MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK...MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK 1. Izan bedi funtzio hau: ()2 4 2 2 − − − = x x x f x i. Aurkitu eten puntuak

MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK

1. Izan bedi funtzio hau: ( )2

42

2

−−−=xx

xxf

i. Aurkitu eten puntuak.

ii. Eten punturen bat baldin bada, aurkitu alboetako limiteak eta eten mota.

iii. Determinatu funtzioaren eremua osa daitekeen, zuzen erreal osoan jarraitua

izateko moduan

i.

−==

=±=+±=⇒=−−1

22

312

811022

12

xx

xxx

Eten puntuak: x=2 eta x=-1

ii.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

34

24lim

34

12lim

1222lim

24lim

34

12lim

1222lim

24lim:2

24lim

24lim:1

2

2

2

222

2

2

222

2

2

2

2

12

2

1

=−−

−

=++=

+−+−=

−−−

=++=

+−+−=

−−−=

+ ∞=−−

−− ∞=−−

−−=

−→

−→−→−→

−→−→−→

−→−→

−+++

−−−

+−

xxxBeraz

xx

xxxx

xxx

xx

xxxx

xxxx

xxxeta

xxxx

x

xxx

xxx

xx

x=-1-an lehen motako etena jauzi infinitukoa

x=2-an eten gaindigarria

iii. Zuzen erreal osoan ezin da, x=2-an jarraitua izateko:

( )

≠

=−−

−

=2

43

22

42

2

xbaldin

xbaldinxx

x

xf

2. Kalkulatu ondorengo funtzio hauen deribatuak:

i. ( )[ ]3223sin += xy( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]222

222

23sin·23cos2318

3·23··2·23cos23sin3

+++=

=++⋅+=′⇒

xxx

xxxy

ii.

−−−=

−

−⋅+−=−⋅=2

22

2

22222

11·2·

1·2

21·21x

xxexxexexey xxxx

1


iii. ( ) ( )1

141

141ln2ln1

2ln 22

2

+−=

+−=+−=

+=′

xxxxxxx

xxy

3. Izan bedi funtzio hau: ( )

>−

≤+=

112

11

2

3 xx

xxx

xf

i. Zein puntutan da etena?. Zer motatakoa da?

ii. Deribagarria al da x=1 puntuan?, eta x=-1 puntuan?, zergatik?

( )

>−

≤+=

112

11

2

3 xx

xxx

xf

12

+xx

Ez dago definituta x+1=0 denean , hau da, x=-1 beraz, x=-1-ean etena da

12lim

12lim

12lim

12lim

1

1

1

1 +¬ ∃⇒

+ ∞=+

− ∞=+⇒

+ −→

−→

−→

−→

+

−

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x Lehen motako etena jauzi infinitukoa

x=1 denean:

( )

( ) ( ) 112limlim

122

12limlim

3

11

11 1

=−=

==+

=

→→

→→

+

−

xxfxxxf

xx

xx ( ) ( ) 11lim1

=∧=⇒→

xfxfx

jarraitua da x=1 denean

x=-1-ean ez da deribagarria

x=1

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

=

=⇒

>

≤+=

>

≤+

−+=′

+

−

61211

16

11

2

16

11

212

'

'

2

2

2

2

f

f

xx

xx

xx

xx

xxxf Beraz, ez da

deribagarria.

4. Aztertu eta irudikatu funtzio hau: ( )( ) 2

2

2−=xxxf

i. Definizio eremua:

( ) ( )∞∪∞−= ,22,Domf

ii. Ardatzekiko ebaki puntuak:

i. OX ( )00

2 2

2

=⇒=−

xxx

(0,0)-tik pasatzen da

2


ii. OY (0,0)

iii. Eskualdeak

iv. Simetriak

Ez da simetrikoa

v. Periodikotasuna Ez

vi. Asintotak

i. Horizontala: ( )1

2lim 2

2

=−

=± ∞→ x

xyx

ii. Bertikala: x=2

( ) ( )00

24

2 32

2

=⇒=−

−=′⇒−

= xx

xyxxy

( )10880

288

4 −=⇒=+⇒=−

+=′′ xxxxy

IX. Mutur erlatiboak:

( ) ( ) ( ))0,00001680 Minimoaff ⇒=>=′′

X Inflexio-puntuak ( )

−⇒=−

91,1

911 IPf

-1 0 2Eskualdeak + + +VII. monotonia - (Beherakorra) -(Gorakorra) +(B)VIII. kurbadura - (Ganbila) + (ahurra) +(ahurra)

3


5. ( ) 32001202 −+−= xxxf funtzioak irudikatzen du zenbateko mozkina duen

enpresa batek produktu baten x unitate fabrikatzeagatik.

i. Zenbat unitate fabrikatu behar ditu galerarik ez izateko

ii. Kalkulatu unitateko mozkina

iii. Zein izaten ahal den mozkinik handiena

i.

==

=±=−±=⇒

⇒=+−⇒=−+−

8040

240120

23200·4120120

0320012003200120

2

12

22

xx

x

xxxx

Fabrikatu behar ditu

40-tik 80-ra

ii.

iii. ( ) ( ) 400606001202 ==⇒=+−=′ fxxxf mozkina = 400

6. Kalkulatu a,b eta c zenbakiak ( ) cbxaxxf ++= 2 funtzioa (1,3) puntutik

pasatzen dadin eta jatorrian lehen koadranteko erdibitzailearekiko ukitzailea izan

dadin

( )( )( )

( )

( ) 03:0,1,3

0010

231

2 =+=

=====

==′+=′

=++=

xxxfdaHaucba

cfbf

baxxfcbaf

4


7. ( ) xxxxf +−= 23 2 funtzioa izanik, kalkulatu: Ardatzekiko ebaki puntuak;

mutur erlatiboak eta inflexio puntuak; monotonia; kurbadura,eta grafika.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 00

0,1,0,01012

00)1202

2223

=

⇒

=⇒=+−

=⇒=+−⇒=+−=

fpuntuaebakiikoardatzarekYxxx

xxxxxxxxf

puntuakebakiikoardatzarekX

Mutur erlatiboak

( )

=

==±=−±=⇒=+−=′

311

624

6121640143 2

x

xxxxxf

( ) ( ) ( )( ) ( )0,11,102146 =⇒>=′′⇒−=′′ ffxxf minimoa

=

⇒−=

′′

274,

31

31,

312

31 ff Maximoa

( )32046 =⇒=−=′′ xxxf

( ) IPffxf

=

⇒≠=

′′′⇒=′′′

272,

32

32,

3206

326

Hazkundea:

1/3 1+ - +

Gorakorra: ( )∞∪

∞− ,1

31, Beherakorra:

1,

31

Kurbadura:

2/3- +

Ganbila:

∞−

32, Ahurra:

∞,

32

5


8. Izan bedi funtzio hau ( )

<+≤<+

≤<−++−≤+

=

xxxxxxx

xx

xf

213201

0212252

2

2

Aztertu bere

jarraitasuna eta deribagarritasuna R osoan

Funtzioak zati bakoitzea jarraituak dira begiratu behar dugu tarteetako muturretan,

x=-2 ( ) ( ) ( ) 1lim1lim1222

===−+− −→−→

xfxffxx jarraitua

x=0 ( ) ( ) ( ) 1lim1lim1000

===+− →→

xffxffxx

x=2 ( ) ( ) ( ) 7lim5lim5222

===+− →→

xfxffxx eten puntua jauzi finitukoa, berez puntu

horretan ez da deribagarria

6


Deribagarritasuna:

( )

><<

<<−+−<

=′

232020222

22

xxxxx

x

xf Aztertu behar da x=-2 eta x=0.

( ) ( ) 2222 =−′=−′ +− ff deribagarria

( ) ( ) 0020 =′=′ +− ff Ez da deribagarria x=0 puntuan

9. cbxaxxy +++= 23 funtzioa (-1,0) puntutik pasatzen da, eta maximoa bat

daukat (0,4) puntuan. Aurkitu:

i. funtzioa

ii. minimoa

iii. inflexio puntua.

i.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) 433041

4400023

0101111

23

2

23

+−=−=⇒=++−

=⇒==⇒=′++=′

=+−+−⇔=+−+−+−=−

xxxfaa

cfbbfbaxxxf

cbacbaf

ii. Minimoa( )

( ) ( ) ( )( ) ( )0,22,21226620

063 2

=⇒=′′⇒−=′′

==

⇒=−=′

ffxxfxx

xxxf

iii. Inflexio puntua: ( )( ) 06

1066≠=′′′

=⇒=−=′′xf

xxxf(1,2)

10. Adierazi x=2 puntuan eten gaindigarria, x=1-ean eten ez gaindigarria dituen eta

x=4 puntuan jarraitua baina ez deribagarria den funtzio bat. Azaldu zergatik

gertatzen den hori puntu horietan eta adierazi grafikoa.

