Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts

Эдийн засгийн математик хичээлийн лекцийн хураангуй

Боловсруулсан багш: А.Амарсанаа

Page 1

БҮЛЭГ I : ШУГАМАН АЛГЕБРЫН ЭЛЕМЕНТҮҮД ЛЕКЦ №01

Сэдэв: 1.1. Матриц, түүн дээр хийх үйлдлүүд

Хичээлийн цаг: 2 цаг Хичээл заагч багш: Маг А.Амарсанаа Утас: 99204676 , 96674676 E-mail: [email protected] Хичээлийн зорилго: Матрицын тухай ойлголт нь олон хэмжээст шугаман огторгуйн

хийсвэр бичлэг болон шугаман тэгшитгэлийн системийн оновчтой хураангуй бичлэг,түүнийг бодох аргуудтай холбоотойгоор үүссэн бөгөөд энэхүү хичээлээр матрицын тухай үндсэн ухагдахууныг авч үэх болно.

Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд шугаман алгебрын онолын элементүүдийн үндсэн ойлголтын нэг болох матрицын тухай ухагдахууныг авч үзэн, матриц дээр хийх үйлдлүүд,тэдгээрийн чанарын талаархи мэдлэгийг эзэмшүүлнэ.

Лекцийн үйл явц: Асуудал дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар электрон хэлбэрээр лекц явагдана.

1.1.1. Матрицын тухай үндсэн ухагдахуун, ойлголт

Тодорхойлолт 1. m мөр, n баганатай тэгш өнцөгт хүснэгт хэлбэрээр бичигдсэн m⋅n

ширхэг тоог (объектүүдийг) mxn хэмжээст тэгш өнцөгт матриц гэж нэрлээд Amxn, Bmxn, Cmxn гэх мэтчилэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. Матрицыг бүрдүүлж буй тоонуудыг (объектүүдийг) матрицын элементүүд гэнэ. Матрицын хэмжээс нь тухайн матрицын мөр, баганын тоогоор тодорхойлогддог.

Хэрэв Amxn матрицын i–р мөр, j–р баганын огтлол дээр орших элементийг aij гэж тэмдэглэвэл, түүнийг Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж хураангуйлан дүрслэн бичдэг.

Үүнийг дэлгэрэнгүй бичвэл болно.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmjm

iniji

nj

mxn

aaa

aaa

aaa

A

.................

.................

......

1

1

1111

Матрицын элементийн эхний индекс нь уг элементийн оршин буй мөрийн дугаарыг, хоёр дахь индекс нь оршин байгаа баганын дугаарыг тус, тус заадаг.

Матрицыг түүний хэмжээс болон элементүүдийн онцлог байдлаас шалтгаалан дараахь төрлүүдэд хуваадаг.

Тодорхойлол2. Хэрэв тэгш өнцөгт матрицын мөрийн тоо нь баганын тооноос бага,

өөрөөр хэлбэл үед мөр болон баганын нь дугаар тэнцүү байх a11,a22,….,amm элементүүдээс доош орших бүх элементүүд нь дан тэгтэй тэнцүү байдаг бол уг матрицыг mxn хэмжээст трапец матриц гэнэ.

nm <

mailto:[email protected]



Page 2

Тодорхойлолт 3. Хэрэв матрицын мөр ба баганын тоо тэнцүү, өөрөөр хэлбэл m=n байвал түүнийг nxn хэмжээст эсвэл n эрэмбийн квадрат матриц гэнэ. Квадрат матрицын хувьд нэгэнт мөр баганын тоо тэнцүү байх тул хэмжээсийг нь зөвхөн мөрийн тоогоор илэрхийлж, түүнийгээ эрэмбэ хэмээн дууддаг.

Тодорхойлолт 4. Квадрат матрицын мөр болон баганын нь дугаар тэнцүү байх

элементүүдийг агуулсан диагоналийг матрицын гол диагональ гэнэ. Өөрөөр хэлбэл n эрэмбийн квадрат матрицын гол диагональ дээр a11,a22,….,ann элементүүд оршин байна.

Тодорхойлолт 5. n эрэмбийн квадрат матрицын гол диагоналийн бүх элементүүд нь

нэгтэй тэнцүү бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a11=a22=a33=…=ann=1, хэрэв i≠j бол aij=0 байвал түүнийг нэгж матриц гээд Enxn гэж тэмдэглэдэг. Нэгж матриц (Enxn) нь матрицан тоололд нэгийн тоо шиг үүрэг гүйцэтгэдэг.

Тодорхойлолт 6. Хоёр матрицын мөр ба баганын тоонууд харгалзан тэнцүү бол ижил

хэмжээст матрицууд гэнэ. Ижил хэмжээст матрицуудын харгалзах байрлал дахь элементүүд тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү матрицууд гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл хоёр матриц хоорондоо тэнцүү байхын тулд мөр, баганын нь тоонууд тэнцүү байх төдийгүй, харгалзах байрлал дахь элементүүд нь тэнцүү байх ёстой.

Тодорхойлолт 7. Гол диагональ болон түүнийхээ зөвхөн нэг талд тэгээс ялгаатай

элементтэй, бусад байрлалдаа дан тэг элементтэй квадрат матрицыг гурвалжин матриц гэнэ. Хэрвээ гол диагоналийнхаа дээд талд тэгээс ялгаатай элементүүдтэй бол дээрээ гурвалжин, харин гол диагоналийнхаа доод талд тэгээс ялгаатай элементүүдтэй бол доороо гурвалжин матриц гэнэ.

Тодорхойлолт 8. Зөвхөн гол диагональ дээрээ тэгээс ялгаатай, бусад байрлалдаа тэг

элементтэй квадрат матрицыг диагональ матриц гэнэ. Түүнийг ихэвчлэн Dnxn үсгээр тэмдэглэдэг. Бидний дээр тодорхойлсон нэгж матриц нь диагональ матрицын тухайн тохиолдол юм. Мөн бүх элемент нь тэг байх матрицыг тэг матриц гэдэг. Тэг матриц нь матрицан тоололд тэг элементийн үүргийг гүйцэтгэдэг. Тэг матрицыг голдуу Omxn үсгээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт 9. Хэрвээ диагональ матрицын гол диагональ дээрх бүх элементүүд нь

тэнцүү байвал скаляр матриц гэнэ. Тодорхойлолт 10. Зөвхөн ганц баганаас тогтох матрицыг багана, харин ганц мөрөөс

тогтох матрицыг мөр матриц гэнэ.

1.1.2. Матриц дээр хийх үйлдлүүд, тэдгээрийн чанарууд

Бидний дээр тодорхойлсон матриц хэмээх ойлголт дээр тулгуурлан дараахь үйлдлүүдийг

тодорхойлж болдог. Үүнд: 1. Матрицуудыг нэмэх 2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх 3. Матрицуудыг хасах 4. Матрицыг матрицаар үржүүлэх



Page 3

5. Матрицыг хөрвүүлэх 6. Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх 1.Матрицуудыг нэмэх. Ижил хэмжээст Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n ба Bmxn=(bij),

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n матрицуудын нийлбэр гэж харгалзах байрлал дахь тоонуудыг нь нэмэхэд үүсэх матрицыг хэлэх бөгөөд түүнийг Cmxn=(cij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж тэмдэглэвэл cij=aij+bij, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n болно.

Хоёр матрицыг нэмэх үйлдлийн хувьд тавигдах үндсэн шаардлага нь тухайн хоёр матриц ижил хэмжээстэй байх явдал юм. Мөн хоёр матрицыг нэмсний үр дүнд үүсэх матриц нэмэгдэхүүн матрицуудын хэмжээстэй ижил хэмжээстэй байдаг.

Ийнхүү матрицыг нэмэх үйлдэл нь векторуудыг координатаар өгөгдсөн үед нэмэх дүрмээс үүдэлтэй болно.

Матрицуудыг нэмэх үйлдлийн хувьд 1. A+B=B+A (байр сэлгэх хууль) 2. (A+B)+C=A+(B+C) (бүлэглэх хууль) 3. A+O=A (mэг матрицыг нэмэх хууль) чанарууд биелдэг. Ямарч матриц дээр түүнтэй ижил хэмжээст тэг матрицыг нэмэхэд тухайн матриц

өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь тэг тооны чанартай яг ижил юм. 2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх. Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл гэж түүний бүх

элементийг өгсөн тоогоор үржүүлэхийг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл өгсөн Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n матриц болон 0≠λ тооны хувьд mxnA⋅λ матрицын элементүүдийг ( )ijmxn aA ⋅=⋅ λλ , i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж олно.

Тоогоор үржүүлэх үйлдлийн хувьд тухайн матрицад ямар нэгэн шаардлага тавигддаггүй. Матрицыг тоогоор үржүүлэх болон нэмэх үйлдлүүдийн хувьд дараахь чанарууд биелнэ.

Үүнд: 1. λλ ⋅=⋅ AA (байр сэлгэх) 2. ( ) AAA ⋅+⋅=⋅+ μλμλ (хаалт задлах) 3. ( ) BABA ⋅+⋅=+⋅ λλλ (хаалт задлах) 4. AA1 =⋅ (нэгжээр үржүүлэх) 5. 0A0 =⋅ (тэгээр үржүүлэх) 3. Матрицуудыг хасах. Матрицуудын нэмэх ба түүнийг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийн

тусламжтай матрицуудыг хасах үйлдлийг тодорхойлж болно. Нэг үгээр хэлбэл A матрицаас B матрицыг хасах A-B үйлдэл нь өгсөн A матриц дээр B матрицыг (-1)-ээр үржүүлсэн (-1)B матрицыг нэмэх үйлдлүүдийн дарааллаар тодорхойлогдоно. Иймээс хоёр матрицын ялгавар нь A-B =A+(-1)B болно.

Тодорхойлолт 1. Өгсөн A матрицын хувьд A+B=O чанарыг хангаж байгаа B матрицыг

A-ийн эсрэг матриц гээд B=–A гэж тэмдэглэнэ. Дээрх тодорхойлолтоор өгсөн матрицын эсрэг матрицыг тухайн матрицыг (-1)-ээр

үржүүлж олох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл –A=(-1)A болно. 4. Матрицуудыг үржүүлэх үйлдэл. Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n, Bpxq=( bij),

i=1,2,…,p; j=1,2,…,q хоёр матриц өгөгдсөн болог. Хэрвээ үржвэрийн эхний матрицын баганын тоо хоёр дахь матрицын мөрийн тоотой тэнцүү байвал хоёр матрицыг үржүүлж болно. Энэхүү чанар биелж байгаа матрицуудыг нийцтэй матрицууд гэнэ. Өөрөөр хэлбэл


Боловсруулсан багш: А.Амарсанаа Page 4

матрицуудын үржвэр заавал тодорхойлогдох албагүй бөгөөд AB үржвэр тодорхойлогдсон байлаа ч BA нь тодорхойлогдохгүй, BA тодорхойлогдсон байсан ч AB-тэй тэнцүү биш эсвэл AB-ээс өөр хэмжээстэй байж болно. Үүний учир нь матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн шаардлагатай холбоотой. Хэрэв A ба B нь ижил эрэмбийн квадрат матрицууд бол AB, BA үржвэрүүд үргэлж тодорхойлогдох ба тэдгээрийн хувьд AB=BA чанар биелэх албагүй байдаг.

Тодорхойлолт 2. Хэрвээ хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд байр солих хууль

биелж байвал, нэг үгээр хэлбэл AB=BA бол эдгээр матрицуудыг байр сэлгэдэг (коммутатив) матрицууд гэнэ.

Тодорхойлолт 3. n эрэмбийн квадрат матрицын хувьд EAAAA =⋅=⋅ −− 11 нөхцөлийг

хангаж буй A-1 матрицыг өгсөн A матрицын урвуу матриц гэнэ. Матрицыг матрицаар үржүүлэх үйлдлийн хувьд доорхи чанарууд биелнэ. Үүнд: 1. (хаалт задлах хууль) ( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅

2. ( ) (хаалт задлах хууль) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+

3. (бүлэглэх хууль) ( ) ( CBACBACBA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ )

43421k

A...AAA ⋅⋅⋅=

( ) mnmn AA ⋅=mn

6. Матрицыг хөрвүүлэх. Тодорхойлолт 4. Amxn=(aij),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n матрицын хувьд түүний багануудын

элементүүдийг нь дараалал алдуулалгүйгээр мөр болгон хувирган бичихэд үүсэх матрицыг тухайн A матрицын хөрвөсөн матриц гээд AT гэж тэмдэглэдэг. AT-нь хөрвүүлэх үйлдлийн чанараар nxm хэмжээст матриц болно.

Матрицыг хөрвүүлэх үйлдлийн хувьд дараахь чанарууд биелдэг. Үүнд: 1. ( ) AA

TT = 2. ( ) TT AA ⋅=⋅ λλ

3. ( ) TTT BABA +=+

4. ( ) TTT ABBA ⋅=⋅1 −− T5. 1= TA )()(A

Тодорхойлолт 5. Өгөгдсөн матриц хөрвөсөн матрицтайгаа тэнцүү байдаг бол түүнийг

тэгш хэмт матриц, харин хөрвөсөн матрицынхаа эсрэг матрицтай тэнцүү байвал эсрэг тэгш хэмт матриц гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл тэгш хэмт матрицын хувьд A=AT, эсрэг тэгш хэмт матрицын хувьд A=-AT байна.

6. Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх. Дурын эрэмбийн квадрат матрицыг k удаа үржүүлсний

үр дүнд тухайн матрицыг k зэрэгт дэвшүүлж болно. Энд k нь байх натурал тоо. Нэг үгээр хэлбэл k үйлдлийн тусламжтай матрицыг k зэрэгт дэвшүүлнэ.

2k ≥

Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх үйлдлийн хувьд 1. 2. mnA += A A⋅

( ) mm AA 11−

44 344 21m

111m1 AAAA −−−− ⋅⋅⋅⋅=

3. ( )−=

чанарууд биелдэг. Энд ( ) гэж ойлгоно.



Тодорхойлолт 6. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд чанар биелдэг бол нильпотент матриц гэнэ. Нильпотент матрицын хувьд квадрат зэрэг нь тэг матриц байна.

OA =2

Тодорхойлолт 7. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд EA =2 чанар биелдэг бол

инволютив матриц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл квадрат зэрэг нь нэгж матриц байдаг бол уг матриц инволютив матриц болно.

Тодорхойлолт 8. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд AA =2 чанар биелдэг бол

идемпотент матриц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл квадрат зэрэг нь өөртэйгөө тэнцүү байдаг матриц нь идемпотент матриц болно.

Тодорхойлолт 9. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд EAA T =⋅ чанар биелдэг

бол ортогональ матриц гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл өөрийг нь хөрвөсөн матрицаар нь үржүүлэхэд нэгж матриц гардаг бол ортогональ матриц болно.



ЛЕКЦ №02Сэдэв: 1.1. Тодорхойлогч үүний үндсэн чанарууд

, т

Утас:

Хичээлийн цаг: 2 цаг Хичээл заагч багш: Маг А.Амарсанаа

99204676 , 96674676 E-mail: [email protected] Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман алгебрын элементүүдийн нэг

болох тодорхойлогч болон түүний үндсэн чанаруудын талаархи ойлголтуудыг авч үзнэ.Тодорхойлогчийн тухай ойлголт нь n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн систем

ойлогчийн хувьд биелэх үндсэн чанару

дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар электрон хэлбэрээр лекц явагдана.

1 а Хоёрдуга мбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг өгөхийн тулд

(1)

эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье.

Тодорхойлолт 1. (1) хоёрдуга ийн квадрат матрицын хувьд

ийн шийдийг олох асудалтай холбоотой үүссэн болно. Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд квадрат матрицуудын олонлог

дээр тодорхойлогдсон бодит тоон утгатай функц болох тодорхойлогчийн тухай ойлголт, түүний утгыг олох аргууд, мөн тодорх

уд, тэдгээрийн хоорондын холбоог авч үзнэ. Лекцийн үйл явц: Асуудал

.1.1 Хоёр б гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч

ар эрэ

⎟⎠

⎜⎝ 2221

22 aax ⎟⎞

⎜⎛

= 1211 aaA

хоёрдугаар

ар эрэмб

2112112221

aaaaaa

A)Adet( −==Δ= (2)

дүрмээр тодорхойлогдох илэрхийллийг түүнд харгалзах оё дугаар бийн тодорхойлогч

221211 aa

=

х р эрэм гэдэг. A матрицын тодорхойлогчийг ихэвчлэн A , Δ эсвэл гэж

тэмдэгГуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг өгье. Үүний тулд эхлээд

гуравдугаар эрэмбийн квадрат матриц (3) авч үзье.

Тодорхойлолт 2. (3) гуравдугаар эрэмбийн квадрат матрицын хувьд

)Adet( лэнэ.

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= 232221

131211

aaaaaa

A⎟⎠

⎜⎝ 333231 aaa

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

AA −−−++==Δ==

(4)



илэрхийллийг түүнд харгалзах гуравдугаар эрэмбийн

1.1.2. Дээд эрэмбийн тодорхойлогч, түүнийг

м хэ и о уудыг

ичээлийн эцэст тэдгээрийг хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодор йойлгогдох болно.

n эрэмбийн вадрат матриц дараахь хэлбэрээр өгөгдсөн болог. Үүнд:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎛

= n

n

aaaaaa

AL

L

22221

11211

үл

квадрат матрицын тодорхойлогчийг элементийн гүйцээгч нэрлээд гэж

тэмдэглэдэг. Гүйцээгч минорыг олохыг дараахь схемэ үзүүлье Үүнд:

дүрмээр тодорхойлогдохтодорхойлогч гэнэ.

утгыг олох

Дөрвөөс дээш эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тодорхойлох, түүний утгыг олох аргуудыг авч үзье. Дээд эрэмбийн квадрат атрицын тодор ойлогчийг тодорхойлохын тулд гүйцэ гч м нор, алгебрын гүйцээлт зэрэг йлголт оруулдаг. Ер нь дээд эрэмбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолт нь эхний үед нилээд хийсвэр байдлаар ойлгогдох ба х

хо логчийг хэрхэн тодорхойлсон санаа дээр тулгуурлан индукцэлсэн болох нь

к

⎟⎟⎟

⎠⎜⎝ nnnn aaa L

MMMM

21

Тодорхойлолт 1. Өгөгдсөн квадрат матрицын i -р мөр, j -р баганыг дарж, дсэн элементүүдийг эрэмбэ алдуулалгүйгээр шахаж бичихэд үүссэн )n( 1− -р эрэмбийн

ija

хэрхэн

минор гэж

эр

ijM

.

nnjjnnnnnnjn aaaa LL 11,21

21+−

⎠⎝

n

niiii

niiii

nj

nj

ij

n

ijii

j

j

a

aaaaaaaaaa

aaaaaaaa

M

aaa

aaa

aaaaaa

A

MLMLM

LL

LL

MLMLM

LL

LL

LL

LMLMM

LL

LMLMM

LL

LL

,

,1,12,1

,1,12,1

2,222

1,112

21

22221

11211

+++

−−−=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

=

р э в

эмбийн квадрат матрицын тодорхой нэг мөр эсвэл баганын элеме да

аг. Теорем 1. р эрэмбийн квадрат тодорхойлогч болох р эрэмбий

тодорхойлогч нь

j

j

1

1

1

1

+

+

+

+

ji

ji

j

j

aa

M

M

1,1

1,1

1,2

1,1

−+

−−

−

−

in

n

n

a

a

aa

M

M2

1

M

M

1,1

1,1

21

11

+

−

n - рэмбийн к адрат матрицын хувьд түүний элементийн тоотой тэнцүү 2n ширхэг гүйцээгч минор байна.

