MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA MAXIMO Y MINIMO26 de agosto de 2013

MOMENTO DE INERCIA

Los momentos de inercia de un rea plana (figura 12.9) con respecto a los ejes x y y, respectivamente, estn definidos por las integrales

FIG. 12.9 rea Plana con forma arbitraria

En donde y son las coordenadas del elemento diferencial de rea . Dado que el elemento se multiplica por el cuadrado de la distancia desde el eje de referencia, los momentos de inercia tambin se denominan segundos momentos de inercia. Adems, vemos que los momentos de inercia de las reas (a diferencia de los momentos estticos) siempre son cantidades positivas.Para ilustrar cmo se obtienen los momentos de inercia por integracin, consideraremos un rectngulo con ancho y altura (figura 12.10). Los ejes y tienen su origen en el centroide . Por conveniencia, utilizamos un elemento diferencial de rea en forma de una franja horizontal delgada de ancho y altura (por tanto, ). Como todas las partes de la franja elemental estn a la misma distancia del eje , podemos expresar el momento de inercia con respecto al eje de la siguiente manera:

De manera similar, podemos utilizar un elemento de rea en forma de una franja vertical con rea y obtener el momento de inercia con respecto al eje :

FIG. 12.10 Momento de inercia de un rectngulo.

Si se selecciona un conjunto diferente de ejes, los momentos de inercia tendrn valores diferentes. Por ejemplo, considere el eje en la base del rectngulo (figura 12.10). Si se selecciona este eje como la referencia, debemos definir y como la distancia coordenada desde ese eje hasta el elemento de rea . Entonces los clculos para el momento de inercia son:

Observe que el momento de inercia con respecto al eje es mayor que el momento de inercia con respecto al eje centroidal . En general, el momento de inercia aumenta conforme el eje de referencia se mueve paralelamente a s mismo alejndose del centroide.El momento de inercia de un rea compuesta con respecto a cualquier eje particular es la suma de los momentos de inercia de sus partes con respecto a ese mismo eje. Un Ejemplo es la seccin de caja hueca que se muestra en la figura 12.1 la, donde los ejes y son ejes de simetra en el centroide . El momento de inercia con respecto al eje es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de los rectngulos exterior e interior (como ya se explic, podemos considerar el rectngulo interior como un rea negativa y el rectngulo exterior como un rea positiva). Por tanto,

FIG. 12.11-a Areas Compuestas

Esta misma frmula se aplica a la seccin en canal que se muestra en la figura 12.11b, donde podemos considerar el recorte como un rea negativa.Para la seccin en caja hueca podemos usar una tcnica similar para obtener el momento de inercia con respecto al eje vertical. Sin embargo, en el caso de la seccin en canal, la determinacin del momento de inercia requiere utilizar el teorema de los ejes paralelos que se describe en la seccin siguiente (seccin 12.5).Las frmulas para los momentos de inercia se dan en el apndice D. Para las formas que no se muestran, los momentos de inercia usualmente se pueden obtener empleando las frmulas dadas junto con el teorema de los ejes paralelos. Si un rea tiene una forma tan irregular que sus momentos de inercia no se puedan obtener de esta manera, entonces podemos utilizar mtodos numricos. El procedimiento es dividir el rea en elementos pequeos de rea , multiplicar cada rea por el cuadrado de su distancia desde el eje de referencia y luego sumar los productos.FIG. 12.11-b Areas Compuestas

RADIO DE GIROEn ocasiones en mecnica se encuentra una distancia conocida como radio de giro. El radio de giro de un rea plana se define como la raz cuadrada del momento de inercia del rea dividida entre la propia rea; por tanto, En donde y denotan los radios de giro con respecto a los ejes y respectivamente. Como el momento de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y el rea tiene unidades de longitud a la segunda potencia, el radio de giro tiene unidades de longitud.Si bien el radio de giro de un rea no tiene un significado fsico obvio, lo podemos considerar como la distancia (desde el eje de referencia) a la que toda el rea podra concentrarse y an tener el mismo momento de inercia que el rea original.Ejemplo: Determine los momentos de inercia e para el semisegmento parablico que se muestra en la figura 12.12. La ecuacin de la frontera parablica es

(Esta misma rea se consider antes en el ejemplo 12.1.)

