Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Ábele-Nagy Kristóf

Páros összehasonlítás mátrixokMotiváció

• Hány százalékban befolyásolják döntésünket az egyes szempontok? – Nehezen megválaszolható

• Helyette páros összehasonlítás: hányszor fontosabb az i szempont a j szempontnál?

• Ezeket az arányokat mátrixba rendezve ún. páros összehasonlítás mátrixot kapunk

Páros összehasonlítás mátrixokDefiníció

Páros összehasonlítás mátrixokTulajdonságok

• aij=1/aji (wi/wj=1/(wj/wi))

• aii=1 (wi/wi=1)

• aij>0

• Konzisztens, ha: aijajk=aik i,j,k(wi/wj * wj/wk = wi/wk)

• Konzisztencia nem várható el tapasztalati mátrixoktól

Páros összehasonlítás mátrixokSúlyvektor számolása

• Sajátvektor módszer: Aw = nw, ha konzisztens, ebből Aw = maxw, maxn

• LLSM:

Belátható: wi az i. sor elemeinek mértani közepe, wi=1 normalizálással

Páros összehasonlítás mátrixokInkonzisztencia mérőszámok

• Sajátvektor módszer: max , CR = ((max-n)/(n-1)) / ACIKonzisztencia: max =n, CR=0CR=0.1 önkényes küszöbérték

• LLSM: a célfüggvény értékeKonzisztencia: célfüggvényérték = 0Nincs küszöbérték

Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

• Elemenként• Kváziaritmetikai közép• f(x,…,x)=x• f(1/x1,…1/xt)=1/f(x1,…,xt)

• f(sx1,…,sxt)=sf(x1,…,xt)• Aczél-Saaty-tétel:

Ezeknek a kritériumoknak egyedül a mértani közép felel meg

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok

Súlyvektor

• Sajátvektor módszer:Minimális inkonzisztenciájú kitöltésEz nem csak a súlyvektort adja meg, hanem a kitöltést is

• LLSM:Csak a kitöltött tagokra szummázunkKözvetlenül a súlyvektort adja meg, nem tartozik hozzá kitöltés

Gráf reprezentáció

• A szempontoknak felelnek meg a pontok, két pont közt pontosan akkor megy él, ha a hozzájuk tartozó szempontok össze vannak hasonlítva, azaz ha a nekik megfelelő pozíción ki van töltve a mátrix

• Bozóki-Fülöp-Rónyai-tétel:A sajátvektor és az LLSM feladatnak is pontosan akkor létezik egyértelmű megoldása, ha a nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó gráf összefüggő

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

• Ugyanúgy, mint a kitöltött esetben, de ha egy egyéni mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt nem vesszük figyelembe

• Így az aggregátum elemei különböző számú elem aggregátumaként adódnak

• Az aggregátum pontosan ott lesz kitöltve, ahol legalább egy egyéni mátrix ki volt töltve

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?

• Motiváció: pótoljuk-e a hiányzó információt (egyfajta közelítéssel) aggregálás előtt?

• Csak a sajátvektor módszer jöhet szóba, mert kitöltésre is szükség van

• Véletlenszerűen, adott hiányzó elem számmal (az egyéni mátrixban) törlünk elemeket, így állítunk elő nem teljesen kitöltött egyéni mátrixokat


• Ezeket a mátrixokat aggregáljuk kétféleképpen: először kitöltjük őket optimálisan, vagy rögtön aggregálunk és csak utána töltjük ki az aggregátumot (ha szükséges)

• Az eljárások jóságát az eredeti kitöltött mátrixokból számolt aggregátum súlyvektorától vett távolsággal mérjük


• 134db 4x4-es, 154db 6x6-os, 160db 8x8-as• Minden kísérletet 20-20 (8x8-as mátrixok

esetén 10-10) alkalommal futtatunk, az átlagos és a maximális eltérést, valamint legnagyobb sajátértéket nézzük

• Kétféle norma (1-es és 2-es)

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Legnagyobb sajátértékek

• Az inkonzisztencia az aggregált mátrixban minden esetben 1% alatt volt.

• Ha először aggregálunk, akkor a kitöltetlen elemek számának függvényében emelkedő tendenciájú a legnagyobb sajátérték. Valószínű ok: egyre több információt vesztünk el a döntéshozók eredeti (remélhetőleg nem túl inkonzisztens) preferenciáiról

• Ha először kitöltünk, akkor csökkenő tendencia van, ez azért van mert a kitöltés inkonzisztenciára optimalizál

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok

6x6 8x8

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok

• Ha először kitöltjük, az jobb eredményt produkál átlagosan és maximálisan is.

• Értelmezés: Ha egy elem egy mátrixban nincs kitöltve, ott az adott döntéshozó véleményét nem vesszük figyelembe közvetlenül. Az eredmények alapján jobb, ha közelítjük a véleményét az adott kérdésben és azt használjuk fel, mint ha a többiek véleményével pótoljuk csak. Azaz jobb, ha közelítve is, de mindenkinek mindenbe van beleszólása.

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Hány elemet töltsünk ki?

• Nincs objektív válasz, túl sok minden befolyásolja• Önkényes küszöbérték: 0.02 (a maximális

távolság 1%-a)• Lehetséges befolyásoló tényezők:– Rangsorfordulás érdekes-e?– Döntéshozók száma– Kérdés természete (objektív vs. szubjektív)

• Javaslat: általában elég a kérdések felét feltenni (objektív és szubjektív mátrixok voltak vegyesen)

Még kevesebb elem kitöltése• Aggregálás esetén lehetséges, hogy az egyéni mátrixok gráfjai

nem összefüggőek, ha az aggregátumé az• Ekkor nem tölthetjük ki előre az egyéni mátrixokat

• Bár elméletileg lehetséges, nem javasolt, a túl nagy hiba miatt

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek

• Kitöltés nélkül aggregálunk (Előfordul, hogy nincs lehetőség kitölteni)

• Kérdés: jobb-e azokat az elemeket törölni az aggregátumból és optimálisan kitöltve helyettesíteni, amiket csak kevés döntéshozó töltött ki? Ha igen, mi az a küszöbérték, aminél kevesebb döntéshozó általi kitöltésnél törlünk?

• Motiváció: Ha sokan egyetértenek, de pont egy olyan tölti ki az adott elemet aki nem ért velük egyet, az torzíthatja a csoport véleményét


• Mátrixok előkészítése a kísérlethez (csak 8x8):– Bizonyos (paraméter) számú mátrixot véletlenül kiválasztunk az

adatbázisból (döntéshozók száma)– Ezeket két csoportra bontjuk aszerint, hogy a véletlenszerűen kiválasztott

kritikus pozíciókon ki lesznek-e töltve, vagy sem• Kritikus pozíció: az a pozíció, amin az algoritmus szerinti

kettébontásban a mátrixok nagyobbik csoportja biztosan nem lesz kitöltve, a kisebbik (éppen küszöbérték elemszámú csoportban) biztosan ki lesz töltve

• A kitöltetlen elemek száma egy egyéni mátrixban adott, ha a nagyobbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon nem lesz kitöltve, a többi hiányzó elem pozíciója véletlen, ha a kisebbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon biztos ki lesz töltve, de a hiányzó elemek bárhol máshol lehetnek


• Paraméterek:– Összes aggregálandó mátrixok száma (döntéshozók

száma)– Küszöbérték (= kisebbik csoport elemszáma)– Kitöltetlen elemek száma– Kritikus pozíciók száma

• Eredmények mindkét módszerrel számolva (sajátvektor és LLSM) mindkét normában

• 100-100 alkalommal futtatunk minden kísérletet


• Súlyvektorok (mindegyik sv.-al és LLSM-el is):– A teljesen kitöltött mátrixokból származó– A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólagos törlés

nélkül– A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólag törölve a

legfeljebb küszöbértéknyi döntéshozó által kitöltött elemeketMegj.: Ez azt jelenti, hogy a kritikus pozíciókon biztosan törlünk, de előfordulhat, hogy a véletlen folytán más pozíciókon is

• Összehasonlítás: melyik súlyvektor lesz közelebb a teljesen kitöltött mátrixokból számolthoz?


• 4 paraméter, mindegyik mentén egyesével léptetve rengeteg adat

• Ezért az összes mátrixok száma a kísérletben 7,15,50, az összes hiányzó elemek száma 6,8,12

• A kritikus pozíciók száma és a küszöbérték (amit meg akarunk határozni) egyesével

• Az eredmények teljesen egybehangzóak, ezért itt csak egy példán szemléltetünk


15 mátrix aggregálásából sv. módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltöttekből számolttól, 12 kitöltetlen elem és 3 kritikus pozíció esetén a

küszöbérték függvényében


• 1-es küszöbértéknél hatalmas kiugrás a távolságban, ez minden paraméterérték mellett igaz marad. Így a következő megállapítást tesszük:

• Ha egy elemet csak egyetlen döntéshozó töltött ki, az mindenképpen érdemes törölni


• A küszöbértékek megállapítása (ezen megközelítésben) önkényesen történik: ahol az átlagos távolság törlés esetén még „jóval kisebb” a törlés nélkülihez képest

• Küszöbértékek: 7 döntéshozó esetén 1, 15 esetén 3, 50 esetén 5

• Ezek önkényes megállapítások! További kutatási lehetőség konkrét szisztéma szerint megállapítani a küszöbértéket (és más adatbázisokon is)


50 döntéshozó, 12 kitöltetlen pozíció, 2 kritikus hely Pontosan hol legyen a küszöbérték? 14-ig még mindig kisebb az átlag

Kevés döntéshozó által kitöltött elemekÖsszefoglalás

• Az 1 döntéshozó által kitöltött elemeket mindenképp érdemes törölni

• A küszöbérték gyakorlatilag független– Az összes kitöltetlen elemek számától– A kritikus pozíciók számától– A használt módszertől (sajátvektor vagy LLSM)

• A küszöbérték és a mátrixok száma közt pozitív kapcsolat mutatkozik

Köszönöm a figyelmet!

Documents

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása