Diskretna Matematika - Zbirka Primera i Zadataka

  • View
    325

  • Download
    31

Embed Size (px)

DESCRIPTION

diskretna matematika zbirka od zadaci

Text of Diskretna Matematika - Zbirka Primera i Zadataka

  • VIA TEHNIKA KOLA SUBOTICA

    mr. Istvn Boros Gizella Csiks Pajor

    77((1155++1155++1155))

    ZBIRKA PRIMERA I ZADATAKA IZ DISKRETNE MATEMATIKE

    e1

    e2

    M1

    M2

    p1

    p2

    p1

    p2

    M1 M

    2

    1

    2

    90o

    90 o

    n

    P1

    P2

    xy

    z

    r2

    r1

    O

    SUBOTICA 2005

  • Opinio magistri probabilis tantum.

    Nihil probat qui nimium probat.

    _________________

    PREDGOVOR

    Zbirka primera i zadataka iz Diskretne Matematike

    7(15+15+15) je namenjena studentima prve godine Vie tehnike kole u Subotici. Pre ove zbirke je napisan prirunik sa naslovom Diskretna Matematika, koji slui za pripremanje ispita istog naziva i koji se po Planu i Programu kole izuava

    u toku prvog semestra kolovanja. Prilikom spremanja ove zbirke autori su se rukovodili idejom, da je italac savladao

    teorijske sadraje koji su u programu predmeta i obraeni su u priruniku. U ovoj Zbirci su veinom primeri, koji se rade na

    auditornim vebama, zatim primeri, koji su bili na pismenim ispitima i kolokvijumima u proteklih nekoliko godina. Reenja

    su data kod nekih primera sa obimnim teorijskim objanjenjem, a kod veine samo je prosto "uraen" zadatak.

    Grafiko predstavljanje je svedeno na minimum, jer na auditornim vebama se to opirno nadoknadimo.

    Smatramo ovu zbirku sastavnim delom prirunika, te nije snabdevena spiskom koriene literature, zato to se ona

    poklapa sa literaturom koja je navedena u priruniku. Postavke zadataka su delom iz tih izvora, delom su

    modifikacije tih zadataka, a delom su originalni prilozi autora. Zbirka sadri sedam poglavlja.

    Svako poglavlje se sastoji od dva dela: 0. PRIMERI ZADATAKA ZA VEBE (Izbor zadataka i reenja G. Csiks Pajor), 1. PRIMERI ISPITNIH ZADATAKA (Izbor zadataka i reenja Mr I.Boros)

    U delu reenih ispitnih zadataka posle svakog zadatka je naveden i jedan zadatak bez reenja (za samostalni rad). Celokupnu zbirku treba posmatrati u duhu motoa koji se

    nalazi u desnom gornjem uglu ove stranice. Molimo korisnike ove zbirke da svoje primedbe dostave lino autorima ili na

    e-mail adrese: iboros@vts.su.ac.yu ili cspelli@vts.su.ac.yu

    Subotica, septembar 2005. godine

    Uiteljevo miljenje je samo verovatno. Nita ne dokazuje ko suvie dokazuje

  • ______7(15+15+15) SADRAJ

    7 poglavlja sa po 15 primera za vebe 15 primera ispitnih zadataka i 15 zadataka za samostalni rad:

    1. Polinomi 1

    1.0. Primeri zadataka za vebe 1

    1.1. Primeri ispitnih zadataka 11

    2. Kompleksni brojevi 23

    2.0. Primeri zadataka za vebe 23

    2.1. Primeri ispitnih zadataka 33

    3. Vektorska algebra 43

    3.0. Primeri zadataka za vebe 43

    3.1. Primeri ispitnih zadataka 51

    4. Elementi analitike geometrije u R3 61

    4.0. Primeri zadataka za vebe 61

    4.1. Primeri ispitnih zadataka 73

    5. Matrice i determinante 85

    5.0. Primeri zadataka za vebe 85

    5.1. Primeri ispitnih zadataka 97

    6. Sistemi linearnih algebarskih jednaina 109

    6.0. Primeri zadataka za vebe 109

    6.1. Primeri ispitnih zadataka 123

    7. Vektorski prostori 141

    7.0. Primeri zadataka za vebe 141

    7.1. Primeri ispitnih zadataka 151

  • _________________1. POLINOMI

    1.0. PRIMERI ZADATAKA ZA VEBE 1.0.1. Primer: Nai kolinik polinoma ( ) 65432 234 ++= xxxxxP i . ( ) 132 += xxxQ Reenje:

    ( ) ( )

    5251133116811

    3936523

    262113213:65432

    2

    2

    23

    23

    234

    22234

    +

    ++

    ++=+++

    xxxxx

    xxxxxx

    xxxxxxxxxxx

    mm

    m

    m

    Prema tome kolinik ovih polinoma moemo napisati kao

    ( )( ) 13

    5251132 22

    2

    4

    ++++=xx

    xxxxQxP

    .

    1.0.2. Primer: Nai kolinik polinoma ( ) 13 23 = xxxxP i ( ) 123 2 += xxxQ . Reenje:

    ( ) ( )

    92

    926

    97

    914

    37

    134

    37

    332

    97

    3123:13

    2

    2

    23

    223

    =+

    x

    xx

    xx

    xxx

    xxxxxx

    mm

    m

    __________________________________________________________________ 1

  • Zbirka zadataka Diskretna matematika Prema tome kolinik ovih polinoma moemo napisati kao

    ( )( ) 123 92

    926

    97

    3 223

    +

    +=xx

    xxxQxP .

    1.0.3. Primer: Napisati polinom treeg stepena za koji je

    3)1(,1)2(,2)1(,2)0( ==== PPPP . Reenje: Polinom treeg reda sa optim koeficijentima moe da se napie u obliku ( ) dcxbxaxxP +++= 233 . Uvrstimo redom date vrednosti promenljive u ovaj xpolinom. Tada dobijamo da je: ( ) dP =03 ( ) dcbaP ++=13 ( ) dcbaP +++=13 ( ) dcbaP ++= 24823 Odavde se dobija sistem jednaina :

    124832

    2

    =++=+++

    =++=

    dcbadcbadcbad

    1248

    14

    =+=++

    =+

    cbacbacba

    Sabiranjem prve i druge jednaine dobijamo da je 2332 == bb .

    Posle toga sledi da je 528

    25

    ==+

    ca

    ca , tada je 528

    522=

    =+ca

    ca, a odavde je

    106 = a . Koeficijent je znai a35 tada je

    310=c .

    Traeni polinom glasi : ( ) 23

    1023

    35 23

    3 ++= xxxxP .

    1.0.4. Primer: Odrediti koeficijente u polinomu cba ,, ( ) cbxaxxxP +++= 23 tako da P(x) bude deljiv binomima i 1x 2+x , a da podeljen sa 4x daje ostatak18 .

    __________________________________________________________________ 2

  • Polinomi___________ Zbirka zadataka

    Reenje:

    Na osnovu Bezuove teoreme slede sledee injenice: ( ) ( ) ( ) 01011 =+++= cbaPxPx ( ) ( ) ( ) 0248022 =++=+ cbaPxPx ( ) 1841664184 =+++= cbaP Odavde se dobija i reava sistem jednaina:

    464168241

    =++=+

    =++

    cbacbacba

    bac = 1

    461416

    8124=+

    =baba

    baba

    45315

    933=+

    =ba

    ba

    155

    3=+

    =ba

    ba

    652126 ==== cbaa Traeni polinom je : ( ) 652 23 += xxxxP .

    1.0.5. Primer:

    Odrediti koeficijente srqp ,,, u polinomu ( ) srxqxpxxxP ++++= 2344 tako da bude deljiv sa binomima 3,4,2 ++ xxx a da podeljen sa 1+x daje ostatak 24 .

    Reenje: Na osnovu Bezuove teoreme dobijamo da je: ( ) ( ) ( ) 01684222 =++=+ pqrsPxPx ( ) ( ) ( ) 02566416444 =++=+ pqrsPxPx ( ) ( ) ( ) 08279333 =+++++= pqrsPxPx ( ) 2411 =++= pqrsP rqps ++= 23 Uvrtavajui u ostale jednaine dobija se sistem jednaina: s

    1044828279315633937

    =++=+=+

    rqprqprqp

    pr 739 =

    1041228156828

    2799211171563=+++=++

    qpqpqpqp

    26020162642

    ==+

    qqp

    13= q 2= p 14= r 24= s . Znai da je traeni polinom ( )xP jednak: ( ) 2414132 234 ++= xxxxxP . __________________________________________________________________ 3

  • Zbirka zadataka Diskretna matematika

    1.0.6. Primer: Nai sve korene polinoma i faktorisati ga ( ) 412946 2346 +++= xxxxxxPna skupu realnih brojeva. Reenje: Polinom je estog stepena, to znai da ima ukupno 6 korena, od kojih neki ( )xPmogu biti eventualno i viestruki koreni. Ako meu njima ima racionalnih i to celih, oni treba da budu delioci slobodnog lana , to znai da ih traimo meu brojevima 4

    4,2,1 . Hornerovom emom lako i brzo proveravamo koji su od ovih brojeva koreni:

    1 0 -6 -4 9 12 4 1 1 1 -5 -9 0 12 16 1 nije koren

    1 0 -6 -4 9 12 4 -1 1 -1 -5 1 8 4 0 -1 je jednostruki koren

    1 -1 -5 1 8 4 -1 1 -2 -3 4 4 0 -1 je dvostruki koren

    1 -2 -3 4 4 -1 1 -3 0 4 0 -1 je trostruki koren

    1 -3 0 4 -1 1 -4 4 0 -1 je etvorostruki koren

    Posle ovih raunanja polinom ( )xP moemo napisati u obliku ( ) ( ) ( )441 24 ++= xxxxP odakle se lako uvia da je nad skupom R faktorizacija datog polinoma ( ) ( ) ( )24 21 += xxxP . 1.0.7. Primer: Nai racionalne korene polinoma ( ) 82018116 23456 ++= xxxxxxxP . Reenje: Polinom estog stepena ima ukupno 6 korena od kojih ne moraju svi biti realni, a od realnih ne moraju svi biti racionalni. Cele i razlomljene korene (znai racionalne) moemo traiti Hornerovom emom slino kao u prethodnom zadatku:

    __________________________________________________________________ 4

  • Polinomi___________ Zbirka zadataka

    1 -6 11 -1 -18 20 -8 1 1 -5 6 5 -13 7 -1 1 nije koren

    1 -6 11 -1 -18 20 -8 -1 1 -7 18 -19 1 19 -27 -1 nije koren

    1 -6 11 -1 -18 20 -8 2 1 -4 3 5 -8 4 0 2 je jednostruki koren