mindössze a (6cí) változik:

h j - öii

Cii = aij-lLciktkj, ^ < j ^ i k=l

\

(/,= l,2 ,...,n ; j = \,2,. . . ,n + \)

A T egység felső háromszögmátrix, így a

Tx = kegyenletből a megoldást visszahelyettesítéssel az

72 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

hi,n+\n

X i= K n + \ - Hhk^k 0'<«)-ic=í + l

(8)

algoritmus adja.A számítást táblázatos elrendezésben célszerű végezni, éspedig

úgy, hogy az [A q] bővített mátrix elemeinek beírása után a [C] [T k] elemeit a C és T mátrix födiagonálisainak fedésbe hozá­sával ábrázoljuk, s így a T födiagonálisának 1 elemei helyett az összetolt mátrix fődiagonálisában a Cn elemek állnak.

Szemléltetésként CT-felbontás alkalmazásával oldjuk meg a

2x[ + 2x2 ~ 2- 3 + 4^4 = 16 Xj + 2^2 + X3 + 2x —\6

— 2x| + ^2 + 2^3 + x =10 2xi - X2 - X3 + X4 = 1

4 ismeretlenes lineáris egyenletrendszert.Az együtthatómátrix determinánsa: det(A) = -3 4 , tehát az

egyenletrendszer egyértelműen megoldható.

Xl ■«2 3 q2 2 - 2 4 161 2 1 2 16 = [Aq]

- 2 1 2 1 102 -1 -1 1 12 1 -1 2 81 1 2 0 8 = [ C \ t k ]

- 2 3 - 6 56

13

2 - 3 7 176

6817

ahol T csak T fődiagonálisa feletti elemeket ábrázolja.

Az [A q] -ból a [ C \ t k] elemeit a következő lépésekkel kapjuk:

1. Az [A q] mátrix első oszlopát beírjuk a [ C \ t k] mátrix első oszlopába,

1.5.2 A CT-felbontás 73

2. Az [A q] mátrix első sorának ™ elemeit (7 > 1) beírjuk a

[C \T k] első sorának megfelelő elemeként,

3. A [C \tk ] főátlójában és az attól balra álló elemeket, vagyis a C mátrix egyes elemeit úgy képezzük, hogy az A mátrix megfele­lő eleméből kivonjuk a [C\ T k] kérdéses eleme sorában és oszlo­pában a balra ill. felette álló összerendelhető elemek szorzatösszegét.

Például a harmadik sor

második eleme: 1 - ( - 2 ) - 1=^3, harmadik eleme: 2 - ( - 2 ) • (-1)- 3 - 2 = -6 .

4. A fődiagonálistól jobbra álló sorelemeket úgy képezzük, hogy a 3. utasítás végrehajtása után még osztunk a C fődia­gonálisában álló elemmel.

Az előállított C alsó háromszögmátrix, T felső háromszögmát­rix és k oszlopvektor:

C =

Vegyük észre, hogy det C = det A = - 3 4 .

A Tx = k egyenletrendszer megoldása (8) szerint:

4 17

, _ 1 / 5 2 , 2 0 _ 1 8 _ o .

X 2 = 8 - ( 2 - 3 + 0 - 4 ) = 2;

x i = 8 - ( 1 - 2 - 1 - 3 + 2 - 4 ) = 8 - 7 = 1.

Megjegyzés. Ha a számítás során valamelyik sorban, pl. a k- adikban = 0 vagy abszolút értéke közel 0 , akkor az eredeti

8"813

68

2 0 0 0 1 1 -1 21 1 0 0 0 1 2 0

- 2 3 -6 0 , T = 0 0 1 , k =2 -3 7 17

6_ 0 0 061

-17_

74 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással 75

együtthatórendszer /c-adik sorát felcseréljük a következő k +1 -edik sorral és a számítást stb. elemekkel újra kezdjük.

1.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással

A témakört tárgyaló mai irodalom az A g LU-felbontásátvizsgálja. Ezen a mátrix A = LU szorzattá történő felbontását

értjük, ahol L g egység alsó, U g r "^'^ pedig felső három­szögmátrix [K29], [K78], [D l6], [D54], [D55].

Az LU-felbontás algoritmusát egy 4 x 4 -e s mátrix felbontá­sával szemléltetjük:

ö n a^2 ö l3 "14 ■ 1 0 0 0" Mii “11 “ 11 “ 11

0 21 < 11 ^13 ^14 _ hl 1 0 0 0 Mii Un Mii

«31 ^32 Ö33 Ö34 hl hl 1 0 0 0 ^11 Mi i

041 Ű42 <343 Ö44_ J 41 k i 43 1 0 0 0 «1L

^11 ^ 1 2 ^13 ^14 ■ 1 0 0 0 ' ' h l h l h s h 4

^21 h l h 3 h 4 T , - ^ 2 1 1 0 0T I -

0 h l h s h 4

h l h l h 3 h 4 h l C3 2 1 0, U —

0 0 C3 3 C3 4

p 4 i h l h 3 h 4 ^ _^41 <^42 <^43 0 0 0 ú?4 4 _

A =

Az L és U mátrix elemeit födiagonálisuk fedésével ábrázoljuk, és az első lépéssorozat utáni mátrixot jelölje:

B =

Ekkor az A és B elemei közötti kapcsolat:

« n = % = % . = = (< = 2,3,4);“ 1 1

A többi elemet soronként határozzuk meg:

híj = Ü2j - h v h p U = 2,3,4);

= (;■ = 2,3,4);

h j = - ^ 4 1 - h j , ( j = 2 , 3 , 4 ) ;

Ugyanezeket a lépéseket ismételten alkalmazzuk a bi j elemhez tartozó 3x3 -as minorra, s az így kapott mátrix legyen

C =h l h l h s ^14^21 ^22 ^23 ^24h l ^32 í 33 C34

A l < 42 C43 C44_

ahol C3 2 - , C4 2 - , C3 3 - />33 - C3 2 • ^ 23 ’ ^34 - ^ 4 “ ^^32 ' ^ 2 4 ’

C4 3 = /?43 - C4 2 ■ ^ 23 ’ <^44 = ^ 4 4 " <^42 ' ^ 2 4 ■

Az Új elemekkel felírt 3 x 3 -as minor Z?22 eleméhez tartozó 2 x 2 - es minorra ismét alkalmazva a lépéseket, kapjuk a

h l h l h?> h 4h l h l h 3 h i

h l '31 ^33 '34

i h l < '42 < 43 < 44_

D =

mátrixot, melyben J 43 = , í/44 = C44 - J 43 • C34.■33

A D mátrix elemeiből, a fődiagonális egyeseit pótolva, felírható az L alsó háromszögmátrix és az U felső háromszögmátrix:

A negyedrendű mátrixra bemutatott lépések kiterjeszthetők n- edrendíi mátrixra is.

THa A = A , azaz A szimmetrikus mátrix, akkor a CT és LUTfelbontásokat összehasonlítva azt kapjuk, hogy a C és U valamint

a T és L azonos elemíí, azonos típusú háromszögmátrixok, így

C = U^ és T = L^ .

mátrix szimmetrikus és pozitív definit.■4 3 2 '

Például az A = 3 4 0 _2 0 6_

mert a főminormátrixok determinánsai rendre nagyobbak 0-nál:

76 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ml = 4 > 0, AÍ2 = 4 3 3 4

= 1 6 -9 = 7 > 0 , M 3 = d e tA = 2 6 > 0 .

Az A mátrix LU-felbontása a fenti algoritmus szerint (a fö- átlóban álló elemek az alattuk lévő elemek osztói, félkövér szá­mokkal jelöltük):

4 3 2‘ 3 4 0 2 0 6

(2)

1 - 1 5 L2 2

(3)3 2 14 2

_ 6 267 7 .

(*)

Például (2) első sora A első sorával azonos, 4 osztója A első oszlopában álló 3 és 2 elemének, a további elemek pedig, ha az elemeit bij jelöli;

* 2 2 = 7 = 4 - | - 3 ; í^3 = - | = 0 - | . 2 ;

fr,2 = - | = 0 - 1 . 3 ; />33 = 5 = 6 - f 2 .

(3) elemei: első és második sora valamint első oszlopa (2)-vel7 3azonos, a (2) eleme osztója az alatta álló elemnek, a (3,3)

indexű eleme pedig:

r 3 x 3 5 - 9 7 7^'^ 2 1 •

A (*) fődiagonálisa valamint a felette álló elemek adják az U felső háromszögmátrixot, a fődiagonális alatti elemekkel képezzük az L egység alsó háromszögmátrixot:

A = LU ==1 0 0 I 10i _ 6 1.2 7 .

4 3 2 0 7 - 3

4 20 0 26

7 j

Vegyük észre, hogy detU = det A = 26.

Az A mátrix CT-felbontása:

1.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással 77

4 I 1 ( « )q 7 _ 6

4 7 9 _ 1 26

2 7

Például a (**) ?23 = elemének kiszámítása:

± ( 0 - 3 -1 ) = - 4 . 3 = _ 6 7 ^ 2^ 7 2 7 ’

0 /a C33 = ^ elemének kiszámítása:

A 3 / 6 \ ^ 266 - p - 2 - 2 ' ( - 7 ) j = 6 - a + 7 ) = —

Az A mátrix CT-felbontása: a (**) fődiagonálisában és az alatta álló elemek alkotják a C alsó háromszögmátrixot, a fődiagonális fö­lötti elemeiből megalkotott egység felső mátrix pedig a T mátrixot:

A = CT =

“1 3 r

4 0 0 4 23 7 0 0 1 6

4 72 3 26 0 0 1

2 7 J _ _

A két felbontást összehasonlítva kapjuk, hogy

C = és T = .

Ha az A mátrixnak van LU- és CT-felbontása, de A nem szim- j'

metrikus, akkor az A transzponáltmátrix LU -felbontása és az A mátrix CT-felbontása között az

í J = T , = C ,

kapcsolat áll fenn.

78 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Például az A =

'2 0 0 0’

1 4 5 6 2 3 6 1 1 0 0 3

mátrix nem szimmetrikus, de minden

sarokminora pozitív, létezik CT-felbontása, és az

mátrixnak LÜ -felbontása: A = CT =

2 0 0 0'

1 4 0 0 2 3 | 0 1 0 0 3

TA transzponált- 1 0 0 0"

0 l |

1 90 0 0 0 0 1

Pl = L U =

"1 0 0 0“ '2 1 2 r0 1 0 0 0 4 3 0

— o | 1 0 o o | o_0 0 0 3_

_ 2 9 _

T , Ú^ = C .Az A mátrix LU-felbontása (az U föátlójába tartozó elemek

félkövér számok):

2 0 0 0 1 4 5 6 2 3 6 1 1 0 0 3

Í 2L

0 0 0 6

1 3 6 1 Í 0 0 3

Í3I.

0 0 5

es Így L =

0 0 0'

1 0 0

l i o

0 0 1

u =

2 0 0 0 4 5o o |0 0 0

összehasonlítva a CT-felbontással: .Egyenletrendszer megoldásához a bővített mátrixra alkalmazott

CT-felbontás célszerűbb, mert az algoritmus a q jobb oldali vek­torból előállítja a k vektort is, és így Tx = k egység felső három­szögmátrixból a megoldás visszahelyettesítéssel adódik.

1.6 Leképezés 79

Az LU-felbontás kényelmetlenebb, mert az LUx = q egyenlet­

tel ekvivalens Ux = I7^q felső háromszögmátrixií egyenletet kell megoldani.

Ha az Ax = q egyenletrendszernek A mátrixa reguláris, azaz

det A 0 , de íüi j = 0 , akkor az LU-felbontás algoritmusának al­

kalmazásához sorcserével 0-tól különböző elemet hozunk az (1,1) helyre. Ezt minden zérus osztó elem előfordulása esetén megfelelő sorcserével elvégezzük. A szükséges sorcseréket egy P permutációs mátrixszal megvalósíthatjuk. Ekkor PAx = Pq egyenlet PA mát­rixának LU-felbontását képezzük, és így az Ax = q egyenletrend­szerrel ekvivalens

LUx = Pq

egyenletrendszert oldjuk meg. Ezt az eljárást LUP-felbontásnak nevezik.

1.6 Leképezés

Ebben a pontban a leképezés és a lineáris transzformáció alapjait foglaljuk össze, majd a lineáris operátorok témakörében néhány fontosabb tétel bizonyítására visszatérünk.

Ha Vx 6 i?" vektornak megfeleltetünk egy y e R ^ vektort,

akkor azt mondjuk, hogy értelmeztünk egy R’ -bői -be vivő

y = Ax (1)leképezést [K27], [K83], [K72].

Két adott A •' R^ —> R^ és B : i?” R^ leképezésre érvényesek az alábbi műveletek:

1. (Á + B)x = Áx-hBx; (V xei?")

2. (AB)x = Á(Bx); (Vxe 7?")

3. (kA)x = k{Áx), (Vx e R ’ ,k tetszőleges szám).

Az Éx = x az egységleképezés, és Öx = 0 a null-leképezés.

80 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ha létezik olyan A leképezés, amely kielégíti az

egyenlőséget, akkor az -et az Á leképezés inverzének mondjuk.

Az Á : /?” -> R' leképezést lineárisnak nevezzük, ha eleget tesz a következő feltételeknek:

1. A(kx) - kkx , V xe - re, {k tetszőleges szám);

2. Á (X | + X2) = A x ] + Á x2 , V x i , x 2 e i? ” -re.

A linearitás feltétele értelmében

Á(qxi + C2X2 + ... + c x ,) = cjÁxj + C2AX2 + ... + c^Áx^ (2) ahol pl.

Cl e R, Xi e R ” (i == 1, 2,... , 5) .

Ha a lineáris leképezés két vektorterének dimenziója azonos,

azaz Á jR” , akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Az Á -> i?'” lineáris leképezés magterének (nullterének)

nevezzük azoknak az x e i?” vektoroknak a halmazát, amelyekre

Ax = 0 , vagyis az nullvektorára képződő elemek halmazát,

képterének pedig az Á xg vektorok (képelemek) halmazát,

ahol XG R’\ Az Á lineáris leképezés magterének és képterének szokásos jelölése:

ker(k) , im (k ) .

Igazolható, hogy kerih) altér i?” -ben, és /m(Á) altér 7?'" -ben.

Tetszőleges lineáris Á leképezésre ÁO = 0 , vagyis a 0 eleme a magtérnek.

Legyen Á : i?” -> i?” lineáris transzformáció, és egy B bázisa:

b i ,b 2 , . . . ,b „ .

-1

1.6 Leképezés 81

Egy tetszőleges x e vektor felírható a B bázisvektorainak lineá­ris kombinációjaként

x = r j (3)

alakban, ahol Xj, ( j = 1,2,..., n) az x vektor koordinátái a B bázis­

ban. Az A b j (j = 1,2,..., n) vektort, ha koordinátáit ay -vei jelöl­jük:

Ab] = öl jb] + <321^2+ ••• +^^ 2 = 012^1 + 022^2 + ■■• + fl/í2bn

+ 02/2^2 + ••• + ö„„b„ alakban adhatjuk meg, vagy tömören:

i

Az ülj jelenti a hj bázisvektor kép vektorának i-edik koordinátáját,

azaz üij = (A b ^ ;.

Az A = mátrixot az Á lineáris transzformáció B bá­

zisbeli mátrixának nevezzük.

Mivel Á lineáris transzformáció, a (3) felhasználásával

y = Á x = Á X x j b j = X X j A h j .

J jAz Aby = ^ a,--b; behelyettesítésével:

így az y koordinátái a B bázisban:

(4)

Ha az X és y vektorok a b j ,b 2,. .. ,b „ bázisban koordinátáikkal

82 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

adott x = [xi, X2, y = [ji,oszlopvektorok, akkor a (4) formula az

y = A x (5)

mátrixformulával ekvivalens.

Például vizsgáljuk meg azt az Á : R ^ ^ R ^ leképezést, amely

Va = [X[, yi, z\] e vektorhoz hozzárendeli annak x-z síkra vonat­

kozó tükörképét, azaz A([xi, y], zi]) = Ui, - jj, Zi]. Az Á leképezés

lineáris, ui. ha b = [X2, Z2] g R^ , és c g R , akkor

Á(a + b) = Á ([x i + X2, Zi + Z2]) = [Xi + X2, - y i ~ y 2, Z] + Z2] ,

és A(a) + Á(b) = Á([;c|, y , Z]]) + M U 2, yi Z2]) =

= [xi, - Ji, Zi] + [X2, - V2, Z2] = [ 1 + - >1 - ^2’ + Z2] , vagyis

Á(a + b) = Á(a) + Á (b),valamint

A(ca) = Á([cjci, cyi, czi]) = [cx , - cyi, czj] = c[xi, - y , z\] = cAa és

cÁ(a) = cÁ([xi, ji, zi]) = c[x\, - Ji, Zi\ = [cxi, - cjj, czj] = A(ca).

Mivel A(ca) = cÁ(a) is teljesül, ezért A lineáris leképezés.

Képezzük az = [1,0,0], 62 = [0,1,0], 63 = [0,0,1], kanonikus bá­zis képvektorait:

Á(ej) = [1, 0,0], A(62) = [ 0, - 1,0], Á(e3) = [0,0,1].

Az Á(e|), A(e2), A(e3) kép vektorok kanononikus bázisra vonatko­

zó koordinátáit kaptuk, melyekkel az Á leképezés A mátrixát felírhatjuk.

Például az X = [2,3,4] vektor x-z síkra vonatkozó tükörképe:

'1 0 0' '2 ^ 2~Ax = 0 - 1 0 3 = - 3

0 0 1 4 4

7.6 Leképezés 83

A leképezés magtere: egy tetszőleges x g R vektorra Ax = 0 egyenletet csak az x = 0 elégíti ki, tehát

ker(A) = {0}, és képtere im (A) = R^ .

Ha az i?” tér két bázisa: b j ,b 2,. .. ,b „ , és Ci,C2,... ,c „ , akkor a két bázis elemei közötti kapcsolatot a

U = l 2, . . . .n) . (6)i

formula adja, ahol híj a h j vektornak az /-edik koordinátája a

Ci,C2,...,c „ bázisban. A H = [/Zy] reguláris mátrixot az átmenet

mátrixának mondjuk. Abban az esetben, ha mindkét bázis ortonor- mált, azaz

h.h, „ _ -'IJ , IJ

akkor a H unitér mátrix, azaz H* H = E .

(b í .b j) = <5',7 és = <yií = ío_ha’/ # /

Ha a b |,b 2,...,b ,j bázisban x = [xj, X2, ..., x„] , akkor (6) fel- használásával

J i i jAz X vektor koordinátái a C|,C2, . . . , c„ bázisban:

= o '= i ,2,.

es Így X =■2 = Hx. (7)

Legyen az i?” tér két bázisa: b i ,b 2, . . . , b „ , és Cj,C2,... ,c „ ,

valamint H g a vektorkoordináták közötti áttérés mátrixa

(det H 0), Á : i?” —> i?" pedig lineáris transzformáció, melynek

84 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 1.6 Leképezés 85

(9)

( 10)

b i ,b 2,. . . ,b „ bázisban c^,c2,...,c „ bázisban C e R '

a transzformációs mátrixa.TLegyen adottx = [x], X2, , y = [ji,

oszlop vektor a b i ,b 2,. .. ,b „ bázisban, úgy hogy

y = B x .

Ezeknek a C|,C2,...,c „ bázisbeli új koordinátái; x'i, y \ , és az

/ t t / / p / / /X =[xi, JC2, x j , y = [^1, J 2,

vektorokat b j , b 2,. •.,b„ bázisbeli vektoroknak tekintve,

y ' = C x . (C e i? ”^”) ,

a (7) formulának megfelelően

x = H x , y = H y .

A (8) és (10) összefüggésekből kapjuk

H “ y' = EH” x' és y = HBH x ' .

Összehasonlítva a (9) formulával:

C = H B H ~^ (11)

A (11) összefüggésnek eleget tevő C és B mátrixokat hasonló mátrixoknak nevezzük, és ezt C s B -vei jelöljük. A lineáris transzformáció tehát különböző bázisokban hasonló mátrixokkal leírható.

Legyen A, B, C tetszőleges azonos rendű, nulla mátrixtól kü­lönböző, kvadratikus mátrix, és det C 7= 0 . Akkor a

B = C”^AC

feltételt kielégítő B és A mátrix hasonló.

A hasonlóság ekvivalenciareláció (A, B, C g

1. A = A (reflexív);2. ha A s B akkor B = A (szimmetrikus);

3. ha A = B és B ~ C, akkor A s C (tranzitív).

Legyenek A és B hasonló mátrixok, akkor determinánsuk egyenlő, azaz, ha

A = B, akkor det A = det B.

'1 2 3“ '3 3 rLegyen például B = 2 1 4 , H = 3 4 1

(8) 3 2 1 4 3 1

akkor

Az

-1 0 í -1 1 4

3 2 1

-2 0 0'

4 2 1 15 14 3

mátrix és a B hasonló mátrixok,

det A = detB =16.

Legyenek V és W az R test feletti vektorterek. Ha az

lineáris leképezés bijektív (kölcsönösen egyértelmű), akkor azt izomorfizmusnak nevezzük. Ha a y és Z vektortér között y —> X izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy a V vektortér

izomorf az X vektortérrel. Igazolható, hogy egy A:V ~^W lineá­ris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha

kér A = 0 és ímA = W .

Ha X n-dimenziós (n ^ 0) vektortér az R felett, akkor X izomorf

az térrel.Az R feletti X és Y két véges dimenziós vektortér izomorf, ha

dim X = dim Y ;

továbbá, ha Á : X Y tetszőleges lineáris leképezés, akkor

dim kér A + dim lm A = dim X .

86 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.7 Sajátértékek, sajátvektorok

Az X 0 vektort az Á :/?” —> i?” lineáris transzformáció sajátvek­torának, a A e i? számot pedig sajátértékének nevezzük, ha

Ax = Xx.

Az Á lineáris transzformáció mátrixa valamely bázisban le­gyen A.

Feladat az Ax = Ax, ül.

(A - AE)x = 0 vagy (AE - A)x = 0 ( 12)

egyenletből A értékeinek a kiszámítása. A (12) lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától különböző megoldása, ha

det(A -A E) = 0 . (13)

A (13) karakterisztikus egyenlet A},Ag,...,A^ gyökeit az A

mátrix (egyúttal az Á lineáris transzformáció) sajátértékeinek, a sajátértékekhez tartozó - (12) egyenletet kielégítő - vektorokat pedig sajátvektorainak nevezzük. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik. Egy A sajátértékhez több sajátvektor is tartoz­hat. Egy A sajátértékhez tartozó sajátvektorok a 0 vektorral együtt alteret alkotnak, melyet a A -hoz tartozó sajátaltérnek mondunk [K27], [K39], [K72]. A (13) egyenlet gyökei függetlenek a válasz­tott bázistól, és az A transzformáció sajátértékeivel megegyeznek.

Ha az Á transzformációnak egy másik bázisban B a mátrixa, akkor

B = HAH“ (d e tH ^ O ),es Így

det(B - AE) = det(HAH~^ - AHEH"' ) =

= det H det(A - AE) det = det(A - AE).

Hasonlóan, ha x az A mátrix sajátvektora A sajátértékkel kielé­gíti a (12) egyenletet, akkor

1.7 Sajátértékek, sajátvektorok 87

x' = Hx ^ 0 ,

és ez a B hasonló mátrix sajátvektora, mely ugyanahhoz a A saját­értékhez tartozik, tehát

(B - E)x = H(A - AE)H“ ^Hx = 0.

Ez pedig azt jelenti, hogy az az A transzformáció sajátvektor­rendszere sem függ a bázis választásától. Hasonló mátrixoknak azonos számú lineárisan független sajátvektoruk van.

Az A transzformációt hermitikus vagy önadjungált transz- formációnak nevezzük, ha tetszőleges ortonormált bázisban a transzformáció mátrixa hermitikus, azaz

A = A*, ahol A* = Á ^ .

(Charles Hermite francia matematikus, 1822-1901)Az egyik ortonormált bázisról egy másikra való áttérés, mint

láttuk, egy U unitér mátrix felhasználásával megvalósítható:

U* = U ~ * .

Felhasználva a

B = UAU~^ = UAU* , A* = A

összefüggést, kapjuk

B* = (UAU*)= = (U(AU*))* = (AU*) *U* = UA* U* = UAU* = B .

Tehát, ha azÁ transzformáció hermitikus valamely ortonormált bázisban, akkor hermitikus lesz egy tetszőleges másik ortonormált bázisban is. A valós hermitikus mátrix szimmetrikus.

Az hermitikus transzformációra érvényes tételek:

1. Az hermitikus transzformáció minden sajátértéke valós szám.2. Az hermitikus transzformáció különböző sajátértékeihez tar­

tozó sajátvektorai páronként ortogonálisak.3. Minden hermitikus transzformációhoz megadható a sajátvek­

torok által alkotott ortonormált bázis, melyben a transzformáció mátrixa diagonális és valós.

/. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.8 Bilineáris és kvadratikus alak

Legyen a C" komplex tér két vektora x és y, továbbá

A = [öy ]„xn • Az

(Ax, y) = X (Ax),- yi = 2 aijX j yi (1)i i j

skaláris szorzatot bilineáris alaknak, az A-t pedig a bilineáris alak mátrixának nevezzük [K27], [K72].Az (1) összeg az indexek jelölésétől független, tehát

(Ax, y ) = X ji^ i ji y = (A * y , X),iJ iJ

ahol A* = [0 7] az A mátrix hermitikus konjugáltja (A transzpo­

nált] ának konjugáltja), így(Ax,y) = (x ,A * y ) . (2)

Ha az A mátrix hermitikus (valósban szimmetrikus), akkor

(Ax,y) = (x,Ay).

Ebben az esetben a

Ö(x) = (Ax, x) = X * Ax = XUi

kifejezést hermitikus kvadratikus alaknak mondjuk. Tekintettel a

Ö(x) = X = Z = Ö(x)i,j iJ

összefüggésre az hermitikus kvadratikus alaknak az értékei valósak.

Ha X a valós R " tér vektora, A = [aij] pedig valós szimmetri­

kus mátrix, azaz A^ = A , akkor a Q(x) hermitikus alak valós kvad­ratikus alakot állít elő, azaz

ö(x) = x^ Ax = X aijXiXj (üij = a ji) . iJ

1.9 Mátrixfüggvénysorok

A Q(x) - (Ax, x) (A = A) valós kvadratikus alakot pozitív, ill. negatív definitnek mondjuk, attól függően, hogy

ö (x) > 0 X 0 mellett

Q(x) < 0 X 0 mellett.Megjegyezzük, hogy Q(0) = 0.

A Q(x) kvadratikus alak akkor és csak akkor pozitív definií, ha az A mátrix összes sajátértéke pozitív, valamint akkor és csak ak­kor negatív definit, ha az A mátrix összes sajátértéke negatív.

Ha A tetszőleges reguláris mátrix, akkor A* A hermitikus, és mivel

(A* Ax,x) = (Ax, Ax) = |Ax| ,

így A 0 esetén a A* A sajátértékei mind pozitívak, ha A = 0, akkor pedig nullával egyenlők.

A mátrix egyik normája:

l |A ||-V /ím a x ’

ahol A* A szorzatmátrix legnagyobb sajátértéke.

T i2Ha x = [x], X2, , akkor x*x = |x | , és ennek megfele­

lően IIXII = IX |. így a korábban bevezetett vektornorma, az értelme­zésnek megfelelően, a vektor hosszával egyenlő.

1.9 Mátrixfüggvénysorok

A kvadratikus X mátrix polinomját

P(X) = Ao + AjX + A 2X 2 + ... + A p \ P

Q(X) = B o+ XBi + X^B2 + ... + X^B^

alakban értelmezzük, ahol A,-,B,- állandó mátrixok, és feltesszük, hogy az előforduló mátrixműveletek elvégezhetők [K20],

Tegyük fel, hogy a Q(X) nemszinguláris mátrixpolinom, akkor racionális mátrixfüggvény is értelmezhető

90 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

-1

alakban.Legyen

R j(X ) = P(X)[Q(X)]

R 2 (X) = [Q(X)]-'P(X)

C í = [ e í ‘ *l (k = h 2 , . . . ) ( 1)

azonos típusú mátrixok sorozata. A

C = lim = [ lim c f hA:—>oo k-^o°

mátrixot a mátrixsorozat határértékének nevezzük, ha az létezik. Ekkor azt mondjuk, hogy az (1) mátrixsorozat konvergens.A mátrixsorozat konvergenciáj ának fogalmát felhasználva definiál­juk az

A i + Á2 + ... + A ^ + ... (2)

mátrixsor konvergenciáját. Azt mondjuk, hogy a (2) mátrixsor konvergens, ha a sor

Sj = Aj, S2 = A] + A2, Syy = Aj + A2 + ... + A;y

részletösszegeiböl képzett sorozatnak van határértéke, azaz

S = lim SN-^c N

Az S határértékmátrixot a mátrixsor összegének nevezzük, és ezt a következő módon jelöljük:

k=lA mátrix normáinak értelmezéséből következik, hogy ha

-> C , akkor

|C - C ^ II->0 és l Q | - ^ | C | | , h a k - ^ 00 .

A numerikus sorok abszolút konvergencia fogalmát mátrixso­rokra is értelmezzük.

AzAj + A 2 + ... + A^ + . . .

1.10 Mátrixok minimálpolinomja 91

mátrixsort abszolút konvergensnek mondjuk, ha a tagok normái­val képzett

11^1 ll + l l ^ 2 || + --- + || 1 + ---sor konvergens.

Legyen X kvadratikus mátrix, és tegyük fel, hogy létezik aN ^

lim Y j^ k ^ határérték, akkor az F(X) mátrixfüggvényt

F(X )= lim Syv(X)= lim f . ^ k ^—>00 N~^oo k=0

határértékkel értelmezzük, és jelölésére

F (X )= f ; A t X ‘k=0

alakot használjuk.

1.10 Mátrixok minimálpolinomja

Legyen A = [% ] tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix. A négy­zetes mátrix hatványai a következő módon értelmezhetők:

A ° = E , A ^= A , a 2 = A - A , . . . , A '^ = A "“1 -A ,...

Legyenm

k=l

a Á változó egy polinomja, akkor am

P ( A ) = 2 ‘-;íA‘k=l

egyenlőséggel értelmezhető az A mátrix poUnomja. Nyilván p{A)

is n x n -e s mátrix (függetlenül a p(X) polinom fokszámától).

1. definíció. Egy p(Á) polinomot az A mátrix annulláló poli- nomjának nevezzük, ha p(A) a zérusmátrix, azaz p(A) = 0 .

92 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Bizonyítható a következő ún. Cayley-Hamilton-tétel [K72].

Bármely A mátrixD(/i) = det(A -A E )

karakterisztikus poiinomja annulláló polinom, azaz D(A) = 0 .

2. definíció. Az A mátrix legalacsonyabb fokú annulláló poli- nomját az A mátrix minimálpolinomjának nevezzük

Mivel egy n x n -e s mátrix karakterisztikus polinomjának fok­száma pontosan n, ezért a Cayley-Hamilton-tétel alapján egy n x n - es mátrix minimálpolinomjának fokszáma legfeljebb n.

Egy mátrix bármely annulláló poiinomja - így többek között a karakterisztikus polinom is - osztható a minimálpolinommal.

Bizonyítás nélkül közöljük a következő eredményeket [K30], [K31], [K72];

Legyen az A mátrix karakterisztikus polinomjának gyökténye­zős előállítása

D{X) = (/li - /l)"'' • (Á2 - •... • (A, - ,

itt tehát Xi,X2 ,...,X^ a D(X) = 0 karakterisztikus egyenlet összes

különböző gyökei, továbbá a d(X) jelölje az A mátrix minimál-

polinomját, akkor d(X) a következő alakú;

d(X) = (/ii - X f ‘ • (X2 - X f^ - . . . - ( X , - x f - ^ ,

ahol \ < fii < mi , i = l , 2 , . . . , s , azaz d{X) -bán szerepel a D{X) valamennyi gyöktényezője, csak legfeljebb kisebb hatványon. Ez alapján, ha a D{X) polinom minden gyöke egyszeres multiplici- tású, azaz

mi = m2 = . . ■ - m = l , akkor d{X) = D { X ) .

A d{X) minimálpolinomot a következő módon állíthatjuk elő:

Jelölje Dii {X) az k - X E mátrix r-edik sorának ^-adik elemé­

hez tartozó algebrai aldeterminánsát. Nyilvánvaló, hogy Du^(X) legfeljebb n - \ -ed fokú polinom.

Jelölje q(X) az összes

I . l I Mátrixhatványsorok 93

(/,/: = 1 ,2 ,...,n)2n számú polinom legnagyobb közös osztóját, akkor [K30]

D(X)d(X) =q(X) ■

Legyen

1.11 Mátrixhatványsorok

( 1)

a X komplex változó egy tetszőleges hatványsora, cj pedig tetsző­leges valós vagy komplex szám. Tegyük fel, hogy található olyan0 < i? < +00 szám, hogy e hatványsor konvergens minden olyan X - ra, melyre X < R és divergens minden olyan X -ra, melyre

1AI > /? , míg IAI = /? esetén mindkét eset előfordulhat [K20].Az R sugarú és origó középpontú kört a hatványsor konvergen­

ciakörének nevezzük. E kör belsejében tehát a hatványsor konver­gens (sőt bizonyítható, hogy abszolút és az R - s sugarú körben egyenletesen konvergens, £ > 0 tetszőleges). Jelöljük a konvergen­ciakör belsejében a hatványsor összegét / (X) -val, azaz

/ a ) = £ c t A * .k=0

Legyen most A = [auJ tetszőleges n-edrendü négyzetes mátrix és tekintsük a formálisan képzett

k=0(2)

mátrixhatványsort, ahol q (k - 1,2,...) tetszőleges valós vagy komplex szám. Természetesen értelmezni kell, hogyan értjük a fenti mátrixhatványsor konvergenciáját és mit értünk a fenti sor összegén.

94 ________ /■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Jelölje a fenti mátrixhatványsor A^-edik szeletét, azaz

jt-0

Nyilván n x n - e s mátrix, melynek elemei függenek A -től.

Definíció. Ha az mátrix mindegyik elemének létezik határ­értéke, ( N +00) , azaz létezik a következő határértékmátrix:

lim Spj = S = [sii ],/v-^+00

akkor azt mondjuk, hogy a

k=0

mátrixhatványsor konvergens, és e mátrixhatványsor összegén az S mátrixot értjük, azaz

s = f ; c j A ‘ .k^O

A fenti S mátrixot a továbbiakban / ( A ) -val jelöljük, azaz

/ ( A ) = £ c t A ‘ .

k=0

Kimutatjuk, hogy fennáll a következő alapvető

1 . tétel. Ha az f ( Z ) = hatványsor konvergenciaköré-k = 0

nek sugara R > 0 és az A = n-edrendü négyzetes mátrix min­den sajátértéke a Á komplex síkon az R sugarú kör belsejébe esik, azaz < R (k , akkor az

/ ( A ) = 2 c i A *k=0

mátrixhatványsor konvergens.

1.11 Mátrixhatványsorok 95

A fenti tétel alapján az / ( A ) összegmátrix kiszámításáhozszükség van az A mátrix összes hatványának kiszámítására, vala­mint mint e hatványmátrixok konstansszorosainak összegére, ami- még közelítő számítások esetén is - gyakorlatilag nehezen el­végezhető és főképp hosszadalmas feladat. Ezért számítástechnikai szempontból különösen fontos a következő

2. tétel. Az 1. tétel feltételei mellett létezik olyan legfeljebb n -1 -ed fokú p{Á) polinom, melyre

p ( A ) = f { A ) .

A fenti tétel alapján az

/ ( A ) = 2 cjA‘k:=0

mátrixhatványsor Összegének kiszámításához elegendő az A mát­rixnak csak az első n - l hatványát ismerni, sőt sok esetben ele­gendő alacsonyabb hatványok ismerete is.

A fenti tételek igazolásához szükség van az ún. Hermite- Lagrange-féle interpolációs polinom fogalmára.

Megjegyzés. Tegyük fel, hogy az F(X)= mátrix-yk=0

függvény X mátrixának (k = l ,2, . . . ,n) sajátértékei különbö­

zők, és eleget tesznek a | >% | < /? egyenlőtíenségnek, ahol R az

F ( x ) = ( |x |< i? )k=0

analitikus függvény konvergenciasugara. Ekkor F(X) előállítható az X mátrix polinomjaként a Sylvester-féle formulával, azaz

jT(X') = V (X ~ ) • • • (X - )(X — /l^^] )---(X —A„) .

96 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.12 Az Hermite-Lagrange4éle interpolációs polinom

Legyenek Jíi, páronként különböző számok. Mind­

egyik Ái {i = 1, 2 , . . . , s) számhoz legyen hozzárendelve számú adott szám. Legyenek ezek

4®, íi®. 4 '”'" . ( i = u . . , s ) . (1)

H erm ite-L agrange4é\Q interpolációs polinomnak nevezzük azt a legalacsonyabb fokú p( Á) polinomot, melyre

(2)

itt jelenti a p{Á) polinom/c-adik deriváltját a Xi helyen.

Ha mj = m2 = .. . = = 1, akkor a fenti p{Á) polinomot Lag- range-féle interpolációs polinomnak nevezik [K18], [K83].

Legyen n = + m2 + ... + , akkor a fenti p{Á) polinomot

meghatározó (2) feltételek száma éppen n, így a p(Á) polinomot

kereshetjük n -1 -ed fokú

polinom alakjában, ahol az n-számú cq,c'i,C2 , . .-,c„_i ismeretlen együtthatókra a fenti feltételek alapján egy lineáris algebrai egyen­letrendszert kapunk.

Jelöljük {X) -val azt a speciális H ennite-Lagrange-íé\& inter­

polációs polinomot, melyre az (1) alatti számok az kivételével

mind zérusok és = 1.Az (1) alatti feltételekkel meghatározott//erm/íe-Lagrange-féle

interpolációs polinom előállítható a következő alakban:

5 ,,,

/=1A hi! (Á) polinomokat alappolinomoknak nevezzük.

Ezek után térjünk vissza az 1.11 pont L és 2. tételének bizo­nyítására.

Igazolni kell először, hogy az 1. tétel feltételei mellett létezikN

lim y clA}.

Jelöljük % (A)-val az / (Á) = hatványsor A^-edik sze-k=ö

letét, továbbá legyen D(Á) az A = [an ] n-edrendű négyzetes mát­rix karakterisztikus polinomja:

D U ) = (A, - /i)'”' ■ (^2 - •... • ( 4 - ,

ahol Áj, Á2 ,...,Á^ a D(Á) = 0 egyenlet összes különböző gyökei, és m-i + m 2 + ... + m = n .

Osszuk % (A) -t D(Á) -val. Ha a hányadospolinomot qf^{X) - val, a maradékpolinomot r^(A) -val jelöljük, akkor

•-D(A)-t-r^Y (A) (4)

Itt az r^{X) maradékpolinom fokszáma legfeljebb n - l .A fenti előállításból látható, hogy {Á) osztható

Z)(A) -val, így osztható minden i = 1 ,2 ,..., 5 esetén (Aj ~ Á)'^‘ -vei

is, ekkor, mint az analízisből ismeretes, az Sj (Á) - r v (Á) polinom első m, - l számú deriváltja eltűnik a A,- helyen,

1.12 Az Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinom 97

uÁ

azaz

= «: = 0 ,l,2 , . . . ,m , - l ) . (5)

Jelentse Pf^(Á) azt az Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot, melyre az (1) alatti számok a következők:

■Ák) _ (k)= 5'N

98 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Minthogy (Á) legfeljebb n -1 -ed fokú polinom, azért - figye­lembe véve az Hermite-Lagrange-íélt interpolációs polinom unici- tását, - (5) alapján kapjuk, hogy = r^{Á), így (3) és (6)alapján

í ,,,

r N a ) = P N U ) ^ T Z s f a d h i k a ) . n )Í=1 A=0

írjunk (4)-be A helyett A-t, akkor ű (A ) = 0 figyelembevételé­vel

5yv (A) = ryv (A ),

amiből (7) alapján5 rrij-l

^^yv(A) = X Z (8)i=l k=0

Ismeretes, hogy az

/ a ) = £ c t ik=Q

hatványsor a konvergenciakör belsejében tetszőleges sokszor diffe­renciálható, így Á < R esetén

Mivel az A mátrix Áj, Aq , sajátértékei - azaz a D(Á) = 0egyenlet gyökei - a feltevés szerint az R sugarú kör belsejébe es­nek, azért

lim (Ái) = / (Ái),(i = l , 2 , . . . , s ;k = 0 , l , 2 , . . . ,m/ -1 )N-^+oo

így (8)-ból látható, hogy lim sj^(A) létezik éspedigN->+o=

s m, -llim ^yv(A) = Z Z

k=0(9)

NMivel (A) = A^, ezért a fentiek szerint

k=0

lim '^Cj^A

létezik, így az 1. tétel igazolást nyert.Másrészt (9)-ből

5 m,; -1,/'(A)= lim s^{A) = Y, Z f^ ^\^ i )hk (^ ) ■

1.12 Az Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinom 99

(10);=1 k=Q

Vezessük be a következő jelölést:

p U ) = x 2 ; .

i={ k=0

A (3) formulával adott p(Á) olyan Hermite-Lagrange-féle in­terpolációs polinom, amelyre az (1) alatti számok:

Mivel p(Á) legfeljebb n - l - e d fokú, (10) alapján p(A) = / ( A ) , amiből a 2. tétel is következik.

Összefoglalva. /(A ) kiszámítása a fentiek alapján a következő­képpen történik:

Meghatározzuk az A mátrix karakterisztikus polinomját, majd ennek összes Á2 , ■■■, gyökeit és e gyökök W|, m2,. . . ,

multiplicitását. Meghatározzuk azt a legfeljebb n - l - e d fokú p(Á) Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot, melyre

p^'^\Xi) = , (í = 1 ,2 ,...,5 ; k ^ Q X 2, . . . ,nii - 1 ) .

Itt adott számok, melyek az f (Á) = hatványsork=0

összegfüggvényéből nyerhetők. A számítás eredményeként kapjuk, hogy f ( A ) = p ( A ) .

JOO I. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Érdemes megjegyezni, hogy a bizonyítás folyamán a D(Á) karakterisztikus polinom tulajdonságai közül csupán azt használtuk fel, hogy Z)(A) = 0 . Az egész bizonyítás végig vihető, ha D(Á)

helyett az A mátrix d(Á) minimálpohnomját használjuk. d(Á)

annyiban különbözik D{X)-ió\, hogy ö?(/l)-ban a Áq_, gyökök multiplicitása esetleg kisebb, így d (Á) esetleg alacsonyabb

fokú, mint D ( / l) . Jelöljük F-vel d(Á) fokszámát, jUi,jU2 , . . . ,Ms ~

sel a Áj, Á2 , ■■■, gyökök multiplicitását, tehát

d(Á) = ( Á i - Á f ' -(Á2 - Á f 2

ahol l < (i = l , 2, . . . , s ) és //j + //2 + • • • + //^ = v .

Ha a p(Á) Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot a

(A,-) = (A;), (< = 1,2...... í ; <: = 0, 1, 2, . . . , - 1)

feltételekkel határozzuk meg, akkor p{Á) legfeljebb v - l - e d fokú és - mint az előbbi tételek bizonyításából látható - jelen esetben is

f i A ) = p (A ) .

Figyelembe véve, hogy a minimálpolinom meghatározása is sok számolással jár (1. a 1.11 pontot), azért d(Á) kiszámítása csak

akkor gazdaságos, ha előre várható (vagy előre tudjuk), hogy d(Á)

valóban alacsonyabb fokú, mint D ( Á ) .

PéldákIsmeretes, hogy az

a= Z k\'

sm

hatványsorok konvergenciasugara R = +00 , így minden A = n-edrendű négyzetes mátrix esetén az alábbi mátrixhatványsorok konvergensek:

k

= S -jT - sinA= 2 ( - l )

1.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja 101

Például legyen A =1 -1 1

- 3 3 - 3 - 4 4 - 4

akkor A ^ = A ^ = A " ^ =

‘ 2 - 1 í - 3 4 - 3 - 4 4 - 3

Megjegyzés1. A (2) mátrixhatványsor abszolút konvergens minden olyan A

mátrixra, amely kielégíti az| | A | | < « (11)

egyenlőtlenséget.Ui. az (1) skalárhatványsor a | /l | < 7? körön belül egyenletesen

konvergens, (1 l)-re tekintettel a

Í , h \ Mk^O

sor is konvergens.A norma tulajdonság alapján

|q A ‘ | |< | c j | | |A f . ( t = 0,1,2,...),

így a (2) mátrix hatványsor abszolút konvergens minden adott A-ra.2. Ha az (I) skalárhatványsor minden A-ra (7? = 00) konver­

gens, akkor a megfelelő mátrixhatványsor szintén konvergens tet­szőleges négyzetes A mátrix mellett.

1.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja

Legyen F(í) = [/y (í)] C ^a,/?)-be tartozó m x n típusú függvény­

mátrix, azaz az függvények legyenek folytonosan differenci­

álhatók valamely a < t < b intervallumon. A fiiggvénymátrix deriváltján a

^ ^ F 'w = [ 4 ( 0 ]

függvénymátrixot értjük.

102 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A deriválás szabályai:dC1. Ha C konstans mátrix, akkor — = 0;dt

2 . - ^ ( F ( í ) + G ( 0 ) = F '( í ) + G '( í) ;

3. - ^ ( C F ( í ) ) = C F '( 0 ; - ^ ( F ( / ) C ) = F '( /)C ;

4. | - ( F ( í ) G ( í ) ) = F '( f)G (r ) + F (( )G '( t ) ;

5. Ha F(í)£ C reguláris mátrix és inverze F ^ ( í) , akkor

6. Ha X(r) kvadratikus mátrix, akkor

_(x(oy"J = x(x(of x'(o(x(ofk=0

Ha X(t) és X'{t) felcserélhető mátrixok, akkor

(X(,))"■]'= m X '(r)(X(t)r-';

Ha az

mátrixok mátrixsora az (a,b) intervallumon konvergens,k=\

valamint deriváltjainak

k=í

mátrixsora egyenletesen konvergens az (a,b) intervallumon, azaz az összes

k=l

1.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja 103

függvénysor egyenletesen konvergens az (a,b) intervallumon,

akkor az (a,b) intervallumon érvényes az

k=:\ k=legyenlőség.

Az F(O g C[a,b] mátrix határozott integrálját

fii(T)dT

formulával értelmezzük, ahol Iq, t& [a,b], ill. a mátrix határérték­fogalmát felhasználva

t n-]F{T)dT = lim ,

tomax|Aí^|-^O^^Q

ahol tQ<ti< és Ar = (fc = 0,1,2,...,n -1).

Az integrál tulajdonságai:t

1. H a F ( 0 = akkor ÍF (T ) í/r = < í> (0 -^ ( ío ) ;

2. Ha C konstans mátrix, akkor/t t t ( t

jCF(T)dT = C jF(T)dT, j¥(T)CdT= jF(T)dT % 0 h \Jo

3. Ha F ( r ) , G ( r ) e C[tQ,t], akkort t t

(F(T) + G(T))dT= \F(T)dT+ \G{'V)dv,

•C;

4. Ha F (t) , G (t) e C [tQ,t], akkor a parciális integrál formulája:

F(T)G\T)dT = F(í)G(0 -F(ío)G(ío) - \F'(T)G(T)dr,

104 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

5. jF (r)rfr

Tekintsük az f (x) =

7 i ( x ) ’/ 2 W

/m (x )

vektorfüggvényt, ahol a kompo­

nensek

Ha

/ ; ( x ) e C ( / =

akkor a vektorfüggvény x vektor szerinti deriváltját a Jacobi-féle mátrixszal értelmezzük

dx = f'(x) =

3 /1

5//(x)dxi

fm 3/mdXn

2. FEJEZET

M e tr ik u s és n o rm á lt te re k

2.1 Metrikus terek

Legyen X tetszőleges halmaz, melynek elemeit x, y, z stb. latin kisbetűkkel jelöljük. Az X x X Descartes-szorzaUal adott halmazon értelmezett valós értékű p függvényt metrikának nevezzük, ha

1. p(x, v) > 0 Vx, y e X esetén, valamint p(x, j ) - 0 akkor és csak akkor, ha jc = _y (nemnegativitás), (1)

2. p{x,y) = p{y,x) (szimmetria). (2)

3. p{x, _y) < p{x, z) + p{z, y ) , Vx, y , z ^ X -re (háromszög- egyenlőtlenség) [K4], [K27]. (3)

Ha az X halmazon értelmezve van a fenti tulajdonságokkal ren­delkező p függvény, akkor az { X , p ) együttest metrikus térnek nevezzük (a p távolságra vagy metrikára vonatkozóan). A metri­kus tér elemeit geometriai szóhasználattal pontoknak mondjuk.

Ugyanabba az X halmazba több módon is bevezethetünk metri­

kát. Természetesen az ilyen módon keletkezett C ”

{ X , p \ { X , p " ) , . . .

metrikus tereket különbözőknek kell tekinteni. Általában, ha az { X , p ) metrikus teret egy meghatározott p metrika esetén vizsgál­

juk, akkor röviden magát az X halmazt nevezzük metrikus térnek.

Például az R ” és a C” metrikus tér az euklideszi metrikával:

p ( x , y ) = Y ^ i - r t i V i=\

ahol X = (^1, 2 - • • - 4 ) és j = (//i. 7/2, • ■ •, ?7„ ) az adott tér két pontja.

106 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ha xj,X2,...,xp. azXhalmaz tetszőleges elemei, akkor a (3) több­szöri alkalmazásával

p(x ,Xj,) < p{xi,X2) + P{X2,x ) + ... + Xj,) (2a)

egyenlőtlenséget kapjuk.Legyen { X , p ) egy meghatározott metrikus tér, jcq e X egy

tetszőleges pont, f > 0 pedig egy tetszőleges szám, akkor az

5(xo;£’) = {x x e X , p { x , X Q ) < e \

egyenlőséggel értelmezett S { x Q \ e ) c : X halmazt xq középpontú £ sugarú nyílt gömbnek (röviden: gömbnek) nevezzük.

Az 5'(jco;£') gömböt gyakran az xq pont £ sugarú környeze­tének is mondjuk.

Legyen M a.z X metrikus tér egy tetszőleges részhalmaza. Egy xq pontot az M halmaz belső pontjának nevezünk, ha e pontnak

létezik olyan S(xq;£) környezete, amely teljesen M-hez tartozik,

vagyis S{xq\£) c M. Ha xq belső pontja M-nek, akkor xqG M .Az X metrikus tér egy G részhalmazát nyílt halmaznak nevez­

zük, ha G minden pontja belső pontja G-nek. Jelölje G az X metri­kus tér összes nyílt halmazaiból álló halmazosztályt. Egyszerűen igazolható az alábbi

1 . tétel. A G halmazosztály rendelkezik a következő tulajdon­ságokkal;

a) 0 és X e G;b) véges sok G -beli halmaz metszete is G-beli;

c) tetszőleges számú (tehát véges vagy végtelen sok) G-beli halmaz egyesítése is G-beli.

2. tétel. Bármely nyílt gömb egyúttal nyílt halmaz is.Ui. legyen ^(xo;^) tetszőleges gömb az X metrikus térben.

Kimutatjuk, hogy e gömb minden pontja belső pont. Legyen xG S{xq\£) tetszőleges pont, azaz p {x, xq) < e . Megmutatjuk,

hogy a ő = £ - p {x, xq) jelölés mellett S{x\ő) a S{xq\£). Ha ui.

z e S { x \ ő ) , azaz p { z , x ) < ő, akkor

2.1 Metrikus terek 107

P í z , x q ) < P( z , X) + p ( x , x q ) < Ő + P ( x , Xq ) = £ ,

vagyis p ( z , x q ) < £, ami azt jelenti, hogy zg S ( x q -,£).

Az alábbi értelmezések alapvető jelentőségűek a metrikus terek elméletében.

Az X metrikus térben a nyílt halmazok komplementer halm a­zait zárt halmazoknak nevezzük. Eszerint egy F ez X halmaz tehát zárt, ha F nyílt. Jelölje F az X metrikus tér összes zárt hal­mazaiból álló halmazosztályt, akkor a de Morgan-íovmxxlék felhasz­nálásával a 2. tételből következik az alábbi

3. tétela) 0 és Z G ^

b) véges sok F-beli halmaz egyesítése is £-beli;

c) tetszőleges számú F-beli halmaz metszete is F-beli.

Egy K ez X halmazt az x q g Z pont környezetének nevezünk,

ha az X() pont belső pontja J^-nak, más szóval, ha K halmaz tartal­

maz olyan nyílt halmazt, amely tartalmazza az x q pontot. Ha a á:

halmaz maga is nyílt, akkor e halmazt az xq pont nyílt környeze­tének nevezzük. Abban az esetben, amikor ki akarjuk tüntetni, hogy a K halmaz környezete az Xq -nak, akkor a K ( x q ) jelölést

használjuk. A fentiek értelmében tehát beszélhetünk egy xq pont­nak gömb alakú, nyílt, és tetszőleges alakú környezetéről.

Egy X() G X pontot valamely M ez X halmaz külső pon tjá­nak nevezünk, ha e pontnak létezik olyan környezete, amely nem tartalmaz M-beli pontot; nyilván Xq£ M. Egy yg e M pontot a M

halmaz határpontjának nevezünk, ha jq nem is belső és nem is

külső pontja M-nek, más szóval, ha az _yg pont bármely környezete tartalmaz M-hez tartozó és M-hez nem tartozó pontot.

Egy zq g X pontot az M halmaz érintkezési pontjának neve­zünk, ha e pont bármely környezete tartalmaz M-beli pontot. Az M halmaz érintkezési pontjainak halmazát az M halmaz lezárásának nevezzük és [M] szimbólummal jelöljük. Nyilvánvaló, hogy [M] azonos az M belső pontjainak és M határpontjainak egyesítésével.

108 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

más szóval [M] azonos az M külső pontjai halmazának komple­menterével. Könnyen látható, hogy az M halmaz külső pontjainak halmaza nyílt, ezért [M] zárt halmaz. Nyilvánvaló, hogy bármely M halmazra M c [ M ] , és egyszerűen igazolható, hogy egy M halmaz akkor és csak akkor zárt, ha M = [M ].

Egy xq pontot az M halmaz izolált pontjának nevezünk, ha

xqG M és e pontnak van olyan környezete, amely nem tartalmaz

xq -tói különböző M-beli pontot.Egy Xq pontot az M halmaz torlódási pontjának nevezünk, ha

e pont bármely környezete végtelen sok M-beli pontot tartalmaz. Könnyen belátható, hogy egy xq pont akkor és csak akkor torlódá­

si pontja M-nek, ha xq bármely környezete tartalmaz legalább egy

Xq -tói különböző M-beli pontot.A fenti értelmezésekből következik, hogy egy M halmaz akkor

és csak akkor zárt, ha M tartalmazza valamennyi torlódási pontját.Metrikus térben értelmezhető a pontsorozat konvergenciájá­

nak a fogalma.Azt mondjuk, hogy az {x„} c Z pontsorozat az xqG X pont­

hoz tart (konvergál), ha

p(x„,Xq) 0 midőn n —>

az Xq pontot ekkor az {x„} sorozat határértékének nevezzük.

Annak kifejezésére, hogy az [x, ] pontsorozat az xq ponthoz tart,

a szokásosXq - lim , vagy xq = limx„ , vagy xq

n^+°ojelölések szolgálnak.

Az alábbi állítások egyszerűen következnek a konvergens pont­sorozat értelmezéséből:

a) Ha az {x„} pontsorozat konvergens és limx„ = x , akkor e

sorozat bármely {jc„,} részsorozata is konvergens és limx„. = x

b) Az x,^=x (n = 1,2,...) sorozat konvergens és lim x ^ = x .c) Konvergens pontsorozatnak csak egyetlen határértéke van.

2.7 Metrikus terek 109

Igazoljuk például a c) állítást. Tegyük fel az állítással szemben, hogy X() és j o is határértéke az (x„) sorozatnak, azaz

x^-^ Xq és -> jo ’ ha n -> oo .

A (3) szerint fennáll a

p{XQ, J q) < P(X q , + p(x, ^ , J o ) (* )

egyenlőtlenség. Ha n -4 oo , akkor a (*) egyenlőtlenség jobb ol­dala tart a nullához és így P(xq, _yo) < 0 . Másrészt a feltevésünk

szerint p (xq, Jq) ^ 0 . A két egyenlőtlenségből következik, hogy

P(^o> -Vo) = 0 , vagyis ^ = Jo-Kimutatjuk, hogy a p{x, _y) folytonos függvénye x-nek és j -

nak. Azaz ha x„ xq és -> Jo ’ akkor p(x^, y ) -> p(xg, yg) . A (2a) értelmében

p(x„, y„) < p{x^, Xq) + P Í X q, y o ) + piy^, y )

pixQ, J o ) < PÍXq, x „) + p(x„, y^) + p{y^, y )melyekből

Jn) - P(- 0> Jo) ^ ^o) + yn)

pi.^^ yo) - PiXn, yn) ^ PÍXq, x„) + p{y^, y )

és így \p{xQ, Jo) - /?(X„, j„)| < pixQ, x„) + p{y^, yo) .

A jobb oldal n ^ o o esetén nullához tart, amiből következik, hogy

PiXn, yn) PiXQ, Jo) •

Ha az {x„} c: X pontsorozatnak van határértéke, azaz

lim = X , akkor (a háromszög-egyenlőtlenségre tekintettel) egy7 7 — > o o

tetszőleges e > Q számhoz mindig létezik olyan N szám, hogy

p{xj , x ^ ) < £ , hacsak k ,m > N .

Egy {x„} c: X pontsorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha p(Xp, Xq) -> 0 midőn p és q -f-oo.

4. tétel. Minden konvergens sorozat egyúttal Cauchy-soTozat is.

110 I. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Ui. legyen {x„} konvergens pontsorozat és limx„ = x , akkor

p( x„ , , x) + p{x,x„ ^ ) -^ 0 midőn nés m -^

Megjegyezzük, hogy egy metrikus térben általában nem minden Cawc/ty-sorozat egyúttal konvergens is.

Egy X metrikus teret teljes metrikus térnek nevezünk, ha e tér­ben minden Cauchy-sorozaX egyúttal konvergens is.

Megjegyezzük, hogy a teljes metrikus terek fontossága lénye­gében abban van, hogy egy ilyen térben egy pontsorozat konver­genciájához elegendő csupán azt igazolni, hogy e sorozat C auchy- sorozat; ezt az utóbbi tulajdonságot pedig általában könnyebb iga­zolni mint a sorozat konvergenciáját (vagyis a határérték létezését) megmutatni.

Tetszőleges metrikus tér esetén egyszerűen igazolható az alábbi5. tétel. Az X metrikus tér valamely M részhalmaza akkor és

csak akkor zárt, ha bármely [x,^] a M konvergens pontsorozat

esetén lim g M .

Az X metrikus tér valamely M részhalmazának d{M) átmérő­

jén a p{x, y) felső határát, azaz a

d ( M ) = sup p { x , y )x , y e M

egyenlőséggel értelmezett (véges vagy végtelen) számot értjük.Az M halmazt korlátos halmaznak nevezzük, ha d{M) véges.

Egy M halmaz akkor és csak akkor korlátos, ha található olyan S { x q \ Ő ) gömb, hogy M c S { x q \ ő ).

A teljes metrikus terek egy alapvető tulajdonságát fejezi ki az alábbi

6. tétel. {Cantor-íé\Q közöspont-tétel).Legyen zd F2 3 ... =) =)... az X teljes metrikus tér nem

üres zárt részhalmazainak egy ún. egymásba skatulyázott sorozata, ahol e halmazok átmérői zérus sorozatot alkotnak, akkor F |,F 2,. . . ,F „ ,. . . halmazoknak létezik - éspedig egyetlen - közös pontjuk.

A fenti tétel következménye az alábbi

2.2 Lineáris terek 111

7. tétel. Legyen adva az X teljes metrikus térben zárt gömbök­nek egy egymásba skatulyázott sorozata, ahol a gömbök sugarai zérus sorozatot alkotnak, akkor e gömböknek létezik egy és csak egy közös pontjuk.

A fenti tétellel kapcsolatban megjegyezzük, hogy az X metrikus térben egy xq középpontú és £ sugarú zárt gömbön az

{ x | . x e X , p {x , x q ) < e ]

halmazt értjük. Egyszerűen igazolható, hogy ez a halmaz azonos az S{xq\£) nyílt gömb lezárásával, vagyis

{x\xE Z ,/? (x ,x o )<£•}= [5 (xo;f)].

Ebből egyúttal az is következik, hogy egy zárt gömb egyben zárt halmaz is.

2.2 Lineáris terek

A matematika különböző tárgyköreinek vizsgálata során meg­határozott elemekből álló halmazokkal foglalkoztunk. így például találkoztunk a valós számoknak, a komplex számoknak, a geomet­riai tér vektorainak, az n-dimenziós vektoroknak, a mátrixoknak, az adott intervallumban értelmezett függvényeknek a halmazával.

Minden konkrét elemekkel adott halmazban definiáltuk az ele­mekre az összeadás és a számmal való szorzás műveletét. Ezek a műveletek - függetlenül azoktól az elemektől, amelyekre alkalmaz­tuk - azonos tulajdonságokkal rendelkeztek. A továbbiakban elvo­natkoztatunk a konkrét elemektől, és tetszőleges x, y , . . . , ill.

X],X2,... elemekkel adott halmazokat vizsgálunk [K27], [K83]. Rjelentse vagy a komplex (C) vagy a valós számok R halmazát.

1. definíció. Egy R test feletti X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezünk, ha X-en értelmezve van egy összeadásnak nevezett művelet, továbbá értelmezve van a skalárral való szorzás művelete, és ezekre fennállnak az alábbi követelmények:

L x + y = y + x e X (az összeadás kommutatív);

2. (x + y) + z - x + (y + z )e X (az összeadás művelete asszociatív);

112 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

3. létezik olyan Og X elem, hogy minden x g X mellettX + 0 = x; (neutrális elem)

4 . minden x elemhez létezik olyan - x g X elem, hogyX + (-x) = 0; ( X ellentettje)

5. kx = xk e X minden kG Rés x e X mellett;6 . k(cx) - (kc)xe X, k é s c e R, x e X\7. Ix = x; (1 az R egységeleme)8 . k(x+ y) = kx + kyG X-,

9. {k + c)x = kx + exG X;

Megjegyzés. A 3. követelményben szereplő 0 elemet zérus­

elemnek, a 4 . követelményben szereplő x“ ’ elemet az x elem (ad­ditív) inverzének nevezzük, és minden művelet eredménye is az X halmazba tartozik. A fenti követelmények alapján egyszerűen iga­zolhatók az alábbi következmények:

10. a) - x = (-l)x;b) Ox = 0 (itt 0 a zérus szám).

Megjegyezzük, hogy az X vektortér elemeit szokás vektorok­nak, az R elemeit pedig skalároknak nevezni.

Abban az esetben, amikor 7? = R , az X vektorteret a valós szá­mok feletti vektortérnek, vagy röviden valós vektortérnek nevez­zük, amikor pedig R — C , akkor X-et a komplex számok feletti vektortérnek, vagy röviden komplex vektortérnek nevezzük [K72].

2. definíció. Az X vektortér x^, ^ 2 ,. •., elemeit lineárisan függetleneknek nevezzük, ha a

qx j -F C2 X 2 + ... + c„x„ = 0 (1)

egyenlőség csak = C2 = • • • = = 0 esetén lehetséges. Ha létezik

olyan nem csupa zérus értékű q ,c 2,...,c„ szám n-es, amely mellett az (1) egyenlőség fennáll, akkor az

Xi,X2,...,X„

elemeket lineárisan függőknek mondjuk.

2.2 Lineáris terek 113

Példa. Jelölje C{a, b] az [a,b] intervallumon folytonos függvé­

nyek terét. A C[a, b tér xj = sin^ t, x = cos^ f, X3 = ^ vektorai össze­

függők. (Ui. X| + X2 - 3x3 = 0 , sin^ t + cos^ í - 3 ~ = 0,1 - 1 = 0.)

3. definíció. Az X vektortér dimenzióján az X-ben lévő lineá­risan független elemek maximális számát értjük (feltéve, hogy ez véges), és ezt a számot dim X -szel jelöljük; ha pedig minden n mellett létezik X-ben n számú lineárisan független elem, akkor X-et végtelen dimenziós vektortérnek mondjuk.

Egy n dimenziós vektortér n számú lineárisan független elemét a vektortér bázisának nevezzük.

Tétel. Ha e ,, ^2,... , az n dimenziós X vektortér bázisa, akkorbármelyik x g X elem (vektor) egyértelműen előáll a következő alakban:

X - q e i + €262 + . . . + = £ Cí^í , i=l

(2)

A tételben szereplő Cj, C2,... , számokat az x vektor koordi­nátáinak nevezzük az ej, ^2,• • • , bázisra vonatkozólag.

Ui. Legyen x g X tetszőleges elem, akkor az

x,ei,e2,...,e^

összesen n +1 számú elem lineárisan összefüggő, így léteznek nem csupa zérus értékű a,aj, k o m p l e x számok, amelyekre

ax + asei+a2e2 +. . . + a„e„ = ö. (3)

Ha a ~ 0 volna, akkor az g], ^2,. . . , elemek lineárisan össze­függők volnának, ami nem lehetséges, így a ^ O . A (3) egyenlősé­get a-val osztva és x-et kifejezve:

fli flo a„a a a "

Jelöljük Cl -vei az e,- együtthatóit, akkor

X = qej 4- €262 + . . . + c,jí?„ .

114 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Kimutatjuk, hogy az x előállítása egyértelmű:Ui. ha az x elemnek volna két

X = + € 2 6 2 + . . . + és x = c[ei + € 2 6 2 + . . . + c'^e„ előállítása, akkor a két egyenlőséget kivonva egymásból;

0 = (q - q > | + (C2 - 4)^2 • • • + (c„ - c je„

egyenlőséget kapjuk. Mivel ei,e2 ,...,e^ lineárisan függetlenek, azért

c\ - c [ = 0, C2 - C 2 - O , - 6' = 0,

amiből az egyértelmű előállítás következik.Fontos szerepet töltenek be a lineáris terek közül azok, ame­

lyekben értelmezve van egy skaláris szorzat. Ezeket euklideszi tereknek nevezzük (1. a 3.1 pontot).

PéldaEgy tetszőleges lineáris tér elemének bázisa és koordinátái is az

R" térhez hasonlóan értelmezhetők. Például minden 3-nál nem

magasabb fokú polinom előállítható az 1, í, í , í függvényekkel:

Legyen például P(t) = 5 + 4t ~3t' + 2? .Határozzuk meg e harmadfokú polinom koordinátáit a követke­

ző bázisban: q = 1, ^2 = ~ 2, 03 = (í - i f ' , e = { t - i f

A koordinátákat a P{t) polinom t = 2 helyhez tartozó Taylor- polinomjának együtthatói szolgáltatják:

P(2)=17; P'(0 = 4 - 6 í + 6íV 2 = 16;

P \ t ) = -6 + 12t[^2 = 18; P"(0 = 12,

vagyis Pit) = 17 + 16(í - 2) + %t - 2 f + 2{t - 2 f .

Tehát a P{t) polinom koordinátái az adott bázisban: 17, 16, 9, 2.

2.2.1 Altér

Ebben a pontban egy tetszőleges X lineáris tér alterét értelmezzük. Legyen X tetszőleges lineáris tér. Az X tér valamely X' ( z X nemüres részhalmazát az X tér alterének nevezzük, ha ő maga is lineáris tér, azaz

2.2.1 Altér 115

1. minden x és y& X' esetén x + yG X ' ,2. minden x e X' és tetszőleges a komplex szám esetén

a x e X ' .Belátható, hogy az X' altérre teljesülnek a lineáris tér axiómái

( 2 .2 pont), többek között az X tér nulleleme egyúttal az X' altér­nek is nulleleme lesz, s így X' maga is lineáris teret alkot.

Annak eldöntéséhez, hogy X' ez X nemüres részhalmaz altér-e, elegendő a műveletekre vonatkozó zártságot ellenőrizni. Tetszőle­ges lineáris térben ún. triviális alteret képez az egész tér és a csak 0

vektorból álló részhalmaz.

Példák

1. Az R " térben például alteret alkotnak azok a vektorok, amelyeknek első koordinátái zérusok.

2. Ha A £ egy m x n -es rögzített mátrix, akkor

kerA = {x e i?" |Ax = 0} altér i?" -ben,

imA = {Axjxe /?”} = {y g i?'” I3 x e i?" Ax = y} altér -ben.

E két tér az A mátrix magtere, ill. képtere.3. A C[a, b] térben alteret alkotnak azok a függvények, ame­

lyek az x = a helyen zérus értéket vesznek fel.

4. Ha m < n , akkor az m-ed fokú polinomok P^ tere, altere

az n-ed fokú polinomok P" terének.5. Legyen X tetszőleges hneáris tér és legyenek

tetszőleges elemek. Jelöljük X' -vei ezen 62, . . . , elemek összes lehetséges lineáris kombinációinak halmazát, azaz a

n

i=]alakú elemek halmazát. Az X' alteret alkot, melynek dimenziója: dim X' < n . A dim X ' - n egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha í | , ^2, . . . , lineárisan függetlenek.

116 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

2.2.2 Alterek direkt összege

Legyenek X' és X" az X lineáris tér tetszőleges olyan alterei, amelyeknek csak egyedül a 0 (nullelem) az egyetlen közös eleme. Jelöljük F-nal az összes lehetséges y elemek halmazát, melyek y - X + x" alakúak, ahol x e. X' és x"e X" .

Ezen Y alteret az X' és X" alterek ún. direkt összegének ne­vezzük (műveleti jele: © ):

Y = X ' @ X " .

Tétel. Legyen X véges dimenziós lineáris tér és X' c: X tetsző­leges altér, akkor létezik olyan X" a X altér, hogy J'sf és X" altereknek csak a nullelem az egyetlen közös eleme és direkt össze­gük X-szel egyenlő, azaz

Bizonyítás. Legyen dimX = n és á i m X ' = k (k < n ) , legyen

továbbá €1, 62, - . . ,6] tetszőleges bázis X ' -ben. Egészítsük ki ezt a bázist az X tér további elemeivel úgy, hogy az

61, 62,

elemek együttesen az X tér bázisát képezzék. Jelöljük X '-v e l az 6k+\,ek+2 ---^ n elemek összes lineáris kombinációi halmazát, ügy X" altere Z-nek és nyilvánvaló, hogy X = X' ® X " .

Ha az Xi és X 2 két altér X-ben és csak a 0 elem az egyetlen közös elemük, és direkt összegük X-szel egyenlő, azaz X = X i ® X 2 , akkor a két alteret egymás kiegészítő alterének nevezzük, és ekkor

dimX = dimX| -1- dimX2 .

Például a valós háromdimenziós vektortérben minden, az origón átmenő egyenes egydimenziós alteret alkot. Az origón át­menő két különböző egyenes, X' és X" alterek direkt összege X' ® X^ , azonos a két egyenes által meghatározott síkkal.

2.3 Normált terek 117

2.3 Normáit terek

1. definíció. Egy X halmazt lineáris normált térnek (röviden; normált térnek) nevezünk [K4], [K27], [K19], ha

L X vektortér,IL Minden x g X vektorhoz hozzá van rendelve egy ||x ||-val

jelölt valós szám, amelyet az x vektor normájának nevezünk, és amelyre fennállnak az alábbi követelmények:

a) minden x e X esetén |x || > 0, emellett |x || = 0 akkor és csak akkor, ha x = 0,

b) IexII = IcI• IIX||, CG R, x e X, (homogenitás),

c) | |x + y ||< | |x | | + ||_y|| (háromszög-egyenlőtlenség).

Ha az X normált térben az x és _y elemek távolságát a

/7(x,y) = | |x - y | | (1)

egyenlőséggel értelmezzük, akkor egyszerűen igazolható, hogy az ilyen módon értelmezett p függvény eleget tesz az I. fejezet 1. pontban bevezetett metrika követelményeinek, így az X normált tér az (1) metrikával metrikus teret alkot. Ezért egy normált térben is értelmezhetők mindazok az alapvető fogalmak, amelyeket a metri­kus terekben értelmeztünk, így többek között a gömb, a környezet, a nyílt és zárt halmaz fogalma, a pontsorozat konvergenciája, stb. Megemlítjük, hogy egy (x„) pontsorozatnak az x ponthoz való konvergenciája azt jelenti, hogy

x — x„ —> 0 , ha n —> -1-00.

Ez esetben azt mondjuk, hogy az (x„) sorozat normában tart az x ponthoz.

A metrikus terekhez hasonlóan értelmezhető a normált terek tel­jességének fogalma.

Az X normált teret teljesnek nevezzük, ha Z-ben minden Cauchy-sorozat konvergens is, vagyis abból, hogy | x„ - | —> 0,

következik, hogy létezik olyan x g X elem, amelyre ||x - x„ || -^ 0.

118 l. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

2. definíció. Egy R test feletti teljes lineáris normált teret Banach-térnek nevezünk [K58],

Az alábbi lemma gyakran használatos normált terekben való kü­lönféle becsléseknél.

1 , lemma. Legyenek x és y az X normált tér tetszőleges elemei, akkor

I U - > l a | l k l h l l > ’ll|- (2)

Ui. az jc = (jc- j ) + j azonosságra alkalmazzuk a háromszög- egyenlőtlenséget:

amiből

Hasonlóan

és a két utóbbi egyenlőtlenségből a (2) egyenlőtlenség már követ­kezik.

Következmény. Ha x„ —> x, akkor || x„ | —> || x ||. Valóban, a (2)

egyenlőtlenség alapján

X - x„ < l |x - x „ l - > 0 .

2. lemma. Ha az X normált térben x„ —> x, és —> y, akkor

Xn + yn -> x-t- _y; ha pedig -> c és x„ x, akkor c„x„ —> ex.

Ezek a norma tulajdonságaiból következnek.Ha valamely X vektortérben értelmezünk egy tetszőleges, a), b),

c) normatulajdonságokkal rendelkező normát, akkor azt mondjuk, hogy az X vektortérbe normát vezettünk be. Ugyanabba az X vek­tortérbe természetesen több féle képen lehet normát bevezetni. Az így nyert normált tereket természetesen különbözőknek tekintjük.

3. definíció. Az X vektortérbe bevezetett/ //

ilx|! és \\x\\

normákat ekvivalens normáknak nevezzük, ha léteznek olyan

0 < m < M <

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre 119

állandók, hogy minden 0 ^ x& X mellett

Xm < i r < M .

Az X vektortérből ekvivalens normákkal nyert normált terek azonos módon viselkednek, így pl. ha az X tér az egyik normával teljes, akkor a vele ekvivalens normával is teljes; ha az {x„} soro­zat az egyik normában tart az x vektorhoz, akkor a vele ekvivalens normában is tart e sorozat az x vektorhoz.

Megjegyzés. Vegyük észre a lényeges különbséget egy metri­kus és egy normált tér között. Egy metrikus térben csupán az ele­mek távolsága van értelmezve, de nincs definiálva elemek közötti művelet, így egy metrikus tér nem feltétlen vektortér is. Egy normált tér viszont egyidejűleg vektortér is és metrikus tér is, ahol a metrika a norma segítségével van definiálva. Ezzel kapcso­latban felmerül az a probléma, hogy ha egy X tér egyidejűleg vektortér is és metrikus tér is valamely p metrikával, akkor e met­rika segítségével értelmezhetünk-e normát X-ben a természetesnek látszó

||x|| = /7(x,0)

egyenlőséggel? A következő pont 4. példájában megmutatjuk, hogy az ilyen módon képzett kifejezés általában nem tesz eleget a norma követelményeknek.

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre

1. A valós R ” , és a komplex C” tér lineáris normált tér (1. a3.2 pontot).

2. Az n-edrendű mátrixok halmaza a szokásos összeadás és számmal való szorzás műveletével kielégíti az 1-8. axiómákat, tehát lineáris teret alkot.

3. C[a,h{ -tér. Legyen [a,b] tetszőleges véges és zárt interval­

lum, és jelentse C[a,b] az [a,b] intervallumban értelmezett foly­

tonos, valós értékű függvények halmazát. Ha a C[a,b] -beli / és g

120 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

függvények összegét, valamint a c g R valós számnak az / függ­vénnyel való szorzatát a szokásos módon értelmezzük, akkor köny- nyen igazolható, hogy a C{a,b\ függvényhalmaz vektorteret alkot. E tér zéruseleme nyilvánvalóan az azonosan 0 függvény. Mivel az

l,jc ,x ^ ,...,x ” ,... függvények C [a ,-b e lie k és közülük bármely

véges sok függvény lineárisan független, azért a C[a,b] vektortér végtelen dimenziós.

Értelmezzük az f e C[a,b] függvény normáját az

1/ 1 = max| / (x) |xe [a, b]

egyenlőséggel, akkor az ilyen módon értelmezett norma eleget tesz a norma axiómáknak. A fenti norma segítségével az / é s g függvé­nyek távolságát az

| | / - g | | = max | / ( x ) - g ( x ) |xe[a,b\

egyenlőséggel értelmezhetjük. Egy { /„}cC [a,^ ] függvénysoro­

zatnak az f e C[a,b\ függvényhez való konvergenciája a fenti

normában azt jelenti, hogy az {/„} függvénysorozat egyenletesen

tart az / függvényhez az [a,b] intervallumban. Ebből már könnyen

igazolható, hogy C{a,b] a fenti normával Banach-tertt alkot. (A tér teljessége abból az ismert tételből következik, hogy folytonos függvényekből álló egyenletesen konvergens függvénysorozat határfüggvénye is folytonos).

Megjegyezzük, hogy a C[a,b] függvénytérben más módon is értelmezhetünk normát, így pl. az

l l / l h

egyenlőség segítségével, azonban ezzel a normával a C[a,b] függ­

vénytér már nem lesz teljes, vagyis e normával a C[a,b] tér csak normált teret (de nem Banach-teret) alkot.

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre 121

4. Az Ip -tér. Legyen p > \ tetszőleges rögzített valós szám és

jelölje Ip azoknak a komplex számokból álló (x i,x2,...,x „ ,...)

számsorozatoknak a halmazát, amelyekre Y konvergens.n=l

Jelöljünk egy ilyen számsorozatot ismét csak egyetlen jc betűvel, akkor tehát

lp = {x\x = (xi,x2, . . . ,xn, . . . ) ,xn^c, <+°°} •

Az R ” vagy a C ” térhez hasonlóan az Ip elemeit is vektorok­

nak nevezzük, csak jelen esetben egy x e Ip vektornak végtelen

sok koordinátája van. Értelmezzük az x == (jcj ,^ 2, . . . , , . . . ) és az

y = { y i , y 2 ,---,yn,---) Ip -beli vektorok összegét, valamint az x

vektornak a k e C komplex számmal való szorzatát az

x + y ^ ( x i + y i ,x2 + y2 , . . . ,xn+yn^---),

kx - {kxi, kx2 kx^ ,...)

egyenlőségekkel, továbbá az x vektor normáját az

/ oo A ^

1 4 =Vn=l ^

egyenlőséggel. Igazolható, hogy a fent bevezetett műveletekkel, ill. normával Ip Banach-tevQt alkot.

A fentiekben szereplő terek valamennyien normált terek voltak. Befejezésül mutatunk példát olyan metrikus térre, amely nem nor­mált tér.

5. A C(-oo,-l-oo)-tér. Jelölje C(-o=, + o°) a (~oo,+ oo) interval­lumban értelmezett folytonos függvények halmazát. E függvény­halmaz a szokásos műveletekkel vektorteret alkot. Mivel egy f G C(-oo, + o°) függvény általában nem korlátos, azért e függ­vénytérben nem értelmezhető norma a maximum-normához hasonlóan.

122 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Értelmezhető azonban e függvénytérben metrika a következő módon. Tetszőleges/és ge. + és n = \,2, . . . mellett legyen

es

1 1 / max \ f { x ) - g (x ) \xe[-n,n]

p( f ^g) - Z „ 1 + II f _f - S

Igazolható, hogy a fenti p függvény kielégíti a metrika köve­

telményeit, így e metrikával C(-°<=, + oo) metrikus teret alkot. Könnyen látható, hogy e g y (/;•) c: C (-°o , + oo) függvénysorozatnak

egy / G C{-oo, + oo) függvényhez való konvergenciája a fenti met­

rikában azt jelenti, hogy az (fi) függvénysorozat egyenletesen tart az / függvényhez minden véges intervallumban (de nem az egész számegyenesen). Megemlítjük, hogy a

kifejezés nem tesz eleget a norma követelményeinek, ui. nem telje­sül a p(kf, 0) = I I • /? (/, 0) egyenlőség.

2.5 Kompakt halmazok metrikus terekben

Az alábbi eredmények normált terekben is érvényesek, mivel egy normált tér egyben metrikus tér is.

Legyen T = { a , t e t s z ő l e g e s (nem feltétlen megszám­lálható) indexhalmaz. Azt mondjuk, hogy az X metrikus tér bizo­nyos részhalmazaiból álló H = halmazosztály az

M d X halmaz egy lefedése, ha M <= |J Hy./eV

1. definíció. Az X metrikus tér egy M részhalmazát kompakt halmaznak nevezzük, ha az M halmaznak nyílt halmazokkal való bármely lefedéséből kiválasztható véges elemíi fedőrendszer, vagyis ha [Gy}y^r nyílt halmazok egy tetszőleges olyan osztálya, amelyre

2.5 Kompakt halmazok metrikus terekben 123

M d \J Gy, yer

akkor található véges sok olyan Y\,Y2^---^Tn index a T index­halmazban, hogy

NM d [ j G y . .

/=!2. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát soro­

zatkompakt - röviden í-kompakt - halmaznak nevezzük, ha min­den {x„} d M sorozatból kiválasztható konvergens {x„.} rész­

sorozat. (Nem követeljük meg, hogy az x = limx„. határelem is M-

hez tartozzék) [K4],

3. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát telje­sen korlátos halmaznak nevezzük, ha bármely £■ > 0 esetén az M halmaz lefedhető véges sok legfeljebb e átmérőjű halmazzal.