( ) ( )

≥−

<<−−

≤

=

442

4122

14

xx

xxxx

x

xf

7


x=2 puntuan eten gaindigarria f(2) =2 egiten badugu jarraitua da

x=1 etena jauzi infinitukoa

x=4 ez da deribagarria, aldaketa zorrotza delako.

E

11.( )

2

2

24

xxy += funtzioa grafikoki irudikatu


( ) ( )∞∪∞−= ,00,Domf


i. OX( ) ⇒=+⇒=+= 040

24 2

2

2

xx

xy Ez du soluziorik, hots, ez

da pasatzen

ii. OY Ez dago definituta

iii. Eskualdeak, beti positiboa

8


iv. Simetriak

( ) ( )( )( )

( )xfx

xx

xxf =+=−

+−=− 2

2

2

2

24

24

Y ardatzarekiko simetrikoa

v. Asintotak

i. Horizontala: 21

24lim 2

2

=+=± ∞→ xxy

x

ii. Bertikala: x=0

⇒=−=′⇒+= 042

432

2

xy

xxy Ezin da

0124

==′′x

y Ezin da

IX. Mutur erlatiboak: Ez dago

X Inflexio-puntuak ez dago

0 Eskualdeak + +VII. monotonia + Gorakorra - BeherakorraVIII. kurbadura + (ahurra) + (ahurra)

9


12. Enpresa batek badaki artikulu jakin baten unitate ekoiztearen kostua ondorengo

funtzio honek ematen duela.

( ) 100102 +−= xxxC

i. Zenbat unitate ekoiztu behar ditu kosturik txikiena lortzeko?

ii. Zein da unitateko kostuaren funtzioa

iii. Lor lezake unitateko 11ko mozkina, unitate bakoitzean 30ean salduz

i.( )( ) 50102

100102

=⇒=−=′+−=

xxxCxxxC

bost unitate ekoiztu behar dira

ii.

iii.

( )

=−=

=±−=±−=−±−=⇒

⇒=++⇒=−−−⇒⇒=−−+−⇒=+−−

425

22129

244129

240084129

0100290100290111001030111001030

22

22

xx

x

xxxxxxxxxxxx

Ezin da lortu.

13. Eratu funtzio bat aldi berean egiaztatzeko honako hauek:

• Etena da hauetan x= 3 eta x=5

• Ez da deribagarria hauetan x=1, x=3 eta x=5

• Asintota bertikal bat dauka honetan: x=3

• Asintota horizontal bat dauka honetan: y= 1

10


14. Kalkulatu ondoko funtzioen deribatuak:

• x

y x

+++=

11ln24

xxy

x

x

x

x

+−

+=

+−

+=′

−

11

24

2ln21

1

242

2ln2 1

• ( ) 32 12sin += xy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332233 12·cos12sin12122123·12·cos12sin2 +++=+++=′ xxxxxxy

• Deribatuaren definizioa aplikatuz, kalkulatu ( ) xxxf 22 −= funtzioaren

deribatua, x=2 puntuan.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( )

( ) 22lim

2lim24lim022·22·22lim

2·22222lim22lim2

0

0

2

0

22

0

22

00

=+

=+=−+=−−−++=

=−−+−+=−+=′

→

→→→

→→

hh

hhhh

hhhh

hhhhhh

hfhff

h

hhh

hh

15. Ondoko funtzioa emanda:

( )

≥+<≤−

<−=

515212

212

xxxx

xxxf

i. Adierazpen grafikoa

11


ii. Aztertu haren jarraitutasuna ℜ multzoan

Grafikoa ikusita 1. motako etena dauka x=5 puntuan jauzi finitukoa

Analitikoki ikusiko dugu: Begiratu behar dugu x=2 eta x=5-ean

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323lim

312limlim2

31limlim2

222

2

22 =∧=⇒

=−==

=−==

→→→

+

→→−

+

−

fxfxxff

xxff

xxx

xx

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇒

=+==

=−==

→→+

→→− −

61limlim5

912limlim5

55

55

xxff

xxff

xx

xx Etena

16. Izan bedi

( )

>−

≤+−

=11

111

xx

xxx

xf funtzioa

i. Aztertu bere jarraitutasuna eta deribagarritasuna

ii. Deribatuaren definizioa aplikatuz, kalkula ezazu bere deribatua x= 2

puntuan.

iii. Jarraitutasuna:

Aztertu behar dugu x=1 funtzioa aldatzen delako. Tarte bakoitza aztertuz zera daukagu:

11

+−

xx

begiratu behar da x=-1-en (x+1=0x=-1,eta x≤1 denez begiratu behar dugu).

x-1 polinomioa denez jarraitua da.

Ez dago definituta x= -1.n

12


− ∞=+−

+ ∞=+−

⇒+−

+

−

−−→

−→

−→

11lim

11lim

11lim

1

1

1

xxxx

xx

x

x

x Ez du limiterik. Funtzioak x=-1an 1. motako etena jauzi

infinitukoa.

x=1 ( ) ( ) ( )( ) ( )

=−=

=+−=

⇒=→→

→→→

+

−

01limlim

011limlim

lim0111

111 xxf

xxxf

xffxx

xxx

Jarraitua x=1-ean

Deribagarritasuna:

x=-1-ean etena denez ez da deribagarria. Orain zer gertatzen den x=1 –an, aztertu behar

da

( ) ( )

>

<+=′

11

11

22

x

xxxf

( )( )

( )( )

=

=+=′

+

−

11

21

1121

1'

2'

f

ff Ez da deribagarria

17. Adierazi grafiko batean ondoko funtzioa: ( )x

xxf 12 +=


( ) ( )∞∪∞−= ,00,Domf


i. OX ( ) 10101 32 −=⇒=+⇒=+= x

xx

xxxf

ii. OY Ez dago definituta

iii. Eskualdeak

-1 0+ - +

iv. Simetriak. Ez da simetrikoa

f(-1)=0 f(1)=2

13


v. Asintotak

i. Horizontala: ez du:

ii. Bertikala: x=0

iii. Zehiarra: ez du

( ) 2

12x

xxf −=′

( )3

12x

xf +=′′

VI Monotonia: ( ) 32

3

2 21012012 =⇒=−⇒=−=′ x

xx

xxxf

0 3

21=x

Monot - - +

Gorakorra

∞,

21

3

Beherakorra ( ) ( )+ ∞∪∞− ,00,

VII Kurbadura:

( ) 33333 2

121

2121012 −=−=⇒−=⇒−=⇒=+=′′ xx

xxxf

3

21−=x 0

Kurb + - +

Ahurra:

− 0,

21

3

Ganbila: ( )∞

−∞− ,0

21, 3

IX. Mutur erlatiboak: Minimo

889,1,

21

3

14


X Inflexio-puntuak :

−− 63,0,

21

3

18. Azter ezazu ondoren ematen den funtzioaren jarraitutasuna eta

deribagarritasuna:

( )

>+

≤<−−

−≤−

=

052

0133

2

14

2

2

2

xx

xx

x

xx

x

xf

Jarraitutasuna:

2

2

4 xx−

begiratu behar da x=-2-n (4-x2=0x=2, x=-2, baina x<-1 denez

bakarrik begiratu behar dugu x=-2)

Ez dago definituta x= -2.n

∞=−

− ∞=−⇒

−+

−

−→

−→

−→

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4lim

4lim

4lim

xxx

x

xx

x

x

x Ez du limiterik.

Funtzioak x=-2an etena

15


x=-1 ( ) ( )( )

( )

==−

=

=−

=⇒=−

−→−→

−→−→

−→

+

−

31

62

332limlim

31

4limlim

lim311 2

11

2

2

11

1

xxxf

xxxf

xff

xx

xx

x Jarraitua

xx33

2 2

− aztertu behar dugu horretarako 3-3x=0 ebatzi eta x=1 ateratzen da,

baina x= 1 ez dago (-1,0] tartean, beraz, jarraitua da (-1,0] tartean

x=0 ( ) ( )( ) ( )

( )

=−

=

=+=⇒=

→→

→−→

→−

+

033

2limlim

552limlimlim00 2

00

00

0

xxxf

xxfxff

xx

xx

x Ez du limiterik.

Funtzioak x=-2an 1. motako etena jauzi finitukoa.

Deribagarritasuna:

( )( )

( )( )

>

<<−−

+−

−<−

=′

02

0133

6332

14

8

2

2

22

x

xx

xxx

xxx

xf

Aztertu behar dugu zer gertatzen den x=-1 –an. x=0-an etena duenez ez da

deribagarria.

x=-1 ( )

( )

−=−=−′

−=−′

+

−

61

3661

981

f

f ez du deribaturik, orduan ez da deribagarria puntu

honetan

19. Kalkulatu funtzio hauen deribatuak.

i. xxy ·sin32 +=

ii. ( )x

xyln

22 −=

iii. 123 2 5 ++= xxy

16


i. xxx

xxxxx

xxy

xxy

cos3sin3

cos3sin32

2·sin3

2

2

2

2

2

+++

=+++

=′

+=

ii.

( )

xxxx

xx

xxxy

xxy

ln22

ln

2ln2

ln2

2

2

2

−−=

−−=′

−=

iii. 33 4

123 2

32

3

25

xxxy

xy x

==′

+= +

20. Funtzio hau daukagu: ( ) ( ) ( ) 212 −+= xxxf . Aurkitu:

i. Eremua eta ardatzekiko ebakidurak

ii. Maximoak eta minimoak

iii. Hazkundea eta beherapena

iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna

v. Marraztu bere grafikoa

i. ( )+ ∞∞−= ,Domf

X-ardatzarekiko ebaki puntuak: ( ) ( ) 1,2012 2 =−=⇒=−+ yxxx

(-2,0) eta (1,0)

Y-ardatzarekiko ebaki puntua x=0 y=2, (0,2)

ii.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23242212212 322322 +−=+−++−=+−+=−+= xxxxxxxxxxxxxf

( ) 1033 2 ±=⇒=−=′ xxxf

( ) +=−′ 2f ( ) −=′ 0f ( ) +=′ 2f

(-1,4) Maximoa

(1,0) minimoa

iii Gorakorra ( ) ( )+ ∞−∞− ,11, Beherakorra ( )1,1−

iv ( ) 006 =⇒==′′ xxxf

( ) −=−′′ 1f ( ) +=′′ 1f

17


vi. Ahurra ( )∞,0 Ganbila ( )0,∞−

21. Funtzio hau daukagu ( )2

2

92xxxf

−= , kalkulatu:

i. Eremua eta ebaki-puntuak ardatzekin

ii. Asintotak

iii. Hazkunde eta beherapen-tarteak. Maximoak eta minimoak

iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna. Inflexio puntuak

v. Lortutako datuekin, marraztu grafikoa

i. ( ) ( ) ( )+ ∞∪−∪−∞−= ,33,33,Domf

X-ardatzarekiko ebaki puntuak (0,0)

Y-ardatzarekiko ebaki puntua (0,0)

ii. Asintotak

Asintota horizontala: 292lim 2

2

−=−

=± ∞→ x

xyx

Kokapena: ( ) −

−=

−−

− 22

2

9182

92

xxx

Azpitik

Asintota bertikalak x=3; x=-3

+ ∞=−−→ 2

2

3 92limxx

x ; − ∞=

−+→ 2

2

3 92limxx

x

18


− ∞=−−−→ 2

2

3 92limxx

x ; + ∞=

−+−→ 2

2

3 92limxx

x

iii. ( )2

2

92xxxf

−= ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 009

36

9

2·2942222

22

=⇒=−

=−

−−−=′ xx

x

x

xxxxxf

-3 0 3- - + +

Gorakorra ( ) ( )∞∪ ,33,0

Beherakorra ( ) ( )0,33, −∪−∞−

iv.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

daezinxx

x

x

xxx

x

xxxxxf

0324108

09

324108

9

1449369

9

36922936

2

32

2

42

222

42

222

=+⇒

=−

+=−

+−−=−

−−−−=′′

-3 3- + -

Ahurra ( )3,3− Ganbila ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,33,

Ez du inflexio-punturik

19


22. Nafarrroan, animalia espezie baten eme-kopuruak, urtetik urtera bilakaera hau

izaten du ( ) 50090060 23 ++−= ttttP ekuazioaren arabera, non t pasatutako

denbora baita, urteetan, azterketa hasi zenetik.

i. Zenbat eme zegoen azterketa hasi zenean?

ii. Zer urtetan izan zen emerik gutxien?

iii. Zer alditan handiagotzen da populazio horren eme-kopurua?

i. t=0P(0)=500 eme

ii. ( ) 03004009001203 22 =+−⇒=+−=′ tttttP

==

=±=−±=1030

22040

21200160040

2

1

tt

t

0 10 30+ - +

t=30 minimoa ( ) 50050030·90030·603030 23 =++−=P eme. Orduan

hasieran eta 30. urtean

iii. Hasieratik 10. urtera. 30. urtetik aurrera

23. Funtzio hau daukagu:

( )

≥+<≤−

<−=

515312

342

xxxx

xxxf

i. Aztertu bere jarraitutasuna eta deribagarritasuna ℜ guztian

ii. Irudikatu

iii. Deribatuaren definizioa erabiliz, kalkulatu deribatua x= 2 puntuan

i. Jarraitutasuna:

Hiru zati ditu, eta hiruak polinomioak, orduan jarraituak dira bakoitzari dagokion zatian.

Muturrak aztertu behar ditugu, hau da, x=3, x=5

x=3

I ( ) 513·23 =−=f

20


II ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5lim

512limlim

54limlimlim

333

2

33

3=⇒

=−=

=−==

→→→

→→

→+

−xf

xxf

xxfxf

xxx

xx

x

III ( ) ( ) 5lim33

==→

xffx f(x) jarraitua x=3

x=5

I ( ) 6155 =+=f

II

( )( ) ( )( ) ( ) ( )xfdagoEz

xxf

xxfxf

xxx

xx

x 555

55

5lim

61limlim

912limlimlim

→→→

→→

→⇒

=+=

=−==

+

−

Etena x=5-ean

Deribagarritasuna: x=5-ean ez da deribagarria jarraitua ez delako.

Deribatua kalkulatuko dugu

( )

≥<<

<=′

51532

32

xx

xxxf

Hiru zati deribagarriak eta x=3 aztertu behar dugu.

( ) ( ) 2363·23 =′==′ +− ff ez da deribagarria

21


ii.

iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 44lim

4lim444lim042lim22lim2

0

0

2

0

2

00

=+

=+=−++=−−+=−+=′

→

→→→→

hhhh

hhh

hh

hfhff

h

hhhh

24. Aurkitu 3. mailako funtzio polinomiko bat: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 , inflexio

puntua (0,1) puntuan daukana eta mutur erlatibo bat (1,-1) puntuan.

(0,1) inflexio puntua: x=0 y=1 eta ( ) 00 =′′f

f(0)=1 ( ) 10 =⇒= ddf

( ) ( ) baxxfcbxaxxf 2623 2 +=′′⇒++=′ ( ) 13 ++= cxaxxf

( ) 020 =⇒=′′ bbf

22


(1,-1) mutur erlatiboa: x=1, y=-1 eta ( ) 01 =′f

( )( )

3122203

111031

−=⇒=⇒=

−=+=+

⇒

−=++==+=′

caacaca

cafcaf

( ) xxxf .33 −=

24. Idatzi x=-1 puntuan eten saihestezin bat daukan funtzio bat, x=2 puntuan eten

saihesgarri bat daukana eta x=4 puntuan jarraitua dena baina ez deribagarria. Azaldu

zergatik den horrelakoa puntu horietan. Marraztu funtzio horren grafikoa

( )

≥

<<=

<+

=

bada43

3-xbada4x21/3bada24

bada21

1

x

x

xx

xf x=-1 ( )( ) + ∞=

− ∞=

+

−

−→

−→

xf

xf

x

x

1

1

lim

limeten saihestezina

x=2

( )

