of 191 /191
MATEMATIKA 2 Gordan Radobolja PMF 22. rujna 2013. Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70

MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki integrali... · Izraµcunajmo dvostruki integral funkcije f : [0,4] [0,3] !R de–niranu

Embed Size (px)

Text of MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki...

  • MATEMATIKA 2

    Gordan Radobolja

    PMF

    22. rujna 2013.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70

  • Dekompozicija kvadra

    Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od nzatvorenih segmenata:

    K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

    [ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.

    Neka je Di ={x (i )0 , x

    (i )1 , . . . , x

    (i )n

    }jedan rastav segmenta [ai , bi ], tj.

    ai = x(i )0 x

    (i )1 x

    (i )2 x

    (i )n1 x

    (i )n = bi .

    S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].Kartezijev produkt

    D = D1 D2 Dn, gdje je Di Di ,

    zove se rastav (dekompozicija) kvadra K . Skup svih rastava kvadraK oznacit cemo s D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 2 / 70

  • Dekompozicija kvadra

    Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od nzatvorenih segmenata:

    K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

    [ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.Neka je Di =

    {x (i )0 , x

    (i )1 , . . . , x

    (i )n

    }jedan rastav segmenta [ai , bi ], tj.

    ai = x(i )0 x

    (i )1 x

    (i )2 x

    (i )n1 x

    (i )n = bi .

    S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].

    Kartezijev produkt

    D = D1 D2 Dn, gdje je Di Di ,

    zove se rastav (dekompozicija) kvadra K . Skup svih rastava kvadraK oznacit cemo s D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 2 / 70

  • Dekompozicija kvadra

    Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od nzatvorenih segmenata:

    K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

    [ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.Neka je Di =

    {x (i )0 , x

    (i )1 , . . . , x

    (i )n

    }jedan rastav segmenta [ai , bi ], tj.

    ai = x(i )0 x

    (i )1 x

    (i )2 x

    (i )n1 x

    (i )n = bi .

    S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].Kartezijev produkt

    D = D1 D2 Dn, gdje je Di Di ,

    zove se rastav (dekompozicija) kvadra K . Skup svih rastava kvadraK oznacit cemo s D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 2 / 70

  • Integralne sume

    DefinicijaNeka je f : K R omeena funkcija, tj. postoje m,M R takvi da je

    m f (x1, x2, . . . , xn) M, (x1, x2, . . . , xn) K .

    Svakom rastavu D D kvadra K mozemo pridruziti gornju integralnusumu

    g (f ,D) =

    =k1

    i1=1

    k2

    i2=1

    kn

    in=1

    Mi1,i2,...,in(x (1)i1 x

    (1)i11

    ) (x (2)i2 x

    (2)i21

    ) (x (n)in x

    (n)in1

    ),

    gdje je

    Mi1,i2,...,in = sup{f (x1, x2, . . . , xn) : xk

    [x (k )ik1, x

    (k )ik

    ]},

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 3 / 70

  • Integralne sume

    DefinicijaNeka je f : K R omeena funkcija, tj. postoje m,M R takvi da je

    m f (x1, x2, . . . , xn) M, (x1, x2, . . . , xn) K .

    Svakom rastavu D D kvadra K mozemo pridruziti gornju integralnusumu

    g (f ,D) =

    =k1

    i1=1

    k2

    i2=1

    kn

    in=1

    Mi1,i2,...,in(x (1)i1 x

    (1)i11

    ) (x (2)i2 x

    (2)i21

    ) (x (n)in x

    (n)in1

    ),

    gdje je

    Mi1,i2,...,in = sup{f (x1, x2, . . . , xn) : xk

    [x (k )ik1, x

    (k )ik

    ]},

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 3 / 70

  • Integralne sume

    DefinicijaAnalogno definiramo donju integralnu sumu

    d (f ,D) =

    =k1

    i1=1

    k2

    i2=1

    kn

    in=1

    mi1,i2,...,in(x (1)i1 x

    (1)i11

    ) (x (2)i2 x

    (2)i21

    ) (x (n)in x

    (n)in1

    ),

    gdje je

    mi1,i2,...,in = inf{f (x1, x2, . . . , xn) : xk

    [x (k )ik1, x

    (k )ik

    ]},

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 4 / 70

  • Viestruki integral

    DefinicijaAko je

    inf {g (f ,D) : D D} = sup {d (f ,D) : D D} = I ,

    onda se broj I naziva odreeni (viestruki, n-terostruki) integralfunkcije f na kvadru K.

    Tada kazemo da je f integrabilna na K i piemo

    I =K

    f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn =

    =

    K

    f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 5 / 70

  • Viestruki integral

    DefinicijaAko je

    inf {g (f ,D) : D D} = sup {d (f ,D) : D D} = I ,

    onda se broj I naziva odreeni (viestruki, n-terostruki) integralfunkcije f na kvadru K.Tada kazemo da je f integrabilna na K i piemo

    I =K

    f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn =

    =

    K

    f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 5 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Izracunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s

    f (x , y) = 3 x4 y3.

    Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = 3 14x 13y koji se nalazi iznad

    kvadra (pravokutnika)K = [0, 4] [0, 3] .

    Vrhovi tog prostornog pravokutnika su tocke (0, 0, 3) , (4, 0, 1) , (0, 3, 2) i(4, 3, 0) .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 6 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Izracunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s

    f (x , y) = 3 x4 y3.

    Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = 3 14x 13y koji se nalazi iznad

    kvadra (pravokutnika)K = [0, 4] [0, 3] .

    Vrhovi tog prostornog pravokutnika su tocke (0, 0, 3) , (4, 0, 1) , (0, 3, 2) i(4, 3, 0) .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 6 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Izracunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s

    f (x , y) = 3 x4 y3.

    Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = 3 14x 13y koji se nalazi iznad

    kvadra (pravokutnika)K = [0, 4] [0, 3] .

    Vrhovi tog prostornog pravokutnika su tocke (0, 0, 3) , (4, 0, 1) , (0, 3, 2) i(4, 3, 0) .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 6 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerNa slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova:

    segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 7 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerNa slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova:

    segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.

    Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 7 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerNa slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova:

    segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 7 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Mi ,j = max(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi1, yj1) = 3xi14 yj1

    3,

    mi ,j = min(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi , yj ) = 3xi4 yj3.

    Uz oznake xi = xi xi1 i yi = yi yi1, donja suma je jednaka

    d (f ,D) = i

    jf (xi , yi )xiyj =

    ij

    (3 xi

    4 yj3

    )xiyj =

    = 3i

    j

    xiyj 14 j

    yj ixixi

    13 i

    xi jyjyj =

    = 3 12 34 i

    xixi 43 j

    yjyj .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 8 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Mi ,j = max(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi1, yj1) = 3xi14 yj1

    3,

    mi ,j = min(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi , yj ) = 3xi4 yj3.

    Uz oznake xi = xi xi1 i yi = yi yi1, donja suma je jednaka

    d (f ,D) = i

    jf (xi , yi )xiyj =

    ij

    (3 xi

    4 yj3

    )xiyj =

    = 3i

    j

    xiyj 14 j

    yj ixixi

    13 i

    xi jyjyj =

    = 3 12 34 i

    xixi 43 j

    yjyj .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 8 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Mi ,j = max(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi1, yj1) = 3xi14 yj1

    3,

    mi ,j = min(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi , yj ) = 3xi4 yj3.

    Uz oznake xi = xi xi1 i yi = yi yi1, donja suma je jednaka

    d (f ,D) = i

    jf (xi , yi )xiyj =

    ij

    (3 xi

    4 yj3

    )xiyj =

    = 3i

    j

    xiyj 14 j

    yj ixixi

    13 i

    xi jyjyj =

    = 3 12 34 i

    xixi 43 j

    yjyj .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 8 / 70

  • Viestruki integral

    Primjer

    Mi ,j = max(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi1, yj1) = 3xi14 yj1

    3,

    mi ,j = min(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

    f (x , y) = f (xi , yj ) = 3xi4 yj3.

    Uz oznake xi = xi xi1 i yi = yi yi1, donja suma je jednaka

    d (f ,D) = i

    jf (xi , yi )xiyj =

    ij

    (3 xi

    4 yj3

    )xiyj =

    = 3i

    j

    xiyj 14 j

    yj ixixi

    13 i

    xi jyjyj =

    = 3 12 34 i

    xixi 43 j

    yjyj .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 8 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerPrelaskom na limes kada xi 0 i yj 0 i koritenjem definicijeodreenog integrala funkcije jedne varijable imamo

    sup d (f ,D) = limxi0yj0

    d (f ,D) = 36 34

    40

    x dx43

    30

    y dy = 24.