FIG. 12.12 momentos de inercia de un semi-segmento parablico

Para determinar los momentos de inercia por integracin, utilizaremos las ecuaciones (12.9a) y (12.9b). El elemento diferencial de rea se selecciona como una franja vertical de ancho y altura , como se muestra en la figura 12.12. El rea de este elemento es

Como cada punto en este elemento est a la misma distancia desde el eje , el momento de inercia del elemento con respecto al eje es . Por tanto, el momento de inercia de toda el rea con respecto al eje se obtiene como se muestra:

Para obtener el momento de inercia con respecto al eje , observamos que el elemento diferencial de rea tiene un momento de inercia , con respecto al eje igual a

Como se obtuvo con la ecuacin (c). De aqu, el momento de inercia de toda el rea con respecto al eje es

Estos mismos resultados para e se pueden obtener empleando un elemento en forma de una franja horizontal de rea o utilizando un elemento rectangular de rea y realizando una integracin doble. Adems, observe que las frmulas anteriores para e concuerdan con las dadas en el caso 17 del apndice D.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA MOMENTOS DE INERCIAEn esta seccin deduciremos un teorema muy til relativo a momentos de inercia de reas planas, que se conoce como teorema de los ejes paralelos y que proporciona la relacin entre el momento de inercia con respecto al eje centroidal y el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo.Para deducir el teorema, consideramos un rea con forma arbitraria con centroide (figura I2.13). Tambin, consideramos dos conjuntos de ejes coordenados: (1) los ejes , con origen en el centroide y (2) un conjunto de ejes paralelos con origen en cualquier punto . Las distancias entre los dos conjuntos de ejes paralelos se denotan y Adems, identificamos un elemento de rea con coordenadas y con respecto a los ejes centroidales.Con base en la definicin de momento de inercia, podemos escribirla siguiente ecuacin para el momento de inercia con respecto al eje :

La primera integral en el lado derecho es el momento de inercia con respecto al eje . La segunda integral es el momento esttico del rea con respecto al eje (esta integral es igual a cero debido a que el eje , pasa por el centroide). La tercera integral es la propia rea . Por tanto, la ecuacin anterior se reduce a . (1)Al continuar de la misma manera para el momento de inercia con respecto al eje , obtenemos . (2)

FIG. 12.13 Deduccin del teorema de los ejes paralelos

Las ecuaciones (1) y (2) representan el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia:El momento de inercia de un rea con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo ms el producto del rea y el cuadrado de la distancia entre los dos ejesPara ilustrar el uso del teorema, considere de nuevo el rectngulo que se muestra en la figura 12.10. Como sabemos que el momento de inercia con respecto al eje , que pasa por el centroide, es igual a , podemos determinar el momento de inercia con respecto a la base del rectngulo empleando el teorema de los ejes paralelos:

Este resultado concuerda con el momento de inercia obtenido antes por integracin (ecuacin c de la seccin 12.4).Del teorema de los ejes paralelos observamos que el momento de inercia aumenta cuando el eje se mueve paralelamente a s mismo alejndose del centroide. Por tanto, el momento de inercia con respecto a un eje centroidal es el momento de inercia menor de un rea (para una direccin dada del eje).Al utilizar el teorema de los ejes paralelos es esencial recordar que uno de los dos ejes paralelos debe ser un eje centroidal. Si es necesario encontrar el momento de inercia con respecto a un eje no centroidal 2-2 (figura 12.14) cuando se conoce el momento de inercia con respecto a otro eje no centroidal (y paralelo) 1-1, debemos aplicar el teorema de los ejes paralelos dos veces. Primero, determinamos el momento de inercia centroidal a partir del momento de inercia conocido :

Luego encontramos el momento de inercia a partir del momento de inercia centroidal:

Esta ecuacin muestra de nuevo que el momento de inercia aumenta al incrementarse la distancia desde el centroide del rea.FIG. 12.14 rea plana con dos eje paralelos no centroidales (1-1 y 2-2)

