Kunci-Jawaban Howard Anton

  • View
    2.501

  • Download
    999

Embed Size (px)

DESCRIPTION

penyelesaian

Text of Kunci-Jawaban Howard Anton

  • SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119

    1. a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0)

    Misal V1 = (a1, 0, 0) V2 = (a2, 0, 0)

    W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W

    - kV1 = 0,0,0,0, kaak terletak pada W

    Jadi W sub ruang dalam R3

    b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1)

    Misal 1,1,11 aV dan 1,1,22 aV

    2,2,2121 aaVVW bukan vektor dalamW

    Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R3

    c) (a,b,c), dimana b = a + c

    Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c)

    ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2)

    U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi

    Ambil k skalar k U = k (a1, a1 + c1, c1)

    = ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi

    Jadi sub ruang R3

    d) Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1

    Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c)

    ambil U (a, ( a1+c1+1), c1)

    ),1,( 2222 ccaaV

    21212121 ,2, ccccaaaaVU

    Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.

    Adalah vektor (a, b, c)

  • 2. a) Semua matriks yang berbentuk

    dc

    ba ; a, b, c, d Z

    Ambil

    11

    11

    11

    11

    kdkc

    kbkaVk

    dc

    baV untuk k bilangan bulat 1ka ,

    1kb , 1kc , 1kd Z

    bukan sub ruang

    b) Semua matriks yang berbentuk

    dc

    ba; a + d = 0

    Ambil

    11

    11

    dc

    baU 011 da

    22

    22

    dc

    baV 022 da

    021212121

    2121

    ddaa

    ddac

    bbaaVU

    = 2211 dada

    = 0 + 0 = 0 memenuhi

    kU 1111

    11kdka

    kdkc

    kbka

    = 11 dak

    = k (0) = 0 memenuhi

    Jadi merupakan sub ruang dari M22

    c) Semua matriks berbentuk 2 x 2 tAA

    A

    dc

    baA

    dc

    bat , supaya

    bcAA t

    Ambil

    11

    11

    1dc

    baA dimana 11 cb

  • 22

    22

    2

    dc

    ba

    A dimana 22 cb

    2121

    2121

    21ddcc

    bbaaAA 21 bb = 21 cc

    11

    11

    11

    1 kckbkdkc

    kbkakA

    memenuhi

    Jadi merupakan sub ruang M22

    d) Semua matriks 2 x 2 0)det( A

    Misal A

    dc

    ba, supaya 0)det( bcadA

    Ambil

    11

    11

    1dc

    baA 01111 cbda dan

    22

    22

    2

    dc

    ba

    A 02222 cbda

    2121

    2121

    21ddcc

    bbaaAA

    = 21212121 ccbbddaa

    = 1221221121122211 cbcbcbcbdadadada

    = )()()()( 2121121222221111 cbdacbdacbdacbda

    = 0 + 0 = 0

    = 021211212 cbdacbda (tidak memenuhi)

    Jadi bukan sub ruang dari M22

    3. a) Semua polinomial 332

    210 xaxaxaa Wa 00

    Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W

    332

    210 xaxaxaaxp 00 a

    332

    210 xbxbxbbxq 00 b

  • 3332

    221100 )()()( xbaxbaxbabaxqp dimana

    00000 ba memenuhi

    332

    210 )()()()( xkaxkaxkaakxkp

    00)( 0 kak memenuhi

    Jadi merupakan sub ruang dari P3

    b) 332

    210)( xaxaxaaxW 0, 3210 aaaa

    Ambil xp dan xq pada W

    332

    210 xbxbxbbxp 03210 bbbb

    332

    210 xcxcxccxq 03210 cccc

    3332

    221100 xcbxcbxcbcbxqp

    Kita selidiki

    033221100 cbcbcbcb

    000)( 32103210 ccccbbbb memenuhi

    Ambil skalar k

    332

    210 xkbxkbxkbkbxkp

    Akan diselidiki apakah 03210 kbkbkbkb

    0)0()( 3210 kbbbbk memenuhi

    Jadi merupakan sub ruang P3 (W)

    c) 332

    210 xaxaxaaxp Zaaaa 3210 ,,,,

    Ambil k = bilangan pecahan

    332

    210 )()()()( xkaxkaxkaakkkp

    sehingga diperoleh 0321 ,,, kakakaka tidak semuanya Z

  • d) Polinomial xaaxW 10 Raa 10 ,

    Ambil xbbxp 10 , Rbb 10 ,

    xqqxq 10 , Rqq 10 ,

    xqbqbxqp 1100 ; Rqb 00

    Rqb 11

    xkbkbxkpxpk 10 , Rkbkb 10 ,

    Jadi merupakan sub ruang

    4. a) Semua f sehingga 0xf x

    01 xf , x

    02 xf , x

    000 2121 xxfxff

    xkf tidak semuanya 0 , ambil k = negatif

    Maka xkf 0 tidak memenuhi

    b) Semua 00 f

    0)0(021 ffff

    00.01 kkfkf

    Merupakan sub ruang

    c) Semua 20 f

    222)0(0 2121 ffff tidak memenuhi

    Jadi bukan sub ruang

    d) Semua fungsi konstan: cxf , c = konstant

    )(2121 xfxfff 21 cc konstan

    ,.11 ckxkfkf konstan

  • Jadi merupakan sub ruang

    e) Semua f yang berbentuk xkk sin21 , 21 , kk adalah bilangan riil

    )sin()sin( 322121 xkkxkkff

    = xkkkk sin3221 memenuhi

    )sin( 211 xkkkkf

    = xkkkk sin21 , 21 , kkkk adalah bilangan Riil

    Jadi merupakan sub ruang

    5. Tentukan kombinasi linier 3,1,1U dan 0,4,2V

    a) 3,3,3

    Ambil 321 , W

    3,3,321 VU

    3,3,30,4,23,1,1 21

    32 21 ........(1)

    34 21 ........ (2)

    33 1 ............. (3)

    11

    11 subtitusi pada 2) 341 2

    12

    VU 3,3,3

    b) 0,4,23,1,6,2,4 21

    42 21

    24 21

    603 1

  • 21 subtitusi pada 24 21

    44 2 12

    VU 26,2,4

    c) 0,4,23,1,16,5,1 1

    12 21

    54 21 542 2

    63 1 74 2

    21 4

    72

    Karena 2 memberi nilai yang berbeda maka 6,5,1 tidak dapat ditulis

    sebagai kombinasi linier dengan 3,1,1 dan 0,4,2

    d) 0,4,23,1,10,0,0 21

    060

    060

    021

    060

    060

    021

    060

    060

    021

    Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.

    6. Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi 4,1,2U

    3,1,1V , 5,2,3W

    Ambil 5,2,33,1,14,1,2 321 P P adalah konstanta

    a) 5,9,5 dalam bentuk matriks

    5534

    9211

    5312

    5110

    9211

    5312

    5110

    21321230

    5312

  • 5110

    3133110

    5312

    323200

    3133110

    5312

    1100

    3133110

    5312

    1100

    4010

    5312

    1100

    4010

    2012

    1100

    4010

    3001

    31 , 42 , 13

    WVUP 431

    b) P2 = (2, 0, 6)

    6534

    0211

    2312

    2110

    0211

    2312

    2110

    121230

    2312

    2110

    323110

    2312

    343210

    323110

    2312

    2100

    323110

    2312

    2100

    0010

    8002

    41 , 02 , 23

    WUP 241

    c) P3 = (0, 0, 0)

    0100

    0010

    0002

    01 , 02 , 03

    WVUP 0003

  • d) P4 = (2, 2, 3)

    3534

    2211

    2312

    5110

    2211

    2312

    1110

    121231

    2312

    1110

    323111

    2312

    313200

    323111

    2312

    21100

    213110

    21012

    21100

    21010

    1002

    2

    11 ,

    2

    12 ,

    2

    13

    WVUP2

    1

    2

    1

    2

    14

    7. Nyatakan sebagai kombinasi linier dari 21 42 xxP

    2

    2 31 xxP

    23 523 xxP

    a) 3322112595 PPPxx

    )523()31()42(595 232

    2

    2

    1

    2 xxxxxxxx

    Diperoleh tiga persamaan

    532 321

    92 321

    5534 321

    Dalam matriks diperluas diperoleh;

    5534

    9211

    5312

    dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi

  • 1100

    4010

    3001

    31 , 42 , 13

    Jadi

    3212 43595 PPPxx

    b) 332211

    262 PPPx

    Diperoleh tiga persamaan

    232 321

    02 321 dalam bentuk matriks

    6534 321

    6534

    0211

    2312

    dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi

    2100

    0010

    4001

    41 , 02 , 23

    312 2462 PPx

    c) 3322110 PPP dari soal 6c diperoleh

    0321

    Jadi 321 0000 PPP

    d) 3322112322 PPPxx diperoleh 3 persamaan:

    232 321

    22 321

    3532 321

  • Dari soal 6d diperoleh 2

    11 ,

    2

    12 ,

    2

    13

    Jadi 321

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1322 PPPxx

    8. A =

    31

    21 B =

    42

    10 C =

    20

    24

    Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai kombinasi linier dari

    a) P

    80

    36

    80

    36P

    20

    24

    42

    10

    31

    21

    64

    322

    002

    8243 dalam matriks

    8243

    0021

    3212

    6401

    101440

    6420

    91010

    6401

    5720

    3210

    91010

    6401

    131300

    121200

    91010

    6401

    13100

    20100

    91010

    6401

    1100

    1100

    1010

    2001

    2 , 1 , 1

    Jadi CBAP 2

  • b)

    20

    24

    42

    10

    31

    21

    15

    71Q

    14

    7212

    52

    1243

    Dalam matriks diperluas

    1243

    5021

    7212

    1401

    41440

    4420

    91010

    1401

    322600

    142400

    91010

    1401

    13162600

    121100

    91010

    1401

    Karena , bertentangan pada garis