of 165 /165
www.puskice.org 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje <!-- Ispravke, sugestije, mi š ljenja i ostalo šaljite na [email protected] --> Hijavata

Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

1

Matematika 3

zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

<!-- Ispravke, sugestije, mišljenja i ostalo šaljite na [email protected] -->

Hijavata

Page 2: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

2

Predgovor

Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka će biti odrađena tematski, za svaki tip

zadatka ponaosob.

Prvi zadatak

Obične diferencijalne jednačine prvog reda:

Jednačina sa razdvojenim promenljivim

Homogene diferencijalne jednačine prvog reda

Linearne diferencijalne jednačine prvog reda

Bernulijeva jednačina prvog reda

Jednačina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)

Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednačina prvog reda. Najčešće dolaze Bernulijeva i

Jednačina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.

Drugi zadatak

Diferencijalne jednačine višeg reda:

Diferencijalna jednačina oblika

Diferencijalna jednačina oblika

Homogene diferencijalne jednačine višeg reda

Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda

Sistemi običnih diferencijalnih jednačina prvog reda:

Homogeni sistemi odj

Nehomogeni sistemi odj

Nelinearni sistemi odj

Parcijalne diferencijalne jednačine

Linearne parcijalne diferencijalne jednačine

Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine

Page 3: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

3

Treći zadatak

Treći zadatak je nešto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa

zadatka:

Koši-Rimanovi uslovi

Izračunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum)

Četvrti zadatak

Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju

Rešavanje diferencijalne jednačine višeg reda primenom Laplasove transformacije

Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina primenom Laplasove transformacije

Page 4: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

4

Prvi zadatak

Jednačina sa razdvojenim promenljivima

Najjednostavniji tip diferencijalne jednačine. Treba imati na umu da važi

Rešavanje jednačina:

rešenje dobijamo iz:

rešenje dobijamo iz:

Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na različite strane znaka jednakosti i

nalazimo integrale.

Pri rešavanju diferencijalnih jednačina, može se dogoditi da rešenje ima drugačiji

oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokušajte da transforma cijama, vaše rešenje

svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tačno uradili zadatak.

U slučaju da je opšte rešenje jednačine u zadacima gde se traži partikularno rešenje

drugačijeg oblika od opšteg rešenja datog u zbirci, to znači da će najverovatnije i

konstanta C biti drugačija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opšte rešenje.

Page 5: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

5

Postoje tri osnovna tipa zadataka:

1. Obična diferencijabilna jednačina sa razdvojenim promenljivima ( ili )

2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno rešenje

3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svođenje na 1. tip zadatka

Zadaci:

Rešenje:

Transformišemo konstantu na sledeći način: čime dobijamo novu konstantu

Page 6: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

6

za uslov imamo:

Page 7: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

7

vratimo u opšte rešenje:

dakle, Partikularno rešenje je:

Odrediti partikularno rešenje pri uslovu

za uslov

imamo:

kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:

Page 8: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

8

kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:

(smena , )

Page 9: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

9

Zadaci za samostalan rad:

Odredi opšte rešenje jednačine:

1.

Odredi partikularno rešenje jednačine pri uslovu:

Page 10: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

10

Jednačine koje slede svesti smenom na jednačninu sa razdvojenim

promenljivim a zatim naći opšte rešenje

Page 11: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

11

Homogena diferencijalna jednačina prvog reda

Rešavanje jednačina:

Polazna jednačina

smena

vratimo u polaznu jednačinu

rešenje dobijamo iz integrala

zatim vratimo smenu u rešenje

Ova vrsta jednačine se svodi na jednačinu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo često, diferencijalna

jednačina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu.

Page 12: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

12

Zadaci za samostalan rad:

Page 13: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

13

Page 14: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

14

Linearna diferencijalna jednačina prvog reda

Opšti oblik:

Rešenje:

Ova vrsta jednačine je lako prepoznatljiva. Rešava se primenom ove formule čije izvođenje nije

potrebno znati za praktični deo ispita.

Koraci:

Page 15: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

15

Zadaci za samostalan rad:

Page 16: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

16

Odrediti partikularno rešenje date linearne diferencijalne jednačine

Odredi rešenje linearne jednačine po x

Page 17: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

17

Bernulijeva diferencijalna jednačina

Koraci:

Page 18: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

18

Zadaci za samostalan rad:

Page 19: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

19

Page 20: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

20

Jednačine sa totalnim diferencijalom

Algoritam rešavanja:

Postupak rešavanja:

Page 21: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

21

Ukoliko na ispitu dođe ovaj zadatak, obično napomenu da treba da se traži određeni faktor

(po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ćete, procenite sami koji je lakše izračunati.