    Slicno se pokaze da je

    inf g (f ,D) = limxi0yj0

    g (f ,D) = 24

    pa je f integrabilna na kvadru K i vrijediK

    (3 x

    4 y3

    )dx dy = 24.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 9 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerPrelaskom na limes kada xi 0 i yj 0 i koritenjem definicijeodreenog integrala funkcije jedne varijable imamo

    sup d (f ,D) = limxi0yj0

    d (f ,D) = 36 34

    40

    x dx43

    30

    y dy = 24.

    Slicno se pokaze da je

    inf g (f ,D) = limxi0yj0

    g (f ,D) = 24

    pa je f integrabilna na kvadru K i vrijediK

    (3 x

    4 y3

    )dx dy = 24.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 9 / 70

  • Viestruki integral

    PrimjerPrelaskom na limes kada xi 0 i yj 0 i koritenjem definicijeodreenog integrala funkcije jedne varijable imamo

    sup d (f ,D) = limxi0yj0

    d (f ,D) = 36 34

    40

    x dx43

    30

    y dy = 24.

    Slicno se pokaze da je

    inf g (f ,D) = limxi0yj0

    g (f ,D) = 24

    pa je f integrabilna na kvadru K i vrijediK

    (3 x

    4 y3

    )dx dy = 24.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 9 / 70

  • Integral nad neravnim podrucjem integracije

    DefinicijaNeka je f : D R, D Rn omeena funkcija i neka je D sadrzano unekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proirenje funkcije f :

    g (x1, . . . , xn) ={f (x1, . . . , xn) , (x1, . . . , xn) D,

    0, (x1, . . . , xn) K \D.

    Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kaoD

    f (x1, . . . , xn)dx1 dxn =K

    g (x1, . . . , xn)dx1 dxn .

    Skup D je podrucje integracije.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 10 / 70

  • Integral nad neravnim podrucjem integracije

    DefinicijaNeka je f : D R, D Rn omeena funkcija i neka je D sadrzano unekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proirenje funkcije f :

    g (x1, . . . , xn) ={f (x1, . . . , xn) , (x1, . . . , xn) D,

    0, (x1, . . . , xn) K \D.

    Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kaoD

    f (x1, . . . , xn)dx1 dxn =K

    g (x1, . . . , xn)dx1 dxn .

    Skup D je podrucje integracije.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 10 / 70

  • Integral nad neravnim podrucjem integracije

    DefinicijaNeka je f : D R, D Rn omeena funkcija i neka je D sadrzano unekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proirenje funkcije f :

    g (x1, . . . , xn) ={f (x1, . . . , xn) , (x1, . . . , xn) D,

    0, (x1, . . . , xn) K \D.

    Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kaoD

    f (x1, . . . , xn)dx1 dxn =K

    g (x1, . . . , xn)dx1 dxn .

    Skup D je podrucje integracije.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 10 / 70

  • Svojstva viestrukog integrala

    Ako su f i g integrabilne na podrucju D vrijedi:

    linearnost, odnosnoD

    (f + g)dx1 dxn = D

    f dx1 dxn +D

    g dx1 dxn,

    gdje su , R i

    integriranje po dijelovima podrucja integracije, odnosnoD

    f dx1 dxn =D1

    f dx1 dxn +D2

    f dx1 dxn,

    gdje je D = D1 D2 i D1 D2 = .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 11 / 70

  • Svojstva viestrukog integrala

    Ako su f i g integrabilne na podrucju D vrijedi:

    linearnost, odnosnoD

    (f + g)dx1 dxn = D

    f dx1 dxn +D

    g dx1 dxn,

    gdje su , R iintegriranje po dijelovima podrucja integracije, odnosno

    D

    f dx1 dxn =D1

    f dx1 dxn +D2

    f dx1 dxn,

    gdje je D = D1 D2 i D1 D2 = .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 11 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    Dvostruki integral racunamo uzastopnim racunanjem dva jednostrukaintegrala pomocu Newton-Leibnitzove formule:

    Teorem (Fubini)Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutnikuK = [a, b] [c , d ]. Tada je

    K

    f (x , y)dx dy =dc

    ba

    f (x , y)dx

    dy = ba

    dc

    f (x , y)dy

    dx .Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

    m

    i=1

    n

    j=1aij =

    m

    i=1

    (n

    j=1aij

    )=

    n

    j=1

    (m

    i=1aij

    )=

    n

    j=1

    m

    i=1aij .

    Detalje dokaza izostavljamo.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 12 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    Dvostruki integral racunamo uzastopnim racunanjem dva jednostrukaintegrala pomocu Newton-Leibnitzove formule:

    Teorem (Fubini)Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutnikuK = [a, b] [c , d ]. Tada je

    K

    f (x , y)dx dy =dc

    ba

    f (x , y)dx

    dy = ba

    dc

    f (x , y)dy

    dx .

    Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

    m

    i=1

    n

    j=1aij =

    m

    i=1

    (n

    j=1aij

    )=

    n

    j=1

    (m

    i=1aij

    )=

    n

    j=1

    m

    i=1aij .

    Detalje dokaza izostavljamo.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 12 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    Dvostruki integral racunamo uzastopnim racunanjem dva jednostrukaintegrala pomocu Newton-Leibnitzove formule:

    Teorem (Fubini)Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutnikuK = [a, b] [c , d ]. Tada je

    K

    f (x , y)dx dy =dc

    ba

    f (x , y)dx

    dy = ba

    dc

    f (x , y)dy

    dx .Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

    m

    i=1

    n

    j=1aij =

    m

    i=1

    (n

    j=1aij

    )=

    n

    j=1

    (m

    i=1aij

    )=

    n

    j=1

    m

    i=1aij .

    Detalje dokaza izostavljamo.Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 12 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    Primjer

    Ako je K = [a, b] [c, d ], izracunajmo

    I =K

    xy2 dx dy .

    Prema teoremu je

    I =

    ba

    dc

    xy2 dy

    dx = ba

    [xy3

    3

    dc

    ]dx =

    ba

    x(d3

    3 c

    3

    3

    )dx =

    =13

    (d3 c3

    ) x22

    ba=16

    (d3 c3

    ) (b2 a2

    ).

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 13 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    Primjer

    Ako je K = [a, b] [c, d ], izracunajmo

    I =K

    xy2 dx dy .

    Prema teoremu je

    I =

    ba

    dc

    xy2 dy

    dx = ba

    [xy3

    3

    dc

    ]dx =

    ba

    x(d3

    3 c

    3

    3

    )dx =

    =13

    (d3 c3

    ) x22

    ba=16

    (d3 c3

    ) (b2 a2

    ).

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 13 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    PrimjerIsti rezultat dobije se i racunajuci

    I =

    dc

    ba

    xy2 dx

    dy .

    NapomenaIz prethodnog primjera vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim podrugoj varijabli, pri cemu rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja.Slicno vrijedi i kada podrucje integracije nije pravokutnik, kao i kodintegrala viih dimenzija.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 14 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    PrimjerIsti rezultat dobije se i racunajuci

    I =

    dc

    ba

    xy2 dx

    dy .NapomenaIz prethodnog primjera vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim podrugoj varijabli, pri cemu rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja.Slicno vrijedi i kada podrucje integracije nije pravokutnik, kao i kodintegrala viih dimenzija.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 14 / 70

  • Dvostruki integral nad kvadrom

    NapomenaIntegral iz prethodnog primjera je integral sa separiranim varijablama,odnosno moze se rastaviti na produkt dva jednostruka integrala toopcenito nije slucaj:

    ba

    dc

    xy2 dy

    dx = ba

    x dx dc

    y2 dy .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 15 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    Ako je podrucje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama,

    D = {(x , y) : a x b, g (x) y h (x)} ,

    onda je D

    f (x , y)dx dy =ba

    h(x )g (x )

    f (x , y)dy

    dx .

    Naravno, uloge varijabli x i y mogu biti zamijenjene.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 16 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    Ako je podrucje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama,

    D = {(x , y) : a x b, g (x) y h (x)} ,

    onda je D

    f (x , y)dx dy =ba

    h(x )g (x )

    f (x , y)dy

    dx .Naravno, uloge varijabli x i y mogu biti zamijenjene.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 16 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    Primjer

    Izracunajmo integral I =D

    (x + y2

    )dx dy, pri cemu je D podrucje

    omeeno krivuljama y = x2 i y = x4.

