Vektorok, mátrixok

Vektorok - AlapfogalmakVektor: az irányított (síkban, térben) szakaszt vektornak nevezzük.

Ekkor: pontosan specifikáljuk a végpontok sorrendjét (kezdőpont,végpont) is.Alternatív definíció: egy n dimenziós vektor egy rendezett szám n-s, azaz n db szám együttese adott sorrendben.

Vektor abszolút értéke: Egy adott v vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük.Jelölés: |v|

P.: Számítsuk ki az alábbi ábrán látható 2 vektor abszolút értékét!

v AB��������������

1)Alkalmazva Pitagorasz-tételt2)Descartes-koordinátákat

2 2

2 2

1 6

5 5

a

b

Vektorok - AlapfogalmakNullvektor: azt a v vektort, melynek abszolút értéke 0 (kezdő és végpontja azonos), nullvektornak (zérusvektornak) nevezzük.

Jelölés: 0Zérusvektor iránya: tetszőleges

Egységvektor: azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük.Jelölés: e, i,j,k

Egyező állású vektorok: két vektor egyező állású, ha párhuzamosak vagy azonosak

Egyenlő vektorok: két vektor akkor és csakkor egyenlő, ha hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik.

Ekkor: a két adott vektorra létezik olyan eltolás, mely az egyik vektor kezdőpontját és végpontját a másik vektor kezdőpontjába és végpontjába viszi át.

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok összeadása: polygon módszer segítségével.Lényegileg: nyílfolyam-módszer: eltolás, a második vektor kezdőpontját az első végpontjába, és így tovább.

Összeg vektor: az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor. (Két vektor esetén paralelogramma módszernek)

Összeadás tulajdonságai:0. Zárt: összeadás eredménye is vektor 1. Kommutatív (ld. ábra): a+b=b+a2. Asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c)3. Létezik egységelem: a+0=a4. Létezik inverz (ellentett) elem: a+(-a)=0 ,ahol –a az a vektor ellentett vektora

Vektorok – Műveletek vektorokkalP: Mutassuk meg, hogy a vektor összeadás asszociatív!Vagyis (a+b)+c=a+(b+c)

P: Adjuk össze az alábbi vektorokat!

a b

c

ab

c

a

bc

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok kivonása: inverz vektor elem hozzáadása

Vagyis: a,b vektorok különbségén azt a vektort értjük, melyet hozzáadva b vektorhoz összegként az a vektort kapjuk.

Vektorok kivonása nem kommutatív művelet!

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása

1. Számot vektorral: számmal való szorzásJelölés:

1. Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: ab

1. Vektort vektorral-eredménye vektor,neve: vektoriális (vagy kereszt) szorzat (cross product)Jelölés:

a

a b

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skalár szorzat)Számot vektorral: számmal való szorzásJelölés:Az a vektor szorosán, ahol tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, melynek

abszolút értéke:

állása megegyezik az a vektor állásával

iránya:azonos a irányával, haellentettje a irányának, hatetszőleges, ha

Vagyis: nyújtás (>1), zsugorítás(0<<1), tükrözés (<0)Tulajdonságai:1. λa=aλ2. μ(λa)=(μ λ)a (definícióból közvetlenül adódik)3. (λ+μ)a=λa+μa (definícióból közvetlenül adódik)4. λ(a+b)= λa+λb

a

a

0 0 0

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skaláris szorzat)Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product)

Jelölés:

Skaláris szorzat: Legyen adott két azonos dimenziójú (a,b) vektor és az általuk bezárt szög (). Ekkor az alábbi számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük.

Ebben az esetben a két vektor hajlásszögén: azt a 0≤ ≤ 180 szöget értjük, melyet a két vektor félegyenese bezár (a belső, mindig kisebb hajlásszög).

Következmények: 1) Két vektor skaláris szorzata akkor és csakkor nulla, ha a két vektor ortogonális.2) Ha a két vektor közül az egyik nullvektor, a hajlásszög tetszőleges, de a skaláris szorzat értéke 0.

.a b

. cos( )a b a b

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skaláris szorzat)Tulajdonságai:1.ab=ba2.a(b+c)=ab+ac3.(a)b=(ab)=a(b)4.nem asszociatív

Geometriai jelentés: egy adott vektor merőleges vetületének a hossza

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat): Az vektorok keresztszorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek

hossza: ,ahol a két vektor (a,b) által bezárt hajlásszög

állása: merőleges az a és b vektorok mindegyikére, vagyis a két vektor által kifeszített síkra.

iránya: olyan, hogy az a,b és axb vektorok jobbrendszert alkotnak.

Geometriai jelentés: az alábbi számérték megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területét.

3,a b R

sina b a b

sina b a b

Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat) Tulajdonságai1.Nem kommutatív2.Disztributív3.axb=-(bxa)4.axba)xbaxb

KövetkezményKét vektor keresztszorzata akkor és csakkor zérusvektor, ha a vektorok

párhuzamosak egymással.

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térFelbonthatóság: ha adottak egy tetszőleges síkban az a és b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden más v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal párhuzamos összetevőkre.

Következménye: bázis: a sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok bázisának nevezzük.

Koordináta: a v=a+b vektor () rendezett valós számpárt, mely egyértelműen meghatározza v-t az a,b bázisban a v vektor a,b bázisra vonatkoztatott koordinátának nevezzük.

2D: a rendezett valós számpárokat síkbeli vektoroknak nevezzük.

3D: a rendezett valós számhármasokat térbeli vektoroknak nevezzük.

Síkbeli és térbeli vektorok ábrázolása koordinátarendszerekben történik, azok bázisainak megfelelő definiálásával.

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térSíkbeli vektorok ábrázolása

Síkban végtelen sok bázist lehet felvenni

Éppen ezért: speciális bázist alkalmazunk az egyértelműség kedvéért, mégpedig a Descartes koordinátarendszernek megfeleltetve, az alábbiak szerint.

1) i és j egymásra merőleges egységvektorok2) i és j ennek megfelelően az x és y számegyenesek

+1 pontjaiba mutatnak.

v

i

j

x

y

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térTérbeli vektorok ábrázolása

A rendezett valós számpárok halmaza, a sík pontjainak halmaza és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg.

Ezen kijelentés alapján: ha a,b,c térbeli vektorok nem esnek egy síkba, akkor a tér minden v vektora egyértelműen felbontható az a,b,c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, azaz v=a+b+c=(;;)

Bázis: a tér egy pontjából kiinduló, nem egysíkú vektorát térbeli bázisnak nevezzük.Speciális bázis: i,j,k páronként merőleges egységvektorok jobbsodrású

rendszere

Ekkor:1 2 3 1 2 3( ; ; )v v i v j v k v v v

i

x

i y

k

z P=(v1;v2;v3)

Referencia felvétele 2D és 3D vizsgálatokhoz

Referenciarács, bázis, fixpont

3D 2D

TKP

Műveletek a 3D térbenAlap műveletek

Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzata:

P: Adja meg a(2;1;0) és b(1;-1;2) vektorok skaláris szorzatát

Két vektor hajlásszöge

P: Számítsuk ki a(1;2;2) és b(-1;1;0) vektorok által bezárt szöget!

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

a a i a j a k

b b i b j b k

ab a b a b a b

1ab

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

cos( )( )

a b a b a b

a a a b b b

cos( )

cos( )

ab a b

ab

a b

cos 0.23

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b a b i a b j a b k

a b a b i a b j a b k

a a i a j a k

Műveletek a 3D térbenKoordinátáival adott két vektor kereszt szorzata:

P: Adja meg a=2i-3k és b=i+j+k vektorok kereszt szorzatát

1 2 3

1 2 3

a a i a j a k

b b i b j b k

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )

i j ka a a a a a

a b a a a i j kb b b b b b

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

(2;0; 3)

(1;1;1)

a

b

3 5 2a b i j k

Mátrixok Mátrix: m×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek m sora és n oszlopa van, elemei pedig adott számhalmazból valók, melyen a mátrix értelmezve van.

Jelölés: 11 12 ... 1

21 22 ... 2

... ... ... ...

1 2 ...

m n

a a a n

a a a nA A

am am amn

OszlopvektorSorvektor

nxm-es számtáblázat - n sor, m oszlop Jele: A, illetve An,m (n sor, m oszlop)

A= An,m = (aij)

nma

na

maa

nma

na

maa

...

.........

...

...

.........

...

1

111

1

111

Speciális mátrixok Speciális mátrixok: sorvektor, oszlopvektor, nullmátrix (összes eleme 0)

Egység mátrix:

Diagonál mátrix:

Négyzetes mátrix: amn=anm

Egy An,m mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésével a mátrix A’m,n (= A*m,n = AT

m,n ) transzponáltját kapjuk.

Mátrixok - MűveletekMátrix szorzása skalárral: összes elemet az adott skalárral meg kell szorozni

Mátrixok összeadása: azonos dimenzió

Mátrixok szorzása: A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B mindenoszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n×m), akkor B típusa (m×k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n×k).Tulajdonságok

nem kommutatívasszociatívdisztributív

P: Szorozza össze az alábbi két mátrixot!M(megjegyzés): ha adott egy mátrix, mely egy végtag szegmensének irányvektorait tartalmazza és ezt a mátrixot megszorozzuk egy adott dimenziójú vektorral, akkor az a szegmensek adott rotációs tengely körüli elforgatását jelentik.

Példa: Adottak az alábbi A és B mátrixok. Végezze el az AB és a BA mátrix szorzást!

Megoldás: Mivel A 3x4-es és B 4x2-es méretű mátrixok, ezért csak az AB szorzás végezhető el, a BA nem.

11

01

02

43

5210

1124

2031

BA

1015210

1881124

872031

21

01

02

43

25020140)1(51221305210

21010)2(44)1(1112)2(341124

22000341)1(21023312031

21

01

02

43

A determináns fogalma, kiszámítása és alkalmazása

Definíció: A determináns a kvadratikus mátrixok halmazán értelmezett f: An A függvény, mely az An mátrixhoz egy valós számot rendel az alábbiak szerint:

• n=2: A = detA = det(a1,a2) = a11a22-a12a21

• n2: Sor- vagy oszlop szerinti kifejtéssel (n-1)x(n-1)–es mátrixok determinánsának kiszámítására vezetjük vissza– i. sor szerinti kifejtéssel: A=j aij Aij (i=állandó)– j. oszlop szerinti kifejtéssel: A=i aij Aij (j=állandó)ahol Aij az (ij)-edik (az i. sor j. eleméhez tartozó)

algebrai aldetermináns.

22a21a12a11a

Példa:

Egy 2x2-es mátrix determinánsa:

Egy 3x3-as mátrix determinánsának számítása az első oszlopa szerinti kifejtéssel:

1237172

31

3312816116810)23(71

65

218)1(

13

210)1(

13

657)1(

138

650

217131211

Alkalmazás Az n egyenletből álló n ismeretlenes Ax=b

lineáris egyenlet-rendszer megoldása, ha A 0:

(i=1,2,…,n)

ahol di= det(a1,…,ai-1,b,ai+1,…,an) Ha b=0 (homogén lineáris egyenletrendszer) és A 0, akkor

(i=1,2,…,n) Ez a homogén lineáris egyenletrendszer triviális

megoldása. Ez a Cramer szabály.

Ad

x ii

00 A

xi

Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből állólineáris egyenletrendszert:

Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor

|| A

dx ii

ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

esnn rebbbb T

n ),...,,( 21

id

Cramer-szabály

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

5

5

1

b

Először kiszámoljuk az A determinánsát:

21

021

01

12)3(

02

101

021

102

131

A

1432)04(1)10(3)20(1

Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

Cramer-szabály

A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelőoszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

Tnbbbb ),...,,( 21

31 d

12 d

13 d

Cramer-szabály

A megoldások:

31

3

1

025

105

131

||1

1

A

dx

11

1

1

051

152

111

||2

2

A

dx

11

1

1

521

502

131

||3

3

A

dx

1

1

3

3

2

1

x

x

x

Cramer-szabály