Page 22: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

22

Page 23: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

23

Zadaci za samostalan rad:

Page 24: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

24

Odredi integracioni faktor, i reši jednačinu:

Page 25: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

25

Rešenja zadataka:

jedan #6 i jedan tablični integral

tri tablična integrala

dva #7

dva #1

jedan #1 i jedan #8

jedan tablični i jedan sličan #2

smena -y=t, pa #1

dva #1

, C=1

jedan tablični i jedan #8

, C=0

#6 i jedan tablični

dva tablična

izvlačenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1

#1 i #8

tablični i #1

Page 26: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

26

smena , integral #7

smena , integral slično kao #7

smena #7

smena , slično #7

tablični i #9

tablični i #10

tablični i #1

tablični i #1

dva tablična

#11 i tablični

dva tablična

tablični i #1

tablični

tablični i #12

#6 i tablični

#13 i tablični

#14 i tablični

tablični i smena

tablični integrali

tablični integrali

Page 27: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

27

tablični integrali

tablični i #15

tablični i #16

tablični i #17

#1 i #18

sličan #8 i tablični

#1 i tablični

#1 i tablični

sličan #5 i 2 tablična

tablični i #19

sličan #5 i tablični

tablični integrali

2 tablična i #15

tablični i #20

tablični i #21

#1 i tablični

tablični i #22

tablični i #23

tablični i #23

tablični i #24

tablični i #25

svi tablični

svi tablični

tablični i #26

Page 28: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

28

svi tablični

tablični i #23

#1 i tablični

#8 i tablični

tablični

tablični i #23

tablični i #23

tablični i sličan #26

#1 i #27

tablični i #28

tablični i #29

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični i #29

#30 i tablični

#31 i tablični

Page 29: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

29

tablični

tablični i sličan #27

tablični i sličan #27

tablični

tablični

tablični

tablični i sličan #3

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični i sličan #3

tablični

tablični

tablični, #32, i sličan #16,

tablični

tablični

tablični

tablični i #33

tablični

tablični i sličan #8

Page 30: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

30

tablični

tablični

tablični

tablični

tablični

Page 31: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

31

Integrali potrebni za rešavanje zadataka iz zbirke:

)

Page 32: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

32

Page 33: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

33

Page 34: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

34

Page 35: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

35

Page 36: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

36

Page 37: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

37

Page 38: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

38

Page 39: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

39

Page 40: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

40

Page 41: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

41

Drugi zadatak

Homogene diferencijalne jednačine višeg reda

Rešavanje:

Prvo pravimo karakterističnu jednačinu na sledeći način:

Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu:

Dobijemo sledeće slučajeve:

1.

2.

3.

Kvaka je u tome što dolaze jednačine drugog i trećeg (ređe četvrtog) reda, pa

ovo nije toliko komplikovano kako izgleda na prvi pogled. Kroz primere će biti

jasnije.

Page 42: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

42

Zadaci za samostalan rad:

Page 43: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

43

Page 44: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

44

Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda

Rešavanje:

Rešenje je oblika

Postoje dva načina pronalaženja partikularnog rešenja: metoda neodređenih

koeficijenata i metoda varijacije konstanti.

Metoda neodređenih koeficijenata

Page 45: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

45

Pri tom, A i B su koeficijenti koje treba odrediti.

Postupak:

Metoda varijacije konstanti

Page 46: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

46

Dakle, konstante variramo u funkcije. Nepoznate funkcije dobijamo iz

sistema:

Page 47: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

47

Page 48: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

48

metoda varijacije konstanti

Page 49: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

49

metoda varijacije konstanti

Page 50: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

50

Zadaci za samostalan rad:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Page 51: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

51

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Resenja:

1.

2.

3.

Page 52: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

52

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Page 53: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

53

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Page 54: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

54

Jednačine kojima se može sniziti red

Postoje dva tipa ovakvih jednačina: one koje ne sadrže y, i one koje ne sadrže x.

Prvi tip

Rešavanje: smena:

gde je

Rešavanjem homogene jednačine dobijamo:

Parcijalnom integracijom dobijemo rešenje:

Zadaci:

Page 55: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

55

Rešenja

Drugi tip

Rešavanje: smena:

gde je

Rešavanjem jednačine dobijamo:

Page 56: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

56

Integracijom dobijemo rešenje:

Zadaci:

Rešenja

Page 57: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

57

Sistemi običnih diferencijalnih jednačina

Homogeni sistemi

Sistem je oblika (sistem 3. reda):

gde su

Rešavanje: Prvo se odrede sopstvene vrednosti matrice K:

Dakle iz dobijamo tzv. karakterističnu jednačinu (jednačina

trećeg reda po ). Rešavanjem ove jednačine dobijemo sopstvene vrednosti

.

Ostatak ćemo kroz zadatke, pošto je teško jasno objasniti. Ono što je bitno, da li

je sopstvena vrednost jednostruka ili višestruka. Formiramo matricu:

Zatim vršimo transformacije matrice. Transformacija II-3I znači da prvi red

množimo sa 3, i zatim to oduzmemo od drugog reda. Itd. Transformacijama

dobijamo matrice formulom (u slučaju jedinstvene

sopstvene vrednosti).

Page 58: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

58

Rešenje je oblika:

gde je

Odatle dobijemo:

Sad se radi odvojeno za svaku vrednost:

odavde (na osnovu II i III reda) sledi da je:

iz prvog reda sledi:

Page 59: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

59

Sada formiramo matricu :

sada za uzimamo neku bilo koju vrednost različitu od nule. Nije bitno koju,

jer će se, kako ćemo kasnije videti, pomnožiti sa konstantom, pa je svejedno.

Uzećemo .

iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude

Iz prvog reda:

uzmemo da je

Page 60: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

60

iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude

Iz prvog reda:

U razvijenom obliku, rešenje je:

Page 61: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

61

Ovde se vidi da nije bitno koje smo vrednosti birali. Da smo za birali

imali bismo

. U rešenju bi bilo

što je isto što i

. Ako uzmemo da je neka nova konstanta onda dobijemo

što je i bilo prvobitno rešenje. Zato ako ne dobijete identično

rešenje kao u ovoj zbirci, pogledajte da li vam je odnos vrednosti u matrici

odgovarajući. U ovom primeru, to je 1:-3:-5.

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu II reda:

iz prvog reda sledi:

Page 62: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

62

iz drugog reda:

Iz prvog reda:

iz drugog reda:

Iz prvog reda:

Page 63: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

63

U razvijenom obliku, rešenje je:

Rešenje:

Odatle dobijemo:

Page 64: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

64

na osnovu II reda:

iz prvog reda sledi:

Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za je sličan

(ne isti!)

iz drugog reda:

Iz prvog reda:

sada ne biramo nikakvu vrednost za već ovo ostavljamo zasad ovako.

Page 65: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

65

Matrica se određuje iz formule:

iz drugog reda: . Ovde treba da fiksiramo jednu od

vrednosti . Neka bude . Onda dobijemo:

Iz prvog reda:

Dakle sad imamo i . Cilj je bio pronaći (u kojoj se pojavljuje samo

jedna promenljiva: . Onda, kada smo to uradili, pravili smo novu

matricu u kojoj treba da se pojavljuje promenljiva iz i još jedna

promenljiva vezana za matricu : .

Page 66: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

66

Sledeći korak je određivanje i . Oni se određuju u dva koraka. U prvom

koraku, jedna od vrednosti iz matrice se menja sa 0, a druga sa nekim

realnim brojem. U drugom koraku je obrnuto.

se računa po formuli:

se računa po formuli:

U razvijenom obliku, rešenje je:

Page 67: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

67

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu II reda:

iz prvog reda sledi:

Page 68: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

68

Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za je sličan

(ne isti!)

iz prvog reda:

Iz trećeg reda:

Matrica :

iz prvog reda: .

Iz trećeg reda:

Page 69: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

69

U razvijenom obliku, rešenje je:

Page 70: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

70

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu prvog reda:

iz drugog reda sledi:

U slučaju konjugovano komplekcnih brojeva, biramo jedan od njih. Recimo

.

Page 71: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

71

iz prvog reda:

Iz trećeg reda:

Na osnovu odredićemo i .

Po definiciji (ili nekoj teoremi, ne znam baš sigurno) važi:

Page 72: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

72

Iz ovoga sledi:

Rešenje:

Page 73: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

73

Odatle dobijemo:

Ovo je sad specifično jer imamo trostruko rešenje. Rešavaćemo na drugačiji

način, polazeći od rešenja.

Zadatak je oblika:

A rešenje je oblika (zbog višestrukog rešenja):

, za i=1,2,3

Izvedimo sad :

Sad to izjednačimo sa . Pri tom, ćemo zameniti rešenjem:

Iz ovoga sledi:

Imajte na umu da je jedinična matrica, da je matrica dimenzija 3x3 a da su:

Page 74: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

74

Dobijamo 3 sistema:

,

,

tj.

,

,

Sistem rešavamo po . Odmah se vidi da je

Kad to malo sredimo:

odnosno

Page 75: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

75

Za različite vrednosti parametara imamo:

1. za

,

,

2. za

,

,

3. za

,

,

Rešenje:

Odatle dobijemo:

Page 76: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

76

na osnovu III reda:

iz prvog reda sledi:

U ovom slučaju, kad su sve vrste linearno zavisne radimo na sledeći način.

Izrazimo tu jednu vrstu:

sada imamo dva slučaja:

1. , . Odatle sledi

2. , . Odatle sledi

Page 77: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

77

Zadaci za samostalan rad:

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

Page 78: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

78

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

Page 79: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

79

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Page 80: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

80

15.

16.

17.

18.

19.

Page 81: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

81

Nehomogeni sistemi

Sistem je oblika (sistem 3. reda):

ili u razvijenom obliku:

gde su a su funkcije.

Postoje dve metode za rešavanje ovakvih sistema: metoda neodređenih

koeficijenata i Lagranžova metoda varijacije konstanti.

Metoda neodređenih koeficijenata:

Ova metoda se može koristiti onda kada su svi elementi vektora

funkcije oblika:

Određujemo:

1. m - najveći stepen za P i Q u vektoru

2. k + višestrukost korena u karakterističnoj jednačini.

