92
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

  • Upload
    others

  • View
    30

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

3. KOADERNOA:

Aldagai anitzeko funtzioak

Eugenio Mijangos

Page 2: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara
Page 3: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

3. KOADERNOA:

ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK

Eugenio Mijangos

Matematika Aplikatua,

Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila

Zientzia eta Teknologia Fakultatea

Euskal Herriko Unibertsitatea

Leioan, 2006ko irailean

Page 4: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara
Page 5: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

Aurkibidea

3. Aldagai anitzeko funtzioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Balio errealeko funtzioen geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.1.1. Gainazal koadrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.1.1. Elipsoidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.1.2. Hiperboloide azalbakarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1.3. Azalbiko hiperboloidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1.4. Konoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1.5. Paraboloide eliptikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.1.6. Paraboloide hiperbolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.1.7. Zilindro parabolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1.8. Zilindro eliptikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1.9. Zilindro hiperbolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Limiteak eta jarraitutasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1. Kontzeptu topologiko batzuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2. Limitearen definizioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3. Funtzioen konposizioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Diferentziazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Deribatuen propietateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5. Gradienteak eta norabide-deribatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6. Deribatu partzial iteratuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7. Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8. Taylor-en formulak. Goi-ordenako deribatuak . . . . . . . . . . . . . 63

3.8.1. Taylor-en lehen mailako formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8.2. Taylor-en bigarren mailako formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9. Mutur lokalak eta globalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak . . 733.9.2. Mutur globalak bilatzeko prozedura . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.10. Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

iii

Page 6: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara
Page 7: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

3. koadernoa

Aldagai anitzeko funtzioak.

Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentzialaaldagai anitzeko funtzioetara hedatzen da.

3.1. Balio errealeko funtzioen geometria.

Definizioa.

Izan bedi f : A ⊂ IRn → IRm. Honelako funtzio bati, m = 1 bada,funtzio eskalar deitzen zaio. Adibidez:

f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−3/2.

Normalean, A-k f funtzioaren definizio-eremua adierazten du.

Espazioko A eskualde bateko tenperatura adierazten duen funtzioa motahorretakoa da, hots: T : A ⊂ IR3 → IR; honela, T (x, y, z)-k adieraztendu tenperatura (x, y, z) puntuan.

f -ri, m > 1 bada, funtzio bektorial deritzogu. Adibidez: IR6-tik IR2-rakofuntzioa:

f(x) = f(x1, x2, x3, x4, x5, x6)

= (x1x2x3x4x5x6,√

x21 + x2

6).

Fluido bat espazioan zein abiaduratan mugitzen den zehazteko, V :IR4 → IR3 funtzioa behar da; funtzio horretan ~V (x, y, z, t) abiadura-bektorea da espazioko (x, y, z) puntuan t unean.

Definizioa.

Izan bedi f : U ⊂ IRn → IR.IRn+1-eko (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) puntuen multzoari f -ren irudika-pen edo grafiko deitzen diogu.Adibidez, n = 1 kasurako irudikapena IR2-ko kurba bat da. Aldiz,n = 2-rako irudikapena IR3-ko gainazal bat da.

1

Page 8: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

2 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

n = 3 kasuan zailagoa da IR4-ko multzoak irudikatzea; horregatik sartzenda sestra-multzoaren ideia.

3.1. irudia. (a) f(x) funtzio baten grafikoa; (b) f(x, y)funtzio baten grafikoa.

3.1. adibidea. Har dezagun f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 funtzioa. Sestra-multzoa da IR3-ko azpimultzo bat non f konstantea baita, hau da,

x2 + y2 + z2 = 1

f -ren sestra-multzo bat da. 1 erradioko esfera gisa irudika dezakegu.Ondorioz, sestra-multzo horiek funtzio baten portaera edo egitura adier-azten digute.

Sestra-multzoak bi aldagaiko funtzioekin, f(x, y), erabiltzen badira, sestra-kurba deritzegu. Adibidez, mapa topografiko bateko sestra-kurbak; altuerakonstante bat adierazten dute. xy planoaren gaineko muino baten ka-suan, sestra-kurba guztiek h(x, y) funtzioari buruzko ideia argi bat ema-ten digute; muinoko (x, y) puntuen altuera adierazten dute.

3.2. irudia. Funtzio baten sestra-kurbak.

Definizioa.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 9: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 1. Balio errealeko funtzioen geometria. 3

Izan bitez f : U ⊂ IRn → IR eta c ∈ IR. Orduan, f(~x) = c betetzenduten ~x ∈ U puntuen multzoari c balioko sestra-multzo izena ematenzaio,

. n = 2 bada, c balioko sestra-kurba deitzen zaio, eta

. n = 3 bada, c balioko sestra-gainazal deitzen zaio.Sinboloak erabiliz, c balioko sestra-multzoa honela adierazten da:

{~x ∈ U | f(~x) = c} ⊂ IRn.

Ohartu sestra-multzoa beti definizio-eremuan dagoela.

3.2. adibidea. Deskribatu f(x, y) = x2 + y2 funtzio koadratikoarenirudikapena.

Ebazpena. Haren irudikapena z = x2 + y2 biraketa-paraboloidea da,jatorritik gorantz orientatuta eta biraketa-ardatza z ardatza duena.

3.3. irudia. f(x, y) = x2 + y2 funtzioaren sestra-kurbak.

3.4. irudia. Aurreko irudiaren sestra-kurbak grafikorainogarraiatuta.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 10: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

4 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

• c < 0-rako, ez dago c-sestra-kurbarik; eta

• c > 0-rako, {(x, y) | x2 + y2 = c} c-sestra-kurben multzoa da, hau da,O-zentroko eta

√c erradioko zirkuluen multzoa. Beraz, xy planoaren

gaineko c altueraraino altxatuz, sestra-kurba√

c erradioko zirkulu batda, eta itxura paraboliko hartzen du.

Ebakitze-metodoa.- f -ren grafikoaren ebakidura bat lortzen da grafikoaplano (bertikal) batez ebakiz. Adibidez, f(x, y) = x2 + y2 funtzioarenirudikapena IR3-ko P1 ≡ {y = 0} planoaz —hots, xz planoaz— ebakiz,multzo hau lortzen da:

P1 ∩ f − ren grafikoa = P1 ∩ biraketa-paraboloidea

= {(x, y, z) | y = 0, z = x2};

xz-ko parabola da. Era berean, P2 ≡ {x = 0} planorako —hau da, yz

planorako—, zera dugu:

P2 ∩ biraketa-paraboloidea = {(x, y, z) | x = 0, z = y2}

yz-ko parabola da. Normalean, gutxienez ebakidura bat kalkulatzeaegokia izaten da sestra-multzoek emandako informazioa osatzeko.

3.5. irudia. f(x, y) = x2 + y2 funtzioaren bi sekzio.

3.3. adibidea. f(x, y) = x2 − y2 funtzio koadratikoaren irudikapenaparaboloide hiperboliko edo zeladura deitzen da, eta O puntuan du ja-torria. Irudikatu.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 11: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 1. Balio errealeko funtzioen geometria. 5

Ebazpena. Gainazal hau irudikatzeko, lehenengo marraztu sestra-kurbak. Horretarako, x2 − y2 = c ekuazioa ebatzi behar da. Har ditza-gun c = 0. ± 1, ±4 balioak.

- c = 0 bada, y = ±x zuzenak ditugu.- c = 1 bada, x2 − y2 = 1 hiperbola dugu; x ardatza bertikalki

zeharkatzen du (±1, 0) puntuetan.- c = 4 bada, x2 − y2 = 22 hiperbola dugu; x ardatza bertikalki

zeharkatzen du (±2, 0) puntuetan.- c = −1 bada, x2−y2 = −1 hiperbola dugu; y ardatza horizontalki

zeharkatzen du (0,±1) puntuetan.

3.6. irudia. f(x, y) = x2 − y2 funtzioaren sestra-kurbak.- c = −4 bada, x2 − y2 = −22 hiperbola dugu; y ardatza hori-

zontalki zeharkatzen du (0,±2) puntuetan.

Orain, datuak osatzeko, bi ebakidura kalkulatuko ditugu:- xz planoarekin,

P1 ∩ f − ren grafikoa = {(x, y, z) | y = 0, z = x2};

gorantz zabaltzen den parabola da.- yz planoarekin,

P2 ∩ f − ren grafikoa = {(x, y, z) | x = 0, z = −y2};

beherantz zabaltzen den parabola da.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 12: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

6 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.7. irudia. f(x, y) = x2 − y2 funtzioaren sestra-kurbakharen grafikoan.

3.1.1. Gainazal koadrikoak.IR3-an ekuazio mota hau duten gainazalak koadrika deitzen dira:

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

+ 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

non aij guztiak zenbaki errealak diren.

3.1.1.1. Elipsoidea.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−4−2

0 2

4

X

−4−2

0 2

4Y

−4−2 0 2 4

Z

3.8. irudia. x2/4 + y2/25 + z2/4 = 1 elipsea.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 13: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.1.1.2. Hiperboloide azalbakarra. 7

. O(0, 0, 0)-an zentratuta dago eta simetrikoa da plano koordenat-uekiko.

. Ardatz koordenatuek (±a, 0, 0), (0,±b, 0) eta (0, 0,±c) erpinetanebakitzen dute.

. Gainazala |x| ≤ a, |y| ≤ b, |z| ≤ c paralelepipedoak bornatzen du.

. Plano koordenatuekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. a, b eta c ardatzerdien luzerak dira.

. Bi ardatzerdik luzera berdina badute, biraketa-elipsoidea da. Hirurenluzera berdina bada, esfera bat dugu.

3.1.1.2. Hiperboloide azalbakarra.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−3−2

−1 0

1 2

3

X

−3−2

−1 0

1 2

3

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

3.9. irudia. x2/0.4 + y2/0.4− z2/8 = 1 hiperboloide azal-bakarra.

. O(0, 0, 0)-an zentratuta dago eta simetrikoa da plano koordenat-uekiko.

. Ardatz koordenatuek (±a, 0, 0) eta (0,±b, 0) erpinetan ebakitzendute.

. Ez da bornatua.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. a = b bada, biraketa-hiperboloidea dugu.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 14: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

8 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.1.1.3. Azalbiko hiperboloidea.

Koadrika honen ekuazio bat hau da:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= −1.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−3−2

−1 0

1 2

3

X

−3−2

−1 0

1 2

3

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

3.10. irudia. x2/0.08+y2/0.08−z2/2 = −1 azalbiko hiper-boloidea.

. Gainazalak bi zati ditu: bata z ≥ c denean eta bestea z ≤ −c denean

. O(0, 0, 0)-an zentratuta dago eta simetrikoa da plano koordenat-uekiko.

. x ardatzak (0, 0,±c) erpinetan ebakitzen du.

. Ez da bornatua.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. a = b bada, biraketa-hiperboloidea dugu.

3.1.1.4. Konoa.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2= z2.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 15: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.1.1.5. Paraboloide eliptikoa. 9

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

3.11. irudia.x2

(1/8)2+

y2

(1/6)2= z2 konoa.

. Gainazalaren erpina O(0, 0, 0) da.

. Simetrikoa da plano koordenatuekiko.

. Ez dago bornatuta.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. xy planoarekiko ebakidura O(0, 0, 0) da.

. xz eta yz planoekiko ebakidurak z = ±x/a eta z = ±y/b dira,hurrenez hurren.

. a = b bada, biraketa-konoa dugu.

3.1.1.5. Paraboloide eliptikoa.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2= z.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4

3.12. irudia. x2 + y2 = z paraboloide eliptikoa.

. Gainazalaren erpina O(0, 0, 0) da, eta xy planoaren gainetik dago.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 16: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

10 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

. Simetrikoa da xz eta yz plano koordenatuekiko, beraz z ardatzarekikoere bai.

. Ez dago bornatuta.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. xy planoarekiko ebakidura O(0, 0, 0) da.

. xz eta yz planoekiko ebakidurak parabolak dira.

. a = b bada, biraketa-paraboloidea da.

3.1.1.6. Paraboloide hiperbolikoa.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2− y2

b2= z.

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

3.13. irudia. x2 − y2 = z paraboloide hiperbolikoa.

. Simetrikoa da xz eta yz plano koordenatuekiko, beraz, z ardatzarekikoere bai.

. Ez dago bornatuta.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak parabolak dira.

. O koordenatu-jatorria minimo puntua da xz planoarekiko ebakidu-rarako. Hots, z = x2

a2 parabolarako.

. O koordenatu-jatorria maximo puntua da yz planoarekiko ebakidu-rarako. Hots, z = −y2

b2 parabolarako.

. Hori dela eta, O puntua minimax edo zeladura-puntu deitzen da.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 17: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.1.1.9. Zilindro hiperbolikoa. 11

3.1.1.7. Zilindro parabolikoa.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2 = 4cz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

X

0 1

2 3

4 5

6

Y

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4

Z

3.14. irudia. x2 = z zilindro parabolikoa.

3.1.1.8. Zilindro eliptikoa.

Koadriko honen ekuazio bat:

x2

a2+

z2

b2= 1.

−1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

Z

3.15. irudia. x2 + z2 = 1 zilindro eliptikoa.

3.1.1.9. Zilindro hiperbolikoa.

Koadriko honen ekuazio bat:

x2

a2− z2

b2= 1.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 18: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

12 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−8−6

−4−2

0 2

4 6

8

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

−10

−5

0

5

10

Z

3.16. irudia. x2 − z2 = 1 zilindro hiperbolikoa.

3.2. Limiteak eta jarraitutasuna.

3.2.1. Kontzeptu topologiko batzuk.

Definizioa.

Izan bitez ~x0 ∈ IRn eta r zenbaki erreal positibo bat. Orduan, ‖~x−~x0‖ <

r baldintza betetzen duen ~x-ren multzoari r erradioko eta ~x0 zentrokobola ireki deritzogu.

3.17. irudia. Bolen itxura.

Bola hori adierazteko, Dr(~x0) = {~x ∈ IR | ‖~x−~x0‖ < r} (edo Br(~x0))notazioa erabiltzen da, eta ~x0-tik r baino distantzia gutxiagora daudenIRn-ko ~x puntuen multzoa da.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 19: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.1. Kontzeptu topologiko batzuk. 13

Definizioa.

Izan bedi U ⊂ IRn. U multzoa ireki deitzen da U -ko ~x0 guztietarakoDr(~x0) bola bat existitzen bada, eta bola hori U -ren azpimultzoa bada.

3.18. irudia. ∀~x0 ∈ U , U irekia bada, bola bat sartzen da.~x gaia barnean daukan U multzo irekiari ~x-ren ingurune deitzen diogu.

Definizioa.

Izan bedi A ⊂ IRn. Orduan, ~x ∈ IRn A-ren muga-puntua da baldin~x-ren ingurune guztiek A-ko puntu bat eta A-tik kanpoko puntu batbadauzkate.

Intuitiboki, zera adierazten du: A-ren muga-puntu bat A-ren ertzekopuntu bat dela.

3.4. adibidea.

(a) Izan bedi A = (a, b) ⊂ IR. Orduan, A-ren muga-puntuak a eta b

dira.

(b) Izan bedi A = Dr(x0, y0) ⊂ IR2 bola. Orduan, A-ren muga-puntuenmultzoa

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

zirkunferentzia da.(c) Izan bedi A = {(x, y) ∈ IR2 | x > 0} ⊂ IR2. Orduan, A-ren muga-

puntuen multzoa y ardatza da.(d) Izan bedi A = Dr(~x0) \ {~x0} ⊂ IR2, alegia, bola hau ~x0-an zulatuta

dago. Orduan, ~x0 A-ren muga-puntua da.

Hemendik aurrera, f funtzio baten definizio-eremua multzo irekia izangoda. Orain gure asmoa da aurkitzea f -ren limitea ~x → ~x0 denean, non~x0 A-ren barneko puntua edo A-ren muga-puntua baita.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 20: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

14 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Hemen f : IR → IR funtzioen limitearen kontzeptua orokortzen da ~f :IRn → IRm funtzioetara.

3.2.2. Limitearen definizioa.Izan bedi ~f : A ⊂ IRn → IRm, non A multzo irekia baita. Izan bedi~x0 edo A-ren barneko puntua edo A-ren muga-puntua, eta izan bediN ⊂ IRm ~b-ren ingurune bat.

Definizioa.

~b-ren edozein N ingurunetarako, ~x-k ~x0-rantz jo ahala, ~f(~x)-k N ingu-runean bukatzera jotzen badu (hau da, “~f(~x), ~b-tik hurbil dago, ~x, ~x0-tik hurbil badago”), orduan esango dugu ~f(~x)-k ~b-rantz jotzen duela~x-k ~x0-rantz jotzen badu.

Ohartu ez dela beharrezkoa ~f(~x0) existitzea.

3.19. irudia. Limitearen definizioaren geometria.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 21: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.2. Limitearen definizioa. 15

Gauza bera esan dezakegu adierazpen matematiko hauek erabiliz,

lim~x→~x0

~f(~x) = ~b

edo~f(~x) → ~b ~x → ~x0 denean.

Definizioa.

~f(~x)-k ez badu jotzen puntu batera ~x-k ~x0-rantz jotzen duenean,esaten da lim

~x→~x0

~f(~x) ez dela existitzen.

Jarraian, limitearen definizioa emateko beste era bat ikusiko dugu.

Definizioa.

Izan bedi ~f : A ⊂ IRn → IRm eta izan bedi ~x0 A-ko puntu bat edo A-renmuga-puntu bat. Orduan, lim

~x→~x0

~f(~x) = ~b baldin eta soilik baldin

∀ε > 0 ∃δ > 0 | 0 < ‖~x− ~x0‖ < δ ⇒ ‖~f(~x)−~b‖ < ε.

3.20. irudia. ε-δ-ren bidezko limite-definizioaren geometria.

3.1. teorema. Limiteen bakartasuna.

Izan bitez ~f : A ⊂ IRn → IRm eta ~x0 (A-ko puntu bat edo A-ren muga-puntu bat). Baldin lim

~x→~x0

~f(~x) = ~b1 eta lim~x→~x0

~f(~x) = ~b2 badugu, ~b1 = ~b2.

Hau da, aldagai bateko funtzioetarako bezala, limitea, existitzen bada,bakarra da. Ondorioz, kalkulatu nahi badugu lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y), limite

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 22: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

16 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

honek existitzekotan, askea izan behar du (x, y) (x0, y0)-ra hurbiltzenduen bidearekiko. Esate baterako, g : IR → IR funtzio jarraitu bat badanon y0 = g(x0); honek gertatu behar du:

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l bada, limx→x0

f(x, g(x)) = l izan behar du.

3.5. adibidea. Frogatu lim(x,y)→(0,0)

xy + y3

x2 + y2ez dela existitzen.

Ebazpena.

x = 0 zuzenean zehar, f(x, y) = f(0, y) = y → 0, (x, y) → (0, 0) denean.y = 0 zuzenean zehar, f(x, y) = f(y, 0) = x → 0, (x, y) → (0, 0) denean.Baina y = 2x zuzenean zehar, (x, y) → (0, 0) denean hau dugu:

f(x, y) = f(x, 2x) =2x2 + 8x3

x2 + 4x2=

2x2 + 8x3

5x2=

25

+85x → 2

5.

Beraz f funtzioak ez du limiterik (0, 0) puntuan.

3.6. adibidea. lim(x,y)→(0,0)

x2y2

x4 + y4.

Ebazpena.

Argi ikusten denez, (0, 0) puntua y = mx motako zuzenetan dago. Be-raz, aurreko limitea existitzen bada honen berdina izan behar du m

guztietarako:

limx→0

x2(mx)2

x4 + (mx)4= lim

x→0

m2x4

x4(1 + m4)= lim

x→0

m2

1 + m4=

m2

1 + m4,

baina, m-ren balioa aldatzen bada, limitearen balioa ere aldatzen da.Beraz, funtzioak ez du limiterik (0, 0) puntuan.

Metodo horri limite erradialen kalkulua deritzogu. Ohartu limite erra-dial guztiak berdinak izan eta limitea ez existitzea gerta daitekeela.

3.7. adibidea. lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x2 + y.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 23: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.2. Limitearen definizioa. 17

Ebazpena. Hauek dira limite erradialak ∀m:

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x2 + y= lim

x→0

x2 + (mx)2

x2 + (mx)= lim

x→0

x2(1 + m2)x(x + m)

= limx→0

x1 + m2

x + m= 0.

Hala ere, y = x2 “bidea” hartzen badugu, hau dugu

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x2 + y= lim

x→0

x2 + (x2)2

x2 + x2= lim

x→0

x2(1 + x2)2x2

= limx→0

12(1+x2) =

12.

Limiteak bakarra izan behar duenez, limite hau ez da existitzen.

Jarraian azaltzen den teoremak limitearen existentziarako baldintza be-harrezko bat ematen digu.

3.2. teorema.

Baldin

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l bada, orduan

limx→x0 [limy→y0 f(x, y)] = l

eta

limy→y0 [limx→x0 f(x, y)] = l.

limx→x0

[lim

y→y0f(x, y)

]eta lim

y→y0

[lim

x→x0f(x, y)

]limiteei limite iteratu deitzen

diegu.

Oharra. Limite iteratu bat ez bada existitzen edo limite horiek des-berdinak badira, limite bikoitza ez da existitzen.

3.8. adibidea. Aztertu lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2-ren existentzia.

Ebazpena. Limite iteratuek hau ematen dute:

limx→0

[limy→0

x2 − y2

x2 + y2

]= lim

x→0

x2

x2= 1

eta

limy→0

[limx→0

x2 − y2

x2 + y2

]= lim

y→0

−y2

y2= −1.

Bi limiteak desberdinak direnez, limite bikoitza ez da existitzen.

Oharra. Hala eta guztiz ere, ez ahaztu baldintza hori beharrezkoadela baina ez nahikoa.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 24: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

18 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.9. adibidea. Aztertu lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2-ren existentzia.

Ebazpena. Limite iteratuek hau ematen dute:

limx→0

[limy→0

xy

x2 + y2

]= lim

x→0

0x2

= 0

eta

limy→0

[limx→0

xy

x2 + y2

]= lim

y→0

0y2

= 0.

Hau da, bi balioak berdinak dira. Baina, limite erradialak (y = mx)kalkulatzen baditugu, hau dugu:

lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2= lim

x→0

xmx

x2 + (mx)2=

m

1 + m2;

m-ren balio desberdinetarako balio desberdinak hartzen ditu. Beraz,limite bikoitza ez da existitzen kasu honetan ere.

Ikus dezagun orain baldintza nahiko bat.

3.3. teorema. Maiorante funtzioaren irizpidea.

Baldin g : A ⊂ IR2 7→ IR existitzen bada, non

(i) lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = l,

(ii) |f(x, y)− l| ≤ |g(x, y)− l|,orduan

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l.

Frogantza.

(i) hipotesiarekin,

∀ε > 0 ∃δ > 0 non 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ ‖g(x, y)− l‖ < ε.

Eta (ii) hipotesiarekin,

|f(x, y)− l| ≤ |g(x, y)− l| < ε.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 25: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.2. Limitearen definizioa. 19

Ondorioz,lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = l.

3.10. adibidea. Aurkitu lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

.

Ebazpena. Limite erradialak kalkulatuz:

lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

= limx→0

xmx√x2 + (mx)2

= limx→0

mx2

√x2(1 + m2)

= limx→0

mx√1 + m2

= 0.

Beraz, limitea existitzekotan, zero izan behar du.Ikus dezagun teoremako baldintzak betetzen dituen g(x, y) funtzio batexistitzen dela.

|f(x, y)− 0| =∣∣∣∣∣

xy√x2 + y2

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

xy√x2

∣∣∣∣ ≤ |y|.

Hau da, problema honetan g(x, y) = y, eta 3.3. teoremako baldintzakbetetzen ditu, zeren lim

(x,y)→(x0,y0)y = 0 eta |f(x, y) − 0| ≤ |y − 0|.

Ondoriozlim

(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0.

Jarraian, beste baldintza nahiko bat ikusiko dugu. Hau da, limite erradial(edo limite iteratu) baten bidez lortutako l limitea benetako limitea delaegiaztatzen da beste metodo bat erabiliz.

Dakigunez hau betetzen da:

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l ⇐⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

[f(x, y)− l] = 0

⇐⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)− l| = 0.

Bestalde, koordenatu polarretarako aldagai-aldaketa kontuan hartuz,hau da: {

x = x0 + ρ cos θ

y = y0 + ρ sin θ,

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 26: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

20 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

zera betetzen da:

(x, y) → (x0, y0) ⇐⇒ ρ → 0+, ∀θ ∈ [0, 2π).

Hortaz, teorema hau dugu.

3.4. teorema. Koordenatu polarretarako aldaketa.

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l

⇐⇒ limρ→0+

|f(x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ)− l| = 0 ∀θ ∈ [0, 2π).

Beraz, (x0, y0) = (0, 0) bada, hau dugu:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = l ⇐⇒ limρ→0+

|f(ρ cos θ, ρ sin θ)− l| = 0 ∀θ ∈ [0, 2π)

⇐⇒ limρ→0+

f(ρ cos θ, ρ sin θ) = l ∀θ ∈ [0, 2π).

Ondorioz, limitea ez bada l edozein θ ∈ [0, 2π) argumentutarako,limitea ez da existitzen.

3.11. adibidea. Egiaztatu lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

= 0 dela koordenatu

polarretarako aldagai-aldaketa erabiliz.

Ebazpena.

lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

= limρ→0+

(ρ cos θ)(ρ sin θ)√(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2

= limρ→0+

ρ2 cos θ sin θ

ρ√

cos2 θ + sin2 θ= lim

ρ→0+ρ cos θ sin θ = 0.

Batzuetan, limite bikoitza aldagai bakarreko funtzio baten limitera laburdaiteke. Ikus dezagun teorema hau.

3.5. teorema. Demagun f : A ⊂ IR2 7→ IR funtzioa bi funtziorenkonposizioa dela, f = h ◦ g, non g : A ⊂ IR2 7→ IR eta h : IR 7→ IR.

Demagun, gainera, lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = t0 existitzen dela.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 27: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.2. Limitearen definizioa. 21

Baldin limt→t0

h(t) = l bada, orduan,

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l.

Frogantza.

Baldin limt→t0

h(t) = l bada,

∀ε > 0 ∃δ > 0 non 0 < |t− t0| < δ ⇒ |h(t)− l| < ε.

Baina, δ > 0 honetarako, lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = t0 denez gero, hau dugu:

∃δ1 > 0 non 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ1 ⇒ ‖g(x, y)− t0‖ < δ.

Hortaz, 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ1 betetzen duen (x, y) guztietarakohau dugu:

|f(x, y)− l| = |h(g(x, y))− l| < ε ⇒ |f(x, y)− l| < ε.

Ondorioz,lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = l.

3.12. adibidea. Kalkulatu lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2 + sin(x + y)x + y

.

Ebazpena.

Alde batetik, hau dugu:

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2 + sin(x + y)x + y

= lim(x,y)→(0,0)

x− y +sin(x + y)

x + y

= lim(x,y)→(0,0)

sin(x + y)x + y

.

Bestalde, izan bedi

f(x, y) =sin(x + y)

x + y, f = h ◦ g, non g(x, y) = x + y eta h(t) =

sin t

t.

Beraz,

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 28: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

22 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x + y = 0 eta limt→0

h(t) = limt→0

sin t

t= 1

dugunez gero, hau ondorioztatzen da:

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2 + sin(x + y)x + y

= lim(x,y)→(0,0)

sin(x + y)x + y

= 1.

Kalkulu praktikoak egin ahal izateko erregela batzuk ematen dizkiguteorema honek.

3.6. teorema. Izan bitez ~f,~g : A ⊂ IRn → IRm, ~x0, A-ko puntu batedo A-ren muga-puntu bat, ~b ∈ IRm eta c ∈ IR.

Baldin lim~x→~x0

~f(~x) = ~b1 eta lim~x→~x0

~g(~x) = ~b2 badira, hau dugu:

(i) lim~x→~x0

c~f(~x) = c~b1.

(ii) lim~x→~x0

(~f + ~g)(~x) = ~b1 +~b2.

(iii) m = 1 bada (kasu honetan~b1 = b1 eta~b2 = b2), lim~x→~x0

(fg)(~x) = b1b2.

Gainera,(iv) m = 1 denean, baldin lim

~x→~x0

f(~x) = b 6= 0 eta f(~x) 6= 0 ∀~x ∈ A

badira, orduan lim~x→~x0

1/f(~x) = 1/b.

Eta,(v) ~f(~x) = (f1(~x), . . . , fm(~x)) bada, non

fi : A → IR i = 1, . . . , m

~f -ren osagaiak diren, orduan

lim~x→~x0

~f(~x) = ~b = (b1, . . . , bm)

betetzen da baldin eta soilik baldin

lim~x→~x0

fi(~x) = bi

i = 1, . . . , m bakoitzerako.

3.13. adibidea. Izan bedi f : IR2 → IR funtzioa: (x, y) 7→ x2 + y2 + 2.Kalkula ezazu lim

(x,y)→(0,1)f(x, y).

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 29: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.2. Limitearen definizioa. 23

Ebazpena. Hemen, f , (x, y) 7→ x2, (x, y) 7→ y2 eta (x, y) 7→2 funtzioen batura da. Beraz, 3.6. teoremaren bidez, hau dugu:

lim(x,y)→(0,1)

f(x, y) = 02 + 12 + 2 = 3.

Definizioa. Izan bedi ~f : A ⊂ IRn → IRm funtzio bat, eta A harendefinizio-eremua da. Izan bedi ~x0 ∈ A.~f jarraitua da ~x0 puntuan baldin eta soilik baldin lim

~x→~x0

~f(~x) = ~f(~x0).

3.21. irudia. Jarraitutasuna xy planoan.Definizioa. ~f jarraitua da baldin eta soilik baldin ~f jarraitua bada A

multzoko ~x0 puntu bakoitzean.

3.22. irudia. Jarraitutasuna xyz espazioan.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 30: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

24 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

• Gogoratu edozein funtzio polinomiko p : IR → IR jarraitua dela. Beraz,lim

x→x0p(x) = p(x0).

3.14. adibidea. f : IR2 → IR funtzio hau:

f(x, y) ={

1, x ≤ 0 edo y ≤ 0 badira0, bestela

ez da jarraitua (0, 0), edo x edo y ardatzerdi positiboko edozein puntu-tan. Izan ere, (x0, y0) = ~x0 horietariko puntu bat bada eta Dr(~x0)~x0-ren edozein ingurune, badaude ingurune horretan (x, y) puntuak nonf(x, y) = 1 eta f(x, y) = 0 betetzen baita. Beraz, ez da egia

f(x, y) → f(x0, y0) = 1 (x, y) → (x0, y0) denean.

Jarraian azaltzen den teorema 3.6. teoreman oinarritzen da.

3.7. teorema.

Izan bitez ~f : A ⊂ IRn → IRm, ~g : A ⊂ IRn → IRm, eta c ∈ IR.

(i) ~f jarraitua bada ~x0-n, c~f ere bai puntu berean, non (c~f)(~x) =c[~f(~x)].

(ii) ~f eta ~g jarraituak badira ~x0-n, ~f + ~g ere bai puntu berean, non(~f + ~g)(~x) = ~f(~x) + ~g(~x).

(iii) m = 1 denean, f eta g jarraituak badira ~x0 puntuan, orduan fg

ere jarraitua da puntu berean, non (fg)(~x) = f(~x)g(~x).

(iv) m = 1 denean, f jarraitua bada ~x0 puntuan, f(~x0) 6= 0 eta f ezbada zero egiten A multzoan, orduan 1/f ere jarraitua da puntuberean, non (1/f)(~x) = 1/f(~x).

(v) ~f : A ⊂ IRn → IRm bada, non

~f(~x) = (f1(~x), . . . , fm(~x))

baita, orduan ~f jarraitua da ~x0-n baldin eta soilik baldin fi jar-raitua bada puntu berean i = 1, . . . ,m guztietarako.

Ariketa. Frogatu p : IR2 → IR polinomioak funtzio jarraituak direla.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 31: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.3. Funtzioen konposizioa. 25

3.15. adibidea. Izan bedi (x, y) 7→(

x2y,y + x3

1 + x2

), f : IR2 → IR2

funtzioa. Frogatu f jarraitua dela.

Ebazpena.

Aurreko (v) propietatean oinarrituz, nahikoa da frogatzea f -ren os-agai bakoitza jarraitua dela. Polinomioak funtzio jarraituak direnez,f1(x, y) = x2y jarraitua da. Bestalde, (x, y) 7→ 1 + x2 funtzioa jarraituadenez, (iv) propietatearekin (x, y) 7→ 1/(1 + x2) ere bai; beraz, (iii)propietatearekin f2(x, y) = (y + x)/(1 + x2) jarraitua da.

3.2.3. Funtzioen konposizioa.

f : A → B eta g : B → C badira, f eta g-ren konposizioa, (f ◦ g)-kadierazita, A → C-rako funtzioa da, eta funtzio horretan x 7→ f(g(~x))da. Adibidez, sin x2 funtzioa x 7→ x2 eta y 7→ sin y-ren konposizioa da.

3.23. irudia. Funtzioen konposizioa.

3.8. teorema. Izan bitez ~g : A ⊂ IRn → IRm eta ~f : B ⊂ IRm → IRp.Demagun ~g(A) ⊂ B, ~f ◦ ~g funtzioa A multzoan definitua izateko. ~g

jarraitua bada ~x0 ∈ A eta ~f jarraitua ~y0 = ~g(~x0) izanik, orduan ~f ◦ ~g

jarraitua da ~x0 puntuan.

3.16. adibidea. Izan bedi f(x, y, z) = (x2+y2+z2)30+sin z3. Frogatuf jarraitua dela.

Ebazpena.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 32: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

26 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

f -ren bi batugaiak, alegia, (x2 + y2 + z2)30 eta sin z3, jarraituak badira,frogaturik egongo da. Lehenengoa (x, y, z) 7→ (x2 + y2 + z2) eta u =u30 funtzio jarraituen konposizioa da, beraz, hau ere bai ( 3.8. teore-marekin). Bigarrena (x, y, z) 7→ z3 eta u 7→ sin u funtzio jarraituenkonposizioa da, beraz, hau ere bai ( 3.8. teoremarekin).

3.17. adibidea. Frogatu lim(x,y)→(0,0)

x2

√x2 + y2

= 0.

Ebazpena.

Frogatu behar dugu x2/√

x2 + y2 txikia dela (x, y) (0, 0)-tik hurbildagoenean. Horretarako, desberdintza hau erabiliko dugu:

0 ≤ x2

√x2 + y2

≤ x2 + y2

√x2 + y2

=√

x2 + y2

= ‖(x, y)‖ = ‖(x, y)− (0, 0)‖.

Har dezagun edozein ε > 0, eta δ = ε aukeratuko dugu. Orduan,‖(x, y)− (0, 0)‖ < δ-k zera inplikatzen du:

∣∣∣∣∣x2

√x2 + y2

− 0

∣∣∣∣∣ =x2

√x2 + y2

≤√

x2 + y2

= ‖(x, y)− (0, 0)‖ < δ = ε.

3.18. adibidea. lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2existitzen da?

Ebazpena.

Limite hori existitzen bada,x2

x2 + y2-ren balioa a zenbaki zehatz bat-

era hurbildu beharko litzateke (x, y) (0, 0)-ra hurbiltzekotan. Bereziki,

(x, y)-k zerorantz jotzen badu edozein ibilbidetan, orduan erex2

x2 + y2-k

a baliora jo beharko luke.

• (x, y)-k (0, 0)-rantz jotzen badu y = 0 zuzenean, limitea 1 da (ordezkatuy-ren balioa adierazpenean).

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 33: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.2.3. Funtzioen konposizioa. 27

• (x, y)-k (0, 0)-rantz jotzen badu x = 0 zuzenean, limitea 0 da.

Beraz, bi ibilbide desberdinetan zehar limitea desberdina da, eta ondo-rioz, limite hori ez da existitzen.

3.24. irudia. f(x, y) = x2/(x2 + y2) funtzioaren grafikoa.

3.19. adibidea. Frogatu lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= 0.

Ebazpena.

Ohartu∣∣∣∣

x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x2y

x2

∣∣∣∣ = |y| ≤√

x2 + y2 = ‖(x, y)− (0, 0)‖.

Beraz, ε > 0 emanda, δ = ε aukeratzen badugu, hau betetzen da:∣∣∣∣

x2y

x2 + y2− 0

∣∣∣∣ < ε.

3.20. adibidea. Kalkulatu limite hauek, existitzen badira:

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 34: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

28 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

(a) lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2.

(b) lim(x,y)→(0,0)

cos x− 1− x2/2x4 + y4

.

Ebazpena.

(a) Argi dagoenez, zenbakitzailearen limitea 0 da, eta izendatzailearenlimitea, 2; beraz, zatiduraren limitea 0 da.

(b) Lehenengo, y = 0 konstantea kontsideratzen da, eta limitea kalku-latzen da (ahal bada) (x, y)-k (0, 0)-rantz jotzen duenean. L’Hopital-enaraua aplikatuz, hau dugu:

lim(x,y)→(0,0)

cos x− 1− x2/2x4

= lim(x,y)→(0,0)

− sin x− x

4x3

= lim(x,y)→(0,0)

− cosx− 112x2

.

Baina azken limitea ez da existitzen, −∞-rantz jotzen baitu; beraz,limite hau ez da existitzen.

3.21. adibidea.

(a) f(x, y) =sin(x + y)

x + yfuntzioa, era egoki batean birdefinituz, jarraitu

bihur dezakegu?

(b) f(x, y) =xy

x2 + y2funtzioa, era egoki batean birdefinituz, jarraitu

bihur dezakegu?

Ebazpena.

(a) Funtzio jarraitu bat lor dezakegu f(~x0) eta lim~x→~x0

f(~x) berdinduz.

Izan bedi t = x + y; orduan, 3.8. teorema kontuan hartuz, zera dugu:

lim(x,y)→(0,0)

sin(x + y)x + y

= limt→0

sin t

t= 1.

Orduan, f(0, 0) = 1 definituz, funtzioa jarraitu bihurtzen da.

(b) Ohartu x = y denean limitea 1/2 dela. Bestalde, x = −y de-nean, limitea −1/2 da. Limitearen balioa (x, y) (0, 0)-ra hurbiltzen

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 35: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 3. Diferentziazioa. 29

den bidearen menpe dagoenez, limitea ez da existitzen (0, 0)-an, eta on-dorioz ez dago modurik f(x, y) jarraitu bihurtzeko puntu horretan.

3.3. Diferentziazioa.

Funtzioen irudikapenak funtzio baten ezaugarri nagusiak ezagutzen la-guntzen digu. Baina, dakigunez, funtzio bat irudikatzeko deribatuenlaguntza behar dugu.

Intuitiboki, badakigu funtzio jarraitu baten grafikoa ez dela apurtua.

IR2-tik IR-rako funtzio diferentziagarri baten grafikoak ez du apurtuaizan behar; are gehiago, grafikoarekiko ukitze-plano ondo definitu batizan behar du puntu bakoitzean. Beraz, grafikoan ez da tolesturarik,izkinarik edo tontorrik existitu behar; hau da, grafikoak leuna izan behardu. (Komeni da IR-tik IR-rako funtzioei dagokien deribatuaren kon-tzeptua errepasatzea.)

3.25. irudia. Grafiko leuna.

3.26. irudia. Grafiko ez-leuna.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 36: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

30 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Definizioa. Izan bitez U ⊂ IRn multzo irekia eta f : U → IR funtzioa.

Orduan, ∂f/∂x1, . . . , ∂f/∂xn adierazpenak, x1, . . . , xn-aldagaiekiko f -ren deribatu partzialak, hurrenez hurren, n aldagaiko funtzioak dira, etahonela definitzen dira ~x = (x1, . . . , xn) puntuan:

∂f

∂xj(x1, . . . , xn)

= limh→0

f(x1, . . . , xj + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)h

= limh→0

f(~x + h~ej)− f(~x)h

,

baldin limite horiek existitzen badira, j = 1, . . . , n, non ~ej oinarri kanon-ikoaren j-garren bektorea baita.

Hau da, ∂f/∂xj funtzioa xj aldagaiarekiko f -ren deribatua, eta bestealdagaiak finkoak dira.

f : IR3 → IR bada, sarri notazio hau erabiliko dugu: ∂f/∂x, ∂f/∂y, eta∂f/∂z.

~f : IRn → IRm bada, orduan hau idatz dezakegu:

~f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)),

beraz, osagai bakoitzaren deribatu partzialak ditugu.

Adibidez, ∂fm/∂xn funtzioa xn aldagaiarekiko fm-ren deribatu partzialada.

Ariketa. f(x, y) = x2y + y3 bada, aurkitu ∂f/∂x eta ∂f/∂y.

• Adierazteko zein puntutan kalkulatzen den deribatu partziala, adibidez,(x0, y0) puntuan, idazkera hau erabiltzen da:

∂f

∂x(x0, y0) edo

∂f

∂x

∣∣∣∣x=x0,y=y0edo

∂f

∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

Beraz, (x0, y0) puntuko f -ren deribatu partzialen definizioak hauek dira:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)h

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)h

.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 37: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 3. Diferentziazioa. 31

3.22. adibidea. z = cos xy + x cos y = f(x, y) bada, aurkitu deribatu

partzial hauek:∂z

∂x(x0, y0) eta

∂z

∂y(x0, y0).

Ebazpena.

∂z

∂x(x0, y0) = −y0 sin x0y0 + cos y0

∂z

∂y(x0, y0) = −x0 sin x0y0 − x0 sin y0.

3.23. adibidea. f(x, y) = xy/√

x2 + y2 bada, aurkitu ∂f/∂x.

Ebazpena.∂f

∂x=

y3

(x2 + y2)3/2.

Oharra. Aldagai bat baino gehiagoko funtzio baten deribatu partzialenexistentziak ez du bermatzen haren jarraitutasuna, adibide honetanikusten den moduan.

3.24. adibidea. Aztertu funtzio honen jarraitutasuna eta deribagarritasuna:

f(x, y) =

{ 2xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Jarraitutasuna:

f(x, 0) = 0, ∀x, eta f(0, y) = 0, ∀y, direnez gero, zera froga dezakegu:

limx→0

f(x, 0) = f(0, 0) eta limy→0

f(0, y) = f(0, 0).

Alegia, (0, 0) puntuan f jarraitua da x eta y-rekiko (bi aldagaiak bereizhartuta). Hala ere, bi aldagaiko funtzio gisa f ez da jarraitua (0, 0)puntuan; ikus dezagun: nahikoa da y = x zuzenean zehar hurbiltzea(0, 0) puntura, jarraian ikusten denez:

limx→0

2xx

x2 + x2= 1.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 38: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

32 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Beraz, f funtzioak ez du jotzen f(0, 0) = 0-rantz, eta ondorioz ez dajarraitua (0, 0) puntuan.

Deribagarritasuna:

f(x, 0) eta f(0, y) konstanteak direnez, bi deribatu partzialak existitzendira (eta zero dira) (0, 0) puntuan, baina ikusi dugun bezala, f etena dapuntu horretan.

• Arrazoia hau da:

(x0, y0) puntuan∂f

∂x-ren existentzia

f funtzioak (x0 + h, y0) erako puntuetan daukan portaeraren menpebakarrik dagoela. Gauza bera gertatzen zaio y-rekiko deribatu partzialaripuntu horretan. Hau da, f funtzioak (x0, y0 + k) erako puntuetandaukan portaeraren menpe bakarrik dagoela.

• Bestalde, (x0, y0) puntuan f -ren jarraitutasuna f -ren portaerarenmenpe dago (x0 + h, y0 + k) erako puntuetan.

• Laburtuz:. Deribatu partzial baten existentzia funtzioak norabide zuzen batean

zehar daukan portaeraren menpekoa da.. Baina, jarraitutasuna funtzioak norabide guztietan zehar daukan

portaeraren menpekoa da.

Oharra. Gogora dezagun f : IR → IR funtzioei dagokien diferentzia-garritasunaren kontzeptua. f diferentziagarria bada x0 puntuan, orduan

lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x

= f ′(x0).

Izan bedi x = x0 + ∆x; orduan aurreko berdintza honela berridaztenda:

limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= f ′(x0).

f ′(x0) konstantea denez,

limx→x0

[f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0)

]= 0,

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 39: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 3. Diferentziazioa. 33

edo

limx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)x− x0

= 0.

Beraz, (x0, f(x0)) puntutik igarotzen den u zuzen ukitzailea f -tik hurbildago zentzu honetan: f(x) eta y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0)-ren artekokendura zerora doa (x − x0) baino azkarrago, x-k x0-rantz jotzen due-nean.

Hori da, hain zuzen, hurbilpen on baten ideia. IR2-tik IR-rako funtzioetanzuzen ukitzailea plano ukitzailearekin ordezkatzen da.

Definizioa. Izan bedi f : IR2 → IR. f funtzioa (x0, y0) puntuan difer-entziagarria da ∂f

∂x eta ∂f∂y existitzen badira (x0, y0) puntuan eta

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x (x0, y0)(x− x0)− ∂f

∂y (x0, y0)(y − y0)

‖(x, y)− (x0, y0)‖=0.

Oharra. z = f(x0, y0)+ ∂f∂x (x0, y0)(x−x0)+ ∂f

∂y (x0, y0)(y−y0) ekuazioaz = f(x, y) gainazalaren plano ukitzailearena da (x0, y0, f(x0, y0)) pun-tuan.

3.27. irudia. Plano ukitzailearen hurbiltasuna f -ren grafi-koarekiko.

3.25. adibidea. Kalkula ezazu z = x2 + y4 + exy gainazalaren planoukitzailea (1, 0, 2) puntuan.

Emaitza: z = 2x + y.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 40: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

34 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

• Izan bitez (x0, y0) puntua eta lerro-matrize hau:

Df(x0, y0) =[∂f

∂x(x0, y0)

∂f

∂y(x0, y0)

].

Orduan, diferentziagarritasunaren definizioak funtzio hau baieztatzendu:

z = f(x0, y0) + Df(x0, y0)[

x− x0

y − y0

]

= f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

z = f(x, y) funtzioaren hurbilpen on bat dela (x0, y0) puntuaren in-gurunean. Aurreko hurbilpenari hurbilpen lineal deritzogu; izan ere,funtzio lineala da.

• Defini dezagun orain ~f : IRn → IRm funtzioen deribagarritasunaaurreko analisia erabiliz. Orain, ~f = (f1, . . . , fm)-ren deribatua

~x0 puntuan tij =∂fi

∂xj(~x0) gaiek osatzen duten D~f(~x0) matrizea

da.

Definizioa. Izan bitez U ⊂ IRn eta ~f : U → IRm.~x0 puntuan ~f diferentziagarria dela esaten dugu baldin ~x0 puntuan ~f -ren deribatu partzialak existitzen badira eta

lim~x→~x0

‖~f(~x)− ~f(~x0)− T (~x− ~x0)‖‖~x− ~x0‖ = 0,

non T = D~f(~x0) baita.

T -ri ~f -ren jacobiarra ~x0 puntuan izena ematen diogu, hau da,

D~f(~x0) =

∂f1∂x1

(~x0) . . . ∂f1∂xn

(~x0)...

. . ....

∂fm

∂x1(~x0) . . . ∂fm

∂xn(~x0)

.

• m = 1 denean funtzioa eskalarra da, eta

Df(~x0) =[

∂f

∂x1(~x0) . . .

∂f

∂xn(~x0)

].

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 41: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 3. Diferentziazioa. 35

Kasu honetan, lerro-matrize horri gradiente deritzogu, eta ∇f(~x0)idazten da.

• ∇f funtzioa IRn → IRn bektore-funtzioa da. Adibidez, f : IR3 → IRfuntzioa bada, ∇f : IR3 → IR3 da, eta

∇f =∂f

∂x~ı +

∂f

∂y~ +

∂f

∂z~k.

Aldiz, f : IR2 → IR bada, ∇f : IR2 → IR2 da, eta

∇f =∂f

∂x~ı +

∂f

∂y~.

• n = 2 eta m = 1 denean f : IR2 → IR funtzioari dagokion diferentzi-agarriatasunaren definizioa dugu.

3.26. adibidea. Kalkulatu funtzio hauen jacobiarra:

(a) ~f(x, y) = (ex+y + y, y2x),

(b) ~f(x, y) = (x2 + cos y, yex) eta

(c) ~f(x, y, z) = (zex,−yez).

Ebazpena.

(a) D~f(x, y) =[

ex+y ex+y + 1y2 2xy

].

(b) D~f(x, y) =[

2x − sin y

yex ex

].

(c) D~f(x, y, z) =[

zex 0 ex

0 −ez −yez

].

3.27. adibidea. Kalkulatu funtzio hauen gradientea: (a) f(x, y, z) =xey eta (b) f(x, y) = exy + sin xy.

Ebazpena.

(a) ∇f(x, y, z) = (ey, xey, 0) ≡ ey~ı + xey~.

(b) ∇f(x, y) = (yexy + y cos xy)~ı + (xexy + x cosxy)~.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 42: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

36 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

• 3.24. adibidean ikusten den bezala, puntu bateko deribatu partzialenexistentziak ez du bermatzen jarraitutasuna. Baina, baldintza gehi-garri batzuk egiaztatzen badira, orduan jarraitutasuna bermatzenda, teorema honetatik ondoriozta daitekeen bezala.

3.9. teorema. Izan bedi ~f : U ⊂ IRn → IRm diferentziagarria ~x0 ∈ U

puntuan. Orduan, ~f jarraitua da ~x0-an.

Oharra. Alderantzizkoa ez da betetzen. Adibidez, f(x) = |x| funtzioajarraitua da x = 0 puntuan, baina ez diferentziagarria.

3.10. teorema. Izan bedi ~f : U ⊂ IRn → IRm funtzioa. Demagun ~f -

ren∂fi

∂xjderibatu partzial guztiak existitzen direla eta jarraituak direla

~x0 ∈ U puntuan. Orduan ~f diferentziagarria da ~x0 puntuan.

Oharrak.

1. Teorema hauen ondorioz, hau dugu: ~f -ren deribatu partzialen ex-istenzia eta jarraitutasuna ⇒ ~f -ren diferentziagarritasuna ⇒ ~f -renjarraitutasuna eta haren deribatu partzialen existenzia

2. Deribatu partzialak ez badira jarraituak, ~f ez du derrigorrean dife-rentziagarria izan behar.

3. Funtzioa ez bada jarraitua puntu batean, ez da diferentziagarriapuntu horretan. Baina deribatu partzialak existitu daitezke.

