Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane

Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

Vibrirajuće membraneVibrirajuće membrane

Studenti: Ana Babić; Hrvoje Šoprek

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku

Teorijska pozadina

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBEPARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

• jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija neke nepoznate funkcije koja sadrži dvije ili više nezavisnih varijabli

• red najviše derivacije naziva se redom jednadžbe

• dolaze do izražaja kada su u vezi s različitim fizičkim i geometrijskim problemima, odnosno kada zadana funkcija ovisi o dvije ili više nezavisnih varijabli

• nezavisne varijable mogu biti vrijeme ili neka od koordinata u prostoru

• PDJ je linearna ako je prvog stupnja zavisne varijable i njenih parcijalnih derivacija

• u slučajevima, kada svaki član takve jednadžbe sadrži zavisnu varijablu ili jednu od njenih derivacija, za jednadžbu kažemo da je homogena

• inače je takva jednadžba nehomogena

2 22

2 2

22

2

2 2

2 2

1

2

3 0

u u( ) c jedno-dimenzijska valna jednadžbat xu u( ) c jedno-dimenzijska toplinska jednadžbat xu u( ) dvo-dimenzijska Laplace-ova jednadžba

x y

(4)

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 0

u u f ( x,y) dvo-dimenzijska Poisson-ova jednadžbax yu u u(5) tro-dimenzijska Laplace-ova jednadžba

x y z

Teorijska pozadina

• rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi jest područje R prostora nezavisne varijable u funkciji koja sadrži sve parcijalne derivacije i zadovoljava jednadžbu svugdje u R

• jedinstveno rješenje PDJ koje odgovara zadanom fizičkom problemu može se dobiti upotrebom dodatnih informacija koje potječu iz same fizičke situacije

• npr. u nekim slučajevima bit će dane vrijednosti rješenja problema na granicama neke domene ( rubni uvjeti ), ili kad je t – vrijeme, jedna od varijabli, mogu biti dana rješenja za t=0 ( početni uvjeti )

• ako znamo da je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena , tada možemo iz poznatih rješenja doznati i ostala rješenja preko superpozicije

• za homogene linearne PDJ situacija je vrlo slična

Teorijska pozadina

DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBADVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA

• kao jedan od važnih problema u području vibracija razmotrit ćemo titranje membrana

• na početku postavljamo važne pretpostavke:

1. masa membrane po jedinici površine je konstantna „homogena membrana“ ; membrana je posve fleksibilna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju

2. membrana je raširena i fiksirana preko cijele svoje granice u xy-ravnini ; napetost membrane po jedinici duljine T, koja je posljedica rastezanja membrane, jednaka je u svim točkama i njezin smjer se ne mijenja tijekom vibriranja

3. otklon u (x,y,z) membrane tijekom vibriranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutevi nagiba su također maleni

Vibrirajuće membrane


• da bi mogli doći do diferencijalne jednadžbe koja opisuje pomicanje membrane, moramo razmotriti sile koje djeluju na malim dijelovima membrane

y+y y

x x+x

MEMBRANAMEMBRANA


• kako su otklon membrane i kutevi nagiba mali, stranice isječka membrane su jednake x i y

• napetost, T, je sila po jedinici duljine

• sila koja djeluje na rubovima isječka aproksimirana je Tx i Ty

• kako je membrana fleksibilna, ove sile su tangencijalne na membranu


• gibanje dijelova membrane u horizontalnom smjeru je zanemarivo maleno

• membrana se giba transverzalno, odnosno svaki djelić membrane se giba vertikalno

• vertikalne komponente sila preko krajeva paralelnih s yu-ravninom su:

• kako su kutevi mali, njihove sinuse možemo zamijeniti s tangensima

• rezultanta dviju vertikalnih komponenti

• rezultante druge dvije nasuprotne strane isječka su:

sin i - sin T y T y

1 2

sin sin tan tan

=x x

T y( ) T y( )

T y u ( x x,y ) u ( x ,y )

1 2y yT x u ( x ,y y) u ( x ,y )


2

1 2 1 22

x x y y

ux y T y u ( x x,y ) u ( x,y ) T x u ( x ,y y) u ( x ,y )

t

21 21 2

2

y yx xu ( x ,y y) u ( x ,y )u ( x x,y ) u ( x,y )u T

t x y

1 2

sin sin tan tan

=x x

T y( ) T y( )

T y u ( x x,y ) u ( x ,y )

1 2y yT x u ( x ,y y) u ( x ,y )


• ako se x i y približe 0, slijedi:

• ova jednadžba naziva se DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA

• može se izraziti pomoću Laplace-a i tako pisati u obliku:

2 2 22 2

2 2 2

u u u Tc c

t x y

22 2

2.

uc u

t


PRAVOKUTNE MEMBRANEPRAVOKUTNE MEMBRANE

• da bi mogli riješiti problem vibrirajuće membrane, moramo odrediti rješenje u(x,y,t) za dvo-dimenzijsku valnu jednadžbu:

• koja zadovoljava rubne uvjete:

• te početne uvjete:

2 2 22

2 2 2

u u uc

t x y

0 na granici membrane za sve 0u t

0 dan početni pomak u( x, y , ) f ( x , y ) f ( x , y )

0 dana početna brzina

t

ug( x, y ) g( x, y )

t


Prvi korak.

• pomoću metode razdvajanja varijabli, prvo ćemo odrediti rješenje jednadžbe

koje će zadovoljiti uvijet:

u( x, y , t ) F( x , y ) G(t )

y

x

R

b

a

2 2 22

2 2 2

u u uc

t x y

0 na granici membrane za sve 0u t


• zato što funkcija na lijevo ovisi jedino o t, dok funkcije na desno ne ovise o t, izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti

2 xx yy

FG c (F G F G)

2

1

xx yy

GF F

c G F

2

2

1

xx yy

GF F

c G F

• funkcija na lijevo ovisi jedino o x dok funkcija na desno ovisi jedino o y

• izraz na obje strane mora biti jednak konstanti


2 0 gdje je G G c

2 0xx yy

F F F

F( x, y ) H( x) Q(y )

2 22

2 2

d H d QQ H HQ

dx dy

2 22

2 2

1 1d H d QQ

H dx Q dy


2 22 2

2 2

1 1d H d QQ k

H dx Q dy

22

2

22 2 2 2

2

0

0 gdje je

d Hk H

dxd Q

p Q p kdy


Drugi korak.

• opća rješenja su:

• F=HQ mora iznositi nula na granici, koja je zadana s x=0, x=a, y=0, te y=b

• uvjeti su slijedeći:

H(0)=0, H(a)=0, Q(0)=0, Q(b)=0

H(0) =A=0, H(a)=B sinka=0

cos sin cos sinH( x) A kx B kx Q(y) C py D py


• moramo uzeti u obzir B0 jer je inače H0 i F0

• sin ka=0 ili ka=m , odnosno (cijeli m)

• C=0, a p mora biti sužen na vrijednosti p=n/b gdje je cijeli n

• dolazimo do rješenja

• slijedi da je funkcija

• rješenje jednadžbe koje iznosi nula na granici pravokutne membrane

mk

a

sin sin 1 2 1 2 m n

m x n yH ( x) Q (y) m , , ... n , , ...

a b

sin sin

1 2 1 2

mn m n

m x n yF ( x, y ) H ( x)Q (y )

a bm , , ... n , , ...

2 2 2 p k c

2 2c k p

Vibrirajuće membrane• k=m/a i p=n/b odgovara

• slijedi da je funkcija na duljini

sa mn , rješenja valne jednadžbe, koja iznose nula na granici pravokutne membrane

• ove funkcije nazivaju se karakteristične funkcije, a iznosi mn se zovu karakteristične vrijednosti vibrirajuće membrane

• frekvencija umn je mn/2

• ovisno o a i b, nekoliko funkcija može odgovarati istoj karakterističnoj vrijednosti,a fizički to znači da mogu postojati vibracije s jednakim frekvencijama, ali različitim krivuljama koje čine nepomične točke

2 2

2 2 1 2 1 2

mn

m nc m , , ... n , , ...

a b

cos sin*

mn mn mn mn mnG (t ) B t B t

mn mn mnu ( x, y , t ) F ( x , y )G (t )

cos sin sin sin*

mn mn mn mn mn

m x n yu ( x, y , t ) (B t B t )

a b

Vibrirajuće membraneTreći korak.

• ovi redovi nazivaju se dvostruki Fourier-ovi redovi

• ako pretpostavimo da se f(x,y) mogu razviti u takve redove, tada Fourier-ove koeficijente Bmn za f(x,y) možemo odrediti pomoću

1 1

1 1

= cos sin sin sin

mnm n

*

mn mn mn mnm n

u( x, y , t ) u ( x , y , t )

m x n y(B t B t )

a b

1 1

0 = sin sin

mnm n

m x n yu( x, y , ) B f ( x , y )

a b

1

sinm mn

n

n yK (y ) B

b

1

sinm

n

m xf ( x, y ) K (y )

a

Vibrirajuće membrane• za fiksni y ovo su Fourier-ovi sinusni redovi za f(x,y), shvaćen kao funkcija

x, pa slijedi da su koeficijenti ove ekspanzije

• Fourier-ov sinusni red za Km(y) pa su koeficijenti

• opća Euler-ova formula

za Fourier-ove koeficijente za f(x,y) u dvostrukim Fourier-ovim redovima

• Bmn je sada određen za f(x,y)

0

2sin

a

m

m xK (y) f ( x , y ) dx

a a

0

2sin

b

mn m

n yB K (y) dy

b b

0 0

4 sin sin =1,2,... =1,2,...

b a

mn

m x n yB f ( x , y ) dxdy m n

ab a b

1 10

*

mn mnm nt

u m x n yB sin sin g( x, y )

t a b

1

sinm mn

n

n yK (y ) B

b


• pretpostavljamo da g(x,y) može biti razvijen u dvostruke Fourier-ove redove

• tada dobivamo

• rezultat je taj, da bi jednadžba zadovoljila početne uvjete, koeficijenti Bmn i B*

mn moraju biti izabrani prema ovim izrazima

0 0

4 =1,2,... =1,2,...

b a

*

mn

mn

m x n yB g( x, y ) sin sin dxdy m n

ab a b

0 0

4 sin sin =1,2,... =1,2,...

b a

mn

m x n yB f ( x , y ) dxdy m n

ab a b

m=3m=3m=2m=2m=1m=1

n=n=33

n=n=22

n=n=11

1,11,1 1,21,2 2,12,1

2,22,2

n=3n=3n=2n=2n=1n=1

m=2m=2

m=1m=1

m=0m=0

0,1

1,1 2,1

0,2

1,2

0,3

Documents

Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane