MATEMATIC~ M2

  • View
    272

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of MATEMATIC~ M2

  • Marius Burtea Georgeta Burtea

    REZOLVAREA PROBLEMELOR

    DIN MANUALUL DE

    MATEMATIC~ M2

    CLASA A XI-A

    Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD)

    Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.

    1

  • Instruc\iuni de utilizare

    Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvareaproblemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]iprobleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a,ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul deBacalaureat.

    Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte:Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce

    cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare.Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din

    urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiulfunc\iilor cu ajutorul derivatelor.

    Fi]ierul este organizat astfel: Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare

    Enun\uri Rezolv`ri

    Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic` Enun\uri Rezolv`ri

    Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [nparalel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` amnotat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]iprobleme (coloana scris` cu albastru).

    Modul de utilizare a fi]ieruluiPentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui

    anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel,dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de exerci\ii de la o anumit` tematic`, estesuficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana Enun\uri exerci\ii ]i problemepropuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz`]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la paginacorespunz`toare.

    Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`,ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme.

    O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cus`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni.

    V` dorim mult succes la matematic`

    AURORII

    2

  • CUPRINSPARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare

    Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.

    propuse [n manual

    pag.

    manual

    Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.

    Capitolul 1. Matrice1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,

    mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Opera\ii cu matrice . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . . 71.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . . . 9

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    Capitolul 2. Determinan\i2.1. Determinantul unei matrice p`tratice

    de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 132.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n

    geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare3.1. Matrice inversabile din Mn( )C| . . . . . . 19

    3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . . 21

    3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 22

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 26Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 27

    7

    1424243234

    37

    52

    6264

    66

    7074909697

    Capitolul 1. Matrice1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,

    mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . . 301.2. Opera\ii cu matrice. . . . . . . . . . . . . 33

    1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . 331.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . . 38

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    Capitolul 2. Determinan\i2.1. Determinantul unei matrice p`tratice

    de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 542.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n

    geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare3.1. Matrice inversabile din Mn( )C| . . . . . . 73

    3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . . 80

    3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 83

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 102Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 106

    PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`

    Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.

    propuse [n manual manual

    pag.

    manual

    Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.

    Capitolul 1. Limite de func\ii1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . . 112

    1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . . 114

    1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . . 116

    1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . . 1181.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor

    de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201.6.4. Limite fundamentale [n calculul

    limitelor de func\ii . . . . . . . . . . 1221.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . . 124Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 125

    Capitolul 2. Func\ii continue2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . . . . . . 1272.2. Opera\ii cu func\ii continue . . . . . . . 1292.3. Semnul unei func\ii continue pe

    un interval . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 131

    Capitolul 3. Func\ii derivabile3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . . . . 1333.2. Derivatele unor func\ii elementare . . . . 1353.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . . . . . . 136

    3.3.5 Derivarea func\iilor inverse . . . . . 1383.4. Derivata de ordinul doi . . . . . . . . . . 1393.5 Regulire lui l'Hspital . . . . . . . . . . . 141Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 141

    Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor

    4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 1434.2. Rolul derivatei a doua [n studiul

    func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . . 147Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 148Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 150

    103

    113134140151

    160

    167176177179183187

    191192194202209213220224229230

    235239

    246255256258

    Capitolul 1. Limite de func\ii1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . . 1561.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . . 160

    1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . . 1621.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . . 1651.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor

    de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681.6.4. Limite fundamentale [n calculul

    limitelor de func\ii . . . . . . . . . . 1721.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . . 176Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 185

    Capitolul 2. Func\ii continue2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . . . . . . 1882.2. Opera\ii cu func\ii continue . . . . . . . 1922.3. Semnul unei func\ii continue pe

    un interval . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 200

    Capitolul 3. Func\ii derivabile3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . . . . 203

    3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . . . . . . 2083.3.5 Derivarea func\iilor inverse . . . . . 214

    3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . . . . . . 2193.5 Regulire lui l'Hspital . . . . . . . . . . . 222Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 226

    Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor

    4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 2284.2. Rolul derivatei a doua [n studiul

    func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . . 243

    Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 260Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 264

    3

  • PARTEA I

    ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL

    SISTEME DE ECUA|II LINIARE

    Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice 1.2. Opera\ii cu matrice Exerci\ii ]i probleme Teste de evaluare

    Capitolul 2. Determinan\i13 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Teste de evaluare

    Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare 3.1. Matrice inversabile din Mn ( )C|

    3.2. Ecua\ii matriceale 3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Teste de evaluare Probleme recapitulative

    4

  • PARTEA I.

    Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare

    Capitolul 1. Matrice

    1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice

    Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 14 manual

    Exersare

    E1. S` se scrie o matrice A B C X M M M M3 2 2 2 3 4 2 3, , , ,( ), ( ), ( ), ( )Z Q R C| .

    E2. S` se scrie:a) o matrice