FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO

DEPARTAMENTO de FÍSICA de la MATERIA CONDENSADA

MOMENTO DE INERCIA

Práctica de Laboratorio M7

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Departamento de Física de la Materia Condensada

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO DEPARTAMENTO de FÍSICA de la MATERIA CONDENSADA

Práctica de Laboratorio M7 MOMENTO DE INERCIA

Objetivos Se trata de determinar el momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje determinado, mediante la aplicación de un par y la medida de la aceleración angular resultante. Repaso de teoría • Movimiento rotacional. • Momento de inercia. Teorema de Steiner. Fundamento teórico El momento de inercia de un cuerpo rígido se puede determinar a partir de la ecuación básica del movimiento rotacional: M= I α (1) donde M es el momento resultante del sistema de fuerzas aplicado, I el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro, y α es la aceleración angular producida. En este experimento, el cuerpo rígido será un disco montado sobre un eje; y el momento será producido por una masa m que cae atada a un hilo enrollado en un tambor de radio r situado alrededor del eje de giro, como se indica en la figura 1. Suponiendo que el

arrollamiento es exactamente horizontal, que todo él se realiza sobre la superficie del tambor, y despreciando la sección del hilo, la aceleración de un punto del hilo será igual a la aceleración tangencial de un

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punto sobre la superficie del tambor que gira. Por tanto, la relación entre la aceleración lineal de caída de la masa, a, y la aceleración angular α del cuerpo rígido será: a = αr (2) Por otro lado, el momento M aplicado sobre el cuerpo que gira, será F.r, donde F es la tensión del hilo (ver figura 1). Como primera aproximación, podemos considerar que la masa que cae tiene una aceleración tan pequeña, que la tensión en el hilo, F, es igual al peso de la masa mg. En esta aproximación, tenemos entonces que el momento M viene dado por mgr. Considerando (1) y (2), y despreciando efectos de rozamiento y la inercia de la polea, se cumplirá:

!

mgr = Ia

r

"

# $ %

& ' (3)

Como todas las demás magnitudes son constantes en el tiempo, se puede deducir de (3) que la aceleración a debe ser también constante en el tiempo. Conocemos o podemos medir la masa que cae, el radio r del tambor, y la aceleración de la gravedad, presentes en la ecuación (3). Por tanto, si medimos la aceleración de caída del cuerpo, podemos obtener el valor aproximado del momento de inercia del cuerpo, I, despejándolo de esta ecuación (3) y sustituyendo el valor de las otras magnitudes. Por otro lado, si la aceleración es constante, el tiempo que tarda la masa en caer de una altura h, estará relacionado con esa aceleración mediante la conocida expresión:

!

h = v0t + 1

2at2.

Sabemos, sin embargo, que la ec.(3) no es exactamente correcta, y podemos mejorarla. De acuerdo con la segunda ecuación de Newton, si la masa cae con una aceleración a, la tensión en la cuerda tiene que ser tal que mg-F=ma y, por tanto, F=m(g-a), de forma que haciendo el mismo razonamiento que arriba, la ecuación modificada sería:

!

m g" a( )r = Ia

r

#

$ % &

' ( (4)

La ecuación (4) es más correcta que la ec. (3), pero en ella estamos despreciando el efecto de las fuerzas de rozamiento y del momento de inercia de la polea. En el dispositivo experimental de esta práctica, el error que se comete al despreciar estos efectos va a ser pequeño siempre que la masa de caída no sea ni muy grande, ni muy pequeña. En el primer caso, los tiempos de caída son muy cortos (dificultando la precisión de la medida) y el giro rápido del disco puede dar lugar a efectos de fricción y turbulencias del aire cuyo efecto incontrolable puede ser importante. En el caso de masas muy pequeñas, el

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movimiento puede ser tan lento que se pueden producir rozamientos no uniformes y discontinuos durante la caída. En nuestro caso, un valor entre 100 y 120 g será adecuado. La polea inteligente: En esta práctica, para medir la aceleración de caída de la masa, vamos a utilizar una polea "inteligente". Se trata de un dispositivo representado en la figura adjunta formado por una "barrera" luminosa conectada a un ordenador y una polea. Las aspas de la polea interceptan el haz luminoso de la barrera. La barrera luminosa envía al ordenador una señal diferente dependiendo de si el haz luminoso es interceptado o no. De esta forma y utilizando el reloj del ordenador, el programa detecta la duración los intervalos de tiempo sucesivos en los que las aspas de la polea interceptan el haz luminoso. A partir de ellos, el programa, conociendo los datos geométricos de la polea y de sus aspas, determina su movimiento rotacional. De ahí, determina también el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en cada momento del hilo que se mueve sobre su ranura. El programa permite después representar gráficamente los valores de estas magnitudes en función del tiempo.

MÉTODO OPERATORIO 1) Encender el ordenador. Puede ser que el ordenador esté ya encendido, en este caso, lo dejaremos encendido al acabar la práctica. Hacer doble “click” sobre el icono M7, de esta forma se ejecuta el programa Data Studio. Mediante este programa se pueden adquirir datos del movimiento de la polea, representarlos, realizar ajustes, exportar datos... 2) Movimiento de la polea. En este apartado, para familiarizarse con el sistema, vamos a intentar caracterizar el rozamiento de la polea. Para ello, NO será necesario usar el disco,