Definizioa. Funtzio batek deribatu partzialak baditu eta jarraituakbadira, C1 klaseko funtzio deitzen da. Beraz, 3.10. teorema honelaberridatz dezakegu:

“C1 klaseko edozein funtzio, diferentziagarria da.”

3.28. adibidea. Izan bedi

f(x, y) =

{xy√

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

f diferentziagarria da (0, 0) puntuan?

Ebazpena.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 43: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 3. Diferentziazioa. 37

Azter dezagun funtzioaren jarraitutasuna. Egon litekeen etenune bakarra(0, 0) puntua denez, funtzioaren jarraitutasuna puntu horretan azter-tuko dugu. Horretarako, funtzio maiorantearen irizpidea erabiliz, edozein(x, y) 6= (0, 0) puntutan hau betetzen da:

∣∣∣∣∣xy√

x2 + y2

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

xy√x2

∣∣∣∣ ≤ |y|,

eta lim(x,y)→(0,0)

|y| = 0 denez, hau dugu:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 = f(0, 0).

Beraz, f jarraitua da IR2 multzoan.

Jarraian, deribatu partzialak aztertuko ditugu.

∂f

∂x(0, 0) = lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)x

= limx→0

(x · 0)/√

x2 + 02 − 0x

= limx→0

0− 0x

= 0,

eta era antzeko batean, ∂f∂y (0, 0) = 0. Beraz, deribatu partzialak exis-

titzen dira (0, 0)-an. Gainera, (x, y) 6= (0, 0) bada, orduan,

∂f

∂x=

y√x2 + y2

− x2y

(x2 + y2)3/2,

ez dauka limiterik (x, y) → (0, 0) denean; izan ere, limite desberdinaklortzen dira ibilbide desberdinak erabiltzen badira; adibidez, x = My

eginez. Beraz, deribatu partzialak ez dira jarraituak (0, 0) puntuan eta,ondorioz, ezin dugu erabili 3.10. teorema.Orain, f ez dela diferentziagarria frogatuko dugu (hala ere, f jarraituada).∇f(0, 0) existituko balitz, (0, 0) bektorea izango litzateke; izan ere,

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

Beraz, diferentziagarritasunaren definizioarekin hau bete behar zen:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)− 0(x− 0)− 0(y − 0)‖(x, y)− (0, 0)‖ = 0

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 44: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

38 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Baina,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)‖(x, y)− (0, 0)‖ = lim

(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2√

x2 + y2=

lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2= lim

x→0

xmx

x2 + (mx)2=

m

1 + m26= 0.

Beraz, f ez da diferentziagarria (0, 0) puntuan.

3.29. adibidea. Izan bedi

f(x, y) =cos x + exy

x2 + y2.

Frogatu f diferentziagarria dela (x, y) 6= (0, 0) puntu guztietan.

Ebazpena. Ohartu deribatu partzial hauek:

∂f

∂x=

(x2 + y2)(yexy − sin x)− 2x(cos x + exy)(x2 + y2)2

∂f

∂y=

(x2 + y2)xexy − 2y(cos x + exy)(x2 + y2)2

,

jarraituak direla, x = y = 0 kasuan izan ezik.

3.4. Deribatuen propietateak.

3.11. teorema.

(i) Biderkagai konstantearen erregela. Izan bitez ~f : U ⊂ IRn →IRm diferentziagarria ~x0 puntuan eta c ∈ IR.

Orduan, ~h = c~f diferentziagarria da ~x0-n eta

D~h(~x0) = cD~f(~x0) matrize-berdintzadugu.

(ii) Baturaren erregela. Izan bitez ~f : U ⊂ IRn → IRm eta ~g : U ⊂IRn → IRm diferentziagarriak ~x0 puntuan.

Orduan, ~h = ~f + ~g diferentziagarria da ~x0-n, eta

D~h(~x0) = D~f(~x0) + D~g(~x0) matrize-batura.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 45: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 4. Deribatuen propietateak. 39

(iii) Biderkaduraren erregela. Izan bitez f : U ⊂ IRn → IR etag : U ⊂ IRn → IR diferentziagarriak ~x0 puntuan.

Orduan, h = f · g diferentziagarria da ~x0-n, eta

Dh(~x0) = g(~x0)Df(~x0) + f(~x0)Dg(~x0);

ekuazio horren alde bakoitza 1× n-matrize bat da, eta D sinboloa∇-z ordezka dezakegun; izan ere, gradientea da kasu honetan.

(iv) Zatiduraren erregela. (iii).eko hipotesi berdinekin, izan bedih = f/g eta demagun g ez dela zero egiten U -n.

Orduan, h diferentziagarria da ~x0-n, eta

Dh(~x0) =g(~x0)Df(~x0)− f(~x0)Dg(~x0)

[g(~x0)]2;

(iii).ean bezala, D sinboloa ∇-z ordezka dezakegu.

3.30. adibidea. Egiaztatu (iv). erregela betetzen dela f(x, y, z) =x2 + y2 + z2 eta g(x, y, z) = x2 + 1 direnean.

Ebazpena.

Hemen h(x, y, z) =x2 + y2 + z2

x2 + 1, beraz, zuzenean deribatuz:

∇h(x, y, z) =[∂h

∂x,∂h

∂y,∂h

∂z

]

=[2x(1− y2 − z2)

(x2 + 1)2,

2y

x2 + 1,

2z

x2 + 1

].

Bestalde, (iv). erregelarekin:

∇h =g∇f − f∇g

g2

=(x2 + 1)[2x, 2y, 2z]− (x2 + y2 + z2)[2x, 0, 0]

(x2 + 1)2,

zeina zuzenean lortutako emaitzaren berdina baita.

3.12. teorema. Katearen erregela.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 46: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

40 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Izan bitez U ⊂ IRn eta N ⊂ IRm irekiak. Izan bitez ~g : U → IRm eta~f : N → IRp funtzioak non ~g(U) ⊂ N baita, ~f · ~g definituta egotekomoduan.Orduan, ~g diferentziagarria bada ~x0 puntuan eta ~f diferentziagarriabada ~y0 = g(~x0)-an, ~f ◦~g diferentziagarria da ~x0 puntuan eta hau betet-zen da:

D(~f ◦ ~g)(~x0) = D~f(~y0)D~g(~x0). (3.1)

Eskuinaldea biderkadura-matrizea da.

Katearen erregelaren 1. kasu berezia:

Demagun ~c : IR → IR3 eta f : IR3 → IR. Izan bedi

h(t) = f [~c(t)] = f [x(t), y(t), z(t)],

non ~c(t) = (x(t), y(t), z(t)) baita. Orduan,

dh

dt=

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt+

∂f

∂z

dz

dt. (3.2)

Alegia, dh/dt = Df(~c(t))D~c(t)) = ∇f [~c(t)] ~c ′(t) (biderkadura ma-triziala), non

~c ′(t) =

x′(t)y′(t)z′(t)

baita.

Argi dagoenez, 3.12. teoremaren kasu berezi bat da, g = ~c, m = 3 etan = p = 1 dira.

Ohartu Df = ∇f ∈ IR1×3 lerro-matrizea dela eta D~c = ~c′(t) ∈IR3×1 zutabe-matrizea; beraz, biderkadura zenbaki erreal bat da.

Katearen erregelaren 2. kasu berezia:

Izan bitez f : IR3 → IR eta ~g : IR3 → IR3. Idatz dezagun ~g(x, y, z) =(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) eta defini dezagun h : IR3 → IR funtzioa

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 47: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 4. Deribatuen propietateak. 41

h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)). Orduan,

[∂h

∂x

∂h

∂y

∂h

∂z

]=

[∂f

∂u

∂f

∂v

∂f

∂w

]

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

. (3.3)

Matrize-biderketa garatuz, hau dugu:

∂h

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+

∂f

∂v

∂v

∂x+

∂f

∂w

∂w

∂x,

∂h

∂y=

∂f

∂u

∂u

∂y+

∂f

∂v

∂v

∂y+

∂f

∂w

∂w

∂y,

∂h

∂z=

∂f

∂u

∂u

∂z+

∂f

∂v

∂v

∂z+

∂f

∂w

∂w

∂z.

Kasu berezi honetan, n = m = 3 eta p = 1 hartu ditugu. Gainera,U = IR3 eta N = IR3.

3.31. adibidea. Egiaztatu katearen erregela kasu honetan:

f(u, v, w) = u2 + v2 − w,

nonu(x, y, z) = x2y

v(x, y, z) = y2

w(x, y, z) = e−xz

den.

Ebazpena.

Hemen

h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))

= (x2y)2 + y4 − e−xz = x4y2 + y4 − e−xz.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 48: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

42 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Zuzenean deribatuz x-rekiko

∂h

∂x= 4x3y2 + ze−xz.

Bestalde, katearen erregela erabiliz, hau lortzen da:

∂h

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+

∂f

∂v

∂v

∂x+

∂f

∂w

∂w

∂x

= 2u(2xy) + 2v.0 + (−1)(−ze−xz)

= (2x2y)(2xy) + ze−xz;

lehen lorturikoaren berdina da.

3.32. adibidea. Izan bitez ~g(x, y) = (x2 + 1, y2) eta ~f(u, v) =(u + v, u, v2). Kalkulatu ~f ◦ ~g-ren deribatua (1, 1) puntuan katearenerregelaren bitartez.

Ebazpena.

Izan bitez ~f(u, v) = (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)) = (u + v, u, v2) eta~g(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (x2 +1, y2). Deribatu partzialen matrizeakhauek dira:

D~f(u, v) =

∂f1

∂u

∂f1

∂v

∂f2

∂u

∂f2

∂v

∂f3

∂u

∂f3

∂v

=

1 11 00 2v

eta

D~g(x, y) =[

2x 00 2y

].

(x, y) = (1, 1) bada, ~g(x, y) = (u, v) = (2, 1).Beraz,

D(~f ◦ ~g)(1, 1) = D~f(2, 1)D~g(1, 1)

=

1 11 00 2

[2 00 2

]=

2 22 00 4

.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 49: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 4. Deribatuen propietateak. 43

3.33. adibidea. Izan bedi f(x, y). Egin dezagun x = r cos θ, y = r sin θ

aldagai-aldaketa. Aurkitu ∂f/∂θ.

Ebazpena.

Katearen erregelarekin, hau dugu:

∂f

∂θ=

∂f

∂x

∂x

∂θ+

∂f

∂y

∂y

∂θ= −r sin θ

∂f

∂x+ r cos θ

∂f

∂y.

3.34. adibidea. Izan bitez ~f(x, y) = (cos y + x2, ex+y) eta ~g(u, v) =(eu2

, u− sin v). (a) Aurkitu ~f ◦~g. (b) Kalkulatu D(~f ◦~g)(0, 0) katearenerregela erabiliz.

Ebazpena.

(a) Hau dugu:

(~f ◦ ~g)(u, v) = ~f(eu2, u− sin v)

= (cos(u− sin v) + e2u2, eeu2

+u−sin v).

(b) Katearen erregelarekin:

D(~f ◦ ~g)(0, 0) = [D~f(~g(0, 0))] [D~g(0, 0)]

= [D~f(1, 0)] [D~g(0, 0)].

Jarraian, deribatu hauek aurkitzen dira:

D~g(0, 0) =[

2ueu20

1 − cos v

]

(u,v)=(0,0)

=[

0 01 −1

]

eta

D~f(1, 0) =[

2x − sin y

ex+y ex+y

]

(x,y)=(1,0)

=[

2 0e e

].

Beraz,

D(~f ◦ ~g)(0, 0) =[

2 0e e

] [0 01 −1

]=

[0 0e −e

].

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 50: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

44 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.5. Gradienteak eta norabide-deribatuak.

Definizioa. f : U ⊂ IR3 → IR funtzioa diferentziagarria bada, f -rengradientea (x, y, z) puntuan IR3-ko bektore hau da:

∇f =(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

),

hau da, f -ren deribatua. Honela ∇f(x, y, z) ere idazten da.

Izan bedi f : IR3 → IR. Izan bitez ~v eta ~x ∈ IR3 bektore finkoak, etahar dezagun IR-tik IR-rako funtzio hau: t 7→ f(~x + t~v).

3.28. irudia. L-ren ekuazioa ~l(t) = ~x + t~v da.

~x+t~v (t ∈ IR) itxurako puntuen multzoa ~x puntutik ~v bektorearekikoparaleloki igarotzen den L zuzena da.

Beraz, t 7→ f(~x + t~v) funtzioak adierazten du L zuzenari murriztutakof funtzioa. Eta orduan, hau galde dezakegu:

Zein azkartasunez aldatzen dira f-ren balioak ~x puntuan L zuzeneanzehar?

Funtzio baten aldaketaren ~x puntuko “abiadura” deribatuaren bidezemanda dagoenez gero, t-ren menpeko funtzioaren deribatuaren balioada t = 0-an. Beraz, hau izan behar zen f -ren deribatua ~x puntuanL-ren norabidean, alegia, ~v bektorearen norabidean. Bektore honetazinteresatzen zaigun ezaugarri bakarra norabidea denez, unitarioa har-tuko dugu.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 51: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 5. Gradienteak eta norabide-deribatuak. 45

Definizioa. Izan bitez f : IR3 → IR funtzioa eta ~v ∈ IR3 bektoreunitarioa.~v norabideko f -ren norabide-deribatua ~x puntuan honela definitzen da:

D~vf(~x) =d

dtf(~x + t~v)|t=0 = lim

t→0

f(~x + t~v)− f(~x)t

.

limitea existitzen bada.

3.13. teorema. f : IR3 → IR diferentziagarria bada, norabide guztiekikoderibatuak existitzen dira. Orduan f -ren norabide-deribatua ~v-ren nor-abideko ~x puntuan adierazpen honek ematen du:

D~vf(~x) = Df(~x) · ~v = ∇f(~x) · ~v =∂f

∂x(~x)v1 +

∂f

∂y(~x)v2 +

∂f

∂z(~x)v3,

hor, ~v = (v1, v2, v3) da.

Frogantza.

Izan bedi ~c(t) = ~x + t~v; hortaz, f(~x + t~v) = f [~c(t)], eta katearen errege-laren 1. kasu bereziaren arabera, zera dugu:

d

dtf [~c(t)] = ∇f [~c(t)] · ~c ′(t).

Gainera ~c(0) = ~x eta ~c ′(0) = ~v. Beraz,

d

dtf(~x + t~v)

∣∣∣∣∣t=0

= ∇f(~x) · ~v.

Oharra. f -ren aldaketa-tasaz ari garenean, lerro zuzenekiko ez ezik,~σ(t) ibilbidearekiko aldaketa-tasaz ere ari gara. Hala da, katearen erre-gelarekin, zera dugu:

d

dtf(~σ(t)) = ∇f(~σ(t)) · ~σ ′(t),

zeina ~σ ′(t) norabidearekiko deribatua baita.

3.35. adibidea. Izan bedi f(x, y, z) = x2e−yz. Kalkulatu f -ren

norabide-deribatua ~v =(

1√3,

1√3,

1√3

)bektore unitarioaren norabidean

~x = (1, 0, 0) puntuan.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 52: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

46 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Ebazpena.

3.13. teorema erabiliz hau dugu:

∇f · ~v = (2xe−yz,−x2ze−yz,−x2ye−yz) ·(

1√3,

1√3,

1√3

),

eta ~x = (1, 0, 0) puntuan hau bihurtzen da:

(2, 0, 0) ·(

1√3,

1√3,

1√3

)=

2√3.

Jarraian, gradientearen esanahi geometrikoa lortuko dugu 3.13. teoremaerabiliz.

3.14. teorema. Demagun ∇f(~x) 6= 0. Orduan, ∇f(~x) bektoreak f -renigoera handieneko norabidea erakusten du.

Frogantza. ~n bektore unitarioa bada, f -ren aldaketa-tasa ~n norabidean∇f(~x) · ~n = ‖∇f(~x)‖ cos θ da; hor, θ, ~n eta ∇f(~x)-ren arteko angeluada. Bistan denez, biderkadura hori maximoa da θ = 0 denean; hau da,~n eta ∇f(~x)-k norabide eta noranzko berdinak dituztenean.

Oharra. ∇f(~x) = 0 bada, ~n guztietarako aldaketa-tasa zero da.

Laburtuz, f-ren balioa handitzeko bide azkarrena ∇f(~x) bektoreak er-akusten digu. Aldiz, f -ren balioa txikitzeko bide azkarrena −∇f(~x) bek-toreak erakusten digu. (Hau da, θ = π denean.)

3.36. adibidea. (0, 1) puntutik zein norabidetan handitzen da azkar-rago f(x, y) = x2 − y2?

Ebazpena.

∇f = 2x~ı− 2y~ gradientea da; beraz, (0, 1) puntuan ∇f(0, 1) = −2~.3.14. teoremaren ondorioz, f -ren balioa azkarrago igotzeko −~ nora-bideak ematen digu.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 53: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 5. Gradienteak eta norabide-deribatuak. 47

3.29. irudia. f(x, y) = x2 − y2 funtzioaren sestra-kurbak.

Gradienteak erakusten du f -ren hazkunde handienaren norabidea. Aldiz,sestra-kurbetan f -ren balioa ez da aldatzen. Jarraian ikusiko dugu gra-dientea eta sestra-kurba elkarzutak direla funtzioaren portaera nahikoleuna bada.

3.30. irudia. (a) ∇f -ren noranzkoa; (b) ∇f ortogonala dasestra-kurbekiko.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 54: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

48 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.15. teorema. Izan bitez f : IR3 → IR, C1 klaseko funtzio bat eta(x0, y0, z0) f(x, y, z) = k ekuazioak definitutako S sestra-gainazalekopuntu bat, k konstantea delarik. Orduan, ∇f(x0, y0, z0) bektorea sestra-gainazalarekiko normala da ikuspegi honetatik:

“Izan bedi S-ko edozein ibilbide, ~c(t), non ~c(0) = (x0, y0, z0) baita.Orduan, ~v bektorea ~c(t) kurbaren ukitzailea bada t = 0 puntuan (hots,S-ko (x0, y0, z0) puntuan), hau dugu:

∇f(x0, y0, z0) · ~v = 0.′′

(Ikus irudia.)

Frogantza.

Izan bedi S-ko ~c(t) ibilbidea; beraz, f(~c(t)) = k.Izan bedi ~v bektorea teoreman definitutako ~c(t)-ren ukitzailea t = 0puntuan, hau da, ~v = ~c ′(0).Orduan, f(~c(t)) konstantea denez, katearen erregelarekin zera dugu:

0 =d(f ◦ ~c)

dt(0) = ∇f(~c(0)) · ~c ′(0) = ∇f(x0, y0, z0) · ~v.

3.31. irudia. Gradientearen esanahi geometrikoa.

Definizioa. Izan bedi f(x, y, z) = k ekuazioko S gainazala. Orduan,S-ren plano ukitzailea (x0, y0, z0) ∈ S puntuan ekuazio honek ematendu:

∇f(x0, y0, z0) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0, (3.4)

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 55: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 5. Gradienteak eta norabide-deribatuak. 49

∇f(x0, y0, z0) 6= 0 bada.

Beraz, plano ukitzailea (3.4) ekuazioa egiaztatzen duten (x, y, z) puntuenmultzoa da. Plano ukitzailearen ekuazioa garatuz hau dugu:

∂f

∂x(x0, y0, z0)(x−x0)+

∂f

∂y(x0, y0, z0)(y−y0)+

∂f

∂z(x0, y0, z0)(z−z0) = 0.

3.37. adibidea. Kalkulatu 3xy+z2 = 4 ekuazioak definituriko gainazalarenplano ukitzailea (1, 1, 1) puntuan.

Ebazpena.

f(x, y, z) = 3xy + z2 denez, ∇f = (3y, 3x, 2z); eta hortik, ∇f(1, 1, 1) =(3, 3, 2) da. Beraz, plano ukitzailea hau da:

(3, 3, 2) · (x− 1, y − 1, z − 1) = 0,

alegia, 3x + 3y + 2z = 8.

Oharra. Gainazala z = g(x, y) ekuazioaren bidez emanda badago,f(x, y, z) = 0 erara pasatu daiteke honela:

f(x, y, z) = g(x, y)− z.

g funtzioa diferentziagarria bada, f ere izango da eta

∂f

∂x(x, y, z) =

∂g

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y, z) =

∂g

∂y(x, y),

∂f

∂z(x, y, z) = −1.

Hortaz, gainazalaren plano ukitzailearen ekuazioa (x0, y0, z0) puntuanhau izango da:

∂g

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂g

∂y(x0, y0)(y − y0) + (−1)(z − z0) = 0,

edoz = z0 +

∂g

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂g

∂y(x0, y0)(y − y0).

3.38. adibidea. Kalkulatu z = x2−y2 ekuazioak definituriko gainazalarenplano ukitzailea (1, 1, 0) puntuan.

Ebazpena.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 56: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

50 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

∂g

∂x(x, y) = 2x,

∂g

∂y(x, y) = −2y,

orduan∂g

∂x(1, 1) = 2,

∂g

∂y(1, 1) = −2,

eta plano ukitzailearen ekuazioa hau da:

z = 0 + 2(x− 1) + (−2)(y − 1) = 2x− 2y + 2.

Sarritan∇f -ri gradiente-eremu bektorial deitzen zaio, zeren∇f -ren bitartezIR3-ko puntu bati bektore bat baitagokio. Beraz, funtzio horren grafikoarenpuntu baten koordenatuak (~x,∇f(~x)) dira. Baina, grafikoki adieraztekoorduan, honela egiten da: ~x koordenatuak dituen P puntua eta puntuhorri dagokion ∇f(P ) = ∇f(~x) bektorea irudikatuz, haren jatorria P

delarik.

3.32. irudia. Gradientea eremu bektorial bat da.

3.39. adibidea. Aurkitu z = x2y2 + y + 1 ekuazioak definituriko S

gainazalarekiko bektore unitario normal bat (0, 0, 1) puntuan.

Ebazpena.

Izan bedi f(x, y, z) = x2y2 + y + 1 − z, eta har dezagun f(x, y, z) = 0ekuazioak definituriko gainazala. S gainazala da, hain zuzen, z = x2y2+y + 1 ekuazioa betetzen duen (x, y, z) puntuen multzoa.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 57: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 6. Deribatu partzial iteratuak. 51

f -ren gradientea hau da:

∇f(x, y, z) =∂f

∂x~ı +

∂f

∂y~ +

∂f

∂z~k

= 2xy2~ı + (2x2y + 1)~− ~k,

eta beraz,∇f(0, 0, 1) = ~− ~k.

Bektore hau S-rekiko zuta da (0, 0, 1) puntuan, eta bakarrik falta dahura normalizatzea eskatutako bektorea lortzeko:

~n =∇f(0, 0, 1)‖∇f(0, 0, 1)‖ =

1√2(~− ~k).

3.40. adibidea. Har ditzagun bi eroale, bata karga positibokoa etabestea negatibokoa. Bien artean potentzial elektriko bat sortzen da.Potentzial hori φ : IR3 → IR funtzio bat da. Eremu elektrikoa ~E = −∇φ

bektorea da.

3.15. teoremari ezker, badakigu ~E ortogonala dela φ-ren sestra-gainazalekiko.Gainazal horiek gainazal ekipotentzialak deitzen dira, zeren haietan po-tentziala konstantea baita.

3.33. irudia. Gainazal ekipotentzialak eta indar elektrikoareneremua ortogonalak dira.

3.6. Deribatu partzial iteratuak.

Izan bedi f : IR3 → IR, f ∈ C1.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 58: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

52 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

(Hau da, ∂f∂x , ∂f

∂y eta ∂f∂z existitzen dira eta jarraituak dira; f -ren difer-

entziagarritasuna inplikatzen du, 3.10. teorema.)

• Deribatu partzialek deribatu partzial jarraituak badituzte, f C2

klasekoa dela esaten dugu, edo bi bider etengabe-diferentziagarriadela.

• Halaber, f ∈ C3-ren esanahia da f -k hirugarren ordenako deribatupartzial jarraituak dituela, eta oro har, f ∈ Cn-ren esanahia da f -kn. ordenako deribatu partzial jarraituak dituela. Adibidez:

∂2f

∂x2=

∂x

(∂f

∂x

),

∂2f

∂x∂y=

∂x

(∂f

∂y

),

∂2f

∂z∂y=

∂z

(∂f

∂y

),

etab.Bistan denez, prozesu hori errepikatu egin dezakegu hirugarren or-denako deribatuetarako, eta oro har, horrela n. ordenako deribatue-tarako.

• f funtzioa bakarrik x eta y aldagaien menpekoa bada eta ∂f∂x eta ∂f

∂y

etengabe diferentziagarriak badira, f -ren bigarren deribatu partzialakhauek dira:

∂2f

∂x2,

∂2f

∂y2,

∂2f

∂x∂yeta

∂2f

∂y∂x.

Horiei guztiei deribatu partzial iteratuak deitzen zaie; bestalde,

∂2f

∂x∂yeta

∂2f

∂y∂x

deribatu partzial nahasiak dira.

3.41. adibidea. Kalkulatu funtzio hauen bigarren ordenako deribatupartzialak:

(a) f(x, y) = xy + (x + 2y)2

(b) f(x, y) = sin x sin2 y

(c) f(x, y, z) = exy + z cos x.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 59: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 6. Deribatu partzial iteratuak. 53

Ebazpena.

(a)∂f

∂x= y + 2(x + 2y),

∂f

∂y= x + 4(x + 2y);

∂2f

∂x2= 2,

∂2f

∂y2= 8,

∂2f

∂x∂y= 5,

∂2f

∂y∂x= 5.

(b)∂f

∂x= cos x sin2 y,

∂f

∂y= sin x sin 2y,

∂2f

∂x2= − sin x sin2 y,

∂2f

∂y2= 2 sin x cos 2y,

∂2f

∂x∂y= cos x sin 2y,

∂2f

∂y∂x= cos x sin 2y.

(c)∂f

∂x= yexy − z sin x,

∂f

∂y= xexy,

∂f

∂z= cos x;

∂2f

∂z∂x= − sin x,

∂2f

∂x∂z= − sinx, etab.

Ohartu adibide horietan guztietan aldagai berdinekiko deribatu partzial

nahasiak berdinak direla, adibidez∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂xeta

∂2f

∂z∂x=

∂2f

∂x∂z.

Jarraian azaltzen den teoreman, f(x, y) funtzioetarako frogatuko dugu,baina frogantza erraz heda daiteke n aldagaiko funtzioetara.

3.16. teorema. f(x, y) funtzioa C2 klasekoa bada, orduan

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x.

Frogantza.

Har dezagun adierazpen hau:

S(∆x, ∆y) =f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0 + ∆x, y0)

− f(x0, y0 + ∆y) + f(x0, y0).

y0 eta ∆y finkoak izanik, funtzio hau definitzen da:

g(x) = f(x, y0 + ∆y)− f(x, y0),

beraz, S(∆x, ∆y) = g(x0 + ∆x)− g(x0).

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 60: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

54 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Aldagai bakarreko funtzioen batez besteko balioaren teoremaren bitartez,x0 eta (x0+∆x)-ren artean x existitzen da, eta hor S(∆x, ∆y) = g′(x)∆x

da. Hori dela medio, hau idatz dezakegu:

S(∆x,∆y) =[∂f

∂x(x, y0 + ∆y)− ∂f

∂x(x, y0)

]∆x.

Berriro batez besteko balioaren teorema aplikatuz hau lortzen da:

S(∆x, ∆y) =∂2f

∂y∂x(x, y)∆x∆y.

∂2f/∂y∂x jarraitua denez, zera dugu:

∂2f

∂y∂x(x0, y0) = lim

((∆x,∆y)→(0,0)

1(∆x,∆y)

[S(∆x, ∆y)].

Antzeko modu batean ∂2f/∂x∂y formula berdinarekin emanda dagoelafrogatzen da, beraz, teorema frogatuta dago.

Ariketa. Egiaztatu aurreko teorema f(x, y) = xey + yx2 funtziorako.

Ariketa. Egiaztatu∂3f

∂x∂y∂z=

∂3f

∂z∂y∂xbetetzen dela f(x, y, z) = zexy+

yz3x2 funtziorako.

Batzuetan fx, fy, fz notazioa erabiltzen da ∂f∂x , ∂f

∂y , ∂f∂z adierazteko,

hurrenez hurren. Notazio horretan, fxy = (fx)y idazten da; beraz, de-ribatu partzial nahasien berdintasuna fxy = fyx adierazten da. Ohartufxy = ∂2f/∂y∂x dela, beraz, x eta y-ren ordena trukatzen da.

3.42. adibidea. Izan bedi z = f(x, y) = ex sin xy eta idatzi x = g(s, t),y = h(s, t) g eta h funtzioetarako. Izan bedi ~k(s, t) = f(g(s, t), h(s, t))(hots, haien konposizioa). Kalkulatu kst katearen erregela erabiliz.

Ebazpena.

Katearen erregelarekin,

ks = fxgs + fyhs =(ex sin xy + yex cosxy)gs

+ (xex cos xy)hs.

t-rekiko deribatzean, hau lortzen da:

kst = (fx)tgs + fx(gs)t + (fy)ths + fy(hs)t.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 61: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 7. Ariketak. 55

(fx)t eta (fy)t-ri katearen erregela aplikatuta, hau lortzen da:

(fx)t = fxxgt + fxyht eta (fy)t = fyxgt + fyyht,

beraz,

kst = (fxxgt + fxyht)gs + fxgst + (fyxgt + fyyht)hs

+ fyhst =

= fxxgtgs + fxy(htgs + hsgt) + fyyhths + fxgst

+ fyhst.

Egiaztatu formula simetrikoa dela, kst = kts frogatuz.

fxx, fxy eta fyy kalkulatzean, hau lortuko dugu:

kst = (ex sin xy + 2yex cosxy − y2ex sin xy)gtgs

+ (xex cosxy + ex cosxy − xyex sinxy)(htgs + hsgt)

− (x2ex sin xy)hths + (ex sin xy + yex cosxy)gst

+ (xex cosxy)hst,

non x = g(s, t) eta y = h(s, t) diren.

3.7. Ariketak.

1. Aurkitu f(1/2, 3) eta f(1, 1) baldin

f(x, y) = xy +x

y

bada.(Em.: f(1/2, 3) = 5/3 eta f(1, 1) = −2)

2. Aurkitu funtzio honen balioa:

f(x, y) =x4 + 2x2y2 + y4

1− x2 − y2

x2 + y2 = R2 zirkunferentziako puntuetan.(Em.: R4

1−R2 )

3. Izan bedi z = xf(y/x). Aurkitu f eta z funtzioak, baldin x = 1-erako z =

√1 + y2 badugu.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 62: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

56 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

4. Aurkitu eta irudikatu funtzio hauen existentzia-eremua:

a) f(x, y) = 1 +√

1− (x− y)2 ,

b) f(x, y) =√

x2 − 4 +√

4− y2 ,

c) f(x, y) =√

x2 + y2 − a2√

2a2 − x2 − y2, a > 0 delarik,

d) f(x, y) = (y sinx)1/2,

e) f(x, y) = ln(x2 + y).

5. Kalkulatu hiru aldagaiko funtzio hauen existentzia-eremuak:

a) f(x, y, z) = ln(xyz)

b) f(x, y, z) =√

1− x2 − y2 − z2 ,

c) f(x, y, z) = arcsinx + arcsin y + arcsin z.

6. Marraztu emandako funtzioaren sestra-kurbak adierazitako c-ren balioentzat.Zirriborratu z = f(x, y)-ren grafikoa.

a) f(x, y) = (100− x2 − y2)1/2, c = 2, 4, 6, 8, 10;

b) f(x, y) = x2 + xy, c = 0, 1, 2, 3,−1,−2,−3;

c) f(x, y) = x/y, c = 0, 1, 2, 3,−1,−2,−3;

d) f(x, y) = y/√

x, c = 0, 1, 2, 3,−1,−2,−3.

7. Kalkulatu limite hauek:

a) lim(x,y)→(0,0)

cos(xy)− 1x

. (Em.: 0)

b) lim(x,y)→(0,0)

sin(x2 + y2)x2 + y2

. (Em.: 1)

c) lim(x,y)→(0,0)

√x + y

x− y, x 6= y. (Em.: 6 ∃)

d) lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

. (Em.: 0)

e) lim(x,y)→(0,0)

x

x + y. (Em.: 6 ∃)

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 63: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 7. Ariketak. 57

f) lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2. (Em.: 6 ∃)

8. Aurkitu funtzio hauen etenuneak:

a) f(x, y) ={

11−x2−y2 , x2 + y2 6= 1 bada0 x2 + y2 = 1 bada.

.

(Em.: {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = 1})

b) f(x, y) ={

ln(x2 + y2), x2 + y2 6= 0 bada0 x2 + y2 = 0 bada.

.

(Em.: (0,0))

9. Frogatu

f(x, y) ={

2xyx2−y2 x2 − y2 6= 0 bada0 x2 − y2 = 0 bada

jarraitua dela bereiz x eta y aldagai bakoitzarekiko, baina ez delajarraitua (0, 0) puntuan bi aldagaiko funtzio gisa.

10. Aztertu funtzio hauen jarraitutasuna:

a) f(x, y) ={ xy

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) bada0 (x, y) = (0, 0) bada

.

(Em.: Jarraitua IR2 − {(0, 0)} multzoan)

b) f(x, y) ={

y x2−y2

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) bada0 (x, y) = (0, 0) bada.

.

(Em.: Jarraitua IR2 multzoan)

11. Aurkitu funtzio hauen deribatu partzialak:

a) z = ln(x +√

x2 + y2).

(Em.:∂z

∂x=

1√x2 + y2

eta∂z

∂y=

y

x√

x2 + y2 + x2 + y2)

b) z = xy.

(Em.:∂z

∂x= yxy−1 eta

∂z

∂y= xy log x)

c) u = (xyz).

(Em.:∂u

∂x= yz,

∂u

∂y= xzyz−1 eta

∂u

∂z= xyz log y)

d) z = arctany

x

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 64: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

58 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

(Em.:∂z

∂x= − y

x2 + y2eta

∂z

∂y=

x

x2 + y2)

12. Kalkulatu f(x, y) =∣∣∣∣x− y

x + y

∣∣∣∣ funtzioaren deribatu partzialak (0, 1)

puntuan, existitzen badira. Baldin f(0, 0) = 1 bada, existitzen diraderibatu partzialak (0, 0)-an?

13. Izan bedi

f(x, y) ={

xy tan yx , x 6= 0 bada

0, x = 0 bada.

Aztertu zein puntutan betetzen duen f -k ekuazio hau:

x∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y(x, y) = 2f(x, y).

14. Aztertu funtzio hauen jarraitutasuna, deribatu partzialen existentziaeta diferentziagarritasuna O koordenatu-jatorrian:

a) f(x, y) =

{ 2xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0) bada

0 (x, y) = (0, 0) bada

b) f(x, y) =

x3 + 4y3

2x2 − y22x2 6= y2 bada

0 2x2 = y2 bada

15. Aurkitu funtzio hauen grafikoarekiko plano-ukitzaile baten ekuazioa(x0, y0, f(x0, y0)) puntuan:

a) f(x, y) = (x2 + 4y2), (x0, y0) = (2,−1).(Em.: z = 4x− 8y − 8)

b) f(x, y) = (x2 + y)−12 , (x0, y0) = (1, 1).

(Em.: z = − 12√

2x− 1

4√

2y +

74√

2)

c) f(x, y) = ln (x + y)+x cos y+arctan (x + y), (x0, y0) = (1, 0).

(Em.: z =52x +

32y +

π

4− 3

2)

d) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (2, 1).(Em.: z = x + 2y − 2)

e) f(x, y) = (x2 + y2)1/2, (x0, y0) = (1, 1).

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 65: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 7. Ariketak. 59

(Em.: z =1√2x +

1√2y)

16. Aurkitu gainazal hauekiko ukitze-planoaren ekuazio bat emandakopuntuan:

a) x2 + y2 + z2 = 3, (1, 1, 1)-ean;

b) (cos x)(cos y)ez = 0, (π

2, 1, 0)-n;

c) exyz = 1, (1, 1, 0)-n;

d) x3 − 2y3 + z3 = 0, (1, 1, 1)-n;

d) x2 + y2 + z2 = 2Rz, (R cosα,R sin α, R)-n.

17. Aurkitu ∇f(x, y) gradiente bektorea IR2-ko puntu guztietan funtziobakoitzerako:

a) f(x, y) = x2y2 ln(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0) eta f(0, 0) = 0badira. (Em.: ∇f(x, y) =(2xy2

[log(x2 + y2) + x2

x2+y2

], 2x2y

[log(x2 + y2) + y2

x2+y2

]),

(x, y) 6= (0, 0) bada;

eta ∇f(x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0) bada)

b) f(x, y) = xy sin(

1x2 + y2

)(x, y) 6= (0, 0) eta f(0, 0) = 0

badira. (Em.: ∇f(x, y) =(y

[sin 1

x2+y2 − 2x2

(x2+y2)2 cos 1x2+y2

], x

[sin 1

x2+y2 − 2y2

(x2+y2)2 cos 1x2+y2

]),

(x, y) 6= (0, 0) bada;

eta ∇f(x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0) bada)

18. Frogatu x ∂z∂x + y ∂z

∂y = xy + z baldin z(x, y) = xy + xe(y/x) bada.

19. Frogatu ∂u∂x + ∂u

∂y + ∂u∂z = 1 baldin u(x, y, z) = x +

x− y

y − zbada.

20. Izan bitez f(x, y) = x2 + y eta h(u) = (sin 3u, cos 8u). Izan bedi

g(u) = f(h(u)). Kalkulatudg

duu = 0-an bi eratan, hots, zuzenean

eta katearen erregela erabiliz. (Em.: 0)

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 66: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

60 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

21. Izan bedi y(x) inplizituki definitua G(x, y(x)) = 0-ren bidez, non G

bi aldagaiko funtzio bat baita. Baldin y(x) eta G diferentziagarriakbadira, frogatu

dy

dx= −

∂G∂x∂G∂y

,∂G

∂y6= 0 bada

Izan bedi y inplizituki definitua x2+y3+ey = 0-ren bidez. Kalkulatudy

dxderibatua x eta y gaien bitartez.

22. Aurkitudu

dtkasu hauetan:

a) u = ln(sinx√y), non x = 3t2, y = (t2 + 1)1/2,

b) u = xyz, non x = t2 + 1, y = ln t, z = tan t.

23. Aurkitu ∂z∂x eta ∂z

∂y baldin z = f(u, v) bada, non u = exy eta v =x2 − y2

24. Frogatu w = f(u, v) funtzioak, non u = x+at eta v = y+bt, ekuaziohau betetzen duela:

∂w

∂t= a

∂w

∂x+ b

∂w

∂y.

25. Frogatu z = xy + xφ( yx ) funtzioak x ∂z

∂x + y ∂z∂y = xy + z ekuazioa

betetzen duela.

26. Izan bedi z = z(x, y) funtzioa inplizituki definitua z2+2/x =√

y2 − z2

berdintzaren bidez. Frogatu:

x2 ∂z

∂x+

1y

∂z

∂y=

1z

27. f : IR3 → IR eta g : IR → IR3 funtzioetarako, aurkitu ∇f eta g′ etakalkulatu (f ◦ g)′(1).

a) f(x, y, z) = xz + yz + xy, g(t) = (et, cos t, sin t);

b) f(x, y, z) = exyz, g(t) = (6t, 3t2, t3);

c) f(x, y, z) = (x2+y2+z2) ln (x2 + y2 + z2)1/2, g(t) = (et, e−t, t).

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 67: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 7. Ariketak. 61

28. Kalkulatu f funtzio hauen norabide-deribatuak emaniko norabideeta puntuetan:

a) f(x, y, z) = (xy2 + y2z3 + z3x), P = (4,−2,−1), ~v =1√14

(~ı +

3~ + 2~k). (Em.: 15/√

14)

b) f(x, y, z) = xyz, P = (e, e, 0), ~v =113

(12~ı + 3~ + 4~k). (Em.:

4e/13)

c) f(x, y, z) = xy + yz + zx, P = (1, 1, 2), ~v = (10,−1, 2). (Em.:

31/√

105)

29. Zein norabidetan da zero f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2funtzioaren norabide-

deribatua (1,1) puntuan?

30. Frogatu ~n = (1√2)(~− ~k) bektore unitario normala dela x3y3 + y −

z + 2 = 0 gainazalarekiko (0,0,2) puntuan.

31. Ralph kapitaina Merkurioren alde eguzkitsuan zegoen, eta nabarituzuen bere jantzi berezia urtzen ari zela. Koordenatu cartesiarretakosistema batean, tenperatura T (x, y, z) = e−x + e−2y + e−3z da hareningurune batean.Kapitaina (1,1,1) puntuan badago, zein norabidetan hasi behar du

mugitzen ahalik eta azkarren hozteko?

32. Aurkitu zein norabidetan handiagotzen den azkarrago w = x2 + xy

funtzioa (-1,1) puntutik. Zein da ∇w-ren tamaina norabide horre-tan?

33. Izan bedi h(x, y) = 2e−x2+ e−3y2

mendi baten altuera (x, y) puntubatean. (1,1) puntutik zein norabidetan joan behar dugu azkarrenigotzeko ?

34. Kalkulatu f(x, y) =ex

x2 + y2funtzioaren grafikoarekiko ukitze-pla-

noaren ekuazioa x = 1, y = 1-ean.

35. Aurkitu x2 + y2 − z2 − 2x = 0 gainazaleko puntuak, non harekikoplano ukitzaileak puntu horietan, koordenatu-planoen paraleloak di-ren.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 68: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

62 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

36. Kalkula itzazu funtzio hauen bigarren ordenako deribatu partzialak:

a) f(x, y, z) = ez +1x

+ xe−y.

(Em.: Izan bitez fxx =∂2f

∂x2eta abar. fxx = 2/x3, fxy = fyx =

−e−y, fxz = fzx = 0, fyy = xe−y, fyz = fzy = 0, fzz = ez)

b) f(x, y) = cos(xy2).

(Em.: fxx = −y4 cos(xy2), fxy = fyx = −2y sin(xy2)−2xy3 cos(xy2),fyy = −2x sin(xy2)− 4x2y2 cos(xy2))

c) f(x, y) = ln (x2 + y).

(Em.: fxx =2y − 2x2

(x2 + y2)2, fxy = fyx = − 2x

(x2 + y2)2, fyy =

− 1(x2 + y2)2

)

d) f(x, y) = x arctanx

y.

(Em.: fxx =y

x2 + y2+

y3 − x2y

(x2 + y2)2, fxy = fyx = − 2xy2

(x2 + y2)2,

fyy =2x2y

(x2 + y2)2)

37. Frogatu u(x, y) = ex sin y funtzioak ekuazio hau betetzen duela:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0, (Laplace-ren ekuazioa).

38. Izan bedi f(x, y, z) = zexy + yz3x2, egiaztatu hau:

∂3f

∂x∂y∂z=

∂3f

∂y∂z∂x

.

39. Izan bitez fxx =∂2f

∂x2eta abar. Frogatu funtzio hauek:

a) f(x, y) = ln (x2 + y2)

b) g(x, y, z) =1

(x2 + y2 + z2)1/2

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 69: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 8. Taylor-en formulak. Goi-ordenako deribatuak. 63

c) h(x, y, z, w) =1

x2 + y2 + z2 + w2

betetzen dutela bakoitzari dagokion Laplace-ren ekuazioa:

a) fxx + fyy = 0

b) gxx + gyy + gzz = 0

c) hxx + hyy + hzz + hvv = 0.

40. Adierazi ekuazio hauek u eta v aldagai aske berrien menpe:

a) x ∂z∂x + y ∂z

∂y − z = 0; u = x, v =y

xbadira.

(Em.: u∂z

∂u− z = 0)

b) y ∂z∂x − x ∂z

∂y = (y − x)z; u = x2 + y2, v =1x

+1y

badira.

(Em.: ± v2√

1 + v2u

1±√1 + v2u

∂z

∂v+ z = 0)

c) x2 ∂2z

∂x2− y2 ∂2z

∂y2= 0; u = xy, v =

x

ybadira.

(Em.: −4uv∂2z

∂u∂v+ 2v

∂z

∂v= 0)

3.8. Taylor-en formulak. Goi-ordenako de-ribatuak.

Izan bedi f : U ⊂ IR → IR funtzio infinitu bider diferentziagarria x0 ∈ U

puntuan. Orduan, Taylor-en formula hau da:

f(x) =f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . . +

f (n)(x0)n!

(x− x0)n

+ Rn(x, x0),

non

Rn(x, x0) =∫ x

x0

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt

hondarra (edo gai osagarria) baita. Dakigunez,

limx→x0

Rn(x, x0)(x− x0)n

= 0;

hots, Rn(x, x0) k-ordenako infinitesimoa da x → x0 denean. Bestelaesanda, Rn(x, x0) oso txikia da (x− x0)k kopuruarekiko.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 70: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

64 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

h = x− x0 definituz, Taylor-en formula honela idatz dezakegu:

f(x0 +h) = f(x0)+ f ′(x0)h+f ′′(x0)

2!h2 + . . .+

f (n)(x0)n!

hn +Rn(h, x0).

3.8.1. Taylor-en lehen mailako formula.

Taylor-en lehenengo mailako polinomioa ikusia dugu. Izan ere, diferen-tziagarritasunaren definiziotik zera ondorioztatzen da:

f : IRn → IR diferentziagarria bada ~x0 puntuan eta hau definitzenbadugu:

R1(~x, ~x0) = f(~x)− f(~x0)− [∇f(~x0)](~x− ~x0),

baliokidetzaz:

f(~x) = f(~x0) + [∇f(~x0)](~x− ~x0) + R1(~x, ~x0),

orduan, diferentziagarritasunaren definizioaz hau betetzen da:

lim~x→~x0

R1(~x, ~x0)‖~x− ~x0‖ = 0.

R1(~x, ~x0), o(~h) idazkeraren bitartez ere adierazten da, ~h = ~x − ~x0

izanik.

(Hemendik aurrera, idazkera muturreraino eramanez, R1(~x, ~x0)-ren or-dez R1(~h, ~x0) idatziko dugu.)

3.17. teorema. Taylor-en lehen mailako formula.

Izan bedi f : U ⊂ IRn → IR diferentziagarria ~x0 ∈ U puntuan. Orduan,hau idatz dezakegu:

f(~x0 + ~h) = f(~x0) +n∑

i=1

hi∂f

∂xi(~x0) + R1(~h, ~x0),

non R1(~h, ~x0)/‖~h‖ → 0 betetzen baita ~h → ~0 denean.

3.18. teorema. Taylor-en bigarren mailako formula.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 71: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.8.2. Taylor-en bigarren mailako formula. 65

Izan bedi f : U ⊂ IRn → IR C2 klaseko funtzio bat. Orduan, hau idatzdezakegu:

f(~x0 + ~h) =f(~x0) +n∑

i=1

hi∂f

∂xi(~x0)

+12

n∑

i,j=1

hihj∂2f

∂xi∂xj(~x0) + R2(~h, ~x0),

(3.5)

non R2(~h, ~x0)/‖~h‖2 → 0 betetzen baita ~h → ~0 denean.

Oharra. Bigarren batukariaren batugaien kopurua n2 da.

3.43. adibidea. Kalkulatu bigarren mailako Taylor-en formula f(x, y) =sin(x + 2y) funtziorako, (x0, y0) = (0, 0)-ren ingurunean.

Ebazpena.

Ohartu

f(0, 0) = 0,

∂f

∂x(0, 0) = cos(0 + 2 · 0) = 1,

∂f

∂y(0, 0) = 2 cos(0 + 2 · 0) = 2,

∂2f

∂x2(0, 0) = 0,

∂2f

∂y2(0, 0) = 0,

∂2f

∂x∂y(0, 0) = 0.

Beraz,f(~h) = f(h1, h2) = h1 + 2h2 + R2(~h, (0, 0)),

non ~h → 0 denean|R2(~h, (0, 0))|

‖~h‖2≤ ‖~h‖M → 0.

3.8.2. Taylor-en bigarren mailako formula.

Izan bedi f : IRn → IR bi bider etengabe diferentziagarria. Izan bedi∇f : IRn → IRn haren gradientea, zeina diferentziagarria baita f ∈ C2

izateagatik. Orduan, D(∇f) (alegia, gradientearen deribatua) gradien-tearen jacobiarra da; f -ren matrize hessiar (edo hessiar soilik) deritzogu,eta ∇2f idazten dugu.

Izan bedi f : IR3 → IR C2 klaseko funtzio bat. Beraz, ∇f : IR3 → IR3,

∇f =[∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

]

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 72: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

66 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

delarik. Ondorioz:

∇2f =

∂2f

∂x2

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂z∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

∂2f

∂z∂y

∂2f

∂x∂z

∂2f

∂y∂z

∂2f

∂z2

Hau da, ∇2f : IR3 → IR3×3.

3.44. adibidea. f(x, y, z) = x3y2z bada, orduan,

∇f(x, y, z) =[3x2y2z 2x3yz x3y2

]

dugu, eta

∇2f(x, y, z) =

6xy2z 6x2yz 3x2y2

6x2yz 2x3z 2x3y

3x2y2 2x3y 0

.

Beraz, (x, y, z) = (2,−1, 3) puntuan f -ren hessiarra hau da:

∇2f(2,−1, 3) =

36 −72 12−72 48 −1612 −16 0

.

Matrize hessiarra simetrikoa da, C2 baita. Idazkera berria erabiliz,Taylor-en teoremaren (3.5) adierazpena era matrizial honetan idatz de-zakegu:

f(~x0 + ~h) = f(~x0) +∇f(~x0)~h +12~ht∇2f(~x0)~h + R2(~h, ~x0). (3.6)

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 73: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 9. Mutur lokalak eta globalak. 67

Definizioa. Izan bedi f ∈ IRn → IR honela definitzen den funtzioa:

f(~x) = f(x1, x2, . . . , xn) =n∑

i,j=1

aijxixj

= [x1 x2 . . . xn]

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

= ~xtA~x,

funtzio horri koadratiko deitzen diogu, eta A haren matrize karratu elkar-tua da.

Adibidez, f(h1, h2, h3) = h21 − 2h1h2 + h2

3 funtzio koadratikoa da, izanere,

f(h1, h2, h3) = [h1 h2 h3]

1 −1 0−1 0 00 0 1

h1

h2

h3

.

Oharrak.

1. Bistan denez, (3.6) adierazpeneko H(~h) = ~ht∇2f(~x0)~h gaia funtziokoadratiko bat da.

2. Gogora dezagun A matrizea definitu positiboa dela ~xtA~x > 0 bete-tzen denean IRn-ko ~x 6= ~0 guztirako. Ondorioz, A matrizea definitupositiboa bada, f funtzio koadratikoa definitu positiboa dela esangodugu. Alderantziz ere esan dezakegu.

3. Antzera definitzen dira funtzio koadratiko definitu negatiboa eta in-definitua.

Beraz, f(h1, h2, h3) = h21 − 2h1h2 + h2

3 funtzio koadratikoa indefinituada.

3.9. Mutur lokalak eta globalak.

Definizioak. Demagun f : D ⊂ IRn → IR funtzioa. Izan bedi ~x∗ ∈ D

puntu bat.

(a) f(~x) funtzioak ~x∗ puntuan D multzoan minimo global ahul bathartzen du hau betetzen bada:

f(~x∗) ≤ f(~x) ∀ ~x ∈ D;

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 74: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

68 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

(b) f(~x) funtzioak ~x∗ puntuan D multzoan minimo global sendo (edohertsi) bat hartzen du hau betetzen bada:

f(~x∗) < f(~x) ∀ ~x ∈ D, ~x 6= ~x∗;

(c) f(~x) funtzioak ~x∗ puntuan minimo lokal ahul bat hartzen du haubetetzen bada:

∃ δ > 0 | f(~x∗) ≤ f(~x) ∀ ~x ∈ D ∩Dδ(~x∗);

(d) f(~x) funtzioak ~x∗ puntuan minimo lokal sendo (edo hertsi) bathartzen du hau betetzen bada:

∃ δ > 0 | f(~x∗) < f(~x) ∀ ~x ∈ D ∩Dδ(~x∗), ~x 6= ~x∗;

Oharrak.

• Definizio hauetan, ≤ eta <-ren ordez ≥ eta > idatziz f -ren maximoglobal ahularen, maximo global sendoaren, maximo lokal ahularen etamaximo lokal sendoaren definizioak izango ditugu.

• ~x∗ minimo- edo maximo-puntu globala bada, mutur global (edo abso-lutu) deitzen da.

• ~x∗ minimo- edo maximo-puntu lokala bada, mutur lokal edo (erlatibo)deitzen da.

Definizioak.

• D ⊂ IRn multzoa bornatua da baldin M > 0 zenbaki bat existitzenbada non ‖~x‖ < M baita x ∈ D guztietarako. (Hau da, D multzoa O

zentroko M erradioko bola baten barnean badago.)

3.34. irudia. D = U⋃

∂U multzo itxia.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 75: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 9. Mutur lokalak eta globalak. 69

• Multzo bat itxia da baldin muga-puntu guztiak barnean badauzka.(Marrazkian, U multzo ireki bat da eta ∂U haren muga multzoa.)

3.19. teorema. Izan bedi D ⊂ IRn itxi eta bornatua (hau da, trinkoa),eta izan bedi f : D → IR jarraitua. Orduan f -k bere maximo eta minimoglobalak hartzen ditu D-ko x1 eta x2 puntu batzuetan.

Oharra. Puntu horiek ez dute zertan bakarrak izan.

3.20. teorema. Izan bitez U ⊂ IRn multzo ireki bat, f : U → IRfuntzio diferentziagarri bat eta ~x∗ ∈ U f -ren mutur lokal bat. Orduan,∇f(~x∗) = ~0.

Frogantza. Demagun f funtzioak ~x∗ puntuan maximo bat hartzen du-ela (alegia, ~x∗ f -ren maximo-puntua dela). Orduan, ~h ∈ IRn orotarako,g(t) = f(~x∗+ t~h) funtzioak maximo lokal bat hartzen du t = 0 puntuan.Beraz, eta g aldagai bateko funtzio deribagarria denez gero, g′(0) = 0bete behar da. Bestalde, katearen erregelarekin hau dugu:

g′(0) = [∇f(~x∗)]~h.

Beraz, [∇f(~x∗)]~h = 0 dugu edozein ~h-tarako, eta esan nahi du∇f(~x∗) =~0 dela.

~x∗ minimo-puntu lokala izatekotan frogantza erabat antzekoa da.

Definizioa. ~x0 puntu batean f deribagarria ez denean edo ∇f(~x0) = ~0denean, puntu horri f -ren puntu kritiko deritzogu.

Oharrak.

1. Aurreko teoremaren arabera f deribagarria bada, mutur lokal oropuntu kritikoa da. (Kontuz!, oro har, alderantzizkoa ez da egia.)

2. ~x∗ mutur globala U multzo irekian ⇒ ~x∗ mutur lokala U multzoan⇒ ~x∗ puntu kritikoa.

3. Beraz, D multzo trinko batean f -ren mutur globalak bilatzeko, nahikoada D multzoan dauden puntu kritikoak aurkitzea eta gero, f -renbalioen arabera, esatea zein puntutan hartzen duen f -k maximoglobala eta zeinetan minimo globala. Izan ere, Weierstrass-en teore-maren arabera, puntu horien artean f -ren mutur globalak izan be-har dira. (Geroago, mutur globalak aurkitzeko metodo bat ikusikodugu.)

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 76: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

70 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.45. adibidea. Aurkitu z = x2y + y2x funtzioaren puntu kritikoguztiak.

Ebazpena. Deribatuz eta zerora berdinduz, hau lortzen da:

∂z

∂x= 2xy + y2 = 0,

∂z

∂y= 2xy + x2 = 0.

Jarraian, ekuazio-sistema hori ebazten da ekuazio bati bestea kenduzatalez atal; ondorioz, x2 = y2 ekuazioa dugu, alegia, x = ±y. Gero,x = y ordezkatzen da 1. ekuazioan, eta 3y2 = 0 lortzen da; beraz, y = 0da, eta orduan, x = 0. Bestalde, x = −y ordezkatzen da 1. ekuazioan,eta −y2 = 0 lortzen da; beraz, y = 0 da, eta, ondorioz, x = 0.

Aurrekoaren arabera, puntu kritiko bakar bat dago: (0, 0) puntua. Bainax = y-rako z = 2x3 dugu. Ondorioz, z funtzioak puntu kritikoan 0balioa hartzen du, eta haren ingurunean negatiboa da x negatiboa de-nean eta positiboa x positiboa denean. Hortaz, (0, 0) ez da mutur lokalbat.

Jarraian, mutur lokalak aurkitzeko baldintza nahikoak ikusiko ditugu.

3.21. teorema. Izan bitez U ⊂ IRn irekia, f : U → IR C2-klasekofuntzio bat eta ~x∗ ∈ U f -ren puntu kritiko bat. Orduan, hau betetzenda:

(i) ∇2f(~x∗) matrize Hessiarra definitu positiboa bada, ~x∗ f -ren mini-mo-puntu lokal sendoa da.

(ii) ∇2f(~x∗) matrize Hessiarra definitu negatiboa bada, ~x∗ f -renmaximo-puntu lokal sendoa da.

Jarraian azaltzen den teorema aurreko teoreman 3.5. teorema aplikatuz

frogatzen da. Kontuan hartu H(h1, h2) = [h1 h2]∇2f(x∗, y∗)[

h1

h2

]

funtzio koadratikoa dugula.

3.22. teorema. Izan bedi f(x, y) C2-klaseko funtzio bat, U ∈ IR2

multzo irekian definitua. (x∗, y∗) puntua f -ren minimo-puntu lokal sendoada hiru baldintza hauek batera betetzen baditu:

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 77: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 9. Mutur lokalak eta globalak. 71

(i)∂f

∂x(x∗, y∗) =

∂f

∂y(x∗, y∗) = 0.

(ii)∂2f

∂x2(x∗, y∗) > 0.

(iii) D =(

∂2f

∂x2

)(∂2f

∂y2

)−

(∂2f

∂x∂y

)2

> 0 (x∗, y∗) puntuan

Oharrak.

1. Teorema honetako (i) eta (iii) baldintzak mantenduz eta (ii)-a or-dezkatuz, hau dugu:

(ii)∂2f

∂x2(x∗, y∗) < 0 bada, (x∗, y∗) puntuan f -k maximo lokal sendo

bat hartzen du.Adibidez, (0, 0) puntuan f(x, y) = −x2 − y2 funtzioak maximoa

hartzen du.

2. D-ri diskriminatzaile deitzen zaio. D < 0 bada, H(h1, h2) indefinituada eta, ondorioz, (x∗, y∗) puntua f -ren zeladura-puntua da. Adibidez,(0, 0) puntua f(x, y) = x2 − y2 funtzioaren zeladura-puntua da.

3.35. irudia. Zeladura-puntu bat.

3.46. adibidea. Sailkatu f(x, y) = x2 − 2xy + 2y2 funtzioaren puntukritikoak.

Ebazpena.∂f/∂x = 2x− 2y = 0

∂f/∂y = −2x + 4y = 0.

Beraz, sistema horren soluzio bakarra (0, 0) da, hots, f -ren puntu kritikobakarra baita. Bestalde,

∇2f =[

2 −2−2 4

].

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 78: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

72 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Beraz, (0, 0) puntuan f -ren hessiarra berbera da, eta kasu honetan,a = 2 > 0 eta D = det(∇2f(0, 0)) = 4 > 0. Orduan ∇2f(0, 0) definitupositiboa da; ikus 3.5. teorema. Ondorioz, (0, 0) puntua f -ren minimo-puntu lokal sendoa da.

3.47. adibidea. Aurkitu f(x, y) = ln(x2+y2+1) funtzioaren muturrak.

Ebazpena.

(0, 0) f -ren puntu kritiko bakarra da, eta f -k minimo lokal bat hartzendu hor.

3.48. adibidea. g(x, y) = 1/xy funtzioaren grafikoa IR3-ko S gainazalada. Aurkitu (0, 0, 0) jatorritik gertuen dauden S-ko puntuak.

Ebazpena.

O = (0, 0, 0)-tik (x, y, z)-rako distantzia ematen du adierazpen honek:

d(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2.

Baina (x, y, z) ∈ S denez, z-ren ordez 1/xy jar dezakegu, eta, orduan,aurreko adierazpena hau bihurtzen da:

d(x, y) =√

x2 + y2 +1

x2y2.

Bestalde, d minimizatu egiten da

f(x, y) = d2(x, y) = x2 + y2 +

1x2y2

minimizatzen denean. Beraz, f -ren minimizatzaileak aurkitu behar di-tugu. Horretarako ∇f(x, y) = 0 sistema ebatzi dugu, eta emaitzak(1, 1), (1,−1), (−1, 1) eta (−1,−1) dira.Halaber, ∇2f(x, y) kalkulatzen da. Eta puntu kritiko guztietarako hes-siarrak itxura hau du: [

8 ±4±4 8

].

Lau puntuetan a = 8 > 0 eta D = ac − b2 = 48 > 0 direnez, hessiarradefinitu positiboa da horietan, eta, ondorioz, laurak minimo lokalak dira.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 79: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak. 73

Gainera, d-ren balioa√

3 da lau puntuetan. Ondorioz, eskatutako S-kopuntuak lau dira:

(1, 1, 1), (1,−1,−1), (−1, 1,−1) eta (−1,−1, 1)

(azken koordenatua S-ren ekuaziotik ondorioztatzen da); O-tik√

3 dis-tantziara dago.

3.49. adibidea. Aztertu z = x5y + xy5 + xy funtzioaren puntu kri-tikoak.

Ebazpena.∂z/∂x = y(5x4 + y4 + 1)

∂z/∂y = x(5y4 + x4 + 1).

Parentesien artean dauden adierazpenen balioak beti dira 1 edo 1 bainohandiagoak; ondorioz, puntu kritiko bakarra (0, 0) da.

Hessiarra puntu horretan hau da:

H = ∇2z(0, 0) =[

0 11 0

].

Orduan, [h1 h2]H[

h1

h2

]= 2h1h2; positiboa da h1 eta h2-k zeinu

berdina dutenean, baina, negatiboa zeinu desberdina dutenean; beraz,H indefinitua da. (Laburragoa da ikustea D = −1 dela, eta, beraz, H

indefinitua dela.) Ondorioz, (0, 0) zeladura-puntua da.

3.50. adibidea. Berriz hartuko dugu f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy +yz−xz funtzioa. 3.2. adibidean, IRn-ko puntu guztietan funtzio horrenhessiarra definitu positiboa dela ikusten da. Bestalde, funtzio horrenpuntu kritikoak sistema hau ebatziz kalkulatzen dira:

2x− y − z = 0

−x + 2y + z = 0

−x + y + 2z = 0.

Sistema homogeneo horren koefizienteen matrizearen determinantea ezdenez zero, emaitza bakarra (0, 0, 0) da, eta hori da f -ren puntu kritikobakarra. Azkenik, (0, 0, 0) puntuan f funtzioak minimo lokal sendobat hartzen du, zeren f -ren Hessiarra definitu positiboa baita puntuhorretan.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 80: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

74 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren bider-katzaileak.

3.23. teorema. Lagrange-ren biderkatzailearen teorema.

Izan bitez f, g : U ⊂ IRn → IR funtzio leunak (hots, C1 klasekoak gu-txienez).

Izan bitez ~x∗ ∈ U eta g(~x∗) = c, eta izan bedi S, g funtzioari dagokionc sestra-multzoa (hau da, g(~x) = c ekuazioa duten ~x puntuen multzoa).

Demagun ∇g(~x∗) 6= 0 dela.

Baldin S-ra mugatutako f funtzioak ~x∗ puntuan maximo edo minimolokal bat hartzen badu S multzoan, orduan λ zenbaki bat existituko dahau betetzen duena:

∇f(~x∗) = λ∇g(~x∗). (3.7)

Aurreko teoremaren alde geometrikoa korolario honetan nabarmentzenda.

3.1. korolarioa. Izan bedi f : IR3 → IR funtzio diferentziagarria.Baldin S gainazalera mugatutako funtzioak ~x∗ puntuan maximo edo mi-nimo bat hartzen badu, ∇f(~x∗) bektorea S gainazalarekiko ortogonalaizango da ~x∗ puntuan. (Ikusi (3.7).)

3.36. irudia. Lagrange-ren teoremaren geometria.

f funtzio mugatu baten muturrak kalkulatzeko, (3.7) ekuazio-sistemaebatz dezakegu, eta ~x∗ puntua eta λ konstantea aurkitu. λ konstanteariLagrange-ren biderkatzaile deritzogu.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 81: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak. 75

Izan bedi sistema hau:

∇f(~x)− λ∇g(~x) = ~0 (3.8)

g(~x)− c = 0, (3.9)

hor, (3.8) sistema (3.7) adierazpenetik ondorioztatzen da.

Aurreko (3.8–3.9) sistema sortzen da L(~x, λ) = f(~x) − λ · [g(~x) − c]funtzioaren gradientea zerora berdinduz. L(~x, λ) funtzioari funtzio La-grangear deritzogu. Ondorioz, g(~x) = c murrizketak baldintzaturikof(~x) funtzioaren muturrak kalkulatzeko, L(~x, λ) funtzioaren puntu kri-tikoak aurkitu behar ditugu. Alegia, ~x puntuak non ∇L(~x, λ) = ~0 baita.

3.51. adibidea. Izan bedi S ⊂ IR2 multzoa 45o inklinaturiko zuzena(−1, 0) puntutik igarotzen dena, eta izan bedi f : IR2 → IR, (x, y) 7→x2 + y2. Aurkitu S-ra mugaturiko f -ren muturrak.

Ebazpena.

Zuzenaren ekuazioa y − 0 = tan 45o(x− (−1)) da. Beraz, S = {(x, y) |y − x− 1 = 0}.

3.37. irudia. y−x−1 = 0-k murrizturiko f(x, y) = x2 +y2-ren muturren bila.

Orduan, problema hau da:

maximizatu x2 + y2

baldin: y − x− 1 = 0.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 82: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

76 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Hau da, g(x, y) = y − x − 1 eta c = 0. Beraz, ∇g(x, y) = (−1, 1).Bestalde, ∇f(x, y) = (2x, 2y). Eta dakigunez, bi bektore horiek ko-linealak diren S-ko puntuetan bakarrik egon daitezke S-ra mugaturikof -ren mutur lokalak. Hots, sistema hau bete behar dute:

2x = λ · (−1)

2y = λ · (1)

y − x− 1 = 0.

Sistema horren emaitza (x, y) = (−1/2, 1/2) eta λ = 1 da. Irudianikusten dugun bezala, puntu hori S-rekiko f -ren minimo-puntu lokalada, baina ez da f -rena (IR2-rekikoa). Baina oraindik ez dugu puntukritikoak analitikoki aztertzeko tresnarik.

Oharra. Puntu kritikoak maximo- edo minimo-puntuak diren jakiteko,edo ez bata ez bestea ez diren jakiteko, bigarren deribatuan oinarritu-tako irizpideak eman behar ditugu.

3.24. teorema. Bigarren ordenako baldintza nahikoak.

Demagun f, g : IRn → IR funtzioak C2-klasekoak direla. Demagun ~x∗

L(~x, λ)-ren puntu kritiko bat dela eta λ∗ ∈ IR berari dagokion Lagrange-ren biderkatzailea. Izan bedi

W (~x∗) = ∇2f(~x∗)− λ∗∇2g(~x∗).

Orduan,(i) ~htW (~x∗)~h < 0 bada edozein ~h ez-nulutarako, non ∇g(~x∗)~h = 0,

orduan ~x∗ puntuan g(~x) = c ekuazioak baldintzaturiko f funtzioakmaximo bat hartzen du.

(ii) ~htW (~x∗)~h > 0 bada edozein ~h ez-nulutarako, non ∇g(~x∗)~h = 0,orduan ~x∗ puntuan g(~x) = c ekuazioak baldintzaturiko f funtzioakminimo bat hartzen du.

Aurreko adibideari irizpide hori aplikatuz gero, zera dugu:

W (x, y) =[

2 00 2

]− λ ·

[0 00 0

]=

[2 00 2

],

eta hori definitu positiboa denez (x, y) guztietarako, (−1/2, 1/2) pun-tuan ere bai. Hortaz, puntu hori minimo-puntu lokala da.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 83: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak. 77

3.52. adibidea. Izan bedi f(x, y) = x2 − y2 funtzioa, eta izan bedi S

1 erradioko O zentroko zirkunferentzia. Aurkitu S-ra mugaturiko f -renmutur lokalak.

3.38. irudia. x2+y2 = 1-ek murrizturiko f(x, y) = x2−y2.

Ebazpena. Bistan denez S = {(x, y) | g(x, y) = x2 +y2 = 1}. Irudiarenbitartez, erraz ikusten da S-ra mugaturiko f -k muturrak (±1, 0) eta(0,±1) puntuetan hartzen dituela, (0,±1) minimo-puntuak direla, eta(±1, 0), maximo-puntuak.

Jarraian, problema analitikoki ebatziko dugu. Lagrange-ren biderkatza-ileen metodoa erabiliz, sistema hau dugu:

∇f(x, y) = λ · ∇g(x, y)

g(x, y) = c.

Hots,2x = λ2x

−2y = λ2y

x2 + y2 = 1.

Lehenengo ekuaziotik x = 0 edo λ = 1 soluzioak ditugu.

• x = 0 bada, orduan (3. ekuazioan ordezkatuz) y = ±1, eta (azkenhoriek 2. ekuazioan ordezkatuz) λ = −1 dugu.

• λ = 1 bada, orduan (2. ekuazioan ordezkatuz) y = 0, eta (azken hori3. ekuazioan ordezkatuz) x = ±1 dugu.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 84: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

78 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Orain, bigarren ordenako baldintza nahikoak aztertuko ditugu. Lehenengo,W (x, y) matrizea kalkulatuko dugu:

W (x, y) =[

2 00 −2

]− λ

[2 00 2

]=

[2− 2λ 0

0 −2− 2λ

].

Bigarrenez, ∇g(x, y)~h biderkadura kalkulatzen da:

[2x 2y][

h1

h2

]= 2xh1 + 2yh2.

x = 0 y = ±1 λ = −1 puntu kritikoetarako hau dugu:

2 · 0 · h1 + 2 · (±1) · h2 = 0 ⇒ h2 = 0.

eta ~h = (h1, 0) bektoreetarako ~htW (0,±1)~h kalkulatzen da,

[h1 0][

4 00 0

] [h1

0

]= 4h2

1 > 0.

Ondorioz, (0,±1) puntuak f -ren minimo-puntuak dira x2 + y2 = 1zirkunferentzian.

x = ±1 y = 0 λ = 1 puntu kritikoetarako hau dugu:

2 · (±1) · h1 + 2 · 0 · h2 = 0 ⇒ h1 = 0.

eta ~h = (0, h2) bektoreetarako ~htW (±1, 0)~h kalkulatzen da,

[0 h2][

0 00 −4

] [0h2

]= −4h2

2 < 0.

Ondorioz, (±1, 0) puntuak f -ren maximo-puntuak dira x2 + y2 = 1zirkunferentzian.

Oharra. S gainazala murrizketa anitzek mugatuta badago, alegia,

g1(x1, . . . , xn) = c1

· · · · · ·gm(x1, . . . , xn) = cm,

orduan, Lagrange-ren biderkatzaileen teorema honela orokortu deza-kegu:

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 85: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak. 79

Demagun ∇g1(~x∗), . . . ,∇gm(~x∗) bektoreak linealki independenteakdirela.S-n f funtzioak ~x∗ puntuan mutur lokala hartzen badu, λ1, . . . , λm

konstanteek existitu behar dute, hau betetzen dutenak:

∇f(~x∗) = λ1∇g1(~x∗) + . . . + λm∇gm(~x∗). (3.10)

Beraz, funtzio Lagrangearra hau da:

L(~x, λ1, . . . , λm) = f(~x)−m∑

i=1

λi[gi(~x)− ci].

Ondorioz, ~x∗-k lehenengo ordenako baldintza hauek bete behar ditu:

∇L(~x∗, λ∗1, . . . , λ∗m) = 0,

hor, λ∗i zenbakia gi(~x∗) − c = 0 murrizketari dagokio, Lagrange-renbiderkatzailea baita, i = 1, . . . , m.

Bigarren ordenako baldintza nahikoan, aldaketa hauek ditugu:(1) W (~x∗) = ∇2f(~x∗)− λ∗∇2g(~x∗) hau bihurtzen da:

W (~x∗) = ∇2f(~x∗)−m∑

i=1

λ∗i∇2gi(~x∗).

(2) ∇g(~x∗)~h = 0 ekuazioa, g-ren ordez ~g = (g1, . . . , gm) dugunez, haubihurtzen da:

∇~g(~x∗)~h = 0;

hots,∇g1(~x∗)~h = 0

· · · · · ·∇gm(~x∗)~h = 0.

Baldintza horren gainerakoa berdin geratzen da. Adibide honetan bald-intza horiek erabiltzen dira.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 86: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

80 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.53. adibidea. Aurkitu f(x, y, z) = x + y + z funtzioaren muturrak,murrizketa hauek baditu:

x2 + y2 = 2

x + z = 1.

Ebazpena.

Aurreko problema honela ere idatz dezakegu:

maximizatu x + y + z

baldin: x2 + y2 = 2

x + z = 1.

Problema hori ebazten duten puntuek sistema hau bete behar dute (ikus(3.10)):

∇f(x, y, z) = λ1∇g1(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z)

g1(x, y, z) = c1

g2(x, y, z) = c2,

non g1(x, y, z) = x2 + y2, g2(x, y, z) = x + z, c1 = 2 eta c2 = 1 baitira.Hau da,

1 = λ1 · 2x + λ2 · 11 = λ1 · 2y + λ2 · 01 = λ1 · 0 + λ2 · 1

x2 + y2 = 2

x + z = 1.

Erraz egiazta daitekeenez, sistema honen soluzioak hauek dira:

S1 : (x, y, z) = (0,√

2, 1) (λ1, λ2) =(

12√

2, 1

)

eta

S2 : (x, y, z) = (0,−√

2, 1) (λ1, λ2) =( −1

2√

2, 1

).

Zelako puntuak dira? Jakiteko, aplika dezagun bigarren ordenako bal-dintza nahikoa.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 87: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.1. Mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak. 81

Lehenengo, W (x, y, z) matrizea kalkulatuko dugu:

W (x, y, z) =

0 0 00 0 00 0 0

− λ1

2 0 00 2 00 0 0

− λ2

0 0 00 0 00 0 0

=

−2λ1 0 0

0 −2λ1 00 0 0

Bigarrenez, ∇(g1, g2)(x, y, z)~h biderketa kalkulatuko dugu=0.

∇g1(x, y, z)

h1

h2

h3

= [2x 2y 0]

h1

h2

h3

= 2xh1 + 2yh2

∇g2(x, y, z)

h1

h2

h3

= [1 0 1]

h1

h2

h3

= h1 + h3

S1 punturako ~h = (h1, h2) bektoreak kalkulatzen dira:

2 · 0 · h1 + 2 ·√

2 · h2 = 0 ⇒ h2 = 0;

eta h1 + h3 = 0 ere bete behar denez, orduan, ~h = (h1, 0,−h1).Bektore horietarako ~htW (0,

√2, 1)~h biderketa kalkulatzen da,

[h1 0 − h1]

− 1√

20 0

0 − 1√2

00 0 0

h1

0−h1

= − 1√

2h2

1 < 0.

Ondorioz, (0,√

2, 1) problemaren maximo-puntua da.

S2 punturako ~h = (h1, h2) bektoreak kalkulatzen dira:

2 · 0 · h1 + 2 · (−√

2) · h2 = 0 ⇒ h2 = 0;

eta h1 + h3 = 0 ere bete behar denez, orduan, ~h = (h1, 0,−h1).Bektore horietarako ~htW (0,−√2, 1)~h biderketa kalkulatzen da,

[h1 0 − h1]

1√2

0 00 1√

20

0 0 0

h1

0−h1

=

1√2h2

1 > 0.

Ondorioz, (0,−√2, 1) problemaren minimo-puntua da.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 88: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

82 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

3.54. adibidea. Ebatzi hau:

minimizatu − (xy + yz + xz)

baldin: x + y + z = 3.

Ebazpena.

Hauek dira lehen ordenako baldintza beharrezkoak:

−y − z − λ = 0

−x− z − λ = 0

−x− y − λ = 0

x + y + z = 3;

x = y = z = 1, λ = −2 soluzio bakarra dauka.Orain, bigarren ordenako baldintza nahikoa aztertuko dugu.Alde batetik,

[1 1 1]

h1

h2

h3

= h1 + h2 + h3,

dugunez, (1, 1, 1) puntuan h1 + h2 + h3 = 0.Bestalde, hau dugu:

W (x, y, z) =

0 −1 −1−1 0 −1−1 −1 0

− λ

0 0 00 0 00 0 0

=

0 −1 −1−1 0 −1−1 −1 0

;

hortik ~htW (1, 1, 1)~h kalkulatuz, zera lortzen da:

[h1 h2 − (h1 + h2)]

0 −1 −1−1 0 −1−1 −1 0

h1

h2

−(h1 + h2)

=

h21 + h2

2 + (h1 + h2)2 > 0.

Beraz (1, 1, 1) problemaren minimo-puntua da.

3.9.2. Mutur globalak bilatzeko prozedura.

Izan bedi U ⊂ IRn multzo ireki bat eta ∂U haren muga. ∂U leuna delaesaten da baldin ∂U multzoa g funtzio baten sestra multzoa bada (hots,g(~x) = c, c konstante baterako), eta hor ∇g 6= ~0 bada.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 89: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3.9.2. Mutur globalak bilatzeko prozedura. 83

Baldintza hauetan, D = U ∪ ∂U ⊂ IRn multzoan f funtzioak hartzendituen maximo eta minimo globalak (absolutuak) aurkitzeko, urratshauei jarraituko diegu:

(i) Aurkitu f-ren puntu kritikoak U multzoan.

(ii) Aurkitu f -ren puntu kritikoak ∂U multzoan Lagrange-ren biderkatza-ileen metodoa erabiliz.

(iii) Kalkulatu f -ren balioa puntu kritiko guzti hauetan.

(iv) Konparatu balio hauek eta aukeratu handiena (maximo globala) etatxikiena (minimo globala).

3.55. adibidea. Aurkitu f(x, y) = x2 +y2−x−y+1 funtzioaren baliomaximo eta minimoa D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1} multzoan.

Ebazpena. Aurreko prozedurari jarraituko diogu.

(i) Puntu kritikoak aurkitzeko, sistema hau ebatziko dugu:

∂f/∂x = 2x− 1 = 0

∂f/∂y = 2y − 1 = 0.

Emaitza, (x, y) = (1/2, 1/2), f -ren puntu kritiko bakarra da U ={(x, y) | x2 + y2 < 1} multzo irekian.

(ii) ∂U multzoko (hau da, x2 +y2 = 1 multzoan) f -ren puntu kritikoakLagrange-ren biderkatzaileen metodoaren bidez kalkulatzen dira.Alegia, sistema hau erabiliz:

∇f(x, y) = λ∇g(x, y)

g(x, y) = c;

hor ∇f(x, y) = (2x − 1, 2y − 1), g(x, y) = x2 + y2 = 1 eta∇g(x, y) = (2x, 2y) dira, hau da,

2x− 1 = λ(2x)

2y − 1 = λ(2y)

x2 + y2 = 1.

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 90: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

84 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

Sistema ebatzi eta gero, puntu kritiko hauek lortzen dira:(√

22

,

√2

2

)eta

(−√

22

,−√

22

).

(iii) f -ren balioak puntu kritikoetan hauek dira:

• (i). urratsarena, f(1/2, 1/2) = 1/2.

• (ii). urratsarenak,

f(√

2/2,√

2/2) = 2−√

2

f(−√

2/2,−√

2/2) = 2 +√

2.

(iv) f -ren balio guztiak konparatuz, zera dugu:D multzoan f funtzioak minimo globala (1/2, 1/2) puntuan hartzendu etaD multzoan f funtzioak maximo globala (−√2/2,−√2/2) pun-tuan hartzen du.

3.10. Ariketak.

1. Idatzi bigarren ordenako Taylor-en formula funtzio hauetarako emanikopuntuarekiko:

a) f(x, y) =1

(x2 + y2 + 1), x0 = 0, y0 = 0. (Em.: f(x, y) =

1− x2 − y2 + R2)

b) f(x, y) = e(−x2−y2) cos (xy), x0 = 0, y0 = 0(Em.: f(x, y) = 1− x2 − y2 + R2)

c) f(x, y) = sin (xy) + cos (xy), x0 = 0, y0 = 0(Em.: f(x, y) = 1 + xy + R2)

d) f(x, y) = e(x2−2x+1) cos y, x0 = 0, y0 = 0(Em.: f(x, y) = e− 2ex + 3ex2 − e

2y2 + R2)

e) f(x, y) = yx, x0 = 1, y0 = 1(Em.: f(x, y) = 1 + y + xy + R2)

2. Aurkitu funtzio hauen muturrak:

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

Page 91: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

§3. 10. Ariketak. 85

a) z = x3y2(6− x− y), (x > 0, y > 0).(Em.: (3,2) maximo lokala da)

b) z = xy

(1− x2

a2− y2

b2

)1/2

.

(Em.: (0, 0) zeladura-puntua da; (−a/√

3,−b/√

3) eta (a/√

3, b/√

3)maximo lokalak dira; eta (−a/

√3, b/

√3) eta (a/

√3,−b/

√3) min-

imo lokalak dira.)

c) z =8x

+x

y+ y, (x > 0, y > 0).

(Em.: (4,2) minimo lokala da)

d) z = ex−y(x2 − 2y2).(Em.: (0,0) zeladura-puntua da, eta (-4,-2), maximo lokala)

3. Aurkitu hiru aldagaiko funtzio hauen muturrak:

a) u = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2z.(Em.: (−2/3,−1/3, 1) minimo lokala da)

b) u = x +y2

4x+

z2

y+

2z, (x > 0, y > 0, z > 0).

(Em.: (1/2, 1, 1) minimo lokala da eta (−1/2,−1,−1), maximo

lokala)

4. Aurkitu funtzio hauen mutur baldintzatuak:

a) z = x2 + y2, baldinx

2+

y

3= 1 bada.

(Em.: (18/13,12/13) minimoa)

b) u = x− 2y + 2z, baldin x2 + y2 + z2 = 9 bada.(Em.: (1,-2,2) maximoa eta (-1,2,-2) minimoa)

c) u = xy2z3 baldin x + y + z = 12 (x > 0, y > 0, z > 0) bada.(Em.: (2,4,6) maximoa)

d) u = xyz baldin x + y + z = 5 eta xy + yz + zx = 8.

(Em.: (4/3,7/3,4/3), (7/3,4/3,4/3) eta (4/3,4/3,7/3) maximoak

eta (2,1,2), (2,2,1) eta (1,2,2) minimoak)

e) u = x + y + z baldin x2 − y2 = 1 eta 2x + z = 1.(Em.: ez dira existitzen)

Eugenio Mijangos Fernandez

Page 92: 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak · 3. koadernoa Aldagai anitzeko funtzioak. Koaderno honetan, aldagai bakar bateko funtzioen kalkulu diferentziala aldagai anitzeko funtzioetara

86 3. koadernoa. Aldagai anitzeko funtzioak.

5. Aurkitu IR3-ko jatorritik z = 6xy + 7 gainazalera dagoen distantziaminimoa.

(Em.: (−√41/6,√

41/6) edo (√

41/6,−√41/6) puntuetara dago dis-

tantzia minimoa, eta 1.51841 da)

6. B bolumeneko paralelepipedo laukizuzen guztien artean, aurkituazalera total txikiena daukana.(Em.: Dimentsioak=

B

3× B

3× B

3)

7. Aurkitu bolumen maximoko S azalerako paralelepipedo laukizuzena.

(Em.: Dimentsioak=

√S

√S

√S

6)

8. Deskonposatu a > 0 zenbaki osoa hiru batugaitan, haien biderkaduramaximoa izateko.(Em.: a =

a

3+

a

3+

a

3)

9. Emaniko esfera batean, inskribatu azalera maximoa daukan zilin-droa.

(Em.: err.=

√10

20(1 +

√5)

√5a2 −

√5a2, alt.=

√25(5a2 −

√5a2) )

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)