ISPITNI KATALOG

M A T E M A T I K AM A T U R S K I I S P I T U G I M N A Z I J I

KOLSKA 2010/2011. GODINA

Ispitni katalog pripremili:

dr Sinia Stamatovi, Prirodno-matematiki fakultet Vidosava Kaelan, Zavod za kolstvo

Lazo Lekovi, Zavod za udbenike i nastavna sredstvaIlija Bokovi, Gimnazija Slobodan kerovi

Tatjana Vujoevi, Ispitni centar

Sadraj

1. Uvod ....................................................................................................................................4

2. Pravila .................................................................................................................................5

3. Opti ciljevi ispita ................................................................................................................6

4. Struktura ispita ....................................................................................................................7

5. Ispitni program ...................................................................................................................8

6. Primjer testa sa shemom za bodovanje .......................................................................16

6.1 Primjer testa .......................................................................................................16

6.2 List za odgovore ...............................................................................................21

6.3 Rjeenja .............................................................................................................22

7. Literatura ...27

1. UVOD

Dravna matura uvodi se kolske 2010/11. godine u obrazovni sistem Crne Gore i predstavlja standardizovanu eksternu provjeru obrazovnih postignua uenika na kraju etvorogodinjeg gimnazijskog obrazovanja. Na osnovu Zakona o gimnaziji, (Sl. list RCG, br. 64/02 od 28. 11. 2002, 49/07 od 10. 08. 2007, Sl. list Crne Gore, br. 45/10 od 04. 08. 2010), maturski ispit se polae eksterno (lan 38), a za pripremu ispitnih materijala i sprovoenje procedure dravne mature zaduen je Ispitni centar.

Provjeravaju se znanja, sposobnosti i vjetine koje se zasnivaju na kljunim djelovima Predmetnog programa a treba da ih posjeduju uenici na kraju gimnazijskog kolovanja. Ispitni katalog detaljno opisuje ta e se ispitivati na maturskom ispitu iz Matematike u kolskoj 2010/11. godini. Namijenjen je prvenstveno uenicima i nastavnicima, ali i ostalim uesnicima nastavnog procesa.

U Ispitnom katalogu su navedeni opti ciljevi ispita, opisana je struktura ispita i krozformu ispitnih ciljeva precizno je naveden sadraj koji e se ispitivati. Dat je i primjer testa sa detaljnom shemom za ocjenjivanje.

5

2. PRAVILA

Svi uenici koji su izabrali Matematiku kao obavezan predmet na maturi, polagae ispit pismeno istog dana u isto vrijeme.

Ispitni materijal e biti zapakovan u posebne sigurnosne koverte (PVC), koje e se otvoriti pred uenicima neposredno prije poetka ispita.Na ispitu nije dozvoljeno

lano predstavljanje otvaranje ispitnih zadataka prije dozvoljenog vremena ometanje drugih uenika prepisivanje od drugog uenika korienje nedozvoljenog pribora oteenje ifre na test-knjiici nepotovanje znaka za zavretak ispita

Dozvoljen pribor je: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor.Tokom ispita nije doputena upotreba digitrona i mobilnih telefona.Uenikov rad mora biti napisan hemijskom olovkom. Samo geometrijske slike i grafici mogu biti nacrtani grafitnom olovkom.Nakon ispita, testovi e biti zapakovani i vraeni u Ispitni centar, gdje e se organizovati ocjenjivanje.

6

3. OPTI CILJEVI ISPITA

Provjera matematikih znanja i vjetina steenih u toku etvorogodinjeg kolovanja u optoj gimnaziji koji su definisani kroz obrazovne standarde predmeta i ovim Katalogom

Provjera opte sposobnosti korienja znanja i vjetina u rjeavanju matematikih zadataka

Provjera osnovne matematike pismenosti, pravilnog korienja matematikog jezika, korienje matematike u svakodnevnoj komunikaciji

Poznavanje matematikih pojmova i osnovne terminologije obiljeavanja, osnovnih pravila

Sposobnost da se matematiki predstave situacije i zatim ispitaju njihove implikacije i rjeenja, izvedu konani zakljuci

Upotreba matematikih znanja u rjeavanju praktinih problema Uoavanje i analiza problema, prevoenje na matematiki jezik, biranje

odgovarajueg naina rjeavanja Podsticanje razliitih naina rjeavanja problema, kreativnost i fleksibilnost

razmiljanja Povezivanje znanja iz razliitih oblasti matematike Provjera znanja i vjetina neophodnih za nastavak kolovanja Provjera standarda znanja definisanih nastavnim programom za Matematiku Uporedivost postignua znanja i vjetina iz matematike na kolskom, optinskom,

nacionalnom nivou

7

4. STRUKTURA ISPITA

Ispit traje 150 minuta.

Ispit sadri dvije vrste zadataka: zadatke viestrukog izbora

Kod ovih zadataka je ponueno vie odgovora od kojih je samo jedan taan. Uenik od ponuenih odgovora bira taan.

zadatke otvorenog tipa Kod ovih zadataka rjeenje moe biti:

kratak odgovor rjeenje je rije, prosta reenica ili broj do koga se moe doi nakon nekoliko povezanih koraka, dui odgovor do krajnjeg rezultata se dolazi rjeavanjem vie zahtjeva ili primjenom sloenijih raunskih postupaka.

Kod zadataka viestrukog izbora nema djeliminog bodovanja. Tano rijeen zadatak donosi 3 boda.U zadacima otvorenog tipa boduje se postavka zadatka, postupak rjeavanja i taan rezultat. Netano rijeen ili neuraen zadatak ne donosi negativne poene.

Tip zadatka Broj zadataka Broj bodovaZadaci viestrukog izbora 8 24

Zadaci otvorenog tipa 12 Maksimum 50UKUPNO 20 Maksimum 74

U skladu sa Nastavnim programom, sadraj koji se ispituje podijeljen je na 5 oblasti (podruja). Procentualna zastupljenost podruja u testu moe se vidjeti iz tabele:

Redni broj Podruje Zastupljenost sadraja

I Brojevi; Racionalni algebarski izrazi 15% - 25%ukupnog broja bodova

II Elementarne funkcije; Jednaine i nejednaine 30% - 40%

ukupnog broja bodova

III Geometrija 20% - 25%ukupnog broja bodova

IV Elementi matematike analize 10% - 15% ukupnog broja bodova

V Kombinatorika i vjerovatnoa 5% - 15%ukupnog broja bodova

8

5. ISPITNI PROGRAM

I BROJEVI; RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

1. BrojeviSadraj:

Pojam prirodnog broja. Ureenost skupa prirodnih brojeva. Osnovne raunske operacije sa prirodnim brojevima. Pravila djeljivosti. Traenje NZD i NZS.

Pojam cijelog broja. Ureenost skupa cijelih brojeva. Osnovne raunske operacije sa cijelim brojevima.

Racionalni brojevi. Pojam razlomka. Pojam decimalnog broja. Svoenje razlomka na decimalni broj. Svoenje decimalnog broja na razlomak. Proirivanje razlomaka. Ureenost skupa racionalnih brojeva. Osnovne raunske operacije sa racionalnim brojevima.

Pojam realnog broja. Ureenost skupa realnih brojeva. Osnovne raunske operacije sa realnim brojevima. Realna prava. Pojam intervala, segmenta i polusegmenta na realnoj pravoj. Komutativnost zbira i proizvoda, asocijativnost zbira i prozvoda i distributivni zakoni.

Pojam procenta. Raunanje sa procentima. Direktna i obrnuta proporcija. Stepenovanje i korjenovanje sa racionalnim izloiocima. Pojam kompleksnog broja. Imaginarna jedinica. Stepeni imaginarne jedinice.

Algebarski zapis kompleksnog broja. Kompleksna ravan i geometrijska interpretacija kompleksnog broja. Raunske operacije sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

Ispitni ciljevi Uenik pokazuje da umije da

1.1. uporeuje cijele brojeve po veliini, primjenjuje operacije sabiranja, oduzimanja i mnoenja na skupu cijelih brojeva

1.2. sprovodi postupak rastavljanja prirodnog broja na proste faktore, na osnovu faktorizacije izvodi zakljuke o djeljivosti broja, odreuje NZD i NZS, primjenjuje pravila djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 i 25.

1.3. primjenjuje osnovne raunske operacije na skupu racionalnih brojeva, pretvara razlomak u decimalni broj i decimalni broj u razlomak; proiruje i uporeuje razlomke

1.4. stepenuje i korjenuje sa racionalnim izloiocima1.5. primjenjuje osnovne raunske operacije na skupu realnih brojeva, na skupu

realnih brojeva prepoznaje i po potrebi primjenjuje komutativnost zbira i proizvoda, asocijativnost zbira i proizvoda i distributivni zakon, uporedi realne brojeve po veliini

1.6. na realnoj pravoj predstavi interval, segment i polusegment1.7. prepoznaje i primjenjuje u rjeavanju zadataka direktnu i obrnutu proporciju i

rauna sa procentima 1.8. odredi realni, imaginarni dio i moduo kompleksnog broja; odredi kompleksno

konjugovani broj i stepen imaginarne jedinice; geometrijski interpretira kompleksni broj i rauna sa kompleksnim brojevima u algebarskom obliku

2. Racionalni algebarski izraziSadraj: Cijeli algebarski izrazi. Polinomi jedne promjenljive. Algebarski razlomci.

9

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da2.1. sabira, oduzima, mnoi cijele algebarske izraze, primjenjuje formule

3322333322 )(,)(,)(,)(,,, bababababababa +++ i nakon obavljene faktorizacije izvodi zakljuke o djeljivosti izraza

2.2. sabira, oduzima, mnoi i dijeli polinome jedne promjenljive2.3. odredi oblast definisanosti algebarskog razlomka, primjenjuje osnovne

operacije sa algebarskim razlomcima, trai NZS za imenioce, faktorie, skrauje i transformie izraze sa algebarskim razlomcima

II ElEmEntarnE FUnKCIJE; JEdnaInE I nEJEdnaInE

1. linearna funkcija. linearna jednaina i nejednainaSadraj: Linearna funkcija. Linearna jednaina i nejednaina. Sistem dvije linearne jednaine sa dvije nepoznate.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da1.1. ispita tok i nacrta grafik linearne funkcije; zna da na osnovu datih podataka

(nule, koeficijenta pravca, taaka koje joj pripadaju) odredi linearnu funkciju1.2. rjeava linearne jednaine 1.3. rjeava linearne nejednaine ukljuujui nejednaine oblika )(xf >0, )(xf 0, )x(f

10

2.6. na osnovu datih podataka (nula, koordinata tjemena, taaka kroz koje prolazi grafik funkcije) odredi kvadratnu funkciju

2.7. rjeava problemske zadatke koji se svode na rjeavanje kvadratne jednaine i na traenje ekstremne vrijednosti kvadratne funkcije

3. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalna jednaina i nejednainaSadraj: Eksponencijalna funkcija y = ax, a > 0, a 1. Osobine i grafik eksponencijalne funkcije. Eksponencijalna jednaina i nejednaina.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da3.1. prepozna i nacrta grafik elementarne eksponencijalne funkcije 3.2. rjeava eksponencijalne jednaine svoenjem na istu osnovu i eksponencijalne

jednaine koje se svode na kvadratnu3.3. rjeava eksponencijalne nejednaine

4. logaritamska funkcija. logaritamska jednaina i nejednainaSadraj: Pojam logaritma. Logaritamska funkcija y = logax, a > 0, a 1. Osobine i grafik logaritamske funkcije. Pravila logaritmovanja. Logaritamska jednaina i nejednaina.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 4.1. prepozna i nacrta grafik elementarne logaritamske funkcije 4.2. prepozna i primijeni osnovna pravila logaritmovanja ( cbcb aaa loglog)(log += ,

cb

c

baaa logloglog = ,

brb a

ra loglog = ,

a

bb

c

ca log

loglog = ,

b

kb aak log

1log = )

4.3. rjeava logaritamske jednaine oblika dbxac =+ )(log i jednaine koje se svode na ovaj oblik; logaritamske jednaine koje se svode na kvadratnu jednainu

4.4. rjeava jednostavnije logaritamske nejednaine oblika dbxac >+ )(log

,)(log,)(log,)(log dbxadbxadbxa ccc ++

11

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da5.1. prepozna i definie trigonometrijske funkcije; primijeni definicije

trigonometrijskih funkcija otrog ugla na rjeavanje trougla (koristi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za uglove 30o, 45o, 60o)

5.2. koristi trigonometrijsku krunicu (npr. predstavlja proizvoljan ugao, odreuje znak i monotonost trigonometrijskih funkcija proizvoljnog ugla svoenjem na trigonometrijsku funkciju otrog ugla) i primjenjuje vezu izmeu trigonometrijskih funkcija

5.3. prepozna i primijeni osnovne trigonometrijske identitete ( 1cossin 22 =+ aa ,

aa

acossin

=gt ).

5.4. prepozna i nacrta grafike osnovnih trigonometrijskih funkcija i funkcija oblika BbxaAy ++= )sin( i BbxaAy ++= )cos(

5.5. primijeni adicione formule 5.6. rjeava trigonometrijske jednaine oblika cbxa =+ )sin( , cbxa =+ )cos( ,

cbxagt =+ )( , cbxagtc =+ )( i jednaine koje se svode na kvadratne5.7. rjeava osnovne trigonometrijske nejednaine

III GEOMETRIJA

1. Geometrija u ravniSadraj:

Osnovni geometrijski pojmovi: taka, prava, ravan i odnosi meu njima. Du, simetrala dui. Ugao, veliina ugla, ugaona mjera, simetrala ugla. Susjedni, uporedni i

unakrsni uglovi. Uglovi na transverzali (saglasni, naizmjenini i suprotni uglovi). Uglovi sa

normalnim kracima. Vrste trouglova: podjela po uglovima (otrougli, tupougli, pravougli) i podjela

po stranicama (jednakostranini, jednakokraki, nejednakostranini). Unutranji i spoljanji uglovi trougla. Odnos meu stranicama i uglovima trougla. Teine linije trougla. Visine trougla. Znaajne take trougla. Srednja linija trougla. Podudarnost trouglova.

Pitagorina teorema. Vrste etvorouglova: paralelogram (pravougaonik, kvadrat, romb), trapez i

deltoid. Pravilan mnogougao. Kruna linija i krug. Sjeica, tetiva, tangenta. Uglovi povezani sa krunim lukom

(centralni i periferijski ugao; tangentni ugao). Tangentni i tetivni etvorougao. Definicija i svojstva izometrije. Osna simetrija. Centralna simetrija. Translacija.

Rotacija. Talesova teorema. Slinost; slinost trouglova.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 1.1. prepozna vrste i svojstva trougla i primijeni ih 1.2. prepozna vrste i svojstva etvorougla i primijeni ih 1.3. prepozna i primijeni vezu izmeu centralnog i perifernog ugla nad istim

12

krunim lukom u rjeavanju zadataka1.4. prepozna i primijeni stavove slinosti i podudarnosti trouglova1.5. prepozna izometrijske transformacije

2. Geometrija u prostoruSadraj: Geometrijska tijela: prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i lopta.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 2.1. prepozna, imenuje i nacrta geometrijska tijela (prizmu, piramidu, zarubljenu piramidu, valjak, kupu, zarubljenu kupu, sferu i loptu) 2.2. primijeni formulu za povrinu i zapreminu prizme 2.3. primijeni formulu za povrinu i zapreminu piramide i zarubljene piramide 2.4. primijeni formulu za povrinu i zapreminu valjka 2.5. primijeni formulu za povrinu i zapreminu kupe i zarubljene kupe 2.6. primijeni formulu za povrinu sfere i zapreminu lopte

3. VektoriSadraj:

Definicija vektora, jednakost vektora i oznake. Intenzitet vektora. Nula vektor, suprotni vektor.

