Model Zaliha Pavlovic2

5/9/2018 Model Zaliha Pavlovic2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/model-zaliha-pavlovic2 1/29

(2.9)

62 I v a n P A V L O V IC : K V A N T IT A T I V N I M O D E L l I M E T O O E U P O S L O V N O M O D L U C I V A N J U

Optimalna kolicina narudzbe za jedan period je ustvari ista kao kod modela

1. ,jer mozemo izjednaciti P: PI = c2 •

2.1.2. PROBLEM PROMJENJIVE CIJENE ZALIHA

Promatrajmo slucaj promjenjive cijene zaliha. Dobavljac nam nudi dvije

cijene zaliha. Normalnu cijenu R . ako uzimamo u svakoj isporuci kolicinu

robe prema nasim zahtjevima imanju cijenu robe P 2 ako svaka isporuka

bude najmanje jednaka kolicini koju dobavljac odredi. Oznacimo tu kolicinu

sa m. To znaci da kolicina X jedne isporuke bude veca ili jednaka kolicini

m . U ovom slucaju moramo odrediti razlicite varijante.

Izracunat cemo optimalnu kolicinu Xo za normalnu cijenu R . . Ako je tada

Xo ;:::m prihvatit cemoponudu. Ako je Xo < m izracunat cemo:

optimalni troskovi skladistenja pri normalnoj cijeni R . , i

(2.10) C(m)=cI·Q+p .Q+r.m ·PI.p +cl·r ·P Im 2 2 2 2 '

troskovi za ponudenu manju cijenu robe.

Odlucit cemo na sljedeci nacin:

a) Ako je C(Xo) < C(m) necemo prihvatiti ponudu za nizu cijenu i

vecu pojedinacnu kolicinu,

b) Ako jeC(Xo);::: C(m)prihvatit cemo ponudu i umjesto pojedinacnenarudzbe Y, imat cemo narudzbu m . Ovo mozemo vidjeti na slici 2.3.



M O D E L Z A L I H A 63

t

C l

I

II

I

S f. 2.3.

Primjer 2.1.

Kod jednog modela zaliha sa stalnom potraznjom koja je uvijek

zadovoljena poznato je: troskovi jedne narudzbe su 250 KM, troskovi

skladistenja su 0,003 KM po jediniei vremena i jediniei nove a, eijena robeje 124 KM, ukupna kolicina potrebnih zaliha je 1245 tona, promatrano

vrijeme je 360 dana.

a) Odrediti optimalne kolicine zaliha tako da troskovi zaliha budu

.minimalni.

g) b) Kod ugovaranja dobavljac je ponudio manju eijenu robe ito 118KM ako kolicina robe koju cemo preuzimati u jednakim intervalima

bude najmanje 83 tone. Odredi da li cemo prihvatiti ponudu

dobavljaca.

Rjesenje:

a) Iz uvjeta zadatka imamo: C1 =250 KM , P 1 =0,003 KM

P = R , = 124 KM, Q = 1245 tona, T = 360 dana, P 2 = 118 KM.

Xo = fIE 2 ·1245 .250 ., 68,178

fT~~ 360·124·0,003



2.2. MODEL ZALlHA S KONSTANTNOM POTRAZNJOM

KOJA NIJE UVIJEK ZADOVOLJENA

64 I v a n P A V L O V IC : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O O W C IV A N J UM O O R

Model 3.

Model se temelji na pretpostavci da imamo konstantnu potraznju, ali da

se moze dogoditi da u odredenom periodu potraznja nije zadovoljena zbog

nekih nepredvidenih problema. U tom slucaju imamo periode kada je

potraznja zadovoljena i periode kada potraznja nije zadovoljena. Uperiodima kada je potraznja nezadovoljena imamo ili hitne narudzbe ili

troskove zbog zastoja proizvodnje, odnosno gubitke zarade u trgovini.

Ovo se moze predstaviti na sljedecem grafu.

xy

\\

t

T

Sf. 2.4.

U ovom modelu imamo parametre i varijable kao u prethodnom modelu

s novim elementima. Novi parametar je:

c3 : trosak hitne narudzbe, zastoja proizvodnje, penala iii neostvarene dobiti

u trgovini.

Nove varijable su:

Y : kolicina u skladistu kada je potraznjazadovoljena,

tj : period kada je potraznja zadovoljena,

t2 : period kada potraznja nije zadovoljena,



M O D E L Z A L i H A 65

U periodu kada je potraznja zadovoljena imamo troskove skladistenja

dok u periodu kada potraznja nije zadovoljena imamo troskove penal a ili. izgubljene dobiti. Iz uvjeta da se skladiste prazni proporcionalno, kao i sve

ostale pretpostavke ranijeg modela, bez posebnih objasnjenja, imamo

troskove za jedan period:

Y (X -Y)c +-·c ·t + ·c ·t

1221 232

Ukupne troskove dobijemo kada troskove za jedan period pomnozimo s

brojem perioda.

Potperiode tl i t2 mozemo izracunati iz slicnih trokuta sa slike 2.4. zaprvi period. Sa slike mozemo procitati:

t tl-=- => tl ·X=t·YX Y

K ko i T·X.a o je t=-- imamo:Q

t =_Y .t=_Y ._T_·X_=_T_·_Y =t-t =_T_.X T_·_Y=_T_(X_-_Y_)I X X Q Q'2 I Q Q Q

Funkcija ukupnih troskova izgledat ce:

C(X Y) = [ c + C2 . Y . T· Y + C3 (X - Y) . T(X - Y ) ] . g, 12 Q 2 Q X

Poslije malo racunanja imamo:

(2.11) C(X Y) = CI .Q+

C2 ·T.~+

C3 ·T. eX _y)2, X 2 X 2 X

Parcijalne derivacije po X i Y su:



66 I v a n P A V L O V IC : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P D S L O V N O M O D W G IV A N J U

8C(X,Y) =_1 .Q _ C2 ·T·y2

+ C3 .T.(X2 _y2)

&" X2 2X2 2X2

8C(X,Y) =C .T.!_-c .T. (X -Y)8 Y 2 X 3 X

Kada parcijalne derivacije izjednacimo s nulom (uvjet za ekstreme)imamo:

Y (X -Y)c ·T·--c ·T· =02 X 3 X

Kada rijesimo ove dvije jednadzbe s dvije nepoznanice dobit cemo:

(2.12)

Ostale optimalne vrijednosti su:

TXo ~Cl'T 1t =--=... . -0, Q Q,c

2J k




Model 4 .

Model 4. cemo definirati slicno modelu2. i modelu 3. Od modela 2.

uzet cemo nacin praznjenja skladista i vrijednost zaliha, a od modela 3. uzet

cemo mogucnost da potraznja bude nezadovoljena. Poznata je ukupna

potraznja, i to je Q, ali mi se odlucujemo da cemo u intervalu t narucivati

kolicinu Y koja je rnanja od predvidenih potreba. Irnat cemo hitne nabavke,

a u cijeni hitnih nabavki sadrzavat ce se i cijena robe. Sada ce c3irnati

dvostruku ulogu, kao cijena zastoja skupa s jedinicnom vrijednosti robe.

Mozemo sada definirati sve velicine,

Q : ukupna potraznja zaliha;

T : ukupni prornatrani vremenski period;

X : potraznja zaliha u jednorn potperiodu t ;

t :potperiod u kome se vrse narudzbe robe;

Y : kolicina porucene robe u jednorn potperiodu;

n :broj potperioda u cijelorn promatranom periodu;

t1 : dio potperioda u kome je potraznja zadovoljena;

t2 : dio potperioda u kome potraznja.nije zadovoljena;

q : potraznja zaliha u jednoj vremenskoj jedinici;

c] : troskovi jedne narudzbe;

C2 : troskovi skladistenja jedne jedinice robe u jedinici vremena;

c3

: troskovi zastoja kako smo vee objasnili;

p : cijena robe;



68 I v a n P A V L O V IC : K V A N T I T A T I V N I M O D E L l I M E T O O E U P O S L O V N O M O D L U G IV A N J U

Iz ovoga mozemo uspostaviti veze medu ovim velicinama.

Q=q·T, T=n·t, X=t·q, Q=n·X

Funkcija ukupnih troskova bit ce zbroj troskova narudzbi ili lansiranja

serije, troskova skladistenja, troskova zastoja i ukupna vrijednost zaliha.

(2.13) C(X,Y)=Cz +Cs +Cz +Cm

y2 + Y .q Q y2 + Y . qq. T y2 + Y . qC =n· ·c =-. ·c =--. ·c =s 2q 2 X 2q 2 X 2q 2

= T . Cz . y2 + y. q

2 X

Q y

C = n . eX - Y) . c = - ex - Y) . c = Q. c - Q .c .-z 3 X 3 3 3X

1 T .Cz y2 +Y .q Y YC(X Y)=T·q·c .-+--. -T·q·c ·-+T·q·p·-+Q·c

, IX 2 X 3X X 3

(2.14)



-c,J


Parcijalne derivacije izracunamo i izjednacimo s nulom. Medutirn,

funkcija ukupnih troskova je specificna s obzirom na varijable. Za parcijalne

derivacije pretpostavimo da je druga varijabla konstantna.

Ako je varijabla Y konstantna tada ce funkcija ukupnih troskova imati

oblik

aC(X,Y) =-+b,

Xs osobinom: lim C(X, Y) = lim(!!_ + b ) = b

X - - - 7 00 X-- -7OC1 X

Gdje je

(2.15)

Mozemo to predstaviti na slici 2.5. za a >0 . Sa slike vidimo da troskovi

opadaju do vrijednosti b kada X ~ 00 Posto je X::; ; Q troskovi ce biti

minimalni kada je X = Q, jer X ne moze biti vece od Q.

ci

I

1

.."'....o" ..~..S o' " . ., ,. .~ ., ., . . -. ,. ~ - . .. .. . , ~, ._ . . . ~ ~ . . ~ , .. ;. .- -. " . ."'''',p'''''''''.·''''-'"- .... 1 ' ' ' . . . . . .. . . . . .~ ~ , . . - " ' - " ' " , . _ ~ . " , , . _ " ' . , - ~ . . . . ~ ~ " . . . . . s., ....."-",....,,_"'.

!Q x

Sl. 2.5.

Ako je a <0 tada bi graf funkcije na slici 2.5. sjekao osu apscisa u .

tocki X = _ ! : ! . . i asimptotski se priblizavao pravcu paralenom osi apscisa, ab

osu ordinata sjece u tocki b, kada X ~ 00 Tada nebismo imali



i~ ,

70 I v a n P A V L O V IC : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D W C IV A N J U

minirnuma, odnosno najrnanji troskovi bi bili jednaki nuli. Iz relacije (2.15)

vidirno da pararnetar a ovisi 0 varijabli Y kao kvadratna funkcija. 0

ovorne cemo kasnije reci malo vise.

Kada je varijabla X konstantna tada ce funkcija ukupnih troskova, koja

ovisi od Y, biti predstavljena parabolorn odredenom pararnetrorn a koja je

pornjerena u srnjeru osi ordinata za b i irnat ce oblik (2.16) .

Sl. 2.6.

(2.16) C(X, Y) = mlk. y2 -I· Y + u J + v

To srno predstavili na slici 2.6. Iz ovoga trebarno odrediti optirnalnu

vrijednost varijable Y.

Na slici 2.6.J·e: c = q ( 2 c 3 - 2 p - c J d = Q ·c +Q.c2 ' 3 X 1c2

Izracunajmo parcijalne derivacije i izjednacimo ih s nulorn.

_ f C _ : _ ( : . . . . _ X . . : . . . . . . '_ : _ )= _ T _ [ 2 c . Y _ q ( 2 c - 2 p - c )]= 0& 2X 2 3 2 .




(2.17)Y= q(2c3 -2p-c2)

2c2

_ ( K ; - - - , - - - ( X _ , _ Y - - , - )__T_ r C . y2 _ q(2c - 2p - c ). Y + 2q . c ]=0&f 2X2 ~ 2 3 2 J

Kada iz relacije (2.17) uvrstimo Y u gomju relaciju imamo

Iz relacije (2.6) modela 2. imamo X 0 ~ ~ 2Q . c, iiiT 'C2

(2.18)X~ = 2Q,cJ = 2q,cJ

T· c2 C2

iIi

Iz prethodne dvije relacije imamo

(2.19)

'1 ' ( K ; ( X ,Y ) _ T [ y2 2 y2 X 2 ] - T · c2 [X 2 y2 ]11 ---- c· - c· +c· ---- -

&f 2X2 2 2 2 0 2X 0

Druge parcijalne derivacije bit ce .



72 I v a n P A V L O V I C : K V A N T IT A T I V N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U C I V A N J U

_O_2C__ :_ (X_ ,Y_ :_ )_ _ T_ [2 c . Y _ q(2 c - 2 p = C )]

£ 5 X b Y 2X2 2 3 2

Za odredivanje ekstrema funkcija s dvije varijable uvrstimo rjesenja iz

prethodnih jednadzbi, gdje optimalno (2.17) rjesenje oznacimo sa Yo, i ..

rmamo

T . c2 [ 2 2 ] T T [ ]r =--3- Xo -Yo ,t = _ ·c2 ,s =---2 2 c2Y O -2 c 2Y O =0

X X 2X

(2.20)

Razlikujemo X i Xo u gomjoj relaciji. Xo je optimalna kolicina iz

modela 2. a X je varijabla iz modela 4., kojoj nismo ni trebali izracunatioptimalnu vrijednost posto X ---7 Q . Ako je r - t - S2 pozitivno tada imamo

ekstrem, ito: ako je r >0 imamo minimum a ako je r <0 imamo maksimum.

r 'ekstrem postoji, r > 0 ~ minimum

r - t - S2 = 0, Xo = Yo; dopunski podatci

< 0, ekstrema nema

Posto je s = 0 i t>0 za r- t>0 mora biti i r >0 , tada imamo minimum.

Tadaje

Uvrstimo sada optimalne vrijednosti (2.17) i (2.18) u gomju relaciju i

imamo




(2.21)

Gomju nejednadzbu pomnozimo s c2 , podijelimo s q i to na desnoj

strani stavimo pod korijen i pokratimo, dobit cemo

(2.22)

Iz optimalne vrijednosti, minimuma, (2.17) ovog modela imamo

Yo = q(2c3 - 2p - c2)

2c2

Posto Yo mora biti pozitivno imamo

(2.23)

rmamo

Konacno iz (2.22) i (2.23) imamo

c c ~C.C.T

P+_2 :S;c :S;p+__2+ 1 2

2 3 2 Q2.24)

Cijena zastoja c3 se krece u gomjem intervalu. Mozemo sada analizirati

moguce slucajeve. Odredivat cemo to u ovisnosti 0 cijeni c3

' cijeni zastoja.

1) Ako je c3

: s ; P + 5_ tada je Yo=0 . To znaci da nista ne nabavljamo2

normalno, nego sve nabavke su hitne kada dode do zastoja. Jasno je da je taj

model nemoguc, jer cijena zastoja (u koju je ukljucena cijena robe) ne moze

biti manja od same cijene robe. A ako je znak jednako, to znaci da je cijena

skladistenja jednaka nuli i robu uopce ne skladistimo nego imamo sarno

hitne nabavke. Tada su troskovi zaliha



1 ' 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1'

1 I I I

74 I v a n P A V L O V IC : K V A N T I T A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D W G I V A N J U

A c ·TC=C +Q .C _ _ 2_.y2

I 3 2Q 0

2) Ako je cijena c3izmedu donje i gomje granice tada je optimalna

kolicina normalne nabavke Y jednaka optimalnoj kolicini Yo , tj. Y =Yo .

