MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U PREHRAMBENO · PDF fileLiteratura : Na hrvatskom jeziku: - Vlatko eri "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveuilišta u Zagrebu, Školska knjiga, Zagreb,

SVEU�ILIŠTE "J.J. STROSSMAYER" U OSIJEKU

PREHRAMBENO TEHNOLOŠKI FAKULTET OSIJEK

ZAVOD ZA PROCESNO INŽENJERSTVO

KATEDRA ZA MODELIRANJE I VO�ENJE PROCESA

MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U PREHRAMBENO-TEHNOLOŠKIM PROCESIMA

MATEMATI�KO MODELIRANJE, SIMULIRANJE I VO�ENJE INDUSTRIJSKIH PROCESA

10 20 30 40 50t

1

2

3

4

5

c

http://zpi.ptfos.hr/modeli

Predmetni nastavnik: Ex-predmetni nastavnik:

Doc. dr. sc. Damir Magdi�

Prof. dr. sc. Želimir Kurtanjek

NASTAVNI PLAN

IV godina studija - VII i VIII semestar

Oznaka Naziv nastavnog predmeta Smjer studija

prehrambeni KOLEGIJ I

Modeliranje i upravljanje u prehrambeno-tehnološkim procesima prehrambeno

inženjerstvo

KOLEGIJ II Matemati�ko modeliranje, simuliranje i vo�enje

industrijskih procesa procesno

inženjerstvo

NASTAVNI PLAN

zimski semestar (sati) ljetni semestar (sati) Smjer

UKUPNO sati

kolegij predavanja seminari vježbe predavanja seminari vježbe

Prehrambeni (60 sati)

(KOLEGIJ I) - - - 30 - 30

prehrambeno inženjerstvo

(90 sati)

(KOLEGIJ I)

-

-

-

45

15

30

procesno inženjerstvo

(120 sati)

(KOLEGIJ II)

30

-

30

30

-

30

IZVEDBENI NASTAVNI PLAN

zimski semestar (sati) ljetni semestar (sati) Smjer

UKUPNO sati

kolegij predavanja seminari vježbe predavanja seminari vježbe

Prehrambeni (60 sati)

(KOLEGIJ I) 15 - 15 15 - 15

prehrambeno inženjerstvo

(90 sati)

(KOLEGIJ I)

15

-

15

30

15

15

procesno inženjerstvo

(120 sati)

(KOLEGIJ II)

15

-

15

45

15

30

NASTAVNI PROGRAM

Naziv kolegija: MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U PREHRAMBENO- TEHNOLOŠKIM PROCESIMA

Studij: Prehrambene tehnologije i procesno inženjerstvo Smjer: PREHRAMBENI Satnica: P + S + V (predavanja + seminari + vježbe) sati tjedno

1 + 0 + 1 (15 tjedana) semestar: VII 1 + 0 + 1 (15 tjedana) semestar: VIII

Ukupno: 60 sati Nastavnik: -predavanja: Prof. dr. sc. Želimir Kurtanjek, red.prof. Dr. sc. Damir Magdi� Asistent: -vježbe: Dr. sc. Damir Magdi� Program predavanja : Definicija ulaznih i izlaznih veli�ina i prostora stanja. Klasifikacija matemati�kih modela. Metodologija razvoja matemati�kih i ra�unalnih modela. Analiza metemati�kih modela i realnih sustava. Metodologija modeliranja procesa s usredoto�enim i raspodjeljenim veli�inama stanja. Osnove modeliranja s neuronskim mrežama i neizraženom logikom. Modeli stacionarnih stanja. Ra�unalna programska podrška za simulaciju kontinuiranih dinami�kih sustava. Osnove programskih jezika za simuliranje stacionarnih i dinami�kih sustava. Linearne i kvadratne metode odre�ivanja stacionarnih stanja. Aproksimacije kvadratnih metoda. Primjeri modeliranja kemijskih i enzimskih reakcijskih mehanizama. Modeliranje vodenih sustava. Simulacija kemijskih procesa. Stacionarna stanja pH i procesa uparavanja. Osnovne metode integracije nelinearnih dinami�kih modela s obi�nim diferencijalnim jednadžbama. Nelinearni dinami�ki sustavi: razgradnja vitamina, promjene senzorskih svojstava, promjene svojstava teksture. Osnove simpleks metode. Primjena modela linearnog programiranja za optimiranje nutricionisti�kih modela. Optimiranje sastava hrane. Osnove primjene ra�unalne analize slike. Osnove primjene zvuka u analizama i modeliranju. Program vježbi : Model stacionarnih stanja linearnih kemijskih reakcijskih mehanizama i primjena Gaussove i Jacobijeve metobe. Stacionarna stanja modela enzimskih reakcija i Newton-Raphsonova metoda. Odre�ivanje višestrukih stacionarnih stanja proto�nog neizotermnog kemijskog reaktora Wegsteinovom metodom. Stacionarni i dinami�ki model pH u proto�nom reaktoru. Simulacija programskim jezicima. Model dinamike regulacije sustava prvog i drugog reda. Primjer Model prijenosa topline i bilance mikroorganizma tijekom sterilizacije hrane. Model dinamike sušenja. Primjeri optimiranja sastava hrane i obroka modelom linearnog programiranja. Primjeri upotrebe metode ra�unalne analize slike. Primjeri upotrebe metode odziva zvu�nog impulsa.

Literatura : Na hrvatskom jeziku: - Vlatko �eri� "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveu�ilišta u Zagrebu, Školska knjiga,

Zagreb, 1993. - Vilko Žiljak "Simulacija ra�unalom", Udžbenik Sveu�ilišta u Zagrebu, Školska knjiga-

Sveu�ilišna naklada Liber, Zagreb, 1982. - Damir Magdi� "Numeri�ke metode", Skripta Prehrambeno tehnološkog fakulteta, Osijek, 2001. - … Inženjerski priru�nik - ip1, Školska knjiga, Zagreb, 1996. - Ivan Ivanši�, "Numeri�ka matematika", Element, Zagreb, 1998 - J. M. Juran, F. M. Gryna "Planiranje i analiza kvalitete", Mate, Zagreb, 1999. - Želimir Kurtanjek "Matemati�ko modeliranje procesa", Skripta Prehrambeno-biotehnološkog

fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. Na engleskom jeziku: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York,

1983. - Raghu Raman "Chemical process computations", Elsevier Applied Science Publishers Ltd,

London and New York, 1985. - French, A.D., ... "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., ... "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Spciety,

Washington, DC 1990. - Paul Geladi, Hans Grahn "Multivariate Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England,

1996. - Gabriele Lohmann "Volumetric Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England, 1998. - Ferdinand van der Heijden "Image Based Measurement Systems", John Wiley and Sons Ltd,

England, 1998. - Shuryo Nakai, Eunice Li-Chan "Hydrophobic interaction in Food System", CRC Press, Inc.,

Florida, 1998.