Sabiranje vektora. Oduzimanje vektora. Mnoenje vektora brojem. Kolinearnost i komplanarnost vektora. Skalarna projekcija vektora. Definicija

skalarnog proizvoda i njegove osobine. Definicija vektorskog proizvoda i njegove osobine.

Vektori u ortonormiranom koordinantnom sistemu. Vektorski metod. Metod koordinata.

Ispitni ciljevi Uenik pokazuje da umije da

3.1. sabira, oduzima vektore i mnoi vektor brojem3.2. rauna skalarni proizvod dva vektora; primjenjuje skalarni proizvod dva vektora

pri odreivanju ugla izmeu dva vektora i odreivanju duine vektora3.3. rauna vektorski proizvod dva vektora (zadat direktno ili geometrijskom

interpretacijom)3.4. odredi uslov normalnosti i kolinearnosti dva vektora3.5. primijeni znanje o vektorima na rjeavanje problemskih zadataka iz geometrije

4. Primjena trigonometrije u geometrijiSadraj: Definicija trigonometrijskih funkcija otrog ugla pravouglog trougla. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih otrih uglova. Sinusna i kosinusna teorema. Formule za raunanje povrine trougla pomou trigonometrijskih funkcija.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 4.1. rijei pravougli trougao 4.2. odredi nepoznatu veliinu (npr. stranicu, ugao, visinu...) kod geometrijskih tijela primjenom trigonometrije 4.3. prepozna sinusnu i kosinusnu teoremu; rijei proizvoljan trougao primjenom sinusne i kosinusne teoreme

5. analitika geometrijaSadraj: Rastojanje izmeu dvije take. Dijeljenje dui u datoj razmjeri. Raunanje povrine trougla ako su poznate koordinate njegovih tjemena. Razni oblici jednaine prave: eksplicitni, implicitni, segmentni i normalni. Dvije prave i ugao izmeu njih. Udaljenost take od prave. Jednaina krune linije. Prava i kruna linija. Dvije krune linije. Jednaina parabole. Prava i parabola. Jednaina elipse. Prava i elipsa. Jednaina hiperbole. Prava i hiperbola.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 5.1. izrauna rastojanje izmeu dvije take 5.2. dijeli du u datoj razmjeri i u konkretnim situacijama trai koordinate take podjele 5.3. primijeni formulu za povrinu trougla u koordinantnoj ravni 5.4. prepozna jednainu prave zapisanu u optem, eksplicitnom i segmentnom obliku i nacrta pravu u koordinantnom sistemu 5.5. odredi jednainu prave ako je poznata jedna taka i koeficijent pravca prave, jednainu prave kroz dvije take, segmentni i normalni oblik jednaine prave 5.6. odredi meusoban odnos dvije prave (uslov paralelnosti, normalnosti, odredi presjek i ugao izmeu dvije prave) 5.7. izrauna rastojanje izmeu take i prave 5.8. prepozna, crta i zapie opti oblik jednaina krivih drugog reda 5.9. formira jednainu krune linije sa centrom u taki A(a, b) i poluprenikom R; Jednainu krune linije oblika Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0, prevede u opti oblik, proita koordinate centra i odredi poluprenik 5.10. odredi meusoban odnos prave i krive drugog reda 5.11. formira jednainu tangente u taki krive

IV ElEmEntI matEmatIKE analIZE

1. NizoviSadraj: Pojam i osobine aritmetike i geometrijske progresije. Zbir prvih n lanova aritmetike i geometrijske progresije Granina vrijednost niza (beskonani nizovi; konvergencija; svojstva konvergentnih nizova)

13

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 1.1. prepozna aritmetiki niz; odredi opti lan niza i zbir prvih n lanova 1.2. prepozna geometrijskii niz; odredi opti lan niza i zbir prvih n lanova 1.3. rauna graninu vrijednost niza u elementarnim sluajevima, npr.

