of 40 /40
Matematičke osnove računarske tehnike II deo Predstavljanje označenih brojeva u binarnom sistemu Znak i apsolutna vrednost Komplement dvojke Pokretni zarez Sabiranje i oduzimanje označenih brojeva u komplementu dvojke Opsezi neoznačenih i označenih brojeva

Matematičke osnove računarske tehnike

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematičke osnove računarske tehnike

Matematičke osnove računarske tehnikeII deo

Predstavljanje označenih brojeva u binarnom sistemu Znak i apsolutna vrednost Komplement dvojke Pokretni zarez

Sabiranje i oduzimanje označenih brojeva u komplementu dvojke

Opsezi neoznačenih i označenih brojeva

U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi sepredstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znakizostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnuvrednost broja

U binarnom brojnom sistemu je ovakav načinpredstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računarimogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquoSamim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki načinpredstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo

Označavanje brojeva

Označavanje binarnih brojeva

Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva

Pomoću znaka i apsolutne vrednosti

U komplementu dvojke

U pokretnom zarezu

Vežbe

Komplement dvojke

Postupak zapisivanja broja

pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja

negativan ceo broj se dobija tako što se

ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0

sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)

dobijeni broj se sabere sa 1

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 2: Matematičke osnove računarske tehnike

U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi sepredstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znakizostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnuvrednost broja

U binarnom brojnom sistemu je ovakav načinpredstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računarimogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquoSamim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki načinpredstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo

Označavanje brojeva

Označavanje binarnih brojeva

Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva

Pomoću znaka i apsolutne vrednosti

U komplementu dvojke

U pokretnom zarezu

Vežbe

Komplement dvojke

Postupak zapisivanja broja

pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja

negativan ceo broj se dobija tako što se

ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0

sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)

dobijeni broj se sabere sa 1

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 3: Matematičke osnove računarske tehnike

Označavanje binarnih brojeva

Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva

Pomoću znaka i apsolutne vrednosti

U komplementu dvojke

U pokretnom zarezu

Vežbe

Komplement dvojke

Postupak zapisivanja broja

pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja

negativan ceo broj se dobija tako što se

ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0

sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)

dobijeni broj se sabere sa 1

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 4: Matematičke osnove računarske tehnike

Vežbe

Komplement dvojke

Postupak zapisivanja broja

pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja

negativan ceo broj se dobija tako što se

ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0

sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)

dobijeni broj se sabere sa 1

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 5: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojke

Postupak zapisivanja broja

pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja

negativan ceo broj se dobija tako što se

ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0

sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)

dobijeni broj se sabere sa 1

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 6: Matematičke osnove računarske tehnike

Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)

Komplement dvojke (1)

Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj

26(10)=11010(2)

Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj

+26(10)=011010(2)

Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke

-26(10)=100101+1=100110(2)

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 7: Matematičke osnove računarske tehnike

572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)

57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)

Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 8: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojke

Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)

polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011

polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101

Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 9: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojke

Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja

Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja

Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 10: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojke

Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)

polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo

komplement dvojke = 10101101110000

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 11: Matematičke osnove računarske tehnike

3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)

Komplement dvojke (3)

368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 12: Matematičke osnove računarske tehnike

5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)

Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)

Komplement dvojke (4)

546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 13: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojke

Određivanje decimalne vrednosti broja

Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule

00

11

11 2222 aaaaX n

nn

n

Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni

0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 14: Matematičke osnove računarske tehnike

628162021202121110106

62820212021101066242021212001106

512821212021101155142120212001015

01234)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

0123)2()10(

Komplement dvojke

Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 15: Matematičke osnove računarske tehnike

a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)

Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke

Komplement dvojke (5)

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 16: Matematičke osnove računarske tehnike

a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)

b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)

c 0100100(2)=32+4=+36(10)

d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)

d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)

Komplement dvojke (6)

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 17: Matematičke osnove računarske tehnike

2551025508

15101504

1210120 n

xxn

xxn

xx n

Opseg neoznačenih brojeva

Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 18: Matematičke osnove računarske tehnike

1271011281271288

71018784

1210120za20za12

111-n

1-n

xxn

xxn

xxx

xxnn

Opseg označenih brojeva

Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama

Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 19: Matematičke osnove računarske tehnike

a 34b 68c 320d 127

Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni

brojevi u binarnom formatu

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 20: Matematičke osnove računarske tehnike

2n ge x + 1

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512

a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7

Opsezi brojeva (2)

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 21: Matematičke osnove računarske tehnike

a 67b -34c 63d -88

Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni

brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 22: Matematičke osnove računarske tehnike

02012

1-n

1-n

xx

xx

a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8

20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256

Opsezi brojeva (4)

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 23: Matematičke osnove računarske tehnike

Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje

brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja

operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima

operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja

A ndash B = A + (-B)

Komplement dvojke

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 24: Matematičke osnove računarske tehnike

Sabiranje

U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora

indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda

indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način

ako je C = P onda je V = 0

ako je Cne P onda je V = 1

Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1

Komplement dvojke

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 25: Matematičke osnove računarske tehnike

Postupak sabiranja

1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke

2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda

3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S

4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan

Komplement dvojke

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 26: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)

Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 27: Matematičke osnove računarske tehnike

Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)

Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)

puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno

puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 28: Matematičke osnove računarske tehnike

a 103 -98b 87 -27c 24 -72

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)

Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 29: Matematičke osnove računarske tehnike

103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)

103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8

+103 01100111+ -98 +10011110

+5 (1)00000101

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)

a

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 30: Matematičke osnove računarske tehnike

87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)

87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8

+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)

b

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 31: Matematičke osnove računarske tehnike

24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)

24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8

+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000

Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)

c

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 32: Matematičke osnove računarske tehnike

Znak Eksponent Mantisa31 0

Predstavljanje realnih brojeva

Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise

pokretni zarez ndash floating point

Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak

eksponent

mantisu

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 33: Matematičke osnove računarske tehnike

Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli

(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT

Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754

Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754

1 bit za znak

8 bitova za eksponent

23 bita za mantisuZnak

Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 34: Matematičke osnove računarske tehnike

Eksponent

Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent

Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost

pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255

umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128

Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 35: Matematičke osnove računarske tehnike

Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno

Decimalna vrednost mantise određuje se formulom

Vrednost mantise mora biti između 1 i 2

Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje

pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule

Mantisa

2323

2222

22

11

0 22222 mmmm(10)

MANTISA

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 36: Matematičke osnove računarske tehnike

01000001011100000000000000000000

Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15

Određivanje decimalne vrednosti

Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 37: Matematičke osnove računarske tehnike

a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)

Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u

pokretnom zarezu

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 38: Matematičke osnove računarske tehnike

a 1 10000001 11010000000000000000000

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725

Pokretni zarez (2)

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 39: Matematičke osnove računarske tehnike

b 0 01111001 00000000000000000000000

Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan

Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625

Pokretni zarez (3)

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)

Page 40: Matematičke osnove računarske tehnike

c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=

Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan

Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625

Pokretni zarez (4)