Vektorok összege Vektorok különbsége · 2018-03-01 · Koordinátageometria 11. 2018. 4 2. Észrevételek Egy egyenes normálvektora és irányvektora merőleges egymásra Példa

Koordinátageometria 11.

2018.

1

I. Vektorok

1. Vektorok összege Általánosan:

Példa:

𝑎(𝑎1; 𝑎2) é𝑠 𝑏(𝑏1; 𝑏2) Az ábra alapján

Adott: 𝑎(4; −1) é𝑠 𝑏(2; 3)

𝑎 + 𝑏(𝑎1 + 𝑏1; 𝑎2 + 𝑏2)

𝑎 + 𝑏 (4 + 2; −1 + 3) = (6; 2)

2. Vektorok különbsége Általánosan:

𝑎(𝑎1; 𝑎2) é𝑠 𝑏(𝑏1; 𝑏2) Példa: Az ábra alapján

Adott: 𝑎(2; 5) é𝑠 𝑏(−3; 4)

𝑎 − 𝑏(𝑎1 − 𝑏1; 𝑎2 − 𝑏2)

𝑏 − 𝑎 (−3 − 2; 4 − 5 ) = (−5;−1)

Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−5; −1).

Ha két pontból alkotsz vektort, akkor a második pont koordinátáiból vonod ki az első pont

koordinátáit, megfelelő sorrendben! Például: 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗(5; 1)

3. Vektor számmal való szorzása Általánosan:

Példa: 𝑎(𝑎1; 𝑎2) ; 𝜆, 𝑣𝑎𝑙ó𝑠 𝑠𝑧á𝑚

Adott: 𝑎(5; −4)

3 ∙ 𝑎(3 ∙ 5; 3 ∙ (−4) = (15; −12) 𝜆 ∙ 𝑎(𝜆 ∙ 𝑎1; 𝜆 ∙ 𝑎2)

4. Vektor hossza Általánosan:

Példa: 𝑎(𝑎1; 𝑎2)

Adott: 𝑎(5; −4)

|𝑎| = √52 + (−4)2 = √25 + 16 = √41 ≈ 6,4 |𝑎| = √𝑎12 + 𝑎2

2


2018.

2

5. Két vektor skaláris szorzata Általánosan:

Példa: 𝑎(𝑎1; 𝑎2) é𝑠 𝑏(𝑏1; 𝑏2)

Adott: 𝑎(4; −1) é𝑠 𝑏(2; 3)

1. 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛í𝑐𝑖ó: 𝑎 ∙ 𝑏 = 4 ∙ 2 + (−1) ∙ 3 = 8 − 3 = 5 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎1 ∙ 𝑏1 + 𝑎2 ∙ 𝑏2

Példa:

Adott: |𝑎| = 5, |𝑏| = 2 é𝑠 𝑎 𝑘ö𝑧𝑏𝑒𝑧á𝑟𝑡 𝑠𝑧ö𝑔ü𝑘 𝛼 = 60°

2. 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛í𝑐𝑖ó: 𝑎 ∙ 𝑏 = 5 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠60° = 10 ∙ 0,5 = 2 𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎| ∙ |𝑏| ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Példa: Adott két vektor 𝑎(3; 5) é𝑠 𝑏(4; 2). Mekkora szöget zár be a két vektor?

1. lépés : Az 1. definíció alapján kiszámolod a két vektor skaláris szorzatát.

𝑎 ∙ 𝑏 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 2 = 15 + 8 = 23

2. lépés: Kiszámolod a két vektor hosszát

|𝑎| = √32 + 52 = √9 + 25 = √34 ≈ 5,83

|𝑏| = √42 + 22 = √16 + 4 = √20 ≈ 4,47

3. lépés: Az 1. és a 2. definíciót egyenlővé teszed, és megoldod az egyenletet.

23 = √34 ∙ √20 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

23 = 26,07 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 :/26,07

0,8820 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 /𝑐𝑜𝑠−1𝛼

α = 28,11°

6. Szakasz hossza (Két pont távolsága)

Általánosan:

Példa: 𝐴(𝑎1; 𝑎2) é𝑠 𝐵(𝑏1; 𝑏2)

Adott: 𝐴(5; 2), 𝐵(6; −1)

𝑑𝐴𝐵 = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(6 − 5)2 + (−1 − 2)2 = √10 ≈ 3,16 |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑏1 − 𝑎1)2 + (𝑏2 − 𝑎2)2

7. Szakasz felezőpontja Általánosan:

Példa: 𝐴(𝑎1; 𝑎2) é𝑠 𝐵(𝑏1; 𝑏2)

Adott: 𝐴(5; 2), 𝐵(6; −1)

𝐹 (5+6

2;2+(−1)

2) = (

11

2;1

2) 𝐹 (

𝑎1+𝑏1

2;𝑎2+𝑏2

2)


2018.

3

8. Háromszög súlypontjának koordinátái Általánosan:

Példa: 𝐴(𝑎1; 𝑎2) 𝐵(𝑏1; 𝑏2) 𝐶(𝑐1; 𝑐2)

A(1; 3) B(5; - 2) C( - 4; - 6)

𝑆 (1+5+(−4)

3;3+(−2)+(−6)

3) = (

2

3; −

5

3) 𝑆 (

𝑎1+𝑏1+𝑐1

3;𝑎2+𝑏2+𝑐2

3)

II. Egyenes egyenlete

1. Az egyenes helyzetére jellemző adatok

✓ Adott az egyenes egy pontja 𝑃0 és az egyenesre merőleges vektor, a normálvektor 𝑛

Adott: 𝑃0(𝑥0; 𝑦0) é𝑠 𝑛(𝐴; 𝐵)

𝑒: 𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑦 = 𝐴 ∙ 𝑥0 + 𝐵 ∙ 𝑦0

✓ Adott az egyenes egy pontja 𝑃0 és az egyenessel párhuzamos vektor, az irányvektor 𝑣

Adott: 𝑃0(𝑥0; 𝑦0) é𝑠 𝑣(𝑣1; 𝑣2)

𝑒: 𝑣2 ∙ 𝑥 − 𝑣1 ∙ 𝑦 = 𝑣2 ∙ 𝑥0 − 𝑣1 ∙ 𝑦0

✓ Adott az egyenes két pontja

Adott: 𝐴(𝑥1; 𝑦1) é𝑠 𝐵(𝑥2; 𝑦2)

𝑒: (𝑥2 − 𝑥1)(𝑦 − 𝑦1) = (𝑦2 − 𝑦1)(𝑥 − 𝑥1)

✓ Adott az egyenes egy pontja 𝑃0 és az egyenes x tengely pozitív iránya által bezárt szöge,

irányszög (α); meredeksége, m ( az egyenes irányszögének a tangense; m = tgα)

Adott: 𝑃0(𝑥0; 𝑦0) é𝑠 𝛼 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼

𝑒: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0


2018.

4

2. Észrevételek

✓ Egy egyenes normálvektora és irányvektora merőleges egymásra

Példa két vektor merőlegességére:

𝑛(5; 2) ⟶ 𝑣 (2; −5) 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑣(−2; 5)

✓ 𝑚 =𝑣2

𝑣1, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑎𝑧 𝑖𝑟á𝑛𝑦𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑣(𝑣1; 𝑣2)

✓ 𝑚 = − 𝐴

𝐵, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚á𝑙𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑛(𝐴; 𝐵)

✓ Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoraik (irányvektoraik ) egyállásúak

Példa:

𝑒: 2𝑥 + 3𝑦 = 5 ⟶ 𝑛𝑒(2; 3)

𝑓: 4𝑥 + 6𝑦 = 20 ⟶ 𝑛𝑓(4; 6)

Két vektor egyállású, ha koordinátáik megegyeznek, vagy ugyanannyival vannak

megszorozva.

✓ Két egyenes merőleges egymásra, ha normálvektoraik (irányvektoraik) is merőlegesek

egymásra

Példa:

𝑒: 2𝑥 + 3𝑦 = 5 ⟶ 𝑛𝑒(2; 3)

𝑓: 3𝑥 − 2𝑦 = 20 ⟶ 𝑛𝑓(3;−2)

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla. (Itt: 2 ∙ 3 + 3 ∙ (−2) = 0)


2018.

5

3. Két egyenes metszéspontja

Két egyenes metszéspontjának meghatározása a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer

megoldása, a kapott értékek a metszéspont koordinátái.

Példa:

Határozd meg az alábbi két egyenes metszéspontját!

