Momento de Inercia Final Ppw

5/24/2018 Momento de Inercia Final Ppw

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Objet ivos

Evaluar el mtodo para determinar el momento deinercia de un rea

Afianzar la nocin de producto de inercia y determinarel mx. y mn. momentos de inercia para un rea


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Los momentos de inercia de un rea plana (figura 12.9)con respecto a los ejes x y y, respectivamente, estn

definidos por las integrales

rea Plana con formaarbitraria


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Para ilustrar cmo se obtienen los momentos de inercia porintegracin, consideraremos un rectngulo con ancho y altura(figura 12.10). Los ejes y tienen su origen en el centroide . Por

conveniencia, utilizamos un elemento diferencial de rea en formade una franja horizontal delgada de ancho y altura (por tanto, ).Como todas las partes de la franja elemental estn a la mismadistancia del eje , podemos expresar el momento de inercia conrespecto al eje de la siguiente manera:

De manera similar, podemos utilizar un elementode rea en forma de una franja vertical con readA=h dx y obtener el momento de inercia conrespecto al eje :


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Si se selecciona un conjunto diferente de ejes, los momentos deinercia tendrn valores diferentes. Por ejemplo, considere el eje enla base del rectngulo (figura 12.10). Si se selecciona este eje como

la referencia, debemos definir y como la distancia coordenadadesde ese eje hasta el elemento de rea . Entonces los clculospara el momento de inercia son:

Observe que el momento de inercia con respecto al eje BB esmayor que el momento de inercia con respecto al eje centroidal x.En general, el momento de inercia aumenta conforme el eje de

referencia se mueve paralelamente a s mismo alejndose delcentroide.

El momento de inercia de un rea compuesta con respecto acualquier eje particular es la suma de los momentos de inercia de

sus partes con respecto a ese mismo eje.


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Esta misma frmula se aplica a la seccin en canal que se

muestra en la figura 12.11b, donde podemos considerar el recortecomo un reanegativa.


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PARALELOS O DE

STEINER Para derivar este teorema, considere

encontrar el momento de inercia delrea sombreada que se muestra en lafigura con respecto al eje x.

En este caso, un elemento diferencialdA est ubicado a una distanciaarbitraria y' del eje centroidal x,mientras que la distancia fija entre losejes paralelos x y x' es definida comody

Para el elemento diferencial de rea dA, el momento deinercia respecto al eje x es:

La primera integral representa el momento de inerciadel rea respecto al eje centroidal x y la denotamos

Para la segunda integral se da lo siguiente: Siendo ladistancia desde el eje y hasta el centroide, ahora comoy pasa justo por el centroide implica que =0.

la tercera integral representa el rea de la figura


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PARA REAS

COMPUESTAS: Un rea compuesta consiste en una

serie de partes o formas "mssimples" conectadas, tales como

semicrculos, rectngulos y tringulos.Si el momento de inercia de cada unade esas partes se conoce o puede serdeterminado con respecto a un ejecomn, entonces el momento deinercia del rea compuesta es igual ala suma algebraica de los momentosde inercia de todas sus partes.


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MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A EJES

INCLINADOSEn el anlisis anterior, los ejescentrooidales para un rea de formageneral fueron escogidos arbitrariamente.Por tanto, es importante investigar cmo

cambian los momentos y productos deinercia si los ejes son girados. Esto semuestra en la figura siguiente, donde losejes estn girados un ngulo , formandoun nuevo conjunto de ejes coordenados.

Note que la suma de los momentos de inercia respecto alos ejes xe yes:

+=+


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MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES.

Las ecuaciones muestran que , e xydependen del ngulo de inclinacin O delos ejes x, y. Determinaremos ahora la orientacin de esos ejes con respecto a loscuales los momentos de inercia del rea, Iu e Iv, son mximo y mnimo. Este conjunto

particular de ejes se llama ejes principales del rea, y los correspondientes momentosde inercia con respecto a esos ejes son llamados momentos de inercia principales.Para realizar el diseo estructural y mecnico de un miembro, el origen O se ubica,generalmente, en el centroide del rea de la seccin transversal.El ngulo que define la orientacin de los ejes principales para el rea, puedeencontrarse diferenciando la primera de las ecuaciones con respecto a estableciendo

el resultado igual a cero. As en

Esta ecuacin entrega dos racesseparadas entre s por 180 Comostas son para un ngulo doble, lasraces para estn separadas entre sslo 90. Y especifican la inclinacin delos ejes principales.


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CRCULO DE MOHRProcedimiento de anlisisDeterminar Ix, Iy, Ixy

Establecer los ejes x, y para el rea, con elorigen localizado en el punto P de inters ydeterminar Ix, Iy, Ixy

Construccin del Crculo

Construir un sistema de coordenadasrectangular, de manera que la abscisarepresenta el momento de inercia I y laordenada el producto de inercia Ixy

Determine el centro del crculo O, localizadoa una distancia (Ix+ Iy)/2 del origen, y pintaral punto de referencia A de coordenadas (Ix,Ixy)

Por definicin, Ix es siempre positivo,mientras que Ixy puede ser positivo onegativo.

Conecte el punto de referencia A con elcentro del crculo, y determinar la distanciaOA (el radio del crculo) por trigonometra

Dibujar al crculo.