2

2

3 1 0,3lim

2 0,1

n

nn

n n

n+ + +

+,

22

2

3lim

n

n

n n

n

.

2. diferencijalni raunSadraj: Pojam izvoda. Izvod zbira, proizvoda i kolinika. Izvodi elementarnih funkcija. Izvod sloene funkcije. Izvodi vieg reda.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 2.1. rauna izvode koristei tablicu i pravila 2.2. rjeava elementarne ekstremalne zadatke primjenom diferencijalnog rauna

3. FunkcijeSadraj: Pojam funkcije. Nain zadavanja funkcije. Pojam bijekcije. Inverzna funkcija. Domen, kodomen funkcije. Parnost i neparnost funkcije. Periodinost funkcije. Znak funkcije. Pojam neprekidnosti funkcije. Pojam granine vrijednosti funkcije. Osnovna svojstva granine vrijednosti funkcije. Lijeva i desna granina vrijednost funkcije. Asimptote. Primjena izvoda pri ispitivanju funkcije (monotonost funkcije, ektremumi funkcije, konveksnost funkcije i prevojne take). Grafik funkcije.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 3.1. odredi vrijednost funkcije koja je zadata tablino, grafiki ili analitiki 3.2. odredi uslove postojanja inverzne funkcije; odredi i predstavi inverznu funkciju u jednostavnom primjeru 3.3. odredi domen, ispita monotonost i/ili konveksnost proizvoljne funkcije; odredi ekstremne vrijednosti i/ili prevojne take proizvoljne funkcije 3.4. ispita tok i nacrta grafik funkcije u jednostavnim primjerima (polinomne funkcije najvie treeg stepena, racionalne funkcija najvie drugog stepena u brojiocu i imeniocu)

4. Integralni raunSadraj: Pojam primitivne funkcije i neodreenog integrala. Svojstva neodreenog integrala. Tablica osnovnih integrala. Metod smjene. Metod parcijalne integracije.

14

15

Geometrijska interpretacija odreenog integrala. Svojstva odreenog integrala. Njutn-Lajbnicova formula. Raunanje povrine jednostavnih figura u ravni primjenom odreenog integrala.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 4.1. primijeni svojstvo ( ( ) ( )) ( ) ( )af x bg x dx a f x dx b g x dx+ = + i koristi tablicu integrala za raunanje elementarnih neodreenih integrala 4.2. primijeni metod smjene 4.3. primijeni metod parcijalne integracije 4.4. primijeni Njutn-Lajbnicovu formulu 4.5. rauna povrine jednostavnih figura u ravni primjenom odreenog integrala

V KombInatorIKa I vJErovatnoa

Sadraj: Osnovna pravila prebrojavanja: pravilo bijekcije, zbira i proizvoda. Pojam varijacije, permutacije i kombinacije bez ponavljanja i njihovo raunanje. Pojam i raunanje varijacije sa ponavljanjem. Klasina definicija vjerovatnoe.

Ispitni ciljevi

Uenik pokazuje da umije da 1.1. u elementarnim zadacima primijeni pravila bijekcije, zbira i proizvoda 1.2. u elementarnim zadacima prepozna varijaciju sa ponavljanjem i bez ponavljanja, permutaciju i kombinaciju bez ponavljanja i obavi traeno prebrojavanje 1.3. rjeava jednostavne zadatke u kojima se pojavljuje klasina definicija vjerovatnoe

16

6. Primjer testa sa shemom za bodovanje

U sljedeim zadacima zaokruite slovo ispred tanog odgovora.

