Fundamento Da Matematic Ifro A

Noes e proposies primitivas

I. Noes primitivas 1. As noes (conceitos, termos, entes) geomtricas so estabelecidas por meio de definio.

As noes primitivas so adotadas sem definio.

Adotaremos sem definir as noes de:

ponto, reta e plano

De cada um desses entes temos conhecimento intuitivo, decorrente da expe-rincia e da observao.

2. Notao de ponto, reta e plano

Com letras:

Ponto- letras latinas maisculas: A, B, C, ...

Reta - letras latinas minsculas: a, b, c, ...

Plano - letras gregas minsculas: a, ~ . y, .. .

Cl I l= o o ...-.M e.~ .:.,.....t-,..-,~ rio. f\J1:::st-:Pm~t":ir~ I=IPrnPnt"::::ar

-

Graficamente:

p

('(

O ponto P. A reta r. O plano a.

II. Proposies primitivas

3. As proposies (propriedades, afirmaes) geomtricas so aceitas mediante demonstraes.

As proposies primitivas ou postulados ou axiomas so aceitos sem de-monstrao.

Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o ponto, a reta e o plano.

4. Postulado da existncia

a) Numa reta, bem como fora dela, h infinitos pontos. b) Num plano h infinitos pontos.

A expresso " infinitos pontos" tem o significado de "tantos pontos quanto quisermos" .

A figura ao lado representa uma reta r e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que:

A, B e P esto em r, ou seja, a reta r passa por A, B e P, e indicamos

A E r, 8 E r, P E r; R, S e M no esto em r, ou seja, r

no passa por R, S e M, e indicamos R ~ r, S ti r, M ti r.

R M

5

F1 Jnrl;::u-nPnt":n~ rlo f\ll.o't-c.~6t-i ..-. ~ CJ............................................. 1 r-.

5. Posies de dois pontos e de ponto e reta

Dados dois pontos A e B, de duas uma: ou A e B so coincidentes ( o mesmo

ponto, um s ponto, com dois nomes: A e B) ou A e B so distintos.

uma: Dados um ponto P e uma reta r, de duas

ou o ponto P est na reta r (a reta r passa por P)

PEr ou o ponto P no est na reta r (a reta r no passa por P)

P ti r

A. B (A= B)

. .

A B

(A =t= B)

(PEr)

(P ti r)

6. Pontos colineares so pontos que pertencem a uma mesma reta.

A B C r

Os pontos A, B e C so colineares.

7. Postulado da determinao Da reta

R T 5 s

Os pontos R, S e T no so colineares.

Dois pontos distintos determinam uma nica (uma, e uma s) reta que passa por eles.

Os pontos A e B distintos determinam a ~

reta que indicamos por AB. ~ (A =t= B, A E r, B E r) ~ r = AB

A expresso "duas retas coincidentes" equivalente a "uma nica reta".

8 I Fundamentos de Matemtica Elementar

A B

r= As

..

Do plano

Trs pontos no colineares determinam um nico plano que passa por eles.

Os pontos A, B e C no colineares de-terminam um plano a que indicamos por (A, B, C).

O plano a o nico plano que passa por A, B e C.

8. Postulado da incluso

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, ento a reta est contida nesse mesmo plano.

~ ot

(A i= 8, r = AS, A E a, B E a) ~ r C a +-?

Dados dois pontos distintos A e B de um plano, a reta r = AB tem todos os pontos no plano.

9. Pontos coplanares so pontos que pertencem a um mesmo plano. Figura qualquer conjunto de pontos. Figura plana uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano. A Geometria Plana estuda as figuras planas.

10. Retas concorrentes Definio

Duas retas so concorrentes se, e so-mente se, elas tm um nico ponto comum.

r n s = {P}

~ ~ Fundamentos de Matemtica Elementar I 8

Existncia

Usando o postulado da existncia (item 4), tomemos uma reta r, um ponto P em r (P E r) e um ponto Q fora de r (Q f!:. r).

Os pontos P e Q so distintos, pois um deles pertence a r e o outro no.

Q

Usando o postulado da determinao da reta (item 7), consideremos a reta s +-?

determinada pelos pontos P e Q (s = PQ ). As retas r e s so distintas, pois se coincidissem o ponto Q estaria em r (e ele

foi construdo fora de r), e o ponto P pertence s duas. Logo, r e s so concorrentes.

..

EXERCICIOS

1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Por um ponto passam infinitas retas. b) Por dois pontos distintos passa uma reta. c) Uma reta contm dois pontos distintos. d) Dois pontos distintos determinam uma e uma s reta. e) Por trs pontos dados passa uma s reta.

2. Classifique em verdadeiro (V) ou fa lso (F): a) Trs pontos distintos so sempre colineares. b) Trs pontos distintos so sempre coplanares. c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma s reta. e) Trs pontos pertencentes a um plano so sempre colineares.

O I I= tnrl~rru=~nr:n~ rlP M~t':FHTHfrt:ir:~ Elementar ..

3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A distinto de B, ento existe

uma reta a tal que A E a e B E a. b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P distinto de Q,

e P e Q pertencem s retas r e s, ento r = s. c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A dis-

tinto de B, com A E r e B E r. d) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B E r.

4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo trs deles colineares, quantas retas podemos construir?

5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

-

a) Duas retas distintas que tm um ponto comum so concorrentes. b) Duas retas concorrentes tm um ponto comum. c) Se duas retas distintas tm um ponto comum, ento elas possuem um

nico ponto comum.

"''

Funda m e n to M ""t-:c:a l""' I Cl

Conceitos

Segmento de reta

11. A noo "estar entre" uma noo primitiva que obedece aos postulados (ou axiomas) que seguem:

A p B

Quaisquer que sejam os pontos A, B e P:

19) Se P est entre A e B, ento A, B e P so colineares; 29) Se P est entre A e B, ento A, B e P so distintos dois a dois; 39) Se P est entre A e B, ento A no est entre P e B nem B est entre A e

P; e ainda

49) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A distinto de B, ento existe um ponto P que est entre A e B.

q I F1 nrlRmP.ntonR dP. Matemtica Elementar

-

12. Segmento de reta - definio

Dados dois pontos distintos, a reunio do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que esto entre eles um segmento de reta.

Assim, dados A e B, A =I= B, o segmento de reta AB (indicado por AB) o que segue:

X A B A B

AB = {A, B} u {X I X est entre A e B}

Os pontos A e B so as extremidades d~egmento AB e os pontos que esto entre A e B so pontos internos do segmento AB. _

Se os pontos A e B coincidem (A = 8), dizemos que o segmento AB um seg-mento nulo.

13. Semirreta - definio

Dados dois pontos distintos A e B, a reunio do segmento de reta AB com o co~unto dos pontos X tais que B est entre A e X a semirreta AB (indicada por AB). --......

---> O ponto A a origem da semirreta AB:

A B X

AB = AB U {X I B est entre A e X} ---> --->

Se A est entre B e C, as semirretas AB e AC so ditas semirretas opostas.

AB AC

B A C

FunrlArnP.nt";n!=; riR MRt":Rrn~t-:ir:R I=IPmPnT.:::::.~ I q

)

, . ,~ , ,....

14. Resumo Considerando dois pontos distintos A e B, temos:

~ A reta AB: A B

O segmento AB: A B

---> a' A semirreta AB (ou Aa'):

A B

---> A semirreta oposta a AB (ou a" semirreta Aa"): A

---> a" A semirreta BA (ou Ba"):

A B

---> A semirreta oposta a BA (ou semirreta Ba'):

a'

B -

semirreta Aa" semirreta AB = Aa' a" B a'

a segmento AB

semirreta BA = Ba" semirreta Ba'

---> ---> Notamos ainda que: AB = AB n BA.

15. Segmentos consecutivos Dois segmentos de reta so consecutivos se, e somente se , uma extremidade

de um deles tambm extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro).

B ~ A M N p A c s -- -- --

AB e BC so MN e NP so RS e ST so consecutivos consecutivos consecutivos

0 I J;=:, ,,.....,,.-.1 ..::::. .-.-.o=o.-.t-.-..-. ,-.1..-. f\11 .... t-..-..-...... .!.+-r-. .-. Cl ...... .-.......-..-.t- .-. .....

--

!VII-- 1 '1 r r 1lil ' ,.."' . - eT~-ca

16. Segmentos colineares Dois segmentos de reta so colineares se, e somente se, esto numa mes-

ma reta .

A B C D M N p R T 5

AB e CD so colineares MN e NP so colineares RS e ST so colineares (no so consecutivos) (e consecutivos) (e consecutivos)

17. Segmentos adjacentes Dois segmentos consecutivos e colineares so adjacentes se, e somente se,

possuem em comum apenas uma extremidade (no tm pontos internos comuns).

M N p

--MN e NP so adjacentes (so consecutivos colineares, tendo

somente N comum)

MN n NP = {N}

R T 5

--RS e ST no so adjacentes (so consecutivos colineares e alm

de S tm outros pontos comuns)

RS n ST = ST

18. Congruncia de segmentos A congruncia (smbolo: =) de segmentos uma noo primitiva que satisfaz

os seguintes postulados: --

1'-') Reflexiva. Todo segmento congruente a si mesmo: AB = AB. -- --

2'-') Simtrica. Se AB = CO, ento CO = AB. ---

3'-') Transitiva. Se AB = CO e CO = EF, ento AB = EF.

/ c ~ E F A

... C:: , ,,.... M '='>ro-.~,......-,....,= MC'I 1\ll =t-com-:f.t-ir-.~ ::lcorY"'Or'lt-Oro I q

49) Postulado do transporte de segmentos

Dados um segmento AB e uma semirreta de origem A', existe sobre esta semirreta um nico ponto B' tal que A'B' seja congruente a AB.

