MÁTRIXOK INVERZEGAUSS ELIMINÁCIÓVAL
MÁTRIXOK INVERZE
• Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van-e inverz?
• Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a -gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre:
• A = A=E
• Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű:
• = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*
-1A -1A
-1A-1A
-1A -1A
INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI
TT AA 11
. BABCAC
BACBCA
4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni:
BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C-1-gyel.
1.
2.
3.
ELNEVEZÉSEK
Elnevezések:
A négyzetes mátrix
SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK,
inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak,
ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK
inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.
0000
0000
0000
0000
O
1000
0100
0010
0001
E
31
41A EAX
10
01
31
41
2221
1211
xx
xx
10
01
33
44
22122111
22122111
xxxx
xxxx
HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?
10
01
33
44
22122111
22122111
xxxx
xxxx
110
301
031
141)1(
110
401
131
041)2(
1 ,3 2111 xx
1 ,4 2212 xx
)( 11
43
2221
1211 1-1 AAEAXAX
xx
xx
(2) 13
04
(1) 03
14
2212
2212
2111
2111
xx
xx
xx
xx
Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak.Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.
HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?
531
532
211
A
Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval:
333231
232221
131211
1
xxx
xxx
xxx
A
3
333231
232221
131211
1
100
010
001
531
532
211
E
xxx
xxx
xxx
AA
153
0532
02
053
1532
02
053
0532
12
100
010
001
531
532
211
332313
332313
332313
322212
322212
322212
312111
312111
312111
3
333231
232221
131211
1
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
E
xxx
xxx
xxx
AA
Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak:
Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval
Folytatás az előző oldalról:
Például a 3. sor első elemének nullázása:
Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk:
0
0
1
5
5
2
3
3
1
1
2
1
0
1
0
5
5
2
3
3
1
1
2
1
1
0
0
5
5
2
3
3
1
1
2
1
,
,
1
0
1
3
5
2
2
3
1
0
2
1
0
1
0
3
5
2
2
3
1
0
2
1
1
0
0
3
5
2
2
3
1
0
2
1
,
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
5
2
3
3
1
1
2
1
)1()3()3(
1
0
0
0
1
0
1
0
1
3
5
2
2
3
1
0
2
1
A3E
.
1
0
1
3
5
2
2
3
1
0
2
1
0
1
0
3
5
2
2
3
1
0
2
1
1
0
0
3
5
2
2
3
1
0
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
5
2
3
3
1
1
2
1
)1(*2)2()2(
)1()3()3(
1
0
0
0
1
0
1
2
1
3
1
2
2
1
1
0
0
1
)2(*1)2(
1
0
0
0
1
0
1
2
1
3
1
2
2
1
1
0
0
1
)2(*2)3()3()2()1()1(
1
0
0
2
1
1
3
2
3
1
1
1
0
1
0
0
0
1
)3()2()2()3()1()1(
1
1
1
2
3
1
3
5
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan
1eliminációJordan -Gauss || AEEA
Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és:
111)( ABAB
111)(
:ezért ,egyértelmű inverz az Mivel
ABAB
IBBIBBBIBBAABABAB
IAAAAIAIAABBAABAB
1111111
1111111
)()()())((
)()()())((
Következmény:
1
1
1
2
1
3
11
321
AAAAAAAA nn
Recommended
