MATEMATIKA „A” 11. évfolyam Vektorok 5. modulkooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló-eszköz/2... · Matematika „A” – 11. évfolyam – 5. modul:

MATEMATIKA bdquoArdquo 11 eacutevfolyam

Vektorok

5 modul

Keacutesziacutetette Vidra Gaacutebor

Matematika bdquoArdquo ndash 11 eacutevfolyam ndash 5 modul Vektorok Tanaacuteri uacutetmutatoacute 2

A modul ceacutelja A vektorműveletek ismeacutetleacutese vektorokkal veacutegzett műveletek megismereacutese eacutes gyakorlaacutesa a koordinaacute-

tasiacutekon Vektorokkal megoldhatoacute koordinaacutetageometriai probleacutemaacutek megoldaacutesa skalaacuteris szorzat meg-

ismereacutese hasznaacutelata

Időkeret 7 oacutera

Ajaacutenlott korosztaacutely 11 eacutevfolyam

Modulkapcsoloacutedaacutesi pontok Vektorok vektorműveletek (9 eacutevfolyam) szoumlgfuumlggveacutenyek egyenesek a koordinaacutetasiacutekon

A keacutepesseacutegfejleszteacutes foacutekuszai

Szaacutemolaacutes szaacutemiacutetaacutes szaacutemlaacutelaacutes Koordinaacutetageometriai alakzatok mennyiseacutegi jellemzői hajlaacutesszoumlgek meghataacuterozaacutesa vektorokkal kapcsolatos mennyiseacutegek szaacutemiacutetaacutesa (vektor hossza skalaacuteris szorzat de-reacutekszoumlgben elforgatott vektor koordinaacutetaacutei) Szaacutemoloacutegeacutep hasznaacutelata Mennyiseacutegi koumlvetkezteteacutes A mennyiseacutegek fogalmaacutenak tovaacutebbfejleszteacutese A koordinaacutetasiacutekon valoacute taacutejeacutekozoacutedaacutes a siacutekbeli alakzatok tulajdonsaacutegainak koordinaacutetageometriai moacutedszerekkel toumlrteacutenő leiacuteraacutesa Becsleacutes meacutereacutes valoacutesziacutenűseacutegi szemleacutelet Szakasz osztoacutepontjaacutenak meghataacuterozaacutesa vektor hossza vektor eacutes szakasz veacutegpontjainak becsleacutese Szoumlveges feladatok metakogniacutecioacute Szoumlvegeacutertelmezeacutes tovaacutebbfejleszteacutese a leacutenyegkiemelő keacutepesseacuteg fejleszteacutese A valoacutesaacuteg taacutergyainak geometriai modellezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges keacutepesseacutegek fejleszteacutese Cso-portmunkaacuteban a taacutersak joacute gondolatainak megismereacutese elfogadaacutesa helytelen koumlvetkezteteacutesek caacutefolata Rendszerezeacutes kombinatiacutev gondolkodaacutes Az aacutebraacutezolaacutes eacutes a szaacutemiacutetaacutes kapcsolataacutenak elmeacutelyiacuteteacutese Induktiacutev deduktiacutev koumlvetkezteteacutes Oumlsszefuumlggeacutesek keacutepletek felfedezeacutese gyakorlati tapasztalatboacutel kiin-dulva azok aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa eacutes alkalmazaacutesa


TAacuteMOGATOacute RENDSZER

bull Bemutatoacute amely tartalmazza az elmeacuteleti anyagot eacutes a mintapeacuteldaacutekat (a mintapeacuteldaacutek feldolgozaacutesaacutet sokszor csoportmunkaacuteban javasoljuk a

tanaacuter felveti a probleacutemaacutet amire a tanuloacutek megoldaacutest keresnek ndash a megoldaacutes termeacuteszetesen a Tanuloacutek koumlnyveacuteben megtalaacutelhatoacute ezeacutert ilyen

esetekben azt nem szabad hasznaacutelni ndash a bemutatoacuteval a mintapeacutelda szoumlvege kivetiacutethető eacutes az ellenőrzeacuteshez is hasznaacutelhatjuk)

bull 151 triminoacute (vektorműveletek koordinaacutetaacutekkal)

bull 152 triminoacute (a modul oumlsszefoglalaacutesaacutehoz ajaacutenlott)

Nem kell a modul minden feladataacutet megoldani A tanuloacutecsoport igeacutenyeinek eacutes tudaacutesszintjeacutenek megfelelően lehetőseacuteguumlnk van differenciaacutelaacutesra eacutes arra is hogy a modul anyagaacutet a heti 3 oacuteraacutenaacutel nagyobb oacuteraszaacutemban tanuloacute diaacutekokkal is fel tudjuk dolgozni

JAVASOLT OacuteRABEOSZTAacuteS

Oacuteraszaacutem Oacuteraciacutem Tananyag

1 Ismeacutetleacutes Csoportalakiacutetaacutes 1mintapeacutelda elmeacutelet ismeacutetleacutese 2 mintapeacutelda feladatok (1ndash2)

2 Vektorműveletek koordinaacutetaacutekkal 3 mintapeacutelda (frontaacutelis) a vektorkoordinaacutetaacutek fogalma csoportalakiacutetaacutes 4 mintapeacutelda elmeacuteleti

anyag (vektor feliacuteraacutesa veacutegpontokboacutel keacutet pont taacutevolsaacutega vektor hossza) 5 mintapeacutelda elmeacuteleti

anyag (vektorműveletek koordinaacutetaacutekkal)

3 Vektorkoordinaacutetaacutekkal kapcsola-

tos feladatok

6 eacutes 7 mintapeacutelda 51 triminoacute feladatok (3ndash7) 8 mintapeacutelda feladatok (8ndash12)

4 Gyakorlaacutes Vektor felmeacutereacutese adott kezdőpontboacutel 9ndash10 mintapeacutelda feladatok (13ndash21)

5 Skalaacuteris szorzat Definiacutecioacute eacutes tulajdonsaacutegok 11 mintapeacutelda feladatok (22ndash32)

6 Osztoacutepontok suacutelypont 12 mintapeacutelda (csoportmunkaacuteban) feladatok (33ndash42) 13 mintapeacutelda suacutelypont koordinaacutetaacutei

7 Feladatok megoldaacutesa Feladatok (43ndash49) 52 triminoacute


EacuteRETTSEacuteGI KOumlVETELMEacuteNYEK

Vektorok siacutekban eacutes teacuterben Koumlzeacutepszint

Ismerje eacutes alkalmazza feladatokban a koumlvetkező definiacutecioacutekat teacuteteleket vektor fogalma abszoluacuteteacuterteacuteke nullvektor ellentett vektor vek-torok oumlsszege kuumlloumlnbseacutege vektor skalaacuterszorosa vektorműveletekre vonatkozoacute műveleti azonossaacutegok vektor felbontaacutesa oumlsszetevőkre skalaacuteris szorzat definiacutecioacuteja tulajdonsaacutegai vektor koordinaacutetaacutei a vektor 90deg-os elforgatottjaacutenak koordinaacutetaacutei vektorok oumlsszegeacutenek kuuml-loumlnbseacutegeacutenek skalaacuterral valoacute szorzataacutenak koordinaacutetaacutei skalaacuterszorzat kiszaacutemiacutetaacutesa koordinaacutetaacutekboacutel Vektorok alkalmazaacutesa feladatokban

Emelt szint A skalaacuterszorzat koordinaacutetaacutekboacutel valoacute kiszaacutemiacutetaacutesaacutenak bizonyiacutetaacutesa

Koordinaacutetageometria pontok vektorok Koumlzeacutepszint

Tudja AB vektor koordinaacutetaacuteit abszoluacuteteacuterteacutekeacutet Keacutet pont taacutevolsaacutegaacutenak szakasz felezőpontjaacutenak harmadoloacute pontjainak feliacuteraacutesa alkal-mazaacutesa feladatokban A haacuteromszoumlg suacutelypontja koordinaacutetaacuteinak feliacuteraacutesa alkalmazaacutesa feladatokban

Emelt szint Szakasz felezőpontja eacutes harmadoloacute pontjai koordinaacutetaacuteinak kiszaacutemiacutetaacutesaacutera vonatkozoacute oumlsszefuumlggeacutesek igazolaacutesa Igazolja a haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacuteira vonatkozoacute oumlsszefuumlggeacutest


MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek

teveacutekenyseacutegek

Kiemelt keacuteszseacutegek keacutepesseacutegek

EszkoumlzFeladat

Gyűjtemeacuteny

I Ismeacutetleacutes (1 oacutera) 1 Csoportalakiacutetaacutes (tetszőleges moacutedszerrel) Metakogniacutecioacute figyelem 2 Raacutehangoloacutedaacutes (diaacutekkvartett) Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute

szaacutemolaacutes szaacutemlaacutelaacutes kombinatiacutev gondolkodaacutes1 mintapeacutelda (bemutatoacute)

3 Vektor vektorjellemzők (elmeacuteleti ismeacutetleacutes tanaacuteri ma-gyaraacutezat)

Bemutatoacute

4 Feladatok (csoportmunkaacuteban) 2 mintapeacutelda 1ndash2 feladatok 5 Vektorműveletek (frontaacutelis ismeacutetleacutes tanaacuteri magyaraacute-

zat)

Szaacutemolaacutes szaacutemlaacutelaacutes becsleacutes rendszerezeacutes kombinatiacutev gondolkodaacutes

II Vektorkoordinaacutetaacutek vektorműveletek (3 oacutera) 1 Vektor felbontaacutesa (frontaacutelis tanaacuteri magyaraacutezat) Kombinatiacutev gondolkodaacutes rendszerezeacutes figye-

lem 3 mintapeacutelda

2 Csoportalakiacutetaacutes oldalvektorok (feldolgozaacutes diaacutekkvartettel) tapasztalatok (vektor feliacuteraacutesa a kezdő-pont eacutes a veacutegpont koordinaacutetaacuteiboacutel keacutet pont taacutevolsaacutega vektor hossza)

Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes

4 mintapeacutelda

3 Vektorműveletek koordinaacutetaacutekkal (csoportmunka majd tanaacuteri magyaraacutezat)

5 mintapeacutelda

4 Merőleges vektorok (diaacutekkvartettben)

Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute figyelem Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes 6 eacutes 7 mintapeacutelda

5 Vektorműveletek gyakorlaacutesa (csoportmunkaacuteban) 51 triminoacute 8 mintapeacutelda 8ndash12 feladatokboacutel

6 Vektor felmeacutereacutese adott kezdőpontboacutel (csoportmunkaacute-ban)

Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute figyelem Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes Matematikai szoumlveg eacuterteacutese keacutepletek alkalmazaacutesa

9ndash10 mintapeacutelda 13ndash21 felada-tokboacutel


III Vektorok skalaacuteris szorzata (1 oacutera) 1 A munka peacutelda vektorok skalaacuteris szorzataacutera Definiacute-

cioacute tulajdonsaacutegok (tanaacuteri magyaraacutezat) Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes Matematikai szoumlveg eacuterteacutese matematikai eszkoumlzoumlk alkalmazaacutesai

2 A skalaacuterszorzat alkalmazaacutesa vektorok hajlaacutesszoumlgeacutenek kiszaacutemiacutetaacutesa (tanaacuteri magyaraacutezat frontaacutelis)

Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes figyelem peacuteldakoumlveteacutes

11 mintapeacutelda

3 Skalaacuterszorzattal kapcsolatos feladatok (csoportmun-kaacuteban)


22ndash32 feladatokboacutel

IV Osztoacutepontok suacutelypont koordinaacutetaacutei (2 oacutera) 1 Szakasz felezőpontjaacutenak koordinaacutetaacutei (csoportmunka) 12 mintapeacutelda 2 A felezőpont alkalmazaacutesa feladatokban (csoportmun-

kaacuteban) 33ndash42 feladatokboacutel

3 Harmadoloacute pontok koordinaacutetaacutei suacutelypont koordinaacutetaacutei (csoportmunka majd tanaacuteri magyaraacutezat)

Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute figyelem Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes Matematikai szoumlveg eacuterteacutese keacutepletek alkalmazaacutesa 13 mintapeacutelda

4 Feladatok megoldaacutesa (kooperatiacutev moacutedszerekkel) Kooperaacutecioacute kommunikaacutecioacute metakogniacutecioacute figyelem Deduktiacutev eacutes induktiacutev koumlvetkezteteacutes szaacutemolaacutes becsleacutes aacutebraacutezolaacutes Matematikai szoumlveg eacuterteacutese keacutepletek alkalmazaacutesa

43ndash49 feladatokboacutel 52 triminoacute

5 modul Vektorok Tanaacuteri uacutetmutatoacute 7

I Ismeacutetleacutes Moacutedszertani megjegyzeacutes

Alakiacutetsunk ki tetszőleges moacutedszerrel 4 fős tanuloacutecsoportokat

A modul mintapeacuteldaacuteinak az a ceacutelja hogy a tanuloacutekat raacutevezesse a probleacutemaacutek megoldaacutesaacutera

ezeacutert a mintapeacuteldaacutekat mindig a tanuloacutek dolgozzaacutek fel csoportmunkaacuteban mint egy megoldandoacute

feladatot Termeacuteszetesen a mintapeacuteldaacutek aacutetveacutetelekor a tanuloacutek nem laacutethatjaacutek a Tanuloacutek koumlny-

veacutet Ceacutelszerű a modulhoz elkeacuteszuumllt bemutatoacutet kivetiacuteteni mert azon megtalaacutelhatoacutek a mintapeacutel-

daacutek eacutes a feladat kitűzeacuteseacutehez maacutest nem is kell igeacutenybe venni

Az 1 mintapeacutelda ceacutelja a raacutehangoloacutedaacutes a megoldaacutesra javasolt 10 percet adni a csoportoknak

Ellenőrzeacutese diaacutekkvartett moacutedszerrel toumlrteacutenik a tanaacuter egyenkeacutent felteszi az első keacuterdeacutest

Mennyi az A siacutekidom keruumllete A csoporton beluumll megbeszeacutelik a vaacutelaszt majd a tanaacuter aacuteltal

kijeloumllt egyik tanuloacute vaacutelaszol eacutes a csoport tagjai a vaacutelasz alapjaacuten ugyanazt az eacuterteacutekeleacutest kap-

jaacutek Ezutaacuten keruumll sorra az A siacutekidom teruumllete stb Minden feladat eseteacuten eacuterdemes megbeszeacutelni

hogyan oldottaacutek meg ki talaacutelt maacutesik megoldaacutest hogy a tanuloacutek eszkoumlztaacutera gyarapodjon az

egymaacutestoacutel valoacute tanulaacutes koumlvetkezteacuteben A csoportmunka eacuterteacutekeleacutese a szokaacutesos moacutedon toumlrteacutenik

de az ismeacutetleacutes miatt lehetőleg pozitiacutev jellegű megerősiacutető eacutes ne elmarasztaloacute legyen (peacuteldaacuteul a

joacutel teljesiacutető csoportok tagjai kapjanak pluszt)

Mintapeacutelda1

a) Szaacutemiacutetsuk ki a koordinaacuteta-rendszerbe

berajzolt siacutekidomok keruumlleteacutet eacutes teruumlleteacutet

b) Mekkoraacutek a B haacuteromszoumlg szoumlgei

c) Mekkoraacutek a C haacuteromszoumlg szoumlgei

d) Ha a B haacuteromszoumlget eltoljuk a (ndash 4 2)

vektorral mik lesznek az uacutej haacuteromszoumlg

csuacutecsainak koordinaacutetaacutei

Megoldaacutes

a) 11916 asympπ+=AT 4=BT 6=CT (keacutetfeacutele megoldaacutes 2maT sdot

=

vagy teacuteglalap teruumlleteacuteből kivonjuk keacutet dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg te-

ruumlleteacutet)

316210 asympπ+=AK 510526 asymp+=BK

Matematika bdquoArdquo ndash 11 eacutevfolyam Tanaacuteri uacutetmutatoacute 8

41123104 asymp++=CK

(A haacuteromszoumlgek nem tengelyekkel paacuterhuzamos oldalait Pitagorasz-teacutetellel szaacutemiacutetjuk

ki)

b) tangens szoumlgfuumlggveacutennyel 634deg 90degeacutes 266deg

c) tangens szoumlgfuumlggveacutennyel 634deg 45deg eacutes 716deg (PPrsquoQ eacutes PPrsquoR haacuteromszoumlgből)

d) (1 3) (3 3) (2 7)

Moacutedszertani megjegyzeacutes Az ismeacutetleacutest frontaacutelisan veacutegezzuumlk a modulhoz keacuteszuumllt bemutatoacute

segiacutetseacutegeacutevel

Az iraacutenyiacutetott szakaszt vektornak nevezzuumlk A fizikaacuteban toumlbb vektormennyiseacuteget megismer-

tuumlnk elmozdulaacutes sebesseacuteg gyorsulaacutes erő stb

A vektorok kezdőpontjukkal eacutes veacutegpontjukkal kijeloumllnek egy iraacutenyt eacutes egy taacutevolsaacutegot A taacute-

volsaacutegot a vektor hosszaacutenak vagy abszoluacuteteacuterteacutekeacutenek nevezzuumlk eacutes mindig valamilyen hosz-

szuacutesaacutegegyseacuteghez viszonyiacutetjuk

A vektorok egyenlőseacutege eacutes azonossaacutega kuumlloumlnboumlző fogalmak Keacutet vektor azonos ha kezdő-

pontjaik eacutes veacutegpontjaik paacuteronkeacutent megegyeznek jeloumlleacutes a equiv b Egy adott vektorral azonos

vektor a siacutekon vagy a teacuterben ugyanott helyezkedik el Ezzel szemben egy adott vektorral

egyenlő vektort a siacutek vagy teacuter baacutermely pontjaacuteboacutel felmeacuterhetuumlnk iacutegy egy adott vektorral egyen-

lő vektorboacutel veacutegtelen sok van Keacutet vektor egyenlő ha hosszuk eacutes iraacutenyuk megegyezik (vagyis

egyeneseik paacuterhuzamosak eacutes iraacutenyiacutetaacutesuk azonos)

Egyseacutegvektor (e) egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute vektor | e | = 1

Nullvektor (0) 0 hosszuacutesaacuteguacute vektor Definiacutecioacuteja olyan vektor amelynek megegyezik a kez-

dőpontja eacutes a veacutegpontja Iraacutenyaacutet tetszőlegesnek tekintjuumlk

Az a vektor ellentettjeacutenek nevezzuumlk azt a vektort amelyik vele egyenlő

abszoluacuteteacuterteacutekű vele paacuterhuzamos de ellenteacutetes iraacutenyuacute Jeloumlleacutese ndash a


Ha egy vektor a koordinaacuteta-rendszer kezdőpontjaacuteboacutel indul ki azt helyvektornak nevezzuumlk A

nem origoacute kezdőpontuacute vektorok a szabad vektorok

Mintapeacutelda2

Szaacutemiacutetsuk ki az aacutebraacuten laacutethatoacute vektorok abszoluacuteteacuterteacutekeacutet

Megoldaacutes

A koordinaacuteta-rendszer dereacutekszoumlgű neacutegyzetraacutecsa eacutes a

Pitagorasz-teacutetel segiacutetseacutegeacutevel veacutegezzuumlk a szaacutemiacutetaacutest

| b | 631323 22 asymp=+= egyseacuteg

Hasonloacutean szaacutemiacutetva | a | 452925 22 asymp=+= egyseacuteg

Feladatok

1 Keress egyenlő ellentett eacutes azonos vektorokat a kockaacuten eacutes a szabaacutelyos hatszoumlgoumln

Megoldaacutes Peacuteldaacuteul a = BC a kockaacuteban BG a szabaacutelyos hatszoumlgben

2 Keress az aacutebraacuten egyenlő egyenlő abszoluacuteteacuterteacutekű illetve ellentett vektorokat


Vektorműveletek

Keacutet vektor oumlsszegeacutet keacutetfeacutele moacutedszer szerint szerkeszthetjuumlk meg

a) haacuteromszoumlg moacutedszer az a veacutegpontjaacuteboacutel meacuterjuumlk fel a b vektort ekkor az a + b vektor az

a kezdőpontjaacuteboacutel a b veacutegpontjaacuteba mutat

b) paralelogramma moacutedszer ha a eacutes b nem paacuterhuzamosak akkor az a eacutes b vektorokat

koumlzoumls kezdőpontboacutel meacuterjuumlk fel kiegeacutesziacutetjuumlk paralelogrammaacutevaacute ekkor az a + b vektor

a paralelogramma koumlzoumls kezdőpontboacutel kiinduloacute aacutetloacute vektora

Toumlbb vektor oumlsszeadaacutesaacutenaacutel hasznaacutelhatoacute a laacutencszabaacutely

Egy a vektor eacutes a nullvektor oumlsszege az a vektorral egyenlő a + 0 = a

A vektorok oumlsszeadaacutesa a szaacutemokkal veacutegzett oumlsszeadaacuteshoz hasonloacutean kommutatiacutev

(felcsereacutelhető) eacutes asszociatiacutev (csoportosiacutethatoacute) művelet

a + b = b + a eacutes a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )

A vektorok oumlsszeadaacutesaacutenak ellentett művelete a vektorok kivonaacutesa Az a eacutes b vektorok kuuml-

loumlnbseacutegeacutet uacutegy keacutepezzuumlk hogy koumlzoumls kezdőpontboacutel meacuterjuumlk fel őket A veacutegpontjaikat oumlsszekouml-

tő a veacutegpontja feleacute mutatoacute vektor az a ndash b vektor Az a ndash b vektort uacutegy is megszerkeszthet-

juumlk hogy az a vektorhoz hozzaacuteadjuk b ellentett vektoraacutet (ndash b vektort)


A vektorok kivonaacutesaacutera a szaacutemok kivonaacutesaacutehoz hasonloacutean nem teljesuumll sem a kommutativitaacutes

sem az asszociativitaacutes

A vektorok nyuacutejtaacutesaacutera eacutes zsugoriacutetaacutesaacutera a szaacutemmal (skalaacuterral) toumlrteacutenő szorzaacutest hasznaacuteljuk

Az aacutebraacuten az a b eacutes c vektorok koumlzoumltt oumlsszefuumlggeacutesek aacutellapiacutethatoacutek

meg

b = ndash a ellentett vektorok iacuterhatjuk uacutegy is hogy b = ndash1middota

c = 2b valamint

c = 2middot(ndash a) = ndash2middota

Tovaacutebbi peacuteldaacutek vektorok

szaacutemmal valoacute szorzaacutesaacutera

1-neacutel nagyobb abszoluacuteteacuterteacutekű szaacutemmal megszorozva a vektort a hossza noumlvekszik (nyuacutejtaacutes)

Ha a szaacutem abszoluacuteteacuterteacuteke 0 eacutes 1 koumlzeacute esik akkor a vektort vele megszorozva a vektor hossza

csoumlkken (zsugoriacutetaacutes) A csupaacuten szorzoacuteteacutenyezőjuumlkben kuumlloumlnboumlző vektorokat egyneműeknek

tekintjuumlk iacutegy azok oumlsszevonhatoacutek peacuteldaacuteul a + 2a = 3a

Az a vektor k-szorosa (kisinR vagyis k egy valoacutes szaacutem) az a vektor amely-

nek hossza |k|middot|a| iraacutenya pedig k gt 0 eseteacuten a iraacutenyaacuteval megegyező k lt 0

eseteacuten a iraacutenyaacuteval ellenteacutetes k = 0 eseteacuten pedig nullvektort kapunk


A vektorok oumlsszeadaacutesaacutet eacutes szaacutemmal valoacute szorzaacutesaacutet hasznaacuteljuk egy vektor oumlsszetevőkre bontaacute-

sakor is Ez a koordinaacuteta-rendszerben egyszerű mert az x eacutes y tengely egyseacutegvektorai (i eacutes j)

jeloumllik ki azokat az oumlsszetevőket amelyekre a vektorokat bontjuk


II Vektorkoordinaacutetaacutek vektorműveletek

Mintapeacutelda3

Bontsuk fel az aacutebraacuten szereplő vektorokat az i eacutes j egyseacutegvektorok

segiacutetseacutegeacutevel olyan oumlsszetevőkre amelyek az x eacutes y tengellyel paacuterhu-

zamosak

Megoldaacutes

Az aacutebra helyvektoraacutet felbonthatjuk egy ndash2i eacutes egy 4j

nagysaacuteguacute vektor oumlsszegeacutere b = ndash2i + 4j

Hasonloacutean iacuterhatoacute fel a szabad vektor is a = 3i + (ndash2j) rouml-

viden a = 3i ndash 2j

Ha a koordinaacuteta-rendszerben egy vektort az i eacutes a j vektorok segiacutetseacutegeacutevel bontunk fel akkor

megkapjuk a vektor lineaacuteris kombinaacutecioacutejaacutet a v = v1 middot i + v2 middot j alakuacute feliacuteraacutest A v1 eacutes v2 szaacute-

mokat vagyis i eacutes j vektorok szorzoacuteit a v vektor koordinaacutetaacuteinak nevezzuumlk v (v1 v2)

A mintapeacuteldaacuteban az a vektor első koordinaacutetaacuteja 3 maacutesodik ndash2 amit iacutegy jeloumlluumlnk a (3 ndash2)

b koordinaacutetaacutei b (ndash2 ndash4)

Megjegyzeacutes A pontok eacutes vektorok koordinaacutetaacuteit rendezett szaacutempaacuternak is nevezik

Azeacutert bdquorendezettrdquo mert ezeket nem csereacutelhetjuumlk fel az 1 koordinaacuteta az x a 2 ko-

ordinaacuteta az y tengely iraacutenyaacuteban meacutert taacutevolsaacutegokat jelentik Teacuterben szuumlkseacuteg van meacuteg

egy koordinaacutetaacutera ezeacutert rendezett szaacutemhaacutermasroacutel beszeacuteluumlnk Ekkor a z tengelyhez

kapcsoloacutedik a vektor 3 koordinaacutetaacuteja Helyvektor eseteacuten a vektorkoordinaacutetaacutek meg-

egyeznek a veacutegpont koordinaacutetaacuteival

Mintapeacutelda4 Moacutedszertani megjegyzeacutes A feldolgozaacutes a bemutatoacute segiacutetseacutegeacutevel diaacutekkvartett moacutedszereacutevel a)

eseteacuten egyszerű leolvasaacutessal toumlrteacutenik

Adott egy neacutegyszoumlg neacutegy csuacutecsa A(ndash4 ndash1) B(ndash2 4) C(2 4) D(2 ndash3)

a) Hataacuterozzuk meg az oldalak vektorait


b) Keressuumlnk kapcsolatot a vektorkoordinaacutetaacutek eacutes a veacutegpontok koordinaacutetaacutei koumlzoumltt Egeacutesziacutetsuumlk

ki a mondatot a megadott szavak felhasznaacutelaacutesaacuteval (koumltőszavakat neacutevelőket poacutetolhatsz)

Adottak egy vektor kezdőpontjaacutenak eacutes veacutegpontjaacutenak koordinaacutetaacutei A vektor koordinaacutetaacuteit

megkapjuk ha helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

c) Szaacutemiacutetsuk ki az AB vektor hosszaacutet eacutes az A eacutes C pontok taacutevolsaacutegaacutet

Megoldaacutes

a) Leolvassuk az oldalvektorok koordinaacutetaacuteit

)26()70()04()52( minusminus DACDBCAB

b) A vektor koordinaacutetaacuteit megkapjuk ha a veacutegpont koordinaacutetaacute-

iboacutel kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinaacutetaacuteit

c) Az )52(AB koordinaacutetaacuteiboacutel szaacutemiacutetjuk ki a hosszaacutet egy de-

reacutekszoumlgű haacuteromszoumlg segiacutetseacutegeacutevel

452952|| 22 asymp=+=AB egyseacuteg amit meacute-

reacutessel ellenőrizhetuumlnk

Az A(ndash4 ndash1) eacutes C(2 4) pontok taacutevolsaacutegaacutenak

meghataacuterozaacutesaacutehoz szinteacuten dereacutekszoumlgű haacuterom-

szoumlget hasznaacutelunk amelynek oldalai 6 eacutes 5 egyseacuteg iacutegy a taacutevolsaacuteg 8761 asymp egy-

seacuteg

Ha adott a vektor kezdőpontja A (a1 a2) eacutes veacutegpontja B (b1 b2) akkor a vektor koordinaacutetaacuteit

uacutegy kapjuk meg hogy a veacutegpont koordinaacutetaacuteiboacutel kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinaacutetaacuteit

A kezdőpontjaacuteval eacutes veacutegpontjaacuteval megadott vektor hosszaacutet a megfelelő koordinaacutetaacutek kuumlloumlnb-

seacutegeacuteből szaacutemiacutetjuk ki ugyanuacutegy mint a keacutet pont taacutevolsaacutegaacutet

A (a1 a2) B (b1 b2) rArr AB (b1 ndash a1 b2 ndash a2)

A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222

211 )( a(b)ab minus+minus


A koordinaacutetaacuteival megadott vektor hosszaacutet a koordinaacutetaacutek neacutegyzetoumlsszegeacutenek neacutegyzetgyoumlke

adja

Mintapeacutelda5

Adott keacutet vektor a (5 3) eacutes b (6 ndash4) Rajzoljuk meg a koumlvetkező vektorokat eacutes hataacuterozzuk

meg a koordinaacutetaacuteikat a) a + b b) a ndash b c) 2a d) ndash 05b

Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)

b) a ndash b ( ndash17)

c) 2a (10 6)

d) ndash 05b (ndash3 2)

e) Keressuumlnk oumlsszefuumlggeacuteseket eacutes egeacutesziacutetsd ki a hiaacutenyzoacute mondatokat Tegyuumlk a helyuumlkre a

megadott szavakat Koumltőszavakat neacutevelőket poacutetolhatunk

Keacutet vektor oumlsszeadaacutesakor hellip

Keacutet vektor kivonaacutesakor hellip

Ha egy vektort megszorzunk egy k szaacutemmal akkor hellip

Megoldaacutes

Keacutet vektor oumlsszeadaacutesakor a megfelelő koordinaacutetaacutek oumlsszeadoacutednak

Keacutet vektor kivonaacutesakor a megfelelő koordinaacutetaacutekat kivonjuk egymaacutesboacutel

Ha egy vektort megszorzunk egy k szaacutemmal akkor a vektor koordinaacutetaacutei is k-val szorzoacutednak

a (a1 a2) b (b1 b2) rArr a + b (a1 + b1 a2 + b2)

a (a1 a2) b (b1 b2) rArr a ndash b (a1 ndash b1 a2 ndash b2)

a (a1 a2) kisinR rArr k middot a (k middot a1 k middot a2)

a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6

Forgassuk el a b(ndash6 4) vektort 90deg-kal a kezdőpontja koumlruumll mindkeacutet iraacutenyba eacutes olvassuk le a

keletkezett vektorok koordinaacutetaacuteit

Megoldaacutes

Az eredmeacuteny (4 6) eacutes (ndash4 ndash6)

Aacuteltalaacuteban is igaz hogy ha egy vektort 90deg-kal elforgatunk akkor a koordinaacutetaacutei felcsereacutelőd-

nek eacutes az egyik (de csak az egyik) előjelet vaacutelt

+90deg-os forgataacutesnaacutel (ndasha2 a1) ndash90deg-os forgataacutesnaacutel (a2 ndasha1) vektort kapunk

Mintapeacutelda7 a) Hataacuterozzuk meg annak a vektornak a koordinaacutetaacuteit amelyik az a(ndash6 ndash3) vektorra merőleges

eacutes hossza az a hosszaacutenak a fele

b) Hataacuterozzuk meg annak a vektornak a koordinaacutetaacuteit amelyik az a(ndash6 ndash3) vektorra merőleges

eacutes y koordinaacutetaacuteja ndash2

Megoldaacutes

a) Keacutet ilyen vektor is van ui az a-t 90deg-kal elforgatva keacutet vek-

tort kapunk (3 ndash6) eacutes (ndash3 6) Fele akkora vektort a 05-tel

valoacute szorzaacutes eredmeacutenyez iacutegy a keresett vektorok (15 ndash3)

eacutes (ndash15 3)

b) Keressuumlk azt az (x ndash2) vektort amelyik paacuterhuzamos a

(3 ndash6) vektorral A maacutesodik koordinaacutetaacutekat oumlsszevetve laacutetha-

toacute hogy a (3 ndash6) vektort harmadaacutera kell zsugoriacutetani iacutegy a

keresett vektor (1 ndash2) Szerkeszteacutessel ellenőrizzuumlk

a (a1 a2) (a2 ndasha1) illetve (ndasha2 a1) 90deg


52 triminoacute

Moacutedszertani megjegyzeacutes Csoportmunkaacuteban hasznaacuteljuk az 51 triminoacutet A haacuteromszoumlgeket az

azonos eredmeacutennyel veacutegződő vektorműveleteket tartalmazoacute eacutelek oumlsszeilleszteacuteseacutevel kell kirak-

ni Az eacuterteacutekeleacutes alapja a helyes kirakaacutes

Mintapeacutelda8

Adott az a(12 8) eacutes a b(ndash3 5) vektor Melyek a d vektor koordinaacutetaacutei ha az bdaminus+ 4

2 vek-

torművelet eredmeacutenye nullvektor

Megoldaacutes

A vektorműveleteket koordinaacutetaacutenkeacutent veacutegezzuumlk A megfelelő koordinaacutetaacutek oumlsszege nulla

iacutegy 042 11

1 =minus+ bda behelyettesiacutetve 0342

121 =++ d ahonnan

49

1 minus=d Hasonloacutean a

maacutesodik koordinaacutetaacutekra 042 22

2 =minus+ bda ahonnan 05428

2 =minus+ d 41

2 =d

A keresett vektor d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok

3 Egy reacutegi hegesztőgeacutep csak sokszoumlgeket keacutepes vaacutegni eacutes vektorokkal kell megadni hogy

a vaacutegaacutes soraacuten mi legyen a koumlvetkező mozgaacutes Iacuterd le hogy milyen vektorsorozattal iacuterhatoacute

le az aacutebraacuten laacutethatoacute siacutekidomok vaacutegaacutesa

Megoldaacutes

a) (3 4) (3 ndash2) (0 ndash4) (ndash3 ndash2) (ndash3 4) b) (0 3) (6 ndash1) (0 ndash4) (ndash3 0) (ndash3 2)

c) (5 3) (2 ndash3) (ndash2 ndash3) (ndash5 +3) d) (2 4) (3 0) (2 ndash4) (ndash7 0)


4 A monitoron a koordinaacuteta-rendszer kezdőpontja a keacutepernyő bal alsoacute sarka A rajzoloacute

teknőc helyzete A(140 220)

a) Hovaacute keruumll a teknőc ha (100 ndash80) keacuteppontvektorral elmozdul a keacutepernyőn

b) Hataacuterozd meg az uacutej pontba mutatoacute helyvektort

Megoldaacutes

a) B(240 140) b) Megegyezik a pont koordinaacutetaacuteival (240 140)

5 A keacutepernyő meacuteretei a monitoron 32 cm szeacuteles eacutes 24 cm magas a monitor felbontaacutesa

1024 x 768 keacuteppont a koordinaacuteta-rendszer kezdőpontja a bal alsoacute sarokban van Gizi

huacutezott egy szakaszt amelynek kezdőpontja (358 690) veacutegpontja (870 340)

a) Haacuteny keacuteppont a vonal hossza

b) Az egeacuter mozgataacutesaacuteval a teljes keacutepernyőt 45 cm oldaluacute neacutegyzet alakuacute teruumlletekkel

lehet bekeretezni Mennyi utat tett meg Gizi egere mialatt a vonalat megrajzolta

Megoldaacutes

a) kb 620 keacuteppont mert a kuumlloumlnbseacutegvektor (512 ndash350) hosszaacuteval leacutenyegeacuteben meg-

egyezik

b) viacutezszintesen 5221024

455121024

45)358870( =sdot=sdotminus mm fuumlggőlegesen

52076845350

76845)340690( asympsdot=sdotminus a taacutevolsaacuteg 30520522 22 asymp+ mm

6 Adott a(ndash2 4) eacutes b(4 4) Szaacutemiacutetsd ki a koumlvetkező vektorműveletek eredmeacutenyeacutet eacutes

aacutebraacutezold a megoldaacutest a koordinaacuteta-rendszerben Hataacuterozd meg az eredmeacutenyvektorok

hosszaacutet is

a) ba 2minus b) ab 22+ c)

23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes

a) (ndash 10 ndash4) 108 egyseacuteg b) (ndash 2 10) 102 egyseacuteg

c) (ndash 8 10) 128 egyseacuteg d) (0 3) 3 egyseacuteg


7 Adott a(2 ndash3) eacutes b(4 1) Szaacutemiacutetsd ki a koumlvetkező vektorműveletek eredmeacutenyeacutet eacutes


hosszaacutet is a) a + 2b ndash 2a b) abba32

213

31

++minus c) 5a ndash (4b ndash a)

Megoldaacutes

a) 2b ndash a (6 5) eacutes 8761 asymp b) ba25

minus (ndash8 ndash55) eacutes 792594 asymp

c) 6a ndash 4b (ndash4 ndash22) eacutes 422500 asymp

8 Adottak a (10 3) b (15 ndash5) eacutes c (ndash4 ndash8) Melyek a d vektor koordinaacutetaacutei ha a meg-

adott vektorok oumlsszege nullvektor

a) a + b + c + d b) 2a ndash b ndash d + c c) 3

4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes

a) a + b + c (21 ndash10) vagyis d(ndash21 10) b) 0415102 1 =minusminusminussdot d ahonnan 11 =d

32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163

9 Rajzold meg az AB vektort ha A(2 3) eacutes B(5 ndash1) Rajzolj olyan vektorokat amelyek

egyenlőek AB -vel eacutes kezdőpontjuk a) C(3 1) b) D(0 ndash2) c) E(ndash1 ndash4)

Megoldaacutes a) (6 ndash3) b) (3 ndash6) c) (2 ndash8)

10 Hataacuterozd meg annak a teacuteglalapnak az oldalvektorait amelynek egyik oldala keacutetszer

akkora mint a maacutesik eacutes az egyik oldal csuacutecsai (3 3) eacutes (1 6)

Megoldaacutes Neacutegy olyan teacuteglalap van amelyek a feladat felteacuteteleinek megfelelnek Az oldal-

vektorok (2 ndash3) eacutes (6 4) (ezek baacutermelyikeacutenek ellentettje is megoldaacutes) valamint a

(2 ndash3) eacutes (15 1) (itt is vehetjuumlk baacutermelyik ellentettjeacutet is)

11 Hataacuterozd meg a (3 4) vektorral paacuterhuzamos egyseacutegvektor koordinaacutetaacuteit


Megoldaacutes A vektort elosztjuk a hosszaacuteval ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

54

53

12 Melyik az a vektor amelyik az (5 12) vektorra merőleges eacutes hossza 20 egyseacuteg

Megoldaacutes

A vektorral paacuterhuzamos egyseacutegvektort szorozzuk 20-szal majd elforgatjuk 90deg-kal

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251

22 Ennek a vektornak a keacutetiraacutenyuacute 90deg-os elforgatott-

ja a megoldaacutes v1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

13100

13240 eacutes v2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240

Vektor felmeacutereacutese adott pontboacutel Mintapeacutelda9 Egy paralelogramma csuacutecsai A(ndash3 4) B( 1 6) C(0 3) D(ndash4 1)

a) Hataacuterozzuk meg az AB eacutes a CD oldalvektorokat

b) Milyen oumlsszefuumlggeacutes van a paralelogramma szemkoumlzti oldalainak vektorai koumlzoumltt

c) Egy az ABCD paralelogrammaacuteval egybevaacutegoacute paralelogramma egyik csuacutecsa Drsquo(0ndash2) Ha-

taacuterozzuk meg a maacutesik haacuterom csuacutecs koordinaacutetaacuteit

Megoldaacutes

a) Mindkettő (4 2) vagy (ndash4 ndash2)

b) A szemkoumlzti oldalvektorok egyenlőek vagy ellentettek

c) Drsquo-ből felmeacuterjuumlk a DA (1 3) vektort eacutes leolvassuk a

veacutegpont koordinaacutetaacuteit Arsquo (1 1)

Drsquo-ből felmeacuterjuumlk a DC (4 2) vektort eacutes leolvassuk a

veacutegpont koordinaacutetaacuteit Crsquo (4 0)

Arsquo-ből felmeacuterjuumlk a DC (4 2) vektort eacutes leolvassuk a

veacutegpont koordinaacutetaacuteit Brsquo (5 3)

Eacutes meacuteg haacuterom maacutesik megoldaacutest

is talaacutelunk

Az előbbi peacuteldaacuteban toumlbbszoumlr előfordult hogy a vektort egy adott pontboacutel kell felmeacuterni eacutes a

veacutegpont koordinaacutetaacuteit keressuumlk Peacuteldaacuteul


Koraacutebban maacuter volt szoacute arroacutel hogy a vektor koordinaacutetaacuteit uacutegy kapjuk hogy a veacutegpont koordi-

naacutetaacuteiboacutel kivonjuk a kezdőpont koordinaacutetaacuteit

Ha adott egy vektor eacutes a kezdőpontja akkor a veacutegpontjaacutenak koordinaacutetaacuteit uacutegy kapjuk hogy

oumlsszeadjuk a vektor eacutes a kezdőpont megfelelő koordinaacutetaacuteit

Mintapeacutelda10 Adott a koordinaacuteta-rendszerben egy neacutegyszoumlg amelynek csuacutecsai A(1 5) B(7 1) C(7 5)

D(4 7)

a) Bizonyiacutetsuk be hogy a neacutegyszoumlg trapeacutez

b) Doumlntsuumlk el hogy szimmetrikus-e a trapeacutez vagy nem Doumlnteacutesuumlnket igazoljuk szaacutemiacutetaacutessal

c) Hataacuterozzuk meg a neacutegyszoumlg teruumlleteacutet

Megoldaacutes

a) Megvizsgaacuteljuk az oldalvektorokat Amennyiben keacutet

vektor paacuterhuzamos akkor egymaacutes szaacutemszorosai

vagyis a megfelelő koordinaacutetaacutek haacutenyadosa egyen-

lő

Az aacutebra alapjaacuten a szoacuteba joumlhető keacutet vektor AB eacutes DC

koordinaacutetaacuteik

AB = (b1 ndash a1 b2 ndash a2) = (6 ndash4) valamint

DC = (c1 ndash d1 c2 ndash d2) = (3 ndash2)

236= eacutes 2

24=

minusminus vagyis DCAB sdot= 2 tehaacutet van keacutet

paacuterhuzamos oldal a neacutegyszoumlg trapeacutez

b) A trapeacutez csak akkor lehet szimmetrikus ha szaacuterainak hossza egyenlő ezeacutert kiszaacutemiacutet-

juk az AD eacutes BC taacutevolsaacutegokat

Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)

A (a1 a2) AB (x y) rArr B (a1 + x a2 + y) A (a1 a2)

AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető

k middot a (a1 a2) rArr (k middot a1 k middot a2)


1323)()( 22222

211 =+=minus+minus= adadAD egyseacuteg eacutes BC = 4 egyseacuteg a szaacuterak

hossza nem egyenlő a trapeacutez nem szimmetrikus

c) A teruumllet kiszaacutemiacutetaacutesaacutehoz segiacutetseacuteguumll hiacutevjuk a neacutegyzetraacute-

csot teacuteglalap alakuacute keretbe foglaljuk a neacutegyszoumlget eacutes a

teacuteglalap teruumlleteacuteből kivonjuk a dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlgek

teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot

sdotminus=T egyseacuteg

Feladatok

13 Egy paralelogramma haacuterom csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacutei

a) A(ndash3 ndash2) B(4 0) C(6 3) b) A(ndash1 6) B(7 2) C(3 ndash2)

c) A(5 ndash4) B(ndash1 4) C(2 8) d) A(0 ndash5) B(0 3) C(2 0)

Hataacuterozd meg a paralelogramma negyedik csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacuteit ha adott haacuterom

csuacutecsa

Megoldaacutes a) (ndash1 1) b) (ndash5 2) c) (8 0) d) (2 ndash8)

14 Egy paralelogramma haacuterom csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacutei (3 1) (2 4) eacutes (ndash2 1) Hataacuterozd

meg a negyedik csuacutecs koordinaacutetaacuteit Figyelj a megoldaacutesok szaacutemaacutera is

Megoldaacutes (ndash1 ndash2) (ndash3 4) (7 4)

15 Hataacuterozd meg a neacutegyzet hiaacutenyzoacute csuacutecsainak koordinaacutetaacuteit ha keacutet szomszeacutedos csuacutecsaacute-

nak koordinaacutetaacutei

a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes

Meghataacuterozzuk az oldalvektor koordinaacutetaacuteit majd a vektort mindkeacutet iraacutenyban elforgatjuk

90deg-kal Az iacutegy kapott koordinaacutetaacutekhoz hozzaacuteadjuk a megadott pont koordinaacutetaacuteit A ka-

pott koordinaacutetaacutek a) C(5 5) D(0 5) eacutes C(5 ndash5) D(0 ndash5)

b) C(6 ndash7) D(8 ndash2) eacutes C(ndash4 ndash3) D(ndash2 2) c) C(9 2) D(7 8) eacutes C(ndash3 ndash2) D(ndash5 4)


16 Egy neacutegyzet aacutetloacuteinak metszeacutespontja a K(ndash2 2) pont egyik csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacutei

A(1 2) Hataacuterozd meg a tovaacutebbi csuacutecsok koordinaacutetaacuteit

Megoldaacutes KA -t mindkeacutet iraacutenyban elforgatjuk 90deg-kal eacutes az iacutegy kapott vektorok koordinaacutetaacutei-

hoz hozzaacuteadjuk K pont koordinaacutetaacuteit (ekkor kapjuk B eacutes D csuacutecsok koordinaacutetaacuteit) C csuacutecs

koordinaacutetaacuteit uacutegy kapjuk meg hogy K koordinaacutetaacuteihoz hozzaacuteadjuk AK megfelelő koordi-

naacutetaacuteit Eredmeacutenyek B(ndash2 5) C(ndash5 2) D(ndash2 ndash1)

17 Egy teacuteglalap egyik oldala haacuteromszor olyan hosszuacute mint a maacutesik A roumlvidebb oldal keacutet

veacutegpontja (0 ndash1) eacutes (ndash2 2) Hataacuterozd meg a teacuteglalap tovaacutebbi csuacutecsainak koordinaacutetaacuteit

Megoldaacutes

Az oldalvektor (2 ndash3) ezt 90deg-kal elforgatva a (3 2) eacutes a (ndash3 ndash2) vektorokat kapjuk

ezeket 3-mal megszorzunk (9 6) eacutes (ndash9 ndash6) Az adott keacutet csuacutecsboacutel keacutet megoldaacutest ka-

punk (9 5) eacutes (7 8) valamint (ndash9 ndash7) eacutes (ndash11 ndash4)

18 Egy neacutegyzet aacutetloacuteinak metszeacutespontja a K(1 ndash1) pont egyik oldalfelező pontja az

F(5 ndash3) Hataacuterozd meg a neacutegyzet csuacutecsainak koordinaacutetaacuteit teruumlleteacutet eacutes keruumlleteacutet

Megoldaacutes

KF vektort elforgatjuk 90deg-kal mindkeacutet iraacutenyban ezek

koordinaacutetaacuteihoz hozzaacuteadjuk K megfelelő koordinaacutetaacuteit (kap-

juk G eacutes H pontokat) A kapott pontok koordinaacutetaacuteihoz

hozzaacuteadjuk KF -nek eacutes ellentettjeacutenek megfelelő koordinaacute-

taacuteit Eredmeacutenyek

A(3 ndash7) B(7 1) C(ndash1 5) D(ndash5 ndash3)

Az oldalhossz 80 a keruumllet 358 a teruumllet 80

19 Egy neacutegyzet aacutetloacuteinak metszeacutespontja a K(ndash1 0) pont egyik oldalvektora az a (ndash6 2)

vektor Melyek a neacutegyzet csuacutecsainak koordinaacutetaacutei

Megoldaacutes

Az aacutebra szerint a 2a (ndash3 1) vektort elforgatjuk 90deg-kal eacutes

a kapott (ndash1 ndash3) vektorhoz hozzaacuteadjuk A (ndash4 ndash2) oumlsz-


szegvektort meacuterjuumlk fel K-boacutel iacutegy megkapjuk a neacutegyzet egyik csuacutecsaacutet

Az eredmeacutenyek (1 ndash4) (ndash5 ndash2) (ndash3 4) (3 2)

20 Egy teacuteglalap aacutetloacuteinak metszeacutespontja a K(1 2) pont eacutes az egyik hosszabb oldalaacutenak

felezőpontjaacuteba mutatoacute vektor koordinaacutetaacutei a(05 15) Hataacuterozd meg a teacuteglalap csuacutecsa-

inak koordinaacutetaacuteit ha egyik oldala haacuteromszor olyan hosszuacute mint a maacutesik oldala

Megoldaacutes

Jeloumllje b az a 90deg-kal elforgatottjaacutet Tekintsuumlk az a + 3b

vektort ez adja a teacuteglalap egyik csuacutecsaacutet Eredmeacutenyek

(6 2) (ndash3 5) (ndash4 2) (5 ndash1)

21 Egy deltoid aacutetloacuteinak metszeacutespontja a K(2 2) pont amely a hosszabb aacutetloacute egyik harma-

doloacute pontjaacuteban talaacutelhatoacute A roumlvidebb aacutetloacute hosszaacutenak maacutesfeacutelszerese a nagyobb aacutetloacute

hossza eacutes a roumlvidebb aacutetloacute egyik veacutegpontja az A(0 5) pont Hataacuterozzuk meg a deltoid

toumlbbi csuacutecsaacutet

Megoldaacutes (ndash4 ndash2) (4 ndash1) (5 4) eacutes (0 ndash1) (4 ndash1) (8 6)


III Vektorok skalaacuteris szorzata

A fizikaacuteban a vektormennyiseacutegekből szaacutemokat is keacutepezhetuumlnk Jellemző peacutelda erre a munka

(W) Ha egy szaacutenkoacutet huacutezunk akkor az F huacutezoacuteerő gyorsiacutetaacutesra fordiacutetott munkaacuteja annaacutel na-

gyobb mineacutel kisebb szoumlget zaacuter be a koumlteacutel a talajjal

Az F erő aacuteltal veacutegzett munka fuumlgg

bull az F erő nagysaacutegaacutetoacutel (F)

bull az elmozdulaacutes nagysaacutegaacutetoacutel (s) valamint

bull az erővektor (F) eacutes az elmozdulaacutesvektor (s) aacuteltal bezaacutert szoumlgtől

A munka skalaacutermennyiseacuteg (szaacutem) miacuteg az elmozdulaacutes eacutes az erő vektormennyiseacutegek A keacutet

vektormennyiseacutegből azok skalaacuteris szorzata adja a munkaacutet W = F middot s

A vektorok skalaacuteris szorzata fuumlgg a vektorok hosszaacutetoacutel eacutes hajlaacutesszoumlguumlktől

Iacutegy maacuter eacuterthető hogy ha egy erő az elmozdulaacutesra merőleges (α = 90deg) akkor az mieacutert nem

veacutegez munkaacutet (cos α = 0) Igazolhatoacute hogy keacutet vektor skalaacuteris szorzata akkor eacutes csak akkor

nulla ha merőlegesek egymaacutesra

Ha az egyik vektor egyseacutegvektor akkor a skalaacuteris szorzat a

maacutesik vektornak az egyseacutegvektor egyeneseacutere eső merőleges

a eacutes b vektorok skalaacuterszorzata a b = |a| |b|cos α

ahol α a keacutet vektor aacuteltal bezaacutert szoumlg (hajlaacutesszoumlguumlk)


vetuumlleteacutenek előjeles hosszaacuteval egyenlő

Ha a keacutet vektor paacuterhuzamos α = 0deg miatt cos α = 1 iacutegy a skalaacuteris szorzat a keacutet vektor hosz-

szaacutenak szorzata Egy vektor oumlnmagaacuteval valoacute skalaacuteris szorzata a vektor hosszaacutenak a neacutegyzeteacute-

vel egyenlő a2 = a middot a = | a | middot | a | middot 1 = | a |2 ahonnan 2|| aa =

A vektorok skalaacuteris szorzaacutesaacutenak neacutehaacuteny tulajdonsaacutegaacutet feladatokban is gyakran alkalmazzuk

a middot b = b middot a (kommutativitaacutes) eacutes a middot (b + c) = a middot b + a middot c (disztributivitaacutes)

A skalaacuteris szorzat kifejezhető a vektorkoordinaacutetaacutekkal is

a middot b = | a | middot | b | middot cos α = a1 middot b1 + a2 middot b2

Keacutet vektor akkor eacutes csak akkor merőleges egymaacutesra ha a skalaacuteris szorzatuk eacuterteacuteke nulla

02211 =sdot+sdot baba

A koordinaacuteta-rendszer baacutezisvektoraira eacuterveacutenyes oumlsszefuumlggeacutesek i2 = j2 = 1 eacutes i middot j = 0

Mintapeacutelda11 Hataacuterozzuk meg az a(ndash1 5) eacutes a b(6 3) vektorok skalaacuteris szorzataacutet eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet

Megoldaacutes

A koordinaacutetaacutekboacutel 9356)1( =sdot+sdotminus=sdotba

A hajlaacutesszoumlg meghataacuterozaacutesaacutehoz kiszaacutemiacutetjuk a vektorok hosszaacutet 26|| 22

21 =+= aaa

eacutes 45|| 22

21 =+= bbb A hajlaacutesszoumlget kifejezzuumlk a skalaacuteris szorzatboacutel

45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba

baα ahonnan a hajlaacutesszoumlg 747deg

Megjegyzeacutes A hajlaacutesszoumlg a skalaacuteris szorzat alkalmazaacutesa neacutelkuumll is meghataacuterozhatoacute szoumlg-

fuumlggveacutenyek eacutes a neacutegyzetraacutecs segiacutetseacutegeacutevel

Feladatok

22 Hataacuterozd meg a koumlvetkező vektorok skalaacuteris szorzataacutet

a) A vektorok hossza 6 illetve 7 egyseacuteg koumlzbezaacutert szoumlguumlk 60deg

b) A vektorok hossza 4 illetve 10 egyseacuteg koumlzbezaacutert szoumlguumlk 120deg

2211 baba sdot+sdot=sdotba


c) a( 5 3) eacutes b(ndash2 7)

d) a = 4i + 5j eacutes b = ndash9j + 4i

e) a = 3i + 12j eacutes b = ndash4i + j

Megoldaacutes a) 21 b) ndash20 c) 11 d) ndash29 e) 0

23 Az ABC szabaacutelyos haacuteromszoumlg oldala 6 cm F-fel jeloumlljuumlk a BC oldal felezőpontjaacutet

Hataacuterozd meg az alaacutebbi skalaacuteris szorzatok eacuterteacutekeacutet

a) ACAB sdot b) BCAB sdot c) BFAF sdot d) BFBA sdot

Megoldaacutes a) 18 b) ndash18 c) 0 d) 9

24 Az ABCD neacutegyzet oldala 5 egyseacuteg hosszuacute A BC oldal felezőpontjaacutet F jeloumlli eacutes a BF

szakasz felezőpontjaacutet P A neacutegyzet koumlzeacuteppontja K Hataacuterozd meg az alaacutebbi skalaacuteris

szorzatok eacuterteacutekeacutet

a) ADAB sdot b) DCAB sdot c) CBAD sdot d) AFAB sdot

e) ABAK sdot f) AFAP sdot g) KFKP sdot

Megoldaacutes a) 0 b) 25 c) ndash25 d) 25 e) 125 f) 1288

225asymp g) 625

25 Hataacuterozd meg az a eacutes b vektor hajlaacutesszoumlgeacutet ha

a) a(12 4) eacutes b(4 12) b) a( 4 5) eacutes b( -8 -10)

c) a(25) eacutes b(6 ndash4) d) a(ndash8 3) eacutes b(ndash3 ndash5)

Megoldaacutes a) 531deg b) 180deg c) 1019deg d) 796deg

26 Vaacutelaszd ki hogy mely vektorok eacutes hajlaacutesszoumlgek nem tartoznak oumlssze

a) a(2 3) b(ndash3 8) 682deg b) a(ndash4 5) b(ndash6 3) 779deg

c) a(ndash7 ndash2) b(8 3) 1754deg d) a(2 5) b(ndash7 ndash5) 153deg

Megoldaacutes a) eseteacuten 542deg d) eseteacuten 1473deg b) 248 deg

27 Egeacutesziacutetsd ki a mondatot Ha keacutet vektor skalaacuteris szorzata negatiacutev a keacutet vektor hajlaacutes-

szoumlge hellip

A skalaacuteris szorzat abszoluacuteteacuterteacuteke legfeljebb hellip

Megoldaacutes tompaszoumlg a keacutet vektor hosszaacutenak a szorzata lehet


28 Hataacuterozd meg y eacuterteacutekeacutet uacutegy hogy a (3 8) eacutes a (ndash2 y) vektorok merőlegesek legyenek

egymaacutesra

Megoldaacutes Mivel a keacutet vektor skalaacuterisszorzata 0 innen 43

=y

29 Hataacuterozd meg az ABC haacuteromszoumlg szoumlgeit ha A(ndash3 2) B(4 4) C(1 ndash3)

Megoldaacutes

Ceacutelszerű az oldalvektorok skalaacuteris szorzataacuteval dolgozni Peacuteldaacuteul az )27(AB eacutes az

)54( minusAC hossza 53 illetve 41 koordinaacutetaacuteikkal szaacutemolva a skalaacuteris szorzat 18

Innen deg=α 367 A maacutesik keacutet szoumlg nagysaacutega 618deg eacutes 509deg

30 Hataacuterozd meg az ABCD neacutegyszoumlg szoumlgeit ha A(ndash2 4) B(2 2) C(ndash1 ndash3) D(ndash4 0)

Megoldaacutes

A megoldaacutes moacutedszere hasonloacute az előző feladatban hasznaacutelt moacutedszerhez

Az eredmeacutenyek 90deg 1084deg 76deg eacutes 856deg

31 A skalaacuteris szorzat definiacutecioacuteja alapjaacuten doumlntsd el hogy a skalaacuteris szorzaacutes kommutatiacutev

illetve asszociatiacutev művelet-e

Megoldaacutes

Kommutatiacutev mert a skalaacuteris szorzat definiacutecioacutejaacuteban szereplő szaacutemok szorzaacutesa kommuta-

tiacutev művelet Viszont nem asszociatiacutev (a middot b) middot c = ( | a | middot | b | middot cosα)middotc ami c-vel paacuterhu-

zamos vektort ad miacuteg a middot (b middot c) = a middot ( | b | middot | c | middot cosβ) ami a-val paacuterhuzamos vektort

eredmeacutenyez Nem volt felteacutetel a eacutes c paacuterhuzamossaacutega iacutegy az egyenlőseacuteg aacuteltalaacutenos eset-

ben nem aacutell fenn

Megjegyzeacutes A skalaacuteris szorzat kivezet a vektorok halmazaacuteboacutel iacutegy haacuterom

vektor skalaacuteris szorzataacuteroacutel nem is lehet beszeacutelni


IV Osztoacutepontok suacutelypont koordinaacutetaacutei Moacutedszertani megjegyzeacutes A keacutepletek igazolaacutesa nem a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi tananyaga Megta-

laacutelhatoacute ugyan a szoumlvegben az eacuterdeklődő diaacutekok szaacutemaacutera de a felezőpont koordinaacutetaacuteit tapasz-

talatokon keresztuumlli szabaacutelykereseacutessel bdquovezetjuumlk lerdquo a harmadoloacute pont koordinaacutetaacuteinak leveze-

teacutese pedig mintapeacuteldaacuteban szerepel mint a felezőpont levezeteacutesekor hasznaacutelt moacutedszer kiter-

jeszteacutese Amennyiben a felezőpont levezeteacuteseacutet aacutetvetteacutek a tanuloacutekkal joacute peacutelda analoacutegia hasznaacute-

lataacutera a toumlbbi osztoacutepont koordinaacutetaacuteinak meghataacuterozaacutesa is

Felezőpont koordinaacutetaacutei Mintapeacutelda12 Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladatot projektor hasznaacutelataacuteval javasolt feldolgozni (a tanaacuteri

anyaghoz tartozoacute bemutatoacuteban szerepelnek a mintapeacuteldaacutek) munkafuumlzet neacutelkuumll Minden tanuloacute

meghataacuteroz a csoportboacutel egy felezőpontot majd egyuumltt megkeresik a szabaacutelyt

a) Olvassuk le a veacutegpontjaikkal megadott szakaszok felezőpontjaacutenak koordinaacutetaacuteit a szakaszok

felrajzolaacutesa utaacuten Ha kell szerkesszuumlk meg a felezőpontot

A(0 0) B (10 5) P(ndash8 ndash4) Q( 6 10) R(ndash7 2) S(4 ndash3) C(2 8) D(7 2)

b) Fogalmazzunk meg szabaacutelyt amelyik a felezőpont koordinaacutetaacutei eacutes a szakasz veacutegpontjainak

koordinaacutetaacutei koumlzoumltti kapcsolatot iacuterja le

Megoldaacutes

A felezőpontok rendre F(5 25) G(ndash1 3) H(ndash15 ndash05) J(45 5)

Megjegyzeacutes A felezőpont koordinaacutetaacutei a veacutegpontok megfelelő koordinaacutetaacuteinak szaacutemtani

koumlzepe

Adottak a szakasz keacutet veacutegpontjaacutenak koordinaacutetaacutei Ekkor a felezőpont koordinaacutetaacuteit

uacutegy kapjuk hogy a veacutegpontok megfelelő koordinaacutetaacuteinak oumlsszegeacutet 2-vel osztjuk


Az F felezőpont koordinaacutetaacutei megegyeznek a hozzaacute vezető f

helyvektor koordinaacutetaacuteival Iacutegy F meghataacuterozaacutesaacutehoz elegendő

a szakasz veacutegpontjaiba mutatoacute a eacutes b helyvektorokkal kife-

jezni az f vektort

Az aacutebraacuteroacutel leolvashatoacute hogy 22

baabaf +=

minus+=

Feladatok Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkezőkben a diaacutekkvartett vagy az ellenőrzeacutes paacuterban moacutedszert

ajaacutenljuk Egyes feladatoknak 4 reacuteszfeladata van iacutegy azok alkalmasak arra is hogy a csoport 4

tagja maacutes-maacutes szaacutemokkal paacuterhuzamosan veacutegezze ugyanazt a feladatot

32 Az A pontba mutatoacute helyvektor a b pedig a B pontba mutatoacute helyvektor Hataacuterozd

meg az AB szakasz felezőpontjaacuteba mutatoacute f helyvektor koordinaacutetaacuteit

a) a(5 1) b(3 9) b) a(ndash3 1) b(3 ndash5)

c) a(ndash6 ndash3) b(5 ndash3) d) a(5 ndash7) b(ndash9 ndash2)

Megoldaacutes a) f(4 5) b) f(0 ndash2) c) f(ndash05 ndash3) d) f(ndash2 ndash45)

33 Egy szakasz felezőpontja F egyik veacutegpontja az A pont Hataacuterozd meg a szakasz maacutesik

veacutegpontjaacutet ha a) F(ndash05 05) eacutes A(2 4) b) A(ndash6 1) eacutes F(4 1)

c) A(ndash2 4) eacutes F(1 1) d) A(ndash3 ndash1) eacutes F(1 1)

Megoldaacutes Ceacutelszerű az 2

baf += keacutepletből kifejezni a b = 2f ndash a helyvektort

Az eredmeacutenyek a) (ndash3 ndash3) b) (14 1) c) (4 ndash2) d) (5 3)

34 Adottak egy haacuteromszoumlg csuacutecsainak koordinaacutetaacutei A(ndash6 ndash3) B(4 1) C(0 5) Hataacuterozd

meg a koumlzeacutepvonalak haacuteromszoumlgeacutenek csuacutecspontjait


35 Adottak egy haacuteromszoumlg oldalfelező pontjai P(ndash6 ndash3) Q(4 1) R(0 5) Hataacuterozd meg

a haacuteromszoumlg csuacutecsainak koordinaacutetaacuteit

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF


Megoldaacutes (ndash10 1) (ndash2 ndash7) ( 10 9)

36 Adott az AB szakasz keacutet veacutegpontja A(0 ndash2) eacutes B(3 2) A szakaszt meghosszabbiacutetjuk

mindkeacutet iraacutenyban a sajaacutet hosszaacuteval Mik lesznek az iacutegy nyert szakasz veacutegpontjainak

koordinaacutetaacutei

Megoldaacutes (ndash3 ndash6) eacutes (6 6)

37 Adott hat pont amelyek egy haacuteromszoumlg csuacutecsai eacutes oldalfelező pontjai Doumlntsd el

aacutebraacutezolaacutes neacutelkuumll hogy melyek a csuacutecspontok A koordinaacutetaacutek (0 2) (1 ndash1) (ndash3 4)

(ndash1 ndash2) (3 0) eacutes (ndash2 1)

Megoldaacutes

A csuacutecsok (3 0) (ndash1 ndash2) eacutes (ndash3 4)

Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat megoldaacutesaacutet aacutebraacutezolaacutessal ellenőrizhetik a diaacutekok de csak

ha a vaacutelaszadaacutes megtoumlrteacutent

38 Hataacuterozd meg a koumlzeacutepvonalak (vagyis a szemkoumlzti oldalak felezőpontjait oumlsszekoumltő

szakaszok) vektorait ha a neacutegyszoumlg csuacutecsai A(ndash1 3) B(6 ndash1) C(4 ndash5) D(ndash3 ndash4)

Megoldaacutes

A felezőpontok rendre P(25 1) Q(5 ndash3) R(05 ndash45) S(ndash2 ndash05) a koumlzeacutepvonalak

vektorai PR (ndash2 ndash55) eacutes QS (ndash7 25)

39 Egy paralelogramma szomszeacutedos csuacutecsai A(ndash2 4) eacutes B(6 6) aacutetloacuteinak metszeacutespontja

K(1 2) Hataacuterozd meg a paralelogramma maacutesik keacutet csuacutecsaacutet


40 Az ABC haacuteromszoumlget keacutetszereseacutere nagyiacutetottuk egy K pontboacutel A csuacutecsok koordinaacutetaacutei

A(1 4) B(ndash3 2) C(ndash2 ndash2) A B csuacutecs keacutepe Brsquo(00) Hataacuterozd meg a keacutephaacuteromszoumlg

maacutesik keacutet csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacuteit

Megoldaacutes

A koumlzeacuteppontos hasonloacutesaacuteg tulajdonsaacutega szerint B a KBrsquo szakasz felezőpontja iacutegy

K(ndash6 4) A maacutesik keacutet csuacutecs Arsquo(8 4) eacutes Crsquo(2 ndash8)


41 Hataacuterozd meg a neacutegyzet hiaacutenyzoacute csuacutecsait ha keacutet szemkoumlzti csuacutecsaacutenak koordinaacutetaacutei

a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)

Megoldaacutes a) (3 3) eacutes (3 ndash3) b) (5 ndash3) eacutes (ndash1 ndash1) c) (5 4) eacutes (ndash1 2)

Osztoacutepontok koordinaacutetaacutei A szakasz felezőpontjaacutenak meghataacuterozaacutesakor a felezőpontba mutatoacute helyvektort fejeztuumlk ki a

veacutegpontokba mutatoacute helyvektorok segiacutetseacutegeacutevel Ezt a moacutedszert a szakasz baacutermely osztoacutepont-

jaacutenak feliacuteraacutesakor koumlvethetjuumlk Vizsgaacuteljuk meg harmadoloacutepontok eseteacuten hogyan alakulnak az

oumlsszefuumlggeacutesek

Mintapeacutelda13 A szakasz A veacutegpontjaacuteba mutatoacute helyvektor a B veacutegpontjaacuteba mutatoacute helyvektor b Iacuterjuk fel a

harmadoloacutepontokba mutatoacute helyvektorokat az a eacutes b vektorokkal

Megoldaacutes

Jeloumllje h1 az A-hoz koumlzelebbi h2 a maacutesik

harmadoloacutepontba mutatoacute helyvektort

A h1 feliacuterhatoacute keacutet vektor oumlsszegekeacutent

32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=

Hasonloacutean a h2 helyvektorra

32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=

Az A eacutes B veacutegpontuacute szakaszok harmadoloacute pontjainak koordinaacutetaacutei

Megjegyzeacutes 1 A harmadoloacutepontok meghataacuterozaacutesaacuteval analoacuteg moacutedon a szakaszt baacutermely

araacutenyban osztoacute pont koordinaacutetaacutei meghataacuterozhatoacutek

2 A harmadoloacutepont koordinaacutetaacuteit a szakasz veacutegpontjaiba mutatoacute helyvektorok suacutelyozott

szaacutemtani koumlzepekeacutent kapjuk meg

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H


A haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacutei A siacutekidomok iacutegy a haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak meghataacuterozaacutesa tervezői szempontboacutel fontos

statikai feladat A fizikaacuteban eacutes kapcsoloacutedoacute tudomaacutenyaiban (peacuteldaacuteul a teacuterinformatikaacuteban) a

testeket aacuteltalaacuteban a suacutelypontjukkal helyettesiacutetik A koordinaacutetageometriaacuteban egyszerű

oumlsszefuumlggeacutest talaacutelunk a haacuteromszoumlg csuacutecsainak eacutes suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacutei koumlzoumltt

Megjegyzeacutes Az oumlsszefuumlggeacutes levezeteacuteseacutenek egyik moacutedszere a suacutelypontba mutatoacute

helyvektor feliacuteraacutesa a csuacutecsokba mutatoacute helyvektorok segiacutetseacutegeacutevel Egy maacutesik moacutedszer a

suacutelyvonal ismeretlen veacutegpontjaacutet a felezőpont keacutepleteacutevel iacuterja fel eacutes azt hasznaacutelja ki hogy

a suacutelypont a suacutelyvonal csuacutecshoz koumlzelebbi harmadoloacute pontja A levezeteacutes az emelt

szintű eacuterettseacutegi anyaga ezeacutert ezen a helyen nem foglalkozunk vele

Feladatok

42 Hataacuterozd meg a koumlvetkező A eacutes B veacutegpontjaikkal megadott szakaszok harmadoloacute

pontjait a) A(ndash4 ndash1) B(5 2) b) A(ndash3 3) B(3 ndash1)

Megoldaacutes a) (ndash1 0) eacutes (2 1) b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351

43 Hataacuterozd meg a szakasz ismeretlen veacutegpontjaacutenak koordinaacutetaacuteit ha egyik veacutegpontja A eacutes

egyik harmadoloacute pontja H a) A(4 0) H(1 1) b) A(6 ndash2) H(30)

Megoldaacutes Keacutet ilyen szakasz lehetseacuteges a) (ndash5 3) eacutes (-05 15) b) (ndash3 4) eacutes (15 1)

44 Hataacuterozd meg a szakasz oumlsszes negyedelő pontjaacutet ha veacutegpontjai A(0 ndash1) eacutes B(3 5)

A haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacutei a csuacutecsok megfelelő

koordinaacutetaacuteinak szaacutemtani koumlzepei

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes

A feladat megoldhatoacute a negyedelő osztoacutepontokra vonatkozoacute keacutepletek segiacutetseacutegeacutevel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2

43 bababa vagy az AB

41 illetve keacutetszereseacutenek haacuteromszorosaacutenak A-boacutel

valoacute meghataacuterozaacutesaacuteval Eredmeacutenyek ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43

45 Hataacuterozd meg az ABC haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacuteit A megoldaacutest

szerkeszteacutessel ellenőrizd

a) A(ndash5 2) B(5 8) C(9 ndash4) b) A(ndash2 ndash2) B(ndash2 3) C(5 3)

Megoldaacutes a) (3 2) b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34

31

46 Forgasd el az ABC haacuteromszoumlget a suacutelypontja koumlruumll 90deg-kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval

ellenteacutetes iraacutenyba Melyek az uacutej haacuteromszoumlg csuacutecsainak koordinaacutetaacutei ha az eredeti

haacuteromszoumlg csuacutecsainak koordinaacutetaacutei A(7 2) B(ndash3 ndash3) C(5 4)

Megoldaacutes Arsquo(2 5) Brsquo(7 ndash5) Crsquo(0 3)

47 Adott egy haacuteromszoumlg keacutet csuacutecsa eacutes suacutelypontja Hataacuterozd meg a harmadik csuacutecs

koordinaacutetaacuteit a) A(5 ndash7) B(2 4) S(4 ndash2) b) A(5 6) B(1 ndash4) S(ndash2 3)

Megoldaacutes a) (5 ndash3) b) (ndash12 7)

48 Adottak az ABC haacuteromszoumlg csuacutecsai A(0 5) B(7 2) C(ndash5 ndash3) Hataacuterozd meg az A

csuacutecsboacutel induloacute suacutelyvonal hosszaacutet

Megoldaacutes 652531 asymp egyseacuteg

52 triminoacute


azonos felezőpontot tartalmazoacute eacutelek oumlsszeilleszteacuteseacutevel kell kirakni Az eacuterteacutekeleacutes alapja a he-

lyes kirakaacutes sebesseacutege


Kislexikon

Lineaacuteris kombinaacutecioacute Ha a koordinaacuteta-rendszerben egy vektort az i eacutes a j egyseacutegvektorok

segiacutetseacutegeacutevel bontunk fel akkor megkapjuk a vektor lineaacuteris kombinaacutecioacutejaacutet a v = v1 middot i +

v2 middot j alakuacute feliacuteraacutest v1 eacutes v2 szaacutemokat vagyis i eacutes j vektorok szorzoacuteit a v vektor koordinaacutetaacuteinak

nevezzuumlk v (v1 v2)

Vektor koordinaacutetaacutei Ha adott a vektor kezdőpontja A (a1 a2) eacutes veacutegpontja B (b1 b2) akkor

az A kezdőpontboacutel a B veacutegpontba mutatoacute vektor koordinaacutetaacuteit uacutegy kapjuk hogy a veacutegpont

koordinaacutetaacuteiboacutel kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinaacutetaacuteit

Keacutet pont taacutevolsaacutega A kezdőpontjaacuteval eacutes veacutegpontjaacuteval megadott vektor hosszaacutet a megfelelő

koordinaacutetaacutek kuumlloumlnbseacutegeacuteből szaacutemiacutetjuk ki ugyanuacutegy mint a keacutet pont taacutevolsaacutegaacutet

Vektor hossza A koordinaacutetaacuteival megadott vektor hosszaacutet a koordinaacutetaacutek neacutegyzetoumlsszegeacutenek

neacutegyzetgyoumlke adja



Vektor szorzaacutesa szaacutemmal Ha egy vektort megszorzunk egy k szaacutemmal akkor a vektor

koordinaacutetaacutei is k-val szorzoacutednak


A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222

211( )a(b)ab minus+minus

a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +





Vektor elforgataacutesa 90deg-kal Ha egy vektort 90deg-kal elforgatunk akkor a koordinaacutetaacutei fel-

csereacutelődnek eacutes az egyik

(de csak az egyik) előjelet vaacutelt


Vektor veacutegpontjaacutenak koordinaacutetaacutei Ha adott a vektor eacutes a kezdőpontja akkor a veacutegpont

koordinaacutetaacuteit uacutegy kapjuk hogy oumlsszeadjuk a vektor eacutes a kezdőpont megfelelő koordinaacutetaacuteit

Vektorok skalaacuteris szorzata Az a eacutes b vektorok skalaacuterszorzata a middot b = | a | middot| a | middot cosα ahol

α a keacutet vektor aacuteltal bezaacutert szoumlg (hajlaacutesszoumlguumlk)

Egy vektor oumlnmagaacuteval valoacute skalaacuteris szorzata a vektor hosszaacutenak a neacutegyzeteacutevel egyenlő

2|| aa =

A vektorok skalaacuteris szorzaacutesaacutenak művelete kommutatiacutev művelet a middot b = b middot a eacutes teljesuumll a

disztributivitaacutes a middot (b + c) = a middot b + a middot c


Vektorok skalaacuteris szorzata vektorkoordinaacutetaacutekkal kifejezve a middot b = a1 middot b1 + a2 middot b2


Keacutet vektor akkor eacutes csak akkor merőleges egymaacutesra ha a skalaacuteris szorzat eacuterteacuteke nulla


Felezőpont koordinaacutetaacutei Adott a szakasz keacutet veacutegpontja Ekkor a felezőpont koordinaacutetaacuteit


a (a1 a2) (a2 ndasha1) eacutes (ndasha2 a1) 90deg


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF


Harmadoloacutepont koordinaacutetaacutei Az A eacutes B veacutegpontuacute szakaszok harmadoloacutepontjainak


Suacutelypont koordinaacutetaacutei A haacuteromszoumlg suacutelypontjaacutenak koordinaacutetaacutei a csuacutecsok megfelelő


A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


A modul ceacutelja A vektorműveletek ismeacutetleacutese vektorokkal veacutegzett műveletek megismereacutese eacutes gyakorlaacutesa a koordinaacute-

tasiacutekon Vektorokkal megoldhatoacute koordinaacutetageometriai probleacutemaacutek megoldaacutesa skalaacuteris szorzat meg-

ismereacutese hasznaacutelata

Időkeret 7 oacutera

Ajaacutenlott korosztaacutely 11 eacutevfolyam

Modulkapcsoloacutedaacutesi pontok Vektorok vektorműveletek (9 eacutevfolyam) szoumlgfuumlggveacutenyek egyenesek a koordinaacutetasiacutekon

A keacutepesseacutegfejleszteacutes foacutekuszai

Szaacutemolaacutes szaacutemiacutetaacutes szaacutemlaacutelaacutes Koordinaacutetageometriai alakzatok mennyiseacutegi jellemzői hajlaacutesszoumlgek meghataacuterozaacutesa vektorokkal kapcsolatos mennyiseacutegek szaacutemiacutetaacutesa (vektor hossza skalaacuteris szorzat de-reacutekszoumlgben elforgatott vektor koordinaacutetaacutei) Szaacutemoloacutegeacutep hasznaacutelata Mennyiseacutegi koumlvetkezteteacutes A mennyiseacutegek fogalmaacutenak tovaacutebbfejleszteacutese A koordinaacutetasiacutekon valoacute taacutejeacutekozoacutedaacutes a siacutekbeli alakzatok tulajdonsaacutegainak koordinaacutetageometriai moacutedszerekkel toumlrteacutenő leiacuteraacutesa Becsleacutes meacutereacutes valoacutesziacutenűseacutegi szemleacutelet Szakasz osztoacutepontjaacutenak meghataacuterozaacutesa vektor hossza vektor eacutes szakasz veacutegpontjainak becsleacutese Szoumlveges feladatok metakogniacutecioacute Szoumlvegeacutertelmezeacutes tovaacutebbfejleszteacutese a leacutenyegkiemelő keacutepesseacuteg fejleszteacutese A valoacutesaacuteg taacutergyainak geometriai modellezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges keacutepesseacutegek fejleszteacutese Cso-portmunkaacuteban a taacutersak joacute gondolatainak megismereacutese elfogadaacutesa helytelen koumlvetkezteteacutesek caacutefolata Rendszerezeacutes kombinatiacutev gondolkodaacutes Az aacutebraacutezolaacutes eacutes a szaacutemiacutetaacutes kapcsolataacutenak elmeacutelyiacuteteacutese Induktiacutev deduktiacutev koumlvetkezteteacutes Oumlsszefuumlggeacutesek keacutepletek felfedezeacutese gyakorlati tapasztalatboacutel kiin-dulva azok aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa eacutes alkalmazaacutesa
















tos feladatok















MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek



EszkoumlzFeladat

Gyűjtemeacuteny




Bemutatoacute


zat)






4 mintapeacutelda


5 mintapeacutelda












11 mintapeacutelda



























Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS
















tos feladatok















MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek



EszkoumlzFeladat

Gyűjtemeacuteny




Bemutatoacute


zat)






4 mintapeacutelda


5 mintapeacutelda












11 mintapeacutelda



























Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS










MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek



EszkoumlzFeladat

Gyűjtemeacuteny




Bemutatoacute


zat)






4 mintapeacutelda


5 mintapeacutelda












11 mintapeacutelda



























Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek



EszkoumlzFeladat

Gyűjtemeacuteny




Bemutatoacute


zat)






4 mintapeacutelda


5 mintapeacutelda












11 mintapeacutelda



























Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS






11 mintapeacutelda



























Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


















Mintapeacutelda1








Megoldaacutes


=


ruumlleteacutet)



41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


41123104 asymp++=CK


ki)



d) (1 3) (3 3) (2 7)






















Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS




Mintapeacutelda2


Megoldaacutes





Feladatok





Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Vektorműveletek





















meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS






meg


c = 2b valamint

















Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS







Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS



Mintapeacutelda3



zamosak

Megoldaacutes


























Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS







Megoldaacutes












seacuteg






A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222




adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS



adja

Mintapeacutelda5



Megoldaacutes

a) a + b ( 11 ndash1)


c) 2a (10 6)







Megoldaacutes







a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Mintapeacutelda6



Megoldaacutes









Megoldaacutes




eacutes (ndash15 3)







52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


52 triminoacute




Mintapeacutelda8


2 vek-


Megoldaacutes


iacutegy 042 11


121 =++ d ahonnan

49




2 =minus+ d 41

2 =d


⎜⎝⎛minus

41

49

Feladatok




Megoldaacutes








Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS






Megoldaacutes








Megoldaacutes


egyezik


455121024


52076845350




hosszaacutet is


23 b

minusa d) 4

2 ba +

Megoldaacutes







213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS





213

31


Megoldaacutes







4221 bdac ++minus

d) cbda+minus

+ 242

Megoldaacutes


32 =d d(1 3) c) d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1235

417 d) d ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

21163












⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS



⎜⎝⎛=sdot

+ 54

53)43(

431

22 vagy ⎟

⎠⎞


54

53


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=sdotsdot

+ 13240

1310020)125(

1251



⎜⎝⎛ minus

13100


⎠⎞

⎜⎝⎛minus

13100

13240






Megoldaacutes










is talaacutelunk









D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS







D(4 7)




Megoldaacutes




lő





236= eacutes 2

24=





Drsquo (0 ndash2)

DA (1 3)

Arsquo (1 1)

Drsquo (0 ndash2)

DC (4 2)

Crsquo (4 0)

Arsquo (1 1)

DC (4 2)

Brsquo (5 3)


AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

Emleacutekeztető



1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


1323)()( 22222






teruumlleteacutet

18264

232262 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+sdot


Feladatok





csuacutecsa







a) A(0 0) B(5 0) b) A(3 0) B(1 ndash5) c) A(1 6) B(3 0)

Megoldaacutes














Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS










Megoldaacutes






Megoldaacutes










Megoldaacutes









Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS







Megoldaacutes









































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS

































Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS














Megoldaacutes



21 =+= aaa

eacutes 45|| 22


45269

||||cos

sdot=

sdotsdot

=ba




Feladatok




















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS
















225asymp g) 625










szoumlge hellip





egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS



egymaacutesra


=y


Megoldaacutes





Megoldaacutes





Megoldaacutes























Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS
















Megoldaacutes



koumlzepe







jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS





jezni az f vektort


baabaf +=

minus+=




















A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

222211 babaF










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS










Megoldaacutes






Megoldaacutes









Megoldaacutes





a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS



a) (0 0) (6 0) b) (3 1) (1 ndash5) c) (1 6) (3 0)








Megoldaacutes




32

33

3baabaabah1

+=

minus+=

minus+=


32

3223

32 baabaabah2

+=

minus+=

minussdot+=






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS











Feladatok




⎜⎝⎛

311 eacutes ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus

351







A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Megoldaacutes


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

43

2




⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27

492

23

21

43





⎜⎝⎛

34

31











52 triminoacute





Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS


Kislexikon

















A (a1 a2) B (b1 b2) rArr |AB| = 222


a (a1 a2) rArr | a | = 22

21 aa +














2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS











2|| aa =












AB (x y)

B ( a1 + x a2 + y)

A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 2211 babaF






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS






A(a1 a2) B(b1 b2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

32

32 2211

1babaH eacutes ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++32

32 2211

2ba

ba

H

A(a1 a2) B(b1 b2) C(c1 c2) rArr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

33222111 cbacbaS

Documents

MATEMATIKA „A” 11. évfolyam Vektorok 5. modulkooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló-eszköz/2... · Matematika „A” – 11. évfolyam – 5. modul: