Istorija matematikea

7/23/2019 Istorija matematikea

http://slidepdf.com/reader/full/istorija-matematikea 1/32

1

1. НАСТАНАК И ПЕРОДИЗАЦИЈА МАТЕМАТИКЕ

Математика је рационална вјештина рјешавања апстрактних проблема о бројевима и

геометријским фигурама.

- Математика је наука – има скуп знања и вјештина који је систематизован и цјеловит

- Математика је рационална вјештина; математичка знања су рационално објашњива и могу се

повезати у низ логичких цјелина

- Садржаји математике : конкретни – бројеви и геометријске фигуре

апстрактни – проблеми са бројевима и геометријским фигурама

- Ријешити проблем. Раније су се проблеми рјешавали по аналогији на сличне проблеме, а

касније не само да треба ријешити проблем, већ и доказати да је то тачно рјешење.

Ниво строгости односно очигледности се временом мијењао. Соказ се појављује касније и то је

једини начин рјешавања проблема који је општеприхваћен од стране математичара.

Развој математике

Прве заједнице – номадско ----- и нема математике, нема потребе за бројањем јер су заједнице

мале, сва култура се своди на усмени, писмена је компликована и није неопходна

Настанак земљорадње . принцип повратне спреге ( више улагања захтјева већи рад). Појављује се у

Египту, Месопотамији, Индији и Кини Систем за наводњавање . удруживање људи и настанак државе – јављају се два проблема:

1. апстракција – јавља се потреба за бројањем ( више се не познају сви међусобно јер их

је много)

2. писменост – произашла из потребе за централизованим управљањем. Ту се појављује

математика ( апстрактан појам броја + писменост)

1.Емпиријска математика – први период у настанку математике. Јавља се са појавом првих држава (

у долини ријека Нил – Египат, Тигар и Еуфрат – Месопотамија (Ирак), Жута ријека – Кина, Инд и

Ганг – Индија)у 5.,4., и 3. вијеку п.н.е.Сакупило се извјесно знање о рачунању, има исту структуру

као занатлијско знање. Учило се како се проблеми рјешавају по тзв. емпиријским правилима а остали

проблеми су рјешавани по аналогији, свођењем на те проблеме. Постиже се рутина у рјешавању

одређених проблема али нема усавршавања, поједностављивања и образлагања метода.

2. Старогрчка и хеленистичка математика ( античка математика)

Математика се јавља као друштвена наука, као филозофија; појављују се филозофи које знање

интересује ради знања. Међу филозофима се појављују математичари. Долази до сљедећих

математичких открића: појава доказа, аксиоматски метод заснивања геометрије ( сва математичка

тврђења треба склопити у теорију у којој једна тврђења слиједе из других), открили су постојање

ирационалних бројева, проучавају се криве вишег реда ( круг, конусни пресјеци), просторне фигуре (

правилни полиедри и њихове особине). Грци геометрију примјењују у астрономији, за примјену у

астрономији врше рачунање са тетивама, што је претача данашње тригонометрије. Сматра се да овај

период почиње са Талесом око 6. вијека п.н.е., а завршава се 529. год. када је цар Јустинијан затвориосве нехришћанске школе: Александријску школу, Платонову академију,.. ( 325. год. хришћанство

постаје званична религија;476.,1453. – пад Западног и Источног Римског царства)

3. Средњевјековна математика ( 529. год. – 1500. год.)Тешко је утврдити кад се завршава

средњевјековна математика а почиње хуманизам и ренесанса ( препород, буђење интереса за

математику и друге науке). Узима се 1453. год. – пад Византије или 1452. – откриће Америке, а ми за

математику узимамо 1500. год. У средњем вијеку има врло мало великих држава – у Европи једино

Византија која није много марила за математику. Појавом ислама јавља се велика заинтересованост

за математику. Арапи успијевају да развију математику ослањајући се на грчку математику из

Багдадског калифата, преводећи грчке књиге. Ово траје од 9. до 13. вијека. Развија се математика и у

Кини и Индији. Источњачка математика је настала као примјењена математика чији је циљ био да

поједностави календарска израчунавања, расподјели љетине, организацију друштвених радова иубирање пореза.



2

У почетку се главна подручја била рачун и мјерење. Из аритметике се развила алгебра, а мјерење се

развило у почетке теоријске геометрије. На истоку је тешко утврдити вријеме нових открића; због

статичне природе друштвеног поретка знања су се чувала без промјена током времена. Открића која

су настала у оквиру једног насеља могла су остати непозната у другим подручјима. Друга тешкоћа је

материјал који је кориштен за писање: Месопотамија – глинене таблице, Египат папирус, Индија и

Кина – бамбус и кора дрвета.

Открића : Индија – десетични систем записивања бројева с нулом, кружни метод за рјешавање

Пелове једначине

, полутетиве умјесто тетива; Кина- рјешавање система

линеарних једначина методом елиминације ( до 5x5), нумеричко рјешавање једначина вишег реда (

до 5.), Кинеска теорема о остацима ( системи линеарних конгруенција); Арапи - развијају алгебру као

математичку дисциплину, баве се тригонометријом, геометријски метод за рјешавање кубних

једначина помоћу коначних пресјека - пресјек

параболе и хиперболе. У Западној Европи се ништа занимљиво није дешавало.

4. Математичка ренесанса ( 1500 - 1700) – дешава се у углавном у Европи. Овај период

карактерише стабилизацију математичке нотације. Почиње развој и увођење математичке симболике

( +, -, ...), систематизација знања о бројевима. Почетком 16. вијека од 1505. до 1515. рјешава се кубна

једначина и једначина 4. степена. Открића: Напиер и Бригс откривају логаритме. Почетком 17. вијекаоткрива се пројективна геометрија а око 1730. аналитичка геометрија ( Декарт), Фермаова теорија

бројева, појављују се редови, развој у ред, разне примјене инфинитезималних поступака иформализација инфинитезималних поступака и диференцијалном и интегралном рачуну, откриће

математичке физике ( Гаус, Њутн, Галилео)

5. Класична математика ( 1700 – 1900) – од проналаска диференцијалног и интегралног рачуна до

заснивања математике на теорији скупова. Дијели се на двије фазе: 18. и 19. вијек. У 18. вијеку

математичари су били чланови краљевских академија, први пут се јавља могућност да се неко бави

математиком и да буде плаћен за то. Математика и физика су биле цјелина. Математика се не

раздваја од примјене. Математика се уводи на универзитет који је имао 4 факултета: артистички (

факултет 7 вјештина), - било је мало математике, право – свјетовно и духовно, медицина, теологија.

Број математичара се повећава , универзитетски професори су главни носиоци математике. Долази

до одвајања математике од примјене. У 19. вијеку математика се дијели на низ математичких

дисциплина па се током 19. вијека раздвајају: комплексна анализа, реална анализа, пројективнагеометрија, нееуклидска геометрија, теорија бројева ( алгебарска и аналитичка), диференцијалне

једначине ( обичне и парцијалне).

6. Апстрактна математика Све математичке дисциплине, односно математика, се заснива на

теорији скупова, аксиоматско заснивање скупа . Сама апстракција доводи до низа нових проблема.

Појавила се топологија, теорија скупова се прво примјењује у анализи ( Лебегов интеграл) п у

алгебри. Крај 20. вијека карактерише примјена рачунара у математици. Развој математике траје и дан

данас.

2. МАТЕМАТИКА У СТАРОМ ЕГИПТУ

Египат је грчка ријеч и значи плодна земља, на арапском Мисир, а Египћани су га звали Кенет.

Египат је плодна земља у долини Нила. Картум је мјесто гдје се спајају Плави и Бијели Нил. У 8. и

почетком 9. вијека Нил достиже максималну висину и средином новембра почиње нагло да опада и

оставља муљ ( кенет) те зато нема потребе за ђубрењем. Ниво воде се подигне за око 14 метара. Ово

је утицало на то да су Египћани рано почели да уочавају астрономске појаве. Нил почиње да

надолази када први пут Сиријус иза Сунца. Египат је врло изолован, са запада је Сахара, са југа

Нубијска пустиња, са истока Црвено море а са сјевера Средоземно море. Египат је био стабилна

земља. У времену од неких 3000 година у Египат су само једном дошли освајачи – упад Хиксоса ( на

египатском значи странци) око 2000. год. п.н.е. Египат врло рано постаје централизована земља –

административним ------.

Настао је уједињењем Горњег и Доњег Египта око 3200. год. п.н.е. На челу државе је био фараон. (Бог на земљи). Било је мало робова и сви су припадали фараону а држава је морала да се стара о

њима. За вријеме плављења Нила градили су пирамиде. Имали су 3 врсте писма: 1. хијерглифско тј.



3

украсно или сликовно писмо ( свештеничко писмо) које се користило само за битне натписе и два

писма која су користили у свакодневном животу: 2. хијератичко ( обична писана слова), 3. демотичко

( скраћено хијератичко). За писање су користили папирус, трску и мастило ( црвено и црно).

Сачувана су само два рукописа са математичким садржајем: 1. Раиндов папирус или Ахмесов

папирус – Раинд је био шкотски колекционар који је 1858. год. дошао у Египат и купио папирус од

египатских сељака, случајних налазача. Величина папируса је 6 m са 32 cm а то је збирка од 84

проблема. обо је преписка писара Ахмеса са једног старијег папируса из 1850. год. п.н.е. Раиндов

папирус потиче из 1650. год. п.н.е. а 1863. год. н.е. продат је Британском музеју; 2. Московски

папирус . нађен је крајем 19. вијека и величина је 5,5 m са 8 cm. Садржи 25 проблема и сматра се да

је 2 вијека старији у односу на Раиндов папирус тј. да потиче из периода 1850. – 1900. год. п.н.е.

Московски папирус је био већ кориштен и то су биле приватне забиљешке неког писара. Зове се још

и Галеничевљев папирус по грофу Галеничеву, који га је откупио и донио у Москву. Чува се у

Московском музеју.

Математика изложена на овим папирусима заснива се на десетичном бројном систему са

специјалним знацима за сваку десетичну јединицу вишег реда ( као римски начин записивања

бројева). Нису имали негативне бројеве.

Ознаке: - 1000 ( лотосов цвијет), - 10000 ( изданак бамбуса). Имали су ознаке задесетичне јединице вишег реда, али се оне нису много употребљавале: жаба 100 000, Бог ваздуха Шу

( клечи и држи руке подигнуте) – 1 000 000. Множење се сводило на поновљено сабирање.У 32. проблему Раиндовог папируса тражи се да се израчуна 12x12.

У 69. проблему Раиндовог папируса јавља се проблем 1120:80, односно, почни да сабираш од 80 док

не добијеш 1120

Најважнију особину египатске аритметике представљају операције са разломцима. Кориштени су

само разломци чији је бројилац јединица тзв. јединични или основни разломци. Они су означавани

зако што је записиван само именилац изнад којег је стављан неки знак или се може ставити црта.

Нпр.

Имали су два изузетка

24. проблем Раиндовог папируса је 19:8

25. проблем Раиндовог папируса је 16:3



4

21.проблем Раиндовог папируса је 4:15

Постојала су и посебна правила за сабирање разломака

Велико откриће је било . Постојале су и таблице за

. Свођење разломака облика на

збирове основних разломака, изводило се помоћу таблица. У Раиндовом папирусу постоје таблице

које садрже разлагање на основне разломке за непарне n,од 5 до 101. Правило по коме се вршило

свођење на основне разломке није познат.

Задаци са једначинама су доста једноставни и углавном су то једначине са једном непознатом. Те

једначине су рјешавали методом лажног положаја. За обиљежавање непознате у једначини

употребљавао се хијероглиф који значи гомила нпр. хау или аха, због чега се египатска математика

понекад назива „аха – рачун“

се рјешава методом пробавања, лажног положаја. Узмемо

па добијемо па је .

24. проблем се своди на то да треба ријешити . Прво ставимо и добијемо а затим рачунамо и множимо са 7, и то ће бити рјешење

У 30. проблему се јавља

Нису рјешавали квадратне једначине. Једини проблем са двадратима: „Квадрат и дтуги квадрат чија

је страница од странице првог квадрата, имају заједно површину 100. Покажи ми како то да

израчунаш“

Рјешавамо га методом лажног положаја: ставимо и добијемо па је

Геометријски проблеми. Површине троугла и трапеза су рачунали правилно, али су површине

произвољног четвороугла рачунали што је нетачно осим за правоугаоник.

36. проблем Раиндовог папируса је: „ 360 лаката је страница основе, а 250 лаката је висина пирамиде.

Колики је пад?“ За пирамиду се предпоставља да је тространа.

50. проблем је израчунати површину округле њиве пречника 9. У резултату се каже да је та

површина једнака површини квадрата чија је страница 8. Тиме је

,

што је добра апроксимација за број . Није јасно како су дошли до овог резултата.