    Za odreivanje granica integracije potrebno je skicirati podrucje D:

    Vidimo da je

    D ={(x , y) : 1 x 1, x4 y x2

    }.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 17 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    Primjer

    Izracunajmo integral I =D

    (x + y2

    )dx dy, pri cemu je D podrucje

    omeeno krivuljama y = x2 i y = x4.Za odreivanje granica integracije potrebno je skicirati podrucje D:

    Vidimo da je

    D ={(x , y) : 1 x 1, x4 y x2

    }.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 17 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    Primjer

    Izracunajmo integral I =D

    (x + y2

    )dx dy, pri cemu je D podrucje

    omeeno krivuljama y = x2 i y = x4.Za odreivanje granica integracije potrebno je skicirati podrucje D:

    Vidimo da je

    D ={(x , y) : 1 x 1, x4 y x2

    }.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 17 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    PrimjerDakle

    I =

    11

    x 2x 4

    (x + y2

    )dy

    dx = 11

    [xy +

    y3

    3

    ]x 2x

    dx =

    =

    11

    (x3 +

    x6

    6 x5 x

    12

    3

    )dx =

    [x4

    4+x7

    42 x

    6

    6 x

    13

    39

    ]11=

    = 1273

    .

    No mozemo i zamijeniti redoslijed pa integrirati prvo po varijabli x. U tomslucaju je potrebno podrucje D rastaviti na uniju dva disjunktna podrucja:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 18 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    PrimjerDakle

    I =

    11

    x 2x 4

    (x + y2

    )dy

    dx = 11

    [xy +

    y3

    3

    ]x 2x

    dx =

    =

    11

    (x3 +

    x6

    6 x5 x

    12

    3

    )dx =

    [x4

    4+x7

    42 x

    6

    6 x

    13

    39

    ]11=

    = 1273

    .

    No mozemo i zamijeniti redoslijed pa integrirati prvo po varijabli x. U tomslucaju je potrebno podrucje D rastaviti na uniju dva disjunktna podrucja:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 18 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    PrimjerStavimo

    D1 = {(x , y) : 0 y 1, 4y x y} ,

    D2 = {(x , y) : 0 y 1,y x 4y}

    pa je

    I =

    10

    y

    4y

    (x + y2

    )dx

    dy+ 10

    4yy

    (x + y2

    )dx

    dy = = 1273

    .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 19 / 70

  • Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

    PrimjerStavimo

    D1 = {(x , y) : 0 y 1, 4y x y} ,

    D2 = {(x , y) : 0 y 1,y x 4y}

    pa je

    I =

    10

    y

    4y

    (x + y2

    )dx

    dy+ 10

    4yy

    (x + y2

    )dx

    dy = = 1273

    .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 19 / 70

  • Volumen i povrina

    Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.

    Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

    V () =D

    f (x , y)dx dy =D

    zdP.

    Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

    P (D) = V () =D

    dP.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 20 / 70

  • Volumen i povrina

    Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

    V () =D

    f (x , y)dx dy =D

    zdP.

    Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

    P (D) = V () =D

    dP.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 20 / 70

  • Volumen i povrina

    Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

    V () =D

    f (x , y)dx dy =D

    zdP.

    Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.

    Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

    P (D) = V () =D

    dP.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 20 / 70

  • Volumen i povrina

    Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

    V () =D

    f (x , y)dx dy =D

    zdP.

    Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

    P (D) = V () =D

    dP.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 20 / 70

  • Volumen i povrina

    Primjer

    Izracunajmo obujam tijela omeenog plohom z = x2 + y2 i ravninama

    z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

    Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 21 / 70

  • Volumen i povrina

    Primjer

    Izracunajmo obujam tijela omeenog plohom z = x2 + y2 i ravninama

    z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

    Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.

    Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 21 / 70

  • Volumen i povrina

    Primjer

    Izracunajmo obujam tijela omeenog plohom z = x2 + y2 i ravninama

    z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

    Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 21 / 70

  • Volumen i povrina

    PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1.

    Sada imamo

    V =

    112

    3x2x

    (x2 + y2

    )dy dx+

    21

    4xx

    (x2 + y2

    )dy dx .

    Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

    321

    y2y

    (x2 + y2

    )dx dy+

    232

    yy3

    (x2 + y2

    )dx dy+

    32

    4yy3

    (x2 + y2

    )dx dy .

    Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 22 / 70

  • Volumen i povrina

    PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo

    V =

    112

    3x2x

    (x2 + y2

    )dy dx+

    21

    4xx

    (x2 + y2

    )dy dx .

    Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

    321

    y2y

    (x2 + y2

    )dx dy+

    232

    yy3

    (x2 + y2

    )dx dy+

    32

    4yy3

    (x2 + y2

    )dx dy .

    Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 22 / 70

  • Volumen i povrina

    PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo

    V =

    112

    3x2x

    (x2 + y2

    )dy dx+

    21

    4xx

    (x2 + y2

    )dy dx .

    Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

    321

    y2y

    (x2 + y2

    )dx dy+

    232

    yy3

    (x2 + y2

    )dx dy+

    32

    4yy3

    (x2 + y2

    )dx dy .

    Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 22 / 70

  • Volumen i povrina

    PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo

    V =

    112

    3x2x

    (x2 + y2

    )dy dx+

    21

    4xx

    (x2 + y2

    )dy dx .

    Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

    321

    y2y

    (x2 + y2

    )dx dy+

    232

    yy3

    (x2 + y2

    )dx dy+

    32

    4yy3

    (x2 + y2

    )dx dy .

    Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 22 / 70

  • Volumen i povrina

    Volumen tijela omeenog plohama z = f (x , y) i z = g (x , y) pri cemuje

    f , g : D R, g (x , y) f (x , y) (x , y) D,se racuna po formuli

    V () =D

    (f (x , y) g (x , y))dx dy .

    To je prirodno poopcenje formule za racunanje povrine ravninskih likovapomocu jednostrukog integrala.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 23 / 70

  • Volumen i povrina

    Volumen tijela omeenog plohama z = f (x , y) i z = g (x , y) pri cemuje

    f , g : D R, g (x , y) f (x , y) (x , y) D,se racuna po formuli

    V () =D

    (f (x , y) g (x , y))dx dy .

    To je prirodno poopcenje formule za racunanje povrine ravninskih likovapomocu jednostrukog integrala.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 23 / 70

  • Polarne koordinate

    Neka je podrcuje D R2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kaoD = {(r , ) : 1 2, r1 () r r2 ()} ,

    gdje su r1, r2 : [1, 2] R neprekidne funkcije.

    Tada za racunanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju

    x = r cos , y = r sin .

    Element povrine u polarnim kordinatama:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 24 / 70

  • Polarne koordinate

    Neka je podrcuje D R2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kaoD = {(r , ) : 1 2, r1 () r r2 ()} ,

    gdje su r1, r2 : [1, 2] R neprekidne funkcije.Tada za racunanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju

    x = r cos , y = r sin .

    Element povrine u polarnim kordinatama:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 24 / 70

  • Polarne koordinate

    Neka je podrcuje D R2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kaoD = {(r , ) : 1 2, r1 () r r2 ()} ,

    gdje su r1, r2 : [1, 2] R neprekidne funkcije.Tada za racunanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju

    x = r cos , y = r sin .

    Element povrine u polarnim kordinatama:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 24 / 70

  • Polarne koordinate

    Formula za povrinu kruznog isjecka daje

    dP =12(r + dr)2 d1

    2r2 d =

    12

    (r2 + 2r dr+ (dr)2 r2

    )d

    = r dr d+12(dr)2 d

    r dr d,

    pri cemu izraz 12 (dr)2 d mozemo zanemariti jer tezi k nuli brze od izraza

    r dr d.

    Prema tome, vrijedi

    D

    f (x , y)dx dy =

    21

    r2()r1()

    f (r cos , r sin ) r dr d .

    U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po !

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 25 / 70

  • Polarne koordinate

    Formula za povrinu kruznog isjecka daje

    dP =12(r + dr)2 d1

    2r2 d =

    12

    (r2 + 2r dr+ (dr)2 r2

    )d

    = r dr d+12(dr)2 d

    r dr d,

    pri cemu izraz 12 (dr)2 d mozemo zanemariti jer tezi k nuli brze od izraza

    r dr d. Prema tome, vrijedi

    D

    f (x , y)dx dy =

    21

    r2()r1()

    f (r cos , r sin ) r dr d .

    U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po !

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 25 / 70

  • Polarne koordinate

    Formula za povrinu kruznog isjecka daje

    dP =12(r + dr)2 d1

    2r2 d =

    12

    (r2 + 2r dr+ (dr)2 r2

    )d

    = r dr d+12(dr)2 d

    r dr d,

    pri cemu izraz 12 (dr)2 d mozemo zanemariti jer tezi k nuli brze od izraza

    r dr d. Prema tome, vrijedi

    D

    f (x , y)dx dy =

    21

    r2()r1()

    f (r cos , r sin ) r dr d .

