MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki integrali... · Izraµcunajmo dvostruki integral funkcije f : [0,4] [0,3] !R de–niranu

MATEMATIKA 2

Gordan Radobolja

PMF

22. rujna 2013.

Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70

Dekompozicija kvadra

Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od nzatvorenih segmenata:

K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

[ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.

Neka je Di ={x (i )0 , x

(i )1 , . . . , x

(i )n

}jedan rastav segmenta [ai , bi ], tj.

ai = x(i )0 x

(i )1 x

(i )2 x

(i )n1 x

(i )n = bi .

S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].Kartezijev produkt

D = D1 D2 Dn, gdje je Di Di ,

zove se rastav (dekompozicija) kvadra K . Skup svih rastava kvadraK oznacit cemo s D.




K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

[ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.Neka je Di =

{x (i )0 , x

(i )1 , . . . , x

(i )n


ai = x(i )0 x

(i )1 x

(i )2 x

(i )n1 x

(i )n = bi .

S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].

Kartezijev produkt






K = [a1, b1] [a2, b2] [an, bn ] Rn,

[ai , bi ] R, i = 1, . . . , n.Neka je Di =

{x (i )0 , x

(i )1 , . . . , x

(i )n


ai = x(i )0 x

(i )1 x

(i )2 x

(i )n1 x

(i )n = bi .

S Di oznacimo skup svih rastava segmenta [ai , bi ].Kartezijev produkt




Integralne sume

DefinicijaNeka je f : K R omeena funkcija, tj. postoje m,M R takvi da je

m f (x1, x2, . . . , xn) M, (x1, x2, . . . , xn) K .

Svakom rastavu D D kvadra K mozemo pridruziti gornju integralnusumu

g (f ,D) =

=k1

i1=1

k2

i2=1

kn

in=1

Mi1,i2,...,in(x (1)i1 x

(1)i11

) (x (2)i2 x

(2)i21

) (x (n)in x

(n)in1

),

gdje je

Mi1,i2,...,in = sup{f (x1, x2, . . . , xn) : xk

[x (k )ik1, x

(k )ik

]},


Integralne sume

DefinicijaAnalogno definiramo donju integralnu sumu

d (f ,D) =

=k1

i1=1

k2

i2=1

kn

in=1

mi1,i2,...,in(x (1)i1 x

(1)i11

) (x (2)i2 x

(2)i21

) (x (n)in x

(n)in1

),

gdje je

mi1,i2,...,in = inf{f (x1, x2, . . . , xn) : xk

[x (k )ik1, x

(k )ik

]},


Viestruki integral

DefinicijaAko je

inf {g (f ,D) : D D} = sup {d (f ,D) : D D} = I ,

onda se broj I naziva odreeni (viestruki, n-terostruki) integralfunkcije f na kvadru K.

Tada kazemo da je f integrabilna na K i piemo

I =K

f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn =

=

K

f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn


Viestruki integral

DefinicijaAko je

inf {g (f ,D) : D D} = sup {d (f ,D) : D D} = I ,

onda se broj I naziva odreeni (viestruki, n-terostruki) integralfunkcije f na kvadru K.Tada kazemo da je f integrabilna na K i piemo

I =K

f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn =

=

K

f (x1, x2, . . . , xn)dx1 dx2 dxn


Viestruki integral

Primjer

Izracunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s

f (x , y) = 3 x4 y3.

Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = 3 14x 13y koji se nalazi iznad

kvadra (pravokutnika)K = [0, 4] [0, 3] .

Vrhovi tog prostornog pravokutnika su tocke (0, 0, 3) , (4, 0, 1) , (0, 3, 2) i(4, 3, 0) .


Viestruki integral

PrimjerNa slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova:

segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:


Viestruki integral


segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.

Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:


Viestruki integral


segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na est dijelova.Na svakom dijelu [xi1, xi ] [yj1, yj ] funkcija ocito postize maksimum uprednjem lijevom, a minimum u straznjem desnom uglu:


Viestruki integral

Primjer

Mi ,j = max(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

f (x , y) = f (xi1, yj1) = 3xi14 yj1

3,

mi ,j = min(x ,y )[xi1,xi ][yj1,yj ]

f (x , y) = f (xi , yj ) = 3xi4 yj3.

Uz oznake xi = xi xi1 i yi = yi yi1, donja suma je jednaka

d (f ,D) = i

jf (xi , yi )xiyj =

ij

(3 xi

4 yj3

)xiyj =

= 3i

j

xiyj 14 j

yj ixixi

13 i

xi jyjyj =

= 3 12 34 i

xixi 43 j

yjyj .


Viestruki integral

PrimjerPrelaskom na limes kada xi 0 i yj 0 i koritenjem definicijeodreenog integrala funkcije jedne varijable imamo

sup d (f ,D) = limxi0yj0

d (f ,D) = 36 34

40

x dx43

30

y dy = 24.

Slicno se pokaze da je

inf g (f ,D) = limxi0yj0

g (f ,D) = 24

pa je f integrabilna na kvadru K i vrijediK

(3 x

4 y3

)dx dy = 24.


Integral nad neravnim podrucjem integracije

DefinicijaNeka je f : D R, D Rn omeena funkcija i neka je D sadrzano unekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proirenje funkcije f :

g (x1, . . . , xn) ={f (x1, . . . , xn) , (x1, . . . , xn) D,

0, (x1, . . . , xn) K \D.

Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kaoD

f (x1, . . . , xn)dx1 dxn =K

g (x1, . . . , xn)dx1 dxn .

Skup D je podrucje integracije.