Varijabla X imat ce optimalnu vrijednost X =Q i imat cemo sarno jedan

period, tj. it = 1 . Optimalni troskovi bit ce

A T 2 .

C=_rc .y -q(2c -2p-c )Y +2q·c ]+Q.c2Q ~ 2 0 3 2 0 I 3

Kada ovo sve izmnozimo isredimo

3) Ak . . . . . c2 f¥cl• c2 • T da !o Je c3 na gornjoj gramci, c3 = P + - + ta a je

2 Q

svejedno hocemo li uzeti model 2. ili model 4. Tada je Xo = Yo . Ako

uzmemo model 2. tada je it> 1, a ako uzmemo model 4. tada je it = 1 i sve

ostalo sto slijedi iza toga.

4) Ak . c2 f¥cl. c2 . T d .. .. d I 2 .o Je c3 > P +- + ta a pnmJenJuJemo mo e . Jer za

2 Q

model 4. troskovi naglo rastu i teze u beskonacnost i ne mozemo ih

prihvatiti.

Ovo cemo pokazati na primjeru.

Primjer 2.1.

Kod nekog model osiguranja zaliha repromaterijala poznate konstantne

potraznje poznati su sljedeci podatci: period promatranja je T = 20 mjeseci,




potraznja u jedinici vremena q = 200 ko~. , cijena jedne narudzbemj.

c, = 16000 $, cijena skladistenja c2= 10-$- i cijena materijala

kom.

p =30-$-. Utvrditi optimalnu politiku upravljanja zalihama ako je:kom.

$

a) c3=100--

kom.

$b) c

3=36--

kom.

$c) c

3=35--

kom.

. $d) c

3= 75--

kom.

Rjesenje:

Prvo odredimo interval za cijenu zastoja._ Ako

..1vec c ~C'C'T

P+_2 ~C ~p+_2 + '2

2 3 2 Q

35.!Q< <35.!Q /2.16000.10.20+ - c3 - + +'12 2 v 4000

a) c3

= 100 >75 Primjenjuje se model 2.

X~Xo ~~2C' .Q ~ 2·16000·4000 ~800c2·T 10·20



76 I v a n P A V L O V I C : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U G IV A N J U

Optimalna narudzba je 800 komada. Ostale optimalne vrijednosti su

~ Q 4000 5' ku 5 dzbin = - = -- = , Imamo u pno naru z 1.Xo 800

~ T 20 .t =-=-=4 mJeseca.

1 1 5

+ 4000(30 + 5) = 80000 + 80000 + 144000 = 300000

IIiprema formuli za minimalne troskove

c =~2Cl .c2 . Q. T + Q(p + c;) = .J2 ·16000 ·10·4000·20 + 4000(30 + 5)

~C = 160000 + 140000 = 300000

b) c3 = 36 ,35<36<75 Primjenjuje se model 4.

Y~_ y _ q(2c32p -c2) _ 200(72 - 60-10) _ 20 k d

- 0 - - - oma a.2c2 2·10

Zadovoljena potraznja je 20 kom.

~ ~ ~ Y o 20 .. dX=Q=4000' n=1' t =-=-=01 mjeseci= S ana.

, '1 q 200 '

Potraznja je zadovoljena sarno tri dana.

x - Y o =4000 - 20 =3980 komada.



M O D E L Z A L I H A

Nezadovoljena potraznja je 3980 komada.

c=C(X Y)= T,c2 (X2 _y2)+Q.c = 20·10 (2.16000.4000 -202)+'0 2Q 0 0 3 2 . 4000 20 . lO

+ 4000 .36 = _1 (40 ·16000 - 400) + 144000 = 15999040

IIi na drugi nacin

AT· C2 .s. 10·20 2

C=Cj +Q'C3 ---'10 =16000+4000·36- ·20 =1599902Q 2·4000

c) c3 = 35 . Cijena zastoja je na donjoj granici. Yo = O. Nema redovitih

nabavki, sve je interventna nabavka. Zaliha nema na skladistu.

d) c3 = 75 . Cijena zastoja je na gomjoj granici pa je svejedno da li

primijenili model 2. ili model 4.

x 0 =~ 2c, .Q = 2 .16000· 4000 =800

C . T lO· 202

Yo = q(2c 3 - 2p -c 2) = 200(150 - 60 -10) = 800

2 c2 2 ·10

dl) Promatramo model 2.

A A Q 4000 A T 20 . A

X = Xo = 800 n = - = -- = 5 t = - = - = 4 mJeseca C = 300000, n 800 ' n 5 '

A A A

d2) Y = Yo = 800 , X = Q = 4000 , C = C(X, Y) = 300000 ,

77



2.3. MODEL ZALIHA KADA JE POTRAZNJA

STOHASTICKA

78 I v a n P A V L O V I C : K V A N T I T A T l V N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U C IV A N J U

A

Y 800 .t1 = ; = 200 = 4 mjeseca,

Trebamo uocitida je period zadovoljene potraznje u ovom slucaju 4

mjeseca, dok su pod b. bila sarno 3 dana.

Kada potraznja nije poznata i nije odredena kolicina niti po obujmu niti

po dinamici, a robe moramo imati na zalihama tada govorimo da je

potraznja stohasticka (slucajna) i moramo koristiti vjerojatnost. Ovaj model

mozemo objasniti ako promatramo odrzavanje vise jednakih strojeva u

jednoj proizvodnoj firmi. Odredeni dijelovi strojeva otkazuju u vremenskim

terminima koji nam nisu poznati. Na skladistu trebamo imatiodreden broj

komada rezervnih dijelova, ali ne znamo koliko.

Isto tako, mozemo promatrati servisiranje kucanskih aparata iii

televizora. Firma koja odrzava mora imati odreden broj karakteristicnihdijelova radi podmirenja potreba korisnika. Pitamo se koliko komada treba

drzati na zalihama da nam troskovi zaliha budu minimalni, a da potrebe

budu optimalno zadovoljene, odnosno da ne izgubimo dobit.

U ovim i slicnim situacijama postavlja se pitanje optimalnih kolicina

zaliha. Kod ovog modela mozemo promatranjem iistrazivanjern odrediti

vjerojatnost potraznje za rezervnim dijelovima. To bi bila vjerojatnost za

diskretne (diskontinuirane) velicine. Ako je potrosnja zaliha kontinuirana s

odredenom vjerojatnosti tada imamo kontinuiranu razdiobu s gustocom

vjerojatnosti. Promatrat cemo oba slucaja, kada je vjerojatnost

diskontinuirana i kada je vjerojatnost kontinuirana.



4

lniti

Je1Xle1

u

skim

oJ

tili

Drih

ba

rebe

cina

'ti

za

.8

mID


2.3.1.ZALIHE SA STOHASTICKOM POTRAZNJOM KADA

JE VJEROJATNOST DISKONTINUIRANA

Kod ovog modela znamo vjerojatnost potraznje rezervnog dijela p(q).

Vjerojatnost p(q) znaci vjerojatnost da ce se u promatranom periodu traziti

tocno q komada. Na skladistu drzimo X komada. Ako je potraznja za

rezervnim dijelom manja od X (q < X) tada imamo troskove skladistenja.

Ako je potraznja za rezervnim dijelom veca od X (q > X) tada imamo

troskove zastoja stroja iii penale.

Oznacimo s c2 troskove skladistenja za jedan komad u promatranom

periodu a s c3troskove zastoja zajedan komad u promatranom periodu.

Funkciju ukupnih troskova dobit cemo kao zbroj troskova skladistenja i

troskova zastoja. Zbog toga sto su svi odnosi stohasticki bit ce ukljucena

vjeroj atnost.

(2.25)x =

C(X)=c20L:(X-q)p(q)+c3 ° L:(q-X)p(q)q=O q=X+l

Optimalna kolicina Xo je ona kolicina kada su za ma~u kolicinu zaliha

ukupni troskovi veci, ali iza vecu kolicinu zaliha su opet ukupni troskovi

veci, Zbog toga promatrat cemo troskove za kolicinu vecu za jedan i manju

za jedan. Ako je to tako za tu kolicinu bit ce iza ostale kolicine. Ovo

mozemo zakljuciti iz monotonosti funkcije C(X) ali i empirijskim

promatranjem mnogo primjera potvrditi ovo pravilo. Odredimo sada

C(X + 1)iC(X -1) °

X+l =

C(X+l)=c2 0L:(X+l-q)p(q)+c3 ° L:[q-(X+l)]P(q)q=O q=X+2

x

C(X + 1)= c2 ° L:[(X - q + l)p(q) + (X + 1- X -1)p(q)]+q=O

co

+c3 ° L:[(q-X -l)p(q)-(X +l-X -l)p(q)]q=X+l



cc

-C3· LP(q)q=X+!

80 I v a n P A V L O V I C : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D W G I V A N J U

x =

C(X + 1 ) = C2 . L[(X - q)p(q) + p(q)]+ C3· L[(q - X)p(q) + p(q)]q=O q=X+!

x = X

C(X+1)=c2 ·L(X-q)p(q)+C3 · L (q-X)p(q)+C2 ·LP(q)-q=O q=X +1 q=o

x =

C(X+1)=C(X)+C2 ·LP(q)-C3 · LP(q)q=o q=x+!

Iz osobina vjerojatnosti imamo: c x

x =

Da bi bilo C(X + . 1) > C(X) mora biti c2 • LP(q) - c3• LP(q) > 0q=O q=X+!

00 00 x 00

LP(q) = 1 , iLP(q) = LP(q) + LP(q) = 1q=O q=O q=O q=X+!

Iz ovoga slijedi:

= x

L p(q) =1-LP(q)q=X+l q=o

x co x cc

c2 . LP(q) - c3• LP(q) > 0 , c2 . LP(q) - c3 . (1- LP(q» > 0q=O q=X +1 q=O q=X +1

x X

C2· LP(q)-c3 +c3LP(q) > 0q=O q=O

X

(c2 + c3)· LP(q) > C3

q=O

Iz




x

Znamo daje LP(q) vjerojatnost daje q:::;;X, iz cega slijedi dajeq=o

(2.26)

Sada cemo izracunati vrijednost C(X -1).

