Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Josipa Markoljevic

GRAVITACIJSKE LECE

Diplomski rad

2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Josipa Markoljevic

GRAVITACIJSKE LECE

Diplomski rad

Voditelj: doc. dr. sc. Josip Brana

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Sazetak 4

Summary 5

1. Uvod 6

2. Einsteinove jednadzbe polja 72.1 Linearizirane jednadzbe polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Schwarzschildova rjesenja Einsteinovih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Gibanje svjetlosti u Schwarzschildovoj metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Mali otkloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Veliki otkloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Gravtacijske lece 133.1 Sto su gravitacijske lece? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Klase gravitacijskih leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Jake lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Slabe lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Mikrolece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Promatranje slabih gravitacijskih leca 254.1 Postojanje i distribucija tamne tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Geometrija svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Trazenje gravitacijskih leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Zakljucak 32

Literatura 34

Zivotopis 35

Zahvala 36

3

Sazetak

Einsteinova opca teorija relativnosti predstavlja jedno od najvaznijih podrucja fizike da-nas, a eksperimentalno dokazivanje njenih rezultata jedan je od vecih izazova za znanstvenike.

Slika 1: Albert Einstein

Gravitacijske lece su novi nacin mjerenja ciji rezultati potvrduju Einsteinove pretpostavkeo utjecaju gravitacije na svjetlost i potvrduju postojanje i distribuciju tamne tvari u svemiru.

Cilj ovog rada je pokazati sustinu pojave gravitacijskih leca, pocevsi od Einsteinovihjednadzbi polja i Schwarzschildovih rjesenja o cemu ce biti rijeci u prvom poglavlju.

Drugo poglavlje bavi se konkretno gravitacijskim lecama: vrstama i mehanizmom djelo-vanja.

Trece poglavlje pokazat ce eksperimentalne rezultate motrenja svemirskih objekata objasnjivegravitacijskim lecama.

4

Summary

Einstein’s General relativity is one of the most important fields in physics today, andproving its results experimentally one of the greatest challenges for scientists all over theworld.

Slika 2: Albert Einstein

Gravitational lensing is a new way of measuring, and its results prove Einstein’s assump-tions on the influence of gravity on light propagation. Experiments with gravitational lensesalso proved the existence of dark matter and its distribution in the universe.

The object of this paper is to explain gravitational lensing, starting with Einstein’s fieldequations and Schwarzschild’s solutions in the first chapter.

The second chapter is about gravitational lenses, their geometry, classes and applications.The final chapter will show the results of experiments conducted by observing gravitati-

onal lens effects.

5

1. Uvod

Opca teorija relativnosti (dalje OTR) je geometrijska teorija gravitacije koju je 1916.g.objavio Albert Einstein i predstavlja standardni opis gravitacije u modernoj fizici. Onageneralizira specijalnu teoriju i Newtonov zakon gravitacije te daje jedinstveni opis gravita-cije kao geometrijske karakteristike prostora i vremena, ili prostor-vremena. Zakrivljenostprostor-vremena je izravno povezana s energijom i kolicinom gibanja bilo koje prisutne tvariili zracenja. Veza je predstavljena pomocu Einsteinovih jednadzbi polja.

Neka od predvidanja OTR znacajno se razlikuju od onih u klasicnoj, Newtonovoj teorijigravitacije, posebno kad se radi o tijeku vremena, geometriji svemira, kretanju tijela u slo-bodnom padu i sirenju svjetlosti. Primjeri takvih razlika ukljucuju: gravitacijsku dilatacijuvremena, gravitacijski crveni pomak, gravitacijski pomak Merkurova perihela, gravitacijskelece, itd.

Iako ovo nije jedina relativisticka teorija gravitacije, predstavlja najjednostavniju teorijukoje se zapravo poklapa sa eksperimentalnim podacima.

OTR predvida postojanje crnih rupa kao zavrsni stadij masivnih zvijezda. Crne rupesu dijelovi svemira u kojima je prostor-vrijeme tako izobliceno da cak ni svjetlost ne mozepobjeci kada prode obzor dogadaja. Nadalje, savijanje zraka svjetlosti pomocu gravitacijemoze dovesti do fenomena poznatog pod nazivom gravitacijske lece, pri kojem na nebuvidimo visestruke slike jednog udaljenog astronomskog objekta. OTR takoder predvidapostojanje gravitacijskih valova koji su uoceni neizravno (Hulse-Taylorov pokus). Njihovaizravna opazanja su cilj projekata poput LIGO (Laser Interferometer Gravitational-WaveObservatory koji provode sveucilista poput MIT-a i Caltech-a) i LISA (Laser InterferometerSpace Antenna kojeg provode NASA i ESA).

6

2. Einsteinove jednadzbe polja

Prema Einsteinovoj opcoj teoriji relativnosti (OTR) , gravitacija utjece na svijetlost istokao sto utjece na materiju. To je zato jer bismo, prema OTR, gravitaciju trebali promatratine kao vektorsku silu nego kao posljedicu zakrivljenosti svemira (prostor-vremena).

S Newtonovog gledista, gravitacija je centralno usmjerena sila kojom tijela koja imajumasu djeluju na sva ostala tijela s masom. Prema njegovoj analizi imamo:

~F = G · m1 ·m2

r2~r0 (1)

tj. sila je proporcionalna produktu masa dvaju tijela koja djeluju jedno na drugo, a obrnutoproporcionalna kvadratu njihove udaljenosti. G je gravitacijska konstanta i iznosi: G = 6.67·10−11Nm2kg−2 Kako svjetlost (promatrana kao zraka ili kao foton) nema masu, Newtonovajednadzba predvida da je masivna tijela nece privuci, bez obzira kako masivno bilo tijelokoje proizvodi gravitaciju.

Da bi konstruirao teoretski okvir koji bi odgovarao svim promatracima i koji se ne bioslanjao na neki istaknuti sustav motrenja, Einstein je morao odbaciti ovakvu percepcijugravitacije i osmisliti novi nacin razumijevanja.

Einsteinove jednadzbe gravitacijskog polja u OTR predstavljaju skup od 10 jednadzbikoje opisuju osnovno medudjelovanje - gravitaciju kao rezultat zakrivljenosti prostor-vremenazbog postojanja materije. Objavljene 1916. godine, ove jednadzbe povezuju zakrivljenostprostor-vremena s energijom i koliinom gibanja unutar tog prostor-vremena.

