Click here to load reader

Skripte iz Matematičke logike

  • View
    277

  • Download
    14

Embed Size (px)

Text of Skripte iz Matematičke logike

  • Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematiki fakultet Univerzitet u Novom Sadu

    Matematika logika Madarsz Sz. Rozlia

    Novi Sad, novembar 2012.

  • Predgovor

    Ovaj tekst je pomocni materijal koji sluzi da studentima olaksa pracenje kur-seva Matematicka logika odnosno Matematicka logika u racunarstvuna Departmanu za matematiku i informatiku PMF Univerziteta u NovomSadu. On nije dovoljan da bi se kursevi savladali u potpunosti, jer ne sadzizadatke, a cesto nedostaju i primeri koji bi ilustrovali date pojmove odnosnoteoreme. Navedene kurseve je, naravno, najlakse savladati tako sto se re-dovno pohada nastava (predavanja i vezbe) i koristi dopunska literatura. No,iskustvo pokazuje da izvestan broj studenata nije u mogucnosti da pohadanastavu, pa ove skripte sluze umesto (tudih) beleski sa predavanja.

    Grubo govoreci, kursMatematicka logika, koji se pod raznim nazivimaslusa na osnovnim ili master studijama matematike, oslanja se na poglavlja1, 2 i 4, a kurs Matematicka logika u racunarstvu na poglavlja 1, 2i 3. No, predavanja iz navedenih kurseva se svake godine prilagodavajuslusaocima, u zavisnosti od predznanja i zainteresovanosti, pa shodno tome,ove skripte ce ponekad biti presiromasne u odnosu na pokriveni materijal, aopet neke godine se ne stigne da se obradi svaka tema koja je ovde navedena.

    Na kraju, shvatite ovaj materijal kao zivo bice, koje ce vremenomrasti, menjati se i poboljsavati. Nikako ga ne treba shvatiti kao nesto stoje zavrseno i spremno za stampu. Savetujemo takode da se poseti sajthttp://sites.dmi.rs/personal/madaraszr/ i proveri ima li nesto sto bi moglobiti od koristi citaocu prilikom spremanja ispita iz navedenih kurseva.

    Rozalia Sz. Madarasz

    1

  • 2 Predgovor

  • Sadrzaj

    1 Iskazna logika 7

    1.1 Poceci logike i matematicke logike . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Logika iskaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3 Sintaksa iskazne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.4 Interpretacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.5 Tautologije, logicka ekvivalencija . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre . . . . . . . . . . . . . 18

    1.7 Modeli i teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.8 Logicka (semanticka) posledica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.9 Semanticki tabloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.10 Deduktivni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.11 Iskazni racun - deduktivni sistem za iskaznu logiku . . . . . . 33

    1.12 Mala teorema kompletnosti i odlucivost iskaznog racuna . . . 41

    1.13 Teorema kompletnosti i kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . 44

    1.14 Rezolucija u iskaznoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2 Predikatska logika 57

    2.1 O predikatskoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.2 Sintaksa predikatske logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2.3 Semantika predikatske logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3

  • 4 Sadrzaj

    2.4 Operatori Mod i Th, semanticke posledice . . . . . . . . . . . 66

    2.5 Valjane formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2.6 Preneksna forma i skolemizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    2.7 Rezolucija u predikatskoj logici -Uvod . . . . . . . . . . . . . 79

    2.8 Klauzalna forma i Erbranova teorema . . . . . . . . . . . . . 80

    2.9 Rezolucija u predikatskoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    2.10 Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri . . . . . . . . . . . . 88

    2.11 Predikatski racun kao deduktivni sistem . . . . . . . . . . . . 92

    2.12 Pouzdanost i kompletnost predikatskog racuna . . . . . . . . 99

    2.13 Predikatska logika sa jednakoscu . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    3 Temporalne logike 109

    3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    3.2 Sintaksa i semantika PTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    3.3 Linear time propositional temporal logic . . . . . . . . . . . . 113

    3.4 Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 116

    4 Skupovi, ordinali, kardinali 121

    O paradoksima u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    Naivna teorija skupova i paradoksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    Kako izbeci paradokse u teoriji skupova . . . . . . . . . . . . . . . 125

    Malo filozofije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    ZF sistem aksioma za teoriju skupova . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    Aksioma izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    uredeni skupovi - Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    Induktivnost i dobro uredeni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  • Sadrzaj 5