1. Kada se ukljue 3 cijevi, bazen se napuni za 15 sati. Kada se ukljui 5 cijevi, bazen se napuni za

A. 8 sati B. 8 sati i 30 minuta C. 9 sati D. 9 sati i 30 minuta

2. Kolika je vrijednost izraza 223 ?

A. 31

B. 21

C. 12

D. 13

3. Kojom se cifrom zavrava broj 20082008?

A. 2 B. C. 6 D. 8

4. Za koju najmanju pozitivnu vrijednost x, funkcija xy 2sin= dostie maksimum?

A. 4p

B. 2p

C. 4

3p

D. 2

3p

17

5. Na kojoj slici je nacrtan grafik funkcije 1)1()( 3 = xgolxf ?

A.

x

y

2-1

B.

x

y

13

11

C.

x

y

41

18

6. Nenulti vektori a ib su uzajamno normalni ako i samo ako je:

A. a xb = 0

B. a b = 0

C. a = l b , 0l

D. | a | = |b | = 1

7. 2cos xdx je

A. 2sin x C+

B. 3cos

3

xC+

C. sin 2

2 4

x xC+ +

D. cos 2

2 4

x xC+ +

8. Kocka se baca 3 puta. Kolika je vjerovatnoa da padnu 3 razliita broja?

A. 5

9

B. 5

8

C. 5

36

D. 1

9

19

U zadacima koji slijede od vas se trai da napiete itav postupak rjeavanja.

9. Uprostiti izraz

)()()(

)( 2233

3223

bbaababa

bbabaa++

++

.

Rjeenje: 3 boda

10. Ako je jedno rjeenje jednaine

( ) 023124 22 =+++ mmxmx jednako 1, odrediti vrijednost parametra m.

Rjeenje: 3 boda

11. Rijei nejednainu

11

22

+xx

.

Rjeenje: 3 boda

12. Izraunati xx + 22 , ako je 3244 =+ xx .

Rjeenje: 4 boda

13. Ako su dcba ,,, pozitivni realni brojevi razliiti od 1, odrediti vrijednost izraza

dgolcgolbgolagol adcb .

Rjeenje: 2 boda

20

14. Izraunati agt ako je 22

39=

+

aaaa

socnissocnis

, a je otar ugao.

Rjeenje: 3 boda

15. Date su take A(8,1), B(6,5) i C(-1,4).

a) Nai jednainu prave AB 2 boda

b) Nai jednainu krune linije opisane oko trougla ABC. 5 bodova

Rjeenje:

16. Pravougli trougao ija je hipotenuza 5, a jedna kateta 4, rotira oko prave normalne na hipotenuzu koja prolazi kroz tjeme manjeg ugla.Nai povrinu dobijenog obrtnog tijela.

Mzk= (R+r)lMk= rl

Rjeenje:5 bodova

17. U pekari se prve sedmice nakon otvaranja proizvodilo po 60kg hljeba dnevno. Zbog dobre prodaje, odlueno je da se koliina pripremljenog hljeba poveava tako da se svake naredne sedmice dnevna proizvodnja povea za 6kg u odnosu na dnevnu proizvodnju prethodne sedmice. Koliko e se dnevno proizvoditi hljeba nakon godinu dana (52 sedmice)?

Rjeenje:

2 boda

18. Izraunati ( )2lim 4n n n n + . Rjeenje:

2 boda

19. Koliko ima parnih petocifrenih brojeva ije su cifre iz skupa { }1,2,3,4,5,7A = ? Rjeenje:

2 boda

21

LIST ZA ODGOVORE

Uz test ete dobiti i list za upisivanje odgovora na zadatke viestrukog izbora. Potrebno je da na odgovarajue mjesto paljivo prepiete svoje odgovore za prvih 8 zadataka.

22

Rjeenja

9. Ukupno 3 bodaRastavljanje )()( 2233 bbaababa ++= i skraivanje. 1 bod

Grupisanje )(33 bababa + = )()( 22 babbaaba +++ . 1 bod

Svoenje na )()(

)()( 2

babababa++

= ba + .

