Homológia-elmélet

2012. június 2.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2

2. Szimpliciális homológia 2

3. Szinguláris homológia 63.1. CW-komplexusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. CW-komplexusok homológia-csoportjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3. A homológia alaptulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.1. Algebrai kitér® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Mayer-Vietoris sorozat, relatív homológia-csoportok és kivágás . . . . . . . . . . 10

3.4.1. Algebrai kitér® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.2. baricentrikus �nomítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5. Redukált homológia-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6. Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. A CW-homológia tétel bizonyítása 174.1. A Vassiliev-komplexus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Az együtthatók azonosítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1. A Hurewicz homomor�zmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Homológia együtthatókkal 225.1. Homologikus algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1. Künneth-formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6. Kohomológia 256.0.2. Homológia-elméleti tételek duálisai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1. Szorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.1. Künneth-formula és csészeszorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.1.2. Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1

1. Bevezetés

A jegyzet leginkább A. Hatcher Algebraic Topology cím¶ könyvén alapul, de felhasználtam J.Moller (www.math.ku.dk/∼ moller) jegyzetét és más forrásokat is.

A homotópia-csoportokat nehéz számolni. S®t, alig van olyan tér, amelynek minden homotópia-csoportját ismerjük. Ezért fogjuk a kevésbé intuitív, de jobban számolható homológia-csoportokatbevezetni.

Az, hogy a homotópia-csoportok kiszámolása nem egyszer¶, H. Hopf egy példájából derült kiaz 1920-as években: Az f : S3 → S2 Hopf-leképezést úgy de�niáljuk, hogy minden s ∈ S3 ⊂ C2

vektorhoz hozzárendeljük a rajta (és az origón) átmen® [s] ∈ CP1 ∼= S2 komplex egyenest. Mostbelátjuk, hogy [f ] ∈ π3S

2 nem triviális. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik egy F : D4 → S2

kiterjesztése f -nek. Ekkor F felemelhet®, vagyis létezik egy F : D4 → S3, hogy f ◦ F = Fés F |S3 = IdS3 . (ezt kés®bb fogjuk bizonyítani). F de�niál egy homotópiát IdS3 és egy olyang : S3 → S3 leképezés között, amelynek képe f−1(s0)-ban van. Ez viszont azt jelentené, hogyIdS3 null-homotóp. Kés®bb be fogjuk látni, hogy π3S

2 ∼= Z. S2 összes homotópia-csoportjamáig nem ismert.

A homológia valójában korábbi eredet¶, már a 19. század algebrai geométerei használták,de mai formáját csak a negyvenes években nyerte el.

2. Szimpliciális homológia

Hasonlóan a felületek Euler-karakterisztikájához egy triangulálható térhez invariánsokat rende-lünk. El®ször egy triangulációhoz rendelünk Abel-csoportokat, aztán belátjuk, hogy a hozzá-rendelés független a trianguláció választásától.

2.1. De�níció. Standard n-szimplexnek nevezzük a

∆n =

{n∑i=0

tiei : 0 ≤ ti ≤ 1,n∑i=0

ti = 1 ⊂ Rn+1

}

halmazt, ahol ei, i = 0, . . . , n jelöli Rn+1 bázisvektorait.

Vagyis ∆0 egy pont, ∆3 pedig egy tetraéder.

2.2. De�níció. Legyen V = {v0, v1, . . . , vn} egy tetsz®leges véges halmaz (csúcsok), és legyenΛ ⊂ P(V ) véges részhalmazoknak egy leszálló rendszere, vagyis ha A ∈ Λ és B ⊂ A, akkorB ∈ Λ (az üres-halmaz nem játszik). Λ-t a lapok halmazának hívjuk. (A csúcsok számozásahelyett elegend® r egy részbenrendezést megadni V -n, ami a lapokra megszorítva rendezés.) A(V,Λ) párt (véges) (rendezett) szimpliciális komplexusnak nevezzük.

Most minden (V,Λ) (röviden Λ) szimpliciális komplexushoz hozzárendelünk egy topologikusteret.

2

2.3. De�níció. Ha λ ∈ Λ , akkor

∆λ :=

{∑v∈λ

tvv : 0 ≤ ta ≤ 1,∑v∈λ

tv = 1,

}.

(Ha nagyon formálisak akarunk lenni, akkor∑

v∈λ tvv ∈ ∆λ egy f : λ → Rn+1 függvényt jelöl,ahol f(v) = tv.) A λ → {0, . . . , n} egyértelm¶ rendezéstartó bijekció indukál egy ∆λ → ∆n

bijekciót, ami megad egy topológiát ∆λ-n. Λ realizációja:

R(Λ) :=∐λ∈Λ

∆λ/ ∼,

ahol x =∑xaa ∼ y =

∑ybb, ha ∀a ∈ suppx = supp y-ra xa = ya. Itt suppx jelöli azon

csúcsok halmazát, amihez nem 0 együttható tartozik. A R(Λ) halmazt a hányados topológiávallátjuk el. Az X topologikus térnek Λ egy triangulációja, ha R(Λ) ∼= X. (Pontosabban magáta homeomor�zmust hívjuk triangulációnak.)

Vegyük észre, hogy Λ realizációja nem függ a csúcsok számozásától. (V meg kitalálható Λ-ból,ha nem használunk felesleges csúcsokat, vagyis a V elhagyása a jelölésb®l korrekt.)

Például Sn egy triangulációja

Λ := {A ⊂ {0, . . . , n+ 1} : |A| ≤ n+ 1} . (1)

2.4. Házi feladat. Adjunk meg egy homeomor�zmust R(Λ) és Sn között.

Jelöljük Λn-nel a Λ szimpliciális komplexus n-lapjait, vagyis

Λn := {A ∈ Λ : |A| = n+ 1}.

Ekkor nem nehéz belátni, hogy hogy egy véges Λ szimpliciális komplexusra a∑

i(−1)i|Λi|Euler-karakterisztika csak R(Λ)-tól függ. Ezt az invariást fogjuk általánosítani. Nyilván a |Λi|számok nem csak R(Λ)-tól függnek, ennél ravaszabb konstrukció kell.

2.5. De�níció. De�niáljuk Λ n-láncait, mint a Λ n-lapjai által generált szabad Abel-csoportot:

Cn(Λ) :=

{∑f∈Λn

nff : nf ∈ N

}.

A ∂n : Cn(Λ) → Cn−1(Λ) határleképezést az n-lapokon de�niáljuk, majd lineárisan (homomor-�zmusként) kiterjesztjük. Ha A ∈ Λn, akkor az A = [v0, . . . , vn] jelölést is használjuk, ahol acsúcsokat nagyság szerint újraindexeljük.

∂n[v0, . . . , vn] :=n∑i=0

(−1)i[v0, . . . , vi, . . . , vn],

ahol vi azt jelöli, hogy vi-t kihagyjuk.

3

El®jelek nélkül a geometriai jelentés világos lenne: Pl. a [v0, v1, v2, v3] tetraéder határa azoldallapjainak összege. Az alábbi lemma igazolja az el®jelek bevezetését.

2.6. Lemma. ∂n−1∂n = 0, vagyis "a határ határa üres"

Bizonyítás: Legyen σ = [v0, . . . , vn] ∈ Λn. Ekkor

∂n(σ) =n∑i=0

(−1)i[v0, . . . , vi, . . . , vn], és így

∂n−1∂n(σ) =∑j<i

(−1)i(−1)j[v0, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vn]+∑i<j

(−1)i(−1)j−1[v0, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn].

Ha a második szummában kicseréljük i-t és j-t, akkor az els® szumma negatívját kapjuk. Mivelaz n-lapok generálják Cn(Λ)-t, és a határleképezések homomor�zmusok, a lemmát bebizonyí-tottuk. �

Az el®jelek egyfajta irányítást adnak: Tekintsük a ∆n standard n-szimplexet, mint Rn rész-halmazát. Egy lap középpontjából a csúcsokba mutató vektorokhoz utolsónak a kifele mutatónormálvektort hozzávéve Rn egy irányítását kapjuk (�gyelem, a vektorok sorrendje fontos!).Egy másik irányítást kapunk, ha ∆n középpontjából a csúcsaiba mutató vektorokat veszem.Könny¶ látni, hogy a két irányítás pontosan akkor egyezik megy, ha a lap +1 együtthatóvalszerepel a határ de�níciójában.

Megérkeztünk a homologikus algebra legfontosabb fogalmához: Legyenek a ∂n : Cn → Cn−1

leképezések homomor�zmusok a Cn Abel-csoportok között, ahol n ∈ Z.

2.7. De�níció.

1. a C = (Cn, ∂n) sorozat lánckomplexus, ha ∂n−1∂n = 0 minden n ∈ Z-re. (Másképp: asorozat minden Cn-nél félig egzakt.)

2. AHn(C) = Ker(∂n−1)/Im(∂n) csoportot a C lánckomplexus n-edik homológia-csoportjánakhívjuk. Ker(∂n−1)-t Zn-nel is szokták jelölni, és elemeit ciklusoknak hívjuk. Im(∂n)-t pedigBn-nel is szokták jelölni, és elemeit határoknak hívjuk.

Az, hogy Ker(∂n−1) ⊃ Im(∂n), következik ∂n−1∂n = 0-ból. Ha Ker(∂n−1) = Im(∂n), akkor alánckomplexus egzakt Cn-nél. Úgy is mondhatjuk, hogy Hn(C) méri, hogy mennyire nem egzakta sorozat Cn-nél.

A C(Z) = (∆n, ∂n)-t a Z szimpliciális komplexus szimpliciális lánckomplexusának, aHn(C(Z))csoportot pedig a C(Z) lánckomplexus n-edik szimpliciális homológia-csoportjának hívjuk. Ké-s®bb látni fogjuk, hogy Hn(C(Z)) csak Z realizációjától függ, vagyis az X triangulálható térnekH∆n (X) topologikus invariánsait de�niáltuk. Bár a legtöbb tér, amivel találkozni fogunk, tri-

angulálható, de ez a procedúra elég munkás, és nehéz az invariáns tulajdonságait leellen®rizni,ezért módosítani fogunk a de�níción. De el®tte nézzünk néhány példát.

4

2.8. Példák.

1. H∆0 (∗) = Z, és H∆

n (∗) = 0 különben.

2. Tekintsük az S1 körvonal (1)-beli triangulációját. Ekkor a C(Z) lánckomplexus:

· · · // 0 // C1∼= Z3 ∂1 // C0

∼= Z3 // 0 // · · · ,

ahol ∂1[v0, v1] = [v1]−[v0], ∂1[v0, v2] = [v2]−[v0] és ∂1[v1, v2] = [v2]−[v1], vagyis H∆0 (S1) =

Z〈v0〉, H∆1 (S1) = Z〈∂2[v0, v1, v2]〉, a többi homológia-csoport pedig 0.

2.9. Házi feladat. *

1. Számoljuk ki a kompakt irányított felületek homológia-csoportjait. (Javaslat: ne keres-sünk konkrét triangulációt, hanem hasonlítsuk össze az Euler-karakterisztikával).

2. Számoljuk ki az n-dimenziós gömb homológia-csoportjait.

Egy sokaság triangulálásához általában olyan sok szimplex kell, hogy nehéz kiszámolni a homológia-csoportokat.

2.10. Házi feladat. Keressünk minimális lapszámú triangulációt a tórusznak. Mutassuk meghogy a 1. ábra nem triangulációt ábrázol.

1. ábra. Tórusz nem triangulációja

Ezen lehet segíteni a ∆-komplexusok bevezetésével, ahol nem követeljük meg, hogy a csúcsokmeghatározzák a lapokat, lásd [Hat,p.102], így például a tórusz realizációja egy két-lapú ∆-komplexusnak. Mi azonban inkább CW -komplexusokkal fogunk számolni, ami még általáno-sabb. El®ször azonban de�náljuk a szinguláris homológiát, amin rögtön látszik, hogy topologi-kus invariáns.

5

3. Szinguláris homológia

3.1. De�níció. Legyen X topologikus tér. Az f : ∆n → X leképezéseket szinguláris n-szimplexnek nevezzük, és legyen Cn(X) a szinguláris n-szimplexek által generált szabad Abel-csoport. Vagyis σ ∈ Cn(X) egy véges tartójú Z-érték¶ függvény a szinguláris n-szimplexeken.Cn(X) elemeit szinguláris n-láncoknak hívjuk. Itt is de�niálhatunk ∂n : Cn(X) → Cn−1(X)határ-leképezéseket: A

∂n(f) :=n∑i=0

(−1)if |[v0, . . . , vi, . . . , vn]

formula de�niálja szinguláris n-szimplexekre, aztán lineárisan kiterjesztjük. (Itt [v0, . . . , vi, . . . , vn]-t a csúcsok rendezés-tartó bijekciója segítségével azonosítjuk a standard n− 1-szimplex-szel.)

A C(X) = (Cn(X), ∂n) lánckomplexust (ellen®rizzük, hogy ∂n−1∂n = 0!) X szingulárislánckomplexusának nevezzük, és a Hn(X) := Hn(C(X)) csoportot pedig X n-edik szingulárishomológia-csoportjának hívjuk.

A de�nícióból látszik, hogy Hn(X) topologikus invariáns (l. még a 3.10 Megjegyzést).Kés®bb azt is látni fogjuk, hogy egy triangulálható X térre Hn(X) = H∆

n (X). Ez perszeH∆n (X) triangulációtól való függetlenségét is bizonyítani fogja.A de�nícióban Z-t lecserélhetjük egy tetsz®legesGAbel-csoportra, így kapjuk aG-együtthatós

homológia fogalmát.

3.2. Házi feladat.

1. Lássuk be, hogy H0(X) ∼= Zk, ahol k az X tér útösszefügg® komponenseinek száma.

2. Lássuk be, hogy H0(∗) = Z, és Hn(∗) = 0 különben.

Miel®tt a homológia általános tulajdonságait megvizsgálnánk, megel®legezünk egy mód-szert, ahogy ki tudjuk számolni a homológia-csoportokat. Ehhez a triangulációnál általánosabbfelbontást vezetünk be.

3.1. CW-komplexusok

A CW-, avagy cella-komplexusokat indukcióval de�niáljuk.

3.3. De�níció.

1. Egy X0 diszkrét topologikus teret 0-dimenziós cella-komplexusnak hívunk.

2. Xn n-dimenziós cella-komplexus, ha ∃ Xn−1 n-1-dimenziós cella-komplexus, és ϕnα :Sn−1 → Xn−1 ragasztó leképezések, hogy

Xn ∼=

(∐α

Dnα

)∪Xn−1/ ∼,

ahol minden s ∈ Sn−1 ⊂ Dnα-ra s ∼ ϕnα(s).

6

3. X =⋃nX

n (végtelen dimenziós) cella-komplexus, ha minden n-re Xn a fenti módonkészült Xn−1-b®l, és X-en a gyenge topológia van, azaz A ⊂ X zárt ⇐⇒ A ∩Xn ⊂ Xn

zárt minden n-re.

Itt persze lehet még tovább formalizálni, Xn-nek van egy természetes injektív beleképezéseX-be, tehát részhalmazának tekinthetjük, és X n-vázának hívjuk. Továbbá de�niálhatunkψnα : Dn

α → X karakterisztikus leképezéseket. Az enα := ψnα(Bnα) ⊂ Xn részhalmazokat hívjuk

(nyílt n-dimenziós) celláknak, és de�niálhatunk cella-felbontást egyX téren, stb. A CW (closure�nite, weak) elnevezés eredetér®l lásd [Hat, App].

Nem nehéz látni, hogy egy trianguláció de�niál egy cella-felbontást, viszont cellából kevesebbis elég. Ha X és Y véges cella-komplexusok, akkor X × Y is cella-komplexus, hiszen cellákszorzata cella. Szimpliciális komplexusokra ez bonyolultabb.

3.4. Példák.

1. Sn-hez két cella elég, egy 0- és egy n-dimenziós: ϕn : Sn−1 → ∗.

2. (HF) A Σg g-lyukú felületnek van olyan cella-felbontása, amiben egy 0-, 2g darab 1- ésegy n-dimenziós cella van. Adjuk meg a ϕ ragasztó-leképezéseket.

3. Valós projektív terek: Mivel RPn ∼= Sn/Z2∼= Dn/∼, ahol a Z2-hatás az antipodális,

a ∼ ekvivalencia pedig Dn peremének antipodális pontjait azonosítja. Így indukcióvalel®állíthatjuk RPn-nek egy e0 ∪ e1 ∪ · · · ∪ en cella-felbontását, ahol ϕn : Sn−1 → RPn−1 azantipodális pontok azonosítása. Vagyis RPn i-váza egy RPi ebben a felbontásban.

4. Komplex projektív terek: Hasonlóan a valós esethez, kétféle el®állításunk is van: CPn ∼=S2n+1/U(1) ∼= D2n/∼, ahol U(1) az 1 abszolút-érték¶ komplex számok csoportja, ésa ∼ ekvivalencia pedig Dn peremén azonosítja az egymás skalárszorosait. A másodikhomeomor�zmus belátásához tekintsük az S2n+1 ⊂ Cn+1 = Cn × C egységgömb

S+ ={v ∈ S2n+1 : vn+1 > 0 valós}= {(w,√

1− |w|2) :w ∈ Cn, |w| ≤ 1}= Γf

alterét, ahol Γf az f(w) =√

1− |w|2 függvény gra�konja, tehát S+ ∼= D2n. Könny¶látni, hogy minden komplex 1-dimenziós lineáris altér metszi S+-t, és a metszetek éppena fenti ekvivalencia-osztályokat adják.

Így megint indukcóval kapjuk CPn egy e0 ∪ e2 ∪ · · · ∪ e2n cella-felbontását, ahol ϕn :S2n−1 → CPn−1 a Hopf-leképezés.

3.2. CW-komplexusok homológia-csoportjai

Ha adott X egy {ϕnα} cella-felbontása, akkor ehhez készítünk egy CCW (X) = (CCWn (X), ∂n)

lánckomplexust, ahol CCWn (X) = Z〈ϕnα〉 az n-cellák által generált szabad Abel-csoport. A

határ-leképezés∂n(ϕnα) :=

∑β

dαβϕn−1β , (2)

7

ahol dαβ = deg(ϕαβ), és a ϕαβ : Sn−1 → Sn−1 leképezés ϕnα és a qβ : Xn−1 → Xn−1/(Xn−1 \en−1β ) ∼= Sn−1 hányados-leképezés kompozíciója. Hasonlóan de�niálhatjuk CCW (X;G)-t tetsz®-leges G együttható-csoportra.

A következ® tételt kés®bb fogjuk bizonyítani:

3.5. Tétel. CCW (X;G) lánckomplexus, és Hn(CCW (X;G)) ∼= Hn(X;G).

3.6. Következmény. H2i(CPn) ∼= Z ha 0 ≤ i ≤ n, különben 0.

3.7. Házi feladat.

1. Számoljuk ki a gömbök (CW) homológia-csoportjait.

2. Számoljuk ki a valós projektív terek Z- és Z2-együtthatós homológia-csoportjait használvaa 3.4-ben megadott CW-felbontást.

3. Számoljuk ki a Σg felületek (CW) homológia-csoportjait.

3.8. Házi feladat. Tegyük fel, hogy X-nek és Y -nak van olyan cella-felbontása, amiben min-den cella páros dimenziós. Hogy számolhatjuk ki H∗(X) és H∗(Y )-ból H∗(X × Y )-et? Kés®bbfogunk látni olyan példát, ahol a fenti azonosság nem teljesül.

3.3. A homológia alaptulajdonságai

Els® fontos meg�gyelés, hogy a homológia egy funktor, vagyis egy f : X → Y folytonos le-képezéshez tudunk a megfelel® homológia-csoportok közti homomor�zmusokat rendelni: Haσ : ∆n → X egy szinguláris n-szimplex X-ben, akkor f ◦σ : ∆n → Y egy szinguláris n-szimplexY -ban. Az indukált Hn(X) → Hn(Y ) homomor�zmust f∗-gal, vagy Hn(f)-fel jelöljük. Hajobban megnézzük, a H∗ funktort két funktor kompozíciójaként állítjuk el®: C∗ a topologikusterek Top kategóriájából képez a lánckomplexusok ∂A kategóriájába. Top-ban a mor�zmusoka folytonos leképezések, ∂A-ban pedig a láncleképezések:

3.9. De�níció. Legyenek L = (Ln, ∂Ln ), M = (Mn, ∂

Mn ) lánckomplexusok. Az α = (αn)

homomor�zmus-sorozatot láncleképezésnek hívjuk, ha az alábbi diagram kommutál:

· · · ∂Ln // Ln∂Ln−1 //

αn��

Ln−1

∂Ln−2 //

αn−1

��

· · ·

· · · ∂Mn //Mn

∂Mn−1 //Mn−1

∂Mn−2 // · · ·

Az indukált Cn(f) láncleképezést f#-gal is jelöljük.Másrészt van egy funktorunk (amit szintén H∗-gal jelölünk, de ez nem fog fennakadást

okozni) ∂A-ból a gradált Abel-csoportok GA kategóriájába. Ehhez le kell ellen®rizni, hogyegy α : L → M láncleképezés valóban indukál Hn(α) : Hn(L) → Hn(M) homomor�zmusokat.Ez diagram-vadászattal történik a fenti diagramon: Belátjuk, hogy ha a ∈ Ker∂Ln−1, akkorα(a) ∈ Ker∂Mn−1, és ha a ∈ Im∂Ln , akkor α(a) ∈ Im∂Mn .

A funktorialitáshoz még a kompozíció-tulajdonságot kell ellen®rizni, amit az olvasóra bí-zunk.

8

3.10. Megjegyzés. Mivel funktor, így egy f : X → Y homeomor�zmus indukál egy Hn(f) :Hn(X) → Hn(X) izomor�zmust. Ez a részletes bizonyítása annak, hogy Hn(X) topologikusinvariáns. Ennél több is igaz:

3.11. Tétel. Ha f, g : X → Y homotóp leképezések, akkor f∗ = g∗

Bizonyítás. Ha σ : ∆n → X egy szinguláris szimplex, akkor szeretnénk belátni, hogy f#σ ésg#σ nem nagyon tér el egymástól. Legyen F : X × I → Y a homotópia f és g között. Ekkoraz Fσ := F ◦ (σ × IdI) : ∆n × I → Y leképezésb®l szeretnénk �láncot kovácsolni". Az ötlet az,hogy bontsuk a ∆n × I hasábot szimplexekre. Nem nehéz ellen®rizni, hogy

∆n × I =n⋃i=0

[0, 1, . . . , i, i′, . . . , n′],

0’

1’

2’

0

1

2

2. ábra. ∆n × I szimpliciális felbontása

ahol 0, 1, . . . , n a hasáb alapjának, 0′, 1′, . . . , n′ pedig a fed®lapjának a csúcsai, lásd a 2. ábrátaz n=2 esetre. Formálisabban most de�niálunk PF : Cn(X)→ Cn+1(Y ) homomor�zmusokat:

PF (σ) :=n∑i=0

(−1)iFσ|[0, 1, . . . , i, i′, . . . , n′].

Be fogjuk látni, hogy∂PF = g# − f# − PF∂, (3)

vagyis PF egy lánchomotópia f# és g# között.

9

3.3.1. Algebrai kitér®

3.12. De�níció. Legyenek α, β : L→M láncleképezések az L és M lánckomplexusok között.A ϕ = (ϕn : Ln → Mn+1) homomor�zmust lánchomotópiának hívjuk (α és β között), ha∂ϕ = β − α± ϕ∂.

3.13. Állítás. Ha az α, β : L → M láncleképezések lánchomotópok (vagyis van köztük egy ϕlánchomotópia), akkor Hn(α) = Hn(β).

Valóban, ha x ∈ Ker∂Ln (vagyis x egy ciklus), akkor

α(x)− β(x) = ∂ϕ(x)± ϕ∂(x) = ∂ϕ(x),

tehát α(x) és β(x) csak egy Im∂-beli elemben ( határban) különböznek, így a homológiákonugyanazt a leképezést indukálják.

Vagyis a 3.11. Tétel bizonyításához elég a (3) egyenl®séget belátni. Az ötlet az, hogy ahasáb határa=alap−fed®+palást:

∂PF (σ) =∑j≤i

(−1)i(−1)jFσ|[0, 1, . . . , j, . . . , i, i′, . . . , n′]

+∑j≥i

(−1)i(−1)j+1Fσ|[0, 1, . . . , i, i′, . . . , j′, . . . , n′] és

PF (∂σ) =∑j<i

(−1)i−1(−1)jFσ|[0, 1, . . . , j, . . . , i, i′, . . . , n′]

+∑j>i

(−1)i(−1)jFσ|[0, 1, . . . , i, i′, . . . , j′, . . . , n′], tehát

∂PF (σ) + PF (∂σ) = Fσ|[0′, 1′, . . . , n′]− Fσ|[0, 1, . . . , n] = g#(σ)− f#(σ). �

3.14. Következmény. A homológia-csoportok homotópia-invariánsok, vagyis ha X ' Y ak-kor Hn(X) ∼= Hn(Y ).

3.4. Mayer-Vietoris sorozat, relatív homológia-csoportok és kivágás

Ebben a fejezetben, két rokon tételt fogunk belátni, amelyek segítségével már nem triviálisterek homológia-csoportjait is ki tudjuk számolni. A Mayer-Vietoris tétel azt mondja el, hogybizonyos esetekben hogyan számoljuk ki két tér úniójának homológia-csoportjait az eredetiterek homológia-csoportjaiból:

3.15. Tétel. (Mayer-Vietoris sorozat) Tegyük fel, hogy X = A ∪B = intA ∪ intB. Ekkorlétezik egy hosszú egzakt sorozat (HES):

· · · // Hn(A ∩B) // Hn(A)⊕Hn(B) // Hn(A ∪B) // Hn−1(A ∩B) // · · · .

10

Láthatjuk, hogy némi szerencse is kell, ahhoz, hogy a Mayer-Vietoris sorozat segítségével kitudjuk számolni Hn(A ∪B)-t.

3.16. Házi feladat. Számítsuk ki Hi(Sn)-t a Mayer-Vietoris sorozat segítségével. Bizonyítsuk

be, hogy Rn ∼= Rm ⇐⇒ n = m.

Hosszú egzakt sorozatokhoz legtöbbször lánckomplexusok rövid egzakt sorozatából (RES) ju-tunk:

3.4.1. Algebrai kitér®

3.17. Tétel. Legyen

0 // Lα //M

β // N // 0

lánckomplexusok RES-a. Ekkor létezik egy HES:

· · · // Hn(L)Hi(α) // Hi(M)

Hi(β) // Hi(N)∂i // Hi−1(L)

Hi−1(α)// · · · ,

ahol ∂i[n] = [l], ha létezik m ∈M , hogy ∂m = αl.

Bizonyítás: Legyen x ∈ N ciklus, és [x] ∈ Hi(N). ∂n[x] := [l] ha létezik olyan m ∈ Mn, hogy∂m = αl és βm = x. Az alábbi, a RES-t de�niáló diagramon vadászva ellen®rizhetjük, hogyde�níció jó, és valóban egy HES-t kapunk. �

· · · ∂Ln // Ln∂Ln−1 //

αn��

Ln−1

∂Ln−2 //

αn−1

��

· · ·

· · · ∂Mn //Mn

∂Mn−1 //

βn��

Mn−1

∂Mn−2 //

βn−1

��

· · ·

· · · ∂Nn // Nn

∂Nn−1 // Nn−1

∂Nn−2 // · · ·

Vegyük észre, hogy valójában egy funktort de�niáltunk a RES-ok kategóriájából a HES-okkategóriájába.

Tehát a Mayer-Vietoris sorozathoz egy RES-t kell találnunk. Jelöljük C(A) + C(B)-vel Xolyan szinguláris láncait, amelyek olyan szinguláris szimplexek lineáris kombinációi, amelyekvagy A-ba, vagy B-be képz®dnek. Ekkor van egy

0 // C(A ∩B)σ,−σ // C(A)⊕ C(B)

σ+τ // C(A) + C(B) // 0

RES, ami majdnem a Mayer-Vietoris sorozatot indukálja, csak a Hn(A ∪B) csoportok helyetta Hn

(C(A) + C(B)

)csoportok vannak.

11

3.18. Tétel. (Kis láncok) Legyen U = {Uα} az X tér fedése úgy, hogy X =⋃α intUα.

De�niáljuk az U -kis láncokat:

CU(X) :=∑α

C(Uα) = Im

(⊕α

C(Uα)+−→ C(X)

).

Ekkor az i : CU(X)→ C(X) inklúzió izomor�zmust indukál a homológiákon:

Hn(i) : HUn (X) := Hn(CU(X))→ Hn(X)

izomor�zmus.

A kis láncok tételének bizonyítása azon az ötleten alapul, hogy egy szinguláris szimplexetkicserélhetünk annak baricentrikus �nomítására (lásd 4. ábra) anélkül, hogy a homológia-szinten változás történne. Ha elég sokszor iteráljuk a �nomítást, akkor már kis láncokat kapunk.A teljes bizonyítást lást pl. [Prop. 2.21. Hatcher] vagy [p 11,Mol]. Itt egy vázlatot adok, ahiányzó részletek reményeim szerint önállóan kitölthet®k.

Bizonyításvázlat:

3.4.2. baricentrikus �nomítás

A standard n szimplexet (n+1)! kis szimplexre bontjuk. A felbontást indukcióval de�niáljuk. A0-szimplexet nem bontjuk tovább, Tegyük fel, hogy az n−1-szimplex felbontása már de�niálvavan, ekkor ∆n n-szimplexei legyenek [b, w0, . . . , wn−1] alakúak, ahol [w0, . . . , wn−1] az egyikn− 1-lap baricentrikus �nomításának egyik szimplexe és b a ∆n súlypontja vagy baricentruma.(Vagyis a lapok kis szimplexeire emelt b csúcsú kúpok lesznek ∆n kis szimplexei.) Ha α ∈ Cn(X)

3. ábra. ∆2 baricentrikus �nomítása

egy szinguláris n-lánc, akkor B(α)-val jelöljük a baricentrikus �nomítását. (vagyis az α-banel®forduló szinguláris szimplexeket megszorítgatjuk ∆n �nomításának szimplexeire és ezeketösszeadjuk.) Könny¶ látni, hogy B : Cn(X)→ Cn(X) egy lánc-leképezés.

3.19. Állítás. Minden α ∈ Cn(X) ciklusra (∂α = 0) az α−B(α) lánc határ.

Bizonyítás: ∆n×I-nek indukcióval de�niáljuk egy felbontását szimplexekre: ∆n×{0}∪∂∆n×Iminden szimplexére állítunk egy b csúcsú kúpot, ahol b a ∆n × {0} "fed®lap" baricentruma.(Lásd a 4. ábrát n = 2-re.) Jelöljük Si-vel ezeket a szimplexeket. és legyen T (σ) =

∑±σ◦π|Si ,

ahol π : ∆n × I → ∆n a projekció. Az el®jelek ügyes megválasztásával elérhet®, hogy a

∂T (α)− T∂(α) = α−B(α)

azonosság teljesüljön (vagyis T egy lánc-homotópia B és az identitás között). �

12

3.20. Állítás. Legyen σ : ∆n → X egy szinguláris szimplex. Ekkor létezik N , hogy BN(σ) ∈CUn (X), vagyis σ-t elég sokszor �nomítva kis láncot kapunk.

Bizonyítás: ∆n iterált baricentrikus �nomításában a szimplexek átmér®je 0-hoz tart ((

nn+1

)N →∞), tehát a metrikus Lebesgue lemmából következik az állítás.

3.21. Lemma. Legyen f : K → X folytonos, K kompakt metrikus tér, U az X nyílt fedése.Ekkor létezik ε > 0, hogy A ⊂ K, diam(A) < ε esetén létezik U ∈ U , hogy f(A) ⊂ U .