У 14. проблему Московског папируса јавља се цртеж

Ту се рачуна запремина што је запремина зарубљене пирамиде

. Ово је једини такав задатак па је упитно да ли су знали ту формулу.

У 10. проблему Московског папируса има доста нејасан цртеж. Рачуна се површинанеке фигуре која личи на корпу и добија се сљедећи образац:



5

. Будући да је египатска вријдност за то има неке везе

са површином лопте.

3. МАТЕМАТИКА У МЕСОПОТАМИЈИ

Месопотамија ( грч. међурјечје) је равница у данашњем Ираку између ријека Тигра и Еуфрата. Ова

равница је отворена са свих страна тако да су Месопотамијју врло често покоравали освајачи који су

надирали са истока, запада или са сјевера. Дуготрајно наводњавање води до салинизације (засољавања) тла и настанка слатине, па се појављује неплодно земљиште и често је потребно селити

се.

Настанак неплодног земљишта доводи до тога да се центар цивилизације врло често помјера. Пише

се на глиненим плочицама, што је омогућило да се низ докумената сачува, јер саме плочице немају

посебну вриједност, а не могу се уништити ватром и ако се испеку, врло су трајне. Сачувана је врло

велика количина плочица тако да се математика у Месопотамији много боље познаје него египатска.

Култура у Месопотамији настаје најприје код Сумера у близини ушћа Тигра и Еуфрата. Клинасто

писмо су измислили Сумерци око 3000. год. п.н.е.

Већина сачуваних таблица потиче из двије велике библиотеке: из библиотеке цара Тиглетпилесара I

у граду Ашуру из 11. вијека п.н.е. и Аршурминипалове библиотеке у Ниниви из 7. вијека п.н.е.

У Месопотамији се највише користи позициони систем записивања бројева са основом 60, али безнуле. Међутим, остављало се празно мјесто када је требало писати нулу. За записивање бројева

користе се два знака: за 1 се користи вертикални клин , а за 10 угласти клин , тако да се свака

шездесетична цифра писала одговарајућим бројем за десетице и јединице.

Шездесетичне бројеве ћемо писати као десетчне, шездесетичне цифре раздвајамо запетом, а цијеле

бројеве од разломка раздвајамо са „ ; “.

Сабирање и одузимање је аналогно данашњем сабирању и одузимању бројева записаних у основи

10. Шездесет, као основа бројног система је врло велика да би се таблица множења могла лако

научити напамет, па су се за множење користиле писане таблице множења. Дијељење се изводило

тако што је број множен са реципрочном вриједношћу дјелитеља. Пошто се при дијељењу добија

коначан шездесетичан разломак само за бројеве који садрже чиниоце 2, 3 и 5, то постоје таблице

реципрочних вриједности само за те бројеве, а за 7, 11 и 13 исл. се каже да „ не дијеле“ и са њима сеизбјегавао рачун. Постојале су још и таблице квадрата, кубова и збира квадрата и кубова. Јављају се

проблеми са низовима, нпр.

1. Треба подијелити 59 гина сребра међу петорицу браће тако да разлика најстаријег и другог буде

три пута већа од разлике између другог и трећег , а да су разлике између другог и трећег, трећег и

четвртог и четвртог и петог међусобно једнаке.

2. „Треба подијелити 26;15,45 гина сребра међу петоро браће тако да сваки старији добије више од

непосредно млађег.“ Објашњења нема, даје се резултат: .

3. „10 браће.

мине сребра. Брат над братом, а колико више, ја не нам. Део осмог брата је 6 сикела.

Брат над братом: колико има више?“

1 мина = 60 сикела, а траже се чланови опадајуће аритметичке прогресије од 10 чланова када је збир

100, а осми члан је 6. Дато је детаљно рјешење овог задатка

Израчунава се збир и .

Појављују се и проблеми са сложеним процентним рачуном. „ За које вријеме ће се добити 2 гура

жита ако је дат 1 гур, а проценат је 0;12 гура годишње“. Резултат је 4 године, без 2;33,20 мјесеци.

Врло интересантна плочица је YBC 7289 на којој се израчунава дужина дијагонале квадрата. Добија

се да је √ што за страну квадрата дужине 0;30 даје дужину дијагонале 42,25,35. Ова

вриједност за √ се добија итеративно из обрасца , са а даје наведену

вриједност.

На плочици из времена Хамурабијеве династије рјешава се сљедећи проблем: „Дужина ( уш),

ширина ( саг). Помножио сам дужину и ширину и тако направио површину ( а – ша). Затим сам на



6

површину додао вршак дужине над ширином и добио 3,3 [183]. Сабрао сам дужину и ширину, 27.

Колика је дужина, ширина и површина?“ Овај проблем се своди на рјешавање система једначина

Овај систем је рјешен тако да се уведе нова ширина тако да се систем трансформише у Сада је полазни систем једначина сведен на „канонични“ облик . За његово рјешавање користи се идентитет

Појављују се сљедећа 3 „канонична“ облика система једначина

I тип: ( користи се идентитет )

II тип: ( користи се идентитет

)

III тип: (користи се идентитет )

Интересантно је напоменути да су рјешавали и специјалне кубне једначине облика , а смјена . Општу једначину треба

помножити са и увести смјену да се добије једначина облика .

Питагорина теорема. Један од првих проблема у чијем се рјешавању користи П.Т. је проблем о

греди која стоји усправљена уза зид. „ Греда од 0;30. Од горе се спустила за 6. Колико се удаљила од

доље?“

Други проблем је: „ Наћи дужину ( x) и ширину ( y) ако је дата површина ( xy) 0;45 идијагонала

правоугаоника ( ) 1;15“

Овај проблем је ријешен тако да се најприје израчуна квадрат разлике z који се добије када се од

квадрата дијагонале одузме двострука површина, а затим се изводи квадфратни коријен и добијени

резултат преполови (

).

прво се коријењује и добије . Када се полузбир и полуразлика дужине и

ширине саберу добија се дужина, а када се одузму ширина. Врло је интересантна плочица која се

сада налази на Колумбија универзитету и позната је под именом Плимптон 322. На њој се налазе 4

колоне бројева са називима колона, али без икаквих додатних објашњења.

Геометријска израчунавања. Круг се посматра тако што му се задаје обим. Површина круга чији је

задат обим, добија се тако што се квадрат обима помножи са На њој се налазе 4 колоне бројева са

називима колона, али без икаквих додатних објашњења.

Геометријска израчунавања. Круг се посматра тако што му се задаје обим. Површина круга чији је

задат обим, добија се тако што се квадрат обима помножи са. Овај број се назива константа круга.

Претпостављало се да је константа за круг 5 (1/12), јер се за

скоро увијек користи вриједност 3.

Рачунају се константе и за остале геометријске фигуре. Проблеми геометрије се своде на рачунскепроблеме. Израчунавала се запремина пирамиде и зарубљене пиарамиде, али само једном у

специјалном случају. Једина пирамида која се појављује у проблемима је четворострана пирамида,

која се добије када се коцка подијели тјелесним дијагоналама на 6 пирамида, тј. пирамида у којој је

нагиб бочних страна 45°.

4. МАТЕМАТИКА У СТАРОЈ ГРЧКОЈ ДО ЕУКЛИДА

Грчка никад није била централизована држава већ су постојали полиси ( град – држава).

Пољопривреда се никад није нарочито развила, сточарство је увијек постојало па су полиси углавном

увозили жито из Египта и Месопотамије, а извозили су вино, маслине и грнчарију. Ове државе су

биле мале па је најчешће државно уређење било демократија, што је захтјевало да становници буду



7

образованији како би учествовали у власти. Нису имали племство нити свештенство. Образовање је

било равномјерније распоређено међу становништвом и више цијењено.

Први пут се јавља и индивидуализација. Знање је било индивидуална ствар човјека а не ствар

припадања одређеном сталежу, па из тог разлога знање напредује и развија се. Релативно рано се

јављају јавне школе и учитељи. Долази до диференцирања знања: слободан човјек теоријска знања (

етика, математика и слично), робови – практична знања.

Бројеви. Х... писање бројева

I – 5,

( пента);

( дека); - 50; H – 100 ( хекатон), - 500; Х – 1000 ( хилион);

- 5000; М – 10 000 ( милиој), - 50 000. Овај начин бројева је убрзо напуштен.

Бројеви се записују преко слова. Записи бројева већих од хиљаду

Први начин =250 000 ; Други начин =250 000

Да би се разликовао од ријечи, број је био надвучен или се стављао под апострофе. Грци бројеве

нису користили за рачунање већ само за запис. Рачунање се изводило помоћу рачунаљки три црте

урезане на камену и каменчићи који се премјештају и представљају бројеве. Грци су увијек

разликовали аритметику ( теорију бројева) и логистику ( рачун). У грчким колонијама на Блискомистоку појављује се један од првих филозофа Талес ( 643 – 548 г. п.н.е.) из Милета – првифилозоф заинересован за геометрију. Био је у Египту и измјерио пирамиду на основу дужине

сијенке. Сматра се да је математички формулирао сличност фигура. Предвидио је помрачење Сунца

585. год. Био је један од 7 мудраца Старог свијета. Теореме које се приписују Талесу: Унакрсни

углови су једнаки, Пречник дијели круг на два једнака дијела, Угао над пречником је прав, Два

троугла су подударна ако имају страницу и два налегла угла једнака.

Питагора ( 580 – 500 г. п.н.е.) – „Све је број“. Основао је братство Питагорејаца које јетрајало око 200 година; распало се око 400. г. н.е., а онда је основано братство Неопитагорејаца.

Питагора ништа није писао и све што су Питагорејци касније открили приписивали су њему.

Приписује му се откриће ирационалних бројева ( што је мало вјероватно) и Питагорина теорема што

је лако могуће. Код њих се појављује бројевни мистицизам: 1 – број разума, 2 – женски број, 3 – мушки број, 4 – број правде, 5 – број брака, 6 – број стварања, 10 – број свемира ( тетракис), 17

– несрећан број ( налази се између 16 – квадрат и 18 – двоструки квадрат). Класификује бројеве на

парне ( артиос) и непарне ( перисос), затим парно – парне ( ), парно – непарне ( 2(2n+1)), непарно

– парне ( ). Имали су подјелу на просте и сложене ( подјела по чиниоцима). Подјела

по дјелитељима:

1. савршени ( телеос) – знали су само четири 6, 28, 496, 8128. Касније су доказали тврђење које се

налази у Е.Е. – да је број савршен ако је облика број. Проблем – да ли постоји

бесконачно много простих бројева облика ( Мерсенови прости бројеви). Први контра-примјер

је . Дакле, услов је потребан али није довољан.2. обилни ( збир бројева је већи од дјелитеља, нпр. 12);

3. дефицитарни ( збир бројева је мањи од броја, нпр. 15). Јављају се и пријатељски бројеви; знали су само један примјер: 220 и 284.Испитивали су и

полигоналне бројеве. Бројеви су представљани помоћу каменчића од којих се слажу геометријске

фигуре.

1. троугаони бројеви

2. квадратни бројеви

3. петоугаони бројеви

Код квадратних бројева имамо: разностране ( хетеромекес) облика n(n+1) и издужене

(промекес) облика n(n+k). Сваки квадратни број је збир два троугаона броја. Квадрат непарног броја

је 8 једнаких троугаоних бројева +1.



8

Имали су неку врсту индукције

Појављују се и полиедарски бројеви ( кубни и пирамидални). Открили су постојање ирационалних

бројева ( из Питагорине теореме). - нису сви парни а нису сви непарни. Ако су a и b

непарни имамо

Дакле, a и b не могу оба бити непарни, а не могу оба бити ни парни па је један од њих паран а други

непаран.

је истовремено и паран и непаран а то је контрадикција па √ није мјерљива дуж.Једини систем једначина је тимаридин цвијет ( најчешће за n=3): …. Појављују се разне врсте средина ( односа међу бројевима)

аритметичка

хармонијска

геометријска √

Ове средине су специјалан случај од . Јавља се и низ других средина: субконтрарна хармонијска субконтрарне геометријској ( немају неки математички значај)

Доказали су да је збир углова у троуглу једнак два права угла. Доказ је имао 3 случаја: за

једнакостранични, за једнакокраки ( Талес), за разнострани ( подјелом на два правоугла). Доказали су

и Питагорину теорему.

Имали су посебан дио геометрије – алгебарску геометрију, гдје су низ алгебарских тврђењапредстављали геометријски.



9

Сматра се да су открили 5 правилних тијела и доказали да их више нема. Бавили су се

астрономијом. Ту им се приписује 3 тврђења: Земља је округла, Вечерњача = Зорњача = Венера,

планете круже по посебним орбитама, од запада према истоку. Један Питагорејац је убијен зато што

је открио конструкцију додекаедра.