Onda je rešenje oblika (polinomi su stepena m+k, sa neodređenim

koeficijentima):

Page 82: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

82

Zatim to vraćamo u polaznu jednačinu i dobijemo

rešenje .

Konačno rešenje je oblika

Važi princip superpozicije:

Rešenje:

Prvo rešavamo odgovarajući homogeni sistem:

Njegovo rešenje je:

Sad tražimo . Pri rešavanju homogenog sitema dobili smo da su rešenja

karakteristične jednačine , tj. .

U ovom nehomogenom sistemu, imamo tri vektora funkcija:

1. Vektor funkcija oblika

odavde je . To se poklapa sa rešenjem . To znači da je .

Pošto su polinomi koji stoje uz u samom sistemu nultog stepena, .

Zato će polinomi uz u rešenju biti prvog stepena ( ).

Page 83: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

83

2. Vektor funkcija oblika

odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i

polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti

prvog stepena.

3. Vektor funkcija oblika

odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i

polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz

će biti prvog stepena.

Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:

Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da

odredimo :

Sad određujemo postupno .

Page 84: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

84

Kad izjednačimo dobijemo tri sistema jednačina:

1)

2)

p

3)

1)

2)

Page 85: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

85

3)

Rešenje:

kad uvedemo smenu :

Rešenje:

Rešenje homogenog sistema:

Rešenja karakteristične jednačine .

U ovom nehomogenom sistemu, imamo dva vektora funkcija:

Page 86: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

86

Prva vektor funkcija oblika

odavde je . Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije

oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0.

Druga vektor funkcija oblika

odavde je . Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije

oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0.

Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:

Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da

odredimo :

Sad određujemo postupno .

Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina:

Page 87: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

87

1)

2)

1)

2)

Rešenje:

Rešenje:

Rešenja karakteristične jednačine , tj. .

Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da

odredimo :

Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina:

Page 88: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

88

1)

2)

Odatle dobijamo: .

Konačno rešenje:

Rešenje:

Rešenja karakteristične jednačine ,

Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da

odredimo :

Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina:

Odatle dobijamo: .

Page 89: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

89

Konačno rešenje:

Rešenje:

Rešenja karakteristične jednačine

Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da

odredimo :

Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina, čijim

rešavanjem dobijamo: .

Rešenje:

Page 90: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

90

Metoda varijacije konstanti

Homogeno rešenje (sistema drugog reda) je oblika:

gde je a

Konstante variramo u funkcije (umesto da je to konstanta, pretvaramo se da je

to funkcija argumenta t)

Izvode funkcija dobijamo iz

Nakon toga, integraljenjem dobijamo funkcije . Njih uvrstimo u homogeno

rešenje koje onda postaje konačno rešenje sistema.

Rešenja:

Rešenja karakteristične jednačine . Rešenje homogenog sistem je:

Page 91: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

91

Određujemo :

Odatle sledi:

Konačno rešenje (menjamo konstante):

Page 92: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

92

Nelinearni sistemi

Nelinearni sistemi su oblika:

Rešavaju se tako što se pronađu nezavisni prvi integrali. Ima ih uvek onoliko

koliko je znakova jednakosti u sistemu, odnosno za jedan manje od broja

'izraza' koje povezuju ti znakovi jendakosti:

Prvi integrali moraju biti međusobno nezavisni. Dobijamo ih nalaženjem

integralnih kombinacija i polaznog sistema. Rešenja su definisana prvim

integralima. Za određivanje prvih integrala ne postoji jedinstven 'recept'. Zato

je potrebno provežbati zadatke, kako bi se stekao 'osećaj' za njihovo

pronalaženje.

Uslov za postojanje rešenja je:

Za rešavanje, će biti potrebno poznavati osobine razmera i diferencijala.

Osobine razmera:

Page 93: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

93

Osobine diferencijala:

Za rešavanje nelinearnih sistema, ne postoji uverzalan 'recept' kao što postoji

kod linearnih (tu spadaju sistemi koje smo dosad radili). Potrebno je koristeći

osobine proporcije i diferencijala doći do međusobno linearno nezavisnih prvih

integrala. Postoje neki šabloni kako se dolazi do njih, a ta rutina se stiče

vežbom.

Rešenje:

Dobijamo sistem:

Page 94: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

94

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Provera uslova:

Prema uslovu iz zadatka, ovo je uvek različito od nule. Prema tome, rešenje je

određeno prvim integralima:

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

Dakle, imamo:

Page 95: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

95

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Očigledno je da su ova dva rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za

proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:

Rešenje:

Imaćemo tri prva integrala:

1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Dakle, imamo:

Page 96: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

96

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

3. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Dakle, imamo:

Očigledno je da su ova tri rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za

proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:

Rešenje:

Svođenjem na diferencijale dobijamo:

Page 97: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

97

Imaćemo dva prva integrala:

1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

Page 98: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

98

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo tri prva integrala:

1.

2.

Page 99: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

99

3.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Page 100: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

100

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Page 101: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

101

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala:

1.

2.