≥

<<=

<+

=

bada43

3-xbada4x21/3bada23/1

bada21

1

x

x

xx

xf Orduan f jarraitua x=2-n

( )( ) ( ) )2(3/1lim

3/1lim

3/1lim

22

2 fxfxf

xf

xx

x ==⇒

=

=

→→

→

+

−

x=4 jarraitua ( )( ) ( ) )4(3/1lim

3/1lim

3/1lim

44

4 fxfxf

xf

xx

x ==⇒

=

=

→→

→

+

−

( ) ( ) 3/1404 =′=′ +− ff Ez da deribagarria

23


25. Kalkulatu funtzio hauen deribatuak:

i. ( ) ( )xxxxf += ln

ii. ( ) ( )25sin3

+⋅= xexg x

iii. ( )3

2

+=

xxxh

i.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxf

++++=

+

+++=′

⇒+=

212ln2

11·ln

ln

ii.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25cos525·sin325cos525·sin·3

25sin22 333

3

+⋅++=+⋅++=′

+⋅=

xxxexexexxg

xexgxxx

x

iii.

( )

( ) ( ) ( )( )( ) 332

34332

34

332

32

3

2

2

2

2

++++=

++++=

++

++⋅=′

+=

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xh

xxxh

26. Izan bedi funtzio hau ( )4

3 2

−=xxxf , kalkulatu:

i. Eremua eta ebaki-puntuak ardatzekin

ii. Asintotak

24


iii. Hazkunde eta beherapen-tarteak. Maximoak eta minimoak

iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna. Inflexio puntuak

v. Lortutako datuekin, marraztu grafikoa

i. ( ) ( )+ ∞∪∞−= ,44,Domf

X-ardatzarekiko ebaki-puntuak 004

3 2

=⇒=−

xxx (0,0)

Y-ardatzarekiko ebaki-puntuak (0,0)

ii. Asintotak

Asintota Horizontala ± ∞=−± ∞→ 4

3lim2

xx

x Ez du

Asintota bertikala: x=4 + ∞=−

− ∞=− +− →→ 4

3lim4

3lim2

4

2

4 xxeta

xx

xx

Asintota zeiharra: 4

481234

3 2

−++=

− xx

xx

Kokapena: ( )+=−+ ∞→

04

48limxx

Gainetik ( )−=−∞→

04

48limxx

Azpitik

iii. ( )4

3 2

−=xxxf

( ) ( )( ) ( )

( )

==

⇒=−

⇒=−⇒=−−=

−−−=′

80

083

024304243

4346 2

2

2

2

2

xx

xx

xxx

xxx

xxxxf

0 4 8+ - - +

Maximo (0,0) minimo (8,48)

Gorrakorra ( ) ( )+ ∞∪∞− ,80, Beherakorra ( ) ( )0,44,0 ∪

iv.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) daezinx

xxxxxx

xxxxx

xxxxxx

xxxxxxxf

04

964

48696242464

243242464

2432424644

243424246

3

3

22

3

2

4

2

4

22

=−

=

=−

+−+−−=−

−−−−=

=−

−−−−−=−

−−−−−=′′

4

25


- +Ahurra ( )+ ∞,4 Ganbila ( )4,∞− Ez du inflexio-punturik

27. Gaixotsun infekzioso batek kutsatu dituen pertsonen kopurua, milakoetan

emanda, ondoko funtzioak ematen du: ( )9

32 +

=tttF non t kutsadure hasi zenetik

pasatu den denbora baita, egunetan.

i. Zer egunetan egongo da gaixorik gehien, eta zenbat izango da?

ii. Baiezta daiteke gaixotasuna desagertzen joango dela denbora pasatu ahala?

Arrazoitu erantzuna.

i. Maximoa kalkulatu behar dugu. Horretarako ( ) 0=′ tF egiten dugu

( ) ( ) 3027309273

9693 2

2

2

2

22

±=⇒=+−⇒=+

+−=+

−+=′ tttt

ttttF

t=-3-k ez du zentzurik.

t=3 F(t)=9/18=0,5500 pertsona

Bai, 09

3lim 2 =++ ∞→ tt

t delako

26

Documents

MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK...MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK 1. Izan bedi funtzio hau: ()2 4 2 2 − − − = x x x f x i. Aurkitu eten puntuak