Ejemplo: El semisegmento parablico OAB que se muestra en la figura 12.15 tiene base y altura . Utilice el teorema de las ejes paralelos para determinar los momentos de inercia lX(c Iyc con respecto a los ejes cent mdales e con respecto a los ejes y .FIG. 12.15 Teorema de los ejes paralelos

SOLUCINPodemos utilizar el teorema de los ejes paralelos (en vez de integracin) para determinar los momentos de inercia centroidales dado que ya conocemos el rea A, las coordenadas centroidales y y los momentos de inercia e con respecto a los ejes y . Estas cantidades se obtuvieron antes en los ejemplos anteriores y se repiten aqu: Para obtener el momento de inercia con respecto al eje , utilizamos la ecuacin (b) y escribimos el teorema de los ejes paralelos como sigue:

De manera similar, obtenemos el momento de inercia con respecto al eje:

De esta manera hemos determinado los momentos de inercia centroidales del semisegmento.

PRODUCTOS DE INERCIA

El producto de inercia de un rea plana se define con respecto a un conjunto de ejes perpendiculares que se encuentran en el plano del rea. Entonces, con referencia al rea que se muestra en la figura I2.I9, definimos el producto de inercia con respecto a los ejes y como sigue:

FIGURA 12.19 rea plana con forma arbitrara.De acuerdo con esta definicin observamos que cada elemento diferencia) de rea se multiplica por el producto de sus coordenadas. Como con secuencia, los productos de incrcia pueden ser positivos, negativos o cero dependiendo de la posicin de los ejes con respecto al rea.Si el rea se encuentra por completo en el primer cuadrante de los ejes (como en la figura 12.19), entonces el producto de inercia es positivo debido a que cada elemento tiene coordenadas y positivas. Si el rea se encuentra por completo en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo dado que cada elemento tiene una coordenada positiva y una coordenada, negativa. De manera similar, las reas que estn por completo dentro del tercero y cuarto cuadrantes tienen productos de inercia positivo* y negativos, respectivamente. Cuando el rea se encuentra en ms de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribucin del rea dentro de los cuadrantes.Un caso especial se origina cuando uno de los ejes es un eje de simetra del rea. Por ejemplo, considere el rea que se muestra en la figura 12.20, que es simtrica con respecto al eje. Para cada elemento con coordenadas y existe un elemento igual y simtricamente ubicado con la misma coordenada pero con una coordenada con signo opuesto. Por tanto, los productos se cancelan entre s y la integral en la ecuacin (12.19) desaparece. Por tanto, el producto de inercia de un rea es cero con respecto a cualquier par de ejes en el cual al menos uno de ellos es un eje de simetra del rea.Como ejemplos de la regla anterior, el producto de inercia es igual a cero para las reas que se muestran en las figuras 12.10, 12.11, 12.16 y 12.18. Por el contrario, el producto de inercia tiene un valor positivo diferente de cero para el rea que se muestra en la figura 12.15. (Estas observaciones son vlidas para productos de inercia con respecto a los ejes particulares que se muestran en la las figuras. Si los ejes se desplazan a otra posicin, el producto de inercia puede cambiar.)

Ejes principales y momentos de inercia principalesLas ecuaciones de transformacin para momentos y productos de inercia muestran como varan lo momentos y productos de inercia conforme varia el ngulo de rotacin De inters especial son los valores mximo y mnimo del momento de inercia. Estos valores so conocen como momentos de inercia principales y los ejes correspondientes se conocen como ejes principales.

Ejes principales Para determinar los valores del ngulo que hacen al momento de inercia un mximo y un mnimo, derivamos con respecto a la expresin en el lado derecho de la ecuacin (12.25) e igualamos el resultado a cero:

Despejamos de esta ecuacin u obtenemos

en donde , denota el ngulo que define un eje principal .Este mismo resultado se obtiene si efectuamos la derivada de (ecuacin 12.28)La ecuacin (12.30)produce dos valores de ngulo enel intervalo de 0 a 306 ,estos valores difieren en 90 y definen los dos ejes principales perpendiculares .Uno de estos ejes corresponde al momento de inercia mximo y el otro corresponde al momento de inercia mnimo.Ahora examinaremos la variacin en el producto de inercia , conforme varia (consulte la ecuacin 12.27).Si , obtenemos como se esperaba .Si obtenemos . Por lo tanto, durante una rotacin de 90 el producto de inercia cambia de signo, lo cual significa que para una orientacin intermedia de los ejes, el producto de inercia debe ser igual a cero. Para determinar esta orientacin, igualamos a cero (ecuacin 12.27):

Esta ecuacin es igual que la ecuacin (a), que define el ngulo con respecto a los ejes principales. Por lo tanto, concluimos que el producto de inercia es cero para los ejes principales.En la seccin 12.7 demostramos que el producto de inercia de un rea con respecto a un par de ejes es igual a cero si al menos una de los ejes es de simetra. Se deduce que si un rea tiene un eje de simetra, ese eje y cualquier perpendicular a l constituyen un conjunto de ejes principales.

Las observaciones anteriores se pueden resumir as:1. Los ejes principales que pasan por un origen O son un par de ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son un mximo y un mnimo2. La orientacin de los ejes principales est dada por el ngulo obtenido con la ecuacin (12.30)-3. El producto de inercia es cero para los ejes principales 4. Un eje de simetra siempre es un eje principal.

MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES Ahora determinaremos los momentos de inercia principales suponiendo se conocen. Un mtodo es determinar los dos valores de (que difieren de 90) con la ecuacin (12.30)y luego sustituir estos valores en la ecuacin (12.25) para . Los dos valores resultantes son os momentos de inercia principales, denotados con . La ventaja de este mtodo es que sabemos cul de los ngulos principales corresponde a cada momento de inercia principal. Tambin es posible obtener formulas generales para los momentos de inercia principales. Observamos en la ecuacin (12.30) y en la figura 12.27 (que es una representacin geomtrica de la ecuacin 12.30) que

(12.31 a , b)

En donde

(12.32)

Fig.12.27 Representacion geometrica de la Ecuacion (12.30)

es la hipotenusa del tringulo. Al evaluar R, siempre tomamos la raz cuadrada positiva.Ahora sustituimos las expresiones para Y (de las ecuaciones 12.31a y b ) en la ecuacin (12.25) para y obtenemos el mayor algebraicamente de los dos momentos de inercia principales , denotado con el smbolo .

(12.33 a)

El momento de inercia principal menor, denotado con se puede obtener con la ecuacin :

(12.33b)

(Consulte la ecuacin 12.29).Al sustituir la expresin para I1 en es esta ecuacin y despejando I2, obtenemos:

(12.33 a)

Las ecuaciones (12.33 a) y(12.33b) proporciona una forma conveniente para calcular los momentos de inercia principales. Ejemplo:Usando el crculo de Mohr, determine los momentos principales de la seccin transversal respecto a un eje que pasa por el Centroide.

Solucin.-Determine Ix, Iy, IxyLos momentos de inercia los hemos determinados en un ejercicio anteriorIx = 2.90(109) mm4 Iy = 5.60(109) mm4 Ixy = -3.00(109) mm4Construimos el Crculo El centro del crculo, O, desde el origen, est a la distancia(I x+ I y)/2 = (2 .90+5.60)/2 = 4.25 Con referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA se determina usndo el teorema de Pitagoras:

Momentos principales de InerciaEl Circulo intercepta el eje I en (7.54, 0) y (0.960, 0)

CRCULO DE MOHR

Procedimiento de anlisis Determinar Ix, Iy, Ixy Establecer los ejes x, y para el rea, con el origen localizado en el punto P de inters y determinar Ix, Iy, IxyConstruccin del Crculo Construir un sistema de coordenadas rectangular, de manera que la abscisa representa el momento de inercia I y la ordenada el producto de inercia Ixy Determine el centro del crculo O, localizado a una distancia (Ix + Iy)/2 del origen, y pintar al punto de referencia A de coordenadas (Ix, Ixy) Por definicin, Ix es siempre positivo, mientras que Ixy puede ser positivo o negativo. Conecte el punto de referencia A con el centro del crculo, y determinar la distancia OA (el radio del crculo) por trigonometra