Svojstva viestrukog integrala

Ako su f i g integrabilne na podrucju D vrijedi:

linearnost, odnosnoD

(f + g)dx1 dxn = D

f dx1 dxn +D

g dx1 dxn,

gdje su , R i

integriranje po dijelovima podrucja integracije, odnosnoD

f dx1 dxn =D1

f dx1 dxn +D2

f dx1 dxn,

gdje je D = D1 D2 i D1 D2 = .


Svojstva viestrukog integrala

Ako su f i g integrabilne na podrucju D vrijedi:

linearnost, odnosnoD

(f + g)dx1 dxn = D

f dx1 dxn +D

g dx1 dxn,

gdje su , R iintegriranje po dijelovima podrucja integracije, odnosno

D

f dx1 dxn =D1

f dx1 dxn +D2

f dx1 dxn,

gdje je D = D1 D2 i D1 D2 = .


Dvostruki integral nad kvadrom

Dvostruki integral racunamo uzastopnim racunanjem dva jednostrukaintegrala pomocu Newton-Leibnitzove formule:

Teorem (Fubini)Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutnikuK = [a, b] [c , d ]. Tada je

K

f (x , y)dx dy =dc

ba

f (x , y)dx

dy = ba

dc

f (x , y)dy

dx .Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

m

i=1

n

j=1aij =

m

i=1

(n

j=1aij

)=

n

j=1

(m

i=1aij

)=

n

j=1

m

i=1aij .

Detalje dokaza izostavljamo.





K

f (x , y)dx dy =dc

ba

f (x , y)dx

dy = ba

dc

f (x , y)dy

dx .

Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

m

i=1

n

j=1aij =

m

i=1

(n

j=1aij

)=

n

j=1

(m

i=1aij

)=

n

j=1

m

i=1aij .

Detalje dokaza izostavljamo.





K

f (x , y)dx dy =dc

ba

f (x , y)dx

dy = ba

dc

f (x , y)dy

dx .Dokaz se temelji na cinjenici da kod dvostrukih suma mozemo zamijenitiporedak zbrajanja

m

i=1

n

j=1aij =

m

i=1

(n

j=1aij

)=

n

j=1

(m

i=1aij

)=

n

j=1

m

i=1aij .

Detalje dokaza izostavljamo.Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 12 / 70


Primjer

Ako je K = [a, b] [c, d ], izracunajmo

I =K

xy2 dx dy .

Prema teoremu je

I =

ba

dc

xy2 dy

dx = ba

[xy3

3

dc

]dx =

ba

x(d3

3 c

3

3

)dx =

=13

(d3 c3

) x22

ba=16

(d3 c3

) (b2 a2

).



PrimjerIsti rezultat dobije se i racunajuci

I =

dc

ba

xy2 dx

dy .

NapomenaIz prethodnog primjera vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim podrugoj varijabli, pri cemu rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja.Slicno vrijedi i kada podrucje integracije nije pravokutnik, kao i kodintegrala viih dimenzija.



PrimjerIsti rezultat dobije se i racunajuci

I =

dc

ba

xy2 dx

dy .NapomenaIz prethodnog primjera vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim podrugoj varijabli, pri cemu rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja.Slicno vrijedi i kada podrucje integracije nije pravokutnik, kao i kodintegrala viih dimenzija.



NapomenaIntegral iz prethodnog primjera je integral sa separiranim varijablama,odnosno moze se rastaviti na produkt dva jednostruka integrala toopcenito nije slucaj:

ba

dc

xy2 dy

dx = ba

x dx dc

y2 dy .


Dvostruki integral nad neravnim podrucjem

Ako je podrucje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama,

D = {(x , y) : a x b, g (x) y h (x)} ,

onda je D

f (x , y)dx dy =ba

h(x )g (x )

f (x , y)dy

dx .

Naravno, uloge varijabli x i y mogu biti zamijenjene.



Ako je podrucje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama,

D = {(x , y) : a x b, g (x) y h (x)} ,

onda je D

f (x , y)dx dy =ba

h(x )g (x )

f (x , y)dy

dx .Naravno, uloge varijabli x i y mogu biti zamijenjene.



Primjer

Izracunajmo integral I =D

(x + y2

)dx dy, pri cemu je D podrucje

omeeno krivuljama y = x2 i y = x4.

Za odreivanje granica integracije potrebno je skicirati podrucje D:

Vidimo da je

D ={(x , y) : 1 x 1, x4 y x2

}.



Primjer

Izracunajmo integral I =D

(x + y2

)dx dy, pri cemu je D podrucje

omeeno krivuljama y = x2 i y = x4.Za odreivanje granica integracije potrebno je skicirati podrucje D:

Vidimo da je

D ={(x , y) : 1 x 1, x4 y x2

}.



PrimjerDakle

I =

11

x 2x 4

(x + y2

)dy

dx = 11

[xy +

y3

3

]x 2x

dx =

=

11

(x3 +

x6

6 x5 x

12

3

)dx =

[x4

4+x7

42 x

6

6 x

13

39

]11=

= 1273

.

No mozemo i zamijeniti redoslijed pa integrirati prvo po varijabli x. U tomslucaju je potrebno podrucje D rastaviti na uniju dva disjunktna podrucja:



PrimjerStavimo

D1 = {(x , y) : 0 y 1, 4y x y} ,

D2 = {(x , y) : 0 y 1,y x 4y}

pa je

I =

10

y

4y

(x + y2

)dx

dy+ 10

4yy

(x + y2

)dx

dy = = 1273

.


Volumen i povrina

Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.

Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

V () =D

f (x , y)dx dy =D

zdP.

Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

P (D) = V () =D

dP.


Volumen i povrina

Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R2, neprekidna inenegativna te neka je podrucje D omeeno s po djelovima glatkomjednostavnom zatvorenom krivuljom.Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenutijela koje je omeeno bazom D (u xy -ravnini) i plohomz = f (x , y)

V () =D

f (x , y)dx dy =D

zdP.