2.1 Linearizirane jednadzbe polja

Tehnike rjesavanja ovih jednadzbi ukljucuju pretpostavke pojednostavljenja uvjatovanasimetrijama. Najcesce se proucava specijalna klasa tocnih rjesenja jer predstavljaju modelza mnoge gravitacijske probleme kao sto su crne rupe ili sirenje svemira. Jedno pojednostav-ljenje dovodi nas i do tzv. lineariziranih jednadzbi, jer je puno jednostavnije rijesiti sustavlinearnih jednadzbi nego nelinearnih. Zbog toga, ukoliko je gravitacijo polje slabo mozemokoristiti linearizirane jednadzbe polja.

Einsteinove jednadzbe polja iz OTR mogu se u opcem obliku zapisati kao:

Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν (2)

gdje su:

• c - brzina svjetlosti

• G - gravitacijska konstanta

• Rµν - Riccijev tenzor zakrivljenosti

7

• R - Riccijev skalar

• gµν - metricki tenzor cije komponente igraju ulogu gravitacijskih potencijala i kojihu 4D prostor-vremenu ima 10 nezavisnih zbog cega u OTR imamo 10 nezavisnih jed-nadzbi polja za razliku od Newtonove teorije kod koje imamo samo jednu jednadzbupolja za jednu komponentn - gravitacijski potencijal φ:

∆φ = −4πGρ(~r)

• Tµν - tenzor gustoce energije impulsa

U slucaju da je Tµν = 0, govorimo o ”praznom” prostoru i tada su jednadzbe polja:

Rµν = 0 (3)

Broj jednadzbi i komponenti R-tenzora ovisi o broju dimenzija prostor-vremena:

Broj dimenzija prostor-vremena 2 3 4Broj jednadzbi polja 3 6 10

Broj komponenti R-tenzora 1 6 20

iz cega vidimo da gravitacijsko polje moze postojati u praznom prostoru samo ako je rijec o4 ili vise dimenzija jer 20 nezavisnih komponenti i 10 jednadzbi osigurava da tenzor zakriv-ljenosti nece isceznuti, a ako on ne iscezava, ne iscezava ni gravitacijsko polje.

2.2 Schwarzschildovo rjesenje Einsteinovih jednadzbi

Visoki stupanj nelinearnosti u jednadzbama polja upucuje na to da je opce rjesenje zaproizvoljnu distribuciju tvari analiticki nemoguce dobiti. Problem postaje jednostavniji akonpr. promatramo neko simetricno prostor-vrijeme.

Prvo egzaktno rjesenje Einsteinovih jednadzbi pronasao je 1916.g. Karl Schwarzschild1.Njegovo rjesenje predstavlja geometriju prostor-vremena izvan sferno-simetricne, staticnedistribucije tvari. On je trazio metriku u kojoj ce predstavljati staticko, sferno-simetricnogravitacijsko polje u praznom prostoru oko nekog masivnog sfernog objekta kao sto je zvi-jezda.

Staticko prostor-vrijeme je svako ono u kojem vremenska koordinata ( npr. x0 ) imasljedeca svojstva:

1. sve metricke komponente gµν su nezavisne od x0 - vremenske koordinate

2. ds2 ostaje nepromijenjen pri transformaciji x0 → −x0 - zrcaljenje vremena

Pocevsi od opceg izraza za ds2:ds2 = gµνdx

µdxν (4)

Schwarzschild je trazio skup koordinata xµ koje bi zadovoljavale ranije navedene uvjete.Oblik metrike za opcenito, staticko, prostorno izotropno prostor-vrijeme je :

ds2 = A(r)dt2 −B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (5)

1(1873.-1916.)njemacki fizicar koji je dao prvo tocno rjesenje Einsteinovih jednadzbi polja i to iste godinekada je Einstein objavio OTR

8

Nas zanima geometrija prostor-vremena izvan sferne distribucije mase, a za to je potrebnouzeti u obzir jednadzbe polja za prazan prostor. Rjesavanjem tih jednadzbi, dobivamoSchwarzschildovu metriku za prazan prostor oko sfernog tijela mase M:

ds2 = c2(

1− 2GM

c2r

)dt2 −

(1− 2GM

c2r

)−1dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2 (6)

Ova se metrika koristi za istrazivanje fizickih pojava u blizini sfernih objekata mase M,posebno putanja masivnih cestica i fotona. Metrika vrijedi sve do povrsine sfernog objektagdje ove jednadzbe vise ne vrijede. ds2 poprima beskonacnu vrijednost za:

r =2GM

c2≡ rg (7)

sto je poznato kao Schwarzschildov polumjer. Ako se masivno tijelo nalazi unutar tog polu-mjera imamo pojavu koju zovemo Schwarzschildova crna rupa.

2.3 Gibanje svjetlosti u Schwarzschildovoj metrici

Culi smo za izraz: ”Najkraca udaljenost izmedu dvije tocke je pravac”. Prevedena najezik diferencijalne geometrije zakrivljenih prostora ona bi glasila: ”Geodetske krivulje uEuklidskoj metrici su ravne crte - pravci”.

Geodetske krivulje predstavljaju ekstremne vrijednosti funkcije udaljenosti u nekom pros-toru ili prostor-vremenu. Vrlo su vazne u relativistickom opisu gravitacije. U OTR pred-stavljaju stazu cestice koja slobodno pada u nekom prostor-vremenu (”slobodno pada” ovdjeznaci da se ona giba samo pod utjecajem gravitacije, bez utjecaja bilo kakve druge sile).

U normalnom prostoru, funkcija udaljenosti dL2 moze biti samo pozitivna. Medutim,kada se nademo u prostor-vremenu, onda funkcija udaljenosti dS2 moze poprimiti pozitivnei negativne vrijednosti ili moze biti nula! Prema tome, geodetske krivulje u prostor-vremenudijelimo na:

• prostorne geodetske krivulje, kada je dS2 < 0

• nul geodetske krivulje, dS2 = 0

• vremenske geodetske krivulje, dS2 > 0

Nama su najzanimljivije nul geodetske krivulje koje stvaraju tzv. svjetlosne stosce.Ako ih promatramo u ravnom prostor- vremenu (u dvije prostorne i jednoj vremenskoj

dimenziji) onda one leze na pravilnim stoscima. (Slika 3)

Slika 3: Svjetlosni stozac

9

Slika 4: Svjetlosni stsci i nul geodetske krivulje u zakrivljenom prostor-vremenu (LIT. [26])

Ako pak prijedemo u zakrivljeni prostor, nul geodetske krivulje nece u pravilu biti ravne.Kao sto pokazuje Slika 4, ”stosci” se mogu iskriviti.