A B

~ ~

19. Comparao de segmentos

Dados dois segmentos, AB e CD, pelo postulado do transporte, podemos obter ~ --

na semirreta AB um ponto P tal que AP = CO. Temos trs hipteses a considerar:

H) 2~ ) 3 ~ ) c D C D C D

A\\ CO A\\ CO A\ CO P B=P p

B

AB > CO AB =CO AB < CO

- -1~ ) O ponto P est entre A e B. Neste caso, dizemos que AB maior que CD (AB > co). 2~) O ponto P coincide com B, caso em que AB congruente a CO (AB = co).

- -3~ ) O ponto B est entre A e P. Neste caso, dizemos que AB menor que CO (AB < co).

rl r-.~ -'-- ----- -'- 1\ ... _ ....... ___ .L ...

Sct:lM liN T'O O b HL I A" - - --

20. Adio de segmentos - -Dados dois segmentos AB ~D. tomando-se numa semirreta qualquer de ori-

gem R os segmentos adjacentes RP e PT tais que RP = AB e PT = CD,

dizemos que o segmento RT a soma de AB com CD.

8

~ c

~ RP "" AB - -

PT ""' CD R p T

--RT = AB + CD e tambm RT = RP + PT

O segmento RS, que a soma de n segmentos congruentes a AB, mltiplo de AB segundo n (RS = n AB). Se RS = n AB, dizemos que AB submltiplo de RS segundo n.

A B RS = 5 AB -

R 5

21. Ponto mdio de um segmento Definio

Um ponto M ponto mdio do segmento AB se, e somente se, M est entre A e B e AM = MB.

ME AB e MA = MB A M B

Unicidade do ponto mdio

Se X e Y distintos (X * Y) fossem pontos mdios de AB, teramos:

AX = XB (1) e AY = YB (2)

A X y B A y X B

~ .-- - - -------- - - -'- 1\ ,.._.._ __ .._;_,...., Cl.-.~.-....-.~.-..-. I 0

~

X est entre A e Y ~ AY > AX e

Y est entre X e B ~ XB > YB

Y est entre A e X~ AX > AY e

X est entre Y e B ~ YB > XB

) ~ ) ~

Logo, o ponto mdio de AB nico.

AY > AX = XB > YB, o que absurdo, de acordo com (2)

ou

AX > AY = YB > XB, o que absurdo, de acordo com (1)

A existncia do ponto mdio est provada no item 56.

22. Medida de um segmento- comprimento A medida de um segmento AB ser indicada por m(AB) ou simplesmente por AB. A medida de um segmento (no nulo) um nmero real positivo associado ao

segmento de forma tal que:

19) Segmentos congruentes tm medidas iguais e, reciprocamente , segmen-tos que tm medidas iguais so congruentes.

AB = CD ~ m(AB) = m(CD) 29) Se um segmento maior que outro, sua medida maior que a deste outro.

AB > CD ~ m(AB) > m(co) 39) A um segmento soma est associada uma medida que a soma das me-

didas dos segmentos parcelas.

RS = AB + CD ~ m(Rs) = m(AB) + m(CD) medida de um segmento d-se o nome de comprimento do segmento. Em geral, associa-se um nmero (medida) a um segmento estabelecendo a

razo (quociente) entre este segmento e outro segmento tomado como unidade. O segmento unitrio usual o metro (smbolo m). Seus mltiplos- decmetro

(dam), hectmetro (hm) e quilmetro (km) - ou submltiplos - decmetro (dm), centmetros (em) e milmetro (mm)- tambm so utilizados.

23. Nota A congruncia , a desigualdade e a adio de segmentos, aliadas ao postulado

de Eudxio-Arquimedes (Eudxio: 408-355 a.C.; Arquimedes: 278-212 a.C.), cujo enunciado :

R I Ft tnrlArnP.nlcnR riR Mrt!cP.rnRr.ir.rt FIP.rnP.nlcrtr

---. - . - --- - .. . SCG

"dados dois segmentos, existe sempre um mltiplo de um deles que supera o outro", permitem-nos estabelecer a razo entre dois segmentos quaisquer. Podemos ento medir um deles tomando o outro como unidade de comprimento.

24. Distncia entre dois pontos

Distncia geomtrica

Dados dois pontos distintos, A e B, a distncia entre A e B (indicada por dA, 8) o segmento AB ou qualquer segmento congruente a AB.

A

Distncia mtrica

Dados dois pontos distintos, A e B, a distncia entre A e B a medida (compri-mento) do segmento AB.

Se A e B coincidem , dizemos que a distncia geomtrica entre A e B nula e a distncia mtrica igual a zero.

EXERCCIOS 6. Se o segmento AB mede 17 em, determine o valor de x nos casos:

a) A P B c) A P B

b) p B

..

'-.----'

X

-v-------''-------.------ '---v~ X 7 em X + 3 X

A x-3 d) A B p

21 em 2x

Fundamentos de Matemtica Elementar I 9

7. Determine x, sendo M ponto mdio de AB:

a) A M B b) A M B '--v---'

2x - 3 '-----v-x + 4 '--v----''~----~.--

9 2x- 3

8 . Determine PQ, sendo AB = 31: x- 1

a) A~P Q B b) A p B Q 2x '-v-----' X + 1

'--v---' '---v----' '----v--' X 11 X + 1

9. Determine AB, sendo M ponto mdio de AB:

a) A M B '--v---'

2x - 5 '-----v--x + 8

b) A M B P X

4x- 5

'----v--' X + 7

10. Quantas semirretas h numa reta, com origem nos quatro pontos A, B, C e D da reta?

11. Quantos segmentos distintos podem determinar trs pontos distintos de uma reta?

12. Quantos segmentos passam pelos pontos A e B distintos? Quantos h com extremidades A e B?

13. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Se dois segmentos so consecutivos, ento eles so colineares. b) Se dois segme-ntos so colineares, ento eles so consecutivos. c) Se dois segmentos so adjacentes , ento eles so colineares. d) Se dois segmentos so colineares , ento eles so adjacentes. e) Se dois segmentos so adjacentes, ento eles so consecutivos. f) Se dois segmentos so consecutivos, ento eles so adjacentes.

14. O segmento AB de uma reta igual ao quntuplo do segmento CD dessa mes-ma reta. Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento CD.

~

I ==JVIC T ... TO-clt:"',..,.,., -- -- -- -----. - - . -

15. P, A e B so trs pontos distintos de uma reta. Se P est entre A e B, que rela-o deve ser vlida entre os segmentos PA, PB e AB?

16. P, Q e R so trs pontos distintos de uma reta. Se PQ igua~ triplo de QR e PR = 32 em , determine as medidas dos segmentos PQ e QR.

Soluo Temos duas possibilidades:

1' ) Q est entre P e R

3x x

p R ~------~~ I

32

3X + X = 32 => X = 8 PQ = 24 QR = 8

2' ) R est entre P e Q

32 X

P=----==~ R Q 3x

3X = 32 + X => X = 16 PQ = 48 QR = 16

Resposta: PQ = 24 em e QR = 8 em ou PQ = 48 em e QR = 16 em.

17. Os segmento~B e BC , BC e CO so adjacentes, de tal maneira que AB o triplo de BC, BC o dobro de CO, e AO = 36 em. Determine as medidas dos

---

segmentos AB, BC e CO.

18. Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta r, nessa ordem. Se PA e QB so segmentos congruentes , mostre que PQ e AB so congruentes.

19. Se A, B e C so pontos colineares , determine AC , sendo AB = 20 em e BC= 12 em.

20. AB e BC so dois segmentos adjacentes. Se AB o quntuplo de BC e AC = 42 em, determine AB e BC.

21. Sendo AB e BC segmentos colineares consecutivos, AB o qudruplo de BC e AC = 45 em , determine AB e BC.

22. Numa reta r , tomemos os segmentos AB e BC ~um ponto P de modo que AB seja o quntuplo de PC~C seja o qudruplo de PC e AP = 80 em. Sendo Me N os pontos mdios de AB e BC, respectivamente, determine MN.

r:::: ~ ....J.-....-.-..-..-.--..-. ~- r\ 11 .-..+-.-. ........... ..!.+-;.-. .-. t:: l ..-. ............ ..-. .-.+- ..... .-. I O

23. Sejam quatro pontos,_&_ B, C, O, dispostos sobre uma mesma reta r, nessa or-dem, e tais que AB e CO sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AO e BC tm o mesmo ponto mdio.

24. Sejam quatro pontos, A, B, C, D, dispostos sobre uma mesma reta, ness~rdem, e tais que AC e BD sejam congruente~Demonstre que os segmentos AB e CO so congruentes e que os segmentos BC e AO tm o mesmo ponto mdio.

25. Sejam M e N os pontos mdios, respectivamente , dos segmentos AB e BC , contidos numa mesma reta, sendo AB = BC , com A =I= C. Demonstre que MN congruente a AB .

26. Dados t rs pontos, A, B, C, sobre uma mesma reta , consideremos MeNos pon-tos mdios dos segmentos AB e BC_:__!)emonstre que MN igual semissoma ou semidiferena dos segmentos AB e BC .

27. Seja AB um segmento de reta eM o seu ponto mdio. Consideremos um ponto P entr~s pontos M e B. Demonstre que PM dado pela semidiferena positiva entre PA e PB.

Soluo Indicando a medida de AB por 2a e a de PM por x, temos:

X

A M B

a a

PA = a + x } PA _ PB = 2 = PA - PB PM = PA - PB PB = a - x => x => x 2 => 2

28. Consideremos sobre~ma reta r um segment~ixo AB e um ponto mvel P. Seja Mo ponto mdio de APeNo ponto mdio de BP. O que podemos dizer a respeito do segmento MN?

8 I Fundamentos d e M a temtica Ele m e n ta r

.....