El radio del crculo de Morh correspondiente a un punto representa al eje de inercia para el que el momento de inercia del rea es igual a la abscisa I de ese punto. El ngulo entre dos radios cualquiera del circulo de Morh es el doble del ngulo real entre dos ejes de inercia que representan. El sentido de rotacin del ngulo es el mismo en el crculo de Morh y en realidad , es decir ,si el eje U forma un ngulo en sentido contrario al de reloj respecto al eje X, el radio representativo de U forma un ngulo de en sentido contrario al del reloj respecto del radio representativo e X.

MOMENTO DE INERCIA MXIMO Y MNIMOEjes PrincipalesEl crculo de Morh indica que los ejes puntos cuyas coordenadas representan los momentos de inercia mximo y mnimo estn sobre el eje y tienen, por tanto, producto de inercia nulo. Recprocamente, los ejes para los que el producto de inercia es nulo son los ejes de mximo o mnimo momento de inercia, y se llaman ejes principales de inercia.Los productos de inercia con respecto a ejes de simetra son nulos, de donde se deduce que los ejes de simetra han de ser ejes principales ya que darn siempre valores mximos o mnimos para el momento de inercia. Ahora bien, hay muchas figuras que no tienen eje de simetra, pero en cambios todos tienen eje principal, respecto de los cuales el producto de inercia es nulo. Los ejes de simetra son siempre ejes principales, pero los ejes principales no tienen por qu ser de simetra.Problema:1. El rea encerrada por una cierta figura tiene los siguientes valores de inercia con respecto a y : .Determinar los momentos de inercia mximo y mnimo as como la posicin de los ejes principales respecto de .Solucin:En un sistema de ejes coordenados , como el de la figura A-24, se representan los puntos que tienen las siguientes coordenadas:

Figura A-24. Momentos de inercia mximo y mnimo

Obsrvese que se ha asociado a . (Si el valor original de hubiera sido negativo si habra asignado a y su correspondiente positivo, a .) Estos dos puntos son los extremos de un dimetro del crculo de Morh. El radio del mismo es . Los extremos de inercia mximo y mnimo corresponden a y a y son:

Para ir del punto representativo del eje (radio ) representativo del eje de mxima inercia (radio ) se debe girar en sentido del reloj un ngulo . En el circulo se obtiene:

El ngulo que fija la posicin del eje de mxima inercia (eje U) ha de girar tambin en sentido del reloj desde el eje , lo que da la posicin indicada en la figura A-25. El eje de mnima inercia () es perpendicular al eje .

Figura A-25. Situacin de los ejes principales de inercia .

2. En el rectngulo de la figura. Calcular los valores de Iu , Iv y Puv referidos a los ejes U, V, inclinados un ngulo de en sentido contrario al del reloj respecto de los ejes X, Y.

SOLUCIN

Calculemos, en primer lugar, los momentos de inercia y el producto de inercia respecto de los ejes X, Y: por ser X y Y ejes paralelos de simetra.

Con las reglas dadas, tracemos el sistema de ejes coordenadas rectangulares I y P, como se indican en la figura. Con los valores obtenidos para Ix , Iy y Pxy se sitan los puntos A y B cuyas coordenadas son (337.5, 0) y (84.4, 0).De acuerdo con la regla 2, el dimetro del crculo de Mohr es AB. Su centro C es el punto medio entre A y B, y su abscisa I es 211.0. E l radio del crculo es CA= 337.5-211.0 = 126.5.Por la regla 4, el radio CA representa al eje X, y aplicando la regla 5, el eje U estar representado por el radio CD que forma un ngulo de en sentido contrario al del reloj respecto de CA. As, pues, como V es perpendicular a U, el punto representativo E est a de D. Los puntos D, C y E estn alineados.

Por la regla 3, las coordenadas de D sern Iu y Puv y las coordenadas de E son Iv y Puv con signo contrario. De la figura se obtienen sus valores:

UNIRVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO -FICSA