Өгөгдсөн n -р эрнтүүдийн гүйцээгч минор ба түүний тодорхойлогчийн хооронд раахь чухал

холбоо оршин байдn - матрицын нn -

∑=k

ik1

+ =⋅−⋅=n

kiik n,i,M)(aA 11 (5) эсвэл=)Adet( ∑

=kkjkj

1

байна

+ =⋅−⋅==n

jk n,j,M)(aA)Adet( 11 (6)

.



йг р баганаар нь задалсан задаргаа хэмээн тус, тус нэрлэдэг. Эдгээр задаргаанаас р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөр ба багана тэнцүү эрхтэ

лт 2. Дурын эрэмбийн квадрат матрицын элементүүдийн гүйцээгч

мино тухайн алгебрийн

рлаж буй мөр, баганын дугааруудын нийлбэр эсрэг

тэмдэгтэй авсантай тоотой тэнцүү байна.

Алгебрийн гүйцээлтийн тодорхойлолтыг ашиглан (5), (6) томьёог бичвэл

Энд (5)-г n -р эрэмбийн тодорхойлогчийг i -р мөрөөр нь задалсан задаргаа, харин (6)-г n -р эрэмбийн тодорхойлогчи j -

n -й болох нь харагдаж байна. Тодорхойло ija

рыг (-1)-ийн (i+j) зэргээр үржүүлэхэд гарах тоог элементийн гүйцээлт гэдэг.

Дээрх тодорхойлолтоор алгебрийн гүйцээлт нь ijji

ij M)(A +−= 1 байна.

Тодорхойлолтоос харахад квадрат матрицын дурын элементийн алгебрийн гүйцээлт нь хэрвээ тухайн элементийн байтэгш тоо бол гүйцээгч минортой, харин сондгой тоо бол гүйцээгч минорыг

∑=

=⋅=n

kikik n,i,AaA

1

1 (7) =)Adet(

Эсвэл ∑=

=⋅==n

kkjkj n,j,AaA)Adet(

1

1 (8) болно.

Өөрөөр хэлбэл матрицын тодорхойлогчийн утгыг олохдоо түүний аль нэг мөрийн болон баганын элементүүдийг харгалзах ал гүйцээлтээр нь үржүүлэн нэмсэнтэй тэнцүү байна.

1.1.3.Тодорхойлогчийн үндсэн чанарууд

рчилнө.

чийн өмнө гаргаж болно. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийг тоогоор

үржүүлбэл аль нэг мөрийн эсвэл аль нэг баганын элемент бүрийг уг тоогоор

үржүүлнэ.

гебрийн

Дурын эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчийн хувьд биелэх чанаруудыг авч

үзье. Үүнд:

1. Дурын квадрат матрицын тодорхойлогчийн утга нь хөрвөсөн матрицынхаа

тодорхойлогчийн утгатай тэнцүү.

2. Тодорхойлогчийн аль нэг хоёр мөрийн эсвэл баганын байрыг солиход

тодорхойлогчийн утга зөвхөн тэмдгээ өө

3. Тодорхойлогч хоёр ижил мөртэй эсвэл баганатай бол (харгалзах элементүүд нь

тэнцүү), түүний утга тэгтэй тэнцэнэ.

4. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрөнд эсвэл багананд байгаа ерөнхий үржигдэхүүнийг

тодорхойлог



5. Пропорциональ хоёр мөртэй эсвэл баганатай тодорхойлогчийн утга тэгтэй

тэнцэнэ.

6. Хэрэв тодорхойлогчийн аль нэг мөр эсвэл баганын элементүүд дан тэг бол

тодорхойлогчийн утга тэгтэй тэнцүү

7. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын бүх элементүүд хоёр тооны нийлбэр

хэлбэртэй байвал уг тодорхойлогч дараахь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй

тэнцүү.

8. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг тоогоор үржүүлж,

өөр нэг мөр юмуу баганын харгалзах элементүүд дээр нэмэхэд тодорхойлогчийн

утга өөрчлөгдөхгүй. Энэ чанар тодорхойлогчийг бодоход их хэрэглэгддэг.

9. Дурын n эрэмбийн квадрат матрицын аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийн

алгебрийн гүйцээлтүүдийг nc,...,c, тоонуудаар харгалзуулан үржүүлж, нэмсэн

нийлбэр тухайн квадрат матрицын тодорхойлогчийг задалсан мөр эсвэл баганын

элементүүдийг дээрх тоогоор солиход гарах матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү.

c 21

10. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг өөр мөрийн эсвэл

баганын харгалзах элементийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр нь үржүүлж нэмэхэд

тэгтэй тэнцэнэ.

Теорем 1. Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь түүний гол диагональ дээрх

элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.



ЛЕКЦ №03 Сэдэв: 3.1. Шугаман тэгшитгэлийн систем,түүний шийдийн чанарууд

Хичээлийн цаг: 2 цаг Хичээл заагч багш: Маг А.Амарсанаа Утас: 99204676 , 96674676 E-mail: [email protected]

Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман алгебрын онолоос шугаман тэгшитгэлийн систем болон түүний шийдийг шинжлэх аргуудтай танилцах болно

Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд шугаман тэгшитгэлийн систем, квадрат болон m×n хэмжээст системийг тодорхойлж тэгшитгэлийн нийцтэй эсэхийг Крамер болон Гауссын аргаар тодорхойлж шийдийг олох, мөн матрицын ранг ашиглан шийдийг олох аргуудыг сэдвийн хүрээнд авч судална.

Лекцийн үйл явц: Асуудал дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар

электрон хэлбэрээр лекц явагдана.

3.1.1.Шугаман тэгшитгэлийн систем, квадрат систм

түүнийг бодох Крамерын дүрэм

Шугаман тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэлийн систем, тэдгээрийн шийдийн тухай ойлголтуудыг авч үзье. Шугаман тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэлийн систем шийдтэй эсэхийг тогтоох, шийдтэй үед шийдийг олох асуудлууд нь матриц, тодорхойлогч зэрэг ойлголтуудыг буй болгожээ. Тухайлбал хувьсагчийн тоо, системийн тэгшитгэлийн тоо тэнцүү тохиолдолд тодорхойлогчийн онол хөгжсөн билээ.

Тодорхойлолт. бодит тоонууд болон хувьсагчдын хувьд нэг зэрэгтэй оролцсон

na,...,a,a 21 nx,...,x,x 21

bxa...xaxa nn =+++ 2211 (9) тэнцэтгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ. Тодорхойлогч. Тус бүртээ n хувьсагчтай, m шугаман тэгшитгэлээс тогтох

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLLL

L

L

2211

22222121

11212111

m

(10) хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлүүдийн бүлийг

хувьсагчтай, шугаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.

n

Дараахь матрицуудыг зохион тэмдэглэснээр (10) системийг матрицан хэлбэрт бичиж болдог.

Тодорхойлолт. (10) системийн хувьсагчдын өмнөх коэффициентуудаар зохиогдсон хэмжээст тэгш өнцөгт хэлбэрийн

mxn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaaaaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

1nx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

nx

x

xx

xM2

1

1

матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн матриц гэнэ.

Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдаар зохиогдох хэмжээст

багана матрицыг хувьсагчдын матриц гэнэ.




Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн баруун гар талын сул гишүүдээр

зохиогдох хэмжээст багана матрицыг сул гишүүний матриц гэнэ. 1mx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

mx

b

bb

bM2

1

1

Дээрх матрицуудын тусламжтай (10) шугаман тэгшитгэлийн системийг 11 mxnxmxn bxA =⋅ буюу (11) bAx =

гэж матрицан хэлбэрт бичдэг. Энд матрицуудыг үржүүлэх дүрэм болон матрицууд тэнцүү байх чанарыг ашигласан болно.

Тодорхойлолт. (10) шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдын оронд орлуулан тавьж, зохих үйлдлийг гүйцэтгэхэд системийн тэгшитгэл бүрийг адилтгал болгон хувиргах

),...,,( nααα 21 гэсэн ширхэг элементийг тухайн системийн шийд гэнэ. n

Тодорхойлолт. Хэрэв (10) систем ядаж нэг шийдтэй бол түүнийг нийцтэй систем гэнэ. Нийцтэй систем дотроос зөвхөн ганц шийдтэй системийг тодорхой систем, нэгээс олон шийдтэй бол тодорхойгүй систем гэнэ. Хэрэв (10) систем бодит тоон талбарт нэг ч шийдгүй бол нийцгүй систем гэдэг.

Одоо хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж, түүнээс хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тодорхойлсонтой танилцая.

Хоёр хувьсагчтай, хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг (12) ⎩⎨⎧

=+=+

2222121

1212111

bxaxabxaxa

байдлаар авч үзье. Энэ системийг , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

121122 aa

aaA x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

112 x

xx x ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

112 b

bb x

матрицуудыг зохион оруулснаар, матрицан хэлбэрт шилжүүлбэл болно. хувьсагчдын утгыг

bAx = 21 x,x

2221

1211

222

121

11

aaaaabab

x =ΔΔ

= ,

2221

1211

221

111

22

aaaababa

x =ΔΔ

= (15) гэж илэрхийлж болно.

Ийнхүү хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийн утга нь тэгээс ялгаатай бол шийдийг нь (15) томьёогоор олж болохыг тогтоов.

Томьёоноос харахад нэгдүгээр хувьсагчийн утгыг олохдоо системийн үндсэн матрицын нэгдүгээр баганын элементүүдийг сул гишүүний матрицын харгалзах элементүүдээр сольсон матрицын тодорхойлогчийн утгыг үндсэн матрицын тодорхойлогчийн утганд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлж болохоор байна. Харин хоёрдугаар хувьсагчийн утгыг олохдоо үндсэн матрицын хоёрдугаар баганын элементүүдийг сул гишүүний матрицын харгалзах элементүүдээр сольсон матрицын тодорхойлогчийн утгыг үндсэн матрицын тодорхойлогчийн утганд харьцуулан тодорхойлохоор байна. Үүнийг хоёр хувьсагчтай, хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох Крамерийн дүрэм гэдэг.



шинжлэх ба шийд олох аргууд

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэхийг тогтоох болон шийдийг олох

Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй эсэхийг тогтоохын тулд n хувьсагчтай, m шугаман тэгшитгэлүүдээс тогтох дараахь системийг авч үзье. Үүнд:

(1)

нэгний нь шийд эг зэрэг нийцгүй бол тэдгээрийг эквивалент

дорхойлолтоос дараахь гурван чанар шууд мөрдөн гардаг. Үүнд:

нт бол хоёрдугаар систем нь нэгдүгээртэйгээ эквив

тайгаа эквивалент

б б

, р тэгшитгэл дээр

лийн элементарь хувиргалт гэнэ.

темд шилжвэл, дээрх төрлийн тэгшитгэлийг орхих

д шил

3.1.2.Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэхийг

Гауссын арга

⎪⎩ =+++ mnmnmm bxaxaxa L

LLLLLLLLLLL

2211

⎪

⎪⎪⎨

⎧=++=+++

nn

nn

bxaxaxabxaxaxa

LL

L

L

22222121

11212111

+

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр өөр систем нэгэн зэрэг нийцтэй бөгөөд нөгөөгийнхөө шийд болдог эсвэл хоёул нсистемүүд гэж нэрлэдэг.

Энэ то1).Систем бүхэн өөрөө өөртэйгээ эквивалент 2).Нэгдүгээр систем хоёрдугаартайгаа эквивале

алент 3).Нэгдүгээр систем хоёрдугаартайгаа, хоёрдугаар нь гуравдугаартайгаа тус, тус эквивалент бол нэгдүгээр нь гуравдугаар

Тодорхойлолт. Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн системийн i ба k -р тэгшитгэлийн айрыг сольж, усдыг нь хэвээр үлдээж шинэ систем үүсгэхийг нэгдүгээр төрлийн элементарь хувиргалт гэнэ.

Тодорхойлолт. Өгөгдсөн системийн i -р тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлжk - нэмэхэд гарсантай ижил k -р тэгшитгэлтэй, бусад нь хуучин тэгшитгэлүүдээс тогтох системд шилжихийг хоёрдугаар төр

Тодорхойлолт. Хэрвээ өгөгдсөн систем хоёрдугаар төрлийн элементарь хувиргалтаар 0000 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx L тэгшитгэлийг агуулсан сис

ыг гуравдугаар төрлийн элементарь хувиргалт гэнэ. Теорем. Дээр авч үзсэн гурван төрлийн элементарь хувиргалтаар шугаман тэгшитгэлийн

систем өөртэйгээ эквивалент систем ждэг. Элементарь хувиргалтуудаар өгөгдсөн системээс арай хялбар системд шилжих нэгэн

аргыг авч үзье. Тус аргыг Гауссын хувьсагчдыг дараалан зайлуулах арга гэнэ. Одоо энэхүү аргыг тайлбарлая. (1) системийн 011 ≠a гэж үзье. Хэрвээ 011 =a бол өгөгдсөн системийн нэгдүгээр тэгшитгэлийг 1x хувьсагчийн коэффициент нь тэгээс ялгаатай байх өөр нэг тэгшитгэлтэй байрыг нь сольж, коэффициентуудыг дахин дугаарлана. Эхлээд (1) системийн нэгдүгээр тэгшитгэлээс бусад үлдсэн бүх тэгшитгэлээс 1x хувьсагчийг зайлуулья. Үүний тулд

өмнөх

нэгдүгээр тэгшитгэлийн талыгхоёр11

21aa

−

хоёр

-ээр үржүүлэн тэгшитгэл дээр нэмсний

дараа мөн нэгдүгээр талыг

, хоёрдугаар

тэгшитгэлийн11

31aa

− -ээр равдугаар тэгшитгэл дээр

нэмье. Гэх мэтчилэн нэ хоёр талыг

үржүүлэн гу

гдүгээр тэгшитгэлийн11

1m -ээрaa

− үржүүлж, m-р тэгшитгэл



дээр нэмбэл эдгээр хувиргалтын үр дүнд (1) систем (2) болно.

Энд

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++=+++

mnmnm

nn

nn

'bx'ax'a

'bx'ax'abxaxaxa

L

LLLLLLLLLLL

L

L

22

22222

11212111

n,j;m,i;a

bab'b;

aaa

a'a iii

ijijij 22

11

11

11

11 ==⋅

−=⋅

−= байна.

Энд гэж үзье. Хэрвээ 022 ≠'a 022 ='a

2x

бол үлдэгдэл хэсгийн эхний тэгшитгэлийг түүний дараагийн тэгшитгэлүүдээс -ийн өмнөх коэффициент нь тэг биш байх аль нэг тэгшитгэлтэй байрыг нь солино. Ийм тэгшитгэл эс олдвоос өмнөх коэффициент нь тэгээс ялгаатай байх

хувьсагчуудын нэгтэй хувьсагчийг солино. Үүний дараа тэгшитгэлийн коэффициентуудыг болон хувьсагчдыг дахин дугаарлан, хувиргалт хийхэд бэлэн болгоно.

2x

nx,...,x,x 43

22

32

'a'a

−Үлдэгдэл хэсгийн эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг -ээр үржүүлж, дараагийн

тэгшитгэл дээр нэмнэ. Энэ үйлдлийг дараалуулан гүйцэтгэсээр үлдэгдэл хэсгийн эхний тэгшитгэлийг

22

2

'a'a m− -ээр үржүүлж, сүүлийн тэгшитгэл дээр нэмбэл (2) систем

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++=++

=+++

mnmnm

nn

nn

nn

"bx"ax"a

"bx"ax"a'bx'ax'ax'a

bxaxaxa

L

LLLLLLLLLLL

L

L

L

33

33333

22323222

11212111

(3) эквивалент системд хувирна.

Энд n,j;m,i;'a

'b'a'b"b;

'a'a'a

'a"a iii

ijijij 33

22

22

22

22 ==⋅

−=⋅

−= байна.

Системийг хувиргах ажиллагааг цааш үргэлжлүүлбэл төгсгөлөг алхмын дараа дараахь хоёр тохиолдлын аль нэгэнд заавал хүрнэ.

1).Хувирсан системийн үлдэгдэл хэсэг нь 0000 1 ≠=⋅++⋅+⋅ + rrnrr b,bxxx L тэгшитгэлийг агуулсан системд шилжинэ. Тэгвэл анхны (1) систем ганц ч шийдгүй буюу нийцгүй болно.

2). Дээрх шиг зүйл тохиолдохгүй үед (1) систем -ээс хэтрэхгүй алхмын дараа доорхи

хялбар эгэл хэлбэрт шилжинэ. Үүнд: (4)

m

+

rrr

nn

x

x"

x

34

3

LL

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=+++=++

=+++

−−−r

)r(nrn

)r()r(

nn

nn

bxaa

"bx"aax"a'bx'ax'ax'a

baxaxa

111

334333

2223222

11212111

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

L

Энд коэффициентууд бүгд тэгээс ялгаатай байна. Хувиргалтуудын явцад тэгшитгэлийн тоо цөөрч болох тул

rr)r(a,...,"a,'a,a 1

332211−

mr ≤ байна. (4) системийг шугаман тэгшитгэлийн системийн шаталсан хэлбэр гэдэг. Хэрвээ (1) систем элементарь хувиргалтуудаар (4) системд шилжиж байвал тэрээр нийцтэй байх ба хэрвээ

n< бол систем тодорхойгүй, r r n= бол тодорхой байна.

Хэрвээ (1) систем тодорхой бол дараахь хялбар эгэл хэлбэрт шилжинэ. Үүнд:



⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=+

=+++=+++

=+++

−−

−−

−−

−−−−

n)n(

nnn)n(

n)n(

nn,n)n(

nn,n)n(

nn

nn

nn

bxa

bxaxa

"bx"ax"ax"a'bx'ax'ax'a

bxaxaxa

11

12

12

1112

33434333

22323222

11212111

LLLLLLLLLLLLLL

L

L

L

nx

(5) (5) системийн сүүлийн тэгшитгэлээс

-ийн утга nn

)n(n

)n(

n abx 1

1

−

−

= гэж олдоно. Энэ утгыг сүүлээсээ хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал

-ийн утга олдоно. Энэ мэтчилэн цааш үргэлжлүүлбэл (5) системийн бүх хувьсагчид тодорхой утгатай болно. Тиймээс (5) систем нь нийцтэй бөгөөд тодорхой байна. Иймд түүнтэй эквивалент (1) систем мөн тодорхой болно.