A metrikus Lebesgue lemma hasonlóan bizonyítható, mint a szakaszra vonatkozó Lebesguelemma. �

Bizonyításvázlat befejezése: Ha α ∈ Cn(X), akkor 3.20. miatt ∃ N , hogy BN(α) kislánc. Ha α még ciklus is, akkor 3.19. miatt csak egy határban tér el BN(α)-tól (homológok),vagyis Hn(i)[BN(α)] = [α], tehát Hn(i) szürjektív.

Legyen β ∈ CUn (X) cklus és tegyük fel, hogy iβ = ∂α valamilyen α ∈ Cn+1(X)-re, vagyisHn(i)β = 0. Ekkor 3.20. miatt ∃ N , hogy BN(β) kis lánc. Mivel B lánc-leképezés, így∂BN(α) = BN(β). Viszont 3.19-t β-ra alkalmazva látjuk, hogy β is határ, tehát Hn(i) injektív.�

4. ábra. ∆2 homológ a baricentrikus �nomításával

Ezzel a Mayer-Vietoris tételt is bebizonyítottuk. A kivágási tételhez el®ször kiterjesztjük aszinguláris homológia-elméletet térpárokra:

3.22. De�níció. Legyen X ⊃ A. Ekkor a C(X,A) := C(X)/C(A) lánckomplexus elemeit re-latív láncoknak, a Hn(X,A) := Hn(C(X,A)) csoportokat pedig relatív homológia-csoportoknakhívjuk. Könny¶ ellen®rizni, hogy valójában egy funktort kapunk a térpárok kategóriájábóla gradált Abel-csoportok kategóriájába. A relatív homológia-csoportokat sok helyen fogjukhasználni, például bizonyos esetekben Hn(X,A) ∼= Hn(X/A).

13

A 0→ C(A)→ C(X)→ C(X,A)→ 0 RES indukál egy

· · · // Hn(A)in // Hn(X)

jn // Hn(X,A)∂n // Hn−1(A) // · · · (4)

HES-t, amit az (X,A) pár relatív homológia HES-ának nevezünk. Nyilván Hn(X) = Hn(X, ∅).Hasonlóképpen ha X ⊃ A ⊃ B, akkor a

0 // C(A)/C(B) // C(X)/C(B) // C(X)/C(A) // 0

RES indukálja az (X,A,B) hármas homológia HES-át:

· · · // Hn(A,B) // Hn(X,B) // Hn(X,A)∂n // Hn−1(A,B) // · · · (5)

3.23. Tétel. (Kivágás) Legyen X egy topologikus tér.

1. Tegyük fel, hogy U ⊂ A ⊂ X. Ha U ⊂ intA akkor az (X \ U,A \ U) → (X,A) inklúzióizomor�zmust indukál: Hn(X \ U,A \ U) ∼= Hn(X,A).

2. Tegyük fel, hogy X = A ∪ B. Ha X = intA ∪ intB is teljesül, akkor a (B,A ∩ B) →(A ∪B,A) inklúzió izomor�zmust indukál: Hn(B,A ∩B) ∼= Hn(A ∪B,A).

A két állítás ekvivalenciája az X \ U = B választással látható. A bizonyításhoz a kis láncoktételének relatív verzióját használjuk:

3.24. Tétel. (Relatív kis láncok) Legyen U = {Uα} az X tér fedése úgy, hogyX =⋃α intUα

és legyen A ⊂ X. De�niáljuk a relatív U -kis láncokat:

CU(X,A) := CU(X)/CU∩A(A),

ahol U ∩ A = {Uα ∩ A}. Ekkor a CU∩A(X) → C(A) és a CU(X) → C(X) inklúziók indukál-nak egy j : CU(X,A) → C(X,A) láncleképezést, ami izomor�zmust indukál a homológiákon:HUn (X,A) := Hn(CU(X,A)) ∼= Hn(X,A).

A relatív kis láncok tételének bizonyítása: De�níciója szerint j kommutatívvá teszi a

0 // CU∩A(A) //

��

CU(X) //

��

CU(X,A) //

j

��

0

0 // C(A) // C(X) // C(X,A) // 0

diagramot. A két vízszintes sor egzakt, így HES-okat indukálnak, s®t a két HES között isindukálódik egy leképezés a RES → HES funktorialitása miatt. Így egy "végtelen létrát"kapunk, amire az 5-ös lemmát alkalmazva kapjuk a kívánt izomor�zmust. �

14

A kivágási tétel bizonyítása: Legyen U = {A,B} Ekkor CU(X,A) =(C(A)+C(B)

)/C(A)

és C(B,A ∩ B) = C(B)/C(A ∩ B). A Noether izomor�zmus tétel miatt így a (B,A ∩ B) →(X,A) inklúzió által indukált C(B,A ∩B)→ CU(X,A) leképezés izomor�zmus. Mivel a

C(B,A ∩B) //

��

CU(X,A)

wwC(X,A)

diagram kommutál, a relatív kis láncok tételéb®l következik a kivágási tétel második alakja. �

3.25. Házi feladat. Lássuk be, hogy X = S1 × S1 és Y = S1 ∨ S1 ∨ S2-re H∗(X) ∼= H∗(Y ),de X 6' Y .

3.5. Redukált homológia-elmélet

Legyen x0 ∈ X. Ekkor de�niálhatjuk a redukált homológia-csoportokat: Hn(X) := Hn(X, x0).Pontozott terekre inkább a redukált homológiát szoktuk használni, lásd homotópia-csoportok,ahol szintén van kitüntetett pont. A redukált homológia-csoportok nem nagyon térnek el amegfelel® homológia-csoportoktól, és nem függnek x0 választásától, ami a következ® ekvivalensde�nícióból is látszik: Legyen

· · · // C2(X) ∂ // C1(X) ∂ // C0(X) ε // Z // 0

az úgynevezett augmentált lánckomplexus, ahol ε(∑niσi) :=

∑ni. Könny¶ látni, hogy az aug-

mentált lánckomplexus homológia-csoportjai a redukált homológia-csoportok. Egy harmadiklehet®ség a pt : X → ∗ konstans-leképezésre Hn(X) = KerHn(pt). Bármelyik felírásból látszik,hogy Hn(X) = Hn(X), ha n>0, és H0(X) ⊕ Z ∼= H0(X). A Mayer-Vietoris sorozat redu-kált homológia-csoportokra is egzakt, amit néha kényelmesebb használni, lásd pl. a gömbökhomológia-csoportjainak kiszámolása.

3.26. Házi feladat. Lássuk be, hogy Hn+1(ΣX) ∼= Hn(X), ahol ΣX = X×I/(X×{0}∪X×{1}) jelöli X szuszpenzióját.

3.27. Házi feladat. Keressünk minél kevesebb szinguláris szimplex lineáris kombinációjábólálló reprezentánsokat az Sn gömbök n-edik homológia-csoportjának generátorához. Ugyaneztpróbáljuk meg a T 2 tórusz második homológia-csoportjára.

Segítség: keressünk ciklusokat, amit "fedik" a sokaságunkat, majd használjuk a Hn(X,X \ x)lokális homológia-csoportokat annak ellen®rzésére, hogy valóban a generátort kaptuk.

15

3.6. Alkalmazások

3.28. Tétel. Komplementum-tétel

1. Legyen h : Dk → Sn egy topologikus beágyazás (homeomor�zmus a képre). Ekkor

Hi(Sn \ h(Dk)) = 0 minden i-re.

2. Legyen h : Sk → Sn egy topologikus beágyazás k < n-re. Ekkor

Hi(Sn \ h(Sk)) ∼= Hi(S

n−k−1).

Bizonyítás:(1) k-ra való indukcióval bizonyítunk, k = 0-ra igaz. Dk helyett a k-dimenziós kockát,

Ik = [0, 1]k-t használjuk. Legyen A+ = Sn \ h(Ik−1 × [0, 1/2] és A− = Sn \ h(Ik−1 × [1/2, 1].Ekkor

A+ ∩ A− = Sn \ h(Ik) és A+ ∩ A− = Sn \ h(Ik−1).

Az indukciós lépés szerint Hi(A+ ∩A−) = 0, így A+, A− (redukált) Mayer-Vietoris sorozatábólkapjuk, hogy

Hi(Sn \ h(Ik))

∼=→ Hi(A+)⊕ Hi(A−). (6)

Tegyük fel most, hogy α ciklus Sn \ h(Ik)-ben, de nem határ. Ekkor (6) miatt vagy A+-ban, vagy A−-ban sem határ. További felezgetéssel kapunk egy I1 ⊃ I2 ⊃ · · · intervallum-sorozatot,

⋂Ii = {p}, hogy α nem határ Sn \ h(Ik−1 × Ii)-ben. Viszont az indukciós lépés

miatt Sn \ h(Ik−1×{p})-ben határ: ∃β ∂β = α. De β tartója kompakt, vagyis már valamelyikSn \ h(Ik−1 × Ii)-ben benne kéne lennie ∠↙.

(2) k-ra való indukcióval bizonyítunk, k = 0-ra igaz. Legyen Sk = Dk+ ∪ Dk

− két félgömbúniója. Legyen B+ = Sn \ h(Dk

+) és B+ = Sn \ h(Dk+). Ekkor � felhasználva (1)-et � B+, B−

(redukált) Mayer-Vietoris sorozatából kapjuk, hogy

Hi+1(Sn \ h(Sk−1)) ∼= Hi(Sn \ h(Sk))

�

3.29. Következmény. Jordan-görbe tétel: Ha S1 → S2 topologikus beágyazás, akkor akomplementer két útösszefügg® komponens¶.

Ezek a komponensek egyben összefügg® komponensek is, hiszen az útösszefügg® komponensekzártak, véges sok van, tehát nyíltak is a komplementumban, tehát S2-ben is. Viszont egy S2-belinyílt lokálisan útösszefügg®, tehát pontosan akkor összefügg®, ha útösszefügg®.

3.30. Következmény. Nyílt halmazok invarianciája: Ha U ⊂ Sn nyílt és h : U → Sn

beágyazás, akkor h(U) ⊂ Sn is nyílt. (Ugyanez nyilván Sn helyett Rn-re is igaz.)

Bizonyítás: Legyen x ∈ U és Dn⊂ U egy x középpontú zárt golyó. Nyilván elég belátnunk,hogy h(int(Dn)) nyílt. A Komplementum-tétel miatt Sn \ h(∂Dn)-nek két útösszefügg®ségikomponense van. Ezek összefügg® komponensek is, hiszen Sn \ h(∂Dn) nyílt (l. a fenti érvet aJordan-görbe tételnél). De Sn \ h(∂Dn) diszjunkt úniója h(Dn \ ∂Dn-nek és Sn \ h(Dn)-nek.Az els® útösszefügg®, hiszen ilyen képe, a második pedig a Komplementum-tétel miatt. Tehát®k a komponensek. Így Sn \ h(Dn) nyílt Sn \ h(∂Dn)-ben, következésképp Sn-ben is. �

16

4. A CW-homológia tétel bizonyítása

Az alábbi állítások tetsz®leges együttható-csoportra igazak alkalmas módosítással, Mi az egy-szer¶ség kedvéért a Z-együttható esetére szorítkozunk.