X-I ~

C(X -1) =c2 , L(X -1-q)p(q)+c3• L(q-X +l)p(q)q=O q=X

C(X -I) = c, {t,(X -q)p(q)-(X -X)P(X)]-c,. ~P(q)+

+c, l ~ ~ qX)p(q)+ (X - X)P(X)] + c3 • txP(q)

X co X-I oo

C(X -1)=c2· L(X -q)p(q)+c3• LCq-X)p(q)-c2 • LP(q)+c3' LP(q)q=O q=X+I q=O q=X

X-I ~

C(X -1) = C(X) - c2 . LP(q) + c3 . LP(q)

q=O q=X

X-I co

Iz ovoga slijedi da mora biti: - c2 . LP(q) + c3 • LP(q) > 0q=O q=X

Na temelju vee pokazanih osobina vjerojatnosti imamo:



82 I v a n P A V L O V I C : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U C IV A N J U

X-I co co cc X-I

LP(q) + LP(q) = LP(q) = 1 ,iIi LP(q) = 1- LP(q)q~O q~O q~ O~X q~X

Uvrstimo li to u gomju relaciju imamo:

X-I X-I

c2 . LP(q) - c3 + c3 . LP(q) < 0q~O q~O

X-I

(c2 + c3)· LP(q) < c3q~ O

(2.27)

x-I

Znamo da je LP(q) = p(q ::;X -1). Sada iz relacije (2.26) i relacijeq~ O

(2.27) imamo:

(2.28) p(q~X-l)< c3 <p(q~X)c2 + c3

Gomja relacija predstavlja pravilo za upravljanje zalihama kod ovog

modela. Optimalna vrijednost zaliha Xo je vrijednost iz gomje relacije.

Mozemo napisati relaciju optimalnog upravljanja zalihama ovog modela:

(2.29)

Relacija (2.29) odreduje kako cemo odrediti optimalnu kolicinu zaliha u

ovom modelu. Formirat cemo kumulativnu distribuciju vjerojatnosti za




diskontinuirane vrijednosti q od nula do vrijednosti koje se pojavljuju. U

modelu smo uzeli vrijednosti q od nula do beskonacno. Ali, prakticno to

nikada nije beskonacno, nego je neka vrijednost, recimo m, za koju je

p(m) * 0 a za sve vrijednosti q > m vrijednosti p(q) = O . Nije potrebno

uzimati vrijednosti q > m jer su sve vjerojatnosti za takve q jednake nuli.

Zatim izracunamo vrijednost U kumulativnojC2 +c3

vjerojatnosti trazimo vrijednost k . Neka se vrijednost k nalazi izmedu

dvije kumulativne vjerojatnosti, recimo r is. Neka je s > r.

Optimalna vrijednost zaliha Xo bit ce jednaka kolicini q za koju je

kumulativna vjerojatnost jednaka s.

Neka je vrijednost k tocno jednaka jednoj odredenoj kumulativnoj

vjerojatnosti, recimo r .Neka je sljedeca kumulativna vjerojatnost jednaka

s. To se moze desiti u dva slucaja:

c3a) ako je - - = - - - - - - = p(q ~ Xo) =r .Tadaje C(X + 1) = C(X),

c2 + c3

- relacije

x=

jer je tada c2• LP(q) - c3• LP(q) = 0 . U tom slucaju isto je ako zaq=O q=X+l

optimalnu vrijednost uzmemo vrijednost Xo iii vrijednost Xo +1. To

zapravo znaci: za optimalnu vrijednost mozemo uzeti vrijednost q za koju

je kumulativna vjerojatnost jednaka r iii naredna vrijednost q za koju je


c3b)akoje p(q~Xo-1)= =r. Tadaje C(X-l)=C(X),jerje

c2 +c3

X-l co

tada -c2 ' LP(q)+c3• LP(q) = 0 . U tom slucaju je isto ako za,q=O q=X

optimalnu vrijednost uzmemo vrijednost Xo -1 iii vrijednost Xo . To

zapravo znaci, za optimalnu vrijednost mozemo uzeti vrijednost q za koju

je kumulativna vjerojatnost jednaka r ili narednu vrijednost q za koju




Oba slucaja a i b sada mozemo zajedno sistematizirati: Ako je

vrijednost k tocno jednaka jednoj kumulativnoj vjerojatnosti, recimo r ,

tada za optimalnu vrijednost mozemo uzeti vrijednost q za koju je

kumulativna vjerojatnost jednaka r ili narednu vrijednost q za koju je

kumulativna vjerojatnost jednaka narednoj vrijednosti s.

84 I v a n P A V L O V I C : K V A N T I T A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D W C IV A N J U

Primjer 2.2.

U jednoj proizvodnoj firrni imamo 100 jednakih strojeva. Promatramo

jedan dio stroja koji je podlozan kvaru. Jednogodisnjim promatranjem

ustanovili smo intenzitet kvarova tog dijela na 100 strojeva. Troskovi

skladistenja rezervnog dijela su 70 KM a troskovi hitne narudzbe su 670

KM. Utvrdili smo broj kvarova za pojedine strojeve koji prikazujemo usljedecoj tablici:

Iz tablice vidimo da, na primjer, 10 strojeva nije imalo kvara na tom

dijelu stroja, 12 strojeva su imali po jedan kvar, 19 strojeva su imali po 2

kvara, i tako dalje.

Iz tablice mozemo sada napraviti tablicu vjerojatnosti kvara strojeva,

odnosno vjerojatnost potraznje za odredeni broj dijelova.

q

°1 2 3 4 5 6 7

p(q) 0,10 0,12 0,19 0,14 0,09 0,08 0,07 0,08

I ~,08 I ~,05 1 ~~oo

Sada napravimo tablicu kumulativnih vjerojatnosti manje ili jednako od.

q

°1 2 3 4 5 6 7

p(q) 0,10 0,12 0,19 0,14 0,09 0,08 0,07 0,08

Ip(q)0,10 0,22 0,41 0,55 0,64 0,72 0,79 0,87

8 9 10

0,08 0,05 0,00

0,95 1,00 1,00

-




- Ako je

:recnno r ,

La koju je

La koju je

Sada izracunamo broj k.

k = C3 = 670 = ° 9 0 Sc2+c

370+670 '

?romatramo

pJ13.tranj em

Troskovi

su 670

tfrazuj(~mou

Broj 0,90S nalazi se izmedu brojeva 0,87 i 0,9S. Prema uvjetima

optimalnosti, koje smo ranije pokazali, optimalna kolicina je 8 komada po

jednom stroju.

Mozemo sada problem malo varirati, u smislu da mijenjamo troskove

skladistenja i hitnih nabavki. U ovom primjeru, troskovi hitnih nabavki su

znatno veci od troskova skladistenja pa je ioptimalna kolicina zaliha

relativno visoka. Ako sada promijenimo te troskove ineka su troskovi

skladistenja 120 KM a troskovi hitni nabavki 180 KM. Imat cemo:

k = c3 = 180 = ° 6c2+c

3120+180 '

Broj 0,6 nalazi se izmedu brojeva O,SS i 0,64. Sada prema uvjetimaoptimalnosti imamo da je optimalna kolicina zaliha po jednom stroju 4

komada.

Ako sada dalje variramo troskove skladistenja ihitnih nabavki tako da

troskovi skladistenja budu 1 1 2 , S KM a troskovi hitnih nabavki budu 200

KM. U tom slucaju imat cemo:

k = c3 = 200 = ° 64c

2+ c

31 1 2 , S + 200 '

Broj 0,64 jednak je tocno jednoj vrijednosti iz kumulativnog niza i

optimalna vrijednost moze biti i4 komada, ali i komada. To sada mozemo

provjeriti iz ukupnih troskova za q = 4 iq = S.

C (4 ) =112,S[4· 0,1+ 3·0,12 + 2·0,19 + 1·0,14+ 0·0,09]+



86 I v a n P A V L O V IC : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D W G IV A N J U

2.3.2. ZALIHE SA STOHASTICKOM POTRAZNJOM KADA

JE VJEROJA TNOST KONTINUlRANA

~

+ 200· [1·0,08 + 2 .0,07 + 3 .0,08 + 4·0,08 + 5 .0,05] =350

C(5) = 112,5· [0,5+ 0,48 + 0,57 + 0,28 + 0,09]+ 200· [0,07 + 0,16 + 0,24 + 0,2]

C(5) = 350. Lako mozemo provjeriti: C(3) = 378,125; C(6) = 367 .

Ako je vjerojatnost neprekidna, kontinuirana, potrebno je znati funkcijugustoce vjerojatnosti, f(q). To se moze interpretirati na primjeru rafinerije

gdje se sirova nafta trosi neprekidno, iii na primjeru silos a kada psenica iz

silosa ide neprekidno u mlin. Ukupni troskovi zaliha se tada mogu prikazati

na sljedeci nacin:

o s

(2.30)

s =

C(S) = C2 . f(S - q)f(q)dq + C3 . f(q - S)f(q)dq

gdje S predstavlja potrebnu kolicinu zaliha, C

2

su troskovi skladistenja

jedne jedinice robe i c3su troskovi hitne narudzbe jedne jedinice robe. Ako

je kolicina zaliha S veca od potrazivane kolicine q tada imamo troskove

zaliha, a ako je kolicina zaliha manja od potrazivane kolicine S tada imamo

troskove penala iii nepodmirene potraznje. U prethodnom izrazu s desne

strane imamo prvi dio koji predstavlja troskove zaliha i drugi koji

predstavlja troskove nepodmirene potraznje,

Optimalno upravljanje zalihama bit ce kada funkcija ukupnih troskova

bude imala minimum. Posto je ovo neprekidna funkcija, to ce biti kada je

derivacija te funkcije jednaka nuli. Deriviramo funkciju ukupnih troskova

po varijabli S na temelju pravila za deriviranje integrala.

s =

C(S)' =c2 . ff(q)dq + c3 . f ( - I) f (q)dq

o s




Uzmimo poznatu cinjenicu iz teorije vjerojatnosti ipravila integralnog

racuna:

cc s cc

ff(q)dq = ff(q)dq + ff(q)dq =1

o 0 S

Iz gomje jednakosti imamo:

=S

ff(q)dq = 1- ff(q)dq

S 0

Sada derivaciju funkcije ukupnih troskova izjednacimo s nulom 1

primijenimo gornju jednadzbu imamo:

s co s ( S JC2 . ff(q)dq - C3 . ff(q)dq = C2 . ff(q)dq - c3• 1- ff(q)dq = 0

o S 0 0

Kada to rijesimo imamo:

enja

.AkoS

( c 2 + c 3) ff(q)dq = c3o

Iz gomje relacijedobijemo formulu za optimalno upravljanje zalihama

kada je potraznja slucajna, a vjerojatnost neprekidna. Ta formula glasi.