P (D) = V () =D

dP.


Volumen i povrina


V () =D

f (x , y)dx dy =D

zdP.

Izraz dP = dx dy oznacava element povrine, odnosno povrinupravokutnika sa stranicama dx i dy.

Za z = f (x , y) = 1 dvostruki integral daje povrinu podrucja D

P (D) = V () =D

dP.


Volumen i povrina


V () =D

f (x , y)dx dy =D

zdP.


P (D) = V () =D

dP.


Volumen i povrina

Primjer

Izracunajmo obujam tijela omeenog plohom z = x2 + y2 i ravninama

z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:


Volumen i povrina

Primjer


z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.

Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:


Volumen i povrina

Primjer


z = 0, y = x , y = 3x , y = 2 x , y = 4 x .

Zadana ploha je kruzni paraboloid sa sreditem u ishoditu.Podrucje integracije u xy-ravnini je omeeno s cetiri pravca:


Volumen i povrina

PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1.

Sada imamo

V =

112

3x2x

(x2 + y2

)dy dx+

21

4xx

(x2 + y2

)dy dx .

Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

321

y2y

(x2 + y2

)dx dy+

232

yy3

(x2 + y2

)dx dy+

32

4yy3

(x2 + y2

)dx dy .

Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .


Volumen i povrina

PrimjerNakon to odredimo tocke presjeka zadanih pravaca, podrucje integracijecemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo

V =

112

3x2x

(x2 + y2

)dy dx+

21

4xx

(x2 + y2

)dy dx .

Alternativno, mozemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x:

321

y2y

(x2 + y2

)dx dy+

232

yy3

(x2 + y2

)dx dy+

32

4yy3

(x2 + y2

)dx dy .

Na oba nacina se dobije rezultat V = 658 .


Volumen i povrina

Volumen tijela omeenog plohama z = f (x , y) i z = g (x , y) pri cemuje

f , g : D R, g (x , y) f (x , y) (x , y) D,se racuna po formuli

V () =D

(f (x , y) g (x , y))dx dy .

To je prirodno poopcenje formule za racunanje povrine ravninskih likovapomocu jednostrukog integrala.


Polarne koordinate

Neka je podrcuje D R2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kaoD = {(r , ) : 1 2, r1 () r r2 ()} ,

gdje su r1, r2 : [1, 2] R neprekidne funkcije.

Tada za racunanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju

x = r cos , y = r sin .

Element povrine u polarnim kordinatama:


Polarne koordinate

Neka je podrcuje D R2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kaoD = {(r , ) : 1 2, r1 () r r2 ()} ,

gdje su r1, r2 : [1, 2] R neprekidne funkcije.Tada za racunanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju

x = r cos , y = r sin .

Element povrine u polarnim kordinatama:


Polarne koordinate

Formula za povrinu kruznog isjecka daje

dP =12(r + dr)2 d1

2r2 d =

12

(r2 + 2r dr+ (dr)2 r2

)d

= r dr d+12(dr)2 d

r dr d,

pri cemu izraz 12 (dr)2 d mozemo zanemariti jer tezi k nuli brze od izraza

r dr d.

Prema tome, vrijedi

D

f (x , y)dx dy =

21

r2()r1()

f (r cos , r sin ) r dr d .

U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po !


Polarne koordinate

Formula za povrinu kruznog isjecka daje

dP =12(r + dr)2 d1

2r2 d =

12

(r2 + 2r dr+ (dr)2 r2

)d

= r dr d+12(dr)2 d

r dr d,

pri cemu izraz 12 (dr)2 d mozemo zanemariti jer tezi k nuli brze od izraza

r dr d. Prema tome, vrijedi

D

f (x , y)dx dy =

21

r2()r1()

f (r cos , r sin ) r dr d .

U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po !


Polarne kordinate

PrimjerAko je D polukrug u prvom kvadrantu omeen kruznicom(x 12

)2+ y2 = 14 i osi x, izracunajte

D

1 x2 y2 dx dy .

Radi se o volumenu tijela to ga iz polukugle z =1 x2 y2 izreze

cilindar s bazom D.


Polarne koordinate

PrimjerUvrtavanjem supstitucije u jednadzbu zadane kruznice dobijemo(

r cos 12

)2+ (r sin )2 =

14,

odnosnor (r cos ) = 0

pa jednadzba zadane kruznice u polarnim koordinatama glasi

r = cos .

Dakle, podrucje D je opisano s

D ={(r , ) :

[0,

2

], r [0, cos ]

}


Polarne koordinate

PrimjerUvrtavanjem supstitucije u jednadzbu zadane kruznice dobijemo(

r cos 12

)2+ (r sin )2 =

14,

odnosnor (r cos ) = 0

pa jednadzba zadane kruznice u polarnim koordinatama glasi

r = cos .

Dakle, podrucje D je opisano s

D ={(r , ) :

[0,

2

], r [0, cos ]

}Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 27 / 70

Polarne koordinate

PrimjerDakle, imamo

I =

20

cos 0

1 r2r dr d =

{1 r2 = t2r dr = dt

r 0 cos t 1 sin2

}

= 12

20

sin2 1

t dt d = 1

3

20

t32

sin2 1

d = {sin > 0}

= 13

20

(sin3 1

)d =

13

20 13

20

(1 cos2

)sin d

= {cos = u} = 6+13

01

(1 u2

)du =

6 29.


Nepravi integral

Nepravi integrali funkcija vie varijabli se definiraju pomocu limesa,slicno kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable.

Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slicni onima koji sejavljaju kod proucavanja limesa funkcija vie varijabli.