    U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po !

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 25 / 70

  • Polarne kordinate

    PrimjerAko je D polukrug u prvom kvadrantu omeen kruznicom(x 12

    )2+ y2 = 14 i osi x, izracunajte

    D

    1 x2 y2 dx dy .

    Radi se o volumenu tijela to ga iz polukugle z =1 x2 y2 izreze

    cilindar s bazom D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 26 / 70

  • Polarne kordinate

    PrimjerAko je D polukrug u prvom kvadrantu omeen kruznicom(x 12

    )2+ y2 = 14 i osi x, izracunajte

    D

    1 x2 y2 dx dy .

    Radi se o volumenu tijela to ga iz polukugle z =1 x2 y2 izreze

    cilindar s bazom D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 26 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerUvrtavanjem supstitucije u jednadzbu zadane kruznice dobijemo(

    r cos 12

    )2+ (r sin )2 =

    14,

    odnosnor (r cos ) = 0

    pa jednadzba zadane kruznice u polarnim koordinatama glasi

    r = cos .

    Dakle, podrucje D je opisano s

    D ={(r , ) :

    [0,

    2

    ], r [0, cos ]

    }

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 27 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerUvrtavanjem supstitucije u jednadzbu zadane kruznice dobijemo(

    r cos 12

    )2+ (r sin )2 =

    14,

    odnosnor (r cos ) = 0

    pa jednadzba zadane kruznice u polarnim koordinatama glasi

    r = cos .

    Dakle, podrucje D je opisano s

    D ={(r , ) :

    [0,

    2

    ], r [0, cos ]

    }

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 27 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerUvrtavanjem supstitucije u jednadzbu zadane kruznice dobijemo(

    r cos 12

    )2+ (r sin )2 =

    14,

    odnosnor (r cos ) = 0

    pa jednadzba zadane kruznice u polarnim koordinatama glasi

    r = cos .

    Dakle, podrucje D je opisano s

    D ={(r , ) :

    [0,

    2

    ], r [0, cos ]

    }Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 27 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerDakle, imamo

    I =

    20

    cos 0

    1 r2r dr d =

    {1 r2 = t2r dr = dt

    r 0 cos t 1 sin2

    }

    = 12

    20

    sin2 1

    t dt d = 1

    3

    20

    t32

    sin2 1

    d = {sin > 0}

    = 13

    20

    (sin3 1

    )d =

    13

    20 13

    20

    (1 cos2

    )sin d

    = {cos = u} = 6+13

    01

    (1 u2

    )du =

    6 29.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 28 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerDakle, imamo

    I =

    20

    cos 0

    1 r2r dr d =

    {1 r2 = t2r dr = dt

    r 0 cos t 1 sin2

    }

    = 12

    20

    sin2 1

    t dt d = 1

    3

    20

    t32

    sin2 1

    d = {sin > 0}

    = 13

    20

    (sin3 1

    )d =

    13

    20 13

    20

    (1 cos2

    )sin d

    = {cos = u} = 6+13

    01

    (1 u2

    )du =

    6 29.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 28 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerDakle, imamo

    I =

    20

    cos 0

    1 r2r dr d =

    {1 r2 = t2r dr = dt

    r 0 cos t 1 sin2

    }

    = 12

    20

    sin2 1

    t dt d = 1

    3

    20

    t32

    sin2 1

    d = {sin > 0}

    = 13

    20

    (sin3 1

    )d =

    13

    20 13

    20

    (1 cos2

    )sin d

    = {cos = u} = 6+13

    01

    (1 u2

    )du =

    6 29.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 28 / 70

  • Polarne koordinate

    PrimjerDakle, imamo

    I =

    20

    cos 0

    1 r2r dr d =

    {1 r2 = t2r dr = dt

    r 0 cos t 1 sin2

    }

    = 12

    20

    sin2 1

    t dt d = 1

    3

    20

    t32

    sin2 1

    d = {sin > 0}

    = 13

    20

    (sin3 1

    )d =

    13

    20 13

    20

    (1 cos2

    )sin d

    = {cos = u} = 6+13

    01

    (1 u2

    )du =

    6 29.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 28 / 70

  • Nepravi integral

    Nepravi integrali funkcija vie varijabli se definiraju pomocu limesa,slicno kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable.

    Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slicni onima koji sejavljaju kod proucavanja limesa funkcija vie varijabli.

    Ovdje ih necemo detaljno izucavati, vec navodimo samo jedanzanimljivi primjer:

    PrimjerIzracunajmo

    I =

    ex2

    dx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 29 / 70

  • Nepravi integral

    Nepravi integrali funkcija vie varijabli se definiraju pomocu limesa,slicno kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable.

    Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slicni onima koji sejavljaju kod proucavanja limesa funkcija vie varijabli.

    Ovdje ih necemo detaljno izucavati, vec navodimo samo jedanzanimljivi primjer:

    PrimjerIzracunajmo

    I =

    ex2

    dx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 29 / 70

  • Nepravi integral

    Nepravi integrali funkcija vie varijabli se definiraju pomocu limesa,slicno kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable.

    Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slicni onima koji sejavljaju kod proucavanja limesa funkcija vie varijabli.

    Ovdje ih necemo detaljno izucavati, vec navodimo samo jedanzanimljivi primjer:

    PrimjerIzracunajmo

    I =

    ex2

    dx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 29 / 70

  • Nepravi integral

    Nepravi integrali funkcija vie varijabli se definiraju pomocu limesa,slicno kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable.

    Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slicni onima koji sejavljaju kod proucavanja limesa funkcija vie varijabli.

    Ovdje ih necemo detaljno izucavati, vec navodimo samo jedanzanimljivi primjer:

    PrimjerIzracunajmo

    I =

    ex2

    dx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 29 / 70

  • Nepravi integral

    Primjer

    Radi se o povrini izmeu krivulja y = ex2i osi x.

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0.5

    1.0

    x

    y

    y = ex2

    Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Vidi link.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 30 / 70

    http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

  • Nepravi integral

    Primjer

    Radi se o povrini izmeu krivulja y = ex2i osi x.

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0.5

    1.0

    x

    y

    y = ex2

    Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Vidi link.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 30 / 70

    http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

  • Nepravi integral

    Primjer

    Radi se o povrini izmeu krivulja y = ex2i osi x.

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0.5

    1.0

    x

    y

    y = ex2

    Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Vidi link.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 30 / 70

    http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

  • Nepravi integral

    PrimjerZbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi

    I = 2

    0

    ex2

    dx = 2 limr

    r0

    ex2

    dx 2 limr

    Ir .

    Ako limr

    Ir postoji, onda je

    (limr

    Ir)2= lim

    rI 2r

    pa jeI = 2

    limr

    I 2r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 31 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerZbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi

    I = 2

    0

    ex2

    dx = 2 limr

    r0

    ex2

    dx 2 limr

    Ir .

    Ako limr

    Ir postoji, onda je

    (limr

    Ir)2= lim

    rI 2r

    pa jeI = 2

    limr

    I 2r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 31 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerZbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi

    I = 2

    0

    ex2

    dx = 2 limr

    r0

    ex2

    dx 2 limr

    Ir .

    Ako limr

    Ir postoji, onda je

    (limr

    Ir)2= lim

    rI 2r

    pa jeI = 2

    limr

    I 2r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 31 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerVrijedi

    I 2r = Ir Ir =r0

    ex2

    dx r0

    ey2

    dy =r0

    r0

    e(x2+y 2) dx dy

    D

    e(x2+y 2) dx dy .

    gdje je podrucje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu.

    Neka je Kr cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je upisana kvadratu D,a K2r cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je opisana kvadratu D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 32 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerVrijedi

    I 2r = Ir Ir =r0

    ex2

    dx r0

    ey2

    dy =r0

    r0

    e(x2+y 2) dx dy

    D

    e(x2+y 2) dx dy .

    gdje je podrucje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu.Neka je Kr cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je upisana kvadratu D,a K2r cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je opisana kvadratu D.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 32 / 70

  • Nepravi integral

    Primjer

    Kako je e(x2+y 2) > 0 i Kr D K2r , vrijediKr

    e(x2+y 2) dx dy I 2r

    K2r

    e(x2+y 2) dx dy .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 33 / 70

  • Nepravi integral

    Primjer

    Kako je e(x2+y 2) > 0 i Kr D K2r , vrijediKr

    e(x2+y 2) dx dy I 2r

    K2r

    e(x2+y 2) dx dy .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 33 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerU polarnim koordinatama vrijedi

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy =

    20

    r0

    et2t dt d

    (koristimo polarne koordinate (t, ) jer r vec oznacava duljinu stranicekvadrata i javlja se u granicama integracije).

    Uz supstituciju t2 = u vrijediet

    2t dt =

    12

    eu du = 1

    2eu = 1

    2et

    2.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 34 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerU polarnim koordinatama vrijedi

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy =

    20

    r0

    et2t dt d

    (koristimo polarne koordinate (t, ) jer r vec oznacava duljinu stranicekvadrata i javlja se u granicama integracije).Uz supstituciju t2 = u vrijedi

    et2t dt =

    12

    eu du = 1

    2eu = 1

    2et

    2.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 34 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerDakle,

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy =

    2

    (12et

    2)r

    0=

    4

    (er 2 + 1

    )pa vrijedi

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy

    4kada r .

    Slicno vrijedi iK2r

    e(x2+y 2) dx dy =

    4

    (e2r 2 + 1

    )

    4kada r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 35 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerDakle,

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy =

    2

    (12et

    2)r

    0=

    4

    (er 2 + 1

    )pa vrijedi

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy

    4kada r .

    Slicno vrijedi iK2r

    e(x2+y 2) dx dy =

    4

    (e2r 2 + 1

    )

    4kada r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 35 / 70

  • Nepravi integral

    PrimjerSada relacija

    Kr

    e(x2+y 2) dx dy I 2r

    K2r

    e(x2+y 2) dx dy

    i Teorem o uklijetenoj funkciji povlace

    limr

    I 2r =

    4

    pa jeI =

    .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 36 / 70

  • Trostruki integral nad kvadrom

    Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R3 se racunaslicno kao i dvostruki.

    Ako je podrucje integracije kvadar

    D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

    onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =ba

    dc

    ge

    f (x , y , z)dz

    dydx

    Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 37 / 70

  • Trostruki integral nad kvadrom

    Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R3 se racunaslicno kao i dvostruki.

    Ako je podrucje integracije kvadar

    D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

    onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =ba

    dc

    ge

    f (x , y , z)dz

    dydx

    Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 37 / 70

  • Trostruki integral nad kvadrom

    Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R3 se racunaslicno kao i dvostruki.

    Ako je podrucje integracije kvadar

    D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

    onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =ba

    dc

    ge

    f (x , y , z)dz

    dydx

    Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.

    Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 37 / 70

  • Trostruki integral nad kvadrom

    Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R3 se racunaslicno kao i dvostruki.

    Ako je podrucje integracije kvadar

    D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

    onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =ba

    dc

    ge

    f (x , y , z)dz

    dydx

    Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 37 / 70

  • Trostruki integral nad neravnim

    Ako je podrucje D odreeno relacijama

    a x bh1 (x) y h2 (x)

    g1 (x , y) z g2 (x , y)

    onda je

    D

    f (x , y , z)dV =ba

    h2(x )h1(x )

    g2(x ,y )g1(x ,y )

    f (x , y , z)dz

    dydx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 38 / 70

  • Trostruki integral nad neravnim

    Ako je podrucje D odreeno relacijama

    a x bh1 (x) y h2 (x)

    g1 (x , y) z g2 (x , y)

    onda je

    D

    f (x , y , z)dV =ba

    h2(x )h1(x )

    g2(x ,y )g1(x ,y )

    f (x , y , z)dz

    dydx .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 38 / 70

  • Primjene trostrukog integrala

    Tipicne primjene trostrukog integrala su sljedece:

    ako je f (x , y , z) gustoca tijela koje zaprema podrucje D u tockiT = (x , y , z), onda je trostruki integral

    D

    f (x , y , z)dV jednak

    masi tog dijela;

    ako je f (x , y , z) = 1, onda trostruki integral daje volumen podrucjaD

    V (D) =D

    dV =ba

    h2(x )h1(x )

    g2(x ,y )g1(x ,y )

    dz dy dx .

    Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu

    ba

    h2(x )h1(x )

    (g2 (x , y) g1 (x , y))dy dx

    za izracunavanje volumena preko dvostrukog integrala.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 39 / 70

  • Primjene trostrukog integrala

    Tipicne primjene trostrukog integrala su sljedece:

    ako je f (x , y , z) gustoca tijela koje zaprema podrucje D u tockiT = (x , y , z), onda je trostruki integral

    D

    f (x , y , z)dV jednak

    masi tog dijela;ako je f (x , y , z) = 1, onda trostruki integral daje volumen podrucjaD

    V (D) =D

    dV =ba

    h2(x )h1(x )

    g2(x ,y )g1(x ,y )

    dz dy dx .

    Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu

    ba

    h2(x )h1(x )

    (g2 (x , y) g1 (x , y))dy dx

    za izracunavanje volumena preko dvostrukog integrala.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 39 / 70

  • Primjene trostrukog integrala

    Tipicne primjene trostrukog integrala su sljedece:

    ako je f (x , y , z) gustoca tijela koje zaprema podrucje D u tockiT = (x , y , z), onda je trostruki integral

    D

    f (x , y , z)dV jednak

    masi tog dijela;ako je f (x , y , z) = 1, onda trostruki integral daje volumen podrucjaD

    V (D) =D

    dV =ba

    h2(x )h1(x )

    g2(x ,y )g1(x ,y )

    dz dy dx .

    Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu

    ba

    h2(x )h1(x )

    (g2 (x , y) g1 (x , y))dy dx

    za izracunavanje volumena preko dvostrukog integrala.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 39 / 70

  • Trostruki integral

    Primjer

    Odredite volumen tijela omeenog plohama z = x2 + y2 i z =x2 + y2.

    Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca. Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:

    Za postavljanje integrala trebamo opisati podrucje D. Naimo presjekzadanih ploha izjednacavajuci jednadzbe po z:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 40 / 70

  • Trostruki integral

    Primjer

    Odredite volumen tijela omeenog plohama z = x2 + y2 i z =x2 + y2.

    Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca.

    Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:

    Za postavljanje integrala trebamo opisati podrucje D. Naimo presjekzadanih ploha izjednacavajuci jednadzbe po z:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 40 / 70

  • Trostruki integral

    Primjer

    Odredite volumen tijela omeenog plohama z = x2 + y2 i z =x2 + y2.

    Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca. Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:

    Za postavljanje integrala trebamo opisati podrucje D. Naimo presjekzadanih ploha izjednacavajuci jednadzbe po z:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 40 / 70

  • Trostruki integral

    Primjer

    Odredite volumen tijela omeenog plohama z = x2 + y2 i z =x2 + y2.

    Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca. Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:

    Za postavljanje integrala trebamo opisati podrucje D. Naimo presjekzadanih ploha izjednacavajuci jednadzbe po z:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 40 / 70

  • Trostruki integral

    PrimjerJednadzba

    x2 + y2 =x2 + y2

    ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

    Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx .

    Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 41 / 70

  • Trostruki integral

    PrimjerJednadzba

    x2 + y2 =x2 + y2

    ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

    Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).

    Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx .

    Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 41 / 70

  • Trostruki integral

    PrimjerJednadzba

    x2 + y2 =x2 + y2

    ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

    Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.

    Stoga imamo

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx .

    Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 41 / 70

  • Trostruki integral

    PrimjerJednadzba

    x2 + y2 =x2 + y2

    ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

    Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx .

    Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 41 / 70

  • Trostruki integral

    PrimjerJednadzba

    x2 + y2 =x2 + y2

    ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

    Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx .

    Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 41 / 70

  • Cilindricne koordinate

    Cilindricni koordinatni sustav, tj. cilindricne koordinate su zadanetransformacijama

    x = r cos , y = r sin , z = z ,

    pri cemu je r 0 i [0, 2] ili [,].

    Dakle, element volumena jednak je umnoku povrine baze i visine, s timeto se povrina baze racuna u polarnim koordinatama:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 42 / 70

  • Cilindricne koordinate

    Cilindricni koordinatni sustav, tj. cilindricne koordinate su zadanetransformacijama

    x = r cos , y = r sin , z = z ,

    pri cemu je r 0 i [0, 2] ili [,].Dakle, element volumena jednak je umnoku povrine baze i visine, s timeto se povrina baze racuna u polarnim koordinatama:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 42 / 70

  • Cilindricne koordinate

    Dakle,dV = r dr d dz

    pa je D

    f (x , y , z)dV =D

    f (r cos , r sin , z) r dr d dz .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 43 / 70

  • Cilindricne koordinate

    Dakle,dV = r dr d dz

    pa je D

    f (x , y , z)dV =D

    f (r cos , r sin , z) r dr d dz .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 43 / 70

  • Cilindricne koordinate

    PrimjerIzracunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindricnekoordinate:

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx =20

    10

    rr 2

    dz r dr d =

    = |2010

    (z |rr 2) r dr = 210

    (r2 r3

    )dr =

    6.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 44 / 70

  • Cilindricne koordinate

    PrimjerIzracunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindricnekoordinate:

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx =20

    10

    rr 2

    dz r dr d =

    = |2010

    (z |rr 2) r dr = 210

    (r2 r3

    )dr =

    6.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 44 / 70

  • Cilindricne koordinate

    PrimjerIzracunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindricnekoordinate:

    V =

    11

    1x 2

    1x 2

    x 2+y 2

    x 2+y 2

    dz dy dx =20

    10

    rr 2

    dz r dr d =

    = |2010

    (z |rr 2) r dr = 210

    (r2 r3

    )dr =

    6.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 44 / 70

  • Sferne koordinate

    Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadanetransformacijama

    x = r sin cos ,

    y = r sin sin ,

    z = r cos ,

    pri cemu je r 0, a obicno se odabere [0,] i [,] .

    Uz oznaku = r sin mozemo pisati

    x = cos ,

    y = sin ,

    z = r cos .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 45 / 70

  • Sferne koordinate

    Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadanetransformacijama

    x = r sin cos ,

    y = r sin sin ,

    z = r cos ,

    pri cemu je r 0, a obicno se odabere [0,] i [,] .Uz oznaku = r sin mozemo pisati

    x = cos ,

    y = sin ,

    z = r cos .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 45 / 70

  • Sferne koordinate

    Sferni kordinatni sustav:

    Za prelazak iz kartezijevog u sferni sustav, koristimo relacije

    tg =yx, = arccos

    zx2 + y2 + z2

    , r =x2 + y2 + z2.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 46 / 70

  • Sferne koordinate

    Sferni kordinatni sustav:

    Za prelazak iz kartezijevog u sferni sustav, koristimo relacije

    tg =yx, = arccos

    zx2 + y2 + z2

    , r =x2 + y2 + z2.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 46 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

    Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

    kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

    [2 ,

    2

    ].

    Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 47 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

    Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

    kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

    [2 ,

    2

    ].

    Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 47 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

    Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

    kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]

    kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

    [2 ,

    2

    ].

    Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 47 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

    Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

    kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

    [2 ,

    2

    ].

    Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 47 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

    Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

    kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

    [2 ,

    2

    ].

    Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 47 / 70

  • Sferne koordinate

    Za racunanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate,potrebno je izracunati element volumena dV.

    Vidimo da jedV ab dr,

    pri cemu jea = r sin d, b = r d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 48 / 70

  • Sferne koordinate

    Za racunanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate,potrebno je izracunati element volumena dV.

    Vidimo da jedV ab dr,

    pri cemu jea = r sin d, b = r d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 48 / 70

  • Sferne koordinate

    Za racunanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate,potrebno je izracunati element volumena dV.

    Vidimo da jedV ab dr,

    pri cemu jea = r sin d, b = r d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 48 / 70

  • Sferne koordinate

    Dakle,dV r2 sin d dr d .

    Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi

    D

    f (x , y , z)dV =

    =D

    f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r2 sin d dr d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 49 / 70

  • Sferne koordinate

    Dakle,dV r2 sin d dr d .

    Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.

    Dakle, u sfernim koordinatama vrijediD

    f (x , y , z)dV =

    =D

    f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r2 sin d dr d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 49 / 70

  • Sferne koordinate

    Dakle,dV r2 sin d dr d .

    Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi

    D

    f (x , y , z)dV =

    =D

    f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r2 sin d dr d .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 49 / 70

  • Sferne koordinate

    PrimjerVolumen kugle radijusa R jednak je

    V =K

    1 dV =

    0

    R0

    r2 sin d dr d =

    =

    d0

    sin dR0

    r2 dr = | ( cos ) |0r3

    3

    R0=

    =43R3.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 50 / 70

  • Zamjena varijabli

    Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindricne ili sferne koordinate suprimjeri zamjene varijabli.

    Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal,odnosno element povrine / volumena.

    Bez dokaza navodimo teorem o zamjeni varijabli za trostruki integral.Analogni rezultati vrijede i u drugim dimenzijama.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 51 / 70

  • Zamjena varijabli

    Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindricne ili sferne koordinate suprimjeri zamjene varijabli.

    Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal,odnosno element povrine / volumena.

    Bez dokaza navodimo teorem o zamjeni varijabli za trostruki integral.Analogni rezultati vrijede i u drugim dimenzijama.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 51 / 70

  • Zamjena varijabli

    Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindricne ili sferne koordinate suprimjeri zamjene varijabli.

    Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal,odnosno element povrine / volumena.

    Bez dokaza navodimo teorem o zamjeni varijabli za trostruki integral.Analogni rezultati vrijede i u drugim dimenzijama.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 51 / 70

  • Zamjena varijabli

    Teorem (o zamjeni varijabli)Neka je zadan integral

    I =D

    f (x , y , z)dx dy dz, D R3

    i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D.

    Neka je D R3 i neka su , , : D R diferencijabilne funkcije zakoje je preslikavanje p : D D definirano s

    p (u, v ,w) = ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w))

    bijekcija.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 52 / 70

  • Zamjena varijabli

    Teorem (o zamjeni varijabli)Neka je zadan integral

    I =D

    f (x , y , z)dx dy dz, D R3

    i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D.Neka je D R3 i neka su , , : D R diferencijabilne funkcije zakoje je preslikavanje p : D D definirano s

    p (u, v ,w) = ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w))

    bijekcija.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 52 / 70

  • Zamjena varijabli

    Teorem (o zamjeni varijabli)

    Ako je Jakobijan (Jacobijeva matrica)

    J (u, v ,w) =

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    6= 0, (u, v ,w) D ,

    onda je D

    f (x , y , z)dx dy dz =

    =D

    f ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w)) |J |du dv dw .

    x , y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nuzno Kartezijevom).

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 53 / 70

  • Zamjena varijabli

    Teorem (o zamjeni varijabli)

    Ako je Jakobijan (Jacobijeva matrica)

    J (u, v ,w) =

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    6= 0, (u, v ,w) D ,onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =

    =D

    f ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w)) |J |du dv dw .

    x , y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nuzno Kartezijevom).

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 53 / 70

  • Zamjena varijabli

    Teorem (o zamjeni varijabli)

    Ako je Jakobijan (Jacobijeva matrica)

    J (u, v ,w) =

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    6= 0, (u, v ,w) D ,onda je

    D

    f (x , y , z)dx dy dz =

    =D

    f ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w)) |J |du dv dw .

    x , y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nuzno Kartezijevom).

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 53 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerKod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav mozemo uzeti

    u = r , (r , , ) = r sin cos ,

    v = , (r , , ) = r sin sin ,

    w = , (r , , ) = r cos .

    Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

    p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

    bijekcija.Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 54 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerKod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav mozemo uzeti

    u = r , (r , , ) = r sin cos ,

    v = , (r , , ) = r sin sin ,

    w = , (r , , ) = r cos .

    Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].

    Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

    p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

    bijekcija.Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 54 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerKod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav mozemo uzeti

    u = r , (r , , ) = r sin cos ,

    v = , (r , , ) = r sin sin ,

    w = , (r , , ) = r cos .

    Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

    p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

    bijekcija.

    Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 54 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerKod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav mozemo uzeti

    u = r , (r , , ) = r sin cos ,

    v = , (r , , ) = r sin sin ,

    w = , (r , , ) = r cos .

    Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

    p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

    bijekcija.Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 54 / 70

  • Zamjena varijabli

    Primjer

    J =

    r

    r

    r

    =sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos cos r sin 0

    = r2 sin .

    Zbog uvjeta [0,] imamo sin 0 pa je

    |J | =r2 sin = r2 sin .

    ZadatakIzvedite Jakobijan za cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 55 / 70

  • Zamjena varijabli

    Primjer

    J =

    r

    r

    r

    =sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos cos r sin 0

    = r2 sin .Zbog uvjeta [0,] imamo sin 0 pa je

    |J | =r2 sin = r2 sin .

    ZadatakIzvedite Jakobijan za cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 55 / 70

  • Zamjena varijabli

    Primjer

    J =

    r

    r

    r

    =sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos cos r sin 0

    = r2 sin .Zbog uvjeta [0,] imamo sin 0 pa je

    |J | =r2 sin = r2 sin .

    ZadatakIzvedite Jakobijan za cilindricne koordinate.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 55 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.

    Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

    x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

    Stoga je

    J =

    r

    r

    =cos r sin sin r cos

    = rpa zbog r 0 imamo |J | = r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 56 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

    x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

    Stoga je

    J =

    r

    r

    =cos r sin sin r cos

    = rpa zbog r 0 imamo |J | = r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 56 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

    x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

    Stoga je

    J =

    r

    r

    =cos r sin sin r cos

    = r

    pa zbog r 0 imamo |J | = r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 56 / 70

  • Zamjena varijabli

    PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

    x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

    Stoga je

    J =

    r

    r

    =cos r sin sin r cos

    = rpa zbog r 0 imamo |J | = r .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 56 / 70

  • Momenti i tezita

    Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.

    Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .Oznacimo sredite pravokutnika Pij s

    (x i , y j

    ). Masa mij tada je

    priblizno jednakamij

    (x i , y j

    )P.

    Momenti oko osi x i osi y su priblizno jednaki

    [Mx ]ij mijy ij =[(x i , y j

    )P]y ij ,

    [My ]ij mijx ij =[(x i , y j

    )P]x ij .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 57 / 70

  • Momenti i tezita

    Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .

    Oznacimo sredite pravokutnika Pij s(x i , y j

    ). Masa mij tada je

    priblizno jednakamij

    (x i , y j

    )P.

    Momenti oko osi x i osi y su priblizno jednaki

    [Mx ]ij mijy ij =[(x i , y j

    )P]y ij ,

    [My ]ij mijx ij =[(x i , y j

    )P]x ij .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 57 / 70

  • Momenti i tezita

    Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .Oznacimo sredite pravokutnika Pij s

    (x i , y j

    ). Masa mij tada je

    priblizno jednakamij

    (x i , y j

    )P.

    Momenti oko osi x i osi y su priblizno jednaki

    [Mx ]ij mijy ij =[(x i , y j

    )P]y ij ,

    [My ]ij mijx ij =[(x i , y j

    )P]x ij .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 57 / 70

  • Momenti i tezita

    Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .Oznacimo sredite pravokutnika Pij s

    (x i , y j

    ). Masa mij tada je

    priblizno jednakamij

    (x i , y j

    )P.

    Momenti oko osi x i osi y su priblizno jednaki

    [Mx ]ij mijy ij =[(x i , y j

    )P]y ij ,

    [My ]ij mijx ij =[(x i , y j

    )P]x ij .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 57 / 70

  • Momenti i tezita

    Sumirajuci po svim i i j te prelaskom na limes kada P tezi k nulidobijemo

    m = limP0i ,j

    mij =D

    (x , y)dP,

    Mx = limP0i ,j

    [Mx ]ij =D

    y (x , y)dP,

    My = limP0i ,j

    [My ]ij =D

    x (x , y)dP,

    pri cemu su m, Mx i My redom masa ploce P , moment ploce P okoosi x i moment ploce P oko osi y .

    Koordinate tezita ploce P su jednake

    x =Mym, y =

    Mxm.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 58 / 70

  • Momenti i tezita

    Sumirajuci po svim i i j te prelaskom na limes kada P tezi k nulidobijemo

    m = limP0i ,j

    mij =D

    (x , y)dP,

    Mx = limP0i ,j

    [Mx ]ij =D

    y (x , y)dP,

    My = limP0i ,j

    [My ]ij =D

    x (x , y)dP,

    pri cemu su m, Mx i My redom masa ploce P , moment ploce P okoosi x i moment ploce P oko osi y .Koordinate tezita ploce P su jednake

    x =Mym, y =

    Mxm.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 58 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerOdredite tezite polukruzne ploce cija je gustoca jednaka udaljenosti odsredita kruga.

    Ako sredite kruga smjestimo u ishodite, jednadzba kruga glasix2 + y2 = a2 pa je gustoca ploce u tocki (x , y) dana formulom

    (x , y) =x2 + y2.

    Prelaskom na polarne kordinate imamo

    m =D

    (x , y)dP =D

    x2 + y2 dP =

    0

    a0

    r r dr d = 13

    a3.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 59 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerOdredite tezite polukruzne ploce cija je gustoca jednaka udaljenosti odsredita kruga.Ako sredite kruga smjestimo u ishodite, jednadzba kruga glasix2 + y2 = a2 pa je gustoca ploce u tocki (x , y) dana formulom

    (x , y) =x2 + y2.

    Prelaskom na polarne kordinate imamo

    m =D

    (x , y)dP =D

    x2 + y2 dP =

    0

    a0

    r r dr d = 13

    a3.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 59 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerOdredite tezite polukruzne ploce cija je gustoca jednaka udaljenosti odsredita kruga.Ako sredite kruga smjestimo u ishodite, jednadzba kruga glasix2 + y2 = a2 pa je gustoca ploce u tocki (x , y) dana formulom

    (x , y) =x2 + y2.

    Prelaskom na polarne kordinate imamo

    m =D

    (x , y)dP =D

    x2 + y2 dP =

    0

    a0

    r r dr d = 13

    a3.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 59 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerKako su ploca i funkcija gustoce simetricne s obzirom na os y tezite senalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0.

    y =1m

    D

    y (x , y)dP =3

    a3

    0

    a0

    r sin r r dr d = 3a2.

    Dakle, tezite se nalazi u tocki T =(0, 3a2

    ).

    ZadatakNaite tezite trokutaste ploce s vrhovima (0, 0) , (2, 0) i (0, 1) ifunkcijom gustoce (x , y) = 1+ 2x + y.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 60 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerKako su ploca i funkcija gustoce simetricne s obzirom na os y tezite senalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0.

    y =1m

    D

    y (x , y)dP =3

    a3

    0

    a0

    r sin r r dr d = 3a2.

    Dakle, tezite se nalazi u tocki T =(0, 3a2

    ).

    ZadatakNaite tezite trokutaste ploce s vrhovima (0, 0) , (2, 0) i (0, 1) ifunkcijom gustoce (x , y) = 1+ 2x + y.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 60 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerKako su ploca i funkcija gustoce simetricne s obzirom na os y tezite senalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0.

    y =1m

    D

    y (x , y)dP =3

    a3

    0

    a0

    r sin r r dr d = 3a2.

    Dakle, tezite se nalazi u tocki T =(0, 3a2

    ).

    ZadatakNaite tezite trokutaste ploce s vrhovima (0, 0) , (2, 0) i (0, 1) ifunkcijom gustoce (x , y) = 1+ 2x + y.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 60 / 70

  • Momenti i tezita

    PrimjerKako su ploca i funkcija gustoce simetricne s obzirom na os y tezite senalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0.

    y =1m

    D

    y (x , y)dP =3

    a3

    0

    a0

    r sin r r dr d = 3a2.

    Dakle, tezite se nalazi u tocki T =(0, 3a2

    ).

    ZadatakNaite tezite trokutaste ploce s vrhovima (0, 0) , (2, 0) i (0, 1) ifunkcijom gustoce (x , y) = 1+ 2x + y.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 60 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ili moment drugog reda cestice mase m oko osi xdefiniran je kao md3 pri cemu je d udaljenost cestice od osi.

    Kao i prije podijelimo plocu na pravokutnike, zbrojimo momenteinercije oko osi x svih pravokutnika te preemo na limes kada povrinepravokutnika teze u nulu.

    Na ovaj nacin dobijemo moment inercije ploce P oko osi x :

    Ix =D

    y2 (x , y)dP .

    Slicno dobijemo i izraz za moment inercije ploce P oko osi y :

    Iy =D

    x2 (x , y)dP .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 61 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ili moment drugog reda cestice mase m oko osi xdefiniran je kao md3 pri cemu je d udaljenost cestice od osi.

    Kao i prije podijelimo plocu na pravokutnike, zbrojimo momenteinercije oko osi x svih pravokutnika te preemo na limes kada povrinepravokutnika teze u nulu.

    Na ovaj nacin dobijemo moment inercije ploce P oko osi x :

    Ix =D

    y2 (x , y)dP .

    Slicno dobijemo i izraz za moment inercije ploce P oko osi y :

    Iy =D

    x2 (x , y)dP .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 61 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ili moment drugog reda cestice mase m oko osi xdefiniran je kao md3 pri cemu je d udaljenost cestice od osi.

    Kao i prije podijelimo plocu na pravokutnike, zbrojimo momenteinercije oko osi x svih pravokutnika te preemo na limes kada povrinepravokutnika teze u nulu.

    Na ovaj nacin dobijemo moment inercije ploce P oko osi x :

    Ix =D

    y2 (x , y)dP .

    Slicno dobijemo i izraz za moment inercije ploce P oko osi y :

    Iy =D

    x2 (x , y)dP .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 61 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ili moment drugog reda cestice mase m oko osi xdefiniran je kao md3 pri cemu je d udaljenost cestice od osi.

    Kao i prije podijelimo plocu na pravokutnike, zbrojimo momenteinercije oko osi x svih pravokutnika te preemo na limes kada povrinepravokutnika teze u nulu.

    Na ovaj nacin dobijemo moment inercije ploce P oko osi x :

    Ix =D

    y2 (x , y)dP .

    Slicno dobijemo i izraz za moment inercije ploce P oko osi y :

    Iy =D

    x2 (x , y)dP .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 61 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ploce P oko ishodita definiramo kao

    I0 =D

    (x2 + y2

    ) (x , y)dP .

    Primjetimo da vrijediI0 = Ix + Iy .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 62 / 70

  • Moment inercije

    Moment inercije ploce P oko ishodita definiramo kao

    I0 =D

    (x2 + y2

    ) (x , y)dP .

    Primjetimo da vrijediI0 = Ix + Iy .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 62 / 70

  • Moment inercije

    PrimjerNaite momente intercije homogenog diska gustoce , radijusa a scentrom u ishoditu.

    Rub podrucja integracije je kruznica x2 + y2 = a2 pa u polarnimkoordinatama imamo

    I0 =D

    (x2 + y2

    ) (x , y)dP =

    20

    a0

    r2r dr d =12

    a4.

    Zbog simetrije je Ix = Iy iz cega slijedi

    Ix = Iy =12I0 =

    14

    a4.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 63 / 70

  • Moment inercije

    PrimjerNaite momente intercije homogenog diska gustoce , radijusa a scentrom u ishoditu.Rub podrucja integracije je kruznica x2 + y2 = a2 pa u polarnimkoordinatama imamo

    I0 =D

    (x2 + y2

    ) (x , y)dP =

    20

    a0

    r2r dr d =12

    a4.

    Zbog simetrije je Ix = Iy iz cega slijedi

    Ix = Iy =12I0 =

    14

    a4.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 63 / 70

  • Moment inercije

    PrimjerNaite momente intercije homogenog diska gustoce , radijusa a scentrom u ishoditu.Rub podrucja integracije je kruznica x2 + y2 = a2 pa u polarnimkoordinatama imamo

    I0 =D

    (x2 + y2

    ) (x , y)dP =

    20

    a0

    r2r dr d =12

    a4.

    Zbog simetrije je Ix = Iy iz cega slijedi

    Ix = Iy =12I0 =

    14

    a4.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 63 / 70

  • Moment inercije

    PrimjerUocimo da je masa diska jednaka

    m = a2

    pa mozemo pisati

    I0 =12ma2.

    Dakle, povecamo li masu ili radijus diska, povecat ce se i moment inercije.to je momen inercije veci, to je teze pokretanje i zaustavljanje rotacijediska oko osovine.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 64 / 70

  • Moment inercije

    PrimjerUocimo da je masa diska jednaka

    m = a2

    pa mozemo pisati

    I0 =12ma2.

    Dakle, povecamo li masu ili radijus diska, povecat ce se i moment inercije.to je momen inercije veci, to je teze pokretanje i zaustavljanje rotacijediska oko osovine.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 64 / 70

  • Momenti tijela

    Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.

    Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

    m =D

    (x , y , z)dV,

    pri cemu je dV element volumena kao i prije.Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

    Myz =D

    x (x , y , z)dV,

    Mxz =D

    y (x , y , z)dV,

    Mxy =D

    z (x , y , z)dV .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 65 / 70

  • Momenti tijela

    Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

    m =D

    (x , y , z)dV,

    pri cemu je dV element volumena kao i prije.

    Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

    Myz =D

    x (x , y , z)dV,

    Mxz =D

    y (x , y , z)dV,

    Mxy =D

    z (x , y , z)dV .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 65 / 70

  • Momenti tijela

    Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

    m =D

    (x , y , z)dV,

    pri cemu je dV element volumena kao i prije.Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

    Myz =D

    x (x , y , z)dV,

    Mxz =D

    y (x , y , z)dV,

    Mxy =D

    z (x , y , z)dV .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 65 / 70

  • Momenti tijela

    Tezite se nalazi u tocki T = (x , y , z) gdje je

    x =Myzm, y =

    Mxzm, z =

    Mxym.

    Momenti inercije oko koordinatnih osiju su

    Ix =D

    (y2 + z2

    ) (x , y , z)dV,

    Iy =D

    (x2 + z2

    ) (x , y , z)dV,

    Iz =D

    (x2 + y2

    ) (x , y , z)dV .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 66 / 70

  • Momenti tijela

    Tezite se nalazi u tocki T = (x , y , z) gdje je

    x =Myzm, y =

    Mxzm, z =

    Mxym.

    Momenti inercije oko koordinatnih osiju su

    Ix =D

    (y2 + z2

    ) (x , y , z)dV,

    Iy =D

    (x2 + z2

    ) (x , y , z)dV,

    Iz =D

    (x2 + y2

    ) (x , y , z)dV .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 66 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno plohom

    z = 11 (x 1)2 i ravninama x = 0, y = 0, y = 1 i z = 0.

    Na slici (a) je prikazano tijelo (koje ima oblik idealne naprave za blokadukotaca), a na slici (b) je projekcija tijela na ravninu xz

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 67 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno plohom

    z = 11 (x 1)2 i ravninama x = 0, y = 0, y = 1 i z = 0.

    Na slici (a) je prikazano tijelo (koje ima oblik idealne naprave za blokadukotaca), a na slici (b) je projekcija tijela na ravninu xz

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 67 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno plohom

    z = 11 (x 1)2 i ravninama x = 0, y = 0, y = 1 i z = 0.

    Na slici (a) je prikazano tijelo (koje ima oblik idealne naprave za blokadukotaca), a na slici (b) je projekcija tijela na ravninu xz

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 67 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerTijelo zaprema podrucje

    D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

    1 (x 1)2

    }.

    Masa tijela jednaka je

    m =D

    dV = 10

    10

    11(x1)20

    dz dy dx = (1

    4

    ).

    Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 68 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerTijelo zaprema podrucje

    D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

    1 (x 1)2

    }.

    Masa tijela jednaka je

    m =D

    dV = 10

    10

    11(x1)20

    dz dy dx = (1

    4

    ).

    Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.

    Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 68 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerTijelo zaprema podrucje

    D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

    1 (x 1)2

    }.

    Masa tijela jednaka je

    m =D

    dV = 10

    10

    11(x1)20

    dz dy dx = (1

    4

    ).

    Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 68 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerVrijedi

    Mxz =D

    y dV =12

    (1

    4

    )pa je

    y =Mxzm

    =12.

    Ovo je bilo za ocekivati, s obzirom da tijelo ima homogenu gustocu isimetricno je s obzirom na pravac y = 12 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 69 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerVrijedi

    Mxz =D

    y dV =12

    (1

    4

    )pa je

    y =Mxzm

    =12.

    Ovo je bilo za ocekivati, s obzirom da tijelo ima homogenu gustocu isimetricno je s obzirom na pravac y = 12 .

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 69 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNadalje,

    Mxy =D

    z dV = 10 312

    pa je z = Mxym =1033(4) .

    Zbog simetrije mora vrijediti x = z pa se tezite nalazi u tocki

    T =(10 33 (4 ) ,

    12,10 33 (4 )

    ).

    ZadatakNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno parabolickimcilindrom y2 = x i ravninama x = 1 , z = 0 i z = x.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 70 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNadalje,

    Mxy =D

    z dV = 10 312

    pa je z = Mxym =1033(4) .

    Zbog simetrije mora vrijediti x = z pa se tezite nalazi u tocki

    T =(10 33 (4 ) ,

    12,10 33 (4 )

    ).

    ZadatakNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno parabolickimcilindrom y2 = x i ravninama x = 1 , z = 0 i z = x.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 70 / 70

  • Momenti tijela

    PrimjerNadalje,

    Mxy =D

    z dV = 10 312

    pa je z = Mxym =1033(4) .

    Zbog simetrije mora vrijediti x = z pa se tezite nalazi u tocki

    T =(10 33 (4 ) ,

    12,10 33 (4 )

    ).

    ZadatakNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno parabolickimcilindrom y2 = x i ravninama x = 1 , z = 0 i z = x.

    Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 70 / 70

    Definicija i osnovna svojstva viestrukog integralaDekompozicija kvadraIntegralne sumeIntegral nad kvadromIntegral nad neravnim podrucjemSvojstva

    Dvostruki integralDvostruki integral nad kvadromIntegral nad podrucjem omeenim krivuljamaVolumen i povrinaPolarne koordinateNepravi integral

    Trostruki integralTrostruki integral nad kvadromTrostruki integral nad neravnim podrucjemCilindricne i sferne koordinate

    Zamjena varijabliMomenti i teita