1−nx

Хэрэв (4) системийн хувьд nr < бол хувьсагчуудад дурын тоон утга олгосны дараа (4) системийн тэгшитгэлүүдийг дороос нь дээш өгсөөж (5) системтэй ижил бодсноор хувьсагчуудын тодорхой утгыг олно. Дурын тоон утгуудыг авч байгаа

хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч, харин дээрх чөлөөт хувьсагчуудын дурын утгаас, (4) системийн тэгшитгэлүүдээр дамжин хөөж тодорхой утга нь олддог хувьсагчдыг суурь хувьсагч гэнэ. Чөлөөт хувьсагчуудын дурын утга, эдгээр утгуудаас хөөгдөж олсон суурь хувьсагчуудын утга хамтдаа (4) системийг хангах нь илэрхий. Чөлөөт хувьсагчуудын утгыг тоо томшгүй олон аргаар сонгох бололцоотой тул (4) систем тоо томшгүй олон шийдтэй байна. Үүнээс үүдээд түүнтэй эквивалент (1) систем ч тоо томшгүй олон шийдтэй байдаг.

nrr x,...,x,x 21 ++

11 x,...,x,x rr −

nxrr ,...,x,x 21 ++

rx,...,x,x 21

Тодорхойлолт. (4) системийг (1) системийн “трапец” шаталсан хэлбэр, харин (5) системийг “гурвалжин” шаталсан хэлбэр гэдэг. Практикт шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар хувиргахдаа тухайн системийг хувиргахын оронд түүний өргөтгөсөн матрицыг хувиргавал зохимжтой байдаг. Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матриц нь түүний үндсэн матриц, сул гишүүний матрицуудаар дараахь байдлаар байгуулагддаг. Үүнд:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+

mmnmm

n

n

mxn

baaa

baaabaaa

B

L

MMMMM

L

L

21

222221

111211

1

3.1.3. Матрицын ранг, түүнийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн

системийн нийцтэй эсэхийг тогтоох

Матрицын рангийн тухай ойлголтыг өгөхийн тулд хэмжээст тэгш өнцөгт хэлбэрийн mxn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaaaaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

})n,mmin{r(r ≤≤0 матрицыг авч үзье. Өгөгдсөн A матрицаас ширхэг

мөр, баганыг сонгон тэдгээрийн огтлолд байх элементүүдээс тогтох дараахь матрицыг байгуулья. Үүнд:



⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

rrrr

r

r

rxr

'a'a'a

'a'a'a'a'a'a

'A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

Дээрх матрицын тодорхойлогчийг матрицын rxr'A mxnA r эрэмбийн

минор гэнэ. Тодорхой болгох үүднээс nm ≤ гэж үзье. Тэгвэл өгөгдсөн матрицаас эрэмбийн миноруудыг зохиож болно. Тухайлбал 1221 ,,...,m,m,m −− r эрэмбийн минор

янзаар зохиогдох боломжтой. Энд 1 эрэмбийн минор гэдгийн дор өгөгдсөн матрицын нэг элементийг ойлгоно. Тиймээс ерөнхий тохиолдолд хэмжээст тэгш өнцөгт матрицаас нэгдүгээр эрэмбийн минор ширхгийг үүсгэх боломжтой.

rn

rm CC ⋅

mxnnm ⋅

Тодорхойлолт. Өгсөн матрицын элементүүдээс зохиосон 1221 ++−− r,r,...,m,m,m эрэмбийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү ба харин r эрэмбийн миноруудын дотор ядаж нэг минор тэгээс ялгаатай утгатай байвал r -ийг уг матрицын ранг гээд эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

)A(rang )A(r

Тодорхойлолтоор өгсөн A матрицын ранг нь түүний элементүүдээс дээрх аргаар зохиосон тэгээс ялгаатай минорын хамгийн их эрэмбэ болох ба тэрээр тухайн матрицын мөр, баганын тооны багаас нь хэтрэхгүй. Хэрэв А матрицын бүх элемент тэг бол түүний ранг тэгтэй тэнцүү буюу , зөвхөн ганц тэгээс ялгаатай элементтэй бол ранг нь нэг буюу

байна. Ер нь матриц нэгээс олон тэгээс ялгаатай элементтэй байсан ч ранг нь тэг байж болно. Матрицын рангийг олох нэгэн аргыг авч үзье.

0=)A(rang1=)A(rang

Матрицын рангийг олоход ихэвчлэн хүрээлэх аргыг хэрэглэдэг. Гэвч энэ арга нь олон хэмжээст матрицын хувьд сонголтын боломж олширдог тул зохистой бус байдаг. Тиймээс минорын мөр, баганыг сонголтыг хялбарчлах зорилгоор эхлээд өгөгдсөн матрицын рангийг өөрчлөхгүй элементарь хувиргалтыг хийвэл рангийг олох ажиллагааг хурдасгах боломжтой. Дурын хэмжээст матрицын хувьд дараахь таван хувиргалтыг элементарь хувиргалт гэдэг. Эдгээр хувиргалтуудаар матрицын ранг өөрчлөгдөхгүй. Үүнд:

1. Матрицыг хөрвүүлэх 2. Матрицын мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх. 3. Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) элементүүдийг тоогоор үржүүлж, өөр мөрийн

(баганын) харгалзах элемент дээр нэмэх. 4. Хоёр мөрийн (баганын) байрыг солих 5. Дан тэг элементээс тогтох мөрийг (баганыг) орхих Тодорхойлолт. Эдгээр элементарь хувиргалтаар бие, биедээ шилжиж буй матрицуудыг

төсөөтэй матрицууд гээд хооронд нь )( ≅ тэмдэгээр холбодог. Матрицын рангийг олохын тулд а). Матрицын мөрийн тоо нь баганын тооноос хэтрэхгүй байх шаардлагатай. Хэрэв энэ

нөхцөл хангагдахгүй бол өгөгдсөн матрицыг хөрвүүлнэ б). Дээрх элементарь хувиргалтуудыг ашиглан өгөгдсөн матрицыг гурвалжин эсвэл

трапец хэлбэрт шилжүүлнэ в). Хувирсан матрицаас сонгож болох гурвалжин хэлбэрийн миноруудын дотроос

хамгийн их эрэмбэтэйг нь сонгож олно. Энэ минорын эрэмбэ нь анхны өгөгдсөн матрицын ранг болно. Матрицын ранг нь шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй эсэхийг тогтооход чухал үүрэгтэй байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодохын өмнө түүнийг нийцтэй эсэхийг тогтоох нь ихээхэн ач холбогдолтой юм. Энэ асуудлыг хэрхэн шийдэхийг дараахь теорем хариулдаг.

Теорем.(Кронекер-Капеллийн теорем). A ба B матрицууд харгалзан (1) шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицууд болог. Хэрэв тэдгээрийн рангууд



тэнцүү бол (1) шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй ба A матрицын ранг нь B матрицын рангаас бага байвал (1) систем нийцгүй байна. Нийцтэй тохиолдолд үндсэн матрицын ранг системийн хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл n)A(rang = бол уг систем тодорхой, эсрэг тохиолдолд тодорхойгүй байна.



ЛЕКЦ №04 Сэдэв: 4.1. Урвуу матриц, түүнийг шугаман тэгшитгэлийн систем болон

матрицан тэгшитгэл бодоход ашиглах нь


Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг урвуу матриц болон Гаусс-Жорданы хувиргалтаар хэрхэн тодорхойлох талаар авч үзнэ.

Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд урвуу матриц, түүнийг олох аргууд болон урвуу матриц ашиглан ШТС-ийг бодох, Гаусс-Жорданы хувиргалтын тухай, хувиргалтыг ашиглан ШТС-ийн шийдийг хэрхэн тодорхойлох тухай мэдлэгийг тус тус эзэмшүүлэхэд хичээлийн зорилт оршино

Лекцийн үйл явц: Асуудал дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар

электрон хэлбэрээр лекц явагдана.

4.1.1. Урвуу матриц, түүнийг шугаман тэгшитгэлийн систем болон

матрицан тэгшитгэл бодоход ашиглах нь

Тодорхойлолт. n эрэмбийн квадрат матрицын хувьд EAAAA =⋅=⋅ −− 11

E нөхцөлийг хангаж

буй A-1 матрицыг өгсөн A матрицын урвуу матриц гэнэ. Энд нь n эрэмбийн нэгж матриц болно.

Тодорхойлолт. n эрэмбийн квадрат матриц A өгөгдсөн болог. Энэ матрицын элементүүдийн харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээр зохиогдсон матрицыг хөрвүүлэхэд гарах матрицыг A-ийн уялдсан матриц гээд A* гэж тэмдэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл уялдсан матриц нь

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

nT

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AAA

AAAAAA

*A

L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

21

22212

12111

21

22221

11211

байна.

Дээр тодорхойлсон уялдсан матрицаар өгсөн матрицын урвуу матриц )Adet(

*AA =−1

гэж үүсгэгддэг. Энэхүү матриц нь урвуу матрицын тодорхойлолтыг хангана гэдгийг матриц үржүүлэх дүрэм, тодорхойлогчийн чанаруудыг ашиглан амархан шалгаж болно. Урвуу матриц үүсгэгдэж буй дүрмээс харахад матриц урвуутай байх зайлшгүй нөхцөл нь түүний тодорхойлогч тэгээс ялгаатай 0≠)Adet( байх явдал юм.

Урвуу матрицыг дараахь үйлдлүүдийн дарааллаар олдог. Үүнд: а).Өгөгдсөн матрицын тодорхойлогчийг бодно. Хэрвээ тодорхойлогч тэгээс ялгаатай

бол дараагийн алхамд шилжинэ. Харин тэгтэй тэнцүү бол урвуу матриц оршин байхгүй тул бодолтыг зогсооно.

б).Бүх элементийг алгебрийн гүйцээлтийг олно. в).Уялдсан матрицыг байгуулна. г).Уялдсан матрицыг өгөгдсөн матрицын тодорхойлогчийн урвуу тоогоор үржүүлж,

шинэ матриц байгуулна. Энэ нь тухайн матрицын урвуу матриц болно.




Урвуу матрицыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн тэгшитгэлийн

Үүний тулд n хувьсагчтай, n шугаман тэгшитгэлээс тогтох ⎪

= nnnn bx

(6) системийг авч үзье. ) системийг матр бэрт

системийн болон матрицан

⎪⎪⎨

⎧=+++=+++

nn

nn

bxaxaxabxaxaxa

LLLLLLLLLLLLL

L

L

22222121

11212111

шийдийг хэрхэн олох асуудлыг сонирхоё.

⎪⎩ +++ nn axaxa L2211

(6 ицан хэл bAx = (7) гэж бичнэ. Энд

, , болно. ⎟⎟⎟

⎠⎝ nnnn aaa L

M

21⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ nxM

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜ M

⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

= n

n

aaaaaa

AMMM

L

L

22221

11211

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=xx

x 2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

b 2

1

0≠)Adet( нөхцөлд (7) тэгшитгэлийн хоёр талыг зүүн талаас нь 1−A -ээр үржүүлбэл, (6) шугамгэж олж болдог. Үүнийг шугаман тэгш йг бодох урвуу матрицын арга гэнэ.

4.1.2. Шугаман тэгшитгэл усс-Жорданы хувиргалт

гөөд тодорхойгүй(төгсгөлгүй олон шийдтэй) системийн шийдийг олох ба

эй систем э нөхцөлийгпрограммчлалын бодлогыг авч үзэхэд Гаусс-

орданы арга нь чухал ач холбогдолтой байдаг. Бидэнд хувьсагчдыг хувьсагчид болгон хувиргаж байгаа шугаман

буулгалт дараахь байдлаар өгөгдсөн болог. Үүнд:

)

Энэхүү буулгалтанд хар алза үс ти оо и б л .

ан тэгшитгэлийн шийдийг bAxbAExbAAxA ⋅=⇒⋅=⇒⋅=⋅ −−−− 1111 итгэлийн системиийн системийг Га

ашиглан олох нь

Бид өмнө шугаман тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг яаж шинжлэх болон нийцтэй бөгөөд тодорхой(ганц шийдтэй) үед шийдийг хэрхэн олох тухай авч үзсэн билээ. Одоо нийцтэй бөшинжлэхэд ихэвчлэн хэрэглэдэг гол элементийн сонголттой Гаусс-Жорданы аргатай танилцах болно. Дараагийн хичээлүүдэд төгсгөлгүй олон шийдт э с тодорхой хангасан оновчтой шийдийг олох шугаман Ж nx,...,x,x 21 my,...,y,y 21

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++++=

+++++=

+++++=+++++=

nmnlmlmmm

nknlklkkk

nnll

nnll

xaxaxaxay

xaxaxaxay

xaxaxaxayxaxaxaxay

LL

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

LL

LL

2211

2211

222221212

112121111

(8

г х х нэг йг д рх айд аар зохиодог

x1 x2 … xl … xn y 11 a12 … a11 a l … a1n y2 a21 a22 … a2l … a2n M M M M M M M

yk ak1 ak2 … akl … akn M M M M M M M

ym am1 am2 … aml … amn



Э н агуу өрим агуулсан баганыг багана гэнэ. Эдгээр мөр

баганын огтлолд буй элементийг гол элемент гэдэг. дараа системийн р тэгшитгэл

Үүнийг (8) системийн Гаусс-Жорданы ердийн хүснэгт гэдэг. Одоо (8) шугаман буулгалтын хувьд ky -г -ээр солих хувиргалт хийе. Тодорхойлолт. нэ тохиолдолд дээрх хүснэгтий элементийг лсан м йг чиглүүлэгч өр, харин lx элементийг

lx

kyчиглүүлэгч

kla

Хувиргалтын (8) k -

kkl

nkl

knl

kl

l,kl

kl

l,k

kl

k

kl

kl a

x 1−= ya

xaa

xa

ax

aa

xaa

xa 1

11

11

22

1 +−−−−−− ++

−− LL буюу ∑

≠=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

n

ljj

kkl

jkl

kjl y

ax

aa

x1

1 (9)

сад тэгшитгэлүүдэд орлуулбал

болно.

(9)-ийг бу ki,m,i,yaa

xa

aaaay k

kl

ilj

n

ljj kl

kjilkliji ≠=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∑

≠=

11

(10) болж

увир

Дээрх хувиргалтуудын үр дүнд Гаусс-Жорданы ердийн хүснэгтийн элементүүд дараахь өөрчлөгддөг. Үүнд:

x … yk …

х на.

байдлаар

x1 2 xny1 a’1

1 a’1

2 … a’1l … a’1

n y 2 a’2 … a’2l … a’22 a’

1 2 n M M M M M M M

xl a’k1 a’k2 … a’kl … a’knM M M M M M M

ym a’m a’m … a’m

1 2 l n … a’m

Энд шинэ хүснэгтийг бөглөхдөө доорхи дүрмийг баримтлана.

а). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний эхний нүдэнд

г

н хүснэгтийн оршин байсан нүдэнд харгалзах

lx -ийг, харин хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын эхний нүдэндk тус, тус тавина. Бусад хувьсагчдыг хуучин байранд нь хэвээр үлдэнэ.

б). Шинэ хүснэгтийн хуучи гол элемент

y -

нүдэнд гол элементийн урвуу kl

kl a'a 1

= тоог бичнэ.

в). Ш чин хүснэгнүднүүдэд элементийг

инэ хүснэгтийн хуу тийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний үлдсэн хуучин хүснэгтийн гол элементэд хувааж, тэмдгийг нь эсрэгээр

өөрчлөн lj,n,j,aa

'akl

kjkj ≠=−= 1 бичнэ.

г). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад үлдсэн харгалзах баганыннүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж ki,m,i,

aa

'akl

ilil ≠== 1 бичнэ.



д). Шинэ хүснэгтийн үлдсэн нүдний элементүүдийг

lj,n,j,ki,m,i,aaaa

'a kjilklijij ≠=≠=

−= 11

akl

дүрмээр тооцож олно. Үүнийг тэгш өнцөгтийн дүрэм гэдэг.

Уг дүрмийг илэрхийлж буй томьёог дараахь бүдүүвчид тулгуурлан амархан ойлгож болно. Үүнд

aij ail

akj akl

Тус тэгш өнцөгтийн хувьд a элементүүдийг агуулсан диагоналийг гол диагональ гэнэ. Иймээс элементийг олохдоо хуучин хүснэгтэнд дээрх байдлаар байгуулсан тэгш өнцөгтийн гол диагоналийн элементүүдийн үржвэрээс хажуугийн диагоналийн элементүүдийн үржвэрийг хасч, гол элементэд хуваадаг.

klij a,

ij'a

Заримдаа Гаусс-Жорданы хялбарчилсан хувиргалт гэж нэрлэгдэх дараахь хувиргалтыг

ашигладаг. Энэ тохиолдолд (8) системийг ∑=

=−⋅−=n

jjiji m,i),x()a(y

1

1 хэлбэрээр бичиж,

хувиргалтын хүснэгтийг

-x1 -x2 … -xl … - xn y1 -

a11 -a12

… -a1l … -a1n

y2 -a21

-a22

… -a2l … -a2n

M M M M M M M

yk -ak1 -ak2 … -akl … -aknM M M M M M M

ym -am1

-am2

… -aml

… -amn

байдлаар авч үздэг.

Хувиргалтын үр дүн болох шинэ хүснэгтийг дараахь аргаар бөглөдөг. Үүнд:

-x1 -x2 … -yk … -xn y1 a’1

1 a’1

2 … a’1l … a’1

n y2 a’2

1 a’2

2 … a’2l … a’2

n M M M M M M M

xl a’k1 a’k2 … a’kl … a’knM M M M M M M

ym a’m

1 a’m

2 … a’m

l … a’m

n



а). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний эхний нүдэнд -ийг, харин хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын эхний нүдэнд

-г тус, тус тавина. Бусад хувьсагчдыг хуучин байранд нь хэвээр үлдэнэ. lx

ky−

б). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн гол элемент оршин байсан нүдэнд харгалзах нүдэнд гол элементийн урвуу

klkl a

'a−

=1 тоог бичнэ.

в). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний үлдсэн

нүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж lj,n,j,aa

'akl

kjkj ≠=

−

−= 1 бичнэ.

г). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын үлдсэн нүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж, тэмдгийг нь эсрэгээр сольж

ki,m,i,aa

'akl

ilil ≠=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= 1 бичнэ.