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ni el tambor, ni el hilo, ni el portapesas, sólo la polea. Se trata de poner en movimiento la polea dándole un pequeño impulso con el dedo, y de forma simultánea presionar sobre el botón INICIO situado cerca de la parte superior izquierda de la pantalla, el programa empieza la adquisición de puntos. Según se van adquiriendo los puntos, se van representando en un gráfico de velocidad frente a tiempo. Cuando la polea se detenga, pulsar sobre el botón DETENER, para parar la adquisición. El programa permite múltiples posibilidades de manipulación y de representación de los datos adquiridos. Por ejemplo, utilizando las herramientas de ZOOM se pueden ajustar las escalas. También puede ser interesante observar los gráficos de posición frente al tiempo, o de aceleración frente al tiempo. Volver a la situación en la que se visualice la gráfica original de velocidad frente a tiempo y repetir el proceso de adquisición otras dos veces, variando ligeramente la velocidad inicial que se le da a la polea. Comparar las diferentes curvas obtenidas. Y en cada caso determinar la velocidad máxima, el tiempo aproximado que ha tardado la polea en detenerse. Esta claro que las curvas obtenidas corresponden a un movimiento decelerado, pero, ¿es la aceleración constante? Tratar de analizar el tipo de curva obtenido realizando ajustes a diferentes funciones (para realizar los ajustes pulsar sobre el botón desplegable AJUSTE, y seleccionar el ajuste deseado). Físicamente, ¿qué se puede decir de un movimiento que presente una curva velocidad-tiempo con esta forma? Imprimir la gráfica velocidad-tiempo con las tres curvas para adjuntarla en el informe de la práctica. 3) Una vez familiarizados con el programa vamos a realizar la medida para determinar el momento de inercia del disco. Para ello, poner a punto el dispositivo mecánico que se va a usar (disco, tambor, hilo, portapesas, pesa, polea). Usar un calibre vernier (ver hoja sobre manejo del calibre vernier situada después de las hojas dedicadas a la teoría del cálculo de errores) para medir el diámetro del tambor en el que se arrolla el hilo. Pesar el portapesas junto con una masa de unos 100 g. Comprobar que el disco está bien atornillado (el tornillo debe quedar fijo por la presión de la tuerca y debe atornillarse únicamente unos 2-3 mm dentro del tambor). Verificar que el disco está horizontal y gira con muy poco rozamiento. Arrollar BIEN el hilo al tambor del eje (sin que se superponga), y comprobar que el hilo entre la polea y el tambor no está oblicuo. Colocar la masa de unos 100 g en el portapesas. Agarrar el disco con la mano para que no se inicie el movimiento. Medir con una cinta métrica la altura desde el suelo a la que está la masa. Liberar el disco a la vez que ponemos en marcha la adquisición de datos con el ordenador (ver apartado 2). Una vez que la masa ha llegado al suelo, detener la adquisición de datos del ordenador. Observar la gráfica velocidad-tiempo obtenida en este caso. Dejar en la gráfica únicamente los datos obtenidos en este apartado (eliminar las curvas obtenidas en

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el apartado 2). Imprimir la gráfica obtenida para incluirla en el informe de la práctica. Comentar sus características más importantes. ¿Es la caída un movimiento con aceleración constante? ¿Se puede distinguir aproximadamente el instante de contacto con el suelo? Determinar dicho instante y estimar su error. 4) Para obtener un valor más preciso de la aceleración de caída, eliminar de la gráfica los puntos obtenidos una vez la masa ha llegado al suelo. Con los puntos restantes realizar el correspondiente ajuste, de acuerdo con la ley de crecimiento lineal esperada. Para eliminar una serie de puntos, primero se seleccionan con el ratón (los puntos

marcados aparecerán resaltados en amarillo) y después se pulsa sobre el botón . El programa pregunta si queremos hacer una copia editable de los datos. Responder que sí para que el borrado de los datos no deseados se haga efectiva. Para realizar el ajuste pulsar sobre el botón desplegable AJUSTE, y seleccionar el ajuste deseado. A partir de los datos del ajuste, determinar la aceleración de caída y su error. Imprimir la gráfica obtenida para incluirla en el informe de la práctica. Según está gráfica, ¿cuál es la velocidad inicial de la caída? ¿cuál es la velocidad inicial real de la caída? ¿a qué se deben las posibles diferencias? Teniendo en cuenta esto, determinar el tiempo de duración de la caída y su error. 5) Con los valores de la aceleración de caída y el tiempo de caída determinados en el apartado 4, calcular la distancia de caída. Comparar esta distancia de caída con la medida directamente usando una cinta métrica en el apartado 3. 6) Utilizando la ecuación (4) y las medidas realizadas en los apartados 3 y 4 obtener el valor del momento de inercia del disco (y estimar su error).

7) Pesar el disco y el tambor con eje que se han usado en el experimento. Con estos datos, y considerando la forma geométrica de los dos cuerpos, calcular el momento de inercia del cuerpo que ha girado en el experimento, y estimar el error en el valor calculado. Comparar este valor y su error con los obtenidos en el apartado anterior. ¿Contribuye mucho o poco el momento de inercia del tambor al momento de inercia total? ¿De qué orden de magnitud es el error que se comete al incluir como parte del "cuerpo girante" el eje sobre el cual gira el tambor?

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Ejercicios Previos 1) Teniendo en cuenta que:

!

h = v0t + 1

2at2, determinar explícitamente la expresión de ∆h

en función de los errores de v0, a y t. 2) Teniendo en cuenta la ecuación (4), determinar explícitamente la expresión de ∆I en

función de los errores de m, a y r. 3) Obtener la fórmula teórica del momento de inercia de un disco o un cilindro de radio

R y masa M, respecto de su eje. 4) Teniendo en cuenta la fórmula obtenida en el apartado anterior, determinar

explícitamente la expresión de ∆I en función de ∆R e ∆M.