Staza fotona (ili bilo koje druge cestice cija je masa mirovanja 0) je nul geodetska krivuljaodredena jednadzbom:

d2u

dφ2+ u =

3GM

c2u2 (8)

gdje je u ≡ 1r.

Masivan objekt moze imati znacajan utjecaj na gibanje fotona (svjetlosti). Iz jednadzbe(8) vidljivo je da se fotoni mogu gibati po kruznoj stazi. Tada je r = const pa je:

r =3GM

c2(9)

Vidimo da polumjer kruzne staze ne ovisi o energiji (frekvenciji) fotona, nego samo o masigravitacijskog objekta.

10

2.3.1 Mali otkloni

Kad govorimo o malim kutovima otklona zrake svjetlosti koja prolazi pored masivnogobjekta (npr. Sunca) krecemo od jednadzbe (8).

U odsustvu materije desna strana jednakosti iscezava i mozemo pisati rjesenje kao:

u0 =sinφ

b(10)

Relativisticki dodatak na desnoj strani jednadzbe (8) mozemo smatrati u ovom slucajumalom smetnjom koja uvjetuje dodatak ∆u rjesenju u0 pa je :

u =sinφ

b+ ∆u (11)

a jednadzba (8) poprima oblik:

d2∆u

dφ2+ ∆u =

3GM

c2b2sin2 φ (12)

iz kojeg integriranjem dobijemo rjesenje oblika:

u =sinφ

b+

3GM

c2b2

(1 +

1

3cos 2φ

)(13)

Promotrimo li sada limes kada r →∞, tj. u→ 0, mozemo uzeti da je sinφ ≈ φ i cosφ ≈ 1pa dobijemo:

φ = −2GM

c2b. (14)

Iz toga dobijemo da je puni otklon (Slika 5):

∆φ =4GM

c2b(15)

Za svjetlost koja prolazi u blizini Sunca kut otklona je ∆φ = 1′′75.

Slika 5: Kut otklona

Sljedeca slika (Slika 6) predstavlja sva mjerenja kuta otklona izvrsena izmedu 1969. i1975., a vidljivo je da se rezultati odlicno slazu sa predvidanjima OTR (za tocnost je potrebnoda je α = 1)

Moderni radio eksperimenti koji se koriste interferometriom s vrlo dugackom bazom(VLBI) mogu doseci tocnost bolju od 10−4 lucnih sekundi.

11

Slika 6: Tablica rezultata mjerenja kuta otklona (LIT. [24])

2.3.2 Veliki otkloni

Za velike otklone ne vrijede ranije navedeni izrazi nego vrijedi:

dφ

dr=

1

r2

[1

b2− 1

r2

(1− 2µ

r

)]− 12

(16)

gdje je

2µ = rg =2MG

c2

Moze se takoder pokazati da za

b > 3√

3GM

c2=

3√

3

2rg

masa nece zarobiti foton sto ce rezultirati opcenitim oblikom putanje prikazane na Slici 7:Kut otklona tada racunamo:

∆φ = 2

∫ ∞r0

1

r2

[1

b2− 1

r2

(1− 2µ

r

)]− 12

dr (17)

U ovoj jednadzbi, r0 predstavlja najkracu udaljenost na kojoj se foton nade pri prolaskupored masivnog objekta.

12

Slika 7: Putanja fotona

Veliki otkloni nemoguci su kod zvijezda poput naseg Sunce. Objekt koji bi prouzrocioveliki otklon mora biti puno masivniji pa u takve objekte ubrajamo galaksije ili cak klasteregalaksija koji onda postaju tzv. gravitacijske lece.

13

3. Gravtacijske lece

U okviru OTR, Einstein je pretpostavio i sljedece: Ako je moguce da astronomski objektidjeluju na svjetlost i otklanjaju je sa njenog pravca, onda je moguce, u pravim uvjetimauociti mnogostruke slike jednog jedinog izvora. Medutim, kako je smatrao da gravitacijskaleca moze biti iskljucivo jedna zvijezda, zakljucio je da se taj fenomen nece moci promatratiu skoroj buducnosti. 1937.g. znanstvenik Fritz Zwicky2 bio je prvi koji kao mogucu gravi-tacijsku lecu promatrao cijelu galaksiju, a prema njegovim proracunima takvu pojavu bilobi vrlo moguce promatrati.

3.1 Sto su gravitacijske lece?

Gravitacijska leca nastaje kada se svjetlost iz dalekog svjetlosnog izvora ”savija” okomasivnog objekta (masivna galaksije ili klaster galaksija) koji se nalazi izmedu izvora ipromatraca (Slika 8).

Slika 8: Sustav gravitacijske lece (LIT. [23])

Za razliku od opticke lece, maksimalni ogib se dogada u tocki najblizoj centru gravi-tacijske lece (Slika 9). Zbog toga gravitacijska leca nema jedinstvenu fokusnu tocku, nego

2(1898.-1974.) svicarski fizicar koji je 1937. pretpostavio da klaster galaksija moze biti leca, sto jepotvrdeno tek 1979. otrkicem tzv. ”Kvazara Blizanaca”, Q0957+561 koji su postali prvi identificirani”lecirani” objekt

14

umjesto toga fokusni pravac.

Slika 9: Maksimalni ogib (LIT. [25])

Kut izmedu originalne i ogibne zrake ∆Φ, prema jednadzbama (15) i (17), ovisi o masilece M i najkracoj udaljenosti zrake od masivnog objekta b. Potreban je jako masivan objektkao i da svjetlost putuje jako blizu njega da bi doslo do znacajnijeg ogiba.

Ono sto promatrac vidi ovisi o medusobnom polozaju izvora, promatraca i lece te oobliku gravitacijskog polja objekta koji sluzi kao leca. Ako se izvor, leca i promatrac nalazena istom pravcu (Slika 10), izvor ce promatracu izgledati kao prsten iza masivnog objekta.