Naziv kolegija: MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U PREHRAMBENO-TEHNOLOŠKIM PROCESIMA

Studij: Prehrambene tehnologije i procesno inženjerstvo Smjer: PREHRAMBENO INŽENJERSTVO Satnica: P + S + V (predavanja + seminari + vježbe) sati tjedno 1 + 0 + 1 (15 tjedana) semestar: VII 2 + 1 + 1 (15 tjedana) semestar: VIII Ukupno: 90 sati Nastavnik: -predavanja: Prof. dr. Želimir Kurtanjek, red.prof. Dr. sc. Damir Magdi� Asistent: -seminari i vježbe: Dr. sc. Damir Magdi� Program predavanja : Definicija ulaznih i izlaznih veli�ina i prostora stanja. Klasifikacija matemati�kih modela. Metodologija razvoja matemati�kih i ra�unalnih modela. Analiza metemati�kih modela i realnih sustava. Metodologija modeliranja procesa s usredoto�enim i raspodjeljenim veli�inama stanja. Osnove modeliranja s neuronskim mrežama i neizraženom logikom. Modeli stacionarnih stanja. Ra�unalna programska podrška za simulaciju kontinuiranih dinami�kih sustava. Osnove programskih jezika za simulaciju diskretnih dinami�kih sustava. Linearne i kvadratne metode odre�ivanja stacionarnih stanja. Aproksimacije kvadratnih metoda. Primjeri modeliranja kemijskih i enzimskih reakcijskih mehanizama. Modeliranje vodenih sustava. Simulacija kemijskih procesa. Stacionarna stanja pH i procesa uparavanja. Osnovne metode integracije nelinearnih dinami�kih modela s obi�nim diferencijalnim jednadžbama. Metode kona�nih razlika, kolokacija, linija i kona�nih elemenata za modeliranje procesa s raspodjeljenim veli�inama stanja. Nelinearni dinami�ki sustavi: model fermentacije penicilina, dinamika prijenosa topline i toplinske sterilizacije, dinamika procesa smrzavanja i sušenja hrane. Osnove simpleks metode. Primjena modela linearnog programiranja za optimiranje plana proizvodnje hrane. Optimiranje sastava hrane. Osnove primjene ra�unalne analize slike. Osnove primjene zvuka u analizama. Seminari: Bilance mase i topline, Numeri�ke metode – teorija i primjena Program vježbi : Model stacionarnih stanja linearnih kemijskih reakcijskih mehanizama i primjena Gaussove i Jacobijeve metobe. Stacionarna stanja modela enzimskih reakcija i Newton-Raphsonova metoda. Odre�ivanje višestrukih stacionarnih stanja proto�nog neizotermnog kemijskog reaktora Wegsteinovom metodom. Stacionarni i dinami�ki model pH u proto�nom reaktoru. Simulacije razli�itim programskim jezicima. Model dinamike regulacije sustava prvog i drugog reda. Modeli upariva�a i uparne stanice rijetkog soka naran�e i optimiranje efikasnosti uparavanja. Model fermentacije penicilina i optimiranje proizvodnje programiranjem pritoka. Model dinamike smrzavanja hrane. Model prijenosa topline i bilance mikroorganizma tijekom sterilizacije hrane. Model dinamike sušenja. Primjeri optimiranja plana proizvodnje i sastava hrane modelom

linearnog programiranja. Primjeri upotrebe metode ra�unalne analize slike. Primjeri upotrebe metode odziva zvu�nog impulsa. Literatura : Na hrvatskom jeziku: - Vlatko �eri� "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveu�ilišta u Zagrebu, Školska knjiga,



fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. Na engleskom jeziku: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York,


London and New York, 1985. - French, A.D., ... "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., ... "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Spciety,




Florida, 1998.

Naziv kolegija: MATEMATI�KO MODELIRANJE, SIMULIRANJE I VO�ENJE INDUSTRIJSKIH PROCESA Studij: Prehrambene tehnologije i procesno inženjerstvo Smjer: PROCESNO INŽENJERSTVO Satnica: P + S + V (predavanja + seminari + vježbe) sati tjedno 1 + 0 + 1 (15 tjedana) semestar: VII 3 + 1 + 2 (15 tjedana) semestar: VIII Ukupno: 120 sati Nastavnik: -predavanja: Prof. dr. Želimir Kurtanjek, red.prof. Dr. sc. Damir Magdi� Asistent: -vježbe: Dr. sc. Damir Magdi� Program predavanja : Sustavno gledište i matemati�ko modeliranje tehnoloških procesa. Definicije ulaznih i izlaznih veli�ina i prostora stanja. Klasifikacija matemati�kih modela. Metodologija razvoja matemati�kih i ra�unalnih modela. Analiza matemati�kih modela i realnih sustava. Metodologija modeliranja procesa s usredoto�enim i raspodjeljenim veli�inama stanja. Osnove modeliranja s neuronskimmrežama i neizraženom logikom. Modeli stacionarnih stanja. Ra�unalna programska podrška za simulaciju kontinuiranih dinami�kih sustava. Osnove programskih jezika za simulaciju dinami�kih sustava. Linearne i kvadratne metode odre�ivanja stacionarnih stanja. Aproksimacije kvadratnih metoda. Primjeri modeliranja kemijskih i enzimskih reakcijskih mehanizama. Modeliranje vodenih sustava. Simulacija kemijskih procesa. Stacionarna stanja pH i procesa uparavanja. Osnovne metode integracije nelinearnih dinami�kih modela s obi�nim diferencijalnim jednadžbama. Metode kona�nih razlika, kolokacija, linija i kona�nih elemenata za modeliranje procesa s raspodjeljenim veli�inama stanja. Nelinearni dinami�ki sustavi: model fermentacije penicilina, dinamika prijenosa topline i toplinske sterilizacije, dinamika procesa smrzavanja i sušenja hrane. Modeliranje i optimiranje tehnoloških procesa. Osnove simpleks metode. Primjena modela linearnog programiranja za optimiranje plana proizvodnje hrane. Optimiranje sastava hrane. Nelinearno optimiranje. Osnove primjene ra�unalne analize slike. Osnove primjene zvuka u analizama. Program vježbi : Model stacionarnih stanja linearnih kemijskih reakcijskih mehanizama i primjena Gaussove i Jacobijeve metobe. Stacionarna stanja modela enzimskih reakcija i Newton-Raphsonova metoda. Odre�ivanje višestrukih stacionarnih stanja proto�nog neizotermnog kemijskog reaktora Wegsteinovom metodom. Stacionarni i dinami�ki model pH u proto�nom reaktoru. Simulacija proizvodnog pogona programskim jezicima. Model dinamike regulacije sustava prvog i drugog reda. Modeli upariva�a i uparne stanice rijetkog soka naran�e i optimiranje efikasnosti uparavanja. Model fermentacije penicilina i optimiranje proizvodnje programiranjem pritoka. Model dinamike smrzavanja hrane. Model prijenosa topline i bilance mikroorganizma tijekom sterilizacije hrane. Model dinamike sušenja. Model dinamike ekstruzije. Primjeri optimiranja plana proizvodnje i sastava hrane modelom linearnog programiranja. Primjeri upotrebe metode ra�unalne analize slike. Primjeri upotrebe metode odziva zvu�nog impulsa.