Angulos

I. Introduo 25. Regio convexa

Um conjunto de pontos L convexo (ou uma regio convexa) se , e somente se, dois pontos distintos quaisquer, A e B, de L so extremidades de um segmento AB contido em L, ou se L unitrio, ou se L vazio.

Exemplos: 19) Uma reta r um conjunto de pontos convexo , pois

A B

'tiA, 't/B, 't/ r (A 1= B, A E r, B E r =:::} AB C r)

29) Um plano a uma ~gio convexa, pois, se A e B so dois pontos distintos de a, o segmento AB est contido em a .

A B

C<

't/A, '1:/B, 't/a (A 1= B, A E a, B E a=:::} AB C a=:::} AB C a )

.. Fundamentos de Matemtica Elementar I 8

39) Um segmento de reta tambm uma figura convexa:

R A B 5

'tiA, 't/B, 't/RS (A 1= B, A E RS, B E RS =:::} AB C RS)

49) Temos a seguir trs figuras ainda no definidas que so convexas:

L.1 L.2 L.3

AB C L.1 regio convexa

AB C L.2 conjunto de pontos convexo

AB C L.3 figura convexa

26. Se uma regio no convexa, ela uma regio cncava. Exemplos:

L.' L."

AB rt L.' AB rt L." L.' cncava L." cncava

q I ~. ,....,n :::;) ~c:~....,r.-.~ ..-lc. 1\11 = 1- .:..-.-.+-ir--_..., t::lo=......-.o=.-.+- .............

L' ..

AB rt L."' L."' cncava

....

"""'"

27. Postulado da separao dos pontos de um. plano Uma reta r de um plano a separa este plano em dois conjuntos de pontos, a'

e a ", tais que:

a) a' na"= 0 b) a' e a" so convexos. c) A E a', B E a" ~ AB n r i= 0

Os pon~os de a que no pertencem reta r formam dois conjuntos tais que: cada um deles convexo; se A pertence a um deles e B pertence ao outro, ento o segmento AB inter-cepta a reta r.

28. Sem.iplano- definio Cada um dos dois conjuntos (a' e a") chamado semiplano aberto. Os conjuntos r U a' e r U a " so semiplanos. A reta r a origem de cada um dos semiplanos. a' e a" so semiplanos opostos.

D. Definies 29. Chama-se ngulo reunio de duas semirre-tas de mesma origem, no contidas numa mesma reta (no colineares).

- ---7 ---7 AOB = OA U OB O ponto O o vrtice do ngulo.

---7 ---7 As semirretas OA e OB so os lados do ngulo.

o

AB = ab = a-b

30. Interior do ngulo AB a interseo de dois semiplanos abertos, a saber:

a1 , com origem na reta OA e que contm o ponto B;

~1 , com origem em OB e que contm o ponto A. Interior de AB = a 1 n ~1

a

b

l=1 nrlQm~nt-:nc::: rl~ I\/1Qf":Prn~t-:ir.~ FIPrru:::ont"::::::~r I q

'

O interior de um ngulo convexo. Os pontos do interior de um ngulo so pontos internos ao ngulo. A reunio de um ngulo com seu interior um setor angular ou ngulo comple-

to e tambm conhecido por "ngu lo convexo " .

~ ---a1

.\ o: ,

; .. . 132

A _._,, . ,., ... -'

,'

. o ,,,'' o:,

.

33. ngulos adjacentes c

Dois ngulos consecutivos so adja-centes se, e somente se, no tm pontos internos comuns. 0~~----------~---

AB e BC so ngu los adjacentes.

34 . .ngulos opostos pelo vrtice (o.p.v.) Dois ngulos so opostos pelo vrti-

ce se, e somente se, os lados de um deles so as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

1~) A semirreta d' interna a b (d' tem pontos internos a b). Neste caso, dizemos que b maior que d {b > c-d).

2~) A semirreta d' coincide com b ( =S). Neste caso, b congruente a c-d ( b = c-d) . 3~) A semirreta d' externa a b. Neste caso, dizemos que b menor que d

{b < d).

37. Adio de ngulos

Se a semirreta Ob interna ao ngulo ac, o ngulo ac soma dos ngulos ab e bc.

c = b + bc

c

b

o a

Dados dois ngulos, b e c-d, se existem rs = b e st = d tais que s interna a rt, dizemos que o ngulo rt a soma de b e c-d.

a d t c

rt = b + cd rt = rs + st

o ngulo rs que soma de n ngulos b , se existir, chamado mltiplo de b segundo n {rs = n b).

Se b = n c-d, dizemos que c-d submltiplo de b segundo n.

(s = 4 ab

~ a


38. Bissetriz de um ngulo Definio

Uma semirreta Oc interna a um ngulo ab bissetriz do ngulo ab se, e somente se, ac = bc.

b

o

a

A bissetriz de um ngulo uma semirreta interna ao ngulo, com origem no vrtice do ngulo e que o divide em dois ngulos congruentes.

Unicidade da bissetriz

Se Ox e Oy distintas (Ox i= Oy) fossem bissetrizes de ab, teramos: ax = bx (1) e ay = by (2)

b

0~ 11 .. o

a

Ox interna a ay ::::} y > x = x-b > ib

b

a

~ > ~X} \g e o que absurdo, de acordo com (2) Oy interna a xb ::::} xb > yb

ou

Oy interna a ax ::::} ~x > ~} ~ x > y = yb > xb e o que absurdo, de acordo com (1) Ox interna a yb ::::} yb > xb Logo, a bissetriz de um ngulo nica.

A "existncia " da bissetriz est provada no item 57 .

R I Ft tnrlRmRnronR riR MRroRmr.ir.a Eleme ntar

IV. ngulo reto, agudo, obtuso -Medida 39. ngulo suplementar adjacente

Dado o ngulo AB, a semirreta OC oposta semirreta OA e a semir-

-reta OB determinam um ngulo BOC que se chama ngulo suplementar adjacente ou suplemento adjacente de AB.

40. ngulos: reto, agudo, obtuso

c

B

o

ngulo reto todo ngulo congruente a seu suplementar adjacente. ngulo agudo um ngulo menor que um ngulo reto. ngulo obtuso um ngulo maior que um ngulo reto .

b f

d

a c

b reto. c-d agudo. f obtuso.

41. Medida de um ngulo - amplitude

A medida de um ngulo AB ser indicada por m(AB).

A

e

A medida de um ngulo um nmero real positivo associado ao ngulo de forma tal que:

1 9) ngulos congruentes tm medidas iguais e, reciprocamente, ngulos que tm medidas iguais so congruentes. AB = CPD ~ m(AB) = m(CPD)

29) Se um ngulo maior que outro, sua medida maior que a deste outro. AB > CPD ~ m(AB) > m(CPD)

Fundamento s de M a t e m r.ir.a ElemP.nt;Ar I R

39) A um ngulo soma est associada uma medida que a soma das medidas dos ngulos parcelas.

rt = b + c-d => m(rt) = m(b) + m(cd) medida de um ngulo d-se o nome de amplitude do ngulo. Em geral, associa-se um nmero a um ngulo estabelecendo a razo (quocien-

te) entre este ngulo e outro ngulo tomado como unidade.

42. Unidades de medida de ngulos ...

ngulo de um grau (1 ) o ngulo submltiplo segundo 90 (noventa) de um ngulo reto.

_ ngu lo reto angulo de um grau = -'"'--=--=-

Um ngulo reto tem 90 graus (90). A medida de um ngulo agudo menor que 90 (um ngulo agudo tem menos

de 90). A medida de um ngulo obtuso maior que 90 (um ngulo obtuso tem mais

de 90). A medida a de um ngulo tal que:

0 < Ci < 180

ngulo de um minuto (1') o ngulo submltiplo segundo 60 (sessenta) do ngulo de um grau.

Um grau tem 60 minutos (60 ').

10 1 ' = 60

ngulo de um segundo (1") o ngulo submltiplo segundo 60 (sessenta) do ngulo de um minuto.

1' 1 " = 60

Um minuto tem 60 segundos (60"). ngulo de um grado (1 gr) o ngulo submltiplo segundo 100 (cem) de um

ngulo reto. _ ngu lo reto angulo de um grado = . __

Dos submltiplos do grado, dois se destacam: o centgrado (0,01 gr), tambm chamado minuto de grado;

o decimiligrado (0,0001 gr). tambm chamado segundo de grado .

8 I Fundamentos de Matemtica Elementar ..

43 . .ngulos complementares e ngulos suplementares Dois ngulos so complementares se, e somente se, a soma de suas medidas

90. Um deles o complemento do outro. Dois ngulos so suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas

180. Um deles o suplemento do outro.

44. .ngulo nulo e ngulo raso Pode-se estender o conceito de ngulo para se ter o ngulo nulo (cujos lados

so coincidentes) ou o ngulo raso (cujos lados so semirretas opostas). Ento, a medida a de um ngulo tal que

0 :% a :% 180

EXERCCIOS 29. Simplifique as seguintes medidas:

a) 3070' b) 45150' c) 6539 '123"

30. Determine as somas: a) 3040' + 1535' b) 1030'45" + 1529 '20"

31. Determine as diferenas: a) 2050 '45" - 545'30" b) 3140' - 2045 '

32. Determine os produtos: a) 2 x (1035'45")

33. Determine as divises: a) (4648'54" ) : 2 b) (3132 '45") : 3

d) 11058'300" e) 3056'240"

c) 9015'20" - 4530 '50" d) 90 - 5030'45"

b) 5 X (615'30")

c) (5263'42") : 5


34. Determine o valor de x nos casos:

a) 30

c) e) ~ Av + 300 2x'K\ X

b) d)

X X

35. Oa e Ob so duas semirretas colineares opostas. Oc uma semirreta qualquer. Os ngulos ac e cb so adjacentes? So suplementares?

36. Demonstre as proposies a seguir.

Se dois ngulos so opostos pelo vrtice, ento eles so congruentes.

Dois ngulos o.p.v. so congruentes.

Soluo

AB e CO so o.p.v.

Hiptese

Demonstrao:

~ AB =CO ~

Tese

Considerando AB de medida x e CO de medida y opostos pelo vrtice e o ngulo BC de medida z, temos:

X+ Z = 180) Y + z = 180 ~ x = Y ~ AB = CO


c B

D A

37. Determine o valor de x nos casos:

a) b)

2x - 10 X + 20

38. Determine o valor de a nos casos:

a) b) C)

4x - 2y

X + 35o X + y 2x - Y

Ot = X + 40 ()[ ()[

-----'; -39. Se OP bissetriz de AOB, .determine x nos casos:

a) b) A

0 -.E---+-------- p p

B o A

40. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Dois ngulos consecutivos so adjacentes. b) Dois ngulos adjacentes so consecutivos. c) Dois ngulos adjacentes so opostos pelo vrtice. d) Dois ngulos opostos pelo vrtice so adjacentes. e) Dois ngulos opostos pelo vrtice so consecutivos.


41. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Dois ngulos suplementares so adjacentes. b) Dois ngulos complementares so adjacentes. c) Dois ngulos adjacentes so complementares. d) Os ngulos de medida 10, 20 e 60 so complementares. e) Os ngulos de medida 30, 60 e 90 so suplementares.

42. Os ngulos das figuras a seguir so complementares? So adjacentes?

60

43. Calcule o valor de x no caso abaixo, em que m(rs) = 90.

o

44. A soma de dois ngulos adjacentes 120. Calcule a medida de cada ngulo, sabendo que a medida de um deles a diferena entre o triplo do outro e 40.

45. Calcule o complemento dos seguintes ngulos: a) 25 b) 4JO c) 3J025 '

46. Calcule o suplemento dos seguintes ngu los: a) 72 b) 141 o c) 9315'

47. Dado um ngulo de medida x, indique: a) seu complemento; f) a stima parte do complemento; b) seu suplemento; g) a quinta parte do suplemento; c) o dobro do seu complemento; h) o complemento da sua tera parte ; d) a metade de seu suplemento; i) o triplo do suplemento da sua quinta e) o triplo de seu suplemento; parte .

8 I F1 1ndamentos de M a tRmr.ir.R Elementar

48. D a medida do ngulo que vale o dobro do seu complemento.

49. Determine a medida do ngulo igual ao triplo do seu complemento .

50. Calcule o ngulo que vale o qudruplo de seu complemento.

51. Calcule um ngulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36.

52. Qual a medida do ngulo que excede o seu complemento em 76?

Soluo ngulo~ x complemento ~ 90 - x "ngulo menos complemento igual a 76 ." x - {90 - x) = 76 => 2x = 166 => x = 83 Resposta: O ngulo mede 83.

53. Qual o ngulo que excede o seu suplemento em 66?

54. Determine um ngulo, sabendo que o seu suplemento excede o prprio ngu-lo em 70.

55. Qual o ngulo cuja soma com o triplo do seu complemento 210? 56. Um ngulo excede o seu complemento em 48. Determine o suplemento desse

ngulo.

57. O suplemento de um ngulo excede este ngu lo em 120. Determine o ngulo.

58. O complemento da tera parte de um ngulo excede o complemento desse ngulo em 30. Determine o ngulo.

Soluo ngulo ~ x complemento do ngulo ~ 90 - x

X complemento da tera parte ~ 90 - 3 ( 90 - ~) - {90 - x) = 30 => 2x = 90 => x = 45 Resposta: O ngulo mede 45.

59. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ngulo igual ao triplo do complemento desse ngulo. Determine o ngulo.

!=1 II""''M oo i""'\"""'" eo ,....,+- ........ .--. .-1~ 1\ lt

71. Determine dois ngulos complementares tais que o dobro de um, aumentado da tera parte do outro, seja igual a um ngulo reto.

72. Na figu ra, o ngulo x mede a sexta parte do ngu lo y, mais a metade do ngulo z . Calcu-le o ngulo y.

y

73. Os ngulos a e ~so opostos pelo vrtice. O primeiro expresso em graus por 9x - 2 e o segundo por 4x + 8. Determine esses ngulos.

74. Cinco semirretas partem de um mesmo ponto V, fomando cinco ngulos que cobrem todo o plano e so proporcionais aos nmeros 2, 3 , 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ngulos.

75. Demonstre que as bissetrizes de dois ngulos opostos pelo vrtice so semir-retas opostas.

76. Demonstre que as bissetrizes de dois ngu los adjacentes e suplementares formam ngulo reto.

Soluo Hiptese

rs e st adj_acentes e ) suplementares Ox e Oy respectivas => bissetrizes

Demonstrao:

Tese

-----~ ,/ xy reto , .... .. "'

t o

Sejam a a medida de rx e xs e b a medida de sy e yt. a + a + b + b = 180 => 2a + 2b = 180 => a + b = 90 => xy reto.

77. Demonstre que as bissetrizes de dois ngu los adjacentes e complementares formam um ngulo de 45.

78. Dois ngulos adjacentes somam 136. Qual a medida do ngulo formado pelas suas bissetrizes?

79. As bissetrizes de dois ngulos consecutivos formam um ngulo de 52. Se um deles mede 40, qual a medida do outro?

.. F1 Jnrf;::HTlRnt":n~ rlP l\11:::at":~rn6t-:ir~ l=l~mcnt-::::.ro I O

Tringulos

I. Conceito - Elementos - Classificao

45. Definio Dados trs pontos, A, B e C, no

colineares, reunio dos segmentos AB , AC e BC chama-se tringulo ABC.

Indicao: tringu lo ABC = .6ABC

- - --

A

c b

.6ABC = AB U AC U BC B a C

46. Elementos

Vrtices: os pontos A, B e C so os vrtices do .6ABC. - - -

Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) so os lados do tringulo.

ngulos: os ngulos BC ou , A8C ou 8 e AB ou so os ngulos do .6ABC (ou ngulos internos do .6ABC).

Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ngulos , 8 e so, respectivamente , opostos .

q I l=1 1nrh:~rru::r.nt-:n~ rlP r\/l;:::::rt":Rrn~t:ir.i=l FIF!rnP.nt";Rr ..

4 7. Interior e exterior Dado um tringulo ABC, vamos considerar os semiplanos abertos, a saber:

a 1 com origem na reta BC e que contm o ponto A, a 2 oposto a a1 ,

131 com origem na reta AC e que contm o ponto B, 13 2 oposto a 131 ,

"11 com origem na reta AB e que contm o ponto C, "12 oposto a "1 1 .

13, 'I 'f"' "'": 2

" ..:.. '-'I ...., , . : 1

A~, I\ I \ I \ I \ I \ I \

'Y,"'f 13;\ ... 13, .... "!, \ I \ I \ I \

,' a, \ C o:, a , 81 l_ __ 4 ... t. l' T t .. . , ____ . ,_,_ ... _ ..... ....... _ 1\ "--...... --..!.. - :.-. -. '- ------- ' 1""""1

l:-.ABC equiltero. 6 RST issceles. 6 MNP escaleno.

A R N

B c 5 T M p

Um tringulo com dois lados congruentes issceles; o outro lado chamado base e o ngulo oposto base o ngulo do vrtice .

Notemos que todo tringulo equiltero tambm tringulo issceles.

Quanto aos ngulos, os tringulos se classificam em: retngulos se, e somente se, tm um ngulo reto; acutngulos se, e somente se, tm os trs ngulos agudos; obtusngulos se, e somente se, tm um ngulo obtuso.

c D R

A B E F 5 T

l:-.ABC retngulo em A. 6 DEF acutngulo. 6 RST obtusngulo em S.

O lado oposto ao ngulo reto de um tringulo retngulo sua hipotenusa e os outros dois so os catetos do tringulo.

11. Congruncia de tringulos

49. Definio Um t ringulo congruente (smbolo = ) a outro se, e somente se, possvel

estabelecer uma correspondncia entre seus vrtices de modo que:

O t J::, nrl~rn~nt":nc: rl~ l\11:::.t":~m~t-:ir.~ I=IPrru::~nt": :::::llr

seus lados so ordenadamente congruentes aos lados do outro; seus ngulos so ordenadamente congruentes aos ngulos do outro.

A

B c

(AB = A'B'

6 ABC = 6 A'B'C' {:::} AC = A'C' e BC= B'C'

A'

~ = ~) B = B' ='

A congruncia entre tringulos reflexiva, simtrica e transitiva.

50. Casos de congruncia

C'

A definio de congruncia de tringulos d todas as condies que devem ser satisfeitas para que dois tringulos sejam congruentes . Essas condies (seis con-gruncias: trs entre lados e trs entre ngulos) so totais. Existem "condies m-nimas" para que dois tringulos sejam congruentes. So os chamados casos ou critrios de congruncia.

51. 19 caso - LAL - postulado

Se dois tringulos tm ordenadamente congruentes dois lados e o ngulo compreendido, ento eles so congruentes.

Esta proposio um "postulado" e indica que, se dois tringulos tm ordena-damente congruentes dois lados e o ngulo compreendido, ento o lado restante e os dois ngulos restantes tambm so ordenadamente congruentes.

A A'

B c B' C'

.. ~ .-...-.I=I'""Y""\.::..-.+-,-..= Mo:::. 1\A=+-r'""'II"""'~+-i.-.= a:: J..,. ............ .,. ........... =.... 1 a

Esquema do 19 caso:

A~= ~'B') A =A' - --AC = A'C'

LAL ==> 1

= s 6 ABC = 6 A'B'C' ==> B =~c

C =C'

52. Teorema do tringulo issceles "Se um tringulo tem dois lados congruentes, ento os ngu los opostos a es-

ses lados so congruentes." ou

"Se um tringulo issceles, os n-gulos da base so congruentes."

ou ainda

"Todo tringulo issceles isongulo."