Slika 10: Izvor, leca i promatrac na istom pravcu (LIT. [25])

Taj fenomen poznat je pod nazivom Einsteinov prsten jer je on bio prvi koji ga je 1936.g.matematicki opisao. U tom slucaju, kut φE (Slika 11) odreduje tzv. Einsteinov polumjerkoji ovisi o:

a) masi objekta (veca masa, veci polumjer)

b) udaljenosti izmedu promatraca i lece, izvora i lece te izvora i promatraca.

Najveci polumjer je u slucaju kada se leca nalazi na tocno pola puta izmedu promatracai izvora. Za male kutove izrazene u radijanima, udaljenost b postaje:

b = ∆ΦD

15

Slika 11: Einsteinov prsten (LIT. [25])

jer zbog malih kutova mozemo iskoristiti aproksimaciju: tgΦ = Φ.Iskoristimo li ovu zamjenu u jednadzbi (15), jednostavnim racunom dobijemo izraz za

Einsteinov polumjer:

φE =

√4GM

Dc2(18)

gdje je:

• G - gravitacijska konstanta

• M - masa objekta (lece)

• c - brzina svjetlosti

• D - udaljenost promatraca i lece (lece i izvora)

Ispada da je taj polumjer vrlo mali sto se vidi iz sljedece tablice:

Slika 12: Tablica 1 (LIT. [25])

16

Kada astronomi slikaju udaljene objekte u svemiru pomocu optickog ili infracrvenogteleskopa, najmanje dimenzije koje mogu razluciti su oko 0.000028 stupnjeva, tj. 0.1 lucnusekundu. Iz Tablice 13 je vidljivo da nam je nemoguce vidjeti prsten koji nastaje u sustavuu kojem je zvijezda leca, ali zato postoji velika mogucnost da ga vidimo ako je leca cijelajedna galaksija ili, jos bolje, klaster galaksija.

Skoro savrsen Einsteinov prsten astronomi su snimili promatrajuci kvazar MG1654+1346(slika 13). Kao leca im je posluzila spiralna galaksija cija je masa iznosila oko 1014 solarnihmasa. Ona je fokusirala radiovalove kvazara u prsten polumjera oko 1 lucne sekunde.

Slika 13: Kvazar MG1654 + 1346 (LIT. [23])

Uobicajenije je, medutim, vidjeti samo dijelove luka (slika 14) oko objekta zbog toga stoje leca malo izvan fokusnog pravca.

Slika 14: Einsteinov luk (LIT. [23])

Promatrac takoder moze vidjeti i nekoliko slika istog objekta ciji broj i oblik opet ovisi

3solarna masa - masa Sunca koja iznosi 1.98892 · 1030kgparsek (pc) - duljina katete pravokutnog trokuta koja s hipotenuzom cini kut od jedne lucne sekunde, aduljina druge katete iznosi jednu astronomsku jedinicu(oko 150 milijuna kilometara), a iznosi 3.0857 ·1013kmili 3.2616sg

17

o polozaju promatraca, izvora i lece. Poseban primjer je tzv. Einsteinov kriz ili kvazarQSO2237 + 0305 (slika 15) koji se nalazi u zvijezdu Pegaza. Cetiri slike kvazara vidljivesu oko galaksije (lece) koja je od nas udaljena 400 milijuna svjetlosnih godina, dok je samkvazar od nas udaljen 8 milijardi svjetlosnih godina.

Slika 15: Einsteinov kriz(Kvazar QSO2237 + 0305) (LIT. [23])

Slika 16 prikazuje sustav gravitacijske lece u kojem izvor stoji na udaljenosti D od pro-matraca, koji bi ga vidio pod kutem β s obzirom na ravninu u kojoj leze promatrac i leca(π) da nema lece. Leca se nalazi na udaljenosti D1 od promatraca i D2 od izvora i otklanjasvjetlosti koja dolazi od izvora za kut otklona φ pa promatrac vidi sliku izvora pod kutomα s obzirom na π.

Slika 16: Sustav lece (LIT. [23])

18

Ako sustav promatramo kroz male kutove, mozemo reci da su trokuti na Slici 16, kojisadrzavaju nama zanimljive kutove, pravokutni. Promatrajuci ravninu izvora vidimo da jeudaljenost d za koju, zbog malih kutova, vrijedi:

d = Dtgα = Dα

jednaka zbroju udaljenosti:d1 = D2tgφ = D2φ

d2 = Dtgβ = Dβ

Iz ovoga dobijemo jednadzbu gravitacijske lece u obliku:

Dα = Dβ +D2φ (19)

ili, ako ju izrazimo preko kuta otklona:

φ =D

D2

(α− β) (20)

19

3.2 Klase gravitacijskih leca

Postoje tri klase gravitacijskih leca:

1. Jake lece

2. Slabe lece

3. Mikrolece

3.2.1 Jake lece

Kod jakih leca, poremecaji koji nastaju su jasno vidljivi. To su ranije spomenuti Einste-inov prsten, lukovi ili umnozene slike izvora.

Slika 17: Jaka leca (LIT. [23])

Jake lece, osim vidljivog, mogu utjecati i na ostale djelove elektromagnrtskog spektra,radio valove i x-zrake.

3.2.2 Slabe lece

Kod slabih leca, otklon je nemoguce uociti ako je rijec o jedinstvenom izvoru u pozadini.Medutim, moze se uociti prisutnost mase ispred izvora tako sto se sistematski ”filtriraju”pozadinski izvori oko mase koja sluzi kao leca. Slabe lece predstavljaju onda statistickomjerenje koje nam moze posluziti za mjerenje masa astronomskih objekata bez pretpostavkio njihovu sastavu i dinamici. Opcenito, efekt uzrokuje malo, ali statisticki koherentno,izoblicenje.

Znanstvenici sa sveucilista u Bonnu, Njemacka (lit. [22]), zakljucili su da postoje trirazloga zasto se slabe gravitacijske lece sve intenzivnije koriste u istrazivacke svrhe:

1. Razraden je dobar teoretski okvir za koristenje mjerenja dobivenih pomocu slabih gravi-tacijskih leca u razlicite svrhe. Ovo je znanstvenicima priskrbilo odobrenje za koristenjeteleskopa (poput Hubbleovog) za takve eksperimente (promatranja su dugotrajna).

2. Za promatranje gravitacijskih leca i njihovih efekata potrebno je siroko vidno polje.Napredak je postignut instaliranjem kamera koje obuhvacaju veliko vidno polje na,astronomski, zanimljive pozicije.

20

3. Razvijene su kvantitativne metode (softver) za ispravljanje efekata poput zamagljeneslike zbog atmosfere ili optike teleskopa jer je potrebna ogromna baza podataka, jakikompjuteri i programi koji mogu razlikovati korisne podatke od ”laznih” da bi serezultati onda mogli usporediti sa predvidanjima razlicitih teorija, a time i OTR.

Slika 18: ”Leciranje” slabom lecom (LIT. [23])

Rjesenje problema koje zadaje atmosfera ponudeno je pomocu promatranja koja bi seprovodila iz svemira umjesto sa Zemlje. Najbolji instrument za takva promatranja, za sada,je Hubbleov svemirski teleskop.

Slika 19: Hubbleov svemirski teleskop (LIT. [23])

Promatranja slabih gravitacijskih leca provode se pomocu dva njegova instrumenta:WFPC2 (Wide-Field Planetary Camera 2) i STIS (Space Telescope Imaging Spectrograph).Vidno polje prvoga je oko 5 lucnih minuta, a drugoga 51”. Uz njih, tu je i nova kameraACS (Advanced Camera for Surveys) sa vidnim poljem od 3.4 lucne minute, instalirana nateleskop, koja je vjerojatno najvrjedniji instrument za proucavanje slabih gravitacijski leca.

21

Kako je vecina objekata u svemiru podlozna efektima slabih gravitacijskih leca, one sui najvazniji instrument u znanstvenim istrazivanjima. Klasteri galaksija su medu najvecimgravitacijskim sustavima u svemiru. Sadrze vise od 80% tamne tvari, o cijoj distribucijimozemo puno doznati proucavajuci slabe gravitacijske lece, kao sto cemo vidjeti u sljedecempoglavlju.

Najvazniji primjeri klastera koji sluze kao lece su:1. Abell 1689, jedan od najvecih i najmasivnijih klastera. Na slici (Slika 20), zuta boja

Slika 20: Abell 1689 (LIT. [23])

predstavlja galaksije koje se nalaze u samom klasteru, a bijela i crvena galaksije iz pozadinekoje se vide pod gravitacijskim utjecajem klastera. Neke od tih pozadinskih galaksija uda-ljene su i vise od 13 milijardi svjetlosnih godina od nas, a sam klaster koji sluzi kao leca imapromjer od oko 2 milijuna svjetlosnih godina.

2. Klaster Bullet (Slika 21) koji se sastoji od dva klastera galaksija u sudaru i navodnoje do danas istrazivanje gravitacijskih leca pomocu njega dalo najbolje dokaze za postojanjetamne tvari u svemiru.

Slika 21: Klaster Bullet (LIT. [23])

22

3.2.3 Mikrolece

Obicno, astronomi otkrivaju sjajne objekte koji emitiraju puno svjetlosti (zvijezde) ilivelike objekte koji blokiraju pozadinski izvor svjetlosti (oblaci plina i prasine). Mikroleceomogucavaju proucavanje objekata koji emitiraju malo ili nista svjetlosti.

Kada se udaljena zvijezda ili kvazar nade na istom pravcu sa masivnim objektom ispredsebe i promatracem dolazi do pojave dviju iskrivljenih slika sto rezultira povecanjem koje semoze promatrati. To je idealna tehnika za promatranje objekata poput: smedih, crvenih ibijelih patuljaka, planeta, neutronskih zvijezda i crnih rupa.

Mikrolece ne ovise o valnoj duljini pa je moguce promatranje izvora koji emitiraju bilokakvo elektromagnetsko zracenje.

Slika 22: Crna rupa kao mikroleca (LIT. [14])

Za razliku od jakih i slabih leca, mikrolece ne mozemo utvrditi jednim jedinim proma-tranjem. Umjesto toga fotometrijski promatramo povecanje i smanjenje sjaja izvora tijekomvremena.

Tijekom dogadaja s mikrolecama, sjaj izvora se pojaca za faktor pojacanja A. On ovisisamo o blizini poravnanja promatraca, izvora i lece. Broj u, koji je bezdimenzionalan,definiran je kao kutno razlucenje lece i izvora podijeljeno s iznosom Einsteinovog polumjera.Vrijedi:

A(u) =u2 + 2

u√u2 + 4

(21)

Ova funkcija ima nekoliko vaznih svojstava:

• A(u) uvijek je veci od 1 pa mikroleca sjaj izvora moze samo povecati

• A(u) se uvijek smanjuje s povecanjem u, tj. sto je poravnanje blize, izvor postajesjajniji

• Kada u→∞, onda A(u)→ 1 i mikroleca nema efekta

• Kada u→ 0, onda A(u)→∞ i slika postaje Einsteinov prsten

23

Kod mikroleca, u se znacajno mijenja za vrlo kratko vrijeme, tj. u je funkcija vremena:

u(t) =

√u2min +

(t− t0tE

)2

(22)

gdje je tE Einsteinovo vrijeme potrebno da leca prijede kutnu udaljenost jednaku Einsteino-vom polumjeru, a umin oznacava vrhunac sjaja tijekom jednog dogadaja. Ta funkcija sjaja uovisnosti o vremenu poznata je kao svjetlosna krivulja. Tipicna svjetlosna krivulja mikroleceizgleda ovako:

Slika 23: Svjetlosna krivulja (LIT. [23])

Ako je leca zvijezda oko koje kruzi planet (Slika 24), dolazi do velike devijacije od stan-dardnog, ocekivanog dogadaja bez obzira na to kako je mala masa planeta. Ta devijacijaomogucava nam da izvodimo zakljucke o postojanju te odredimo fizikalne znacajke planetau orbiti navedene zvijezde.

Slika 24: Zvijezda oko koje kruzi planet kao leca (LIT. [14])

Prvi uspjeh ove metode bio 2003.g kada je otkriven planet cija je masa 1.5 puta veca odmase Jupitera. Do sijecnja 2011.g tom je metodom otkriveno jos 11 egzoplaneta od kojih jenajmanji onaj cija je masa samo 1.9 puta veca od mase Zemlje.

Dr. sc. Dijana Dominis Prester, doc. zaposlena je na Odjelu za fiziku Sveucilista uRijeci i clanica je medunarodne znanstvene kolaboracije PLANET (Probing Lensing Ano-malies NETwork). S njima je sudjelovala u otkricima nekoliko planeta izvan Sunceva sus-tava, izmedu ostalih i prvoga ekstrasolarnog planeta slicnog Zemlji. Metoda gravitacijske

24

mikrolece omogucuje najpreciznije odredivanje mase planeta i pokriva najveci raspon pa-rametara sustava planetzvijezda. Opazanja obavljana niz godina pomocu mreze optickihteleskopa rasporedenih na juznoj Zemljinoj hemisferi u sklopu PLANET-a omogucila suda se, osim pojedinacnih otkrica ekstrasolarnih planeta, nacini i procjena broja planeta uorbitama zvijezda Mlijecnoga puta.

25

4. Promatranje slabih gravitacijskihleca

4.1 Postojanje i distribucija tamne tvari

Tamna tvar je naziv za nevidljivu tvar u svemiru koja nemedudjeluje, osim gravitacijski,zbog cega je ne mozemo vidjeti. Njeno postojanje astronomi su dokazali posredno, promatra-njem gravitacijskih ucinaka tamne tvari na druge, ”eletromagnetske”, objekte. Poznavanjekolicine tamne tvari u svemiru omogucilo bi bolje razumijevanje kako dosadasnjeg tako ibuduceg razvoja svemira.

Kozmolozi izrazavaju gustocu svemira preko velicine Ω . Vidljive tvari u svemiru nemamnogo, tek oko Ω = 0.05. Neki teoreticari smatraju da je ukupna gustoca svemira Ω = 1,sto znaci da tamne tvari mora biti oko Ω = 0.95. To bi znacilo da je 95% mase svemira”tamno”. Realisticnije teorije postavljaju gornju granicu gustoce svemira na Ω = 0.4, pa bitamne tvari trebalo biti oko Ω = 0.35. Cak i u tom slucaju velik dio mase svemira ostajenepoznat.

Ukupna masa tamne tvari prelazi onu pridruzenu vidljivoj tvari - zvijezdama, plinu iprasini - minimalno 10 puta. Cak i bez istrazivanja dijelova svemira izmedu klastera galak-sija, astronomi su zakljucili da unutar klastera postoji dovoljno tamne tvari da se popuni20% kriticne gustoce:

ρkr =3H2

0

8πG(23)

gdje je G gravitacijska konstanta, a H0 Hubblova konstanta.Dosada su svi dokazi o tome da tamna tvar dominira masom zvjezdanih sustava dobi-

veni dinamickim promatranjem: mjerenjem crvenog pomaka galaksija koje se gibaju unutarklastera te zvijezda i plina koji kruze unutar galaksija. Mjerenja crvenog pomaka dala sujake dokaze za tamnu tvar u galaksijama i superklasterima galaksija, ali znanstvenici mo-raju isprobati nezavisne tehnike koje ne bi ovisile o pretpostavkama o kretanju zvijezda igalaksija.

Jedno od glavnih problema u kozmologiji je ne poznavanje uloge tamne tvari u evolucijigalaksija. Kako se svemir siri, dijelovi u kojima je tamna tvar zastupljenija gravitacijski se”uruse” i stvaraju strukture koje prezive kao nakupine galaksija obavijene tamnom tvari.Kada bismo poznavali distribuciju tamne tvari u bilo kojoj epohi evolucije svemira moglibismo racunski dobiti distribuciju u bilo kojoj drugoj epohi i ispitati njezine fizikalne im-plikacije. Ta nova tehnika ukljucuje promatranje svemira uz pomoc slabih gravitacijskihleca.

Astronomi u NASA-inom laboratoriju (JPL - Jet Propulsion Laboratory) su pomocuinstrumenata na Hubblovom svemirskom teleskopu izradili najdetaljniju kartu tamne tvaridosad, fokusirajuci teleskop na ranije spomenuti udaljeni klaster Abell 1689 koji se nalazi uzvijezdu Djevice. Njega su iskoristili kao lecu.

26

Masa klastera iskrivila je okolno prostor-vrijeme, a time i zrake svjetlosti koje dolaze odgalaksija koje se nalaze daleko iza njega te su time dobili izoblicene i prilicno uvecane sliketih udaljenih galaksija. Uspjeli su ih analizirati i procijeniti koliko bi tamne tvari trebalobiti u klasteru. Slika im je dala dokaz o samom postojanju tamne tvari, jer bi gravitacijskiefekti vidljive materije bili puno slabiji sa vrlo slabim izoblicenjem. Slika 25 usporedujedistribuciju vidljive tvari (crveno, lijevo) i tamne tvari (plavo, desno).

Slika 25: Distribucija tamne i vidljive tvari (LIT. [17])

Rezultat njihova rada je dosad najbolja slika koja pokazuje distribuciju tamne tvari uovom klasteru. Na slici (Slika 26) se vidi kao maglica.

Slika 26: Distribucija tamne tvari (LIT. [12])

Kombiniranjem Hubblovim teleskopom promatranih gravitacijskih leca sa spektroskop-skim promatranjem crvenog pomaka pomocu teleskopa na Zemlji dobije se 3D prikaz naku-pina mase (tamna tvar, galaksije, crne rupe...). Na sljedecoj slici (Slika 27), bijele, cijan i

27

zelene regije su one blize Zemlji, a narancaste i crvene su udaljenije. Da bi dobili ovu sliku,astronomi su koristili mjerenja koja je Hubble teleskop proveo na 446000 galaksija tijekomvise od 1000 sati promatranja, sto je najvece mjerenje ikad izvedeno ovim teleskopom.

Slika 27: Distribucija tamne tvari prema udaljenosti (LIT. [17])

3D mapa distribucije tamne tvari dobivena kompjuterski pomocu podataka skupljenihovim istrazivanjem prikazana je na sljedecoj slici (Slika 28):

Slika 28: Tamna tvar u 3D (LIT. [17])

U gornjem dijelu slike su tri slicice koje prikazuju evoluciju tamne tvari kroz vrijemeili pak udaljenost od nas. Skup podataka se dobije tako sto se skup pozadinskih galaksijapodijeli na diskretne vremenske epohe. Svaka od tri slicice predstavlja dio neba koji je 9puta veci od kutnog promjera punog mjeseca. Donji dio slike predstavlja kombinaciju svih”epoha” i daje 3D prikaz tamne tvari u svemiru. Tri osi u ”kutiji” odgovaraju polozaju nanebu i udaljenosti od Zemlje koja raste s lijeva na desno.

28

Jedno od iznenadnih otkrica bila je veca gustoca klastera nego sto je teoretski predvidena.To je navelo na zakljucak da su se, najvjerojatnije, ovi klasteri poceli stvarati milijardamagodina ranije nego sto su astronomi pretpostavili, u doba kada je svemir bio manji i punogusci. U protivnom bi tamna energija imala veci utjecaj usporavajuci rast velikih klasterakao sto je Abell 1689.

Znanstvenici (astronomi, kozmolozi, fizicari) se slazu da je razumijevanje prirode tamnetvari vazno za saznanja o tome kako je svemir evoluirao i kako su nastali galaksije, zvijezde iplaneti. Stvaranje ove velike, iako nevidljive, kozmicke mreze je veliki korak u tom smjeru.

4.2 Geometrija svemira

Gravitacijske lece mogu se koristiti i za mjerenje ekspanzije svemira kroz povijest sto jeiskazano Hubble-ovim zakonom.

Hubble je uz pomoc Dopplerovog efekta zakljucio da su udaljenosti galaktika i njihovebrzine udaljavanja razmjerni tj. da se dalje galaktike udaljavaju od nas vecim brzinama. Tase proporcionalnost moze izraziti formulom:

v = H0D (24)

gdje su: v - brzina udaljavanja, H0 - Hubbleova konstanta i D - udaljenost.Prema teoriji velikog praska sirenje svemira zapocelo je prije konacnog vremena, kada

je citav svemir bio sazet u vrlo mali prostor. Starost svemira (vrijeme proteklo od velikogpraska) moze se procijeniti iz vrijednosti Hubbleove konstante H0. Reciprocnu vrijednostH0 nazivamo Hubbleovo vrijeme τ :

τ =1

H0

(25)

Mjerenja pokazuju, da se brzina udaljavanja povecava za priblizno 13km/s kada se uda-ljenost poveca za milijun godina svjetlosti. Iz tog podatka dobivamo za Hubbleovo vrijeme:

τ =r

v=

1000000gs

13km/s= 23 · 109g (26)

sto odgovara vrijednosti Hubbleove konstante H0 = 42.54kms−1Mpc−1.Hubbleovo vrijeme ima sljedece znacenje: ako bi se svemir sve vrijeme sirio danasnjom

brzinom, poceo bi se siriti tocno prije Hubbleova vremena τ . Medutim, Hubbleovo vri-jeme vece je od stvarne starosti svemira. Na osnovi najnovijih mjerenja (WMAP-WilkinsonMicrowave Anisotropy Probe) starost svemira se procjenjuje na 13.75 milijardi godina.

Gravitacijske lece omogucavaju mjerenje Hubbleove konstante kada je ovisnost o drugimkozmoloskim parametrima vrlo slabo zastupljena. Za H0 konstantu su razlicita mjerenjadavala razlicite rezultate, ali najnovija mjerenja dobivena pomocu gravitacijskih leca dajuvrijednost izmeu 50kms−1Mpc−1 i 80kms−1Mpc−1.

Sljedeci dijagrami pokazuju vrijednosti konstante sa pogreskama kroz povijest. Prvi od1929. do danas i drugi u zadnjih 20 godina (LIT. [19]):

29

30

4.3 Trazenje gravitacijskih leca

Iako su navedeni eksperimenti i rezultati impresivni, nista od toga ne bi bilo moguce bezistrazivanja usmjerenih na detekciju gravitacijskih leca.

Vecina ih je u proslosti otkrivena slucajno, ali danas su predmeti ciljanog istrazivanja.Takvim istrazivanjem bave se projekti kao sto su CLASS i CASTLES.

CLASS (Cosmic Lense All-Sky Survey) projekt proveden je izmedu 1990. i 1999.g.Sastojao se od promatranja 16503 radio izvora. Takvi objekti su najcesce kvazari koji imajuvrlo jednostavnu radio strukturu sto je vrlo korisno za trazenje gravitacijskih leca. Nakonprikupljanja podataka provedeno je filtriranje pomocu MERLIN-a (Multi-Element RadioLinked Interferometer Network), mreze radio teleskopa rasirenih po Velikoj Britaniji, dabi se iz mnostva podataka izdvojile prave gravitacijske lece. Cijeli je proces opisan u dvarada (lit. [20], [21]) koja sadrze opise promatranja i procesa identifikacije. Rezultat su 22gravitacijske lece (Slika 29) koje su potpomogle izradu stotina istrazivackih radova:

Slika 29: CLASS lece (LIT. [16])

CASTLES (Center for astrophysics-Arizona Space Telescope LEns Survay) je zamasnijiprojekt koji i danas provode Centar za astrofiziku na Harvardu i Sveuciliste u Arizoni pomocuHubble-ova teleskopa. Od pocetka promatranja, broj gravitacijskih leca koje su otkrili dra-maticno je rastao, a njihove se stranice konstantno pune novim podacima dobivenim ovim

31

promatranjem. Tamo se moze naci popis 100 sustava gravitacijskih leca s njihovim opisnimpodacima. Ciljevi njihova projekta su:

• Identifikacija jednostavnog sustava gravitacijske lece za odredivanje Hubble-ove kons-tante

• Mjerenje omjera mase i svjetla galaksija-leca

• Usporedba distribucije tamne tvari i zvjezdanog svjetla u galaksijama sustava

• Ispitivanje meduzvjezdanog medija u galaksijama sustava

• Pronalazak do sada nedetektiranih galaksija u sustavu lece

a slika 30 prikazuje neke od detektiranih sustava:

Slika 30: CASTEL lece (LIT. [15])

32

5. Zakljucak

OTR predstavlja Einsteinovu teoriju gravitacije i na tome zasnovanu kozmologiju koja jedosad prosla mnoge promatracke i eksperimentalne testove.

Gravitacijske lece predstavljaju jedan od najboljih alata za provjeru tocnosti OTR danas.Vecina gravitacijskih leca je u proslosti otkrivena slucajno. Gravitacijske lece su se ciljanotrazile u projektima poput CLASS-a i CASTLES-a koji su doveli do otkrica mnostva novihsustava gravitacijskih leca. Ovo je otvorilo novi put za istrazivanja koja se krecu u rangu odnalazenja jako udaljenih objekata do odredivanja vrijednosti kozmoloskih parametara sto binam pomoglo za bolje razumijevanje svemira.

Skoro 100 godina nakon objavljivanja, OTR ostaje vrlo aktivno podrucje istrazivanja.Ona se potvrduje u raznim svojim podrucjima: gravitacijski crveni pomak, zakretanje peri-hela i periastrona planeta i dvojnih zvjezda, zracenje gravitacijskih valova, itd. U zadnjemnavedenom (Hulse-Taylorov pokus) pokazala se jednom od najpreciznijih fizikalnih teorija(s preciznoscu do 10−14).

Nadalje, ona predvida postojanje zacudnih fizikalnih objekata u svemiru kao sto su: crnerupe, bijele rupe, crvotocine, itd. Takvi objekti bi imali osobine kakve ne susrecemo ubliskom svemiru, a manifestirali bi se kao snazni izvori zracenja.

Moderna kozmologija takoder se zasniva na OTR-u, medutim, otkrice ubrzanog sirenjasvemira ukazuje na postojanje nevidljive (”tamne”) energije koja to uvjetuje, a u Einste-inovim bi se jednadzbama opisivala kozmoloskom konstantom λ (za koju je Einstein izgledaipak nepravedno rekao da je naveca zabluda njegova profesionalnog zivota).

Teorijska fizika danas nema dobrog objasnjenja za tu konstantu, a ”najbolje” objasnjenjerazlikuje se od λexp za 10120, sto je najvece neslaganje eksperimenta i teorije u povijesti fizike.

Za razdiobu ”tamne” energije svakako ce gravitacijske lece odigrati znacajnu ulogu.

33

Literatura

[1] M. P . HOBSON, G . P . EFSTATHIOU, A . N . LASENBY, General Relativity, AnIntroduction for Physicists, Cambridge university Press, 2006.

[2] J. DUNNING-DAVIES, Questions Concerning Schwarzschild’s Solution of Einstein’s Equ-ations, Department of Physics, University of Hull, USA

[3] A. ABDO, Gravitational Lensing, Department of Physics and Astronomy Michigan StateUniversity

[4] K. MUKHERJEE, Null geodesic deviation equation and models of gravitational lensing,University of Pittsburgh, 2005.

[5] K. WECHT, How to Linearize Einstein’s Field Equations, Lehigh University, USA, 2007.

[6] AMITAI YISRAEL BIN-NUN, Gravitational Lensing with a Large Deflection Angle as aProbe of General Relativity and the Galactic Center, University of Pennsylvania, USA, 2010.

[7] C. S. KOCHANEK , P. L. SCHECHTER, Hubble Constant from Gravitational LensTime Delays, Carnegie Observatories Astrophysics Series, Vol. 2:Measuring and Modelingthe Universe, 2003.

[8] R. MASSEY, A. REFREGIER, J. RHODES, Weak Lensing from Space II: Dark MatterMapping, California Institute of Technology, 2004.

[9] W. L. FREEDMAN, B. F. MADORE, The Hubble constant, Annual Review of Astro-nomy and Astrophysics Vol. 48, 2010.

[10] JEAN-PAUL KNEIB, P. HUDELOT, R. S. ELLIS, T. TREU, G. P. SMITH, P. MAR-SHALL, O. CZOSKE, I. SMAIL, P. NATARAJAN A wide field Hubble space telescope studyof the cluster Cl0024+1654 at z = 0.4 II: the cluster mass distribution, Yale Univesity, 2003.

[11] G. S. BISNOVATYI-KOGAN, O. YU. TSUPKO, Strong gravitational lensing by Sc-hwarzschild black holes, Space Research Institute, Russian Academy of Sciences, Russia,2009.

[12] Sluzbena stranica NASAe (Imagine The Univers) o gravitacijskim lecama,http : //imagine.gsfc.nasa.gov/docs/features/news/grav lens.html

[13] Stranica sveucilista Berekley, clanak o gravitacijskim lecamahttp : //astro.berkeley.edu/ ∼ jcohn/lens.html

[14] Hubblesite, najnovije vijesti o svemirskim istrazivanjimahttp : //hubblesite.org/newscenter/archive/releases/exotic/gravitational − lenshttp : //hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2011/08/full/

34

[15] Sluzbena stranica projekta CASTLEShttp : //www.cfa.harvard.edu/castles

[16] Sluzbena stranica projekta CLASShttp : //www.jb.man.ac.uk/research/gravlens/class/class.html

[17] DiscoveryNews, o mapiranju tamne tvarihttp : //news.discovery.com/space/dark −matter − web−mapped− 120109.html

[18] Najnovija ”svemirska” otkrica i vijesti iz NASAe, o najvecoj karti tamne tvari dosadahttp : //www.space.com/14176− dark −matter − biggest−map− unveiled.html

[19] Sveuciliste Harvard o Hubble-ovoj konstantihttps : //www.cfa.harvard.edu/ dfabricant/huchra/hubble

[20] T.G.BRAINERD, C.S.KOCHANEK Gravitational lensing: Recent progress and futuregoals, 2001.

[21] GRUPA AUTORA, The CLASS: Gravitational lens candidate selection, 2002.

[22] P.SCHNEIDER, C.S.KOCHANEK, J.WAMBSGANSS Gravitational lensing: Strong,Weak and Micro, 2002.

[23] Wikipedia, the free encyclopedia

[24] CLIFFORD M. WILL, Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge Uni-versity Press.

[25] MICHAEL RICHMOND, Dept. of Physics Rochester Institute of Technology, pre-davanja https : //www.spiff.rit.edu

[26] J.BRANA, Opa teorija relativnosti - Einstenova teorija gravitacije, Sveuilite JJ Stros-smayer Osijek - Odjel za fiziku, 2011.

35

Zivotopis

Rodena sam u Brckom, BiH, 2.srpnja 1984. godine.Osnovnu skolu zavrsila sam u Gunji 1999. godine. Nakon zavrsene osnovne skole upisala

sam Opcu gimnaziju u Zupanji i maturirala 2003. godine.Iste sam godine upisala smjer matematika-fizika na Odjelu za matematiku Sveucilista J.

J. Strossmayer u Osijeku.

36

Zahvala

Ovaj diplomski rad izraden je u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. J. Brane u sklopuSveucilisnog dodiplomskog studija matematike-fizike na Odjelu za matematiku SveucilistaJ. J. Strossmayer u Osijeku.

Posebno se zahvaljujem mentoru doc.dr.sc. J. Brani na svim korisnim savjetima vezanimza izradu rada.

Nadalje, velika hvala svima kod kuce i mojim prijateljima na ogromnoj potpori i velikojdozi strpljenja.

37