Bizonyítható a következő, gyakran alkalmazható1. tétel. Ha X teljes metrikus tér, akkor a következő állítások

ekvivalensek:a) az M d X halmaz kompakt;b) az M d X halmaz zárt és ^-kompakt;c) zz M d X halmaz zárt és teljesen korlátos.

1. következmény. Az X metrikus tér minden kompakt részhal­maza korlátos és zárt halmaz.

Megjegyezzük, hogy egy halmaz korlátosságából és zártságából általában nem következik e halmaz kompaktsága, amint ezt az alábbi példa mutatja.

Példa korlátos és zárt, de nem kompakt halmazra. Tekintsük a korábban értelmezett Ip teret pl. p = 2 esetén, és legyen

1 2 n - 1 n n+lM - , ahol = (0 ,0 ,..., 0 ,1 , 0 , . . . ) .

Mivel minden n = l , 2 ,... mellett ||e„|| = l, azért M nyilván

korlátos halmaz I2 -ben, azonban M nem ^-kompakt, ui. bármely

m ^ n esetén így az {é?,j} sorozatból nem lehet ki­

124 l. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

választani konvergens részsorozatot. Megjegyezzük, hogy M nyilván­valóan zárt halmaz, ui. M-nek egyetlen torlódási pontja sincs.

2. következmény. Ha X egy tetszőleges véges dimenziós lineá­

ris normált tér (pl. X = R ” ), akkor egyszerűen igazolható, hogy egy M ez X halmaz akkor és csak akkor teljesen korlátos, ha kor­látos, ezért nyivánvaló az alábbi

2. tétel. Legyen X tetszőleges véges dimenziós lineáris normált tér, akkor egy M a X halmazra vonatkozólag az 1. tétel a), b) ésc) állításaival ekvivalens az alábbi állítás is:

M d X korlátos és zárt halmaz.A 2. és 1. tételekből következik az un.

3. Borel-íéle lefedési tétel. Legyen M az tér egy tetszőleges korlátos és zárt részhalmaza, akkor e halmaznak nyílt halmazokkal való bármely lefedéséből kiválasztható véges elemű fedőrendszer.

Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy érvényes a 2. tételnek az alábbi értelemben való megfordítása is.

4. tétel. Ha valamely X normált térben minden korlátos és zárt halmaz kompakt, akkor X véges dimenziós.

A fentiekben egy X metrikus tér valamely M részhalmazának kompaktságát, ■s'-kompaktságát és teljesen korlátosságát értelmez­tük. Természetesen ezek az értelmezések változtatás nélkül átvihe­tők magára az egész X térre is. így az 1. tétel az egész X térre vo­natkozóan a következőképpen módosul.

5. tétel. A következő állítások ekvivalensek:a) X kompakt metrikus tér,b) X ^-kompakt metrikus tér,c) X teljesen korlátos és teljes metrikus tér.

2.6 Függvények metrikus terekben

Legyenek X és Y tetszőleges metrikus terek a /7^,ill. Py metrikával

(speciálisan X és Y tetszőleges normált terek is lehetnek). Megje­gyezzük, hogy a jelölések egyszerűsítése érdekében - hacsak félre értésre nem ad alkalmat - mindkét metrikát egyszerűen csak p -val jelöljük.

2.6 Függvények metrikus terekben 125

1. definíció. Legyen f :X - ^ Y egy tetszőleges leképezés és

legyen xq a D ( f ) értelmezési tartomány egy tetszőleges torlódási

pontja (nem szükséges, hogy xq e D ( f ) legyen). Azt mondjuk,

hogy az f függvénynek az Xq pontban létezik határértéke éspedig

az jo ^ ^ pont, ha az jq pont bármely Vq a Y környezetéhez található az xq pontnak olyan Uq ez X környezete, hogy minden

x e Uq n D( f ) , x ^ Xq esetén f (x)G Vq.

Megjegyezzük, hogy a fenti definícióban szereplő Uq és Vq környezetek nem feltétlen gömb alakúak és nem feltétlen nyíltak (de természetesen mindegyik környezet tartalmaz xq , ill. Jq kö­zéppontú gömböt). Ha az 1. definícióban szereplő környezeteket gömb alakúra választjuk, akkor a definíció a következőképpen módosul:

2. definíció. Azt mondjuk, hogy az f \ X ~^Y függvénynek a

D { f ) valamely xq torlódási pontjában létezik határértéke, éspe­

dig az yg G Y pont, ha bármely £ > 0 számhoz található olyan

ő - 5{£) > 0, hogy minden olyan xg D( f ) esetén, amelyre

0 < p (x, xq) < 5 , fennáll, hogy /? (/(x ),y o )< e.Ha Xq e D( f ) , akkor a határérték fenti értelmezésében az xq -

beli / ( xq) függvényértéknek semmilyen szerepe sincs.

Annak kifejezésére, hogy az f függvénynek az xq pontban

jO a határértéke, a szokásos

lim f ( x ) = yQ, vagy / ( x ) -> jqX->Xq

jelölések szolgálnak.Megemlítjük, hogy a 2. definíció - látszólagos speciális volta

ellenére is - természetesen ekvivalens az 1. definícióval.

3. definíció. Egy f : X - ^ Y függvényt az Xq g D ( / ) pontban

folytonosnak mondunk, ha az /(x q ) képpont bármely (nem feltét­

len nyílt) Vq környezetéhez található az xq pontnak olyan ( Vq -tói

126 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

függő) Uq környezete, amelyre f (Uq) czVq, azaz minden

X 6 t/g n D ( / ) mellett / ( xJe Vq.Mivel egy pont tetszőleges környezete tartalmaz e pont körüli

gömböt, azért a következő definíció ekvivalens a fentivel.4. definíció. Az f : X - > Y függvény az Xq g D ( f ) pontban

folytonos, ha az / ( xq) képpont bármely e sugarú gömb alakú

Vq = S{f(xQ)-,£) környezetéhez található az jtg pontnak olyan

ő - ő ( £ ) sugarú Uq = S(xq;ő) környezete, hogy f(UQ)c:VQ, azaz minden x e D( f ) , p ( x , x q ) < Ő esetén p{ f ( x ) , f ( xQ) ] <£ .

A fenti értelmezésekből azonnal következik, hogy ha az Xq e D { f ) pont izolált pontja D { f ) -nek, akkor/folytonos az Xq

pontban. Ha pedig az xq e D{ f ) pont torlódási pontja D{ f ) -nek,

úgy az / függvény akkor és csak akkor folytonos az xq -bán, ha e pontban az / függvénynek létezik határértéke, és ez megegyezik az /(x q ) helyettesítési értékkel, vagyis lim f { x ) = f(xQ).

X^Xq

Egy függvény folytonosságának fogalmát visszavezethetjük pontsorozatok konvergenciájára is.

1. tétel. Egy f : X -> Y függvény akkor és csak akkor folyto­

nos az Xq e D ( f ) pontban, ha bárhogy választunk olyan

{ x „ } c D ( /) sorozatot, amelyre x , ^ X q , akkor f {x , i ) -^f {xQ) .

5. definíció. Ha az f :X - > Y függvény a H ez X halmazminden pontjában folytonos, akkor az f függvényt a H halmazon folytonos függvénynek mondjuk.

Megjegyzés. A továbbiakban látni fogjuk, hogy a folytonos függvényekre vonatkozó állítások kimondása és bizonyítása egy­szerűbbé válik, ha feltételezzük, hogy a függvény az egész metrikus téren értelmezve van. Ha az / : Z —> 7 függvényt csupán a folyto­

nosság szempontjából vizsgáljuk, akkor a D ( f ) = X feltétel nem jelent semmilyen lényeges megszorítást az / függvényre vonatko­zóan, ui. ha D ( f ) d X , akkor egyrészt az X-en értelmezett p

metrikának a D ( f ) halmazra való leszűkítésével D ( f ) maga is

2.6 Függvények metrikus terekben 127

egy metrikus térnek tekinthető, másrészt a D { f ) értelmezési tar­

tományon folytonos / függvényre az X -£ > ( /) halmaz pontjainak nincs hatása. Ezért a továbbiakban feltételezzük, hogy a függvé­nyek az egész metrikus téren értelmezve vannak.

6. definíció. Az X metrikus teret önmagába leképező f : X-^ X leképezést kontrakciónak vagy kontraháló leképezésnek nevezzük, ha létezik olyan 0 < ^ < 1 állandó, hogy minden x és y e X mellett

p { f ( x ) , f ( y ) ) < q - p ( x , y ) .

Nyilvánvaló, hogy minden kontraháló leképezés folytonos is.

7. definíció. Az xqG X pontot az f : X X leképezés fix­pontjának nevezzük, ha / ( x q ) = x q .

2. tétel (Kontrakciós, Banach-Cacciopoli). Ha f : X X azX teljes metrikus téren értelmezett kontrakció, akkor /-nek létezik egyetlen fixpontja.

Bizonyítás. Legyen xj g X egy tetszőleges pont, és vezessük be az

X2=f (Xi ) , X2=f (X2) , = /(x „ ) , ...

jelölést. Megmutatjuk, hogy az {x^} c X pontsorozat Cauchy- sorozat. M inthogy/kontraháló leképezés, így

P(xk >Xk+]) = p(/U fc_i), f (xk) ) < q • ),

amiből egyszerű rekurzióval

P(Xk,Xk+])<q''~^ ■ p(xi ,x2) (/c = l,2 ,.. .) ,

egyenlőtlenséget kapjuk.n > m esetén a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával

P (x ,„ , X „ ) < p ( x „ , X „,+1) + P (x „ ,+ | , X„,^2 ) + •■• + h , ) S

amiből q < 1 alapján már következik, hogy

) -> 0 ha n és m -> +c<>.

Mivel az X tér teljes, azért a fenti [x, ] a X Cawc/zy-sorozatnak

létezik határértéke, legyen ez x o = lim x „ . Az / kontraháló leké­

pezés folytonos is, azért l im /(x „ ) = / ( xq) , így az = / (x„) egyenlőségből esetén az x q^ / íxq) egyenlőséget kap­

juk, ami azt jelenti, hogy az xq pont fixpontja az/leképezésnek.Tegyük fel, hogy az / leképezésnek létezik két különböző fix­

pontja, legyenek ezek Xq és };o,azaz /(x o ) = xq és f {yQ) = yo akkor

P(xq, yo) = p{f(xQ),/(yo)) < q • p{xQ, yo),

azaz p(xq, Jo) ^ ^ ‘ P (^0’ Vo)’ amiből a 0-tól különböző p(xQ, yo) számmal való osztás után az 1 < ^ egyenlőséget nyerjük, ami el­lentmondás, mivel q-róí feltettük, hogy 0 < q < l állandó.

2.7 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon

Ebben a pontban a folytonos függvényekre vonatkozó alapvető tételeket ismertetjük.

1. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát össze­függő halmaznak nevezzük, ha az M halmaz nem fedhető le két olyan diszjunkt nyílt halmazzal, amelyek mindegyikében van az M halmaznak pontja, vagyis nem léteznek olyan Gj és G2 nyílt hal­

mazok, amelyekre

Gi n G j = 0 , M d G [ u G 2, M n O \ ^ 0 , M n 0 2 ^ 0volna.

Természetesen beszélhetünk magának az egész X térnek az ösz- szefüggéséről is. Ebben az esetben a fenti definíció a következő egyszeríibb alakot veszi fel:

2. definíció. Az Z metrikus teret összefüggő metrikus térnek nevezzük, ha X nem állítható elő két nem üres diszjunkt nyílt hal­maz egyesítéseként.

Az alábbi tétel közvetlenül adódik a fenti definícióból.1. tétel. Egy X metrikus tér akkor és csak akkor összefüggő, ha

az 0 és az X az egyedüli olyan halmazok X-ben, amelyek egyszerre nyíltak és zártak.

128 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 2.7 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon 129

2. tétel. Legyen f : X —>Y az X metrikus tér valamely össze­függő M részhalmazán értelmezett folytonos függvény, akkor az M halmaz f { M ) képe is összefüggő halmaz az Y térben, (röviden; összefüggő halmaz folytonos képe is összefüggő).

Például a számegyenes valamely részhalmaza akkor és csak ak­kor összefüggő, ha e halmaz egy (véges vagy végtelen, nyílt, zárt vagy félig nyílt) intervallum. Ebből a fenti tétel figyelembe vételé­vel adódik az alábbi

3. tétel. (Bolzano) L eg y en /a számegyenes valamely (nyílt, zárt vagy félig nyílt) intervallumán értelmezett folytonos valós értékű függvény, akkor e függvény R( f ) értékkészlete maga is valami­lyen intervallum.

Vizsgáljuk meg ezután a kompakt halmazon értelmezett folyto­nos függvények tulajdonságait.

4. tétel. Legyen / : X —> 7 az X metrikus tér valamely kom­pakt M részhalmazán értelmezett folytonos függvény, akkor az M halmaz f ( M ) képe is kompakt halmaz (röviden: kompakt halmaz folytonos képe is kompakt).

3. definíció. Az f : X - ^ Y függvényt korlátos függvényneknevezzük, ha e függvény R( f ) képtere korlátos halmaz az Y térben.

Mivel egy kompakt halmaz korlátos is, azért a 4. tétel nyilván­való következménye az alábbi

5. tétel. Az X metrikus tér valamely kompakt részhalmazán ér­telmezett folytonos függvény korlátos is.

6. tétel. (Weierstrass) Legyen / : X ^ R az X metrikus tér valamely kompakt M részhalmazán értelmezett folytonos függvény; jelölje h, ill. H az/függvény alsó, ill. felső határát az M halmazon,vagyis h = inf / , H = sup / , akkor léteznek olyan xi és jc2 e M

M ^

pontok, hogy f{x^) = h, és f { x 2 ) = H. (röviden: kompakt halma­zon folytonos függvénynek van legkisebb és legnagyobb értéke).

130 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

7. tétel. ( f~^ folytonosságáról). Az X metrikus tér valamely kompakt M részhalmazán értelmezett folytonos és invertálható

f : X - ^ Y leképezés inverze is folytonos.

Megjegyzés. Ha X nem kompakt metrikus tér, akkor abból, hogy az f :X - ^ Y függvény folytonos és invertálható, általában

még nem következik, hogy inverz függvény is folytonos.

4. definíció. Az f :X - ^ Y függvényt (leképezést) homeo- morfizmusnak vagy homeomorf leképezésnek nevezzük, ha f kölcsönösen egyértelmű (invertálható) leképezés, továbbá az f és

f~^ leképezések folytonosak. H a/o lyan homeomorfizmus, amely­

re D ( f ) = X és R{ f ) = Y, akkor az / leképezést az X térnek az Y térre való homeomorfízmusának nevezzük.

5. definíció. Az X és Y metrikus tereket homeomorf terekneknevezzük, ha e két tér között létezik homeomorfizmus, azaz olyan invertálható f : X - ^ Y leképezés, amelyre D ( f ) = X, R( f ) = Y

ésf, valamint folytonosak.A fenti elnevezés bevezetésével a 7. tétel a következő módon is

kimondható.8. tétel. Az X metrikus tér valamely kompakt részhalmazán ér­

telmezett folytonos és invertálható leképezés homeomorf leképezés.

3. FEJEZET

E uklideszi te re k

3.1 Az euklideszi tér értelmezése

Tetszőleges elemek bizonyos V halmazát euklideszi (vagy más­képp unitér) térnek nevezzük [K27], [K72], ha

I. y lineáris tér,II. minden két x és y e V elemhez hozzá van rendelve egy

(x, y) -nal jelölt komplex szám - melyet a két elem skaláris szor­zatának nevezünk, továbbá fennállnak a következő axiómák:

1. (x, y) - (y,x) ( a felső vonal itt komplex konjugált képzést je ­lent, melyet néha *-gal is jelölnek),

2. (x + y , z) = {x, z.) + (y, z ) , azaz a skaláris szorzás az első tényezőjére nézve disztributív,

3. (ex, y) = c- (x, y ) , ahol c tetszőleges komplex szám,

4. Bármely 0-tól különböző elemnek önmagával való skaláris szorzata pozitív legyen, azaz (x, x) > 0 , míg (0,0) = 0 legyen.

Következmények:a) ( x , y + z) = (x,y) + ( x , z ) ,b) { x , cy)^c{x , y ) ,

c) (0 ,x) = 0 minden x e V esetén.Az a) alapján a skaláris szorzat a második tényezőre nézve is

disztributív, míg b) azt jelenti, hogy a skaláris szorzat második tényezőjében fellépő komplex szorzót komplex konjugált képzéssel lehet kiemelni.

A ^(x,x) számot az x g V elem normájának nevezzük és |[x|j alakban jelöljük, azaz

\\x\\ = ^{x,x) ( 1)

132 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Kimutatjuk, hogy fennállnak a kővetkező tulajdonságok.

1. ||jc ||> 0, h a x ^ 0, míg ||0 || = 0

2. II ex I = I c I • IIXII, c komplex szám,

3 . | | x + y | | < l x l | + | | y | | .

Az 1. tulajdonság a II. 4. axióma nyilvánvaló következménye.A 2. tulajdonság is könnyen belátható, ui.

II ex Ip = (ex, ex) = cc • (x, x) = I c f • (x, x) = I c p • II X f

A 3. tulajdonság igazolásához szükséges a kővetkező egyenlőt­lenség, melyet Cauchy-Schwarz-féle egyenlőtlenségnek nevez­nek (1. az 1.4 pont (4) formuláját):

Bizonyítás. Legyen c egyelőre tetszőleges szám, akkor

I I + cy II = (x + cy, X + cy) - (x, x) + c(y, x) + c (x, y) + cc(y, y) =

= IIX f + c{y, X) + c ((x, y) + c|| y f )

Válasszuk most a c értéket úgy, hogy a fenti egyenlőségben a c együtthatója zérus legyen, azaz

l x y + c \ \ y \ f = 0 , amiből c = feltéve, hogy y ^ Q . A c\ y \ .

ilyen speciális választása esetén a fenti egyenlőség átmegy a következőbe:

2> 0 ,I X + c v i P = I I X i P -

KV

amiből átrendezéssel adódik az (2) egyenlőtlenség. (2) alapján a 3 . egyenlőtlenség is igazolható:

\ x ^ y f = {x + y,x + y) = 1 x f + (x, y) + (y. *-) + <

< ||x |p + |(x ,} ;) | + |(y ,x)| +

< 11x 11+ 11x 1

3.2 Példák euklideszi terekre 133

amiből gyökvonás után kapjuk a 3.

||x + } ;||< ||x || + ||};||

egyenlőtlenséget, melyet háromszög-egyenlőtlenségnek nevezünk.Az euklideszi terek fogalma nyilvánvalóan a közönséges két

vagy háromdimenziós vektorterek fogalmából származik absztrak­ció utján. Ismeretes, hogy pl. háromdimenziós valós vektortérben két X és y vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és a közbezárt szög koszinuszának szorzatát értjük, azaz

(x,y) = |x |- |y |- c o s ^ .

Ha az R térben ortonormált bázisban az x és y vektorok koor­dinátái X], X2, X3 , ill. yi, V2, ^3 , akkor a két vektor skaláris szor­zata - a vektoralgebrából ismert módon - a megfelelő koordináták szorzatösszegeként képezhető, azaz

(x ,y ) = xiyi + x2y2 + x^y2, továbbá egy vektor abszolút értéke a koordináták négyzetösszegé­ből vont négyzetgyökként kiszámítható, azaz

I X I = -yj ( x , x ) = '\jx\ + X2 + X ^ .3

Az R valós vektortérben a vektorok koordinátái valós szá­mok, így az (x, y) skaláris szorzat is valós szám.

Az euklideszi terekben a II. alatti skaláris szorzat axiómái a fen­ti háromdimenziós vektortérben értelmezett skaláris szorzat tulaj­donságait a tetszőleges elemekre értelmezi és általánosítja.

3.2 Példák euklideszi terekre

1. Valós euklideszi R' tér. Jelölje R" a valós számok R halma­zának önmagával való n-szeres Descartes-szorzatát, vagyis a valós szám n-esek halmazát. Egy (x |,x 2 ,. . . ,x „ ) valós szám n-est a továbbiakban egyetlen x betíivel jelölünk:

R ” - { x x = (x^,x2,...,x „ ) , Xj e R (i = 1,2,..., n ) }.

134 ]. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Az így értelmezett szám n-eseket szokásos módon vektoroknak nevezzük és az /-edik helyen álló x,- számot az x vektor /-edik koordinátájának mondjuk.

Az alábbi egyenlőségekkel az R ” -beli

x = és y = {yi ,y2^...,yn)

vektorok összegét;x + y = {xi + yx,X2 + y2,---,Xn + J „ ),

azX vektornak a c e R valós számmal való szorzatát:

ex = (cXj, C X 2 , cx„)

és a két vektor skaláris szorzatát:n

{x, y) = {x^yi, X2y2, • • •, x , j „ ) = X ^íJ íi=\

értelmezzük.Igazolható, hogy az ilyen módon definiált összeadással, skalár-

ral való szorzással és skaláris szorzással az R ” euklideszi vektorte­ret alkot.

Megjegyezzük, hogy a 0 = (0 ,0 ,..., 0) vektor az R ” vektortérzérus-eleme.

Minthogy a lineárisan független

ej = ( l ,0, . . . , 0) ,e 2 = (0’l ’0- - - 0) - - - ^ n = ( 0,0, . . . , 1)

vektorok bázist alkotnak R “ -ben, így d im R ” = n.Az X = (x],JC2,...,x „ ) vektor skaláris szorzat által létesített

normáját az

V / = i V i = i

(*)

egyenlőséggel értelmezzük. Igazolható, hogy az ilyen módon ér­telmezett norma valóban kielégíti a norma követelményeket. A (*) formulával értelmezett normát euklideszi normának, az ezzel a

normával ellátott R ” teret n-dimenziós valós euklideszi térnek nevezzük. Az euklideszi norma a vektor hosszát is jelöli.

3.2 Példák euklideszi terekre 135

Az euklideszi térben két nem zérus vektorhoz hozzárendelhet­jük egy szög koszinuszát a

- 1< <1

egyenlőtlenségre való tekintettel, mivel létezik olyan (p szög, melyre

cos g) = —

Az R^ tér két vektora merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, azaz

(x,y) = 0 . E fogalomnak megfelelően az R ” vektorokra az

R " vektortérben azt mondjuk, hogy ortogonálisak, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz

(x, } ) = 0 .

Megjegyezzük, hogy az R'" vektortérben más módon is ér­telmezhetünk normát. Igazolható, hogy az alábbi egyenlőségekkel értelmezett normák mindegyike eleget tesz a normakövetelmé­nyeknek:

/-I

H = max(|xj|,|x2 |,...|x,J),

(P>1).X =n

I

\P

Ví=I /

^ P

Vizsgáljuk meg, hogy mit jelent egy R ” -beli vektorsorozatnak

egy R'" -beli vektorhoz való konvergenciája például az euklideszi normában.

Legyen x^^ = (x f^ \ . . . ,4 ^ ) ) (^ = 1,2,...) egy tetszőleges vek­

torsorozat R" -ben, és legyen

X = ( X i ,X 2 , . . . ,X „ )

136 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

egy tetszőleges vektor. Az x és az vektorok távolsága az euk­lideszi normával

.(k)

V/=i

amiből leolvasható, hogy x - x .(.k) 0 akkor és csak akkor, ha

minden i = \ ,2, . . . ,n mellett -> Xj midőn k + ° o .

Tehát az ez R ” vektorsorozatnak az x = (X], 2 ,..., )vektorhoz való konvergenciája az euklideszi normában ekvivalens

azzal, hogy az sorozat mindegyik koordináta sorozata kon­vergál az X vektor megfelelő koordinátájához. Ezt felhasználva

igazolható, hogy az R " tér az euklideszi normával Banach-teret alkot.

Egy R ” -beli vektorsorozat konvergenciája a fentiekben értel­mezett többi normában is ugyanazt jelenti, mint az euklideszi nor­

mában, így R ” a többi normával is Banach-tevei alkot. Igazolható, hogy a fentiekben bevezetett normák egymással ekvivalensek (sőt

az R " -ben értelmezett tetszőleges két norma egymással ekviva­lens).

2. Komplex euklideszi C" tér. Jelentse C" a komplex számok C halmazának önmagával való n-szeres Descartes-szorzatát, vagyis

={x x = (xi,x2,...,xfj), x^eC ,/= l,2 ,...,n}.

Az R'^ -hez hasonlóan értelmezhető két C ” -beli vektor összege

és egy C” -beli vektornak bármely c e C komplex számmal való

szorzata. Ezáltal C" is egy n-dimenziós vektortér lesz.Ha

x = ( x i , x2 , . . . , x„ ) , y = ( y i , y 2 , - - . , y n ) ^ ^ ' ' ’

akkor a skaláris szorzatot

3.2 Példák euklideszi terekre 137

(3)

egyenlőséggel, az x vektor normáját pedig

I---- _ ” 2= = , ZxiXi = X k / '

Vi=l KM

egyenlőséggel értelmezzük, akkor a C" szintén Banach-teret alkot.Az n-dimenziós euklideszi terekben is jól használhatók az aláb­

bi egyenlőtlenségek:

Hölder-íéle egyenlőtlenség: A Cauch-Schwarz-féle egyenlőt­lenség általánosítása. Tetszőleges

x = {xi,x2,.. . ,xn) és y^( .y[ , y2,---,yn)vektor esetén

U i yi I + U 2 3 21 +• • • + 1 ^

+. . . + \ x J i n f +. . .+ \ y J .

ahol p > 1 adott valós szám, q pedig az

i + i = i p 9

egyenlőséget kielégítő szám. Az analízisből ismert alakban:

Y.^kykk=\

X z í

\k= \ y u= ]

mely p = 2 mellett a Cauchy-Schwarz-féle egyenlőtlenségbe megy át.

Minkowski-féle egyenlőtlenség a Hölder-íélt egyenlőtlenség következménye:

U=l U-1

138 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

3. I2 -tér. Jelöljük I2 -vei azon komplex

számokból álló számsorozatok összességét, melyekre X U iP/=!

vergens, vagyis

í=i

Tekintsünk egy ilyen számsorozatot végtelen koordinátájú vek­

tornak és ugyanúgy, mint az R ” térben használjuk az

X = (Xi,X2,...,X„,...)jelölést.

Definiáljuk két vektor

X = (X],X2,...,X ,J,...) és y = (y i,y 2 ---> 'n ---)G I2

Összegét és vektor számmal való szorzatát a következő szokásos módon:

x + y = (xi + y|,X 2 + y 2 »--->- « + >'«’•••),

ex = {cxi, CX2 , . . . , cx^

Kimutatjuk, hogy I2 lineáris tér, azaz a fenti műveletekre fenn­állnak a lineáris tér axiómái (1. a 2. fejezet 2.2 pontját).

Először igazolni kell, hogy ha x és yG I2 , akkor x + y e I2 ,

azaz, hogy a Y\x]^ + y k f sor is konvergens. Ez azonban nyilván-k=\

való következménye az | a -l- p < 2(| a p + 1Z? p) egyenlőtlenségnek, mely fennáll minden a és ^ komplex szám esetén. Valóban, ha ebbe az egyenlőtlenségbe a = , b —yj értékeket helyettesítünk, akkor

amelyből\ ^ k ^ y k f - P + 1 yk P

k= i U = 1 k ^ \< .

3.2 Példák euklideszi terekre 139

A lineáris tér további axiómáinak fennállása szintén igazolható, speciálisan az I2 -tér nullaeleme a 0 = (0 ,0 ,. . . , 0 , ...) vektor. Defi­niáljuk most az

x = (jci,x2,. . . ,x „ ,. . .) és y = { y y , y 2 , . . . , y n , - - ) ^ h

vektor skaláris szorzatát a következő módon:

k= \

Először természetesen igazolni kell, hogy a fenti végtelen sor konvergens minden x és y e I2 vektor esetén. Legyenek ui. a, b tetszőleges komplex számok, akkor fennáll az

\ a h \ < { { a f ■, \bf]

egyenlőtlenség, amiből a = xj , b - yj esetén

k=\ k= \

ami azt jelenti, hogy a sor abszolút konvergens.k=\

Igazolható, hogy a skaláris szorzat axiómái teljesülnek, továbbá nyilvánvaló, hogy egy x = (jC|, X 2 , . . . , x ^ , . . . ) g I2 vektor normája:

1*1= S k /V i= l

4. L2(-<^,+°°) -tér. Az L2(-°o,-1-oo)-tér jelentse a ( - 00,-t-oo) in­tervallumon értelmezett komplex értékű folytonos függvények összességét, melyeknek abszolút értékben Ríemann szerinti im- proprius négyzetintegrálja véges, azaz amelyekre

f I f(x) fdx < +00 .

Kimutatjuk, hogy L2(-°o,+°o) lineáris tér.

140 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Legyenek f és g e , és igazoljuk, hogy

f + g e .

Bármely a és b komplex számra fennáll az

\a + b f < l [ a f + \bf^

egyenlőtlenség. Helyettesítsük a-i f -fel, b-i g -v e i, akkor

-oo í +00 -1-00\ \ f { x ) + g { x ) f d x <2 \ \ f { x ) f d x + \ \g{x)fdx < -1-00 .

Továbbá, ha / e L2(-<^,+°^), akkor tetszőleges c állandó mellett

c /e L 2 ( —CXD-|-00) _

Az előbbiek alapján már igazolható, hogy a lineáris tér összes axiómái teljesülnek. A zéruselem itt az azonosan zérus függvény.

Definiáljuk most f és, gG L2(-°o,-h°o) függvény skaláris szor­zatát a következő módon:

+00

( f , g ) = f (x) -g(x)dx . (*)

A (*) integrál létezése az

egyenlőtlenségből adódik, figyelembe véve, hogy g = g ■A fentiekből következik, hogy a definiált skaláris szorzatra tel­

jesülnek a 3.1 pontban kimondott II. alatti axiómák.A (*) skaláris szorzat által meghatározott norma:

1

Megjegyzés. Általánosan is definiálhatjuk a négyzetesen integ­rálható függvények terét. Legyen M valós számokból álló Lebes- gue-méxhQiö halmaz. Az L2(M) -mel jelölt négyzetesen integrál­ható függvények teréhez azok az f egyváltozós valós függvények

3.3 Ortonormált rendszerek 141

tartoznak, amelyekre az J /^ Lebesgue-lntegrál létezik. Ha MM

korlátos számhalmaz, és / g L2(M) , akkor az

í / ^M

Lebesgue-integráí is létezik [K93].Igazolható, hogy a függvények összegének és számmal való

szorzatának szokásos értelmezésével hj i M) lineáris tér.

Az f , g e L2(Aí) függvények skaláris szorzatát az

(/,<?)= í /g >M

egyenlőséggel értelmezzük, az /norm áján pedig az

nemnegatív számot értjük.

I l / I = , í l r\ M

3.3 Ortonormált rendszerek

Legyen V tetszőleges euklideszi tér.

1. definíció. Azt mondjuk, hogy x és y e V elemek egymásra ortgonálisak (merőlegesek), ha (x, j ) = 0 .

Az ortogonalitás jele: x±y .A 0 elem a tér minden elemére ortogonáhs. Ha x és j ortogoná­

lisak egymásra, akkor az (x, y) = 0 feltételből következik, hogy

(y,x) = (x,y) = 0.

Nyilvánvaló, hogy az ortogonalitás fogalma (1. a 3.2 pontot) a közönséges háromdimenziós valós vektortérben értelmezett merő­legesség fogalmának általánosítása.

3Ui. ha két R -beli vektor skaláris szorzata zérus, úgy ez geo­

metriailag valóban azt jelenti, hogy a két vektor egymásra ortogo­nális (merőleges). Egyéb euklideszi terekben már nem lehet két

142 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

elem ortogonalitásának szemléletes geometriai jelentést tulajdoní­tani.

Például az L2(-1,D térben az f ( x ) = x és g{x) = x függvé­nyek ortogonálisak. Ui. e két függvény skaláris szorzata:

1 1

X- X d x =’ oX dx~

-1

1

-1

= - ( l - l ) = 0 4

i f ^ g ) ^ ] f ( x ) - g i x ) d x =-1

s ennek nem lehet semmilyen szemléletes geometriai értelmet tu­lajdonítani.

2. definíció. Egy x g V elemet normált elemnek nevezünk, ha||x|| = l .

A normált elem fogalma a valós vektortérben az egységvektor fogalmának felel meg.

3. definíció. Azt mondjuk, hogy az g|, ^2, . . . , ... e V elemek ortonormált rendszert alkotnak a V euklideszi térben, ha mindegyik elem normált és bármely két különböző elem egymásra ortogonális, azaz

I ei II = 1, í = 1,2,3,... és (e,-, ej ) = 0, hs i i ^k .

3.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás

Legyenek X|,X2, . . . , x„ , . . . eV olyan elemek, melyek közül bár­mely véges sok elem lineárisan független, akkor megadható olyan e-i,€2 , ortonormált rendszer, hogy minden n = l , 2 ,3 ,...

esetén az xi ,x2 ,...,x,^ elemek egy lineáris kombinációja. A kö­vetkezőkben a Gram-Schmidt-féle, ortogonalizációs eljárás lépéseit szemléltetjük [K72].

Az €i = T - ^ jelölés bevezetésével, | é?i || = 1.•1

Legyen J 2 ~ - 2 + • A c komplex számot úgy választjuk,

hogy (V2,e]) = 0 legyen, vagyis(x2 +cei ,ei ) = 0, (X2 ,ei) + c{ei, ) = 0

3.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás 143

teljesüljön. Mivel (ei,í?i) = | |e , f =1, ezért c = - ( ^ 2 ’^l) • Ezzel a c értékkel az j 2 és ortogonálisak, azaz 32

Most legyen 62 = . Ekkor igazolni kell, hogy ^2 ^ 0 , ha32

ui. y 2 = ^ , úgy |} '2 Í| = 0 , és így 62 nem képezhető, mert ér­

telmetlen. Valóban, J 2 ^ 0 > iriert ellenkező esetben az

cy2=X2 + cei=^X2 +

egyenlőségből az következne, hogy x és ^2 lineárisan függők volnának.

Mivel 1 211 = 1 és (.y2>í'i) = 0 , ezért (62,^1) = 0 , azaz e2 ±e i , továbbá látható, hogy ^2 ’ és így 62 is az xj és X2 lineáris kom­binációja.

Legyen most = x + €262 + q e j , ahol a C2 és q komplex számokat úgy választjuk, hogy ^3X 02 és yj -Lei , azaz

(^3,^2) = 0 , (j3 ,g j) = 0legyen. A két feltétel

C2 = -(x3,í>2), q =-(x^,ei)

mellett teljesül. Az J 3 az Xy,X2 ,x^ elemek egy nem triviális lineá­ris kombinációja, így y .

Legyen , ekkor33

e^Le2, ej l e i , 1^31 = 1

és ej is xi ,x2 , xj elemek lineáris kombinációja. Ha a fenti eljárást

folytatjuk, akkor megkapjuk a kívánt e j, ^2 ’ • • •, • ortonormált rendszert.

Tétel. Ha V n-dimenziós euklideszi tér, úgy létezik V-ben orto­normált bázis, azaz «-elemü ortonormált rendszer.

144 1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Az ortonormált rendszer Xj g R ” (í - 1 , 2 , , ni) lineárisan független vektorrendszerre úgy is előállítható, hogy először az

' 1 (1) "■ '”■* yiyi

formulával meghatározzuk az ortogonális rendszert, majd a

(i = l ,2,...,m )Ji

formulával képezzük az ortonormált rendszert.

Példák1. Azej = ( 1, 0, 0, . . . , 0), 62 = ( 0, 1, 0, . . . , 0) ,. . . , e„ = ( 0, 0, 0, . . . , 0, 1)

vektorrendszer ortonormált bázist alkot az R ” n-dimenziós eukli­deszi vektortérben.

Ui. |e ;| = l (í = l,2 ,...,n ), és Ve,-ey = 0, ha

2. Az R" tér valamely ortonormált bázisában adott a

v t= [2 ,2 ,2 ,2 f és V2 = [l,0, l ,0f

vektor. Határozzuk meg a Vj, V2 vektorok által kifeszített tér orto­

normált bázisát.Feltesszük, hogy az R" tér bázisában a skaláris szorzat a kö­

vetkező: (x, y) = xiyi + X2J2 + ^33 3 + 43 4 •

A =W2 = V2 + CWi

jelölés bevezetésével és (W2,wi) = 0 feltétel mellett

(V2, Wi) + c(W i, W i) = 0 ,

melyből_ (V2^Wl) - 4

( w i ,w i ) 1 6 4 ■

1453.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás

A vt'2 vektor tehát

W 2 = [l,0 ,l,0 ]- i[2 ,2 ,2 ,2 ] = [ i , - i 1 , - 1 ] ,

Az ortogonalitás ellenőrzéséhez képezzük a két vektor skaláris szorzatát:

(w,,W2)=[2,2,2,2f[1 - i i - l ] = l_ l + i- i= o .

Mivel IW] I = VÍ6 = 4, j W2 1 = ^4--^ - 1 . így az ortonormált vektorok;

w ? = i [ 2 , 2 . 2 , 2 ] = ! i i i i ] , é s w ^ [ i - i i - i ] ,

Az ortonormált vektorok hossza:

0 0Wi — W2

Skaláris szorzatuk:

(wf,w^) = i ( 2 - | - 2 - l + 2 - i - 2 - | ) = 0 .

3. A (-;r,;7) intervallumon értelmezett

% + aj cos t + sin t + aj cos 2r + ^ sin 2t +...+ cos mi + sin mi

trigonometrikus polinomok a C(-;r,;r) függvénytér alterét képezik,ahol m < n és /i rögzített szám. Igazolható, hogy az

1 sin ? cos? sin 2t cos2i sinnt cosnt V 2/r 'sÍjÜ yíjr 'sju ^

függvényrendszer ortonormált rendszert képez a C(-;r,;z-) függ­vénytérben, ha a C{r7t,n) térben az

{x,y)= \x{t)y{t)dt~Tt

formulával skaláris szorzást definiálunk. A következő In +1 elem

1, cosí, sin/, cos 2/, sin 2/, ... cos nt, sin nt

ebben a térben ortogonális bázist alkot.

XJí.hsLin és q egész számok, akkor njcos mt cos qtdt = 0, ha m ^■n

Jsin mt sin qtdt = 0,h?nn^ q nTJsin mt cos qtdt = 0.

146 I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

-7C7t

-Kn

Az ortogonális bázist normalizálhatjuk, ha mindegyik elemét elosztjuk az elem abszolút értékével. Az elemek abszolút értékét

]\x{t)fdt

formulával számítjuk. Mivel

d t ~ l 7t, Jcos mtdt - Jsin mtdt=7T,-n -re -n

így az ortonormált bázis valóban1 sint cost s in 2 cos2? sin nt cosnt

’ 4 tc ’ 4 tü ’ 4 tí ’ 4 ^ ’ ’ 4 ^ ’ 4 ^

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer megoldása

A Gram-Schmidt-íé\t ortogonalizációs eljárás alkalmazható a gyen­gén meghatározott lineáris egyenletrendszerek megoldásához.

A valós folyamatokat közelítő lineáris egyenletrendszerek együtt­hatói általában kerekített mért értékek. A mérés pontosságától és a kerekítés mértékétől függően előfordulhat, hogy a különböző pon­tossággal mért együtthatókkal, vagy különböző jegyszámra kerekí­tett együtthatókkal az együtthatók determinánsa egyszer zérustól különböző nullához közeli, másszor akár zérussal egyenlő értéket is adhat. Ez a megoldás teljes bizonytalanságát idézi elő. Az alkalma­zás szempontjából viszont el kell dönteni, hogy melyik megoldást fogadjuk el a lényegesen különböző megoldások közül.

Az ilyen tulajdonsággal rendelkező egyenleteket ill. lineáris egyenletrendszereket, gyengén meghatározott vagy rosszul kon­dicionált egyenleteknek nevezzük [K69], [K104].

Az Ax = b n egyenletből álló n ismeretlenes lineáris egyenlet­

rendszer A e mátrixának determinánsa, ha nagyon közel esik a nullához, akkor várható, hogy az együtthatók kicsi megváltoztatá­sa is az egyenletrendszer megoldásában nagy eltérést okozhat. Az A mátrix és inverzének összehasonlítása alapján azt mondjuk, hogy az inverzmátrix stabil, ha az A elemeinek „kicsi” megváltoztatása az inverzmátrix elemeiben „kis” változást hoz létre, ellenkező eset­

ben pedig instabil. Ha az A~‘ stabil, akkor A jól kondicionált, ha

A * instabil, akkor A gyengén kondicionált.A mátrix kondicionáltságának egyetlen számmal való jellemzé­

sére Neumann vizsgálatait figyelembe véve A. M. Turing az

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer megoldása 147

N = ^ N ( A ) ( A \ M

képleteket, J. Todd pedig aa

maxmin

( 1)

(2)

képleteket javasolta, ahol

N{A) = y[sp(A^ A), M (A) = • maxj ííj

továbbá Ai~k az A mátrix sajátértékei, jUi és //„ az A^A szor­

zatmátrix legnagyobb és legkisebb sajátértéke, Sp(A^A) az A^A szorzatmátrix nyomát, főátlójában lévő elemek összegét jelenti.

A kondicionáltságot jellemző N, M, P és //értékekre fennállnak az

N < M < n^N, N < H <nN, P < H egyenlőtlenségek.

Szemléltető példaként vizsgáljuk meg a

4xj + 4,000001^2 = 0]4xj+4^2 = 1 /

148

es a (4)

I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

2jci-1,9jc2 = -15 X i-X 2 = -

kétismeretlenes egyenletrendszereket.A (3) egyenletrendszernél tegyük fel, hogy az

aj2 = 4,000001±2-10.-6

az A =

pontossággal adott. A (3) egyenletrendszer determinánsa 4-10 ,4 4,00000 r4 4

mátrix legnagyobb elméhez képest kicsi. Az egyenletrendszer meg­oldása:

=1000000, X2 = -99 9 9 9 9 .

A (3) megoldása ay2 = 4,000001 - 2 -10“ = 3,999999 együttha­

tóval:= -999 999,7500, ^2 = 1000 000,

a két gyök felcserélődött, és a 2 “ 4,000001 + 2-10 = 4,000003

együtthatóval:xj = 333333,3333, jc2 = -333333,0833 ,

a két gyök mindkét esetben ugrásszerű változást szenvedett.Az A determinánsa kicsi, A inverze:

-MO"" MO" MO^ -M O ^

Az A és A elemei között nagy a különbség, az N, M, P, H kon- dicionáltságot jellemző számok:

N = 0,8000001000-10^, M = 0,8000004000-10^,

P = 0,1600000198-10^ íf =0,6881965067-10^.

nagyok, tehát minden jellemző azt mutatja, hogy a (3) egyenlet­rendszer rosszul kondicionált.

Grafikusan szemléltetve (1. ábra): a két egyenlet által adott egye­nesek majdnem párhuzamosak, így a kb. xi - —1000 000 értéknél je-

lentkezö metszéspont az ö] 2 együttható kicsi megváltoztatásával kb.xi =1000000 értéknél, ill. xj = 333333,3333 értéknél áll elő.

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer megoldása 149

l. ábra. A (3) egyenletrendszer egyenesei

A (3) egyenletrendszer 4 4,000001 0' 4 4 1 bővített mátrixának

0“U 2. 1

Sj = [4, 4,000001,0], S2 = [4,4,1]

sorvektorait ortogonalizáljuk, akkor

[4, 4,000001, 0] és [0,5-10~^, -0 ,5 -10“ , 1]

vektorokat kapjuk. Az így előállított új egyenletrendszer:

4 4,000001 ■0,5-10“ -0 ,5 -10“^

melynek megoldása:

xi = 1000 000,125-, JC2 = -999 999,8750,

az ai2 = 3,999999 változtatással a megoldás:

= 999999,8750, ^2 = -1000 000,125 ,

az üy2 = 4,000003 változtatással a megoldás:

= 1000 000,375, JC2 = -999 999,6250.

Egészre kerekítve a megoldások egyenlők. Az ortogonalizált egyenletrendszer együtthatójának kicsi megváltoztatása tehát nem változtatja ugrásszeríien a megoldást.

Vizsgáljuk meg az előző oldali (4) egyenletrendszert.

150 /. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A (4) egyenletrendszer egyenleteihez tartozó egyenesek majd­nem fedésben vannak (2. ábra), így a metszéspont koordinátáit pon­tatlanul lehet kiolvasni, a grafikus megoldás nehézkes.

A (4 ) rendszer megoldása: Xj = 2, X2 - IO .

Az a\ 2 = - 1 ,9 4 változtatással az egyenlet megoldása:

jci = 8 ,6 6 6 6 6 6 6 7 0 , ^2 = 1 6 ,6 6 6 6 6 6 6 7 ,

vagyis ugrásszerű változást szenved. Ha a”2 - 1 ,9 - 1 5 “

1 -1 - 8

2 - 1 ,9 - 1 5

- 0 , 0 6 5 3 0 2 4 3 8 0 ,0 1 2 0 3 7 3 16_ _- 2_ _ -0 ,0 1 0 2 3 1 7 1 8 _(*)

egyenletrendszert kapjuk, melynek megoldása:= 2,000000038, X2 = 10,00000004.

A (*) egyenletrendszer egyenleteinek képe (3. ábra).

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer megoldása 151

A két egyenes metszéspontjának koordinátái, az egyenletrend­szer megoldása, a 3. ábrából megfelelő pontossággal kiolvasható.

Az öl 2 együttható 0,04-dal való megváltoztatásával kapott egyenlet:

2 -1,94 -15-0,065302438 0,012037316_ _ 2_ _-0,010231718_

melynek megoldása: = 1,953076463, %2 = 9,745439653. Egész­re kerekítve a megoldások egyenlők, nem következett ugrásszeríí változás.

Érdemes összehasonlítani a (3) és (4) egyenletrendszernek a determinánsát, kondicionáltság számait és inverzmátrixát. A (4) mátrixának determinánsa -0,1, N, M, P, H értéke:

N = 48,05000000, M = 80, P = 11,91607978, H = 96,08959306,

es mverze: 1 0 - 1 9 1 0 - 2 0

A (3) egyenletrendszerhez képest a (4) egyenletrendszernek a leg­nagyobb együtthatóhoz képest nem túl kicsi a determinánsa, a kon- dicionáltságot jellemző számok sem túl nagyok, az inverzmátrix elemei sem túl nagyok, mégis az egyenletrendszer gyengén kondicionált, érzékeny az együtthatók kis megváltoztatására is.

Az n egyenletből álló n ismeretlenes egyenletrendszer, ha gyen­gén kondicionált, a bővített mátrix sorvektorainak ortogonalizálásá- val stabilizálható.

A kondicionáltságot a páronkénti sorvektorokhoz tartozó cos aij érték kiszámításával is vizsgálhatjuk. Megvizsgáljuk pél­

dául, hogy S/, Sj sorvektorokhoz tartozó cos négyzete na-

gyobb-e 0,9-nél:

2cosSiSj

>0,9,

ha nagyobb, az azt jelenti, hogy gyengén kondicionált az egyenlet­rendszer (két ismeretlenes egyenletrendszernél közel párhuzamosak az egyenesek), ha pedig nullához közeli értékkel egyenlő, akkor közel ortogonálisak a vektorok (két ismeretlenes egyenletrendszer­

152

nél közel merőlegesek az egyenesek), jól kondicionált az egyenlet­rendszer.

A (3) egyenletrendszer egyenesei által bezárt szög koszinuszá­nak négyzete:

cos^ a = 0,9696969691 >0,9,

tehát eszerint is (3) gyengén kondicionált, a (4) egyenletrendszerre.

cos^ a = 0,9999316054 >0,9 ,

tehát a (4) egyenletrendszer is gyengén kondicionált.A (3) rendszer ortogonalizált egyenletrendszerénél;

cos^ = 0,7812498045 • 10"^^ - 0 ,

a (4) rendszer ortogonalizált egyenletrendszerénél pedig:

cos^ a = 0,3900952327 • 10"^^ - 0 ,

azaz mindkét ortogonalizált egyenletrendszer egyenesei közel me­rőlegesek.

PéldaOldjuk meg az Ax = b alakban adott

I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

■-0,499995 -1 -6 2,000f ■-12,499595’1 - 2 - 3 0 • 2 -1 2

-1 1 0 1 ■3 5-1 -1 - 5 3 _X4_ — 6

egyenletrendszert.Megoldás. Mivel det A = 0,000110 közel esik a 0-hoz, ezért

megvizsgáljuk a mátrix kondicionáltságát J. Todd képleteivel ki­számított értékek felhasználásával.

Az A mátrix sajátértékei:^ = -1,280683125, ;Í2 = 0,7807981303 ,

= -0,0001100049514, Á4 = 1,0.

Az A^A mátrix sajátértékei:

//| = -0,319344580-10“ , /I2 = 0,542856327 ,

3.5 Alterek ortogonális összege 153

//3 = 8,530837320, = 85,17670116 .

J. Toí/J-képletekkel képzett számok:

P = maxmin

= 11642,04982; H =max|//;-mm A-

= 516452,8464.

A zérushoz közeli determináns, a viszonylag nagy P és H érté­kek, valamint a bővített mátrix első és második sorvektora által be-

2zárt szög koszinuszának négyzete: cos a = 0,9206864141 > 0,9 is gyengén meghatározott egyenletrendszerre utalnak.

Az eredeti egyenletrendszer (x) valamint az 044 = 2.0 -ra kere­

kített elemű mátrixszal képzett (x) megoldásvektorok nagyon el­térnek egymástól:

X =

Az egyenletrendszer valóban gyengén meghatározott.Ha az eredeti egyenletrendszer bővített mátrixának első sorvek­

torából kiindulva ortogonalizálunk, akkor az így előállított egyen­letrendszer (x^), és 044 = 2.0 -ra kerekített elemű egyenletrendszer

megoldásvektora (x^):

“0,9999527303" ”81,01417244"1,999976367

, X =42,00708615

2,999999999 3,0000000403,999976363 44,00708629

0,9998909195' 0,9998645955"1,999945464 1,9998928092,999999997 2,9999118973,999945455 3,999848244

vagyis nincs ugrásszerű eltérés.

3.5 Alterek ortogonális összege

Legyen V tetszőleges euklideszi tér, és legyenek V' és V" ez V olyan alterek, hogy a V' altér bármely eleme ortogonális a V" altér minden elemére. Ez esetben azt mondjuk, hogy V' altér ortogo­nális a V" altérre. Jele: V'±V". Ha V'±V" , úgy e két altérnek

154

egyedül a 0 elem az egyetlen közös eleme, ha ui. x e V ' és egyúttal x e V" volna, úgy a 'I jc , azaz (x,x) = 0 volna, ami csak x = 0esetben lehetséges.

Két ortogonális altérnek képezhető a direkt összege, azaz ha V'XV"', úgy képezhető V' + V"', mely az 1.2 pont alapján szintén altere V-nek. Ez esetben a V' + V ' direkt összeget a két altér ún. ortogonális összegének nevezzük és V'+V" helyett V' ®V" alak­ban jelöljük.

Ortogonális kiegészítő altér. Legyen V tetszőleges euklideszi tér, V' Cl V tetszőleges altér l/-ben. Jelöljük -vei az összes

olyan V-beli elem halmazát, mely ortogonális V' -re. A is altere

V-nek.Ui. ha jc és y&V^, ami azt jelenti, hogy minden x g V' esetén

(x, x') = 0 és (_y, / ) = 0 , akkor

(jc + y , x ) - {x, x ) + (}', / ) = 0 és {ex, x ) = c{x, x') = 0.

így x + y is és ex is merőleges V' -re, azaz x 4- j g V[ és exeVj_,

amiből már következik, hogy altere V-nek.A V' altérre ortogonális V -beli elemek halmazát, a alteret,

a W' altér ortogonális kiegészítő alterének nevezzük.Mivel V és ortogonális kiegészítő altere, V [ , egymásra orto­

gonális alterek, ezért képezhető az Y = V' ©V'i ortogonális összeg.

Az Y = V'©V'i összeg is altere V-nek. Felmerül az a probléma,

hogy fennáll-e az V' @V[_ = V egyenlőség?

Tétel. Legyen V véges dimenziós euklideszi tér, V' d V tetsző­leges altér, legyen a V' altér ortogonális kiegészítő altere, ak­

kor y ' e v [ = v .

Bizonyítás. Legyen dimV = n, dimV' = m így m < n . Vegyünk

fel V'-ben egy epe2, . . . ,ef^e V' ortonormált bázist. A Gram- Schmidt-féle eljárás alapján ez kiegészíthető az

I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből 3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés 155

elemekkel úgy, hogy az együttes

' ^2 ’ ■ • • ’ ’ ^m+l ’ ^m+2 ’ • • • >

elemrendszer ortonormált bázis legyen V-ben. Jelöljük V[ -vei az

elemek összes lineáris kombinációinak halma­zát. A c X alteret képez, továbbá V[±V' és V - V'@V[_. Az

így nyert altér azonos az V' altér ortogonális kiegészítő

alterével. A V' és alterek dimenzióinak összege a véges di­menziós V tér dimenziójával egyenlő, azaz

dim V = dim V' + dim .

Megjegyzés. Ha V végtelen dimenziós euklideszi tér, és y ± c :V altere V-nek, a V' ortogonális kiegészítő altere, akkor előfordulhat, hogy V ' ® V ^ ^ V .

3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés

Legyen V tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér és tetszőleges ortonormált bázis a V térben, azaz

IISi I = l, (ei,60 = 0, ha í ^ k, i,k = 1,2, . . . ,n .

A 2. fejezet 2.2 pont 1. tétele alapján minden x e V elem egy­értelmű módon előállítható a következő alakban:

x = CYi+C2e2+. . . + e^e^, (**)

ahol a c j,c 2,. . . ,c „ komplex számokat az x elem koordinátáinak

neveztük az , <?2,. . . , bázisra vonatkozólag.Ebben esetben e koordinátáknak és a (**) előállításnak szemlé­

letesjelentése van. A (**) alapján

(x,ei) = c^(e^,ei) + C2{e2,ei) + ... + c^{e„,ei),

és mivel k ^ i esetén , e,-) = 0 , továbbá {e , e,-) = || ei |p = 1, ezért {x, €i) = C;. Másrészt

II ^ f = (x, x) = {x, -t- C2^2 + ... + = q(x, ey) C2Íx, 82) +

+ . . . + c„(x, = q q + C2C2 + . . . + c„c„ = | q f + |c 2 | +--- + | c „ |

azaz fennáll a következő1. tétel. Legyen ortonormált bázis az n-dimenziós

X euklideszi térben és legyenek egy jc g V elemnek e bázisra vo­natkozó koordinátái q , C2, , azazx = qei + C262 + • ■ • +

akkor

q = (x,e,), í = l , 2, . . . ,n , | = | q f + ^ 2 ^ + --- + k « P ’

vagyis az x elem és az ortonormált bázis elemeinek skaláris szorza­ta rendre előállítja az jc elem koordinátáit.

A fenti tétel geometriai jelentésének megvizsgálása érdekében

tekintsük a valós háromdimenziós vektorteret. E térben az

ei = ( 1, 0, 0), 62 = ( 0, 1, 0), 63 = ( 0, 0, 1)

vektorok, mint ismert, ortonormált bázist alkotnak. A fenti vekto­rok tekinthetők egy háromdimenziós derékszögű koordináta rend­szer tengelyei irányába mutató egységvektoroknak. Ekkor minden

X G vektor előállíthatóX = Xi6| + X262 + -X363

alakban, ahol Xi,jc2 ,X3 az x vektor végpontjának derékszögű ko­

ordinátái.

Ha az X vektornak a koordinátatengelyekkel alkotott szögeit

öfj, 0 2, 0 3 jelöli, akkor

X- = |x |-c o s^ - = lx |- |e j|-c o s« - =(x,e,), i= l ,2 ,3 ,

156 /■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

ésI i2 2 2 2I X I = Xi + X2 + ,

ami nyilván a térbeli Pitagomsz-iét&\.A (*) alatti egyenlőségek hasonló geometriai értelmet tükröznek

az R ” térben.2. tétel. Legyen q , ^2,. . . , ortonormált bázis a V n-dimen-

ziós euklideszi térben, továbbá legyenek az x és y g V elemeknek a

fenti bázisra vonatkozó koordinátái

3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés 157

ill. 3/,, y 2 , . . . , y n ,

azaz x = xiq + ^ 2^2 + ill. y = y i e i+ y2e2 +. . . + y^e^,

akkor (x,_y) = xiJi +X2J 2 + ... + x^y^ =k=l

Bizonyítás. Felhasználva a skaláris szorzat disztributív tulajdon­ságát:

(-^,y)= ^ X i e i , Y y k e k = É >/c=l y

mert (g., = 0, ha i ^ k, és (q, e -) = || e- f = 1.

Megjegyzés. Jelöljük I-vel a y és R " tér közötti azt a leképe- zést, mely V x g V elemhez hozzárendeli ezen elemnek az ei,e2, . . . ,en ortonormált bázisra vonatkozó X |,X 2 ,. . . ,X „ koordiná­táiból álló vektort, azaz, ha

X = Xjgj -I- X262 + ... -I- X,j6^

és X = (X], X2, . . . , x„) , akkor jelentse I azt a leképezést, melyre

I(x) = x .

Az I izomorf leképezés F és R ” között (1. az 1.6 pontot).Legyen y e V egy másik tetszőleges elem,

y = y\ei + J 2«2 + • ■ ■ + yn^n ■

akkor y = (} i, y 2 , --- ,y„) jelöléssel, I(y) = y .

Az x = (x],x2,. . . ,x „ ) és y = (J i, J 2’---’ J«) vektorok skaláris

szorzatát i?” -ben a következő módon értelmeztük;

Ezek után a fenti I izomorfizmus segítségével a fent bizonyított2 . tételt a következő alakban is kimondhatjuk;

3. tétel. Legyenek x és _y g V tetszőleges elemek,

I(x) = X, 1(3;) = y , akkor (x, y) = (x , y ) .

1. definíció. Legyenek V és W euklideszi terek. Azt mondjuk, hogy V izometrikus W-vel, ha V és W elemei között létesíthető olyan I izomorf leképezés, melyben a megfelelő elemek normái azonosak, azaz, ha x e V és y = I ( x ) , (nyilván y e W ) , akkor

Ik lIv H b llw(Mivel a V és W két tetszőleges euklideszi tér, azért természetesen a skaláris szorzat és az általuk definiált norma a két térben teljesen különböző lehet, így a V térbeli normát \\x\\y -vei, a W térbeli nor­

mát II y -vei jelöltük).A Vés W terek közti olyan izomorf leképezést, melyben a megfele­

lő elemek normái azonosak, izometrikus leképezésnek nevezzük.

4, tétel. Minden n-dimenziós euklideszi tér izometrikus R -nel. Bizonyítás. Legyen V n-dimenziós euklideszi tér. Jelentse I a

2. tétel utáni Megjegyzésben szereplő leképezést V és R ” között. Láttuk, hogy I izomorf leképezés. Legyen x&V tetszőleges elem, l(x) = X , akkor a 3. tétel alapján

{x, x) = (x, x ) , azaz || x |f = || x |f , amiből || -x: || = 1 x | ,

ami azt jelenti, hogy I izometrikus (távolságtartó) leképezés V és

R ” között.Megjegyzés. Mivel

g. =0-ei+0-e2 +... + 0-ei_i+l-ei +0-e,+i+... + 0-í?„ ,

ezért I(^í) = (0, 0, 0, 1, 0, 0) ,

tehát az I izometrikus leképezés a V-beli ortonormált

báziselemekhez az= ( 1, 0, 0, . . . , 0), 62 = ( 0, 1, 0, . . . , 0), ..., e^ = ( 0, 0, 0, . . . , 0 , 1)

R" -beli ortonormált báziselemeket rendeli.

]5S I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

IL RÉSZ

B E V E Z E T É S A L IN E Á R IS O P E R Á T O R O K E L M É L E T É B E

1. FEJEZET

A lineáris operátor és inverze

L1 Alapfogalmak és jelölések

A második rész témaköreinek tárgyalásához felhasználjuk az első részben összefoglalt ismeretanyagot, de az 1.6 pont fogalmainak ismétlésére - a mérnöki szemlélethez közelebb állóan ~ is sor kerül, így ez a rész önállóan is tanulmányozható.

1. definíció. Legyenek X és 7 tetszőleges halmazok. Az X hal­mazon értelmezett operátornak nevezünk egy olyan leképezést (hozzárendelést vagy utasítást), amely minden egyes x g X elem­hez az Y halmaz egy meghatározott y e Y elemét rendeli. Az ope­rátorokat a továbbiakban nyomtatott nagybetűvel - A, B, C stb. betűkkel - jelöljük. Annak kifejezésére, hogy egy A operátor az x e X elemhez az _ye 7 elemet rendeli, az y = A(x) jelölés hasz­nálatos. Az x-hez rendelt A(jr) elemet az x elem képének nevezzük. Magát a X halmazt az operátor értelmezési tartományának, a képelemek összességét pedig az operátor értékkészletének nevez- zük. Az operátor értelmezési tartományát a továbbiakban D(A) -

val, értékkészletét R(A) -val jelöljük [K84], [K66], [K64]. Tehát az értelmezés szerint

D(A) = X, R(A) c 7 .

(Vegyük észre: R(A) nem biztos, hogy 7-nal egyenlő. Csak annyit mondhatunk, hogy R(A) részhalmaza 7-nak.)

Azt mondjuk, hogy valamely A operátor a D(A) értelmezési

160 11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

tartományt kölcsönösen egyértelmű módon képezi le az R{h)

értékkészletre, ha az operátor különböző D(A) -beli elemekhez kü­

lönböző R{A) -beli elemeket rendel, azaz, ha%i^X2 , és ^2 e D (A ), akkor A(xj) A(x2) .

Ebben az esetben tetszőleges j g R{k) elemhez egy és csak egy

olyan x g D(A) elem található, amelyhez az A operátor ezen j

elemet rendeli, azaz amelyre A(x) = j .

Jelöljük A~^-gyel azt az operátort, amely minden y e R ( A )

elemhez hozzárendeli azt az x g D{A) elemet, amelyhez az A

operátor az y elemet rendelte, azaz minden y g R(A) esetén

A “ ^(j) = x, ha A(x) = y .

Tehát A“ ' olyan operátor, amely az A operátor képelemeihez

visszarendeli az eredeti elemet. Ezt az A operátort az eredeti A operátor inverz operátorának vagy röviden inverzének nevezzük. Az inverz operátor értelmezési tartománya azonos az eredeti operá­tor értékkészletével, azaz

D(A^b = R(A) ,és az inverz operátor értékkészlete azonos az eredeti operátor ér­telmezési tartományával, azaz

7Í(A"') = D(A).Vegyük észre, hogy az A operátornak csak akkor van inverze (a

definíció szerint), ha A kölcsönösen egyértelmű leképezést léte­sít D(A) és R(A) között.

1.2 Izomorf terek, izomorf leképezések

1. definíció. Legyenek X és F lineáris terek. E két teret izom orf tereknek nevezzük, ha a két tér elemei között létesíthető egy köl­csönösen egyértelmű, művelettartó leképezés, ami azt jelenti, hogy létezik olyan I leképezés - avagy más szóval operátor (1.1 pont) - , amely az X teret kölcsönösen egyértelmű módon leképezi az Y térre.

161

Az 1 tehát olyan operátor [K15], [K18], melyre

/)(!) = X, R(J) - Y és létezik,

amely művelettartó, azaz ha

Xj és X2 G X és = I(X i) , J 2 = 1(^2)

az Y tér megfelelő képelemei, akkor

I(xi-hx2) = Ji + y2 >amely minden X-beli elem számszorosát a képelem számszorosába viszi át, azaz, ha x g Z , « tetszőleges komplex szám, 3; = I(x) az X elem képe az Y térben, akkor

l (a-x) = a - y .

A fenti I leképezést (operátort) izomorf leképezésnek vagy röviden izom orfizm usnak nevezzük.

A fentiek értelmében az I operátor az X tér nullelemét (jelöljük0 j -szel) az Y tér nullelemébe (jelöljük Oy -nal) viszi át, azaz

l(0;^) = 0y .Az 1 operátor Z-beli lineárisan függő elemeket az Y térben line­

árisan függő elemekbe viszi át, azaz ha / i , / 2 , •••,/„ g X lineári­san függő elemek, és

S i = K f i ) , g 2 =Kf i )^ •••, 8 n = K f n )

a megfelelő képelemek 7-ban, akkor ezek is lineárisan függők.

Ui., ha + a 2Í 2 + ... + = O j , akkor

I(a]/, +0 2/ 2+- • -+C(nfn) = ( 181 + 0^282 +••• + 0! 8n = P x ) = > azaz

^ \8 \ + 0(282 +--- + ( n8 n .

Igazolható, hogy az is izomorf leképezés, azaz 1“ olyan operátor, amely az Y teret kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon képezi le Z-re.

Ebből következik, hogy az I operátor az X tér lineárisan független elemeit az Y tér lineárisan független elemeibe viszi át.

A fentiekből adódik a következő fontos tétel:1. tétel, Izomorf terek dimenziója megegyezik.

1.2 Izomorf terek, izomorf leképezések

162 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Speciális esetben, ha X és 7 véges dimenziós izomorf terek és az I operátor izomorf leképezést valósít meg X és 7 között, akkor I bármely X-beli bázist az Y térben is bázisba visz át.

1. megjegyzés. Legyenek az X és F izomorf terek. Ha az X tér elemeire valamilyen tételt bebizonyítunk, és a bizonyításban csak az elemek közötti művelet, elemek lineáris függősége vagy függet­lensége szerepel, akkor az izomorfizmus miatt e tétel érvényes lesz az Y térben is. Az izomorfizmus jelentősége tehát abban áll, hogy az egymással izomorf lineáris terek közül elegendő egyetlen konk­rét lineáris térrel foglalkozni, mert a térre kimondott állítások iga­zak lesznek a vele izomorf terekben is.

2. tétel. Minden n-dimenziós lineáris X tér izomorf az R” térrel. Bizonyítás. Legyen X tetszőleges n-dimenziós lineáris tér és ^2, É'n legyen egy tetszőleges bázis X-ben. Ekkor az L rész

2. fejezet 2.2 pont 1. tétele alapján minden x g X elem egyértelmű módon előállítható

X = Xiei+X2e2 +. . . + Xn6n alakban, ahol az xi , x2 , . . . ,xn komplex számokat az x elem koor­

dinátáinak nevezzük az gj, ^2,. •., bázisra vonatkozólag.Jelöljük I-vel azt az operátort, mely minden x e X elemhez

hozzárendeli ezen elem , ^2, . . . , koordinátáiból álló

X = ( x i , X 2 , . . - , x ^ ) e R ”

vektort, azazl(x) = x .

(Vegyük észre, hogy itt jc és x teljesen más természetű dolog,

X G X tetszőleges elem, míg x g R" egy vektor.)Fentiek alapján I olyan operátor, melyre

D(I) = X és R(l) c R" .

Kimutatható, hogy R(l) ez R ” .

Ui. legyen x = (x , X2, . . . , g R" tetszőleges vektor, akkor az

I(x) = x

1.2 Izom orf terek, izomorf leképezések 163

Tehát minden x g R " vektor megtalálható az I operátor értékkész­letében.

Kimutatjuk, hogy I művelettartó operátor.Legyenek x és y & X tetszőleges elemek és legyen ezen elemek

bázis előállítása

X Xié-J + X2Ő2 + ... + x, e , y = y^ei + j 2é?2 + ... + y e, ■ Legyen

X = (XI,X2 , ...,X„), y = ( y ] , y 2 , . . . , y n ) ,

akkor I(x) = x és I(_y) = y .

Mivel x + y = (xi+y^)e^+(x2 + y 2 )e2 +. . . + (x + y,^)e„ ,

ezért I(x + y) = (x, + y\ ,X2 + y 2 , . . . ,x^ + y,^)^(x-^,x2, . . . , x j +

+(}^l,};2,...,y„) = x + yTovábbá

OGc = ODc ei -h 0x 262 + . . . + ,

amiből I(a-x) = (ax^,ax2 , . . . ,ax^) = a(xi , x2 , . . . , x ^ ) ^ a - x .

Tehát I(x -H j ) = X + y és l ( a-x) = a - x ,amiből már következik, hogy I művelettartó leképezés.

Végül kimutatjuk, hogy I különböző X-beli elemekhez különbö­ző R ” -beli vektorokat rendel.

Legyenek x és y e X , melyekre x ^ y . Legyen ezen elemek báziselőállítása

X = Xj i + X2^2 + ... + x„e„ és J = yi6i + y 2^2 + • • • + yn^n ’

ekkor I(x) = (x j,x2,. . . ,x „ ) = x és l (y) = { y i , y 2 , ---,yn) = y ■

Ha x==y volna, akkor xi = y , X2 = y2 , x „ = yn volna, ami azt jelentené, hogy x = y , ami ellentmondás.

A fentebbiekből következik, hogy I izomorf leképezés X és R ”

között, így X és R” izomorf terek.

2. megjegyzés

1. A fenti I izomorfizmus függ az X-beli , ^2 ,.. . , bázistól.

164 11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2. Az I izomorfizmus inverze: ha x = (xj, X2, . . . , e R ” tetsző­leges vektor, akkor

I (x) = Xie]+X2e2+.. . + Xnen-

1.3 Lineáris operátorok

Definíció. Egy A operátort az X teret az Y térbe leképező lineá­ris operátornak nevezünk [K22], ha D(A) = X, R(A) c 7 és

1. A (xi+X 2) = A(X|) +A(jc2) minden xj és X2 & X esetén,2. A(or-x) = ör-A(x) minden x e X és tetszőleges öí komplex

szám esetén.Tehát a lineáris operátor az operátoroknak az a speciális esete,

midőn az operátor értelmezési tartománya lineáris tér, értékkészlete valamely - általában - másik lineáris térben fekszik (nincs feltéve, hogy R{A) = Y), továbbá teljesül a fenti 1. és 2. tulajdonság.

Az operátor 1. alatti tulajdonságát - tehát, hogy az operátort elemek összegére szabad tagonként képezni - úgy mondjuk, hogy az operátor additív.

Az A operátor 2. alatti tulajdonságát - azaz, hogy konstans szorzót az operátor elé ki lehet emelni - úgy mondjuk, hogy az A operátor homogén.

A továbbiakban X jelölje az X lineáris teret az Y térbe le­képező összes lineáris operátorok halmazát, így az A : X - > 7 jelentse azt, hogy A olyan lineáris operátor, melyre

D(A) = X, R(A) ez Y .

Állapodjunk meg abban, hogy lineáris operátorok esetében- hacsak félreértésre nem ad okot - az A(x) helyett Ax -et írunk, azaz a zárójelet elhagyjuk.

Nyilvánvaló, hogy egy A ; X Y lineáris operátor ún. míive- lettartó leképezés (1.2 pont) ui., ha Xi és X2 & X tetszőleges ele­

mek és Ax| = yi, Axj = J 2 ’ akkor

A (x i+x2) = yi + y 2 ’

1.3 Lineáris operátorok 165

továbbá, ha X G X tetszőleges elem,

}’ = Ax

a megfelelő képelem az Y térben, továbbá a tetszőleges komplex szám, akkor

A{a-x) = a - y .

Világos, hogy az 1.2 pontban definiált I izomorf leképezés is lineá­ris operátor.

Minden A ; X Y lineáris operátor az Z-beli nullaelemet ( Ox ) az Y-beVi nullaelembe (Oy) viszi át, ui.

A O x = A ( Ö x - O x ) = A O x - A ö x = ö y .

Hasonlóan igazolható, hogy minden A: X ~>Y operátor R (A) képtere (értékkészlete) altere az Y térnek.

Teljes indukcióval igazolható, hogy ha

A : X - ^ Y és xi ,x2 , . . . , x^e X

tetszőleges elemek, a i , a 2 , . . . ,a^ tetszőleges komplex számok, akkor

A(aixi + 0:2X2 +. . . + a^Xn) = ay ■ A x i + a 2 -Ax2 + . . .+ • Ax„, vagy röviden ;

( n \ n

A = H ^ i ^ i •v'=i y i=l

Példák1. Differenciáloperátor. Jelölje Q[a, b] az egyszeresen folyto­

nosan deriválható függvények terét, D-vel pedig azt az operátort, mely tetszőleges y{x)& Cyla, b] függvényhez hozzárendeli e függ­vény deriváltját, azaz

D_y(x) = — vagy rövidebben D_y = — .dx dx

A D operátor értelmezési tartománya:

Z)(D) = Q[a, b] és értékkészlete: i?(D) c: C[a, b]

(bizonyítható, hogy i?(D) = C[a,b] ), és nyilvánvaló, hogy D lineáris operátor.

166 11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2. Határozatlan integráloperátor. A zárt [a,b] intervallumon folytonos / függvény egyik határozatlan integrálja, - más néven primitív függvénye, - előállítható az

F(x) = l f ( t ) d ta

képlettel. (Az összes primitív függvény F(x) + C alakban állítható elő, ahol C tetszőleges állandó.)

Jelentse A azt az operátort, mely minden f e C[a,b] függvény­hez hozzárendeli a függvény fenti primitív függvényét, azaz

X

A f { x ) ^ l f ( t ) d t .a

Nyilvánvaló, hogy D(A) = C[a,^] és R(A) ez C[a,b] (sőt isme­

retes, hogy R(A) c Ci[a,b] ), és A lineáris operátor.

3. Q-operátor. A kvantummechanikában fontos szerepet játszik az az operátor, mely minden f e C[a,b] függvényhez hozzárendeli ezen függvény x-szeresét. Jelöljük ezt az operátort Q-val, azaz

Qf(x) = x - f ( x ) .

Nyilvánvaló, hogy D(Q) = C [a, b] , - ahol [a, b] lehet véges

vagy végtelen intervallum, - és R(Q) c C[a,b] , valamint Q lineáris operátor [KI 8],

1.4 Műveletek lineáris operátorokkal

Két lineáris operátor összegét, lineáris operátornak számmal való szorzatát és két lineáris operátor szorzatát olyan módon definiáljuk, hogy az eredmény operátor továbbra is lineáris operátor legyen.

Legyenek Z és F tetszőleges lineáris terek, A és B : Z 7 tet­szőleges lineáris operátorok.

Az A és B operátorokat egyenlőknek mondunk, ha A x - B x tetszőleges x e X mellett [K84].

Az A és B operátorok C = A + B összegén azt az operátort

1.4 Műveletek lineáris operátorokkal 167

értjük, amelyreCx = (A + B)x = Ax + Bx

minden x g X esetén, és C : X F lineáris operátor. Ui. legyen X = a X] + &2X2 , akkor

C(ö!jX| + CC2X2) — A(ö|X^ + 0^X2) + B(ö']X| + Ö2X2) =

= 01 Axj + 0 2 Ax2 + ö'iBxi + Ö2BX2 = ai(Axi + Bxj) + 02{P^2 + 6 x2) = = Of|Cxj + ö^Cx2-

Az A lineái'is operátor és egy a komplex szám szorzatán azt a B = « A operátort értjük, melyre

Bx = (öA)x = (xAx , és öA : X —> F is lineáris operátor.

Jelöljük 0-val azt az operátort, mely minden x g X elemhez a Oy e F elemet rendeli, azaz Ox = Oy. Ezt az O operátort nulla­operátornak vagy zérusoperátornak nevezzük. Az O: X is lineáris operátor és minden A ; Z F esetén A 4-0 = A .

Igazolható, hogy a lineáris operátorok között értelmezett fenti műveletek kielégítik a lineáris terek 1- 10. axiómáit, így az Z-et az F-ra leképező lineáris operátorok Z -> F halmaza maga is lineáris teret képez.

Definiáljuk most lineáris operátorok szorzatát.Legyen X, Y, Z három tetszőleges lineáris tér, B : Z —> F és

A : F -> Z tetszőleges lineáris operátorok.A C = AB operátor alatt azt az operátort értjük, melyre

Cx = (AB)x = A(Bx), XG Z ,

azaz, AB operátort egy x g Z elemre úgy értelmezzük, hogy elő­ször a B operátort alkalmazzuk az x g Z elemre, majd a kapott B x g F képelemre alkalmazzuk az A operátort.

Két lineáris operátor szorzata szintén lineáris operátor. Ui.C(öTjXi -í- 0 2X2) = A(B(<2iXi + 0:2X2)) = A(qBxi + Ö2BX2) =

= A (B x j ) -h 0^2A (B x 2 ) = OC-[Cx\ -h 0^2C x 2 .

Látható, hogy AB olyan lineáris operátor, melyre

D(AB) = Z és R(AB) c Z , azaz A B ; Z -> Z .

168 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Könnyen belátható, hogy h a B é s C :X - > F é s A : F —> Z , akkor

A(B + C) = AB + AC,

azaz az operátor szorzás disztributív, továbbá haC : X ~^Y , ^ \ Y k \ Z - > W ,

ahol X, Y, Z, W tetszőleges lineáris terek, akkor

(AB)-C = A -(B C ),

azaz az operátor szorzás asszociatív.Megjegyezzük még, hogy az operátorszorzás általában nem

kommutatív, tehát AB BA , sőt, haB :X , A : y - > Z ,

akkor a BA operátor nem is értelmezhető, ha az X, Y, Z különböző lineáris terek.

MegjegyzésAz operátorokra értelmezett műveletek tulajdonságainak vizsgá­

latához az algebra ismert fogalmait használjuk. Ismeretes, hogy minden halmazt, melyben egy vagy több művelet van értelmezve, algebrai struktúrának nevezünk [K72]. Könyvünk szempontjából a legfontosabb struktúrák, amelyekben értelmezett műveletek bizo­nyos axiómáknak tesznek eleget a következők; félcsoport, csoport, gyűrű és test. Új algebrai struktúrák képzésének fontos eszköze a homomorfizmus. Ha például az A és B algebrai struktúrákban a szorzás művelete értelmezve van, akkor az A-nak B-re való leképe­zését A-nak B-re való hom om orfizm usának nevezzük, ha a szor­zat képe a tényezők képeinek szorzata, azaz

{x ■ y)' - X ■ y , ahol x , y e A.

Az A-nak a B algebrai struktúrára vonatkozó olyan homomor- fizmusát, melynél különböző elemek képe különböző, izomorfiz­musnak, az A-nak önmagával való izomorfizmusát pedig auto- morfízmusnak nevezzük. Az algebra az izomorf struktúrák között nem tesz különbséget, csak olyan tulajdonságait vizsgálja, amelyek az izomorfizmussal szemben nem változnak, azaz invariánsak.

Ilyen algebrai invariáns pl. a kvadratikus formák rangja, szigna- túrája stb.

1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér 169

1. példa. Az egész számok a szorzásra nézve félcsoportot al­kotnak. Rendeljünk minden természetes számhoz -i-l -et, minden negatív egész számhoz -1 -et, a 0-hoz pedig önmagát. Ekkor eme félcsoportnak egy homomorfizmusát kapjuk a + 1 ,0 , -1 elemek­ből álló félcsoportra.

2. példa. Az egész számok additív csoportjának egy izomorfiz­musát kapjuk a páros számok csoportjára, ha minden egész szám­hoz annak kétszeresét rendeljük hozzá.

3. példa. Az egész számok additív csoportjának egy automor- fizmusát kapjuk, ha minden elemhez a negatívját rendeljük hozzá.

1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér

Tegyük fel, hogy az A: X - ^ Y lineáris operátor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D(A) = X értelmezési tartományt

az R(A) értékkészletére. Ez esetben, - amint azt az I . l pontban

láttuk - az A operátornak létezik A~^ inverze, azaz A “ olyan operátor, melyre

D (A 'b = R(A), R(A'^) = D(A)

és minden _ye R(A) esetében A~^y = jc, ha Ax = y .

1. tétel. Ha az A : Z —> 7 lineáris operátornak létezik A” in­verze, akkor az inverz operátor is lineáris.

Bizonyítás. Legyenek és 32 e D(A~^) = R(A) . Ha az

A “ Vl = x i, A~^y2=-X2

jelölést alkalmazzuk, akkor az inverz operátor definíciója alapján = Axj és V2 = Ax2 . Mivel A lineáris operátor, azért

31 + M +X2 ) ,

így A “ ’ definíciója alapján

A '( J i + ^ 2) = - ! +^2 = A~^ji +A~^y2,

amiből már következik, hogy A “ additív operátor.

170 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Hasonlóan igazolható, hogy homogén operátor.Az inverz operátor fogalma, különösen a lineáris operátorok in­

verze igen fontos szerepet tölt be a matematika különféle ágaiban fellépő (algebrai-, differenciál-, integrál-) egyenletek megoldásánál.

Legyen A : X 7 tetszőleges lineáris operátor és tekintsük az

Ax = f (*)

egyenletet, ahol f &Y adott elem, míg x az ismeretlen elem.

A (*) egyenletet elsőfajú lineáris egyenletnek nevezzük. Ha / = Oy , akkor az egyenlet homogén, ha f akkor pedig

inhomogén.

EgyXG D(A) = X

elemet az egyenlet megoldásának nevezzük, ha x kielégíti az egyenletet, azaz Ax = / .

Nyilvánvaló, hogy annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az Ax = / egyenletnek létezzék (legalább egy) megoldása, az,

hogy / G R(A) legyen, továbbá annak szükséges és elegendő felté­tele, hogy az egyenletnek egyetlen megoldása létezzék, az, hogy az

/ G R(A) feltételen kívül még A~^ is létezzen, azaz A kölcsönö­

sen egyértelmű módon képezze le D(A) -t R(A) -ra.

Ha / g R(A) és A “ létezik, akkor az Ax = / egyenlet

(egyetlen) megoldása:

x = A " V .

tehát az inverz operátor ismeretében az egyenlet megoldását meg­kapjuk, ha az inverz operátorral balról megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát.