Hiptese Tese

(6 ABC, AB = AC) ==> B =

Demonstrao:

A

B c

Consideremos os tringulos ABC e ACB, isto , associemos a A, B e C, respec-tivamente , A, C e B.

Hiptese ==>

Hiptese ==>

~ - :....:....:.;- ~.:....:..:-; ) ' AB ' = AC I : BC : = : CB : ' _, ,_ '

: AC : = :AB : ----~ ~----~

i i do 6 ABC do 6 ACB

53. 29 caso -ALA

LAL ==> 6 ABC = 6 ACB ==> B =

"Se dois tringulos tm ordenadamente congruentes um lado e os dois n-gulos a ele adjacentes, ento esses tringulos so congruentes."


Os ngulos adjacentes ao lado BC so B e ; os adjacentes ao lado B'C' so B' e '.

A A'= X

c C' C'

Hiptese Tese (8 = B' (1); BC= B'C' (2); = (3)) => 6 ABC = 6 A'B'C'

Demonstrao: --Vamos provar que BA = B'A', pois com isso recairemos no 19 caso.

Pelo postulado do transporte de segmentos (item 18), obtemos na semirreta ~ --B'A' um ponto X tal que B'X = BA (4).

(2) BC = B'C' ) LAL (1) 8 = s => (4) BA = B'X

6 ABC = 6 XB'C' => BA = B''X (5)

Da hiptese (3) BA = B''A', com 15) BA = B''X e com o postulado do trans-~ - ~ porte de ngulos (item 35), decorre que B'A' e C'X = C'A' interceptam-se num nico ponto X= A'.

54.

De X= A', com (4), decorre que B'A' = BA. Ento:

(BA = B'A', B = B', BC = B'C') ~ 6 ABC = 6 A'B'C'

Notas

1~ ) Esquema do 29 caso

8 = 8' ) _ ALA B =~c =>

C =C' l A~= ~'B' => A= A' --AC = A'C' 6 ABC = 6 A'B'C' Fundamentos de Matemtica Elementar I 9

2~ ) Com base no 29 caso (ALA), pode-se provar a recproca do teorema do trin-gulo issceles:

"Se um tringulo possui dois ngulos congruentes, ento esse tringulo issceles."

Considerando um tringulo issceles ABC de base BC, basta observar os trin-gulos ABC e ACB e proceder de modo anlogo ao do teorema direto.

55. 39 caso - LLL

Se dois tringulos tm ordenadamente congruentes os trs lados, ento es-ses tringulos so congruentes.

c C'

~~. A B A" Hiptese

(AB = A'B' (1), AC = A'C' (2), BC = B'C' (3)) =>

Demonstrao: Pelo postulado do transporte de ngu-

los (item 35) e do transporte de segmentos (item 18), obtemos um ponto X tal que:

X'B' = CB (4) --A'X = AC (5)

estando X no semiplano oposto ao de C' em ~

relao reta A'B'. De (5) e (2), vem: --A'X = A'C' (6) Seja D o ponto de interseo de C'X

~ com a reta A'B'.

9 Fundamentos de Matemtica Elementar

A'

Tese

6 ABC = 6 A'B'C'

C'

D

X

B'

..

(1), (4), (5) ~ L.ABC = L.A'B 'X' (7) => XB' = CB XB' = C'B' (8) (6) => L.A'C'X issceles de base C'X => A''X = A'XC' (9) (8) => L.B'C'X issceles de base C'X => B''X = B'XC' (10) Por soma ou diferena de (9) e (10) (conforme D seja interno ou no ao seg-

mento A'B'), obtemos: A''B' = A'XB' (11)

(6), (11) , (8) => L.A'B'C' = L.A'B'X ~ L.ABC = L.A'B'C'

56. Existncia do ponto mdio Dado um segmento de reta AB , usando os

postulados de transporte de ngulos (item 35) e de segmentos (item 18) construmos

CB = OBA - --

AC = DB com C e D em semiplanos opostos em relao

+--7

reta AB.

c

A- , ' ,

, ........

',< ', ',, M

' ' ' ' ' ' '

....... .... .... '~

::., s

D

O segmento CD intercepta o segmento AB num ponto M. Vejamos uma sequn-cia de congruncias de tringulos:

L.CAB = L.DBA (LAL, AB comum) L.CAD = L.DBC (ALA, com soma de ngu los ou pelo caso LLL) L.AMD = L.BMC (ALA)

_Desta ltima congruncia decorre que AM = BM, ou seja , M o ponto mdio de AB.

57. Existncia da bissetriz Dado um ngulo ab, usando o postulado

do transporte de segmentos (item 18) obte-mos A e A' em Oa e B e B' em Ob tais que:

--OA = OB (1) --OA' = OB' (2)

----

com OA' > OA e OB' > OB

b

o c

a


I r-,I ,_., I...,UUL.UQ

-

Seja C o ponto de interseo de AB' com A'B e consideremos a semirre-ta OC = Oc.

Vejamos uma sequncia de congruncias de tringulos: (LAL, ab (comum)) L.AOB' = L.BOA'

L.ACA' = L.BCB' (ALA, ngulos adjacentes suplementares, diferena de segmentos)

L.OAC = L.OBC (LAL) Desta ltima congruncia decorre que AC = BC, ou seja, Oc bissetriz de ab.

58. Mediana de um tringulo - definio Mediana de um tringulo um segmento

com extremidades num vrtice e no ponto m-dio do lado oposto.

M1 o ponto mdio do lado BC. -- -

AM1 a mediana relativa ao lado BC. AM 1 a mediana relativa ao vrtice A.

A

~ B M1 c

59. Bissetriz interna de um tringulo- definio Bissetriz interna de um tringulo o seg-

mento, com extremidades num vrtice e no lado oposto, que divide o ngulo desse vrtice em dois ngulos congruentes .

S1 E BC, S1B = S1C AS1 a bissetriz relativa ao lado BC. AS1 a bissetriz relativa ao vrtice A.

O r;=, or-.~.-.,r-Y"'\ r.::o r-.+-,....,,-- .-I r.::. r\ /1.-.,i-,......r-Y""~~1-.-- ........ Cl..-..,....,....,,....., ...... t-.-. ......

A

~ B 51 c

60. Teorema do ngulo externo ---7

Dado um D.ABC e sendo CX a semirreta ---7

oposta semirreta CB , o ngulo

= AX

o ngulo externo do D.ABC adjacente a e no adjacente aos ngulos e B.

O ngulo o suplementar adjacente de .

Teorema

A

~ B C X

Um ngulo externo de um tringulo maior que qualquer um dos ngulos internos no adjacentes.

Hiptese Tese

(D.ABC, externo adjacente a ) => ( > e > B)

Demonstrao:

Seja Mo ponto mdio de AC e P ~

pertencente semirreta BM ta l que:

e da:

A BM = MP

Pelo caso LAL, D.BAM = D.PMC

BM = PM (1) B

Como P interno ao ngulo = AX, vem: > PM (2). De (1) e (2), decorre que > .

p ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ~

c X

Analogamente , tomando o ponto mdio de BC e usando ngulos opostos pelo vrtice , conclumos que:

> B

--Co o .-.r4 =o ,........., .:. .-. t-r-..~ ,-4 1:'0 1\ A e.i-o=~~ I""T""' +-i,-. e. t=l e. rT""' ..:. .-.t-e.n I O

rT~ IANGU

61. 49 caso de congruncia- LAA0 Se dois tringulos tm ordenadamente congruentes um lado, um ngulo adjacen-

te e o ngulo oposto a esse lado, ento esses tringulos so congruentes.

B

D ,,

'\ = ' \

' \ A ' \ I \

Hiptese

\ \

\

c

BC = B'C' (1), 8 = B' (2). = ' (3)

Demonstrao: H trs possibilidades para AB = A'B':

1~)AB = A'B' 2~ ) AB < A'B'

Se a P se verifica , temos:

A'

~C' Tese

=> D.ABC = D.A'B'C'

3~ ) AB > A'B'

(AB = A'B', B = B', BC = B'C') ~ D.ABC = D.A'B'C' ---7

Se a 2~ se verificasse, tomando um ponto D na semirreta BA tal que BD = A'B' (postulado do transporte de segmentos - item 18), teramos:

(os = A'B', 8 = 8. se= sc) ~ D.ABC = D.A'B'C' => = ~ = ' , o que absurdo, de acordo com o teorema do ngulo externo no D.ADC. Logo, a 2 ~ possibilidade no se verifica. A 3~ possibilidade tambm no se verifica , pelo mesmo motivo, com a diferena de que D estaria entre A e 8.

Como s pode ocorrer a 1~ possibilidade, temos:

D.ABC = D.A'B'C'

62. Caso especial de congruncia de tringulos retngulos

Se dois tringulos retngulos tm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, ento esses tringulos so congruentes.

.....

I 1-11 /.\1"\,;;IU L U = -- - - r.:1

B B'

~ CJ:l ------- 1 -- ----~~:~ . c A C' A' D

Hiptese Tese = ' (retos) (1), AB = A'B' (2), BC= B'C' (3) => 6 ABC = 6 A'B'C' Demonstrao:

------> Tomemos o ponto D na semirreta oposta semirreta A'C' tal que A'D = AC

(postulado do transporte de segmentos - item 18). lA L => 6 ABC = 6 A'B'D => BC = B'D (4) e (AB = A'B', = ', AC = A'D)

= (5) (4) e (3) => B'C' = B'D => 6 B'C'D issceles de base C'D => = (6) (5) e (6) => = Considerando agora os tringulos ABC e A'B'C', temos:

(BC= B'C', = ', = ') ~ 6 ABC = 6 A'B'C'

EXERCCIOS 80. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Todo tringulo issce les equiltero. b) Todo tringulo equiltero issceles. c) Um tringulo escaleno pode ser issceles. d) Todo tringulo issceles tringulo acutngulo. e) Todo tringulo retngulo tringulo escaleno. f) Existe tringulo retngu lo e issceles.

g) Existe tringulo issceles obtusngulo. h) Todo tringulo acutngulo ou issceles ou equiltero .

.... c .. ..... ......1 ...... _... ............. .._ ,....., ..... .-I.-. f\ 11.-.+-.-.---~+- ; .-..-. ~!.-. ......... .-..-.+-.-..-. I O

81. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Todos os tringulos so congruentes. b) Todos os tringulos equilteros so congruentes. c) Todos os tringulos retngulos so congruentes. d) Todos os tringulos retngulos issceles so congruentes. e) Todos os tringulos acutngulos so congruentes.

82. Se o 6 ABC issceles de base BC , de-termine x.

AB = 2x - 7

AC = x + 5

83. O tringulo ABC equiltero. Determine x e y.

AB = 15 - y

BC = 2x - 7

AC = 9

84. Se o 6 ABC issceles de base BC, de-termine BC.

2x - 7

B

15 - y/

I B

A

A

2x - 7

A

X + 5

c

\ 9

c

zA's: AB = 3x - 10 BC= 2x + 4 AC = x + 4

85. Se o 6 ABC issceles de base BC, de-termine x.

8 = 2x - 10 = 30

r- .. ..... .-1.-.---~ ..... ..... -- _._ ...... _ ..... _ __ ~ .... :- - ~- -- - _ _..___ _ _

B 2x + 4 c

A

~ B C

~

ff - 11 ,....... .~ .._,._.. __ _

86. Se o ~ABC issceles de base A AC, determine x.

=X+ 30 = 2x - 20 B

c

87. Se o ~ABC issceles de base A BC, determine x e y. /\

2x- 40':-J Yl\~ -B c

88. Determine x e y, sabendo que o tringulo ABC equiltero. a) A b) A

2x + 1 3x - 3 X + y X + 3

B y c B y + 4 c

89. Se o permetro de um tringulo equiltero de 75 em , quanto mede cada lado?

90. Se o permetro de um tringulo issceles de 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados?

91. Determine o permetro do tringulo ABC nos casos: a) Tringulo equiltero com AB = x + 2y, AC = 2x - y e BC = x + y + 3. b) Tringulo issceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x - 3 e

BC = x + 3.

92. Num tringulo issceles, o semipermetro vale 7 ,5 m. Calcule os lados desse tringulo, sabendo que a soma dos lados congruentes o qudruplo da base.

~~ tnrl~rru=~nr.n~ rlc (\ /l ;:::::rt:PrTH~t-:ir.R FIFu n R n t:R r I q

I

I ~

~I ,.

93. Os pares de t ringulos abaixo so congruentes. Indique o caso de congruncia.

a) c) e) g)

t> ~ V\> vzd

95. Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os tringulos congruentes e indique o caso de congruncia.

a) ~ 6

b)

c) 5~3 ~

d 5 o 5FY ~ 13

\J7 96. Indique nas figuras abaixo os tringulos congruentes, citando o caso de con-

gruncia.

a) D c) B AC == DF; AB == DE

A C

B E

b) B D d) E

A E A B C D

.. Fundamentos dA MRt;Rmt;icA E IRmRnt;Rr I q

97. Por que ALL ou LLA no caso de congruncia entre tringulos?

98. Na figura, o tringulo ABC congruen-te ao tringulo DEC. Determine o valor de a e~ = 3a 8 = ~ + 48

= 2a + 10 = 5~

99. Na figura ao lado, o tringulo ABD congruente ao tringulo CBD. Calcule x e y e os lados do tringulo ACD. AB =X

BC = 2y co = 3y + 8

DA = 2x

100. Na figura , o tringulo CBA congruen-te ao tringulo COE. Determine o valor de x e y e a razo entre os permetros desses tringulos. AB = 35 AC = 2x - 6

CE = 22

DE= 3y + 5

101. Na figura , o tringulo PCD congruen-te ao tringulo PBA. Determine o valor de x e y e a razo entre os permetros dos tringulos PCA e PBD.

AB = 15 CO = X+ 5

AP = 2y + 17

PD = 3y- 2

102. Na figura ao lado, os tringulos ABC e COA so congruentes. Calcule x e y.


E

A D

B

A " B 2y X c

B E

2x - 6

A D

c B - A

X + 5 15

p

~----~------~D

B

..

103. Na figura ao lado, sabendo que C ponto mdio de BE, prove que os tringulos ABC e DEC so con-gruentes.

104. Na figura ao lado, sabendo que a = ~ e y = 8, prove que os trin-gulos ABC e COA so congruentes.

105. Se a = ~ e

Hiptese Tese # ' -- BC > A8C BC > AC ==> ou a J_- lb a > b ==> > 8

~A c

B Demonstrao:

Consideremos D em BC tal que CD = CA.

BC > AC ==> D interno a CB ==> CB > CD 6 CAD issceles de base AD ==> CD = CA } => CB > CA (1)

CA ngulo externo no 6 ABD ==> CA > A8D = A8C (2) De (1) e (2) , vem:

CB > A8C ou seja > 8

64. Ao maior ngulo ope-se o maior lado

Se dois ngulos de um tringulo no so congruentes, ento os lados opos-tos a eles no so congruentes e o maior deles est oposto ao maior lado.

Hiptese Tese BC > A8C ==> BC > AC

ou

> 8 ==> a > b

Demonstrao: H trs possibilidades para BC e AC: 1~ ) BC < AC ou 2~ ) BC= AC

c

a b

B A c

ou 3~ ) BC > AC 1~ ) Se BC < AC, ento, pelo teorema anterior, < 8, o que contraria a hiptese.


2' ) Se BC = AC, ento, pelo teorema do tringulo issceles, = 8, o que con-traria a hiptese.

Logo, por excluso, temos: BC > AC

65~ A desigualdade triangular

Em todo tringulo, cada lado menor que a soma dos outros dois.

Hiptese Tese A, B e C no colineares ==> BC < AC + AB

ou

a, b e c lados de um tringulo ==> a < b + c

Demonstrao:

Consideremos um ponto D na semirreta oposta --7 - -

semirreta AC, tal que AD = AB. (1) DC = AC + AD ~ DC = AC + AB (2)

D ' I

' I ,'-.i

' I ( / I

';< \ ' I

/ I ' I

' I

A ' I

,N a

1 B

(1) ==> 6 ABD issceles de bas~ BD ==> ~B ""' ~80 } ==> ClD > AB = CB (3) A interno ao ngulo CBD ==> CBD > ABD

No tringulo BCD com (3) e o teorema anterior, vem : - -- ----

BC < DC e com (2) BC < AC + AB , ou ainda: a < b + c

66. Notas

1~ ) A desigualdade triangular tambm pode ser enunciada como segue:

Em todo tringulo, cada lado maior que a diferena dos outros dois.

2~ ) Se a, b e c so as medidas dos lados de um tringulo, devemos ter as t rs condies abaixo:

a < b+c b < a + c c < a + b

O I !=1 t.-.r-1-:.l'""'r""'ICir""\t- t""'le rlet. r\ lt o+-et.,...........t-i ,-. o l=lc::ror-T'"I .c:::t. r-tt-=n

Estas relaes podem ser resumidas como segue:

a < b+c l b < a + c :} b - c < a } :} lb - cl < a l lb c--. C.' ,c-b < a

EXERCCIOS 113. Com segmentos de 8 em, 5 em e 18 em pode-se construir um tringulo? Por qu?

114. Dois lados, AB e BC, de um tringulo ABC medem, respectivamente, 8 em e 21 em. Quanto poder medir o terceiro lado, sabendo que mltiplo de 6?

115. Determine o intervalo de variao x, sabendo que os lados de um tringulo so expressos por x + 10, 2x + 4 e 20 - 2x.

116. Se dois lados de um tringulo issceles medem 38 em e 14 em , qual poder ser a medida do terceiro lado?

117. O lado AB de um tringulo ABC expresso por um nmero inteiro. Determine o seu valor mximo, sabendo que os lados AC e BC medem, respectivamente, 27 em e 16 em e que < < B.

118. Mostre que o tringulo retngulo tem dois ngu los agudos.

Soluo

Considere o ngulo externo adjacente ao ngulo reto do tringulo retngulo. Note que 'Y' = 90. Sendo a e 13 os ngulos internos no retos do tringulo, de acordo com o teo-rema do ngulo externo, temos:

-y' > a e 'Y' > 13

E como 'Y' = 90, obtemos:

o. < 90 e 13 < 90. Ento o tringulo tem dois ngulos agudos. 13

119. Mostre que a hipotenusa de um tringulo retngulo maior que cada um dos catetos.

.. l=1 1n.-i=a r-ru:::a nt-:nc::. .-t~ 1\/l:::llt-:cr-n :::f::rt-.ir:=~ I=I C~rn cr. nt-. :::::r. ,.... I q

120. Mostre que o tringulo obtusngulo tem dois ngulos agudos.

121. Mostre que o lado oposto ao ngulo obtuso de um tringulo obtusngulo maior que cada um dos outros lados.

122. Mostre que a hipotenusa de um tringulo retngulo maior que a semissoma dos catetos.

123. Prove que qualquer lado de um tringulo menor que o semi permetro.

124. Se P um ponto interno de um tringulo ABC, mostre que BPC maior que BC. 125.Se P um ponto interno de um tringulo ABC, mostre que: PB + PC < AB + AC.

Soluo

Tese {PB + PC < AB + AC ou x + y < b + c} Demonstrao:

- -

1) Prolonguemos BP at que encontre AC num ponto Q. 2) De acordo com a desigualdade triangular, A

temos:

f c+ b' > x +e~ 1 e+ b" > y ~ c + e + b' + b" > x + y + e ~

~ c + b > x + y ~ PB + PC < AB + AC B

126. Se P um ponto interno de um tringulo ABC ex= PA, y = PB e z = PC, mostre que x + y + z est entre o semipermetro e o permetro do tringu lo.

127. Demonstre que o permetro do trin-gulo MNP menor que o permetro do tringulo ABC da figura ao lado.

B

A

~-----------2~N

M c

128. Se ma a mediana relativa ao lado a de um tringulo de lados a, b e c, ento:

lb - c l b+c -2- < ma

LEITURA

Euclides e a geometria dedutiva

Hygino H. Domingues Derrotada na batalha de Queroneia pelas foras do rei Filipe, a Grcia

torna-se parte do imprio macednio no ano 338 a.C. Dois anos depois, com a morte de Filipe, assume o poder seu filho Alexandre, ento com 20 anos de idade. Ao morrer, cerca de 13 anos depois, Alexandre incorporara ao seu im-prio grande parte do mundo civilizado de ento. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macednios (em cuja formao populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansio-nista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinrio na histria da Matemtica: Alexandria, no Egito.

Com a morte de Alexandre, o domnio sobre o Egito passou s mos de ptolomeu, um de seus lderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao Museu (templo das musas), o primeiro modelo do que viriam a ser as universidades, sculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se s pesquisas e ao ensino s expensas dos cofres do Estado. Ponto alto da instalao era uma biblioteca, que chegou a ter, no auge de seu esplendor, perto de 700 mil rolos de papiro. Muitos grandes matem-ticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, o primeiro talvez, e um dos mais notveis, foi Euclides (aproximadamente 300 a.C.).

Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informaes esparsas. Mesmo sobre sua formao matemtica no h ne-nhuma certeza: possvel que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Plato. Papus de Alexandria (sc. IV) deixou registrados elogios sua mods-tia e considerao para com os outros. Mas sua presena de esprito talvez possa ser avaliada pela histria segundo a qual h uma indagao de ptolomeu sobre se no haveria um caminho mais curto para a geometria (que o propos-to por Euclides). Ele teria respondido: "No h nenhum caminho real na geo-metria". Ou seja, perante a geometria todos so iguais, at reis poderosos como ptolomeu.

Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente re-pousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da matemtica grega ache-gar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior

parte ser uma compilao e sistemati-zao de trabalhos anteriores sobre a matemtica elementar da poca, seu xito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edies impressas em todo o mundo, desde a primeira em 1482, um feito editorial talvez s superado pela Bblia.

Os Elementos dedicam um bom espao teoria dos nmeros (trs li-vros), mas com o enfoque geomtrico que permeia toda a obra. Euclides re-presentava os nmeros por segmen-tos de reta, assim como representava o produto de dois nmeros por um re-tngulo. Contudo a argumentao usa-da por ele independe da geometria. H tambm no texto um pouco de lgebra geomtrica, onde, por exemplo, algu-mas equaes do segundo grau so resolvidas geometricamente, sendo suas razes dadas na forma de seg-mentos de retas.

Euclides (sc. 111 a.C.) em pintura de Juste de Gond (sc. XV).

Mas, sem dvida, o forte dos Elementos a geometria. A partir de cinco noes comuns, cinco postulados especficos e algumas definies, centenas de teoremas (467 em toda a obra) so deduzidos, alguns de grande profundi-dade. Alm de ser o mais antigo texto de matemtica na forma axiomtico dedutiva a chegar a nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados bsicos. E soube us-los com proficincia. Assim, no sem motivo que os Elementos, por dois milnios, alm de texto fundamental de geometria, foi o modelo de boa matemtica.

Falhas em sua estruturao lgica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo, a questo da continuidade no foi focalizada, o que leva-va Euclides a usar pressupostos no explicitados sobre o assunto. Tudo isso porm chega a ser irrelevante em face da grandiosidade da obra e de sua ini-gualvel influncia cientfica.

'"'"' ~~ "'"' _::;: z-

~~ O-' cr:C!J

~::::::. !11~ ;:;::::I

::;:~ LU ::::I i!''-' u. o

~ ::::J o

~

~ cr:

~ ~ 8 :I: 0..


2~ ) dos oito ngulos determinados por essas retas indicados nas figuras , cha-mam-se ngulos

alternos: i e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6 correspondentes: colaterais:

69. Notas

i e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 i e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5

Paralelismo ,, 1~ ) Com mais detalhes podemos ter:

Conceitos e propriedades

67. Retas paralelas- definio Duas retas so paralelas (smbolo: //) se , e

somente se, so coincidentes (iguais) ou

so coplanares e no tm nenhum ponto comum:

(a c a , b c a , a n b = 0 ) => a 11 b

b a

a = b ~ a // b

a

b a

68. Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou no, e t uma reta concorrente com a e b:

1~ ) t uma transversal de a e b;

b t t

a 2 4 / 3

a 5 I 6 b 5 / 6

8 / 7 8 / 7

FunrlRrnP.nT.nR rlP. MRT.P.rn tic a Ele m e n ta r I 9

alternos {alternos internos: alternos externos:

colaterais { colatera!s internos: colatera is externos:

3 e 5, 4 e 6 ie7, 2e8

3 e 6, 4 e 5 i e 8, 2 e 7

2~ ) A congruncia de dois ngulos alternos de um dos pares (por exemplo, i = 7)

equivale a a) a congruncia dos ngulos de todos os pares de ngulos alternos

(2 = 8, 3 = 5, .a = 6); b) a congruncia dos ngulos de todos os pares de ngulos correspondentes

(i = 5, 2 = 6, 3 = 7, 4 = 8); e c) a suplementaridade dos ngulos de todos os pares de colaterais

(i + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = .a + 5 = 180).

70. Existncia da paralela

Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam ngulos alternos (ou ngulos correspondentes) congruentes, ento essas duas retas so paralelas.

t I

Se a = 13, ento a// b b ou

;- (3 Hiptese Tese a a

a= ~ => a// b

a I ~= ,,....,n~I"'Y"'1 C:::U""""1-r"IC rl iO l\11 :::::rt- t:::u,..., 6 ri r"::::r. l=l.:::::orru::::a ,..,r.~ ......

Demonstrao:

Se a e b no fossem paralelas, teriam um ponto P em comum e a n b = {P}. Sendo

a n t = {A} e b n t = {B}, teramos o tringulo ABP.

p ...,::-- - ----

---------~ p a

Pelo teorema do ngu lo externo (item 60) aplicado ao 6 ABP, teramos: a > ~ ou ~ > a

o que absurdo, de acordo com a hiptese. Logo, as retas a e b so paralelas, isto , a// b.

71. Construo da paralela Construir uma reta b, paralela a uma reta a dada, por um ponto P dado fora de a. Passamos uma reta t por P, que determina um ponto M em a. Tomamos em a um ponto A distinto de M.

B b

Cl a

A

--> -Construmos, com vrtice P, com um lado PM, um ngulo MPB congruente ao - --> ngulo AMP, estando B no semiplano oposto ao de A em relao reta PM (trans-

porte de ngulos -item 35). A reta PB a reta b pedida. De fato, sendo AMP = a e MPB = ~. pelo teorema anterior temos:

a= ~ => a 11 b

.. Fundame n toR riA MRt:Pm~t:ir.~ J=l~rncnt-o,-. 1 o

72. Unicidade da paralela- postulado de Euclides A unicidade da reta paralela a uma reta dada o postulado de Euclides

(300 a.C.) ou postulado das paralelas , que caracteriza a Geometria que desenvolve-mos: a Geometria Euclidiana .

Por um ponto passa uma nica reta paralela a uma reta dada.

Com base nesse axioma podemos provar o recproco do teorema anterior. o que segue.

73. Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, ento os ngulos alternos (ou os ngulos correspondentes) so congruentes.

ou

Se a =F b e a// b, ento a = ~

ou

Hiptese a =F b, a 11 b =>

Demonstrao:

Tese a=~

t b

Cl a

Se a e ~ no fossem congruentes, existiria uma reta x, distinta de b, passando por P, {P} = b n t, tal que:

xt = w alterno de a e w = a Pelo teorema da existncia (item 70),

a= W => x /1 a Por P teramos duas retas distintas, x e b,

ambas paralelas reta a, o que absurdo, pois contraria o postulado das paralelas.

Logo, a congruente a ~. isto , a = ~-

Q I 1=, nrl=:~m~=~ont:n~ rlP f\/h:~t-.Prn~t-:ir.:=:. Flf=Hl'IPnt":l=lr

X t

-- b

a

..

74. Condio necessria e suficiente Reunindo os resultados dos itens 70 e 73,

o. = p ~ a // b e a // b ~ o. = p temos o enunciado que segue:

Uma condio necessria e suficiente para duas retas distintas serem paralelas for-marem com uma transversal ngulos alternos (ou ngulos correspondentes) congruentes.

o. = p a // b

75. ngulo externo

r3

o.

Em todo tringulo, qualquer ngulo externo igual soma dos dois ngulos internos no adjacentes a ele.

ou A

Hiptese Tese e ngulo externo adjacente a ~ = + l

e

Demonstrao: B c

b

a

Por C conduzimos a reta CD paralela reta AB , determinando os ngu los o. e p caracterizados na figura:

o./LA o .. A "-. / ,'

I I I I

--''---------~:_,___,_ ~/ ~Ar3 B / C B / C B / C

A A

-AB // CD ~ o. = A (alternos)

Demonstrao: Consideremos os ngulos de medidas a e a' adjacentes suplementares e 13 e

13' adjacentes suplementares (vide figura). Pelo paralelismo, considerando o ngulo auxi-

liar -y, temos:

a= 'Y} 13=-y =>a=13 Da, vem: a' = 13'

a + 13' = 180 a'+ 13 = 180

2a) Tringulo equiltero

Num tringulo equiltero cada ngulo mede 60.

Demonstrao:

Seja ABC o tringulo equiltero: AB = AC =BC

Usando o teorema do tringulo issceles (item 52), temos: A

8 c

CA = CB => = B } ~ ~ => AB = AC => B =C = B=

Como + B + = 180 (item 76) , vem: = B = = 60. Ou seja:

Oi

Todo tringulo equiltero equingulo e cada ngulo mede 60.

ET!I F1 JnrlRrnP.nr.n~ rlP 1\ll~t:Prn:::f.r.ir.~ I=IPrnPnt-:~f" I q

130. Sendo a reta a paralela reta b, determine x nos casos: a) / b)

a soo a

b b X

X

131. Se as retas r e s so paralelas, determine x nos casos: a) ~ b)

2x

132. As retas r e s da figura so parale las. Determine x e y. a) ~ b) :_r~~--------

60

133. Na figura ao lado, sendo a// b, ca lcule a+ 13 - 'Y


3x - 1 o o

y

a Oi

b

..

134. A soma dos quatro ngulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal igual a 80. Determine o ngulo obtuso.

135.Sendo a paralela a b, calcule x.

136. Na figura, sendo a 11 b, calcule x.

137. Na figura, sendo r // s, calcule x e y.

138. Na figura temos os ngulos a e 13 de lados respectivamente paralelos. Sendo a = 8x e 13 = 2x + 30, determine o suplemento de 13.

139.0bserve a figura e calcule o valor de x + y, sendo r // s e t 11 v.

120

X 3 +X

a 17x - go c

b 8x + go

y + 10

t

2x

3x - 20

;\a/

y

7 / \ 13

t

a

b

v


140. Se as retas r e s so paralelas, determine x, y e z nos casos: a) b)

141. Determine o valor de x nos casos: a)

70 X

142. Determine y nos casos: a)

143. Determine x nos casos: a)

45

b)

b)

b)

R I Fundamentos de Matemtica Elementar

soo

70

y

X

soo

..

144. Determine x e y nos casos: a) b)

145. Determine os ngulos do tringulo nos casos: a) b)

c c

2x 3x

X+ 20 8'- ' x~ A B 2x x A

146. Se o tringulo ABC issceles de base BC, determine x nos casos: a) c)

A

B C b)

A

X B C

147. Determine a + 13 + 'Y nos casos: a)

d)

b)

B

A C

B

--~L---~-----L~ A

ex

'Y

.. FunrlnrnP.nl.nR rt~ M~t-:Pm~r.ir.M F I PrnPnt-:~,.... I O

148. O tringulo ABC issceles de base BC. Determine o valor de x nos casos:

a) b) c) B

A B c

X

8 c

149. Determine o valor de cada incgnita (segmentos com "marcas iguais" so con-gruentes). a) d) AB = AC g)

A

y

x + y 2x + 10

B I 11 " c

b) e) h)

C) f)

R I Fundamentos de Matemtica Elementar

-

150. Na figura ao lado, ED paralela a BC. A Sendo BE igual a 80 e ABC igual a 35, calcule a medida de AD. / ."

B c

Soluo Basta prolongar DE at que a reta encontre AB. A/ ao Note que x externo do tringulo APE. ~ 0 Ento: E

{a= 35 35' X = a + 80o ~ X = 115o B C

151. Determine o valor de x e y, sendo r 11 s.

152. Calcule o valor de x, sendo r // s.

153. Se r // s, calcule cL 30'

A

154. Na figura ao lado , as retas r e s so paralelas . Calcule a. 8 100'

c

.. Funda m e n tos de MR.P.rnr.ir.R FIP.rnP.n.Rr I q

155. Na figura, calcule a medida do ngulo a, sendo r // s. 30'

156. Na figura, AB paralelo a CD. Sendo CB = 150 e ABC = 25 , calcule CBD.

157. Determine o valor de x.

C D

A

50'

B

2x + 110' 2x - 110'

A

~ 4x3x 158. Calcule x no tringulo ABC da figura . B C

159. Os ngulos internos de um tringulo so proporcionais a 2, 3 e 4, respectiva-mente. Determine a medida do maior deles.

160. Calcule o valor de x. A ~ x~ B c

161. Calcule x e y. A AB = AC y

125' X

B c

O I ~=" nrl:=.rnPnt":n~ rlP l\t1;::::rt:PmRr.ir.M Fh=!rnP.nt":i=lr ..

162. Determine o valor de x.

163. Na figura, o tringulo ABC issceles de base BC. Calcule o va lor de x.

164. Calcule x e y indicados na figura ao lado.

165. A figura mostra um tringulo ABC, issceles, de base BC. Sendo BD bissetriz de ABC e CO bissetriz de AB, calcule o valor de x.

166. O tringulo ACD da figura issceles de base AD. Sendo 12 a medida do ngulo BD e 20 a medida do ngulo ABC, calcule a medida do ngulo AD.

A

X+ 10" 2x - 30"

8 2x + 10"

A

80"

~------------~~c 8 2x

B

A E c

A

B C

c

~ A B

167. Um ngulo externo da base de um tringulo issceles igual a ~ do ngulo do vrtice . Calcule os ngulos desse tringulo.

168. Num tringulo issceles ABC, o ngulo do vrtice A va le 110

da soma dos ngu-los externos em B e C. Sendo BC a base do tringulo, determine o ngu lo .

169. Num tringulo ABC, o ngulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ngulos B e excede o ngulo em 76. Determine .

.. Fundamentos de MRtoP.m ticR EIP.mP.ntoRr I R

A 170. Prove que no tringulo ABC da figura vale a

relao a - 13 = B - , sendo AO bissetriz do ngulo BC. ~

B D C 171. Num tringulo ABC, o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos B e , opos-

to a BC, o quntuplo do ngulo . Determine a medida do ngulo . 172. Na figura , calcule o valor de x em funo de m.

4m

173. Num tringulo ABC qualquer, o ngulo oposto a BC formado pelas bissetrizes dos ngulos internos em B e C igual ao suplemento do complemento da me-tade do ngulo do vrtice A.

Soluo

Nota inicial: A

Em problemas cujo enunciado uma proposio, normal que o pedido seja a demonstrao da pro-priedade. Com os elementos caracterizados na figura, temos: B v " u ~ ' =::..:>.c 6DBC: X + b + c = 180 ~ x = 180 - (b + c)_}

- A ~ 6ABC: 2b + 2c +A= 180 ~ b +c= 90- 2 ~ x = 180 - ( 90 - ~)

174. Na figura , calcule o ngulo x, sendo a o triplo de 13 e "' o sxtuplo de 13.

A

B C D

175. Em um tringulo ABC, o ngulo do vrtice A igual oitava ..E_rte do ngulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ngulos adjacentes a BC. Determine a medida do ngulo do vrtice A.

q 1 r=, 1nrlRrnP.nr.ns de Matemtica Elernentar ..

~r- \1' .1\l l- l I I;..I ! VI'-'

176. Um ngulo externo do vrtice de um tringulo issceles mede 150. Determine: a) os ngulos do t ringulo; b) o ngulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ngulos da base do tringulo; c) os ngulos formados pela bissetriz de um dos ngulos da base e pela bisse-

triz do ngulo do vrtice.

177. Determine a medida do menor ngulo formado pelas bissetrizes externas relati-vas aos vrtices B e C de um tringulo ABC, sabendo que o ngulo mede 76.

Soluo A

76

:I( \i / 0,C

1) 8 + + 76 = 180

{2b + 8 = 180

2) 2c + = 180 ~

c \ J c

\ I \ I

\ I \ I \ I \ I

\ I \ I \ I \ I \ I \ X I 'r-.'

\ I \1

~ 8 + = 104 } 2(b + c) + B + = 360 ~ 2(b +c)+ 104 = 360 ~ b +c= 128

~

3) X + b + C = 180 ~ X + 128 = 180 ~ X = 52

178. Determine as medidas dos trs ngulos de um tringulo , sabendo que o segun-do ; do primeiro e que o terceiro a semissoma dos dois primeiros.

179. Os trs ngulos de um tringulo so tais que o segundo mede 28 menos que o primeiro e o terceiro 10 mais que o primeiro. Determine os trs ngulos do tringulo .

180. Em um tringulo issceles, o ngulo do vrtice a metade de cada um dos ngulos da base. Determine os trs ngulos do tringulo.

181. Determine o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos colaterais inter-nos de duas retas paralelas interceptadas por uma transversal qualquer .

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182. Na figura, determine a medida do ngulo ex em funo de m. = 3m B = 2m =m BD =a

B

A

D

183. Num tringulo ABC qualquer, o ngulo oposto a BC, formado pelas bissetrizes dos ngulos externos em B e C, igual ao complemento da metade do ngulo do vrtice A do tringulo .

184. Na figura , sendo AB congruente a AC e AE con-gruente a AO, calcule a medida do ngulo CE, dado BD = 48.

A

B C

185. Determine a medida do ngu lo do vrtice A do tringulo issceles ABC , sabendo que os segmentos BC , CO, DE, EF e FA so congruentes.

186. Na figura ao lado, o tringulo ABC equiltero e o tringulo CDB issceles. Calcule o valor de 2x + y. BD = x Am = y A

c

B

o

A

o C~B

187.Considere o tringulo ABC, em que AB = AC = 5 em e BC = 7 em. Sobr~ lado BC tomamos um ponto D tal que BQ_ = 3 em e pe~ponto D traamos DE e DF respectivamente paralelos a AC e AB, com E em AB e F em AC. Calcule o permetro de AEDF.

188. Da figura, sabemos que AB = AC, = 100 e AO = BC. Determine x = CBD.

8 I Fundamentos de M atem r.ir.a Elementar

A

D~ B

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Fundamento Da Matematic Ifro A