Zavod za matematiku

Uvod u matematičke metode u inženjerstvuFRAKTALI

Voditelji: :Dr. sc. Ivica GusićDr. sc. Miroslav Jerković

Studenti:Brdar KatarinaDobrinić MatejaJoskić Robert

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I

TEHNOLOGIJE

• geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije

• objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo

• moguće ih je uvećavati beskonačno mnogo puta, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi

1) Samo-sličnost svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio

promatrali i koliko ga puta uvećavali

2) Fraktalna dimenzija vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki

fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi

d=log(n)/log(s) 3) Oblikovanje iteracijom

svojstvo da se objekt generira nekim matematičkim ili geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni

(početni) objekt iterativno ugrađuju svojstva generatora

• 17. st. - Leibniz je definirao ponavljanje samosličnosti (uzeo u obzir samo liniju)

• 1872. - Karl Weierstrass je dao primjer funkcije kojom je definirao samosličnost (preapstraktna)

• 1904. - Helge von Koch je dao geometrijsku interpretaciju slične funkcije

• 1915. - Waclaw Sierpiński je kreirao svoj uzorak fraktala pomoću trokuta

• 1975. - Benoit Mandelbrot je skovao riječ fraktal i definirao njeno značenje

Podjela prema stupnju samosličnosti

1) Potpuno samoslični fraktali

2) Kvazi samoslični fraktali

3) Statički samoslični fraktali

Slika 1. Hilbertova krivulja

Slika 2. Mandelbrotov

skup

Slika 3. Perlinov šum

Podjela prema načinu nastanka

Slika 4. Slučajni fraktal (munja)

1) Iterativni fraktali

2) Rekurzivni fraktali

3) Slučajni fraktali

Slika 5. Planina stvorena koristeći Perlinov šum

Slika 6. Raslinje stvoreno pomoću fraktala

Prirodni fraktali Maatematički fraktali

• procedura IFS (iterated function sheme)• potrebno imati: I – inicijator; G – generator; m –

sličnosti S koje prevode inicijator u generator odnosno

• potom se formira niz skupova En na slijedeći način:

gdje je F fraktalni skup

inicijator je I=[0,1]

generator je E1=G=

definiramo

gdje su

Na kraju Cantorov skup F zadovoljava:

inicijator je I=[0,1]generator je E1=G=

definiramo

Na kraju Kochova krivulja F zadovoljava:

• Rekurzija (u matematici i računarstvu) – metoda definiranja funkcija u kojima se definirajuća funkcija primjenjuje unutar definicije

• Općenito – za opis procesa ponavljanja objekata na samosličan način

• Rekurzivna definicija – definira objekte u terminima ‘prethodno definiranih’ objekata definirajuće klase

• Definiranje osnovnih slučajeva definiranje pravila za razbijanje složenih slučajeva u jednostavne

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Rekurzivni algoritam

iteracija – podjela segmenta na tri dijela, uklanjanje središnjeg dijela

Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Cantorov skup

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Rekurzivni algoritam

iteracija – podjela segmenta na četiri dijela

Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Kochovu krivulju

• Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo, a njihova osnovna svojstva su samo-sličnost, fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijom.

• U programu Matlab napravljena su dva programa koja prikazuju četiri stupnja iteracije rekurzivnim algoritmom za Kochovu krivulju i Cantorov skup.

• Pokretanjem programa inicijator se iterativno transformira u generator na temelju svojstava sličnosti koja čuvaju oblike, a mijenjaju položaj i veličinu kutova

• M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57.-83.)

• http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal• http://www.viva-fizika.org/fraktali-ii-deo/• http://elgrunon.wordpress.com/2007/03/25/

kochova-pahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutar-savrsenstva/