Page 102: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

102

Parcijalne diferencijalne jednačine

Ove jednačine su oblika (linearne):

kvazilinearne:

Prilično lako se svode na nelinarne sisteme i tako se rešavaju. Svođenje je:

Linearne:

Kvazilinearne

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral

Page 103: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

103

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali

pa je konačno rešenje oblika:

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali

Page 104: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

104

pa je konačno rešenje oblika (jer se funkcija pojavljuje samo u jednom

integralu):

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala):

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala):

Page 105: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

105

Rešenje:

Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u jednom integralu):

Page 106: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

106

Treci zadatak

Funkcija kompleksne promenljive

Funkcija kompleksne promenljive je oblika (algebarski oblik)

Svaka funkcija se sastoji iz realnog i kompleksnog dela:

Moduo kompleksnog broja - :

Argument kompleksnog broja - :

Page 107: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

107

Važi i:

Ako su i kompleksni brojevi onda važi:

Pri tom je i . Dakle, funkcija je

višeznačna.

Izvod funkcije kompleksne promenljive. Koši-Rimanovi

uslovi.

Funkcija je diferencijalna u ako postoji:

Funkcija je regularna (analitička) u ako je diferencijabilna u svakoj tački

neke okoline . Tačke u kojima funkcija nije analitička se nazivaju singularnim

tačkama. Tačka je izolovani singularitet ako je analitička u svim tačkama

neke okoline tačke osim u . Izolovani singularitet je pol funkcije ako je

Ako je funkcija diferencijabilna u tački i

tada postoje svi parcijalni izbodi funkcija i važe Koši-

Rimanovi uslovi:

Suprotno: ako su diferencijabilne u i važe Koši-Rimanovi

uslovi u , tada je diferencijabilna u .

Page 108: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

108

Ako vam ovaj zadatak zapadne, tekst se može razlikovati tu i tamo, ali je poenta

ista: daju ili a vi preko K-R uslova treba da odredite ono drugo.

Jedina težina u ovim zadacima mogu biti integrali.

Hiperboličke funkcije

Ovo je klasa funkcija koje ste dosad uspešno izbegavali, ali vreme je da ih

naučite. Za ovaj tip zadataka, ali i za Laplasovu transformaciju (4. zadatak)

potrebno je znati hiperbolički sinus i kosinus:

hiperbolički sinus naziv hiperbolički kosinus

definicija

izvod

integral

Odrediti sve analitičke funkcije

ako je:

Rešenje:

Prvo određujemo

iz Koši-Rimanovih uslova sledi:

Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću

jednačinu sa totalnim diferencijalom:

Page 109: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

109

Dakle,

Odrediti sve analitičke funkcije

ako je:

Rešenje:

Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću

jednačinu sa totalnim diferencijalom:

Page 110: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

110

Dakle,

sve to vratimo u polaznu funkciju

Odrediti sve analitičke funkcije

ako je:

Dakle

Page 111: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

111

Odrediti sve analitičke funkcije

ako je:

Rešenje:

Prvo određujemo

iz Koši-Rimanovih uslova sledi:

Page 112: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

112

Odrediti sve analitičke funkcije

ako je:

Koja je vrednost za ?

Rešenje:

u

pa imamo partikularno rešenje:

Zadaci za samostalan rad:

Page 113: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

113

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Page 114: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

114

Integral funkcije kompleksne promenljive. Reziduum.

Ovde bi trebalo preći sve vezano za integral kompleksne promenljie i Košijeve

formule. Pošto zadaci iz toga ne dolaze na ispitu, ovde to nećemo pominjati, ali

bi bilo zgodno da prođete to sa slajdova. Ono što dolazi na ispitu je računanje

integrala preko reziduuma.

- izolovani singularitet funkcije u tački , ograničen konturom C.

Definicija:

odavde sledi:

u slučaju da imamo više singulariteta u oblasti ograničenoj konturom C:

Pomoću Košijevih formula, mogu da se izračunaju reziduumi u singularitetima

koji su polovi:

1. Ako je

onda je pol 1. reda i važi:

2. Ako je

Page 115: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

115

onda je pol 1. reda i važi:

obratite pažnju da znači stepen izvoda. Tako, na primer, za (pol

trećeg stepena), tražićemo izvod drugog reda.

Neke granične vrednosti:

Izračunati integral:

Rešenje:

Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (0,0) i

poluprečnikom

Zatim tražimo polove. Polove nalazimo kad imenilac

razlomka u integralu izjednačimo sa nulom:

Polovi su i (jednostruki pol)

Page 116: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

116

prvo proveravamo uslov (da li je ovo pol i otklonjiv prekid)

Dakle, je pol drugog reda.

Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u

zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).

Page 117: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

117

Izračunati integral:

Rešenje:

Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,1) i

poluprečnikom

Zatim tražimo polove.

Polovi su (jednostruki pol), (jednostruki pol), (jednostruki

pol), (jednostruki pol). Iz uslova (kontura C) vidimo da i

ne pripadaju konturi, pa ih ne računamo. Ostaju dva pola:

Page 118: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

118

Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u

zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).