Ha az A : Z -> y lineáris operátor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le D(A) -t R{A) -ra, akkor létezik inverze. Ennek vizsgálata általában nem könnyű, de a következő tétel egyszerű módszert ad az inverz operátor létezésének eldöntésére.

1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér 171

2. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A: X -^ Y lineáris operátornak létezzék inverze, az, hogy az

Ax = Oy

homogén egyenletnek csak az x = 0^ megoldása legyen.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy A~^ létezik és legyen xq g X az egyenlet egy tetszőleges megoldása, azaz A x q = Oy ,

akkor xq = A ^Oy = Ojs , ui. A lineáris operátor és lineáris ope­rátor nullaelemet nullaelembe visz át. így a homogén egyenletnek valóban csak a 0;^ elem az egyetlen megoldása.

Megfordítva, tegyük fel, hogy az Ax = Oy egyenletnek csak az

x = 0;j' megoldása van. Kimutatjuk, hogy A~^ létezik. Ha ui.

A * nem létezne, azaz A nem kölcsönösen egyértelmű módon képezné le D(A )-t R{A) -ra, akkor léteznének x ^ ^ x 2 , xj és X2 G Z)(A) elemek, melyre Ax = Ax2 volna. Ekkor

Axj - Ax2 = Oy , azaz A(X[ -X 2) = Oy

volna, ami azt jelentené, hogy az x = x y - X2 elem megoldása volna az Ax = Oy egyenletnek, ami ellentmondás.

Definíció. Egy A : Z —> F lineáris operátor magtere (nulltere) alatt azoknak az x g X elemeknek az összességét értjük, mely elemeket A az 7 térbeli Oy elembe viszi át. Jelöljük az A operátor

magterét A^A'^^^’ ^zaz azon x g X elemekből áll, melyekre Ax = Oy .

Nyilvánvaló, hogy 0;^ g •

3. tétel. Bármely A: X - ^ Y lineáris operátor Nj magtere al­teret alkot az X térben.

Bizonyítás. Legyenek x és X2 g ’ tehát

Ax] = Oy, Axj = Oy, akkor

A(xi + X2 ) = Axi -f- AX2 = Oy + Oy = Oy , S így Xi + X2 G .

172

Hasonlóan igazolható, hogy ha x e tetszőleges komplex

szám, akkor a x & Np .A 2. tétel a magtér figyelembevételével így is fogalmazható:4. tétel. Egy A : X F lineáris operátornak akkor és csak ak­

kor létezik inverze, ha A a csak a O j elemet tartalmazza.

Példák1. Az 1.3 pont 1. példájában szereplő D operátornak nincs in­

verze, mert a Dy(x) = 0 , azaz az y \x ) = 0 differenciálegyenletnek létezik a 0 elemtől ( vagyis az azonos zérus függvénytől) különböző megoldása, nevezetesen y{x) = c , ahol tetszőleges állandó.

2. Jelöljük C jV ^ ]-v a l azon y{x)&C^a,b\ függvények halma­

zát, amelyekre y{a) = 0 . Értelmezzük a Dy(x) = y'{x) differenci­áloperátort csak ezekre a függvényeki'e, azaz legyen

D(D) = C i ia M .

Mivel a Dy(x) = 0 , vagyis az y \x ) = 0 egyenletnek csak az

_y(x) = 0 megoldása van a cf[a,^] függvénytérben, azért a

C\[a,b\ -ben értelmezett D operátornak létezik inverze és

D“‘/( - í) = [/( ')< * ■

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

3. Tekintsük a Q f i x ) ^ x - f ( x ) operátort, értelmezve például a

D(Q) = C[0,1] függvénytérben, (azaz a [0,1] intervallumon folyto­

nos függvények halmazán). Nyilvánvaló, hogy Q’ létezik és

JCHa valamely A : X -> F lineáris operátornak létezik is inverze,

még mindig nehéz kérdés annak vizsgálata, hogy mely elemek al­kotják az A operátor értékkészletét.

A 2. példában D(D) = cf[a,ö] és így könnyen belátható, hogy

R(D) = C[a,b].

173

A 3. példában már nem látható, hogy milyen függvények alkot­

ják a Q operátor értékkészletét. Pl. a -sfx függvény nem tartozik i?(Q) -ba, de a sin x igen, mert sin x e /?(Q).

Lényegesen egyszerűbb azoknak az A lineáris operátoroknak a vizsgálata, amelyek egy adott X lineáris teret kölcsönösen egyér- telmű módon képeznek le egy másik adott F lineáris térre, azaz olyan A ; X -> F lineáris operátorokról van szó, melyekre

D{A) = Z , R{A) = Y és A~^ létezik.

Ilyen operátorok esetén az Ax = f egyenletnek minden / g F mellett létezik, éspedig egyetlen megoldása, nevezetesen

x = A " V .

Az ilyen tulajdonságú operátorokat neveztük az 1.2 pontbanizomorf leképezéseknek vagy izomorfizmusnak.

1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér

L ineáris teret önm agára leképező lineáris operátorok

2. FEJEZET

2.1 Az A -> X lineáris operátor

A lineáris operátorok egy igen fontos speciális esetét képezik azok az A lineáris operátorok, melyek egy adott X lineáris teret önmagá­ra képeznek le, azaz amelyekre

A :X •

Az ilyen lineáris operátorok halmazát az eddigieknek megfelelően X -> X alakban jelöljük [K84],

Jelöljük E-vel azt az operátort, mely minden x e X elemhez önmagát rendeli, azaz Ex = x, minden x g X esetén. Ezt az E operátort egységoperátornak nevezzük. Az E : X -> Z egység­operátor lineáris operátor, továbbá minden A : X -> X lineáris operátor esetén fennáll:

AE = EA = A .Példa1. Legyen például A olyan operátor, amely \/xg X elemhez az

X -beli Áx elemet rendeli, azazA x = A x g X ,

ahol Á rögzített szám. Az A-t hasonlósági nyújtó operátornak is nevezzük. A nyújtó operátor lineáris.

Ui. az X = Á xi + ÁqX'i elemre alkalmazva az A operátort:

A {Á \X i + ^ 2- 2) ~ ^ i ^ X ^ 4- ^ 2X2) = A i(A x i) + ’

melyből látható, hogy a linearitás feltétele teljesül.

2. Legyen ei,e2 ,...,e^ az X tér bázisa, és x egy tetszőleges elem;

X = X ei + X2 2 + ••• + +••• +

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben 175

Azt a P operátort, mely az jc elemhez

j = x ei + X262 + ••• + Xj ej G X

elemet rendeli, az e\,e2 ,...,ei. elemek által kifeszített térre vetítő (projektor) operátornak nevezzük, azaz

Vie^xi + é'2- 2 + • • • + + . . . -I- e^Xfi) = eix -I- €2X2 + . . . + cj xj^ ,

ahol k < n. Amint látható a P operátor hatása az jc elemre ekviva­lens a kifejtés utolsó n — k tagjának nullával való kicserélésével. Egyszerűen igazolható, hogy a P projektor operátor lineáris.

3. Az [a,b] intervallumon végtelen sokszor differenciálható

függvények C°°[a, b\ terében a

Dx(t) = x'(t)

differenciáloperátor lineáris operátor, a szokásos deriválási szabá­lyokkal.

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben

Legyen az X véges dimenziós tér bázisa e ,e2,...,e^ , és A a tér egy lineáris operátora, azaz A : X ^ X [K66], Alkalmazzuk a bázis elemekre az A operátort:

Aé?i = = fí] 11 + 021^2+••• + nl nA^2 = g 2 = 012 1 + 022^2 +•■• + ( 1)

= 8n = ain€i + a2n€2 + • • • +

mely tömörebben

Ae j = 8 j = Z ^ifi U = 12, . . . , n) (2)i=l

alakban írható. A (2)-vel adott gj elemek az ej,e2,...,e„ bázis

elemek képei az €2, . . . , e, bázisban.

Egy tetszőleges x e X elem az e ,^2, . . . , bázisban:

176 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

X = XyBi + X262 + ... + , ekkor

Ax = y = A(jí:]é?i + ^202 + • • • + • (3)

Felhasználva az A operátor linearitását és az (1) összefüggést;

Ax = y = x Ae + X2Ae2 + ... + x Ae, = Xigj + ^2^2 + • • • + x^gn == Xi(ai lei + Ö21 2 + • • • + + - 2(«12«l + «22^2 + • • • + ö«2 «) + • • • ++ ... + Xn(ai„ei + Ű2nÉ'2 + • • • + V n ) == (aj 1 1 + ai 2^2 + ... + ai„x„)ei + (021- 1 + ^22^2 + • • • + «2«^«)^2 + • • • + + {aj [X[ + ö, 2- 2 + • ■ • +

A (3)-mal adott elem koordinátáit -vei jelölve:

y\ - 1-1 + <312- 2 + ••• + In n yi - ' 21- 1 + ^22- 2 + • • • + < 2n n

Vn ~~ n\ \ n2 2 + • • • + nn n

amelynek mátrix alakja:

(*)

ai2 ..72 = Ü2\ Ö22 .. Ö2« ^2

Jn_ nl <«2 •• nn_

vagy rövidebb jelöléssel:y = [ö/,]x. (4)

Eredményül kaptuk tehát, hogy az ei, ^2, • • •, bázisban azxi koordinátákkal adott x elem, és az yi koordinátákkal adott y = Ax elem felhasználásával előállított (4) formula szerint az y oszlopvektor előállítható az x oszlopvektorból. Az A lineáris operá­tornak az ei,62, . . . , bázisban A = [öy] mátrix feleltethető meg.

Ezt a mátrixot az A operátor 2 , . . . , bázisbeli mátrixának

nevezzük, és A^ -vei jelöljük, ahol az alsó index a szóban forgó bázist jelöli. A mátrix első oszlopában az első bázisvektor képének koordinátái állnak, a második oszlopában a második bázisvektor képének koordinátái állnak, és így tovább.

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben 177

Legyen most A = [a^] egy tetszőleges kvadratikus mátrix,

melynek rendje a tér dimenziójával egyenlő. Az A operátort a (4) formula alapján képezzük, vagyis feltesszük, hogy A x= j , ahol az

elem koordinátái a (4) szerint számíthatók az x elem koordinátái­ból, rögzített bázis mellett. Az ilyen operátor lineáris, és minden X e X vektorhoz előállít egy y e X vektort. A (4) formula a véges dimenziós tér lineáris operátorának általános alakját adja.

A (*) egyenletrendszerből látható, hogy az 3; = Ax elem koor­dinátái az X elem koordinátáiból lineárisan előállíthatok. Azt is mondhatjuk, hogy az yi számok az Xj számoknak az A = [a^]

mátrixszal létrehozott lineáris leképezése.Az A = [ülj] mátrix a lineáris leképezés mátrixa.

Példa1. A zérus operátornak (0x=0) a bázis választásától függetlenül

a zérus mátrix felel meg, ui.

0"0

Xi

^2

csak Vűy = 0 esetén állhat fenn.

2. Az egység operátornak (Ex = x) tetszőleges bázisválasztás mellett az egység mátrix felel meg, ui.

^2 ^2

csak akkor áll fenn, ha [a,y] az n-edrendű egységmátrix.

3. Az A hasonlósági nyújtás operátorának {Ax = Áx) tetsző­leges bázisban az

178 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

mátrix felel meg, ui. a

'Á 0 .. . 0 ”O Á . . . 0

A =

0 0 .. •

ÁX\4

ÁX2= K -]

^2

ÁXn

egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a, / = . ‘J [0 j eseten

4. A P projektor operátornak a (4) formula alapján az

"Xj" " '• 2 X2

Xk k0 Xk+l

0 . Xn .

egyenlőség felel meg, mely csak akkor teljesül, ha [ö,y] olyan n-

edrendű blokkmátrix, melynek sarokmátrixa fc-adrendű egységmát­rix, a többi blokkja pedig (n - k) -adrendű zérus mátrix;

% -k )A =^{n-k) \n -k)

A projektor operátor mátrixa, az előző példáktól eltérően, függ a bázistól.

A fentieket R ” térre a következő módon is megfogalmazhatjuk: Legyen A = [an ] adott n-edrendű négyzetes mátrix. Jelöljük A-

val azt az operátort, mely bármely x e R'* vektorhoz az A • x e R ” vektort rendeli, azaz

A(x) = A -x (5)

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben 179

Az (5) egyenlőséggel definiált A operátor lineáris, ui. a mátrix- szorzás disztributivitása alapján;

A(x + y) = A-(x-t-y) = A- x + A- y = A(x) -h A(y)

és A(cx) = A • (ex) = c • Ax = c • A (x ) .Tehát az (5) egyenlőséggel definiált A operátor olyan lineáris

operátor, melyre

D(A) = R ”, i?(A) c R" , így A ; R " -> R " .

Összefoglalva: minden A mátrix az (5) egyenlőség alapján

meghatároz (generál) egy A ; R " -> R" lineáris operátort. Az (5) egyenlőség által meghatározott A operátort az A mátrix által ge­nerált operátornak nevezzük .

A következő fejezetben megmutatjuk, hogy megfordítva, min­

den A ; R " R ” lineáris operátorhoz található egy olyan A mát­

rix, hogy minden x e R'^ esetén A(x) = A • x .

Megjegyzés. Mivel az (5) egyenlőség által definiált A egy line­áris operátor, ezért a korábbi megállapodásunk alapján a zárójelet elhagyjuk.

A továbbiakban megvizsgáljuk az (5) egyenlőséggel definiált A operátor tulajdonságait.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy az R ” -> R ” leképezés­

ben, azaz R ” -t R'^ -re leképező lineáris operátorok halmazában az E egységmátrix által generált operátor veszi át az egységoperátor

szerepét. Ui. E • x = x minden x g R ” esetén.

1. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely A mátrix által generált

Ax = A • X

operátornak létezzék inverze, az, hogy det A 0 legyen.

Bizonyítás. Az 1.5 pont 2. tétele alapján A “ * akkor és csak akkor létezik, ha az Ax = A x = 0 egyenletnek csak x = 0 megol­dása van.

A lineáris egyenletrendszerek elméletéből ismeretes, hogy az

180 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

ü l i a i 2 • “o"Ű21 022 • X 2 = 0

^ n 2 • ^ n n _ 3 _ 0A -x =

vagy koordinátánként felírva, an

k=lhomogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik X ííi 0 megoldása, ha det A = 0 . így annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az egyenletrendszernek csak az x = 0 megoldása legyen, az, hogy det A 0 legyen. Ebből a tétel már következik.

2. tétel. Ha det A 0 , akkor az

A -X = a

egyenlet minden a e R " esetén egyértelműen megoldható, mégpe­dig a megoldás:

.-1x = A a.

Bizonyítás. Szorozzuk meg az A ■ x = a egyenletet A

SZi

hogy

-1 mát­

rixszal, akkor A 'Ax = A 'a . Ebből A ^A = E alapján kapjuk.

Következmény, det A 0 esetén az A mátrix által generált

Ax = A • x operátor inverze azonos az A nerált operátorral, azaz

-1 inverzmátrix által ge-

A“ ^x = A -1X .

2.3 Lineáris operátor polinomja

Legyenek A és B : X X tetszőleges operátorok. Az 1. fejezet1.4 pontjának megfelelően definiálható ezen operátorok összege, számmal való szorzata és nyilván

2.3 Lineáris operátor polinomja 181

A + B : X - ^ X és

a A : X ~^X ,továbbá jelen esetben definiálható az AB és BA szorzatoperátorok mindegyike az

(AB)x^A(Bx) ill. (BA)x = B(Ax) egyenlőségekkel.

Definiáljuk egy lineáris operátor hatványait:

a " = e , a ' = a , a ^ = a . a , . . . ,a " = a .a "-‘ = a ""‘ . a

Ezután definiálható minden A : X X lineáris operátor tet­szőleges polinomja. Legyen

/?(A) +■ A” ... -f (2| A + (3q

tetszőleges polinom, írjunk itt X helyett „formálisan” A-t, akkor

p(A) = ű^A” -i- A^ -H... -t- ú!|A -i- öqE .

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy jól definiált operátor. Ezt az operátort értjük p{A) alatt és ezen

p(A) :X - ^ X

operátort nevezzük az A operátor polinomjának.Megjegyezzük, hogy a p(Á) polinom utolsó (állandó) tagja

ÜQ =

alakban írható, ahova Á helyett A-t téve, az

üqA^ = üqEtagot kapjuk.

Igazolható, hogy ha p{A) és ^(A) az A operátor polinomjai, akkor

p(A) -q(A) = q{A)- p ( A ) .

Továbbá ha p(Á) és q(Á) tetszőleges polinom és

r(Á) = p(Á) • q(Á) , akkor r(A) = p(A) ■ q(A) .

182 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2.4 Inverz operátor

A szorzatoperátor segítségével az X-et Z-re leképező operátorok körében az inverz operátor fogalma egyszerűen jellemezhető. Le­

gyen A : X -> X olyan lineáris operátor, amelyre A~ létezik, azaz A kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D{A) = X teret az

R{A) c X értékkészletre. Ekkor az inverz operátor definíciója

alapján: minden ye. i?(A) esetén-1A y - X, \\& iKx = y .

-1E két egyenlőségből nyerjük, hogy A Ax = x , minden

x e D ( A ) - X és AA“ _y = _y minden y e R ( A ) esetén, azaz, az

A *A operátor minden x e X elemhez önmagát, míg AA operátor minden y g R(A) elemhez önmagát rendeli. így

A “ ^A = E .

Az AA“ * általában nem azonos E-vel, mert AA“ csak R(A) -

bán van értelmezve és R(A) általában nem része X-nek.Ha azonban az A: X X lineáris operátor az egész X teret az

egész X-re kölcsönösen egyértelmű módon képezi le, vagyis ha

D(A) = X, R(A) = X és A” létezik,

akkor az A operátor inverzére fennáll:

AA“ = A '^A = E .Néha szokásos a fenti egyenlőséggel definiálni az operátor inver­

zét, azonban meg kell jegyezni, hogy e definíció csak akkor alkal­mas, ha A értelmezési tartománya és értékkészlete az egész X tér.

Megjegyezzük, hogy ha az A : X X lineáris operátorhoz ta­lálható olyan B : Z -> X lineáris operátor, hogy AB = E , akkor ebből általában nem következik, hogy A-nak létezik inverze. Az

AB = E egyenlőségből csak az következik, hogy B“ létezik, ui. ha valamely x e X elemre Bj: = 0 , akkor egyrészt ABx = AO = 0 ,

-1

2.4 Inverz, operátor 183

másrészt ABx = Ex = a: , így jc = 0 , tehát a Bjc = 0 egyenletnek

csak X = 0 megoldása van, így B“ létezik.A következőkben véges dimenziós terekben értelmezett operá­

torok inverzeit vizsgáljuk. Ehhez szükségünk lesz a következő tételre, amely összefüggést ad egy A ; X -» X operátor magteré­nek (1.5 pont) és képterének dimenziója között.

1. tétel. Legyen X véges dimenziós lineáris tér. A: X X tet­szőleges lineáris operátor, akkor

dim X = dim Njs + dim R{A) .

Bizonyítás. Mivel N altere X-nek, ezért az I. rész 2.2.2 pont

tétele alapján létezi olyan X | c X altér, amelynek csak a 0 eleme

közös N -val és amelyre X = N + X j .

Kimutatjuk, hogy az A operátor X^ -et kölcsönösen egyértelmű módon leképezi R{A) -ra.

Tekintsük ugyanis az Ax = 0 egyenletet az Xj altérben. Ennek

az egyenletnek csak az x = 0 megoldása lehet X^ -ben. Ui., ha

létezne x e X], xi^^S megoldás, úgy Ax] = 0 alapján xy e N

volna, azaz X] -nek és N -nak létezne 0-tól különböző közös elemük, ami nem lehetséges.

Mivel az Ax = 0 egyenletnek csak az jc = 0 megoldása van az Xj -ben, ezért az 1.5 pont 2. tétele alapján az X^ téren értelmezett

A operátornak létezik inverze. Kimutatjuk, hogy az Xj téren ér­telmezett A operátor értékkészlete azonos az egész X-en értelmezett A operátor R{A) értékkészletével. Ehhez igazolni kell, hogy min­

den R{A) -beli elem megkapható, mint egy Xj -beli elem képe.

Legyen y g R{A) , azaz y = Pu alakú, ahol x & X . Az

X = A/^©Xi direkt összeg alapján felbontható x = xq + jcj alakban, ahol xq g N j^ , JCi g Xj , így

y = Ax = Axg + Ax = 0 + Ax = Ajcj ,

azaz >’ = A xj, ahol tehát x g Xj , amiből az állítás következik.

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Tehát az A operátor az teret kölcsönösen egyértelmű mó­

don leképezi R{K) -ra, ami azt jelenti, hogy A izomorf leképezés az

Z j és R{h) lineáris terek között. Az 1.2 pont 1. tétele alapján

dimZ] = dim7?(A), így az X = N p ^ ® X i direkt összeg figye­lembevételével

dim X = dim -i- dim X[ = dim -i- dim R( A) .

2. tétel. Ha az X véges dimenziós lineáris tér és A : X —> X tet­

szőleges lineáris operátor, úgy A"” akkor és csak akkor létezik, ha R(A) = X .

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A~ létezik, akkor N csak 0

elemből áll, így dimA^^ = 0 , de akkor az 1. tétel alapján

dim X = dim R(A) ,

és mivel X véges dimenziós, ezért ebből R(A) = X . Megfordítva, ha R(A) = X , akkor dim R(A) = dim X , így a

dim X = dim + dim R{A)

egyenlőségből dim = 0 , ami azt jelenti, hogy ^ ®

elemből áll, így A “ létezik.1. megjegyzés. Az 1. tétel és a 2.1 pont 1. tétele értelmében an­

nak szükséges és elegendő feltétele, hogy az A mátrix által generált

Ax = A • X operátor R{A) értékkészlete az egész R ” legyen, az,

hogy det A 0 legyen.2. megjegyzés. Ha X véges dimenziós lineáris tér, akkor az

AB = E egyenlőségből következik, hogy = A .

Ui. az AB = E egyenlőségből B“ létezése következik, de akkor a most bizonyított 2. tétel alapján R(B) = X , így

BB~‘ = B ” ^B = E , de akkor az AB = E egyenlőséget jobbról

B“ -gyei megszorozva:

ABB“ = EB"^ = B“^ , melyből A = B“ ^

2.4 Inverz, operátor 185

Definíció. Legyen X véges dimenziós tér, A : Z -> X tetszőle­ges operátor, akkor az = dim R(A) számot az A operátor rang­jának nevezzük.

Az A operátor rangja tehát egyelő a képterének dimenziójával.A 2. tétel a következő módon is megfogalmazható:3. tétel. Legyen X n-dimenziós lineáris tér és A : X —> X tet­

szőleges lineáris operátor, úgy A~ akkor és csak akkor létezik, ha rp^-n, vagyis ha az X képterének dimenziója megegyezik az X tér dimenziójával.

3. megjegyzés. A 2. tétel általában nem igaz, ha X végtelen dimenziós, azaz végtelen dimenziós X térben létezik olyan

A : X -> X lineáris operátor, amelyre A “ létezik, de R { A )valódi része X-nek, azaz R{A) ^ X .

Tekintsük pl. az

operátort, amelyre legyen D(A) = C[a,b]. Az adott A operátor

minden f e C [a, b] függvényhez hozzárendeli e függvény primitív

függvényét (határozatlan integrálját), nevezetesen azt a F(x) pri­mitív függvényt, amelyre F(a) = 0 .

Ismeretes az analízisből, hogy a F(x) függvény mindenütt dif­

ferenciálható és F'(x) = f { x ) , így F(x) is folytonos. Ebből követ­

kezik, hogy F G cf[a, b] . Ezek alapján

R(A) ez Ci[a,b] ez C [a, b],

így A “ létezik, éspedig A~^F(x) = F'(x) .Tehát

A: C[ a , b ] - ^ C[a,b], A~^ létezik, de R(A) ^ C[a, b] .

186 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2.5. Lineáris operátorok sajátéríékei

1. definíció. Ha van olyan Á komplex szám és x 0 elem, hogy az A lineáris operátorra az

Ax = Áxegyenlőség fennáll, akkor az jc-et az A operátor sajátelemének, a Á számot pedig az A operátor sajátértékének nevezzük. Az A operátor sajátértékeinek összességét az A spektrumának mondjuk.

Legyen az A operátor az X lineáris metrikus teret önmagára le­képező operátor, azaz A : X X . Ekkor is az A sájátértékének nevezzük a Á számot, haX-ben van olyan x ^ O elem (sajátelem), hogy

Ax = Áx.

A Á számot regulárisnak nevezzük, ha az

A ; i = A - Á E

operátornak van korlátos inverz operátora, A^^ = (A - AE) * = K , ellenkező esetben pedig a Á számot szingulárisnak nevezzük.

Ha Á reguláris, akkor az

A x - Á x = f , ill. (A - ÁE)x = f

egyenletnek van megoldása, éspedig

x = K f=A ~x'f (*)

A K operátort az A operátor rezolvensének, ill. a (*) egyenlet rezolvensének nevezzük. Az 1.5 pont 1. definíciója értelmében mondhatjuk, hogy egy Á szám akkor és csak akkor sajátértéke egy lineáris A operátornak, ha az A - Á E operátor A^a-2E magtere, nem csak a 0 elemből áll, azaz

ker(A - ÁE) ^ 0 ,

vagyis az A - Á E operátor szinguláris.Ez esetben az Aa -AE magtér elemei alkotják a sajátértékhez

tartozó összes sajátelemek halmazát.

2.5. Lineáris operátorok sajátértékei 187

Az 1.5 pont 3. tétele alapján fennáll a következő

1. tétel. Ha A az A : X —> Z operátor sajátértéke, úgy e saját­értékhez tartozó összes lehetséges sajátelemek halmaza, - azaz az A^A-AE magtér - alteret alkot Z-ben.

Ezt az A^a-1e alteret a Á sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük, és ezen altér dimenzióját a sajátérték rangjának mond­juk. Ez alapján a sajátérték rangja a sajátértékhez tartozó lineá­risan független sajátelemek maximális számát jelenti. Természe­tesen előfordulhat, hogy egy sajátérték rangja végtelen.

Egy sajátértékhez tartozó sajátaltérnek a következő fontos geo­metriai tulajdonsága van: ha jVa-/IE > akkor Ax = Áx , azaz, az A

operátor az A^a-AE altér elemeit „ /I-szorosukra nyújtja”. Nyilván­

való továbbá, hogy az operátor az A^a-AE alteret önmagára képezi le.

2. definíció. Egy X' c: X alteret az A: X X lineáris operá­torra nézve invariáns altérnek nevezünk, ha minden x e X' ese­tén Axe X ' , vagyis az A operátor az X' alteret önmagára képezi le.

Ez esetben ha az A operátort csak az X' térben tekintjük, úgy nyilván A: X' X ' .

A fentiek alapján egy sajátértékhez tartozó sajátaltér invari­áns altér. A sajátértékekhez tartozó invariáns alterek:

^A -A ,E =ker(A -Á i,E f

ahol a Áj sajátérték multiplicitása a minimálpolinomban . A tj érték a /l sajátérték rangja.

Ha A az A operátor sajátértéke, akkor - mint láttuk - az A -A E operátornak nincs inverze, így A minden sajátértéke A spektrumába tartozik.

Különösen fontos azoknak az operátoroknak a vizsgálata, ame­lyeknek spektruma csak sajátértékekből áll. A továbbiakban meg­mutatjuk, hogy véges dimenziós térben minden lineáris operátor spektruma ilyen. Végtelen dimenziós térben azonban előfordul, hogy az operátor spektrumában sajátértékeken kívül egyéb pontok is vannak, sőt léteznek olyan lineáris operátorok is, amelyeknek egyetlen sajátértékük sincs.

188 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

PéldaTekintsük a Ci[a,b] térben értelmezett, Dy = / ( x ) operátort

(l. az 1.5 pont 2. példáját). A Y)y = Xy azaz y \x ) = ^y{x) egyen­

letnek egyedül az azonosan zérus megoldása van a c f [a,Z?] függ­

vény osztályban. Ui. az y'(x) = Xy{x) differenciálegyenlet általá­nos megoldása mint ismeretes

jCx) = ce^ ,

ahol c tetszőleges állandó, de mivel a megoldást a Ci[a,b] osztály­ban kell keresni, ezért y{x) -re teljesülni kell az

y{d) = ce^ = 0feltételnek, ami csak c = 0 esetén állhat fenn. így a Dy = Áy egyenletnek bármely Á esetén csak az y = 0 (azonosan zérus

függvény) megoldása van, tehát a Ci[a,b] függvényosztályban értelmezett D operátornak egyetlen sajátértéke sincs.

Teljes indukcióval igazolható a következő2. tétel. Lineáris operátor páronként különböző sajátértékeihez

tartozó sajátelemek lineárisan függetlenek.

Bizonyítás. Legyenek /I2, a z A ; X - > X lineáris

operátor páronként különböző sajátértékei, e sajátér­tékekhez tartozó 0-tól különböző sajátelemek, azaz

Asi = ÁiSi, i = 1,2, Ál ^ i ^ k .

m = 1 esetén a tétel nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a tétel érvényes m - 1 számú sajátérték esetén és igazoljuk, hogy fennáll a tétel m számú sajátérték esetén is.

Igazolni kell, hogy a

CiS^+C2S2+--- + CmSm=^

egyenlőség csak q = C2 = ... = = 0 esetén állhat fenn. Alkal­mazzuk ui. a fenti egyenlőségre az A operátort, akkor

C\ÁiSi + C2Á2S2 +••• + = 0 .

2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei 189

Vonjuk ki ezen utóbbi egyenlőségből az első egyenlőség A| - szeresét:

2 (h. + ® •

Mivel S2 .s'2 , ---,s„ az a operátornak a Á2 ,Á^,...,Á„^ m -1 számú páronként különböző sajátértékeihez tartozó sajátelemei, azért az indukciós feltevés alapján ezek lineárisan függetlenek, így az utóbbi egyenlőségből következik, hogy C2 = C3 = ... = = 0 ,

amit a + ^ 2*2 + ... + c,„5„j = 0 egyenlőségbe beírva, = 0 , amiből q = 0 .

2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei

Legyen A = tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix, és le­gyen A az A mátrix által generált operátor, azaz Ax = A • x . Amint azt a 2.5 pontban definiáltuk, ezen A operátor sajátértékének olyan Á számot neveztünk, amely mellett az Ax = Áx egyenletnek léte­zik X 5 0 megoldása. Ugyanott láttunk példát olyan operátorra, melynek egyetlen sajátértéke sincs.

Az Ax = Áx egyenlet

A • X = Ax, vagy (A - ÁE)x = 0 (2)

alakban írható, ami x-re nézve egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer.

1. definíció. Azt a Á komplex számot, amely mellett a (2) egyenletnek létezik x ^ 0 megoldása, az A mátrix sajátértékének nevezzük, míg magát az x 0 megoldást a Á sajátértékhez tartozó sajátvektornak hívjuk.

Az A mátrix sajátértékei azonosak az A mátrix által generált fenti A operátor sajátértékeivel. A (2) egyenletrendszer részletesen kiírva;

(A -A E )x =

ű ll - / I ai2 . . . “0'^21 ^ 2 2 ~ ^ ■■■ ^2n ^2 = 0

üni üj^2 • • • ^nn ~ _0_

190 11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Jelölés; D{X) = det(A - M ) =

- X

Ezt a D{Á) n-ed fokú polinomot az A mátrixhoz tartozó ka­rakterisztikus polinomnak nevezzük.

Mivel(A - AE)x = 0

homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van X 0 megoldása, ha ezen egyenletrendszer determinánsa zérus, ezért fennáll a következő

Tétel. Valamely X komplex szám akkor és csak akkor sajátér­téke az A mátrixnak, ha X gyöke a D{X) = 0 n-ed fokú algebrai egyenletnek.

A D{X) = 0 egyenletet az A mátrixhoz tartozó karakteriszti­kus egyenletnek nevezzük.

Jelölje a D{X) = 0 n-ed fokú egyenlet összes különböző gyöke­it Xi,X2 , . . . ,X^.. Mint ismeretes, egy n-ed fokú algebrai egyenlet­nek legfeljebb n különböző gyöke lehet, így s < n . Jelölje a gyö­kök multiplicitását m^,ni2, , akkor a D(X) polinom - mint ismeretes - előállítható a következő, ún. gyöktényezős alakban:

D(X) = (Xi - • (X2 - • ... • ( 1 , - x y ^ ^ - ,

ahol nyilván m i + m 2 + + = n .A fentiek szerint a Xi, X2, X ^ számok adják az A mátrix ösz-

szes sajátértékeit, tehát minden i = 1, 2 , . . . , s esetén az

(A -A E )x = 0

egyenletnek létezik x 0 megoldása.Jelölje Si a Xi sajátértékhez tartozó sajátalteret, azaz a Xi sa­

játértékhez tartozó sajátvektorok összességét. Láttuk, hogy Si alte­

re az C” térnek, ( azonos az A - AjE mátrix által generált ope-

2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei 191

rátör magterével) és az r,- = dim Si szám a A,- sajátérték rangja és a

Xi - mint a D(X) = 0 egyenlet gyökének - multiplicitása között az

r i<mi , i = \ , 2 , . . . , segyenlőtlenség áll fenn.

A 2.5 pont 2. tétele következménye alapján az 81, 82 , alterek lineárisan függetlenek így az 81® 8 2 ® . . . ® 8 = 8 direkt

összeg képezhető. Nyilván 8 cz(f lineáris altér. (1. az 1.2 pontot).

Különösen fontos az az eset, midőn 8 = C' . Ez nyilván akkor következik be, amikor = m,-, i = l , 2, . . . , s .

L ineáris operátorok véges d im enziós euklideszi terekben

3. FEJEZET

3.1 Bevezetés

Ebben a 3. fejezetben, ha mást nem mondunk, X tetszőleges n-di- menziós euklideszi teret, ei ,e2 ,---,e^ pedig egy tetszőleges orto- normált bázist jelent X-ben, tehát

= Uk = \ , 2 , . . . , n .

Foglalkozni fogunk ezen X teret önmagára leképező lineáris operátorokkal és ezek tulajdonságaival [K84],

Ismeretes, hogy minden x & X elem egyértelmű módon előál­lítható

X = X\e\ + ^2^2 + ... +

alakban, ahol az számokat az x elem koordinátáinak

neveztük az , ^2, . . . , bázisra vonatkozólag, továbbá

Xi - (x,ei), í = 1 , 2 , n

(1. az I. rész 3. fejezet 3.6 pont 1. tételét).Jelentse I azt a leképezést, mely minden x e X elemhez hozzá­

rendeli ezen elem fenti Xi,X2 , . . . ,x^ koordinátáiból álló x oszlop­

vektort, azaz

I ( x ) = X, ahol X =

A II. rész 1.2 pontjában láttuk, hogy I izomorf és izometrikus leké­

pezés X és R" között.E fejezet folyamán nyert eredmények egy része átvihető tetsző­

leges véges dimenziós lineáris terekre és ilyen terekben értelmezett

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok 193

lineáris operátorokra is, azonban sok esetben lényegesen kihasznál­juk az X tér euklideszi voltát, nevezetesen azt, hogy a térben van skaláris szorzat és ennek alapján a térben létezik ortonormált bázis.

Az alább bizonyított tételek nagy része átvihető tetszőleges euklideszi terekben vagy Hilbert-tevekbm értelmezett lineáris ope­rátorokra is. Ez főleg azokra a tételekre vonatkozik, melyek bizo­nyításánál nem használtuk ki, hogy a tér véges dimenziós, vagy nem használtuk ki a tér teljességének fogalmát.

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok

1, definíció. Az X n-dimenziós euklideszi térben értelmezett funk­cionálnak nevezünk minden olyan operátort, mely X-et a komplex számsíkra képezi le. Funkcionálok jelölésére dőlt nagy betűt (F, K, stb.) használunk. így egy F funkcionál minden x e X elemhez egy F(x) komplex (vagy valós) számot rendel.

A lineáris operátoroknak megfelelően beszélhetünk lineáris funkcionálokról is.

Lineáris funkcionálnak olyan F(x) funkcionált nevezünk, melyre

1. F(x + y) = F(x) + F{y), minden xés yG X esetén,

2. F(cx) = c • F(x) , minden c komplex szám és x e X esetén.

A lineáris operátorokkal ellentétben a lineáris funkcionáloknál az F és az X elem közötti zárójelet megtartjuk.

Példa

Legyenek q , c 2,. . . ,c „ adott komplex számok és legyen egy

tetszőleges x e X elemnek az e^,e2,. . . ,e „ ortonormált bázis segítségével való előállítása

X = X i e ^ + X 2 ^ 2 + • • • + •

LegyenF(x) = qxi -f-C2X 2 + ... + .

Nyilván, minden x e X esetén F(x) egy komplex szám és könnyű belátni, hogy F(x) lineáris funkcionál az X térben.

194 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Ha bevezetjük aze = Ciei+C2e2+... + c„e„

jelölést (a felső vonal komplex konjugált képzést jelent), akkor

(^, e) = JCjCi + X2C2 + ... + ,

így F{x) a következő alakba írható:

F{ x) ^{ x , e ) ,

amiből már leolvasható, hogy F{x) lineáris funkcionál.Kimutatjuk, hogy az Z-ben értelmezett minden lineáris funkcio­

nál előállítható a fenti alakban, azaz fennáll a következő1. tétel. Legyen F{x) tetszőleges lineáris funkcionál az X n-

dimenziós euklideszi térben, akkor létezik, éspedig egyetlen olyan e e X , hogy minden x e X esetén

F{x) = ( x , e ) .

Bizonyítás. Legyen egy tetszőleges x€: X elem báziselőállítása

.r = + X2€2 + ... + ,

akkor felhasználva, hogy F lineáris funkcionál:

x = xiF{ei) + X2F{e2) + ... + x^F{en).

Cl = F(ei) (/ = 1 ,2 ,..., n) jelölés bevezetésével F(ei) = c,-, így

X = Xjq + X2C2 + ... + XfiCfj.

Legyen e = €^6^+ 2^2 + ... + , akkor e e X és nyilván

F(x) = (x,e).

Kimutatjuk, hogy a fenti e elem egyetlen. Ui. tegyük fel, hogy van két e' és e' G X , melyre

F(x) = (x,e') és F(x) = (x,e")

minden x e X esetén, ekkor (x, e) = (jc,e" ) , azaz (x ,é - e") - 0 ,

melyből e' - e"lX következne, ami csak e '-e" = 0 esetén lehet­séges, tehát

/ /f e = e ,

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok 195

MegjegyzésA fenti tétel lényege az, hogy minden - az X térben értelmezett

- lineáris funkcionál megadható mint az X elemeinek egy rögzített elemmel való skaláris szorzata.

2. definíció. Az X térben értelmezett F ( x ) funkcionált kvázi- lineáris funkcionálnak nevezzük, ha

1. F ( x + y) = F{ x ) + F ( y ) , x és y e X ,

2. F(cx) = cF(x), x e X, c komplex szám.

3. definíció. Az X térben értelmezett „kétváltozós” K ( x , y )

funkcionált (itt x és y e X ) kvadratikus funkcionálnak nevez­zük, ha

1. minden rögzített y e X esetén K ( x , y) mint az x e X elem függvénye lineáris funkcionál,

2. minden rögzített x e X esetén K ( x , y ) mint az y e X elem függvénye kvázilineáris funkcionál.

Ha X],X2 , y \ , y 2 e X tetszőleges elemek, a ^ , a 2 , by, 02 tetsző­leges komplex számok, akkor

K (ű i^ i +Ü2X2, b iy i +Z?2^2) = a ib iK (x i , > J 2 ) +

+ a2p^K{x2, y i) + a2p2K{x2, ^2) •

PéldaLegyen A ' . X - ^ X tetszőleges lineáris operátor. Tetszőleges

jt és y e X esetén legyen

K ( x , y ) = ( A x , y ) .

Könnyű belátni, hogy K ( x , y ) kvadratikus funkcionál az X térben.

Nevezzük a fenti K { x , y ) kvadratikus funkcionált az A operá­tor által generált kvadratikus funkcionálnak.

Megfordítva, megmutatjuk, hogy minden, - az Z térben értel­mezett - kvadratikus funkcionál előállítható ilyen alakban, azaz fennáll a következő

196 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2, tétel. Legyen K (x, _y) tetszőleges kvadratikus funkcionál az X térben, akkor található, éspedig egyetlen olyan A: X X lineáris

operátor, hogy minden x és y & X esetén

K( x , y ) ^ ( Ax , y ) .

Bizonyítás. Legyen x e X tetszőleges, de egyelőre rögzített elem és legyen y e X változó elem. Az

F(y) = K(x, y)

értelmezésből látható, hogy F{y) lineáris funkcionál az X térben, így az 1. tétel alapján létezik, éspedig egyetlen e e X elem, melyre

F(_y) = (v,é’) , minden y e X esetén.

Minthogy F{y) funkcionál, így maga az e elem is függ az x elem

választásától, így célszerű e = e jelölést alkalmazni, tehát

F(y) = ( y , e , ) , y G X .

Jelöljük A-val azt az operátort, mely minden x e X elemhez a fenti egyenlőség által meghatározott e^e X elemet rendeli, azaz

Ax = e^.

Igazolható, hogy A : X —> X lineáris operátor, és a fenti egyen­lőség F{ y ) - { y , e ^ ) = (y, Ax) alakba írható, vagy figyelembe véve F{y) definícióját:

K{x,y) = {y, A x), amiből

K { x , y ) = { y , A x ) = { A x , y ) .

Kimutatjuk, hogy a fenti A operátor egyetlen. Ui. ha a fenti A operátoron kívül létezne egy B : Z —> Z operátor is, melyre

K{x,y) = {Bx,y)

volna minden x é ^ y e X esetén, akkor (Ax, y) = (Bx, j ) , azaz

(A x-B j,_y) = 0 minden x é s y e X esetén, ami azt jelenti, hogy minden xg X esetén A x - B xlX , azaz Ax:- Bx = 0 , vagyis Ax = B x , amiből már következik, hogy A = B .

3.3 Adjungált operátor 197

3.3 Adjungált operátor

1. tétel. Legyen A :X X tetszőleges lineáris operátor, akkor létezik, éspedig egyetlen olyan A * : X —> X lineáris operátor, hogy minden x és y g X esetén

(Ax, y) = (x,A *}^).

Bizonyítás. Jelöljük K(x, y) = ( x , Ay ) , ahol x é s y e X tetsző­

leges elemek. A K{x,y) az x változóban lineáris, az változóban

kvázilineáris funkcionál, így K(x, y) kvadratikus funkcionál. Ek­kor az 3.2 pont 2. tétele alapján létezik, éspedig egyetlen lineáris operátor - jelöljük ezt A*-gal melyre

K(x,y) = (A*x, y) minden x , y e X esetén.

A K (x, y) definíciója alapján (x. A j) = (A *x , y ) , vagy

(Ay,x) = ( y , A*x) minden x , y e X esetén, ill. az x és j változó­kat felcserélve

(Ax, _y) = (x, A * y) minden xés y e X esetén.

1. definíció. Az 1. tételben szereplő A* operátort az A operátor adjungált operátorának nevezzük.

Az adjungált operátor fogalma alapvető szerepet játszik a lineá­ris operátorok elméletében. Különösen fontos azoknak az operáto­roknak a vizsgálata, amelyeknek adjungáltja azonos az eredeti operátorral.

2. definíció. Az A : X -> X lineáris operátort önadjungált operátornak nevezzük, ha az operátor megegyezik az adjungált- jával, azaz ha

A = A * .

Ha A önadj ungált operátor, akkor minden xés y g X esetén

(Ax, j ) = (x,A}>).

Az önadj ungált operátort más szóval szokás hermitikus vagy szimmetrikus operátornak is nevezni.

m II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

2. tétel. Legyenek A és B : X —> X lineáris operátorok, akkor

a) (A + B)* = A * + B * ,

b) (cA)* = c • A * (c komplex szám ),

c) (AB)* = B * A * ,

d) (A*)* = A ,

e) Ha A “ létezik, akkor (A*)"" is létezik és

(A * r^ = (A “ ^)*.

Bizonyítás. Az a), b), c), d) egyenlőségek igazolása lényegében azonos módon történik, így elegendő az egyiket, például az a) egyenlőséget igazolni.

a) Minthogy egyrészt ((A + B)x, j ) ) = (x,(A + B) * _y), másrészt

((A + B)x, y) = (Ajc + Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) == (x,A * y) + (j:, B * j ) = (x, a * _y + B * y) = (x, (A * +B*)y)

azaz((A + B)x, y) = (x, (A * +B *)y),

amit a fenti egyenlőséggel egybevetve, kapjuk, hogy

(A + B)* = A * + B * .

e) igazolása. Mivel X véges dimenziós tér, ezért, ha A~^ léte­zik, úgy a 2.4 pont 2. tétele alapján R(A) = X , így a 2.4 pontban mondottak alapján

amibőlAA~^ =A~^A = E ,

(AA“ ^)* = (A~’A )* = E * .

Mivel (Ejc, y) = (x ,E y), ezért E* = E , így a fenti egyenlőségből ac) alatti egyenlőség figyelembevételével;

(A ~ ’ )*-A* = A * -(A “ ^)* = E ,

amiből a 2.4 pont alapján már következik, hogy (A*) létezik és

(A *r^ = (A “ ^)*.

J.4 Unitér operátorok 199

Végül kimutatunk egy érdekes összefüggést egy tetszőleges lineáris operátor értékkészlete és az adjungált operátor magtere között.

3. tétel. Legyen A: X ^ X tetszőleges operátor, akkor az R(A) értékkészlet-altér ortogonális kiegészítő altere azonos az A*

operátor magterével, azaz

R(A) ®Np^* = X .

Bizonyítás. Először kimutatjuk, hogy R(A)lNj^-^:.

Legyenek ui. y g R(A) és z e Np,* tetszőleges elemek, akkor egyrészt létezik olyan x e X elem, hogy y = Ajc, másrészt

A * z = 0 , így (y, z) = {Ax, z) = (x, A * z) = (x,0) = 0 , azaz yLz ,

tehát valóban R{A)l.Np^*.Jelöljük az R{A) altér ortogonális kiegészítő alterét (i?(A))j_ -

val, akkor a fentiek alapján c (i?(A))j_.

Kimutatjuk, hogy (i?(A))j_ c .

Legyen ui. z e (i?(A))j_ tetszőleges elem, akkor z ± R{A) , azaz (Ax,z) = 0 minden x e X esetén, de akkor 0 = (Ax,z) = (x ,A *z)

minden x e X esetén, ami azt jelenti, hogy A^ z-LX , ami csak

úgy lehet, ha A * z = 0 , azaz z e N .

A fentiekből már következik, hogy (i?(A))j_ = .

3.4 Unitér operátorok

1. definíció. Egy U : X —> Z lineáris operátort izometrikus ope­rátornak nevezünk, ha minden x e X esetén

l|u ll = lkll.azaz, ha az U operátor nem változtatja meg az elemek normáit. Az izometrikus operátornak létezik inverze és az inverz operátor is izometrikus.

Valóban, ha U izometrikus operátor és xq egy tetszőleges meg­

200 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

oldása az Ux = 0 egyenletnek, azaz Uxq = 0 , akkor

ll-«bll = l|UAo||=||Ol = 0 ,így x o = 0 .Tehát az Ux = 0 egyenletnek csak az x = 0 megoldása van, így az

1.5 pont 2. tétele alapján létezik és igazolható, hogy U is izometrikus operátor.

Fentiek alapján egy izometrikus operátor izomorf és izomet­rikus leképzése Z-nek önmagára.

2, definíció. Egy U : Z X lineáris operátort unitér operá­

tornak nevezünk, ha létezik és = U * , azaz, ha

UU* = U * U = E .

1. tétel. Ha U : X X unitér operátor, akkor minden x ésyG X esetén

(U.í:, U_y) = (x, j ) és ||Ux|| = | |x | | .

Bizonyítás.(Ux, U j) = (x, U * Uy) = (x, Ey) = (x, y ) ,

azaz (Ux, Uy) = (x, y ) , amiből x = y esetén (Ux, Ux) = (x, x ) ,

vagyis I Ux |p = | x |p , és ebből || Ux | = | .x | | .

Következmény. Unitér operátor egyúttal izometrikus operátor is.A fenti tétel szerint egy unitér operátor nem változtatja meg elemek skaláris szorzatát és az elemek normáit.

2. tétel. Legyen U ; X X tetszőleges izometrikus operátor, akkor U egyúttal unitér operátor is.

Bizonyítás. Egyszerű számolással igazolható, hogy bármely két X és _y G X esetén fennáll a következő azonosság:

( x , y ) = ^ ^ { \ x + y f - \ \ x - y f + i\\x + i y f - i \ \ x - i y f

Ha U izometrikus operátor, akkor a fenti azonosság alapján:

(Ux,U>.)=i '“ II Ux-U y I +í||Ux+íU_y I - í | U x -iU j I j =

3.4. Unitér operátorok 201

= T t U(^ + y) IP - 1 U(x - j.) ip + i II U(x + iy) Ip - i II U(x - iy) f ) =

■ i y f - i \ \ x - i y f j = ( x , y ) ,

azaz minden x és j g X esetén fennáll az

(U x,U j) = (x,};)

azonosság, amit (x, U * U_y) = (x, y) alakban is írhatunk, amiből következik, hogy U * U = E , amiből már következik, hogy

U* = U ^*, azaz U unitér operátor.Megjegyzés. A fenti tétel bizonyításában lényegesen kihasz­

náltuk azt a tényt, hogy X véges dimenziós. Ui. az U * U = E egyenlőségből csak véges dimenziós X tér esetén következik, hogy

u -^ = U* .

Az 1. és 2. tételeket összevetve, adódik a következő

3. tétel. Egy U : X X lineáris operátor akkor és csak akkor unitér, ha U izometrikus, azaz az unitér és izometrikus operátor fogalma azonos.

A következő tétel az unitér operátorok egy igen fontos jellemző tulajdonságát mondja ki:

4. tétel. Ha U : X —> X unitér operátor, akkor U minden X-beli ortonormált bázist ugyancsak ortonormált bázisba visz át, azaz ha ej, é"2,. . . , ortonormált bázis X-ben, és

e { ^Ve „e 2^\ ] e 2 , . . . , e ' , =^Ue ^,

akkor e{, e'2 , ..., e' is ortonormált bázist alkot X-ben. Megfordítva,

ha U : X X olyan lineáris operátor, mely valamely ey,e2 , . . . ,e^ ortonormált bázist ugyancsak ortonormált bázisba visz át, akkor U unitér operátor.

Bizonyítás. Legyen először U unitér operátor, akkor az 1. tétel alapján

( e l 4 ) = (Uí?,,Ue^) = (e ,é? ) = őik ,

amiből már következik, hogy e[, e'2 , .. ■, ortonormált bázis X-ben.

202 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Megfordítva, legyen most U : X ^ X olyan lineáris operátor, amely egy 61, 62, . . . , ortonormált bázist átvisz / i , / 2, • • • > /« ugyancsak ortonormált bázisba, azaz

/ l= U e i , / 2 = U e 2 —

Kimutatjuk, hogy U unitér operátor.Legyen x g X tetszőleges elem és legyen ezen elemnek az

, 02,. . . , ortonormált bázis segítségével való előállítása

X — C | ő j + C'262 + . . . + ,

akkor az I. rész 3.6 pont 1. tétele alapján

i=lMásrészt,

Ux = qU ei + C2Ue2 + ... + = q / i + C2/2 + • • • + ,

amiből ismét az I. rész 3.6 pont 1. tétele alapján

l |u x f = i | c , . p ,/=!

így II Vx Ip = II A' Ip , vagyis | U;c || = | - | | , ami azt jelenti, hogy U izo- metrikus operátor, de akkor a 2. tétel alapján U unitér is.

5. tétel. Unitér operátor minden sajátértéke egységnyi abszolút értékű, azaz minden sajátérték a komplex sík egységkörének kerü­letén fekszik.

Bizonyítás. Legyen U : X -> X tetszőleges unitér operátor és legyen A az U operátor egy sajátértéke, legyen továbbá xq a /I sajátértékhez tartozó tetszőleges, de 0-tól különböző sajátelem, azaz

Ua'o = Á - Xq ,

akkor felhasználva, hogy U egyúttal izometrikus operátor is, kap­

juk, hogy I I I = jiQ ’ másrészt

Uxo|| = |l|-||xo||,így |A|||xo|| = Xo

és mivel Xq 0 , ezért ebből már következik, hogy |A | = 1.

3.4. Unitér operátorok 203

A fenti bizonyított tételek alapján a valós vagy vektor­térben értelmezett unitér operátoroknak egyszerű és szemléletes geometriai jelentés tulajdonítható.

Például az R vektortérben egy x vektor normája azonos a

vektor abszolút értékével. Ha U ; R^ —> R^ tetszőleges unitér ope­rátor, akkor az ||Ux|| = ||x|| egyenlőség azt jelenti, hogy U nem

változtatja meg a vektorok hosszait, másrészt (Ux, Uy) = (x,y) is fennáll, ami

||Ux||-|| Uy ||-co s^ = ||x||-||y ||-cosí/^

alakba írható, ahol ^ jelenti az Ux és Uy képvektorok által alko­tott 0° és 180° közé eső szöget, míg y/ jelenti az x és y vektorok által bezárt 0° és 180° közé eső szöget.

Mivel||Ux|| = ||x|| és | |U y | |- | |y | | ,

ezért a fenti egyenlőséget egyszerűsítve, cos g) = cosi / / , amiből következik, hogy ^ ^ . Ez azt jelenti, hogy az Ux és Uy kép­vektorok által alkotott szög azonos az x és y vektorok által alkotott szöggel, tehát az unitér operátor ún. szögtartó operátor.

Tehát egy U : R -> R unitér operátor olyan leképezés, amely változatlanul hagyja a vektorok hosszát és bármely két vektor által bezárt szöget.

így például unitér operátor az R^ tér vektorainak egy adott szöggel való elforgatása valamely, az origón átmenő adott egyenes körül, vagy a tér vektorainak egy - az origón átmenő egyenesre vagy síkra való - tükrözése.

Megjegyzés. Ha X valós n-dimenziós euklideszi tér, (ekkor természetesen bármely két elem skaláris szorzata is valós), akkor

U :X

unitér operátort szokás ortogonális operátornak vagy ortogonális transzformációnak is nevezni.

204 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

3.5 Önadj ungált operátorok

E pontban az önadj ungált operátorok tulajdonságait fogjuk meg­vizsgálni. A 3.3 pontban, egy A : X X lineáris operátort önad- jungált operátornak neveztünk, ha A* = A , azaz minden x és y & X esetén fennáll:

(Ax,y) = ( x , Ay ) .

1. tétel. Ha A : X ~ ^ X önadjungált operátor, akkor (Ajc,x) valós szám minden x g X esetén. Megfordítva, ha A: X X olyan lineáris operátor, amelyre (Ax,x) valós szám minden x e X esetén, akkor A önadjungált operátor.

Összefoglalva: egy A : X —> X lineáris operátor akkor és csak akkor önadjungált, ha (Ax, x) valós szám minden x e X esetén.

Bizonyítás. Legyen először A önadjungált, akkor egyrészt (Ax,x) = (x, A x ), másrészt a skaláris szorzat tulajdonsága alapján

(x, Ax) = (Ax, x) . így a fenti két egyenlőségből (Ax, x) = (Ax, x ) ,

ami azt jelenti, hogy (Ax,x) valós szám.Megfordítva: legyen A : X -> X olyan lineáris operátor, mely­

re (Ax,x) valós szám minden x e X esetén. Ekkor

(Ax, x) = (Ax, x) azaz (Ax, x) = (x, Ax) .

Legyenek x és e X tetszőleges elemek. Alkalmazzuk a fenti azonosságot először x-t- _y, majd x -h iy elemek esetén, akkor

( A ( x -h j ) , X j ) = (x + y, A(x + j ) )

(A(x + iy), x + iy)= (x + iy, A(x -t- iy)) .

Felhasználva a skaláris szorzat disztributív tulajdonságát, vé­gezzük el a fenti egyenlőségekben a szorzást, majd egyszerűsítés után adjuk az első egyenlőséghez a második egyenlőség /-szeresét, akkor rövid számolás után kapjuk, hogy

(A x,j) = (x,A};), amiből már következik, hogy A önadjungált operátor.

3.5 Önadjungált operátorok 205

2. tétel. Önadjungált operátor minden sajátértéke valós. Bizonyítás. Legyen /I az A : X X önadjungált operátor egy

sajátértéke és legyen xq e sajátértékhez tartozó tetszőleges saját­elem, tehát

A X q = Á - X q .

Szorozzuk meg a fenti egyenlőséget skalárisán xq -val, úgy

I|2(Axq, X q ) = ( Á X q , X q ) = Á - ( X q , Xq) = A ' | Xq | ,

w'2,ahol II Xq II ^ 0 , így X -t kifejezve:

. _ (Axq, ^ )~ II l|2 ’

N iamiből az 1. tétel alapján már következik, hogy X valós szám.

3. tétel. Önadjungált operátor különböző sajátértékeihez tartozó sajátelemek egymásra ortogonálisak.

Bizonyítás. Legyen A : X -> X önadjungált operátor és legyen Xi ^ Xq az A operátor két sajátértéke és legyenek x és xq e saját­értékekhez tartozó 0-tól különböző sajátelemek, azaz

Axi = XiXi, Ax2 = X2X2 .

Szorozzuk az első egyenletet skalárisán xq -vei jobbról, a máso­

dikat xj -gyei balról, akkor

(Axj,X2) = /li(X|,X2) , (x^, AX2) = X2Íxi,X2) (itt X2 valós szám)

Mivel A önadjungált, azért a fenti egyenlőségek bal oldala azonos, így a két egyenlőséget kivonva egymásból:

0 = (Xi - X i ) • (.^1,^ 2) ’ és mivel X ^ - X q ^ O , ezért

(xi , X2) = 0, azaz X1-LX2 .

Következmény. Legyen X^^ Xq az A : X ^ X önadjungált

operátor két sajátértéke, és legyen ill. Sq e sajátértékekhez tar­

tozó sajátaltér, akkor _L S2 ■

206 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Szimmetrikus kvadratikus funkcionálok. Az X térben értel­mezett K{x, y) kvadratikus funkcionált szimmetrikusnak nevez­zük, ha minden jcés y e X esetén

K{x,y) = K{y , x) .

Ha K{x,y) szimmetrikus, akkor K{x,x) = K(x, x) , ami azt jelenti, hogy K(x,x) valós szám minden x e X esetén.

A 3.2 pontban megmutattuk, hogy minden K(x, y ) kvadratikus funkcionálhoz található egyértelműen meghatározott olyan A: X X lineáris operátor, hogy minden xés y e X elempárra fennáll:

K(x,y) = (Ax,y) .

Ha K{x, y) szimmetrikus, akkor a K{x,x) = {Ax,x) egyenlőség figyelembevételével az 1. tétel alapján fennáll a következő

4. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a K (x, j) kvadratikus funkcionál szimmetrikus legyen, az, hogy e kvadrati­kus funkcionál által generált A operátor önadjungált legyen.

A szimmetrikus kvadratikus funkcionálokat, ill. az általuk gene­rált önadj ungált operátorokat a következő módon lehet osztályozni;

a) Egy K(x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált pozitív, ill. negatív defínitnek nevezzük, ha minden xi^Q esetén

K{x, x)>Q, ill. K{ x , x ) <Q.

b) A K{x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált pozitív, ill. negatív szemidefinitnek nevezzük, ha minden x g X esetén

K{x,x)>Q, ill. iT (x ,x )< 0 .

c) A K (x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált indefinit-

nek nevezzük, ha létezik olyan xj és X2 g X , melyekre

iT(Xi,Xi)>0, ill. K{X2,X2)<0.

A fentieknek megfelelően egy A : X - ^ X önadj ungált operá­tort pozitív, ill. negatív defínit operátornak nevezzük, ha minden X 0 esetén

3.5 Önadj ungált operátorok 207

(Ax, x) > 0, ill. (Ax, x) < 0 ,

míg az A operátort pozitív, ill. negatív szemidefínit operátornak nevezzük, ha minden x e X esetén

(Ax, x) > 0, ill. (Ax, x) < 0 .

A pozitív defmit és a pozitív szemidefínit operátorokat közös néven pozitív operátoroknak nevezzük. Tehát, ha A pozitív operá­tor, akkor minden x g X esetén

(Ax,x) > 0 .

Pozitív operátorok jelölésére az A > 0 jelölést használjuk. (Hason­lóan definiálhatók a negatív operátorok is.)

5. tétel. Pozitív operátor minden sajátértéke nemnegatív.

Bizonyítás. Legyen Z az A > 0 operátor egy tetszőleges saját­értéke, xq a Á sajátértékhez tartozó 0-tól különböző sajátelem, akkor

AXq =Á- Xq ,amiből

( A ^ , X o ) = / l o • ( - « 0> ^ o ) = ^ • I k o f >

és ebből

II^IP6. tétel. Önadj ungált operátor minden páros hatványa pozitív

operátor.

Ha A: X X tetszőleges lineáris operátor, akkor az AA* és

A*A operátorok mindegyike önadj ungált és pozitív operátor.

Bizonyítás. Legyen A önadj ungált operátor, akkor

(A^x, x) = (A(Ax), x) = (Ax, Ax) = || Ax|p > 0 ,

amiből már következik, hogy A^ > 0 . Hasonlóan bizonyítható, hogy

A^^ > 0 minden k -1, 2 , 3 , . . . esetén.

208

Legyen most A : X -> X tetszőleges lineáris operátor, akkor (AA*)* = (A*) * -A* = AA * , tehát (AA*)* = AA *, ami azt jelenti, hogy A A* önadj ungált operátor. Az

(AA * X, x) = (A * X, A * x) = IA * X Ip > 0

egyenlőtlenségből pedig következik, hogy AA* > 0.A bizonyítás hasonlóan végezhető az A*A operátorra is.

3.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók)

A 3.3 pont 2. tételében megmutattuk, hogy ha X véges dimenziós euklideszi tér, X 'c X tetszőleges altér, jelenti az X ' altér

ortogonális kiegészítő alterét, akkor

Ez azt jelenti, hogy minden x g X elem egyértelműen felbontható

X = X + X

alakban, ahol x e. X' és x _LX, azaz x g Xj_ .Az X elemet az x elemnek az X' altérre való ortogonális

vetületének nevezzük.Definíció. Legyen X ' c X tetszőleges altér. Jelöljük P-vel azt

az operátort, mely bármely x g X elemhez hozzárendeli ezen elem­nek az X' altérre való x ortogonális vetületét, azaz

Px = x ' , ahol tehát x = x' + x , x e. X', x ’J-X .Ezt a P operátort az X ' altérbe vetítő ortogonális vetítő operá­tornak, vagy más szóval projekciónak nevezzük.

1. tétel. A fent definiált P : X -> X operátor lineáris és önad-

jungált operátor, melyre P^=P, amiből következik, hogy P pozitív operátor.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy P lineáris operátor. Legyenek X és y G X tetszőleges elemek,

X = x' + x", y = y ' +y " , ahol x 'és j 'g X', x"és y " l X ' ,

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

akkor

3.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók) 209

Px = x', P j = y'es

(Px, y) = (x', y) = (x, y' + j") = (x', y ) = (x' + x", y') = (x, Py ) ,

azaz

(P x ,j) = (x,Py),

amiből már következik, hogy P önadj ungált.Legyen x e X tetszőleges elem, akkor Pxg X ' , így

P^x = P(Px) = P x ,

amiből következik, hogy P^ = P , így a 3.5 pont 6. tétele alapján P > 0 .

Kimutatjuk, hogy fennáll a fenti tétel megfordítása is:

2. tétel. Ha P : X X olyan önadjungált operátor, melyre

P = P , akkor P egy ortogonális vetítő operátor, mégpedig olyan, amely az R(F) altérbe vetít.

Bizonyítás. A P operátor i?(P) értékkészlete - mint ismeretes - altere X-nek. Ekkor minden x g X elem egyértelmíi módon előál­lítható x = x ' + x" alakban, ahol x ' g R(F) és x "li? (P ) .

A tétel bizonyításához elegendő kimutatni, hogy Px = x ' . A P operátor lineáris, azért Px = Px' + Px". Mivel x ' g R(P) , azért léte­zik olyan z g X elem, melyre x' = Pz , ebből

Px' = P(Pz) = P^z = Pz = x ' , azaz Px' = x ' .

Továbbá tetszőleges y e X esetén

(Px", y) = (x',P};) = 0 ,

mert x "l/?(P ) . így (Px", y) = 0 minden y e X esetén, ami azt je ­

lenti, hogy P x " lX , ami csak Px" = 0 esetén lehetséges.Tehát Px' = x' és Px" = 0 , így a

Px = Px' + Px"

egyenlőségből következik, hogy Px = x ' .

210 11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja

A 2.2 pontban láttuk, hogy ha A = [ajj ] tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix, akkor az

Ax = A • X, X G R"

egyenlőséggel definiált A olyan lineáris operátor, melyre

A :R "

A fenti A operátort az A mátrix által generált operátornak ne­vezzük. Megmutatjuk, hogy tetszőleges n-dimenziós X euklideszi térben bizonyos értelemben fennáll a fenti állítás megfordítása, azaz minden A: X X lineáris operátorhoz hozzárendelhető egy mátrix, amelynek segítségével az A operátor jól jellemezhető.

1. tétel. Legyen ej, ^2. • • • > adott ortonormált bázis az X n-

dimenziós euklideszi térben. Jelentse I az X és R ” közötti, - e fejezet elején említett, - izomorf és izometrikus leképezést. Ekkor minden A : X -> X lineáris operátorhoz található egy olyan A mátrix, melyre ha x e X esetén

I(jc) = X, akkor I(Ax) = A • x .

Az A mátrix elemei a következőképpen vannak értelmezve:

= (Aej^,ei), i,k = l , 2 , . . . , n .

Bizonyítás. Legyen egy tetszőleges x g X elem báziselőállítása;

X = Xi6i + ^2^2 + • • • + ’

és legyen az Ax g X báziselőállítása:

Ax = Jiei +J2«2 + y i = ( A x , e i ) .

Ekkor

= y-

Xj

I(x) = ^2 = X és I(Ax) =

3 j

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja 211

Következésképpen

yi={Ax,ei ) =

azaz J /= H^kiAek,ei), k= l

melyből =(A e^,e,) és A = jelölés bevezetésével kapjuk,n

hogy yi - ^ ciik k amiből már adódik, hogyk=l

y = A • X és I(Ax) = A • x .

Megjegyzés. Az 1. tétel alapvető jelentőségű. Ui. az X térben

értelmezett A operátort az I izomorfizmus az R ” vektortérben egy mátrixszal való szorzásra redukálja, így a fenti tétel alapján az X

térben értelmezett operátorok tanulmányozásánál elegendő az R ” vektortérben a mátrixszal való szorzást - mint operátort - tanulmá­nyozni.

Az 1. tétel más megfogalmazásban a következő módon is ki­mondható:

Ha valamely x g X elemnek az ei ,e2 , . . . ,e^ ortonormált bá­

zisra vonatkozó koordinátái x i,x 2, . . . , x „ , akkor az A xg X kép­elemnek e bázisra vonatkozó koordinátái azonosak az Ax oszlop­vektor koordinátáival.

1. definíció. Az 1. tételben értelmezett A -[a u J mátrixot az A : X X lineáris operátor által generált mátrixnak nevezzük az 6], ^2, • • •, ortonormált bázisra vonatkozólag.

E mátrix elemei függenek az , ^2, . . . , ortonormált bázistól, ui. - (Ae^., ) , (i,k =l , 2 , . . . , n) .

Jelöljük az A operátor A mátrixát (a bázisra indexszel utalva) a következő alakban:

A = [A ],.

212 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Alkalmazzuk az 1. tételt az R ” vektortérben értelmezett lineá­

ris operátorokra, éspedig abban a speciális esetben, midőn R ” -ben a következő ortonormált bázist tekintjük:

Legyen x = G R ” tetszőleges oszlopvektor, akkor az

X vektornak a fenti bázisra vonatkozó koordinátái éppen az X|, X2,.. . , számok lesznek. Ekkor az 1. tételben szereplő I

izomorfizmus megfelelője olyan operátor, mely minden x e R ” vektorhoz hozzárendeli e vektornak az e i ,e 2,. . . ,e „ ortonormált

bázisra vonatkozó koordinátáiból álló R ” -beli oszlopvektort,

azaz I az X vektorhoz önmagát rendeli, így I azonos az R'^ -beli egységoperátorral, azaz í = E .

Legyen most A ; R ” R ” tetszőleges lineáris operátor.

Alkalmazzuk az 1. tételt az Z = R ” esetére, = (Ae^,ej),

- A , ill. A = [a] g jelölésekkel. Ekkor minden x g R ” esetén

I(Ax) = A • X, amiből I = E alapján kapjuk, hogy Ax = A • x , tehát fennáll a következő

2. tétel. Minden A : R " -> R" lineáris operátorhoz található

olyan A mátrix, hogy minden x g R ” esetén Ax = A • x .

Az 1. tétel alapján tehát minden R ” -et R ” -re leképező lineáris operátor generál egy A mátrixot úgy, hogy az A operátornak egy

XG R ” vektorra való alkalmazása azonos az A mátrixnak az x oszlopvektorral való mátrixszorzásával.

Az 1. tétel éppen a 2.2 pontban nyert eredmény megfordítása.

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja 213

3. tétel. Legyen A = [an ] tetszőleges n-edrendű négyzetes

mátrix g j,^2, . . . , tetszőleges adott ortonormált bázis az X n- dimenziós euklideszi térben, akkor létezik olyan A ; X —> X lineá­ris operátor, melynek mátrixa a fenti ortonormált bázisban éppen a megadott A mátrix.

Bizonyítás. Jelöljük A-val azt a lineáris operátort, mely azn

ej^G X báziselemhez a g X elemet rendeli, azaz/=!

Aej - Yj k = 1,2, . . . ,n . i=l

(*)

(Azáltal, hogy az q , ^2, . . . , báziselemeken definiáltuk az A operátort, az operátor teljesen meghatározott. Ui. minden x e X elem egyértelműen előállítható jc = + X2C2 + ... + x^e alakban,

amiből Ax = XjAej + x^Ae^ + .. . + x„Ae„ .)

A (*) egyenlőséget skalárisán szorozva -vei: (Ae^,gj) = ,

amiből leolvasható, hogy [A] g= A = .Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy operátorokkal

végzett műveletek esetén az eredményoperátor mátrixa hogyan állítható elő az eredeti operátorok mátrixaival.

4. tétel. Legyenek A és B : X —> X tetszőleges lineáris operá­torok, E az X-beli egységoperátor, O a zérus operátor, továbbá legyen , ^2 > • • • > adott ortonormált bázis X-ben, akkor az

A = [A], és B =

jelölés bevezetésével fennállnak a következő állítások:

Cl) [a "h B] A + B,

b) [cA] g= cA, (c komplex szám),

c) [AB]^=A-B,

d )[E ],= E és [O] 0, ahol E az egységmátrix, 0 a zérusmátrix ,

e) ha A~^ létezik, úgy [A’’^ = A’”^

214 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

f ) [a *] A*, ahol A* = az A mátrix adjungáltja, azaz _

~ ki ■Bizonyítás. Az a) és b) állítások bizonyítása nyilvánvaló.c) igazolása. Legyen A = [aj^]és B = [%] n-edrendü négyzetes

mátrix, akkor aij = (Aej ,ei ) és bjj ~ (Bej^,ej). Mivel a

elemnek ortonormált bázisra vonatkozó ;-edik

koordinátája (Be]^,ej) = bjj (1. a 3.6 pont 1. tételét), ezért

n nBek - ’ ebből ABe^ = Y^bj^Aej , amiből az AB operátor

j=imátrixának /,/c-adik eleme:

n n(ABe^, 6 ;) = X bjk (A e j ’ ^ /) = E jk >

ami viszont azonos az AB szorzatmátrix /,A:-adik elemével.d) igazolása. Az E operátor mátrixának i,k-SLdik eleme

(Eek,ei) = (ek , e i ) -Si k , míg a O zérusoperátor mátrixának i,k-

adik eleme: {Oe^ , ^/) = (0, ) = 0 .

e) igazolása. Ha A “ létezik , úgy AA~^ = A ”^A = E . A

C = [A~*]g jelölés bevezetésével c) alapján [AA~^] g= AC és

[A ^A] g= CA , amiből az A A * = A ^A = E alapján:

AC = CA = E ,ami azt jelenti, hogy az A mátrix inverze a C mátrixszal egyenlő, azaz

C = A “ ^

f) igazolása. Az A* operátor mátrixának /,A:-adik eleme:

-1 -1

(A * , ei) = , k e i ) = (Ae;, .

Önadjungált operátor mátrixa. Ha A : X -> Z önadjungált operátor és A = az A operátor mátrixa valamely , ^2 > • • • >

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja 215

ortonormált bázisra vonatkozóan, akkor A önadjungált mátrix, azaz

ik ~ ki ■Megfordítva, ha az A operátor mátrixa önadjungált mátrix,

akkor A önadjungált operátor.A fenti állítások azonnali következményei a 4. tétel/) pontjának.

Unitér operátorok mátrixa. Legyen U : X X tetszőleges unitér operátor és legyen U = [ui^] = [U]g .

Mivel U~^ = U * , ezért a 4. tétel e) és f) pontjai alapján

U“ = U * ,

azaz unitér operátor mátrixának inverze azonos a mátrix adjungált- jával.

2. definíció. Egy U = [% ] n-edrendü négyzetes mátrixot uni­tér mátrixnak nevezzük, ha

U" = U * .A fentiek alapján egy unitér operátor mátrixa unitér mátrix. Meg­

fordítva, ha valamely U : X -> X lineáris operátor mátrixa unitér mátrix, úgy nyilván U unitér operátor.

Vizsgáljuk meg, milyen tulajdonsággal rendelkeznek az unitér mátrixok.

Legyen U = [uuJ tetszőleges n-edrendíi unitér mátrix. Figye­

lembe véve, hogy U* = [% ], ahol = uj i , az

UU* = U *U = E

egyenlőségből kapjuk, hogy minden i,k = 1,2,...,n esetén:

n tt

vagyis

Z “ ü ^kj = ^ik és jkUj i = Sík .

j=l j ^ i

216 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Ha Uj -vei jelöljük az U mátrix í-edik sorának elemeiből álló R ” -

beli vektort és Vj -vei az U mátrix i-edik oszlopának elemeiből álló

R ” -beli vektort, akkor az utóbbi egyenlőségek a következő alakba írhatók:

= és =

A fenti tulajdonságok alapján fennáll a következő5. tétel. Unitér mátrix sorvektorai is és oszlopvektorai is orto-

normált rendszert (így ortonormált bázist is) alkotnak az R ” vek­tortérben.

A fenti számítást visszafelé elvégezve, kapjuk, hogy ha egy U mátrix sorvektorai is és oszlopvektorai is ortonormált rendszert

alkotnak R ” -ben, akkor U unitér mátrix, azaz

= U * .A fenti állítás a következő módon élesíthető;

6. tétel. Ha U = olyan mátrix, melynek sorvektorai (vagy

oszlopvektorai) ortonormált rendszert alkotnak R " -ben, akkor egyúttal e mátrix oszlopvektorai (sorvektorai) is ortonormált rend­

szert alkotnak R ” -ben, U tehát unitér mátrix.Bizonyítás. Tegyük fel, hogy U sorvektorai ortonormált rend­

szert alkotnak R ” -ben, akkor minden i,k = l ,2, . . . ,n esetén

n __ __ *= Sik, vagy Ukj = Ujj, alapján = Sn,,

j=l j=i

ami azt jelenti, hogy UU* = E , amiből már következik, hogy

= U * .

3.8 Új bázisra való áttérés

Egy x e X elemnek valamely ey, e2, . . . ,e^ ortonormált bázisra vo­natkozó koordinátái függenek a bázistól. Hasonlóan, egy A : X X lineáris operátor mátrixának elemei is függenek a bázistól.

3.8 Uj bázisra való áttérés 217

Vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy ha az eredeti e j, ^2, • • •,

ortonormált bázis helyett egy g j,e2, . . . ,e „ másik ortonormált bá­zist vezetünk be, akkor hogyan fognak megváltozni valamely x e X elem koordinátái és egy A '.X - ^ X operátor mátrixának elemei?

írjuk fel egy x€.X elemnek mindkét bázisra vonatkozó előállítását: x = JCiei+X2í?2+... + x„e„

jc = + X2S2 + ... + x„e„, ahol a 3.6 pont 1. tétele alapján

Xi = (x, 6i ) és Xi = (jc, él), / = 1 ,2 ,... ,« .

Állapítsuk meg, milyen összefüggés van az x elemnek a két különböző ortonormált bázisra vonatkozó

Xl,X2,...,X „ és Íi,X 2,...,X „

koordinátái között?írjuk fel az ,^2, . . . , elemeket az e j ,^2, . ortonormált

bázis segítségével, azaz legyenn

/=!

ahol tehát az , «2^ k o m p l e x számok az elemnek az

61, 62, . . . , bázisra vonatkozó koordinátái. Az

u = [% ]mátrixról kimutatjuk, hogy unitér mátrix.

Jelöljük ui. U-val azt az X X -beli lineáris operátort, mely az 6i , 62, . . . , 6 ortonormált báziselemekhez az éi ,e2 , . . . ,é^ orto­normált báziselemeket rendeli, azaz melyre

Ue = é , k = l , 2, . . . , n .

Az első rész 3.4 pont 4. tétel második része értelmében U : X -> Z unitér operátor.

írjuk fel az U operátornak az 61, 62, . . . , 6 ortonormált rend­szerre vonatkozó mátrixát. A mátrix i,k-adik eleme

218 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

(Ué- , e ) = (é^, 6i) = UikCi, ei) = , í=l

amelyből következik, hogy az U operátor mátrixa éppen a fenti U = mátrix, amiből már valóban következik, hogy U unitér

mátrix.Továbbá

n nXi = (x, 6i) = ( X 4 4 , ei) = X 6i) ,

k=l k=lazaz

nXi = Y j Uí Á ’

^=1így kimondható a következő:

1. tétel. Ha az és az ei,e2 , . . . ,e ^ ortonormált bá-ziselemek között fennáll az

nk = l , 2, . . . , n

1=1összefüggés, akkor az U = [u j ] előállítású mátrix, unitér mátrix és

minden x e X elemnek az ei ,e2 ,.--,e^ és az

ortonormált bázisokra vonatkozó ^2, és i i , ^2’•••’koordinátái között a következő összefüggés áll fenn:

nXi = Í = l , 2 , . . . , n ;

k=l

vagy

Mivel U “ = U *, ezért a fenti egyenlőségből az xi , x2 , . . . ,x^

koordináták könnyen kifejezhetők az xj,X2, k o o r d i n á t á k

segítségével.Legyen most A : X X tetszőleges lineáris operátor és legyen

A és Á mátrix a következő módon adott:

^2 = u - %

3.9 Sajátértékek és sajátelemek 219

A = = [A]g, itt tehát = (Ae^, e,)

Á = f e ] = [A] , itt tehát áij, = (A ^ ,e, ) .

Vizsgáljuk meg, milyen összefüggés van az A operátornak a két

különböző bázisra vonatkozó A és Á mátrixai között?Mivel az előbbiek szerint

h = , így - (Ae^, e,.) = (AUe^,Ue,) = (U* AUe^,e,-) ,

amiből az következik, hogy Á = [U * AU]^ , másrészt

[U *A U ]^= U *A U , így megfogalmazható a következő

2. tétel. Ha A és Á jelenti az A: X X lineáris operátornak az , ^2. • • •, és ei, e 2 , . . . , ortonormált bázisokra vonatkozó mátrixát, akkor

Á = U * AU , vagyis [A] [U * AU] ^ .

Definíció. Valamely A és Á mátrixokat unitér ekvivalens mátrixoknak nevezünk, ha létezik olyan U unitér mátrix, hogy

Á = U * A U .

A fentiek szerint az A : Z —> X lineáris operátornak két külön­böző ortonormált bázisra vonatkozó mátrixai unitér ekvivalensek.

Az új bázisra való áttéréssel kapcsolatban felmerül az a problé­ma, hogy lehet-e az X térben olyan ortonormált bázist találni, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa aránylag egyszerű alakú. Erre a kérdésre a továbbiakban még visszatérünk.

3.9 Sajátértékek és sajátelemek

A 2.5 pontban láttunk példát olyan lineáris operátorra, amelynek egyetlen sajátértéke sincs. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy végesdimenziós térben értelmezett lineáris operátornak mindig van legalább egy sajátértéke.

Legyen A : X —> X tetszőleges lineáris operátor, ei , e2 , . . . ,e^ tetszőleges ortonormált bázis X-ben és legyen

220 fi. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A. = {ai \ = [A \ .

Ha Á tetszőleges komplex szám, akkor nyilvánvaló hogy

[ A - Á E ] ~ A - Á E .

Jelentse I a 1.2 pontban tárgyalt, X és R ” közötti izomorf és izometrikus leképezést. Ha x e X tetszőleges elem és I(x) = x a

megfelelő képelem R ” -ben, akkor a 3.7 pont 1. tétele alapján

l( (A - /iE )x )= (A - /lE )x ,

így az 1 leképezés az(A -;iE )x = 0 (1)

egyenletet átviszi az( A - lE ) x = 0 (2)

homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe. Ha X sajátértéke az A operátornak, akkor az (1) egyenletnek létezik xq e X, xq 0

megoldása, azaz (A-ÁE)xq = 0 . Az I(jíq)-t jelöljük XQ-val, azaz

I(xo) = xq, akkor Xq?^0, és nyilván Xq megoldása a (2) egyen­letnek. Ez azt jelenti, hogy az A operátor minden sajátértéke egyút­tal az A mátrixnak is sajátértéke.

Megfordítva, ha. Á az A mátrix egy sajátértéke és Xg a A sa­

játértékhez tartozó sajátvektor, azaz ( A - / lE ) x o = 0 , Xq ^ ú , ak­

kor nyilvánvaló, hogy az xq = P ^ (x o ) X-beli elem kielégíti az (1) egyenletet.