д). Шинэ хүснэгтийн үлдсэн нүдний элементүүдийг

lj,n,j,ki,m,i,a

a)(a()a)(a('a

kl

)kjilklijij ≠=≠=

−

−−−−−= 11

дүрмээр тооцож олно.

Энэ нь өмнөх тэгш өнцөгтийн дүрэмтэй ижил юм. Мөн хуучин дүрмээс зөвхөн чиглүүлэгч мөр, баганад харгалзах мөр, баганын элементийг олоход л ялгаа гардаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг Гаусс-Жорданы хялбарчилсан хувиргалт ашиглан хэрхэн олох талаар сонирхоё. Эхлээд (1) системийн тэгшитгэлүүдийг

хэлбэрээр бичнэ.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++−=

+++−=+++−=

)(0

)(0)(0

2211

22221212

12121111

nmnmmm

nn

nn

xaxaxab

xaxaxabxaxaxab

L

LLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

Үүний дараа хувиргалтын хүснэгтийг

с.г -x1 -x2 … -xn

0 b1 a11 a12 … a1n

0 b2 a21 a22 … a2n

M M M M M M

0 bm am1 am2 … amn

гэж зохион, түүн дээр x1,x2,…,xn хувьсагчдыг 0-үүдтэй ээлжлэн солих хувиргалтыг Гаусс-Жорданы хялбарчилсан дүрмээр хийнэ. Солит бүрийн бараа 0-ээр эхэлсэн баганыг орхих тул дараагийн хувиргалтанд хүснэгтийн баганын тоо нэгээр цөөрнө. Хувиргалтыг өгөгдсөн системийн үндсэн матрицын рангийн тоотой тэнцүү удаа гүйцэтгэнэ. Энд с.г гэсэн товчлол нь сул гишүүн гэсэн үг бөгөөд энэ баганыг 0-тэй мөртэй солихгүй.



Жишээ 4.1. Дараахь ШТС-ийг Гаусс-Жорданы хувиргалтаар олъё. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−

−=−+

13104653

152

321

21

321

xxxxx

xxx

Бодолт: Өгөгдсөн системийг хувиргалтанд бэлтгэн

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−=−−=

−+−−=

)104(130)53(60

)52(10

321

21

321

xxxxx

xxx

хэлбэртэй бичиж хүснэгтийг зохиовол дараахь хэлбэртэй болно.Өөрөөр хэлбэл:

с.г -х1 -х2 -х3 0 -1 2 5 -1 0 6 3 -5 0 0 13 4 10 1

х1-тэй баганыг чиглүүлэгч баганаар,эхний мөрийг чиглүүлэгч мөрөөр тус тус сонговол

гол элемент нь 2 байна. Эдгээрийг тусгайлан тэмдэглэж хувиргалт хийвэл:

с.г 0 -х2 -х3

х1

21

− 21

25

21

−

0 2

15 23

− 225

−23

0 15 -2 0 3

болно. Одоо өмнөх хүснэгтийн 0-ээр эхэлсэн баганыг орхивол хувиргалтын үр дүн

с.г -х2 -х3

х1 21

− 25

21

−

0 2

15 225

−23

0 15 0 3 байна.Чиглүүлэгч мөр баганыг тусгайлан тэмдэглэж зохих хувиргалтуудыг хийн,0-ээр эхэлсэн баганыг орхивол

с.г -х3

х1 51

−1

х2 53

−253

−

0 15 3



болно. Дахин чиглүүлэгч мөр,баганаа сонгон хувиргалт хийвэл эцсийн үр дүн нь:

с.г х1 2 х2 0 х3 5

гэж гарна. үүнээс харахад өгөгдсөн систем нийцтэй бөгөөд тодорхолй байна. Системийн ганц шийд нь х1=2 , x2=0 , x3=5 болно.



ЛЕКЦ №05

Сэдэв: тухай түүний практик дахь жишээнүүд

Утас:

5.1. Шугаман програмчлалын бодлогын

Хичээлийн цаг: 2 цаг Хичээл заагч багш: Маг А.Амарсанаа

99204676 , 96674676 E-mail: [email protected] Хичээлийн зорилго: Энэ хичээлээр шугаман програмчлалын бодлогын тухай

ойлголт болон эдийн засаг,бизнесийн энгийн жишээнүүдийн хувьд бодлогын математик загвару

дахь жишээнүүд, шийдийн чанаруудын талаархи мэдлэгийг эзэмшү

дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар электрон хэлбэрээр лекц явагдана.

5.1.1.Шугаман програмчлалын бодлогын тухай

үзүүлэлтүүдийг нарийвчлан илэрхийлж болохоор тусгайлан бүтээсэн

йл явцын тоон болон чанарын хувьслын талыг усгас

о у

г бодох онол,аргыг боловсруулдаг математикийн

л блогыг бодох

нол,а

олдог төгс рга бо

удыг хэрхэн зохиох аргачлалуудтай танилцана. Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд шугаман програмчлалын бодлогын

тухай,түүний практик үлэхэд оршино. Лекцийн үйл явц: Асуудал

Математикыг эдийн засгийн ухаанд хэрэглэхийн тулд эдийн засгийн тодорхой асуудалтай холбоотой бодлогын математик загварыг зохиодог.Аливаа юмс үзэгдэл,үйл явцын зонхилох шинж,гол зүйлийг загвар гэнэ. Загвар нь физик,математик,,тооцон бодох машины гэх мэт маш олон төрөлтэй байх бөгөөд тэдгээрийн дотроос юмс үзэгдэл,үт ан загварыг математик загвар гэнэ. Судалж буй объёктийн онцлог шинж чанар,тогтвортой тоон харьцааг илэрхийлэн зохиосон математик загвар нь лон хувьсагчийн ф нкцийн нөхцөлт экстремумын бодлогын шийдийг олох асуудалд шилжиж байвал математик програмчлалын бодлого болно.Математик програмчлалын бодлогысалбарыг математик програмчлал гэнэ. Математик програмчлалын бод огын тавилд дан шугаман функц ашиглаж айвал шугаман пролграмчлалын бодлого болно.Шугаман програмчлалын бодо ргыг боловсруулдаг математикийн салбарыг шугаман програмчлал гэнэ. Анх шугаман програмчлалын бодлогыг 1930-аад оны үед Оросын эрдэмтэн,Нобелийн шагналт Л.В.Канторович хавтангаар (фанериар) бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг үйлдвэрийн эсгэлтийн хаягдлыг хамгийн бага байлгах зорилгыг шийдвэрлэх судалгаа явуулахдаа “Зохистой эсгүүрийн бодлого” хэлбэрээр томъёолсон бөгөөд бодлогын шийдийга лох симплекс аргыг Америкын эрдэмтэн Дж.Данциг боловсруулсан байна. Шугаман програмчлалын бодлого нь математьик агуулгаараа төгсгөлгүй олон шийдтэй шугаман тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишүүдийн системийн шийдүүдийн дотроос зорилгын шугаман функцийг хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгатай байлгах тийм оновчтой шийдийг



1

+

+

2 +

2 2

2

...0, 0, ..., 0

m m n n m

n

a x a x a x bx x x

⎪ + + ≤⎪

≥ ≥ ≥⎪⎩

олох б п атик загварыг ерөнхий тохиолдолд

n) (1)

увьсагчид сөрөг бус байх хцөл хэмээн тус ту .

Үүнд:

одлого юм.Шугаман рограмчлалын бодлогын матем

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1

2 ,1 1 2 ,2 2 2 , 2

...

...

............................................

...

...

.......

n n

n n

m m m n n m

m m m n n m

m m m n n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b+ + +

+ + +

+ + =

+ + =

+ + =

+ + ≥

+ + ≥

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1

2 ,1 1 2 ,2 2 2 ,

...................................................

...

...

........................................

m m m n n m

m m m n n m

m m m n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x+ + +

+ + +

+ + ≥

+ + ≤

+ + ≤

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

дэлгэрэнгүй бичвэл: =c1x1+c2x2+…cnxn→max(mi

Z

Det1: Энэхүү томъёолсон шугаман програмчлалын бодлогын хувьд (1)-ийг тухайн бодлогын зорилгын функц, (2)-ыг хязгаарлалтын систем,(3)-ыг хнө с нэрлэнэ

1 20 ...m m m≤ ≤ ≤ ≤ 2 2

... ...mb +

............(*)

1 1m

1

нөхцөл

(2

хангагдана

(3)

5.1.2.Шугаман програмчлалын бодлогын жишээнүүд

Эдийн засаг,бизнесийн аливаа үйл ажиллагааг явуулахад бидэнтэй өдөр бүр шахуу өөрт буй төрөл бүрийн нөөцүүдийн хязгаарлалт дээр тодорхой зорилгыг хангасан оновчтой шийдвэр гаргах асуудал учир байдаг билээ.Энэхүү асуудлыг шийдэхдээ ууд атематик загвар бичээд айдаггү ч амьдралын туршлага,тухайн үеийн орчны онцлог эрэгт т лгуурлан оновчтой шийдэнд ойртсон шийдвэрийг хүмүүс гарг

ч ш мб й з у

адаг.Энд бидний олон талт үйл ажиллагааны хувьд тохиолдох зарим сонирхолтой жишээнүүдийн хувьд шугаман програмчлалын бодлого хэрхэн томъёологдохыг авч үзье.

5.1.2.1.Үйлдвэрийн газрын зохистой төлөвлөлтийн бодлого Зах зээлийн нөхцөлд үйлдвэрийн газрууд буюу пүүсүүд өөрийн эдийн засгийн нөөцөд

улгуу

йн шиг олдог бол үйлдвэрлэгч өөрт буй нөөцийг ашилан өгөгдсөн технологиор хэдэн ирээ, загварыг зохио.

Бодолт: Загв хийе. Үүнд:

длын тоо Загварыг бичихэд тулгуур дохио болгох үүднээс бодлогын нөхцлийг хураангуйлан

илэрх ийг зохиоё.

т рлан ашгаа хамгийн их байлгахын төлөө үйл ажиллагаагаа явуулдгийг микро эдийн засгийн хичээлээс бид мэднэ.нэхүү үйл хөдлөлийг тусгасан нэгэн жишээ бодлогыг авч үзье. Бодлого 1: Нэгэн үйлдвэрийн газар 400 м банз ашиглан ирээ ба сандал үйлдвэрлэхээр болов.тус үйлдвэр 450 хүн цагийн нөөцтэй ба 1 ширээ хийхэд 20 м банз, 15 хүн цаг, харин 1 сандал хийхэд 5м банз, 10 хүн цаг зарцуулна. 1 ширээнээс 8000 төг, 1 сандлаас 4000 төг-иаш сандал үйлдвэрлэвэл хамгийн их ашиг олох вэ? Бодлогын математик

арыг бичихийн тулд дараах тэмдэглэгээгх1-үйлдвэрлэх ширээний тоо х2-үйлдвэрлэх сан

ийлсэн хүснэгт



үтээгдэхүүний нэр Нөөци мжээ Нөөцийн нэр Б йн хэШирээ Сандал Банз (м) 20 5 400

Хөд ) 15 450 өлмөр (хүн цаг 10 Үйлдвэрлэх тоо (ш) x1 x2

Ашиг (төг) 8000 4000 Эндээс тэмдэглэсэн тооны ширээ,сандлын үйлдвэрлэлд зарцуулаг ах банзны хэмжээг

тооцвол өгөгдсөн технологиор 20х1+5х2 болох ба энэхүү хэмжээ нь үйлдвэрийн газарт буй бэлэн нөөцөөс хэтрэхгүй тул эхний нөөцийн хязгаарлалт нь 20х1+5х2≤ 400 байн . Үүнт й төсөөтэйгээр хөдөлмөрийн нөөцийн хязгаарлалтыг 15х1+10х2

д

а э≤ 450 гэж бичиж болно.Эдийн

засгий

ойлъё.Бидэнд нэгж бүтээгдэхүүнээс олох ашиг өгөгдсөн тул үй 00x max зорилгын функцээр илэрхийлэгдэн

Бодлогод өгөгдсөн нөхцлүүдээр илэрхийлэгдэх математик загварыг бичвэл Z=8000x1+4000x

болно.

г

н агуулгаараа үйлдвэрлэх ширээ сандлын тоо эерэг бүхэл тоо байх тул х1≥ 0 , х2≥ 0

хувьсагчид сөрөг бус байх хязгаарлалтыг тавих шаардлагатай. Одоо бодлогы зорилгоо тодорхлдвэрийн газрын нийт ашгийг хамгийн их байлгах зорилго нь: Z=8000x1+40 2→

э.

2→max 1 2

1 2

20x 5 40015x 10 450

xx

+ ≤⎧⎪ + ≤⎨

1 20, 0 бүхэл тооx x⎪ ≥ ≥ −⎩ 5.1.2.2. Хэрэглэ чийн оновчтой сонголтын бодлого

Микро эдийн засгийн хичээлээр хэрэглэгчийн үйл хөдлөлийг судлах явцдаа хэрэглэгчийн оновчтой сонголтын бодлого нь ерөнхий тохиолдолд төсвийн хязгаарлалт дээр тухайн хэрэглэгчийн нийт ханамжийг хамгийн их байлгах нөхцөлт экстремумын бодлого хэлбэрээр томъёологддог болохыг үзсэн билээ.Хоёр бүтээгдэхүүн сонгож буй хэрэглэгчийн хувьд оновчтой сонголт нь төсвийн шулуун ялгаагүй муруйн шүргэлтийн цэгт харгалздаг болохыг бид мэднэ.Гэвч нийт ханамжийн функц нь шугаман функцээр илэрхийлэгдэж бай

, вал

оёр шулуун шүргэлцэхгүй тул дээрхи ойлголтод тулгуурлан оновчтой сонголтыг тодорх

г авахаар төсөвлөсөн мөнгө 00 төгрөг бол тухайн хэрэглэгч төсвийнхөө хүрээнди хамгийн их ханамж авахн тулд

ь буй бодлого нь хэрэглэгчийн онолын үндсэн

хойлох боломжгүй.Үүнийг хэрхэн тодорхойлохыг дараахи жишээгээр тайлбарлая.

Бодлого 2: Нэгэн хэрэглэгч төгс орлодог 2 төрлийн бүтээгдэхүүн хэрэглэдэг.1-р

бүтээгдэхүүнээс х1-нэгжийг, 2-р бүтээгдэхүүнээс х2- нэгжийг хэрэглэж байгаа нөхцөлд хэрэглэгчийн нийт ханамж U=5x1+3x2 функцээр илэрхийлэгддэг болог.1-р бүтээгдэхүүнийнэгжийн үнэ 100 төгрөг,2-р бүтээгдэхүүнийх 150 төг ба хэрэглэгчийн энэ 2 бүтээгдэхүүний6сонголтоо хэрхэн хийх вэ? Бодлогын математик загварыг зохио. Бодолт: Энэ жишээний хув д авч үзэж бодлого болох тул загварыг нь бичихэд илүү хялбар байх болно.Хэрэглэгчийн төсвийн хязгаарлалтыг бичвэл: 100х1+150х2≤ 600 байна. Өөрөөр хэлбэл хэрэглэгчийн энэ 2 бүтээгдэхүүнээс х1,х2 хэмжээтэйг худалдан авахад зарцуулсан зардал хэрэглэгчийн төсөвлөсөн мөнгөнөөс хэтрэхгүй байх хязгаарлалт болно.Мөн хэрэглэгчийн худалдан авсан бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ эерэг байх тул хувьсагчид сөрөг бус байх хязгаарлалт х1≥ 0 , х2≥ 0 гэж тавигдана.



функц нь хэрэглэгчийн нийт ханамжийн функцээр илэрхийлэгдэх өн ийн үйл хөдлөлийн математик загвар нь:

U=5x1+3x max

Бодлогын зорилгынтул өгс хэрэглэгч

бодлогын хувьд

2→1 2100 150 600x x+ ≤⎧⎪

⎨ байна. 1 20, 0x x≥ ≥⎪⎩

5.1.2.3. Мэдээллийн хэрэгслийн сонголтын бодлого

Компаниуддын хооронд үнийн бус өрсөлдөөн ихтэй тохиолдолд бүтээгдэхүүнээ уртачлах явдал өргөн хүрээтэй байдаг.Энэ тохиолдолд компанийн өмнө сурталчилгааны

йн гаргасан шинэ бүтээгдэхүүнийг суртачлах зорилгоор адог сонгох болов. FM радио бүрийн нэг удаагийн сонсогчдын дундаж

тоо,сонсогчдын зорилто мрагдалтын хувь,тухай алчилгааг сонсох магадлал да

схэрэгслээ сонгох асуудал тулгардаг.Энэхүү асуудлаар оновчтой шийдвэр гаргахад туслах зорилгоор дараахи санаа авах жишээг авч үзье. Бодлого 3: Нэгэн компани өөрихоёр FM р

т зах зээлд ха н урт анхааранраахь хүснэгтээр өгөгдөв.

Үзүүлэлтүүд FM1 FM2

Нэг удаагийн сонсогчдын дундаж тоо 4 30000 0000Сонсогчдын зорилтот зах зээлд хамрагдалтын 60% 80% хувь Сурталчилгааг анхааран сонсох магадлал 0.7 0.6

FM тус бүрээр сурталчилгааг нэг удаа дамжуулах төлбөр харгалзан 5000 төг,4000 төг

ба компани сурталчилгаанд 100000 төг төсөвлөсөн.Мөн нэгдүгээр FM радиогоор хамгийн хдээ 16 удаа ,хоёрдугаараар 20 удаа дамжуулахаар төлөвлөв.Зорилтот зах зээлд хамрагдах

д хоёр FM-д

Бодолт: Загварыг зохиохын тулд дараахи хувьсагчуудыг оруулъя. Үүнд:

хлээд компанийн сурталчилгааны хувьд төсвийн хязгаарлалтыг бичье.Бидэнд нэг удааги

л компанийн сурталчилгааны төсвийн хязгаарлалт: 5000х1+4000х

ихүмүүсд давхардсан тоогоор хамгийн олон удаа сурталчилгааг хүргэхийн тулхэрхэн хуваарилах вэ? Бодлогын математик загварыг зохио. х1-Нэгдүгээр FM-ээр сурталчилгааг явуулах тоо х2-Хоёрдугаар FM-ээр сурталчилгааг дамжуулах тоо Э

йн сурталчилгааны үнэ.,сурталчилгааг хийх тооны тэмдэглэгээ,төсөвлөсөн нийт мөнгө мэдэгдэж байгаа ту 2≤ 100000 болно.

хувьсагчид дээр компанийн зүгээс тавьж буй хязгаарлалтыг

х

Харин сөрөг бус байх нөхцөл,давталтын тоо

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

200160

2

1

хх

гэж илэрхийлэх боломжтой.

Зорилгын функцийг тодорхойлохын тулд FM тус бүрийн нэг удаа сурталчилгааг дамжуулахад анхааралтай сонссон,зорилтот зах зээлд хамрагдах хүмүүсийн тоог олъё.Үүний тулд нэг удаагийн сонсогчдын дундаж тооноос өгөгдсөн хувиар зорилтот зах зээлд хамрагда



≤≤ 160 1x

үмүүсийн тоог олно.Ө.х 40000-ийн 6 24000 хүн, 30000-ийн 80% буюу 24000 болно.

л:

болно. Зорилтот сурталчилгааг анхааран сонссон хүмүүсийн давхардсан оог Z=16800x1 болох ба бодлогын нөхцөлд тохирсон математик агвар

-Бүхэл тоо байна.

х 0% буюуЭдгээрээс сурталчилгааг анхааран сонссон хүмүүсийн тоо зорилтот зах зээлд хамрагдаххүмүүсийн тоог харгалзах магадлалуудаар үржүүлснээр тодорхойлогдоно. Нэг үгээр хэлбэ 168007.024000 =⋅ 144006.024000 =⋅ зах зээлд хамрагдах

+14400x2 гэж илэрхийлж тз

⎪⎩ ≤≤ 200 2x

⎪⎨

⎧ ≤+ 10000040005000 21 xx

→+= max1440016800 21 xxZ

ийм 5.1.2.4. Банкны активыг зохистой байршуулах бодлого Арилжааны банкууд бусдаас татан төвлөрүүлсэн хөрөнгөө зээл, үнэт цаас,төв банкинд хадгалуулах зайлшгүй нөөц,касс дахь бэлэн мөнгө гэсэн 4 төрлөөр байршуулах оломжтой гэе.Арилжааны банкны эцсийн зорилго нь активуудаас олох орлогоо хамгийн их

ч

рүүлсэн хөрөнгийнхөө 40-өөс доошгүй хувийг зээлд олгох шаардлагатай ба харин 30-аас ээш хувийг үнэт цаас худалдан авахад зарцуулахаар төлөвлөв.Зээлийн сарын хүү 5%,харин ус ба гийн их орлого

длогын нөхцөлд тохирсон математик загварыг

агварыг бичихийн тулд дараахи тэмдэглэгээг оруулъя.Үүнд: х1-зээлийн хэмжээ,сая төг

х2-х авсан үнэт цаас, сая төг банкны хувьд тайлан тэнцэл нь хүснэгтэд өгөгдсөн байдлаар илэрх

Актив Пассив

ббайлгах явдал юм.Дээр дурьдсанаас сүүлийн 2 төрлийн актив нь орлого өгөхгүй .Тиймээс активаа зээл, үнэт цаасанд хамгийн онов тойгоор байршуулах шаардлагатай юм.Үүнтэй холбогдох дараахи жишээг авч үзье: Бодлого 4: Нэгэн арилжааны банкны татан төвлөрүүлсэн нийт хөрөнгө 300 сая төг, түүний 10%-ийг төв банкинд зайлшгүй нөөцөд хадгалуулах ёстой.Тухайн банк татан төвлөдт нкны худалдан авах гэж буй үнэт цаасны хүү 6%, бол банк сард хамолохын тулд активаа хэрхэн байршуулах вэ? Бобич. Бодолт: З

удалданМөн тухайн ийлэгдэнэ.

1. Зээл 2. Үнэт цаас

3. Төв банкин дахь зайлшгүй нөөц

4. Касс дахь бэлэн мөнгө

1.Татан төвлөрүүлсэн нийт хөрөнгө



ивд

айршн

төвлөрүүлсэн хөрөнгийн зээлд олгох шаардлагыг х 300*0.4=120 , 30-г цаасанд зарцуулах тус тус болно.

Бодлогын зорилгын функц нь зээл ба үнэт цаасны хүүгээс хамаарсан Z=0.05x1 2 шугаман функцээр илэрхийлэгдэнэ. Бодлогын нөхцөлд нийцсэн математик загварыг бичвэл:

байна.

Банк татан төвлөрүүлсэн хөрөнгийнхөө 10% болох 30 сая төг- йг төв банкинд зайлшгүй нөөцөд хадгалуулна. Тиймээс лдсэн 270 сая төг-ийг нөгөө 3-н акү

40-өөс доошгүй хувийг

ти

+0.06x

б уулна.Зээл болон үнэт цаасанд байршуулсан мөнгөний дүн 270 сая төг-өөс хэтрэхгүй.Үүнийг тэмдэглэгээний тусламжтайгаар илэрхийлвэл х1+х2≤ 270 болно.Тата

1≥илэрхийлжаас дээш хувий үнэт ыг х2≥ 300*0.3=90 гэж

21

⎪⎩

⎪⎨

≥≥

90120

2

1

xx

⎧ ≤+

→+=

270max06.005.0 21

xxxxZ

5.1.2.5. Нэг хэмжээст зохистой эсгүүрийн болдлого Хүмүүс тодорхой эх материалаас төлөвлөсөн загварын дагуу эсгүүр хийх явдал олонтоо тохиолддог.Энэ тохиолдолд эсгүүр хийсний дараахи хаягдлыг хамгийн бага байлгах асуудал тулгардаг.үүнтэй холбоотой энгийн жишээг авч үзье.

Бодлого 5: Мужаан 50 цонхны хүрээ хийхийн тулд 105 см урттай банзнаас 40 см см-ийн ур хүрээнд 40 см-ийн ур 2 банз,1 банз ордог.Хөрө уудын технологи бол да хь хүснэгтээр .

Хөрөөдөлтийн 105 см нзнаас хөрөөдөн ав болох банзны тоо Хаягдал

,18 ттайраа

ттай банзуудыг хоёр8 см-ийн урттай 3

өгөгдөв

аргаар хөрөөдөж бэлтгэнэ.Нэг цонхны өдөлтийн арг он хаягдал

ба ч

аргууд 40 см 18 см 1-р арга 2 1 7 см 2-р арга 1 3 11 см

Арга тус бүрээр хэдэн удаа хөрөөдөн бэлтгэвэл банзны хаягдал хамгийн бага байх вэ? одлог н нөхцөлд т ирсо математик загварыг

цэтгэхэд 2х1+х2 ширхэг 40 см-ийн банз бэлтгэгдэх ба энэ тоо нь бэлтгэх ёстой оо 10

йгээр 18 см-ийн банзны хувьд хязгаарлагч нөхцлийг бичвэл х1+3х2≥ 150 рэглэх тоонууд учраас эдгээрийн утга нь эерэг бүхэл тоо байх

шаардлагатай. одлог н зорилгын функц нь аргуудыг н эд гарах хаягдлаар Z=7x1+11x2

гэж илэрхийлэгдэнэ. Математик загварыг бичвэл:

⎪⎩

⎨→≥≥≥+

→+=

хэлтообxxxx

xxZ

ү0,01503

min117

21

21

21

Б ы ох н бич. Бодолт: Дараахи тэмдэглэгээнүүдийг оруулъя. Үүнд: х1-нэгдүгээр аргыг хэрэглэх тоо, х2-хоёрдугаар аргыг хэрэглэх тоо Мужаан нийт 50 цонхны хүрээ бэлтгэх тул 50*2=100 ширхэг 40 см-ийн банз, 50*3=150 ширхэг 18 см-ийн банз бэлтгэх шаардлагатай.Тэмдэглэгээг ашиглавал аргуудыг заагдсан тооны удаа гүйт 0-аас багагүй байх шаардлагатай.Үүнийг тэнцэтгэл бишээр илэрхийлбэл: 2х1+х2≥ 100 болно.Үүнтэй төсөөтэгэж гарна. х1, х2 нь аргыг хэ

Б ы эг удаа хэрэглэх

⎪⎧ ≥+ xx 1002 21 болно.



5.1.2.6.Хамгийн бага зардлаар малын тэжээл бэлтгэх бодлого Манай орны ХАА-н үйлдвэрлэлд өвлитйн нөхцөлд малыг тэжээх шаардлагатай тулгардаг.Малд өдөрт зайлшгүй шаардлагатай авах амин дэмүүдийн норм мэдэгдэж байдаг гэвэл хүчит тэжээлээр малыг хамгийн бага ззардлар бордох асуудал амьдралд

уураг 1000 гр-аас, кальци 100 гр-аас,фосфор 80 гр- нэгж 30 гр-аас багагүйг тус тус агуулах ёстой.Тэжээлийн нэр төрөл тус бүрийн

1 дах тэжээлий лон тэжээлүүд х ө дара эр

Т 1 кг тэжээ дэмүүд Өөрийн өрт өг)

тохиолддог.Үүнтэй төстэйгээр сувилал болон цэцэрлэгийн өдөрт авах амин хүчлүүдийг зайлшгүй өгч байхаар хамгийн бага өртгөөр бэлтгэх тухай авч үзсэн жишээнүүд олонтоо тохиолддог.Нэгэн жишээг авч үзье. Бодлого 6: Малыг өвс дарш гэсэн 2 төрлийн тэжээлээр тэжээнэ.Хоногт хэрэглэх өвсний хэмжээ 50 кг-аас ихгүй,харин даршны хэмжээ 80 кг-аас хэтрэхгүй байх шаардлагатай.Эдгээр тэжээлийн холимогтаас,тэжээлийнкг-д агуулагөрийн өртөг

н нэгж,уураг,кальц,фосфорын хэмжээ бо ийг бэлтгэахь хүснэгтэ өгөгдөв.

эжээлийннэр

лд агуулагдах амин

өг (тТэжээлийн нэгж Уур гр) Кал гр) Фосф (гр) агс ( ьц ( ор

Өвс (кг) 0.5 40 1.25 2 1200 Дарш (кг) 0.5 10 2.5 1 800

Тэжээлийн өртөг х ын нөхцөлд тохирсон математи

йн холимогт хэрэглэх даршны хэмжээ, кг эглэгээ

нийт холимогт дах тэжээлийн нэгж 0.5х1+0.5х2 болох ба бодлогын сан ёсоор 0.5х1 байна.

Бусад амин дэмүүдийн хувьд дээрхитэй төсөөтэйгээр хязгаарлалтуудыг бичвэл:

х гн холимогт ашиглагдах

өртгийг хамгийн бага байлгах зорилгыг өгсөн үзүүлэлтүүдийн хувьд: min гэж тодорхойлж .Эндээс хязгаарлалтын нөхцөлүүд,зорилгын

гэн бодлогын нөхцө н математик загварыг бичвэл:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤≤≤≥+≥+≥+

→+=

80050080210001040

305.05.0min8001200

2

1

21

21

21

21

xxxxxx

xxxxZ

болно.

амгийн бага байхаар холимгийг хэрхэн бэлтгэх вэ? Бодлогк загварыг бич.

Бодолт: Дараахи тэмдэглэгээнүүдийг оруулъя. Үүнд: х1-нэг өдрийн тэжээлийн холимогт хэрэглэх өвсний хэмжээ, кг х2-нэг өдрийн тэжээли

1 кг тэжээлийн холимогт байх тэжээлийн нэгжийн хязгаарлалтыг бичье.Тэмдёсоор бэлтгэгдсэн агуулагнөхцөлд шаард +0.5х2 ≥ 30

802

1005.22.110001040

21

21

21

≥+≥+

≥+

хххх

хх болно.

Хувьсагчид сөрөг бус бай нөхцөл,хоногт ашиглах тэжээлүүдийн дээд хяз аарууд: 0≤ х1≤ 50, 0≤ х2≤ 80, гэж илэрхийлэгдэнэ. Тэжээлий

5

тэжээлүүдийн нийт2→Z=1200x1+800x болно

функцийг нэгт лд тохирсо



ЛЕКЦ №06

дэ програмчлалын ши

Шугаман

түүнийСэ в: 6.1. бодлогын

йдийн чанарууд тавил,


Хичээлийн зорилго: Энэ хичээлээр шугаман програмчлалын бодлогын үндсэн тавилууд,болом ит шийдийн муж,энэхүү мужийн онцлог,оновчтой шийд түүний чанару

ж

уудын талаархи оршино.

екций зарчмаар электрон хэлбэрээр

уд,суурь шийдийг олох аргын талаар авч үзнэ.Мөн эдийн засаг,бизнесийн энгийн жишээнүүдийн хувьд бодлогын математик загваруудыг хэрхэн зохиох аргачлалуудтай танилцана.

Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд бодлогынтавилууд, бодлогын шийдийн чанар

шугаман програмчлалын мэдлэгийг эзэмшүүлэхэд

Л н үйл явц: Асуудал дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн лекц явагдана.

6.1.1. Шугаман програмчлалын бодлогын тавилууд

3

Def 1: Хэрвээ шугам програмчлалын бодлогын хязгаарлалтын систем нь дан тэгшитгэлээс тогтдог бол бодлогыг шугаман програмчлалын үндсэн бодлого энэ.Үндсэн бодлогын математик

(1) байна.

Дээрхи бодлогын нкцийн коэффициентүүд,хувьсагчид,хязгаарлалтын системийн коэффициентүүд, параметрүүдийн тусламжтай дараахь матрицуудыг одорхойлъё.Үүнд:

, , ⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

=×m

bb

b 2

1

1

Шугаман програмчлалын бодлогын хязгаарлалтын системд оролцож буй тэгшитгэл,тэнцэтгэл бишүүдийн хэлбэрээс хамаарсан бие биенээсээ ялгаатай дараахь үндсэн хэлбэрийн тавил байдаг.

ан энэхүү

загвар:

зорилгын фунөөцийн

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

=×n

xx

x...

2

1

1

г

⎪⎪

⎩

⎪⎨

=+++ ......................................................

...

2211

2222121

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa⎪⎧

≥≥≥

=+++=+++

→+++=

0,...,0,0

...max(min)...

21

2

11212111

2211

n

nn

nn

xxx

bxaxaxaxcxcxcZ

т

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ mnmm aaa ...............

21

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ nx ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ mb

...⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

=× n

n

nm aaaaaa

A ......

22221

11211 ( )nn cccc ....211 =×

ef 2: А-г технологийн,х-г хувьсагчийн, b-г сул гишүүний,с-г зорилгын функцийн коэффициентийн матриц хэмээн ман програмчлалын үндсэн бодлогыг матрицан хэлбэрт

D

тус тус нэрлэнэ.Шуга



01

11

11

≥=⋅

×

×××

n

mnnm

nn

xbxA гэж бичиж болно.

Z max(min)→⋅= ×× xc

Ш

бодлогын хязгаарлалтын систем нь дан бага юм уу тэнцүү ( ) гэсэн тэнцэтгэл бишүүдээс тогтдог бол энэхүү бодлогыг шугаман програмчлалын стандарт бодлого гэнэ.

Станда огын математик загвар

(2) байна.

рамчлалын стандарт матрицуудын тусламжтайгаар матрицан хэлбэрт

угаман програмчлалын бодлого нь заавал үндсэн бодлого хэлбэрийн тавилтай байх албагүй.Ерөнхий эсвэл стандарт хэлбэртэй байж болох бөгөөд эдгээр хэлбэрийн бодлогыг үндсэн хэлбэрийн бодлогод ямагт шилжүүлж болдог.

Def 3: Хэрвээ шугаман програмчлалын

≤

рт бодл

⎪

⎧

≥

≤+++

→+++=

0.,

...max(min)...

11212111

2211

n

mn

nn

nn

x

bxaxaxaxcxcxcZ

⎪

⎪⎪

⎨≤+++

≤+++

......................................................

...

2211

22222121

mnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

⎩ ≥≥ ,..0,0 21 xx

Мөн шугман прог бодлогыг өмнө тодорхойлсон

01

11

11

≥≤⋅

max(min)→⋅= xcZ

×

×××

××

n

mnnm

nn

xbxA гэж бичиж болно.

Стандарт бодлогын хязгаарлалтын системийн зүүн гар талын илэрхийллүүдийн утга нь харгалзах сул гишүүний утгаас бага байгаа тул тэрхүү илэрхийллийн утгууд дээр эерэгутгатай нэмэл

байвал тухайн харгалзах нөөцөөс бүтээгдэхүүнд зарцуулагдахгүй үлдэж буй хэсгийн хэмжээг

Стандарт бодлого үндсэн бодлогод шилжсэн хэлбэр нь ерөнхий тохиолдолд:

(1) байна.

n+2,…,xn+m-хувьсагчдыг нэмэлт хувьсагч гэх ба эдгээр нь зорилгын функцэд тэг коэффициенттэй оролцох тул бодлогын томъёололд бичихгүй байж

.Стандарт бодлогыг үндсэн бодлогод шилжүүлсэний бодлогын матрицан бэрийн тавил нь:

, ,

т хувьсагчийг нэмж,тэнцэтгэл бишүүдийг тэнцэлээр солин үндсэн бодлогодшилжүүлдэг. Бодлогыг бодох явцад эдгээр нэмэлт хувьсагчид нь тэгээс ялгаатай утгатай

илэрхийлнэ.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

≥≥≥=+++

=+++

0,...,0,0...

......................................................

2211

22222121

mnmnmm

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxa

Энд xn+1,x

⎧ =+++

→+++=

...max(min)...

21

11212111

2211

n

nn

nn

bxaxaxaxcxcxcZ

болно дараахь хэл

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+×

1000........................

0...10...0...01...

21

22221

11211

)(*

mnmm

n

n

mnm

aaa

aaaaaa

A

)0...00...( 21)( nmn ccc=+×

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

×+

mn

mn

x

xx

x...

2

1

1)(*

1*c



1

+

+

2

2m

+

+

1 20, 0,..., 0nx x x≥ ≥ ≥⎪⎩

2

m

+

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1

2,1 1 2,2 2 2, 2

...

...

............................................

...

...

.......

n n

n n

m m m n n m

m m m n n m

m m m n n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b+ + +

+ + +

+ + =

+ + =

+ + =

+ + ≥

+ + ≥

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1

2,1 1 2,2 2 2, 2

...................................................

...

...

..............................................

m m m n n m

m m m n n m

m m m n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b+ + +

+ + +

+ + ≥

+ + ≤

+ + ≤

1 1 2 2

...............m m mn n ma x a x a x b

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ + + ≤⎪

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1

2,1 1 2,2 2 2, 2

...

...

............................................

...

...

.......

n n

n n

m m m n n m

m m m n n m

m m m n n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b+ + + +

+ + + +

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

2 2 2 2 1

,1 1 ,2 2 ,

1,1 1 1,2 2 1, 1 1

2,1 1 2,2 2 2, 2 2

...................................................

...

...

...............

m m m n n n m m m

m m m n n n m m m

m m m n n n m m

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

+ −

+ + + + − +

2+ + + + − +

+ + − =

+ + + =

+ + + =

11 1 2 2

..............................................m m mn n n m m ma x a x a x x b+ −

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪

11 20, 0,..., 0n m mx x x + −≥ ≥ ≥⎪⎩

Нэмэлт тэмдэглэгээг оруулснаар

болно.

Жишээ 6.1.1: Дараахь стандарт бодлогыг үндсэн хэлбэрт шилжүүл. Үүнд:

агчтай ,n=3 хувьсагчтай байна. Тиймээс нэмэлт х4, х5 гэсэн 2 хувьсагч үндсэн хэлбэрийг

0

max(min)

*1)(

1*

1)(*

)(

*1)(

*)(1

≥

=⋅

→⋅=

×+

××++×

×++×

mn

mmnmnm

mnmn

x

bxA

xcZ

⎪⎩ ≥≥ 0,0 32 xx

⎪⎨

⎧

≥≤++≤++

→++=

,0863

1222max684

1

321

321

321

xxxxxxx

xxxZ

Бодолт: Өгсөн ёсоор тус бодлого нь m=2 хязгаарл

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≥≥≥=+++=+++

→++=

0,0,0,0,08631222

max68

54321

5321

4321

321

ххxxxхxxxхxxx

xx4xZ

гэж

угаман програмчлалын бодлого нь ихэвчлэн дараахь ерөнхий хэлбэрийн тавилтай айдаг.

п бага аас

грамчлалын ерөнхий бодлого .

min)

(*) (**)

илэрхийлнэ. Шб Def 4: Хэрвээ шугаман рограмчлалынэ бодлогын хязгаарлалтын систем ньюм уу тэнцүү (≤ ), их юм уу тэнцүү (≥ ), тэнцүү (=) гэсэн хэлбэрийн хязгаарлагчуудхолилдон тогтдог болэнэхүү бодлогыг шугаман прогэнэ.Ерөнхий бодлого нь (*) хэлбэрээр бичигдэнэ Z=c1x1+c2x2+…cnxn max(min) →

n→ Z=c1x1+c2x2+…cnx max(

+



о г

цэтгэл бишүүдийг тэнцүү хэлбэрийн тэгшитгэлд шилжүүлэн үндсэн бодлого

нхий хэлбэрийн бодлогын үндсэн хэлбэрт шилжсэн байдлыг үзүүлбэл (**) хэ

нд хn+1,xn+2,…xn+m-m1 нь нэмэлт хувьсагчууд болно.

Жишээ 6.1.2. Дараахь бодлогыг үндсэн бодлогод шилжүүл.

Дээри бодлого нь m1=m бол үндсэн бодлого,m2=0 бол стандарт бодлого,m1=0 бол дан тэнцэтгэл биш хязгаарлагчтай бодлог болно.Тиймээс энэ бодлогы ерөнхий тавилтай бодлого гэжээ.Ерөнхий төвилтай шугаман програмчлалын бодлогын хувьд тэнцүү хэлбэрийн хязгаарлагчуудыг хэвээр үлдээж ,бага юм уу тэнцүү хэлбэрийн хязгаарлагчийн хувьд эерэг нэмэлт хувьс агчийг нэмж,их юм уу тэнцүү хязгаарлагчийн хувьд эерэг нэмэлт хувьсагчийг хасаж тэнболгоно. Иймээс дурын ШПБ-ыг үндсэн тавилтай байна гэж үзэж болно.Нэмэлт хувьсагчдыг анх өгсөн бодлогын хувьсагчийн тооноос цааш,тэнцэтгэл биш хязгаарлагчийн байрлалын эрэмбийг харгалзан нэмж дугаарлана.Нэмэлт хувьсагчийн тоо m-m1 ширхэг буюу бодлогын тэнцэтгэл биш хязгаарлагчийн тоотой тэнцүү байна.Хэрвээ тэнцүү хэлбэрийн хязгаарлагч бодлогод байхгүй бол m1=0 болж анх өгсөн хязгаарлагчийн тоотой тэнцүү m ширхэг хувьсагчийг нэмнэ.Ерө

лбэртэй байна. Э

⎪⎩ ≥≥

⎪⎨

⎧≥−≥+

→++−=

723

max332

2

21

21

21

xxxx

xxZ

0,01 xx

Бодолт: Хоёр хязгаарлагч нь хоёул их юм уу тэнцүү хэлбэрийн байгаа тул эерэг нэмэлт хувьсагчдыг хязгаарлагч илэрхийллүүдийн зүүн гар талаас хасч тэнцүүлнэ.Ө.х үндсэн

бодлого:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≥≥=−−=−+

→++−=

0,0,0,072

3max332

4321

421

321

21

ххxxхxxхxxxxZ

байна.

Жишээ 6.1.3. Дараахь ерөнхий тавилтай бодлогыг үндсэн хэлбэрт шилжүүл.

д авч үзсэн шиг нэмэлт хувьсагчуудыг оруулдаг.Нэг үгээр хэлбэл үндсэн хэлбэрийн тавил нь:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≤++−−

≤−−≥++=−+−=+++

→−+−=

0,...,0,0732

2122

732532

min3

421

4321

431

321

4321

4321

421

хxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

xxxZ

Бодолт: Ийм хэлбэрийн нөхцөлтэй бодлогыг үндсэн бодлогод шилжүүлэхийн тулд тэнцүү хязгаарлалтуудыг хэвээр үлдээж ,тэнцэтгэл биш хязгаарлалтуудад өмнөх жишээнүүдэ



гэж гарна.Энд х5, х6 ,х7 нь нэмэлт хувьсагчууд

юм. ⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=+++−−

=+−−=−++=−+−=+++

→−+−=

0,...,0,0732

2122732532

min3

721

74321

6431

5321

4321

4321

421

хxxхxxxx

хxxxхxxxxxxxxxxx

xxxZ

6.1.2. Шугаман програмчлалын бодлогын шийдийн чанарууд Шугаман програмчлалын бодлогын шийдүүдтэй холбогдох

ойлголт,тодорхойлолт,чанаруудыг авч үзье.

Def 1. Шугаман програмчлалын бодлогын хязгаарлалтын системийг хангаж буй цэгийг тухайн бодлогын боломжит шийд гэнэ. Боломжит шийдүүдийн олонлогийг боломжит шийдийн муж гэнэ. Def 2. Зорилгын функцийг хамгийн их утга,эсвэл хамгийн бага утгатай байлгах боломжит шийдийг оновчтой шийд гэнэ.Оновчтой шийд дээрхи зорилгын функцийн утгыг өгөгдсөн бодлогын оновчтой утга буюу оптимум гэнэ. Шугаман програмчлалын үндсэн бодлогыг авч үзье.Түүний шийд нь n-элементтэй матрицаар илэрхийлэгддэг. Энэхүү бодлогын хязгаарлагч системийн технологийн матриц А-ийн ранг нь r – болог. Def 3. Хэрвээ шугаман програмчлалын бодлогын боломжит шийд нь r-ширхэг тэгээс ялгаатай элементтэй,бусад нь дан тэг элементээс тогтож байвал уг шийдийг суурь шийд гэнэ.Суурь шийдийн хувьд тэгээс ялгаатай элементүүд нь бүгд эерэг бол боломжит суурь шийд гэнэ. Тухайлбал боломжит суурь шийд нь: ( )0,,,,,0,0,,...,, *

21*

1 rbbх иТ =× хэлбэртэй байж болно.Энд ribi ,...,2,1,* =≥

йд боломжит суурь шийд болно. 0

бол уг суурь ши Def 4. Суурь шийдийн тэгээс ялгаатай элементэд харгалзаххувьсагчдыг суурь, харин тэг элементэд харгалзах хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчид гэнэ.Бодлогын анхны тавилд оролцож буй хувьсагчдыг үндсэн хувьсагчид гэнэ. Теорем 1. n- хувьсагчтай шугаман програмчлалын бодлогын хувьд технологийн матрицын ранг нь r үед тус бодлогын суурь шийдийн тоо r - тэй тэнцүү байна. nC

Энэ тоо n элементтэй байрлал дээр r тэгээс ялгаатай тоог сэлгэх боломжийн тоо юм.Энд зөвхөн элементийн бүрэлдэхүүнийг харгалзаж байгааг анхаарах хэрэгтэй.

Жишээ 6.1.2.1. Дараахь шугаман програмчлалын бодлогын суурь шийдүүдийг ол.



⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥=+−+=−+−

→−+−=

0,...,03423224

min24

41

4321

4321

4321

xxxxxx

xxxxxxxxZ

Бодолт: Суурь шийдүүдийг олохын тулд юуны өмнө хязгаарлалтын системийн технологийн матрицын рангийг олох шаардлагатай.Технологийн матрицыг бичвэл:

байна.Энэ матрицын ранг нь хамгийн ихдээ хоёртой

тэнцүү байх ёстой.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=× 4123

241142A

Рангийг тодорхойлохын тулд уг матрицыг элементари хувиргалтаар трапщец хэлбэрт шилжүүлье.Үүний тулд А матрицын 1-р мөрийг (-3)-аар үржүүлж 2-р мөр дээр нэмье. Ө.х

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=× 101350

24114123

241142A

гэдгээс тэгээс ялгаатай гурвалжин минорыг 05

5011

≠=− гэж зохиож болох тул

r=rang (A)=2 байна. Технологийн матрицын r=2, үндсэн хувьсагчийн тоо n=4 тул Th 5.4.1-ээр суурь

шийдийн тоо 6!2!2

!424 =

⋅=C байна. Эдгээр суурь шийдүүд нь хувьсагчуудын (x1,x2), (x1,x3),

(x1,x4),(x2,x3), (x2,x4), (x3,x4) гэсэн хосуудын хувьд үүснэ. Хязгаарлалтын системийн хувьд Гаусс-Жорданы аргаар дээр заагдсан хосуудыг суурь хувьсагчаар сонгон бодолт хийе.Үүний тулд хязгаарлалтын системийг 0=2-(x1-x2+4x3-2x4) 0=3-(3x1+2x2-x3+4x4) гэж бичнэ.ЭндээсГаусс-Жорданы хялбар хүснэгтийг дараахь байдлаар илэрхийлж болно.Үүнд:

с.г -х1 -х2 -х3 -х4 0= 2 1 -1 4 -2 0= 3 3 2 -1 4

Эхлээд (x1,x2) хосын хувьд суурь шийдүүдийг олъё. х1-хувьсагчийг эхний 0 элементтэй сольж,суурь хувьсагч болгохын тулд чиглүүлэгч багана,мөрийг дээрхи байдлаар сонгоё.Энд гол элемент нь чиглүүлэгч мөр,баганын огтлолд байгаа 1-ээр тодорхойлогдоно.Зохих хувиргалтыг хийсний дараа анхны хүснэгт дараахь байдалтай болно.

с.г 0 -х2 -х3 -х4 х1= 2 1 -1 4 -2 0= -3 -3 5 -13 10

Одоо х2-ийг үлдсэн 0-тэй сольж,суурь хувьсагчид оруулахын тулд чиглүүлэгч мөр баганыг хүснэгтэд илэрхийлсэн байдлаар сонгоё.Хувиргалтын дараа хүснэгтийн элементүүд доорх байдалтай өөрчлөгдөнө.Үүнд:



с.г 0 0 -х3 -х4

х1=

57

52

51

57 0

х2= 53

− 53

− 51

513

− 2

Тэгүүдийг суурь хувьсагчдаар сольж дууссаны дараа хүснэгтийн эхний мөрөн дэх тэг элементтэй багануудыг орхино.Ө.х хүснэгтийг

с.г -х3 -х4

х1= 57

57 0

х2= 53

− 5

13− 2

болгоно. Энэ хүснэгт нь х1,х2–хувьсагчууд суурь, х3,х4-хувьсагчууд чөлөөт хувьсагчууд болсныг илэрхийлнэ.Нэг үгээр хэлбэл хүснэгтийн эхний багананд байгаа хувьсагчид суурь,харин эхний мөрөнд байгаа нь чөлөөт хувьсагч болно.Дээрхи хүснэгтээс суурь хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчдаар илэрхийлэн бичвэл:

432

431

25

1353

057

57

ххх

ххх

−+−=

⋅−−= болох ба чөлөөт хувьсагчууд тэг утгатай байх,өөрөөр хэлбэл

х3=0,х4=0 үеийн суурь хувьсагчдын утгыг олбол 57

1 =х , 53

2 −=х байна. Харгалзах суурь

шийдийг бичвэл: ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −== 0;0;

53;

57,,, 4321 хххххТ гэж гарна.Бусад суурь шийдүүдийг өмнөх хүснэгтээс

(x1,x3),(x1,x4), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4) хос хувьсагчуудыг ээлжлэн суурьд оруулж хувиргалт хийх замаар олно.Хувиргалтын эцсийн үр дүнгүүдийг үзүүлбэл

с.г -х2 -х4

х1= 1314

137

1314

Х3= 133

135

− 1310

−

с.г -х3 -х2

х1= 57

57 0

Х4= 103

− 1013

− 21

с.г -х1 -х4

Х3= 1 75 0

Х2= 2 2 713



с.г -х1 -х2

Х3= 1 75 0

Х4= 1

1413

21

болно.Энд (х2,х4) хосын хувьд суурь шийд үүсэх бололцоогүй юм.Учир нь (х2,х3) суурь хувьсагчууд болсон хүснэгтэс х3-ийг х4-өөр солих үед гол элемент нь 0-тэй тэнцүү байгаа тул хэзээ ч сольж болохгүй.Эндээс өмнөх теоремд заагдсан суурь шийдийн тоо нь байж болох суурь шийдийн хамгийн их тоо гэж ойлгож болох юм.Нэг үгээр хэлбэл суурь шийдийн тоо теоремд заагдсан тооноос бага юм уу тэнцүү байна. Дээрхи хүснэгтүүдэд харгалзах суурь шийдүүдийг өмнөх талбарын дагуу бичвэл: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

133;0;

1314 ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

103;0;0;

57 ; ( )0;1;2;0 ; ( )1;1;0;0 болно.

Бидний олсон таван суурь шийдүүдээс ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

133;0;

1314 , ( )0;1;2;0 , ( гурав нь

боломжит суурь шийдүүд юм.Нөгөө хоёр суурь шийдийн хувьд тэгээс ялгаатай элементүүд нь бүгд эерэг байж чадахгүй байна.

)1;1;0;0

Def 5. Шугаман програмчлалын бодлогын хязгаарлагчийн тооноос технологийн матрицын рангийн тоо эрс бага бол тухайн бодлогыг бөхөх бодлого гэнэ. Шугаман програмчлалын бодлогыг бодохын өмнө технологийн матрицын рангийг тодорхойлох шаардлагатай.Хэрвээ бопдлого бөхөж байвал хязгаарлалтын системийг Гаусс-Жорданы хувиргалтаар хувирган хамааралтай хязгаарлалтыг орхино. Шугаман програмчлалын бодлогын шийдийг геометрийн үүднээс авч үзье.

Def .6. n-хэмжээст шугаман огторгуйн A1,A2,…,Am цэгүүд болон ∑=

=m

ii

1,1α

mii ,...,2,1,0 =≥α тоонуудын хувьд A= цэгийг өгсөн цэгүүдийн гүдгэр шугаман эвлүүлэг

буюу симплекс гэнэ.

∑=

⋅m

iii A

1

α

Огторгуй дахь хоёр цэгийн гүдгэр шугаман эвлүүлэг нь хэрчим,гурван цэгийнх гурвалжин гарахыг амархан харж болно.

Def 7. Хэрэв өгсөн олонглогийн дурын хоёр цэгийн гүдгэр шугаман эвлүүлэг,өөрөөр

хэлбэл хоёр цэгийг нь холбосон хэрчим уг олонлогтоо бүхлээрээ харъяалагдаж байвал түүнийг гүдгэр олонлог гэнэ.

Def 8. Гүдгэр олонлогийн ямар ч хоёр цэгийн гүдгэр шугаман эвлүүлэг болдоггүй

цэгүүдийг уг олонлолгийн оройн цэг гэнэ. Def 9. Шугаман програмчлалын бодлогын боломжит шийдийн олонлог буюу боломжит

шийдийн муж нь гүдгэр олонлог байна. Теорем 2. Шугаман програмчлалын бодлогын оновчтой шийдийн олонлог гүдгэр

олонлог байна.



Теорем 3. Шугаман програмчлалын бодлого оновчтой шийдтэй бол зорилгын

функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгаа боломжит шийдийн олонлогийн оройн цэгүүд дээр авдаг.Хэрэв шугаман функц оптимум утгаа нэгээс олон оройн цэг дээр авдаг бол эдгээр оройн цэгүүдийн гүдгэр шугаман эвлүүлгийн дурын цэг нь оновчтой шийд болно.

Теорем 4. Шугаман програмчлалын бодлогын суурь шийд нь тухайн бодлогын боломжит шийдийн мужийн оройн цэг байна.

Өмнөх хоёр теоремын үр дүнд бодлогын суурь шийдийн тоо -тэй тэнцүү төгсгөлөг

тоо байх тул боломжит шийдийн оройн цэгийн тоо ч мөн үүнтэй тэнцүү байна.Тиймээс зарим тохиолдолд боломжит шийдийн мужийн олройн цэгүүдийг бүгдийг нь олж түүн дээрхи зорилгын функцийн утгыг жиших замаар оновчтой шийд оптимумыг олж олох юм.Шугаман програмчлалын бопдлогын хувьсагчид сөрөг бус байх нөхцөлөөс зөвхөн болдомжит суурь шийдэнд харгалзах оройнуудын хувьд л шалгахад хангалттай юм.

rnС

Жишээ 6.1.2.2. Жишээ 6.1.2.1.-д өгсөн бодлогын оновчтой шийд оптимумыг боломжит

шийдүүд дээрхи функцуудын утгуудыг жиших аргаар ол. Бодолт: Бодлогын зорилгын функц нь тул min24 4321 →−+−= xxxxZ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

133;0;

1314

боломжит суурь шийд дээрх функцийн утга 13590

13302 =−+⋅−

13144 ⋅=

)Z болно.Үүнтэй адилаар

боломжит суурь шийд дээрх утга ( 0;1;2;0 3012204 −=−+⋅−⋅=Z , харин шийдийнх байна.

( 1;1;0;0 )

)

01102 =−+⋅04 −⋅=ZБодлгод өгснөөр зорилгын функцийн хамгийн бага утгыг олох тул дээрх гурван утгыг

жишвэл хамги йн бага нь Z=-3 болж энэ бодлогын оновчтой шийдэнд боломжит суурь шийд харгалзана.

( 0;1;2;0

Бодлогын оновчтой шийд,оптимум утгыг

⎩⎨⎧

====

−=

021;0

3

*4

*2

*3

*1

min

xxxx

Z гэж тодорхойлон бичдэг.

Дүгнэлт: Шугаман програмчлалын бодлогыг бодно гэдэг нь оновчтой шийд ба

оптимум утгыг олно гэсэн үг юм.Үндсэн бодлого шийдтэй байхын тулд тухайн бодлогын хязгаарлалтын систем нийцтэй байх ёстой.Хязгаарлалтын системийн үндсэн матрицын буюу технологийн матрицын ранг r болог.Хэрэв r=n бол хязгаарлалтын систем ганц шийдтэй байна.Энэ ганц шийдийн бүх утгууд тэгээс их юм уу тэнцүү бол оновчтой шийд олдлоо гэсэн үг.

Энэ шийдийг Крамерын дүрмээр олж болно.Харин r n үед хязгаарлалтын систем төгсгөлгүзй олон шийдтэй байх бөгөөд энэ тохиолдолд шугаман програмчлалын бодлогыг графикын болон симплекс аргаар боддог.

p



ЛЕКЦ №07

Сэдэв: 7.1. Шугаман программчлалын бодлогыг бодох графикийн арга


Хичээлийн зорилго: Энэ хичээлээр шугаман програмчлалын бодлого тодорхой нөхцлүүдийг хангаж хангаж буй тохиолдолд графикын аргаар хэрхэн бодох тухай асуудлыг авч үзнэ.

Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд шугаман програмчлалын бодлогыг бодох графикын аргын үндсэн санаа болон үйлдлийн дараалал, бодлогын шийдийн чанаруудын талаархи мэдлэгийг эзэмшүүлэхэд оршино.


7.1.1.Графикийн аргын санаа, үйлдлийн дараалал

Шугаман программчлалын бодлогыг бодох графикийн арга нь түүний шийдийн геометр

чанарт тулгуурладаг. Шугаман программчлалын бодлогыг дараахь тохиолдлуудад графикийн аргаар бодож болдог. Үүнд

1. Хязгаарлалтын систем нь үндсэн хоёр хувьсагчтай тэнцэл ба тэнцэтгэл бишийн системээс тогтсон ерөнхий хэлбэрийн тавилтай байвал;

2. Үндсэн тавилтай бодлогын хязгаарлалтын системийн технологийн матрицын ранг r, хувьсагчийн тоо n үед 2rn ≤− нөхцөл биелж байвал

графикийн аргаар тус, тус бодож болно. Эхний тохиолдолд шууд хавтгайн координатын систем дээр хязгаарлалтын системийн

боломжит шийдийн мужийг байгуулж түүний оройн цэгүүд дээрх зорилгын функцийн утгуудыг жиших замаар оновчтой шийдийг олж болно. Гэвч олон оройтой бол энэ нь хүндрэлтэй тул графикийн аргаар оновчтой шийд олох тусгай дүрэм боловсруулсан байдаг.

Харин хоёрдугаар тохиолдолд графикийн аргаар бодохын тулд үндсэн бодлогыг 2-оос олонгүй хувьсагчтай тэнцэтгэл биш хязгаарлагчтай бодлого болгон хувиргадаг.

Эхний тохиолдолд шугаман программчлалын бодлогын ерөнхий тавил




⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≤+

≤+

≤+

≥+

≥+

≥+

=+

=+=+

→+=

+++

+++

+++

+++

0x,0xbxaxa

bxaxa

bxa1xa

bxaxa

bxaxa

bxaxa

bxaxa

bxaxabxaxa

max(min)xcxcZ

21

m22m11m

2m22,2m11,2m

1m22,1m1,1m

m22,m11,m

2m22,2m11,2m

1m22,1m11,1m

m22,m11,m

2222121

1212111

2211

222

222

222

111

111

111

LLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLL

байна.

Графикийн аргаар шугаман программчлалын бодлогыг хэрхэн бодох үйлдлийн дарааллыг авч үзье. Үүнд:

1. Бодлогын боломжит шийдийн мужийг байгуулна. Энэ муж нь хоосон олонлог, гүдгэр олон өнцөгт, олон өнцөгт төгсгөлгүй муж, цэг, хэрчим, цацраг байж болно. Хэрвээ боломжит шийдийн муж хоосон олонлог байвал бодлого шийдгүй байна.

2. Зорилгын функцийн утга тэгтэй тэнцүү байх түвшний шулууныг байгуулна. Хэрвээ энэ түвшний шугам боломжит шийдийн мужийг дайрахгүй байгаа тохиолдолд түүнтэй параллель бөгөөд боломжит шийдийн мужийг мэдэгдэхүйц дайран өнгөрөх шулууныг татна.

3. Зорилгын функцийн градиент векторыг ( )2121

c,cxZ,

xZgradZn =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

==→

дүрмээр олж байгуулна. Энэ вектор нь Z=0 байх түвшний шулуунд перпендикуляр байдаг. 4. Оновчтой шийдийг тодорхойлохдоо зорилгын функцийн хамгийн их утгыг олох

бодлогын хувьд градиент векторын чиглэлийн дагуу, хамгийн бага утга олох бодлого бол градиент векторын эсрэг чиглэлд боломжит шийдийн мужийг дайрсан түвшний шугамтай параллель шулууныг параллелиар зөөж боломжит шийдийн мужийг хамгийн сүүлд дайран өнгөрөх цэгийг олно.

Энэ цэг нь боломжит шийдийн мужийн аль нэг оройн цэг байдаг. Тухайн нөхцөлийг хангасан орой ганц байвал оновчтой шийд ганц байна. Хэрэв хоёр орой дээрх нөхцөлийг хангаж байвал оновчтой шийд төгсгөлгүй олон болох ба тухайн хоёр оройг холбосон хэрчмийн бүх цэг оновчтой шийд болно.

Түвшний шугамыг параллелиар зөөх явцад боломжит шийдийн муж тухайн чиглэлд төгсгөлгүй үргэлжилж байвал хамгийн их утга олох бодлогын хувьд зорилгын функцийн утга дээрээсээ, хамгийн бага утга олох бодлогын хувьд доороосоо зааглагдахгүй. Өөрөөр хэлбэл

байна. −∞=+∞= minmax Z,ZБоломжит шийдийн мужийг байгуулахдаа хязгаарлалтын системийн тэнцүү хэлбэрийн

хязгаарлагчийн хувьд тэдгээрт харгалзах шулууны графикийг байгуулж, хавтгайн нэгдүгээр

мужид харгалзах хэсгийг нь тодруулна. Харин тэнцэтгэл биш хэлбэрийн хязгаарлагчуудын

хувьд тэнцэлд шилжүүлж, харгалзах шулууны графикийг байгуулан, дараа нь тухайн



хязгаарлагчийн тэнцэтгэл бишийн тэмдгийн зүүн талын илэрхийлэлд координатын эхийг

оруулан энэ цэг тэнцэтгэл бишийг хангаж байгаа, үгүй эсэхийг шалгана.

Хэрвээ координатын эх тэнцэтгэл бишийг хангаж байвал бидний зурсан шулуунаас

координатын эхийг агуулсан талын хагас хавтгайг, харин хангаагүй нөхцөлд түүний эсрэг

талын хагас хавтгайг зураасалж, тусгайлан тэмдэглэнэ. Эцэст нь хувьсагчид сөрөг бус байх

нөхцөлийг тооцвол координатын тэнхлэгүүдийн нөгөө тэнхлэгийнхээ эерэг чиглэлд харгалзах

талуудыг зурааслан тэмдэглэнэ. Бүх хязгаарлагчуудыг дүрсэлсний дараа тусгай тэмдэглэгээнд

нэгэн зэрэг харьяалагдах олонлогийг онцгойлон тодруулж тэмдэглэх ба энэ нь боломжит

шийдийн муж болно. Шулууны графикийг байгуулахдаа тухайн шулууны координатын

тэнхлэгүүдийг огтлох хоёр цэгийг олоход л хангалттай юм.

Санамж. Хэрвээ хэрэглэгчийн онолын бодлогын хувьд ханамжийн функц нь шугаман, өөрөөр хэлбэл ялгаагүй муруй нь шулуун байвал хэрэглэгчийн оновчтой сонголт нь боломжит сонголтын мужийн аль нэг оройн цэг байна. Үндсэн хувьсагчийн тоо, рангийн зөрөө хоёроос хэтрэхгүй тохиолдолд графикийн аргаар

бодох

Шугаман программчлалын бодлогыг графикийн аргаар бодох хоёрдугаар тохиолдолд уул

бодлого нь үндсэн тавилтай байдаг. Үүнд:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=+++

=+++

=+++

→+++=

0x,...,0x,0xbxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxamax(min)xc...xcxcZ

n21

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

nn2211

L

Өгсөн бодлогын хязгаарлалтын системийн үндсэн матриц болон өргөтгөсөн матрицыг бичвэл:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn2m1m

n22221

n11211

mxn

aaa

aaaaaa

A

L

MLMM

L

L

, болно. ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+

mmn2m1m

2n22221

1n11211

)1n(mx

baaa

baaabaaa

B

L

MMLMM

L

L

Бидний авч үзсэн бодлогын үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын ранг тэнцүү )B(rang)A(rangr ==

гэж авч үзье. Хэрвээ тэнцүү биш бол анхны бодлого шийдгүй байна.



Үндсэн хувьсагчийн тоо, рангийн зөрөө хоёроос хэтрэхгүй нөхцөлд 2rn =− , 1rn =− эсвэл байж болно. Сүүлийн тохиолдолд хязгаарлалтын систем цор ганц шийдтэй байх тул тэр шийд нь боломжит суурь шийд байвал шууд оновчтой шийд болно. Энэ шийдийг Крамерийн дүрмээр олж болно. Хэрвээ боломжит суурь шийд биш бол анхны бодлого шийдгүй. Үлдсэн хоёр тохиолдыг авч үзье.

0rn =−

а. үед хязгаарлалтын системийг Гаусс-Жорданы аргаар хувиргасны дараа 2rn =− с.г -xn-1 -xn

x1= b’1 a’1,n-1 a’1n x2= b’2 a’2,n-1 a’2n … … … …

xn-2= b’n-2 a’n-2,n-1 a’n-2,n

болох ба суурь хувьсагчид нь (*) гэж бичигдэнэ.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−=

−−=

−−=

−−−−−−

−−

−−

nn,nnn,nnn

nnnn,

nnnn,

x'ax'a'bx

x'ax'a'bxx'ax'a'bx

211222

211222

111111

LLLLLLLLLLLLL

1r =−

Эдгээр тэнцэлийг анхны бодлогын зорилгын функцэд орлуулбал шинэ бодлогын зорилгын функц

max(min)x'cx'c'c'Z nn1n1n0 →++= −− болно.

Хувьсагчид сөрөг бус байх нөхцөлөөс (*) системийг

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥−−=

≥−−=

≥−−=

−−−−−−

−−

−−

0x'ax'a'bx

0x'ax'a'bx0x'ax'a'bx

nn,2n1n1n,2n2n2n

nn21n1n,222

nn11n1n,111

LLLLLLLLLLLLL

гэж бичиж болох ба чөлөөт хувьсагчтай илэрхийллийг тэнцэтгэл бишийн тэмдгийн нэг талд гаргавал графикийн

аргаар бодох бодлого нь стандарт хэлбэрээр гэж өгөгдөнө.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

≤+

≤+

≤+

→++=

−

−−−−−

−−

−−

−−

0x,0x'bx'ax'a

'bx'ax'a'bx'ax'a

max(min)x'cx'c'c'Z

n1n

2nnn,2n1n1n,2n

2nn21n1n,2

1nn11n1n,1

nn1n1n0

LLLLLLLLLLLLL

Энэ бодлогыг графикийн аргаар бодож оновчтой шийд (x*n-1, x*n) –ийг олж, (*) системд орлуулж бусад хувьсагчдын оновчтой утгыг тодорхойлно. байна. )'*Z)*Z max(minmax(min =

б. n үед хязгаарлалтын системийг Гаусс-Жорданы аргаар хувиргасны дараа с.г -xn

x1= b’1 a’1n x2= b’2 a’2n … … …

xn-1= b’n-1 a’n-1,n

болох ба суурь хувьсагчид нь (***) гэж бичигдэнэ.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=−=

−−− nn,1n1n1n

nn222

nn111

x'a'bx

x'a'bxx'a'bx

LLLLLLL



Эдгээр тэнцэлийг анхны бодлогын зорилгын функцэд орлуулбал

олох ба хувьсагчтай илэрхийллийг тэнцэтгэл бишийн тэмдгийн нэг талд гаргавал шинэ бодлого нь стандарт хэлбэрээр

өгөгдөнө. Дээрх системийн шийдийг тоон тэнхлэг дээр дүрслэн

эсэн лого шбайна.

н

аар сонгох бодлогын

max(min)x'c'c'Z nn0 →+=

болно.

Хувьсагчид сөрөг бус байх нөхцөлөөс (***) системийг ⎪⎨

LLLLLLLLLгэж бичиж

⎪⎩

⎪⎪⎧

≥−=

≥−=≥−=

−−− 0x'a'bx

0x'a'bx0x'a'bx

nn,1n1n1n

nn222

nn111

б

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤

→+=

−−

0x'bx'a

'bx'a'bx'a

max(min)x'c'c'Z

n

1nnn,1n

2nn2

1nn1

nn0

LLLLLL

≤

−

−≤≤ bxb n

г шийдийн интервалыг олно. Боломжит шийдийн муж хоосон бол бод ийдгүй

Хэрвээ зорилгы функцийн хамгийн их утгыг олох бодлогын хувьд 0'c n > бол бодлогын

оновчтой шийдийг −

= b*x n ба зорилгын функцийн оновчтой утга −

+= b'c'c'Z n0max байна. Харин 0<n'c бол оновчтой шийдийг

−

- = b*x n -аар сонгох ба зорилгын

функцийн оновчтой утга −

+= b'c'c'Z nmax 0 байна. Хамгийн бага утгыг олох бодлогын хувьд

оновчтой шийдийг интервалын хязгаарыг эсрэгээр нь сонгох болно. Үүний дараа x*n оновчтой утгыг системд орлуулж бусад хувьсагчдын оновчтой утгыг олно.

(***)



Сэдэв: 8.1. Шугаман программчлалын бодлогыг бодох симплекс арга

Хичээл

ЛЕКЦ №08

Хичээлийн цаг: 2 цаг заагч багш: Маг А.Амарсанаа

Утас: 99204676 , 96674676 E-mail: [email protected] Хичээлийн зорилго: Энэ хичээлээр шугаман програмчлалын бодлогыг ерөнхий

тохиол

з : сэн, ерөнхий тавилтай бодлогыг

симпле мшүүлэхэд оршино.


8.1.1.Симплекс аргын санаа, үйлдлийн дараалал

с

аг. г бид

өөд

овчтой шийдэндээ хү х эсвэл зорилгын функцийн утга зааглагдахгүй зэргийн шалгуурыг ху цааш хувиргалт хийх эсэхээ шийддэг.

Сим

3. Оновчтой шийдийг олох байдаг. Симплекс арга нь дараахь үйлдлүүдийн дарааллаас тогтдог.

Үүнд: Бэлтгэл үе шат

долд бодох төгс арга болох симплекс аргыг авч үзэх ба бодлогын тавил бүрийн хувьд үүсэх онцлог байдлуудыг тайлбарлах болно.

Хичээлийн орилт Дээрхи зорилгын хүрээнд шугаман програмчлалын бодлогыг бодох симплекс аргын үндсэн санаа болон стандарт , үнд

кс аргаар бодох аргачлал болон үйлдлийн дараалал, бодлогын шийдийнчанаруудын талаархи мэдлэгийг эзэ

Симплекс аргын гол санаа нь өгсөн бодлогын боломжит шийдийн мужийн нэг оройгоонөгөөд шилжихдээ зорилгын функцийн утгыг оптимум утга руу улам бүр ойртуулан, шийдийн чансааг дараалан сайжруулсаар төгсгөлөг алхмын дараа оновчтой шийдэнд хүрэхэд оршино. Дараалсан шилжилтэд харгалзаж буй оройнууд нь хөрш оройнууд байдБоломжит шийдийн мужийн орой бүрт нэг боломжит суурь шийд харгалздаг болохыөмнөх хичээлээс мэдэх билээ. Тиймээс боломжит шийдийн мужийн нэг оройгоос нөгөө оройд шилжинэ гэдэг нь нэг боломжит суурь шийдээс нөгөөд шилжихтэй адил юм.

Симплекс арга нь шугаман программчлалын үндсэн бодлогыг бодох төгс алгоритм бөгбодлогыг бодох ажлыг симплекс хүснэгт дээр хийх дараалсан үйлдэл болгон хувиргадаг. Нэг симплекс хүснэгтээс нөгөө симплекс хүснэгтэд шилжихэд боломжит суурь шийд дээрх функцийн утга оптимум утга руугаа улам дөхөх ёстой. Бодлого онрсэн, шийдгүй байвиргалт бүрийн дараа тооцож

плекс арга нь 1. Бэлтгэл үе шат 2. Анхны боломжит суурь шийд олох

гэсэн гурван үе шаттай



1.Өгсөн бодлогын хязгаарлалтын системийн хязгаарлагчийн сул гишүүдийг бүгдийг эерэг

болгох хувиргалт хийнэ. Хэрвээ сул гишүүн нь сөрөг тоо байвал тухайн хязгаарлагчийн хоёр

талыг (-1)-ээр үржүүлж, тэнцэтгэл биш хэлбэрийн хязгаарлагчийн хувьд тэмдгийг эсрэгээр

солино.

2.Бодлогыг үндсэн бодлогод шилжүүлнэ. Үндсэн болон ерөнхий тавилтай бодлогын хувьд

үндсэн бодлогод шилжүүлэхдээ өмнөх хичээлд үзснээс арай ялгаатай байдлаар авч үзнэ.

Анхны боломжит суурь шийдийг олох

3.Анхны боломжит суурь шийдийг олж, эхний симплекс хүснэгтийг зохионо. Энэ үед

бодлогын тавилаас хамааран онцлог байдлууд үүсдэг.

Оновчтой шийдийг олох

4.Зорилгын функцийн хамгийн их (хамгийн бага) утгыг олох бодлогын хувьд симплекс

хүснэгтийн зорилгын функцийн мөрийн сул гишүүнээс бусад элементүүд бүгд эерэг (сөрөг)

эсэхийг шалгана. Хэрэв зорилгын функцийн мөрийн сул гишүүнээс бусад бүх

коэффициентууд эерэг (сөрөг) байвал тухайн боломжит суурь шийд оновчтой шийд болно.

Энэ тохиолдолд бодолтыг зогсоож, оновчтой шийд, оптимумыг тодорхойлон бичнэ. Уг

мөрөнд ядаж нэг сөрөг (эерэг) элемент оршин байвал дараагийн алхамд шилжинэ.

5.Зорилгын функцийн мөрний сөрөг элементүүдийн дотроос абсолют утгаараа хамгийн ихэд

(эерэг элементүүдийн хамгийн ихэд) харгалзах баганыг чиглүүлэгч баганаар сонгоно. Хэрвээ

хамгийн их утгатай элемент олон давхцсан байвал аль баганыг авахаа өөрөө дураараа шийднэ.

6.Чиглүүлэгч баганын эерэг элементүүдэд харгалзах сул гишүүнийг, тухайн эерэг

элементүүдэд харьцуулсан харьцаануудыг зохионо. Эдгээрийг симплекс харьцаа гэнэ.

Симплекс харьцаануудын хамгийн багад харгалзах мөрийг чиглүүлэгч мөрөөр сонгоно.

Хэрвээ хамгийн бага симплекс харьцаа олон мөрийн хувьд давхардаж байвал тэдгээрээс

дураараа сонгоно. Хэрэв чиглүүлэгч багананд нэг ч эерэг элемент байхгүй бол зорилгын

функцийн утга дээрээсээ (доороосоо) зааглагдахгүй.

7.Чиглүүлэгч мөр, баганын огтлолд буй элементийг гол элементээр сонгоно.

8.Олсон гол элементийнхээ хувьд Гаусс-Жорданы хялбарчилсан хувиргалтыг хийж, шинэ

симплекс хүснэгтийг зохионо. Өөрөөр хэлбэл дараагийн боломжит суурь шийдийг олно.

Үүний дараа 4-р алхамд шилжинэ. Хуучин симплекс хүснэгтээс шинэ симплекс хүснэгтэд

шилжихэд сонгогдсон чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах хувьсагч сууриас гарч, чиглүүлэгч

баганад харгалзах хувьсагч суурьд ордог.



Дээрх үйлдлүүдийн дарааллыг төгсгөлөг удаа хийхэд бодлогын оновчтой шийд олдох,

бодлого шийдгүй болох эсвэл зорилгын функц дээрээсээ (доороосоо) зааглагдахгүй зэрэг нь

тогтоогдоно.

8.1.2.Стандарт бодлогыг симплекс аргаар бодох

Стандарт тавилтай бодлого нь симплекс аргаар бодоход илүү хялбар байдаг онцлогтой. Учир нь нэмэлт хувьсагчдыг суурь хувьсагчаар сонгоход анхны боломжит суурь шийд шууд олддог.

Бэлтгэл үе шат

1.Стандарт бодлого нь дээр тодорхойлсон симплекс аргын үйлдлийн дарааллын 1-р алхамын дараа

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≤+++

≤+++≤+++

→+++=

000 21

2211

22222121

11212111

2211

n

mnmnmm

nn

nn

nn

x,....,x,xbxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxa

max(min)xc...xcxcZ

KKKKKKKKKKKKK

хэлбэртэй байна. Энэ бодлогыг эх бодлого гэнэ.

2.Үндсэн бодлогод шилжүүлбэл эх бодлого

хэлбэртэй болно.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=++++

=++++=++++

→+++=

+

+

+

+

000 21

2211

222222121

111212111

2211

mn

mmnnmnmm

nnn

nnn

nn

x,....,x,xbxxa...xaxa

bxxa...xaxabxxa...xaxa

max(min)xc...xcxcZ

KKKKKKKKKKKKK

Энд сул гишүүд нь бүгд эерэг байна гэж үзнэ. Учир нь 1-р алхамд ийм байх нөхцөлийг бүрдүүлсэн байна. Дээрх үндсэн бодлогын технологийн матриц нь m эрэмбийн нэгж матрицыг агуулдаг тул түүний ранг нь r=m болно.

3.Анхны боломжит суурь шийдийг олохын тулд x1,x2,…,xn үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар, харин нэмэлт хувьсагч xn+1,xn+2,…,xn+m-ийг суурь хувьсагчаар сонгон хязгаарлагч

тэгшитгэлүүдийг дараахь хэлбэрээр бичнэ. Үүнд: Дээрх

тэгшитгэлүүдийн системээс анхны боломжит суурь шийд гэж олдоно.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++−=

+++−=+++−=

+

+

+

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx)xa...xaxa(bx

nmnmmmmn

nnn

nnn

2211

222212122

121211111

LLLLLLLLLLLLLLLLL

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

43421321m

mn

b...bb...x 21000

Бодлогын зорилгын функцийг хязгаарлагч системийн тэгшитгэлийн хэлбэртэй дүүцүүлэн

)xc...xcxc(Z nn−−−−−= 22110 хэлбэрээр хувиргана.



Эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа эхний симплекс хүснэгтийг үндсэн хувьсагчийн тоон дээр хоёрыг нэмсэн баганатай, хязгаарлагчийн тоон дээр хоёрыг нэмсэн мөртэйгээр

с.г -x1 -x2 … -xn

Z= 0 -c1 -c2 … -cn

xn+1= b1 a11 a12 … a1n

xn+2= b2 a21 a22 … a2n

M M M M … M

xn+m= bm am1 am2 … amn

байдлаар зохионо.

4. Анхны боломжит суурь шийдийн хувьд тухайн шийд оновчтой эсэхийг шалган, оновчтой шийдийг олох үйлдлийн дарааллуудыг гүйцэтгэнэ. Энд эхний нүдэндээ ( =Z ) тэмдэглэгээг агуулсан мөрийг зорилгын функцийн мөр гэнэ.

8.1.3.Үндсэн бодлогыг симплекс аргаар бодох

Үндсэн тавилтай шугаман программчлалын бодлогыг бодоход стандарт тавилтайгаас ялгарах гол онцлог нь нэмэлт хувьсагч оруулах шаардлагагүй байдаг бөгөөд түүний анхны боломжит суурь шийдийг зохиомол хувьсагч хэмээн нэрлэгдэх хувьсагчуудыг нэмж оруулан, тэдгээр зохиомол хувьсагчуудын нийлбэрийг хамгийн бага утгатай байлгах туслах бодлогыг бодож олдогт оршино. Энд анхлан өгөгдсөн шийдийг нь олох гэж буй бодлогоо эх бодлого хэмээн нэрлэе.

Үндсэн тавилтай бодлогыг бодохдоо дараахь үйлдлүүдийн дарааллыг баримталдаг. Үүнд:


1.Эх бодлогын сул гишүүдийг нь эерэг болгох хувиргалт хийнэ. Үүний дараа бодлого

дараахь хэлбэртэй болно.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=+++

=+++=+++

→+++=

000 21

2211

22222121

11212111

2211

n

mnmnmm

nn

nn

nn

x,....,x,xbxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxa

max(min)xc...xcxcZ

LLLLLLLLLLLLLЭнд сул гишүүд нь бүгд эерэг

гэж үзнэ. 2.Эх бодлогын хязгаарлагч бүр дээр тэгшитгэлийн дарааллыг баримтлан зохиомол

хувьсагч хэмээн нэрлэгдэх хувьсагчуудыг нэмнэ. Зохиомол хувьсагчуудыг нэмсний дараа эх бодлогын хязгаарлалтын систем

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=++++

=++++=++++

+

+

+

+

000 21

2211

222222121

111212111

mn

mmnnmnmm

nnn

nnn



LLLLLLLLLLLLL хэлбэртэй болно. Энд xn+1,xn+2,…,xn+m-ийг зохиомол

хувьсагчид гэнэ.




⎪⎪⎪

⎩

⎪⎨

≥≥≥=++++ +

000 21

2211

n

mmnnmnmm


LLLLLLLLLLLLL

3.Эх бодлогын хувьд анхны боломжит суурь шийдийг зохиомол хувьсагчуудын нийлбэр хамгийн бага утгатай байх туслах бодлогыг бодож олдог. Үүнд:

⎪⎪⎧

=++++=++++

→+++=

+

+

+++

222222121

111212111

21

nnn

nnn

mnnn


minx...xxf

Энд f-ийг туслах бодлогын зорилгын функц гэнэ. Туслах бодлогын анхны боломжит суурь шийдийг олохдоо зохиомол хувьсагчдыг суурь хувьсагчаар, үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар сонгоно. Туслах бодлогын хязгаарлагч системийг суурь хувьсагчийн хувьд илэрхийлэн бичвэл

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++−=

+++−=+++−=

+

+

+

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx)xa...xaxa(bx

nmnmmmmn

nnn

nnn

2211

222212122

121211111

LLLLLLLLLLLLLLLLL болох ба зорилгын функцийг нь чөлөөт хувьсагчаар

илэрхийлбэл

min)x)a...aa(...x)a...aa(x)a...aa(()b...bb(x...xxf

nmnnnm

mmmnnn

→+++++++++++++−+++=+++= +++

21222212

1121112121 гэж гарна.

Энд тэмдэглэгээ хийвэл туслах бодлогын эхний симплекс

хүснэгт ⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=+++=

+++=

mnnnn

m

m

m

a...aa

a...aaa...aa

b...bb

21

222122

121111

21

α

ααβ

LLLLLLLLLL

с.г -x1 -x2 … -xn

f= β α 1 α 2 … α n

xn+1= b1 a11 a12 … a1n

xn+2= b2 a21 a22 … a2n

M M M M … M

xn+m= bm am1 am2 … amn

байна.

Туслах бодлогыг цааш зорилгын функцийн хамгийн бага утгыг олох бодлогын хувьд симплекс аргаар бодож, түүний оновчтой шийдийг олно. Хэрвээ анхны бодлого шийдтэй бол туслах бодлогын оптимум утга тэг болох ба бүх зохиомол хувьсагч чөлөөт хувьсагч болсон байдаг Эсрэг тохиолдолд анхны бодлого шийдгүй байна. Оновчтой шийдийг олсны



дараа зохиомол хувьсагчид харгалзах баганыг орхих шаардлагатай. Туслах бодлогын оновчтой шийд нь эх бодлогын анхны боломжит суурь шийд болно.


4.Дээр тодорхойлсон анхны боломжит суурь шийдийн хувьд суурь хувьсагчдыг чөлөөтөөр илэрхийлэн бичиж, тэдгээрийг эх бодлогын зорилгын функцэд орлуулан, түүнийг чөлөөт хувьсагчаар тодорхойлно. Үүний дараа эх бодлогын эхний симплекс хүснэгтийг зохиож, симплекс аргаар оновчтой шийдийг олно.

8.1.4.Ерөнхий бодлогыг симплекс аргаар бодох

Ерөнхий тавилтай шугаман программчлалын бодлогыг симплекс аргаар бодохдоо тэнцэтгэл биш хэлбэрийн хязгаарлагчуудын хувьд нэмэлт хувьсагчийг оруулсны дараа тэнцэтгэл болон их юмуу тэнцүү )(≥ хэлбэрийн хязгаарлагчуудын хувьд зохиомол хувьсагчийг нэмэн, түүний анхны боломжит суурь шийдийг зохиомол хувьсагчуудын нийлбэрийг хамгийн бага утгатай байлгах туслах бодлогыг бодож олдог.

Ерөнхий тавилтай бодлогыг бодохдоо дараахь үйлдлүүдийн дарааллыг баримтална. Үүнд:


1.Эх бодлогын сул гишүүдийг нь эерэг болгох хувиргалт хийнэ. Үүний дараа тэнцэтгэл хэлбэрийн бүх хязгаарлагчуудыг эхэнд нь, их юмуу тэнцүү ( ≥ ) хэлбэрийнхийг дараа нь, хамгийн сүүлд бага юмуу тэнцүү( ≤ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудыг бичиж, хязгаарлагчуудыг бүлэглэнэ. Ийнхүү бүлэглэж байгаа нь бага юмуу тэнцүү ( ≤ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудын нэмэлт хувьсагчид, тэнцэтгэл болон их юмуу тэнцүү ( ≥ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудын зохиомол хувьсагчид дараалсан дугаартай байхаар зохицуулж байгаа юм. Энэхүү хувиргалтын дараа бодлого дараахь хэлбэртэй болно. Үүнд:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≤+++

≤+++

≤+++

≥+++

≥+++

≥+++

=+++

=+++=+++

→+++=

+++

++++

++++

++++

0x....,,0x,0xbxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xa1xa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxamax(min)xc...xcxcZ

n21

mnmn22m11m

mnn,2m22,2m11,2m

mnn,1m22,1m1,1m

mnn,m22,m11,m

mnn,2m22,2m11,2m

mnn,1m22,1m11,1m

mnn,m22,m11,m

2nn2222121

1nn1212111

nn2211

2222

2222

2222

1111

1111

1111

LLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLL

+2

1

2

1



Энд сул гишүүд нь бүгд эерэг гэж үзнэ. 2.Эх бодлогын тэнцэтгэл биш хэлбэрийн хязгаарлагч бүр дээр хязгаарлагчийн дарааллыг

баримтлан нэмэлт хувьсагчуудыг их юмуу тэнцүү ( ≥ ) хэлбэрийн хязгаарлагчийн хувьд хасч, бага юмуу тэнцүү ( ≤ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудын хувьд нэмж үндсэн хэлбэрт шилжүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл бодлого дараахь хэлбэртэй болно. Үүнд:

болно. Энд xn+1,xn+2,…,xn+m-m1-ийг нэмэлт

хувьсагчид

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

=++++

=+++

=+++

=−+++

=−++

=−++

=+++

++++++

+++=

−+

−+

++−++++

++−++++

−+

+++++

+++++

000

1

1

212222

212222

21222

1111

1111

111

21

2211

222222112

11122111

2211

222222112

111221111

2211

22222121

11212111

2211

mn

mmmnmnmm

mmmnnn,m,m,m

mmmnnn,m,m,m

mmmnnn,m,m

mnnn,m,m,m

mnnn,m,m,m

mn,m,m

n

n

n

x....,,x,x

bxa...xaxa

bxxaxaxa

bxx...xaxa

bxx...xaxa

bxxaxaxa

bxx...xaxa

bxa...xaxa

ba...xaxaba...xaxa

max(min)c...xcxcZ

LLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLL

≥

+

+

+

+

==

→

1

2

1

m

n

,m

n,m

n

n

n

x

...

a

a

...

a

xx

x

L

L

L

Ерөнхий тавилтай бодлогын хувьд анхны боломжит суурь шийдийг олохын тулд дээрх үндсэн бодлогын тэнцэтгэл болон их юмуу тэнцүү хэлбэрийн хязгаарлагчуудын хувьд зохиомол хувьсагчийг хязгаарлагчийн дарааллыг харгалзан нэмж, туслах бодлогыг боддог.

)(≥


3.Эх бодлогын хувьд анхны боломжит суурь шийдийг зохиомол хувьсагчуудын нийлбэр хамгийн бага утгатай байх туслах бодлогыг бодож олдог. Бодлогын томьёоллыг бичвэл:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥

=++++

=++++

=++++

=+−+++

=+−+++

=+−+++

=++++

=++++

=++++

→+++=

−++

−+

++−++++

++−++++

−++−+

+++++++

+++++++

+

+−+

+−+

−+++−++−+

000

1

12

1

212222

212222

21212222

1111

1111

1111

1

1

1211

21

2211

222222112

11122111

2211

2222222112

1111221111

2211

222222121

111212111

21

mmmn

mmmnnmnmm

mmmnnn,m,m,m

mmmnnn,m,m,m

mmmmnmmnnn,m,m,m

mmnnnn,m,m,m

mmnnnn,m,m,m

mmnnn,m,m,m

mmnnn

mmnnn

mmmnmmnmmn

x....,,x,x

bxxa...xaxa

bxxa...xaxa

bxxa...xaxa

bxxxa...xaxa

bxxxa...xaxa

bxxxa...xaxa

bxxa...xaxa

bxxa...xaxa

bxxa...xaxa

minx...xxf

LLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLL

болно.



Энд f-ийг туслах бодлогын зорилгын функц гэнэ. Туслах бодлогын хувьд -нэмэлт хувьсагч, -зохиомол хувьсагчид

121 mmnnn x,...,x,x −+++ 2111 21 mmmnmmnmmn x,...,x,x +−++−++−+

Бидний авч үзэж буй туслах бодлогын анхны боломжит суурь шийдийг олохдоо бага юмуу тэнцүү ( ≤ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудын нэмэлт хувьсагчид, тэнцэтгэл болон их юмуу тэнцүү ( ≥ ) хэлбэрийн хязгаарлагчуудын зохиомол хувьсагчдыг суурь хувьсагчаар, үлдсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар сонгоно. Өөрөөр хэлбэл туслах бодлогын анхны боломжит суурь шийдийн суурь хувьсагчид нь болно. mmmnmmnmmn x,...,x,x +−++−++−+ 121212 21

Бодлогын хязгаарлалтын системийг суурь хувьсагчийн хувьд илэрхийлэн бичвэл

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++−=

+++−=

+++−=

−+++−=

−+++−=

−+++−=

+++−=

+++−=

+++−=

−+

+++++−+

+++++−+

−+−++

+++++++

+++++++

+

+−+

+−+

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx

)xxa...xaxa(bx

)xxa...xaxa(bx

)xxa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx

)xa...xaxa(bx

nmnmmmmmn

nn,m,m,mmmmn

nn,m,m,mmmmn

mmnnn,m,m,mmmmmn

nnn,m,m,mmmn

nnn,m,m,mmmn

nn,m,m,mmmn

nnmmn

nnmmn

2211

222211222

122111111

2211

2222211222

1122111111

2211

222212122

121211111

1

222212

222212

12222212

1111

1111

1111

1

1

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

болох ба зорилгын функцийг нь чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлбэл

min)x...xx

x)a...aa(...x)a...aa(

x)a...aa(()b...bb(

x...xxf

mmnnn

nn,mnn,m

,mm

mmmnmmnmmn

→−−−−

−+++++++++

++++−+++=

=+++=

−+++

+−++−++−+

12

22

22

2111

21

21222212

11211121

21

гэж гарна. Эдгээр бичилтийн дараа туслах бодлогын анхны боломжит суурь шийдийн хувьд эхний симплекс хүснэгтийг зохионо.

Цааш зорилгын функцийн хамгийн бага утгыг олох бодлогын хувьд симплекс аргаар бодож түүний оновчтой шийдийг олно. Хэрвээ анхны бодлого шийдтэй бол туслах бодлогын оптимум утга тэг болох ба бүх зохиомол хувьсагч чөлөөт хувьсагч болсон байдаг Эсрэг тохиолдолд анхны бодлого шийдгүй байна. Оновчтой шийдийг олсны дараа зохиомол хувьсагчид харгалзах баганыг орхих шаардлагатай. Туслах бодлогын оновчтой шийд нь эх бодлогын анхны боломжит суурь шийд болно.


4.Дээр тодорхойлсон анхны боломжит суурь шийдийн хувьд суурь хувьсагчдыг чөлөөтөөр илэрхийлэн бичиж, тэдгээрийг эх бодлогын зорилгын функцэд орлуулан, түүнийг чөлөөт хувьсагчаар тодорхойлно. Үүний дараа эх бодлогын эхний симплекс хүснэгтийг зохиож, цаашид симплекс аргаар бодож оновчтой шийдийг олно.

Documents

Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts