Model Matematic Levitatie

8/6/2019 Model Matematic Levitatie

http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 1/11

Modelul matematic

Scopul sistemului este de a regla curentul prin bobina astfel incat corpul sa fie

sustinut la o distanta fixa fata de capatul de jos al bobinei. Acest lucru este obtinut printr-

o comanda de tip PWM.

Modelul matematic este dat de relatiile:

dt

t di Lt i Rt v

t y

t i g M

dt

t yd M

)()(*)(

)(

)(*

)(2

2

2

+=

−=

(1)

unde:

- y(t) – pozitia bilei in metri

- M= 0.1 Kg este masa bilei

- g = 9.8 m/s2 este acceleratia gravitationala

- R = 50 Ω este rezistenta bobinei

- L = 0.5 H este inductanta bobinei

- v(t) – tensiunea la intrare

- i(t) – curentul din bobina

Pozitia bilei este determinata de un senzor de pozitie, un senzor Hall. Presupunem

ca bila se afla in echilibru intr-un punct dintre bobina si sol.

1



In stare libera ecuatiile (1) devin:

)(1

)()(

)(

)()(

)()(

33

1

2

32

21

t v L

t x L

R

dt

t dx

t xM

t x g

dt

t dx

t xdt

t dx

∗+∗−=

∗−=

=

(2)

unde:

−=

−=

−=

b o b ind inc u r e n tu lu ie n s i t a t e at it x

m a g n e t i cc o r p u lu iv it e z ad t

t d yt x

m a g n e t i cc o r p u lu id e p la s a r e at yt x

i n t)()(

)()(

)()(

3

2

1

(3)

2



Observam ca neliniaritatile apar datorita termenilor )(2

3 t x si)(

1

1 t xdin ecuatia

dt

t dx )(2 .

Prin liniarizarea modelului procesului din ecuatiile (2), presupunand ca bila este

localizata intr-o pozitie initiala )0(1 x = )0( y , putem gasi un sistem liniar prin

calcularea matricii Jacobian in jurul punctului )0( y .

Pentru un sistem neliniar de forma

=

=•

),(

),(

u xh y

u x f x, modelul liniarizat este dat de

∗+∗=

∗+∗=•

u D xC y

u B x A x(4)

unde

u

h D

x

hC

u

f B

x

f A

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

(5)

Matricea Jacobian necesara liniarizarii sistemului o putem calcula in Matlab

utilizand urmatoarele comenzi:

f=sym(‘x2, g-x3^2/(M*x1), (-R*x3)/L+v/L’)

h=sym(‘x1, x2, x3’)

J=jacobian(f,h)

3



Vom obtine:

−

∗

∗−

∗=

L

R

yM

x

yM

x J

00

)0(

20

)0(

0103

2

2

3(6)

Dar sistemul trebuie sa fie in echilibru deci acceleratia sa fie nula, 0)(2 =

dt

t dx,

vom obtine g yM x ∗∗= )0(23 (7)

Astfel reprezentarea liniara in spatiul starilor a sistemului cu suspensie magnetica

a unui corp magnetic este data de ecuatiile:

)(1

)()(

)()0(

2)()0(

)(

)()(

33

312

21

t v L

t x L

R

dt

t dx

t x yM

g t x

y

g

dt

t dx

t xdt

t dx

∗+∗−=

∗∗

∗−∗=

=

(8)

Vom scrie ecuatiile (8) sub forma matriciala:

u

L x

x

x

L

R

yM g

y g

x

x

x

∗

+

∗

−

∗∗−=

•

•

•

10

0

00

)0(20

)0(

010

3

2

1

3

2

1

4



[ ]

∗=

3

2

1

001

x

x

x

y

Pentru urmatoarele calcule facute cu Matlab vom considera urmatoarele date

initiale:

%valori de intrare

M=0.1;

g=9.8;

R=50;

L=0.1;

y0=0.03;

%matricile sistemului

A=[0 1 0;

g/y0 0 -2*sqrt(g/(M*y0));

0 0 -R/L];

B=[0; 0; 1/L];

C=[1 0 0];

D=[0];

A =

0 1.0000 0326.6667 0 -114.3095

0 0 -500.0000

B =

5



0

0

10

C =

1 0 0

D =

0

Functia de transfer

Vom determina functia de transfer a sistemului utilizand Matlab.

[num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

num =

1.0e+003 *

0 0 0.0000 -1.1431

den =

1.0e+005 *

0.0000 0.0050 -0.0033 -1.6333

h1=tf(num,den)

Transfer function:

6



1.29e-011 s - 1143

-----------------------------------

s^3 + 500 s^2 - 326.7 s - 1.633e005

Raspunsul la impuls

impulse(num,den)

Raspunsul la treapta unitara

7



step(num,den)

Harta poli-zerouri in bucla deschisa

sys=ss(A,B,C,D)

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 326.7 0 -114.3x3 0 0 -500

b =

u1

8



x1 0

x2 0

x3 10

c =

x1 x2 x3

y1 1 0 0

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

pzmap(sys)

9



Sau:

poli=eig(A)

poli =

18.0739

-18.0739

-500.0000

Unul din polii sistemului este in jumatatea dreapta a planului ceea ce inseamna casistemul este instabil in bucla deschisa.

Locul radacinilor

rlocus(sys)

10



Modelul Simulink pentru raspuns la treapta in bucla deschisa

Raspunsul sistemului vizualizat la osciloscop:

11

Documents

Model Matematic Levitatie