Tehát az A operátornak ugyanazok a sajátértékei, mint az A mátrixnak. Fentiek alapján fennáll a következő

1. tétel. Ha X n-dimenziós euklideszi tér, akkor minden A ' . X - ^ X lineáris operátornak létezik legalább egy sajátértéke.

HaA = K -J = [A]g,

akkor az A operátor összes sajátértéke azonos az A mátrix sajátér­tékeivel, ami viszont azonos

D(/i) = d e t(A -/iE ) = 0

karakterisztikus egyenlet gyökeivel.

3.9 Sajátértékek és sajátelemek 221

Megjegyzés. Az 1. tétel lényege abban van, hogy az X térben értelmezett A operátor sajátértékeinek kiszámítását visszavezettük egy mátrix sajátértékeinek kiszámítására, ami már jól ismert feladat.

Itt felhívjuk a figyelmet egy látszólagos ellentmondásra:Az A ' . X - ^ X operátor sajátértékeit - minden bázistól függet­

lenül - úgy definiáltuk, mint olyan komplex számokat, melyek mellett az A x - A x egyenletnek létezik x^% megoldása. A fenti­ekben az A operátor sajátértékeinek kiszámítását visszavezettük egy mátrix sajátértékeinek kiszámítására, mely mátrix azonban függ az ortonormált bázis választásától. Más ortonormált bázis esetén a mátrix elemei más számok lesznek és így esetleg elképzel­hető, hogy a kapott új mátrix sajátértékei mások lesznek. Evvel kapcsolatban igazoljuk a következő tételt:

2. tétel. Legyen e j, é?2,. . . , és 6], ^2, • • • > két tetszőleges ortonormált bázis az X térben, és legyen egy A : X X lineáris operátornak a bázisokra vonatkozó mátrixai

A = [a ] g és Á = [a ] I ,továbbá vezessük be a

D(A) = det(A -A E ) és ű (;i) = det(Á - AE), jelöléseket, akkor

D(X) = b { X ) .

Bizonyítás. A 3.8 pont 2. tétele alapján létezik olyan U unitér

mátrix, hogy A = U * AU , így

á - / I e = u * a u - ; lu*e u = u *(a - /IE )u .

Mivel a mátrixok szorzatának determinánsa azonos az egyes té­nyezőmátrixok determinánsainak szorzatával, a fenti egyenlőségből

b{X) = det(Á - AE) = det U * • det(A - AE) • det U -

= d e tU * -D U ).d e tU .

Mivel U * U = E , azért det(U * U) = det E , azaz det U * • det U = 1,

így a fenti egyenlőségből azonnal adódik, hogy D{X) = D(A) min­den Á esetén, ami azt jelenti, hogy

D(Á) = D(Á) .

222 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Megjegyzés. A 2. tétel alapján valamely k : X ~^X operátor különféle ortonormált bázisokra vonatkozó mátrixaihoz tartozó karakterisztikus polinom független az ortonormált bázis választásá­tól, így célszerű e karakterisztikus polinomot az A operátorhoz tartozó karakterisztikus polinomnak nevezni.

3.10 Diagonizálható operátorok

Egy n-dimenziós X euklideszi térben új ortonormált bázisra való áttéréssel kapcsolatban felmerül az a probléma, hogy egy A : X - > X lineáris operátorhoz lehet-e a térben olyan ortonormált bázist találni, melyre vonatkozólag az A operátor mátrixa aránylag egyszerű alakú.

Különösen érdekes azoknak az A : X -> X lineáris operátorok­nak a vizsgálata, melyekhez található olyan ortonormált bázis X- ben, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa tiszta diago- nális mátrix lesz (azaz a födiagonálison kívül a mátrix minden eleme zérus). Az ilyen operátorokat diagonalizálható operátorok­nak nevezzük.

1. tétel. Legyen A : X -> X diagonalizálható lineáris operátor, azaz létezik olyan

5i , 52 , . . . , 5„

ortonormált bázis Z-ben, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix. Jelöljük ezt az n-edrendű négyze­tes mátrixot

= Adri­

0 0 . .. 0 '0 Ml 0 . .. 0

S - [ a ] , = 0 0 M3 •.. 0

0 0 0 . ■■Mn_

aiakban, akkor az S fődiagonálisában álló számok

sajátértékei az A operátornak és az 5|, 52 ,..., ortonormált bázis­elemek e sajátértékekhez tartozó sajátelemek, azaz

Asj^=/lj^si^ (k =1,2, .

3.10 Diagonizálható operátorok 223

Bizonyítás. Mivel S az A operátor mátrixa az , ^2, . . . , ortonormált bázisra vonatkozólag, azért e mátrix í,^-adik eleme

{As^,si) = jUiSi!,.Rögzített k mellett az

(Asj^,si) (k = l ,2, . . . ,n)

számok az As . elemnek az 5], 52, . . . , ortonormált bázisra vo­

natkozó koordinátái s mivel ezek azonosak a Mi ik ( k - U 2 , . . . , n ) számokkal, ezért

n

í=iamiből a tétel következik.

2. tétel. Legyen A : X -> X olyan lineáris operátor, melynek létezik n egymásra merőleges 0-tól különböző sajáteleme, azaz léteznek 5], ^2,. . . , 0-tól különböző és páronként merőleges

sajátelemek és ju^, fi 2 , . . . , jJ. „ sajátértékek (ezek nem feltétlen különbözők), hogy

^^k =Mk^k ( k = l , 2 , . . . , n ) ,

akkor az A operátor diagonalizálható.Bizonyítás. Feltehető, hogy az s i , s2 , . . . , s^ sajátelemek egy-

ségnormájúak (ellenkező esetben mindegyiket elosztjuk a normájá­val), ekkor s i , s2 , -. . ,s^ ortonormált bázist alkot X-ben.

írjuk fel az A operátor mátrixát e bázisra vonatkozóan, akkor e mátrix /,Á:-adik eleme (Asj , s ) = (jUk k s ) = jUj őn , azaz

[A].=

> 1 0 0 . .. 0 '0 M l 0 . .. 00 0 M3 •.. 0

0 0 0 . Mn.

A fenti két tételt összefoglalva, kapjuk, hogy egy A : X X lineáris operátor akkor és csak akkor diagonalizálható, ha létezik A-nak n ortonormált sajáteleme, azaz ha létezik X-ben sajátelemek- ből álló ortonormált bázis.

224

Ezek szerint, ha valamely operátorról el akarjuk dönteni, hogy diagonalizálható-e, úgy azt kell megvizsgálni, létezik-e az operátor­nak n egymásra merőleges sajáteleme (itt n = d im X ). Ha ilyen létezik, akkor az operátor diagonalizálása úgy történik, hogy felír­juk az operátor mátrixát a sajátelemek ortonormált rendszerében.

PéldaÁllítsuk elő a

Q{x, x) = + 2^2 - 8x]X2 - 8x2x3

kvadratikus alak kanonikus alakját, az operátor ortonormált saját-Telemrendszerét és számítsuk ki az M AM mátrixszorzatot, ahol M

az ortonormált modálmátrix (a modálmátrix oszlopvektorait az A mátrix sajátvektorai alkotják [K72]).

Megoldás. A kvadratikus alak mátrixa és karakterisztikus egyenlete:

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A =■ 4 - 4 0- 4 2 - 4

0 - 4 0det

4 - A -4 0' - 4 2 - /1 - 4

0 - 4 -/L= 0 , melyből

i - ó f -24/1 + 64 = 0 . (*)Az egész együtthatós harmadfokú normál egyenlet gyökeit a 64

tényezői között kereshetjük, így például az egyik gyök /^ = 8 , ugyanis kielégíti a (*) egyenletet:

8 ^ -6 -8 ^ -2 4 -8 + 64 = 0 .

(Á - 8) -cal osztva a (*) egyenletet + 2A - 8 = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei: Á2 = 2 és /I3 = -4 . Tehát a kvadratikus alak kanonikus alakja:

Q(x, x) - 8wf + 2 a | - 4w |.

A saját elemek kiszámításához helyettesítsük be a karakteriszti­kus egyenletbe a sajátértékeket:/l} = 8 behelyettesítésével a megoldásvektor: S| = [2t, - 2t, /] ;

I 2 = 2 behelyettesítésével a megoldásvektor: S2 = [2 t,t ,-2 t] ;

A3 = -4 behelyettesítésével a megoldás vektor: S3 = [t, 2t, 2t] .

3.10 Diagonizálható operátorok 225

A t értéke | S] | = | S2 | = | S3 |= = 1 egyenletből: t = ~ .

Az ortonormált sajátelemek (abszolút értékük 1):

e, = r l - 1 i ] e . i _ l-, „ _ r l 2 2.1 h U ’ ’ -1 ’ 3 - I 3 > 3 > 3J •L3 , 3 ^3j , - 2 13, 3 , 3

Az ortonormált modálmátrix és inverze:

M = 42 2 r “2 ■-2 r

- 2 1 2 2 1 --21 --2 2 3 1 2 2

Az operátor mátrixa a sajátelemek ortonormált bázisában:

“8 0 0"

0 2 0 0 0 - 4

azaz tiszta diagonális mátrix, melynek főátlójában az A mátrix sajátértékei állnak.

3. tétel. Minden A : Z —> X önadjungált operátor diagonali- zálható, azaz minden önadj ungált operátornak létezik n egymásra ortogonális sajáteleme.

A tétel bizonyításához szükséges a következő

Lemma. Legyen A.: X X önadj ungált operátor és legyen 6']

az A operátor valamely // | sajátértékéhez tartozó sajáteleme, akkor

az 5'j -re ortogonális X-beli elemek halmaza alteret alkot Z-ben, mely az A operátorra nézve invariáns altér lesz.

Bizonyítás. Jelöljük X -gyei az elemre ortogonális X-beli

elemek halmazát, azaz azon x e X elemekből áll, melyekre

(x,^l) = 0 .

Az X| altere Z-nek. Ha ui. x és _y g Z j , azaz (x, 5| ) = 0 és ( y, í’i) = 0 , akkor

( x +y , s i ) = (x, ^i) + (};,^]) = 0

alapján x + j e Z j , továbbá ( e x , = c(x,^i) = 0 alapján c x g Z j , amiből már következik, hogy Z j altér Z-ben.

226 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Tekintsük az Si elem által meghatározott egydimenziós alteret,

azaz a c • 5] alakú elemek összességét, ahol c tetszőleges komplex szám - akkor ezen egydimenziós altér ortogonális kiegészítő altere azonos X j-gyei. Igazoljuk, hogy Xy invariáns altér az A operátor­

ra nézve, azaz, ha x e , akkor Axg . Ha ui. x g Z j , akkor

(x, ^l) = 0 . Mivel A^i = jUis^, azért

(Ajc, ) = (x, ) = (x, jUiSi) = Hl (x, ) = 0 ,

így Ax _L 1, azaz Ajc g .

A fenti lemma alapján a 3. tételt a következőképpen láthatjuk be:A 3.9 pont 1. tétele alapján az A operátornak létezik legalább

egy sajátértéke. Jelöljük ezt a sajátértéket jUi -gyei és legyen a

sajátértékhez tartozó sajátelem, azaz A^ = -et választhat­juk egységnormájúnak). Jelöljük Z]-gyei az Si elemre ortogonális

X-beli elemek halmazát, úgy a lemma alapján Xi invariáns altere A-nak, továbbá nyilvánvaló, hogy

dimX^ = n - 1 .

Mivel az A operátor az Xi -et önmagára képezi le, azért A te­

kinthető mint Xi -> X^-beli operátor, továbbá nyilván az tér­ben értelmezett A operátor is önadjungált. Alkalmazzuk a 3.9 pont1. tételét az A : -> Z j operátorra, úgy A-nak létezik legalább

egy sajátértéke, legyen ez //2 é s 52 g Z j e sajátértékhez tartozó 0-

tól különböző (pl. normált) sajátelem. Jelöljük Z 2 -vel az 52-re

ortogonális Z j-beli elemek halmazát, úgy Z 2 ismét invariáns altere A-nak és

dim Z 2 = n - 2 .

A fenti eljárást n lépésig folytatva, előállítjuk az Si, S2 , . . . , s, sajátelemeket, melyek páronként egymásra ortogonálisak.

3.J0.] Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása 227

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása

Legyen A és B : Z Z két önadjungált operátor. A 3.10 pont 3. tétele alapján mindegyik operátornak van n elemű ortonormált sajátelemrendszere. Ha ezen saj átelemrendszerekben - mint orto­normált bázisokban - felírjuk az operátorok mátrixait, úgy e mátri­xok tiszta diagonálisok lesznek. Természetesen e sajátelemrend- szerek különbözőek a két operátorra.

Vizsgáljuk meg, hogy milyen esetben létezik a két operátorra közös ortonormált sajátelemrendszer, azaz mikor létezik Z-ben olyan ortonormált bázis, melyre vonatkozólag mindkét operátor mátrixa egyidejűleg tiszta diagonális lesz?

Először tisztázzuk, hogy két önadjungált operátor szorzata mi­kor lesz ismét önadjungált operátor?

1. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy két A és B : Z -> Z önadjungált operátor szorzata is önadjungált legyen, az hogy A és B felcserélhetőek legyenek, azaz, hogy fennálljon

AB = B A .Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy AB = BA , akkor

(AB)* = B*-A* = BA = AB,

azaz (AB)* = AB , így AB önadjungált.Megfordítva, ha AB önadjungált operátor, akkor

(AB)* = AB ,

de (AB)* = B*-A* = BA,

így az előbbi egyenlőségből BA = A B , tehát A és B felcserélhetők.2. lemma. Legyen A és B : Z Z két tetszőleges (nem szük­

ségképpen önadjungált) operátor, melyekre AB = BA . Legyen

az A operátor sajátértéke, a jUy sajátértékhez tartozó sajátaltér, akkor invariáns altere B-nek.

Bizonyítás. Legyen jcg 5]. Bizonyítandó, hogy Bxg . Mivel

x g 5 i , azért Ax = Hix , ebből AB = BA alapján

228

A(B;c) = ABx = BAx = B(Ax) = B(//ix) = ,

azaz A(Bx) = //^ • Bx , ami azt jelenti, hogy B xe Si.

3. íemma. Legyenek A és B : X -> X tetszőleges, egymással felcserélhető operátorok, azaz AB = BA , akkor az A és B operáto­roknak létezik közös sajátelemük.

Bizonyítás. Legyen //j az A operátor egy sajátértéke, Si a

megfelelő sajátaltér, akkor a 2 . lemma alapján invariáns altere

B-nek. Tekintsük a B operátort csak az 5] altérben értelmezve,

aldcor B:S^ -^S^, így a 3.9 pont 1. tétele alapján az 5^ térben értelmezett B operátornak létezik legalább egy sajátértéke, legyen ez Ál és legyen 5 e a -hez tartozó sajátelem, azaz

B^i = Aj • 5'] .

Mivel 5] G , ezért egyidejűleg az A operátornak is sajáteleme:

A5| = //] • 5] ,

amiből a lemma már következik.1. téteL Legyenek A é s B ;X - > Z önadjungált operátorok.

Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy közös ortonormált bázis, melyben az A és B operátorok mátrixa egyidejűleg tiszta diagonális mátrix lesz, az, hogy A és B felcserél- hetők legyenek.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy AB = B A . Ekkor a 3. lemma alapján az A és B operátoroknak létezik közös sajátelemük, jelöljük ezt si -gyei és legyen jU[, ill. az A, ill. B operátor meg­

felelő sajátértéke, azazA^i B^i = ÁiSi.

Itt feltehető, hogy || 5J = 1, mert ellenkező esetben osszuk s -et az ő normájával, akkor a kapott elem egységnormájú sajátelem.

Jelöljük Xj -gyei az -re ortogonális X-beli elemek halmazát,

akkor a 3.10 pont 3. tételében szereplő lemmára tekintettel X invariáns altere mind A-nak mind B-nek.

11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Tekintsük A és B operátorokat csak az X^ altérben értelmezve:

A : X] —> X |, B : Xj —> Xj és AB = BA ,

így e lemma ismételt alkalmazásával, kapjuk, hogy az X^ -ben

értelmezett A és B operátoroknak létezik X^ -ben közös sajátele­mük, - legyen ez 5-2 e X j .

Jelöljük X2 -vei az S2 -re ortogonális X^ -beli elemek halmazát.

A fenti eljárást n lépésig folytatva kapunk egy s i , s 2 , . . . , s„ortonormált rendszert, melynek minden eleme egyszerre sajáteleme A-nak és B-nek, azaz

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása 229

így [A].=

A 0 0 Ml

B s k ~ \ s k , (

[B]. =

_0 0

1, 2,.

A 0 .. . 0 ‘0 ^ •; . 0

0 0 .. • 4 .Megfordítva, tegyük fel, hogy létezik olyan közös ortonormált

bázis, melyben az A és B operátorok mátrixa tiszta diagonális mát­rix. Jelöljük az A és B operátoroknak e bázisra vonatkozó mátrixát A-val, ill. B-vel. Mivel A és B tiszta diagonális mátrixok, azért AB = BA . Mivel AB az AB operátor mátrixa, BA a BA operátor mátrixa, azért AB = BA .

Megjegyzés. A fent bizonyított tétel természetesen több operá­tor esetén is igaz, azaz, ha (a ^ ) : X X a p paramétertől függő

önadjungált operátorok egy véges vagy végtelen halmaza, akkor annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy ortonormált bázis, melyben valamennyi Ap egyidejűleg diagona-

lizálható, az, hogy az A p operátorok páronként felcserélhetők legyenek.

Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy az önadjungált operátorokon kívül még mely operátorok diagonalizálhatók?

2. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A : X X lineáris operátor diagonalizálható legyen, az, hogy A

230 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

és A* felcserélhetők legyenek, azazA A * = A * A .

(Ekkor A-nak n elemű páronként ortogonális sajátelemrendszere van).

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy

A A * = A * A .

Vezessünk be két operátort a következő módon:

A i= |- ( A + A*) és A 2 = ^ ( A - A * ) .

Az így értelmezett A] és A j önadjungált operátorok. Ui.

A| = |- (A + A*)* = i (A » + A ) = A ,,

A j = - ^ ( A - A*)» = - ^ ( A * -A ) = - i ( A - A») = A 2 .

Mivel A és A* felcserélhetők, azért nyilván Aj és A 2 is felcserél­hetők, így az 1. tétel alapján létezik Z-ben olyan ortonormált bázis, melyben Aj és A 2 mátrixa egyidejíileg tiszta diagonális mátrix

lesz, de akkor az Aj + iA j operátor e bázisra vonatkozó mátrixa is

tiszta diagonális mátrix lesz és mivel A | + /A 2 = A , azért a fenti bázisban az A operátor mátrixa tiszta diagonális, tehát A diagona- lizálható.

Megfordítva, legyen A : X -> X diagonaUzálható operátor, azaz ekkor létezik X-ben olyan ortonormált bázis, melyben az A operátor mátrixa tiszta diagonális. Jelöljük A-val az A operátor e bázisra vonatkozó mátrixát, akkor A a következő alakú:

>1 0 . .. 0 " 0 ... 0

A = 0 .. 0 , amiből A* = 0 ... 0

Ó ó . • • _ 0 0 0

tehát A* is tiszta diagonális, ígyA A * = A * A ,

de akkor AA* = A * A , azaz A és A* operátorok felcserélhetők.

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása 231

Definíció. Egy A : X - ^ X operátort normális operátornaknevezünk, ha A felcserélhető A*-gal, azaz

AA* = A * A .A 2. tétel e definíció alapján a következőképpen is fogalmazható: Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A: X X

lineáris operátor diagonalizálható legyen, az, hogy A normális operátor legyen.

Nyilván minden önadjungált operátor normális operátor, továb­bá normális operátor minden unitér operátor is, ui., ha

U : X —> X unitér operátor, akkor UU* = U *U = E .

így a 2. tétel alapján fennáll a következő

3. tétel. Minden U : X -> X unitér operátor diagonalizálható, vagy ami evvel ekvivalens, minden unitér operátornak létezik n páronként ortogonális sajátelemrendszere.

Megjegyzés. Legyen A diagonalizálható operátor és legyen

A 0 ... 00 Ml ••• 0A =

0 0 ... Mn]

az A operátor tiszta diagonális mátrixa. Mint előzőleg láttuk, a mátrix fődiagonálisában az A operátor sajátértékei állnak.

Ez alapján A akkor és csak akkor önadjungált operátor, ha a fődiagonálisban álló /^ i,//2, . . . , / /„ számok valósak, A akkor és

csak akkor unitér operátor, ha a fődiagonálisban álló /z^,//2, ..., számok egység abszolút értékű komplex (vagy valós) számok. Ha a fődiagonálisban álló számok nem ilyenek, akkor A normális operátor.

Megjegyezzük még, hogy a fenti A mátrix fődiagonálisában álló számok között azonosak is lehetnek. Mivel eszámok az A operátor sajátértékei, ezért nyilvánvaló, hogy mind­egyik /ii annyiszor lép fel a fődiagonálisban, mint amennyi a //j sajátérték rangja.

A diagonalizálható operátorok által létesített leképezésnek igen fontos és „szemléletes” geometriai jelentése van.

232 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Legyen ui. k \ X X tetszőleges diagonalizálható operátor, azaz létezik X-ben ortonormált bázis, melynek minden eleme saját­eleme A-nak.

Jelöljük e bázist -nel, a megfelelő sajátértékeket

/ / l , / /2, . . . , //„ -nel, azaz

Asj = (k = \ ,2, . . . ,n) .

Ekkor, mint a fentiekben láttuk, az A operátornak az 5 i,52 ,...,5„ ortonormált bázisra vonatkozó mátrixa tiszta diagonális mátrix, ahol a födiagonálisban éppen a ju , jU2,...,Mn sajátértékek állnak.

Legyen xg X tetszőleges elem, legyen ezen elemnek a fenti bázisra vonatkozó előállítása

X = + X2S2 + ... + X^Sfj, X; = (x, Si )

Ax - Aí'i + X2AS2 + ... + A5„ =

— X[//|5| + -^2/^2‘2 •

4. téteL Ha A : X -> X diagonalizálható, és si, S2, . . . ,s^ az A

ortonormált sajátelemrendszere, jUy,fi2 , . . . , fin megfelelő saját­értékek, azaz

^ k = M k S k ’

úgy, ha tetszőleges x e X elem báziselőállítása

X = + ^2^2 + • • • + >akkor

Ax = /J.[XiS\ ^ ^

A (*) képletből jól látható az A operátor struktúrája: az operátor az Si,S2 ,-. . ,s^ ortonormált báziselemeket jUi,jU2,--.,Mn -szere­sükre „nyújtja” és ha egy x e X elemnek e bázisra vonatkozó ko­ordinátái jcj, JC2,. . . , Jc„ , akkor az Ajc képelemnek e bázisra vonat­

kozó koordinátái / i ^ x i , JU2X2 , M n ^ n ’ ^h á t az operátor minden x

elemnek a fenti bázisra vonatkozó koordinátáit is / í i , / Í2’■■■’Mn" szeresre nyújtja.

3.11 Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai 233

Megjegyezzük még, hogy az 1. tétel unitér operátorokra is igaz, vagyis fennáll a következő

5. téteL Legyenek U és V : X —> X unitér operátorok. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy közös ortonormált bázis, melyben U és V mátrixa egyidejűleg tiszta dia­gonális mátrix lesz, az, hogy U és V felcserélhetők legyenek.

E tétel bizonyítása az 1. tétel bizonyításához hasonlóan történik. Vegyük észre, hogy a 1. tétel bizonyításában az A és B operátorok önadjungáltságát csak a 3.10 pont 3. tételében szereplő lemma alkalmazásakor használtuk ki, így lényegében elegendő e lemmát igazolni unitér operátorokra:

Lemma. Ha U : X —> X unitér operátor, / / | az U operátor

sajátértéke, X a //j -hez tartozó 0-tól különböző sajátelem,

X] az 5 |-re ortogonális X-beli elemek halmaza, úgy X^ invariáns altere U-nak.

Bizonyítás. Legyen x e Xj tetszőleges elem, azaz x l s i , iga­zolni kell, hogy U xe X j , azaz .

Egyrészt (U^i, Ux) = (.V], x) = 0 , másrészt = /i^si alapján

(U.S1, Ux) = (//j , Ux) = //i (íj , U x), így

jUi(si, Ux) = 0, de I jUi I = 1, így ( j, Ux) = 0, azaz U x li-j.

3.11 Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai

A matematika mííszaki alkalmazása gyakran egyszerűsíthető, ha az önadjungált operátorok diagonalizálhatóságát felhasználjuk.

1. tétel. Legyen A = tetszőleges n-edrendű önadjungált

mátrix, azaz , akkor létezik olyan U = n-edrendűunitér mátrix, hogy az

Á = U * A Umátrix tiszta diagonális mátrix lesz, ahol a födiagonálisban éppen az A mátrix sajátértékei állnak, mégpedig mindegyik sajátérték annyiszor szerepel, amennyi a rangja.

234

Bizonyítás. Legyen X tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér (pl.

X = R " ), és legyen ,^2 v ■ • ■>n tetszőleges ortonormált bázis X- ben akkor a 3.7. pont 3. tétele alapján létezik olyan A ; X -> Z lineáris operátor, melyre [A] ,= A . Mivel A önadjungált mátrix, azért A önadjungált operátor, így a 3.10 pont 3. tétele alapján létezik Z-ben olyan Si,S2 , . . . ,Sn ortonormált bázis, melyre vonatkozólag az A operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix lesz.

Ha az A operátor ortonormált bázisbeli mátrixa: Á = [A] ,

akkor az Á mátrix a következő alakú:

//l 0 0 ... 0 0 //2 0 ... 0 0 0 //3 ... 0

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A -

0 0 0

ahol a födiagonálisban az A mátrix sajátértékei állnak, éspedig mindegyik annyiszor szerepel, mint amennyi a rangja.

Jelentse U azt az unitér operátort, mely az eredeti é?j,^2,•••,

ortonormált bázishoz S\,S2 ,---, ortonormált báziselemeket ren­

deli, azaz = Sj ^ , { k - 1 ,2 ,. . . ,n ) , és az U = [uuJ = [U]^ jelölés­

sel a 3.7 pont 3. tétele alapján[A],= [U *A U ],,

azaz Á = U * AU .Legyen most X tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér,

e i,e 2,. . . ,e „ egy ortonormált bázis X-ben és legyen K(x, y) tet­szőleges kvadratikus funkcionál, akkor a 3.2 pont 2. tételében lát­tuk, hogy létezik egyetlen olyan A : X —> X lineáris operátor, melyre

K(x,y) = iAx,y) .

Legyen A = = [A]g és legyenek az x és y e X elemek báziselőállítása, valamint x és y oszlopvektorok:

X = - F X 2C2 + . . . + X „ e „ és y - y\ei + ^ 2 ^ 2 + ■ ■ • + y n ^ n ’

3 .H önadjungált operátorok diagonalizálásának alkcdmazásai 235

x = 2 , y = J2

_

Ekkor ha I jelenti a már említett izomorf és izometrikus leképezést

X és R ' között, úgy I(x) = x, l(y) = y , és - mint az 2.6 pont

1. tételéből ismeretes - I(Ax) = A • x , akkor az L rész 3.6 pont 2. tétele után álló Megjegyzés alapján

(Ax, V) = (Ax,y) = 'Z(Ajc)^yi = ,í=l /=! k=\

azaz K(x, y) = (Ax, y) = Z X ‘ ik^kyi ■i= U = l

A fenti kifejezés jobb oldalát a K{x,y) kvadratikus funkcionál

koordinátás előállításának nevezzük az e i,e2 ,...,e,^ ortonormált bázisra vonatkozólag. Az itt fellépő számokat, vagyis az A mátrix elemeit, a kvadratikus funkcionál együtthatóinak mondjuk.

Nyilvánvaló, hogy a K(x, y) kvadratikus funkcionál fenti koor­

dinátás alakja függ az ej, ^2, . . . , ortonormált bázis választásától.

Legyen most K(x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionál, akkor az általa generált A operátor önadjungált, így az A mátrix is önadjungált mátrix. Ismeretes, hogy ez esetben K(x,x) = (Ax,x)

valós szám minden x g X esetén. A fenti képletből a K{x,x) koordinátás előállítása:

n nK (x, x) ^{kx , x) = Y .Ya ikXkXi , (1)

i=l k=l

melynek jobb oldalát az x i , x 2 , . . . , x ^ változók kvadratikus alak­jának is nevezzük.

Pelmerül az a probléma, hogy lehet-e olyan ortonormált bázist találni az X térben, melyre vonatkozólag a K(x,x) koordinátás alakja csak az x elem koordinátái négyzetét tartalmazza.

236 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

E probléma megoldásához az elözö pontban mondottakat fel­használjuk. Legyen ui. 5,, ^2, . . . , s, az az ortonormált bázis X-ben, melyre vonatkozólag az A önadjungált operátor mátrixa tiszta dia- gonális mátrix.

Itt az báziselemek mindegyike sajáteleme az A

operátornak, így az A mátrixa:[a 0 ... 0

0 ^2 ■■■ 0[A].= = W ik \ -

0 0

Legyenek , ^2’ • • • ’ '?« xe. X elemnek az , ^2, • • •, ■s,j bázisra vonatkozó koordinátái, akkor a K{x,x) kvadratikus funkcio­nál e bázisra vonatkozó koordinátás előállítása;

n n _ ” _K(x,x) = {Ax,x) = ’

i=U=:l Í = \azaz

K{x,x) = iAx,x)=f , jUi \^i f , (2)

tehát K(x,x) valóban az x elemnek az bázisra vonat­

kozó . 2’ • • • ’ koordinátáinak csak négyzeteit tartalmazza.Ezt az eredményt az alábbi módon is megkaphatjuk:Mivel az (1) és (2) alatti kifejezések jobb oldala ugyanazon

K(x,x) kvadratikus funkcionálnak két különböző bázisra vonatko­

zó előállítása, azért

É = (3)/=u=i i=i

Itt tehát xi ,X2 ,. . . ,x„:ú\. ,^ 2>• • - 4 valamely x e X elem­

nek ej, ^2, . . . , , ill- , ^2 ’ • • • ’ ortonormált bázisokra vonatko­zó koordinátái. Jelöljük ismét U-val azt az unitér operátort, mely az6], ^2 ’ • • ■ ’ ortonormált báziselemekhez az í'[ , ^2, • • •, *?« ortonor-

2 = u-

máit báziselemeket rendeh, azaz = 5 {k = \ ,2,-. . ,n) és le­

gyen U = = [U] akkor a 3.8 pontból ismeretes, hogy az jc elem

X|, a'2,. . . ,x „ , ill. koordinátái között a következőösszefüggés áll fenn;

3.11 Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai 237

,azaz xi = f^uiu^k, (í = 1 , 2 , ( 4 ) k=\

Tehát, ha az X |,^2, . . . , x,, koordináták helyébe, a (4) alatti összefüggéseket írjuk a (3) egyenlőség bal oldalába, és az így nyert kifejezést a , ^2 > • • • változók szerint rendezzük, úgy nyilván a (3) egyenlőség jobb oldalát nyerjük.

Fentiek alapján fennáll a következő ún.

2. tétel (főtengelytétel). Legyen A=[a,-^] tetszőleges n-ed- rendü önadjungált mátrix, akkor létezik olyan U = n-edrendű unitér mátrix, hogy az

n(í = 1, 2 ,..., n)

k=]unitér transzformáció az Xi,x2 , . . . ,x„ változók

n n(5)

/=] k= l

kvadratikus alakját ún. tisztanégyzetes kvadratikus alakká transz­formálja, mégpedig

Z íla^kXiXk V/=U=l

k=\

ahol a pi\,fi2 , . . . , fin együtthatók az A mátrix sajátértékei, éspedig mindegyik annyiszor szerepel, mint amennyi a rangja.

Figyelembe véve a (2) előállítást, kimondhatjuk a következő tételt;

238

3. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely szimmetrikus K{x, y) kvadratikus funkcionál, vagy az általa gene­

rált A : X X lineáris operátor- pozitív definit legyen, az, hogy az A operátor minden sajátér­

téke pozitív legyen;

- pozitív szemidefinit legyen, az, hogy A-nak ne legyen nega­tív sajátértéke (a 0 lehet sajátérték);

továbbá K{x, y ) , ill. A akkor és csak akkor

- indefmit, ha A-nak létezik mind pozitív, mind negatív saját­értéke.

A míiszaki problémák megoldásához gyakran

ül -f 2ai2xy + 022)" + + ^^23y + «33 = 0 , (I)

öj + 2ai2^y + ü22y + 2ai3xz + 2ü2^yz + 033^ +

+ 2ö} 4X -I- 2ü24y + 2ű34Z + Ü44 = 0 (II)

alakú másodfokú egyenletek vizsgálatára van szükség. Az i, j , ill. az i, j, k ortonormált bázissal adott koordinátarendszerek tengelye­inek metszéspontja legyen a 0 pont, akkor az (I) egyenletet kielégí­tő (x, y) pontok mértani helyét másodrendű görbének, a (II)

egyenletet kielégítő (x, y, z) pontok mértani helyét pedig másod­rendű felületnek nevezzük. Az (I) görbe az együtthatókból alkotott

' 11 ^12 13 «21 ^22 ^23

_íZ3i Ö32 Ö33_

harmadrendíí szimmetrikus mátrixszal, a (II) felület pedig az

^ll «12 %3 üli 022 ^23 ‘ 24 Ö31 Ű32 Ö33 Ö340-41 Ü42 043 Ü44_

negyedrendű szimmetrikus mátrixszal jellemezhető.

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

i ik ^kd (la)

[a,l]4x4 - i ik ^kd illa)

3.1 ] Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai

Az (I) egyenlet kvadratikus része:

U >•]

239

«11 «12 '[ ‘‘'21 «22_

a (II) egyenlet kvadratikus része:

r 1’«ii ^12 13 X

[x. y. z] «2] «22 23 y«31 32 “ 33_

= X^Á44X

(7)

(8)

alakú, ahol A33 az A33, A44 pedig az A44 szimmetrikus operá­

tor mátrixa az adott bázisban. Ezek az ^.^]3 3 , ill. az [ a , j4x4

együtthatómátrixok ^33, ill. 044 elemeihez tartozó minormátrixok.

A főtengely tétel alapján a (7) felírható

(9)alakban, a (8) pedig felírható

2 . . 2Á ^ u i - i - A 2 U 2 + A 3 M 3 ( A i ^ A 2 ^ A 3 ) ( 1 0 )

alakban, ahol jelöli a sajátértékeket, pedig az ortonormált sajátvektorokkal meghatározott koordinátarendszert. Az új koordi­nátarendszer tengelyei párhuzamosak a görbe, ill. a felület tenge­lyeivel.

Ha az (I) egyenlet centrális görbe egyenlete, akkor

+ Á Ü2 + a = 0 (11)

alakra transzformálható, ahol az A33 minormátrix sajátérté­kei és

vagy ■ /I2 7^0 esetén

detA 33

_ det A A1A2

(12)

(13)

240 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

Az (1) egyenlet- ellipszis egyenlete, ha det[a,- ]3x3 < 0 és det A33 > 0 ;

- hiperbola egyenlete, ha det[a,- ]3x3 ^ 0 és det A33 < 0 ;

- parabola (nem centrális görbe) egyenlete, ha det[%]3x3 ^ 0

és detA33 = 0 ;

- metsző egyenespár, ha det[a;^]3x3 = 0 és det A33 < 0.

A sajátértékek ismeretében a ( 11) egyenlet- ellipszis egyenlete, ha mindkét sajátérték pozitív, azaz

\ > Q , Á2>0;

- hiperbola egyenlete, ha a sajátértékek különböző előjelűek,azaz

• /?2 < 0 ;

- két párhuzamos egyenes egyenlete, ha az egyik sajátérték 0, a másik pedig pozitív.

Ha det A33 ^ 0 , akkor centrális másodrendíi görbe középpont­

jának koordinátáit_ det A31 _ det A32

- 0 = - det A33(14)

det A33

formulákkal számíthatjuk ki.

Megjegyzés

Ha az A33 mátrix sajátvektorait ismerjük, és Q-val jelöljük a modálmátrixot, M-mel pedig az ortonormált modálmátrixot, akkor a másodrendű görbe (11) egyenletét

h W2IQ ^^33Q

[ül M2]M ^A33M

L“2j

U\_«2j

+ d S Í ^ = 0det A33

det A33

formulákkal is előállíthatjuk [K72],

Ha a (II) egyenlet centrális felület egyenlete, akkor

2 2 2 + ^U2 + ^3^3 + ö = 0

(15)

(16)

(17)

Önadjungált operátorok diagonalizáláisának alkalmazáisai 241

alakra transzformálható, ahol az A44 minormátrix saját­értékei, és

vagy Áy 2 ' esetén

fl= -de tA A^2^3 ■

A (17) egyenletből a sajátértékek és

det A

(18)

(19)

det A44

^ismeretében a felület jellegét az alábbi táblázatból megállapíthat-

det A /d e t A44 A felület jellege

Előjelek + + ++

Valós ellipszoid (4. ábra)

Előjelek + ++ +

Egyköpenyü hiperboloid (5. ábra)

Előjelek + ++

+ Kétköpenyű hiperboloid (6. ábra)

Előjelek + ++

00

Valós kúp (7. ábra)

Előjelek + + + + Elfajult ellip­szoid

Előjelek 4- + + 00 Elfajult kúp

242 II. Bevezetés a lineáris operá torok elméletébe

4. ábra. Ellipszoid 5. ábra. Egyköpenyű hiperboloid

Ha det A 44 = 0 , az egyik sajátérték 0 és a másik két sajátérték azonos előjelű, akkor a felület elliptikus paraboloid (8. ábra), ha kü­lönböző előjelű, akkor hiperbolikus paraboloid (9. ábra).

A paraboloid általános egyenletét (8. ábra)

i 2det A

z = 0 (20)

alakra egyszerűsíthetjük.

7. ábra. Kúp

8. ábra. Elliptikus paraboloid 9. ábra. Hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület)

3.11 Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai 243

Ha det A44 ^ 0 , akkor a centrális másodrendű felület közép­pontjának koordinátáit

det A/Xo = det A44 ’ det A44

det A42 _ det A43 "0 ~ det A (21)

44

formulákkal számíthatjuk ki.Megjegyzés

Ha az A44 mátrix sajátvektorait ismerjük, és Q-val jelöljük a modálmátrixot, M-mel pedig az ortonormált modálmátrixot, akkor a másodrendű felület (17) egyenletét

[m] U2 «3]Q *A44Q

[W] LI2 M3]M^A44M

UlU2

L«3J

'u\Ü2«3.

det A44

det A44

(22)

(23)

formulákkal is előállíthatjuk.

PéldaVizsgáljuk meg a Descartes-fé\e derékszögű koordinátarend­

szerben a

Ix^ - 4xy + 2x z -1- 10/ - 4JZ + 7z^ - 4 = 0

egyenlettel adott másodrendű felületet és az egyenletet hozzuk kanonikus alakra.

Megoldás. A másodrendű felület együtthatómátrixa és az A44 minormátrixa:

A =

' 1 - 2 1 0' - 2 10 - 2 0

1 - 2 7 0 0 0 0 - 4

7 -2 r, A44 - - 2 10 -2

1 - 2 7

Az A44 mátrix sajátértékei; Á -12, .^3 = 6 ;

saj átvektorai: Sj = [1, - 2, 1], S2 = [2, 1,0], S3 = [ - 1,0, 1].

244 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A detA = -1728.detA 44 = 432 , a ^ = - 4 < 0 és

a sajátértékek mindegyike pozitív, tehát a felület ellipszoid.Az ellipszoid egyenletének kanonikus alakja:

12x^ + 6 / + 6 z ^ - 4 = 0 , ill.

(*)

Ellenőrzésként végezzük el modálmátrixszal is a számítást: Mivel S(-S2 = S i'S 3 = 0 , de S2 -S3 ;^0 , ezért a sajátvektorok

nem alkotnak ortogonális rendszert. A modálmátrix oszlopvektorait a sajátvektorok alkotják:

1 2 - f, melynek inverze: Q = 4

1 - 2 f

Q = - 2 1 0 2 2 21 0 1

0 - 1 2 5

A (22) formula alkalmazásával

[ui il2 «3]Q 'a Qu\U2

L 3_

det A _det A44

= [m] Ü2 M3]'12 0 0"" Ui0 6 0 ll2 - 4 = 00 0 6 _ 3_

és így 1 2uf + 6uj + = 4 , ill. + 1 w f + 1 m ? = 1 a ( * ) alakkal

megegyező, ha a koordináta tengelyeket mj, ü2, W3 jelöli.

Á L L A N D Ó E G Y Ü T T H A T Ó JÚ L IN E Á R IS D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T -R E N D SZ E R E K

III. RÉSZ

1. FEJEZET>>

Á llandó együtthatójú d ifferenciálegyen let-rendszer m egoldása m odálm átrixszal

Bevezetés

A harmadik rész három fejezete az állandó együtthatójú differenci- álegyenlet-rendszerek mátrix alakra való átírása és Ljapunov-féle stabilitásának rövid összefoglalója után két új megoldási eljárást mutat be.

Az egyik pusztán az együtthatómátrix vagy egy közelítő együtt­ható mátrix (mankómátrix) rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor létezése esetén alkalmazható. A másik pedig az együtthatómátrix Jordan-íé\t normálalakjának direkt felírását és a transzformációs mátrixának kiszámítását, valamint az exponenci­ális mátrixfüggvény normálalakjának előállítását igényli.

Az új megoldási módszer keresésének indokoltságát a követke­ző, három ismeretlen függvényt tartalmazó állandó együtthatójú ho­mogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásakor jelent­kezett nehézségek bemutatásával szemléltetjük.

Állítsuk elő azi(0 = - 4 y - 2z y(,t) = - 3 x - z z(t) = - y - z

differenciálegyenlet-rendszer

4 0 ) = 1, y{0) ^ 0, z(0) = l

kezdeti feltételrendszert kielégítő megoldását.

244 II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A detA = -1728.detA 44 = 432, á = ^ -4 < 0 ésdetA 44 432a sajátértékek mindegyike pozitív, tehát a felület ellipszoid.

Az ellipszoid egyenletének kanonikus alakja:

12x + + 6z^ - 4 = 0 , ill.

(*)

Ellenőrzésként végezzük el modálmátrixszal is a számítást: Mivel Sj • S2 = Sj • S3 = 0 , de S2 • S3 0 , ezért a sajátvektorok

nem alkotnak ortogonális rendszert. A modálmátrix oszlopvektorait a sajátvektorok alkotják:

Q =1 2 - f

, melynek inverze: Q = v1 -2 r

- 2 1 0 2 2 2

1 0 10 -1 2 5

A (22) formula alkalmazásával

[m| «2 M3]Q *AQUyÜ2

‘12 0 0" Ml0 6 0 U20 0 6 _«3_

- 4 = 0 ,

és így \2ui + 6u\ + = 4 , ill. 3«f + = 1 a (*) alakkal

megegyező, ha a koordináta tengelyeket M], U2, M3 jelöli.

Á L L A N D Ó E G Y Ü T T H A T Ó JÚ L IN E Á R ISD IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T -R E N D SZ E R E K

III. RÉSZ

1. FEJEZET

Á llandó együtthatójú d ifferenciálegyen let-rendszer m egoldása m odálm átrixszal

Bevezetés

A harmadik rész három fejezete az állandó együtthatójú differenci­álegyenlet-rendszerek mátrix alakra való átírása és Ljapunov-féle stabilitásának rövid összefoglalója után két líj megoldási eljárást mutat be.

Az egyik pusztán az együtthatómátrix vagy egy közelítő együtt­ható mátrix (mankómátrix) rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor létezése esetén alkalmazható. A másik pedig az együtthatómátrix Jordan-féle normálalakjának direkt felírását és a transzformációs mátrixának kiszámítását, valamint az exponenci­ális mátrixfüggvény normálalakjának előállítását igényli.

Az új megoldási módszer keresésének indokoltságát a követke­ző, három ismeretlen függvényt tartalmazó állandó együtthatójú ho­mogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásakor jelent­kezett nehézségek bemutatásával szemléltetjük.

Állítsuk elő azx { t ) ^ - 4 y - 2 z y ( t ) ^ - 3 x - z z(t) = - y - z

differenciálegyenlet-rendszer

x(0) = l, j ( 0) = 0,z(0) = l

kezdeti feltételrendszert kielégítő megoldását.

Az A együtthatómátrix Áf sajátértékeinek és sajátvektorainak ismeretében, a modálmátrix felhasználásával képzett megoldás (1. az 1.2.1 pont 2 . példáját):

x(í) = QDQ-^Xo =

0,3943569149e^^ +0,8808807525é'^^ -0,2752376672e'^

246_____ III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

-0 ,375819812k^^ +0,737856270k^^ -0,3620364580í?^0,0858728557k^^ +0,2523826236é''^-' +0,661744520& ^

ahol Q a modálmátrix, és D = diag(e'^^\e^\e^^) az alaprendszer

diagonális mátrixa, xq a kezdeti feltétel vektora.A MAPLE V Release 5 egyenletrendszert megoldó módszere

20 perces programfutás után sem adott eredményt, a 9.5 pedig 29 oldalon közölte az eredményt. Próbálkozhatunk a hagyományos eljárásnak megfelelő magasabbrendű differenciálegyenletre való visszavezetéssel.

A lineáris differenciálegyenlet-rendszertz + z - 1 3i; - 6z = 0

állandóegyütthatójú harmadrendű homogén differenciálegyenletté alakítva az általános megoldást a z(t) függvényre a MAPLE prog­ram a következő alakban írta ki:

z(t)=_Cl*exp(-l/38400*(-6400*(172+12*Psqrt(28239)ni/3)+3*P(172+12*Fsqrt(28239))^(2/3)*sqrt(28239)-43*(172+12*Psqrt(28239)r(2/3)+12800)n)+C2*exp(l/76800*(- 6400*(172+12*I*sqrt(9413)*sqrt(3)r(l/3)+3*P(172+12*I*sqrt(9 413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)*sqrt(3)- 43 *( 172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)- 25600+6400*Psqrt(3)*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(l/3)- 9*( 172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))'^(2/3)*sqrt(9413)- 43*P'sqrt(3)*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3))n)+C3*exp(l/7 6800*(-6400*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(l/3)+3*P(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)*sqrt(3)-43 *(172+ 12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)-25600-

6400*Psqrt(3)*( 172+12*Psqrt(9413) *sqrt(3))^( l/3)+9*( 172+12*1 *sqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)+43*Psqrt(3)*(172+12*Psq rt(9413)*sqrt(3))^(2/3))*t).

Ezt a bonyolult négyzetgyökökkel és törtkitevös alakokkal tííz- delt komplex z(t) függvényt a harmadrendíi differenciálegyenlet harmadfokú karakterisztikus egyenletének gyökei okozzák. A x(t) és y(t) előállításához kétszer kell deriválni a z(t) függvényt s azt követően már felírhatjuk az

y(t) = ~ z ~ z és x{t) = + z - z)

függvényeket. A kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz még - nem kevés számítással - a Cj, C2, C3 konstansok konkrét meghatározá­sára is szükség van. A Jordan-féle normálalak és az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjának felhasználása is hasonlóan bonyo­lult megoldásfüggvényt állít elő. Ugyanakkor a további pontokban részletesen kidolgozott modálmátrixos módszer előnye az, hogy áttekinthető, egyszeri! exponenciális függvényekből álló megoldást ad.

Az 1.2.1 pont 2. példája bemutatja jól követhető számítási eljá­rással, a modálmátrix felhasználásával, mennyivel egyszerűbb elő­állítani a kezdeti feltételt kielégítő megoldását ugyanennek a diffe­renciálegyenlet-rendszernek.

l . I A dijferenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása________ 247

1.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása

A közönséges differenciálegyenlet-rendszer normálalakja

= 0' = l ,2, . . . , n ) ,

melynek vektorikus felírásadxdt (*)

~ fiit,X) ~x{

ahol X = - 2 , f(í,x) = f l M dx’ dt

h

248 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

Azt az X = x(í) valós vagy komplex függvényvektort, amely

értelmezve van valamely ia,b) intervallumon ( a < t < b ) és kielé­gíti a (*) egyenletrendszert, a (*) differenciálegyenlet-rendszer megoldásának nevezzük.

Definíció. A (*) differenciálegyenlet-rendszer ^ = (t) megol­

dását ( a < t < ^ ) Ljapunov szerint stabilnak nevezzük t —> -l-oo

mellett, ha tetszőleges £• > 0 és íg ^ esetén létezik olyan

ő = ő{s, 0 > 0 , hogya) a (*) rendszer minden x = x(í) megoldása kielégíti a

| |x ( ío ) -W ll< ^ (íG[ío,oo)) feltételt;

b) és ezekre a megoldásokra ÍQ<t <°<> mellett teljesül a

||x(0 - ^(í)|| < £ egyenlőtlenség.

A következőkben állandó együtthatójú lineáris differenciál­egyenlet-rendszerrel foglalkozunk:

= ül + ai2X2Ít) + ... +

dt

+ an2X2Ít) + ... +

ahol X] = xi(í), X2 = X2 Í t ) , x ^ - (í) ismeretlen függvények,

(/,k - l , 2 , . . . ,n) adott számok.Vezessük be a következő jelöléseket:

dx\(t) dt

dx2Ít) dt

dx jt)L dt J

ekkor az előbbi differenciálegyenlet-rendszer alakja:

xi(t)X2Ít)

_Xn{t)_

dx(t) ^ dt

(1)

1.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása 249

ahol A az állandó együtthatókból alkotott n x n - e s mátrix. A megoldást

x = e'^'v

alakban keressük. Behelyettesítve az (1) egyenletbe:

Í f f i s A í . '^ 'v + e ' ^ ' ^ = Aí.'^'v,dt dtamelyből

és mivel

/ ' ^ = o ,dt (2)

ktígy az e mátrix reguláris. A (2) egyenletből ekkor

dt = 0,

és ebből megoldásként a v = c n x l típusú konstans oszlopvektort kapjuk.

Az (1) állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszer álta­lános megoldása:

Ha a kezdeti feltétel: x(íq) = Xq , akkor

Xq = e^^°c , melyből c = e~ °XQ ,

és így a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:A í -A ía A(í-ín) x = e -e °Xq = Í? ° Xq ,

ahol az exponenciális mátrixfüggvény.Ljapunov szerint stabil az (1) állandó együtthatójú homogén

differenciálegyenlet-rendszer, ha az A mátrix sajátértékeinek valós része nempozitív, azaz

Re ; í j <0 , ( / - 1 , 2 , . ( 3 )

és a zérus valós részű sajátértékek egyszeresek, továbbá aszimpto­tikusan stabil, ha mindegyik sajátértéke negatív, azaz

R e ;ij< 0 ,(í = l,2 ,.. . ,n ) . (4)

Az első esetben az (1) minden x(0 megoldása korlátos a

íQ<t intervallumon, a (4) feltétel teljesülése esetén pedig mindegyik megoldása határértékben a 0-hoz tart, azaz

lim x ( 0 = 0 .f - - > + o o

A feltétel elégséges. Ui. ha az A mátrix r számú sajátértéke a + i(3 komplex szám, azaz + (k , és 5'számú = , sajátértéke mind egyszeres (tisztaképzetes szám), akkor az (1) rendszer általános megoldásvektora:

r sX(0 = E (cos + i sin + Z (cos y j + i siny^t)c^ (5)

k - \ m=l

alakú, ahol konstans vektor, p^(í) pedig a \ sajátérték mul­

tiplicitásánál alacsonyabb fokú polinomvektor. Az < 0 feltétel miatt

250_____ III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

másrészt

= 1,cos y^t + i sm y„i t

tehát mindegyik x(t) megoldás korlátos a ÍQ<t intervallumon.A feltétel szükséges. Legyen az (1) rendszer stabil. Ekkor az A

mátrix mindegyik sajátértékének a valós része nempozitív. Ui. tegyük fel, hogy az A mátrixnak van olyan Á = a + i^ sajátértéke,hogy Re /I = « > 0. Ekkor az (1) rendszernek van

x(í) = e^c

alakú nemtriviális megoldása, ahol | c | 0 . így

ÁtX =

vagyis a megoldás nem korlátos. Ez pedig ellentmond az (1) stabili­tásának, ezért

1.2 Differenciálegyenlet-rendszer megoldása modáImátrixszal 251

R Q Á i < 0 , ( i = \ , 2 , . . . , n )

feltételnek teljesülni kell.Ha az (1) rendszer stabil, akkor a. íqG (-°o, + oo) kezdőértékre

vonatkozólag egyenletesen stabil.Ui. a stabil (1) rendszer megoldása korlátos, így

< c , minden í > 0

esetén. Legyen x(t) az (1) rendszer tetszőleges megoldása. Ekkor a kezdeti értékvektorral adott megoldás:

és t>ÍQ mellett

l|x (0 ||s(í-ío)A

||x(ío)||<c||x(ro)||<£r,

es

választással látható, hogy a ő nem függ a íq értéktől. Ez viszont azt jelenti, hogy az x = 0 triviális megoldás egyenletesen stabil t mellett, sőt az (1) rendszer minden megoldása egyenletesen stabil t —> oo mellett.

Megjegyzés. Az (1) rendszer aszimptotikusan stabil, ha a

de t(A -;iE ) = 0

karakterisztikus egyenletének minden gyökére Re /íj- < 0 telje­

sül, (/ = 1, 2,..., n ) , vagyis ha minden sajátérték valós része negatív.

1 . 2 Differenciálegyenlet-rendszer megoldása modálmátrixszal

Ebben a pontban és e fejezet következő pontjaiban ismertetésre kerülő új módszerek az állandó együtthatójú lineáris differenciál­egyenlet-rendszer megoldásához nem teszik szükségessé sem a Lagrange-fé\&, sem az Hermite-féle mátrixpolinomok klasszikus módon való előállítását.

Két esettel kell foglalkoznunk. Az együtthatómátrix minimál- polinomjának zérushelyei egyszeresek vagy többszörösek.

252 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az eljárás alkalmazható w-ismeretlenes n egyenletből álló kö­zönséges elsőrendű állandó együtthatójú lineáris differenciálegyen- let-rendszerre is, de a módszert három, ill. négy ismeretlen függ­vényt tartalmazó

dxdt = Ax, x(?o) = Xq

homogén rendszer, ill.dxdt = Ax + f(0 x(ío) = Xq

(l**)

(2**)

inhomogén rendszer megoldásával szemléltetjük. Az itt javasolt új módszert, a modálmátrixos megoldási eljárást valamint az ex­ponenciális mátrixfüggvény normálalakját felhasználó eljárást összevetjük a differenciálegyenlet-rendszerek elméletét tárgyaló szakirodalomban leírt Lagrange- és Hermite-féle mátrixpolinomo- kat használó megoldási módszerekkel, valamint a MAPLE V Re- lease 5 programcsomag által előállított megoldással.

A modálmátrixos megoldási eljárás pontos, ha a minimálpoli- nom egyszeres zérushelyekkel előállítható, más szóval, ha az állan­dó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer n x /i-e s A mátrixának van n számú lineárisan független sajátvektora.

A modálmátrixos megoldás közelítő, ha a minimálegyenlet gyökei között kétszeres gyök is előfordul, mivel ekkor az együttha­tómátrixot olyan közelítő mátrixszal (mankómátrixszal) helyettesít­jük, melynek van n számú lineárisan független sajátvektora.

Abban az esetben, ha a minimálegyenlet gyökeinek multiplici­tása kettőnél nagyobb, akkor az Hermite-íélt mátrixpolinom előál­

lítása helyett az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjá­nak felhasználása javasolható a pontos megoldás előállítására, mely az A mátrix Jordan-íélQ normálalakjának és transzformációs mátri­xának ismeretében felírható. Ezzel a módszerrel a mátrixszorzatok az eredményt rendezett formában állítják elő.

A pontos modálmátrix alkalmazásával előállított megoldás a Jordan-fé\& normálalak felhasználásával képzett megoldás speciális esete, ha a megoldást az általam adott szabályok betartásával vé­gezzük. (1. a 3.6 pontot).

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek 253

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek

Kiszámítjuk a differenciálegyenlet-rendszer A együtthatómátrixá­nak sajátértékeit és sajátvektorait, és bemutatjuk a modálmátrix al­kalmazásának előnyét az irodalomban javasolt Lagrange-íéXt mát­rixpolinom alkalmazásával szemben. Érdekes, hogy az e tárgykört feldolgozó elméleti és gyakorlati szakkönyvek erre az egyszeri! módszerre nem utalnak, pedig ismert, hogy a sajátvektorok bázisá­ban a differenciálegyenlet-rendszer A mátrixa diagonálissá transz­formálható [K83].

1. tétel. Ha A e az (1**) homogén lineáris differenciál- egyenlet-rendszer együttható mátrixa, az Amátrix sajátértékei,

Vp [Vi V,jif, ¥2= [Vi2, V22, • • • > V„2f, • • ■, V„= [Vi„, V2„,...,

a megfelelő sajátvektorok, Q pedig a sajátvektorokból alkotott mo­dálmátrix, azaz

Vll Vi2 21 ^22

V\n2n , ( d e tQ :^ 0 ),

valamint

B = diag(e^\ / " ' ) (1)

az alaprendszernek a sajátvektorok modálmátrixba írt sorrendje szerint rendezett diagonálmátrixa, akkor az (1**) általános megol- dás-függvény vektora

x(í) = Q D c , (2)

az x(0 ) - X q = [^1, X2, ..., kezdeti feltételt kielégítő partikulá­ris megoldás-függvény vektora pedig

-1x(í) = Q - D - Q ^ x o , (3)

Tahol c = [q, c'2, .. •, a tetszőleges konstansok oszlop vektora, és

Q“ ^-xo=Co (4)

a kezdeti feltételt kielégítő megoldás együtthatóinak oszlopvektora.A tétel a differenciálegyenletek elméletében bizonyított tételek,

valamint a megoldás skaláris egyenletrendszereinek mátrix alakra való átírásával, továbbá az exponenciális mátrixfüggvényekre vo­natkozó összefüggések alapján belátható (1. a 3. fejezetet).

2. tétel. Ha az (1**) homogén hneáris differenciálegyenlet­rendszerhez tartozó együtthatómátrix karakterisztikus egyenletének többszörös gyökei is vannak, de minimálegyenletének gyökei egy­szeresek, akkor az (1**) differenciálegyenlet-rendszer megoldása a Lagrange-féle mátrixpolinomok nélkül, az 1. tétel szerint előállít­ható.

Ui. az n-edrendű A együttható mátrixnak ebben az esetben is van n lineárisan független sajátvektora.

Az inhomogén differenciálegyenlet-rendszer x(fo) = Xq kez­deti feltételt kielégítő megoldása, ha a minimálegyenlet gyökei egy­szeresek az

x(0 = Q D Xo+ JQ • D„ • • f(u)du (5)U=ÍQ

formulával előállítható, ahol az integrálban lévő D„ diagonális mátrix

D„ = diag{exp(A^(t - u)),exp{A2Ít - u)),. . . , exp(4(í - u))) (6)

alakban veendő fel.Az inhomogén rendszer általános megoldása pedig a homo­

gén rendszer általános megoldása és az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása összegeként kapható:

254______III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

(5*)M=ín

ahol c tetszőleges konstans vektor.

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek 255

1. eset. Az A mátrix sajátértékei különbözők, sajátvektorai lineárisan függetlenek. Ekkor a Q modálmátrix kiszámításával

meggyőződhetünk, hogy detQ 0 feltétel teljesül, s így a in­verzmátrix létezik.

1. példa. Határozzuk meg a

^ = x(t) + 2y(t),

dy _dt

dt = x(t) + 3y(t) + z(t)

elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását és az

[40)1 0"Xo = y(0) = 2

z(0) - 3

kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását.Megoldás. A három ismeretlen függvényt tartalmazó homogén

differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa és determinánsa:

’l 2 0“A = 2 1 0 , detA = - 3 .

1 3 1

Az A mátrix karakterisztikus polinomja és gyöktényezős egyenlete:

Á - 1 -2 0 det(^E - A) = - 2 Á - 1 0

-1 - 3 Á - 1= £ - 3 á^ - á + 3,

(Á-{ )(Á-3) (Á + 1) = 0

A karakterisztikus egyenlet gyökei egyszeresek, tehát a minimál­egyenlet gyökei is egyszeresek.

A sajátértékek: Á^^l, Á2 = 3, Á ^ - -1.

A sajátvektorok: V] = [0,0,1] , V2 = [1,1,2] , V3 = [1, - 1, 1]^.

. detQ = -2 0, tehát a sajátvekto-

256 111. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

A modálmátrix: Q =^0 1 1 0 1 -1

_1 2 1_rok lineárisan függetlenek.

Az alaprendszer diagonálmátrixa az 1, 3 , - 1 sajátértékek fel-

használásával:

D = diag{e\e^\e~^).

Ha Q oszlopvektorait V3(- l) , Vi(l), V2(3) sorrendre változtat­

juk, akkor D = d i a g ( e ^ ^ , (a diagonális elemek megfelelte­tése a Q oszlopvektorai sorrendjében történik).

A tetszőleges állandók vektora: c =Cl<'2

L^sJA homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldás-

függvényvektora a (2) formula szerint:

'x(ty "0 1 r e 0 0 0 0

qyit) = Q D c - 0 1 -1

12 1 0 0 _C3_

+ c e ^3t - t

t , rs 3t , - t q e + IC2S + ^3^

Tehát az általános megoldásfüggvények:

x{t) = £,'2^^^+ C3 \ y(t) = 626^^-636 \ z(t) = Cie + 2c2e + c e \

PvL Xq kezdeti feltételvektort kielégítő partikuláris megoldáshoz

kiszámítjuk a modálmátrix inverzét, Q~^-et, majd a q , C2, C3 állan­dók értékét a (4) formula alkalmazásával:

r-3 - 1 f 1 1 0

0 - 41 . 2 = 1( - 3 -1

tehát a homogén differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldásfüggvényei:

Xp - y>p = + e~ \ Zp - -A e + 2 e ^ - .

Ha csak a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás- függvényvektorra van szükség, akkor a (3) formulát használjuk:

~xit)

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek 257

yit)z.{t)

= Q -D -Q Xo =

0 1 1 0 1 -1 1 2 1

e {) Q0-t

0 0 0

- 3 -1 r 0"1 1 0 21 - 1 0 - 3

3í - t e ~e 3t , - te

t , ^ 3t - t 3 + 2e - e

Ha a Lagrange-féle mátrixpolinommal is elvégezzük a számí­tást és az együtthatók közötti összefüggést megállapítjuk, akkor rendezés után az általános megoldásra is, és a kezdeti feltételt ki­elégítő megoldásra is ugyan ezeket a megoldásfüggvényeket kapjuk.

A modálmátrix és inverzének szorzata, ha közelítő eljárást al­kalmazunk, akkor általában nem tiszta egységmátrixot - ún. szeme­tes egységmátrixot - ad eredményül. Ha pontos egész értékekkel végezzük a számítást, akkor a modálmátrix és inverzének szorzata mindig tiszta egységmátrixot állít elő:

Q Q ' =1 0 0' 0 1 0 0 0 1

2. példa. A bevezetésben adott differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa valamint A determinánsa:

A =0 - 4 - 2 '

- 3 0 - 1

0 -1 -1det A = 6.

258 111. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az A mátrix sajátértékei (/^) és sajávektorai (v^):

= 3,376468085, Z2 = -3,923562085, I 3 = -0,452905997 ,

Vj =[-0,7150861437, 0,6814728739, -0 ,1557129770f,

V2 =[-0,7563510515, -0,6335458735, -0 ,2167034099f,

V3 =[-0,3811396997, -0,5013356939, 0,9163611595]^.__9

Megjegyzem, hogy a MAPLE a 2. és 3. sajátértéknél --0,2-10 i

képzetes részt - „szemetet” - is feltüntett.A Q modálmátrix oszlopvektorait a kiszámított sajátvektorok

képezik, és mivel detQ = 1,000000001, ezért a sajátvektorok lineá­risan függetlenek. Képezzük a modálmátrix inverzét és a modál­mátrix és inverzének szorzatát:

Q Q ' =1,0

-1 -1 0 ““0

0,4-101,0

0,3-10

,-10 0,1-10

-90,1-10

0,9999999999

melyből arra lehet következtetni, hogy a modálmátrixszal képzett megoldás 8-9 jegyre pontos értékeket ad (1. a 2.2 pontot).

Az alaprendszer diagonális mátrixa:^ r 3,376468085; -3,923562085? -0,452905997í.D = diag(e ,e ,e ) .

A megoldást a (3) formula szerint képezve a kezdeti

■fx(0) = Xo = 0

_1

feltétel vektort kielégítő megoldás vektort a következő alakban kapjuk:

~x{t)y ( t )

z ( t )

= Q D Q -1 ’Xn =

0,3943569149e^ + 0,8808807525^^^^ -0,2752376672é?^^ -0 ,3 7 5 8 1 9 8 1 2 l/‘ -h0,737856270k^^ -0,3620364580e^^0,0858728557k'^ + 0,2523826236^^ + 0,6617445206e^

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek 259

ahol a kitevőkbe a Xi, helyett a kiszámított sajátértékeket kell írni.Ha behelyettesítjük a megoldásvektort az eredeti egyenletrend­

szerbe és kiszámítjuk a bal és jobb oldali vektor komponenseit pél­dául a / = 1 helyen, akkor látjuk, hogy közel azonos a két vektor:

38,98120714' 38,9812071 r-37,09143919 , -37,09143913

8,275815806 b 8,275815795

3. példa. Határozzuk meg az

' - 1 0 r 'Át) rej (0 = - 1 - 2 -1 y{t) + 0

- 2 - 2 - 3 _z(t)_ 0

inhomogén differenciálegyenlet-rendszer x(0) = [0,2, - 3] kezdeti feltételt kielégítő megoldás-függvény vektorát.

Megoldás. Az A mátrix determinánsa: det A = - 6. Az A mátrix sajátértékei és a megfelelő sajátvektorok:

-1> V, = [1, - 1, O f; ^2= -2 , V2 = [-2 ,1,2 f \ -3, V3 = [-1,1,2 f .

Mindhárom sajátérték negatív, tehát a rendszer stabil.

A Q modálmátrix, det Q és Q inverze :

Q =-1 -2 - r [ o 1 - f

1 1 1 , detQ = 2 , Q = -1 -1 00 2 2 1 1 i 2_

A modálmátrix és inverzének szorzata:

Q Q -‘ ='1 0 0' 0 1 0 0 0 1

s mivel tiszta egységmátrixot kaptunk, ezért a javasolt új eljárással, a modálmátrixos módszerrel, ennek a feladatnak is pontos megol­dását állíthatjuk elő (1. a 2.2 pontot).

A zavaró tagot jelentő f(í) = 0,0]^ , így í{u) = [e~" “,0,0]^ .

260 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az alaprendszeri tartalmazó diagonális mátrixok:

D = diag[e^\e~^\e^ ~\, és

A megoldás: x(í) = Q D • Xq + |Q ■ D„ ■ • f {u)du =

](2e1 - t , . -2 t 1 -3f +4e - -^ e

1 - t o -2 í , 1 -3í 2 " -2 ^ + 2 "

-2t+2u -3 í +3mn -4« T - e ) ■e duu=0

t-2t+2u , -3í+3mx -4«J(-e

u~0

j(-2e_M=0

-2í+2m . ^ -3t+3u~, -4m t + 2e )-e du

-3t- 3,5e +4e — 0,5e + (e - l)e 33e~' - 2e~' + • e

-e

A vektorok egyenlőségének értelmében, rendezés után, a kezde­ti feltételt kielégítő megoldásfüggvények:

xit) = -3,5e~^ + 5e~' - \,5e~' \

yit) = 3,5e“ - 2,5e"^^ + \,5e~ - 0,5e ' \Í^\ c -2 í , O “ 3Í -4í z(í) = —5e + 3e - e

Ha a klasszikus, Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásá­val is előállítjuk a megoldást, akkor látjuk, hogy az a rendezés után a modálmátrixos megoldással azonosan egyenlő.

2. eset. Az A mátrix karakterisztikus egyenletének van több­szörös gyöke is, de a minimálegyenletének csak egyszeres gyö­kei vannak. Ekkor az elmélet általában a Lagrange-íélt mátrix- polinomokkal való megoldást javasolja.

Háromismeretlenes homogén lineáris differenciálegyenlet-rend­szerre mutatunk példát, ha az egyik sajátérték multiplicitása 2 .

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek 261

Mivel ebben az esetben a 2-es multiplicitású sajátértékhez található két lineárisan független sajátvektor, ezért lényegesen egyszerűbb számolással jár az előző pontban bemutatott modálmátrixos mód­szer, a Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásával szemben.

Szemléltetésként a következő példát ebben a pontban modál- mátrix alkalmazásával a következő pontban pedig a Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásával is megoldjuk, hogy a két megol­dási eljárás számítási munkáját kiértékelhessük.

4. példa. Határozzuk meg a

í j í = 2 x ( t ) + 2 y ( t ) + z ( t ) ,

^ = 4 t) + 3y(i) + z(t)

í ^ = x(t) + 2y(t) + 2z(t)

elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását, és a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását.

Megoldás. A három ismeretlen függvényt tartalmazó homogén differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa és determinánsa:

”2 2 \

^40)“ 0‘Xo = 3 (0) = 1

2(0) 0

A = 1 3 11 2 2

det A = 5.

Karakterisztikus polinomja:

i - 2 - 2 -1

-1 A - 3 -1

-1 - 2 Á - 2- I Á } + l U - 5 = ( X - 5 ) ( X - l f

A karakterisztikus polinom zérushelyei között többszörös is van, de a minimálpolinom zérushelyei:

- 6Á + 5 - (Á -5) (Á -1 ) egyszeresek.

A és a /I3 = 5 sajátértékekhez tartozó sajátvektorok li­

neárisan függetlenek:

262 ILI. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

-1 -2 10 , V2 = 1 , ¥3 = 11_ 0 1

A sajátvektorokból alkotott modálmátrix:

■-1 -2 rQ = 0 1 1 . detQ = - 4 ^ 0 ,

_ 1 0 1

tehát a sajátvektorok valóban lineárisan függetlenek.Az alaprendszer diagonálmátrixában a többszörös gyöknek

megfelelően, az a gyök multiplicitásával azonos számszor fordul elő:

D = diag{e\e\e^^).

Az általános megoldás függvényvektora:

( - q ~ 2c2)e +

C'ie + t , 5t qe +C3Ő

és így az általános megoldásfüggvények:

x(r) = ( - q - 2c2) / + c 3e^^ y(t) = C2e + z(t) = qe + (*).

Az Xq kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz kiszámítjuk a

Cj, c'2, 63 állandók értékét a (4) formula szerint:

r 212 1 2_

tehát a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás:

~x(t) -1 - 2 r 0 0 c\y(t) = QDc = 0 11 0 0 Cl

_z{t)_ 1 01 0 0 e ^ ^ - 3.

<‘1

1 3,= q “^-xo4 -

-1 - 2 3" “0"-1 2 -1 1

1 2 1 0

1.2.2 Megoldás Lagrange-féle alappolinomokkal 263

Megjegyzés. Háromismeretlenes rendszer klasszikus megoldá­sához, kétszeres gyök esetén, a lineárisan független alaprendszert formálisan

Á\ t , Áa t Ao t, te , e^

módon kell megválasztani. A modálmátrix alkalmazása esetén a

diagonális alaprendszer mátrixában nem kell függvényt hasz­

nálni, csak annyiszor írjuk be az függvényt, ahányszoros gyök a Ál sajátérték, ha a /^-hez multiplicitásával megegyező számú független sajátvektor tartozik.

1.2.2 Megoldás Lagrange-f él e alappolinomokkal

Az alappolinom kiszámításához az

(í = l,2 ,...,v ) (1)

formulát használjuk, ahol ju(w) a

az A mátrix egyszeres gyököket tartalmazó minimálpolinomjának Á = w helyettesítésével felírt alakja, ju'(Á ) a jU(w) polinom deri­

váltjának a w = Ál helyen vett értéke.A homogén rendszer általános megoldását a Lagrange-féle. mát-

rixpolinom segítségével

x(t) = Z e ^ % ( A ) - c (2)Í=1

formulával, az Xq = x(íq) =

10^20

JnOÁ

kezdeti feltételt kielégítő megoldást az

264 III. Állandó együtthatójú lineáris díjferencíálegyenlet-rendszerek

i=\

formulával, az inhomogén rendszer megoldását pedig

x.(0 = f • xo + i ]e^^'-^^LiiA)f(u)du

(3)

(4)/=] i=Uo

formulával állítjuk elő [K83].

1. példa. Az előző pont 4. példája homogén differenciálegyen­let-rendszerének megoldását állítsuk elő a Lagrange-féle L (A) mátrixpolinomok segítségével.

Megoldás. A kiszámított minimálpolinom és a sajátérték szerin­ti deriváltja:

= f - 6 / l + 5 = a - 5 ) ( / i - l ) , // ' = 2 A - 6 .

Minthogy Aj =5, A2 =1 , így

//'(/ll) = 2 - 5 - 6 = 4, / / '( ^ ) = 2 - l - 6 = ~4,

és az alappolinomok:

=

Aí

..^ _ 1 (^ _ 5) L,{5) = Qí,fi (/^)(w — /^) — 4(w — 1) 4 ^

Az exonenciális mátrixfüggvényt a kiszámított alappolino­mok felhasználásával

- i e‘(A - 5E) + i «='(A - E) = - ^ (5E - A) + (A - E)

alakban kapjuk, azaz

4

/ "5 0 0' "2 2 r 5t/ ”2 2 r "1 0 0' \

0 5 0 - 1 3 1 1 3 1 - 0 1 0

V 0 0 5 1 2 2 y4

V 1 2 2 0 0 1 /

7.2.2 Megoldás Lagrange-féle alappolinomokkal 265

3e + — 2e + - e +t , 5t ry t . ^ 5t t , 5t— e + e Z£ + Ze ~ e + et . 5t t . ^ St ^ t . 5t- e + e - Z£ + j£ 5e + e

Az általános megoldás függvényvektorát, ill. megoldásfüggvé­nyeit az exponenciális mátrixfüggvény és a c konstansvektor szor­zataként állíthatjuk elő:

Tq 1 (3e + e )C[ + {—2e + 2e )c'2 + {-e H- x(0 = / ^ - c'2 = ^ - (-e +e^ % + (2e^+ 2e ^ % + (-e + e ^ %

{ - e + + ( - 2 / -t- 2e^^)c2 + ( ie + e^ )c^

Át ) = (-| q - C2 - j C3) + q -t- ^ C2 + -^ C3),

y{t) = e \ - ^ c x +~C2 - ^ C 2) + + j C 2 +jC-^),

z(t) = e \ - ^ c y - ^ C 2 + JC2) +

és ez, az együtthatók közötti kapcsolat alapján, felírható

x{t) = { - C j - 2C2)e +C^e^\

y(t) = €26 + C^e \

z{t) = C e +

alakban, amely a modálmátrixszal előállított megoldással egyező.A kezdeti feltételt kielégítő megoldás:

?>e + e — 2e + 2e - e + e - e + e 2e + 2e - e + e - e + e - 2e + 2e l>e -1-

' 1 í ^ 1 5t‘ - 2 ^ + 2 ^

1 í , \ 5t

2 2azaz

266 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1 í , 1 5í l t , l 5t _ 1 í I 1 5íXp —•2 ^ + '2 ^ " ~ 2 2 ~ 2 2 ’

A két módszerrel számított megoldásfüggvények azonosan egyenlők egymással.

Megjegyzés. A modálmátrixos módszernél nem kell a minimál- polinom deriváltjait képezni, nem kell alappolinomokat és mátrix- polinomokat előállítani, nem kell az együtthatók közötti kapcsolat vizsgálatát az egyszerűsítéshez elvégezni, ugyanakkor a modálmát­rixos módszer a megoldást rendezett alakban adja, sőt az együtt­hatómátrix minimálpolinomjának kiszámítása el is hagyható, ele­gendő a

detQ ^ 0

vizsgálata, ha van az együtthatómátrix rendjével azonos számú sajátvektor.

2. FEJEZET

E gy k ísé rle tező m ódszer

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak

Ebben a pontban egy olyan speciális közelítő megoldás módszeré­nek alkalmazását mutatjuk be, amely jól használható, ha az együtt­hatómátrix minimálegyenletének az egyszeres gyökökön kívül van egy kétszeres gyöke is. Ebben az esetben ezzel az eljárással előál­lítható a mátrix rendszámával megegyező számú lineárisan függet­len sajátvektor, és így az Hermite-íélQ mátrixpolinom kiszámítása nélkül, a modálmátrix felhasználásával, a differenciálegyenlet­rendszer közelítő megoldása megkapható. A közelítő megoldás hi­bájának becslésével a 2.2 pontban foglalkozunk.

1. példa. Az eljárást a

^ = -x ( t ) -2y{ t ) -3z{ t )

^ = 2x(t) + 3y(t) + 4z{t)

dz _ dt

, x(0) =

homogén differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti feltételt kielé­gítő megoldásával szemléltetjük.

A rendszer mátrixa: A =-1 - 2 -3 2 3 4

-1 -1 -1, det(A) = 0,

karakterisztikus egyenlete: -1 ) = 0 ,

2minimálegyenlete: Á ( Á - l ) - 0 ,

azaz Si egyszeres, a A^-O pedig kétszeres gyök. így az Amátrixnak csak két lineárisan független sajátvektora van:

268 HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

v i= [-1,1,0]^ és V2 = [ l , - 2, í f ,

tehát modálmátrix nem hozható létre.Kísérletezéssel az A mátrix egy vagy több elemét zérushoz kö­

zeli értékkel megváltoztatva elérhető, hogy a karakterisztikus egyenletnek, és így a minimálegyenletnek is egyszeres gyökei le­gyenek. Az így előállított mátrixhoz a rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektort kaphatunk.

Például az A mátrix helyett az

-1,00000009 -2,000000009 - 3 'A, = 2 3 4

_1 _ i -1det(Ai) = -0,72-lÖ,-7

közelítő mátrixot, ún. m ankóm átrixot választva, a karakterisztikus egyenlet gyökei egyszeresek, és így a minimálegyenletnek is egy­szeres gyökei vannak. Ennek a módszernek az alkalmazását a mé­rési eredménnyel kapott együtthatók kerekítési hibáinak feltételezé­se teszi elfogadhatóvá.

Az A] mátrixÁl = - 0 , 0 0 0 2 6 8 3 7 3 A2 = 0,0002682830^ 0 , Á^= 1,000000000 sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:

--0,4473096038” 2082,888212” - 2,000000000"Vl= 0,8943791805 , V2= -4166,894331 ,V3= 2,000000322

-0,4471895903 2083,447166 -0,161-10“^

A Q modálmátrix oszlopait rendre a A2, /I3 sajátértékekhez tartozó sajátvektorok koordinátái alkotják:

'-0 ,4473096038 2082,888212 - 2,000000000"^Q = 0,8943791805 -4166,894331 2,000000322

-0,4471895903 2083,447166 -0,161-10“^

det(Q) = 1,000000 0, tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek.Az alaprendszer diagonálmátrixa:

. -0,000268373í 0,0002682830í l,000000000íx D - d i a g ( e ,e ,e ).

A Q modálmátrix inverze:

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak 269

r -4166,894332 -4166,893997 -4168,011567 ~Q ' = -0,8953791806 -0,8943791086 -0,8941390094

0 0,5000002000 1,000000000 _

A kezdeti feltételt kielégítő közelítő partikuláris megoldás függ­vényvektora:

'x{t)y{t)z{t)

= Q - D - Q ^.x(0) =

3728,283456^^^^ - 3725,283455e"^^ -- 7454,566308e^^ + 7452,566306e^^ + 2,000000322e^‘ 3727,283154é''^ -3726,283154?'^^ -0,161 OOOOOOOe ^

ahol Ál, Á2, Áj helyébe a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni.Számítsuk ki a modálmátrix és inverze szorzatát, és vizsgáljuk

meg az egységmátrixtól való eltérését. A főátlón kívüli elemekből a megoldás pontosságára nyerhetünk információt. A szorzatként előálló

r.-61,000001 -0,600-10“ 0 -0,1-10~ 0,999999561 -0,678-10“ ^

0 -0,805-10“ 0,9999998390

un. ,szemetes” egységmátrixban a főátlón kívüli elemek közül ab­

szolút értékben a legnagyobb az 1 • 10 elem, melyből arra követ­keztethetünk, hogy a közelítő megoldás legalább a 6. jegyig jó kö­

zelítés ad, (figyelem! a pontosság nem 1-10“^) figyelembe véve, hogy a megváltoztatott elemek csak a 8-9. jegyben térnek el az eredeti elemtől. (1. a 2.2 pontot).

A pontos megoldás: x(í) =~ 2 t - 2 e + 3 4t + 2e‘ - 2

~ 2t + l

Például a t = 1 és t = 2 érték behelyettesítésével a pontos és a közelítő megoldás, csak a hetedik jegyben tér el:

270 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlel-rendszerek

x(l) = -4,436563656, y(l) = 7,436563656,

x {\) = -4,436562656, = 7,436563531,

z^(l) = -1,000001438.

x(2) = -15,778112220, v(2) = 20,77811220, z(2) = -3 „

x^(2) = -15,77811220, };^(2) = 20,77811458, z^(2) = -3,000002190.

Az új módszer állandóegyütthatójú inhomogén lineáris diffe­renciálegyenlet-rendszer megoldására is alkalmazható.

2. példa. Állítsuk elő

= 3x{t) - 3yit) + lz{t) + sin 2t,

j í = ~x(t) + 3y(t) + e ’

x(0 ) =

inhomogén differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti félté tel vek­tort kielégítő megoldását.

Megoldás. Az együtthatómátrix és determinánsa:

' 3 - 3 2 A = -1 5 - 2 , det(A)=16.

-1 3 0_

A homogén rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldása 0 vektor, így csak az inhomogén rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldását kell előállítani.