Izračunati integral:

Rešenje:

Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i

poluprečnikom

Zatim tražimo polove. Ovde izgleda kao da postoji jedan pol i da je

trostruki. Međutim, nije tako (probajte da uradite, dobićete 0 za graničnu

vrednost, a to ne može biti reziduum). Zato treba da razvijemo funkciju:

Polovi su ,

.

Page 119: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

119

Pošto je pol višestruki, prvo ispitujemo postojanje granične vrednosti

(uslov postojanja reziduuma, stavka 2). Već smo videli ovaj pol nije trostruki.

Probajmo za dvostruki.

Dakle, pol je dvostruki.

Jedina vrednost celobrojnog parametra k, za koju tačka z pripada konturi C je 1,

pa imamo

uvodimo smenu:

Page 120: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

120

Izračunati integral:

.

Polovi su . Iz uslova (kontura C) vidimo da ne

pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:

Ovo je otklonjiv prekid, nema reziduuma.

Page 121: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

121

Konačno rešenje je zbir reziduuma. Pošto imamo samo jedan:

Izračunati integral:

Rešenje:

Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom

Zatim tražimo polove.

Page 122: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

122

Polovi su , . Iz uslova (kontura C) vidimo da

ne pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju tri pola:

Pol je dvostruki:

Page 123: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

123

Konačno rešenje je zbir reziduuma:

Izračunati integral:

Polovi su , . Iz uslova (kontura C) vidimo da

i ne pripadaju konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:

Pol je dvostruki:

Page 124: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

124

Konačno:

Izračunati integral:

Polovi su ,

Pol je trostruki:

Page 125: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

125

Konačno:

Pošto nam nije data oblast D, definisana konturom C, razmatramo sledeće

slučajeve:

1.

2.

3.

4.

Page 126: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

126

Izračunati integral:

Rešenje:

Prvo ćemo nacrtati konturu C:

1.

2.

3.

4.

Kad razvijemo ovo po definiciji dobijamo:

odavde dobijamo:

Sada tražimo vrednosti k (celobrojno) za koje će dobijena tačka pripadati

oblasti ograničenoj konturom C.

Page 127: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

127

nema smisla da ispitujemo za i dalje, jer sigurno neće biti u oblasti D.

nema smisla da ispitujemo za i manje, jer sigurno neće biti u oblasti D.

Polovi su

,

.

Page 128: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

128

Konačno rešenje:

Izračunati integral:

Rešenje:

Page 129: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

129

Kontura je krug poluprečnika 1, sa centrom u .

Pol je .

Pol je trostruki:

Konačno:

Izračunati integral:

Rešenje:

Konturu određuje kružnica poluprečnika 5, sa centrom u .

Zatim tražimo polove.

Page 130: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

130

nema potrebe da idemo dalje. Sad idemo u minus:

Dakl

Polovi su , ,

Konačno rešenje:

Page 131: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

131

Page 132: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

132

Četvrti zadatak

Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju. Laplasova transformacija

funkciji realne promenljive pridružuje funkciju kompleksne promenljive (tj.

transformiše realnu funkciju u funkciju kompleksne promenljive, koja je

algebarskog oblika). Koristi se za rešavanje diferencijalnih jednačina i sistema

diferencijalnih jednačina. Logika je sledeća:

1. Imamo diferencijalnu jednačinu realnog argumenta

2. Transformišemo diferencijalnu jednačinu u algebarsku jednačinu

kompleksnog argumenta

3. Rešimo algebarsku jednačinu

4. Vratimo rešenje jednačine inverznom Laplasovom transformacijom u

realni domen.

Osobine i tablice Laplasove transformacije su date u prilogu na kraju zbirke. A

sada malo formalnijih stvari:

Data je funkcija realne promenljive . Njoj se pridružuje funkcija

kompleksne promenljive . Pravilo po kom se vrši ovo pridruživanje naziva se

Laplasova transformacija i zapisuje se kao: . Formula po kojoj se

pridruživanje vrši:

Odskočna funkcija. Definiše se ovako:

Laplasova slika je:

Page 133: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

133

Nalaženje Laplasove transformacije

Trebalo bi da prođete one primere na Šonetovim slajdovima a ovde ću dati

nekoliko. Dakle koriste se osobine i tablica. Za ispit nisu potrebni neki složeni

primeri.

Inverzna Laplasova transformacija

Inverznom Laplasovom transformacijom, vraćamo funkciju iz s domena u t

domen. Postoje dva načina nalaženja inverzne Laplasove transformacije: Preko

inverznih razlomaka i preko reziduuma.

Zapis inverzne Laplasove transformacije:

1. Svođenje na inverzne razlomke:

a) jednostruki pol

b) višestruki pol

c) konjugovano-kompleksni pol

Page 134: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

134

2. Pomoću reziduuma

1) je pol I reda

2) je pol višeg (k-tog) reda

Na kraju

Osobina konvolucije:

Ako je funkcija zadata kao proizvod dveju funkcija:

Onda se inverzna osobina može odrediti preko osobine konvolucije (znak *). Pri

tom su i :

pošto je osobina konvolucije komutativna:

Page 135: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

135

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

1) Reziduum:

Imamo dva pola, i . Oba su jednostruka:

2) Razlomci

Page 136: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

136

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Ovaj zadatak ćemo odraditi preko inverznih razlomaka. Vi probajte i preko

reziduuma, dobićete isto.

- Ovo je impulsna funkcija. Samo zapamtite da je Laplasova transformacija te funkcije 1, a inverzna L. transformacija od 1 je potrebno znati.

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Imamo dva pola, (jednostruki) i (dvostruki):

Page 137: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

137

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Čitamo iz tablice (stavka 5)

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Rastavimo na razlomke:

Page 138: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

138

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije. Ovaj zadatak

je urađen na slajdovima sa vežbi netačno. Zato ćemo ga ovde uraditi na oba

načina.

Rešenje:

Prvi način (reziduum)

Imamo tri pola, , , (jednostruki):

Page 139: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

139

Drugi način (razlomci)

Page 140: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

140

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Rastavimo na razlomke:

Page 141: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

141

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Rastavimo na razlomke:

Page 142: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

142

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

Predstavimo ovu funkciju na sledeći način:

Iz tablice osobina, koristimo osobinu odskočne funkcije:

Sada treba naći inverznu Laplasovu transformaciju od .

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Page 143: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

143

Rešenje:

Ovaj zadatak ćemo rešiti primenom osobine konvolucije.

gde su

Tražena funkcija je (osobina konvolucije):

Page 144: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

144

Zadaci za samostalan rad (napominjem da ove zadatke nisam proverio ručno, tako da je

moguća greška, samo sam ih prepisao (sa rešenjima) iz jedne zbirke). Potrebno je odrediti

inverznu Laplasovu sliku za datu funkciju :

1.

17.

2.

18.

3.

19.

4.

20.

5.

21.

6.

22.

7.

23.

8.

24.

9.

25.

10.

26.

11.

27.

12.

28.

13.

29.

14.

30.

15.

31.

Page 145: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

145

16.

32.

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Page 146: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

146

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Page 147: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

147

Rešavanje diferencijalnih jednačina preko Laplasove

transformacije

Linearne (ne)homogene jednačine je moguće rešiti i preko Laplasove

transformacije. Pri tom traži se partikularno rešenje pri zadatim uslovima. Neka

je data jednačina:

Tražimo funkciju takvu da je . Zatim inverznom Laplasovom

transformacijom dobijamo traženu funkciju .

Koristi se osobina izvoda Laplasove transformacije:

Dakle, upotrebimo ovu osobinu za svako , dobijemo jednačinu iz koje

izrazimo , zatim ga inverznom transformacijom prevedemo u traženu

funkciju.

Koristeći Laplasovu transformaciju, rešite jednačinu:

pri uslovima:

Rešenje:

Page 148: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

148

Odatle:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta

ćemo pretpostaviti da je .

Rešenje:

Vratimo to u jednačinu:

Page 149: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

149

Odatle:

Neka su i .

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta

ćemo pretpostaviti da je .

Rešenje:

Page 150: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

150

Vratimo to u jednačinu:

Sada bi trebalo razložiti na izložioce . To

se radi na sledeći način:

Imamo funkciju . Koristimo Tejlorov razvoj:

u tački (izjednačimo imenilac sa nulom).

Page 151: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

151

Takođe, isti rezultat bi se dobio kada bismo uradili:

Vratimo to:

Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

pri uslovima

Rešenje:

Krećemo sa transformacijom:

Page 152: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

152

Da bismo odredili preostalu Laplasovu transformaciju (integral) Koristimo

osobinu 12. (konvolucija) iz tablice Laplasovih transformacija. Osobina glasi

dakle

Vratimo to u jednačinu:

Odatle:

Page 153: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

153

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Rešenje:

Za početak treba da prevedemo u analitički oblik. To se radi preko

hevisajdove (odskočne) funkcije. Prvo pogledamo koliko intervala imamo. U

ovom slučaju su dva:

U ovom slučaju funkcija je:

U ovom slučaju funkcija je:

Ukupno je:

Sad se vraćamo na zadatak. Pretpostavimo da je :

Vratimo to u jednačinu:

Page 154: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

154

Odatle:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

pri uslovima:

Rešenje:

Prevodimo u analitički oblik.

U ovom slučaju funkcija je:

U ovom slučaju funkcija je:

Ukupno je:

Sad se vraćamo na zadatak:

Page 155: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

155

Vratimo to u jednačinu:

Odatle:

Zadaci za samostalan rad:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Page 156: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

156

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Page 157: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

157

Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina preko

Laplasove transformacije

Sisteme nehomogenih diferencijalnih jednačina je moguće rešiti putem

Laplasove transformacije. Ovog puta tražimo dve funkcije: i

. Dobija se sistem dve jednačine sa dve nepoznate

Rešavanjem ovog sistema dobijamo ove dve funkcije. Zatim inverznom

Laplasovom transformacijom iz njih dobijamo tražene funkcije .

