I. Vektorok, mátrixok, egyenletrendszerekmath.bme.hu/~otti/g2/gyakorlo_feladatok_g2.pdf9) Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(2,1,3) és b(5,2,1)? 10) Határozza

I. Vektorok, mátrixok, egyenletrendszerek:

1) Egy síkban vannak-e a következő vektorok: a(5,-4,-1) b(-2,3,7) c(3,-1,6) ?

2) Függetlenek-e a következő vektorok: a(1,0,0) b(1,1,0) c(1,1,1) ?

3) Adjunk meg olyan vektort, amely felezi az a(1,2,3) és b(2,3,1) vektorok szögét!

4) Adjunk meg olyan vektort, amely felezi az a(3,4) és b(5,12) vektorok szögét!

5) Adjunk meg olyan vektort, amely az origóból az A(3,4) B(5,12) szakasz felezőpontjába mutat!

6) Adjunk meg olyan vektort, amely az origóból az A(3,4,5) B(5,12,-1) szakasz felezőpontjába mutat!

7) Merőleges-e egymásra a következő két vektor a(5,-4,-11) b(-2,3,-2) ? 8) Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(3,4) és b(5,12)?

9) Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(2,1,3) és b(5,2,1)?

10) Határozza meg az a(-4,12,3) vektor irányába mutató egységvektort!

11) Mekkora szöget zár be a koordinátatengelyek pozitív felével a v(4,7,2) vektor?

12) Határozza meg az a(4,-3,1) vektor vetületét a b(-6,3,-2) vektor egyenesén!

13) Bontsa fel az a(-2,11,-2) vektort a b(-6,3,-2) vektorral párhuzamos és rá merőleges

komponensekre!

14) Bontsa fel a b(-6,3,-2) vektort a k(0,0,1) vektorral párhuzamos és rá merőleges komponensekre!

15) Bontsa fel a k(0,0,1) vektort a b(-6,3,-2) vektorral párhuzamos és rá merőleges komponensekre!

16) Tükrözze a d(9,7,-19) vektort az e(-7,11,4) vektor egyenesére!

17) Mekkora annak a háromszögnek a területe, kerülete és mekkorák a szögei, amelyet az origóból

induló a(4,3,-7) és b(5,2,6) vektorok feszítenek ki?

18) Számítsa ki az a(1,2,3) b(4,5,6) és c(7,8,10) vektorok által kifeszített tetraéder térfogatát!

19) Legyen a = 3i + 12j - 5k , b = 4i - 3k, c = -2i + 3j + 6k.

A) Határozza meg az 5a, 2a + 3b, 3a - 2b, a + b + c, vektorokat.

B) Számítsa ki az ab, ac, a(b + 2c) skaláris szorzatokat.

C) Határozza meg x értékét úgy, hogy a c = -2i + 3j + 6k vektor merőleges legyen a

d = xi + 2j + k vektorra.

D) Számítsa ki az a, b és c vektorok hosszát.

E) Számítsa ki az a és b, valamint az a és c vektorok szögét.

F) Határozza meg az e = -i + 6j + 13k vektornak a c = -2i + 3j + 6k vektorra eső

merőleges vetületét.

G) Határozza meg a j vektornak a c = -2i + 3j + 6k vektorra eső


H). Határozza meg a c = -2i + 3j + 6k vektornak az e = -i + 6j + 13k vektorra eső


20) Bontsa fel az f = 4i + 7j + 6k vektort a c = -2i + 3j + 6k vektorral párhuzamos és rá merőleges

komponensekre.

21) Bontsa fel az g = i - 10j - 11k vektort a c = -2i + 3j + 6k vektorral párhuzamos és rá merőleges

komponensekre.

22) Bontsa fel a h = 10i + 24j - 13k vektort az a, b, c vektorokkal párhuzamos komponensekre.

23) Számítsa ki az a1 = i + 2j + 3k és a2 = 4i - 2j +3k vektorok vektoriális szorzatát.

24) Határozza meg az a3 =2i - 2j + 3k és a4 = 5i - 2j +3k vektorok által kifeszített paralelogramma

területét.

25) Határozza meg az a5 =2i - 2j + k és a6 = 4i - 2j +3k vektorok által kifeszített háromszög területét.

26) Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek az origóból a csúcsaiba mutató

vektorok A = i + j + k, B = 3i + 4j - k, C = 5i + 3k.

27) Egy háromszög csúcsaiba mutató vektorok A = 5i +2 j + k, B = 3i + 4j - k, és

C = 7i + 15j + 3k.

Határozza meg az AB oldal felezőpontjába mutató vektort.

28) Egy síkban vannak-e az a = 3i + 12j - 5k , b = 4i - 3k, c = -2i + 3j + 6k és

d1 = -5i + 39j vektorok végpontjai.

29) Egy síkban vannak-e az a = 3i + 12j - 5k , b = 4i - 3k, c = -2i + 3j + 6k és

d1 = 5i -39j + k vektorok végpontjai.

30) Írja fel a P(1,2,3) ponton átmenő v(5,4,3) irányvektorú egyenes egyenletrendszerét!

31) Írja fel a P(1,2,3) és Q(4,6,15) pontokon átmenő egyenes egyenletrendszerét!

32) Rajta van-e a P(1,2,3) és Q(4,6,15) pontokon átmenő egyenesen az R(7,8,9) pont?

33) Rajta van-e a P(1,2,3) és Q(4,6,15) pontokon átmenő egyenesen az S(10,14,39) pont?

34) Milyen a következő két egyenes kölcsönös helyzete (párhuzamos, metsző, kitérő) ?

tz

ty

tx

1215

46

34

tz

ty

tx

2411

84

67


tz

ty

tx

1215

46

34

tz

ty

tx

537

214

9


tz

ty

tx

1215

46

34

tz

ty

tx

511

24

7

37) Írja fel a P(2,0, 2) ponton átmenő n(4,3,-2) normálvektorú sík egyenletét.

38) Írja fel a P(2,0,2) pont és az

tz

ty

tx

1215

46

34

egyenes által meghatározott sík egyenletét!

39) Írja fel a P(9,8,-1) Q(7,4,-11) és R(15,0,-1) pontok által meghatározott sík egyenletét!

40) Rajta van-e a P(9,8,-1) pont a 4x + 3y - 2z = 4 síkon?

41) Rajta van-e a P(4,6,15) pont a 4x + 3y - 2z = 4 síkon?

42) Határozza meg a 4x + 3y -2z = 4 sík és az

tz

ty

tx

1215

46

34

egyenes kölcsönös helyzetét!


tz

ty

tx

511

24

7



tz

ty

tx

210

312


45) Határozza meg az x + 2y + 3z = 5 és 2x + 4y + 6z = 5 síkok kölcsönös helyzetét!

46) Határozza meg az x + 2y + 3z = 6 és 3x + 2y + z = 6 síkok kölcsönös helyzetét!

47) Határozza meg a P(2,3,4) és Q(14, 0, 8) pontok távolságát!

48) Határozza meg a P(2,3,4) pont és

tz

ty

tx

9

318

212

egyenes távolságát!

49) Határozza meg a P(11,16,3) pont és

tz

ty

tx

9

318

212

egyenes távolságát!

50) Határozza meg a P(4,3,2) pont és x + 2y + 5z = 100 sík távolságát!

51) Határozza meg az x + 2y + 5z = 20 és x + 2y + 5z = 30 síkok távolságát!

52) Legyen A = 103425

és B = 213540

Határozza meg A + B, A - B, 3A, 3A + 2B mátrixokat.

53) Legyen C = 1 23 4

, D = 3 42 8

és E = 2 30 6

.

Határozza meg a C + D, C - 2D, CD, DC, CDE mátrixokat.

54) Végezze el az alábbi műveleteket, ha lehet

AC, AD, EA, BA, C(B + A), A(B + C), C2, CC

T, CA

T, E

2.

ahol AT az A mátrix transzponáltja.

55) Legyen F = 2 1 01 1 21 2 1

és G = 3 1 23 2 43 5 1

Határozza meg az FG-GF mátrixot.

56) Legyen aT = 4 1 3 , Határozza meg az a

Ta és aa

T szorzatokat.

57) Legyen H = 2 1 11 3 21 2 1

. Számítsa ki az aTH, Ha, valamint a

THa szorzatokat.

58) Legyen xT = x y z . Számítsa ki az x

THx szorzatot.

59) Legyen T = cos sinsin cos2 22 2

és x = cossin

.

Kiszámítandók a T2

, Tn , Tx, x

TTx, T

2x, x

TT

2x szorzatok.

60) Legyen R = cos sinsin cos

.

Kiszámítandók a R2

, R3 , Rx, x

TRx, R

2x, x

TR

2x , x

TR

TRx szorzatok.

61) Van-e olyan null mátrixtól különböző négyzetes mátrix, amelynek a négyzete null mátrix?

62) Mutassa meg, hogy az A = 4 66 9

mátrixhoz található olyan B 0 másodrendű négyzetes

mátrix, hogy AB = 0 null mátrix.

63) határozza meg az alábbi mátrixok inverzét, ha létezik:

23

24

cossin

sincos

012

423

321

745

413

532

110

111

121

423

243

112

153

132

543

64) Számítsuk ki a következő mátrix rangját az paraméter függvényében:

1 2 5 2

4 2 1 2

5 4 6 0

8 2 4

.

65) Számítsuk ki a következő mátrix rangját az paraméter függvényében:

1 2 5 2

4 1 1 2

2 5 9 2

2 10 1

.

66) Számítsa ki a következő determinánsok értékét:

632

175

213

15129

864

321

987

654

321

114

106

321

300

320

321

311

131

113

yxyx

xyxy

yxyx

01

01

01

1110

cb

ca

ba

642781

16941

4321

1111

Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:

67)

6

3

0

3

1331

114

513

312

3

1

1

x

x

x

68)

1

3

1

1

321

111

212

311

3

1

1

x

x

x

69)

8

7

1

1

5173

5132

0241

1110

4

3

2

1

x

x

x

x

70)

16

8

4

1313

1111

1111

4

3

2

1

x

x

x

x

71)

8

6

2

32212

13513

21321

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

72)

1

1

1

1

1

125

129

413

531

321

3

2

1

x

x

x

73)

13

7

3

103129

5286

2143

4

3

2

1

x

x

x

x

74)

3

5

2

6475

3147

4253

4

3

2

1

x

x

x

x

75)

0

0

0

11112

22413

11321

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

76)

0

0

0

0

0

551

341

131

311

121

3

2

1

x

x

x

77) A k paraméter milyen értéke mellett van megoldása az egyenletrendszernek? Mi ekkor

a megoldás,

5

17

19

7341

2310133

9725

1437

4

3

2

1 k

x

x

x

x

78) A k paraméter milyen értéke mellett van megoldása az egyenletrendszernek? Mi ekkor

a megoldás,

3

3

4

1370

3031

1110

4321

4

3

2

1

k

x

x

x

x

79) Adjuk meg az

1 2 1

1 1 1

0 1 1

A mátrix inverzét

a) adjungált mátrix segítségével;

b) elemi sortanszformációkkal.

80) Határozzuk meg az x és y paraméterek értékét úgy, hogy az

1 3 1 3

4 8 0 4:

2 3 7

2 4 8

x

y

A

mátrix rangja

a) 2 legyen;

b) 3 legyen;

c) 4 legyen. (Sortranszformációkkal dolgozzunk!)

81) Határozzuk meg az a és b értékét úgy, hogy az

3 1 7 5

1 3 5:

2 1 3 3

0 2 10

a

b

A mátrix rangja 4

legyen.

82) Oldjuk meg az

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 2 4

4 2 4

x x x

x x x

x x x

egyenletrendszert

a) mátrix invertálással;

b) Cramer-szabállyal;

c) Gauss-féle eliminációval.

83) a) Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 4 5

1 2 3 4 5

3 2

9 2 2 5

2 1

3 4 2

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

;

b) Mennyivel egyenlő az egyenletrendszer mátrixának a rangja? Mennyi a szabadságfok?

c) Adja meg a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszer általános megoldását és adja

meg a homogén egyenletrendszer megoldáshalmazának egy bázisát is. Hány dimenziós ez a

megoldáshalmaz?

84) A p és q valós paraméterek függvényében adja meg az T T x A b egyenletrendszer

összes valós megoldását, ha

1 2 3

1 3 2

1 2 p

A és

2

4

q

q

q

b .

II. Sajátérték-sajátvektor problémák és alkalmazások:

85) Számítsuk ki az 2 0

0 3

A mátrix sajátértékeit, sajátvektorait.

86 Számítsuk ki a 3 1

5 3

B mátrix sajátértékeit, sajátvektorait.

87) Számítsuk ki az

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A mátrix sajátértékeit, sajátvektorait.

88) Számítsuk ki a

4 0 1

0 4 1

1 1 5

B mátrix sajátértékeit, sajátvektorait.


3 2 0

2 3 0

0 0 6

A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait..


1 2 0

2 4 0

0 0 3

B mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.


11 0 4

0 1 0

4 0 5

C mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

92) Számítsuk ki a következő mátrixok sajátértékeit, sajátvektorait:

5 11

2 2

1 1 1

1 51

2 2

A ,

11 0 6

0 1 0

6 0 6

B .

93) Ábrázoljuk az xy - koordinátarendszerben a 2 23 8 12 30 64 0x xy y x y görbét.

94) Hozzuk kanonikus alakra és ábrázoljuk: 2 25 4 2 1x xy y az xy - koordináta-

rendszerben.

95) Milyen kúpszelet a következő:

2 24 2 4 30 2 105 0x xy y x .

96) Ábrázoljuk a 2 2

1 1 2 22 2 2 1x x x x kúpszeletet az xy - koordinátarendszerben.

97) Ábrázoljuk a következő görbét: 2 24 20 25 15 6 0x xy y x y .

III. Numerikus sorok:

98) Határozzuk meg a sorösszeget:

1

1 4

5

n

nn

.

99) Határozzuk meg a sorösszeget: 1

1

2n n n

.

100) Vizsgáljuk meg az alábbi sorok konvergenciáját:

i) 1

11

n

n n

;

ii)

1

1

1n n n

.

101) Az alábbi sorok közül melyek konvergensek? Indokoljuk válaszainkat:

i)

2

2

1

!

2nn

n

;

ii)

2

1 2nn

n

;

iii) 1

4 !n

nk

n

n

;

iv) 1

1 1

2

n

n n

;

v)

32

1

cos 2

3 1

n

nnn

n

n

.

102) Integrálkritériummal vizsgáljuk a 2

ln

n

n

n konvergenciáját.

103) Vizsgáljuk, hogy a következő sor divergens, feltételesen konvergens vagy abszolút

konvergens: 0

2 11

2

n

nn

n

.

IV. Függvénysorok, hatványsorok

104) Határozzuk meg az alábbi hatványsorok konvergencia sugarát és konvergencia

tartományát:

i) 0

2n

n

x

;

ii) 2

1

1( )n

n

xn

;

iii)

1

1n

n

n

xn

;

iv)

0

15

2 1

nn

n

xn

.

105) Írjuk fel a következő függvények Mac Laurin sorát:

i) sinf x x ;

ii) cosg x x ;

iii) 2 sinh x x x ;

iv) ln 1j x x .

106) Határozzuk meg a Taylor sor segítségével a 1

lnlim

1x

x

x határértéket.

107) Vizsgáljuk a 2

1

sin

n

x

n függvénysor egyenletes konvergenciáját.

108) Az x R mely értékei mellett lesznek abszolút konvergensek, illetve feltételesen

konvergensek az alábbi hatványsorok? Mi a konvergencia sugaruk és a konvergencia

halmazuk?

a)

0

1n

n

x

n

;

b)

2 1

0

2 3

!

n

n

x

n

.

109) Állapítsa meg a konvergencia halmazt és a konvergencia halmaz belsejében határozza

meg az összegfüggvényt a

2

0

1

9

n

nn

x

hatványsor esetében.

110) A Mac Laurin sor segítségével bizonyítsuk a következő képleteket:

i)

0

ln 1lim 1x

x

x

ii) 0

sinlim 1x

x

x .

111) Az

2

11! 2! !

nx x x x

en

, x R Mac Laurin sor segítségével írjuk fel a

shx és chx függvények Mac Laurin sorát és adjuk meg a konvergencia halmazokat is.

112) A geometriai sorból kiindulva írjuk fel az arctg x függvény Mac Laurin sorát.

Igazoljuk, hogy

0

1

2 1 4

n

n n

.

113) Írjuk fel a következő függvények Mac Laurin sorát (linearizálással):

i) 2f x ch x ;

ii) 2sing x x .

114) Adjuk meg a 0 2

n

n

nx

n

hatványsor konvergencia intervallumát.

115) Számítsuk ki a 5

20 3

nx

n n

hatványsor konvergencia sugarát és konvergencia

halmazát.

116) Milyen x értékekre lesz konvergens a 0

13

2

nn

n

x

hatványsor?

Adjuk meg a sorösszeget is.

117) Adjuk meg a 21

210

n

n

nx

n

hatványsor konvergencia tartományát.

V. Többváltozós függvények:

(A Thomas Kalkulus 3. könyv 14. fejezetében találunk még több ezekhez hasonló gyakorolni való

feladatot )

118) Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és értékkészletét:

a) 21 ,f x y y x ;

b) 2

1,f x y

xy ;

c) 3 , sinf x y xy ;

d) 2 2 34 , ,f x y z x y z .

119) Rajzoljuk meg a következő függvények grafikonját. Írjunk fel mindegyikhez legalább

2-2 szintvonalat és ábrázoljuk ezeket az xy-síkban:

a) 2 2, 100f x y x y ;

b) 2,f x y y ;

c) 2 2,f x y x y .

120) Számítsuk ki a következő határértékeket:

a) 2 3, 0,1

3lim

5x y

x xy

x y xy y

;

b)

2 2

, 3, 4lim

x yx y

;

c)

2

, 0,0lim

x y

x xy

x y

.

121) Vizsgáljuk a folytonosságot:

2 2

2, , 0,0

, .

0 , , 0,0

xyha x y

x yf x y

ha x y

122) Vizsgáljuk a folytonosságot:

2

4 2

2, , 0,0

, .

0 , , 0,0

x yha x y

f x y x y

ha x y

123) A k paraméter mely értékére lesz folytonos a

1( ), , , , ,2

4 2, .

1 , , , , ,2

4 2

arctg xyz ha x y z

g x y

k ha x y z

124) Számítsuk ki a parciális deriváltakat az

2 2

,x y

f x yy x

függvény esetén.

125) Legyen 3 2 2 2,f x y x y x y x y , 2,x y R .

Számítsuk ki az összes másodrendű parciális deriváltat az , 0,1x y pontban.

126) Számítsuk ki az , xyf x y xe xy függvény , 1,1x y pontban vett gradiens

vektorát, majd a 3,4v irány menti deriváltját.

127) Írjuk fel az alábbi felület érintősíkjának egyenletét a megadott helyhez tartozó pontban:

cos 2z x y ; , ,2 2

x y

.

VI. Szélsőérték feladatok:

128) Határozzuk meg az 3 3, 3f x y x y xy , 2( , )x y R függvény lokális

szélsőértékhelyeit, valamint lokális szélsőértékeit ( R a valós számok halmaza).

129) Határozzuk meg a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit, lokális szélsőértékeit és

nyeregpontjait (ha léteznek):

a) 4 4, 4f x y xy x y ;

b) 4 4, 4g x y xy x y ;

c) 2 2

1,

1h x y

x y

;

d) 4 4, 4k x y xy x y ;

e) 1 1

,l x y xyx y

;

f) ,p x y y sinx ;

g) 2, cosxq x y e y .

130) Határozzuk meg az 3 3, 9f x y x y xy , 2( , )x y R függvény

a) lokális szélsőértékeit;

b) abszolút szélsőértékeit az 2, 0 5; 0 2A x y R x y x kompakt

halmazon.

131) Legyen a követező feltételes szélsőérték feladatunk:

max ,f x y x y feltéve, hogy 2, 1 0g x y x y .

a) Oldjuk meg a feladatot úgy, hogy a korlátozó feltételből visszavezetjük a problémát

egyváltozós, feltétel nélküli feladatra.

b) A Lagrange-szorzók módszerével is oldjuk meg a feladatot.

Megjegyzés: a b) pontban a Lagrange függvény stacionárius pontjainak megtalálása után a

kibővített Hesse mátrix determinánsával, pontosabban

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

0 , ,

det , , , ,

, , ,

g gx y x y

x y

g L LH x y x y x y x y

x x x y x

g L Lx y x y x y

y x y y y

előjelével igazoljuk, hogy az 0 0,x y -ban valóban maximumunk vagy minimumunk van.

Ez az úgynevezett elégséges feltétel, mellyel bizonyítjuk, hogy valóban az optimális

megoldást találtuk meg.

Egészen pontosan, ha 0 0det ,H x y pozitív, akkor lok. max. hely, ha negatív, akkor lok.

min. hely, ezekből választjuk ki a legjobbat).

132) Oldjuk meg a Lagrange-módszerrel:

2 2max , 3f x y x xy y feltéve, hogy 100x y .

Bizonyítsuk be, hogy valóban megtaláltuk az optimális megoldást.

133) (Thomas könyv 3. kötetéből 314. old. 5. példa) Keressük meg az

2 2, 2 2 2f x y x y x y függvény abszolút szélsőértékeit az első síknegyed

azon háromszög alakú tartományán, amelyet az 0x , 0y és 9y x egyenesek

határolnak.

134) (Ugyanitt 6. példa) Egy szállító cég csak olyan téglatest alakú dobozokat fogad el, amelyeknél

a leghosszabb oldal hossza és a rá merőleges oldal kerülete együttesen nem haladja meg a 270

centimétert. Milyen méretek mellett lesz a küldemény térfogata maximális?

VII. Többváltozós függvények deriválása (folytatás):

135) a) Használjuk a láncszabályt a z xy függvény t szerinti deriváltjára (tehát adjuk meg a

'z t deriváltat) az cosx t , siny t görbe mentén.

b) Mennyi a derivált értéke 2

t

-ben? (Thomas Kalkulus 3, Typotex, 2007, 14.4, 285. oldal

megoldott feladata).

136) (Láncszabály első speciális esete három független változóra, pl. amikor egy csavarvonal

mentén változnak a w függvény értékei): Határozzuk meg a dw

dt -t, ha w xy z és

cosx t , siny t , z t . (Thomas Kalkulus 3, Typotex, 2007, 14.4, 286. oldal

megoldott feladata).

137) (Láncszabály második speciális esete): Fejezzük ki a z

t

és

z

s

parciális deriváltakat, ha

2 2z x y , x t s , y t s .

(Thomas Kalkulus 3, Typotex, 2007, 14.4, 288. oldal megoldott feladata).

138) Implicit deriválás (Emlékeztető): Tegyük fel, hogy az ,F x y differenciálható függvény, és

az , 0F x y képlet adja meg az y -t, mint az x differenciálható függvényét. Ekkor

minden olyan pontban, ahol 0yF x

y

Fdy

dx F .

Alkalmazva a fenti képletet, határozzuk meg az 'y x deriváltat az 2 2 sin 0y x xy

implicit módon megadott függvény esetén. (Thomas Kalkulus 3, Typotex, 2007, 14.4, 288.

oldal).

139) Határozzuk meg dy

dx értékét a 0,ln2 pontban, ha sin ln2 0yxe xy y .

VII. Kétváltozós Taylor-formula, Fourier-sorok:

140) Adjuk meg az sin sinf x x y függvény négyzetes közelítését az origó közelében.

Milyen pontos a közelítés, ha 0,1x és 0,1y ?

141) Legyen 0

1,

01 ,

ha x

hf x

a x

és 2f x k f x , k .

a) Készítsünk ábrát.

b) Adjuk meg f Fourier-sorát.

c) Adjuk meg a Fourier-sor összegfüggvényének értékeit az f szakadási pontjaiban.

142) Írjuk fel az alábbi függvényt a megadott intervallumon Fourier-sor segítségével úgy, hogy

csak koszinuszos tagot tartalmazzon. Ehhez terjesszük ki az függvényt a ,

intervallumra. Készítsünk ábrát. 2f x x , 0,x .

143) Fejtsük 2 szerint periodikus Fourier-sorba az alábbi függvényt úgy, hogy csak szinuszos tagot

tartalmazzon. Ehhez terjesszük ki az f függvényt a 1,1 intervallumra. Készítsünk ábrát.

f x x , 0 1.x

VIII. Kettős- és hármas integrálok:

144) Számítsuk ki az 2 2

D

x y dxdy integrált, ha:

i) D a 0 2x és 1

32

y egyenlőtlenségekkel megadott téglalap tartomány;

j) D a (0,0), (3,0), (1,1) és (2,1) csúcspontú négyszöglap.

145) Szemléltesse a

2

2

1 4

2 2

( , )x

x x

f x y dydx

integrál integrálási tartományát.

146) Cserélje fel az integrálás sorrendjét az alábbi feladatban: 2

11

0 1

( , )y

y

f x y dydx

.

147) Számítsuk ki az alábbi kettős integrált. Először cserélje fel az integrálás sorrendjét és

magyarázza meg, miért van erre szükség:

1 1

0

sin

x

x ydydx

y .

148) Határozzuk meg azon hengerszerű test térfogatát, amelyet a ( , )z f x y felület, az xy- sík T

tartománya, és T határgörbéjére állított, z tengellyel párhuzamos alkotók határolnak, ahol 2 2z y x és T az

2 3y x egyenletű parabola és az y –tengely által határolt síkrész.

149) Számítsa ki az 2 2sinD

x y dxdy integrált, ha a D tartomány az xy -sík origó

középpontú, 5 egység sugarú körlapja.

150) Számítsa ki az sinD

x y dxdy integrált, ahol a D tartomány nem más, mint az (0,0)A ,

(3,3)B , (6,0)C csúcsokkal rendelkező háromszöglap.

151) Határozzuk meg a következő integrált: D

xyzdxdydz , ahol a D az origó csúcsú, első

térnyolcadban fekvő, egység sugarú kocka.

152) Határozzuk meg a következő integrált: 1D

dxdydz , ahol a D az origó csúcsú, 2 sugarú

gömb. Mit veszünk észre?

Documents

I. Vektorok, mátrixok, egyenletrendszerekmath.bme.hu/~otti/g2/gyakorlo_feladatok_g2.pdf9) Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(2,1,3) és b(5,2,1)? 10) Határozza