Az A mátrix karakterisztikus egyenletének kettős gyöke van:

a - 4 ) a - 2 ) ^ = o ,

de a minimálegyenletének gyökei egyszeresek: {X - 4){Á - 2) = 0.Ekkor van három lineárisan független sajátvektor, melyekkel a

modálmátrix és determinánsa:

0,7071067812 0,7071067812 -0,9999999998“Q = -0,7071067812 0,7071067812 0,9999999998

-0,7071067812 0,7071067812 2,0000000000_

det(Q) = 1,000000000,

tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek.

'0,7071067809 -2,121320343 1,414213562 0,7071067809 0,7071067809 0

0 -1,0000000000 1,000000000

.-9

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak 271

A Q -Q “ -0,9999999996 -0 ,2 -1 0 “ 0

0 1,000000000 0 0 0 1,000000000

mátrixból arra következtethetünk, hogy a modálmátrixos megoldás közel egyenlő a pontos megoldással, mivel a szemetes egységmát­

rix főátlón kívüli legnagyobb eleme -0,2-10,-9

A megoldásvektor: x(/) = jQ • D„ • • í{u)du ,M=0

ahol= ú?íö^(exp(4(í - m)), exp(2(í - «)), exp(2(í - u))).

A pontos és közelítő megoldás értékei pl. t = \ helyettesítéssel:

41) = 16,73333363; jc^(l) = 16,73333363; j(l) = -13,91209323; y^(l) = -13,91209322; z(l) = -7,620301153; z^(l) = -7,620301153

megegyeznek.A következő differenciálegyenlet-rendszer megoldásával szem­

léltetem azt az esetet, amikor a sajátértékek közelítő kiszámításakor a komplex sajátértékek képzetes része abszolút értékben közel esik a nullához.

3. példa. Határozzuk meg az-_1 _2 - 2 ^ ~x(ty

j(0 = 0 - 2 -1 y(t)1 - 2 - 2

diffe-

renciálegyenlet-rendszer x(0) = [1,1, - i f kezdeti feltételt kielégítő megoldását.

Megoldás. Az A mátrix egész értékű sajátértékei:

A = -1, /Í2,3 = ~2 .

A minimálpolinom (1 + DU + 2) ^ tehát A-nak kétszeres zérushe­lye van a -2 helyen, így csak két sajátvektora van az A mátrixnak;

= - l , Vj ; > ,3 = -2 , V2 = [2,1,0].

Ha közelítő számítással keressük a gyököket (MAPLE), akkor a valós gyök mellett konjugált komplex gyökpár is fellép:

2 = -2,000000000± 0,00006308724118/, /I3 = -1,000000001.

Mivel a valós rész negatív, a rendszer stabil.A modálmátrix valós sajátvektorokkal áll elő:

'-0,003639828088 10,76062210 2,236067975 Q = -0,001819914041 5,380311039 2,236067975

0,0003394289844 0,101 M 0~^ -2,236067976

A modálmátrix determinánsa: detQ = 0,004083582707 ^ 0 , inverze:

272 III. Á llandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

-2946,124106 5892,248165 2946,124059 -0,8106766684 1,807216181 0,9965395120 -0,4472135933 0,8944271883 0,2448830039-10'

1,000000002 0,2-10“ -0,5475750426-10 -0 ,50-10“ 0,999999990 0,475750426-10''

0 0,9999999926-0 ,8-10 0

szorzatmátrix eléggé szemetes egységmátrixnak, de a főátlóbeli értékek közel 1 -gyei egyenlők, a föátlón kívüli értékek közül abszo­

lút értékben pedig a legnagyobb 0,5475750426-10 , így jó közelí­tő megoldást kaphatunk a 8. jegyig bezárólag.

A modálmátrix alkalmazásával kiszámított, kezdeti feltételt ki­elégítő megoldás függvényvektora:

[ 4 0 ]yit)

"0,6 • 10~^e“^ Hr 0,9999999925^“^

= QDQ V 0) = 0,2 - 10"^e"^^ + 0,9999999925e“ '

zit) p- 0,999999993

és így a megoldásfüggvények, a közel 0 első tagok elhanyagolásával:

2.2 A közelítő m egoldás hibabecslése 273

Xp(t) - 0,9999999925e \ y^it) = 0,9999999925e~^

= -0,999999993

A MAPLE programcsomaggal számított kezdeti feltételt kielé­gítő pontos megoldásfüggvények:

(0 = e \ yM (0 = zm (t) = ,

melyek a modálmátrixos megoldás egész jegyre kerekítésével is előállíthatok.

2.2 A közelítő megoldás hibabecslése

Legyen A a stabil állandó együtthatójú differen ci ál egy enl et-ren d - szer «-edrendű invertálható együtthatómátrixa. Képezzünk

% + (i,k = l,2,...,n)

elemekkel egy n-edrendű B mátrixot. A B mátrix is invertálható, ha eleget tesz az

n ae < l (*)

feltételnek, ahol á = max | ) az A inverzének maximális eleme\<i,k<n

és £ = max | Aan | . Ekkor az inverz mátrixok elemeinek abszolút\<i,k<n

különbségére fennáll az2.2

% - 4l - n de

egyenlőtlenség, ahol a bn számok a B inverzének elemei, azaz

hk. - Tegyük fel, hogy a B mátrixnak létezik rendjével meg-egyező számú lineárisan független sajátvektora.

1. tétel. Legyen A egy állandó együtthatójú lineáris differenci- álegyenlet-rendszer együttható mátrixa. Az A valós sajátértékű, mimmálegyenletének gyökei legyenek egyszeresek, B pedig legyen az ezt közelítő rendszernek a (*) feltételt kielégítő együttható mátri- xa. Az A modálmátrixát Q, az alaprendszerének diagonális mátrixát

D, a közelítő B modáimátrixát alaprendszerének diagonális

mátrixát jelölje.A kezdeti feltételt kielégítő pontos és közelítő megoldásvektor

koordinátáinak különbségét stabil rendszernél

274 Hl. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

(i = 1, 2, . . . , n ) , (0 < tQ <t < +'=o) (1)

egyenlőtlenséggel, nem stabil rendszernél pedig

1 %i=i

egyenlőtlenséggel becsülhetjük, ahol x,„ a kezdeti feltételvektor

abszolút értékben legnagyobb koordinátája, M a D é s d i a g o n á ­lis mátrixokban előforduló függvények felső korlátja az adott inter­vallumban és

Bizonyítás. A feltételből következik, hogy mind az eredeti mind a közelítő mátrixnak (mankómátrixnak) van modálmátrixa. Ekkor

csak alakú függvények képezik az alaprendszert. A kezdeti feltételt kielégítő pontos és közelítő megoldásvektorok:

x(í) = QDQ xq ; x (r) = xq .

A két megoldásvektor különbsége:

x(0 - x^(0 = QDQ“ xo - = (QDQ“ - V o • (3)

Stabil rendszer együtthatómátrixának sajátértékei nempozití-

vak, így alaprendszerének (í^O ) alakú elemei a maximális értéket í = 0 helyettesítéssel veszik fel (10. ábra), vagyis a / = 0 behelyettesítésével D is is egységmátrixot állít elő, azaz

I>i=o = = E .

Jelöljük H-val és nevezzük hibamátrixnak a A = 0 helyettesí­téssel kapott zárójeles részt, akkor

2.2 A közelítő megoldás'hibabecslése 275

H = Q Q - '-Q * Q - ' =k i h l h n h l h l hn (4)

Jh%l k i l • ■ ■ km_

Legyen az Xq kezdeti feltételvektor koordinátái közül ab­szolút értékben a legnagyobb , azaz

= maxj xi I,i

akkor a pontos és közelítő megoldásvektorok különbségének koor­dinátáira a

h l h l h l h l

\ \ hi2

h nh n >

r in^

Mösszefüggés alapján az (1) hibabecslést kapjuk, azaz

^mY.hj7=1n

^mlLhjj=y

(i = l,2, . . . , n ) , (0 < ÍQ < / < +oo).

A nem stabil homogén állandó együtthatójú lineáris differenciál­egyenlet-rendszernél tekintsük a % e Uh és t i < t < t 2 véges

intervallumot. Az minden véges intervallumban korlátos. Le­gyen a pontos megoldás alaprendszerére

Mp = max(e^'^), t e [ti,Í2]

a közelítő megoldás alaprendszerére pedig

= max(e^'^), t e [íi,í2l •i

Ekkor M =max(Mp,Mk)választással a D és helyett M -E helyettesíthető a (3) formulá­

ba, és így a

276 I I I Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

(QDQ '-Q iD iO í‘)xoformuláról

.-K(QAÍEQ-^ -QfcMEQfcVo = M (QQ ^- QkQk> 0

formulára térünk át, melyből a H hibamátrix:

H = M (Q Q " '-Q * Q íV (5)

Legyen az Xq kezdeti értékvektor koordinátái közül abszolút

értékben a legnagyobb , azaz = max] x, | , akkor (5)-re valói

tekintettel a nem stabil rendszernél a kezdeti értéket kielégítő pon­tos és közelítő megoldásvektorok különbségének koordinátáit a (2) egyenlőtlenséggel becsülhetjük, azaz

\ x , ( t ) - X i , ^ i t ) \ < M - X ,

Megjegyzés1. Feltételezhetjük, hogy QQ“ közelítőleg az egységmátrix­

szal egyenlő, ezért a (4) helyett

H = H t= E -Q iQ t‘ ,az (5) helyett pedig

H - = M (E -Q ^Q ^ b = MRk

h ibam átrixo t alkalm azhatjuk .

(4*)

(5*)

2.2 A közelítő megoldás hibabecslése 277

A kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldás helyes jegyeinek számát a

max[Q^Q^^];y , ill. M max[Q^Q^^],y y y

elem kitevőjének abszolút értékéből becsülhetjük.

2. Ha az A mátrixhoz két, B| és B2 , közelítő mátrixot képe­zünk, melyeknek rendjükkel megegyező számú lineárisan független sajátvektoruk van, (1. példa), akkor a modálmátrixszal előállított megoldásaiknak egymáshoz viszonyított hibabecslésére (4), ill. (5) hibamátrixot használhatjuk.

3. Abban az esetben, ha az A mátrix minimálegyenletének csak egyszeres és kétszeres gyöke van, akkor egy vagy több együttható „kicsi” megváltoztatásával, vagy egész elemek esetén egy tizedes pont beütésével, olyan mankómátrixot állíthatunk elő, amelynek minimálegyenlete a mátrix rendjével megegyező számú egyszeres gyököket és lineárisan független sajátvektorokat tartalmaz. A man­kómátrix alkalmazásával képzett modálmátrixos eljárás megbízható eredményt azonban csak akkor ad, ha a mankó mátrix sajátértékei valósak és az eredeti mátrix sajátértékeitől a 4-5. jegytől kezdve eltérnek. (2. példa)

Ha az A minimálegyenletének kettőnél nagyobb multiplicitású gyökei is vannak, akkor célszerííbb a Jordan-íéle. blokkokat az általam megadott módszerrel előállítani és utána az exponenciáhs mátrixfüggvény normálalakjával képezni a megoldást, melyet a 3.6 pontban részletesen ismertetünk.

1. példa. Négy ismeretlen függvényt tartalmazó lineáris diffe- renciálegyenlet-rendszer A együttató mátrixát mérési sorozattal kaptuk:

^0 5,0000004 1,0000007 6,'0 10, -1,0000003 10,0 -3 9 , 0 -4 0 ,1, - 20, 2,0000001 - 20,

A =

TÁllítsuk elő az x(0) = [1,0,1,1] kezdeti feltételt kielégítő meg­

oldást az A mátrix és az A mátrixot közelítő A^ mátrix felhaszná-

278. III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

lásával, melyben az elemek egészre kerekítve szerepelnek;

Az, —

0 5 1 6 0 10 -1 100 - 3 9 0 - 4 01 - 2 0 2 - 2 0

Megoldás. Ezzel a példával azt az esetet szemléltetjük, amikor mindkét mátrixnak van a rendjükkel azonos számú független saját­vektoruk.

Az A mátrix sajátértékei, a sajátvektorokkal felírt modálmátrix és ennek inverze:

;i = -0,999992139, ^2 = -2,000050089, Í 3 = -4,000041935,

;i4 = -2,999915 831.

Q -

■ 0,7185522460 6,818418066 15,77350067 -414,0655842 0,6736490165 -2,727266179 0,0000944877 69,01762941

-1,122737891 -12,27327096 -39,43394286 897,1293575 0,6287395655 2,045405612 -3,943527741 -0,0093748752

-7,422014671 3,710918311 -3,711003341 7,421956521 ' 3,666880423 -6,600597583 2,200148524 -7,333944586

0,7184086134 -2,831406073 0,5493725840 -2,873664591 0,07245479480 -0,2101124414 0,05071783861 -0,2173582884

Az alaprendszer diagonális mátrixa:-0,999992139/ -2.000050089/ -4,000041935/ -2,999915831/s D = diag(e ’ . , e ,e ,e J.

A megoldásvektor:

x ( 0 = QDQ~^Xq =

- 2,666591570e^ 10,002044 lOfe 25,330040279fe^ 38,9990382&^41 2,499952924;^ 4,000669412e^ 0,00015 17362284í;^ 6,500470630e^4

4,16654935 +18,003 8531 + 63,32631400e^ - 8 4 ,4 9 6 7 1 6 1 ^- 2,333291 1 3,000437476e^ 6,332845709^^ 0,00088297876 le^4'

ahol Ai, Á2, /I4 kitevők a megfelelő sajátértékekkel helyettesí- tendők.

Az egész értékekre kerekítéssel előállított A^ mátrix sajátérté­kei, modálmátrixa és ennek inverze:

2.2 A közelítő megoldás hibahecslése 279

Áki - -1, Áj 2 - - "3, - -4 ,

8 10 - 14 7 7 14‘7

15142514

1

T. - 6 - 4 3 3 3 3J43

- 6

1

13

0

10

1525

272

292

9272

-1 5

-1 5

1 0 i_ 17 67 13 34. 6 6 6 3 _

Az alaprendszer diagonális mátrixa:

=diag(e \ e e e .

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

83

^/((O - - + _ 1 |9 ^-3/ l | g ^-4/

Mivel Qi,Q i ,= diag(l,\ , l , í),azaz egységmátrix, így az A és A , mátrixokkal képzett megoldás­

vektor pontos értéket adó jegy számát a.-7 . . , . . ^-6

QQ ' =

1,00000021r -7

0,9-10' 0,99999994

-0 ,4140“ .-7-0,19 10 ' 0,99999994 -0,8-10~° -0,1-10

-0,61-10"^ -0,3-10” 0,99999995 0,10 •10“ .-7 . . - 8 ,^-7

0-0,8-10~^0,99999995

-0,336589-10“ ' -0,2084-10“ 0,115926-10“ ' 1,000000047

hibamátrix főátlón kívüli, legnagyobb abszolút értékű elemének ki­

tevőjéből becsülhetjük, mely 10 ^ , vagyis 6 jeggyel bezárólag pon­tos megoldást kapunk. Az alaprendszer exponenciális függvényei

e alakúak, (a > 0), melynek gráfjából ( jellegét a 10. ábra szem­lélteti) látható, hogy a becslés minden / > 0 mellett helyes ered­ményt ad.

Például a t - 1 helyen számított megoldások és különbségük:

280 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 2.2 A közelítő megoldás hihahecslése 281

x(l) =

■-0,856665437" ■-0,8566651942"1,137423727 1,1374237920,921849794 0,921849289

-1,148392107 -1,148392166

-0,2428-10“ -0 ,65-10“

0,505 • 10"^ 0,59-10“^

A legnagyobb eltérés ==5-10^, a 3. koordinátában jelentkezik,

mely 10" ^ -nál kisebb.2. példa. Számítsuk ki annak a lineáris differenciálegyenlet­

rendszernek a kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektorát, melynek kezdeti feltétele: x(0) = [1,0,1,1] , és együtthatómátrixa;

-1 15 -1 160 1 0 -1 111 -3 7 2 - 3 9 1 - 1 8 2 - 1 9

A =

Megoldás. Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja és sajátvektorai;

k(X) = a + l)(/l + 3)(Á + i f , m(X) = ( Í + 1)U + 3)(/l + 2)^ ,

V, (-1M1, - - ■ - — . 1]^. V2 ( -3 H 4 ,1 - 9 - 2 f , v ( -2 H -5 , 0,11, i f •4 4

A sajátértékek nullánál kisebbek, a rendszer stabil. A -2 kétszeres sajátérték. A lineárisan független sajátvektorok száma 3. A modál- mátrix nem írható fel. Próbáljuk meg valós közelítéssel meghatá­rozni a sajátértékeket és sajátvektorokat. Ehhez elegendő például az első elem 1.0 alakra hozásával a MAPLE programmal elvégeztetni a számítást.

A sajátértékek, a sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze;

= -2,99999991A, ;i2 = -1,000000127, A3 = -1,999732272,

Á4 = -2,000267647.

1,719734345 -0,8417716020 45,72761414 -5,300658408 ' 0,4299335772 1,052214045 -0,0048978808 -0,0005673839571 -3,869402282 2,314871604 -100,6002618 11,66150529

-0,8598671617 -0,8417711837 -9,140135335 1,060755824

-

'11,63143997 -33,73129916 8,142044712 -31,40494125' 4,752648563 -2,376485143 2,376314602 -2,376361188 1021,175927 -1837,799514 612,6727517 -1633,575293 8812,290353 -15864,85840 5287,657275 -14102,30630

Az alaprendszer diagonális mátrixa;

D^=diag(e^', .

A megoldásvektor;

- 20,003015346'^ - 4,000605380é’^ +12,50127é>' +12,502252é-" 41 - 5,000753727^^^^ +5,00075455í?^^ -0,00139010e^^ + 0,001338273/ 4'

45,00678455í?^ + 1 l,00166336e^ - 27,50272e"^31 _ 273Q562e^4 ^

10,00150755e^ - 4,000603392^^ - 2,498781e^ - 2,501975^^41

A pontos megoldásvektor (1. a 3.6 pontot);

x(0 =

‘1,00015 -0,00039 0,22 • 10~^ 0,999999932 - 0,6 • 10"^0,0001 0,0007 1,00008

>-5 ............. - .-5

0,00003 -0,00001r -70,66 10

0,0007 1,00008 00,5-10“ 0,00023 -0 ,7 -1 0 “ 1,00015

szemetes egységmátrix föátlón kívüli elemeiből arra következtethe­tünk, hogy a közelítő megoldásvektor koordinátái a 4 . jegyig a kerekítési hibakorláton belül pontosak.

A t = 1 helyen a pontos megoldás- és a közelítő megoldásvektor; x(l) = [0,916122948,1,590461864, -1,156348646, -1,650323497]^,

X/t(l) = [0,916263412,1,590701485, -1,156528564, -1,650572466]^,

282 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

A két megoldás különbsége 6 jegyre kerekítve:

x ( l ) -x ^ ( l) = [-0,000140, -0 ,000240 0,000180 0 ,00 0 2 5 0 f .

Példa1. Számítsuk ki az

(í)l [ - 2 -1 -2 irx ( í) '(0 = - 2 - 4 - 2 y{t) (I)(í)J [ - 2 - 1 -2 j[ z ( í ) .

differenciálegyenlet-rendszer és az au elem módosításával előálló

(II)'i(O l -2,000000001 -1 -2 *40

y(t) = - 2 - 4 - 2 y(t)- 2 -1 - 2 _^(0.

differenciálegyenlet-rendszer x(0) — [1,0,1] kezdeti feltételt kielé­gítő megoldásvektorát. Képezzük modálmátrix alkalmazásával az (I) pontos és a sajátértékek, sajátvektorok közelítő megoldásával képzett megoldásvektorát, valamint a (II) közelítő megoldásvekto­rát. Becsüljük meg a megoldások koordinátáinak hibakorlátját, és vessük össze a megoldások t = l és í = 3 helyettesítéssel kapott értékeit.

Megoldás. Az (I) rendszer mátrixának pontos eljárással számí­tott sajátértékei és sajátvektorai;

^ - - 6, vi = [1, 2, i f ; Á2 = 0, V2 = [ - 1,0, i f ; = - 2, V3 = [1, - 2, i f .

A modálmátrix és determinánsa:

1 -1 1 Q = 2 0 - 2

1 1 1det Q = 8 0 .

' 1 I í - 2 0 2

1 -1 1A kezdeti feltételt kielégítő - a Lagrange-féle mátrixpolinomos

megoldással megegyező - modálmátrixos módszerrel előállított pontos megoldás:

2.2 közelítő megoldás hibabecslése 283

x(t)y(t)Z{t)

= QDQ-'xo =

'1 -1 r r - 6te 0 0 1 1 r T2 0 - 2 0 0 - 2 0 2 01 1 1 0 0 4 1 - 1 1 1

Az (I) közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektorai a számítógép maximális jegyszámával:

\ = -6,000000014, Á2 = 0,706 • 10“ °, ^ = -2,000000000,

V] = [0,4082482884,0,8164965806,0,40824829 lo f ;

V2 = [-0,8660253994, 0,11 • 10“^ 0,8660254033]^ ;

V3 =[0,3535533931, -0,7071067782, 0,3535533889f.

Az (I) rendszer kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásának függvényvektora:

y(t).2(0 .

0.499999M 57«^“ ™ »<>»'*+ 0,9 ■ + 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 3 & ^ 2 .*

0,999999996Cfc-^“ " ™ « ’« ' - 0,11, _ o,99999g9960e^^''>‘

0,4999999989,-“ ™ ““ "•'+0,8.10-V»-’“ '">"'"'+0,500000002k'2..0<

A (II) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékel éssajátvektorai a számítógép maximális jegyszámával:

m, = -5,999999992, ni2 = 0,43077-10“^ = -2,000000000,

284 111 Állandó együtthatójú lineáris dijferenciá l e g y e ^ ^

w , = [ 0 , 4 0 8 2 4 8 2 8 9 3 , 0 , 8 1 6 4 9 6 5 8 1 9 , 0 , 4 0 8 2 4 8 2 9 1 6 ] ^ ;

W 2 = [ - 0 , 8 6 6 0 2 5 4 0 3 6 , 0 , 1 - 1 0 ' ^ 0 , 8 6 6 0 2 5 4 0 6 3 f ;

W 3 = [ 0 , 3 5 3 5 5 3 3 9 1 4 , - 0 , 7 0 7 1 0 6 7 8 2 7 , 0 , 3 5 3 5 5 3 3 8 8 9 ] .

Az (II) rendszer kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásá­nak függvényvektora:

'x{t)yit) =

r -5,999999992r in-^g-O^SOTT-lO ^ q^ q00000014;0,49909999994é? -Ü4-1U e- - 5 , 9 9 9 9 9 9 9 9 2 f p , . ,a-19 -043077-10 _i000000003e

l,5000000022e +0,4-10 e _0,5ü00000022.r^’‘' ‘' ‘' ‘ ‘'‘'''‘'"^ + 0,4999999979e ’

Az (1) és (II) rendszer megoldásvektorai különbségéhez tartozó

hibamátrix;0 - 0 , M 0 ~ ^ 0

0 ,1 - 10“ ^ 0 - 0 ,1 -10

0 ,1 - 10" ^ - 0 ,1 - 10 ' ^ 0

A hibaraátrix elemeiből a legnagyobb abszolút értékű elem,

OJ ■ 10“’ , alapján arra követke-ztethetUnk, hogy a pontos és a közelítőmegoldások koordinátái legfeljebb a 9. jegyben f ^ ^

Hasonlítsuk össze a pontos, az (I), valammt a (II) megoldásokí = 1 és í = 3 helyettesítéssel számított értékeit.

7 = 0 , 0 6 8 9 0 7 0 1 7 6 9 , * , = 0 , 0 6 8 9 0 7 0 1 9 0 ,

/ = - 0 1 3 2 8 5 6 5 3 1 0 , y , = - 0 . 1 3 2 8 5 6 5 3 0 5 , - - 0 , 1 3 2 8 5 6 5 ,

^ " = 0 . 0 6 8 9 0 7 0 1 7 6 9 , z , = 0 , 0 6 8 9 0 7 0 1 7 1 , z „ = 0 . 0 6 8 9 0 7 0 1 7 9 .

l ” - 0 0 0 l 2 3 9 3 8 3 7 0 4 ; * , = 0 ,0 0 1 2 3 9 3 8 4 6 1 2 ; x „ = 0 , 0 0 1 2 3 9 3 8 3 3 0 7 ,

? : 0 0 0 2 4 7 8 7 3 6 W ; v = - 0 , 0 0 2 4 7 8 7 3 6 9 3 7 ; y„ = - 0 , 0 0 2 4 7 8 7 3 6 9 5 4 ; ; í ; : 0 , r 2 3 9 3 8 3 7 0 4 ; ” = 0 , 0 0 . 2 3 9 3 8 2 m . „ = 0 , 0 0 1 2 3 9 3 8 3 9 9 8 .

H = Q,Q7-1

-Q //Q // -^-9

2.2 A közelítő megoldás hihahecslése 285

1 , 0 - 0 ,1 -1 0 ”' 0 "1 , 0 0 0

0 , 1 •1 0 ~‘ 1 , 0 0 . Q«Q7;' = 0 1 , 0 0 , 1 -1 0 “^0 , 1 -1 0 - -- 0 ,1 -1 0 “^ 1 , 0 lO 0 1 , 0

A pontos értékek és közelítő eljárással meghatározott értékek valóban csak a 9. jegyben térnek el.

MegjegyzésMivel közelítő eljárással végeztük a számításokat, így a modál-

mátrix és inverzének szorzata szemetes egységmátrixot ad:

Q/Q7' =

A gyakorlati számítások szempontjából ebben az esetben a fő-

átlón kívüli elemek 10 * ~ 0 értékkel helyettesíthetők, tehát a hiba­mátrixot E - E = 0 mátrixnak vehetjük.

Az egész számokkal direkt eljárással végzett számítással QQ eredménye valóban az egységmátrix, azaz:

QQ"' =

Összefoglalva, most vizsgáljunk meg egy olyan esetet, amikor a rendszer mátrixához tartozó minimálpolinomnak is többszörös zé­rushelye van, így nincs a mátrix rendjével megegyező számú lineá­risan független sajátvektor, tehát a modálmátrixos eljárás közvetle­nül nem alkalmazható. Ilyenkor általában próbálkozhatunk egy olyan mankómátrixszal (közelítő mátrixszal), amelynek már van a rendjével megegyező számú sajátvektora.

Az A mátrix egyik elemének |A a| < 10"" , (m > 6 , m e N ) értékkel való megváltoztatásával képzett B mátrix, akkor állít elő - az invertálhatóság feltételének kielégítése mellett - jó közelítő mát­rixot, ha a B közelítő mátrix sajátértékei az A sajátértékeivel azo­nos előjelűek maradnak, (kivétel a többszörös 0 sajátérték közelíté­sének esete), és nem lesznek azonosak az A mátrix sajátértékeivel, mert ebben az esetben általában nem kapunk közelítő megoldásokat a differenciálegyenlet-rendszer megoldásvektorának mindegyik függvénykoordinátájára. Kísérletezéssel általában találhatunk olyan űy elemet, melynek Aa -val való megváltoztatása olyan B mátrixot

"1 -1 r ■ 1 1 r '1 0 0'2 0 - 2 A - 2 0 2 = 0 1 01 1 1

41 -1 1 0 0 1

hoz létre, melynek sajátvektoraival képzett modálmátrixszal elő tu­dunk állítani olyan függvényvektort melynek függvénykoordmátái jó közelítései a pontos megoldásvektor függvénykoordinátáinak. Abban az intervallumban, melyben az alaprendszer elemei korláto­sak, a helyettesítési értékek általában 4-5 jegy pontossággal megad­ják ’a kezdeti feltételt kielégítő megoldásfüggvény vektor koordinátáit. A B közelítő mátrixszal képzett kezdeti feltételt kielégítő megol­dásvektor koordinátái és az Hermite-íélo. mátrixpolinommal előállí­tott megoldás vektor koordinátái összehasonlításával szemléltethető a közelítő modálmátrixos eljárás alkalmazhatósága.

286 HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Példax{ty -2 -1 r '40

1. Számítsuk ki az m = 0 -2 1 y(t)_ z ( t l 3 2 - 3L -J

rendszer és az a i3 + 0,000000001 elemmódosítással kapott

'kit) -2 -1 1,00000000f

y (0 = 0 - 2 13 2 - 3

x{t)y(t)z{t)

(I)

(II)

^ x ( t ) -2 -1 1,0000000 rK t ) — 0 - 2 1

3,0000000001 2 - 3

rendszer, valamint az a |3 + 0,00000001, úigi+ 0,0000000001 elem­

módosítással kapottx{t)y{t) (III)

differenciálegyenlet-rendszerek x(0) = [l,0, l f kezdeti feltételt kie­légítő megoldásait. Képezzük az (I) pontos, valamint modálmátnx alaklmazásával a (II) és (III) közelítő megoldását. Becsüljük meg a megoldások koordinátáinak hibakorlátját, és vessük össze a megol­dások t = \ és t = 3 helyettesítéssel kapott értékeit.

Megoldás. Az (I) rendszer pontos eljárással számított sajátérté­kei és sajátvektorai;

Ál = -5 , V] = [- j, 1, - 3 f ; ^23 = -1, V23 = [0,1,1] •

A minimálegyenlet megegyezik a karakterisztikus egyenlettel:

2.2 A közelítő megoldás hibahecslése 287

det(;iE - A) = 0, melyből {X + 5)(Á +1)^ = 0 ,

tehát kettős gyöke van. Az (I) rendszer kezdeti feltételt kielégítő Hermite-félQ mátrixpolinomos megoldása:

Xp(t) = e~\ y^{ t )^ te ' \ Zp(t) = e~ +te~^.

Megjegyzés

Ha az (I) rendszer A mátrixának valamely elemét tizedes pont­tal, (pl. - 2 .) alakban vesszük fel, akkor a MAPLE V Release 5. programcsomag közelítő eljárással állítja elő a megoldást. E példá­ban valós és a konjugált komplex sajátértékekhez, valós sajátvekto- rokat számít ki. Az így kapott modálmátrix determinánsa nagyon közel van a nullához: det Q = 0,00005557512924, a közelítő gyökök:

A = -5,0; /Í23 = -1,000000001 ± 0,00040/;

valós része az A mátrix sajátértékeivel azonosnak vehetők, a képze- tes rész is közel 0 , így jó közelítést a modálmátrixos módszerrel nem kaphatunk. Ha előállítjuk a megoldást a modálmátrix felhasz­nálásával. tapasztaljuk, hogy az .x, y, z függvények közül az

megoldás gyakorlatilag minden t > 0 értékre zérust ad.A (II) rendszer mátrixát az (I) rendszer mátrixából megkapjuk,

ha az ö]3 elemét Aö = MO~^° értékkel növeljük. A (II) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektoraival felírt modálmátrixa, valamint Q/; determinánsa a számítógép maximális jegyszámával:

n = -5,000000008, T2 = -0,9999835690, = -1,000016432,

■-0,3885143453 -0,0000127530 -0,4145463308 Q / / = -0,2913857599 -0,7760568158 25230,71649

_ 0,8741572762 -0,7760695678 25230,30191

det Q/; = -1 ,000003483^0.A sajátértékek előjelhelyes jó közelítései az (I) rendszer mátri-

xához tartozó sajátértékeknek és a modálmátrix determinánsa zé-

rustól különböző, tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek, a modálmátrixos megoldási eljárás alkalmazható.

A (II) rendszer kezdeti értéket kielégítő megoldás függvény vek­torát a

Xp(0 = Q//D//Q//x(0)

formulával képezve, a megoldásfüggvényeket a következő alakban kapjuk (a sajátértékeket röviden rj, T2, jelöli):

x (t) = 0,4535 • + 0,5000431484e''2 + 0,4999563984í'3í

y^(t) = 0,3400-10“ ^ / ' ' +30429,06717e''2' -30429,06717/3',

= -0,10202 • 1 0 '^ / ’' + 30429,567 - 30428,567

A (III) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektoraival felírt modálmátrixa, valamint Q//j determinánsa a számítógép maximális jegyszámával;

m, = -5,000000006; m2 = -0,9999109473; = -1,000089048.

288 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Q m =-0,3885143465 -0,0000691116 -0,4145603838 -0,2913857571 -0,7760324766 4655,723532 0,8741572760 -0,7761015853 4655,308956

detQ /// = -0,9999995859 0.

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásfüggvények a modálmátrixos módszeixel képezve (a sajátéitékeket röviden mj, m2, m-i, jelöli):

x(t) = -0,3200 ■ + 0,5000407064e"^-' + 0,4999596138e" 3'y{t) = -0,2400 ■ 10~^/^'' + 5614,800232e"^2í _ 551430023

z{t) = 0,7201 • 10“ + 5615,300253e'”2' - 5614,800253/^^'.

A (II) és (III) eredményeinek összehasonlítására szolgáló hiba­mátrix:

H = Q ;„Q 7;;-Q ;;Q 7/‘ =0

0,1-10,-50

0,1-10,-5

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolínommal 289

A megoldások közelítő pontosságának becsléséhez a becslő formulák közül a (4*)-ot használva:

h , / = e - q „ q 7; =

hibamátrixot, ill.

0 0 -0,1-10"^ 0 0,1-10“ 0,1-10“ 0 0,1 • 10“ 0,1-10"^

H/;; - E - QjjjQiii =-0,1-10,-5

0 -0,1-10 0

0 0

,-9'

hibamátrixot is alkalmazhatjuk, mivel stabil a rendszer. Mindkettő­ből arra következtethetünk, hogy a megoldások 5 jegyre pontosak.

Hasonlítsuk össze az (I) pontos, a (II) és a (III) megoldások t ~ 1 és t = 3 helyettesítéssel számított értékeit:

t = l:X[ = 0,3678794412; xjj = 0,3678792779; Xjjj = 0,3678795617; yj = 0,3678794412; yjj = 0,36788; yjjj = 0,367879;Z} = 0,7357588824; zji = 0,73575; zm = 0,735759.

t = 3:X[ = 0,04978706837; Xjj = 0,04978704601; Xju = 0,04978708751; yj = 0,1493612051; y^ = 0,149360; yjjj = 0,1493612;Zi = 0,1991482735; z// = 0,199147; zju = 0,1991483.

Amint látható az (I) rendszer Hermite-féle polinomokkal kapott megoldásfüggvényeinek helyettesítési értékei valamint a két közelí­tő mátrix felhasználásával előállított modálmátrixokkal képzett (II) és (III) rendszer megoldásainak helyettesítési értékei a hibamátrix alapján becsülhető 5 jegyre megegyeznek.

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal

Az előző pontokban többször említettük, hogy ha a homogén lineá­ris differenciálegyenlet-rendszer A együtthatómátrixának karakte­risztikus pohnomja mellett a minimálpolinomnak is többszörös

zérushelye van, akkor nem létezik n számú lineárisan független sajátvektor. Ez esetben a klasszikus analízis az Hermite-féle mátrix- polinomok létrehozásával képezi a megoldást [K83].

Most az Hermite-íé\& mátrixpolinom alkalmazását három isme­retlen függvényt tartalmazó rendszer megoldásával szemléltetjük, és alkalmazzuk a modálmátrixos megoldást is, amelyet közelítő együtt­hatómátrixból képezünk. A következő pontban az 1. példát a Jor- dan-alakot előállító transzformáció mátrixának és az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjának felhasználásával is megoldjuk.

1. példa. Határozzuk meg a

homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános és az

290 Hl. Á llandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

rxo )] ■fXo = y(0) = 2

z(0) 1

kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását. Megoldás. Az együtthatómátrix és determinánsa:

~0 1 0“A = 0 0 1

8 4 - 2det A = 8 .

Az A mátrix karakterisztikus egyenlete:

k -1 0'0 k - l

- 8 - A k + 2det(/^E-A) = = £ + 2Á ^ - 4A - 8 = ( Á - 2)(A + 2f

A sajátértékei: = -2, = 2.

A minimálpolinom: jU(Á) = ( Á - 2)(Á + 2 f , megegyezik a karak­terisztikus polinommal, tehát a -2 kétszeres zérushelye.

Az mátrixfüggvényt

i(A) +alakban állítjuk elő.

(1)

A Híj (A) alappolinomokat a következő módon számítjuk ki:

A Hiq(w) = (aw + b)(w- 2 ) alappolinom a, b együtthatóit

H^q(-2) = ] és HÍo(-2) = 0feltételekből, a

Hl i{w) = c(w + 2)(w - 2)

alappolinom együtthatóját a

^ í l( -2 ) = l ,

H2q(w) = d(w + 2)^együtthatóját pedig a

^ 2 o(2 ) = 1

feltételből határozzuk meg. A

H io (-2) = (~2a + b )(-4) = : l H j'o(-2) = a (-4) ~ 2a + b = 0

egyenletrendszerből a = b =16 8

h ;,(-2) = c(-4 )+ 0 = 1,

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal 291

/Í2o(2) = 16í/ = 1

A

egyenletből

A

feltételből pedig

Az alappolinomok:

H\o{w) |-)(w -2 ) , Hli(w) = ~ ^ ( w + 2) (w - 2 ) ,

H 2q{w) = ~ ( w + 2)^.

Az alappolinomok ismeretében felírhatjuk a mátrixpolinomokat:

292 IN. Állandó együtthatójú Imeáris differenciálegyenlet-rendszerek

« 1 i(A) = - t (A + 2E )(A -2E ) =

í '20(A) = i^ ( A - 2 E ) " = Í -

■ 1 0 - i

- 2 0 14 0 -1

> 1 i2 2 I4 4 1

A kiszámított mátrixpolinomokkal megadhatjuk az (l)-nek megfe­lelő exponenciális mátrixfüggvényt:

At e e = -- 2t

■ 3 -1 4 1 1 0 - i l2t - í

- 2 2 - 1 - 2t+ te - 2 0 i 2 2 -í-z z 2- 4 - 4 3 4 0 - 1 4 4 1

. _

Az általános megoldást megkapjuk, ha elvégezzük az összevo-

nást és az így kapott mátrixot a c = C2L^3J

konstans vektorral jobbról

szorozzuk:

x(0 =3 -It - 2t ^ 1 2t + te + T 6 \4 4

^2 +

z(t) = (-e + 4te ^ + e^)c[ + { -e C2 +

,C3-H 4Összevonva és a

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal 293

z( t )-e ( - q —C2+-|-C3)+fó ^\Aci~c-^)+e^\ci+C2+^c^)

rendezett alakjában az exponenciális tagok zárójeles együtthatóit bi, bj, -mai jelölve, a homogén rendszer általános megoldás­függvényei:

x{t) = j ( (^ +

y(0 ~ "2 ^ “ 2^

z{t) - b\6~ + h2té~^ -h b e \

A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást megkapjuk,Á.tha az e mátrixfüggvényt megszorozzuk az Xq kezdeti fel tétel-

vektorral:

16 4 16XF At 21

3 - 2 / 3 , - 2t 13 2lyp — e — g . - J t e

_Zp__ 4 4 _

és a megfelelő komponensek egyenlőségéből a partikuláris megol­dásfüggvények:

Most vizsgáljuk meg, hogy milyen lépésekkel állíthatjuk elő modálmátrix felhasználásával a kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásvektort.

A modálmátrix felírásához három lineárisan független sajátvek­torra van szükség. Ennek előállításához az A együtthatómátrix helyett az

294 HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

A , =0 0,99999999 0 0 0 18 4 - 2

(*)

mankómátrixszal (közelítő mátrixszal) kísérletezünk.A determináns értéke 8-ról 7,99999992 -re változott.Az mátrix sajátértékei valósak és különbözők (általában jó

közelítővektort kaphatunk, ha a 4-5. jegytől különböznek az A sajátértékeitől):

= -1,99987901 l;A2 = -2,000120991; I 3 = 1,999999999;

így van három lineárisan független sajátvektor is.

~-0,440247748'" 8170,30394’ -0,718070328"Vj= 0,880442237 ; V2= -16341,59650 ; V3= -1,436140665

-1,760777947 32685,17012 2,872281337

amelyek alkotják a modálmátrixot;

'-0,4402477481 8170,303936 -0,7180703276 Q = 0,8804422370 -16341,59650 -1,436140665

[-1,760777947 32685,17012 -2,872281337 _

és mivel a detQ = - 10,00000 0 , így a sajátvektorok valóban lineárisan függetlenek.

A modálmátrix inverze:

-9387,816459 0,2839310000 2346,812128 -0,5057602618 -0,0000152994 0,1264477139 -0,3481560000 -0,3481550000 -0,08703850000

Az alaprendszer diagonális mátrixa:

D = j;^g(g-l>999879011f ^-2,000120991/

A hibamátrix:

1,999999999/s ) .

H = QQ“' =0,9999984930 -0,9565-10-6 -6'

0,9894-10r6^-5

1,000001020- 0,8019 •lO"-' -0,38261-10.-5

-0,23579-10 0,5293-10“ 0,9999980592

-5A főátlón kívül, abszolút értékben 0,8019 -10 a legnagyobb

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal 295

elem, így a számítógép maximális jegy számának 5. jegyéig pontos,6. jegyéig kerekített értéket várhatunk.

A kezdeti értéket kielégítő megoldásvektor:

'x(t)y(t)z(t)

^ Q D Q - % =

3099,53630k^^ -3099,348804^^^ -1-0,81249980706^^- 6198,697634^'^ + 6199,072638e^ + l,624999625e^' 12396,64527/*' -12398,69529^^^^ +3,249999258e^^

ahol /Íj, /Í2, /I3 helyére a megfelelő sajátértékeket kell írni.Például a kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor a t - l he­

lyen vett pontos és közelítő koordinátái:

f6,130484908' '6,130483349“yp = 11,85496397 yk = 11,85496108

J-P, 24,11593378 ^k^ 24,11592682

A közelítés 6 jegy pontossággal elfogadható.

Az M (E -Q ^Q ^^) becslő formulát alkalmazva pl. a -1 < í < 1 intervallumon, durvább hibakorlátot kapunk, ui. a

M = max = 7,389056099,

tehát a hibamátrix: H = M(E - Qi Qj =

0,000011135308 ■ 0,7310732104-K 0,000059252841

0,7067632159-10-0,753683722-10'0,000028271268

-5 0,1742265538-10'-5

-0,3911027393-100,000014340680

,-5

melyből arra következtethetünk, hogy az 5. jegyben lehet eltérés a pontos és közelítő megoldás komponenseiben. Ezt a

H -xo =

= [0,00002701283740, -0,00002629543393, 0,0001301360560f vektor komponensei is szemléltetik.

A kidolgozott példánál két sajátérték negatív, és egy pozitív szám. Az ilyen alaprendszerből következik, hogy a pontosság nem romlik t pozitív növekedésével, mindaddig, amíg a pozitív kitevös tag a pontosság megkövetelte korlát alatt marad.

Megjegyzés. A MAPLE V RELEASE 5. differenciálegyenlet­rendszert megoldó programja által kiszámított megoldás vektor és a modálmátrixos módszer megoldásvektora közötti eltérést, ha mind­két eljárásnál azonos együtthatómátrixot használunk, mindig jól megadja a hibamátrix.

Ennek szemléltetésére a (*)-gal jelölt mátrixú rendszer

megoldás vektorait hasonlítsuk össze az öi2 = 1 elem 0,9999999 tizedesjegyíi közelítésével kezdve 0,9 közelítésig, mindig egy-egy jeggyel csökkentve a tizedes jegyek számát. Csak a

H = E -Q Q ~ ^

hibamátrix legnagyobb értékét (m-mel jelöljük), továbbá a MAPLE programmal előállított és a modálmátrixszal képzett kezdeti felté­telt kielégítő megoldást soroljuk fel. A kezdeti feltétel vektora: x(0) - X q - [1,2,1]. A MAPLE megoldásvektort p indexszel, a mo­dálmátrixos megoldásvektort k indexszel különböztetjük meg.

296 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

1. 2 =0,9999999 . 771 = 0,13236-10 ; 5-6 jegyre pontos:

' 6,1304832 “ ' 6,1304509 '11,8549615 ; H = 11,85496503

24,11592819 24,11593554

-62. a j2 = Q,999999 . m = 0,638 -10 ; 6 jegyre pontos:

'6,130477229' ’6,130480034'11,85495706 ; H = 11,8549628024,11591458 24,11592584

-73. 012 = 0,99999. m = 0,982-10 ; 7 jegyre pontos:

'6,130426744' '6,130426372'11,85493252 ; ^k = 11,8549318524,11591704 24,11591538

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal 297

4. Ö12 = 0,9999. m = 0,81 • 10 ; kerekítve 8 jegyre pontos

Xp ='6,129898829' '6,129898849'11,85464034 ; H = 11,8546404924,11474784 24,11474801

5. «i2 - 0,999. m = 0,82 • 10 ; kerekítve 8 jegyre pontos;

'6,124625695' '6,124625750'11,85172941 11,8517296024,10407912 24,10407940

_g6. űi2=0,99. m = 0,4-10 ; kerekítve 8 jegyre pontos:

'6,071961786' "6,07196180211,82263471 ; H = 11,8226347423,99747522 23,99747522

0,9. m - —80,14 • 10 ; 8 j egyre pontos:

'5,551986100' “5,55198611911,53300653 ; H = 11,5330064823,93952612 23,93952605

3. FEJEZET

A J o rd a n -fé le m á tr ix a lk a lm a z á sa

3.1 Az exponenciális m átrixfüggvény

Az exponenciális mátrixfüggvényt az

k\ (1)

formulával értelmezzük, ahol X = [Xy] n-edrendű mátrix. Az (1)

mátrixsor tetszőleges kvadratikus mátrixra konvergens, sőt abszolút konvergens. Ui.

X \k Xk\

< oo (2)k=0 ■ k=\

A mátrixnorma értelmében ||E || = 1, és így

Xk\

■ - e

Tekintsük az

F(X )=k=0

mátrix hatványfüggvényt, mely

tartományon analitikus függvény.Ha az F(X) az X mátrix függvénye, akkor egy tetszőleges

H~^XH (detHí^O)

hasonló mátrixra is értelmezve van, és érvényes az

F(H “ ^XH) = H “ ^F(X)H (3)

formula. Ui. a hasonlósági transzformáció tulajdonságai alapján

3.2 A mátrix Jordan-féle alakja 299

H ‘(X + Y)H = H “ ^XH + H ^Y H és

u ~ \x Y ) B . = , így

XH )= ^ X H f = H '(XöfcX'^)H = H ~ V jX ) H .k=0 k=0

r-l/ r-1

Mivel lim F„JX) = F(X),

így fennáll a (3) formula.Ha az Y és X hasonló mátrixok, azaz

Y = H 'XH (d e tH ^O ),

akkor a (3) alkalmazásával:

azaz

k^O k^o'^-

3.2 A mátrix Jordan-féle alakja

(4)

k(Á) = det

Á - a i i -a i 2 ... -öi„~^21 ^-<^22 ••• - ^ 2n = d e ta E - A ) = 0 (1)

nl ^n2 • ^ nn_

karakterisztikus egyenletének gyökei (az A mátrix sajátértékei)

Áf ( / = l , 2 , . . . , n ) .

Az A mátrix karakterisztikus egyenletének (l)-gyel ekvivalens alakja

det(A -A E) = 0.

Minden kvadratikus A mátrixhoz található olyan nem szingulá­ris T mátrix, mellyel A hasonlósági transzformációval

300 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-r e n ^ ^

kvázidiagonális Jordan-féle alakra hozható:

3.2 A mátrix Jordan-féle alakja 301

Bi(A) 0 0 B 2 (^) • •

_ 0 0 ..

ahol (J < «), és B j(4 ) tt X típusú mátrixok az ún

blokkok, melyeknek az alakja:

0 0

Jordan -fé le

ahol Xt multiplicitása t„, E,, egy x típusú egységmátrix,

C, pedig

0 1 0 0 0 1

0 Ó 0 0 0 0

típusú mátrix. (3)

Azt a bázist, amelyben a mátrix felveszi a J o rd a n -M e normal- alakot, a mátrix Jordan -bázisának nevezzük. A hasonlosagi transz­formáció tehát a bázis, ill. a koordinátarendszer transzformaciojat jelenti. Tekintettel a

AE = T /IT " ' és A = T J T " '

összefüggésekre a k{X) -val jelölt (1) karakterisztikus polinom

felírható a következő alakban;

k(Á) = det(lE - J) = (^ - • • • (^ - 4 ) ' (4)

( t i+ t2 +. - - + t s = n ) ,

ahol Ái (i = 1 ,2 ,..., s) az A mátrix sajátértékei. A

a - 4 / ' ( fc= i,2 ,...,5 ) (5)

tényezőket az A mátrix elemi osztóinak nevezzük. Ha egy A mát­rix karakterisztikus egyenletében valamelyik sajátértéknek a mul­tiplicitása 2 vagy 2-nél nagyobb, mint a minimálegyenletében, akkor az A mátrix Jordan-féle normálalakbeli blokkját, ill. blokkja­it a Frobenius-féle formulával egyértelműen meghatározhatjuk (1. a 3.4 pont (3), (4), (5) formuláját). Ha minden sajátértékhez tartozik lineáris elemi osztó, azaz - 1, akkor a Jordan-féle J mátrix egyszerű diagonális mátrix:

4 1 0 .. . 0 ' 0 0 .,.. 0 '0 4 1 .. . 0

(2)0 /ín 0 0

B fc (4 )- J = 0 0 ^3 .. 00 0 0 .. . 1

_o 0 0 0 0 0 . : . 4 _

= diag[\,Á^,...,Xn^, (6)

melyben a sajátértékek nem feltétlen különbözők. Ekkor a transz- formáció mátrixának oszlopvektorait az A mátrix sajátvektorai alkotják. (1. az 1.2 pontot). A sajátvektorok, mint oszlopvektorok, a sajátértékek sorrendjét követik.

A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai és sajátértékei azonosak, így Jordan-féle alakjuk is megegyező.

Ui., ha A = B , akkor van olyan nemszinguláris G mátrix, hogy

A = G^^BG és A E -A = G ~ \A E -B )G ,melyből

det(AE - A) = det G “ ‘ det(AE - B) det G = det(/iE - B ) ,

és ha A = T JT ~^,

ahol J az A Jordan-féle alakja, akkor

B = GAG~^ = G T JT “ ’g “ = (GT)J(GT)^’ ,

tehát J a B mátrixnak is Jordan-féle alakja.A matematika alkalmazása során számos feladatban szerepel

olyan mátrix, melynek Jordan-féle mátrixának és transzformációs mátrixának ismeretében a feladat megoldása lényegesen egyszerű­síthető. A Jordan-féle mátrixnak a hagyományos eljáráshoz képest egyszerűbb kiszámítására és a transzformáció mátrixának meghatá­rozására a 3.4 és a 3.5 pontok adnak eljárást.

302 ///. Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja

Jelöljük T-vel azt az n-edrendű nemszinguláris mátrixot, aniely az n-edrendű A mátrixhoz hasonlósági transzformációval előállítja a J Jordan-fé\e normálalakot, azaz

T"^AT = J (d e tT ^ O ). (D

Ha az (1) egyenlőséget T-vel balról, T ^-gyel pedig jobbról szo­rozzuk, akkor az A mátrixot ismert J esetén

A = T JT “ (2)alakban kapjuk.

Legyenek az A mátrix sajátértékei

Á2, ( t n < n ) ,

amelyekhez az A mátrix J Jordan-íé\& normálalakjában a

különböző blokkjai tartoznak. Jelölje g], 62, a blokkok rend­jét. A J mátrixot kvázidiagonális mátrixnak tekintjük, és így

B i(^) 0 ... 0

= 62 (^2)’ • • • ’ B m (4))J = 0 62 ( 12) ••• 0

0 0 ...

jelölést használjuk (m < n) (1. a 3.2 pontot). Ekkor t paraméterrel

adott exponenciális mátrixfüggvényt

(3)= T • • • •, J- T '

alakra hozhatjuk. Mindegyik blokk

B ^ (4 ) = 4 E ^ + Q ,1 (k = í , 2, . . . ,m)

alakú, ahol fc-ad rendű egységmátrix, és

3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja 303

-

0 1 0 .. 0‘0 0 1 .. 0

0 0 0 '. 10 0 0 .,,. 0_

alakií k-aá rendű mátrix. Az

_ £ t (^k^k + Q ,i)

1=0 l\

egyenlőség jobb oldala kifejtés és rendezés után

p=oP-(4)

alakra hozható, ahol C q = . A (3) és (4) formulák az exponen­ciális mátrixfüggvény normálalakját adják.

Helyettesítsünk í = 1 -et a (3) és (4) formulákba. Ekkor látjuk, hogy ha az A mátrixnak A2, ..., (m < n) számok a sajátér­tékei, akkor

számok az exponenciális mátrix sajátértékei, és A valamint mátrixok megfelelő Jordan-h\6kk\m azonos rendűek.

Az állandó együtthatójú elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-íAlrendszer megoldása az e exponenciális mátrixfüggvény normál­

alakjával is előállítható.Alkalmazzuk a (4) formulát általános alakban A egy olyan

Jorí/an-blokkjára, amely egy q multiplicitású X sajátértékhez tar­

tozik, azaz írjuk fel az exponenciális mátrixfüggvény rögzí­tett X sajátértékéhez tartozó blokkjának q-&ú rendű normálalak­

ját melyet -val jelölünk:

tk{X) Át e - e E + ffC i + ^ C 2 + . . . +fq-í

304 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

= eÁt1 0 0 1

0 0

'0 1 0 0"0 0 1 ... 0

0 0 0 ... 1_0 0 0 ... 0_

+ . . . +

0 0 .. 10 0 . , .. 0

_0 0 . ••

= eÁt

\ L l Ü l i ' 1! 2! ••• (^ -1 )!

iq-2)1! ••• { q - 2 ) \

0 0 . . . 1

0 0 ... 0 1

tA íB

(5)

1. példa. írjuk fel az e , e exponenciális mátrixfüggvények

normálalakját, ha'4 1 0'

"3 r , B = 0 4 1_0 3_ 0 0 4

A =

Mivel A a A = 3 kétszeres multiplicitású sajátértékhez tartozó Jordan-hlokk, ezért

E + — C. l! ^

= e3í 1 0

0 1+ t

0 1

0 0

B pedig Á = 4 háromszoros sajátértékhez tartozó Jordan-blokk, ezért

e® = e ‘ \ E + ~ C ^ + — C2) = l! 2!

- eAt

/"1 0 0” 0 1 0"

-j-----'0 0 r

\

0 1 0 + t 0 0 1 0 0 02!

V 0 0 1 0 0 0 0 0 0 /

3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja 305

4t= e

1 t1! 2!

0 1 t1!

.=

0 0 1

- -

A. * 4í 2 4t' 4í te t e1!At te

2!At

1!At

Ha egy G mátrix Jordan-íélt normálalakja az A és B blokkok­ból álló J mátrix, azaz

"3 1 0 0 0“0 3 0 0 0

J = 0 0 4 1 0 0 0 0 4 1

^0 0 0 0 4_

akkor az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja:“ 3t e 3í te 0 0 00

3te 0 0 0

0 0 . 4í te h v

0 0 0 Ate r e -0 0 0 0 Ate

2. példa. írjuk fel az émái alakj át, ha

í A exponenciális mátrixfüggvény nor-

/ VL J L J / “ -3 2 -5 ''1 t te^ ' A = - 6 - 5 - 3 0

0 1 _ 0’ 1 0 3

Megoldás. Az A mátrix Jordan-íélt normálalakjának felírásá­hoz ki kell számítani az A sajátértékeit.

Az A mátrix karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja:

k a ) = a + m ^ + 2 f , m a ) = a + i ) a + 2 f , k(Á)=m(Á).

A Aj = -1 egyszeres gyök, /^3 = -2 kétszeres gyök.

Az A mátrix Jordan-alakjánok blokkjai:

306

= , B2 =

III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

-2 1 0 - 2

tehát az A mátrix Jordan-féle normálalakja;

-1 0 0"J = 0 - 2 1

0 0 - 2

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja a J mátrixblokkjai szerint:

í A - í e - e‘1 0 0 0 0 0 0 0 0

+ e-2t0 0 0' 0 1 0 0 0 1

+ t0 0 0 0 0 1 0 0 0

0f7

0 e

r, -2t , -2t0 e te0

-2t

Tehát, ha ismert azí A

exponenciális mátrixfüggvény A mátrixának Jordán-íé\& normál­

alakja, akkor közvetlenül felírható az exponenciális mátrix­függvény normálalakja.

A következő pont a Jordan-íé\t normálalak előállítására a ha­gyományos módszer helyett egy egyszerűbb eljárást mutat be.

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása

Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldása az együtthatómátrix Jordan-féle alakjának és transzfor­mációs mátrixának ismeretében mátrixok szorzataként közvetlenül előállítható. A magasabbrendíi állandó együtthatójú differenciál­egyenletekre is alkalmazható a következő pontokban kidolgozott eljárás, ha felhasználjuk a Frobenius-féle (kísérő) mátrixot.

A Jordan-íélt mátrix és transzformációs mátrixának előállításá­ról az Irodalomjegyzékben felsorolt több száz dolgozat és könyv ad áttekintést. Az ott leírtaktól eltérő módszert ismertetünk, amely az együtthatómátrix gyöktényezős alakban felírt karakterisztikus poli- nomjának és minimál polinomjának ismeretében a Jordan-féle. mát­rix felírását mindig egyértelműen lehetővé teszi. Célul tűztük ki azt

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása 307

is, hogy a Jordan-féle mátrix és az együtthatómátrix sajátvektorai felhasználásával, az elemi lineáris algebra ismereteire támaszkodva, a lehető legkevesebb művelettel állítsuk elő a differenciálegyenlet­rendszer megoldásához szükséges transzformációs mátrixot.

Az eljárás szükségessé teszi az együtthatómátrix Jordan-féle normálalakjának egyértelmű felírását [D21], [D22], [D28], [D53].

Ha az A e mátrix sajátértékei valósak, akkor a Jordan- féle normálalakját a mátrix sajátértékeinek ismeretében az alábbi szabályok szerint egyértelműen előállíthatjuk:

1. eset. Az n-edrendű A mátrix mindegyik sajátértékekülönböző. A karakterisztikus polinom egyenlő a minimálpoli- nommal:

k{X) - m{X), Aj ^ (i = l , 2 , . . . , n - l ) .

A Jordan-féle normálalak olyan diagonális mátrix, melynek fődiagonálisában a sajátértékek állnak, éspedig abszolút értékük monoton növekvő sorrendjében. Abszolút értékben egyenlő saját­értékek esetén a negatív sajátérték megelőzi a pozitív sajátértéket. Ebben az esetben tehát minden Jordan-hlokk 1x1 -es, azaz

(i = l ,2, . . . ,n).

Például, legyenek egy A g mátrix sajátértékei:

-3, -1 , 2, 1, - 2 ,

azaz különbözők, ekkor e mátrix karakterisztikus polinomjának és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja azonos, gyöktényezői elsőfokúak:

k(Á) = m(Á) = a + 3 ) a + 1)(Á - 2)(Á - l)(Á + 2).

Az A mátrix Jordan-féle normálalakja, a sajátértékek

| - 1 |< |1 |< | - 2 |< |2 |< | - 3 |

monoton növekvő sorrendjére tekintettel

r-1 0 0 0 0'0 1 0 0 0

J = 0 0 - 2 0 0 . (1)0 0 0 2 0 0 0 0 0 - 3

2. eset. Az A mátrix karakterisztikus egyenletének van több­szörös multiplicitású gyöke, de a minimálegyenletének csak egy­szeres multiplicitású gyökei vannak.

A Jordan-fé\e normálalak ekkor is tiszta diagonális mátrix.A karakterisztikus polinomot és a minimálpolinomot tényezőkre

bontott alakban vizsgáljuk. A J Jordan-féle mátrix födiagonálisá- nak elemeit a minimálpolinom gyökeinek felhasználásával az 1. eset szabálya szerint beírjuk. Majd a karakterisztikus polinomnak a minimálpolinom kiegészítő tényezői alapján folytatjuk a blokkok képzését ugyancsak az 1. szabály szerint.

Lineáris tényezőkből álló minimálpolimom esetén minden blokk 1x1 -es. A Frobenius-fovmuld. (3) felhasználásával ellenőriz­hetjük a blokkok méreteit.

Például legyen egy A mátrix karakterisztikus polinomjának gyöktényezős alakja;

k(Á) = (Á + l f ( Á - 2 ) ^ ,

és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja:

m(Á) = (Á + í)(Á~2}.

A minimálpolinom szerint kapjuk a = [-1], B2 = [2] blokko­kat, majd a karakterisztikus polinom

másodfokú tényezőjéből kapjuk a B3 = [ - 1],

a harmadfokú tényezőjéből pedig a B4 = [2], B5 = [2] blokkot.

Az A mátrix /oráan-alakja diagonális mátrix (a minimálpoli­nom lineáris tényezők szorzata):

J = diag{ -1 ,2 - 1 .2 ,2 ) ,

308 HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

illetve 5 x 5 -ös alakja:

J =

-1 0 0 0 0' 0 2 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2

Legyen például egy A mátrix

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása 309

és a Jordan-mSiiv\x\ J =

karakterisztikus polinomja: k{X) = -15)(Á + i f ;

minimálpolinomj a: m(Á) = Á(Á + 1)(Á -1 5 ) ,akkor az A mátrix Jordan-fé\& normálalakjának blokkjai:

Bi = [0], B2 = [-1], B3 = [15], B4 = [0], B5 = [-1], Bg = [0]

"0 0 0 0 0 0"0 ~1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 00 0 0 0 0 Oj

3. eset. Az A mátrix karakterisztikus polinomjának és mini- málpolinomjának is többszörös multiplicitású gyöktényezői vannak.

Ha k(A) ^ m(X), akkor először a minimálpolinom tényezőivel

képezzíik a blokkokat, az | Áf | monoton növekedése és a blokkok méretének növekedése sorrendjét betartva, továbbá a karakterisz­tikus polinom kiegészítő tényezői alapján folytatjuk a J mátrix előállítását. Összehasonlítjuk a k(Á) és m{Z) tényezőit és azokhoz a tényezőkhöz, amelyeknek kitevője 1-nél nagyobb eltérést mutat, a blokkok méretének megállapításához, ha közvetlenül nem állapít­ható meg, felhasználjuk a sajátértékekhez tartozó invariáns saját- alterek dimenziójára vonatkozó Frobenius-féle formulát [K33]:

B(s) = 2• d i m - d i m - d i m ^ (5 = 1,2,3,...) (3)

ahol = k e r ( A - Á , ^ E f (5 = 0 ,l,2 ,...,í^ ) , (4)

a pedig a sajátérték minimálpolinomban lévő tényezőjének fokszáma. Nyilvánvaló, hogy

= 0 és ha s>tj^, akkor . (5)

Kiszámítjuk ahhoz a sajátértékhez az invariáns alterek dimen­ziószámát, amelynek a karakterisztikus polinomban nagyobb a multiplicitása, mint a minimálpolinomban és alkalmazzuk a (3) formulát a

B(\), B(2), B(3), B(4), . . . ,B(tk)

értékek kiszámítására. A sajátértékhez afi(l) értéke az 1x1 -es,

5 (2) értéke a 2 x 2 -es, Bitj ) értéke a méretű blokkokszám át adja meg. A blokkok méretének megállapítása és a Jordán- mátrix felírása akkor is így történik, ha k(Á) = m(A) és mindkét polinom tényezőinek 1-nél magasabb fokszáma azonos.

1 0 0 0 02 3 1 0 0

Például az A = -1 -1 1 0 0 (6)1 1 1 3 1

-1 - l -1 -1 1

mátrix sajátértékei: a ^ =1 sajátérték 1-szeres, a ^ = 2 sajátérték4-szeres multiplicitású.

Karakterisztikus polinomja: k{Á) = ( X - 1)(Á - z f ,

minimálpolinomja: m(Á) = { X - l)(/l - 2) .

A minimálpolinom alapján két blokk azonnal felírható:

'2 r

3 10 HL Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

B i= [l], B2 = 0 2

A k(Á), m(/l) tényezőit összehasonlítva látjuk, hogy a (/I - 2) tényező kitevői között 2 a különbség, így egy 2 x 2 -es vagy két 1x1 -es blokk következhet. Mivel a minimálpolinom ( Á - 2 ) té­

nyezőjének fokszáma = 2 , így a (3) formulát elég s =1,2 esetre alkalmazni.

Számítsuk ki a 2 sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( E = diag(l, 1,1,1,1)):

dQ = 0,dl = dim(^er(A - A2E)) = dim(/cer(A - 2E)) = 2,

d2 = áim{ker(A - 2E)^) = 4, d i= A i > 2.

A (3) formula szerint:

5(1) = 2 ■ dim 2 - dim - dimW]"^ =

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása 311

= 2 - d i - d 2 - d Q = 2 - 2 - 4 - 0 = 0,

tehát a Á2 = 2 sajátértékhez nem tartozik 1x 1 -es blokk.

B(2) = 2 - d 2 - d 3 ~ d i = 2 - 4 ~ 4 - 2 = 2 ,

tehát a /Í2 = 2 sajátértékhez 2 darab 2 x 2 -es blokk tartozik. Egyet

már felhasználtunk, ezért a J mátrix harmadik blokkja: B3 =

és az A mátrix Jordan-félt normálalakja;

2 l 0 2

J =

'1 0 0 0 0' 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2

Ha k(Á) = m(Á) és a tényezők között magasabb fokszámúakis vannak, akkor a sajátértékekre és a blokkméretekre vonatkozó szabályok szerint járunk el.

Például, ha

k(Á) = m{Á) = (Á + 5)(Á + 2f ( Á - 2) \ á + 4) ,

akkor a blokkok a-5, - 2 , +2, - 4

sajátértékeknek és a tényezők által meghatározott méreteknek meg­felelő sorrendben következnek.

A -5-höz I x l - e s , a-2 -höz (2. tényező) 2 x 2 -es, a 4-2-höz (3. tényező) 2 x 2 -e s , a-4 -hez 3 x 3 -as blokk tartozik ( a/orJaw -féle mátrixban a blokkokat most szaggatott vonalakkal kiemeljük):

r - 5 l 0 O l O O l p _ _ 0 _ _ p '

0 0 0" 0 l - 2 “ lío o!'_ P ; _ P _ - 2 [ o p | _ p _ _ p _ _ p

0 ] 0 o[2 l | 0 0 0 _ P 1 _ P _ _ P I 0 2 | _ p _ _ p _ _ p

010 01-4 1 oloo! 0 - 4010 Oi 0 0 - 4

312 111 Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

írjuk fel annak a mátrixnak a Jordan-méAxixéX, amelynek karak­terisztikus polinomja és minimálpolinomja:

k{X) - m(Á) = + 1 ) .

Bj a 0 sajátértékhez tartozó 2 x 2 -es blokk; =

B2 az 1 sajátértékhez tartozó 2 x 2 -esblokk: 62 =

B3 a -1 sajátértékhez tartozó 3 x 3 -as blokk: B3 =

1 í0 1

-1 1 0' 0 -1 1 0 0 - 1

tehát a kérdéses mátrix Jorí/an-alakja:

' 0 1 0 0 0

J =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 00 0 0 0 -1

írjuk fel az A =

'-2 3 0 -1 8 -9 -27 -3 9 -30 '43 - 5 45 24 66 94 73

-1 3 0 - 2 0 - 9 -2 1 - 2 9 - 2 30 0 3 - 3 2 2 2 mátrix

- 2 0 0 1 - 4 - 2 - 25 0 0 - 2 4 3 5

16 0 18 11 23 34 23Jordan-félQ normál alakj át, melynek

2 5karakterisztikus polinomja: k(Á) = (Á + 2) (/ + 5) ,2 3minimálpolinomja: m{Á) - ( Á + 2) (A + 5) .

Az alacsonyabb fokszámú minimálpolinom alapján felírható két

blokk: B, =■-5 1 Q■-2

0r

-2_ , B2 = 00

- 50

1- 5

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása 313

A (/i + 5) tényező 2-vel kisebb a minimálpolinomban, ezért a maradék blokkok méretét a Frobenius-íoxxxwXwdX kiszámítjuk:

í/q = 0,J) = dim(ker(A -h 5 • E)) = 3,

Ú2 = dim(ker(A + 5 • E)^) = 4,

í/3 =dim(ker(A + 5-E)^) = 5, d i = 5 i > 3 .

BO) = 2 - d i~d2~d Q = 2 - 3 - 4 - 0 = 2,

5(2) = 2-ű?2- ^ 3 -^ 1 = 2 - 4 - 5 - 3 = 0,

fí(3) = 2 - í /3 - í /4 -^ 2 = 2 - 5 - 5 - 4 = 1,

tehát a Aq - -5 sajátértékhez két darab 1x1 -es, és egy 3x3 -as blokk tartozik. A 3x3 -as blokkot már a minimálpoUnom alapján felhasználtuk, így

6 3 = [-5], 8 4 = [-5],

A (6) mátrix k(Á) -beli maradékának másodfokú tényezőjéhez egy 2 X 2 -es blokk tartozott, most pedig a másodfokú tényezőhöz két 1x 1 -es blokk tartozik.

Az A mátrix Jordan-féle normálalakja:

r-2 1 0 0 00 - 2 0 0 00 0 - 5 1 0

J = 0 0 0 - 5 10 0 0 0 - 50 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0

0 - 5 0 0 0 - 5

A Jordan-féle normálalak felírásakor figyelemmel kell lenni a blokkméret szerinti növekvő sorrendre is, az \Xj \ monoton növe­kedő sorrend betartása mellett. Ekkor is érvényes az azonos méretű blokkokra az a szabály, hogy az egyenlő méretűek közül a nagyobb abszolút sajátértékkel rendelkező követi a kisebbet, ha pedig egyen­lő abszolút értékűek a sajátértékek, de az egyik negatív, akkor a negatív sajátértékű blokk megelőzi a pozitív sajátértékű blokkot.

314 H l Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Például ha

k(Á) = Á(Á - Í)(Á + 6f (Á + 4f (Á + í) \ á - 3 f és

m(Á) = Á(Á — Í)(Á + l)(Á + 6)^(Á + 4) (X — 3) ,

akkor a Jordan-féle normálalak blokkjai a minimálpolinom ténye­zői alapján:

Bj 4 -1 ],B 2= [1L B 3 40],

- 4 1

0 - 4,B .

- 6 1

0 - 6

'3 1 0' 0 3 1 0 0 3

A -1 sajátértékhez tartozó utolsó blokk vagy blokkok egyér­telmű beírását a Frobenius-formulávsá kiszámított = 3, Z?2 = 3

értékek alapján döntjük el. Mivel fi(l) = 2 • 3 - 3 - 0 = 3 , így a -1 sajátértékhez 3 darab 1x1 -es blokk tartozik. Egyet már felhasznál­tunk, így az utolsó két blokk:

B7 = [ - 1] és B 8= [-1 ].

A mátrix Jordan-féle normálalakja:

J =

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0“0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 --4 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 --4 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 --6 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 --6 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0--1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása 315

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása

Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásához az A együtthatómátrix Jordán-fé\& normálalakja mellett arra a reguláris T mátrixra is szükség van, amellyel végzett hasonlósági transzformáció előállítja az A mátrix J-vei jelölt

J = T ^ A T . (1)Jordan-féle mátrixát.

Az (1) helyett tekintsük azAT = T J (2)

egyenletet.A (2) egyenletből egy n-edrendíi A mátrix Jordan-mátrixra való

2 transzformációj ához a T transzformációs mátrix n számú ismeretleneleme n számú n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásá­val adható meg, ha A és J elemei ismertek. A kevesebb művelettel való J mátrix létrehozásához a nemderogatórius és a derogatórius nilpotens mátrixok (1. az I. rész 1.3.4 pontját) transzformációj ára a vektorlánc, ill. fővektor eljárás alkalmazható [K83]. Az itt bemuta­tásra kerülő módszer alkalmazásához nem kell tekintettel lenni arra, hogy a transzformálandó mátrix derogatórius vagy nemderogató­rius. Egy kvadratikus A mátrix vizsgálatához felhasználhatjuk a kö­vetkező összefüggést: nemderogatórius, ha minimálpolinomja meg­egyezik a karakterisztikus polinomjával, ellenkező esetben pedig derogatórius.

Az alábbiakban a hasonlósági transzformáció T mátrixának meghatározására olyan eljárást ismertetünk, amely feltételezi az A mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak ismeretét. A módszer különösen előnyösen alkalmazható, ha a megoldandó feladathoz a sajátvektorok kiszámítása egyébként is szükséges.

1. lépésA J mátrixot a 3.4 pont szabályai szerint az A mátrix sajátérté­

kei felhasználásával létrehozzuk.2 . lépésa) Ha az n-edrendű A mátrixnak n számú különböző sajátértéke

van, akkor az A lineárisan független sajátvektorainak száma meg-

egyezik rendszámával. Ekkor a sajátvektorok alkotják a T mátrix oszlopvektorait, éspedig olyan sorrendben, amilyen sorrendben köve­tik a sajátértékek egymást a J mátrixban. Ebben az esetben tehát T minden elemét a sajátvektorok koordinátái adják, vagyis a transz- formáció T m átrixa megegyezik a modálmátrixszal. Azt is mond­hatjuk, hogy a T mátrix oszlop vektorai alkotják azt a bázist (Jordan- bázist), amelyben az A mátrix felveszi Jordan-féle normálalakját.

Például, ha az n-edrendű A mátrix sajátértékeire fennáll, hogy

Ái ^ (í = 1,2,..., n -1 ) ,

akkor az A Jordan-íélt normálalakja egyszerű diagonális mátrix:

0 ... 0

316 111. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

0

.0 0 ...

ahol a födiagonális elemei | Af | növekvő sorrendjét követik.Ha az A mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sa­

játvektorokatv(/íi), v(/Í2), y{ \i )

jelöli, akkor a T transzformációs mátrix oszlopvektorait a \Ái\ növekvő sorrendjének megfelelő sajátvektorok alkotják:

T = [v(^) v (Í2) ... v rt,)] és így J = r ‘A T .

Ha az A mátrix karakterisztikus polinomjának van többszörös gyöktényezője, de a minimálpolinom mindegyik gyöktényezője első­fokú, akkor a szabály szerint felírt Jordan-mátvix fődiagonálisában lévő sajátértékeknek megfelelően kell a sajátvektorokat elhelyezni a transzformáció T mátrixába.

Például az A =' 7 - 2 1 - 2 10 - 2

1 - 2 7mátrix karakterisztikus és mini-

málpolinomj a: k(Á) = ( Á - l 2)(Á - 6) ; m(Á) = (Á-12)(Á - 6). Az A mátrix sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:

vi(6) = [ - 1, 0, 1], V2(6) = [2,1, 0], v(12) = [1, - 2,1] .

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása 317

Az A mátrix szabályosan felírt Jordan-féle normálalakja és transzformációs mátrixa:

J =

A T mátrix inverze és a számítás eredményének ellenőrzése:

"6 0 0' "-1 1 2‘0 12 0 , T = [vi(6) v(12) V2(6)]= 0 - 2 10 0 6 L 1 1 0

— J- ” 6

-1 1 -6. T“^AT =

"6 0 0'2 -- 2 0 0 12 05 1 6^ 0 0 6

b) Ha az A mátrix hneárisan független sajátvektorainak száma kisebb, mint rendszáma, a minimálpolinomnak is van 1-nél na­gyobb multiplicitású gyöktényezője, akkor általában a T mátrixba az 1 multiplicitású sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat a sajátér­tékek J mátrixbeli 1x1 -es blokkjainak megfelelően vesszük fel, továbbá a k x k - s blokkok sajátértékeinek sajátvektorait az első oszlopaik J-beli oszlopainak megfelelően vesszük fel. Ezt követően a többi oszlopba ismeretlen koordinátájú oszlopvektorokat teszünk.

A T mátrix ismeretlen elemeinek számát, az A mátrix sajátvek­torait felhasználva, csökkentjük.

Az ismeretlen elemekre felírt

AT = T J vagy

A T - T J = 0 (3)

egyenletek megoldása lineáris egyenletrendszer megoldására vezet­hető vissza.

2 -3 1 -3 “-1 - 6 - 3 - 6 - 3 - 3 - 4 - 3

2 6 4 6

Például az A = mátrix karakterisztikus és

minimálpolinomja: k(Á) = £ ‘(Á + í f ' , m(Á) = Á(Á + 1) .

Az A mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sajátvek­torok (a -1 kétszeres sajátértékhez csak egy sajátvektor tartozik):

vi(0) = [3 ,0 ,- 3,1]^, V2(0) = [3 ,1 ,-3 ,0]^ , v (- l) = [-2 ,1 ,3 ,- 2 f .

318 III Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása 319

Az A mátrix Jordan-íé\& normálalakja:

0 0 0 0

J =0 - 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0

Transzformációs mátrix oszlopvektorainak sorrendje: a 0 saját­értékhez tartozó vektorokat az 1. és 4. oszlopba, a -1 sajátértékhez tartozó vektort a 2. oszlopba, az ismeretlen x vektort pedig a 3. oszlopba kell helyezni, azaz a sorrend:

V i(0) , v ( - l ) , X = [Xi, X2, X2, x ^ f , V 2 (0 ) .

A transzformáció mátrixának feltételezett alakja :

' 3 - 2 xi 30 1x2 1

- 3 3 X3 - 31 - 2 X4 0

0 0 3xi - 3x2 + x ^ - 3 x 4 + 2 0 ‘0 0 0 0 ~0 0 - X i ~ 5 x 2 “ ^^3 ~ ^^4 - 1 0 = 0 , (* )

0 - 1 1 0

0 0 - 3 x i - 3 x 2 ~ 3 x 3 - 3 ^ 4 - 3 0 0 0 - 1 0

0 0 2 xj -t- 6x 2 + 4^3 -1- 7 x4 -f-2 0_ 0 0 0 0

és az AT^ - T^J = 0 egyenlet:

A T , - T J =

melyben szükséges, hogy az ismert vektoroknak megfelelő oszlo­pok minden eleme 0 legyen. A (*) egyenletből felírható a

3x — 3x2 -i- ^3 — 3x + 2 = 0 - xj - 5x2 - 3x3 - 6x4 -1 = 0 ^

- 3xi - 3x2 - 3^3 - 3^4 - 3 = 0 2xj + 6x2 + 4^3 -H 7 X4 + 2 = 0

egyenletrendszer, melynek triviálistól különböző egyparaméteres megoldásvektora:

x = [ - 1 - 2 / 7 , ^ + 3 p , - 2 p - l f .

A p paramétert úgy kell megválasztani, hogy lineárisan függet­len vektorrendszert kapjunk. Például p = 1 választással

és a hasonlósági transzformáció T mátrixa:9

T =

3 - 2 - j - 30 1 1 1

- 3 3 ^ - 31 - 2 - 3 0

1A detT = 0 , tehát T oszlopvektorai lineárisan függetlenek.

Ellenőrzésként T kiszámításával végezzük el a hasonlósági transzformációt:

T AT =

~ 2 - 6 0 -5 " 2 - 3 1 - 3 ' 3 - 2 99 3

1 6 3 6 -1 - 6 - 3 - 6 0 1 1 10 - 6 - 2 - 6 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 3 11 - 3

-1 1 -1 0 2 6 4 6 12

0_- 2 - 3

= J

A szabály szerint felírt J és a kiszámított J azonos.Megjegyzés. Ha a mátrix rendszáma és sajátvektorainak száma

között nagy az eltérés, akkor a mátrix 2-nél nagyobb multiplicitású sajátértékéhez tartozó invariáns sajátalterei bázisvektorainak fel- használásával T oszlopvektorai közül néhányat előállítva csökkent­hetjük az ismeretlen oszlopvektorok számát. Természetesen a nem- derogatórius és a derogatórius nilpotens mátrix /orJan-alakot előál­lító T transzformációs mátrixának mindegyik oszlopvektora a fő- vektorok megkonstruálásával is előállítható.

"21 r1 2 1 0 0 4

1. példa. írjuk fel az A = mátrix Jordan-mátnxái és

transzformációs mátrixát.

320 111. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja:

k{Á) = ( Á - l)(Á - 3){Á - 4 ), m{Z) = a - l)(Á - 3)(Á - 4).

Az A sajátvektorai;v(l) = [1, -1 ,0], v(3) = [1,1,0], v(4) = [1,1,1].

A sajátértékek különbözők, a sajátvektorok lineárisan függetlenek, ebben az esetben mind a Jordan-mátrix, mind a transzform ációs m átrix felírása egyszerű. A Jordan-mátvix diagonális, a főátlóban a sajátértékek monoton növekvő sorrendben követik egymást, a transzformáció T mátrixának oszlopvektorai pedig ennek megfele­lően v(l), v(3), v(4) sorrendben helyezkednek el;

J =1 0 0' 0 3 0 0 0 4

T =I l i

- 1 1 1 0 0 1

A T mátrix inverze létezik (oszlopvektorai lineárisan függetlenek);

i „ l 02 21 i „ i2 2 0 0 1

A transzformáció T mátrixszávai képezzük a J Jordan-mátnxot:

j = T ^AT =

l _ i o' 2 2 ^

0 1

21 r 1 1 f ’l 0 0"1 2 1 -1 11 = 0 3 00 0 4 0 0 1 0 0 4

A szabály szerint felírt J és a kiszámított J mátrix azonos.

4 2 ~2"2. példa. írjuk fel az A = mátrix Jordan-mátnxát0 4 - 2

- 6 - 4 6_és a transzformáció T mátrixát.

Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja egyenlő;

k(Á) = m(Á) = U - l O ) ( Á - 2 f

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása

Az A mátrix sajátvektorai;

321

v(10) = [ | , l , - 3 ] , v(2) = [0,1,1],

"2 r "10 0 0"

_0, tehát J = 0 2 12_ 0 0 2

a lineái isan független vektorok száma 1-gyel kevesebb a rendszám­nál, mert a 2 sajátértékhez csak 1 sajátvektor tartozik.

A J mátrix blokkjai; Bj =[10], B 2 =

A T transzformáció mátrix -val jelölt kísérleti mátrix első osz­

lopába v(l 0) = [ - | , 1, - 3] vektort, a második oszlopába v(2) = [0,1,1]

vektort, a harmadik oszlopába pedig az x = [jc , ^3, 3]^ ismeretlen vektort tesszük, azaz

T, =I 01 1 ^2

- 3 1 X3

= 0

A (3) egyenletformát használva;

0 0 2x + 2x2 ~ 2 x^0 0 2^2 -2 ^ 3 -10 0 - 6xj - 4: 2 + 4^3 - 1_

egyenletet kapjuk, melyből

2x\ + 2x2 ~ 2- 3 = 0 2x2 2^3 = 1

- 6x1 - 4X2 + 4x3 = 1

Az egyenletrendszernek csak két egyenlete független, van triviális­tól különböző megoldása, például x = p választással;

_ 1X2 = 2 + P é s x i = - ^ .

Ha p-t 1-nek választjuk, akkor a mátrix harmadik oszlopának1 a

lineárisan független vektora: Vo = [— -2 2 ’ ■

322 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

Tehát a transzformáció mátrixa: T = = " I- 3 1 1

Próba:

io

3 3 - 3 ' 33 1 15

- 2 4 8 - 8

' 4 2 - 2 0 4 - 2

- 6 - 4 6

3. példa. írjuk fel az A =

12

-11

1 1 - 3 1

0111

0 0 0 0 0 0 3 1

10 0 0' 0 2 1 0 0 2

= J.

•1 -1 1

mátrix Jordan-

-1 -1mátrixát és a transzformáció T mátrixát.

Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja, valamint sajátvektorai:

k(Á) = ( Á - l)(Á - 2 f , m(Á) = ( Á - 1)(Á - 2 f ,

Vj (2) = [0, -1 ,1 ,0 ,0]^ , V2(2) = [0 ,0 ,0 ,-1 ,1]^, v(l) = [-1,1,0,0,0]^ .

(A 2 sajátértékhez 4 helyett 2 sajátvektor tartozik).

A J mátrix blokkjai és J:

= [1],B2 ='2 í 0 2

2 1 0 2 J =

1 0 0 0 0' 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2

Most a T mátrixot formálisan két ismeretlen oszlopvektorral tudjuk felírni, az első oszlopba v(l) -et, a második oszlopba V] (2) -t,

a harmadik oszlopba az ismeretlen x vektort, a 4. oszlopba V2(2) -t, az 5. oszlopba az ismeretlen y vektort helyezzük:

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása 323

-1 0 X] 0 yií - 1 X2 y20 1 JC3 0 330 0 X4 -1 J 40 0 X5 1 J5

A (3) egyenletformát használva:

0 0 -Xi 0 -yi0 0 2xj + ^2 + X3 +1 0 2y + }2 }’3 0 0 -X 1 -X 2 -X 3 - I 0 - - ^ 3 = 0 .0 0 Xi + X2 + x + X4 + X5 0 yi + 32 + ) 3 + 34 + >5

^0 0 - X j - .« 2 - ^ 3 “ ^4--^5 0 - J l - J 2 - y 3 “ 3^4-J5.

Az ismeretlenek együtthatói mindkét egyenletrendszerben azo­nosak, csak a konstans tagok különböznek:

= 02xi + X2 + X3 = -1

-X i-X 2 -^ 3 = 1xi + X2 + x- + + x = 0

- - ^2 - X3 - X4 - X5 = 0

- 31 = 02 + 32 + J3 = 0

- Jl - } 2 - J3 = 0+ >'2 + J3 + ) 4 + 35 = 0

- Jl - J2 - J3 - } 4 - 35 = 0.A triviálistól különböző kétparaméteres megoldásvektorok:

X =

0 0- \ - p ~ p

p > y = p\ - q - l - q

_ ^ - ^ _

Például p = \,q-==\ választással olyan két lineárisan független vektort kapunk, amelyek az A mátrix 3 sajátvektorával együtt lineá­risan független vektorrendszert alkotnak.

A T mátrix a kiszámított vektorokkal és inverze:

-1 0 0 0 0" ■-1 0 0 0 0“1 -1 -- 2 0 -1

, T =2 2 3 1 1

0 1 1 0 1 -1 -1 -1 0 00 0 0 •-1 --2 2 2 2 1 20 0 1 1 1 -1 -1 •-1 -1 -1

324 HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Ellenőrzés:

1 0 0 0 0" 0 2 1 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 10 0 0 0 2

= J .

A vektorlánc előállításával is megkapható a derogatórius A mátrixhoz a transzformáció T mátrixa.

Képezzük a Á - 2 sajátérték (A - 2E) és (A - 2E)^ sajátalteré- nek bázisvektorait (E az A mátrixszal azonos rendű egységmátrix):

L : k er (A -2 E ) : {[0 ,0 ,0 ,-1 ,1]^ , [0 ,- l,l,0 ,0 ]^ }, (*)

k2 -. ke r (A-2E)^ :

{[0,0,1,0,0]^, [0,0,0,1,0]^, [0,0,0,0,1]^, [0,1,0,0,0]^:

Mivel a minimálpolinomban a 2 sajátértékhez tartozó gyöktényező

foka 2, így a ker(A - 2E)- , a k2 -vei már megegyezők, kiszámí­tásuk elhagyható.

A T mátrix első oszlopa a A = 1 sajátértékhez tartozó sajátvek­tor (fő vektor):

v(l) = [ - 1,1,0,0,0],

Jelöljük a k2 bázis bázisvektorait k.21 -vei. A T mátrix 2. oszlop­

vektorát V2 = (A - 2E)k2( vektor adja, ahol k 2/ a ^2 bázisvektorai közül az, amely különbözik a k] bázis vektorai tói. Ilyen például a

k 2i = [0,0,1,0,0] és a k 24 = [0,1, 0,0,0]^

vektor. Mindkettő ugyanazt a vektort származtatja, azaz

V2 = ( A - 2E )k 2i = (A -2 E )k 2 4 = [0, l , - l , l , - l f .

A 3. oszlopvektor például a felhasznált k 2i vektor. A T mátrix24 . oszlop vektorát V4 = (A - 2E) k 2/ vektor adja, amely eleget tesz

az előző feltételnek, ilyen például a k 23 = [0,0,0,0,1] , mellyel

V4 - (A - 2E)^k23 = [0,0, 0,1, - 1]^ .

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 325

Az 5. oszlopvektor, pedig a k 23 = [0,0,0,0,1].A transzformáció T mátrixa, inverze és a számítás ellenőrzése:

T -

-1 0 0 0 0" ■-1 0 0 0 0“ 1 0 0 0 0'1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 00 --1 1 0 0 , T‘ = 1 1 1 0 0 , T ^AT= 0 0 2 0 00 1 0 1 0 -1 --1 0 1 0 0 0 0 2 10 --1 0 --1 1 0 0 0 1 1 ^0 0 0 0 2

= J.

A két úton nyert T különböző, de azonos eredményt szolgáltat, mint az, a hasonlósági transzformáció tulajdonságából következik.

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával

A = Ax állandóegyütthatójú lineáris differenciálegyenlet-rend­

szer A mátrixa függ a lineáris tér bázisának megválasztásától. Ha az egyik bázisról a másik bázisra való áttérés mátrixa S (detS ^ 0), akkor az új bázisban

B = S~^AS (1)

lesz a A megfelelő mátrixa. Mivel A és B hasonló mátrixok, így sajátértékeik azonosak és a lineárisan függetíen sajátvektoraik száma is megegyező, ezért célszerű olyan bázist választani amelyben az A mátrix a lehető legegyszerűbb. Ezt a követelményt jól ki tudjuk elégíteni pl. a Jordan-féle normálalak előállításával (1. a 3.4 pontot).

Legyen T az A Jordan-féle normálalakját előállító átmeneti mátrix, azaz a hasonlósági transzformáció mátrixa, akkor

J = T“ ^AT, és

(2)

Az állandóegyütthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet­

rendszer általános megoldásában fellépő exponenciális mátrix­függvény (2) felhasználásával a következő alakú:

t =

T (3)

326 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Ha a diagonális mátrix elemeinek a kitevőiben

B ^ (4 ) = 4 E ,^ + C ,^ , ik = l ,2,. . . ,s)

helyettesítést elvégezzük;

(4)J=0

akkor kifejtés, rendezés és

I = e

felhasználásával:

m-Q(5)

egyenlőséget kapjuk, ahol , rj a Jordan-íéle blokk

rendje. Az (5) kifejtése és kényelmesebben alkalmazható mátrix alakja multiplicitású sajátérték esetén:

= eh-t

1 — —1! 2! •••

0 1 ^ . . .7

0 0 0 . . . 1

(6)

Például, ha

At

A =4 1 0' 0 4 1 0 0 4

akkor az e exponenciális mátrixfüggvény normálalakja, mivel az adott A egy Jordan-íéle blokk, a sajtértéke Á = 4, melynek multi-

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 327

plicitása felírható a következő módon (1. a 3.3 pont 1. pél­dáját):

0 0 ^+ 0 0 4 7 + 0 0 0

0 0 0

Aí 4?/^ , t , t if"* \ ‘ e - e (E3+-jyCi^3 + C 2 ,3 )-e1! 2!

í “1 0 0'0 1 0

V 0 0 1

o i o

o o j í0 0 0

"‘ íAtn 1

2! C- I! 2!Ate 0 1 t

1!.= 0 Ate

1!0 0 1 0 0 At

e

(*)

Általában tehát a többtagú mátrixösszeg képzése nélkül, minden ior<ian-blokkhoz közvetlenül felírható a (*) jobb oldalának megfe­lelő alak.

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja felhasználható az

dxdt = Ax, x(ío) = xq

állandóegyütthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásvektorának meghatározására, tekintettel az exponenciális mátrixfüggvénnyel adott

általános ésx(t) =

kezdeti értéket kielégítő megoldására.A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektort

x(0 = T diag(e^'‘-^ '^~‘°^./ 2 (-l2 )(< - 'o ) ,_/.(^ K '-'o))T “‘x(%) =

= TDT“‘x((o)

alakban kapjuk, ahol T az A együtthatómátrix Jordan-íéle nor­

málalakját előállító átmeneti mátrix, azaz J = T~^AT, a D pedig blokkdiagonáhs mátrix, melynek blokkjai az A mátrix sajátértékei-

(11)

328 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek 3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 329

hez tartozó exponenciális mátrixfüggvények. A transzformáció T mátrixát a 3.4 és 3.5 pontokban leírtak alapján célszerű előállítani, ha a feladathoz egyébként is szükséges a sajátvektorok kiszámítása.

Példák1. Határozzuk meg az 2.3 pont 1. példájában szereplő differen-

ciálegyenlet-rendszer megoldását az exponenciális függvény nor­

málalakjának felhasználásával, ha Xq = [1,2,1]^.Az

'0 1 0“A = 0 0 1

_8 4 -2_mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja azonos:

p(Á) = (A - 2)(Á + i f ; m(Á) = (/I - 2)(Á + i f ,

a sajátvektorok pedig: v(2) = [1,2,4]^; V23( - 2) = [1 ,-2 ,4 ^

Az A Jordan-alakja közvetlenül felírható:

‘2 0 0^J = 0 - 2 1

0 0 - 2

A transzformáció T mátrixának első oszlopa a 2 sajátértékhez tartozó vektor, a második oszlopa a - 2 sajátértékhez tartozó vek­tor, a harmadik oszlopa az ismeretlen vektor:

T = [v(2) azaz

T =

Az ismeretlen vektor koordinátáit az

0 0 2xi + X2~1 A T - T J = 0 0 2x2 + Xs + 2

_0 0 Sxi+ 4 x2 ~ 4= 0

mátrixegyenletből határozzuk meg, (a megoldhatósághoz szüksé­ges, hogy az ismert sajátvektorok oszlop vektorai helyén 0 legyen), mely a következő egyenletrendszer megoldásával azonos:

2xi + X 2 = l 2x2 - 3 ~

+ 4x2 - 4

A paraméteres megoldás: x = [p, - 2 p + 1, 4/? - 4], melyből p = 1

választással a T felírható és kiszámítható:

T =

Ellenőrzés:

1 1 í 2 - 2 -1 4 4 0

T *AT =

'T'—l — J_" 4 -1 - 1 1

4 0 - 1

2 0 0' 0 - 2 1 0 0 - 2

Aí

= J

A J mátrix felhasználásával az e exponenciális mátrixfügg­vény normálalakjai felírhatók, mivel

~-2 rBi =[2], és B2 = 0 - 2

így a (10) formulát blokkonként alkalmazva:

“1 f 0 1

2írn -2te [1], e

"1 1 X| és a D mátrix: D =

r 2te0

0 0~lt , -2t e te

2 - ■ 2 X20 A -2í 0 e_4 4 ^3_

A differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő meg­oldása (11) szerint:

16 4 16 I3^2< _3„-2< + 3^-2.8 2 8

4 4

~x{ty= TDT"^

Ty{t) 2Z(t) 1

330 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

amely azonosan megegyezik az Hermite-íé\& mátrixpolinommal előállított megoldással.

T2. Határozzuk meg az x(0) = [1,2,1] kezdeti feltételt kielégítő megoldást, ha a homogén differenciálegyenlet-rendszer együttható­mátrixa:

’4 4 2^ ' 4 2 - 2 'a) Aj = 2 6 2 , b ) A 2 = 0 4 - 2

2 4 4 - 6 - 4 6

a) Az A] mátrix sajátértékei: = 10, ^ 2,3 = 2 ;2

karakterisztikus polinomja: k{X) = (Á - 2 ) ( Á - 10),

és minimálpolinomja: m(Á) = ( Á - 2)(Á - 10), tehát van 3 lineárisan független sajátvektora, mert a kétszeres saját­értékhez, a 2-höz, két független sajátvektor tartozik:

v ( l 0 ) = [ 1 , 1 , i f , v , ( 2 ) = [ - 2 , 1 , O f . V2(2) = [ - 1 , 0 , i f .

Az A] Jordan-mátrixa a minimálpolinomra figyelemmel:

‘2 0 0“J = 0 10 0

0 0 2

A Jordan-fé\& normálalakot előállító transzformáció T mátrixá­nak oszlopvektor sorrendje: T = [ v | ( 2 ) v ( 1 0 ) V 2( 2) ]

~-2 1 - íT.-1 1es mverze: 1

■-1 2 ■- rT = 1 1 0 1 2 1

0 1 1 4 -1 - 2 3

A Jordan-íé\e normálalak: J = T A^T =2 0 0' 0 10 0 0 0 2

A minimálpolinom gyökei egyszeresek, az exponenciális mát­rixfüggvény normálalakja:

“ 2tA ,te ‘ =

0 0 0 0 0 0

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 331

'x(t)~y(t)

7. '2t lOí 2í\ np—1= 1 diag{e ,e ,e ) l ■ 2z(t) 1

megegyezik a modálmátrixos megoldásnál alkalmazott alaprend­szer diagonálmátrixával.

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

1 2í , 3 lOí'2" 2^

1 2í 3 Wt

Ha a megoldást modálmátrixszal végezzük akkor is ugyanezt az eredményt kapjuk (T = Q ) .

b) Az A2 mátrix sajátértékei azonosak az Aj mátrix sajátérté­keivel, de a minimálpolinomjának kétszeres zérushelye van, azaz gyöktényezős alakja:

k(Á) = a - 1 0)(/l - 2 f , m(Á) = (A - 1 0)(Á - 2 f ,

tehát nem kapunk 3 lineárisan független sajátvektort:

v(10) = [ - | , l , - 3 f , V23(2) = [0 ,l ,l f

Az Aj és A2 nem hasonló mátrixok.

Az A2 Jordan-íélt normálalakja: J =10 0 0' 0 2 1 0 0 2

Az egy ismeretlen oszlopvektort tartalmazó T mátrix:

4

T =3 0

1 1 X 2- 3 1 X3

Az ismeretlen oszlopvektor koordinátáit az

0 0 2x] 4- 2^2 - 2^3 0 0 2;c2 - 2x3 -1 0 0 - 6x1- 4X2 + 4^3 - 1_

A o T -T J = = 0,

mátrix egyenletből felírható

332 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

2x[ + 2x2 - 2^3 = 0 2x2 ~ 2^3 = 1

- 6xi - 4x2 + ‘■3 “ 1

egyenletrendszer paraméteres megoldásaként kapjuk:

12

p = 1 választással: T = " I- 3 1 1

és = —es 1' 3 3 - 3 '

33 1 15 - 2 4 8 - 8

A Jordan-félQ normálalak a kiszámított T mátrixszal képezve:

"10 0 0“0 2 1 0 0 2

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja a (10) formula szerint:

lOíAo t

0 0 00 0

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

1 lOí , 1 2t 2 " + 2 ^

A modálmátrixhoz hiányzik a 3 lineárisan független sajátvektor, ezért kísérletezzünk egy alkalmasan választott mankómátrixszal. Legyen az A2 mátrix mankómátrixa:

fxit)]y(t) = Tzit)

r 10/e 0 0 T0 2te 20 0 2te 1

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 333

Ali. —■4.00000009 2 -2

0 4 - 2 - 6 - 4 6

Az A[^ mátrix sajátértékei:

= 10,00000003, %2 = 2,000051415, ^ 3 = 1,999948654.

A sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze:

-03885143490 0,0000199500 -0,4143092597'Q = -0,2913857581 -0,7760709367 -16137,54378

0,8741572745 -0,7760509852 -16137,95806

-0,6434788527 -0,6434762252 0,6434762264 ' 18809,08889 -6270,179261 6269,535413

-0,9045366466 0,3014889663 -0,3015199702

A hibamátrix:

H = QQ-' =0,9999999994 0 -0 ,M O

^-50,00001 0,999999 - 0 ,M 0 ‘ 0,00001 0 0,999998

Az alaprendszer diagonális mátrixa:D ^ j^-^^(gl0,00000003í ^2,000051415/' ^l,999948654í^

A szemetes egységmátrix föátlón kívüli elemei közül abszolút

értékben a legnagyobb: 10~ elem. A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor komponenseinek első 5 jegye pontosnak várható:

'x(0yit)zit)

= QDQ“ Xo =

0,5000005138e^>^ +0,2501384023e^2í +o,2498610832é?^3í0,3750003807e^‘ -9730,583666e^2í +9732^208674e^3í -1,125001142e^‘ -9730 ,333504?^2í +9732^45g512f.^3í

A helyére a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni.

334

A p indexszel jelölt pontos és a modálmátrixszal képzett, k in­dexszel jelölt közelítő megoldás í = l helyen:

=11016,93908;

III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

=11016,92743; 3;^ =8264,542831; z, =-24771,46132;

= 8264,55142; =-24771,48732.

zik: Vi2 3 = [04 .0f - A JorJan-mátrix: J =

A transzformáció T mátrixát a sajátvektor felhasználásával:

A T - T J = = 0

alakban keressük. Az ismeretlen oszlopvektorok koordinátáinak ki­számításához az

0 — 2xj + X3 — 'lyi + ^3 "" -10 3 x1- 2x3 -1 2

_0 -4x1+ 2x3 “ 4 ji + 2j 3 -X 3_

egyenletrendszerből két egyenletrendszert írhatunk fel. Az együtt­hatók mindkét egyenletrendszernél ugyan azok, de az első jobb ol­

dala [0,1,0]^ vektor, a második egyenletrendszer jobb oldala pedigaz első egyenletrendszer megoldásvektora lesz.

Az első egyenletrendszer és megoldása:

■-3 0 r - 2_yi 4- _y3 = -13 -1 - 2 mátrixszal adott diffe- - 2 J3 = 1 >

- 4 0 1 - 4 ji -H 2^3 = -2

A pontos és közelítő komponensek értékei a becslés szerinti várha­tó 5 jegyre megegyeznek.

4. Határozzuk meg az A =

renciálegyenlet-rendszer x(0) = [l,0, l f kezdeti feltételt kielégítő

megoldását.Megoldás. Az A mátrix minimálpolinomja, megegyezik a ka­

rakterisztikus polinommal: k(Á) = m(X) = { A - í ) , azaz a 2,3=1

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 335

— 2xj -l- X3 = 0 3X2 ~ 2x3 = 1

— 4xj + 2x3 = 0

~ - l ■ -rX = p és p = l választással: x = 1

~2_ - 2

A második egyenletrendszer az x megoldásvektor felhasználásával:

melynek paraméteres megoldása:

T ■fy = P , és /? = 1 választással: y = 1

1_ 1

A transzformáció mátrixa és inverze:

-1 1 0' 0 - i r -3 1 2'0 - 1 1 T = 1 11 , T“ = 1 0 - 10 0 - 1 0 - 2 1 2 0 - 1

A Jordan-féle normálalak a kiszámított transzformációs mátrixokkal:

0 XiJ = T^^AT =

-1 1 0’T = 1 ^2 ^2 0 --1 1

.0 3 )'3_ 0 0 - 1

Az e exponenciális mátrixfüggvény normálalakja, mivel a J egy Jordan-blolík:

At e = 00 0

te

A differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételét kielégítő megol­dásvektora:

336 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

x(t)y(t)zit)

= T n-1r0

L^J

- t e + e te~

e~^-2te~^

(*)

Az előállított megoldásvektor azonosan egyenlő az Hermite-félQ mátrixpolinommal előállított megoldásvektorral.

Kísérletezhetünk a modálmátrixos megoldással is:

-3,00000009 0 r A ,= 3 - 1 - 2

- 4 0 l

A sajátértékek: Ai=-1,0; ^= -1 ,000424309 ; /I3 =-0,999575781.

A sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze:

0,0 -0,4472894933 -0,0004238593052'Q = 1,0 -1053,265417 1,0

0,0 - 0,8943892381 -0,0008478984578_

-0,111111266-10-5270,686240

1,0 0,5555557331-10^0,0 2634,784138

0,5559681123-10^ 0,0 -0,2780430317-10^

A hibamátrix: QQ =

várható.

■ 1,000 0 0 0,003 1,000 0 0 0 1,000

, így 3 jegy pontosság

t -l,000424309í -0,999575781/x D = diag{e , e , e ) ■

xi^2.• 3.

= QDQ ‘x„ =

1179,0 1 1 3 1 & ^ ^ -1178,011316^'-0,55555553-10^ 27763045-10^ e^ '+ 0 ,27792508 -10^e^ '

2357,522472^^ - 2356,522472e^

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 337

Például az pontos (*) és az közelítő megoldás, ha t = 2:

■-0,1353352832'0,5413411328

-0,4060058496

■-0,1353353'0,5420

-0,4060058

Megjegyzés. Az f(t) = t e' \ k<Q, n > \ függvény a maximumát,

az /max = függvényértéket, a t,„ = - | - helyen veszi fel.

Ha \k \> n, k < Q , akkor a 0 < / < és t > tartományokon a

hibabecslő formula a t^ helyen számított hibánál pontosabb érté­keket szolgáltat.

Mivel így te~ függvény (11. ábra) a t = l helyen veszi fel a maximális értékét: 0,3678794412,

12. ábra. ^ e ‘ függvény

338 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

2a függvény (12. ábra) pedig a r = 2 helyen: 0,2706705664,

ezért a hibabecslés t > 2 értékekre sem romlik.8 9 8 0'

5. Határozzuk meg az A = együtthatómát-5 6 6 0 -1 9 - 2 0 -1 9 1

_ 2 1 1 -1_rixszal adott elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer kezdeti felté­

telt kielégítő megoldását, ha x(0) = [1,0, 1,1]^ .Megoldás. A negyedfokú karakterisztikus egyenletnek két kü­

lönböző kétszeres valós gyöke van, a minimálegyenletnek a gyök­tényezői is azonosak:

k(Á) = a + 2 ) \ á -h i f , m(Á) = (Á + 2f (A + i f ,

a sajátvektorok: Vj2(- l) = [1,1 , - 9 , - 3]^, V34( - 2) = [ - 2 , - 4,7 ,1]^, tehát nincs 4 lineárisan független sajátvektor.

A Jordan-íélt normálalak közvetlenül felírható:

J =

-1 1 0 0' 0 - 1 0 0 0 0 - 2 1 0 0 0 - 2

ahol a Jordan-hlokkok: Bj = -1 1 0 -1 Bo =

-2 í 0 - 2

A blokkoknak megfelelő exponenciális mátrixfüggvények nor­málalakja a ( 10) formula szerint;

Bjí -t0 — P “1 t 82? -2tP — P '1 tc — c 0 1, c — c

0 1

melyek felhasználásával a diagonális hipermátrix:

0 0

D = 0 0- 2í , -2te teA -2í0 e

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 339

A transzformáció T mátrixát a két sajátvektor felhasználásával

T =

1 xi - 2 yj1 2 y 2

- 9 XJ 1__-3 X4 1

= 0

alakban keressük.Az ismeretlen oszlopvektorok koordinátáit az A T - J T =

0 9xi+9x2+ 8x3 -1 0 10};i+93;2 + 8y3 + 2 0 5x] + 7x2 + 6x3 - 7 0 5yi + 83 2 + 6^3 + 4 0 -19xj -20x2 -18^3 +^4 +9 0 - 1 9 } ; , - 203 2 “ 17^3 + ^4 - 7

_0 2x, + X2 + X3 + 3 0 2 + ^2 + 33 + J4 - 1

egyenletből felírható két négyismeretlenes egyenletrendszerből ki­számítva:

x 4 A 7 p + 2 5 . - 9 p - 2 8 , - 3 p - 1 3 f , y = ( 2 - 2 p , 2 - 4 p , - 5 + 7p , p f .

A paraméter p = 1 választásával a transzformáció mátrixa és inverze:

1 1 - 2 0 '7 32 - 4 - 2

- 9 - 3 7 7 2 - 3 -1 6 1 1

T =-1 0 5 -2 14

1 - 1 0 - 2 - 5 2 - 1 6 - 9 - 3 - 5 5

A kezdeti feltételt kielégítő megoldás-vektorfüggvény:

~x{t)_1_

e~ -te~^ +yit) = TDT“ ' • 0 -18é> - lte~^ + 18e“^ + 36íe“ ^z(t) 1 19e~ + 9te~ - 18e“^ - 63te~^

y{t)_ 1 1 + ?>te~ - 9e ^ - 9te~ ^

mely megegyezik a direkt Hermite-fé\e mátrixpolinom előállításá­val képzett megoldással.

340 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

MegjegyzésHa közelítő mátrixként az

“8,00000095

-1 92

9 8 0 “6 6 0

- 2 0 -1 9 11 1 -1

mankómátrixot alkalmazzuk, akkor 4 lineárisan független sajátvek­tort kapunk. A modálmátrixos módszerrel csak 2-3 jegy pontosság­gal kapunk közelítő megoldást (a minimálegyenletnek két gyöke is kétszeres).

5 6 -1 0 r

6. Határozzuk meg az A = együtthatómát-- 5 - 4 9 - 6 - 3 - 2 6 - 4 - 3 - 3 7 -5_

rixszal adott lineáris homogén differenciálegyenlet-rendszer meg-Toldás-függvény vektorát, ha Xq = [1,0,1,1] .

Az A mátrix karakterisztikus polinomja, minimálpolinomja és

sajátvektorai: k{X) = (Á + l)(/l -1)^, m{/í) = (Á + 1){Á - 1)^,

v (-l) = [-3, Ü, 1,4 f , V|,23 = [ i , 1,1 , i f .

A karakterisztikus és minimálpolinom azonos és csak két lineárisan független sajátvektor van.

A A 4-1 tényezőnek megfelel a B i= [-1 ] blokk, a ( Á - l f ’ té-

1 1 0'' blokk.nyezönek pedig a B2 = 0 1 1

0 0 1Az A mátrix Jordan-fé\e normálalakja és a T mátrix:

J = 0 B2_

-1 0 0 0' 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

T =

- 3 i

0 1 ^2 ^2

1 I 3 3 4 1 X4 y4_

= 0 ’

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával 341

A mátrixegyenletrendszer:

A T - T J =

0 0 4X14- 6x2 —10X3 -1- 7X4 - ^ 4ji-H6j 2 ~ 10j 3 4-7^4 — x0 0 - 5xi - 5x2 + 9x3 - 6x4 - 1 - - 5j2 + 933 - 6y^ - X2

0 0 - 3xi - 2x2 + 5X3 - 4x4 - — - 3yi ~ 2^2 4- 5 J 3 - 4> 4 - X3 _0 0 — 3x| — 3x2 ~ 6x4 — 1 — 3yi — 3^2 4- 7y^ — 6y^ — X4

melyből felírható két 4 ismeretlenes egyenletrendszer (az első meg­oldásvektora lesz a második egyenletrendszer szabad vektora).

^ = h j + j p , i + p , j ^ j p . p f .

y = = h í + i p . i + p . - i + 4 p . p f -

A megoldás vektorok p = 1 választással:

tehát a transzformáció T mátrixa és inverze:

T =

1 - i _ 5 '2 4 8

0 I

1 1 1 ü 2 4 8

4 1 1 1

1 403

- 4 - 5

2 ^ 25 - 7 4

; ^ 5

AtAz e exponenciális mátrixfüggvény normálalakja (10) szerint:

D =

e 0 0 02

A t , t t t0 e íe — e

0 0 0 0 0

te

Az egyenletrendszer megoldás-függvényvektora:

342 Uh Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

'Át)y{t)zit)v(t)

= TDT

A =

amely azonosan megegyezik az Hermit-íélt mátrixpolinom felhasz­nálásával képzett megoldás-függvényvektorral.

7. Határozzuk meg az2 1 3 0“

- 3 - 2 - 3 02 2 1 01 1 3 1_

együtthatómátrixszal adott hneáris homogén differenciálegyenlet-Trendszert, ha Xq = [1,0,1,1] .

Az A mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja:

k(Á) = (A -t- 1)(A - 1)^ m{Á) = (A + m - \ f .

A minimálpolinom 1-gyel alacsonyabb fokú, a sajátvektorok száma 3:

v i(-l) = [1, 0 , - 1, i f , V2(l) = [ 0 , 0 , 0 , i f , V3(l) = [ - 1,1,0 , 0 ] ^ .

Annak eldöntésére, hogy az 1-hez tartozó mindkét sajátvektor V2 és V3 felhasználható-e egyszerre a T előállításához, képezzük az1 sajátérték invariáns altereinek bázisvektorait: ker(A -1 • E) magtér bázisa:

b i= [ 0, 0,0, l f , b 2 = [ - l , l ,0,0f ,

ker(A - 1 • E)^ magtér bázisa:

bi = [0,0,0, i f , b 2 = [-1,1,0, O f, b3 = [0,0,1, o f .

A két altérben bj és b 2 valamint V2 és V3 azonos, így csak két sajátvektor írható a T mátrixba. A T oszlopvektorainak a sorrendje:

Ti = [vi X y V2] vagy T2 = [vi x y V3] .

3.6 Megoldás a Jordán-féle normálalak felhasználásával 343

A transzformáció mátrixai különböznek:

T, =

1 -1 1 0“ 1 -1 -1 - r0 1 -1 0 0 1 1 1

-1 0 . T2 = -10 ' / 0

1 -1 1 1_ 1 -1 -1 0

de a differenciálegyenlet-rendszer megoldása mindkettővel azono­san egyenlő:

'x(0 ' e -i- 6te— 6te

z{t) t . t - e +2ev(0 _ e -f- 6te

T =

Megjegyzés. A ker{X - 1 • E)^ magtér bázisának b3 vektorát is fel­

használhatjuk T előállítására: T = [vj x b3 V2] oszlopvektor elren­dezésben. így csak egy ismeretlen vektor kiszámítására van szük­ség. Ekkor a transzformációs mátrix alakja:

1 0 0"0 ^2 0 0

-1 JC3 1 0 1 JC4 0 1

és így az0 X] + ^2 + 3x3 3 - jci 00 - 3xj -3x2 “ 3x3 - 3 -X 2 0 0 2xj + 2x2 -X 3 0

_0 x + X2 + 3x3 3 — X4 0

egyenletet kapjuk, melynek 3. oszlopából közvetlenül kiolvashatók az X vektor koordinátái:

A T - T J = = 0

x = [ a - 3 ,o ,3 r

melynek felhasználásával:

T =

1 3 0 0' 0 - 3 0 0

- 1 0 1 0 1 3 0 1

344 111. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok

Az előző pontokban leírtak értelemszerűen alkalmazhatók olyan ál­landóegyütthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldá­sára is, amelynél az együtthatómátrix sajátértékei között komplex számok is vannak, és sajátvektorai komplex komponenseket is tar­talmaznak. Abban az esetben, ha a mátrix sajátértékei különbözők, akkor a modálmátrixos eljárás közvetlenül alkalmazható. Ha a mi- nimálegyenletnek egyszeres komplex gyökei mellett többszörös va­lós gyökei vannak, akkor a transzformáció T mátrixának ismeretlen oszlopvektorai a 3.5 pontban leírtak szerint kiszámíthatók. A Jor- dan-íé\t normálalak felírását ebben az esetben is az egyszeres blokkokkal kell kezdeni, majd a 2 x 2 stb blokkokkal kell folytatni, kivétel a 0 többszörös sajátértékhez tartozó blokk, amelyet első blokknak kell beírni.

Példa1. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyen-

let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa:

" 7 4 6 1“- 6 - 4 - 5 -1 - 3 0 - 2 3

_ 2 1 1 - 1_

és a kezdeti feltétel vektora: x(0) =xq = [1, 0,1, 2]^ .

Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit:

= 2i, Á2 — —2i, /I3 = — 1, /?4 = 1,

és sajátvektorait:

Vj (2 0 4 -1 - - í, - + - i, 1, - , V2 ( - 2í H - l + i, 1, - - f ,3 3 3 3 ^ 3 3 3 3

7 11 1 r 11 4 r= ’ v ,(l) = [ - - ^ , U , - / .

A sajátértékek sorrendjére vonatkozó szabály szerint felírjuk a Jor- dan-féle normálalakot:

A =

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok 345

J =

-1 0 0 0'

0 1 0 0 0 0 - 2/ 00 0 0 2/

Az A mátrix rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor van, ezért felírhatjuk a modálmátrixot és kiszámíthatjuk az inverzét:

Q =

76116i21

_ 35

10 9 3

n7

4 7

5- 1 1

109 , 3

~ l - | / “3 32 2 . 2 _ 2 ..3 3 3 + 3 Í

1 11 13 3_

35

_ 11 10

6 6 ,10 2 0 ' 10 5 ' 5 2 0 ' 5^ + -1 ,- _ 9 ._ 3 . 6 J _ . 6 _ 6 .

L 1 0 ^ 2 0 ' 10 5 ' 5 2 0 ' 5 5 '.

~t J -2ti 2ti.Az alaprendszer mátrixa: D = diag(e \ e , e ,e ).

A megoldás vektor: x{t) =

xi(0X2{t)X {f)x {t)_

= Q D Q -‘x(,

X g - í , 121 í _ ^ -2ti 9 . - i t i 5 9 2ti 9 . 2ti

- 1 1 J + 22 -2ri _ 8 . -2n- 22 2tí 8 . 2(í10 10 5 5 + T 1 “3 -I 77 j , 9 --2t/ 21 . -2f, 9 2„ '_21 . 2/i

lO"^ + 2 * 10“10 * ’

3 - t , 22 J 3 ~2ti 7 : - 2 t i 3 2ti , 7 • 2ti

346 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

= 39,69599377, ^2 =-27,90728141,

X3 =-20,96740625, X4 =12,15659182

—9Megjegyzés. A számítógép X2, értékeknél = 10 i képze­tes részt is kiírt.

A komplex számokra vonatkozó Euler-íéXo. képletek alkalmazá­sával a megoldás valós alakra hozható:

^i(0 = ^ - T ^ ^ 5

■2(0 = - e' - ^ cos 2í - sin 2t,

x (t) = - ^ ^ + 9 cos 2í + - y sin 2t,

x (t) = ^ e - 3 c o s 2 t - ^ s i n 2t.

A í = 1 helyen vett helyettesítési értékek csak az X2 és x utol­só jegyében térnek el:

xi =39,69599311, ^2 =-27,9072814,

X3 = -20,96740625, JC4 = 12,156591812. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyen-

let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa:

A =

■-2 -5 -3 - 8' 3 5 4 8 2 5 3 8

_ 3 - 4 - 4 - 6

, és a kezdeti feltétel vektora: x(0) =Xq =

Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait:

ro I^ 2 = 0 (kétszeres sajátérték, =

iT

0 0), Á = 2i, /I4 — —2í ,

V i ,2 = [ - 2 . - 2 ,2 , l f .V 3 = [ - U , l , - | + i f , y 4 = [ - l , l , l . - | - j f .

A Jordan-íélQ normálalak felírásához vegyük figyelembe a 0 sajátérték kétszerességét:

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok 347

J =

0 1 0 0'

0 0 0 0 0 0 - 2 / 0 0 0 0 2/

Az A mátrix rendjénél eggyel kevesebb számú lineárisan füg­getlen sajátvektor van, ezért először a transzformáció T mátrixát számítjuk ki az ismert sajátvektorok felhasználásával.

Az első oszlopba a 0 sajátértékhez tartozó sajátvektor, a máso­dik oszlopba az ismeretlen vektor, a harmadik oszlopba a -2i sa­játértékhez tartozó vektor, a negyedik oszlopba a 2i sajátértékhez tartozó vektor kerül (ez felel meg a J oszlopaiban lévő sajátértékek sorrendjének):

T =

-2 q-2 C2

2 c-3

1 C'4

-111

1 _ 1 4 4

-111

4 4 J

= 0 ,

Képezzük az AT - T J = 0 mátrixegyenletet:

0 -2 q - 5c2 - 3c3 - 8C4 + 2 0 0~0 3q + 5c2 + 4c3 + 8C4 + 2 0 00 2c] + 5c2 + 3c3 + 8C4 — 2 0 0

_0 - 3q - 4c2 - 4^3 - 6C4 - 1 0 0

A mátrixegyenletböl az egyenletrendszer és megoldásvektora:

- 2c} - 5c2 - 3c3 - 8C4 = -2 3q + 5c2 + 4c'3 + 8C4 = —2 2q + 5c2 + 3c3 -f- 8C4 = 2

- 3q - 4c2 - 4c3 - 6C4 = 1

- 1 9 - 2 p

■, c = - 1- 2/?í5 + 2p

. P _p = 0 választással:

T =

-2 -19 - 2 -1

2 151

-111

3 1

-111

3 , 1 ,0 - i —j i - t + t í 4 4 4 4 JKiszámítjuk a T mátrix inverzét:

348 HL Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

Í “ f ‘ l “ Í ' 'Az alaprendszer D mátrixa:

'1 t

D =0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A megoldásvektor; x(í) =

xiit)X2Ít)x (t)

_X4Ít)_

=TDT Xq =

5 +

A í = 1 helyen felvett értékek;xi = -2,337684348, ^2 = 5,337684348,X3 = 4,337684348, X4 = -6,556964488.

A komplex számokra vonatkozó Euler-íé\& képletek alkalmazá­sával a megoldás itt is valós alakra hozható;

;cj(/) =5 + /-4 c o s2 í- lls in 2 í,;c2(í) = -4 + í + 4 cos 2í +11 sin 2í,

x {t) = -3 - í + 4cos 2í +11 sin 2í,

Mii) = I - i ( - i c o s 2t - ^ s i n 2í.

A helyettesítési értékek a í = 1 helyen csak az utolsó jegyben térnek el; X] = -2,337684344 ^2 = 5,337684344 X3 = 4,337684344, X4 = -6,556964489.

349

3. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyen­let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa;

8 9 - 1 - r

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok

A = - 1 0 - 1 0 -1 7 -1 8

0 0

1 2 1 2 0 - 1

, a kezdeti feltétel vektora; x(0) =Xq =

Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit;= 3i, A2 - ~3i, A = - l (kétszeres gyök)

és sajátvektorait;r 19 3 . 20 9 T

vi(3í) = — — + — z,-----------/ , l , 0 f ,37 37 37 37

, r 19 3 . 20 9 TV 2(-3/)= ------------ 1, — + — í , l , o f ,

37 37 37 37

v (- l) = [0 ,l,9 ,0 Í

A sajátértékek sorrendjére vonatkozó szabály szerint felírjuk a Jordan-féle normálalakot;

J =

Az A mátrix rendjénél eggyel kevesebb számú lineárisan füg­getlen sajátvektor van, ezért először a transzformáció T mátrixát számítjuk ki az ismert sajátvektorok felhasználásával.

- 3 / 0 0 o'0 3/ 0 00 0 -1 10 0 0 1

T =37

20 9 .37

10

2 0 _ A ,- 1 37 37 C2

9 C30 C4_

Képezzük az AT - T J = 0 mátrixegyenletet;

0 0 0 9q + 9 c 2 -c 3 -c 40 0 0 — 1 Ocj — 96'2 + <73-1- 2(?4 = ~ 10 0 0 —17c|—1 8c2 + 2C3 -i-2c'4 — 90 0 0 0

A megoldásvektor; c = [9, p,71 + 9p,10]^.

= 0

A p = 0 választással lineáris oszlopvektort kapunk, és így meg­

kapjuk a T mátrixot:

350 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

T =

_ i9 __3_, 37 37

37 37 10

_ i 9 0 37 37

37 37 10

9

1 0 9 71 0 10

Kiszámítjuk a T mátrix inverzét:

21 20 H 20 ' 60

J_10 0

143 ■ __9_ 60 20 20

1

+ 143 • ++ - 20 20

J_100

_ + 43 20 60 50 _1 19 ■ 43 , 3\ j-

31300

20 60 JL 100

50 30049

“ 50J _10

Az alaprendszer D mátrixa: D =

-3it? 0 0 0

03it

e 0 0

0 0- í

e0 0 0

A megoldásvektor:

X](t)

x(0 • 2(0x it)

_X4(í)_

=TDT 'x„ =

2e“ '

A í = 1 helyen felvett értékek:X] = 2,244449037 , X2 = -3,870127280,

A-3 = -0,6559431842, X4 = 0,7357588824.

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok 351

A komplex számokra vonatkozó Euler-féle képletek alkalmazá­sával a megoldás itt is valós alakra hozható:

■1(0 = -•jCOs3í + s in 3 í-)-- |-e ’’ ,

X2Ít) = cos 3í - sin 3í + y te~ ~ 25

x it) = - ^ cos 3? - sin 3í + - | -h

x it) = 2e ^

A í = 1 helyen vett helyettesítési értékek csak az utolsó egy-két jegyben térnek el:

= 2,244449037, X2 = -3,870127279,X3 = -0,6559431837, x = 0,7357588824.

Megjegyzés. Az állandó együtthatójú lineáris differenciál­egyenlet-rendszer megoldása azonosan előállítható, akkor is, ha az együtthatómátrixhoz tartozó Jordan-féle normál alak blokkjait az 3.4 pontban leírt szabályoktól eltérően, tetszőleges sorrendben vesszük fel és betartjuk az alábbi passzítási szabályt:

Passzítás szabálya. A Jordan-féle J normálalak blokkjainak sorrendjéhez kell passzítani a transzformáció T mátrixában a saját­vektorok, ill. az ismeretlen oszlopvektor(ok) sorrendjét, valamint egyszeres sajátértékek esetén az alaprendszer D j diagonálmátrixá- ban, ill. többszörös gyökök esetén az exponenciális mátrixfüggvény Dg normál mátrixában fellépő blokkok sorrendjét.

Példa

Számítsuk ki az A =2

-2- 3

-112

együtthatókkal adott diffe-

renciálegyenlet-rendszer Xq = [1,0, 1] kezdeti feltételt kielégítő megoldását szabályos és nem szabályos J felhasználásával.

Megoldás1. Az A sajátértékei és sajátvektorai:

4 = 6 ; vi 2 =[5,1,7], V3 =[0,1,2].

352

"6 0 0'

0 1 1 0 0 1

111. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

A szabályosan felírt: J = , és a hozzá passzított

0 0 '0 5

0 te , és T = 1 1 ^20 0 2 7

Az AT - T J = 0 megoldása; [-6 + Síj, -1 1 + 7í] ], melyből

0 5 - 61 1 02 7 -11

-1és a megoldás: x(í) = TD^T Xq =5

’l 1 0"

2. A J , = 0 1 0 alakban felírt Jordan-féle normálalakhoz

0 0 6

te 0 5 X| 0*"

passzított = 0 0 , és = 1 X 2 ^

0 0 _7 X3 2_

Az AT^ - = 0 megoldása: [-6 + 5 / i , í i , - l l + 7 í J , mely­

ből ti = 0 választással:

'5 - 6 0”

T ,= 1 0 1

7 -1 1 2

3.7 Feladatok 353

és a megoldás: x(r) = T„D T ' xq =

előző megoldással.

5

- (7 e ^ -2 e ^ ^ )5

azonos az

3.7 Feladatok

1. írjunk fel egy harmadrendű A mátrixot, melynek

sajátértékei: si - 1, 5"2 = -1, 3 = 3;

sajátvektorai: Vi(l) = [0, 0, i f , V2(-l) = [1, -1 , i f , ¥3(3) = [1,1,2 f .

( J =-1 0 O': ~ 10 r

, A = T J T ” =“1 2 0"

0 1 0 , T = [V2, V j, V3] = -1 0 1 2 1 00 0 3 1 1 2 1 3 1

2. Határozzuk meg az A = mátrix J Jordan-

'- 1 -3 1 2'0 - 3 0 31 - 3 - 1 4

-1 0 1 -1alakját és a transzformáció T mátrixát.

(k{Á)~ £ ' (Á + 3)^, m(X) = Á(Á + 3)^ ; - -3, ■S'2 = -3 , = 0; 54 = 0: -3 -hoz egy, 0-hoz két sajátvektor tartozik:

vi (-3) = [1, 1, 1, 0] ^ , V 2 ( 0) = [ l , 0 , l , 0 ] ^ , V 3 = [ - 1, 1, 0 , 1] ^ .

, T = [V 2 V j X V3] =J =

0 0 00 0 - 3 10 0 0 - 3 0 0 0 0 0

1 1 -10 1 .X2 11 1 X3 0

_0 0 X4, 1_

Az A T - T J = 0 egyenletből x = [ ^ , - ,0 , - ~ ] ^ .)

354 III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek 3.7 Feladatok 355

“9 0 -7 -6 ' 4 1 3 -2" ~xi(ty

3. Határozzuk meg az A = 67 ■

1- 6

- 6- 5

- 50

mátrix J Jordan- 5. Határozzuk meg a - - 3- 3

-10

- 2- 2

23

Xiitx (t)

6 5 - 6 - 9 2 1 1 -1 j4Ít)_alakját és a transzformáció T mátrixát.

( k{X) = a + Af{X - i f , m(Á) = (Á + 4f ( Á - 2f . J =

A sajátértékekhez egy-egy sajátvektor tartozik:

2 1 0 0'0 2 0 00 0 -- 4 10 0 0 --4

T = [v2 XVj y] =

1 10 X2 l y21 ^3 1 J3

_0 X4 1 y4_

. Az AT -T J = 0 egyenletből

4. Határozzuk meg a dx(t) ^ dt

renciálegyenlet-rendszer xq = [1,0,1] kezdeti feltételt kielégítő megoldását.

( k{X) = Á(Á - 1) , m(Á) = Á(Á - 1) lineáris tényezőjű, a J főátlóján kívül csak 0 elemek állhatnak:

J =0 0 0'

0 1 0 0 0 1

. v,(l) = [2,1, o f , V2W = [4,0, i f , V3(0) = [1, -1, i f .

x(t) =MDM 'xo=' 1 2 4“ e® ' 0 0 -1 2 4 T 3 - 2/- 1 1 0 0 e 0 - 1 3 4 0 = -3 -h3e

1 0 1 0 0 e 1 - 2 - 3 1 3 - 2 e

lineáris

differenciálegyenlet-rendszer Xq = [1,0,1,2] kezdeti feltételt kielé­gítő megoldását.

( / l , = - 1 , Í 2 = I. /I3 = A , =i. V i ,

T

Va = [-1

■ 2 -2 -4" ~x(t)- 1 3 4 y ( t lineáris diffe-

1 - 2 - 3 zit)_ 6,

v 2 = [2, - i , - i , i r ,

1 . 2 1 . , í r , , 1 . 2 1 . , 1 7- í , ------- 1, 1,— ] , V4 = [ - 1 — + — ]3 3 3 3 3 3 3 3

xi(0 = + ~ e ^ - - y cosí - - j s in t,

X2Ít) - ~ ^ e -1- 4 cosí -H^sin t,

x it) - + ^ c o s í + 3 sin t,

x it) + ~ e - - “ C o sí-s in t.)

let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa:

A =

■ 2 -3 1 -3" -1 - 6 - 3 - 6 - 3 - 3 - 4 - 3

2 6 4 6

, a kezdeti feltétel vektora: x(0) =Xg =

(k(X) = £(A + 1) m(i) = A(Á + 1) ; V o i = [ 3, l , - 3, o f , V o 2 = [ 3 , 0 , ^ 3 , l f , v , _ i ) = [ - 2 . 1 , 3 . ^ 2 f .

Pontos megoldás:

x{t) -15-t-16e + I6te ^y{t) - 2 + 2e~z(t) 15-Ue~^ -24te~^

_u(t)_ -3-1-4e +I6te

356 III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Mankómátrix: A =

2,00000009 -3 1 -3-1 - 6 - 3 - 6- 3 - 3 - 4 - 3

2 6 4 6

A sajátértékek, a modálmátrix és a diagonális alaprendszer mátrixa:

/Ij --1,000131449, /Í2 =-0,9998687169, /I3 = 0,2528277126-10-6

-10

M =

;i4 = -0,2704190115-10

■ -0554679153 -5981,657550 4,038075289 0,05427235695 ‘0,2773851129 2990,337593 -1,425394097 -6,8372048610,8320643184 8971,995685 -4,038074957 -0,05427236062

-0,5547338171 -5981,068342 2,771419088 6,855295650

D

A megoldás:x(í)'y(t)zit)u(t)

-60891,12405/^^ + 60907,12429e'^^ -15,05821410?"^^ +0,0580683229ó/4Í

7,31541879 '^4í30450,56076í?' - 3044a56077é-'^ + 5,315376249te^ -

91341,69032^' - 91355,69057e^ +15,05821286e^ - 0,05806832689^^- 60897,12467^1 + 60901,1247&í^ - 10,33478056e^ + 7,334774904e^4

A hibamátrix legnagyobb eleme: 8 10 ^ , így az ötödik jegyig jó megoldást kapunk, pl. í = 1 helyettesítéssel:

■ -3,22785788 ' -4,207276647

1,02058123 4,357588824

■-3,227869587'-4,207351199

1,0205583434,357681734

KIEGÉSZÍTÉS A DIFFERENCIÁLEGYENLET­RENDSZEREK ELMÉLETÉHEZ

IV . R ÉSZ

Bevezetés

A matematika alkalmazásai igen gyakran vezetnek lineáris diffe­renciálegyenlettel kapcsolatos kezdetiérték-, peremérték- és saját- értékproblémák megoldásának igényéhez. E problémák területén végzett vizsgálatok eredményeit felhasználhatjuk differenciál- egyenlet-rendszerekkel összefüggő problémák tárgyalására is, ha az egyenletrendszert visszavezetjük egyetlen magasabb rendű dif­ferenciálegyenletre.

A differenciálegyenlet-rendszer egyetlen egyenletté való redu­kálása azonban mind elméleti, mind gyakorlati szempontból kifo­gásolható. Elméleti szempontból pl. nehézséget okoz, hogy az egyenletrendszerben szereplő függvények (együttható és sajátfügg­vények) olyan magasabb rendű deriváltjainak létezését is fel kell tenni a redukció elvégzéséhez, melynek létezése nincs szükségkép­pen biztosítva. Gyakorlatilag pl. az okozna nehézséget, hogy a redukált egyenlet bonyolultsága miatt a sajátértékek használható becslésére nem számíthatnánk. Ezek meggondolása alapján célsze­rűnek mutatkozott az egyetlen n-edrendű közönséges lineáris diffe­renciálegyenlettel kapcsolatos kezdetiérték-, peremérték- és saját- értékproblémákra részletesen kidolgozott elméleteket a közönséges 77-edrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerrel összefüggő kez­deti érték-, peremérték- és sajátértékproblémákra általánosítani.

E témakör egyes részproblémáit számos cikk és könyv tárgyal­ja. M. E. Bounitzky [DIO] megadta a elsőrendű differenciálegyen- let-rendszerrel kapcsolatos n lineáris peremfeltételből álló perem- értékprobléma Green-fé\& mátrixának felépítését abban az esetben, amikor a differenciálegyenletek együtthatói a független változó folytonos függvényei, és a peremfeltételek együtthatói konstansok. M. Bőcher [D9] a magasabb rendű adjungált rendszerekkel foglal­

358 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

kozik, melynek együtthatói Bounitzky által tárgyalt típusúak, M. C. Carrnan [D ll] pedig másodrendű peremértékproblémákat tárgyal. Az elsőrendű peremértékproblémák területén elért eredményeket tartalmaznak A. Schur [D67], G. D. Birkhoff'- R. S. Langer [D6], G. A. Bliss [D7], [D8], W. T. Reid [D60], [D61], [D62], R. E. Langer [D33] és W. M. Whyhurn [D71] szerzők cikkei.

Megemlítendő, hogy Whyhurn olyan elsőrendű differenciál- egyenlet-rendszerre adta meg a Green-függvényt, amelynek együtt­hatói nem folytonosak, csak Lebesgue szerint integrálható függvé­nyei a független változónak. Hasonló együtthatókkal vizsgálta Reid [58] a végtelen elsőrendű differenciálegyenleteket és az ezekhez tartozó peremértékproblémákra kiterjesztette Birkhoff és Langer, valamint Bliss véges rendszerre kapott néhány eredményét. Bliss és Reid a variációszámítás szempontjából vizsgálták a peremérték­problémák önadjímgáltságát és annak újabb meghatározását ad­ták. Langer [D32] a differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos sajátértékprobléma eredményeit kiterjesztett komplex változós esetre. Az n-edrendű differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos önadjungált sajátértékprobléma vizsgálatával foglalkozó cikkek [D17], [D45],

A differenciálegyenlet-rendszerek mátrix módszerrel való tár­gyalásával is számos szerző foglalkozott és azok közül /. A. Lappo- Danilevszkij [K55], Rózsa Pál [K83], M. A. Najmark,. [K66], Makai E. [D38], Bajcsay P. [D2], [D3] munkáira utalunk.

A 3. rész fejezeteiben a lineáris algebra, a funkcionálanalízis és a differenciálegyenletek elméletében szokásos jelöléseket és elne­vezéseket használjuk, de ezek mellett az egyszerűbb és tömörebb tárgyalási mód érdekében újabb jelöléseket is bevezetünk. Sz. L. Szoboljevtöl [K92] eltérően definiálunk egy egyváltozós függvény­

vektorokból álló függvényvektorteret. Ebben a térben értel­

mezett három ekvivalens norma alapján az n-edrendű differenciál- egyenlet-rendszerrel kapcsolatos Cauchy-íélt problémát, perem­érték- és sajátértékproblémát egységesen tárgyaljuk a klasszikus feltételeknél lényegesen általánosabb feltételek mellett. Általános feltételek mellett definiáljuk a Green-félt függvénymátrixot, a poli- nomvektort és megvizsgáljuk a minimalizáló polinomvektor sorozat konvergenciáját.

1. FEJEZET

A Cauchy-féle problém a általános vizsgálata

1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók

Ebben a részben E, jelöli az m-dimenziós euklideszi teret. Az

tér elemeit - vagyis a komplex számokból álló [ai,a2 ,...,a„^) rendezett szám m-eseket - a továbbiakban oszlopvektor (oszlop­mátrix) alakban írjuk fel. Az oszlopvektorokat (röviden vektorokat) félkövér kisbetűvel jelöljük. így például az koordiná­tájú vektorra az

a =

a\«2 ( 1)

jelölést használjuk.

1. definíció. Ha p > \ tetszőleges véges szám, akkor az (1)

alatti a e vektor/?-abszolút értékén az

| f | „ = 11%U=i

\pV

egyenlőséggel értelmezett számot értjük. Ha /? -> -i-oo , akkor

(2)

(3)

Ezért bevezetjük az

|a|oo= :=max|a^|U = l J k

jelölést.

360 IV. Kiegészítés differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

E megállapodás mellett az a e vektor ;?-abszolút értékét minden \ < p < + ° ° mellett a (2) egyenlőség definiálja.

A szokásos módon igazolható, hogy a (2) egyenlőséggel értel­mezett p-abszolút érték eleget tesz a normaaxiómáknak, azaz

1. I a 1 > 0 minden a e E„I \ p "

akkor, ha a = 0 ,

esetén és | a |^ = 0 akkor és csak

2. \oca\p = I ÖT11 a I^ « tetszőleges komplex szám),

3. |a + b|^ <|a|^^ + |b |^ m indenaés b e esetén.

Megjegyezzük, hogy valamely vektorsorozat ;?-abszolút érték­ben való konvergenciája azt jelenti, hogy a vektorsorozat mind­egyik koordináta sorozata konvergens.

Egy m xm típusú A mátrix jelölésére az

A = (4)

J ml ^ml ••• ^mmj

szimbólumot használjuk, ahol a mátrix (r,s = \ ,2, . . . ,m) ele­mei tetszőleges komplex számok lehetnek.

2. definíció. A (4) alatti A mátrix p-abszolút értékén az

( m m 1"^| A | p = | S S | a „ | y (5)

egyenlőséggel értelmezett számot értjük ( l< p < +°°) .

A (4) alatti A mátrix és az (1) alatti a e oszlop vektor mát­rixszorzatát a szokásos módon értelmezzük, tehát

Fennáll az A -a < Ai - aI l/J I \p \ \q

(r = l ,2 , . . . ,m ).

(6)

egyenlőtlenség, ahol —- + — = 1, és megállapodás szerint p = l ese-

1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók 361

tén legyen q = +°o, továbbá p = -t-oo esetén q = l , és az 1 szim­

bólum mindig a 0 számot jelentse.A (6) egyenlőtlenség a Hölder-egymíöÜenséghöl [KlOl],

azonnal következik ui.

rtn m p' p m r m ^

±D ( m \

1 'ű

I > < < I z i « „ rF p

r=l ó’=l r=l J vs=l J

±P -

= \ % H -

Legyenek f i , fm tetszőleges, komplex értékű függvé­nyek valamely [a,b] intervallumon értelmezve, akkor az (1) jelö­lésnek megfelelően az

f = ( / l . / 2 . - . / j ’' (V)vektort a továbbiakban függvényvektornak nevezzük.

Hasonlóan, ha / „ (r,5 = l,2 ,...,m ) komplex értékű függvé­

nyek az [a, b] intervallumon, akkor az

F =

/ l l /l2 ••• fim f i i f i i ■■■ fim (8)

_fm\ Ím2 • • • fm

mátrixot függvénymátrixnak nevezzük.A (7) függvényvektorról, ill. a (8) függvénymátrixról azt mond­

juk, hogy az [a,b] intervallumon folytonos, differenciálható, integ­rálható stb., ha a függvényvektor, ill. a függvénymátrix elemei (mindegyik külön-külön) az [a, b] intervallumon folytonosak, differenciálhatók, integrálhatók stb.

Ha a (7) alatti f függ vény vektor /-szer differenciálható, akkor i- edik deriváltján (vagy i-edik derivált vektorán) az

függvényvektort értjük.

362 IV. Kiegészítés differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Ha a (7) alatti f függvényvektor (valamilyen értelemben) integ­rálható, akkor integrálján az

b fb b b | f = J/i(j:)dx, j f 2Íx)dx,..., dxa \a a a

(konstans) vektort értjük.A függvények körében használatos Q[a,Z)], Lp[a,b] jelöléseket

értelemszerű módosítással átvisszük függvényvektorokra, ill. függ­vénymátrixokra is. Mint ismeretes, általánosan Q [a,ö]-vel jelöljük

az [a,b] intervallumon n-szer folytonosan differenciálható függvé­nyek halmazát. A jelölést függvényvektorokra és függvénymátrixok­ra is megtartjuk, így C„[íí,/?]-vei jelöljük valamely [a,b] intervallu­mon n-szer folytonosan differenciálható (7) alatti függvényvektorok halmazát, továbbá ugyanígy jelöljük az [a,b] intervallumon n-szer folytonosan differenciálható (8) alatti függvénymátrixok halmazát is.

3. definíció. Legyen l < p < tetszőleges rögzített szám. Va­

lamely (7) alatti f e C, [a,b] függvény vektor normáján az

(9)

egyenlőséggel értelmezett számot értjük. (A C, p jelölésben a p

Ái) deriváltvektorok p-abszolút értékét kellindex arra utal, hogy az f tekinteni).

Ha n = 0 , akkor CQ[a,b] helyett a C[a,b] jelölést használjuk,

így ha f £ C[a, b] , akkor

fW lp-f L = max' xs[a,b

Ez alapján egy f g C,la,b] függvény vektor (9) egyenlőséggel értelmezett normája az

i=0

Ál ) (10)

alakban is felírható.

I . l Jelölések, elnevezések, definíciók 363

Igazolható, hogy a függvény vektorokból álló C„[a, b] tér a (9) (vagy vele azonos (10)) normával Banach-ieret alkot (1. az I. rész2.3 pontját).

Megjegyezzük, hogy egy

{f^)GC,[a,b] (/c-1 ,2 ,...)

függvény vektor-sorozatnak (a továbbiakban az (f^) függvényvek-

tor-sorozatot jelöl) valamely feCi^[a,b] függ vény vektorhoz való norma szerinti konvergenciája azt jelenti, hogy a függvényvektor­sorozat és ennek összes derivált sorozata n-edrendig bezárólag egyenletesen tart a határfüggvény vektorhoz, ill. ennek megfelelő deriváltjaihoz.

Legyen p > 1 tetszőleges véges szám.

Ebben a részben egyidejűleg hp[a,b\ -vei jelöljük azoknak a

komplex értékű függvényeknek a halmazát, amelyek abszolút érté­keinek p-edik hatványa Lebesgue-értelemhon integrálható, valamint azoknak a (7) alatti függvényvektoroknak, ill. függvénymátrixok­nak az összességét, melyeknek elemei Lp[a,b] -beli függvények.

A fentiek értelmében a (7) alatti f függvényvektor, ill. a (8) alatti F függvénymátrix akkor és csak akkor tartozik Lp[a,b] -hez,

ha az

i f | „ ) •ill- ( |F |p

függvények az [a, b] intervallumon Lebesgue-értelemhen integrál- hatók.

Jelentse L^[a,b] azoknak a komplex értékű függvényeknek, ill. függvény vektoroknak vagy függvénymátrixoknak az összességét, amelyeknek abszolút értéke, ill. <>o -abszolút értéke majdnem min­denütt korlátos az [a,b] intervallumon.

4. definíció. Valamely f g Lp[a, b] (7) alatti függvényvektor

L p -normáján \ < p < esetén az

364 IV. Kiegészítés differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

b , p m b|f IIl = i j z fi A W f d x

\k=\a

egyenlőséggel értelmezett számot, míg p = +°o esetén az

IflL = inf sup | f w L

( 11)

(12)

egyenlőséggel értelmezett számot (ún. lényeges szupremumot) értjük, ahol m{H) a H cz[a,b] halmaz Le^eí^we-mértékét jelenti.

Igazolható, hogy

I™ l |f lL = l l f l L 'p ^ + o o P

így célszerű megállapodni abban, hogy az1

szimbólum a továbbiakban mindig a (12) egyenlőséggel értelmezett

számot jelentse. így valamely f e 'Lp[a,b\ függvényvektor -

normáját minden 1 < p <+'=<> mellett a (11) egyenlőséggel értel­mezhetjük [D50].

A fenti megállapodásnak megfelelően minden 1 < p < +oo mel­

lett értelmezhető egy F e hp[a,b\ (8) alatti függvénymátrix -

normája is a következő módon:1 1

b / \ \ p \ m m b | n

iif iIl = J i f ' w ü ' ’* = z z j i / „ w r * (13)

Megjegyzés1. A rövidebb jelölés - hacsak mást nem mondunk - a to­

vábbiakban mindig hp[a,b\ -t jelent.

1.2 A Wp^\a,b] függvénytér 365

2. Az előző részek alapján ismertnek tételezzük fel, hogy a függvény vektorokból álló L^[a, b] tér a (11) normával minden

1 < p < +00 mellett teljes lineáris normált tér, azaz Banach-tév (1. azI. rész 2.3 és 3.2 pontját).

3. Valamely A operátor értelmezési tartományát D(A) -val,

értékkészletét R{A) -val jelöljük.4. Ha X és 7 tetszőleges lineáris vagy lineáris normált terek, úgy

X - ^ Y szimbólummal jelöljük mindazon A operátorok halmazát, amelyekre D(A) ez X és R(A) c Y .

1.2 A Wp^\a,b] függvénytér

Definíció. Tetszőleges l < p <+oo mellett jelentse az [a,b]

intervallumon értelmezett olyan (7) alatti f függvényvektorok hal­mazát, amelyek (n -1) -szer differenciálhatók az [a, b] intervallu­

mon, továbbá f abszolút folytonos függvényvektor [a, b] -ben

(így f majdnem mindenütt létezik) és f e Lp .

Igazolható, hogy az így értelmezett tér a szokásos műve­

letekkel lineáris tér [D49] .

Jelentse azoknak az f g függvény vektoroknak a

halmazát, amelyekre

= 0 (í = l ,2 , . . . ,« - l ) .

Nyilvánvaló, hogy lineáris altere a térnek.

Vezessük be a következő (a továbbiakban gyakran fellépő) operátort:

V t(p=J- k\(14)

Értelmezzük a V^ ún. Volterra-űp\xsú integráloperátort az

3(56 /V. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Lp térbe tartozó függvény vektorok halmazán, vagyis legyen

Nyilvánvaló, hogy bármely (pe függvény vektor mellett a

\j/ = V/,(p függvényvektor k-^zox differenciálható,

V % ) = - 4 ( V t 9 ) = ] % ^ ( p ( í ) * (í = 0,l,2,...,*:) (15)dx

továbbá a

egyenlőség alapján abszolút folytonos és = 9 majdnem

mindenütt [a,/?]-ben.Látható továbbá, hogy

V '\ a ) = 0 (/ = 0,1,2,...,/:),

és a fentiek alapján

Értelmezzük a V_j operátort a

V _ i ( p - (p,

egyenlőséggel, akkor a (15) egyenlőség figyelembevételével fenn­áll a következő

1. lemma. Minden epe mellett V^ípeV^^^^^ és minden

i = 0 ,1 ,2 ,...,/c,/: + l esetén

í/'7(V fc9)=V ^-i9 (16)

( i = it + l mellett a (16) egyenlőség csak majdnem minden x e [a,b] mellett áll fenn).

A függvényekre vonatkozó általános Taytor-formula, igazolásával

].2A WÍ'^\a,b] függvénytér 367

analóg módon belátható, hogy bármely f e függvényvektor

mellett fennáll az általános Taylor-fovmula az ún. integrál maradék­taggal, éspedig

fW = l ' í ^ ( x - a ) ' + (17)/=0

Vezessük be a

p«-iW = Z —/ = o ' •

jelölést, akkor a (14) egyenlőséggel értelmezett operátor segítségé­vel (17) a következő alakban írható:

f(x)=p„_ |(x) + V„_,f<"\ f e W j ; ' \ (18)

Megjegyezzük, hogy a (18) formulában p„_i(x) olyan legfel­jebb (n -1 ) -edfokú polinomvektor, melyre

P®,(«) = f®(a) (i = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) .

2. lemma. Legyenek Co,Cj,...,c„_] tetszőleges -beli kons­

tans vektorok, továbbá legyen cp e L^ tetszőleges függvény vektor,

akkor bevezetve a

P « -lW = Z - í i x - a ) ' (19)í=0

legfeljebb (n -1 ) -edfokú polinomvektort, az

f(x )= p ,_ i(x ) + V„_iCp (20)

egyenlőséggel értelmezett f függvényvektorra fennállnak a követ­kező feltételek:

I.

II. = Ci (/ = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) ,

III. = cp majdnem mindenütt az [a,b] intervallumban.

Bizonyítás. Az 1. lemmából következik.

Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogyan lehet a W'p

térben normát értelmezni.

368 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

rin)

1.2.1 Normák a térben

A térbe többféle módon vezetünk be normát. Tetszőleges

f e Wp^ függvény vektor esetén vezessük be a következő jelöléseket:

'w

n-1 . . .

= Ii=0

p(n)

n■(«)

(=0pii)

'W(;i) llc(n-l).Pin)

(21)

(22)

(23)

Igazolható, hogy a (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelme-

zett normák eleget tesznek a normaaxiómáknak, azaz (a Wp es az

a, b, c felső indexeket elhagyva);I. II f II > 0 és II f II = 0 akkor és csak akkor, ha f = 0, jc e [a, b] ;

II. Ilöf ll = |a M |f II minden f e és tetszőleges komplex

minden f és g(x)e mellett.

a szám mellett;

III. | |f + g | |< | | f i | + i

A II. és III. normatulajdonságok nyilvánvalóan teljesülnek a (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelmezett normák mindegyiké­re, így az I. normatulajdonságnak az a része szorul bizonyításra, hogy ha ||f || = 0 , akkor f = 0 .

Igazoljuk ezt az állítást például a (21) egyenlőséggel értelmezett norma esetében:

Tegyük fel, hogy valamely f e függvényvektor esetén

1.2.1 Normák a térben 369

(«) = 0 , akkor egyrészt minden / = 0 ,1 ,2 ,..., n - 1 mellett

f *\ű) = 0 , másrészt Jn) = 0 , amiből következik, hogy

majdnem minden xe[a ,b] mellett.

Mivel f abszolút folytonos függvényvektor, melynek de­

riváltja majdnem mindenütt zérus [a, b] -ben, ezért azonosan

konstans vektor [a,b]-ben (ha egy abszolút folytonos függvény deriváltja majdnem mindenütt zérus, akkor a függvény állandó).

A fentiek alapján f legfeljebb (n -1 ) -ed fokú polinomvektor, és

mivel = 0 (z = 0 , 1 , 2 , . , . , n - l ) , ezért nyilvánvaló, hogy

f ^ 0, XG [a,b]. Ezzel az állítás igazolást nyert.Megjegyezzük, hogy a megfelelő állítás igazolása a (22) és (23)

normákra nyilvánvaló.

A fentiek alapján a függvényvektortér mindhárom beve­

zetett normával lineáris normált tér.Vizsgáljuk meg a bevezetett normák által indukált konvergenci­

át. Nevezzük a (21), (22) és (23) normák által indukált konvergen­ciát (e normákban szereplő megfelelő felső indexek után) a-, b-, ill. c-konvergenciának.

Valamely függvényvektor-sorozatnak az f e Wp

függvényvektorhoz való a-, b-, c-konvergenciája rendre azt jelenti,hogy

a-konvergenda esetén:

(n)

í'y\a) —>f''"-'(a) minden í= 0 ,l,2 ,.. . ,n - l mellett, és - > f

Lp -normában, ha v -hoo ;

ö-konvergenda esetén:

fW - > Lp -normában, ha v —> -t-°o , minden í = 0 ,1 ,2 ,... ,n

m ellett;c-konvergencia esetén:

(n) ?(n)

370 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez.

fy —> f egyenletesen [a, b] -ben, ha v , minden

í = 0 ,L 2 , . . . ,n - l mellett, továbbá -normában, ha

V +00 .

Első látásra úgy tűnik, hogy az a-, b-, ill. c-konvergencia egy­

mástól teljesen különböző konvergencia a térben, annyi

azonban azonnal látható, hogy a c-konvergenciából az a- és ö-kon- vergencia következik.

A következő pontban megmutatjuk, hogy a három látszólag különböző konvergencia azonos.

1.2.2 Ekvivalens normák a térben

Definíció. Valamely X lineáris térbe bevezetett ||f ||“ és ||f ||^ nor­mát egymással ekvivalensnek nevezzük, ha léteznek olyan

0 < m < M <állandók, hogy minden í e X elem esetén fennáll az

Ili «m S

\ \ P

< M

egyenlőtlenség.A definícióból következik, hogy ekvivalens normák azonos

konvergenciát indukálnak az X térben, azaz, ha valamely (f^)e X elemsorozat az a -normában valamely f e X elemhez konvergál, akkor ez az elemsorozat a (5 -normában is konvergál ugyanezen f elemhez és megfordítva. Ebből az is következik, hogy ha az X tér valamelyik normára nézve teljes, akkor a vele ekvivalens másik normára nézve is teljes.

Igazolható, hogy az m-dimenziós eukleidészi térben min­den norma ekvivalens. Ezzel kapcsolatban megmutatjuk a követke­ző nyilvánvaló segédtételt;

1. lemma. Legyenek p > \és p ' > \ tetszőleges véges vagy vég­

telen számok, akkor az térben az |a |^ é s la |^ / normák ekviva-

7.2.2 Ekvivalens normák a térben 371

lensek, éspedig minden a e vektor mellett fennáll a következő egyenlőtlenség:

i„i 11

m

< P < m PP

Bizonyítás. A (2) és (3) egyenlőségek alapján, hogy 1 1

I a I / < m ^ • I a I < w ^ • I a I ,i \ p I lo o I I p ’

amiből

(24)

ap

— <

Cseréljük fel (25)-ben a p és p számokat, úgy az

l«l 1 P-<mP

(25)

(26)

egyenlőtlenséget nyerjük, végül (24) azonnal következik (25) és(26) formulából.

2. lemma. Legyen f az [a,b] intervallumon tetszőleges Lebes- i^ae-integrálható függvényvektor, akkor bármely 1 < p<+oo esetén fennáll a következő egyenlőtlenség:

ap

\t{x)clx (27)

Bizonyítás. Legyen először f folytonos függvényvektor az [a,b] intervallumon és legyen

a~X Q<Xi <X 2<. . .<X j^ = b

az \a, b] intervallum egy tetszőleges felosztása, és pedig tetszőleges pont, akkor

t=.i k=l

amiből max(x^ -> 0 határátraenet után a (27) egyenlőtlen­ig

séghez jutunk.Legyen most f tetszőleges Lebesgue-\x)Xtgvéi\\m.i6 függvényvek-

tor az [a,b\ intervallumon, akkor található olyan (f -) folytonos függvényvektor-sorozat, amelyre

lim f y = f , ( JcG {a,b\ majdnem mindenütt), és

372_________ IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

< |f (jű £ [a, b]).\p i i/y

Mivel a (27) egyenlőtlenség folytonos függvényvektorokra már igazolást nyert, azért minden v = 1,2,... mellett

lfy(x)dx i \ W \ d x ,

amiből V -> +00 mellett a függvénysorozatok integrálására vonat­kozó Lebesgue-íéle tétel felhasználásával az f Lebesgue-iniegrdl- ható függvény vektorokra is adódik a (27) egyenlőtlenség [K93].

Következmény. Legyen l < p < tetszőleges szám, akkor bár­mely f G Lp függvény vektorra fennáll a következő egyenlőtlenség:

jf{x)dx1

(28)

(megállapodásszerűen a z ----- szimbólumon a zérus számot értjük).oo

Bizonyítás. Következik a (27) egyenlőtlenségből a Hölder-fé\& egyenlőtlenség felhasználásával.

3. lemma. Jelentse a (14) egyenlőséggel értelmezett operá­tort és legyen 1< p<+oo tetszőleges szám. Akkor tetszőleges

(pG Lp függvény vektor esetén fennáll a

{xe[a,b\) , (29)

egyenlőtlenség, ahol A csak a p-tö\, k-tól és az [a,b] intervallumtól függő állandó.

1.2.2 Ekvivalens normák a térben 373

Bizonyítás. A (28) egyenlőtlenség alkalmazásával

!v ,(p |,= k\ < (x -ű )^< { x ~ t fk. cp(0 dt

amiből az

^+k

k\

jelölés bevezetésével a (29) egyenlőtlenséget kapjuk.

Következmény. Létezik olyan csak p-töl, k-tól és az [a,b] in­

tervallumtól függő K állandó, hogy minden cpG L^ függvényvek­

torra fennáll a

l|V/t9|lc, ^ 4 9 |Il (30)K , p p

egyenlőtlenség, ami azt jelenti, hogy :L ^ -> lineáris kor­

látos operátor.

Bizonyítás. A (16) egyenlőség alapján a (29) egyenlőtlenség felhasználásával:

d ‘dx

= IV,<Pl S 4 |< P Il . Ue[a,fc]), (i = 0 ,l,2 ,...,í) ,(3 1 )

ahol Ai (i = 0,1,2,..., ) csak k-ió\, /7-től és az [a, b] intervallum­tól függő állandó.

kVezessük be a K - jelölést, akkor a (31) egyenlőtlenség­

ből kapjuk, hogy

l|Vsip||c = Z rnax'' i=oxe[a,b

d'dx

7(Vt<p) 4 ‘pIIl .

s ezzel a (30) egyenlőtlenség bizonyítást nyert.

374 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Tétel. A (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelmezett normák

ekvivalensek a w!:\a,h] térben.

Biz.onyítás. Legyen f g tetszőleges függvényvektor, akkor

bármely f = 0 ,1 ,2 ,...,n - l mellett

(xé [a,b] ) ,

amelyből

aA (28) egyenlőtlenség felhasználásával

+ < f ® (x )

1

+ ( x - a ) ‘ fO'+l)

p p a PP LJa,x]

amiből következik, hogy

f® (0 ) < f® W + ( í . - a ) ‘í f 1 , (xE[ű,fcl).I 1'l „

Integráljuk a kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát [a,b] interval­lumon az X változó szerint, akkor a Hölder-egyenlöŰenség felhasz­nálásával

b i+ IfO'+l){ b - a ) í ^ \ a )

I’ »f ® W

Pdx + ( b - a ) ^ <

< ( b - a f p(0-+ l

+ ( b - a f p(í+i)

amiből (b - a) -val való osztás után az

<(b-a)'> ||f®

egyenlőtlenséghez jutunk.

+ { b ~ a f .(/+!)

1.2.2 Ekvivalens normák a Wp térben 375

Ebből leolvasható, hogy létezik olyan csak />-től és az [a,b] intervallumtól függő K q állandó, melyre

i=Qp(0

így létezik olyan csakp-tö\ és [a,b]-tö\ függő állandó, amelyre

| | f 11 (32)

(Itt és a továbbiakban a indexet a (21), (22) és (23) normák

mellől elhagyjuk, ha nem akarjuk valamelyik szerepét kiemelni). Legyen ismét / = 0 ,1 ,2,..., n -1 tetszőleges index, akkor

Ai)b í \ P

f % ) dx < maxxe [a, b

y i b - á f ,

amiből

n ~ \

EÍ = 0

Ái) —n-1<{b - a)^ Yj max

l-Qxe[a,bf® (x )

és ebből következik, hogy létezik olyan K 2 állandó, amellyel

| | f | |* < í : j f | r (33)

A (18) egyenlőség alapján az f e függvényvektor előállítható

(«)

alakban, ahol

Pn-lW = Z — — ( x - a ) ' .

így

V„-if

i=0

(n)Pn- 1 + p<">t’n-l

376 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

V„-if in)

' n - l p dx(«) (34)

Miveldx

valamint a (30) egyenlőtlenségből k = n - l , és (p = f ‘'” mellett

kapjuk a

V„-if («) < Kí l - i , p

Án)

egyenlőtlenséget, melynek alapján (34)-ből

if r s ip „ - ,ic „ _ ,_ _ + ( íí-+ i){n)

(35)

Miveln - l

Í P « - l l l c , = I m a xn - i p j ^ Q x e [ a , b _

p I,-1 • és

= I i r ^ , -« )"■ ' ( j = 0 , 1 . 2 , 1 ) ,‘=J

ezért létezik olyan M állandó, melyre

l|P«~illc.....n - \ , p /-o(36)

A (35) és (36) egyenlőtlenségek alapján pedig létezik olyan

állandó, melyre

iif i r^ ^ 3 i i f i r ' (37)

A (32), (33) és (37) egyenlőtlenségekből az 1. tétel már következik.

Következmény. A (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelme­

zett normák által indukált konvergenciák azonosak a térben

(1. az 1.2.1 pontot).

1.2.3 A W p^\a ,b ) tér teljessége 377

1.2.3 A W p ^ \ a , b ) tér teljessége

Az előző pontban láttuk, hogy a (21), (22) és (23) egyenlőségek­kel értelmezett normák ekvivalensek, így ha valamelyik normával

igazoljuk a tér teljességét, akkor a tér a másik két normával

is teljes lesz.^ ( n )1. tetei. A Wp tér a (21) alatti a normára nézve teljes lineáris

normált tér, azaz Banach-tér.Bizonyítás. Legyen

(fv)e Lp

olyan függvény vektor-sorozat, amelyre

0 , ha V , / / - > + 00 .jU

A (21) norma értelmezéséből következik, hogy egyrésztn-]z/=0

(i), —>0, ha V , +00 ,

másrészt

-^ 0 , ha V, jU-^+o<=.

(38)

(39)

(38)-ból következik, hogy minden í = 0 ,1 ,2 ,.. . , n - l esetén az

(a) függvényvektor-sorozat a p-abszolút érték normában kon­vergens, így létezik olyan e vektor, melyre

Ci ~íy \a) (40)

Másrészt (39)-ből következik, hogy az (fy j függvényvektor-soro-

zat az hp normában önmagában konvergens, így a Riesz-Fischer-

tétel alapján [K93] létezik olyan epe függvényvektor, amelyre

378 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

p(«)L,

(41)

Legyenn-l.

V n - l ( x ) = J ^ ^ ( x - a y ,

í=o ■

és f W = P n - l W +V„_iíp

akkor az 1.2 pont 2. lemmája alapján

és = 9 majdnem mindenütt az [a,b] intervallumon, így

«-li f - f v i r = z

í=0+ j(n) _^(«)

HL.

= 2 ; 'c ,- - f® wí=0

9 - f (n)

amiből (40) és (41) alapján következik, hogy

II f - 11“ —> 0, ha V +00,

mivel a tér teljességét igazoltuk.

Következmény. A függvény vektortér a (22) és (23) nor­

mára is teljes.A fenti tételből nyilvánvalóan következik az alábbi

2. tétel. A tér a bevezetett normákra nézve zárt line­

áris altere a wjj^ térnek.

Megjegyezzük, hogy ha

f G

egy tetszőleges függvény vektor, akkor

I f f = p ( n ) (42)

].3 Cauchy-probléma 379

1.3 Cauchy-problém a

Legyenek az

F ,=f \ \ f \ i ••• f L

f i i f i i ■■■ f i n f r s

Jn A fnil fmmj

függvénymátrixok í = 0 , l ,2 , . . . ,n - l mellett L^[a,^]-beU függ­

vénymátrixok azaz F- e L^[ö,b] , (i = 0 , l , 2 , . . . , n - l ) , továbbá ve­zessük be az m xm típusú egységmátrixra az

F =

1 0 ••• 0' 0 1 ... 0 = [S,

_0 0 ... 1

jelölést, ahol <5 a szokásos Kronecker-íéle szimbólum. Legyen

■2

L. mJ

és értelmezzük a következő n-edrendű közönséges lineáris diffe­renciáloperátort;

L y= SFiy® = y'”> + F„_|y<""‘> + ... + Fiy'+Foy (43)/=0

Az F,; függvénymátrixokat az L differenciáloperátor együttha­tómátrixainak nevezzük.

Válasszuk az L operátor értelmezési tartományául a wjf^[a, b] -

beli függvényvektorok halmazát, vagyis legyen

An P

380 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Tétel. Minden y e függvényvektor esetén

Ly G Lp és L : ->

lineáris koriátos operátor, vagyis létezik olyan K állandó, hogy

minden y g mellett

|Ly|lí. ^ ^ l | y | U (44)

ahol ||y || («) a (21), (22), (23) egyenlőséggel értelmezett bármelyik

normát jelenti.

Bizonyítás. Legyen y e , akkor

L y = y < " > + 2 F , y ® .

i=\amiből

y<"'n -l

, +s F,-y®Lp (=,1

A (6) egyenlőtlenség felhasználásával

F.y (0 < F; ,(0

(45)

(46)

A (24) egyenlőtlenségből a = y^^\x) és p' = q esetén nyerjük,

hogy1 1

(47)< m ‘ y® <m^ max y®q p xe[a,b_

A Ki = jelölés mellett (46)-ból (47) alapján az

F ,y® < /C , |F i | m axp ^ xe[a,b

egyenlőtlenséget kapjuk, melyből az

XO

1.3 Cauchy-probléma 381

F,-y® — ,' í í ¥ i (x )y ^ ' \ x )

Pd x

p> < K i m ax y ^ ' \ x )

P j JG [ö, b

egyenlőtlenség adódik, így (45)-ből

l|Ly| + KJ: \ \F i I maxP i = \ xe[a,b

y % )

Vezessük be a i^2 = F / á l l a n d ó t , akkor az

+ ^2l|y|lcn - \ , p

egyenlőtlenséget kapjuk, amiből már leolvasható, hogy létezik olyan K állandó, amelyre

|Ly||, i K \ \ y \IV,

(«)

és ebből az 1.2.2 pont tétele alapján a bizonyítandó tétel már kö­vetkezik.

Legyen f g L^ adott függvény vektor, akkor az

y^” + F„_iy*'''' ' + ... + Fjy' + Fgy = f

vagy röviden azL y = f (48)

egyenletet /z-edrendű közönséges lineáris (m ismeretlen függvény­vektort tartalmazó) differenciálegyenlet-rendszernek, vagy röviden «-edrendű differenciálegyenletnek nevezzük.

Ha f ^ 0, akkor a (48) egyenletet homogén differenciálegyen- let-rendszernek mondjuk.

A differenciálegyenlet-rendszerek klasszikus tárgyalásánál álta­lában felteszik, hogy a (48) egyenlet jobb oldalán szereplő f függ­vényvektor, valamint az L differenciáloperátor együtthatómát­

rixai (i = 0 ,1,2,..., n - 1 ) , folytonosak az [a, b] intervallumon.A differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó klasszikus eg-

zisztencia- és unicitástételek e folytonossági feltételek mellett nyer-

nek igazolást. Mivel a mi esetünkben az f és az F- együtthatómát­

rixok 'Lp\a,b] -beliek, ezért az említett egzisztencia- és unicitástéte-

lek jelen esetben nem alkalmazhatók.Az előző tételből következik, hogy az f és F; GL^[ö,^],

(i = 0 ,1,2,..., n -1 ) feltételek mellett (amit a továbbiakban egyszer s mindenkorra kikötünk) a (48) egyenlet megoldását célszerű a

W^^\a,b] függvény vektortérből keresni. Mivel ebből a tételből

csak az következik, hogy az L operátor értékkészlete -ben

fekszik, azazR{L) c= Lp[a, b] ,

ezért az eddigiekből természetesen nem következik, hogy a (48)(n)egyenletnek minden f g esetén létezik y g megoldása.

A későbbiek folyamán kimutatjuk, hogy R(L) = Lp[a,b] (1. az

1.5 pontot), amiből már következik a (48) egyenlet Wp'^\a,b]-beli

megoldásának létezése minden f g Lp[a, b] mellett.

Definíció. A (48) egyenletre vonatkozó Cauchy-félt, vagy más szóval kezdeti érték problémán a következő feladatot értjük:

Keressük a (48) egyenlet olyan y g Wp megoldását, amelyre

teljesülnek az alábbi feltételek;

y®(a) = c,, (í = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) ,

ahol Cq, C], C2, ..., c„_j adott -beli vektorok.

382 /V. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

1.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre

Ebben a pontban megmutatjuk, hogy az 1.3 pontban kitűzött Cauchy-féle probléma megoldása ekvivalens egy alkalmas módon választott lineáris integrálegyenlet-rendszer megoldásával. Az ekvi­valenciát itt úgy kell érteni, hogy amennyiben a Cawc/zy-problé-

J.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre 383

mának létezik megoldása, úgy e megoldásból előállítható az integ- rálegyenlet-rendszernek is egy megoldása és megfordítva.

a) Tegyük fel először, hogy a 1.3 pontban kitűzött Cauchy-

problémának létezik legalább egy y g megoldása, vagyis az

y függvényvektorra fennáll az

Ly = y^” + 2 {xe [a, b])i=0

(49)

azonosság, valamint y eleget tesz az

y^'^a)=c,- (/ = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) (50)

kezdeti feltételeknek.

Alkalmazzuk az y függvényvektorra a (18) alatti általános Taylor-formulát, akkor az

y(-^)=p„_l(^) + V„_iy^”)(x) (51)

egyenlőséget nyerjük, ahol az (50) kezdeti feltételek figyelembevé­telével

P « - lW = ( ^ - ö ) ' (52)í=0

és.n-1

A (49) és (51) egyenlőségekből az

Ly = Lp„_,(x) + L V „ V " V ) a fazonosságot kapjuk, ahol bevezetve a

g = f -L p „_ i(x )

jelölést, a következő azonossághoz jutunk:

A (16) egyenlőség figyelembevételével

(53)

(54)

n-\

3 8 4 _________IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Vezessük be a

jelölést, akkor

(55)

LV„_,y''" = y < '" -JV feO y '" '(í)* ,a

amelyből (54) alapján a következő azonosságot kapjuk:

dt = g(x), {x G [ a , ). (56)a

Az (56) azonosság fennállása azt jelenti, hogy az y*'” függvény kielégíti a

(57)

ún. Volterra~fé\e integrálegyenlet-rendszert, ahol

az ismeretlen függvényvektor, g az (53) egyenlőséggel értelmezett függvényvektor, V (x,í) az (55) egyenlőséggel definiált m xm tí­pusú függvénymátrix.

A g függvény vektor, valamint a Y(x,t) függvénymátrix azLy = f differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixaiból, jobb oldalából és a kezdeti feltételekből egyértelműen meghatározott.

Megjegyezzük, hogy az 1.3 pont tétele alapján gEL p[a ,b ] ,

továbbá könnyen igazolható, hogy létezik olyan v e Lp[a,b] függ­

vény, amelyre\Y(x,t)\^<v{x), {x,tG[a,b]). (58)

A V (x,í) függvénymátrix (55) alatti értelmezéséből pedig

J.3.] Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre 385

iV ( x ,0 |„ < M .E |F , |^ , M = max‘ ;-n ‘ Q<k<n-\ k\

amiből az együtthatómátrixokra tett feltevés alapján az állítás már következik.

b) Tegyük fel most, hogy az (57) integrálegyenlet-rendszernek létezik legalább egy ípe Lp[a,^] függvény vektor megoldása.

Jelentse p„_|(jí) az (52) egyenlőséggel értelmezett polinom- vektort, akkor megmutatjuk, hogy az

y =Pn-l(^) + Vn,i9 (59)

egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor megoldása a Cauchy- problémának.

Az 1.2 pont 2. lemmája alapján

yeW^^^[a,b\ y ^ \ a ) = Ci (/ = 0 , 1 , 2 , . - 1 ) , (60)

továbbá a (16) egyenlőség figyelembevételéveln-\

Ly=Lp„_i-t-LV„_i(p=Lp„_i+(p+XF,-V„_,-_i(p,(=0

amiből (55) alapján

Ly = Lp„_i(x) + 9 - jV(x,í)íp(Oí/t (61)

Mivel a feltevés szerint a cp függvényvektor megoldása az (57) integrálegyenlet-rendszernek, azért (61)-ből

Ly = Lp„_i(x) + g,

amelyből a g függvényvektor (53) alatti értelmezése alapján az

L y = f , {xe [a M )

egyenlőséghez jutunk, amiből (60) figyelembevételével már kö­vetkezik, hogy az y függvényvektor megoldása a Cauchy-^xobXé- mának.

A fenti a) és b) alpontokban kapott eredményeket összefoglal­va. fennáll a következő tétel:

386 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Tétel, Ha valamely y g W^p\a, b] függvény vektor megoldása

a fenti (48) egyenletre vonatkozó CöMc/iy-problémának, akkor a

(p = függvény vektor 'Lpia, b\ -beli megoldása az (57) in-

tegrálegyenlet-rendszernek; megfordítva, ha valamely (pe 'Lp[a,b]

függvényvektor kielégíti az (57) integrálegyenlet-rendszert, akkor

az (59) egyenlőséggel értelmezett y függvény vektor -beli

megoldása a (48) egyenletre vonatkozó Cűwc/zj-problémának.

1.4 Az integrálegyenlet-rendszer megoldásának egzisztenciája és unidtása

Legyenek

az a < x < b , a < t < b négyzetben értelmezett olyan komplex értékű kétváltozós mérhető függvények, amelyekhez létezik olyan v ( x ) g 'Lp[a,b] nemnegatív függvény, hogy a

Vii(x,0 Vi2ÍX,t) ... Vi^(x,0 V2 i ( x , t ) V22ÍX,t) ... V2,n(x,t) = [vrs(x,t)] (62)

yjni{x,t) Vfjj2(x,t) ...

egyenlőséggel értelmezett függvénymátrixra fennáll a

I V(x, t) 1 < v(x) {x, t G [a, b]) (63)

egyenlőtlenség.Megjegyezzük, hogy az (55) egyenlőséggel értelmezett függ­

vénymátrix az (58) egyenlőtlenség alapján rendelkezik a fenti tu­lajdonságokkal.

A (62) magmátrix segítségével értelmezzük a következő ún. Voltérra-iípu&ú integráloperátort:

V(p= \Y(x,t)(^t)dt, (p = ((pi,(p2>---,q>m)^ (64)

1.4 Az int.egyenlet-rendszer megoldásának egzisztenciája és unidtása 387

Legyen a V operátor értelmezési tartománya

D{V) = Lp[a,b].

1. lemma. Létezik olyan K > 0 állandó, hogy bármely (pG Lp[a,b] függvényvektor esetén fennáll a következő egyen­

lőtlenség:

I Víp| < ^ • v(x) II íp(01 dí {x G [a, b]) (65)

Bizonyítás. Legyen (pG L^[a,/?] tetszőleges függvényvektor,

akkor a (27) egyenlőtlenség alapján

|V<p|^ = jvfct)<p(í)* < Í|V(x,í)<p(0| * (66)

A (6) és (63) egyenlőtlenségek figyelembevételével1

I V(x,r)íp(01 < I V(x, t) I • I íp(01 < v(x) • (p(r) |

amiből a K = m jelölés mellett (66) felhasználásával (65)-höz jutunk.

2. lemma. Legyen f ( t ) tetszőleges Lebesgue-mi&grálhdiXó függ­vény az [a, b] intervallumon és legyen /j = 1 és

4 = l / « n ) J / ( í * - 2 ) - U m h k - 2 átk - h

{k - 2 ,3 , . . . é s tj e [a,b]),

akkor minden ^ = 1,2,3,... és bármely tj g [a,b] mellett a fennáll a következő azonosság:

1(^ -1 )!

c-1

(67)

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a (67) azonosság ^ = 1 és k = 2

mellett fennáll. Tegyük fel, hogy (67) fennáll valamely k > 2 ter­mészetes egész szám mellett.

Legyen e [a,b] tetszőleges pont és szorozzuk meg a (67)

azonosság mindkét oldalát f ( t 0 -val, majd az így nyert egyenlősé­

get tj szerint integráljuk az intervallumon, akkor az

-sk-l

388 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

4 + 1 = 7 ^ ^ í f i k )' a \a

egyenlőséget nyerjük.Mivel majdnem minden e [a,b] esetén

ittdth (68)

ddti \a

ezért (68)-ból következik, hogy

4+1 - (^-1 )!\a

t,.=a

h+il m dl

V a

ami azt jelenti, hogy a (68) azonosság k + l mellett is fennáll.

3. lemma. Léteznek olyan K q és M nemnegatív állandók, hogy

minden (pe Lp[a,b] függvényvektor mellett fennáll a következő

egyenlőtlenség:

V^(J < K q f f ...x .IMIl •v(^)> (^ = 2,3,..., x e { a M ) (69)p ! P

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy létezik olyan K állandó, melyre minden xg [a,b} és = 1 ,2 ,... mellett fennáll a

. bV^íp <K^ :o i/í-v (x )-4 (x ) (70)

1.4 Az int. egyenlet- rendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása 389

X í4(j) = jv(í^_i) j v(í^_2)---

a V Clk-2 dt,k - \

Mivel

ezért (65)-ből

(xe[a,b]]

ami azt jelenti, hogy a (70) egyenlőtlenség fennáll k =1 mellett.Tegyük fel, hogy (70) fennáll valamely k természetes egész

szám mellett. Alkalmazzuk a (65) egyenlőtlenséget (p(x) helyett

V^(p(x) -re, úgy az

= V(V^íp) < í : - v ( x ) Í v V í , t ) P P

dtiP

egyenlőtlenséget nyerjük, amiből az indukciós feltevés alapján

<K^^^-v{xy \ \ m \ d t - \v{tkmt0dtk =

ami azt jelenti, hogy a (70) egyenlőtlenség k + l mellett is fennáll. A 2. lemma alapján minden k =1,2, . . . és x e [a,b] mellett

\k-l

=

melynek alapján (70)-ből a

b

1 \v{t)dt

v ‘< p . J|(p(0 | p * . v w . ^ ^ Jv(f)dí

egyenlőtlenséghez jutunk. Itt vezessük be az

390 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

M = K - \ v i t )d t

jelölést, akkor ak - \ b

(71)

egyenlőtlenséget nyerjük. Végül a Hőlder-egyerúöÜenség alapján

b 1 | | ( p ( ( ) | / í < ( i > - a ) ‘* - | | < p | l L .

Igya

Ko = K { b - a f-0jelölés bevezetésével (71)-böl (69) már következik.

1. tétel. Jelentse V a (64) egyenlőséggel értelmezett Volterra- típusú integráloperátort, akkor tetszőleges ge hp[a ,b] függvény-

vektor mellett a(p-V(p = g (72)

Volterra-ű^ViSÚ integrálegyenlet-rendszernek létezik - éspedig egyetlen - (pe 'Lp{a,b\ megoldása, és e megoldás előállítható

< P = S v ‘ g (73)k=0

alakban, ahol a sor Lp -normában is és majdnem minden x g [a, b]

mellett közönséges értelemben is konvergens.

Bizonyítás. A (69) egyenlőtlenség értelmében tetszőleges 9 G Lp[a, b] függvényvektor mellett

V^(p J 1v ‘ ( p 1J dxi

1.4 Az int.egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása 391

amiből 2l K\ = ^oll ^ii jelölés bevezetésével a"Lp

,k-\v^(p <K, M

(^ -1 )! ' (74)

egyenlőtlenséget kapjuk.A (74) egyenlőtlenségből egyrészt következik, hogy

y - . h p - ^ h p

lineáris korlátos operátor, másrészt fennáll a következő egyenlőt­lenség:

r k - l< M l _ _'( ^ - 1 ) !

, (^= 1 ,2 ,...) (75)

A (75) egyenlőtlenség alapján a ^ V sor operátor normábank=0

konvergens (itt = I , ahol I az egységoperátor -> Lp -ben),

így a sor összege lineáris korlátos operátor.Jelentse S a sor összegét, azaz

+00s=

k=0

akkor nyilván D{S) - Lp, S : lineáris korlátos operátor

és egyszerűen igazolható, hogy

S (I -V ) = ( I -V )S = I,

amiből következik, hogy (I-V )"* létezik, és

( í - v r ’ = s =k O

Ezek után tekintsük a (72) integrálegyenlet-rendszert, amely az

(I-V )(p = g (76)

alakban írható. Fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a (76) integrál- egyenlet-rendszernek minden gG Lp[a, b] függvényvektor mellett

létezik - éspedig egyetlen - (p e L^[a, b] megoldása, mely előállít­

ható

392_________IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

< i ) = ( i - v r ‘g = x v ‘‘gk=0

alakban, ahol a sor normában konvergens.

Mivel a (69) egyenlőtlenség alapjánc-l

(77)

<K,0"M'

IlL, V (X ) (78)p

azért a (77) sor közönséges értelemben is konvergens minden olyan X G [a, b\ mellett, amelyre v(x) < +»=, ami a v e hp{a, b\ feltevés

miatt majdnem minden x g [a,b\ mellett teljesül.

Következmény. A bizonyított tételből következik, hogy a (64) egyenlőséggel értelmezett V operátor teljesíti a következő feltételeket:

a) V : —> lineáris korlátos operátor,

^) I - V leképezi az egész teret az egész térre kölcsö­

nösen egyértelmű módon,

c) (l - Lp lineáris korlátos operátor.

1. megjegyzés. Az térben a normában való konvergencia értelmezése szerint p = esetén a (72) egyenlet (73) alatti meg­

oldását előállító sor majdnem minden x g [a,b] mellett egyenlete­sen konvergens.

2. megjegyzés. Ha a (62) alatti \ ( x j ) magmátrix folytonos az

a < x < b , a < t < b négyzetben, akkor nyilvánvalóan létezik az

[a, b] intervallumon folytonos olyan v(x) függvény, mely mellett a (63) egyenlőtlenség fennáll. Tegyük fel továbbá, hogy a (72) integ- rálegyenlet-rendszer jobb oldalán álló g(x) függvényvektor is foly­

tonos [a, b] -ben. Ebben az esetben az 1. tétel bármely l < p < +°o mellett alkalmazható és a (78) egyenlőtlenségben v (x ) helyett

7.5 A Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása 393

max v(x) -et írva , látható, hogy a (77) sor egyenletesen konver-XE.[a,b\gens [a,b]-ben. Mivel a sor tagjai folytonos függvényvektorok, azért a sor összege is folytonos, így fennáll a következő

2. tétel. Ha a (62) egyenlőséggel értelmezett Y{x,t) magmátrix

folytonos az a < x < b , a < t < b négyzetben, továbbá a (72) integ- rálegyenlet-rendszer jobb oldalán álló g függvényvektor is folyto­

nos [a, b] -ben, akkor a (72) integrálegyenlet-rendszernek létezik egy és csak egy folytonos megoldása.

1.5 A Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása

Az 1.3.1 pontban láttuk, hogy az

Ly = i F J® = f , y®(a) = c,-, (i = 0,1,2,...,« -1 ) (79)i=0

Cauchy-féle probléma megoldhatósága ekvivalens a

(p- l \ (x, t)(^t)dt = g (80)a

Volterra-űpusú integrálegyenlet-rendszer megoldhatóságával, ahol

(81)

g = f - L p „ _ i , (82)amelyben

/=0(83)

A 1.4 pontban kapott eredmények alapján már igazolható a következő

1. tétel. Legyen l < p < +00 tetszőleges rögzített szám, legyenek

F/G L„[a,b] (/ = 0,1,2,..., n - 1)

adott függvénymátrixok, f e hp[a,b] adott függvény vektor, és

Co,Cj,...,c,j_i adott vektorok, akkor a (79) Cauchy-fé\e problémá­

nak létezik egy és csak egy y g wj^\a,b] megoldása.

Bizonyítás. Tekintsük a (81) magmátrix által indukáltX

V (p- JV(x,Ocp(0^í (84)a

Voltérra-típusú integráloperátort, értelmezve a függvényvektorok­ból álló Lp[a,b] térben, azaz Ű(V) = Lp[a,b]. Figyelembe véve az

(58) egyenlőtlenséget, a (84) operátorra alkalmazhatók az 1.4. pontban nyert eredmények, így az 1.4 pont 1. tétele alapján a (80) integrálegyenlet-rendszernek létezik egy és csak egy (pe Lp[a,b]

megoldása, mely előállítható

394 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

íp = ( I -V ) ^g=

alakban. Ekkor az 1.3 pont tétele alapján az

y = p „ _ i + V „ _ i ( p

(85)

(86)

egyenlőséggel értelmezett függvény vektor W^p\a,b'\ -beli megoldá­

sa a (79) Cűi^c/iy-problémának, amivel megmutattuk, hogy a (79) Cí3tíc/íy-problémának létezik legalább egy megoldása.

Megjegyezzük, hogy (86)-ban a (83) egyenlőséggel értel­mezett polinomvektort jelenti, míg

V „_i(p=]< ^~ jl-- (p (()A (87)

Megmutatjuk, hogy a (79) Cawc/zy-problémának csak egyetlen megoldása létezik.

Tegyük fel ugyanis, hogy két yi és e megoldás

létezik, akkor azyo = y i-y 2

1.5 /4 Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása 395

függvényvektorra az

Lyo = 0, (x€ [a,b])

y®(fl) = 0, (i = 0,1,2,... , « - l )

feltételek teljesülnek, ami azt jelenti, hogy yo megoldása volna egy olyan (79) Cauchy-fé\t feladatnak, amelyben

f = 0, és Cl = 0, (/ = 0 , l , 2 , . . . , n - l ) .

Az 1.3.1 pont tétele első felének értelmében ekkor a cp-yg”^

függvényvektor kielégítené a (80) integrálegyenlet-rendszert, mely­ben most (82) és (83) alapján g = 0 .

A (80) integrálegyenlet-rendszer megoldásának unicitása alap­

ján pedig (p = = 0 volna majdnem minden xg [a,^] mellett,

amiből könnyen belátható, hogy yg legfeljebb ( n - l ) - e d fokú polinom, de akkor (88) alapján

yo = 0, azaz yj = y2 •

Megjegyzés. Ha az F/, (/ = 0 ,1 ,2 ,...,n -1) együtthatómátrixok

és az f függvényvektor folytonosak az [a, b} intervallumon, akkor a (81) egyenlőséggel értelmezett V(x,í) magmátrix és a (82)

egyenlőséggel értelmezett g függvényvektor folytonos az [a,b] intervallumon, így az 1.4 pont 2. tétele alapján a (80) integrál- egyenlet-rendszer cp megoldása is folytonos [a, b] -ben, és így a(86) egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor n-szer folytono­san differenciálható megoldása a (79) Cauchy-feladatnak. így fenn­áll a következő klasszikus

2. tétel. Ha

f és F, g C[ö,H (/ = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) ,

akkor (79) Cawc/zj-feladatnak létezik egy és csak egy

y e C j a , b ]megoldása.

396 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása

Állítsuk elő a (79) Cauchy-ié\& probléma megoldását a differen­ciálegyenlet-rendszerben szereplő ismert függvények segítségével. A (82), (85) és (86) egyenlőségek alapján a (79) alatti Cauchy- probléma megoldása előállítható a következő alakban [D51]:

y = p„_,(x) + - v r ‘(f - L p„-iW ). (89)

ahol p„_i(x) a (83) alatti polinomvektort, a (87) alattiVo/tórra-típusú integráloperátort jelenti. A (89)-ből egyszerű átala­kítással a CöMc/zy-probléma megoldását a következő alakban kap­juk:

y = (l - V„_,(I - V r ‘L)p„_,W + V„_,(I ^ v r ' f . (90)

Értelmezzük az Lq operátort a következő módon:

es

Lo = ZF,(J:)y®. (F„(í) = I).

D ( L o ) = V f ,

(91)

ahol jelenti a tér 1.2 pontban definiált alterét. Nyilván­

való, hogy az Lq operátor térben értelmezett L operátor

leszíikítése altérre.

1. tétel. A (91) egyenlőséggel értelmezett Lq operátorra fenn­állnak a következő állítások:

a) Lq : -> Lp lineáris korlátos operátor, melyre

D(Lo)=V;;"> és fi(Lo) = Lp.

b) Az Lq operátornak létezik inverze, mégpedig

LÍ = V „j(I-V )-‘ , (92)

ahol Lq’ : /?(Lq) lineáris korlátos operátor.

1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása 397

Bizonyítás. Az

Ly = 0, y^ ia) = 0, (i = 0,1,2,., . , n -1)

Cauchy-féle problémának (90) egyenlőség alapján csak az y{x) ^ 0

a megoldása. így az Lgy == 0 egyenletnek csak y = 0 megoldása

van a térben, amiből már létezése következik.

Legyen f g L^[a,Z?] tetszőleges függvény vektor, akkor az

L y = f , y^% ) = 0, (/ = 0 ,l ,2 , . . . ,n - l )

Cauchy-féle probléma megoldása (90) alapján előállítható

y(í) = v „ . |( i“ v ) - ' f (93)

alakban, amiből egyrészt következik, hogy R(Lq) = , másrészt

Lo‘ = V i ( I - V ) " ' .

Fentiek alapján az Lq operátor kölcsönösen egyértelmű módon

képezi le az egész Banach-ierei az egész hp{a,b\ Banach-

térre, amiből Banach tétele alapján már következik, hogy

T-l .TLq • Lp--^ Wp

lineáris korlátos operátor. Ez közvetlenül is leolvasható az Lq (92) egyenlőséggel értelmezett alakjából az alábbi lemma felhasználásával:

1 . lemma. V„_]: Lp-^^Wp^ hneáris korlátos operátor.

Bizonyítás. Legyen íp G L^ tetszőleges függvényvektor, akkor

az 1.2 pont 1. lemmája alapján

V p ’

és majdnem minden xG[a,b] mellett

398 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

dx 'amiből a (21) egyenlőséggel értelmezett norma felhasználásával

d'V,dx

■(V„-iíp) = m

azaz

így az 1.2.2 pont tétele alapján létezik olyan K > 0 állandó, hogy a (21), (22), (23) egyenlőségekkel értelmezett bármely normára

- ^ I |9 Íl •p

Megjegyzés. Igazolható, hogy továbbá

inverz operátor létezik, mégpedig V~i] = D ” , ahol

és D (D '^)=V ^"^

Érdekes megemlíteni, hogy a fentiek figyelembe vételével (92) alapján a következő azonosságot nyerjük:

Lo = ( I - V ) D \

Az Lq operátor bevezetésével a (79) Cauchy-féle probléma (90) alatti megoldása a következő alakba írható:

y = ( I - L ö ‘L)p„_i+Lö'f . (94)

Vizsgáljuk meg a (94) egyenlőségben szereplő I - L q L operátort.

Ha tetszőleges függvény vektor, akkor Ly = LoJ , így

(I-Lo^L)y = 0 .

Ez azt jelenti, hogy az I - L q'L operátor a téren a zérus

operátor, továbbá, hogy tetszőleges y g esetén

1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása 399

( I -L o 'L )y e M 'W ,íg y I - L ö'L :1 v W

lineáris operátor, melyről könnyen látható, hogy korlátos is.Jelentse P„_i[a,b] az [a,b] intervallumon értelmezett legfeljebb

(n -1 ) -ed fokú polinom vektorok halmazát.Legyen

p „ = ^ { x - a Y , (r = l,2 ,...,m ; 5 = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) ,5-!

ahol e,- jelenti azt az -beli vektort, melynek r-edik koordiná­tája 1, a többi pedig zérus.

Igazolható, hogy a( p „ ,W 2 . . , m

polinomok bázist alkotnak a P^_i[a,b] térben, amiből következik, hogy P _ [a,b] nm dimenziós lineáris vektortér.

Tekintsük most az I - L q L operátort csak a P„__i térben értelmezve. A fentiek alapján

(«)P

A térben értelmezett I - Lq^L operátornak létezik inverze. Ui. legyen p e P, _i[a,b] olyan polinomvektor, melyre

(I-LÖ^L)p = 0,akkor ebből

P = Lq’Lp . (95)

Mivel Lo^Lp(x)e^]y^”^, ezért a (95) egyenlőség alapján

p(x) G , amiből következik, hogy p(x) = 0 , és így az

( I - L q L) létezése már következik.Mivel egy invertálható operátor lineárisan független elemeket

lineárisan független elemekbe visz át, ezért a fentiek alapján nyil­vánvaló a következő

= 0w(«)

400

2. lemma. A térben értelmezett I-L q^L operátorr{r p

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

R ( l - Vq^L) képtere nm dimenziós altere térnek.

Ezek után tekintsük az

Ly = 0, y®(a) = Cj, (/= 0,1,2,...,n-1) (96)

ún. homogén egyenletre vonatkozó Cauchy-féle problémát.A (94) egyenlőség alapján a (96) alatti CaMC%-probléma meg­

oldása előállíthatóy = {I-Lo'L)p„_i (97)

alakban, ahol p„-, a (83) alatti polinomvektor, ha tehátp^_] e egy tetszőleges polinomvektor, akkor az

y =egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor kielégíti az Ly - 0

egyenletet. Ui. nyilvánvaló, hogy , így

LLÖ^Lp = LqL o'L p = Lp , amiből

Ly = L (I- L q'L)p = L p-L L g^L p = 0 .

így kimondható a következő,

2 . tétel. Az Ly = 0 egyenlet minden y e Wp^\a, b] megoldása

előállítható

y = ( l-L ö ‘L)pW

alakban, ahol p(x) g P„_i .Figyelembe véve 1.6 pont 2. lemmáját adódik a következő,

3. tétel. Az Ly = 0 egyenletnek pontosan nm számú lineárisan

független -beli megoldása van.

Definíció. Az Ly = 0 egyenlet tetszőleges nm számú lineárisan

független -beli megoldását alaprendszernek nevezzük.

J-.7A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata 401

Az 1.6 pont 3. tétele tehát azt fejezi ki, hogy alaprendszer létezik. Az 1.5 pont 2. tétele alapján kimondható a következő klasszikus,

4. tétel. Ha f és F ' e C[a, b\ , (/ = 0,1,2,..., n - 1 ) , akkor az Ly — 0 egyenlet minden megoldása n-szer folytonosan differenci­

álható [a, b] intervallumon. így az alaprendszer tagjai n-szer foly­tonosan differenciálható függvények.

Az ] .6 pont 2. és 3. tétele következményeként adódik az alábbi

Következmény. Legyen yi, Y2, y„;„ az Ly = 0 egyenlet tetszőleges alaprendszere, akkor az egyenlet minden y megoldása előállítható

nmy = I c / y /

/=!

alakban, ahol q , c‘2, ..., tetszőleges állandók.

1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata

Tekintsük az

Ly = = 0 (98)Í= 0

homogén differenciálegyenlet-rendszert, ahol az előbbiekhez ha­sonlóan = I és F} e Lp[a,b] , (/ = 0 ,1 ,2 ,...,n -1 ) adott m xm

típusú függvénymátrixok.

1. definíció. A (98) homogén differenciálegyenlet-rendszerhez tartozó mátrix-differenciálegyenleten az

L Y = £ f ,-Y®=0 (99)

egyenletet értjük, ahol Y mXm típusú ismeretlen függvénymátrix.1. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy vala­

mely

Y e W Í % , b ]

függvénymátrix megoldása legyen a (99) mátrix-differenciál­egyenletnek az, hogy az Y függ vény mátrix mindegyik oszlopvek­tora megoldása legyen a (98) differenciálegyenlet-rendszernek.

Megjegyzés. Valamely Y m xm típusú függvénymátrixról ér­

telemszerűen akkor mondjuk, hogy W^\a,b\-htW, ha e mátrix

valamennyi oszlopvektora -beli függ vény vektor.

Bizonyítás. Legyen Y egyelőre tetszőleges m xm típusú

függvénymátrix, és legyenek Ji, Yi, Ym a függvénymátrix

oszlopvektorai. Könnyen látható, hogy a F,Y ' szorzatmátrix r-

edik sorának 5-edik eleme azonos az vektor r-edik kompo­

nensével, azaz

(FiY®)„ = (Fiy®),,

amiből összegezéssel adódik, hogy

(L Y )„ = (L y J^ (r,5 = l,2 ,.. . ,m ),

amelyből a lemma azonnal következik.2. definíció. Azt mondjuk, hogy az m xm típusú

Y], Y2, ..., Y„ xe{a ,b] (100)

függvénymátrixok az [a,b] intervallumon a mátrixszorzásra nézve jobbról lineárisan függetlenek, ha a

Í Y ,- q = 0, {xG[a,b]) i=l

(C j,C 2,...,C „ mXm típusú konstans mátrixok) azonosságból

következik, hogy valamennyi C, (/ = 1 ,2 ,...,n) zérus mátrix.3. definíció. Azt mondjuk, hogy a (100) függvénymátrixok az

a,b] intervallumon a vektorszorzásra nézve jobbról lineárisan

függetlenek, ha a

XYjC-=0, {xe[a,b])

402_________ IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez 1.7. A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata 403

(c i, C2,...,C„ -beli konstans vektorok) azonosságból követke­

zik. hogy valamennyi Cj (i = 1 ,2,..., n) a zérus vektor.Vektorok lineáris függetlenségére, valamint az 1. és 2. definíci­

ókra tekintettel kimondható a következő2. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a (100)

függvénymátrixok a mátrixszorzásra nézve jobbról lineárisan füg­getlenek legyenek az, hogy a függvénymátrixok a vektorszorzásra nézve jobbról lineárisan függetlenek legyenek.

1. tétel. A (99) homogén mátrix differenciálegyenletnek létezik n számú, a mátrixszorzásra nézve jobbról lineárisan független

Yj, Y2, ..., Y„ Wp\a,b] -beli megoldása.

Bizonyítás. Legyen y2, ..., y„^ a (98) differenciálegyenlet­rendszer egy tetszőleges alaprendszere. Az 1.6 pont 3. tétele alapján

y,-e Wp\a,b] (/ = 1 ,2 ,...,nm). Jelentse Yj azt a függvénymátri­

xot, melynek oszlopvektorai y , y2, ..., függvényvektorok, Y2 jelentse azt a függvénymátrixot, melynek oszlopvektorai az y,n+b Im+I yim függvény vektorok stb., általában Y- jelentse azt a függvénymátrixot, melynek oszlopvektorai az

y (i~l)m+h • • • ’ y lm (í = 1,2,..., n)

vektorok. Ilyen módon n számú Yj, Y2, ..., Y„ függvénymátrixot nyerünk, melyek mindegyike az 1.7 pont 1. lemmája alapján meg­oldása a (99) mátrix-differenciálegyenletnek.

Megmutatjuk, hogy az Y|, Y2, ..., Y„ mátrixok a mátrixszor­zásra nézve jobbról lineárisan függetlenek. Az 1.7 pont 2. lemmája alapján elegendő megmutatni, hogy e függvénymátrixok a vektor­szorzásra nézve jobbról lineárisan függetlenek. Legyenek ui. Cj, C2, ..., c,j olyan -beli állandó vektorok, melyekre

X X 'C /= 0 , {xG [a,b])i=l

(101)

egyenlőség teljesül.

Legyenek a c,- g vektor komponensei

akkor könnyen belátható, hogy a (101) azonosság amn

=0, (xe [a,Z?])i=\

alakban írható, amiből következik, hogy = 0, (k=l ,2 , . . . ,nm ) ,

ami viszont azt jelenti, hogy c,- =0, (/ = 1,2,..., n ) , vagyis az

Y i,Y 2,...,Y „függvénymátrixok a vektorszorzásra nézve jobbról valóban lineári­san függetlenek.

4. definíció. A (99) homogén mátrix-differenciálegyenlet n(fi)számú, jobbról lineárisan független Y , Y2, ..., Y„ Wp {a,b\ -beli

megoldását az egyenlet alaprendszerének nevezzük.Az 1. tétel azt fejezi ki, hogy a (99) homogén mátrix-differen-

ciálegyenletnek létezik alaprendszere.A fentieket felhasználva igazolható a következő

3. lemma. Ha Yj, Y2, ..., Y„ a (99) egyenlet tetszőleges alap- rendszere, akkor a (99) egyenlet bármely Y megoldása előállítható

Y = Í Y ,- q (102)i=\

alakban, ahol C|, C2, ..., C„ konstans mátrixok, és megfordítva,

ha C], C2, ..., C„ tetszőleges konstans mátrixok, akkor a (102) egyenlőséggel értelmezett Y függvénymátrix kielégíti a (99) egyenletet.

nMegjegyezzük, hogy az Y = ^Q Y ,- függvénymátrix általában

i=l

nem elégíti ki a (99) egyenletet.Vezessük be a következő - a továbbiak szempontjából is hasz­

nos-je lö lést:

Tetszőleges y e függvény vektor mellett legyen

404 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez 1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata 405

D Xn-DU (103)

to-Nyilvánvaló, hogy rögzített xq g [a, b] mellett D''”Xq

vábbá látható, hogy -> lineáris operátor.

Megjegyezzük, hogy a bevezetett jelölés segítségével az

L y = f , y®(a) = c,- (i = 0 , l ,2 , . . . ,n - l )

Cawc/iy-probléma a következő módon fogalmazható:Keressük az

L y = f

egyenlet olyan y e Wp^\a,b] megoldását, melyre c , ahol

CG adott vektor, (c tekinthető olyan „hipervektornak”, amely­

nek komponensei a Cq, Cj, C2, ..., c„_i -beli vektorok).

Jelentse g azt a vektort, melynek /^-adik koordinátája 1,

a többi pedig zérus (A: = 1 ,2 ,...,n m ) . Legyen yj, j 2, ..., a (98) egyenlet olyan alaprendszere, melyre

’ (A = 1,2,..., nm) .

Legyen Y-, (í = l,2 ,...,n ) az az m x m melynek oszlopvektorai az

y(/-i)«+i’ y(/-i)«+2> •

típusú függvénymátrix,

l i m

függvényvektorok, akkor az 1. tételben láttuk, hogy Y , Y2, ..., Y„ függvénymátrixok alaprendszerét alkotják a (99) egyenletnek.

Vezessük be a következő jelölést:

W =

Yiy ; y ;

Y„ ■y ; (104)

Nyilvánvaló, hogy W olyan mXm típusú függvénymátrix, amely­nek k-üdik oszlopvektora azonos

406 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

D (n -l) - val = nm) .

A (104) egyenlőséggel értelmezett mátrixot a szokásos módon Wronski-íé\t mátrixnak nevezzük.

A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy

I 0 ... 0“0 I ... 0W(a) = (105)

0 0 ... I

ahol I az m xm típusú egységmátrix, a 0 pedig az I-vel azonos típusú nullmátrix. A (105)-ből azonnal leolvasható, hogy az Y, függvénymátrix kielégíti a következő kezdeti feltételeket

Y,í*’(a) = 0, ha = 0 , l , . . . , í - 2 , i , . . . , « - l ;

Y ,Í '"V ) = I.

A differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó Caac/iy-probléma helyett - néhány alkalmazásban - célszerűbb a megfelelő mátrix­differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-íé\& feladatot vizsgálni, amely a következő módon fogalmazható meg:

Legyen F e L^[a,b\ adott m xm típusú függvénymátrix és

legyenek Cg, Q , ..., C„_j adott m xm típusú konstans mátrixok. Keressük az

LY = F (106)

mátrix-differenciálegyenlet olyan

amely kielégíti az

Y G mátrixmegoldását.

Y®(a) = q ( í= 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) (107)

kezdeti feltételeket.Legyenek f , f2, ..., az F mátrix oszlopvektorai, továbbá

c|, ej, ..., c f a Cl mátrix oszlopvektorai, akkor az 1. lemma bizo­nyításával analóg módon belátható az alábbi

4. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az

m x m típusú Y g mátrix megoldása legyen a (106)-(107)

1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata 407

kezdetiérték-problémának az, hogy az Y mátrix mindegyik oszlopvektora megoldása legyen az

y f ( a ) = c -Cauchy-prohlémának.

A fenti lemma alapján a (106)-(107) mátrix-differenciálegyen­letre vonatkozó kezdetiérték-probléma ekvivalens m számú diffe­renciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdetiérték-problémával, így nyilvánvaló a következő

2. tétel. A (106)-(107) CaMc/iy-problémának létezik egy és csak

egy Y G b] megoldása.

Megjegyezzük még, hogy ha Y , Y2, ..., Y„ az LY = 0 mátrix­differenciálegyenlet egy alaprendszere, akkor az

Ly = 0

differenciálegyenlet-rendszer minden megoldása előállítható

k=í(108)

alakban, ahol Ci, C2, ..., c„ tetszőleges -beli konstans vektorok.A differenciálegyenletek elméletében szokásos bizonyítási eljá­

rással könnyen igazolható a következő

3. tétel. Ha W jelenti a (104) egyenlőséggel értelmezett Wronski-féle függvénymátrixot, akkor

detW ^tO, {xG[a,b])-

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy valamely XQG[a,Z?] pontban

det W = 0 . Ez azt jelenti, hogy a

D' 0vektorok lineárisan függők, azaz léteznek olyan

c^, (A; = 1,2,..., nm)számok, melyekre

408

amiből

következik.

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

nm nm ,és V ,t= 0 ,

k=\ k=\

E c^yf(-^o) = 0, (i = 0,1,2,..., n -1).k=^

(109)

Bevezetve az y = Yu^kyk jelölést, nyilvánvaló, hogy Ly = 0k=i

és (109) alapján

y(')(jCQ) = 0, (/ = 0,1,2,.. . , n - l ) .

■ Figyelembe véve a Caac/zy-probléraa unicitását, kapjuk, hogynm

y = 0, ami a X k /t I ^ feltétel alapján azt jelentené, hogy azk \

(A: = 1,2,..., nm) függvény vektorok lineárisan függőek lennének.

1,8 A megoldás függése a paramétertől

Jelentse L az eddigiekben szereplő (43) alatt definiált differenciál­operátort, és legyen X tetszőleges komplex paraméter. Jelentse I a

-beli egységoperátort.

Vezessük be a következő jelölést:

L^ = L - A I .

A továbbiakban szükségünk lesz a következő eredményre, amely jó! ismert a differenciálegyenletek klasszikus elméletében:

Tétel. Az L^y = 0 bármely y(x, X) megoldása a X komplexváltozó analitikus függvénye.

Bizonyítás. Az 1.6 pont 2. tétele alapján az L;| y = 0 egyenletminden megoldása előállítható

yU,>.) = (I-L■i^;,LJp (110)

1.8 A megoldás függése a paramétertől 409

alakban, ahol p tetszőleges, legfeljebb ( n - l ) - e d fokú polinom- vektor és (92) alapján

\-l

ahol aA'

Vacp= ÍV i (^ ,0 9 (0 ^ í

( 111)

(112)

Voltérra-típusú integráloperátor magmátrixa a (81) egyenlőséggel értelmezett magmátrixtól csak annyiban tér el, hogy az ott szereplő Fo(x) függvénymátrix helyett most Fq - 1 1 függvénymátrix áll,azaz

(x, t) = \ { x j ) + X ■ I , (113)(n-1)!

ahol V(x,0 a (81) egyenlőséggel értelmezett magmátrix. így a (112) egyenlőséggel értelmezett Vo/íerra-típusú operátor a követ­kező alakban írható fel:

V^ = V + AV„_1, (114)

ahol V a (84) egyenlőséggel, a V„_i pedig a (14) egyenlőséggel értelmezett Vo/terra-típusú integráloperátor a k = n - \ mellett.

Mivel a (85) egyenlőség alapján

í:=0azért (11 l)-ből és (114)-ből

L l l= Z V „-,(V + A V „ _ /. (115)k=0

így az L ^ y = 0 egyenlet minden megoldása (110) alapján a következő alakban állítható elő:

y(i,A) = p (x )- XV„-i(V + ;iV„_i)*L^p(4. (116)

A rövidség kedvéért vezessük be az

410 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

jelölést.Nyilvánvaló, hogy

lineáris korlátos operátor, továbbá látható, hogy ^ ^ komplex változó polinomja. (116)-ból

+00y(x, A) = p(x) - E A a P W ’

k=o+00

alakba írható, ahol a X sor normában konvergens,k Q

amiből a (23) egyenlőséggel értelmezett c-norma alapján következik, hogy a sor egyenletesen konvergens [a,l?]-ben minden |A |< i? mellett, ahol R > 0 tetszőleges valós szám. Mivel a sor tagjai A komplex változónak analitikus függvényei (polinomjai), azért a sor összege, és így az y(x, X) függvény vektor is a A komplex változó analitikus függvénye az origó körüli R sugarú körben. Mivel R tet­szőleges, így y(x,A) az egész komplex síkon analitikus függvény.

2. FEJEZET

P erem érték- és sajátérték-problém ák

2.1 Peremfeltételek

Az első fejezet jelöléseinek megfelelően e fejezetben is használjuk az

L y = ÍF ,.y ®!=0

jelölést, ahol - az előbbiekhez hasonlóan - F„ = I és F,- g hp[a,b]

(í = 0 ,1,2,..., n -1 ) adott m x m típusú függvénymátrixok.

Az L differenciáloperátor értelmezhető az egész Wp^\a,b\ tér­

ben, azonban az L operátor értelmezési tartományát később alkal­mas módon fogjuk megválasztani.

Legyenek

A,- , és (í = l,2 ,...,v , y fc= 0 ,l,2 ,...,n -l)

adott m xm típusú konstans mátrixok. Vezessük be az

U ,y= z W ® ( a ) + B . - t yk=0

r(n)

(k)(1)

jelölést, ahol y e Wp \a, b\ tetszőleges függvényvektor. Nyilvánvaló,

hogy U ;: lineáris operátor, melyre

Legyen í e h p { a , b \ adott függvény vektor, továbbá legyenek

c,- e (/ = 1,2,..., v) adott konstans vektorok.

Definíció. Az n-edrendű differenciálegyenlet-rendszerre vonat­kozó peremérték-problémán a következő feladatot értjük:

412 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Keressük azL y = f (2)

egyenlet olyan y g b] megoldását, mely eleget tesz a követ­

kező, ún. perem feltételeknek:

U,-y = c,- ( í= l ,2 , . . . ,v ) . (3)

Az (1) peremfeltételek tömörebb jelölése érdekében vezessük be az

[ u r “Ci'

u = Ü2 és c = C2

vektorokat. Nyilvánvaló, hogy az

T T • p

lineáris operátor és cg konstans vektor. E jelölések bevezeté­sével a (3) peremfeltételek az

Uy = c (3fl)

alakban írhatók. Sok esetben célszerű a peremfeltételeket más alak­ban is felírni. Ennek érdekében vezessük be az

(4)

hipermátrixokat, melyek mindegyike vmxnm típusú mátrix. To­vábbá, rögzített XQe[a,b] mellett vezessük be az 1. fejezet 1.7 pontjában már használt

y (^ ) y '(^ )

^10 A ll ®10 B ii .

A = ^ 2 0 A 21 ;• ^2,n- l ,B = ®20 B 21 .

Ayi . _®vO Bi/1 ••• ®v,n-l_

(5)

2.1 Peremfeltételek 413

jelölést. A szintén lineáris operátor, melyre

E jelölések bevezetésevel a (3) peremfeltételek, vagy a vele ekviva­lens (3a) peremfeltétel a következő alakban írhatók:

Uy = AD<;-»y + B D < ''- 'V = c.

Végül vezessük be a

y(fl)y\a)

p = [A B ], D Í;r'V = DÍf^'VD

(a) y(b) y\b)

jelöléseket. Itt P vmx2nm típusú mátrix, míg

^ab • 2nmlineáris operátor.

E jelölésekkel a (6) peremfeltétel tömören

u y = PDÍ,V‘V = c

és részletesebben pedig

Ajo All

v o

\ n - l

^v,n~\ ®)/0

B1,77-1

Bv,n~\

y(a)y\a)

y(b)y'ib)

/ " \ h )alakba írható.

(6)

(6a)

C]

.2

lCkj

414

A továbbiakban egyszer s mindenkorra feltesszük, hogy a perem- feltételekben szereplő (1) alatti U,- (z = l,2 ,...,v ) operátorok lineá­risan függetlenek, ami egyrészt azt jelenti, hogy v <2n , másrészt a P = [A B] mátrix oszlopvektorai lineárisan függetlenek, ami ekvi­

valens azzal, hogy a P mátrix rangja v -n , azaz

r(P) = V-n .

Megjegyezzük, hogy a feltevés a P ; £’2«m ^vm lineáris ope­

rátorra nézve azt jelenti, hogy R{V) = .

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

2.2 Perem érték-problém a

A 2.1 pontban definiált általános peremérték-probléma helyett te­kintsük a következő két egyszerűbb típusú peremérték-problémát:

1. problém a (inhomogén egyenlet homogén peremfeltétellel): Keressük az

Ly = f

egyenlet olyan y g Wp^\a,b] megoldását, mely eleget tesz az

U y = 0peremfeltételnek.

2. problém a (homogén egyenlet inhomogén peremfeltétellel): Keressük az

Ly = 0

egyenlet olyan y e Wp\a,b] megoldását, mely eleget tesz az

U y = c

peremfeltételnek.A fenti két peremérték-probléma egymással ekvivalens, azaz

bármelyik a másikra visszavezethető.Először megmutatjuk, hogy az 1. probléma visszavezethető a

2. problémára.

Legyen y Q e W p \a ,b ] egy tetszőleges megoldása az Ly = f

egyenletnek, továbbá legyen Cq = Uyg . Ha y2 az

Ly = 0, Uy=C()

2.2 Peremérték-probléma 415

2. típusú probléma megoldása, akkor az 1. probléma megoldása előállítható a következő alakban:

yi = yo - Y2 •

Megfordítva, megmutatjuk, hogy a 2. probléma is visszavezet­hető az 1. problémára.

Legyen most yoe w f \ a , b ] olyan tetszőleges függ vény vektor,

mely eleget tesz az Uyo = c peremfeltételnek, továbbá vezessük be az fo = Lyo jelölést. Ha az

Ly = fo, Uy = 0

1. típusú probléma megoldása, akkor a 2. probléma megoldása elő­állítható a következő alakban:

= yo - yi •

Amennyiben ismeretes az 1. és 2. problémák y, és megol­dása, úgy a 2.1 pontban definiált

L y - f , U y = c

általános peremérték-probléma megoldása előállítható

y = y i + y 2alakban. A fentiek alapján a továbbiakban elegendő csak az 1. probléma részletes tárgyalására szorítkozni.

E fejezetben az L differenciáloperátor értelmezési tartományát a következő módon definiáljuk:

D(L) jelentse azoknak a -beli y függvény vektoroknak az

összességét, melyek eleget tesznek az Uy = 0 homogén peremfel­tételnek, azaz

D(L) = (y |y e lV ,f 'lU y = o ) . (7)

Igazolható, hogy a D(L) zárt, lineáris altere W p -nek. A D(L)

zártságát legegyszerííbb az 1. fejezet (23) egyenlőségével értel­mezett norma segítségével igazolni.

Legyen ui.

y te D (L ) = yewj l '^és

I y - I I 0, ha A; -> +00,

ekkor / = 0,1,2,..., n -1 mellett y ' -> y*'' egyenletesen [a, b] -ben,

amiből következik, hogy

y^'^íz) y l \ b ) -> y^ \b), midőn ^ +00,

amiből a peremfeltételek (6) alakja figyelembe vételével már köny- nyen következik, hogy

Uy^ - ^ U y ,

amiből Uy^ = 0 alapján következik, hogy Uy = 0, így y e D (L ).Ezek után a továbbiakban vizsgálatra kerülő 1. probléma a

következő módon is fogalmazható;Keressük az Ly = f egyenlet D(L) -beli megoldását.Sok esetben célszerű a differenciálegyenlet-rendszeri'e vonatko­

zó peremérték-probléma helyett a megfelelő mátrix-differenciál­egyenletre vonatkozó peremértékproblémát tekinteni, mely általá­nos esetben a következő módon fogalmazható:

Legyen F g 'Óp\a,b] adott m xm típusú függ vény mátrix, és C

adott vnixm típusú konstans mátrix. Keressük az

LY = F

416 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

(8)

mátrix-differenciálegyenlet olyan Y e megoldását, mely ele­

get tesz azUY = C (9)

peremfeltételnek.Megjegyezzük, hogy a (9) peremfeltétel (l)-nek megfelelően az

U ,:Y = 'E (A ,tY ® (a) + B,tY®(fc))=Cj, (i = 1,2,..., v) (10)k=0

alakban írható, ahol Q m x m típusú mátrix (i = 1,2,..., v) és

2.3 Sajátérték-probléma 417

c =c rC2

lC .j

Figyelembe véve a (6) egyenlőséget, a (9) peremfeltétel a követke­ző alakban is előállítható

UY = AD y + b d ["~^^y = c , ( 11)ahol

D(«-l)Xo

Y =

Y(.xo)

Án-l){xE[a,b]).

Könnyen belátható, hogy valamely Y függvénymátrix akkor és csak akkor megoldása a (8)-(9) mátrix-peremértékproblémának, ha az Y függvénymátrix yj, y2, y ^ oszlopvektorai megoldásai a következő peremértékproblémának:

LY, Uy, = c,, (5 = l,2 ,...,m ),

ahol f], Í2, ..., a F mátrix oszlopvektorai, q , C2, ... , a C mátrix oszlopvektorai, (c, g £■„„).

2.3 Sajátérték-problém a

Definíció. Egy Á komplex számot a (7) egyenlőséggel megadott

D(L) d altéren értelmezett L operátor sajátértékének nevez­

zük, ha azLy = /ly (12)

egyenletnek létezik y g D(L) nem azonosan zérus megoldása.E pontban megvizsgáljuk, mi annak a szükséges és elegendő

feltétele, hogy valamely Á komplex szám az L operátornak sajátér­téke legyen.

Jelentse I a -beli egységoperátort és vezessük be az

L ; t= L - / i Ijelölést. Legyen

(y/(x, X)\ i ~ l ,2, . . . ,nm az LjiJ - 0

homogén differenciálegyenlet-rendszer alaprendszere. Ekkor

L^y = 0 (13)

egyenlet minden megoldása előállíthatónm

y = y(x,A)=í=\

alakban, ahol q, C2, t e t s z ő l e g e s állandók.Ezeket figyelembe véve a (12) vagy a vele ekvivalens (13)

egyenletnek akkor és csak akkor létezik zérustól különböző y e D(L) megoldása, ha léteznek olyan nem csupa zérus értékű

q , c'2, ..., állandók, amelyekre

nmUy = Iq U y ,- = 0 ,

vagy a (6ű) jelölés figyelembe vételévelnm ,z c ,'Pd ; " - \ = o .

A fentiekből adódik a következő eredmény:1. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely

X komplex szám az L operátor sajátértéke legyen, az hogy a

418 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

-beli vektorok lineárisan függőek legyenek.A fenti feltétel analitikus megfogalmazása érdekében célszerű

tekinteni azL^Y = 0 (14)

homogén mátrix-differenciálegyenletet az

UY = 0

2.3 Sajátérték-probléma 419

vagy részletesebben az

U,;Y = 0, (/ = l,2 ,...,v )

peremfeltétel mellett.Legyen Yi(x,Á), Y2(x,X) , ..., Y„(x,Á) a (14) egyenlet alaprend­

szere, akkor (108) alapján a (13) egyenlet minden megoldása elő­állítható

y(x,Á)= jYj,{x,X)Cj, (15)

alakban, ahol Cj, C2, c„ tetszőleges konstans vektorok.így a (13) egyenletnek akkor és csak akkor létezik zérustól

különböző y e Z)(L) megoldása, ha léteznek nem csupa zérus vek­

torból álló Cl, C2, ..., c„ vektorok, melyekre

U,-y = i U,.(Y^(x, A)c^) = 0, (i = 1,2,..., V), k=\

amiből - tekintve, hogy U- lineáris operátor - a c , C2, ..., c„ nem csupa zérus vektorokra a következő egyenletrendszert nyerjük:

ÍU i(Y tfe A )) -q .= 0 , (i = l,2 ......V) (16)k=l

Vezessük be a következő jelölést:

Ui(Yi(x,^)) ... Ui(Y„(x,l))‘ u (/i)= ; : : . (i7)

U^(Yi(x,A)) ... \]y(Y^(x,Á)l

Az U(A) vmxnm típusú mátrix. A fentieket figyelembe véve ér­vényes a következő:

2. téteL Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely X komplex szám az L operátor sajátértéke legyen az, hogy a (17) mátrix rangja nm-nél kisebb legyen, azaz

r{lJ(Á)} < n m

Vizsgáljuk meg külön-külön a V < n és a v > n eseteket.

420 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

1. Ha V < n , akkor bármely komplex X mellett r{U(Á)) < n m . így ez esetben az L operátorra minden komplex szám sajátérték.

2. Ha v > n , úgy r{lJ(Á))<nm, akkor és csak akkor, ha az

U(/l) vmxnm típusú mátrix minden nm-edrendű aldeterminánsa

azonosan eltűnik. Ekkor két eset lehetséges, vagy az U(^) mátrix minden nm-edrendű aldeterminánsa eltűnik, akkor minden komplex A szám sajátértéke az L operátornak, vagy az U(/l) mátrix vala­melyik nm-edrendű aldeterminánsa nem azonosan zérus, akkor az L operátor sajátértékei azonosak azokkal a Á komplex számokkal, amelyek egyrészt gyökei a fent említett nem azonosan zérus alde- terminánsnak, másrészt, amelyek gyökei az összes többi nm-ed­rendű aldeterminánsnak is.

Gyakorlatilag legérdekesebb az az eset, araikor v = n . Ekkor (17) alatti U(Á) mátrix négyzetes mátrix (nmx nm -edrendű), így

ebben az esetben a d(Á) = á&tU{Á) függvény gyökei szolgáltatják az L operátor összes sajátértékét.

2.4 A Green-féle függvénymátrix

Legyen L az előbbiekben szereplő differenciáloperátor, Á tetszőle­ges komplex szám, f e Lp[a,b] adott függvény vektor. A 2.2 pont­

beli megállapodás értelmében a továbbiakban az

L^y = L y -A y = f , Uy = 0 (18)

peremérték-probléma megoldhatóságát vizsgáljuk, azt a gyakorlati­lag legfontosabb esetet tekintve, amikor v - n , vagyis midőn a peremfeltételeket generáló U operátor

U =

UiU2

u.,

alakú, ahol U,- (/ = 1,2,..., n) az (1) egyenlőséggel értelmezett line­áris operátor.

2.4 A Green-féle függvénymátrix 421

Definíció. A (18) peremérték-problémához tartozó Green-féle függvénymátrix olyan

G{x,< ;Á) =

‘G ||{x,f;/l) Gí2(x,í;A) ... G,„(x. íUy C 2 iU ,f;l) G22(x,í;A) ... G2„(j .í ;X)

_G„|{x,í;i) G„2(x.Í-.X) ... G„„{x4a)

alakú függvénymátrix, amelyre teljesülnek a következő feltételek:

1. G{x,(^;Á) függvénymátrix értelmezve van az a < x < b és

a < ^ < h négyzetben, és minden rögzített (^e[a,b] mellett G(x,< ',Á) mint X függvénye legyen ( n - 2 )-szer folytonosan diffe­

renciálható az [a,b] intervallumban.

2. Minden rögzített [a,b] mellett az és b] interval-0/1 —

lumban külön-külön létezzék a -------- -- derivált függvény-

mátrix, mely legyen abszolút folytonos az [ö,^] és [< ,b] interval­lumban, továbbá legyen

a"~’G(^ + 0, a A) - 0, Á) jdx ^

ahol I azonos rendű egységmátrix.

Megjegyzés. Mivel a -------- ■ függvény abszolút folyto-dx^

nos külön-külön [a,£] és [^,b] intervallumban, azért ------■ ■

létezik majdnem minden [a,^] és [i ,b] mellett, így majdnem min­den xe[a ,b] mellett is.

3. Minden rögzített [a,b] mellett legyen

d"G(x,< ;Á)-G LJa,b] .

422 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez 2.4 A Green-féle függvénymátrix 423

4. Minden rögzített {a,b) mellett G(x,^;A) függvénymátrix

mint X függvénye az [a,b] intervallumon tegyen eleget az UG = 0

peremfeltételnek és majdnem minden ^ g [a, b] mellett G(x,^;A)

elégítse ki az L^y = 0 egyenletet, azaz

L^G = L G - ^ G = 0 .

Tétel. Ha a A komplex szám nem sajátértéke a D(L) a

altéren értelmezett L lineáris operátornak, akkor létezik egy és csak egy G(x, Á) Green-féle függvénymátrix.

Bizonyítás. Legyen Yi{x,Á),Y2(x,Á),...,Y,^(x,Á) az = 0 mátrix-differenciálegyenlet olyan alaprendszere, melyre a

Y](x,yi) Y2(x,/1) ... \„{x,X)Y[{x,X) Y'2 {x,X) ... Y'^{x,X)

W (x,A) =

^yI"~^\x,á) Y^2~^\x,X) ...

(19)

jelölés mellett W(a,Á) - I , ahol I az mnxmn típusú egységmát­rix. Az 1. fejezet alapján nyilvánvaló, hogy ilyen alaprendszer létezik.

Keressük a G(x, Á) Green-féle függvénymátrixot a következő alakban:

G (x ,^;A )-

ahol az A^(i^) és B^(^) (k = l,2,. . . ,n) egyelőre ismeretlen függ­vénymátrixok, melyeket úgy próbálunk választani, hogy teljesülje­nek a Green-féle függvénymátrixra tett 1. követelmények.

A Green-féle függvénymátrixra tett 1. követelmény alapján

minden rögzített ^ e [a, b] mellett a függvénymátrix-dx

nak mint x függvényének folytonosnak kell lenni [a, b] intervallu­mon minden i - l , 2 , . . . , n - 2 esetén, ami azt jelenti, hogy fenn kell állni a

i Y « (í, 1 )(A ,© + B t© ) = t Y f '( í, /l)(A ,(f) - B^© ),k=l k=]

azaz a

Z Y ® (f, / l)B t© = 0, (í = 0,1,2 ,.... n - 2)k=[

(21)

egyenleteknek.Figyelembe véve a Green-féle függvénymátrixra tett 2. köve­

telményt, a fentieken kívül teljesülni kell a

i Y f - B t© ) - t ^ )(A t© + B t© ) = I ,

/C = i

azaz a

Í Y f - « © ; i ) B t © = - i i (22)

Í Y t f e i ) ( A t © + B j© ),

Yi(^,l)YfeA)

Y2(^4) ..

Y 2 (a) .... Y „(ei) ■ .. y ;(^.a)

■ B i(0 ■ B 2®

" 0 0

k=ln (20)

B „-i(ö 0X Y ,(x,A )(A ^(^)-B ,(^)), x > ^ ,

U=i

iL— •'. K i ö _

egyenlőségnek.A (21) és (22) egyenlőségek együttesen a következő alakban

írhatók:

(23)

A kapott egyenletrendszer mátrixa azonos a (19) mátrixszal az x = ^ helyen. Mivel az Yi(x,X),Y2Íx,X), . . . ,Y^(x,l) mátrixok alaprendszert alkotnak, azért az 1.7 pont 3. tétele alapján a detW((f,/l) ^ 0 , így a (23) egyenletrendszer Bj(^), B2(^), ..., B„(^) ismeretlen mátrixokra megoldható.

424 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Vegyük figyelembe, hogy az egyenletrendszer megoldásából nyert B;(^) { i - \ ,2 , . . . ,n ) mátrixok A-nak is függvényei, azon­ban a yí. -tói való függést nem tüntetjük fel.

Ha tehát a B„(^) mátrixokat a (23) egyenlet­rendszer megoldásának választjuk, akkor a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,^;A) függvénymátrixra már teljesülnek a Green- féle függ vény mátrixra tett 1. és 2. feltételek.

Mivel Y^(x,X)G (k = 1,2,-.. . , n ) , azért nyilvánvaló, hogy

a fenti módon meghatározott B|(^), B2( ^ ) , B „ ( ^ ) és tetszőleges

Aj(^), A2(^), ..., A„(^) mellett a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,< ;Á) függvénymátrix eleget tesz a Green-íélt függvénymát­rixra tett 3. követelménynek is, továbbá nyilvánvaló az is, hogy tetszőleges rögzített ^&[a,b\ mellett majdnem minden xG[a,b] esetén L^G = 0 .

Megmutatjuk, hogy az Ai(,^), Á2( ^ ) , A „ ( ^ ) mátrixok vá­laszthatók olyan módon, hogy a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,^-,Á) függvény mátrixra teljesüljön az UG = 0 peremfeltételis.

Az UG = 0 peremfeltétel a (11) egyenlőség alapján a követke­ző alakba írható:

^G = 0azaz

n

A-=lamiből

2 (AD<""«Yj + = C (í. X). (24)k=l

ahol

C ( í , i ) = - ADÍ'’'^«Yt)Bt(í). (25)k=l

A C(^,Á) nmxm típusú hipermátrix, azaz

2.4 A Green-féle függvénymátrix 425

C(^,/i) =

Ci(^,A)-C2(S,l)

■U,Y, ■■■ U|Y„- A |( í) ' C |( f ,/l) '

U„Y| ... U„Y„_ A „(í). c „ ( l \

C„(f,A)_

alakban írható, ahol C,(^,X) (/ = 1 ,2 ,...,n) m x m típusú mátrixok.

A (24) egyenlet a (11) egyenlőség alapján

Í v Y , - A ^ i ^ ) = C(g,X)k \

alakban írható, amely azonos a következő egyenletrendszerrel:

(26)

A (26) egyenletrendszer mátrixa azonos a (17) egyenlőséggel defi­niált U(/l) mátrixszal v = n és x = ^ mellett. Mivel X nem saját­értéke az L operátornak, ezért a 2.3 pont 1. tétele alapján a (26) egyenletrendszer determinánsa zérustól különböző, így az egyenlet­rendszer az A](^), A 2(< ), ..., A„(^) mátrixokra nézve megoldható.

Az eddigiekből már következik, hogy ha az A,-(^) és B,-(^)

(/ = 1,2,..., n) mátrixokat a fentieknek megfelelő módon választjuk, akkor a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,< ;X) függvénymátrix eleget tesz a Green-féle függvénymátrixra tett valamennyi köve­telménynek, amivel a Green-féle függvénymátrix egzisztenciáját igazoltuk.

A fenti eljárásból az is világosan látható, hogy az A;(^) és

B;(^) (/ = 1,2,..., n) mátrix együtthatók egyértelmű módon van­nak definiálva, amiből következik a Green-féle függvénymátrix unicitása is.

1. megjegyzés. A G(x, X) Green-féle függvénymátrix (20)

alakjából, valamint az A,-(^) és B -( ) (i = 1,2,..., n) függvénymát­rixok választásából nyilvánvaló, hogy a

426 IV. Kiegészítés a dijférenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

(27)d'G{x,^-X) dx

függvénymátrixok mint az x és ^ változók függvényei folytonosak

az a < x < b , a < ^ < b négyzetben, sőt minden rögzített x mellett e függvénymátrixok a változónak abszolút folytonos függvényei

az [a,h] intervallumon. Valóban a (23) egyenletrendszer determi­

nánsa a változónak abszolút folytonos függvénye az [a,b] inter­

vallumon, amiből következik, hogy a B,((^) (i = l,2,...,n) függ­vénymátrixok is abszolút folytonos függvényei változónak, to­vábbá a (25) egyenlőségből leolvasható, hogy a C(^,A) hiper- mátrix abszolút folytonos függvénye a ^ változónak, így a (26)

egyenletrendszer megoldásaként nyert A,(< ) (/ = 1,2,..., n) függ­

vénymátrixok is abszolút folytonos függvényei ^ változónak.

2. megjegyzés. A Green-féle függvénymátrix (20) alakjából azis következik, hogy a

d"~'G(x,í:Á)

dx"-'függvénymátrix, mint az x és változók függvénye, folytonos az X < ^ és az X > ^ háromszögtartományon, továbbá az is könnyen belátható, hogy létezik olyan csak az x és Á változóktól függő g(x,Á) függvény, mely mint az x függvénye L^[a, -beli, azaz

g{x,Á) G Lp[a,b] , és fennáll a következő egyenlőtlenség:

dx’<g(x,Á), {x,<^G[a,b]) (28)

3. megjegyzés. Vezessük be a következő jelöléseket:

G |U ,í;/l) = IY tU f ;A ) A t( í ) , [a.b]]. i=l

2.4 A Green-féle függvénymátrix 427

G 2(x ,^a) = X Y^(x,^;/L)B^(a, [a,b]),k=\

ahol az A^(^), ill. Bj,(« ) mátrixok a (26), ill. a (23) egyenletrend­szer megoldásai.

A (20) egyenlőség alapján G ( x , X) Green-félt függvénymát­

rix a Gi(x, Á) és G 2Íx,^;Á) függvénymátrixokkal a következő módon fejezhető ki:

p / j:. 2~.ÍGi(x,^;Á) + G2Íx,< ;Á), x < ^A ,-> r

Jelöljük U(Á) -val a (26) egyenletrendszer mátrixát ( V(Á) azonos a

(17) egyenlőséggel értelmezett U(/l) mátrixszal v = n mellett), akkor (26) egyenletrendszerből

ahol H^(^,/i) függvénymátrixok a (26) egyenletrendszer mátrixá­val és jobb oldalával kifejezhető m xm típusú mátrixok. Ennek alapján

(29)

ahol

H U Z) = [Y|fc i ) , Y jíx , i ) , . . . . y„ (x. D ]

Továbbá a (23) egyenletrendszerből látható, hogy a B^(<f), (k = \,2,... ,n) előállítható

alakban, ahol az mXm típusú mátrixok csak a W (^,Á)mátrix elemeitől függnek, így G 2( x , Á) előállítható

428 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

f' (y A. 0 \ _ M(x, Á)

alakban, ahol

M fc í , Á) = [Y,fc X). Y 2 Í x . á ) , . . . , Y „ ( x , A)]

(30)

A (29) és (30) előállításából leolvasható, hogy amíg a G](x,i^;/l) függvénymátrix függ az alaprendszertől és a peremfelté-

tel-rendszertől, addig a G 2(x,^;/l) függvénymátrix csak az alap- rendszertől függ.

2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénymátrix

Legyen L az előző pontokban szereplő differenciáloperátor a (7)

egyenlőséggel megadott D(L) c altéren értelmezve .

Tegyük fel, hogy o. X = 0 szám nem sajátértéke az L operátor­nak, akkor a 2.4 pont tétele alapján létezik G(x,^;0) Green-íélt függvénymátrix, melyre rövidség kedvéért most vezessük be a

G ( x ,a = G(x,^;0) (31)jelölést.

E pontban azL y = f

(xG [a,b]) (32)Uy = Oj

peremérték-probléma megoldhatóságával és a megoldás előállítá­sával foglalkozunk. A fenti peremérték-probléma a következő mó­don is fogalmazható:

Adott f G Lp mellett keressük az Ly = f egyenlet y g D(L)

megoldását. Mivel Á = 0 nem sajátértéke az L operátornak, ezért a

D(L) altéren értelmezett L operátornak létezik inverze, amiből nyilvánvaló, hogy az Ly = f egyenletnek csak egyetlen yeD(L) megoldása létezhet.

2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénymátrix 429

A (32) peremérték-probléma megoldhatósága ilyen módon ek­vivalens az L operátor R(L) képterének meghatározásával.

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy R{L) - L^[a, b] , először

azonban igazoljuk a következő segédtételt:

Lemma. Legyen K(x,^) olyan mXm típusú függvénymát­

rix, melyhez található olyan g e Lp függvény, hogy minden

[a, b] mellett

| K u a l p < « W , (33)

akkor a

Kf = jK (x ,í)f(f)d f, 0(K ) = Lpa

egyenlőséggel értelmezett operátorra K : L^ Lp lineáris korlá­

tos operátor.Bizonyítás. Az 1. fejezet (27) egyenlőtlensége alapján

|K f |^ < J |K f c í ) f © |p á # ,a

továbbá az 1. fejezet (6) és (24) képletei alapján a (33) felhaszná­lásával

1I K ( x , I „ < I K(x, a y f (a I, ^ 1 m I „,

Így±b

Mivel a í/ó7Jer-egyenlőtlenség szerint

azért

430 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

amiből

ahol bevezetve a

1 1 lK f |L ^ < m ''( f c - a ) « l í lL j | t | ! ^ ,

1 i C = i n ^ { b - a ) H g l

jelölést,

egyenlőtlenséget kapjuk, melyből a lemma következik.

Tétel. Ha a A = 0 szám nem sajátértéke az L operátornak, ak­kor a (32) peremérték-problémának minden f g L^[a, b\ függvény-

in )vektor mellett létezik, éspedig egyetlen y e W y megoldása, és e

megoldás előállítható az

y (x )= jG ( x , í ) f ( í ) í i í (34)

alakban.Bizonyítás. Figyelembe véve a Green-íélt függvénymátrix tu­

lajdonságait, nyilvánvaló, hogy a (34) egyenlőséggel értelmezett y

függvényvektor (n - 2) -szer folytonosan differenciálható az [a, b]intervallumban, és

y®(x) = (i = 0,1,2,..., n - 2) (35)

A (35) egyenlőség i = n — \ esetén is érvényes, ui.

dxn - 2 dxn - 2

2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénymátrix 431

ox

amiből differenciálással ellenőrizhetőenX b - \ n ~ ]

n OX dx

dx

A (36) egyenlőségből könnyen belátható, hogy y

vény vektor abszolút folytonos [a, b] -ben, továbbá az

;c -\«-i

(n-l)

(36)

függ-

ŐX

egyenlőségből következik, hogy majdnem minden xG[a,b] mellett

X - rir / í-s -nH-L+

+ 1 -t e Q f © d f - - — t(x) = j - í í i í i á ) a i" 3 / '“ ‘ , ax"

3” ‘G(x, x - 0) 3” ^G(x, X + 0)dxn - l dxn - l

f(x ).

Mivel

d’ ^G(x, X - 0) 3” ^G(x, X + 0) _3x” 3x

_ 3^ ^G(x + 0,x) 3”~*G(x-0,x)

n - l

3x” 3xmelynek utóbbi kifejezése a Green-féle függvénymátrix 2. tu­lajdonsága alapján azonos az m x m típusú egységmátrixszal, így majdnem minden xe[a ,b] mellett

n - l

432

(37)

IV. K iegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elm életéhez

dx

Mivel a (28) egyenlőtlenség alapján létezik olyan g&hp[a,b]

függvény, hogy

d x

<g(x), {x,^e[a,b]) (38)

ezért a 2.5 pont lemmája alapján

/^^^eLp[a,b],

így a fentiekből már következik, hogy a (34) egyenlőséggel értel­

mezett y függ vény vektor Wp^ -beli.

Továbbá (35), (36) és (37) alapján majdnem minden x g [a,b]

mellett

Ly = y‘"> + ZF.y® = f + á í +;=0 dx'

b

+ t( í) d f = f + JLG(x, m S ) d í.i=0 a ^

és mivel LG(x,^) = 0 majdnem minden xe[a ,b] mellett, azért

maidnem mindenüttLy = f .

Mivel az Uy peremfeltételekben az y függvény vektornak legfel­

jebb (n -1 ) -edik deriváltjai lépnek fel, azért a (35) és (37) képletek

alapján

U y = jü G ( x , m < ^ ) d ^ ’Cl

és mivel UG(x,^) = 0 , azért Uy = 0 , tehát a (34) egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor kielégíti a (32) peremérték-problé-

mát, amivel a tétel igazolást nyert.

2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata 433

Következmény. Ha a X komplex szám nem sajátértéke a D(L)

altéren értelmezett L operátornak, akkor tetszőleges f g függ­

vényvektor mellett az

L^y = L y - / ly = f, Uy = 0 (39)

peremérték-problémának létezik egy és csak egy y e D(L) megol­dása, éspedig ha G(x,^;Á) jelenti a 2.4 pontban értelmezett Green- féle liiggvénymátrixot, akkor a (39) peremérték-probléma megoldása:

(40)

2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata

E pontban tegyük fel ismét, hogy a A = 0 szám nem sajátértéke a D(L) altéren értelmezett L operátornak. Vezessük be a

(41)

integráloperátort, ahol G{x,^) a (31) egyenlőséggel értelmezett Green-íé\e függvénymátrix.

Legyen a G operátor értelmezési tartománya D(G) = L^ .

A 2.5 pont tétele alapján igaz a következő

1. tétel. A D(L) ez Wp alterén értelmezett L differenciáloperá­

tor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D(L) alteret az

egész hp térre, így az L~ inverz operátor létezik és

L” = G , (42)

ahol tehát : L^ Wp^ olyan lineáris operátor, melyre

D(U^) = L„ és R(L^) = D(L) c .

434 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Az 1.3 pont tétele alapján az egész térben értelmezett L a

Lp -beli lineáris korlátos operátor, így a (7) egyenlőséggel

megadott D(L) c altéren értelmezett L operátor is hasonló tu­

lajdonságokkal rendelkezik.így Banachnak az inverz operátor korlátosságára vonatkozó

tétele alapján Wp’ is lineáris korlátos operátor.

Megjegyezzük, hogy ez az eredmény Banach ismert tétele nél­kül is közvetlenül igazolható, azaz fennáll a következő

2. tétel. Az = G operátor lineáris korlátos operátor az

hp -^W^"^-ben.

Bizonyítás. Legyen f e L p tetszőleges függvény vektor és vezes­

sük be rövidség kedvéért az y = Gf jelölést, akkor (35) és (36)

alapján

y®W = , (i = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) .

Mivel ^. (í = 0 ,1 ,2 ,...,n -1 ) függvénymátrixok korlátosdx

(sőt i < n - í esetén folytonos) függvényekből álló mátrixok, azért léteznek olyan állandók, hogy

maxxe [a, b]

<i^/l|fÍT , (í = 0 , l ,2 , . . . ,n - l ) (43)p

A (37)-böl és a (38)-ból a 2.5 pont lemmája alapján következik, hogy van olyan állandó, melyre

Xn) < K l f (44)

A (43) és (44) egyenlőtlenségekre tekintettel, létezik olyan K > 0 állandó, hogy

2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata 435

,(«)■p "p

amiből a tétel már következik.A fentiek folyománya a következő

3. tétel. Ha Á nem sajátértéke a D(L) c Wp^ alterén értelme­

zett L operátornak és bevezetjük a b

G^f(x)= jG (x ,f; /D f® d í, ű(G ^)=L p (45)a

integráloperátort, ahol a G(x,^-,Á) a 2.4 pontban értelmezett Green-féle függvénymátrix, akkor a D{L) altéren értelmezett

= L - Ál operátornak létezik 17 inverze, és

(46)

A fentiek szerint, ha a D(L) altéren értelmezett L operátornak nem minden Á komplex szám sajátértéke, akkor lehetőség nyílik arra, hogy az

L ; j = Ly - Ay = f , Uy = 0 (47)

peremérték-problémát bármely Á mellett visszavezethessük egy integrálegyenlet-rendszerre.

Tegyük fel pl., hogy A = 0 nem sajátértéke az L operátornak,

ekkor a 2. tétel szerint Lji = G , ahol G a (41) egyenlőséggel értel­mezett integráloperátor. Alkalmazzuk az L y - l y = f egyenlet mindkét oldalára a G operátort, akkor az

y - AGy = h (48)

integrálegyenlet-rendszert nyerjük, ahol h = G f , vagyis h e D(L) .Vizsgáljuk meg a (47) peremérték-probléma és a (48) integrál-

egyenlet-rendszer között fennálló kapcsolatot.A (41) egyenlőséggel értelmezett G operátor G(x,^) magmátri­

xa folytonos az a < x < b , a < b négyzetben, így az integrál­

436

egyenletek elmélete alapján az téren értelmezett G operátornak

legfeljebb megszámlálható sok sajátértéke lehet, melyeknek egyet­len torlódási helye a zérus szám lehet.

Lem m a. Legyen //q a G operátor egy sajátértéke, és yge

egy zérustól különböző fi^Axoz tartozó sajátfüggvény vektor, akkor

yo G D (L ).

Bizonyítás. Mivel Gyp = //qJ q, ezért jLIq ^ 0 alapján

amiből következik, hogy yo g R{G) - D(L) .

4. tétel. A D(L) altéren értelmezett L operátor sajátértékei

azonosak az téren értelmezett G operátor sajátértékeinek recip-

rokával, míg a megfelelő sajátfüggvény vektorok azonosak.

Bizonyítás. Legyen az L operátor egy tetszőleges sajátértéke

(a feltevés szerint /Íq ^ 0 ), és legyen yg e ÁQ-hoz tartozó zérustól különböző sajátfüggvény vektor, vagyis

Lyo = % 0 •Alkalmazzuk mindkét oldalra a G operátort, akkor a

I V. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

egyenlőséget nyerjük, ami azt jelenti, hogy - j - sajátértéke a G

operátornak.Megfordítva, legyen //g tetszőleges sajátértéke a G operátornak

(//o mertG"^ létezik), és legyen y e L^ egy //q -hoz tartozó

zérustól különböző sajátfüggvény vektor, azaz

Gyo = A)yo ’ (49)

akkor a lemma alapján yge D (L ).