(2.31)

Vrijednost So iz gomje relacije je optimalna kolicina zaliha ovog modela.



a

88 I v a n P A V L O V I C : K V A N T iT A T l V N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U C IV A N J U

Primjer 2.3.

Neka je izlaz zita iz silosa u mlin zalihe sa stohastickom potraznjom cija

je funkcija gustoce

{

Olq < 0

f(q)= a.e-aqlq20'

gdje je broj a odreden kapacitetom mlina i brzinom istjecanja zita iz silosa.

Troskovi skladistenja su c2 i troskovi hitne isporuke su c3• Optimalno

upravljanje zalihama bit ce:

[- e+aq ] ~ o = _e-aSo +1= k , e -aSo = 1- k

Kada zadnju jednakost logaritmiramo imamo:

In(e-aso )=In(l-k), -aSo =In(l-k)

Optimalna kolicina zaliha bit ce So =In(l- k )

Ako odredimo broj a iz uvjeta kako smo ranije kazali i neka je

a = 0,05 . Neka su troskovi skladistenja 40 KM a troskovi hitnih nabavki

100 KM. Tada cemo imati:

In(l- 100) In 40S =_ 140 =_ 140 =_-1,25276 =25055

o ,0,05 0,05 0,05

Ako je vrijednost broja a odredena na temelju kolicine u tonama tada

ce i optimalna kolicina So biti u tonama.



! J f J U M O D E L Z A L I H A 89

~Cija

Zadaci

2.1) Na temelju promatranja odrzavanja 200 televizora utvrdeni su

sljedeci podaci 0 zamjenama jednog dijela u tijeku jedne godine. Dobiveni

su sljedeci podaci:

Broj zamJ. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

dijelova

Broi televi. 89 40 3 0 15 9 10 6 6 2 2 0

Troskovi skladistenja rezervnog dijela stoji 15 KM . Ako treba vrsiti

hitnu nabavku to stoji 120 KM. Izracunaj koliko rezervnih dijelova po

televizoru treba drzati na skladistu da bi troskovi zaliha bili minimalni.

Izracunati minimalne troskove.

2.2) Servis odrzava specijalne strojeve. Odredeni broj rezervnih dijelova

u skladistu osigurava odrzavanje. Troskovi uskladistenja rezervnog dijela su

25 KM, a troskovi hitnih nabavki su 175 KM. Promatranjem 100 strojeva,

koji su obuhvaceni servisiranjern, utvrdeni su sljedeci podaci:

a) Utvrditi optimalnu kolicinu zaliha i troskove za tu kolicinu,

b) Utvrditi interval u kome se mogu kretati troskovi zaliha a da se ne

promijeni optimalna kolicina zaliha.

2.3) Kod jednog modela zaliha poznato je: cj = 51,99 , c2 = 0,066 ,

c3 =0,2 , Q = 384 kom. , T =360 dana. 0 kojem se modelu zaliha radi?Odrediti optimalnu kolicinu zaliha i sve odgovarajuce optimalne velicine.

2.4) U firmi ima 40 istih strojeva koje treba odrzavati. Jedan dio je

podlozen kvaru. Promatranjem u jednom periodu ustanovljeno je sljedeci

broj kvarova promatranog dijela:



90 I v a n P A V L O V I C : K V A N T IT A T IV N I M O D E L l I M E T O D E U P O S L O V N O M O D L U G IV A N J U

Odrediti sve elemente optimalnog upravljanja zalihama ako su troskovi

skladistenja 10 KM a troskovi hitnih nabavki su 30 KM.

2.5) Kod jednog mode1a zaliha s konstantnom potraznjom koja je uvijek

zadovoljena poznato je: troskovi jedne narudzbe su 120 KM, troskovi

skladistenja su 0,002 KM po jediniei vremena i jediniei nove a, eijena robe

je 23 KM, ukupna kolicina potrebnih zaliha je 840 tona, promatrano vrijemeje 360 dana. '

a) Odrediti optimalne kolicine zaliha tako da troskovi zaliha budu

minimalni.

b) Kod ugovaranja dobavljac je ponudio manju eijenu robe i to 20 KM

ako kolicina robe koju cemo preuzimati u jednakim intervalima bude

najmanje 130 tona. Odredi da li cemo prihvatiti ponudu dobavljaca.

1) Problem zaliha - opcenito.

2) MoguCipristupiproblemu zaliha,

3) Modeli zaliha.

4) Model zaliha sa kortstantnompotraznjom koja je.uvijek

zadovolj ena.

;5) Model zalihasakonstantnom'potraznjomkoja.nlJeUyiJe~"

zadovoljena.

Model zaliha kada jeukljucena cijena;

7) OptimalnoodluCivanjekacla namdobavljac nudi niZucijenuakoe

preuzjmafnoodredentr kolieinu' robe:

8)'Pojam zaliha scistohastiokom potrazrijom.

9) Vrstezaliha sa .stohastickom potraznjom,

10)Model zaliba;s~ 'stoha,~tickol1}potraznjom ~k()jevjerojatnqst

diskretna.

11)Model zalihasa stohastickorri potraznjom~ko j1vJ~rojatriQst

koritinuirana.

12)PrirPjena modelazaliha .

Documents

Model Zaliha Pavlovic2