{𝑒: 2𝑥 + 𝑦 = 1𝑓: 𝑥 − 𝑦 = 2

⟶ 𝑥 = 1 é𝑠 𝑦 = −1, 𝑡𝑒ℎá𝑡 𝑀(1;−1)


2018.

6

4. Pont és egyenes távolsága

Példa: Számold ki a P(0; 8) pontnak az e: - 2x + y = - 2 egyenestől való távolságát!

1. lépés: Vázlat készítése

2. lépés: A P pontból merőleges egyenest (f) állítunk az e egyenesre; f egyenes felírása

Mivel 𝑛𝑒(−2; 1) = 𝑣𝑓, így 𝑓: 𝑥 + 2𝑦 = 16

3. lépés: Legyen M az e és f egyenes metszéspontja; egyenletrendszerrel kiszámoljuk

{ 𝑒: −2𝑥 + 𝑦 = −2𝑓: 𝑥 + 2𝑦 = 16

⟶ 𝑥 = 4 é𝑠 𝑦 = 6, 𝑎𝑧𝑎𝑧 𝑀(4; 6)

4. lépés: P és M pont távolságának kiszámítása

|𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(4 − 0)2 + (6 − 8)2 = √16 + 4 = √20 ≈ 4,47


2018.

7

5. Két párhuzamos egyenes távolsága

Példa:

Adott két párhuzamos egyenes e: 2x + 3y = 12 és f: 2x + 3y = 5. Milyen távol van egymástól ez

a két egyenes?

1. lépés: vázlat készítése:

2. lépés: Az egyik egyenesen egy tetszőleges pont kiválasztása (P)

A pont első koordinátáját tetszőlegesen válaszd meg, pl. x = 0

y kiszámítása e egyenletéből: 2 ∙ 0 + 3 ∙ 𝑦 = 12 ⟶ 𝑦 = 4, azaz A(0; 4)

3. lépés: előző feladat alapján a P pont távolságát kiszámoljuk a másik egyenestől.

lásd előző feladat: A P pontból merőlegest állítunk az f egyenesre, legyen g egyenes.

Az f és g egyenes metszéspontját az előbbi módon kiszámoljuk: M (-1,07; 2,38).

Végül kiszámoljuk a két pont távolságát: |𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | ≈ 1,94


2018.

8

Tengelymetszetek

Példa:

Adott e: 2x + 5y= 20 egyenletű egyenes. Számold ki, hogy mely pontokban metszi az egyenes a

koordinátarendszer tengelyeit!

1. lépés: x tengelymetszet

Észrevétel: Az x tengelyen lévő pontok második koordinátája mindig nulla.

y = 0-t behelyettesíted az egyenes egyenletébe: 2𝑥 + 5 ∙ 0 = 20 ⟶ 𝑥 = 10

A metszéspont: (10; 0)

2. lépés: y tengelymetszet

Észrevétel: Az y tengelyen lévő pontok első koordinátája mindig nulla.

x = 0-t behelyettesíted az egyenes egyenletébe: 2 ∙ 0 + 5 ∙ 𝑦 = 20 ⟶ 𝑦 = 4

A metszéspont: (0;4)


2018.

9

A háromszög súlyvonalának egyenlete (s)

Példa:

Adott egy háromszög három csúcspontja:

A( - 6; 2); B( 10; 0) és C( 1; 7). Írd fel a C csúcsból induló súlyvonal egyenletét!

0. lépés: Ha az adatok lehetővé teszik, készíts ábrát!

1. lépés: A C csúcsból induló súlyvonal átmegy az AB oldal felezőpontján (F)

𝐹 (−6+10

2;

2+0

2) = (2; 1)

2. lépés: Az ábrán látszik, hogy az 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektor a súlyvonalon fekszik, azaz párhuzamos vele.

𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗(2 − 1; 1 − 7) = (1; −6)

3. lépés: Ismered a súlyvonal egyenesének egy pontját (C) és az irányvektorát (𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗).

Behelyettesíted az egyenes irányvektoros képletébe, és kész.

𝑣2 ∙ 𝑥 − 𝑣1 ∙ 𝑦 = 𝑣2 ∙ 𝑥0 − 𝑣1 ∙ 𝑦0

−6 ∙ 𝑥 − 1 ∙ 𝑦 = −6 ∙ 1 − 1 ∙ 7

−6𝑥 − 𝑦 = −13 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni!

s: 𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑


2018.