    Dobro uredeni i striktno dobro uredeni skupovi . . . . . . . . . . . 148

    Uredeni skupovi i Aksioma izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    Definicija ordinala i osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    Osobine klase svih ordinala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    Ordinalni tip dobro uredenog skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    Prirodni brojevi kao ordinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    Ekvipotentni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    Kardinal kao specijalni ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    Operacije sa kardinalima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    Konacni kardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    Beskonacni kardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    Alefi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

    Operacije sa beskonacnim kardinalima . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    Kontinuum hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    Literatura 187

    Indeks 191

  • 6 Sadrzaj

  • Glava 1

    Iskazna logika

    1.1 Poceci logike i matematicke logike

    Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zakljucivanja bilisu Stari Grci. Zahvaljujuci svom drustvenom uredenju, koje je ohrabrivaloslobodne ljude da raspravljaju i dokazuju da su u pravu, oni su postavilitemelje logike, pre svega kao dela filozofije. U tom smislu, Grcki filozofi-naucnici se mogu smatrati za zacetnike logike kao nauke - to su prve svegaTales, Pitagora, Parmenid, Zenon, Protagora, Sokrat, Platon i Aristotel.Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se poducavanjem vestineraspravljanja, koja je Starim Grcima bila korisna prilikom ucesca u upravl-janju gradom-polisom, kao i u licnim sporovima, u kojima su, pred nekomvrstom suda, svoja prava morali sami braniti. Oni, koji su bili vestiji ubaratanju sa recima i zakonima pravilnog zakljucivanja, imali su svakakoprednost nad onima koji te vestine nisu imali. Sofisti su takode postali poz-nati po svojim iscasenim pricama, tzv. sofizmima, u kojima se polazeciod prividno istinitih pretpostavki, po pravilima logickog zakljucivanja, stizedo apsurdnih zakljucaka. Aristotel je, verovatno motivisan izmedu ostalog itakvim sofizmima, sakupio i katalogizirao sve tada poznate seme ispravnog,logickog zakljucivavnja u svom delu Organon. Aristotelova logika, poz-nata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama, cinila je skoro dve hiljadagodina obavezan deo svakog ozbiljnog obrazovanja.

    Prvi znacajniji pomak u logici kao nauci, posle stotina i stotina godinamracnog srednjeg veka, mozemo otkriti u delima naucnika-filozofa, pre svegakod Dekarta i Leibniza. Dekart je zastupao stanoviste, da se matematicki

    7

  • 8 Glava 1. Iskazna logika

    nacin razmisljanja mora primenjivati i u ostalim naukama, ako zelimo dadodemo do pravih istina. Pri tome, ne treba verovati nikakvim autorite-tima, nego se jedino treba oslanjati na svoj sopstveni razum i moc logickogzakljucivanja. Leibniz je imao jos ambiciozniji projekat: zelelo je da stvorijedan univerzalni formalni racun, Characteristica Universalis, nalik namatematiku, u kome bi svi objekti, pojmovi i relacije imale svoje oznake,i u kome bi sve istine mogle biti izrazene, a razni sporovi medu filozofima,naucnicima ili politicarima mogli biti razreseni prostim racunom. Zbog tihsvojih ideja, Leibniz se ponekad smatra za pra-oca matematicke logike.

    Zvanicno, prava matematicka logika stize sa radovima Georgea Boolea, u19. veku. On je u svojoj teoriji (tzv. racun klasa) razvio dve ideje: prvo, daprilikom rada sa iskazima, treba koristiti oznake, i drugo, da zakoni misljenjaimaju zapanjujuce mnogo slicnosti sa zakonima aritmetike. Koriscenjem trifundamentalne operacije medu klasama, koje mi danas zovemo unija, presek,komplement, on je zapisao i dokazao osnovne zakone iskaznog racuna - danassu ti identiteti poznati pod nazivom aksiome Booleove algebre.

    Mi cemo poceti izucavanje matematicke logike upravo Booleovim tragom- ispitujuci prvo zakone ispravnog misljenja u logici iskaza.

    1.2 Logika iskaza

    Pre nego sto krenemo da izgradujemo iskaznu logiku (kao formalnu, matema-ticku teoriju), podsetimo se osnovnih pojmova logike iskaza (neformalneteorije koja predstavlja najjednostavniji deo logike). Osnovni pojmovi logikeiskaza su: iskaz, istinitosna vrednost iskaza, logicki veznici. Intu-itivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jedn