Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 4

a) Câte progresii aritmetice de numere naturale cu primul termen 1 conţin numărul 45001 ?

b) Arătaţi că nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii pătrate

perfecte.

Mihai Piticari, Vladimir Cerbu

Soluţie :

a) Fie 1n n

a

o progresie aritmetică de numere naturale cu raţia r, 1 1a şi 45001ma .

Cum *1 ,n na a r n rezultă 2 1 0r a , deci *r .

Cum 1 1ma a m r rezultă 1 45000m r , deci r este divizor al lui 45000.

Dar 3 2 445000 2 3 5 , deci numărul 45000 are 3 1 2 1 4 1 60 divizori.

În concluzie sunt 60 de progresii cu proprietatea cerută.

b) Prin reducere la absurd, să presupunem că există o progresie aritmetică neconstantă de

numere naturale, 1n n

a

cu toţi termenii pătrate perfecte. Atunci există un şir strict crescător de

numere naturale 1n n

x

cu 2 *,n na x n . Fie r raţia progresiei. Ca la pct. a) obținem *r .

Din *1 ,n na a r n , rezultă că 1 1n n n nx x x x r adică 1n n nx x d și

1n n nx x s , cu şi n nd s divizori ai lui r. Cum r are un număr finit de divizori, rezultă că există doi

divizori d şi s ai lui r şi o infinitate de valori n, *n , pentru care 1n nx x d și 1n nx x s .

Atunci 2

n

s dx

pentru o infinitate de valori n, *n , ceea ce contrazice faptul că şirul

1n nx

este strict crescător.

În concluzie nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii

pătrate perfecte.