Literatura : Na hrvatskom jeziku: - Vlatko �eri� "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveu�ilišta u Zagrebu, Školska knjiga,



fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. Na engleskom jeziku: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York, 1983. - Zeuthen, P., .... "Thermal processing and quality of foods", Elsevier Applied Science Publishers

Ltd, London and New York, 1984. - Raghu Raman "Chemical process computations", Elsevier Applied Science Publishers Ltd,

London and New York, 1985. - … "Automatic Control and Optimisation of Food Processes", Elsevier Applied Science, England, 1988. - Roger G. E. Franks "Modeling and Simulation in Chemical Engineering", John Wiley and Sons

Ltd, USA, 1972. - French, A.D., ... "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society, Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., ... "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Society, Washington, DC 1990. - Thorne Stuart "Mathematical modelling of food processing operations", Elsevier Applied Science Publishers Ltd, London and New York, 1992. - Paul Geladi, Hans Grahn "Multivariate Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England,

1996. - Gabriele Lohmann "Volumetric Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England, 1998. - Ferdinand van der Heijden "Image Based Measurement Systems", John Wiley and Sons Ltd, England, 1998. - Shuryo Nakai, Eunice Li-Chan "Hydrophobic interaction in Food System", CRC Press, Inc.,

Florida, 1998.

NASTAVNI MATERIJALI



Prof. dr. Želimir Kurtanjek Doc. dr. sc. Damir Magdi�

10 20 30 40 50t

1

2

3

4

5

c

Osijek, listopad 2005.

MODELIRANJE I UPRAVLJANJE

U PREHRAMBENO-TEHNOLOŠKIM PROCESIMA

MATEMATI�KO MODELIRANJE, SIMULIRANJE I

VO�ENJE PREHRAMBENO-TEHNOLOŠKIH PROCESA

PREDAVANJA

(skripta za studente)

1. OSNOVE MODELIRANJA SUSTAVA 1. Osnovne definicije modela 2. Primjene modela 3. Primjeri modela - aerobni proces fermentacije - proces smrzavanja hrane - tehni�ki (dinami�ki) sustav 4. Analiza matemati�kog modela i realnog sustava 5. Metodologija razvoja modela 6. Znanstveni sadržaj modeliranja u biotehnologiji 2. PODJELA MATEMATI�KIH MODELA 1. - s usredoto�enim veli�inama stanja (koncentrirani) - s raspodjeljenim veli�inama stanja (distribuirani) 2. - deterministi�ki - stohasti�ki 3. - kontinuirani - diskontinuirani 4. - linearni - nelinearni 5. - analiti�ki - input/output modeli 3. MODELI STACIONARNIH STANJA 1. Modeli kemijskih i enzimskih reakcijskih sustava - op�i oblik bilance mase : - kemijske reakcije - enzimske reakcije - regulacija razine 2. Bilanca mase i modeli stacionarnih stanja 3. Matemati�ke metode za odre�ivanje stacionarnih stanja - direktne (Gaussova metoda) - iterativne (Jacobijeva linearna iteracija) 4. Matemati�ki modeli nelinearnih sustava i njihovih stacionarnih stanja - turbidostat - pH u proto�nom reaktoru - neizotermni kemijski reaktor - upariva� i uparna stanica 5. Matemati�ke metode za odre�ivanje stacionarnih stanja modela nelinearnih sustava - Jacobijeva linearna iteracija - Newton-Raphsonova metoda - model s jednom varijablom - model s više varijabli - Wegsteinova metoda - metoda sekante 6. Uvjeti i brzina konvergencije navedenih metoda 7. Primjeri rješavanja nelinearnih jednadžbi - Wegsteinova metoda - metoda sekante

4. MODELI I SIMULACIJE DINAMI�KIH SUSTAVA 1. Grafi�ka simulacija dinamike (koncept prostora stanja) 2. Dinami�ki sustavi 1. i 2. reda 3. Analiti�ko rješavanje diferencijalnih jednadžbi koje opisuju sustave 1. reda 4. Laplace-ove transformacije i prijenosne funkcije 5. Primjeri modela dinami�kih sustava 1. i 2. reda - prijenos topline - prijenos mase - regulacijski krug - dinamika smrzavanja - dinamika fermentacije (model upravljanja) - dinamika toplinske sterilizacije 6. Matemati�ke metode za rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi (s usredoto�enim parametrima) - Eulerova metoda - Korigirana Eulerova metoda - Taylorov razvoj - Runge Kutta 2 - Runge Kutta 4 7. Metode diskretizacije bilanci - metoda kona�nih razlika - metoda kona�nih elemenata - metoda linija i kolokacija 5. LINEARNO PROGRAMIRANJE 1. Problemi linearnog programiranja 2. Simplex metoda - optimiranje sastava smjese sirovina - optimiranje sastava i cijene obroka - optimiranje iskorištenja rada strojeva/pogona

- optimiranje transporta 6. MODELIRANJE PRIMJENOM RA�UNALNE ANALIZE SLIKE

1. Ra�unalni grafi�ki formati zapisa slike 2. Analize slika u boji 3. Analize slika u sivim nijansama 4. Primjeri analiza materijala u prehrambenim tehnologijama 5. Na�ini prikazivanja rezultata ra�unalne analize slike

7. MODELIRANJE PRIMJENOM ZVUKA

1. Fizika zvuka 2. Metode i tehnike analize primjenom zvuka 3. Fourierove transformacije signala 4. Metoda odziva zvu�nog impulsa



Prof. dr. Želimir Kurtanjek



MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U

PREHRAMBENO-TEHNOLOŠKIM PROCESIMA

SKRIPTA ZA RA�UNALNE VJEŽBE


program podru�je - model numeri�ka metoda

LINALG.BAS linearna algebra Gaussova eliminacija - matzbroj matrice - matmnoz matrice - vektmnoz vektori - gausl linearne jednadžbe Gaussova eliminacija LINMOD1.BAS kemijske reakcije Gaussova eliminacija LINMOD2.BAS kemijske reakcije Gaussova eliminacija LINMOD3.BAS kemijske reakcije Gaussova eliminacija LINITER.BAS linearne jednadžba Jacobijeva iteracija MM_LIN.BAS linearne jednadžbe Jacobijeva iteracija MM_NR.BAS linearne jednadžbe Newton-Raphsonova iteracija 1UPAR.BAS upariva� Newton-Raphsonova iteracija 3UPAR.BAS uparna stanica sa tri upariva�a Newton-Raphsonova iteracija PH-DINA.BAS dinamika pH Jacobijeva iteracija SMRZAVA.BAS dinamika smrzavanja Jacobijeva iteracija STERKONZ.BAS dinamika sterilizacije metoda Runge-Kutta 4 PENICIL.BAS upravljanje procesa metoda Runge-Kutta 4 LPMRA.BAS linearno programiranje SIMPLEX-algoritam LINDO.EXE linearno programiranje SIMPLEX-algoritam RGB_DIA.EXE ra�unalna analiza slike paleta sa 256 boja STIFFNESS.EXE odziv akusti�kog impulsa brza Fourierova transformacija 2. reda







NUMERI�KE METODE


SADRŽAJ: 1. METODE ZA RJEŠAVANJE LINEARNIH JEDNADŽBI � Direktne metode 1. Gauss-ova eliminacija....................................................................................... 1 2. Gauss-Jordan-ov postupak................................................................................ 3 � Iterativne metode 3. Gauss-Seidl-ova iteracija .................................................................................. 4 4. Jacobijeva linearna iteracija .............................................................................. 5 2. METODE ZA RJEŠAVANJE NELINEARNIH JEDNADŽBI � Iterativne metode 1. Jacobijeva linearna iteracija .............................................................................. 6 2. Wegstein-ova metoda........................................................................................ 8 3. Newton-Raphson-ova metoda ........................................................................ 10 4. Metoda sekante ............................................................................................... 12 3. METODE ZA INTEGRIRANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI � Eksplicitne metode 1. Euler-ova metoda ............................................................................................ 14 2. Korigirana Euler-ova metoda.......................................................................... 15 3. Taylor-ov razvoj reda...................................................................................... 16 4. Metoda Runge-Kutta 2.................................................................................... 17 5. Metoda Runge-Kutta 4.................................................................................... 18 4. LINEARNO PROGRAMIRANJE 1. Optimalno namješavanje smjese sirovina........................................................ 20 2. Optimiranje sastava obroka ............................................................................. 23 3. Optimiranje iskorištenja pogona/strojeva........................................................ 26 DODATAK

1. Podjela matemati�kih modela 2. Klasifikacija modela prema matemati�koj strukturi 3. Matemati�ki alati za rješavanje jednadžbi modela 4. Primjeri pismenog dijela ispita







RA�UNALNA ANALIZA SLIKE


Sadržaj:

1. UVOD

2. RA�UNALNA OBRADA SLIKE

3. RA�UNALNE BOJE I MODELI BOJA

4. GRAFI�KI FORMATI DATOTEKA

5. PRIMJENA METODE U PREHRAMBENOM INŽENJERSTVU

6. LITERATURA

PISMENI I USMENI DIO ISPITA

ISPIT

Ispit se sastoji od pismenog i usmenog dijela. Uvjeti za polaganje su položeni ispiti iz predmeta "Procesi u prehrambenoj industriji ..." i jedne od "Tehnologija ...", te odra�ene vježbe i prihva�ena izvješ�a s vježbi.

Primjeri zadataka sa pismenog dijela ispita:

PZ1 PZ2 PZ3 PZ4 PZ5 PZ6 PZ7 …

Za prebacivanje MS Word verzije pismenih zada�a sa web stranica na Vaše osobno ra�unalo postavite pokaziva� na (download PZ1-7), kliknite na desnu tipku miša i odaberite opciju "Save Target As..." i odaberite gdje na Vašem osobnom ra�unalu želite pohraniti datoteku "PZ1do7.doc".

Dolazak na ispit možete prijaviti asistentu telefonom ili elektroni�kom poštom uz obvezu donošenja ovjerene prijavnice, trgova�kog i milimetarskog papira na ispit. Na navedeni na�in ispit je mogu�e i odjaviti. Prijavu/odjavu ispita potrebno je izvršiti najmanje 48 sati prije zakazanog ispitnog roka radi pripreme materijala i rezerviranja prostorije za održavanje ispita.

Ispit je mogu�e prijaviti i korištenjem web-obrasca prijavnice

DODACI

Matemati�ke modele mogu�e je razlikovati i klasificirati na razli�ite na�ine. Obzirom na jednadžbe kojima je realni model tehnološke operacije ili procesa opisan i njihova rješenja matemati�ki modeli mogu biti:

1 analiti�ki - empirijski 2 deterministi�ki - stohasti�ki 3 linearni - nelinearni 4 stacionarnih stanja - nestacionarnih stanja 5 s koncentriranim

parametrima - s distribuiranim parametrima

6 kontinuirani - diskontinuirani (diskretni) 7

s jednom varijablom (monovarijabilni modeli)

- s više varijabli (bi- i multi-varijabilni ili modeli prostora stanja)

Prijevod iz: Himmelblau D.M., Bischoff K.B. (1968). Process Analysis and Simulation. Wiley, New York.

DODATAK 1:

Podjela matemati�kih modela

matemati�ki model

deterministi�ki stohasti�ki algebarske jednadžbe

(stacionarno stanje, koncentrirani parametar)

integralne diferencijalne

jednadžbe (kontinuirane promjene)

diferencijalne jednadžbe (kontinuirane promjene)

diferencijalne jednadžbe (kona�ne promjene, stacionarno stanje)

obi�ne diferencijalne jednadžbe

(homogene) diferencijalne jednadžbe prvog reda

(jednodimenzionalna povezanost podsustava s koncentriranim parametrom)

stacionarno stanje

(jedan distribuirani parametar) nestacionarno stanje

(koncentrirani parametar)

parcijalne

diferencijalne jednadžbe

diferencijalne jednadžbe višeg reda (višeodimenzionalna povezanost

podsustava s koncentriranim parametrom)

stacionarno stanje (distribuirani parametar)

nestacionarno stanje (distribuirani parametar)

sustavi diferencijalnih jednadžbi

(bilo koja povezanost podsustava s koncentriranim ili distribuiranim

parametrom stacionarnog ili nestacionarnog stanja)

DODATAK 2:

Klasifikacija modela prema matemati�koj strukturi

Dang N.D.P., Smith R.R.. The Application of Modelling and Control to Food Processing Operations in: Control of food quality and food analysis. pp 279-289. Elsevier applied science publishers Ltd, England,1984.

REALNI PROCES

MATEMATI�KI MODEL

DETERMINISTI�KI MODEL STOHASTI�KI MODEL

Algebarske jednadžbe Homogene diferencijalne j Parcijalne diferencijalne j Integralne diferencijalne j Ograni�en sustav diferencijalnih j

↑↓ ↑↓ Operacijske metode

↑↓ ↑↓ Operacijske metode (separacija varijabli)

↑↓ ↑↓ Izvodi

A

nalit

i�ke

met

ode

1. Matri�ne metode 2. Hornerova metoda 3. Posebne formule za jednadžbe

nižeg reda 4. Binghamova metoda 5. Kvadratni korijen 6. Vincentov teorem 7. Sturmov teorem za korjenovanje 8. Cardanovo rješenje

1. Separacija varijabli 2. Varijacija parametara 3. Eliminacija 4. Složene amplitude 5.Transformacija varijabli 6. Diferencijalni operatori 7. Integracija u serijama 8. Frobeniusova metoda 9. Posebne nelinearne j 10. Matri�ne metode 11. Liouvilleova formula 12. Greenove funkcije 13. Kontinuirane frakcije

1. Transformacije integrala 2. Separacija varijabli 3. Posebni nizovi rješenja 4. Greenove funkcije 5. Hodograf metoda 6. Kernelove funkcije 7. Whittakerova op�a rješenja 8. Približno integriranje 9. Varijacijske metode

1. Uzastopna poboljšanja 2. Približna integriranja 3.Hilbert-Schmidtov teorem 4. Nelinearne metode 5. Voltera integrali 6. Bilinearne jednadžbe 7.Pojedina�ne integralalne j 8. Fredholmova metoda

ponovljenih jezgri 9. Neumanovi nizovi 10. Euskogova metoda

1. Bernoulieva metoda 2. Linearni konstantni koeficijenti

a) proizvoljne konstante b) generiranje funkcija c) polinomna rješenja

3.Linearni promjenjivi koeficijenti a) Laplaceove metode b) generiranje funkcija c) Andreova metoda d) promjena varijable

4. Transformacije integrala 5. Rješenja nizova

Num

eri�

ke i/

ili

anal

ogne

met

ode

1. Newton-Raphsonova metoda 2. Jacobijeva linearna iteracija 3. Met. približavanja (Viet, Liu,

Anderson, MacLaurin, Paluver, Lobachevski, Bernouli)

4. Simpleks metoda 5. Carnesova perturbaciona m 6. Umjetno dijeljenje 7. Poboljšanje približnih korijena

1. Runge-Kutta metode 2. Pickardova metoda 3. Nizovi 4. Adams-Bashforth 5. Milneova metoda 6. Matri�ne metode 7. Eulerova metoda

1. Metoda kona�nih razlika 2. Adamsova metoda 3. Richardsonova metoda 4. Polugrupne metode 5. Metode popuštanja

1. Ritzova metoda 2. Kellogova metoda

1. Newton-Raphsonova metoda 2. Numeri�ka integracija 3. Metoda kona�nih razlika 4. Parcijalne diferencijalne j. a) Booleova simboli�ka metoda b) Fourier, Legendre, Ellisova m c) generiranje funkcija

DODATAK 3:

Matemati�ki alati za rješavanje jednadžbi modela

Dang N.D.P., Smith R.R.. The Application of Modelling and Control to Food Processing Operations in: Control of food quality and food analysis. pp 279-289. Elsevier applied science publishers Ltd, England,1984.

B k1 r1 = k1 ⋅ cA A k2 r2 = k2 ⋅ cA

n C

1 A Odredite stacionarno stanje za bilancu supstrata u (proto�nom biokemijskom reaktoru) turbidostatu

( )ddt

s = D s - s - 1Y

s

K + sx

D = 0.5 s = 20 Y = 0.35 = 0.85 x = 8 K = 5

0 Ms

2

0 M s

⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ

µ

a) Primjenite Jacobijev postupak linearnih iteracija. Napišite iteracionu formulu i prikaz izvo�enja programa. b) Izra�unajte prve tri iteracije zapo�evši sa s1 = 5. Odredite s2, s3 i s4. 1 B Odredite stacionarno stanje u proto�nom kemijskom reaktoru (kemostatu). U reaktor dotje�e reaktant A, a kroz dvije paralelne kemijske reakcije nastaju produkti B i C. Napomena: Reakcija u kojoj nastaje produkt C je reda n = 1,4. Zadani su sljede�i podaci: brzina razrje�enja D = 1.5 (s-1), k1 = 1.5 (s-1), k2 = 0.2 (s-1), koncentracija reaktanta u ulaznom toku cA0 = 10 (g l-1), po�etna koncentracija u reaktoru je cA(0) = 5 (g l-1). Zadaci: a) Izvedite matemati�ki model bilance mase za reaktant A i napišite model stacionarnog stanja c) Primjenite metodu linearnih iteracija za prora�un stacionarnog stanja. Definirajte funkciju g(cA) i iterativni algoritam. d) Izra�unajte prve tri vrijednosti iteracija za po�etnu vrijednost cA1 = 4 (g l-1). e) Nacrtajte dijagram toka ra�unanja stacionarnog stanja. 1 C Analizirajte bilancu energije (topline) za �esticu koja ima povišenu temperaturu zbog kemijske reakcije koja se zbiva na njenoj površini. Razmotrite bilancu uzevši u obzir toplinu razvijenu kemijskom reakcijom i gubitak topline sa �estice na okolinu uslijed zra�enja (Stefan-Boltzmanov zakon). Izrazi za tokove energije su slijede�i:

- zra�enjem S⋅ε⋅σ⋅T4 , kemijskom reakcijom S C k E A 0

-E

R T⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , akumulacija M⋅Cp⋅T Zadani su slijede�i podaci: površina S=0.001 m2, masa M=0.0002 kg, Stefan-Boltzmanova konst. σ= 5.6697⋅10-8 Wm-2K-4, faktor emisije ε = 0.8, energija aktivacije E = 500 Jmol-1, plinska konstanta R = 8.314 Jmol-1K-1, koncentracija CA = 0.9 mol m-2, koeficijent brzine kemijske reakcije k0 = 400 s-1 a) Postavite dinami�ki model bilance energije b) Primjenite Jacobijevu (linearnu) iteraciju za odre�ivanje (prividnog) stacionarnog stanja. Napišite iteracijski izraz, i izra�unajte prve tri vrijednosti iteracije za po�etnu vrijednost T(t=0) = 400 K.

2 A Reguliran je proces prvog reda sa sljede�im parametrima: vremenska konstanta τ je 15 minuta, stati�ko poja�anje Kp je 2, poja�anje regulatora KR je 3, ulazna veli�ina x je 1 za t>0, referentna vrijednost izlazne veli�ine y je 0, po�etno stanje procesa je y(t=0) = 2 . Analizirajte dinami�ko vladanje regulacijskog kruga s proporcionalnim regulatorom u povratnoj vezi. a) Primjenite Eulerov algoritam i napišite iterativni oblik b) Izra�unajte prvih 5 vrijednosti za korak integracije h = 0.1 c) Prikažite grafi�ki tok izvo�enja programa. 2 B Analizirajte dinami�ko vladanje regulacije razine u reaktoru s proporcionalnim regulatorom u povratnoj vezi. Bilanca mase dana je slijede�om diferencijalnom jednadžbom:

Sdhdt

q u t K h h t h

u t K h h

V

R R

⋅ = − − = =

= ⋅ −

0 00( ) ; ( )

( ) ( )

gdje su: S = 0.5 m2 površina presjeka reaktora q0 = 0.1 m3s-1 ulazni volumni protok teku�ine KV = 0.005 konstanta propusnosti ventila u izlaznom toku hR = 0.75 m referentna vrijednost razine KR = 1 poja�anje regulatora h0 = 1 m po�etna vrijednost razine Primjenite Euler-ov algoritam za simulaciju dinami�kog vladanja regulacijskog kruga. a) Napišite jednadžbe modela sustava i algoritam integracije. b) Izra�unajte prvih pet vrijednosti za korak integracije ∆t = 0.1 . c) Prikažite dijagram toka izvo�enja programa. 2 C Reguliran je proces prvog reda s PI regulatorom u povratnoj vezi. Zadane su prijenosne funkcije:

p rW (s) =10

5 s +1 W = 2 1+

1s⋅

⋅��

��

Referentna vrijednost izlazne veli�ine je yr = 0, po�etno stanje y (t=0) = 1, a ulazna veli�ina x = 10. a) Napišite matemati�ki model regulacijskog kruga i prevedite ga u sustav s varijablama stanja b) Primjenite Eulerov Algoritam integracije za korak h = 0.1 i izra�unajte prve tri vrijednosti za y. 2 D Bilanca mase supstrata za polušaržni biokemijski reaktor dana je slijede�im diferencijalnim jednadžbama:

ddt

(V s) = q s -V Vs

K + s ;

ddt

V = q; V s0m

⋅ ⋅ ⋅ ⋅max ( ) = . ( ) = .0 0 28 0 41

Parametri imaju slijede�e vrijednosti: Vmax = 1.32, s0 = 5, Km = 2.67, q = 0.5077 Primjenite Eulerovu metodu za simulaciju dinamike procesa. a) Prikažite dijagram toka izvo�enja programa. b) Izra�unajte prvih pet vrijednosti za korak integracije h=0.15 NAPOMENA: Pojednostavite jednadžbu modela uz pretpostavku da je q (protok) tijekom procesa konstantan.

2 E Dana je sljede�a bilanca topline za zagrijavanje konzerve:

(V c ) dTdt

= h A (T - T)p p⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ

Zadani su sljede�i podaci: h=40 Wm-2K, r=5 cm, visina konzerve l=10 cm, Tp=120 oC, ρ=1200 kgm-3, cp=6 kJkg-1K-1. Primjenite Eulerovu metodu i izra�unajte temperaturu u konzervi nakon 15 sekundi, ako je korak integracije 5 s, a T(0) = 25 °C . 3 A Prehrambeni proizvod priprema se namješavanjem dviju sirovina S1 i S2. Ograni�enja su dana obzirom na tri osnovne komponente sirovina. Udjeli komponenti u sirovinama su zadani u tablici

SIROVINA KOMPONENTE

S A B C

S1 15% 50% 8%

S2 10% 30% 4%

a) Udio komponente A u proizvodu mora biti ve�i ili jednak 13% b) Udio komponente B u proizvodu mora biti manji ili jednak 47% c) Udio komponente C u proizvodu mora biti ve�i ili jednak 5% d) Maksimalna raspoloživa koli�ina sirovine S1 je 550 kg. e) Maksimalna raspoloživa koli�ina sirovine S2 je 480 kg. Zadatak: a) Napišite relacije ograni�enja i funkciju cilja. b) Interpretirajte problem grafi�ki i odredite skup dopustivih rješenja. c) Ucrtajte u graf funkciju cilja i odredite maksimalnu koli�inu proizvoda koju je mogu�e proizvesti uz zadana ograni�enja. d) Provjerite da li rješenja zadovoljavaju zadana ograni�enja. 3 B 3. Odredite optimalan sastav smjese mlije�ne masti i ulja kukuruznih klica. Planom se zahtijeva koli�ina smjese od 1200 do 1500 kg sa cijenom od 6.00 kuna/kg. Sastav sirovina i normativ za proizvod dani su u tablici:

Palmitinska kis.

Oleinska kis. Linolna kis. Cijena (kn kg-

1)

Mlije�na mast 29.4% 22.4% 2.7% 2.80

Ulje kukuruznih klica 10.5% 30% 55% 2.95

a) Udio palmitinske kiseline treba biti izme�u 15 i 25%. b) Oleinske kiseline ne smije biti više od 30%. c) Linolne kiseline treba biti najmanje 8%. Optimirajte plan tako da se dobije maksimalna dobit.

3 C 3. Optimirajte dnevni plan proizvodnje dva mlje�na fermentirana proizvoda. Proizvodnja se provodi u tri pogona: A) priprema sirovine, B) fermentacija i C) pakiranje. Tijekom 24 sata, prosje�no vrijeme rada sva tri pogona je 16 sati. Utrošak vremena po toni prvog proizvoda za pojedine pogone je 1, 3 i 2 sata po toni, a za drugi proizvod 1.1, 5 i 2.5 sati po toni. Cijena sirovina i energije po toni proizvoda je 2000,00 kuna za P1 i 4000,00 kuna za P2, a prodajna cijena po toni je 5000,00 kuna za P1 i 8000,00 kuna za P2. Plan proizvodnje mora zadovoljiti minimalne potrebe tržišta koje su 2 tone dnevno za P1 i 2 tone dnevno za P2.

POGON (h/tona) PROIZVOD P1 PROIZVOD P2 KAPACITET (h dan-1)

A 1 1.1 16

B 3 5 16

C 2 2.5 16

TROŠKOVI (kn t-1) 2000,00 4000,00

CIJENA (kn t-1) 5000,00 8000,00

MIN.KOLI�INA (t) 2 2

DNEVNI PLAN (t) ? ?

Odredite optimalan plan proizvodnje za P1 i P2 tako da proizvo�a� ostvari maksimalan profit. - Definirajte funkciju cilja i postavite model ograni�enja, - Odredite grafi�ki podru�je mogu�ih rješenja i na�ite optimum Fcilja, - Provjerite rješenje obzirom na postavljena ograni�enja i izra�unajte profit.

JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY IN OSIJEK

FACULTY OF FOOD TEHNOLOGY

DEPARTMENT OF PROCESS ENGINEERING

DIVISION OF PROCESS MODELLING AND MANAGEMENT

MODELLING AND PROCESS CONTROL IN FOOD TECHNOLOGY

MATHEMATICAL MODELLING, SIMULATION AND CONTROL IN FOOD INDUSTRY

10 20 30 40 50t

1

2

3

4

5

c

http://zpi.ptfos.hr/modeli

Assistant professor: Ex-professor:

Damir Magdi�, DSc

Želimir Kurtanjek, DSc

Course: MODELLING AND MANAGEMENT IN FOOD-TECHNOLOGY PROCESSES

Study: Food Technology and Process Engineering Study area: FOOD SCIENCE Annual plan: L + S + E (lectures + seminars + exercises) hours per week

1 + 0 + 1 (15 weeks) semester: VII 1 + 0 + 1 (15 weeks) semester: VIII

Total: 60 hours Lecturer: Damir Magdi�, DSc, assistant professor Assistant: Frane �a�i�, grad. eng Programme of lectures: Systems view of technological production systems. Definitions of basic variables: input, output and state. Classification of mathematical models. Methodology of development of mathematical and computer models. Analysis and validation of mathematical models of real systems. Lumped and distributed process models. Introduction to modelling by artificial intelligence: fuzzy logic and neural network models. Steady state modelling of technological processes. Computer software for steady state modelling. Introduction to computer languages for process modelling. Linear and quadratic methods for steady state determination. Approximations of quadratic methods. Examples of models of chemical and enzyme reaction processes. Modelling of water systems. Modelling of carbohydrate processing. Simulation of chemical plants. Modelling of pH regulation. Modelling of evaporation process. Introduction to methods for modelling dynamic systems and integration of ordinary differential equations. Nonlinear dynamic systems. Examples of vitamin degradation, sensory properties, food texture. Optimisation of food composition and nutrition by Linear Programming. Introduction to application of food modelling based on image analysis and acoustic measurements. Programme of exercises: Model of steady state of linear chemical reactions and application of Gauss and Jacobi methods. Use of Newton-Raphson method for determination of steady states in enzymatic reactions. Determination of multiple steady states for exothermic reactions in continuous stirred tank reactors by use of Wegstein method. Simulation of pH regulation in continuous processes. Regulation of first and second order systems. Bioreactor modelling by neural networks. Regulation of temperature and pH by fuzzy logic models. Model of heat transfer and sterilisation of food. Model of food drying. Optimisation of food composition and nutrition by Linear Programming. Examples of food image analysis. Examples of acoustic measurements of food.

Assigned reading: In Croatian language: - Vlatko �eri� "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveu�ilišta u Zagrebu, Školska knjiga,



fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. In English Language: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York,


London and New York, 1985. - French, A.D., "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Spciety,




Florida, 1998.