2.6 Az h operátor inverzének vizsgálata 437

A (49) egyenlőség mindkét oldalára alkalmazva az L operátort az

egyenlőséget nyerjük, ami azt jelenti, hogy — sajátértéke az LA)

operátornak.Figyelembe véve a G operátor sajátértékeire fennálló - az integ­

rálegyenletek elméletéből jól ismert - fentebb említett eredményt, fennáll a következő

5. tétel. Ha a D(L) altéren értelmezett L operátorra minden komplex szám sajátérték, akkor az L operátornak legfeljebb meg­számlálható sok sajátértéke lehet, melyeknek nincs végesben fekvő torlódáspontjuk.

A 2. tételben megmutattuk, hogy G : Lp lineáris korlá­

tos operátor, ami az 1. fejezet (22) egyenlőséggel értelmezett b norma alapján azt jelenti, hogy létezik olyan K állandó, hogy bár­mely f G Lp mellett

(50)

Mivel I Gf < II Gf ||^(„), ezért az (50) egyenlőtlenségből

adódik, ami azt jelenti, hogy egyúttal G : L^ -> L^ lineáris korlá­

tos operátor.Tegyük fel, hogy a / / komplex szám nem sajátértéke a G ope­

rátornak, ekkor az integrálegyenletek elméletéből ismeretes, hogy a

G y - / /y = (p (51)

integrálegyenlet-rendszernek bármely (pe Lp mellett létezik, éspe­

dig egyetlen y g L ^ megoldása. Igazolható, hogy amennyiben

ípG D(L) , akkor az (51) egyenlet megoldása egyúttal D(L) -be is tartozik.

Amennyiben a fi szám sajátértéke a G operátornak, úgy az integrálegyenletek elméletéből jól ismert annak szükséges és ele­gendő feltétele, hogy az (51) integrálegyenletnek milyen cp függ­vényvektorok mellett létezik megoldása. (Természetesen a megol­dás ekkor nem egyetlen.)

Figyelembe véve, hogy a (48) integrálegyenlet (51) típusú, ezért bármely Á komplex szám esetén a (48) egyenletre ismeretesek a megoldás egzisztenciájának feltételei. (Még abban az esetben is, ha a X komplex szám sajátértéke az L operátornak, vagy ami ugyan­

az, y sajátértéke a G operátornak,)

így az integrálegyenletek elméletében használt módszerek se­gítségével a (48) egyenlet megoldhatósága eldönthető, és különféle közelítő eljárások segítségével az egyenlet megoldása, vagy közelí­tő megoldása, előállítható. Természetesen a kapott megoldás egyút­tal a (47) peremérték-probléma megoldását is adja.

438 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergencia vizsgálata

3. FEJEZET

3.1 Általánosított polinomvektorok

Legyenek

SO’ §h ■ ■ 8 ji • ■ •

adott, lineárisan független skalárfüggvények a

w'-pKa.b]

skalár függvénytérben. Legyen N tetszőleges nemnegatív egész szám, és legyenek

C o , Cl, . . . ,

tetszőleges -beli konstans vektorok, úgy a

Nq(x)= Z ^ j g j

7=0( 1)

-beli függvényvektort N~ed fokú általánosított polinomvek- tornak (a továbbiakban röviden polinomvektornak) nevezzük. Ha Cyv ^ 0 vektor, akkor a q polinomvektort pontosan A -ed fokúnak mondjuk [D50].

Legyenek az (1) polinomvektor Cj együtthatóvektorai koordi­

nátás alakban

"c ]/

, ( j= 0 ,l,...,iV ),C2j

akkor az (1) polinomvektor a következő alakban is írható;

440 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

q =

■ NILcíjgjix)J=0 NI,C2jgj{x) (2)j=0

NHCmjSjix)

L;=o

A fenti módon bevezetett polinomvektorok egyik legfontosabb esete az, amikor

g j { x ) ^ x \ 0 '= 0,1,2,...).

Ebben az esetben az (1), ill. (2) a következő alakot veszi fel:N

‘ rq(jc)= ill.7=0

NTcijX7=0Ntc2jX-’J=0

(3)

J=0

A (3)-ból látható, hogy ebben az esetben a q polinomvektor koor­dinátái közönséges, legfeljebb A -ed fokú polinomok, így a (3) alatti polinomvektort célszerű közönséges polinomvektornak nevezni.

A továbbiakban -nel jelöljük a legfeljebb Tv'-ed fokú (álta­

lánosított) q polinomvektorok halmazát.

A gj(x) i j = 0,1,2,...) függvényekre tett feltevés alapján nyil­

vánvaló, hogy minden (1) alakú q(x) polinomvektor Wp'^\a,b]~

beli függvényvektor, így

ÖN 6],

3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere 441

Igazolható, hogy Ö/v lineáris altere a wj!'\a,b] térnek, és

ui. azdim = ( N + í ) -m,

“0"

(4)

egy ség vektorok bevezetésével egyszerűen igazolható, hogy a

0

0

0

függvényvektorok bázist alkotnak öyv "t*en.

3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere

Jelentse L az előbbi fejezetekben szereplő n-edrendű lineáris diffe­renciáloperátort, értelmezve a 2. fejezet (7) egyenlőségével defini­ált Z)(L) értelmezési tartományon, ahol a továbbiakban mindig aV = n esetet tekintjük, azaz

^Uiu = U2

u„amelyben

v r . w i " > ^ E „

a 2, fejezet (1) egyenlőségével definiált lineáris operátort jelenti.

442

Nyilvánvaló, hogy

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

T T • J7u . \y p —7 ■

Definíció. Jelentse az összes olyan legfeljebb N-ed fokú

q(x) polinomvektorok halmazát, amelyek eleget tesznek az

Uq = 0perem feltéte lnek .

Nyilvánvaló, hogy Öa' és lineáris altere '^lek.

Természetesen előfordulhat, hogy csak az azonos zérus poli- nomvektort tartalmazza, azonban - mint a következő lemmából is

kitűnik - minden elég nagy N mellett tartalmaz zérustól kü­lönböző polinomvektorokat is.

Lemma. Minden N > n - \ mellett fennáll a következő egyen­lőtlenség;

d i m > ( N + l - n ) - m . (5)

Bizonyítás. Legyen N > n - Í és legyen q(x) tetszőleges (1)

alakú polinomvektor.Vizsgáljuk meg, hogy az (l)-ben szereplő Cq, q ..., vekto­

rokat hány különböző módon lehet úgy választani, hogy az Uq = 0

feltétel teljesüljön.A 2. fejezet (1) jelölése alapján az Uq = 0 feltétel ekvivalens a

(«) + w ] = «• (í = 1.2,.. ■.«)k O

egyenlőségek fennállásával, ahová q(x) (1) alatti alakját behelyet­

tesítve, a’n-lÍ;'U f(ű)A ,v i + 4 % ) B , t J c ; = 0 , = (6)

j=0\.k=0

egyenlőségekhez jutunk.

3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere 443

Vezessük be azn -l

M y = U g f { a ) k ^ k + 8 j m i kk=Q

jelölést, akkor a (6)-ból aNXMyCy = 0, (f = l,2 ,... ,n ) ,

vagy részletesebben kiírva, az

M,o M ,,M 20 M 2I

M,jo M„j

M ia

M nN

0'

.1 0

C/v 0

(7)

egyenlethez jutunk.

A (7) egyenletrendszer a

Cq, Cl . . . ,

-beli vektorok koordinátáira nézve {N + \)m ismeretlent tar­talmazó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. Az egyenlet­rendszer mátrixa

nmx{N + \)mtípusú mátrix.

Ha r jelenti a (7) egyenletrendszer mátrixának rangját, úgy a (7) egyenletrendszer £'(a/+i)ot -beli lineárisan független megoldásvekto­

rainak száma:{N + \)m - r .

Figyelembe véve, hogy N + \ > n , úgy nyilvánvaló, hogy r < nm , így a (7) egyenletrendszer -beli lineárisan függet­

len megoldásvektorainak száma nem kisebb az

{N + \)m - nm

számnál, amiből az (5) egyenlőtlenség már következik.

442 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

Nyilvánvaló, hogyTJ • Eu . yy p —r •

Definíció. Jelentse Q% az összes olyan legfeljebb N-tá fokú

q(x) polinomvektorok halmazát, amelyek eleget tesznek az

Uq = 0peremfeltételnek.

Nyilvánvaló, hogy ö!v Qn és lineáris altere Ön -nek.

Természetesen előfordulhat, hogy Q% csak az azonos zérus poli- nomvektort tartalmazza, azonban - mint a következő lemmából is

kitűnik - minden elég nagy N mellett tartalmaz zérustól kü­lönböző polinomvektorokat is.

Lemma. Minden N > n - \ mellett fennáll a következő egyen­lőtlenség:

d im ö X ^> (A ^+ l-n )-m . (5)

Bizmyüás. Legyen N > n - \ és legyen q(x) tetszőleges (1)

alakú polinomvektor.Vizsgáljuk meg, hogy az (l)-ben szereplő Cq, q vekto­

rokat hány különböző módon lehet úgy választani, hogy az Uq = 0

feltétel teljesüljön.A 2. fejezet (1) jelölése alapján az Uq = 0 feltétel ekvivalens a

egyenlőségek fennállásával, ahová q(x) (1) alatti alakját behelyet­

tesítve, a

y=oU=o y

egyenlőségekhez jutunk.

3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere 443

Vezessük be azn-\

Mi,- = E [ g f (a)A,t + | ; f (6)Bii/t-O

jelölést, akkor a (6)-ból a

(í = l ,2 ,...,n ) ,./-O

M ia,M2ív

M nN.

Co 0.1 = 0

C/v 0(7)

vagy részletesebben kiírva, az

'M io M ii ..

M 20 M 21 . .

M„o M„j ..

egyenlethez jutunk.

A (7) egyenletrendszer a

Cq, Cl ...,

£■„1 -beli vektorok koordinátáira nézve (N + l)m ismeretlent tar­talmazó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. Az egyenlet­rendszer mátrixa

nmx(N + \)mtípusú mátrix.

Ha r jelenti a (7) egyenletrendszer mátrixának rangját, úgy a (7) egyenletrendszer £'(Ar+i)/„ -beli lineárisan független megoldásvekto­

rainak száma:{N + l)m - r .

Figyelembe véve, hogy -h 1 > n, úgy nyilvánvaló, hogy r < n m , így a (7) egyenletrendszer -beli lineárisan függet­

len megoldásvektorainak száma nem kisebb az

(N + l)m ~ nm

számnál, amiből az (5) egyenlőtlenség már következik.

444 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

3.3 Minimalizáló polinomvektor-sorozat

E pontban jelentse L a 2. fejezet (7) egyenlőségével definiált D(L) értelmezési tartományon értelmezett differenciáloperátort, amelyről feltesszük, hogy a Á - 0 szám nem sajátértéke az operátornak.

Legyen f e Lp[a, b] adott függvény vektor és vezessük be a kö­

vetkező jelölést:

% = inf | |f -L q |L , (A = 0,1,2,...). (8)qeöw "

Nyilvánvaló, hogy % > 0 , és mivel Öo c: ö? c ... c; c : . . . ,

ezért ^0 - • •

Tétel. Létezik - éspedig 1 < p<+oo mellett egyetlen - olyan

e polinomvektor, amelyre

% = l|f-L q y v llL •

Biz.onyítás. Legyen <iyy = dim , és legyen

Qb q2»

tetszőleges bázis Ön -bán. Vezessük be az

íj = Lq^ {k = l,2,...,ú?^)

jelölést.Megmutatjuk, hogy az

■N

(9)

( 10)

(11)

Lp -beli függvény vektorok lineárisan függetlenek. Ha ui. valamely

Á2, számok mellett majdnem minden x g [a,b] esetén

!k=[

d-N1 4 4 = 0 ,

3.3 Minimalizáló polinomvektor-sorozat 445

akkor egyúttal L'd -

M=\= 0 , ami azt jelentené, hogy a

( 12)

Öa? -beli függvényvektor kielégíti az Ly = 0 egyenletet.

Mivel c: D{L) , azért a (12) egyenlőséggel értelmezett q függvényvektor D(L) -beli, amiből az L operátorra az e pont elején

tett feltétel következtében q = 0 , de a q , q2, ..., q^^ függvény-

vektorok lineárisan függetlenek, azért a q = 0 egyenlőségből kö­vetkezik, hogy

\ = =0,

amiből (11) alapján pedig következik, hogy az f], ..., függ­

vényvektorok lineárisan függetlenek.

Mivel a (9) alatti függvényvektorok bázist alkotnak -bán,

azért minden q g ö/v függvény vektor előállítható

Z4qA: (13)k=l

alakban, ahol komplex számok. Mivel (13)-ból a

(10) jelölés alapján

f - z «k=l

ahol az f], f2, ..., függvényvektorok a fentiek szerint lineá­

risan függetlenek, azért az igazolandó tétel ekvivalens olyan Aj, A2, 4 /^ komplex számok létezésének igazolásával, ame­

lyek mellett az

k=l

446 IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

kifejezés minimális értéket vesz fel. Az approximáció elmélet is­mert tétele alapján [KI] ilyen Ári, k o m p l e x számok

léteznek és \ < p < +°o mellett - amikor is az tér ún. szigorúan

normált tér - e számok egyértelmű módon vannak meghatározva, amivel a tétel igazolást nyert.

Definíció. Legyen qyy(x) olyan <2 -beli polinomvektor, melyre

| | f - L q | |^ , q(x) G

kifejezés minimális értéket vesz fel, azaz

(14)f - L q ^

akkor a (q ^ ) polinomvektor-sorozatot minimalizáló polinomvek- tor-sorozatnak nevezzük ( iV = 0,1,...).

3.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája

Legyen (q^) a 3.3 pontban értelmezett minimalizáló polinomvek­tor-sorozat.

E pontban megvizsgáljuk azt, hogy milyen esetben konvergens a (qyy) pohnomvektor-sorozat, továbbá, hogy mi lesz a polinom­vektor-sorozat határfüggvényének vektora. Feltesszük, hogy a D(L) értelmezési tartományon értelmezett L operátornak Á = 0 szám nem sajátértéke.

A bizonyítandó tétel megfogalmazása érdekében vezessük be a

0"^= ÜöX'N O

jelölést, azaz Q jelenti az összes lehetséges olyan q polinomvek- torok halmazát, amelyek eleget tesznek az Uq = 0 feltételnek.

Nyilvánvaló, hogy c és egyúttal ez D (L ), továbbá

könnyen látható, hogy Q lineáris (de nem zárt) altere D(L) -nek.

3.4 A minimalizáló polimnnvektor-sorozat konvergenciája 447

Tétel. Tegyük fel, hogy Q mindenütt síírün fekszik D(L) -ben, azaz bármely y e Ö(L) függvényvektorhoz található olyan (y^^),

{N = 0 , 1 , 2 , . . . ) ( f* -beli polinomvektor-sorozat, melyre

y-yyv («) ^ 0 .

(A norma (21), (22), (23) normák közül bármelyik lehet).

Jelentse y* az Ly = f egyenlet D(L) -beli megoldását és le­

gyen (q^v) (yV = 0,1,2,...) a 3.3 pontban értelmezett minimalizáló

(ö^^-beli) polinomvektor-sorozat, akkor

0, ha N — oo.

Bizonyítás. Vezessük be a

^N= inf J |y * -< 1,w. in)

jelölést és vessük fel azt a problémát, hogy létezik-e olyan -beli polinomvektor, amelyre a

yvp

kifejezés minimális értéket vesz fel, más szavakkal, létezik-e olyan* 0.N s Qn polinomvektor, melyre

(«) • (16)

A 3.3 ponthoz hasonlóan legyen df - dimgyv > és legyen

qb

tetszőleges bázis -bán, akkor bármely qeÖ /v polinomvektor előállítható

í/;Vq = H M k

k=\

alakban, így a fenti probléma ekvivalens olyan Af, ...,

komplex számok meghatározásával, amelyekre a

448_________ IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

k=i (II)

kifejezés minimális értéket vesz fel. A 3.3. pontban említett appro­ximációs tétel alapján ilyen komplex számok léteznek.

Igazolható, hogy l < p <00 mellett tér normált tér, így

1 < p < 00 mellett e komplex számok egyértelmű módon vannak meghatározva. Ezeket figyelembe véve létezik - éspedig 1< p <00

mellett egyetlen - olyan g polinomvektor, amelyre a (16) egyenlőség fennáll.

Figyelembe véve, hogy a feltevés szerint mindenütt sűrű

D(L) -ben, nyilvánvaló, hogy 0,ha NA 2. fejezet 2.6 pont 2. tétele alapján belátható, hogy létezik

olyan K > 0 állandó, amely mellett bármely y g D(L) függvény­vektorra

(17)

-1Valóban, az L operátorra tett feltevés alapján L létezik, és a

2 . fejezet 2.6 pont 2 . tétele szerint L"^: -> lineáris korlátos

operátor, továbbá R(l7^) = D(L) , így létezik olyan K > 0 állandó, hogy

(n) “ IITII^ (18)

-1.minden (pe függvényvektorra, így az y = L 9 jelölés beveze­

tésével (18)-ból a (17) egyenlőtlenség azonnal következik.Mivel \y *-qyv]e /) (L ) , ezért (17) alapján

II y * -<iN llw " - ^1 Ly * -LqAí IIl ,

3.4 /4 minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája 449

amiből Ly* = f figyelembevételével

l|y*-<i/v ^(«) < / : | | f - L q ^ ,

azaz (14) alapján

| |y * - q ^ ^ •

Mivel qyv G , azért Sj (8) alatti definíciója szerint

(19)

% - f-Lq'yv

Mivel az 1. fejezet 1.3 pont tétele alapján az egész Wp térben

értelmezett

lineáris korlátos operátor, azért létezik olyan Ki állandó, hogy

I l L y l I r ^ ^ i l | y («)

minden y(x) e mellett, így

S m < f - L q ^ L y * -L q ^T - ^ 1Lp (n) ’

azaz (16) alapján

így (19)-bölSn < Kiöf^,

I y * ~N , (20)

amiből —>0 alapján a tétel következik.

1. megjegyzés. Figyelembe véve az 1. fejezet (23) egyenlőség­gel értelmezett c normát, úgy a bizonyított 3.4 pont tétele szerint

w,(«)

amiből következik, hogyqyv -> y

dx dx

egyenletesen az [a,b\ -ben.

2. megjegyzés. A bizonyított tétel feltételezi, hogy minde­nütt sürü D(L)-ben. Nyilvánvaló, hogy a feltétel teljesülése a 3.1

pontban értelmezett g], gj, ■■■, gj, függvényektől függ.

Abban a speciális esetben, amikor gj = x \ ( j = 0,1,2,...), ligy

Weierstrass approximációs tételéhez hasonlóan igazolható, hogy

^ mindenütt sűrű Z)(L) -ben.

3. megjegyzés. A 3.4 pont tétele lehetőséget nyújt arra, hogy azL y = f , Uy = 0

peremérték-probléma közelítő megoldásvektorát előállíthassuk. Ez különösen egyszerű p = 2 mellett, ui. a (q^v) (A = 0,1, ...) mini­malizáló polinomvektor-sorozatot keressük

qyv = (21)k=\

alakban, ahol qj, q2, ..., q^^ tetszőleges bázis -bán, akkor

l l f - L q A - Í l , = II f I I I - ( f . L q - v ) - f ) + II t , =

= l | f H L ( 2 2 )- /t=l k=l k=lj^\

ami a változókban egy kvadratikus függvény, így

egyszerű szélsőérték számítással meghatározható, hogy a (22) kife­jezés milyen értékek mellett veszi fel minimális ér­

tékét. Az ilyen módon számított Xj állandók mellett a (21) egyen­

450 IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

egyenletesen [ű,ö] -ben, továbbá lőséggel értelmezett q^y függvényvektorra fennáll a (20) egyenlőt­

lenség, ami azt jelenti, hogy a q y polinomvektor normában

approximálja azLy = f, Uy = 0

peremérték-probléma y * megoldását, ahol az approximáció mér­

téke nyilvánvalóan a (<5' ) sorozat zérushoz való tartásától függ.A fenti közelítő eljárás gyakorlati alkalmazásához célszerű

megvizsgálni a {ő^) sorozat zérushoz tartásának gyorsaságát, ami

adott ^], g2, ■■■, gj, ... függvények mellett elvégezhető.

3.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája 451

IRODALOMJEGYZEK

Könyvek

[KI] Ahijezer, N. L: Előadások az approximáció elméletéről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951

[K2] Ahijezer, N. I. - Glazman, /. M.: Teorija linyejnüh operatorov v Hilber- tovom prosztransztve. I. „NAUKA” G. R. F. M. L. Moszkva, 1966

[K3] Aitken, A. C.: Determinants and Matrices. London, 1948 [K4] Alekszxindrov, P. Sz.: Bevezetés a halmazok és függvények általá­

nos elméletébe. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952 [K5] Angyelity, T. P.: Matrice. Naucsna Knyiga, Beograd, 1962 [K6] Beauniont, R. A. - Ball, R. W.: Introduction to modern Algebra and

Mátrix Theory. New York, 1954 [K7] Beke Manó: Determinánsok. Athenaeum Kiadó, Budapest, 1915 [K8] Bel Imán, R.: Stability Theory of Differential Equations. New York,

1954[K9] Bellman, R.: Introduction to Mátrix Analysis. M cGraw-Hill, New

York, 1963[KIO] Berezanszkij, Ju. M.: Razlozsenyije po szobsztvennüm funkcijam

szamoszoprjazsennüh operatorov. Izd. „Naukova dumka”, Kijev, 1965

[K ll] Bourbaki, N.: Topologicseszkije vektornüje prosztransztva. IL. 1959

[K12] Biick, R. C.: Studies in modern analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York, 1962

[KI 3] Burkill, J. C.: The Lebesgue integrál. Cambridge, New York, 1951 [K I4] Collatz, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen.

Akademischen Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1949 [K I5] Collatz, L : Funktionalanalysis und numerische mathematik. Sprin-

ger-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1964 [K I6] Cooke, R. G.: Infinite Matrices and Sequence Spaces. London,

1950[K17] Császár Ákos: Valós analízis. I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1983 [K 18] Czách László: Lineáris operátorok elmélete. Tanfolyami jegyzet [K 19] Day, M. M.: Linyejnüje normirovannüje prosztransztva. IL., 1961 [K20] Demulovics, B. P.: Lekcii po matematicseszkoj teorii usztojcsi-

voszti. „Nauka”, Moszkva, 1967

454 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

Dieudonné, J.: Foundations of Modern Analysis. Academic Press. New York, 1960Diinford, N. - Schwarz, J. T.: Linyejnüe operatorü. Obscsaja teorija, IL. 1963Edwards, R. E:. Functional Analysis. Theory and Applications. Holt, Rinehart and Winston, New York, ..., London, 1965 Enigin, N. P.: Linyejnüje szisztyemii obükvovennüh differenci- alnüh uravnyenyij. IÁN BSZSZR, 1963Fagyajev, D. K. - Fagyajeva, V. N.: Numerische Methoden dér linearen Algebra. VEB Deutscher Verlag dér Wissenschaften, Ber­lin, 1965,1966Fax, L.: Numerical Methods in Linear Algebra. Pergamen, Oxford, 1964Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, 2. javított kiadás. Budapest, 1998Éried Ervin: Klasszikus és lineáris algebra. Tankönyvkiadó, 2. ki­adás. Budapest, 1979Galántai Aurél: Alkalmazott lineáris algebra. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1996Gantmacher, F. R.: Matrizenrechnung. I. és II. kötet. VEB Deutscher Verlag dér Wissenschaften, Berlin, 1965, 1966 Gáspár Gyula: Mátrixszámítás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1963Gelfand, í. M.: Előadások a lineáris algebrából. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955Glazman, /. M. - Ljubics, Ju. L: Konyecsnomernüj linyejnüj analiz. „Nauka” , Moszkva, 1969Gohberg, I. C. - Krejn, M. G.: Vvegyenyije v teoriju linyejnüh neszanioszoprjazsennüh operatorov v hilbertovom prosztransztve. „Nauka”, 1965Gohberg, /. C. - Krejn, M. G.: Teorija voljteiTovü operatorov v hilbertovom prosztransztve i eé prilozsenija. „Nauka”, 1967 Grijfiths, FI. B. - Hilton, P. J.: A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics A Contemporary Interpretation. Springer- Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1978 Hadley, G.: Linear Algebra. Addison-Wesley, London, 1961 Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvki­adó, Budapest, 1983Halmos, P. R.: Finite-Dimensional Vector Spaces. 2. kiadás. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1958Halmos, P. R.: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity. Chelsea, 1951

Irodalomjegyzék 455

[K41

[K42

[K43

[K44

[K45

[K46

[K47

[K48

[K49

[K50

[K51

[K52[K53[K54

[K55

[K56[K57

[K58[K59

[K60

[K61

[K62

Halmos, P. R.: Measure Theory. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1950Hardy Zs. - Dr. Sólyom M.: Út a modern algebrához. Tankönyvki­adó, Budapest, 1972Householder, A. S.: The Theory of Matrices in Numerical Ana­lysis, Blaisdell, New York, 1964Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1944Kantorovics, L. V. - Akilov, G. P.: Funkcionalnüj analiz v normi- rovannüh prosztransztvah. Fizmatgiz, Moszkva, 1959 Kantorovics, L. K. - Krilov, V. I.: A felsőbb analízis közelítő mód­szerei. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953Kelley, J. L.: General Topology. Van Nostrand, Princeton, N. J.,1955Kelley, J. L : Introduction to Modern Algebra. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1960Kolmogorojf', A. N. - Fomin, S. V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Graylock, New York, 1957 Krejn, Sz. G.: Linyejnüe differencialnüe uravnyenyija v banacho- vom prosztransztve. „Nauka”, Moszkva, 1967 Krekó Béla: Lineáris algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1976Kurepa, Gy.: Teorija skupova. Zagreb, 1951Kuros, A. G.: Felsőbb algebra. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967Lancaster, P.: Theory of Matrices. Academic Press, New York,1969Lappo-Danilevszkij, 1. A.: Teorija funkcij ot matric i szisztyemii linyejnüh differencialjnüh uravnyenyij. ÖNTI. G. T.T.I. Lenin- grád-Moszkva, 1934Lovass-Nagy Viktor: Mátrixszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1966 Lefschetz, S.: Introduction to Topology. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1949Luxenburg, W. / i . B a n a c h function spaces. Delft, 1955Mac Dujfee, C. C.: The Theory of Matrices. Chelsea PublishingCo., New York, 1946Mathematics at a Glancé. A Compendium. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1975Mikiin, Sz. G.: Integrálegyenletek és alkalmazásuk a mechanika, a matematikai fizika és a technika egyes problémáira. Akadémiai Ki­adó, Budapest, 1953Natanszon, I. P.: Konstruktív függvénytan. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952

456 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

Neumann János: Matematische Grundlagen dér Quantenmechanik. J. Springer, Berlin, 1932

[K64J Neumann János: Functional operators. Princeton, 1950 [K65] Neumann, J. von - Morgenstern, O.: Theory of games and

economic behavior. Princeton Univ. Press, 1953 Najmark, M. A..- Linyejnüe differencialnüje operatorü. I. „NAUKA” G. R. F.-M. L. Moszkva, 1969Noble, B.: Applied Linear Algebra. Prentice Hall, Englewood Clifft, 1969Obádovics J. Gyula: Matematika. 17. kiadás. Scolar Kiadó, Buda­pest, 2002Obádovics J. Gyula: Gyakorlati számítási eljárások. Gondolat Kiadó, Budapest, 1972Obádovics J. Gyula: Numerikus módszerek és programozásuk.2. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977Obádovics J. Gyula - Szarka Zoltán: Felsőbb matematika. Scolar Kiadó, Budapest, 1999Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra példákkal. Scolar Kiadó, Budapest, 2001Obádovics J. Gyula: Taschenbuch dér Elementar Mathematik, II. Auflag. Akadémiai Kiadó, Budapest, B. G. Teubner V. Leipzig,1964Ostrowski, A. M.: Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York, 1960Petrovszkij, /. G.: Előadások a közönséges differenciálegyenletek elméletéről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951 Petrovszkij, f. G.: Lékeii po teorii integralnüh uravnyenyij. Gosztehizdat, 2. K. 1951Pleszner, A. /.; Szpektralnaja teorija linyeinüh operatorov. „Nauka”, 1965Ralston, A. - Wilf, H. S.: Mathematical Methods fór Digital Computers. I-II. kötet. John Wiley & Sons, Inc., New York, Lon­don, Sydney, 1967, 1968Rao, C. R. - Mitra, S. K.: Generalized In verse of Matrices and its Applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1971 Rédei L : Algebra. Akadémiai Kiadó, 1954Reuter, G. E. H.: An Introduction to Differential Equations, and Linear Operators. Roudedge and Kegan Paul, London, 1958 Riesz Frigyes - Szőkefalvi-Nagy Béla: Lekcii po funkcionalnomu analizu. IL., 1954Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. 2. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976

/ rodalomjegyzék 457

[K84] Rubljov, A. N.: Linyejnaja algebra. Izdatyeljsztvo ”Vüszsaja skola”, Moszkva, 1968

[K85] Rudin, W.: A matematikai analízis alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978

[K86] Rutishauser, H.: Solution of Eigenvalue Problems with the LR Transformation. NBS Appl. Math. Series, No. 49, 1958

[K87] Saaty, T. L : Lectures on Modern Mathematics. Vols I, II, III, Wiley, New York, 1963, 1964, 1966

[K88] Samanszkij, V. E.: Metodü csiszlennovo resenyija krajevüh zadacs naECVM . I-II. Kijev, 1963, 1966

[K89| Schmeidler, W.: Lineare Operatorén im Hilbertschen Raum. 1954 [K90] Silov, G. E.: Vvegyenyije v teoriju linyejnüh prosztransztv. 2. izd.

Gosztehizdat, 1956 [K91] Stone, M. H.: Linear transformations in Hilbert spaces. New York,

1932[K92] Szoboljev, Sz. L.: Nyekotorüje primenyenyija funkcionáljnovo ana-

liza v matematicseszkoj fizike. Novoszibirszk, 1962 [K93] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. 5. ki­

adás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 [K94] Sz.tyepanov, V. V..- A differenciálegyenletek tankönyve. Tankönyv-

kiadó, Budapest, 1952 [K95] Taylor, A. E.: Introduction to functional analysis. New York, 1958 [K96] Varga, R. S.: Mátrix Iterative Analysis. Prentice Hall, Englewood

Cliffs, 1962[K97] Veress Pál: Valós függvények. Budapest, 1934 [K98] Wilkinson, J. H.: Rounding Errors in Algebraic Processes, Notes

on Applied Science No. 32. Her Majesty’s Stationery Office, Lon­don; Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963

[K99] Wilkinson, J. H.: The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford Uni- versity Press, London, 1965

[KlOO] Wilkinson, J. H. - Reinsch, C.: Linear Algebra. Springer, Berlin, 1971

[KlOl] Vulih, B. Z.: Vvegyenije v funkcionalnüj analiz, „Nauka” , Moszk­va, 1967

[K102] Zunnühl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Sprin­ger Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1964

[KI 03] Yosida, K.: Functional Analysis. Springer V. Berlin-Göttingen- Heidelberg, 1965

[K I04] Ki volt igazából Neumann János. Társszerzőkkel. Obádovics J. Gyula: 1. fejezet; Az első számítógép alkalmazásával megjelenő numerikus problémák. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003

458 Mátrixok és dijf'erenciálegyenlet-rendszerek

Dolgozatok

[Dl] Agmon, S. - Nirenberg, L : Properties of solutions of ordinary differentia! equations in Banach space. Commun. Pure Appl. Math. ! 6. 2 (1963) 121-239. oldal

[D2] Bajcsay, P.: Anwendung dér Matrizenrechniing zűr Lösung gewöhnlicher, linearer Differentialgleichungssysteme mit variablen Koeffizienten. Periodica Polytechnica, Vol. 3. No. 3. (1959) 217- 231. oldal

[D3] Bajcsay, P.: Anwendung dér Matrizenrechnung zűr Untersuchung von Systemen allgemeiner, expliziter, gewöhnlicher Differential- gleichungen 77-ter Ordnung. Periodica Polytechnica, Vol. 4. No. 1.(1960) 63-83. oldal

| D4] Benedek, A. - Panzone, R.: The spaces L!’ with mixed norm. Duke Math. J. 28 No. 3(1961)

[D5] Bickley, W. G. - McNamee, J.: Mátrix and Other Direct Methods fór the Solution of Systems of Linear Difference Equations. Phil. Tran. of the R. S., London 252 A (1959-60) 69-130. oldal

[D6] Birkhojf', G. D. - Langer, R. E.: The Boundary Problems and Developments Associated with a System of Ordinary Linear Diffe- rential Equations of the First Order. Precedings Americ. Acad. 58. No. 2. (1923) 51-128. oldal

[D7] Bliss, G. A.: A Boundary Value Problem fór a System of Ordinary Linear Differential Equations of the First Order. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 28. (1926) 561-584. oldal

[D8] Bliss, G. A..- Definitely Self-Adjoint Boundary Problems. Trans­action of the Amer. Math. Soc. Vol. 44. (1938) 413-428. oldal

[D9] Bőcher, M.: Aplications and Generalizations of the Conception of Adjoint Systems. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 14. (1913 )403^20 . oldal

[DIO] Bounitzky, M. E.: Sur la fonction de Green des équations diffe- rentielles lineaires ordinaires. Journal de Math. (6), 5 (1909) 65- 125. oldal

[Dl l ] Cannan, M. C.: The Expansion Problem fór a Certain System of Ordinary Linear Second Order Differential Equations. Americ. Journal Math. 48. (1926) 169-182. oldal

[D12] Day, M.: The spaces Lp with 0< p < i . Bull. Amer. Math. Soc.

46 (1940)

Irodalomjegyzék 459

[D l3] Egerváiry J.: Mátrix-függvények kanonikus előállításáról és annak néhány alkalmazásáról. MTA III. Osztályának közleményei 3 (1953)417-458. oldal

[D l4] Egervár}’ J.: Über eine konstruktive Methode zűr Reduktion einer Mátrix auf Jordansche Normalform. Acta Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae 10 (1959) 31-54. oldal

[D l5] Forsythe, G. E. - Straus, E. G.: On Best Conditioned Matrices.Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955) 340-345. oldal

[D l6] Francis, J. G. F.: The QR Transformation - a Unitary Analogue to the LR Transformation. Parts 1 and 2, Comp. Journal, 4 (1961/62) 265-271. and 332-345. oldal

[D l7] Frey Tamás - Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlet-rendsze­rekkel kapcsolatos sajátértékproblémák néhány elvi kérdéséről. MTA Számítástechnikai Központ Tájékoztató, 8. kötet (1962) 89- 124. oldal

[D l8] Frey Tamás - Obádovics J. Gyula: O nyeszkolkih principialynüh voproszah zadacs 0 szobsztvennüh znacsenyijah otnoszityelno szisz- tyem differenciálnüh uravnyenyij. Acta Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae. 1964. 1-2. füzet, 1-28. oldal

[D l9] Frobenius, G.: Über unitáre Matrizen. Sitzungsber. Kön. Preuss.Akad. Wiss. XVI (1911) 373-378. oldal

[D20] Geljfand, I. M.: Abstrakte Funktionen und lineare Operatorén.Mateni. Szb. 44 (6) No. 2 (1938)

[D21] Giesbrecht, M.: Fást Algorithms fór Rational Forms of Integer Matrices. In Proc. ISSAC’94, 305-311. oldal

[D22] Gil, L: Computation of the Jordán canonical form of a square mátrix (using the Axiom programing language). In Proc. ISSAC’92, 138-145. oldal, Berkeley, USA, 1992

[D23] Goldstine, H. Fi. - Murray, F. J. - Neumann, J. von: The Jacobi Method fór Reál Symmetric Matrices. J. Assoc. Comp. Mach. Vol. 6 (1959)59-96. oldal

[D24] Haar A..- Zűr Theorie dér orthogonalen Funktionensysteme. Math. Ann. 69(1910)

[D25] Hille, E.: A note on Cauchy ’s problem. Ann. Soc. Polon. Math. 25 (1952)56-68. oldal

[D26] Hille, E.: Probléme de Cauchy: existence et unicité de solutions.Bull. Math. R .P . R. 1 ,2 (1957) 141-143. oldal

[D27] Jackson, D.: On the convergence of certain trigonometric and polynomial approximations. Transaction of the A mer. Math. Soc. Vol. 22. (1921) 158-166. oldal

460 Mátrixok és cUff'erenciálegyenlet-rendszerek

[D28] Kaltofen, E. - Krishnainoorthy, M. S. - Saunders, B. D.: Parallel algorithms fór mátrix normál forms. Linear Algebra and its Appli­cations 136, 189-208. oldal, 1990

[D29] Kantorovics, L. V.: Ob integrálnüh operatorah. UMN 7 vüp. 2(1956)

[D30] Karpelevics, F. L: O harakteriszticseszkih kornyah matricü nyeotricatelynümi elementami. Izv. AN SzSzSzR szer. Mát. 15. (1951) 361-383. oldal

[D 31 j Kató, T.: On linear differential equations in Banach spaces. Comm.Pure Appl. Math. 9, 3 (1956) 479-486. oldal

[D32] Kizynski, J.: Sur les opérateurs de Green des probléms de Cauchy abstraitss. StudiaM ath, XXIIl (1964) 285-328. oldal

[D33] Langer, R. E.: The Boundary Problem of an Ordinary Linear Differential System in the Complex Domain. Transaetion of the Amer. Math. Soc. Vol. 46. (1939) 151-190. oldal

[D34] Lehmer, D. H.: A Machine Method fór Solving Polynomial Equations. Journal of the Association fór Computing Machinery, 8(1961) 151-162. oldal

[D35] Ljuhics, Ju. L: Ob operatornüh normah matric. UMN XVIII. Vüp.4 (1963) 161-164. oldal

[D36] Lax, P. D.: Differential Equations, Difference Equations and Mátrix Theory. Communs. Pure Appl. Math, Vol. 11 (1958) 175- 194. oldal

[D37] Luxenburg, W. A. J. - Zaanen, A. C.: Notes on Banach function spaces, I-IV . Proc. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A -66 No. 2, 3(1963)

[D38] Makai, E.: A Class of Systems of Differential Equations and its Treatment with Mátrix Methode. L, II. Publ. Mát. Debrecen 3.(1957), 5-37 0 .5 (1958)

[D39J McEwen, W. H.: Problems of Closest Approximation Connected with the Solution of Linear Differential Equations. Transaetion of the Americ. Math. Soc. Vol. 33. (1931) 979-997. oldal

[D40] Neumann, J. von: Zűr algebra dér Funktionaloperationen und dér Theorie dér normalen Operatorén. Math. Ann. 102 (1929) 370- 427. oldal

[D41] Neumann, J. von: Über Funktionen von Funktionaloperatoren.Math. Ann. 32 (1931) 191-226. oldal

[D42] Neumann, J. von: Allgemeine eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. Math. Ann. 102 (1929-1930) 49-131. oldal

[D43] Neumann, J. von: Somé mátrix inequalities and metrization of mátrix space. Izv. In-ta mát. i méh. Tomck.un-ta 1 (1937) 286- 300. oldal

Irodalomjegyzék 461

[D44]

[D45]

[D46]

[D47]

[D48]

[D49]

[D50J

[D51]

[D52]

[D53]

[D54]

Neumann, J. von - Goldstine, H.: The Numerical Inverting of Matrices of High Order. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53 (1947) 1021-1099. oldalObádovics J. Gyula: Eigenvalue problems of differential equation systems and the computation of eigenvalues with the use of electronic digital computing machines. N.-ipari Műszaki Egyetem Közi. XXIIL 1964.Obádovics J. Gyula: Die numerische Lösung mit einem Diffe- rentialgleichungssystem verbundener Randwertprobleme mit dem programmgesteuerten Ziffernrechenautomaten. Wissenschaftliche Zeitschrift dér Technischen Hochschule Magdeburg, 9. 1965. Heft4 . 401-407. oldalObádovics J. Gyula: Isszledovanyije nailucsseva priblizsenyija k resenyiju krajevüh zadacs dija szisztyem obüknovennüh linyejnüh differenciálnüh uravnyenyij n-ovo porjadka. Matematikai Világ Kongresszus, Moszkva, 1966. Teziszü 6. 41. oldal Obádovics J. Gyula: Isszledovanyije nailucsseva priblizsenyija k resenyiju krajevüh zadacs dija szisztyem obüknovennüh linyejnüh differenciálnüh uravnyenyij v prosztransztve L^,[a,b], NME Idegen-

nyelvű Közleményei. XXXI. kötet. 1970. 373-379. oldal Obádovics J. Gyula: Opregyelenyije i isszledovanyije prosztranszt-

va vektorfunkcii sz odnoj peremennoj W p \a ,b \. NME Idegen­

nyelvű Közleményei. XXXI. kötet. 1970. 381-395. oldal Obádovics J. Gyula: Priblizsenyije polinomialnümi vektorami k resenyiju ki'ajevoj zadacsi szisztyemü differenciálnüh uravnyenyij. Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös nominatae, separatum Sectio Computatorica, Tomus, 1. 1978. 99-107. oldalObádovics J. Gyula: Differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatosCauchy-félt probléma Lp[a,b] -beli együtthatófüggvényekkel.

NME Közleményei IV. sorozat. Természettudományok, 22/1976 kötet, 1-3. füzet, 15-37. oldal.Ortega, J. M.: An Error Analysis of Householder’s method fór the Symmetric Eigenvalue Problem. Numer. Math. 5 (1963) 211-225. oldalOzello, P.: Calcul Exact Des Formes De Jordán et de Frobenius d ’un Matrice. PhD thesis, Université Scientifique Technologique et Medicale de Grenoble, 1987Parlett, B. N.: The Development and Use of Methods of LR Type. SIAM Review, 6 (3) (1964) 275-295. oldal

462 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

[D55] Pariéit, B. N.: Convergence of the QR Algorithm. Numer. Math. 7 (1965) 187-193. oldal

[D56] Perov, A. /.; O mnogomernüh linyejnüh differencialnüh uravnyenyijah c posztojannümi koefficientami. DÁN SzSzSzR 154 (1964) 1266-1269. oldal

[D57] Pustüljnyik, E. L: Ob odnom predsztavlenyii linyejnüh vpolne nyeprerüvnüh operatorov, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah Banaha. Izv. viizov, szer. Matem. No. 2 (15) (1960)

[D58] Pustüljnyik, E. L: Ob integralnüh operatorah, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah Lp . DÁN SzSzSzR 146 No. 6 (1962)

[D59] Pustüljnyik, E. L: O szhodimoszti rjadov po szobsztvennüm funkcijam vpolnye nyeprerüvnovo operatora v banahovüh pro­sztransztvah. SzMZs 4 No. 3 (1963)

[D60] Reid, T.: Properties of Solutions of an Infinite System of Ordinary Linear Differential Equations of the First Order with Auxiliary Boundary Conditions. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 32. (1930) 284-318. oldal

[D61] Reid, IV. T.: Generalized Green’s Matrices fór Compatible Systems of Differential Equations. Meric. Journal Math. 53 (1931) 443- 459. oldal

[D62] Reid, \y. T.: A System of Ordinary Linear Differential Equations with Two-point Boundary Conditions. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 44. (1938) 508-521. oldal

[D63] Riesz, F.: O linyejnüh funkcionalnüh uravnyenyijah. UMN 1 (1936) 175-199. oldal

[064] Riesz, F.: O funkcija ermitovüh operatorov v prosztransztve HU- berta. UMN IX (1941) 182-190. oldal

[D65] Samanszkij, V. E.: Resenyije obobscsennoj krajevoj zadacsi dija szisztyemü obüknovennüh differencialnüh uravnyenyij sz iszpol- zovanyiem zadacs Cauchy. UMZs t. XV. No. 1. (1963)

[D66] Storjohann, A. - Villard, G.: Algorithms fór similarity transforms.In Seventh Rhine Workshop on Computer Algebra, Bregenz, 2000

[D67] Schur, A..- Zűr Entwicklung willkürlicher Functionen nach Lösungen von Systemen linearer Differentialgleichungen. Math. Annáién 82 (1921) 213-236. oldal

[D68] Tarnarkin, J. D.: On the compactness of the space . Bull. Amer.Math. Soc. 38 (1932)

[D69] Traub, J. F.: On Lagrange-Hermite Interpolation. J. Soc. Indust.Appl. Math. 12 (1964) 886-891. oldal

[D70] Turing, A. M.: Rounding-Off Errors in Mátrix Procsses. Quart. J. Mech. 1 (1948)287-308. oldal

Irodalomjegyzék 463

[D71] Whyburn, W. M.: On the Green’s Funktion fór Systems of Differential Equations. Annals of Math. (2) 28 (1927) 291-300. oldal

[D72] Wilkinson, J. H .: Error Analysis of Direct Methods of Mátrix In version. J. Áss. Comp. Mach. 8 (1961) 281-330. oldal

[D73] Wilkinson, J. H.: The Calculation of the Eigenvectors of Codiago- nal Matrices. Comput, J. 1 (1958) 148-152. oldal

[D74] Zahrejko, P. P.: O nyekotornüh szvojsztvah linyejnüh operatorov, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah . DÁN SzSzSSzR 159 No. 5

(1964)

NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ

A, Á

abszolút- egyenletesen kon­

vergens, 93- folytonos függ­

vényvektor, 365- konvergens sor,

139additív operátor, 164,

169adjungált mátrix, 35

- operátor, 197 --m ag te re , 199

alaphalmaz, 17 alappolinom, 96, 263.

264,291- együtthatója, 291

alaprendszer, 400- diagonálmátrixa,

253, 256, 260,262, 268

aldetermináns, 33 - , előjelhelyes, 33

algebrai invariáns, 168- struktúra, 168

állandó együtthatójú- differenciálegyen-

let-rendszerek,245

- - mátrixa, 245- harmadrendű

homogén lineáris differenciál­egyenlet-rendszer, 245,246

- lineáris differen- ciálegyenlet-rend- szerek, 248

- megoldásvek­tora, 327

alsó háromszögmátrix, 26

általános- megoldás, 250,

292“ megoldásfüggvé­

nyek, 256, 262- megoldás függ­

vényvektora, 253, 256,262,265

- peremértékprob- léma megoldása, 415

általánosított polinom- vektor, 439

altér, 62, 114, 116, 396- dimenziója, 62,

115- , invariáns, 187 -nulleleme, 115 - , ortogonális kiegé­

szítő, 154 valódi, triviális, 52

alterek, 153- dimenzióinak

összege, 155- direkt összege, 116

annuliáló polinom, 92 approximáció mértéke,

451aszimptotikusan stabil,

251asszociatív, 17 átmenet mátrixa, 83,

327automorfizmus, 168,

169

B

Bajcsay P., 358 Banach-iér, 118, 120,

121, 136, 363, 365 -, komplex, 137

Banach-lélú, 434 Banach-Cacciopoli-

tétel, 127 Banachiewicz Th., 69 bázis, 56

-, kanonikus, 56 - , ortogonális, 56 -, ortonormált, 56

báziselöállítás, 163 bázistranszformáció, 57 bázisvektorok, 56 belső pont, 106 bihneáris alak, 88

-m átrixa, 88 binomiális tétel, 49 Birkhoff, C. a , 358 Bliss, G. 358 blokkmátrix, 43 blokkok

- méretének meg­állapítása, 310

- méretének növe­kedési sorrendje, 309

~ rendje, 302 blokkokkal végzett

műveletek, 45 Bőcher, M„ 357 Bolzano tétele, 129 Sore/-féle lefedési

tétel, 124 Bounitzky, M. E., 357 bővített mátrix, 63, 67

466 Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

C{a,b)-iér, 119 Cantor-íé\t közöspont-

tétel, 110 Cauchy-

- feladat «-szer folytonosan diffe­renciálható meg­oldása, 395

- féle egyenlőtlen­ség, 53

- féle feladat mát­rixdifferenciál­egyenletre, 406

- féle probléma, 358, 382, 385, 394, 396, 397,398, 405

— , homogén, 400 -sorozat, 109, 127

Cauchy-Schwarz-féle. egyenlőtlenség, 132

Carman, M. C„ 358 Cayley-Hamilton~téte\,

92centrális görbe, 239 Cholesky, A. L., 69 Crout, P. D„ 69 CT- és LU-felbontás

kapcsolata, 77 CT-fel bontás alkalma­

zása, 72 C-tér, 121

Cs

csoport, 169 - , additív, 169

D

D operátor, 172 de Morgan-

~ azonosság, 19

-formulák, 107 deriváltvektorok p-ah-

szolűt értéke, 362 derogatórius, 315

- nilpotens mátrix, 47

- transzformációja, 315

Descartes-íélt szorzat, 19, 105, 133

determináns, 32- főátlója, 32- í-edik sora szerinti

kifejtése, 33- mellékátlója, 32

determinánsok szor­zástétele, 34

diadikus szorzat, 30 diagonális, 25

-mátrix, 25,231,234- hipermátrix, 338

diagonalizálható operá­tor, 222,223, 229

differenciálegyenlet- paramétertől függő

megoldása, 408differenciálegyenlet­rendszer, 338, 357

- általános megol­dása, 249

- , homogén, 381- mátrix alakja, 248- megoldása, 407- új módszerrel,

251differenciáloperátor,

165, 172, 188, 379, 381,411,420, 428, 444

dimenzió, 51 direkt összeg, 116, 154,

183,191 direkt szorzat, 19 disztributív, 18

D„ diagonális mátrix, 255

Dwyer, P. S., 69

E ,É

egzisztenciatétel, 382 egy közös ortonormált

bázis létezése, 233 egyenlet

- (egyetlen) megol­dása, 170, 173

- , elsőfajú lineáris,170

” , homogén, 170 - , inhomogén, 170

egyenlet Z?]-beli

megoldásának léte­zése, 382

egyenletesen stabil, 251 egyenletrendszer, 63

- determinánsa, 68- egyetlen megol­

dása, 64- , gyengén meghatá­

rozott, 147 - , homogén, 63, 64 -, inhomogén, 63- mátrix alakja, 63,

423,425- mátrixának rangja,

443- mátrixmegoldása,

424-megoldása, 180

egyenlőtlenség- , Cauchy-Schwarz-

féle, 132, 133- - függvényvek­

torra, 372 egymásba skatulyázott,

110egység felső három­

szögmátrix, 67

Név- és tárgymutató

egységleképezés, 79 egységmátrix, 25, 179

-jelölése, 379 szemetes, 271 tiszta, 257

egységoperátor, 174, 177, 179,212,213, 391, 408

egységvektorok, 156 együtthatók

- kerekítési hibával, 268

- közötti kapcsolat,265

együtthatómátrix, 249, 379- determinánsa, 255 ~ minimálpolinomja,

251ekvivalenciareláció, 84 ekvivalens

~ mátrixok, 41- normák, 118, 136,

370elégséges feltétel, 250 elem

- (additív) inverze, 112

- báziselőállítása,194

- képe, 159- koordinátái, 156,

162, 192- koordinátáinak

megváltozása,217

-normája, 131- ortogonális vetü-

lete, 208elemek

- báziselőállítása,163lineárisan függő, 112

467

- lineáris kombiná­ciója, 143

-távolsága, 117 elemi

- bázistranszformá­ció, 59

~ sortranszfomiáció, 67

elnyelési tulajdonság, 18

előjeles aldeterminán- sok, 36

elsőfajú lineáris egyen­let, 170

értékkészlet, 20 értelmezési tartomány,

20eukHdeszi

- norma, 54, 134,136

- té r , 54, 114, 131 valós, 133

------ jelölése, 359------ fogalma, 133-vektortér, 112, 134

exponenciális mátrix sajátértékei, 303

exponenciális mátrix­függvény, 249, 298,302, 325

- normál alakja,247,303, 305,306, 326, 327

- í^-adrendű normál- alakja, 303

Fa//:-módszer, 28 fedőrendszer, 122 felcserélhető operáto­

rok, 227, 228 félcsoport, 169 felső háromszögmátrix,

26, 66

fixpontegyetlen, 127

folytonos függvény, 128,129 -inverze, 130

folytonos függvény- vektor-sorozat, 372 folytonosan differen­

ciálható- függvénymátrixok

halmaza, 362- függvényvektorok

halmaza, 362főminor, 42 főtengelytétel, 237 fővektor eljárás, 315 Frobenius-

~ formula, 308, 309, 313

- féle (kísérő) mát­rix, 306

funkcionál, 193 -jelölése, 193

kvadratikus, 195 kvázi lineáris, 195

- , lineáris, 193 függvény, 20

- alsó, ill. felső határa, 129

- , folytonos, 125 -határértéke, 125- inverze, 22 - , koriátos, 129 - , közvetett, 22 -normája, 120 - , összetett, 22

pontban folyto­nos, 126

függvények- kompozíciója, 22- skaláris szorzata,

140, 141- távolsága, 120

függvényérték, 20

Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

függvénymátrix, 361, 386,411- -normája, 364

- , Lebesgue-érX&l&m- ben integrálható,363

függvényrendszerortonormált, 145

függvény vektor, 361, 388- deriváltja, 361- integrálja, 362- normája, 362- hp -normája, 363,

364- -tér, 369

függvényvektor-soro-zat, 363, 377- konvergenciája,

369függvényvektorok

- bázisa, 441- halmaza, 365

G integrál operátor, 435 G lineáris korlátos

operátor, 437 G operátor sajátértékei,

436CöMíí-eliminációs

- eljárás, 62- módszer, 66

generáló elem, 60 generált altér, 54 generátorrendszer, 54 generátum ortonormált

bázisa, 144 görbe középpontjának

koordinátái, 240 grafikus megoldás, 148,

150, 151

Gram-Schmidt-íé\t el­járás, 146,154

Greew-féle függvény­mátrix, 358, 421,422,423,428, 433- egzisztenciája, 425- megadása, 424,

427- unicitása, 425

Gy

gyengén meghatározott egyenletrendszer,147

gyökök multiplicitása, 190

H

halmaz, 15-, diszjunkt, 17- eleme, 15, 16- határpontja, 107- inverz képe, 21- izolált pontja, 108 -jelölése, 15- képe, 20- , kompakt, 123 - , korlátos, 110- külső pontja, 107- lezárása, 107- megadása, 16 - , megszámlálha-

tóan végtelen, 15- müvelettulajdon-

ságai, 17- , nyílt, 107- ősképe, 21- , összefüggő, 128 - , teljesen korlátos,

123- torlódási pontja,

108üres, 16

- , végtelen, 16 zárt, 107

halmazok- , egyenlő, 16 - , ekvivalens, 19- érintkezési pontja,

107- metszete, 17 -uniója, 17

halmazon folytonos függvény, 126

halmazosztály, 17, 106,122

hányadospolinom, 97 háromszög-egyenlőt-

lenség, 118, 133 háromszögmátrix

alsó, 26 - , felső, 26

háromszögtartomány, 426

hasonló mátrixok, 84, 298, 299, 301

hasonlósági transzfor­máció, 315

határelem, 123 határértékmátrix, 90, 94 határozadan integrál­

operátor, 166 hatványhalmaz, 19 hatványsor, 93

- , divergens, 93- konvergenciaköre,

93- konvergenciakö­

rének sugara, 94-, konvergens, 93

Hermite, CH., 87- -féle mátrixpoli-

nom, 252, 286,290

- -féle polinomokkal kapott megoldás­függvények, 289

Név- és tárgymutató

Hermite-Lxigrange-íé\tinterpolációs poli-nom, 95,97, 100- előállítása, 96

hermitikus- (önadj ungált)

transzformáció, 87- kvadratikus alak,

88- mátrix, 87, 89

hibabecslés, 275 hibamátrix, 274, 276,

284, 288, 289, 295- legnagyobb ab­

szolút értékű eleme, 284

- vizsgálata, 296 hipermátrix, 45, 412,

424hipervektor, 45, 405 homeomorf

- leképezés, 130- terek, 130

homeomorfizmus, 130 homogén

- differenciálegyen­let-rendszer

- - kezdeti feltételtkielégítő meg­oldásfüggvényei,257

- alaprendszere, 418

- egyenlet inhomo­gén peremfeltétel­lel, 414

- lineáris differen­ciálegyenlet-rend­szer együttható­mátrixa, 253

- lineáris egyenlet,170

- megoldása, 171

- hneáris egyenlet­rendszer, 64, 180, 189, 443

- megoldása, 190- mátrix-differen-

ciálegyenlet, 403, 418

- alaprendszere, 404

- - általános megol­dása, 293

- operátor, 170- rendszer, 252- általános megol­

dása Lagrange- féle mátrixpoli- nommal, 263

homomorfizmus, 168,169

Hölder-egyerűötienség, 137,361,374, 390

I , í

idempotens, 18- (projektor) mátrix,

47,48indexhalmaz, 18, 122,

123inhomogén differen-

ciálegyenlet-rend- szer, 252, 254- megoldása, 264,

270- homogén perem-

feltétellel, 414- általános meg­

oldása, 254integrál maradéktag,

367integráloperátor, 166,

433,435- , Volterra-típusú,

365

integrálegyenlet-rend- szer, 385, 391,435- egy és csak egy

megoldása, 394- megoldása, 383,

385, 386, 393,394, 437

- megoldásának uni­citása, 395

integrálegyenlőtlenség Lebesgue-integrál- ható függvény- vektorokra, 372

interpolációs polinom, 95

intervallum, 129 invariáns

- , algebrai, 168 -altér, 187,225- sajátalterek dimen­

ziója, 309invertálható együtt­

hatómátrix, 273 inverz

- mátrixok elemei­nek abszolút különbsége, 273

-operátor, 160, 169, 182

- értékkészlete,160

- létezése, 170 inverzmátrix

- által generált ope­rátor, 180

- , instabil, 147 - , stabil, 147

izolált pont, 126 izometrikus

-leképezés, 158- operátor, 199, 200,

202-terek, 158, 162

470 Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek Név- és tárgymutató 471

izomorf- és izometrikus le­

képezés, 192, 220, 235,200

- leképezés, 157,158, 161, 163, 173, 184

- terek dimenziója,161

- vektorterek, 85 izomorfizmus, 85, 163,

168, 173,211

Jacobi-fé\c mátrix, 104 jó közelítő mátrix, 285 Jordan-íélo.

- blokk, 300- rendje, 326- mátrix, 301, 316- egyszerű diago-

nális mátrixa, 316, 320

- - transzformációs mátrixa, 302, 306, 320,325, 330

- normálalak, 247

K

kanonikus- alak, 224- képvektorai, 82- bázis, 56

karakterisztikus egyen­let, 86, 190, 224- gyökei, 86, 220,

299- kettős gyökkel, 260- többszörös gyö­

kökkel, 254karakterisztikus poli- nom, 97, 190, 222

- gyöktényezös egyenlete, 255

- gyöktényezős elő­állítása, 92

képtér, 80, 115 két függvény skaláris

szorzata, 142 két vektor összege, 138 két vektor skaláris szorzata, 133 kezdeti

- éitékvektorral adott

- euklideszi tér, 136- konjugált képzés,

131,194- vektortér, 112

kondicionáltság-jellemzése, 147- vizsgálata, 151

kondicionáltságot jel­lemző számok, 148

konjugált komplex

- megoldásvektor, 293

- - koordinátáinakkülönbsége, 274

- megoldásvektorok különbségének koordinátái, 274, 275

közelítővektor, 294 közönséges

megoldás, 251 gyökpár, 272 - n-edrendü lineáris- feltétel, 249 konstans oszlopvektor. differenciálegyen-- feltételek, 383, 406 249,254 let-rendszer, 357- feltételrendszert kontrakció (kontraháló - polinomvektor.

kielégítő meg­ leképezés), 127 440oldás, 245,249 kontrakciós tétel, 127 közös ortonormált

— oszlopvektora. konvergencia bázis, 228327, 254 - euklideszi normá­ Kronecker-fé\e szim­

- feltételt kielégítő ban, 136 bólum, 25,379partikuláris meg­ - ekvivalens nor­ különbséghalmaz, 18oldás, 255, 262, mákban, 370 különbségmátrix, 26293 - értelmezése, 369 kvadratikus

kezdetiérték-probléma - -sugár, 95 - alakmegoldása, 407 - -kör, 93 — , negatív definit.

kiegészítő alterek, 116 koordináták, 56 '89klasszikus - függése a bázistól. — , pozitív definit.

- egzisztencia- és 216 89unicitástételek. - közötti összefüg­ — együtthatói, 235381 gés, 218 - - koordinátás

- megoldási mód­ korlátos előállítása, 235szer, 260 -függvény, 129 — , szimmetrikus.

komformábilis, 28 -halm az, 110 206,235kommutatív, 17 környezet, 106 - funkcionál, 195,kompakt halmaz, 122, közelítő 196,206,234

129 - együttható mátrix, - függvény, 450- folytonos képe. 245, 294 - mátrix, 46

129 - mátrix, 285 - - főátlója, 25kompatibilis, 28 - mankómátrix, 268 - mátrixokkomplementer halmaz. — alaprendszere. polinomja, 48

18, 107 276 kvázidiagonális Jor-komplex - megoldás, 334 dan-féle alak, 300

- értékű kétváltozós — helyes jegyeinek kvázilineáris funkcio­mérhető függvé­ száma, 277 nál, 195,197nyek, 386 — módszere, 267

L differenciáloperátor, 433- értelmezési tarto­

mánya, 415L lineáris korlátos ope­

rátor, 434 L operátor sajátértéke,

417,418,419, 436 Lo lineáris korlátos

operátor, 396 I2 lineáris tér, 138 l2 tér, 138Lagrange-féle, interpo­

lációs- polinom, 96- mátrixpolinom,

253,257, 157, 158, 161,260, 163,264, 173,184

Langer, R. S., 358 Lappo-Danilevszkij, I.

358

- értelemben integ­rálható függvény­vektor, 363, 371

- integrál, 141- integrálható

függvény, 387- mérhető halmaz,

140- mérték, 364

leképezés, 20, 21, 79- , bijektív, 85- elem és vektor

között, 157- , folytonos, 127

homeomorf, 130- , in vertálható, 21, 22- inverze, 80- , izometrikus, 158- , izomorf, 157, 161

kontraháló, 127

- , kölcsönösen egy­értelmű, 21, 160,163hneáris, 80

leképezés (operátor), 159,160

lényeges szupremum,364

La lineáris tér, 139 lineáris

- altér, 52- differenciálegyen­

let-rendszer meg­oldása Jordan-íé\Q mátrixszal, 306

- differenciáloperá­tor, 379

- egyenletrendszer, 63

-funkcionál, 193, 196

-kombináció, 54, 81 — , nemtriviális, 54 — , triviális, 54- normált tér, 117,

119, 369- operátor, 164,166,

169, 179,420- által generált

mátrix, 211- diagonalizálha-

tóságának felté­tele, 229, 231

- hatványai, 181- -, indefinit, 238- inverze, 184- magtere, 171- nulltere, 171- - sajátvektora, 86 --po linom ja, 181 — , pozitív definit,

238— , pozitív szemi-

definit, 238

472 Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

- tulajdonságai,164

- operátorok- halmaza, 164,

174--je lö lése , 164- szorzata, 167- teret önmagára le­

képező, 174-té r , 111,365- axiómái, 111 — , véges dimen­

ziós, 116- transzformáció, 79- vektortér, 51

lineárisan- független, 55, 112- - alaprendszer,

263- függvényvekto-

rok, 445- megoldás-vekto­

rok száma, 443- sajátelemek, 188- összefüggök, 55

Ljapuno-fé\e stabilitás,245, 249

l/?-tér, 121LU-felbontás, 74, 76

- algoritmusa, 74 LUP-felbontás, 79

M

magmátrix, 386, 435 magtér (nulltér), 80,

115,171- elemei, 186

Makai E., 358 mankómátrix (közelítő

mátrix), 245, 268, 294, 332, 340

MAPLE program, 246 maradékpolinom, 97

- fokszáma, 97

másodrendű- determináns

kifejtése, 32- felület, 238- középpontjának

koordinátái, 243- görbe, 238

mátrix, 23, 178~, adjungált, 36- által generált ope­

rátor, 179, 189, 210

- inverze, 180- általános eleme, 23- annulláló poli-

nomja, 91-, átlós (diagonális),

25- , bővített, 63- CT-felbontása, 76- , derogatórius nil-

potens, 48- -egyenlőtlenségek,

50- elemei, 360- elemi osztói, 301- elemi sor-, ill.

oszloptranszfor­mációi, 40

- ellentettje, 27- , ferdén szimmetri­

kus, 27- fődiagonálisa, 25

hatványfüggvény, 298

- hermitikus-konju- gáltja, 31

- , idempotens, 47- , invertálható, 35-jelölése, 23, 360- Jordan-bázisa,

300- Jordan-féle alakja,

300

- Jordan-féle. nor­málalakjának egy­értelmű felírása, 307

- karakterisztikus poUnomja, 92

- (kétoldali) inverze, 35

- komplex konju- gáltja, 31

- , kvadratikus, 24- minimálpoli-

nomja, 92- , n-edrendü, 25, 27 - , négyzetes, 24 - , nemszinguláris,

35-, nilpotens, 47- normája, 49, 89- normálalakja, 326- «-tényezős

szorzata, 47- nyoma (spurja), 38 - , ortogonális, 37- , önadjungált, 31- -összefüggések, 37- összes sajátértéke,

190- p-abszolút értéke,

360-, p indexű nilpo­

tens, 47 -, periodikus, 48- periódusa, 48- -polinom, 89, 91 - , pozitív definit, 42- rangja, 39, 45, 61,

62- , reguláris, 35, 249- sajátértéke, 86,

189, 221,300- sajátvektora, 86,

189- , skalár-, 25

Név- és tárgymutató 473

- spurja (nyoma), 38- számmal való

szorzása, 26- , szimmetrikus, 27,

32-, szinguláris, 35 -, transzponált, 24 -, unitér, 38, 83

mátrix-differenciál­egyenlet, 401- alaprendszere,

407,419,422- megoldása, 402,

406,419- -re vonatkozó

peremértékprob- léma, 416

mátrixfüggvény, 101,264,290,292,293- deriválási

szabályai, 102- deriváltja, 101- határozott integ­

rálja, 103- integráljának tu­

lajdonságai, 103mátrixhatványsor, 93

-, abszolút konver­gens, 101

- konvergenciája, 93 - , konvergens, 94- n-edik szelete, 94- összege, 94, 95

mátrixnormák, 49 mátrixok

- diadikus szorzása, 30

-, egyenlő, 24 - , felcserélhető, 30 ~, hasonló, 84- hatványa, 46-, konformábilis, 45- különbsége, 26- összege, 26

- polinomja, 48- sorozata, 90- szorzata, 28- szorzatának deter­

minánsa, 221mátri x-peremérték-

probléma megol­dása, 417

mátrixpolinom, 48,290,291

mátrixsor- , abszolút konver­

gens, 91, 298 - , konvergens, 90- összege, 90

mátrixsorozat- határértéke, 90 - , konvergens, 90

mátrixszorzás- egységeleme, 30 - , jobbról lineárisan

független, 402- tulajdonságai, 30

megoldás- , korlátos, 250 - , közelítő, 252- modálmátrixos

módszerrel, 288- , pontos, 252

megoldások koordiná­táinak hibakorlátja, 286

megoldásvektorokkoordinátái- különbsége, 274- különbsége stabil

rendszernél, 274- különbségének

becslése, 276merőleges vektorok,

135metrika, 105, 122 metrikus tér, 105, 117,

119

- elemei (pontok), 105

- , összefüggő, 128 - , teljes, 110, 111

mindenütt sűrű, 448, 450

minimálegyenlet, 255, 267- gyökei, 254

minimalizáló polinom-vektor-sorozat, 446, 447,450- konvergenciája,

446minimálpolinom, 92,

260, 263- egyszeres zérus­

helyekkel, 252- előállítása, 92- többszörös zérus-

hellyel, 285,290Minkowski-féle egyen­

lőtlenség, 137 minor, 39 minormátrix, 39

-jelölése, 41 modálmátrix, 240, 243,

253- és inverzének

szorzata, 257, 269- inverze, 268- ortonormált, 240,

243- oszlopvektorai,

258modálmátrixos

- megoldás, 336- megoldási eljárás,

252- módszer, 259,

266multiplicitás, 261 műveletek mátrixok­

kal, 26

474 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

művelettartó- leképezés, 163,

1Ő4- operátor, 161, 163

N

n dimenziós- euklideszi tér, 213- vektorok, 51- vektortér, 54

«-edfokú algebraiegyenlet, 190

«-edrendű- közönséges lineá­

ris differenciál- egyenlet-rendszer, 381

- lineáris differen­ciáloperátor, 441

- négyzetes mátrix, 178,210,213

Najmark, M. A., 358 negatív definit, 89 negyedfokú karakte­

risztikus egyenlet, 338

négyzetesen integrál­ható függvények tere, 140

nem stabil differenciál- egyenlet-rendszer, 275

nemderogatórius, 315- mátrix, 315- nilpotens mátrix,

47nemtriviális megoldás,

250Neumann, J., 147 nilpotens mátrix, 47 nm-edrendü aldetermi-

náns, 420 norma, 49

- axiómák, 360, 368

- feltételek, 49- követelmények,

135-tulajdonságok, 132

normában konvergens sorozat, 117 normák

- által indukált kon­vergenciák, 376 ekvivalens, 374

- értelmezése

térben, 368 normálalak, 45 normális operátor, 231 normált

- elem, 142 - té r , 117, 120- terek teljessége,

117normatulajdonságok,

368nullaelem, 139 nullamátrix, 24

- rangja, 39 nullaoperátor (zérus­

operátor), 167

Ny

nyeregfelület, 242 nyílt gömb, 106

- lezárása, 111 nyílt halmaz, 106, 128 nyújtás operátor, 177 nyújtó operátor, 174

0 ,Ó

operátor, 20, 159 additív, 164

- , adjungált, 197- által generált

kvadratikus funk­cionál, 195

- , diagonalizálható, 223

-értékkészlete, 159, 165, 183,365

- értelmezési tarto­mánya, 159, 160,365

-, hermitikus, 197 - , homogén, 164,

170-integrálja, 185 - , inverz, 160, 169,

182-inverze, 169, 179 - , izometrikus, 199- képtere, 183, 429- két különböző bá­

zisban, 219- , lineáris, 164- magtere, 183 -m átrixa, 176- mátrixának jelö­

lése, 211- , müvelettartó, 161 - , normában konver­

gens, 391 - , normális, 231 - , önadj ungált, 197,

231- ortonormált saját-

elemrendszere,227

-polinomja, 181 - , projektor, 175- rangja, 185 -rezolvense, 186- sajáteleme, 186,

221-sajátértéke, 186,

189, 220, 226,420

-spektruma, 186- számmal való

szorzata, 167, 180

Név- és tárgymutató 475

- , szimmetrikus (hermitikus), 197

-tulajdonságai, 179 - , unitér, 200

operátorok- közös sajáteleme,

228- mátrixa-összege, 166, 180 - , páronként felcse­

rélhető, 229- szorzása- asszociatív, 168- disztributív, 168 - , tiszta diagonális,

229- véges dimenziós

terekben, 183operátorokkal végzett

műveletek, 213 operátorszorzás

- nemkommutatív, 168

ortogonális- alterek, 154- bázis, 56, 145- elemek, 141- kiegészítő altér,

154,155,199, 226- mátrix, 37- operátor (unitér

operátor), 203- összeg, 154 -rendszer, 144- transzformáció,

203-vektorok, 135- vetítő operátor,

208, 209ortogonalitás jele, 141 ortogonalizációs eljá­

rás, 146 ortogonalizált egyenlet­

rendszer, 149

ortonormált- bázis, 56, 143, 146,

155,156, 192, 201, 210,212,216

- báziselemek, 217, 218,222

- modálmátrix, 240, 243

-rendszer, 142, 143, 216

oszlopmátrix, 23, 43 oszlop vektorok, 23, 24,

51, 192,359- összeadása, 51- számmal való

szorzása, 51

Ö,Ö

önadj ungált-m átrix, 215, 234- operátor, 197, 204,

209,215,231,234— , diagonalizálha­

tó, 225 --m átrixa , 214, 236- páros hatványa,

207— , pozitív, ill. ne­

gatív definit, 206 — , pozitív, ill. ne­

gatív szemidefi- nit, 207

- sajátelemei, 205- sajátértékei, 205- operátorok, 230- diagonalizálha-

tósága, 233- szorzata, 227

összefüggő- halmaz, 128, 129- metrikus tér, 128 -részhalmaz, 129

összegmátrix, 26- kiszámítása, 95

paraboloid általánosegyenlete, 242

paraméteres végtelensok megoldás, 69

páronként- merőleges saját­

elemek, 223- ortogonális saját-

elemrendszer, 231particionálás, 43 partikuláris

- megoldás, 254,269,293

- megoldásfüggvé­nyek, 254, 293

- megoldásvektor,253

peremérték-probléma,411,414- egyetlen megol­

dása, 433- és az integrál-

egyenlet-rendszer,435

- közelítő megoldás­vektora, 450

- megoldása, 430- megoldhatósága,

420,428, 429- visszavezetése

integrálegyenlet­rendszerre, 435

peremfeltétel, 412, 413,424- alakja, 417

periodikus mátrix, 48 Pitagorasz-téte\

- , térbeli, 156 pivotálás, 60 pivotelem, 60 polinom, 91

- deriváltja, 263

476 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

- gyöktényezős alakja, 190

- koordinátái, 114- legnagyobb közös

osztója, 93polinomvektor, 250,

369, 385, 394, 439, 440,444,447, 448- koordinátái, 440- -sorozat határfügg­

vényének vektora, 446

polinomvektorok hal­maza, 442

pont nyílt környezete, 107

pontos és közelítő meg­oldásvektorok, 274

pontosság, 286 pontsorozat konvergen­

ciája, 108,117 pozitív definit, 89

- mátrix, 42- operátor~ - sajátértéke, 207

pozitív operátorok, 207 -jelölése, 207

primitív függvény, 166 projekció, 208 projektor

- mátrix, 47- operátor, 175, 178

QQ operátor, 166, 172

R

vektortér, 156 racionális mátrixfügg­

vény, 89 reguláris, 186

- mátrix, 35 Reid, T., 358

rendezett szám m-esek, 359

részhalmaz, 16 -átmérője, 110 -, valódi, 16

részmátrix, 39, 41 rezolvens, 186 Riemann szerinti im-

proprius négyzet­integrál, 139

Riesz-Fischer-tétel, 377rosszul kondicionált

egyenletrendszer, 147

Rózsa Pál, 358

sajátaltér, 187, 190- geometriai tulaj­

donsága, 187sajátelem, 186 sajátérték, 86, 186

- képzetes része ab­szolút értékben közel nulla, 271

-rangja, 187, 191 - , reguláris, 186 - , szinguláris, 186

sajátértékekhez tartozó- sajátaltér, 190, 205- sajátelemek, 222

sajátfüggvény vektor,436

sajátvektor, 86 sarokminor, 42, 43 Schmidt-féle orto-

gonalizáció, 142 Schur, A., 358 skalár, 112skalárfüggvények, 439 skalárhatványsor, 101 skaláris szorzat, 114, 131,139

- által meghatáro­zott norma, 140

skaláris szorzás, 53- axiómái, 131- komplex térben,

136- tulajdonságai, 53,

54skalármátrix, 25 .y-kompakt, 123 sor

- , abszolút konver­gens, 139

sormátrix, 23 sormátrixok (sorvekto­

rok), 43 sorozat

-határértéke, 108 sorozatkompakt, 123 sorvektorok, 23, 24, 51

- ortogonalizálása, 150

- összeadása, 51- számmal való

szorzása, 51stabil, 249

- , aszimptotikusan, 250

Sylvester-féle formula, 95

Sz

számsorozatok halmaza, 121

szemetes egységmátrix, 257,269, 271,333

szigorúan normált tér, 446, 448

szimmetrikus kvadrati­kus funkcionál - , indefinit, 206

negatív definit, 206

- , pozitív definit, 206

Név- és tárgymutató 477

-, pozitív, ill. nega­tív szemidefinit, 206

szimmetrikus kvadrati­kus funkcionálok, 206- mátrixa, 32, 42 -operátora, 197- osztályozása, 206

szinguláris, 186- mátrix, 35

Szoboljev, Sz- L,. 358 szorzatmátrix

- elemei, 29- transzponáltja, 30

szorzatoperátorok, 181 szükséges feltétel, 250

Taylor-- formula, 366, 383 -polinom, 114

teljes lineáris- normált tér, 117,

365, 377- metrikus tér, 110,

111,123teljesen korlátos, 124

- halmaz, 123tér

- , euklideszi, 131 - , metrikus, 117 - , normáit, 117- teljessége, 120, 377- zéruseleme, 120

teret önmagára leké­pező lineáris operá­torok, 192

tiszta diagonális mát- rixú operátor, 222

tiszta egységmátrix, 259 Todd, J„ 147 torlódási

- hely, 436

-pon t, 125 többszörös multiplici-

tású gyöktényezők, 309

transzformáció - , hermitikus, 87

transzformációs mátrix, 315, 316- meghatározása,

315transzponált mátrix, 24 trigonometrikus poli­

nom, 145 triviális

-a ltér, 115- megoldás, 64

triviálistól különbözőkétparaméteres meg­oldásvektorok, 323

Turing, A. M„ 69, 147

U ,Ú

új bázisra való áttérés, 219,222,325- módszere, 252

unicitástétel, 382 unió, 17

-je le , 17 unitér, 218

- ekvivalens mátrixok, 219

- mátrixok, 38, 215, 217,218,221

--sorvektorai, osz­lopvektorai orto- normáltak, 216

- - tulajdonságai,215

- operátor, 200, 201, 202,203,215,217,231

- mátrixának inverze, 215

- sajátértékei, 202

- szögtartó operátor,203

- tér (komplex euk­lideszi), 54, 131

V lineáris korlátos ope­rátor, 392

valódi altér, 52 valós

- euklideszi tér, 134- szám «-es, 133- vektortér, 112, 134

változók kvadratikusalakja, 235

véges dimenziós lineá­ris tér, 183, 201

végtelen dimenziós- euklideszi tér, 155-té r , 185- vektortér, 113, 121,

138vektor, 51, 112

- abszolút értéke,53,133

- derékszögű koor­dinátái, 156

- hossza (abszolút értéke), 53

- komponensei, 24,51

- koordinátái, 57, 113,134

- normája, 54, 117, 134, 137, 139, 141,203

- számmal való szorzata, 138

- /)-abszolút értéke,359

vektorfüggvény, 104- deriváltja, 104

vektorlánc, 315- előállítása, 324

478 Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

vektornormák, 49 vektorok, 134

- által kifeszített lineáris tér, 62

- által közbezárt szög ,133

-összege, 134- skaláris szorzata,

53,133,134,157- számmal való

szorzata, 134-távolsága, 136- távolsága eukli­

deszi normával, 136

vektorrendszer rangja,55,61

vektorsorozat-- konvergenciája,

135- p-abszolút érték­

ben való konver­genciája, 360

vektorszorzás- , jobbról lineárisan

független, 402 vektortér, 111

- bázisa, 113- dimenziója, 113

háromdimenziós,116végtelen dimen­ziós, 113,120

vetítő (projektor) ope­rátor, 175

Volterra-típusú- integrálegyenlet­

rendszer, 384,390,393

- integráloperátor, 365, 386, 390,394,396,409

- - magmátrixa, 409

W

Weierstrass- approximációs

tétele, 450- tétele, 129

Whyburn, W M.,358 W,/" tér, 365 Wronski-féle függvény­

mátrix, 406, 407

zárt- gömb, 111 -halm az, 107, 111- lineáris altér, 378

zavaró tag, 259 zéruselem, 112, 140 zérusmátrix, 24, 91 zérusoperátor (nulla­

operátor), 167, 177, 213,214

Zurrnühl, A., 69

A Scolar Kiadó matematikakönyv-ajánlata

Obádovics J. Gy. - Szarka Z.: Felsőbb matematikaA könyv minden, a felsőbb matematikával kapcsolatos képletet tartal­maz, azokat érthetően fejti ki és magyarázza. Minden új fogalmat defi­niál. A tételek megértését gondosan rajzolt ábraanyag, kidolgozott pél­dák és ezekhez hasonló gyakorlófeladatok segítik. Főbb fejezetei:

Egy- és többváltozós függvények; Differenciálszámítás; Integrálszá­mítás; Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok; Lineáris algebra, tér­görbék, vektoranalízis; Közönséges differenciálegyenletek; Komplex függvények; Numerikus módszerek.

Obádovics: Felsőbb matematikai feladatgyűjteményA könyvben fejezetenként elméleti összefoglaló és képletgyűjtemény, minden feladat végeredménye és új feladattípus megjelenésekor rész­letesen kidolgozott mintafeladat található. Fejezetenként az egysze­rűbben megoldható feladatok sorozata a begyakorlást, a vizsgára való felkészüléshez az egyes típusfeladatok gyors felismerését és a meg­oldáshoz szükséges ismeretanyag rögzítését teszik lehetővé.

Obádovics: Valószínűségszámítás és matematikai statisztikaE köny a középiskolai ismeretekre támaszkodva tárgyalja a valószínű­ségszámítás és a matematikai statisztika elemeit. Kidolgozott példái, feladatai a gyakorlati élet különböző területeinek problémáit ölelik fel. A negyedik kiadás néhány új témakörrel és számos - az alkalma­zást és a tárgyalt módszer megértését segítő - feladattal gazdagodott.

Obádovics: Lineáris algebra példákkalA könyv felépítése a klasszikus lineáris algebra fejezeteit követi. A mátrixok, determinánsok, vektorok, lineáris egyenletrendszerek, li­neáris terek, bilineáris és kvadratikus alakok, karakterisztikus értékek részletes ismertetése után az ismereteket másodrendű görbék és felü­letek vizsgálatára, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásá­ra alkalmazza. A szerző több esetben is az általában ajánlott mód­szernél egyszerűbb számítási eljárással ismerteti meg az olvasót.

Obádovics: Matematika2005-ben jelent meg a tizennyolcadik, teljeskörűen átdolgozott kiadás. A népszerű kézikönyv használhatóságát az eddig eladott több mint 500000 példány, valamint külföldi kiadásai bizonyítják.