Хипасус је истјеран из друштва јер је открио ирационалност и издао неке тајне Питагорејаца. У

Грчкој се рано јављају 3 проблема које никако нису могли да ријеше користећи шестар и лељир:

- трисекција угла

- дупликација коцке – конструкција ивице коцке која има 2 пута већу запремину

од полазне коцке

- квадратура круга – конструкција квадрата чија је површина једнака површини

полазног круга

Хипократ са Хипоса ( око 430. год. п.н.е.) бавио се проблемом квадратуре круга.

Идеја – подијелимо круг на дијелове ( мјесечиће), израчунамо њихове површине па их касније

саставимо.

Проблем дупликације коцке је свео на проблем: између двије задате величне убацити двије

геометријске средине: Ако узмемо имамо .

Хипија из Ериса ( рођен око 460. г. п.н.е.) – извршио је трисекцију угла користећи криву

квадратису. Вертикална права равномјерно ротира а хоризонталне праве равномјерно силазе.

Архита из Тараса ( Тарент – данашња јужна Италија) ( 430 – 350 п.н.е.) био је

Питагорејац али су они тада били распуштени. Сматра се да је направио дрвеног голуба који је

могао да лети и да је смислио звечку. Спасио је живот Платону који је покренуо град ( у Италији) са

својим уређењем, што и није било баш успјешно, па су грађани покушали да га убију. Изложио је

Платону велики дио Питагорејског учења, које је овај користио у својој филозофији. Утицао је на

Платона да прихвати Питагорејски принцип у образовању: 1. фаза – тривијум ( граматика, реторика,

дијалектика); 2. фаза – квадривијум ( аритметика, геометрија, музика, астрономија)

Платон

( 428-384 г. п.н.е.) – био је филозоф. Филозофија му је била идеалистичка, реалан

свијет је слика идеалног. Однос између тих свјетова је најизраженији у геометрији. Основао је школупосвећену хероју Академусу, па је школа добила име Академија ( до 529.). На улазу у школу писало

је . Правилна тијела се зову и Платонова тијела, јер их спомиње у

свом дјелу „Република“. Херон му приписује и два полуправилна тијела, зарубљену коцку и

тетраедар. Дупликацију коцке је извео користећи посебно урађен лењир.

Еудокс Книдски ( 408-355 г. п.н.е.) – пронашао је теорију пропорција ( односи

рационалних бројева). Усавршио ју је уврстивши и односе величина ( скоро да је увео скуп ).



10

Прецизно је израчунао запремину купе и пирамиде ( 12. књига Е.Е.), што је први урадио Демокрит,

али се сматра да није имао прави доказ.

Демокрит - Платонов савременик. Први је открио формуле: Био је заговорник атомске теорије – вакуум постоји и кретање

се објашњава кретањем атома кроз вакуум.

Тетет ( ) ( умро 368. са 40 – ак година) – бавио се теоријом ирационалности и правилним

полиедрима. Теодорис из Кирене је написао Тетету: 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14,15 – њихови корјени су

ирационални. Код √ је запео. Тетет је извео тај доказ и усавршио га тако да је то важило за сваки

прост број. Развио је цијелу теорију о бројевима „различитог“ облика: √ √ √ √

доказао је да су ирационални. Прецизно је усавршио конструкцију правилних полиедара ( 13. књига

Е.Е.).

Аристотел ) из Тагире ( 384. – 322. г. п.н.е.) – био је филозоф који је често цитирао

математичка тврђења. Од тих тврђења најзанимљивија су сљедећа ( којих нема у Е. „Елементима“):

- збир спољашњих углова сваког полигона је 360°;

- геометријско мјесто тачака за које је сталан однос однос растојања до 2 фиксне тачке, је круг (

касније Аплонијев)

- од свих затворених линија истог обима, круг затвара највећу површину;

-

једина два тијела којима можемо попунити простор су коцка и тетраедар ( што није тачно) Доста се бавио проблемима непрекидности и бесконачности. Дошао је до закључка да постоји

потенцијално бесконачност али нема стварне вјечности (завршена цјелина). Први је описао

формалну логичку теорију. Био је учитељ Александра Македонског.

6. ЕУКЛИД И АПОЛОНИЈЕ

( око 330. – 275. г. п.н.е. у Александрији) – аутор је дјела „Елементи“ ( )

што значи азбука

Елементи су постојали у неколико верзија и прије Еуклида. Његови су сардржавали основе

елементарне геометрије, теорије бројева, теорије поређења величина, методе за одређивањеповршине и запремине тијела као и елементе теорије граничних процеса. Најстарији сачуван рукопис

Еуклидових „Елемената“ је из 888. године. Састоји се из 13 књига ( прва, друга, трећа, четврта,

шеста, једанаеста, дванаеста, тринаеста су геометријске а остале су алгебарске).

I ( 23 дефиниције, 9 аксиома, 5 постулата, 48 теорема)

Теореме 1-26 : основне особине троугла ( не користи се 5. постулат). Теорема 5 је магарећи мост (

бијег очајника) ( у једнакокраком троуглу насупрот једнаких страница су једнаки углови). 27 -32:

Особине паралелних линија, једнакост трансверзалних углова. Т32: Збир углова у троуглу је два

права угла. Остале теореме се односе на површину. Основно је наћи квадрат чија је површина

једнака збиру површина датих полигона. 47- Питагорина теорема ( вјетрењачасти доказ) а 48.

обрнута Питагорина теорема.

II ( 2 дефиниције и 14 теорема) – у геометријском облику се излаже низ алгебарских једнакости. 12 – одговара косинусној теореми за тупоугли троугао, 13. за оштроугли,а 14. је конструкција

геометријске средине.

III ( 11 дефиниција и 37 теорема)

1-15: особине центра круга и сјечице. Т14: једнаке тетиве су на једнаком растојању од центра; 16-19:

Особине тангенти ( права нормална на полупречнику у крајњој тачки); 20 -34: особине централног и

периферијског угла; 35-37: потенција тачке ( у кругу, ван круга- двије сјечице и ван круга и сјечица и

тангента)

IV ( 7 дефиниција и 16 теорема) – однос круга и полигона

V ( 18 дефиниција и 25 теорема) – општа теорија пропорција Еудокса Книдског.

Деф. пропорције: Каже се да су двије величине у истом односу, прва према другој као трећа према

четвртој ако су било који једнаки умношци прве и треће у исто вријеме већи или једнаки или мањи



11

од било којих једнаких умножака друге и четврте, сваки према сваком узети у одговарајућем

поретку.

Т16: a:b=c:d тада a:c=b:d ( комутативност)

VI ( 5 дефиниција и 33 теореме) – примјена пропорција на изучавање сличности.

VII (23 дефиниције и 39 теорема) – прве три теореме односе се на проналажење највеће заједничке

мјере. Т2: Еуклидов алгоритам, 14-19: описују особине пропорција, 20-39: о простим и сложеним

бројевима

VIII ( 27 теорема) – посвећена је непрекидној пропорцији. Изучавају се особине пропорција облика

Одавде се добијају особине квадрата и кубова, нпр. ако имамо и ставимо имамо и .

IX (36 теорема) – користи резултате претходне књиге и испитује квадрате и кубове у геометријској

прогресији. 14 – одговара једнозначној факторизацији сложеног броја; 20 – простих бројева има

бесконачно много; 35 – збир геометријске прогресије; 36 – Ако је савршен број.

X ( 16 дефиниција и 105 теорема) – теорија ирационалних бројева који се добијају геометријским

конструкцијама ( потиче од Тетета). Изучавају се бројеви облика

√ √ √ √ √ √ √

XI ( 28 дефиниција и 39 теорема) – основне особине правих и равни у простору

XII (18 теорема) – изучавање површине и запремине пирамиде, купе и цилиндра. Користи се метод

ексхаустије

XIII ( 18 теорема) – конструкција правилних тијела. Ефективно се израчунава ивица правилног тијела

уписаног у лопту. Елементима се приписују још двије књиге

XIV ( Хипискл, 2. вијек н.е. ) – одност површине и запремине правилних тијела уписаних у исту

сферу.

XV ( Исидор, 5. вијек н.е.) – испитују се диедарски углови у правилним тијелима и правилна тијела

се уписују једна у друго.

Еуклид је написао и: О дијељењу фигура, Конусни пресјеци, Поризми, Површи, Књига података, О

подјели, Феномена, Дата, О лажним доказима Аполоније из Перге у Турској ( 260. – 190. г. п.н.е.) – његово најважније дјело је

„Коника“ или „О конусним пресјецима“. Састоји се од 8 књига. Прве четири садрже оно што је и

раније било познато. Хипократ је дупликацију коцке све на

Аполоније умјесто правог конуса користи кружни. Има три врсте пресјека: раван сијечче све

изводнице, паралелна је једној, паралелна је двјема. Користећи геометријску алгебру доказује дапарабола има особину , елипса

хипербола , одакле им изводи имена: налијегање ( параболис), недостатак ( елипсис),

вишак ( хиперболис).

У I књизи још доказује да ова особина не зависи од правца у коме се бира осе дате криве и да се

једначина хиперболе увијек може писати као .

II књига је посвећена основним особинама конусних пресјека и конструкција тангенти

III се бави проблемом 3 и 4 праве. У оба случаја рјешења су конусни пресјеци. Он први посматра

обје гране хиперболе као једну криву

IV – испитује се број пресјека два конусна пресјека и услови под којима се сијеку

V – конструкција нормала на конусне пресјеке ( нормала се дефинише преко најкраћег растојања) VII – особине коњугованих пречника конусних пресјека

VIII књига је изгубљена



12

Још је написао: „Одсјецање у датом односу“

2 књиге, сачувана у арапском преводу; „Од-

сјецање дате површине“, „Одређени пресјек“

„О додирима“ – конструкција круга који додирује 3 круга ( сваки од њих може имати пречник једнак

нули или бесконачно, тј. може бити тачка или права). Састоји се из двије књиге. „О уметањима“,

„О равним мјестима“ – наводи низ геометријских мјеста тачака која се своде на праву или кружницу,

„О рачунању са великим бројевима“, „О израчунавању броја “. Писао је и књиге из примјењене

математике, углавном из оптике и астрономије. Имао је идеју за кретање епицикла. Центар епицикла

се налази на диференту.

'постулат: Сваки пут када права у пресјеку са двије друге праве образује са њима са исте своје стране

углове чији је збир мањи од два права угла, те праве се сијеку са те стране праве.

6. АРХМЕД (

)

О њему се зна релативно мало. Потиче из Сиракузе на Сицилији. У младости се школовао у

Александрији, а након тога се опет вратио у Сиракузу. Ту је убијен 212. г. п.н.е. када су Сиракузу

освојили Римљани. Сматра се да је тада има око 75 година. У Александрији је упознао неке

математичаре којима је касније слао своје резултате, а такође их је слао и Доситеју и Ерастотену.

Његова дјела нису одмах сакупљена у једну књигу па су многа изгубљена. Већина сачуваних дјела

потиче из преписа који потичу из Византије. Постојала је и његова биографија али је изгубљена.

Коментатор Еутохије је читао ту биографију што је омогућило да се нешто сазна о Архимеду.

Његова књига „Палипсест“ је писана на материјалу на коме је већ нешто писало па је то изгребано.

Књига је донесена у Италију и у 16. вијеку изгубљена али је већ било доста преписа.

Касније је пронађена у неком манастиру у Цариграду 1906. године. Нпарављени су преписи који су

објављени 1910. и 1912. г. Долази до Првог свјетског рата па тај рукопис више није био доступан.1924. г. након револуције у Турској, књиге из тог манастира су пренесене у Атину. У том преносу

нестало је Архимедово дјело. Извјесни Кристијан је ту књигу у Њујорку 1998. године понудио на

продају. Продата је за 2 милиона долара и сада је у Америци. (За разлику од Еуклида, код Архимеда

су у књигама његови резултати тј. књиге су научна дјела). Архимед се поред математике бавио још и

астрономијом, механиком, хидростатиком итд. Сачувано је десетак његових књига.

1. „О равнотежи у равни“ – има 15 теорема. Ту ригорозно геометријски заснива закон полуге.

Званично се сматра да овим почиње математичка физика.

2. „Квадратура параболе“ ( преименовано у каснијим преводима, назив за параболу је дао

Аполоније). Књига има 24 теореме. Ту израчунава површину одсјечка параболе. У првих 17 теорема

то изводи користећи законом полуге а касније даје геометријски доказ.

Тачка С је она тачка у којој је тангента паралелна са АВ

3. „О равнотежи у равни“, друга књига – 10 теорема. Ту користи резултате прве књиге и израчунава

тежиште одсјечка параболе.

4. „Метод“ ( Ефодус) – 14 теорема. Дуго је била изгубљена али је пронађена. То је писмо Ерастотену

у коме је користећи закон полуге израчунао запремину лопте



13

оптерећују на удаљености 2r од ослонца а круг К на удаљености x. Пошто важи горња

једнакост према закону полуге они ће бити у равнотежи. Ако пустимо да ови пресјеци настају редом

од тачке О до тачке А ( у свакој тачки), на лијевој страни поуге ћемо добити купу у чијој је основи

круг полупречника 2r и висине 2r и лопту полупречника r . Оне оптерећују на удаљености 2r од тачке

ослонца. На десној страни полуге добијамо ваљак висине 2r и полупречника основе 2r . Он

оптерећује у тачки Ѕ. Када то запишемо формулама имамо

( )

5. „О сфери и цилиндру“ – двије књиге. Прва књига има 44 теореме.

33. теорема је

.

34. теорема је

Друга књига има 9 теорема. Ту изучавамо однос површина и запремина сферних одјечака.

6. „О спиралама“ – има 28 теорема. Првих 11 је уводног карактера а послије дефинише спиралу. Њу

описује тачка која се равномјерно креће по полуправој која равномјерно ротира око исходишта, од

исходишта

У теоремама од од 18. до 20. бави се конструкцијом тангенте на спиралу. Тангенту у тачки Т

конструише тако што Т споји са О, затим на ТО конструише нормалу у тачки О, а онда на ту нормалу

нанесе дужину спирале од О до Т . Тако добија тачку Т' а ТТ' је тражена тангента.

Преостале теореме ове књиге односе се на рачунање површине првог завоја спирале. Добија се да је

она једнака трећини површине круга

7. „О коноидима и сфероидима“ – има 32 теореме. Овдје израчунава запремине сфероида – настаје

ротацијом елипсе око велике осе, и коноида – настаје ротацијом параболе око своје осе

Овдје је битно да се појављује

.

8. „О тијелима која пливају“ – има 10 теорема. Ту се бави хидростатиком. Испитује стабилност

брода. Брод предатавља као одсјечак параболе потопљен у воду.



14

Ту је и теорема о губљењу тежине тијела које се потопи у течност.

9. „Мјерење круга“ - има три теореме. То је вјероватно одломак неког опширнијег дјела. 1.Т:

Површина круга једнака је површини правоуглог троугла чија је једна катета полупречник а друга

обим круга; 3.Т: Обим круга је више од 3 пута већи од пречника, при чему је тај вишак већи од 1/7 а

мањи од 10/71 тј. . До овога долази рачунајући обим описаних у и уписаних

многоуглова. Он користи оцјену за √ √ . Није јасно како је дошао до овога.

10. „Рачунање пресјека“ – ту објашњава рачунање са великим бројевима. Неко је рекао да на

плажама око Сиракузе има бесконачно много зрнаца пијеска. Он ту доказује да у васиони не може

постојати више од зрнаца пијеска.Поред ових књига сачувани су и неки одломци. У арапском

преводу је сачувана „Конструкција правилног седмоугла“ која има 18 теорема. Посматра однос у

коме двије дуже дијагонале дијеле трећу дужу дијагоналу.

Архимед је извршио и трисекцију угла ( уметањем).

Написао је и „О полуправим тијелима“. То су тијела која су ограничена правилним полигонима али

не морају бити једнаки. Једна таква фамилија тих тијела су призме, друга антипризме. Има их 13

фамилија. Сачувано је нешто и из „Књиге лема“:

Код Архимеда се јавља и проблем говеда. На Сицилији постоји стадо говеда Бога Сунца. Има их 4

врсте а од сваке врсте бикови и краве. Задатак се своди на неодређен систем једначина:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Има још додатни услов да је квадратни број а троугаони број.Архимед је направио и неки модел небеских тијела од месинга, што је однијето у Рим као ратни

плијен. Написао је „Књигу о прављењу сфера“, која је вјероватно била о том моделу али је

вјероватно изгубљена. Изгубљене су и књиге „О полугама“, „О тежиштима“, „О паралелним

линијама“ ( можда је доказао пети постулат). Арапи Архимеду приписују и Херонов образац. Такође је изгубљена и књига из оптике.



15

Постоји легенда да је Архимед помоћу огледала успио да запали римски брод. Такође постоји

легенда да је једном руком, повлачећи неки конопац извукао на обалу брод са војском и теретом.

Најпознатија легенда о Архимеду је да је успио одредити однос злата и сребра у завјетном вијенцу.

Идеја му је синула када је ушао да се купа и видио да се ниво воде подигао ( вода се просула). Тада је

узвикнуо Еурека ( Открио сам!)

7. ХЕЛЕНИЗАМ

Године 334. п.н.е. почела су освајања Александра Великог (356. – 323. год. п.н.е.) освајањем

Персије. Александар Македонски је умро у Вавилону а цијели Блиски Исток је био у грчким рукама.

Александрове војсковође су, послије Александрове смрти, подијелили освојена подручја, тако да су

настале три империје 1) Египат, под влашћу Птоломеја, 2) Месопотамија и Сирија, под влашћу

Селеукида, 3) Македонија, под влашћу Антегине. Брз продор грчке цивилизације у широке области

истока – хеленизиран је Египат, Месопотамија, и дио Индије. Александрија у Египту, је постала

инетелектуални и привредни центар хеленистичког свијета.

Ератостен ( ) из Кирене ( 276. – 196. г. п.н.е.) – живио је и радио у Алексанрији, био је трећи библиотекар Александријске библиотеке и нека врста универзалног научника. Звали су га

Дрги или Бета, желећи тиме да нагласе, да се Ератостен није истицао прворазредним резултатимаиако се бавио многим областима науке. Смислио је механичку справу за дупликацију коцке односно

за одређивање средњих пропорционала . Справа се састоји од два паралелна лењира

и 3 троугла између њих. Први је фиксиран. Пустимо да клизе кроз оквир и ротирамо тако да прође кроз кроз тачку D, а приликом ротирања пролазиома да B и C леже на MF и NG,

редом:

Овдје су AE=a, DH=b двије дужи за које тражимо средње пропорционале. Добијамо да су двије

средње пропорционале дужи BF=x и CG=y. Из сличности одговарајућих троуглова добијамо , односно .Смислио је Ерастотеново сито за налажење простих бројева. Испишемо све непарне бројеве 3 5 7 9

11 13 15. Уочимо први 3 и прецртамо сваки трећи, затим уочимо други 5 ( први непрецртани) и

прецртамо сваки пети у низу. Све до квадрата највећег броја, сви непрецртани су прости.

Ерастотеново сито је добило значај проналаском рачунара.

Бавио се географијом и картологијом и израчунао обим Земље, користећи разлику у угловима под

којима Сунце пада тачно у подне у Александрији и Сијени

Ерастотен је знао тачно растојање између Александрије и Сијене захваљујући мјерењима королара

Александра Македонског. Примјеном троугла и уочивши да у истом тренутку , нпр. у подне, сијенка

пада вертикално у Александрији а под другим углом у Сијени. Када се измјери тај угао и знајући

тачно растојање, није тешко израчунати обим Земље, јер је растојање између та два града диомедитерана.

Хипарх () из Никеје – живио је од 180. до 125. године п.н.е. Вавилонци су прецизно

пратили небеске појаве али се нису бавили структуром. Освајањима Александра Македонског, ови

подаци постају доступни Грцима. Хипарх објашњава кретања небеских тијела користећи вавилонске

податке. Живио је и радио на Родосу. Његова дјела су изгубљена, али су се други позивали на њих,

па се оријентационо зна садржај тих дјела. Њему се приписују многи резултати: примјена

ексцентричних кругова и епицикала у објашњавању кретања Сунца, Мјесеца, и планета; откриће

предсказивања равнодневнице; одређивање дужине и ширине земљишта астрономском методом;

објаснио је појаве помрачења Сунца и Мјесеца.

Хипарх је написао прву књигу за изучавање тетива „О тетивама“ ( данас таблица синуса) али ништа

није сачувано. Најстарије познато грчко достигнуће из области теоријске астрономије је Еудоксов

планетарни систем ( 4. вијек п.н.е.)



16

Никомах из Геросе ( данас Сирија) ( 60 - 120) један од најстаријих александријских математичара из

римског периода. Написао је дјело „Аритметички увод“ најпознатије сачувано дјело у којем је

изложена питагорејска аритметика.

Менелај из Александрије ( (70-135) – написао је бар двије књиге, „О тетивама“ (

изгубљена) и „Сферика“ која је сачувана у 3 књиге ( садржи геометријске сфере и у њој се ратматрају

сферни троуглови, којих нема код Еуклида)

1. књига – основни појмови из сферне геометрије, основне особине сферних троуглова ( странице су

лукови великих кругова). Збир углова у сферном троуглу је већи од 180°. Нема сличности троуглова.

2. књига примјене резултата у астрономији

3. књига – Менелајеве теореме за троугао у равној и сферној геометрији

- могу се посматрати оријентисане или неоријентисане странице. Данас је то . У

своје вријеме ова теорема је била позната као теорема 6 величина.

Птоломеј Клаудије - 2. вијек н.е. Његово најпознатије дјело је „Велика синтеза“ или„Велики зборник“ који је познатији под арапским називом „Алмагест“ („Највећи“). То је веома

оригиналан астрономски рад, иако много идеја у њему потичу од Хипарха и других, а је то устварисинтеза дјела из астрономије. Подјељен је на 13 књига:

1. књига – уводног је карактера, описује се структура неба, опис небеске сфере, објашњава и

елементе сферне геометрије, рачуна таблицу тетива. Ту је и Птоломејева теорема за четвороуглове:

Ако имам тетиван четвороугао, повучемо дијагонале е и f . Тада је . Наводи и формуле

за синус и косинус збира и разлике два угла. Према Птоломејевој теореми је па је

2. књига – рјешавање проблема сферне геометрије и тригонометрије

3. књига – опис кретања Сунца 4.,5. књига опис кретања Мјесеца

6. књига- помрачење Сунца и Мјесеца

7.,8. књига посвећене кретању звијезда

9.,10.,11. књига – опис кретања планета

12. књига – слагање теорија и посматрања

13. књига – опис кретања планета по ширини

Друга Птоломејева дјела су „Планисферијум“ и „Географија“.

Херон Александријски ( 10-75) – написао је дјело „Метрика“. То је књига примјењене

математике, састоји се од 3 књиге. 1896. год. је пронађен рукопис те књиге.

1. књига – израчунавње површине равних фигура, Херонов образац за површину троугла

. Могуће је да Херонов образац потиче од Архимеда. Даје и поступак за

рачунање квадратног коријена методом сукцесивних апроксимације ( сматра се да



17

је то украо од Вавилонаца). Израчунава површину четвороугла и тврди да је поред четири стране

потребно још нешто, дијагонала или угао, да би четвороугао био одређен. Израчунава површине

правилних полигона са 3-12 страна. Добија . Наводи апроксимацију броја и

израчунава површину кружног одсјечка, елипсе, цилиндра, сферног одсјечка,...

2. књига – запремине за разна тијела

3. књига – дијељење фигура у датом односу

Папос Александријски (

) ( 290-350) написао дјело „Зборник“, („Збирка“) “Synagore”.

Састоји се од 8 књига: 1. књига – описује низ античких дјела; изгубљена је

2. књига – рачунање са великим бројевима ( основа ) 26 теорема, првих 13

изгубљено

3. књига – 4 дјела: 1. дио – уметање геометријских средина између задане дужи, даје рјешења

дупликације коцке, објашњава разлику између раванских ( користи се лењир и шестар), просторних (

конусни пресјеци) и линеарних проблема ( помоћу специјалних кривих); 2. дио – проблем средина (11 врста); 3. дио – парадокси, један од њих је Ерицинусов парадокс: Нека је дат правоугли троугао

АВС. За сваку тачку постоји и тако да је

4. дио – конструкције уписивања правилних тијела у сферу

4.књига – 5 дијелова: 1. дио – уопштење Питагорине теореме – ако је дат над страницама

конструишемо паралелограме, повучемо праву кроз С , затим њој паралелне праве кроз и такодобијамо велики паралелограм.

Тврди се да је површина тог паралелограма једнака збиру површина два мала паралелограма.

Ако је дат произвољан троугао , конструишемо квадрате над страницама ( повучемо дужи ),

добијамо

2. дио – анализа арбелос који је посматрао Архимед

Упише кругове у арбелос и доказује да је растојање центра првог круга, од праве, једнако пречнику

тог круга, затим растојање центра другог круга од праве, једнако двоструком пречнику другог круга,трећег троструком пречнику ...



18

3. дио – квадратура круга, број пи, трисекција угла и подјела угла у датом односу. За трисекцију угла

наводи сљедећу конструкцију: имамо имамо угао , узмемо произвољну дуж a, повућемо нормалу и

паралелу и поставимо праву тако да има растојање 2 ( између нормале и паралеле). Та права дијели

угао у односу 1:2.

Израчунава површину првог завоја Архимедове спирале и доказује да се површине у квадрантима

односе: .

5. књига – изопериметријски проблеми. Ова књига почиње мудрошћу пчела ( саће је шестоугао јер суто једини полигони којима се може попунити раван тј. пчелиње саће посједује неке максимално –

минималне особине)

1.дио – доказује да од свих одсјечака који имају исту дужину лука, полукруг има највећу површину

2.,3. дио – израчунавање запремине тијела са једнаком површином

4. дио – анализа Архимедових дјела, доказује А. тврђења о сфери и цилиндру

5. дио – доказ теореме да правилно тијело са више пљосни има већу запремину ако су му пљосни

исте

6. књига – посвећена је астрономији

7. књига – „Ризница анализа“ – анализа у геометријском смислу, описује, објашњава и коментарише

низ античких дјела из геометрије : од Еуклида „Дата“, „Поризми“ 3 књиге, „Површинска мјеста“; од

Аполонија „Одсјецање“ 2 књиге, „О додирима“ 2 књиге, „Уметање“ 2 књиге, „Геометријска мјеста у равни“ 2 књиге, „Конусни пресјеци“ 8 књига, од Ерастотена „О срединама“ 2 књиге

8. књига – посвећена је механици али се даје и низ геометријских тврђења: конструкција осе елипсе,

проблем уписивања правилних шестоуглова у круг

Диофант из Александрије () ( 200 – 284) – Сачувана су два његова дјела: „Аритметика“ у

13 књига ( 6 сачувано) и „О полигоналним бројевима“ ( сачуван почетак). Имао је неку општу

теорију али је лоше излагао, користи нотацију у геометријском смислу а мање у алгбарском.

„Аритметика“ садржи 189 проблема

1. књига – 39 задатака; задаци се своде на линеарну једначину, систем линеарних једначина или

квадратну једначину:

27. зад. 28. зад.

29. зад.

2. књига – 35 задатака; неодређене једначине облика или систем од двије такве једначине

20. зад.

31. зад. систем од три једначине

3. књига – 21. задатак – рјешавају се системи од 3, 4 или више квадратних једначина

4. књига – 40 задатака – рјешавање једначине 3. и 4. степена нумеричким методама

5. књига – 30 задатака – то су најтежи проблеми; представљање броја као збира два, три или четири

квадрата. Нпр.

6. књига – 24 задатка који се односе на Питагорине тројке. Рјешавају се системи једначина

, Прокл ( 410 – 485) био је један од главних извора за историју математике. Био је на челу

неоплатонистичке школе у Атини. Написао је дјело „Коментар прве књиге Еуклидових елемената“.



19

Хипатија (370 – 415) Теонова кћи, представница неоплатонистичке школе у Александрији. 415. г. су

је убиле присталице Св. Ћирила.

8. КИНА

Периодизација кинеског друштва се углавном дијели на династије које су имале дуже периоде

стабилне владавине:

- стара антика ( 1500 – 100 г. п.н.е) – династије Инг ( 18. – 12. в. п.н.е.) и Чан ( 2. периода: 12. –

8. в. п.н.е. и 8. – 2. в. п.н.е.)

- антика ( 2. в. п.н.е. – 6. в. н.е.) – династије Хан ( 206. г. п.н.е. – 220. г. н.е.) и Суи (589 - 619)

- касна антика ( 6. вијек – 1367. год.) – династије Ианг ( 618 - 907), Сунг ( 960 - 1279) и Јуан (

1280 . 1367)

- ново доба ( 1367 - 1750) – династије Минг ( 1367-1644) и први дио династије Цин ( до 1750.)

- најновије доба ( од 1750. до данас) – други дио династије Цин ( 1750- 1912), Република Кина (

1912 – 1949), Народна Република Кина (1949. г. до данас)

Географска изолованост Кине условила је самосталан развој науке и културе, без утицаја других

култура и цивилизација. Скоро све вријеме је постојала институција државне службе а за рад у

државној служби полагао се испит из 10 предмета, од којих је један био математика. Тада је дошло

до интересовања за математику. Појавили су се учитељи математике. Развој математике је условљенпотребом мјерења земље, архитектуром, обрачунима пореза итд. Према предању, Жути цар, Шу

Хуан Ди ( 2698. – 2598. г. п.н.е.) је наредио свом поданику Ли Чоу да направи рачун. Кина је доста

сиромашна металима, па су све правили од дрвета, платна и камена. Због тога су првобитно писали

на трошном материјалу, углавном на кори дрвета. Око 137. год. развила се технологија израде

папира. Главни разлог због којег од најстаријих кинеских књига готово ништа није сачувано, је

спаљиваењ свих старих књига 213. г. п.н.е.

Што се тиче записивања бројева у периоду од 4. в. п.н.е. користи се један бројни систем кориштен

за записивање броја људи убијених у сукобу као и броја животиња убијених у лову и сл. Имали су

ознаке за 1,2,...,9 па за 10,100,1000 и сл. Тако су 200 записивали преко симбола за 2 и 100, 3400: 3 и

1000, 4 и 100. Ознаке су биле за 9 удица, за 1000 човјек итд. што су можда били фонетски знаци.

Сматра се да су неки знаци узимани због вјерских ритуала. Од 4. в. п.н.е. бројеви се записујулинијама и рачуна се са штапићима. Постојале су двије врсте штапића: црни ( фу) и црвени ( ченг)

штапићи. Врло рано се јављају негативни бројеви, при чему се за позитивне користили црвене а за

негативне црне штапиће. Симболика је била сљедећа:

Већ у другом миленијуму п.н.е. наилазимо на бројеве који су записани у позиционом бројном

систему помоћу 9 знакова. Тих 9 знакова представљани су помоћу бамбусових штапића који су

распоређени на разне начине. Нпр. Одувјек су користили десетични бројни систем. то је

био један вид позиционог система, али не позициони. У календарским израчунавањима су

примјењивали неки систем сличан шездесетичном, тако да је број 60 постао јединица вишег реда.Касније су рачунали на рачунаљци званој суан – пан. Рачунаљка је обично имала 11 жица на којима

су биле куглице, које су зависно од положаја, представљале јединице или петице. Значајно је да су

за нулу остављали празно мјесто. Рачунаљку су прихватили и Јапанци али су је поједноставили.

Њихова рачунаљка се звала Соробан и умјесто куглица користили су плочице са оштрим ивицама, од

дрвета или кости. Први уџбеник из математике потиче из периода династије Хан ( 206. г. п.н.е. – 220.

г.н.е.), Чју Чжан Суан Шу „Вјештина рачунања“ у 9 књига. То је чисто математичко дјело које је

карактеристично за старокинеску математику сљедећег миленијума, па чак и за каснији период. То је

традиционално књига која се полагала на државном испиту.

Састоји се од 246 задатака и општих упутстава за њихово рјешавање. Ту се израчунавају квадратни

и кубни корјени, рјешавају се системи линеарних једначина а појављују се и негативни бројеви (

први пут у историји математике). Најстарија сачувана верзија ове књиге потиче из 263. г. од ЛинХуна.



20

1. књига: „Мјерење поља“, 38 задатака. Ту је обрађено сабирање и множење разломака, те рачунање

површина низа геометријских фигура. У разломку бројилац означавају са си ( син) а именилац са му

( мајка). Јављају се и проблеми налажења наједноставнијег облика разломка, нпр. 12/18 и даје се

одговор 2/3. Ово су радили тзв. Еуклидовим алгоритмом. У почетку се рачунају површине

квадратног поља а након 24. задатка се рачунају површине троуглог и трапезног поља. У 32. задатку

се јавља кружно поље, гдје се користи .

2. књига: „Просо и пиринач“ или „Житарице“, 46 задатака. Рачуна се са пропорцијама

3. књига: „Пропорционална расподјела“, 20 задатака. Обрађен је рачун диобе тј дјељење, те

директна и обрнута пропорција и сложене пропорције.

4. књига „Која ширина“ или „Ширина“, 24. задатка. Израчунава се страница правоугаоника и

квадрата када је дата површина. Првих 11 задатака је одредити дужину поља површине 1, чија је

ширина .

Од 12. до 16. задатка је извлачење квадратног корјена, након 16. задатка се јављају и кубни корјени.

Давали су велике бројеве за корјеновање да се не би погађало рјешење

5. књига: „Расправа о послу“, 28 зад. Израчунава се запремина призми, пирамида и других тијела.

6. књига: „Поштени порези“, 28 задатака. Рјешавају се задаци који се своде на једну линеарну

једначину са једном непознатом.

7. књига: „Вишак и недостатак“, 20 зад. Рјешавају се проблеми који се своде на двије линеарне

једначине са двије непознате, а јаљају се и проблеми са аритметичком прогресијом 8. књига: „Квадратни поступак“, 18 зад. Ту се рјешавају системи линеарних једначина са 3 или више

непознатих и то у основи методом елиминације. Разлика од модерног Гаусовог метода је:

коефицијенти су у колонама а не у редовима. Рјешавају се и системи до 6 једначина са 6 непознатих.

Ту се јављају негативни коефицијенти што је први пут у историји математике да се јављају

негативни бројеви. Системи се записују у облику матрице коефицијената. Један од проблема је

проблем 3 џака пиринача:

Кинези су пронашли метод елиминације

9. књига: „Кратак и дуг“, 24 задатка. То су задаци који се рјешавају Питагорином теоремом:

„кратак“ – краћа катета која обично стоји хоризонтално, „дуг“ - дужа катета, вертикално. Неки од

проблема су:

1. У средини квадратног рибњака чија је страна 10 стопа, расте трска, која вири 1 стопу изнад воде.

Ако се привуче обали тада је таман додирне. Колика је дужина трске и дубина рибњака?

2. Са врха дрвета виси уже које додирује земљу дуж једне стопе. Ако се уже затегне, крај ужета

затегне, крај ужета се одмакне 8 стопа од дрвета. Колико је високо дрво?

3. Бамбус од 10 стопа се сломио и врх на 3 стопе од подножја. На којој висини се дрво сломило?



21

4. Квадратни град непознате величине има капију на средини сваке стране. 20 бу од сјеверне капије

расте дрво. Оно може да се угледа ако се удаљи 14 бу од јужне капије, окрене на запад и оде 1775 бу.

Нађи страну квадратног града!

Из периода династије Хан потиче и књига Чжоу-Би која је само дјелимично посвећена математици

али се у њој разматра Питагорина теорема, као и књига промјене Ицин у којој се разматрају магични

квадрати ( 10-шу). Најзначајнији кинески математичари:

Лиу Хуи ( 220-280)- дјело „Класичан рачуна о морском острву“ – садржи 9 задатака. У њој се врше

израчунавања удаљености, висине предмета итд. које не могу директно да се одреде ( као на морскомострву).

Сун Тси ( 3. вијек) – дјело „Класичан рачун учитеља Суна“ у 3. књиге:

1. књига – рачунање штапићима; 2. књига: разломци и поступак налажења квадратног корјена; 3.

књига ( најзанимљивија) – ту се први пут јавља кинеска теорема о остацима

26. зад Ако из корпе са јајима узимамо по 3 јаја, у корпи остају 2, ако узмемо по 5 остају 3, а ако

узимамо по 7 остају 2. Колико јаја има у корпи?

Ако узмемо

Чанг Хеу ( 78 – 139) – био је писац а математиком се почео бавити са 30 година. При промјени

владара била је обавезна промјена календара, а како је он био добар астроном, учествовао је у једној

таквој реформи 123. г. Године 132. г. је измислио први сеизмограф, открио је неки земљотрес па се

тиме прославио. Његова апроксимација броја √ Чанг Сјунг Чјен ( 6. вијек) – дјело „Класични рачун“ у 3 књиге. Ту се бави разломцима,

аритметичким и геометријским прогресијама, вађењем квадратног и кубног коријена. Ту се појављује

задатак са птицама. „Пијетао стаје 5 новчића, кокошка 3, а три пилета 1 новчић. За 100 новчића смо

купили 100 птица. Колико којих?“ Он даје рјешење: 8 пијетлова, 11 кокошки, и 81 пиле, и даје

објашњење – повећај сваки пут број пијетлова за 4, смањи број кокошки за 7 и повећај број пилића за



22

3. То је рјешење система: . Интересантно је да се Кинези доста

успјешно баве мјерењем круга. У најстаријим подацима се појављује да је , но крајем 1. и

почетком 2. вијека Чанг Хеу даје √ , а у првој половини 2. вијека Ван Фан је добио вриједност ... Лин Хуи је у 3. вијеку добио , што је боље од

Архимедове апроксимације.

Зу Чонг Џ ( 429 – 501) даје рационалну апроксимацију,

( тачно на 6 децимала), као и

. Он тврди да је тачна апроксимација , а нетачна . Ово је изложио у

свом дјелу „Интерполациони метод“ једном од 10 класика. Потиче из породице са бројним

астрономима, математичарима и сл. Његов син Зу Хенг је такође математичар.

Ан Хсјао Танг ( 580 – 640) – дјело „Наставак класичног рачуна“ – један од 10 класика. Има 20

проблема а од тога је 18 проблема посвећено рјешавању кубне једначине, а 2 проблема рјешавању

једначине 4. степена. Први задатак је потјера пса и зеца, 2 – 14 волумени, а 15 – 20 правоугли

троуглови

Зи Чунг Фенг ( 602 – 670) је био вођа тима који је састављао 10 математичких класика ( ово име је

дато 1084. год.). Радио је на поправци календара, исправио је неке грешке Лин Хуиа и поправио неке

апроксимације броја пи. Математика се полагала на државном испиту, једном годишње. Учила су се

два разреда: напредни ( учи се 10 мат. класика, посебно мјесто заузима „Вјештина рачунања“, задации усмени одговор) и обични разред ( само задаци). За вријеме династије Танг укида се математика са

државних испита и то траје до 13. вијека, када се опет јавља интерес за математику. Сљедећи плодан

период за кинеску математику је 12. до 13. вијек.

Чје Сјан ( почетак 13. в.) – показао је да се извлачење коријена може уопштити на рјешавање

једначина произвољног степена. Најзначајнији резултат - налажење небеског елемента - нумеричко

рјешавање једначина вишег реда помоћу налажења појединих цифара. Метод је објављен у Европи

1819. у Европи – Хорнеров поступак.

Чин Чју Шао ( 1202 - 1261) – био је велики математички таленат али не баш добра особа. Године

1247. је објавио дјело „Математика у 9 дијелова“ која садржи 81 проблем () а 9 је фантастичан

број за Кинезе.

1. дио - Кинеска теорема о остацима; 2. дио – о календару и времену; 3 дио – површине ( рјешавање једначина до 4. степена, Херонов образац); 4. дио – удаљеност немјерљивих тачака ( рјешавање

једначина 10. степена); 5. – 9. дијела – таксе, расподјеле и слично.

Његов најпознатији задатак је уопштење проблема града ( 20. зад. из 9. књиге): Град је округао. На 3

метра од сјеверних врата налази се дрво. Ако се од јужних врата крене на исток 9 метара, онда дрво

може да се види. Колики је полупречник града? Користи се да је . Добије се рјешење .

Ли Је, Ли Чи ( 1192 - 1279) - право име му је Ли Чи али га је промијенио у Ли Је, јер се тако звао

тадашњи владар. То је било вријеме монголских освајања. 1248. г. је објавио дјело „Морско

огледало мјерења круга“ којим се прославио. Састоји се од 12. поглавља и 170 проблема, а задаци су

у вези са кругом и троуглом. Јавља се сљедећи проблем: Имамо округао град. Особа А изађе кроз

јужну капију и пријеђе 135 бу, а особа В кроз источну капију и пријеђе 16 бу. Када се угледају?

1259. објављује дјело „Нови кораци у рачунању“ гдје се рјешавају геометријски проблеми

алгоритамским поступком, разни проблеми са кругом и троуглом. Наредио је сину да спали све

књиге осим „Морско огледало мјерења круга“ јер је једино то сматрао вриједним али син га није

послушао.



23

Јан Хуи ( 1238 - 1298) – 1261. је објавио дјело „Анализа аритметичких правила у 9 књига“, 12

поглавља. Израчунава збирове коначних редова и детаљно разрађује поступак вађења коријена

вишег реда користећи Паскалов троугао.

Чу Ши Чје ( 1270. – 1330. год.) – 1299. је објавио „Увод у математичке студије“, 20 поглавља, 259

задатака. 1303. год. је објавио „Драгоцјена огледала у 4 елемента“, 24 поглавља, 288 проблема.

Рјешава низ проблема методом небеског елемента. Појављује се и систем од 4 нелинеарне једначине

са 4 непознате. Јавља се сљедећи проблем: Дат је производ дужине пречника круга уписаног у

правоугли троугао и дужина катета тог троугла, који је једнак 24. Збир вертикалне катете и

хипотенузе је 9. Наћи дужину хоризонталне катете. Кова Сек (1642 – 1708) – развио је теорију детерминаната за рјешавање система линеарних

једначина.

9. ИНДИЈА

Индија је врло специфична земља, изолована је са сјевера ту су Хималаји преко којих се не може, а

са осталих страна је Индијски океан, тако да се до ње могло доћи само морем. Када су почела велика

освајања, до Индије су први дошли Португалци тек у 16. вијеку. Крајем 16. вијека, освојили су јеЕнглези и постала је Енглеска колонија. Индија је веома велика па је у њој било различитих народа.

Уведен је кастијски систем тако да се различите врсте људи нису могле мијешати. Индуси су писали

на врло трошном материјалу и ниису имали неки осјећај за историју, тако да је мало података

сачувано. Оно што је занимљиво код индијске математике је њихова љубав према великим

бројевима. У индијском епу „Рамајана“ једна од дисциплина на такмичењу је била ко ће да каже већи

број. Имали су називе за бројеве до ( по некима и до ).

Прва математичка знања се појављују у тзв. Ведском периоду. Веде су биле народ који је у Индију

долазио од 1500 до 500 г. п.н.е. са запада, из данашњег Ирана. О њима се мало зна. Постојале су Веде

као књиге религијског садржаја. Од интереса за математику су тзв. сулвасутре књиге. Као елемент

своје религије имали су жртвене обичаје гдје су Боговима приносили храну и пиће на дар. Да би

богови то прихватили, олтари су морали да буду одређеног облика и величне. Било је 10 -ак врстаолтара, посебан за сваку церемонију. Занимљив је опис тих олтара. Најинтересантније сулвасутре су

Бодхајана сулвасутра, написана око 800. г. п.н.е. и Апастамба сулвасутра, написана око 600. год.

п.н.е. Ту се појављује правила облика: ако се уже зарегне дуж дијагонале правоугаоника, онда је

квадрат над тим ужетом једнак збиру квдрата над страницама правоугаоника. У њима се појављјују и

и неке Питагорине тројке: 5,12, 12; 12, 16, 20; 8, 15, 17; 15, 20, 25... Јавља се и проблем како

заокружити квадрат тј. направити од њега круг. Каже се да се од квадрата може направити круг, ако

се узме да је страна квадрата 13/5 пречника круга, што не одговара баш доброј апроксимацији. Јављају се и друге апроксимације за . Појављује се и

вриједност за √ ( тачна на 5 децимала): √ . Након Ведског

периода расте интерес за астрономију. Почетком нове ере појављују се прве врсте државе. Једна одпрвих је била Гупта, која је ујединила сјеверни дио Индије. У том периоду се јављају и дјела из

астрономије тзв. сидханте. У њима се појављује нека врста тригонометрије. У првој сидханти су дате

таблице тетива са кораком 3°45'. Касније у 5. – 6. вијеку се умјесто тетива почињу користити

полутетиве, што је заправо данашњи синус. Код њих се полутетива назива џиварда, а често само

џива. Када су то Арапи крајем 8. и у 9. вијеку преводили, ријеч џива нису превели већ су, пошто не

пишу самогласнике, написали само џв. У 12. и 13. вијеку арапска дјела се преводе на латински и џв је

прочитано као џаив ( залив) те је отуда настао синус, што на латинском значи залив. Допринос

Индуса у математици је писање бројева, смислили су савремени десетични начин писања бројева. У

5. – 6. вијеку први пут се појављује нула приликом записивања бројева. Приликом превођења је

наглашавано да је нула број. Први математичар у Индији, био је

Аријабата ( 476 – 550).он је 499. г. написао књигу из астрономије „Аријабатија“ ( у стиховима).Књига има 2 дијела. У другом дијелу су 33 строфе посвећене математици. Ту објашњава извлачење

кубног коријена, наводи да је , појављује се збир аритметичке прогресије, израчунава



24

збир квадрата и кубова. Рјешава линеарну Диофантову једначину са двије непознате, то је објашњено

у задње двије строфе и објашњавање није довољно јасно. Од тригонометријских функција се јављају

синус, косинус, и синусверзус.

Брамагупта ( 598 – 670) – код њега је низ занимљивих резултата. Рјешава линеарну Диофантову

једначину корстећи Еуклидов алгоритам под називом кунтака ( размрвљивач). Затим,

рјешава сисстеме линеарних конгруенција, без Кинеске теореме, сводећи их на Диофантове

једначине. Пјављују се и неки геометријски резултати, за које се вјерује да су грчки а који су код

њега доста непрецизни. Наводи формулу за површину четвороугла

, гдје је s полуобим, али не наглашава да ли је четвороугао тетиван

па се мисли да је то преписано. Кад је добијамо Херонов образац а општа формула је

Ту је и формула за дужину дијагонале тетивног четвороугла . Наводи се и тврђење

еквивалентно синусној теореми .

Махавира ( 9. вијек) – код њега се појављује проблем са птицама: Неки човјек је послат да купи 100

птица за 100 новчића, за забаву царевог сина. Голубови се продају 5 за 3 новчића, ждралови 7 за 5новчића, лабудови 9 за 7 новчића, паунови 3 за 9 новчића. Колико којих да купи? „Он даје одговор: 5

голубова, 56 ждралова, 27 лабудова и 12 паунова, при чему има јако пуно рјешења. Индуси су први

успјешно рјешавали квадратну Диофантову једначину. Код Махавире се спомиње једначина . Он каже да је математичар онај ко то може ријешити за годину дана. У 9. вијеку у

Индији је ријешен општи случај ( варга пракати – квадратна природа) али се не зна ко

је то први ријешио. Поступак за рјешавање је познат као кружни метод ( чакра вала, чакра – точак).

Тај метод је први описао Акарија Џајадера – живио око 1000 године, а потом и Баскара ( 1114 –

1185). Они не тврде да су они смислили тај метод. Баскара каже да је за своју књигу из алгебре „Биџа

ганита“ ( биџа - рачун) користио књиге Бромагупте, Иридхаре и Пдманабхе. Иридхара и Падманабха

су живјели у периоду од 7. до 10. вијека, али њихова дјела су изгубљена. У Брамагуптиној се не

спомиње кружни метод али се спомињу правила слагања – бавана. Постоје три правила:1. саваса бавана: ако је тада је

2. вишеса бавана: ако је тада је 3. тулија бавана: добија се када се једнакост слаже сама са собом Комбиновањем кутаке и баване, добија се кружни метод. Код Басаре се наводи рјешавање једначине . Ако ставимо имамо и за свако m.

Примијенимо сваса бавану:

за свако m. Сада бирамо m тако да . Касније је доказано да

тада -3 дијели и остале. Приликом бирања m, пазимо да буде релативно мало. Ставимо

.

Ако ставимо имамо .



25

Није било јасно како су дошли до овога, нису успјели да докажу да ће овај поступак увијек довести

до рјешења. То је први доказао Лагранж 1769. године. Кода Басаре се појављује и доказ Питагорине

теореме:

Ниликанта ( 1445 - 1545) – успио је да направи ред за аркус тангенс. Он каже: Узми кружни лук чији

је синус мањи од косинуса. Помножи синус лука полупречником и подијели косинусом. То је права

количина. Помножи ту количину квадратом синуса и подјели квадратом косинуса, добићеш другу

количину. Понављај то, множи квадратом синуса и дијели квадратом косинуса. Добијене количине

подијели редом непарним бројем 1, 3, 5, ... Ако добијене количине наизмјенично одузимаш од прве и

додајеш првој, добићеш дужину лука. То би данас записали као:

тј.

Ако ставимо добијамо

Он наводи још неке редове добијене из овог. У Европи је овај ред откривен након 100 година (

половином 17. вијека).

Сриниваза Рамануџан ( 1887 – 1920) је посљедњи велики индијски математичар. Био је самоук,

научио је математику читајући неку збирку задатака. Све је формуле изводио напамет, није их

доказиовао. Није познавао комплексне бројеве али се неки његови резултати данас доказују

кориштењем комплексне функције. Дошао је у Енглеску гдје је оболио од туберкулозе. Био је

вегетаријанац. Када му је Харди дошао у посјету у болницу, рекао је да је дошао таксијем број 1729 а

то је сигурно неки досадан ( глуп) број. Раманудџан је одговорио: То је најмањи природан број који

се на два различита начина може записати као збир два потпуна куба: .

10. АРАПСКА МАТЕМАТИКА

То је математика која је трајала од 8. до 14. вијека. Била је у великом успону све до 1258. године. Те

године долазе Монголи, који нису били нарочито заинтересовани за математику. Послије

Монголских освајања, арапска математика се никад није опоравила. Ислам је успио да уједини

Блиски Исток и да се рашири до Индије и Шпаније. 762. г. Арапи оснивају нову престоницу Багдад (

прије тога је центар Блиског Истока био Вавилон). Средином 8. вијека почињу да прихватају западну

културу.

Калиф Ал – Мамун оснива „Кућу мудрости“ са библиотеком и опсерваторијумом. Калиф Ал –

Мансур је 773. г. наредио ал – Фазарију да преведе Сидханте на арапски језик. Тај превод је био међу

првим исламским радовима у области математике.

Јусуф Ибн Матра је два пута превео Еуклидове „Елементе“. Превео је и Птоломејеву књигу „Велика

синтеза“ и дао јој име „Алмагест“ - „Највећи“.

Как Ибн Хунаи је о наруџби ал – Мамуна превео „Елементе“.

Табит Ибн Кара је у другој половини 9. вијека, са својим сарадницима, превео Аполонијеве

„Конусне пресјеке“, Птоломејеву „Географију“ и урадио прву редакцију Елемената које је преве Ибн

Ишак.

Куста Ибн Лука ( крај 9. вијека) је превео Диофанта и Херона. Појављују се и прва оригинална дјела

арапских математичара:

Аба Мухамед Ибн Муса Ал – Хорезми ( око 780 – 850) – живио у Багдаду и стварао у Кући

мудрости. Написао је неколико књига из области математике и астрономије, двије су сачуване.„Кратка књига о индијском рачуну“ је само дјелимично сачувана и познат је само латински превод

из 12. вијека, који се чува у библиотеци Универзитета у Кембриџу. У њој објашњава ријечима, нема



26

симболизма. Објашњава се рачунање са арапским бројевима и индијски систем записивања бројева.

Аутор превода овог дјела није знао како да напише арапске бројеве па није написао ништа, а

оригинал овог рада је изгубљен. Та књига је била један од извора преко кога је Западна Европа

упознала са десетичним позиционим системом. Назив књиге „Algoritmi de numero Indorum“ – „О

индијском броју – дјело Алгоритма“ увео је у наш математчки језик израз „алгоритам“, што је

уствари латанизирано име аутора. Ријеч алгоритам означава било какав механички поступак који не

мора да има везе са рачунањем; у средњем вијеку је означавао рачунање са децималним бројевима.

Друга књига му је значајнија „Хисаб ал – џабр вал мукабала“ – „Кратка књига о рачуну алгебре и

вал-мукабале“ односно „Ушење о свођењу и о двоструком одузимању“. Из конструкта „ал – џабр“ (

свођење) настао је назив за алгебру. Ова књига има три дијела:

1. дио – рјешавање алгебарских једначина свођењем на канонску форму. Нису имали негативне

бројеве у једначинама, ако имају одузимање тада пребацивањем на другу страну постаје сабирање (

правило ал – џабр). Ако су са различитих страна знака једнакости чланови истог степена, онда више

од већег одузима мањи ( правило вал – макабале - уравнотежење). Једначина се дијели

коефицијентом уз највећи степен

( правило ал – рад). Дирхем је слободни члан, џизр или шај је коријен иил ствар, мал је квадратни

члан. Овим правилима Ал – Хорезми једначине ( линеарне и квадратне) своди на неки од 6

канонских облика гдје су коефицијенти једначине само позитивни бројеви.

1. квадрати су једнаки корјенима, 2. квадрати су једнаки броју,

3. корјени су једнаки броју,

4. квадрати и корјени су једнаки,

5. квадрати и бројеви су једнаки корјенима,

6. корјени и бројеви су једнаки квадратима,

Најпознатија квадратна једначина је . Конструишемо квадрат и на свакој његовој

страни правоугаоник висине 10/4, допунимо до квадрата и добијамо

2. дио – кратка поглавља о геометријским израчунавањима

3. дио – примена алгебре на рјешавање проблема са насљеђем. Ал – Хормијеве атрономске и

тригонометријске таблице ( синус и косинус), се такође налазе у арапским књигама које су касније

преведене на латински језик. Његови радови се одиграли значајн улогу у историји математике јер се

преко њих Западна Европа упознала са индијским цифрама и арапском алгебром.

Абу Џафар, Ахмет и Ал – Хасан ( синови Мусе Ибн Шахира). Написали су књигу „Три брата о

геометрији“, гјде дају нови доказ Хероновог обрасцса и ту се јавља тзв. баштованска конструкција

елипсе: забијају се 2 кочића, узме се омча, затеже се и описујући добијамо елипсу ( збир растојања од

двије фиксне тачке је константан). Абу Џафар се занимао за астрономију, Ахмет за практичност икорисност механике а Ал - Хасан за геометрију.

Табит Ибн Кора ( 835 – 901) – није примио ислам него је припадао арапском племену Сабејаца (

обожаваоци звијезда). Стварао је у Кући мудрости у Багдаду и организовао низ превода грчких

књига. На нов начин израчунава површину одјечка параболе и ротационог параболоида ( што је прво

урадио Архимед). Покушава да докаже 5. постулат при чему претпоставља да вриједи: линија чија је

свака тачка на једнакој удаљености од дате праве је опет права ( тј .евидистанта дате праве је права),

а ово је евивалент 5. постулата. Покушава да усаврши теорију пропорција и указује на пропусте

дефинисања сложених пропорција у 5. књизи Е.Е. Даје инересантно правило из теорије бројева, за

пријатељске бројеве ( збир дјелитеља једног једнак је другом, а збир дјелитеља другог једнак је

првом): Ако имамо просте бројеве p,q, r такве да је

тада су пријатељски. За n=2 добијају се бројеви 220 и 284, и то је једини пар за



27

који су Грци знали. За n=3, r није прост. За n=4, n=7 добијају се парови пријатељских бројева и за нема других пријатељских бројева.

Ибн – Турк – сачуван је одломак његовог дјела. Анализира услове рјешивости квадратне једначине

4., 5. и 6. степена у геметријском облику којег није било код Ал – Хорезмија

Ал – Наиризи – дао је опсежан коментар Елемената и излаже доказ 5. постулата

Абу Камил ( 850 - 930) – живио је у Египту, био је алгебриста и наставио да ради на радовима Ал –

Хорезмија. Алгебру од Ал – Хорезмија је усавршио у књизи „Књига о алгебри и вал-мукабали“. Уњој

се појављују имена за више степене: каб – куб, мал мал – 4. степен, мама мал шај – 5. степен, каб каб

– 6. степен, 7. степен није знао како да назове, мал мал мал мал – 8. степен. Рјешава само квадратне

једначине, докази су конкретнији. Даје низ правила за трансформацију једначина и њихово свођење

на квадратне. Написао је и „Књига мудрости у рачуну “. У њој рјешава системе неодређених

линеарних једначина. Најинтересантнији је задатак о птицама. и наводи сва позитивна рјешења. Укуно их има

2676. Арапе је интересовала астрономија. Преузимају полутетиве од Индуса. Ријеч „синус“ је

латински превод санскритске ријечи „џија“ написане на арапски начин. Користе линеаран календар.

арапска година има 354 дана а године броје од хиџаре, односно, од преласка Мухамеда из Меке у

Медину, 622. године.

Ал Батани ( 858 – 929) – један од највећих арапских астронома. У његовим радовима је садржан

сначајан дио тригонометрије. Дјело „Побољшање алмагеста“. Уводи 6. тригонометријских функција:синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Појављује се и сферна косинусна теорема,

односно косинусна за сферни троугао. Њему припадају таблице котагенса за сваки степен.

Абу – Л – Вафа ( 940 – 997) – коментарисао је дјела Еуклида, Диофанта и Птоломеја. Написао је

књигу „Шта је потребно занатлији из геометрије“. Рјешава низ геометријских проблема. Извео је

много конструкција помоћу шестара са константним отвором. Написао је и „Књига о томе шта треба

да знају записивачи, писари и остали из рачуна“ у 4. дијела.

1. и 2. дио рачун са цијелим бројевима и разломцима; 3. дио – мјерење фигура; 4. дио – разне

примјене. Написао је још једну књигу која је изгубљена ( извлачење 3., 4. и 5. степена). Извео је

синусну теорему сферне тригонометрије, направио таблицу синуса, прецизнију од Птоломејеве, увео

дужи које одговарају секансу и косекансу, рјешавао једначине 3. и 4. степена

Ибн Јунис ( умро 1009. г.) – био је математичар и астроном. Предложио је формуле за претварањепроизвода косунуса у збир.

Ал Караџи ( умро 1019. г.) – написао је „Довољна књига о рачунању“, што је увод у његову књигу

„Ал Фахри“ која има 15 поглавља и има теоријски дио и задатке. Ту је изложио алгебру за оне који

желе да је изучавају на вишем нивоу:

1. дио – изводи разне идентитете:

( )

2. дио – има 250 задатака од којих је најинтересантрнији:

Абу Џафар Мухамед Ибн Хусеин: рјешава сличне проблеме, Ал – Саманал – ученик Ал – Караџија, рачунао са полиномима

Ал – Кархи је слиједио Диофанта и дошао до инересантрних ствари у области ирационих бројева и

до формула: √ √ √ , √ √ √

Проблем кубне једначине

У 10. вијеку Арапи доста систематски почињу да рјешавају кубне једначине, јављају се у контексту

конструкције правилног седмоугла.

Ал Кухи ( умро око 995. г.) – конструисао правилан седмоугао

Ал Бириани ( 973 – 1048) - један од најпознатији арапских математичара. Његово најпознатије дјело

је „Канон масуда о астрономији и звијездама“ у 11 књига које је написао 1030 године 1. и 2. књига су

посвећене календару, 3. књига је посвећена тригонометрији и има 10 поглавља:

1. глава: израчунава дужине страница правилног полигона ( 3,4,5,8,10 – угла) уписаног у круг ( на

основу геометријске конструкције) 2. глава: изводи тврђења еквивалентна тврђењу за и сл.



28

3. глава: конструкција правилног деветоугла

Рјешавањем једначине добијамо страницу правилног деветоугла. Прва идеја је биланумеричко рјшавање ове једначине методом сукцесивних апроксимација, . Друга идеја је била преко константних пресјека ( парабола = хипербола)

Даје и приближну конструкцију правилног деветоугла тиме што конструише угао од 40° што је

централни угао деветоугла. Конструише угао ( 72° је

централни угао правилног петоугла); подијели угао на 4 дијела и добија угао од 10°30', које додаје

на 30° па добија

дијели на 4 дијела и добија угао 10°7'30''; наставља даље и добија

низ апроксимација који конвергира ка 40°, што је централни угао правилног деветоугла. 4. глава – рјешава општи проблем трисекције угла. Наводи 12 метода

5. глава – израчунава однос пречника и односа и обима круга

6. глава – израчунава таблицу синуса у којој је полупречник круга 1, користи шесдесетичне разломке

и иде до прецизности

7. глава – објашњава кориштење таблица, уводи квадратну поред линеарне интерполације

8. глава – рачуна тангенс и котангенс и даје таблицу тангенса са кораком 1°

9. и 10. глава – посвећена сферној тригонометрији

4. књига је о астрономији; 5. књига о геодезији; 6 – 11. књиге су о кретању небеских тијела

Ал Мутаман ( умро 1058 .г.) – око 1040. је написао „Књигу савршенства“. Арапски рукопис ове

књиге је пронађен 1990. г. Садржи неке резултате за коије се вјерује да су грчког поријекла. Ту су

Чевина теорема и резултат: Дворазмјера се очува при централној пројекцији

Ибн Ал-Хајсан ( 965 - 1041) – велики муслимански физичар, водећа личност у Египту. Најпознатије

дјело је „Изооптика“. Пише о конструкцији правилног седмоугла, израчунава .

Израчунао је и запремину ротационог параболоида ( парабола ротира око тетиве). Углавном се бавио

оптиком. Први је посматрао Сокеријев четвороугао. Доказао је данашњу Вилсонову теорему: p прост . Ријешио је Алхозенов проблем. Из двије тачке које се налазе на кругу треба повући

праве тако да се оне сијеку на кружници и да у тачки пресјека образују једнаке углове са нормално.

Тај задатак се своди на једначину 4. степена, а Алхазен га је ријешио помоћу пресјека хиперболе и

кружнице.

Абдул Џуд је написао књигу „Општа теорија о кубним једначинама“ која је изгубљена. Први је

ријешио конструкцију правилног седмоугла ( није скроз тачан)

Омар Хајам ( 1048 - 1124) – био је пјесник, математичар, астроном и филозоф. Постао је познат по

своме дјелу „Рубајат“. Његово најзначајније дјело је „Алгебра“ или „О доказима задатка алгебре и

валмукабале“. У њој су изложена систематска испитивања једначина 1. и 2. степена ( које рјешава

алгебарски) и 3. степена ( које рјешава помоћу конусних пресјека). Његова анализа није потпуна, не

проналази сва рјешења. У другој књизи, у којој разматра тешкоће код Еуклида, Омар је аксиом

паралелности замјенио низом других претпоставки. Доказује 5. постулат сводећи га на сљедеће

тврђење: ако имамо двије праве чије се растојање смањује, онда ће се те двије праве сјећи. Замјенио

је Еуклидову теорију пропорцију n метричком теоријом и том приликом је дошао до нумеричкихапроксимација ирационалности и до општег појма реалног броја. Његове су „Коментар о тешкоћама

у уводима књига“ и „Тешкоће рачуна“.



29

Шараф Ад – Дин Ат – Туси (1155-1213) – написао је дјело „О рјешавању кубних једначина“. 1258. г.

Монголи су опустошили Багдад, разорен је Багдадски калифат. 1492. арапске земље дефинитивно

пропадају. Послије 1258. недалеко од Багдада је израстао нови научни центар близу опсерваторијума

у Мараги, који је изградио монголски владар Хулагу Насир Ад-Дин Аф-Туси.

Насир Ад – Дин Ат – Туси ( 1201 – 1274) – написао је више дјела. Једно од њих је „Трактат о

потпуном четвороуглу“. Написана је 1260. године, а оригнални превод је „Књига о фигури и

сјечицама“ и то је прва књига која је у потпуности посвећена тригонометрији. Састоји се од 5

поглавља: 1. поглавље – рачунање са пропорцијама; 2. п. – доказује неке теореме из претходне

књиге, потребне за рачунање. Сви докази се једноставни и јасни. Даје више доказа Менелајеве

теореме; 3.п. повећена синусу и косинусу, доказује њихове особине; 4. п. – посвећено сферној

тригонометрији, доказује Менелајеву теорему на сфери; 5. п. – рјешавање сферних троуглова.

Покушап је да докаже Еуклидов аксиом паралелности

Ал Касади ( 1412-1486) – бавио се алгебром. Први који је покушао да уведе симболизам у алгебру:

ма +, илла -, м(мае) ,сх (шај), к Ал Каши ( 1365 - 1429) - персијски математичар. Рјешавао је једначине 3. степена помоћу итерације

и тригонометријских метода. Познавао је метод за рјешавање општих алгебарских једначина, која је

данас позната под називом „Херонова шема“. Написао је 2 значајна дјела: „Трактат о кругу“ 1424.

год. гдје је израчунао број пи на 17 децимала; „Кључ аритметике“ 1427. г. гдје објашњава општи

преглед рачуна у 5. књига: 1. књига – рачунање са цијлеим бројевима, јавља се биномни образац; 2.књига – разломци и рачунање са разломцима; 3. књига – рачун астронома, шездесетични разломци,

десетични разломци, претварање 60 –ичних у 10-ичне разломке и обрнуто; 4. књига – мјерење

геометријских фигура, израчунавање површине и запремине; 5. књига: посвећена налажењу

непознатих величина помоћу алгебре и валмукабале. „Трактат о тетиви и синусу“ – изгубљено дјело

Ибн Ал – Бана (1256 - 1321) – бавио се аритметиком. Учио је из Еуклидових Елемената. Изводи

формуле:

11. МАТЕМАТИКА У ЗАПАДНОЈ ЕВРОПИ ОД ПРОПАСТИ РИМСКОГ ЦАРСТВА

ДО ПРОНАЛАСКА ШТАМПЕ

Под утицајем Светог Августина ( 345-430) ублажава се одбојни став према нехришћанској науци

Северин Боеције ( 474 или 480 - 524) – био је из римске племићке породице. Желио је да преведе сва

Аристотелова и Платонова дјела на латински језик ( није успио), да напише коментар и докаже да су

им учења сагласна. Превео је нека Аристотелова дјела посвећена логици и Порфиријев коментар

Аристотела. Саачувана су његова дјела: „О математичком образовању“ у 2 дијела, „Књига о

музичком образовању“ у 5 дијелова, „Геометрија 1“ и „Геометрија 2“. Док је био у затвору написао јекњигу „О утјехи филозофије“ гдје размишља о људској судбини, Богу, улози религије у животу.

Бенедикт из Нурсије ( 480 - 547)- 529. г. је основао манастир Монте Казино, сјеверно од Напуља.

Основао је Бенедиктински ред и написао правило за живот калуђера у манастиру: „да буде више од 8

сати непрекидног одмора, 3-4 сата молитве, 4 сата учења и читања духовних књига и 6-8 сати

физичког рада“. Сваки бенедиктински калуђер је морао да направи препис неке књиге и то је

допринијело очувању писмености.

Касидор ( 480 – 575) – у Калабнији је основа манастир Вивариум. Дефинисао је рационалне и

ирационалне величине: R чију мјеру можемо сазнати, I – немају схватљиву величину мјере

Исидор из Севиље је написао „О поријеклу“ у 20 књига објашњава природу ствари помоћу њеног

имена. 3. књига је посвећена математици



30

Велечасни Беда ( 672 - 735) – позната су његова педагошка дјела: „О правопису“, „О природи

ствари“, „О времену“ и „О израчунавању времена“. У посљедње двије је објаснио рачун на прсте,

рачун са грчким и римским бројевима, рачун са разломцима, непто о астрономији.

Карло Велики ( око 800) је подстицао трансформацију образовања. Иако је био неписмен,

подстицао је ученост. Тако долази до покрета „Карловичка ренесанса“ за вријеме које је направљена

реформа правописа; уведена су мала слова, размак између ријечи, појављује се читање у себи

Алкуин из Јорка ( 735 – 804) – био је Карлов дворски учитељ. Написао је књигу „Проблеми за

изоштравање ума младежи“ – збирка од 53 задатка. 13. зад. је скупљање војске из 30 села; 18. зад. је о

вуку, кози и купусу, 42. зад. о голубовима на љествици са 100 пречака, 47 или 45 зад. је варијанта

проблема о птицама ( бискуп и хљебови)

Гербеит из Оријара ( 945 – 1003) задње 4. године је био папа Силвестер II. Написао је: „Књижица о

дјељењу бројева“, „Правила рачунања на рачунаљци“ – сачувани су само преводи. Увео је жетоне за

рачунање на рачунаљци. Прављени су од кости или метала. Крајем 11. вијка почиње освајање

Блиског Истока. Први који је преводио математичка дјела са арапског на латински био је Аделар из

Бата (1075 - 1146). Превео је Ал – Хоризмија и Еуклида.

Герардо из Кремоне ( 1114 - 1187) радио је у Толеду. Превео је Е.Е. и „Дата“, Архимедово

„Мјерење круга“, Аполонијеве „Конусне пресјеке“, Птоломејев „Алмагест“, дјела Теодосија,

Менелаја, Ал Хорзмија, Ибн – Коре те нека астрономска дјела.

Платон из Сиволија је предводио у Барселони. 1146. је превео „Књигу о мјерењу“ јевреја АбрахамаБархије ( 1070 – 1136). Књига се састоји из 4. поглавља: 1. основни појмови из геометрије, површина

фигура и сличност, 2. рјешавају се 3 типа квадратне једначине, а доказима из друге књиге Е.Е.,

рачуна се површина троугла, круга , елипсе ( погрешно) и дата је кратка таблица тетива; 3.

подјела фигура; 4. израчунавање запремина

Роберт из Честара је 1145. г. превео „Алгебру“ од Ал Хоризмија

Јован из Севиље преводи 20-ак књига од којих је најпознатија „Књига алгоритама о практици

аритметике“. На сицилији је преводио Холанђанин Вилијам из Мурбека (1215- 1286) Преводио је

Архимеда и Херона а његови преводи су били буквални. Посљедице дизања ниво учености су први

универзитети. Први је био у Болоњи, био је познат по праву. Париз је био познат по теологији,

Падова по медицини. Средњевјековни универзитети су се састојали од 4 факултета: артистички (

слободне вјештине, тривијум и квадривијум), право ( цивилно и духовно), медицина и теологија. Науниверзитетима се знање образлаже а требало се позивати на ауторитете, Свето Писмо итд. При

доказивању се гледало шта о томе пише у литератури ( испити се појављују тек у 16. вијеку). Један

од првих који се бавио изучавањем логике био је Пјер Аделар ( 1079 - 1142) који је био учитељ у

Паризу. Он је у свом јелу „Да и не“ детаљно образложио сколастички поступак логичког

образлагања за и против. У дјелу „Дијалектика“ заснива формалну логику.

Због појаве разних јереси, прије свега богумила, оснивају се два нова калуђерска реда: просјачки

редови и бедектинци. Бедектинци су живјели у манастирима. Припадници просјачких редова су били

у двије групе: Фрањевци ( основани 1209.г.) и Доминиканци ( основани 1215. г.) и они су живјели

међу народом. Већина професора на универзитетима су били или Фрањевци или Доминиканци. Они

су били најученији до појаве језуита. Најпознатији Фрањевци су Роџер Бекон и Томас Брадвардин, а

Доминиканци Алберт Велики, Тома Аквински и Ђордано Бруно. Током средњег вијека се појављује

један математичар који је био веома напредан за своје вријеме а о њему се јако мало зна. То је

Јорданус Неморариус који је живио у првој половини 13. вијека, негдје у З. Европи. Нагађа се да је

можда и нека жена радила под тим именом ( јер њима није било дозвољено бавити се науком). Добро

је познавао Е.Е. и писао је књиге у том стилу. Сваку теорију је покушавао да заснује аксиоматски.

Написао је дјела: „О рачунању тежина“ ( 13 теорема) и „Аритметика“ у 10 књига. Ту користи

симболичке ознаке за бројеве али у геометријском смислу. Ту је извео низ особина бројева, са

доказима. Затим, ту је дјело „Доказ о алгоритмима“ гдје објашњава рачунање са цијелим бројевима,

извлачење квадратног и кубног коријена. Било је популарно његово дјело „О задатим бројевима“ у 4

књиге. Писао је и о геометрији. Позната је његова „Књига о троугловима“ такође у 4 дијела.

Приписује му се и „Књигу љубитеља вјештина“ што су биљешке неког његовог ученика. Једну однајпознатијих средњевјековних књига, написао је



31

Леонардо из Пизе ( Фибоначи) ( 1170 - 1250), а то је „Књига о рачунаљци“. Написао ју је 1202. а

1228. је издао допуњено издање. Књига носи потпуно погрешан назив, јер се у њој нигдје не

спомињу рачунања. Има 15 дијелова, а штампана верзија књиге је преко 450 страна. Најзанимљивији

је 12. дио књиге, гдје рјешава одређене и неодређене једначине, сабира квадратне бројеве а ту се

појављује и задатак о кунићима ( ту се јављају Фибоначијеви бројеви). У 14. дијелу извлачи

квадратни и кубни коријен, а 15. је посвећен геометријским израчунавањима и начину алгебре и вал

– мукабале. Написао је и „Пракса геометрије“ гдје користи

. Затим, написао је и

„Књигу квадрата“, гдје рјешава проблем , . Написао је и књигу „Флос“ гдје рјешава једначину трећег степена . Најпознатији свештеник које се бавио

анализом кретања био је

Никола Орен ( 1323 - 1382) – он у књизи „Трактат о ширини форми“ наводи график праве као

приказ равномјерно убрзаног кретања. У дјелу „О пропорцији пропорција“ је формулисао закон који

одговара слагању изложилаца код бројева ( правило множења степена), а у књизи „Питања о

Еуклидовој геометрији“ доказује да хармонијски ред дивергира:

У дјелу „Расправа о конфигурацијама квалитета и кретања“ сабира ∑ :

1348. г. у Европи долази до велике епидемије куге, гдје је умрло између 1/3 и 2/5 становништва.

Долази д о потпуног прекида свих развоја. Европи је требало 100 година да постигне ранији ниво

развоја.

Византија

У Византији је било боље опште образовање него у З. Европи. Постојао је Царски универзитет (

право и медицина). Постојале су црквене и свјетовне школе. У 7. вијеку на универзитет долази (

учитељ) Стефан из Александрије који је предавао о квадривијуму. У његово вријеме био је познат

математичар Тухик. Најпознатији математичар из тог времена је Лав математичар ( 790 – 869) –

радио је у Цариграду. Као млад је доста путавао, ишао је и по манастирима и тако се образовао. Од

његових дјела ништа није сачувано али се зна да је хтио да направи библиотеку античких дјела.Сматра се да све сачуване књиге тј. преписи, потичу из његове библиотеке. 1045. г. је обновљен

Царски универзитет и на њему почиње да ради Михаил Псел ( 1018 - 1078) – управник на

филозофији, бавио се математиком али неуспјешно. Овај универзитет је раидио до 1203. г., када је

био пад Цариграда. Послије, када су Византијци освојили Цариград, обновили су универзитет аза

управника универзитета долази Теодор метохик ( 1216 - 1332) – није био математичар.

Максим плануд ( 1260 – 1310) – пише коментар ( доста површан) прве двије књиге Диофанта,

„Рачун на индијски начин“. Његов ученик Мануел Москопулос даје правило за конструкцију

магичних квадрата.

Нићифор Григор ( 1205 – 1360) – ученик Теодора. Написао је коментар „Алмагеста“, прецизно

одређује помрачење Сунца, Мјесеца и дужину године. Никола Рабдас ( 14. вијек) – издао је Планудова дјела, са својим допунама. Сачувана су два његова

писма:



1. рачунање на прсте

2. рачунање са разломцима

Посљедњу реформу универзитета почетком 15. вијека спровео је цар Манојло II Палеолог. Он је

скупио раштркане школе по Цариграду и сместио их у зграду болнице, који је подигао цар Урош II

Милутин. Ту долази низ западних хуманиста да уче грчки и упознају се са Византијском културом.

Турци освајају Цариград 1453. године.

Documents

Istorija matematikea