Course: MODELLING AND PROCESS CONTROL IN FOOD TECHNOLOGY

Study: Food Technology and Process Engineering Study area: FOOD ENGINEERING Annual plan: L + S + E (lectures + seminars + exercises) hours per week


Total: 90 hours Lecturer: Damir Magdi�, DSc, assistant professor Assistant: Frane �a�i�, grad. eng Programme of lectures: Systems view of technological production systems. Definitions of basic variables: input, output and state. Classification of mathematical models. Methodology of development of mathematical and computer models. Analysis and validation of mathematical models of real systems. Lumped and distributed process models. Introduction to modelling by artificial intelligence: fuzzy logic and neural network models. Steady state modelling of technological processes. Computer software for steady state modelling. Introduction to computer languages for process modelling. Linear and quadratic methods for steady state determination. Approximations of quadratic methods. Examples of models of chemical and enzyme reaction processes. Modelling of water systems. Modelling of carbohydrate processing. Simulation of chemical plants. Modelling of pH regulation. Modelling of evaporation process. Introduction to methods for modelling dynamic systems and integration of ordinary differential equations. Finite difference methods for modelling processes with distributed parameters. Nonlinear dynamic systems (penicilin fermentation model, heat transfer and heat sterilisation dynamic, freezing proces dynamic, food drying dynamic). Optimisation of food production plan by Linear Programming. Introduction to application of food modelling based on image analysis and acoustic measurements. Programme of seminars: Heat and mass bilances, Numerical methods – theory and application examples Programme of exercises: Model of steady state of linear chemical reactions and application of Gauss and Jacobi methods. Use of Newton-Raphson method for determination of steady states in enzymatic reactions. Determination of multiple steady states for exothermic reactions in continuous stirred tank reactors by use of Wegstein method. Simulation of pH regulation in continuous processes. Simulations made by different programming languages. Regulation of first and second order systems. Evaporator and evaporating plant models for orange juice evaporation with efficacy optimization. Bioreactor modelling by neural networks. Regulation of temperature and pH by fuzzy logic models. Drying dynamic model. Optimisation of food production plan and food composition by Linear Programming. Examples of food image analysis. Examples of acoustic measurements of food.




fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. In English Language: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York,


London and New York, 1985. - French, A.D., "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Spciety,




Florida, 1998.

Course: MATHEMATICAL MODELLING, SIMULATION AND CONTROL IN FOOD INDUSTRY

Study: Food Technology and Process Engineering Study area: PROCESS ENGINEERING Annual plan: L + S + E (lectures + seminars + exercises) hours per week


Total: 120 hours Lecturer: Damir Magdi�, DSc, assistant professor Assistant: Frane �a�i�, grad. eng Programme of lectures: Systems view of technological production systems. Definitions of basic variables: input, output and state. Classification of mathematical models. Methodology of development of mathematical and computer models. Analysis and validation of mathematical models of real systems. Lumped and distributed process models. Introduction to modelling by artificial intelligence: fuzzy logic and neural network models. Steady state modelling of technological processes. Computer software for steady state modelling. Introduction to computer languages for process modelling. Linear and quadratic methods for steady state determination. Approximations of quadratic methods. Examples of models of chemical and enzyme reaction processes. Modelling of water systems. Modelling of carbohydrate processing. Simulation of chemical plants. Modelling of pH regulation. Modelling of evaporation process. Introduction to methods for modelling dynamic systems and integration of ordinary differential equations. Finite difference methods for modelling processes with distributed parameters. Nonlinear dynamic systems (penicilin fermentation model, heat transfer and heat sterilisation dynamic, freezing proces dynamic, food drying dynamic). Modelling and optimisation of food technology processes. Optimisation of food production plan an food composition by Linear Programming. Nonlinear programming. Introduction to application of food modelling based on image analysis and acoustic measurements. Programme of exercises: Model of steady state of linear chemical reactions and application of Gauss and Jacobi methods. Use of Newton-Raphson method for determination of steady states in enzymatic reactions. Determination of multiple steady states for exothermic reactions in continuous stirred tank reactors by use of Wegstein method. Simulation of pH regulation in continuous processes. Production plant simulation made by different programming languages. Regulation of first and second order systems. Evaporator and evaporating plant models for orange juice evaporation with efficacy optimization. Production optimisation by inflow programming. Bioreactor modelling by neural networks. Regulation of temperature and pH by fuzzy logic models. Model of food freezing dynamic. Model of heat transfer and sterilisation of food. Model of food drying. Extrusion dynamic model. Membrane processes model. Optimisation of food production plan and food composition by Linear Programming. Examples of food image analysis. Examples of acoustic measurements of food.




fakulteta, Sveu�ilište u Zagrebu, Zagreb, 2000. In English language: - Israel Saguy "Computer Aided Techniques in Food Technology", Marcel Dekker, New York, 1983. - Zeuthen, P., .... "Thermal processing and quality of foods", Elsevier Applied Science Publishers

Ltd, London and New York, 1984. - Raghu Raman "Chemical process computations", Elsevier Applied Science Publishers Ltd,

London and New York, 1985. - … "Automatic Control and Optimisation of Food Processes", Elsevier Applied Science, England,

1988. - Roger G. E. Franks "Modeling and Simulation in Chemical Engineering", John Wiley and Sons

Ltd, USA, 1972. - French, A.D., ... "Computer Modelling of Carbohydrate Moleculs", Americam Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Melchior, D.C., ... "Chemical modeling of Aqueous Systems II", American Chemical Society,

Washington, DC 1990. - Thorne Stuart "Mathematical modelling of food processing operations", Elsevier Applied Science

Publishers Ltd, London and New York, 1992. - Paul Geladi, Hans Grahn "Multivariate Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England,

1996. - Gabriele Lohmann "Volumetric Image Analysis", John Wiley and Sons Ltd, England, 1998. - Ferdinand van der Heijden "Image Based Measurement Systems", John Wiley and Sons Ltd, England, 1998. - Shuryo Nakai, Eunice Li-Chan "Hydrophobic interaction in Food System", CRC Press, Inc.,

Florida, 1998.

Documents

MODELIRANJE I UPRAVLJANJE U PREHRAMBENO · PDF fileLiteratura : Na hrvatskom jeziku: - Vlatko eri "Simulacijsko modeliranje", Udžbenik Sveuilišta u Zagrebu, Školska knjiga, Zagreb,