Ovdje ih necemo detaljno izucavati, vec navodimo samo jedanzanimljivi primjer:

PrimjerIzracunajmo

I =

ex2

dx .


Nepravi integral

Primjer

Radi se o povrini izmeu krivulja y = ex2i osi x.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1.0

x

y

y = ex2

Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Vidi link.


http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

Nepravi integral

PrimjerZbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi

I = 2

0

ex2

dx = 2 limr

r0

ex2

dx 2 limr

Ir .

Ako limr

Ir postoji, onda je

(limr

Ir)2= lim

rI 2r

pa jeI = 2

limr

I 2r .


Nepravi integral

PrimjerVrijedi

I 2r = Ir Ir =r0

ex2

dx r0

ey2

dy =r0

r0

e(x2+y 2) dx dy

D

e(x2+y 2) dx dy .

gdje je podrucje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu.

Neka je Kr cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je upisana kvadratu D,a K2r cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je opisana kvadratu D.


Nepravi integral

PrimjerVrijedi

I 2r = Ir Ir =r0

ex2

dx r0

ey2

dy =r0

r0

e(x2+y 2) dx dy

D

e(x2+y 2) dx dy .

gdje je podrucje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu.Neka je Kr cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je upisana kvadratu D,a K2r cetvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je opisana kvadratu D.


Nepravi integral

Primjer

Kako je e(x2+y 2) > 0 i Kr D K2r , vrijediKr

e(x2+y 2) dx dy I 2r

K2r

e(x2+y 2) dx dy .


Nepravi integral

PrimjerU polarnim koordinatama vrijedi

Kr

e(x2+y 2) dx dy =

20

r0

et2t dt d

(koristimo polarne koordinate (t, ) jer r vec oznacava duljinu stranicekvadrata i javlja se u granicama integracije).

Uz supstituciju t2 = u vrijediet

2t dt =

12

eu du = 1

2eu = 1

2et

2.


Nepravi integral

PrimjerU polarnim koordinatama vrijedi

Kr

e(x2+y 2) dx dy =

20

r0

et2t dt d

(koristimo polarne koordinate (t, ) jer r vec oznacava duljinu stranicekvadrata i javlja se u granicama integracije).Uz supstituciju t2 = u vrijedi

et2t dt =

12

eu du = 1

2eu = 1

2et

2.


Nepravi integral

PrimjerDakle,

Kr

e(x2+y 2) dx dy =

2

(12et

2)r

0=

4

(er 2 + 1

)pa vrijedi

Kr

e(x2+y 2) dx dy

4kada r .

Slicno vrijedi iK2r

e(x2+y 2) dx dy =

4

(e2r 2 + 1

)

4kada r .


Nepravi integral

PrimjerSada relacija

Kr

e(x2+y 2) dx dy I 2r

K2r

e(x2+y 2) dx dy

i Teorem o uklijetenoj funkciji povlace

limr

I 2r =

4

pa jeI =

.


Trostruki integral nad kvadrom

Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R3 se racunaslicno kao i dvostruki.

Ako je podrucje integracije kvadar

D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

onda je

D

f (x , y , z)dx dy dz =ba

dc

ge

f (x , y , z)dz

dydx

Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.





D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

onda je

D


dc

ge

f (x , y , z)dz

dydx

Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.

Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.





D = [a, b] [c , d ] [e, g ] ,

onda je

D


dc

ge

f (x , y , z)dz

dydx

Pri tome je dV = dx dy dz element volumena.Kao i kod dvostrukog integrala, moguci su razni redosljediintegriranja.


Trostruki integral nad neravnim

Ako je podrucje D odreeno relacijama

a x bh1 (x) y h2 (x)

g1 (x , y) z g2 (x , y)

onda je

D

f (x , y , z)dV =ba

h2(x )h1(x )

g2(x ,y )g1(x ,y )

f (x , y , z)dz

dydx .


Primjene trostrukog integrala

Tipicne primjene trostrukog integrala su sljedece:

ako je f (x , y , z) gustoca tijela koje zaprema podrucje D u tockiT = (x , y , z), onda je trostruki integral

D

f (x , y , z)dV jednak

masi tog dijela;

ako je f (x , y , z) = 1, onda trostruki integral daje volumen podrucjaD

V (D) =D

dV =ba

h2(x )h1(x )

g2(x ,y )g1(x ,y )

dz dy dx .

Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu

ba

h2(x )h1(x )

(g2 (x , y) g1 (x , y))dy dx

za izracunavanje volumena preko dvostrukog integrala.


Primjene trostrukog integrala

Tipicne primjene trostrukog integrala su sljedece:

ako je f (x , y , z) gustoca tijela koje zaprema podrucje D u tockiT = (x , y , z), onda je trostruki integral

D

f (x , y , z)dV jednak

masi tog dijela;ako je f (x , y , z) = 1, onda trostruki integral daje volumen podrucjaD

V (D) =D

dV =ba

h2(x )h1(x )

g2(x ,y )g1(x ,y )

dz dy dx .

Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu

ba

h2(x )h1(x )

(g2 (x , y) g1 (x , y))dy dx

za izracunavanje volumena preko dvostrukog integrala.


Trostruki integral

Primjer

Odredite volumen tijela omeenog plohama z = x2 + y2 i z =x2 + y2.

Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca. Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:

Za postavljanje integrala trebamo opisati podrucje D. Naimo presjekzadanih ploha izjednacavajuci jednadzbe po z:


Trostruki integral

Primjer


Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca.

Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:



Trostruki integral

Primjer


Radi se o volumenu podrucja izmeu paraboloida i stoca. Presjekpodrucja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici:



Trostruki integral

PrimjerJednadzba

x2 + y2 =x2 + y2

ima rjeenja x = y = 0 ix2 + y2 = 1, odnosno x2 + y2 = 1.

Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

V =

11

1x 2

1x 2

x 2+y 2

x 2+y 2

dz dy dx .

Integral cemo rijeiti prelaskom na cilindricne koordinate.


Trostruki integral

PrimjerJednadzba

x2 + y2 =x2 + y2


Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).

Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

V =

11

1x 2

1x 2

x 2+y 2

x 2+y 2

dz dy dx .



Trostruki integral

PrimjerJednadzba

x2 + y2 =x2 + y2


Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.

Stoga imamo

V =

11

1x 2

1x 2

x 2+y 2

x 2+y 2

dz dy dx .



Trostruki integral

PrimjerJednadzba

x2 + y2 =x2 + y2


Prvo rjeenje je ishodite (u kojem se plohe ocito sijeku).Iz drugog rjeenja vidimo da se plohe josijeku u jedinicnoj sredinjojkruznici u ravnini z = 1.Stoga imamo

V =

11

1x 2

1x 2

x 2+y 2

x 2+y 2

dz dy dx .



Cilindricne koordinate

Cilindricni koordinatni sustav, tj. cilindricne koordinate su zadanetransformacijama

x = r cos , y = r sin , z = z ,

pri cemu je r 0 i [0, 2] ili [,].

Dakle, element volumena jednak je umnoku povrine baze i visine, s timeto se povrina baze racuna u polarnim koordinatama:



Cilindricni koordinatni sustav, tj. cilindricne koordinate su zadanetransformacijama

x = r cos , y = r sin , z = z ,

pri cemu je r 0 i [0, 2] ili [,].Dakle, element volumena jednak je umnoku povrine baze i visine, s timeto se povrina baze racuna u polarnim koordinatama:



Dakle,dV = r dr d dz

pa je D

f (x , y , z)dV =D

f (r cos , r sin , z) r dr d dz .



PrimjerIzracunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindricnekoordinate:

V =

11

1x 2

1x 2

x 2+y 2

x 2+y 2

dz dy dx =20

10

rr 2

dz r dr d =

= |2010

(z |rr 2) r dr = 210

(r2 r3

)dr =

6.


Sferne koordinate

Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadanetransformacijama

x = r sin cos ,

y = r sin sin ,

z = r cos ,

pri cemu je r 0, a obicno se odabere [0,] i [,] .

Uz oznaku = r sin mozemo pisati

x = cos ,

y = sin ,

z = r cos .


Sferne koordinate

Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadanetransformacijama

x = r sin cos ,

y = r sin sin ,

z = r cos ,

pri cemu je r 0, a obicno se odabere [0,] i [,] .Uz oznaku = r sin mozemo pisati

x = cos ,

y = sin ,

z = r cos .


Sferne koordinate

Sferni kordinatni sustav:

Za prelazak iz kartezijevog u sferni sustav, koristimo relacije

tg =yx, = arccos

zx2 + y2 + z2

, r =x2 + y2 + z2.


Sferne koordinate

PrimjerJedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je cesto u upotrebi suzemljopisne karte.

Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina,

kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

[2 ,

2

].

Odabir [0,] je matematicki povoljniji jer je tada sin 0.


Sferne koordinate



kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]

kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

[2 ,

2

].



Sferne koordinate



kut je zemljopisna duzina koja se mjeri istocno i zapadno odGreenwicha, to odgovara odabiru [,]kut je zemljopisna irina koja se mjeri sjeverno i juzno od ekvatora,to odgovara odabiru

[2 ,

2

].



Sferne koordinate

Za racunanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate,potrebno je izracunati element volumena dV.

Vidimo da jedV ab dr,

pri cemu jea = r sin d, b = r d .


Sferne koordinate

Dakle,dV r2 sin d dr d .

Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi

D

f (x , y , z)dV =

=D

f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r2 sin d dr d .


Sferne koordinate


Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.

Dakle, u sfernim koordinatama vrijediD

f (x , y , z)dV =

=D



Sferne koordinate


Tocan izraz za dV sadrzi joi druge clanove, no oni teze k nuli brze negoglavni izraz pa ih izostavljamo.Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi

D

f (x , y , z)dV =

=D



Sferne koordinate

PrimjerVolumen kugle radijusa R jednak je

V =K

1 dV =

0

R0

r2 sin d dr d =

=

d0

sin dR0

r2 dr = | ( cos ) |0r3

3

R0=

=43R3.


Zamjena varijabli

Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindricne ili sferne koordinate suprimjeri zamjene varijabli.

Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal,odnosno element povrine / volumena.

Bez dokaza navodimo teorem o zamjeni varijabli za trostruki integral.Analogni rezultati vrijede i u drugim dimenzijama.


Zamjena varijabli

Teorem (o zamjeni varijabli)Neka je zadan integral

I =D

f (x , y , z)dx dy dz, D R3

i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D.

Neka je D R3 i neka su , , : D R diferencijabilne funkcije zakoje je preslikavanje p : D D definirano s

p (u, v ,w) = ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w))

bijekcija.


Zamjena varijabli

Teorem (o zamjeni varijabli)Neka je zadan integral

I =D

f (x , y , z)dx dy dz, D R3

i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D.Neka je D R3 i neka su , , : D R diferencijabilne funkcije zakoje je preslikavanje p : D D definirano s

p (u, v ,w) = ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w))

bijekcija.


Zamjena varijabli

Teorem (o zamjeni varijabli)

Ako je Jakobijan (Jacobijeva matrica)

J (u, v ,w) =

u

v

w

u

v

w

u

v

w

6= 0, (u, v ,w) D ,

onda je D

f (x , y , z)dx dy dz =

=D

f ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w)) |J |du dv dw .

x , y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nuzno Kartezijevom).


Zamjena varijabli

Teorem (o zamjeni varijabli)

Ako je Jakobijan (Jacobijeva matrica)

J (u, v ,w) =

u

v

w

u

v

w

u

v

w

6= 0, (u, v ,w) D ,onda je

D

f (x , y , z)dx dy dz =

=D

f ( (u, v ,w) , (u, v ,w) , (u, v ,w)) |J |du dv dw .

x , y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nuzno Kartezijevom).


Zamjena varijabli

PrimjerKod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav mozemo uzeti

u = r , (r , , ) = r sin cos ,

v = , (r , , ) = r sin sin ,

w = , (r , , ) = r cos .

Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

bijekcija.Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:


Zamjena varijabli


u = r , (r , , ) = r sin cos ,

v = , (r , , ) = r sin sin ,

w = , (r , , ) = r cos .

Nadalje, ako je D = R3, onda je D = [0,) [0,] [,].

Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje

p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)



Zamjena varijabli


u = r , (r , , ) = r sin cos ,

v = , (r , , ) = r sin sin ,

w = , (r , , ) = r cos .


p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)

bijekcija.

Funkcije , , su diferencijabilne, a Jakobijan je:


Zamjena varijabli


u = r , (r , , ) = r sin cos ,

v = , (r , , ) = r sin sin ,

w = , (r , , ) = r cos .


p : D D , p (r , , ) = (x , y , z)



Zamjena varijabli

Primjer

J =

r

r

r

=sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos cos r sin 0

= r2 sin .

Zbog uvjeta [0,] imamo sin 0 pa je

|J | =r2 sin = r2 sin .

ZadatakIzvedite Jakobijan za cilindricne koordinate.


Zamjena varijabli

Primjer

J =

r

r

r

=sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos cos r sin 0

= r2 sin .Zbog uvjeta [0,] imamo sin 0 pa je

|J | =r2 sin = r2 sin .

ZadatakIzvedite Jakobijan za cilindricne koordinate.


Zamjena varijabli

PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.

Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

Stoga je

J =

r

r

=cos r sin sin r cos

= rpa zbog r 0 imamo |J | = r .


Zamjena varijabli

PrimjerZa n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako to zanemarimotrecu varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda.Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

Stoga je

J =

r

r




Zamjena varijabli


x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

Stoga je

J =

r

r


= r

pa zbog r 0 imamo |J | = r .


Zamjena varijabli


x = r cos (r , ) ,y = r sin (r , ) .

Stoga je

J =

r

r




Momenti i tezita

Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.

Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .Oznacimo sredite pravokutnika Pij s

(x i , y j

). Masa mij tada je

priblizno jednakamij

(x i , y j

)P.

Momenti oko osi x i osi y su priblizno jednaki

[Mx ]ij mijy ij =[(x i , y j

)P]y ij ,

[My ]ij mijx ij =[(x i , y j

)P]x ij .


Momenti i tezita

Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .

Oznacimo sredite pravokutnika Pij s(x i , y j

). Masa mij tada je


(x i , y j

)P.



)P]y ij ,


)P]x ij .


Momenti i tezita

Promotrimo ravnu plocu P gustoce (x , y) koja zauzima podrucjeD R2.Podijelimo plocu na male pravokutnike Pij povrine P = xy .Oznacimo sredite pravokutnika Pij s

(x i , y j

). Masa mij tada je


(x i , y j

)P.



)P]y ij ,


)P]x ij .


Momenti i tezita

Sumirajuci po svim i i j te prelaskom na limes kada P tezi k nulidobijemo

m = limP0i ,j

mij =D

(x , y)dP,

Mx = limP0i ,j

[Mx ]ij =D

y (x , y)dP,

My = limP0i ,j

[My ]ij =D

x (x , y)dP,

pri cemu su m, Mx i My redom masa ploce P , moment ploce P okoosi x i moment ploce P oko osi y .

Koordinate tezita ploce P su jednake

x =Mym, y =

Mxm.


Momenti i tezita

Sumirajuci po svim i i j te prelaskom na limes kada P tezi k nulidobijemo

m = limP0i ,j

mij =D

(x , y)dP,

Mx = limP0i ,j

[Mx ]ij =D

y (x , y)dP,

My = limP0i ,j

[My ]ij =D

x (x , y)dP,

pri cemu su m, Mx i My redom masa ploce P , moment ploce P okoosi x i moment ploce P oko osi y .Koordinate tezita ploce P su jednake

x =Mym, y =

Mxm.


Momenti i tezita

PrimjerOdredite tezite polukruzne ploce cija je gustoca jednaka udaljenosti odsredita kruga.

Ako sredite kruga smjestimo u ishodite, jednadzba kruga glasix2 + y2 = a2 pa je gustoca ploce u tocki (x , y) dana formulom

(x , y) =x2 + y2.

Prelaskom na polarne kordinate imamo

m =D

(x , y)dP =D

x2 + y2 dP =

0

a0

r r dr d = 13

a3.


Momenti i tezita

PrimjerOdredite tezite polukruzne ploce cija je gustoca jednaka udaljenosti odsredita kruga.Ako sredite kruga smjestimo u ishodite, jednadzba kruga glasix2 + y2 = a2 pa je gustoca ploce u tocki (x , y) dana formulom

(x , y) =x2 + y2.

Prelaskom na polarne kordinate imamo

m =D

(x , y)dP =D

x2 + y2 dP =

0

a0

r r dr d = 13

a3.


Momenti i tezita

PrimjerKako su ploca i funkcija gustoce simetricne s obzirom na os y tezite senalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0.

y =1m

D

y (x , y)dP =3

a3

0

a0

r sin r r dr d = 3a2.

Dakle, tezite se nalazi u tocki T =(0, 3a2

).

ZadatakNaite tezite trokutaste ploce s vrhovima (0, 0) , (2, 0) i (0, 1) ifunkcijom gustoce (x , y) = 1+ 2x + y.


Moment inercije

Moment inercije ili moment drugog reda cestice mase m oko osi xdefiniran je kao md3 pri cemu je d udaljenost cestice od osi.

Kao i prije podijelimo plocu na pravokutnike, zbrojimo momenteinercije oko osi x svih pravokutnika te preemo na limes kada povrinepravokutnika teze u nulu.

Na ovaj nacin dobijemo moment inercije ploce P oko osi x :

Ix =D

y2 (x , y)dP .

Slicno dobijemo i izraz za moment inercije ploce P oko osi y :

Iy =D

x2 (x , y)dP .


Moment inercije

Moment inercije ploce P oko ishodita definiramo kao

I0 =D

(x2 + y2

) (x , y)dP .

Primjetimo da vrijediI0 = Ix + Iy .


Moment inercije

PrimjerNaite momente intercije homogenog diska gustoce , radijusa a scentrom u ishoditu.

Rub podrucja integracije je kruznica x2 + y2 = a2 pa u polarnimkoordinatama imamo

I0 =D

(x2 + y2

) (x , y)dP =

20

a0

r2r dr d =12

a4.

Zbog simetrije je Ix = Iy iz cega slijedi

Ix = Iy =12I0 =

14

a4.


Moment inercije

PrimjerNaite momente intercije homogenog diska gustoce , radijusa a scentrom u ishoditu.Rub podrucja integracije je kruznica x2 + y2 = a2 pa u polarnimkoordinatama imamo

I0 =D

(x2 + y2

) (x , y)dP =

20

a0

r2r dr d =12

a4.

Zbog simetrije je Ix = Iy iz cega slijedi

Ix = Iy =12I0 =

14

a4.


Moment inercije

PrimjerUocimo da je masa diska jednaka

m = a2

pa mozemo pisati

I0 =12ma2.

Dakle, povecamo li masu ili radijus diska, povecat ce se i moment inercije.to je momen inercije veci, to je teze pokretanje i zaustavljanje rotacijediska oko osovine.


Momenti tijela

Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.

Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

m =D

(x , y , z)dV,

pri cemu je dV element volumena kao i prije.Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

Myz =D

x (x , y , z)dV,

Mxz =D

y (x , y , z)dV,

Mxy =D

z (x , y , z)dV .


Momenti tijela

Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

m =D

(x , y , z)dV,

pri cemu je dV element volumena kao i prije.

Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

Myz =D

x (x , y , z)dV,

Mxz =D

y (x , y , z)dV,

Mxy =D

z (x , y , z)dV .


Momenti tijela

Promotrimo trodimenzionalni slucaj tijela gustoce (x , y , z) kojezauzima podrucje D R3.Slicnim razmatranjem dobijemo da je masa tijela jednaka

m =D

(x , y , z)dV,

pri cemu je dV element volumena kao i prije.Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

Myz =D

x (x , y , z)dV,

Mxz =D

y (x , y , z)dV,

Mxy =D

z (x , y , z)dV .


Momenti tijela

Tezite se nalazi u tocki T = (x , y , z) gdje je

x =Myzm, y =

Mxzm, z =

Mxym.

Momenti inercije oko koordinatnih osiju su

Ix =D

(y2 + z2

) (x , y , z)dV,

Iy =D

(x2 + z2

) (x , y , z)dV,

Iz =D

(x2 + y2

) (x , y , z)dV .


Momenti tijela

PrimjerNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno plohom

z = 11 (x 1)2 i ravninama x = 0, y = 0, y = 1 i z = 0.

Na slici (a) je prikazano tijelo (koje ima oblik idealne naprave za blokadukotaca), a na slici (b) je projekcija tijela na ravninu xz


Momenti tijela

PrimjerTijelo zaprema podrucje

D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

1 (x 1)2

}.

Masa tijela jednaka je

m =D

dV = 10

10

11(x1)20

dz dy dx = (1

4

).

Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .


Momenti tijela


D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

1 (x 1)2

}.


m =D

dV = 10

10

11(x1)20

dz dy dx = (1

4

).

Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.

Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .


Momenti tijela


D ={(x , y , z) R3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

1 (x 1)2

}.


m =D

dV = 10

10

11(x1)20

dz dy dx = (1

4

).

Do rjeenja mozemo doci i jednostavnije: buduci da ovo tijelo imahomoegnu gustocu, masa je jednaka umnoku gustoce i volumena.Volumen V jednak je povrini baze P (slika b) i visine koja je jednaka 1.P je jednaka razlici povrine jedinicnog kvadrata i cetvrtine povrinejedinicnog kruga. Dakle, V = P 1 = 1 4 .


Momenti tijela

PrimjerVrijedi

Mxz =D

y dV =12

(1

4

)pa je

y =Mxzm

=12.

Ovo je bilo za ocekivati, s obzirom da tijelo ima homogenu gustocu isimetricno je s obzirom na pravac y = 12 .


Momenti tijela

PrimjerNadalje,

Mxy =D

z dV = 10 312

pa je z = Mxym =1033(4) .

Zbog simetrije mora vrijediti x = z pa se tezite nalazi u tocki

T =(10 33 (4 ) ,

12,10 33 (4 )

).

ZadatakNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno parabolickimcilindrom y2 = x i ravninama x = 1 , z = 0 i z = x.


Momenti tijela

PrimjerNadalje,

Mxy =D

z dV = 10 312

pa je z = Mxym =1033(4) .

Zbog simetrije mora vrijediti x = z pa se tezite nalazi u tocki

T =(10 33 (4 ) ,

12,10 33 (4 )

).

ZadatakNaite tezite tijela homogene gustoce koje je omeeno parabolickimcilindrom y2 = x i ravninama x = 1 , z = 0 i z = x.


Definicija i osnovna svojstva viestrukog integralaDekompozicija kvadraIntegralne sumeIntegral nad kvadromIntegral nad neravnim podrucjemSvojstva

Dvostruki integralDvostruki integral nad kvadromIntegral nad podrucjem omeenim krivuljamaVolumen i povrinaPolarne koordinateNepravi integral

Trostruki integralTrostruki integral nad kvadromTrostruki integral nad neravnim podrucjemCilindricne i sferne koordinate

Zamjena varijabliMomenti i teita

MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki integrali... · Izraµcunajmo dvostruki integral funkcije f : [0,4] [0,3] !R de–niranu

Text of MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki...

Darka Bilić Dvostruki bedem u Šibeniku – funkcija

DVOSTRUKI DEFICIT - PROBLEM EKONOMIJE REPUBLIKE SRBIJE

4 VISESTRUKI PRISTUP I MULTIPLEKSIRANJE.ppt

Dvostruki integrali (zbirka rjesenih zadataka).pdf

SISTEM ZA DTTV DISTRIBUCIJU - crony.rs · PDF fileJednostruki/dvostruki DVB-S/S2 prijemnik sa CAM i ASI izlazom DTTV je modularan sistem. Trebinje 18-20.05.2011 DTTV Headends ... Dvostruki

Zemlja ili dvostruki planet? - · PDF file"toplinski stroj" Što pokre

Teorija skupova - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~matko1/teorijaskupovateheksplorer.pdf · Ako su svi skupovi koje promatramo podskupovi nekog skupa Ukojeg onda nazivamo

05 Dvostruki integrali Smjena promjenjivih u dvostrukom integralu.pdf

Struktura i funkcija prokariotske ćelije...• Struktura: Dvostruki lipidni sloj, polisaharidi i proteini. Dvostruki lipidni sloj: unutrašnji deo podseća na fosfolipide citoplazmatične

Piter Čini~Dvostruki alibi

Seminarski Rad Dvostruki El Sloj

DVOSTRUKI REDOVI · gencija dvostrukog reda. Takoder se prou¯ cavaju dvostruki redovi potencija. Zanimljivo jeˇ da dvostruki red potencija može imati više biradijusa konvergencije

Algebarske strukture Skripta - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~skresic/Algebra/Skripta/Algebarske_strukture_v4.pdf · Predgovor Ova skripta namijenjema je studentima Prirodoslovno-matematiˇckog

Radno okruženje Eclipse Pokretanje Eclipse – dvostruki klik na … · 2019-10-07 · 1. Radno okruženje Eclipse a. Pokretanje Eclipse – dvostruki klik na eclipse.exe. b. Po

2015 / 16 ESTIA SERIJA 4 - klimauredjaji.com · Dvostruki rotacioni klipni kompresori za još bolje radne performanse Ugrađeni dvostruki rotacioni („twin-rotary“) kompresori

Matematička logika i izračunljivost - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~milica/Matematicka_logika/Folije_za... · Mladen Vuković PMF–MO Matematička logika i izračunljivost

nepravi visestruki integrali

Vektorski prostor - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~skresic/LAMR/Folije/Vektorski_prostori_web.pdf · Vektorski prostor Pojam vektorskog prostora cemo motivirati primjerom

Dvostruki orao- James Twining

Dvostruki Integral Zadaci

Odredjeni integral - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~skresic/Matematika1_inform... · funkcija ima singularitet u podru cju integracije. Ako su granice integracije beskona

Plosni integrali Dvostruki integrali - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/I/biljeske/Dodaci/plosni.pdf · Plosni integrali Dvostruki integrali Pravokutno podrucˇje integracije Zadatak

PROBLEM OSAM KRALJICA - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~ani/radovi/zavrsni/Stefan-Dunic-zavrsni.pdf · razvoja „depth-first backtracking algorithm“ (dubinsko unatražno

2015 / 16 ESTIA SERIJA 4...Dvostruki rotacioni klipni kompresori za još bolje radne performanse Ugrađeni dvostruki rotacioni („twin-rotary“) kompresori mogu se savršeno regulisati

Sanja Iveković - dizajn.hrdizajn.hr/wp-content/uploads/2018/05/Sanja-Ivekovic-Dvostruki-zivot... · SANJA IVEKOVIĆ — DVOSTRUKI ŽIVOT: DIZAJN, UMJETNOST, AKTIVIZAM Cilj feminizma

Dvostruki Integrali (Zbirka Rjesenih Zadataka)

JA Č INSKE KARAKTERISTIKE Š AVOVA DOBIJENIH Š IVENJEM ... · upotrebljen je šav sa oznakom 1.01.01. prema ISO 4916 ibodovi tipa 301 (dvostruki zrn čani) i401 (dvostruki lan čani)

KOMPLEKSNA ANALIZA - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~andrijana/kompleksna_analiza/KA-2012-13-P.pdf · KOMPLEKSNA ANALIZA PMM116 (60987) 2012./13. PREDAVANJA VJEŽBE Branko

Kako stvoriti dvostruki profil za aktualizaciju ... - NOD32

mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~bilusic/Nastavni_plan_2005/FPMZOP... · Web viewBoolos, George i Jeffrey, Richard (1989) Computability and Logic. CambridgeUniversity Press

Documents

MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki integrali... · Izraµcunajmo dvostruki integral funkcije f : [0,4] [0,3] !R de–niranu

Text of MATEMATIKA 2 - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 10 visestruki...