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći rešenje sistema:

Rešenje:

Sistem ćemo rešiti Kramerovom metodom.

Kramerova metoda za sistem sa dve jednačine sa dve nepoznate:

Sistem:

Determinante:

Rešenja:

Page 158: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

158

Dakle, konačno rešenje je:

Page 159: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

159

Zadaci za samostalan rad:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Page 160: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

160

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Page 161: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

161

12.

13.

Page 162: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

162

JEDNAČINA SA RAZDVOJENIM PROMENLJIVIMA.............................................................. 4

HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ............................................11

LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ...............................................14

BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ..................................................................17

JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM .................................................................20

REŠENJA ZADATAKA: ...........................................................................................................25

INTEGRALI POTREBNI ZA REŠAVANJE ZADATAKA IZ ZBIRKE: ...................................31

HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ...............................................41

NEHOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ..........................................44

Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 50

Resenja: .................................................................................................................................................................................... 51

JEDNAČINE KOJIMA SE MOŽE SNIZITI RED ......................................................................54

Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 54

Rešenja...................................................................................................................................................................................... 55

Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 56

Rešenja...................................................................................................................................................................................... 56

HOMOGENI SISTEMI .............................................................................................................57

Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 77

Rešenja: .................................................................................................................................................................................... 78

NEHOMOGENI SISTEMI ........................................................................................................81

Metoda neodređenih koeficijenata: .................................................................................................................................. 81

Metoda varijacije konstanti ................................................................................................................................................. 90

NELINEARNI SISTEMI ...........................................................................................................92

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE................................................................... 102

Page 163: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

www.puskice.org

163

FUNKCIJA KOMPLEKSNE PROMENLJIVE ....................................................................... 106

IZVOD FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. KOŠI-RIMANOVI USLOVI. ............ 107

Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 112

Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 113

INTEGRAL FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. REZIDUUM.............................. 114

Nalaženje Laplasove transformacije................................................................................................................................. 133

Inverzna Laplasova transformacija ................................................................................................................................... 133

Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 145

REŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

............................................................................................................................................... 147

Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 155

Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 156

REŠAVANJE SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE

TRANSFORMACIJE ............................................................................................................. 157

Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 159

Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 160

Page 164: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

ОСОБИНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ ( )( ) , ( )f t g t СЛИКА ( )( ) , ( )F s G s

1. ( ) ( )α β±f t g t ( ) ( )α β±F s G s

2. ( )f at 1 ( ) , 0>sF aa a

3. ( ) ( )− −f t a U t a ( ) , 0− >ase F s a

4. ( )ate f t ( )−F s a

5. ( )t f t ( )′−F s

6. ( )nt f t ( )( 1) ( ) ,− ∈n nF s n

7. ( )f tt ( )

∫s

F z dz

8. ( )′f t ( ) (0)−sF s f

9. ( )( )nf t 1 (( ) (0) ... (0)− −− − −n n ns F s s f f 1)

10. 0

( )∫t

f x dx ( )F ss

11. 11

1 20 0 0

... ( )−

∫ ∫ ∫ntt

n n

tdt dt f t dt ( ) , ∈

n

F s ns

12. ( )1 2 1 20

( ) ( ) ( )∗ = −∫t

f f t f t x f x dx 1 2( ) ( )F s F s

12. ( )0 ( ) (∀ > = +t f t f t )T0

1( ) ( )1

−−

=− ∫T

Tst

sF s e f t dt

e

Page 165: Matematika 3 - puskice.org zbirka by Hijavata.pdf · 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

ОСНОВНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ СЛИКА

1. 1 1 , Re( ) 0>ss

2. nt1! , Re( ) 0,+

> ∈nn s n

s

3. ( )−U t a , Re( ) 0 , 0−

> >ase s as

4. ate 1 , Re( ) >−

s as a

5. sin at2 2

, Re( ) 0>+a s

s a

6. cos at2 2

, Re( ) 0>+s s

s a

7. ( ) (− −nt a U t a)1! , Re( ) 0, 0−+

> >asnne s

sa

8. si n ( ) ( )− −b t a U t a2 2

, Re( ) 0, 0− > >+

as be ss b

a

9. co s ( ) ( )− −b t a U t a2 2

, Re( ) 0, 0− > >+

as se ss b

a

10. at ne t 1! , Re( ) ,

( ) +> ∈

− nn s a n

s a

11. sinate bt2 2

, Re( )( )

>− +

b s as a b

12. cosate bt2 2

, Re( )( )

− >− +

s a s as a b

13. sint at2 2 2

2 , Re( ) 0( )

>+as s

s a

14. cost at2 2

2 2 2, Re( ) 0

( )− >+

s a ss a

15. sin att arctg , Re( ) 02

π − >s sa

16. sh at2 2

, Re( ) | |>−a s a

s a

17. ch at2 2

, Re( ) | |>−s s a

s a