1 bod

10. Ukupno 3 bodaTano uvrena vrijednost za x=1, 4 - 2 (m + 1) + m2 - 3m + 2 = 0. 1 bodTano sreena jednaina po m, m2 - 5m + 4 = 0. 1 bodTano rijeena kvadratna jednaina po m, m1=4 i m2=1. 1 bod

11. Ukupno 3 boda

Transformacija

11

22

+xx )1(2 2 + xx .

1 bod

0)1(012 22 +++ xxx 1 bodZakljuak Rx .

1 bod

12. Ukupno 4 bodaUslov 3244 =+ xx napisan u obliku 32)2()2( 22 =+ xx . 1 bod

2)22()2()2( 222 +=+ xxxx 2 bodaIz jednaine 52)22(

2 =+ xx izveden zakljuak da je xx + 22 = 5. 1 bod

13. Ukupno 2 boda

Prelazak svih logaritama na istu osnovu, npr. agldgl

dglcgl

cglbgl

bglagl

.

1 bod

Tano konano rjeenje, 1. 1 bod

23

14. Ukupno 3 boda

Polazni izraz napisan u obliku 21239=

+

aa

gtgt

.

1 bod

2439 += aa gtgt 1 bod

1=agt 1 bod

15. a) Ukupno 2 boda

)8(8615

1

= xy

1 bod

Tano napisana jednaina prave, npr. 712 += xy . 1 bod

b) Ukupno 5 bodova

Tano postavljen sistem 222 )1()8( rqp =+222 )5()6( rqp =+

222 )4()1( rqp =+ .1 bod

Npr. izjednaavanjem prve i druge i druge i tree jednaine je dobijen sistem

012 = qp0227 =+ qp .

Tano izraunate vrijednosti 3=p , 1=q , 5=r . 1+1+1 bod

Traena jednaina 52)1()3( 22 =+ yx . 1 bod

24

16. Ukupno 5 bodovaTano nacrtana slika 1 bod

hc3

A B

C r

4

5 = R

Izraunata hipotenuzina visina 521

25

243

=

=

cc h

h.

1 bod

Izraunat poluprenik manje osnove 222 chbr = , 561

=r . 1 bod

Zakljuak da je kkz MMBP ++= . 1 bod

43)(2 +++= ppp rrRRP .

Taan rezultat

=5213

P .

1 bod

17. Ukupno 2 bodaUoen aritmetiki niz, a1 = 60, d = 6. 1 bodan = a1+(n - 1)d, a52 = 366 1 bod

25

18. Ukupno 2 boda

( )2lim 4n n n n + = ( )( )( ) ( )

2

2

2 2

2

4 4 4lim 4 lim lim 2

44 4 1 1n n n

n n nn n n

n n n nn

+ ++ = = =

+ + + + + +1 bod

( )( )( ) ( )2

2

2 2

2

4 4 4lim 4 lim lim 2

44 4 1 1n n n

n n nn n n

n n n nn

+ ++ = = =

+ + + + + +

1 bod

19. Ukupno 2 boda

Na osnovu pravila proizvoda dobijamo da je traeni broj 2 6 6 6 6 2592 = , naime, cifra jedinica se moe formirati na 2 naina, a sve ostale na 6 naina.

Svako tano rjeavanje zadatka nosi maksimalan broj bodova.

Uz tekst pojedinih zadataka, uenik moe dobiti i formulu koja je potrebna za rjeavanje, kao to je dato uz 16. zadatak.

26

7. Literatura

Osnovna literatura

1. Udbenik i zbirka zadataka za I razred gimnazije(Radoje epanovi, Dragoje Kasalica)

2. Udbenik i zbirka zadataka za II razred gimnazije(Radoje epanovi, Sneana Deli)

3. Udbenik i zbirka zadataka za III razred gimnazije(Radoje epanovi, Sneana Deli)

4. Udbenik i zbirka zadataka za IV razred gimnazije(Radoje epanovi, Sinia Stamatovi, Sneana Deli)

27

vaka urovia bb, 81 000 Podgoricaic@iccg.edu.me, www.iccg.edu.me