4.1. A Vassiliev-komplexus

4.1. De�níció. Legyen F = {∅ = X−1 ⊂ X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn ⊂ · · · } az X tér �ltrálása,vagyis

⋃Xn = X. Vassiliev-komplexusnak hívjuk a

V (F) = · · · // Hn+1(Xn+1, Xn)dn+1 // Hn(Xn, Xn−1)

dn // · · ·

· · · d2 // H1(X1, X0)d1 // H0(X0) // 0

sorozatot, ahol dn+1 = jn∂n+1. Itt jn : Hn(Xn)→ Hn(Xn, Xn−1) az (Xn, Xn−1) pár HES-ábólés ∂n+1 : Hn+1(Xn+1, Xn)→ Hn(Xn) a (Xn+1, Xn) pár HES-ából van.

Mivel dndn+1 = jn−1∂njn∂n+1 = 0 az (Xn, Xn−1) pár HES-ának félig-egzaktsága miatt, ígyV (F) egy lánckomplexus. Homológia-csoportjait Hn(F)-fel fogjuk jelölni.

4.2. Tétel. Legyen F = {X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn ⊂ · · · } az X tér �ltrálása, amely teljesíti adegeneráció-feltételt:

Hk(Xn, Xn−1) = 0 ha k 6= n, (D)

és a kompaktsági feltételt: minden K ⊂ X kompakt részhalmazra van olyan n, hogy K ⊂ Xn.Ekkor Hn(F) ∼= Hn(X).

A tételt els®sorban az X cella-komplexus váz-�ltrálására akarjuk alkalmazni, ahol Xn a legfel-jebb n-dimenziós cellák úniója.

4.3. Lemma. Ha az F �ltrálás teljesíti (D)-t és a kompaktsági feltételt, akkor

1. Hk(Xn) = 0 ha k > n,

2. Az in : Xn → X beágyazásra H(in) : Hk(Xn)∼=→ Hk(X) ha k < n.

Bizonyítás:1. A (Xn, Xn−1) pár HES-ából és (D)-b®l következik indukcióval.2. szintén indukcióval következik a (Xn, Xn−1) pár HES-ából és (D)-b®l, ha X = XN

valamilyen N -re.Különben legyen σ ∈ Ck(X). A kompaktsági feltétel miatt létezik m > n, hogy σm ∈

Ck(Xm) és im#σm = σ, ahol im : Xm → X a beágyazás. Ha ∂σ = 0, akkor ∂σm = 0, tehát

[σ] ∈ Hk(X)-re [σ] = im∗ [σm]. Azt viszont már beláttuk, hogy Hk(Xn)

∼=→ Hk(Xm), tehát

H(in) : Hk(Xn)→ Hk(X) szürjektív.

17

Az injektivitáshoz legyen σn ∈ Ck(Xn) és in#σn = σ. Tegyük fel, hogy σ = ∂β, β ∈

Ck+1(X). A kompaktsági feltétel miatt létezik m > n, hogy βm ∈ Ck+1(Xm) és im#βm = β,

tehát σm = C(Xn → Xm)σn-re 0 = [σm] ∈ Hk(Xm). Viszont Hk(X

n)∼=→ Hk(X

m), tehát0 = [σn] ∈ Hk(X

n). �

A 4.2 tétel bizonyítása: Tekintsük az alábbi kommutatív diagramot, ahol a sorok a megfel®párok HES-aiból vannak:

Hn(X)

Hn(Xn) // // Hn(Xn+1)

2∼=

OO

// Hn(Xn+1, Xn)D= 0

Hn(Xn) // Hn(Xn, Xn−1)∂n //

dn

,,

Hn−1(Xn−1)

Hn−1(Xn−2)1= 0 // Hn−1(Xn−1) // // Hn−1(Xn−1, Xn−2)

Itt 1,2,D utal arra, hogy a 4.3 Lemma 1, 2. részét, illetve a D degeneráció-feltételt használ-tuk. Hn(X)-b®l diagram-vadászhatunk egy homomor�zmust Hn(Xn, Xn−1)-be, ahol a kép ∂nmagjában, tehát dn magjában is lesz, így kapunk egy Hn(X)→ Hn(F) leképezést.

Visszafele pedig, kihasználva megint hogy Ker(∂n) = Ker(dn), diagram-vadászhatunk egyKer(dn)→ Hn(X) leképezést. Még le kell vadászni, hogy Im(dn+1)-en ez a leképezés 0-t ad, te-hát kapunk egy Hn(F)→ Hn(X) homomor�zmust, és ellen®rizni, hogy ez a két homomor�zmusegymás inverze, amit az olvasóra bízunk. �

A kompaktsági feltételt a váz-�ltrálás teljesíti a gyenge topológia miatt (HF), tehát adegeneráció-feltételt kell belátni. Ehhez a Hn(X,A) relatív, és a Hn(X/A) abszolút homológia-csoportok közti kapcsolatot vizsgáljuk meg.

4.4. De�níció. Az (X,A) pár jó, ha A-nak van egy olyan nyílt V környezete X-ben, aminekA deformációs retraktja.

Ha az (X,A) pár jó , akkor V/A-nak deformációs retraktja A/A ∈ X/A, és a q : X → X/Ahányados-leképezés indukál egyX\A→ X/A\A/A és egy V \A→ V/A\A/A homeomor�zmust.

4.5. Tétel. Ha (X,A) jó pár, akkor a κ : (X,A) → (X/A,A/A) hányados-leképezés izomor-�zmust indukál, a

κ∗ : Hn(X,A)→ Hn(X/A,A/A) ∼= Hn(X/A)

leképezés izomor�zmus.

Bizonyítás: Az alábbi diagram bal függ®leges nyiláról kell belátni, hogy izomor�zmus:

Hn(X,A)i∗ //

κ∗��

Hn(X, V )

κ∗��

Hn(X \ A, V \ A)kivoo

κ∗��

Hn(X/A,A/A)i∗ // Hn(X/A, V/A) Hn(X/A \ A/A, V/A \ A/A)kivoo

18

Az i∗-k izomor�zmusok, ami belátható a megfelel® párok HES-ai közti leképezésekre alkalmazvaaz 5-ös lemmát. A jobb-oldali κ∗ izomor�zmus, mert homeomor�zmus indukálja. Így a kivágásitételb®l következik az állítás. �

4.6. Állítás. Jelölje X i az X cella-komplexus i-vázát. Ekkor (X i+1, X i) jó pár.

Bizonyítás: Legyen V = X i+1 \ {i+ 1-cellák középpontja}. �

4.7. Állítás. Az X cella-komplexus váz-�ltrálása teljesíti a (D) degeneráció-feltételt.

Bizonyítás: (X i+1, X i) jó pár, tehát Hn(X i+1, X i) ∼= Hn(X i+1/X i). Viszont

X i+1/X i ∼=∨α

Si+1α∼= (∐α

Si+1α )/(

∐α

sα),

ahol sα ∈ Si+1α . Viszont (

∐α S

i+1α ,

∐α sα) is jó pár, tehát Hn (

∨α S

i+1α ) ∼=

⊕αHn(Si+1

α , sα),vagyis

Hn(X i+1, X i) ∼=⊕α

Z ha n = i+ 1 és 0 különben. �

4.2. Az együtthatók azonosítása

Hátra van még a dn : Hn(Xn, Xn−1)→ Hn−1(Xn−1, Xn−2) határ-leképezés (ld. (2) a 7. oldalon)azonosítása.

Ha egy d : A→ B homomor�zmus együtthatóit akarjuk kiszámolni, ahol A ∼= Zk, B ∼= Zl,akkor a legkényelmesebben ezt úgy tehetjük meg, hogy de�niálunk aα : Z → A, α = 1, . . . , k,illetve bβ : B → Z, β = 1, . . . , l injektív, illetve szürjektív homomor�zmusokat úgy, hogya =

⊕α aα : Zk → A és b =

⊕β bβ : B → Zl izomor�zmusok. Ekkor ugyanis bda =

∑αβ bβdaα,

ahol a dαβ = bβdaα : Z → Z homomor�zmus egy egész számmal való szorzás, hívjuk ezt aszámot a bβdaα : Z→ Z fokának.

A fenti procedúrát most az A = Hn(Xn, Xn−1) és a B = Hn−1(Xn−1, Xn−2) végesen generáltszabad Abel-csoportokra végezzük el:

Z ∼= Hn(Dn, ∂Dn)ψα∗ // Hn(Xn, Xn−1) illetve

Hn−1(Xn−1, Xn−2)κ∗∼=// Hn−1(Xn−1/Xn−2)

qβ∗ // Hn−1(Sn−1β ) ∼= Hn−1(Dn−1, ∂Dn−1) ,

ahol ψα az α n-cella karakterisztikus leképezése, κ∗ a jó pár tétel izomor�zmusa és qβ :Xn−1/Xn−2 → Sn−1

β pedig a hányados-leképezés, ami a többi gömböt összeomlasztja. Vagyis adn határ-leképezés együtthatói a fenti bázisban: dαβ a qβ∗κ∗dnψ

α∗ : Z→ Z homomor�zmus foka.

A szóhasználat egyszer¶sítésésre vezessük be a homologikus fok fogalmát:

4.8. De�níció. Az f : Sn → Sn leképezés homologikus foka k, ha az indukált f∗ : Hn(Sn) →Hn(Sn) homomor�zmus α 7→ kα alakú (f∗ foka k).

A homologikus fok néhány egyszer¶ tulajdonsága:

19

1. deg(IdSn) = 1,

2. deg(f) = 0 ha f nem szürjektív,

3. deg(f ◦ g) = deg(f) deg(g),

4. s 7→ −s foka (−1)n+1.

4.9. Házi feladat. 1. Lássuk be, hogy ha f : Sn → Sn �xpontmentes, akkor deg(f) =(−1)n+1. (Ha Zk szabadon hat S2n-en, akkor k = 2.)

2. Lássuk be, hogy Sn-en van seholsem 0 vektor-mez® ⇐⇒ n páratlan.

Most a homologikus fok segítségével megadjuk a dαβ együtthatók geometriai interpretáció-ját.

4.10. Tétel. Legyen F azX cella-komplexus váz-�ltrálása és V (F) a �ltrálás Vassiliev-komplexusa.Ekkor

dαβ = deg(qβ∗κ∗dnψα∗ ) = degϕαβ,

ahol a ϕαβ : Si−1 → Si−1 leképezés a ϕnα : Si−1 → X i−1 ragasztó-leképezés és a

qβq : X i−1 → X i−1/X i−2 → X i−1/(X i−1 \ ei−1β ) ∼= Si−1

hányados-leképezés kompozíciója.

Bizonyítás: Az állítás következik az alábbi diagram kommutativitásából:

Hn(Dnα, ∂D

nα)

∂n∼=

//

ψα∗��

qβ∗κ∗dnψα∗

''

Hn−1(∂Dnα)

ϕαβ∗ //

ϕα∗��

Hn−1(Sn−1β )

Hn(Xn, Xn−1)∂n //

dn ))

Hn−1(Xn−1)q∗ //

jn−1

��

Hn−1(Xn−1/Xn−2)

qβ∗

OO

Hn−1(Xn−1, Xn−2)

κ∗

∼=55

4.11. Megjegyzés. Ahhoz hogy a fok tényleg de�niálva legyen, rögzítenünk kell aHn(Snα) ∼= Zés Hn−1(Sn−1

β ) ∼= Z csoportok generátorait, ez például a ∂∆n → Sn ciklus rögzítésével történhet(vetítsünk ∆n baricentumából a körülírt gömbre, a kapott szinguláris lánc ciklus és generáljaHn(Sn)-t: (HF)).

20

A homologikus fok kiszámolásában gyakran segít a lokális fok fogalma. Legyen y ∈ Sn olyan,hogy f−1(y) = {x1, . . . , xm}. Válasszunk diszjunkt U1, . . . , Um környezeteket ezekhez a pon-tokhoz úgy, hogy f mindet x egy V környezetébe képezze. Ekkor felírhatunk egy kommutatívdiagramot:

Hn(Ui, Ui \ xi)∼=

uu

f∗ //

ki��

Hn(V, V \ y)

∼= kiv��

Hn(Sn, Sn \ xi) Hn(Sn, Sn \ f−1(y))pioo f∗ // Hn(Sn, Sn \ y)

Hn(Sn)

∼=

ii

j

OO

f∗ // Hn(Sn)

∼= HES(Sn,Sn\y)

OO

A fels® f∗ fokát hívjuk lokális foknak, és deg f |xi-vel jelöljük. Diagram-vadászattal kapjuk:

4.12. Állítás. deg f =∑

i deg f |xi.

4.2.1. A Hurewicz homomor�zmus

A CW-homológia de�níciójában a homotopikus fokot használtuk. Most belátjuk, hogy ez meg-egyezik a homologikus fokkal.

Legyen g a Hn(Sn) generátora. Ha f : Sn → Z, akkor f∗(g) ∈ Hn(Z). A homotópia-invariancia miatt kapunk egy hu : πn(Z, z0)→ Hn(Z) Hurewicz leképezést.

4.13. Állítás. A Hurewicz leképezés homomor�zmus.

Bizonyítás: Az alábbi diagram kommutatív, ahol lehet,

XιX

��

α

��X ∨ Y α∨β //πX

[[

πY

��

Z

YιY

CC

β

EE

vagyis α = (α ∨ β)ιX , β = (α ∨ β)ιY , πXιX = IdX és πY ιY = IdY . Mivel ιX∗ + ιY∗ izomor�zmus,így

(α ∨ β)∗ = (απX)∗ + (βπY )∗ (7)

Tekintsük most az összeadás de�nícióját πn(Z)-ben:

[α + β] = [(αh+) ∨ (βh−)ν],

ahol ν : Sn → Sn+ ∨ Sn− a �nadrágszíj-összehúzó� leképezés és h± : Sn± → Sn rögzített homeo-mor�zmusok. Vegyük észre, hogy h+π+ν ∼ h−π−ν ∼ IdSn , ahol π± : Sn+ ∨ Sn− → Sn± jelöli amegfelel® összeomlasztásokat. Alkalmazva a (7) azonosságot kapjuk, hogy

hu[α + β] =((αh+) ∨ (βh−)ν

)∗g = α∗(h

+π+ν)∗g + β∗(h−π−ν)∗g = hu[α] + hu[β]

21

�

4.14. Következmény. A homotopikus fok megegyezik a homologikus fokkal.

Ehhez elég látni, hogy hu(1) = 1, ami a de�nícióból azonnal következik.Ezzel a 3.5 tétel bizonyítását a homológia és CW-homológia azonosságáról befejeztük.

4.15. Házi feladat. Lássuk be hogy haX egy útösszefügg® tér, akkor a Hurewicz-homomor�zmusegy π(X)/[π(X), π(X)] → H1(X) izomor�zmust indukál ([G,G]-vel a G csoport kommutátorrész-csoportját jelöljük). Segítség: egy X-beli 1-ciklushoz rendeljünk hozzá egy zárt görbét X-ben és mutassuk meg, hogy a megfelel® osztály a fundamentális csoport kommutátor részcsoportszerinti faktorában jól de�niált.

A fenti házi feladat segítségével direkt bizonyítást kapunk arra, hogy H1(S1) ∼= Z.

5. Homológia együtthatókkal

Az RPn projektív tér Z2-együtthatós homológiája látszólag plusz információt ad az egész-együtthatós homológiához képest. Valójában az egész-együtthatós homológia-csoportok meg-határozzák az összes többit. Err®l szól az Univerzális Együttható Tétel. Ez tiszta algebra:Legyen L = (Cn, ∂n) egy lánckomplexus, és de�niáljuk az L ⊗ G lánckomplexust úgy, hogy agrádicsok Cn ⊗ G lesznek, a határ-leképezések pedig a ∂n által indukáltak. Szeretnénk L ésL⊗G homológiáit összehasonlítani.

5.1. Házi feladat. Lássuk be, hogy ha egy lánckomplexus grádicsai végesen generáltak, akkorel®áll, mint a 0 → Z → 0, és 0 → Z ·m→ Z → 0 felbonthatatlan ( a második nem irreducibilis,találjunk rész-lánckomplexusát!) lánckomplexusok direkt összege (nem egyértelm¶!).

5.2. Megjegyzés. A fenti házifeladat szerint a végesen generált eset visszavezethet® a0→ Z→ 0, és 0→ Z ·m→ Z→ 0 lánckomplexusok esetére:

(0→ Z→ 0)⊗G = 0→ G→ 0, és

(0→ Z ·m→ Z→ 0)⊗G = 0→ G·m→ G→ 0, tehát

H∗(0→ Z ·m→ Z→ 0) = (0, 0, Zm, 0) és

H∗(0→ G·m→ G→ 0) = (0, m-Tor(G), G/mG, 0),

ahol m-Tor(G) = {g ∈ G : mg = 0} a G Abel-csoport m-torzió részcsoportja. (G ⊗ Z ∼= G ésG⊗ Zm ∼= G/mG.)

5.3. Példa. A projektív terekre Hi(RPn;Z2) ∼= Hi(RPn)⊗ Z2 ⊕ 2-TorHi−1(RPn).

i 0 1 2 3 4 · · · n (ps/pt)Hi(RPn) Z Z2 0 Z2 0 · · · 0/Z2-TorHi(RPn) 0 Z2 0 Z2 0 · · · 02-TorHi−1(RPn) 0 0 Z2 0 Z2 · · · Z2/0Hi(RPn)⊗ Z2 Z2 Z2 0 Z2 0 · · · 0/Z2

Hi(RPn;Z2) Z2 Z2 Z2 Z2 Z2 · · · Z2

22

5.1. Homologikus algebra

A fentieket elegánsabban is meg lehet fogalmazni, ami jó alkalom a homologikus algebrávalvaló további ismerkedésre. Legyen R egy gy¶r¶, és legyen R-Mod az R-modulusok kategóriája.(Legtöbbször az R = Z esetet, vagyis az Abel-csoportok kategóriáját fogjuk használni.) Havan egy F : R-Mod → R-Mod elég szép funktorunk (legyen pl. additív: leképezések összegétösszegbe viszi), akkor az indukál egy funktort az R-modulusok lánckomplexusainak kategóriájánis: egy funktor az �egyenleteket� tartja, így a félig egzaktságot is, tehát lánckomplexus F -je islánckomplexus lesz. Az egzaktságot viszont már nem feltétlenül, így a H(F (L)) = F (H(L))azonosság általában nem teljesül. Pl. a G-vel való tenzorszorzás funktorára most láttuk, hogynem egzakt. Most megmérjük, hogy H(F (L)) = F (H(L)) mennyire nem teljesül.

5.4. De�níció. Legyen A ∈ R-Mod. Az

F → A→ 0 = · · · // Fn // · · · // F1// F0

// A // 0

sorozatot az A R-modulus szabad feloldásának hívjuk, ha a sorozat egzakt és az Fi-k szabadR-modulusok.

5.5. Házi feladat.

1. Az Abel-csoportoknak (Z-modulusoknak) van 2 hosszú szabad feloldása.

2. Minden R-modulusnak van szabad feloldása. (Fi-k indukcióval megkonstruálhatók.)

3. Keressünk olyan R-modulust, amelyiknek csak végtelen hosszú szabad feloldása van.

Legyen F : R-Mod → R-Mod egy additív funktor és F = F → A → 0 az A R-modulusszabad feloldása. Ekkor F(F ) is félig egzakt, és Hi(F(F )) méri mennyire nem az.

5.6. Állítás. Hi(F(F )) nem függ a szabad feloldástól, csak F -t®l és A-tól.

Bizonyítás: Következik az alábbi lemmából IdA : A→ A-ra alkalmazva.

5.7. Lemma. Ha α : A → B modulus-homomor�zmus és F = F → A → 0, G = G → B →0 szabad feloldások, akkor α indukál egy � lánchomotópia erejéig egyértelm¶ � α : F → Gláncleképezést.

Lemma bizonyítása: Az alábbi diagramban akarjuk a szaggatott nyilakat de�niálni (kom-mutatívan!):

· · · // Fn //

αn��

· · · // F1f1 //

α1

��

F0f0 //

α0

��

A //

α

��

0

· · · // Gn// · · · // G1

g1 // G0g0 // B // 0

Mivel F0 szabad és g0 szürjektív, így α0 de�niálható. α1 akkor de�niálható, ha Im(g1) ⊃Im(α0f1), de ez következik az egzaktságból és a de�niált rész kommutativitásából. A továbbiαi-ket hasonlóan de�niálhatjuk indukcióval. A lánchomotópia erejéig egyértelm¶ség HF. �

A 5.6 állítás miatt az alábbi de�níció korrekt:

23

5.8. De�níció. Legyen F : R-Mod → R-Mod egy additív funktor. Ekkor F i-edik deriváltfunktorát a

Deri(F)(A) := Hi(F(F ))

formulával de�niáljuk, ahol A egy R-modulus és F = F → A→ 0 az A szabad feloldása.

A derivált funktor de�nícióját mor�zmusokra az olvasóra bízzuk. A G Abel-csoporttal valótenzorszorzás ⊗G : A → A funktor derivált funktorát

Tor(A;G) := Der1(⊗G)(A)

-val jelöljük. 5.5.1 miatt a magasabb derivált funktorok nullák.

5.9. Tétel. Univerzális Együttható Tétel Minden C lánckomplexusra a

0 // Hn(C ⊗G) // Hn(C;G) // Tor(Hn−1(C);G) // 0

sorozat egzakt.

Egy hasonlóan bizonyítható tételt részletesen fogunk bizonyítani hamarosan.

5.1.1. Künneth-formulák

A Künneth-formulák egy szorzattér homológiáját hasonlítják össze a tényez®k homológiájával.Bizonyítás nélkül adunk meg néhány hasznos változatot. Aki megoldotta a 3.8 házi feladatot,már sejti, hogy a homológiák tenzorszorzatához lesz köze a válasznak.

5.10. De�níció. Legyen R egy (kommutatív egységelemes) gy¶r¶. Ha az L lánckomplexusLi grádicsai R-modulusok és a határleképezések R-modulus homomor�zmusok, akkor L-et R-lánckomplexusnak hívjuk. Ha L és M R-lánckomplexusok akkor de�niáljuk az L ⊗R M R-lánckomplexust:

(L⊗RM)n :=⊕i

Li ⊗RMn−i

és ha l ∈ Li, m ∈Mn−i, akkor

∂(l ⊗m) := ∂l ⊗m+ (−1)il ⊗ ∂m.

Nem nehéz bizonyítani a következ®t:

5.11. Állítás. Ha X és Y CW-komplexusok, akkor

CCW (X;R)⊗R CCW (Y ;R) ∼= CCW (X × Y ;R),

ahol az izomor�zmust az ei ⊗ ej 7→ ei × ej megfeleltetés indukálja. Itt ei az X, ej pedig az Yegy cellája, amiket az egységkocka leképezéseinek tekintünk.

24

5.12. Tétel. Algebrai Künneth-formula LegyenR f®ideál-gy¶r¶, L ésM R-lánckomplexusok.Ekkor léteznek

0 //⊕

iHi(L)⊗RHn−i(M) //Hn(L⊗RM) //⊕

iTorR(Hi(L), Hn−i−1(M)) //0

rövid (hasadó) egzakt sorozatok.

A könnyebb megjegyezhet®ség kedvéért (triviális) lánckomplexusokat készíthetünk, és akkorkapjuk lánckomplexusok RES-át:

0 // H∗(L)⊗R H∗(M) // H∗(L⊗RM) // TorR(H∗(L), H∗(M))− // 0.

A de�níciókat az olvasóra bízzuk. Az alsó − index az eggyel elcsúsztatott indexelés¶ lánc-komplexusra utal.

6. Kohomológia

A tenzorszorzás funktort a Hom(·, G) (kontravariáns!) funktorra cserélve kapjuk aG-együtthatóskohomológia fogalmát. A H i(X;G) kohomológia-csoportok több szempontból haszálhatóbbinvariánsai egy topologikus térnek, mint a homológia-csoportok. Ennek egyik oka a kontrava-riancia, másik pedig, hogy ha egy gy¶r¶b®l választjuk az együtthatókat, akkor H∗(X;R)-entermészetes szorzás vezethet® be. Kés®bb más el®nyökr®l is szó lesz.

6.1. De�níció. H i(C;G)-vel jelöljük a Hom(C,G) kolánckomplexus (a nyilak visszafele men-nek,a kohatár-leképezéseket δ-val jelöljük) homológia-csoportjait. Kézenfekv® módon de�niáljuka kolánc, kohatár és kociklus fogalmát is.C∗(X;G) illetve H i(X;G) jelöli X szinguláris kolánc-komplexusát, illetve annak kohomológia-csoportjait (szinguláris kohomológia).

6.0.2. Homológia-elméleti tételek duálisai

Az alábbi állítások lényegében ugyanúgy bizonyíthatók, mint a homológiai párjuk:

6.2. Tétel. (Mayer-Vietoris sorozat) Tegyük fel, hogy X = A ∪ B = intA ∪ intB. Ekkorlétezik egy hosszú egzakt sorozat (HES):

· · · Hn(A ∩B)oo Hn(A)⊕Hn(B)oo Hn(A ∪B)oo Hn−1(A ∩B)oo · · ·oo .

6.3. De�níció. Legyen X ⊃ A egy térpár. Ekkor

C∗(X,A;G) = Hom(C∗(X,A), G))

jelöli a relatív koláncokat és H i(X,A;G) a megfelel® relatív kohomológia-csoportokat.

25

6.4. Tétel. (Pár hosszú egzakt kohomológia sorozata)A 0→ C∗(X,A;G)→ C∗(X;G)→ C∗(A;G)→ 0 RES indukál egy

· · · Hn(A)oo Hn(X)oo Hn(X,A)δn

oo Hn−1(A)oo · · ·oo (8)

hosszú egzakt sorozatot.

Legyen x0 ∈ X. Ekkor de�niálhatjuk a redukált kohomológia-csoportokat: Hn(X) :=Hn(X, x0).

CW-komplexusokra de�niálhatjuk a CW-kolánckomplexust, mint a CW-lánckomplexus du-álisát, és ennek kohomológia-csoportjai megegyeznek a szinguláris kohomológia-csoportokkal.

Létezik Univerzális Együttható Tétel a kohomológia-csoportokra is, a végesen generált eset-ben a 5.2 megjegyzéshez hasonlóan járhatunk el.

6.5. Házi feladat. Számoljuk ki a Z,Zm,Q,R csoportok egymással vett Hom csoportjait.

Az általános esetben legyen C szabad Abel-csoportok lánckomplexusa. Ekkor de�niálhatunkegy

h : Hn(C;G)→ Hom(Hn(C);G)

homomor�zmust a h[α]([β]) := α(β) ∈ G formulával, ahol α ∈ Hom(Cn, G) kociklus és β ∈ Cnciklus.

6.6. Állítás.

1. h jól de�niált.

2. h szürjektív.

3. Kerh ∼= Coker i∗n−1, ahol i∗n−1 : Z∗n−1 → B∗n−1 az in−1 : Bn−1 → Zn−1 inklúzió adjungáltja.

6.7. Megjegyzés. egy ϕ : A→ B homomor�zmus komagja: Coker(ϕ) = B/Im(ϕ). Ez duálisfogalma a magnak, hiszen:

0 // Kerϕ // Aϕ // B és 0 Cokerϕoo Boo A

ϕoo

egzaktak. Azonnal következik a de�nícióból az is, hogy ha

∂n+2// Cn+1∂n+1 // Cn

∂n // Cn−1∂n−1 //

egzakt, akkor az alábbi RES �vágható ki bel®le�:

0 // Coker ∂n+2// Cn // Ker∂n−1

// 0

26

6.6 bizonyítása:1. α kociklus ⇐⇒ δα = 0 ⇐⇒ α|Bn = 0, hiszen δα(β)

def= α(∂β). Legyen α′ = α+a, β′ =

β + b, ahol a kohatár és b határ (a = δu, b = ∂v). Ekkor α′(β′) = α′(β), mivel α kociklus; ésa(β′) = δu(β′) = u(∂β′) = 0 mivel β′ ciklus. Tehát α′(β′) = α(β).

2. Vegyük észre, hogy az i : Zn → Cn inklúzió hasad: létezik egy p : Cn → Zn homomor�z-mus, hogy pi = Idzn . Itt kihasználjuk, hogy Zn = Ker∂ ahol ∂ : Cn → Bn−1 és Bn−1 szabadAbel-csoport, hiszen a Cn−1 szabad Abel-csoport részcsoportja. Legyen ϕ ∈ Hom(Hn(C);G),ekkor ∃!ϕ1 : Zn → G, hogy ϕ1|Bn = 0 és ϕ[β] = ϕ1(β) minden β ciklusra. Legyen ϕ2 = ϕ1p,ekkor

δϕ2(β) = ϕ2(∂β) = ϕ1p(∂β) = ϕ1(∂β) = 0,

hiszen ϕ1|Bn = 0. Tehát ϕ2 kociklus és

h[ϕ2]([β]) = ϕ2(β) = ϕ1(β) = ϕ[β].

3. A Bn, Zn csoportok de�níciója az alábbi RES-ban foglalható össze:

0 // Zn // Cn∂ // Bn−1

// 0 .

Minden n-re együtt kapjuk HES-ek RES-át:

0 // Z // C // B− // 0 ,

ahol (B−)n = Bn−1: eggyel elcsúsztatjuk az indexelést. Z és (B−)n triviális lánckomplexusok, a

határ-operátorokat nullának de�niáljuk. 2-ben láttuk, hogy ez a RES hasad: 0 // Z // Cpuu // B− // 0 .

Minket a duális0 Z∗oo C∗oo B∗−oo 0oo (9)

RES érdekel, ahol az A∗ = Hom(A;G) jelölést használjuk. Egy RES duálisa nem mindig egzakt,de egy hasadó RES duálisa mindig hasadó RES (HF, funktorok egyenlettartóak). Tehát (9)indukál egy HES-t a (ko)homológiákon:

B∗noo Z∗ndnoo Hnoo B∗n−1

oo Z∗n−1

dn−1oo oo (10)

Itt felhasználtuk, hogy Hn(B∗−) = B∗n−1 és Hn(Z∗) = Z∗n, hiszen triviális lánckomplexusok, ésa Hn = Hn(C∗) jelölést használjuk. A dn kohatár-leképezést az alábbi diagram de�niálja (ittújra felhasználtuk, hogy Hn(B∗−) = B∗n−1 és Hn(Z∗) = Z∗n):

Z∗n+1 C∗n+1oo B∗n

δoo

Z∗n

0

OOdn

55

C∗nooδ

OO

B∗n−1oo

0

OO

27

dn de�nícióját (3.17) végigkövetve láthatjuk, hogy i∗n = dn. A diagramból mellesleg az is látszik,hogy δ : C∗n+1 → C∗n átfaktorizálódik B

∗n-on, ami persze következik a δα(β) = α(∂β) de�nícióból

is. A (10) HES-ól �kivághatjuk� a

0 Keri∗noo Hnoo Coker i∗n−1oo 0oo (11)

RES-t. Megint használva, hogy `inklúzió duálisa megszorítás' kapjuk, hogy Keri∗n = {ϕ :Zn → G : ϕ|Bn = 0}. Ezek a homomor�zmusok bijekcióban állnak a Zn/Bn → G homo-mor�zmusokkal, tehát Keri∗n ∼= Hom(Hn(C);G). Könny¶ végigbogarászni, hogy a Hn → Keri∗nleképezés (11)-ben megegyezik h-val a Keri∗n ∼= Hom(Hn(C);G) azonosítás után, vagyis Kerh ∼=Coker i∗n−1. �

Hátra van még az Univerzális Együttható Tétel kimondásához, hogy Coker i∗n−1-t valami is-mer®sebb objektummal azonosítsuk. Ehhez vegyük észre, hogy a homológia-csoportot de�niáló

F : 0 // Bn−1// Zn−1

// Hn−1(C) // 0

RES a Hn−1(C) Abel-csoport szabad feloldása. F -re alkalmazva a Hom(·;G) funktort kapjukaz

F ∗ : 0 B∗n−1oo Z∗n−1

oo H∗n−1(C)oo 0oo

félig egzakt sort, amire H1(F ∗) = Coker i∗n−1. A derivált funktor de�nícióját értelemszer¶enmódosítva kontravariáns funktorokra ez éppen a Hom(·;G) funktor (els®) derivált funktora,amit Ext(·;G)-val szoktak jelölni. Vagyis:

6.8. Tétel. Univerzális Együttható Tétel kohomológia-csoportokra Minden C lánc-komplexusra a

0 // Ext(Hn−1(C);G) // Hn(C;G) // Hom(Hn(C);G) // 0

sorozat egzakt.

Közben azt a nem triviális eredményt is megkaptuk, hogy Coker i∗n−1 csak Hn−1(C)-t®l függ. Abizonyításból az is kijön, hogy az UET sor hasad, de ez a hasadás nem kanonikus. Ebb®l az iskövetkezik, hogy egyX tér Z-együtthatós homológia-csoportjai meghatározzák a G-együtthatóskohomológia-csoportjait.

6.9. Házi feladat. Számoljuk ki a Z,Zm,Q,R csoportok egymással vett Ext csoportjait.

6.10. Házi feladat. Számoljuk ki a valós projektív terek Z-együtthatós kohomológia-csoportjaitaz UET-lel.

6.11. Házi feladat. Lássuk be, hogy ha F test, akkor

Hn(X;F ) ∼= HomF (Hn(X;F );F ).

Most már számos módon kiszámolhatjuk, hogy H1(S1) ∼= Z.

28

6.12. Házi feladat. Rögzítsünk minden s ∈ S1-re egy γs : [0, 1] → S1 görbét úgy, hogyγs(0) = s0 és γs(1) = s. Legyen σ : [0, 1] → S1 egy szinguláris 1-szimplex. Ekkor σ :=γσ(0) ∗ σ ∗ γσ(1) egy zárt görbe (itt ∗ a görbék összef¶zését jelöli), melynek de�niálható aκ(σ) ∈ Z körüljárási száma. A σ 7→ κ(σ) hozzárendelés indukál egy a ∈ Hom(C1(S1),Z)homomor�zmust. Mutassuk meg, hogy a egy kociklus és [a] ∈ H1(S1) generátor. (tipp:a(σ ∗ σ′) = a(σ) + a(σ′).)

6.1. Szorzás

6.13. De�níció. Legyen R egy gy¶r¶ és X egy topologikus tér. Ekkor a ϕ ∈ Ck(X;R), ψ ∈C l(X;R) koláncok csészeszorzata ϕ ` ψ ∈ Ck+l(X;R):

ϕ ` ψ(σ) = ϕ(σ|[v0, . . . , vk])ψ(σ|[vk, . . . , vk+l]), (12)

ahol σ : ∆k+l → X egy szinguláris k + l-szimplex.

Az alábbi lemmából következik, hogy a csészeszorzat indukál egy

Hk(X;R)×H l(X;R)`→ Hk+l(X;R)

szorzást, amit szintén csészeszorzatnak fogunk hívni.

6.14. Lemma.δ(ϕ ` ψ) = δϕ ` ψ + (−1)kϕ ` δψ,

ahol ϕ ∈ Ck(X;R) és ψ ∈ C l(X;R).

Bizonyítás: Ha σ : ∆k+l+1 → X, akkor

δϕ ` ψ(σ) =k+1∑i=0

(−1)iϕ(σ|[v0, . . . , vi, . . . , vk])ψ(σ|[vk+1, . . . , vk+l+1]) és

(−1)kϕ ` δψ(σ) =k+l+1∑i=k

(−1)iϕ(σ|[v0, . . . , vk])ψ(σ|[vk, . . . , vi, . . . , vk+l+1]).

Ha ezeket összeadjuk, akkor az els® összeg utolsó tagja kiejti a második összeg els® tagját, amaradék pedig δ(ϕ ` ψ)(σ) = ϕ ` ψ(∂σ), hiszen ∂σ =

∑k+l+1i=k (−1)iσ|[v0, . . . , vi, . . . , vk+l+1]).

�A lemmából következik, hogy kociklusok szorzata kociklus, és kociklus-szor kohatár az ko-

határ, tehát valóban kapunk egy kohomologikus szorzást, ami asszociatív és disztributív, hiszena kociklus-szinten nyilvánvalóan az.

6.15. Állítás. A visszahúzás gy¶r¶-homomor�zmus, azaz, ha f : X → Y , akkor f ∗(α ` β) =f ∗(α) ` f ∗(β).

29

Bizonyítás: Következik abból, hogy f ] : C∗(Y ;R)→ C∗(Y ;R)-ra

f ]ϕ ` f ]ψ(σ) = f ]ϕ(σ|[v0, . . . , vk])f]ψ(σ|[vk, . . . , vk+l])

= ϕ(fσ|[v0, . . . , vk])ψ(fσ|[vk, . . . , vk+l])

= ϕ ` ψ(fσ) = f ]ϕ ` ψ(σ). �

Nemsokára belátjuk, hogy

6.16. Példa.

1. H∗(CP∞;Z) ∼= Z[α] és H∗(CPn;Z) ∼= Z[α]/(αn+1), ahol α foka 2,

2. H∗(RP∞;Z2) ∼= Z2[α] és H∗(RPn;Z2) ∼= Z2[α]/(αn+1), ahol α foka 1.

6.1.1. Künneth-formula és csészeszorzás

6.17. Tétel. LegyenekX, Y cella-komplexusok, és tegyük fel, hogyHk(Y ;R) szabadR-modulusminden k-ra. Ekkor

H∗(X;R)⊗R H∗(Y ;R)×→ H∗(X × Y ;R)

izomor�zmus, ahol ×(α⊗ β) = α× β := p∗X(α) ` p∗Y (β).

6.18. Házi feladat. Bizonyítsuk be a fenti tételt X = Y = S1, R = Z-re.

Segítség: Használjuk a 6.12 és a 3.27 házi feladatok megoldását.Megoldás: Azt kell belátnunk, hogy a két S1 faktor els® kohomológia-csoportjának generátorátkeresztszorozva a tórusz második kohomol®gia-csoportjának generátorát kapjuk. Tekintsük azα = v − w láncot a tóruszon (l. 5 ábra). Könny¶ látni, hogy ez egy ciklus. Legyen g a 6.12

v

w

v =w w

v =wv1 2 2

0 0 1

5. ábra. H2(T 2) generátora

feladatban megadott kociklus, és értékeljük ki p∗X([g]) ` p∗Y ([g]) ∈ H2(T 2)-t az [α] ∈ H2(T 2)homológia-osztályon:

p∗X([g]) ` p∗Y ([g])([α]) = g(pX] α|[0, 1])g(pY] α|[1, 2]) = (1− 0)(1− 0) = 1.

A számolásból az is adódik, hogy [α] ∈ H2(T 2) tényleg generátor.

30

6.1.2. Alkalmazások

A gy¶r¶-struktúra létezésének er®s következményei vannak, pl. egy �nomabb invariánst kapunktopologikus terek megkülönböztetésére.

6.19. Állítás. CP2 6' S2 ∨ S4.

Bizonyítás: Mivel H∗(X ∨ Y ) ∼= H∗(X) ⊕ H∗(Y ) mint gy¶r¶k, ha X, Y jól pontozott, azaz(X, x0) és (Y, y0) jó párok (HF), így H∗(CP2) 6∼= H∗(S2 ∨ S4) mint gy¶r¶k. �

6.20. Következmény. A Hopf leképezés h : S3 → S2 nem null-homotóp, hiszen h-t használjukragasztó-leképezésnek CP2 cella-felbontásában. Ha h null-homotóp lenne, akkor azt kapnánk,hogy CP2 ' S2∨S4. (Ezt az eredményt h homotópia HES-ának vizsgálatából is megkaphatjuk.)

6.21. Állítás. Ha A nullosztómentes algebra R felett, akkor

n = dimR(A) = 2l.

Bizonyítás: Az A-beli szorzás de�niál egy µ : RPn−1 × RPn−1 → RPn−1 leképezést, hiszen aszorzás bilinearitása miatt egyenesek szorzata egyenes. A 6.17 tételb®l következik, hogy

H∗(RPn−1 × RPn−1;Z2) ∼= Z2[α, β]/(αn, βn).

6.22. Lemma. µ∗(γ) = α + β, ahol H∗(RPn−1;Z2) ∼= Z2[γ]/(γn).

A lemmából következik, hogy 0 = µ∗(γn) =∑

k

(nk

)αkβn−k, tehát

(nk

)≡ 0 mod 2 minden

0 < k < n-re. Egyszer¶ számelméleti gondolatmenet adja, hogy ekkor n = dimR(A) = 2l.Lemma bizonyítása: Feltehetjük, hogy n > 2. Legyen x ∈ Sn−1 és λ : I → Sn−1 ⊂ A egy

x-et −x-szel összeköt® görbe. Ekkor az indukált RPn−1-beli hurok nem null-homotóp, és mivel aλy(t) := λ(t) ·y görbe összeköti x ·y-t −x ·y-nal, így a λy által indukált hurok sem null-homotóp.Ezt y · λ(t)-re is eljátszva kapjuk, hogy π1(µ) : Z2×Z2 → Z2 mindkét faktor generátorát a képgenerátorába képzi. Alkalmazzuk a Hurewicz-homomor�zmust, majd H1(µ)-t dualizáljuk. �

A kés®bbiekben szükségünk lesz relatív csészeszorzatokra is, amiket szintén A (12) formu-lával de�niálhatunk:

Hk(X;R)×H l(X,A;R)`→ Hk+l(X,A;R),

Hk(X,A;R)×H l(X;R)`→ Hk+l(X,A;R),

Hk(X,A;R)×H l(X,A;R)`→ Hk+l(X,A;R),

hiszen ha ϕ vagy ψ elt¶nik az A-beli láncokon, akkor ϕ ` ψ is.Ha A,B ⊂ X nyíltak, vagy X rész-cella-komplexusai, akkor a kis (ko)láncok tétele miatt

kapunk (HF) egy

Hk(X,A;R)×H l(X,B;R)`→ Hk+l(X,A ∪B;R)

szorzatot is.

31