10

A háromszög magasságvonalának egyenlete (m)

Példa:


A( - 6; 2); B( 6; 1) és C( 2; 8). Írd fel a C csúcsból induló magasságvonal egyenletét!


1. lépés: A C csúcsból induló magasságvonal merőleges az AB oldalra, így az 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektort a

magasságvonal normálvektorának választhatjuk.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗(6 − (−6); 1 − 2) = (12; −1)

2. lépés: A magasságvonal egyetlen ismert pontja a C csúcs, amin áthalad.

3. lépés: Ismered a magasságvonal egyenesének egy pontját (C) és a normálvektorát (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗).

Behelyettesíted az egyenesnormálvektoros képletébe, és kész.

𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑦 = 𝐴 ∙ 𝑥0 + 𝐵 ∙ 𝑦0

12 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦 = 12 ∙ 2 + (−1) ∙ 8

𝑚: 𝟏𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟔


2018.

11

A háromszög oldalegyenesének egyenlete

Példa:


A( - 2; 3); B( 6; 1) és C( 2; 8). Írd fel az AB oldal egyenletét!


1. lépés: Az ábrán látszik, hogy az 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektor az oldalon fekszik, azaz párhuzamos vele.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗(6 − (−2); 1 − 3) = (8; −2)

3. lépés: Ismered az oldal egyenesének egy pontját (A vagy B) és az irányvektorát (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗).


𝑣2 ∙ 𝑥 − 𝑣1 ∙ 𝑦 = 𝑣2 ∙ 𝑥0 − 𝑣1 ∙ 𝑦0

−2 ∙ 𝑥 − 8 ∙ 𝑦 = −2 ∙ (−2) − 8 ∙ 3

−2𝑥 − 8𝑦 = −20 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni!

f: 𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟎


2018.

12

A háromszög középvonalának egyenlete (k)

Példa:


A( - 2; 3); B( 2; - 1) és C( 2; 7). Írd fel az AB oldallal párhuzamos középvonal (k) egyenletét!


1. lépés: A középvonal áthalad az AB és BC oldal felezőpontjain, ezek közül legalább az egyik

koordinátáit szükséges meghatározni:

𝐹𝐵𝐶 (2+2

2;

−1+7

2) = (2; 3)

2. lépés: Az ábrán látszik, hogy az 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektor párhuzamos a középvonallal.

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗(2 − (−2); 7 − 3) = (4; 4)

3. lépés: Ismered az oldal egyenesének egy pontját (𝐹1 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐹2) és az irányvektorát (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗).


𝑣2 ∙ 𝑥 − 𝑣1 ∙ 𝑦 = 𝑣2 ∙ 𝑥0 − 𝑣1 ∙ 𝑦0

4 ∙ 𝑥 − 4 ∙ 𝑦 = 4 ∙ 2 − 4 ∙ 3

4𝑥 − 4𝑦 = −4 Vedd észre, hogy lehet egyszerűsíteni!

f: −𝒙 + 𝒚 = 𝟏


2018.

13

A háromszög oldalfelező merőlegesének egyenlete (f)

Példa:


A( - 4; - 2); B( 10; 4) és C( -1; 6). Írd fel az AB oldal felezőmerőleges egyenletét!


1. lépés:

Az oldalfelező merőleges az AB oldalra, így az 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektort a magasságvonal normálvektorának

választhatjuk.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗(10 − (−4); 4 − (−2)) = (14; 6)

2. lépés: A magasságvonal egyetlen ismert pontja az AB oldal felezőpontja (F), amin áthalad.

𝐹𝐴𝐵 (−4+10

2;

−2+4

2) = (3; 1)

3. lépés: Ismered az oldalfelező egyenesének egy pontját (F) és a normálvektorát (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗).

Behelyettesíted az egyenesnormálvektoros képletébe, és kész.

𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑦 = 𝐴 ∙ 𝑥0 + 𝐵 ∙ 𝑦0

14 ∙ 𝑥 + 6 ∙ 𝑦 = 14 ∙ 3 + 6 ∙ 1

14𝑥 + 6𝑦 = 48

𝑓: 𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒

Documents

Vektorok összege Vektorok különbsége · 2018-03-01 · Koordinátageometria 11. 2018. 4 2. Észrevételek Egy egyenes normálvektora és irányvektora merőleges egymásra Példa