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Momentos de Inercia Principales Los puntos en donde el crculo intercepta a

la abscisa dan los valores de los momentosde inercia principales Iminy Imax.

El producto de inercia ser cero en esos

puntosEjes principales Este ngulo representa dos veces el ngulo

desde el eje x axis del rea en questin al

eje del momento de inercia mximo Imax El eje par ael momento de inercia mn Imines

perpendicular al eje del Imax


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Ejemplo:Usando el crculo de Mohr, determine losmomentos principales de la seccin transversalrespecto a un eje que pasa por el Centroide.


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SOLUCIN.-Determine Ix, Iy, Ixy

Los momentos de inercia los hemos determinados en un ejercicio anteriorIx = 2.90(109) mm4 Iy= 5.60(109) mm4

Ixy= -3.00(109) mm4

Construimos el Crculo

El centro del crculo, O, desde el origen, est a la distancia

(I x+ I y)/2 = (2 .90+5.60)/2 = 4.25 Con referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA se determina usndo el

teorema de Pitagoras:


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Momentos principales de Inercia

El Circulo intercepta el eje I en (7.54, 0) y(0.960, 0)


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Problemas

1. En el rectngulo de la f igura. Calcular los valores de Iu , Iv yPuv referidos a los ejes U, V, inclin ados un ngulo de en

sentid o co ntrario al del reloj respecto de los ejes X, Y.

SOLUCINCalculemos, en primer lugar, los momentos de inercia y el producto de

inercia respecto de los ejes X, Y:

Ixbh

Ix

()

337.5 10mm

Iyhb

Iy

()

84.4 10 mm

Pxy 0por ser X y Y ejes paralelos de simetra.

Con las reglas dadas, tracemos el sistema de ejes coordenadasrectangulares I y P, como se indican en la figura. Con los valoresobtenidos para Ix , Iy y Pxy se sitan los puntos A y B cuyascoordenadas son (337.5, 0) y (84.4, 0).


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De acuerdo con la regla 2, el dimetro del crculode Mohr es AB. Su centro C es el punto medioentre A y B, y su abscisa I es 211.0. E l radio delcrculo es CA= 337.5-211.0 = 126.5.

Por la regla 4, el radio CA representa al eje X, yaplicando la regla 5, el eje U estar representadopor el radio CD que forma un ngulo de 60 ensentido contrario al del reloj respecto de CA. As,pues, como V es perpendicular a U, el puntorepresentativo E est a 180de D. Los puntos D,C y E estn alineados.

Por la regla 3, las coordenadas de D sern Iu yPuv y las coordenadas de E son Iv y Puv con

signo contrario. De la figura se obtienen susvalores:

Iu 10 OC CDcos60

Iu 211.0 126.5cos60 10

274.3 10 mmIv 10

OC CEcos60

Iv

211.0 126.5cos60 10

147.8 10 mm

Puv 10 CDsen60

Puv 126.5sen60 10 109.8 10

mm


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Ejes Principales

El crculo de Morh indica que los ejes puntoscuyas coordenadas representan los momentosde inercia mximo y mnimo estn sobre el eje

y tienen, por tanto, producto de inercia nulo.Recprocamente, los ejes para los que elproducto de inercia es nulo son los ejes demximo o mnimo momento de inercia, y sellaman ejes principales de inercia.


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Los productos de inercia con respecto a ejesde simetra son nulos, de donde se deduceque los ejes de simetra han de ser ejesprincipales ya que darn siempre valores

mximos o mnimos para el momento deinercia.


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Ahora bien, hay muchas figuras que no tieneneje de simetra, pero en cambios todos tieneneje principal, respecto de los cuales el productode inercia es nulo. Los ejes de simetra son

siempre ejes principales, pero los ejesprincipales no tienen por qu ser de simetra.


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2.- El rea encerrada por u na cierta figura tiene los s igu ientes valores d einercia co n respecto a X y Y:

, y

. Determ inar los mom ento s d e inerc ia mxim o y mnim o

as como la po sicin de lo s ejes p rinc ipales resp ecto de XY.

SOLUCIN

En un sistema de ejes coordenadas IP,como el de la figura, se representan lospuntos que tienen las siguientescoordenadas:

=

=

=

=

Obsrvese que Pxyse ha asociado a Ixy

Pxya Iy. (Si el valor original de Pxyhubierasido negativo si habra a Ixy sucorrespondiente positivo, a Iy.) Estos dospuntos son los extremos de un dimetro delcrculo de Mohr. El radio del mismo es:

CA 20+15 25. Los momentos deinercia mximo y mnimo corresponden a By a D y son:

Ix OC CB Ix 80 25 10 105 10mm. Resp.

Ii OC CD Ii 80 25 10

5510mm. Resp.

Para ir del punto representativo del eje X(radio CA) al representativo del eje demxima inercia (radio CB), se debe girar ensentido del reloj un ngulo 2. En el

crculo se obtiene:tan2

tan2

0.75


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2 36.9y 18.45

Resp.

El ngulo que fija la posicindel eje de mxima inercia (eje U)ha de girar tambin en sentidodel reloj desde el eje X, lo que dala posicin indicada en la figura.El eje de mnima inercia (eje V)es perpendicular al eje U.


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GRACIAS.

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